Der Hahn-Banach-Satz von Rodé für unendlichstellige Operationen

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    12-Aug-2016

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  • 292 AI~CH. MATH.

    Der Hahn-Banach-Satz von Rod6 fiir unendlichstellige Operationen

    Von

    HE II~'Z K61~-I(~

    Herin WOLFGA.~'G GASCHi2TZ in alter Freundschaft zum 60. Geburtstag gewidmet

    Der Satz yon Hahn-Banach wurde yon Rod~ [2] auf ein neues ~iveau der Ab- straktion erhoben. Sein Satz ist ein ebenso umfassendes wie einfach zu formu~erendes und schSnes Resultat. Es handelt yon einer kommutierenden Familie yon endlich- stelligen Operationen auf einer abstrakten Menge. Im Hinblick auf die im Anschlul3 an Simons [5], [6], [7] ebenfalls yon Rod~ ent~dckelte superkonvexe Analysis [1], [3], [4] ist es yon Interesse, den neuen Satz auf unendlichstellige Operationen aus- zudehnen. Das ist das Hauptziel dieser Note. Man muB dabei hinsichtlich des De- finitionsbereiches der betrachteten unendlichstelligen Operationen Vorsicht walten lassen, und der Beweis wird komplizierter als bei Rod~. Unser Resultat ist auch nicht das volle, den Umst~nden nach zu erhoffende Analogon des Satzes yon Rod~. Dieses ist vielmehr falsch, wie anschlieBend ein Gegenbeispiel lehren wird.

    1, Formulierung der Resultate. Es sei E eine nichtleere Menge. Ffir m e r~ sei E ~ das m-fache Produkt yon E. Unter einer m-stelligen Operation auf E verstehen wir eine Funktion ~: Era--> E. Wir schreiben

    a(xi . . . . ,xm) = ~((x~)~) ---- ~ (x~) = a(xi) f ib (x~)~eE ~. i= l i

    Es sei ~(E) die Gesamtheit der m-stelligen Operationen auf E. Wir sagen, daI3 a e ~ (E) und z e ~ (E) kommutieren, wenn

    a(-~(x~y)) = z(a(x~1)) fiir jedes System (x~j)~,~- yon Elementen i j j i x~ I~E (i----1 . . . . . m; j - -~ l . . . . ,n ) .

    Und ~ir nennen A c~.J f2n(E) kommutativ, wenn jedes Paar yon Elementen a, T e A kommutiert. ,,e.u

    Fiir ein Paar yon Funk%ionen P, Q: E --> [-- 0% oo[ mit P _< Q und ein a e .q~ (E) bestehe a(P, Q) aus allen (cci)~ e R~ (das heiBt e ~m mit Komponenten :q .. . . . ~m _-->0) mit

    m Q(a(x~)) ~a~P(x~) f'aralle (x~)~eE'~;

  • Vol. 35, 1980 Der Hahn-Banach-Satz yon Rod6 293

    dabei sei ~de iiblich 0 ( - -~) := 0. Wir kSnnen nun den Satz yon Rod6 formu- lieren.

    1.0. Satz. Au[ der nichtleeren Menge JE seien

    P, Q: E-+[ - -oo , oo[ Funktionen mit P ~_ Q; A c U ~ra(E) eine kommutative .Familie -~-~ O.

    m ~Nl

    Dann exi.stiert eine JFunktion ]: E -> [-- oo, oo[ mit P ~_ / ~= Q, derart daft/iir all9 ~eA (~-(2~(E) und (a~)~=_~(P,Q) (m= 1,2 . . . . ) gilt

    /(a(xi)) = ~ o:~/(x~) ]iir aUe (x~)~eE ~. i i=1

    Wir wenden uns nun dem entsprechenden Problem f'fir unendlichstellige Operationen zu. Es sei ~deder E eine nichtleere Menge und E r176 die Gesamtheit der nnendlichen Folgen (x~)~ yon Elemen~en xt e E (i ---- 1, 2 . . . . ). Fundamenta l fiir unseren Zweck ist die nachstehende

    Definition. Unter einem Schrankensystem auf E verstehen wir eine Gesamtheit von nichtleeren Teilmengen yon Emi t den Eigenschaften

    1) {x}e~ ft iral le xeE ;

    2) fiir T1 . . . . . Yreq~ ist T IW'"UTr~; 3) aus Te~ und O~ScT fo l~ Se~.

    Ein einfaches Beispiel eines Schrankensystems auf E ist ftir eine Funkt ion Q : E --~ [ - 0% oo [ die Gesamtheit ~ der nichtleeren T c E, derart dab Q ] T nach oben beschrankt ist.

    Fiir 9 Schrankensystem ~ auf E sei ~ := U T~176 c E ~176 also die Gesamtheit

    der (ira Sinne yon ~g) beschr~nkten unendliehen Folgen aus E. Die von uns be- trachteten unendlichstelligen Operationen sind die Funkt ionen a: ~- -> E mit a (T ~176 eW f'tir alle T e~. Ihre Gesamtheit werde mit ~~176 (g) bezeiehnet. Wir k6rmen definieren, dab a 9 if2 ~ (E, q~) und w ~ .Qoo (E, ed) kommutieren, wenn

    a(~(x~l)) = v(a(x~l) ) fiir jedes System (x~1)~,i yon Elementen xi1 9 einem Te% ~ (i,?'---- 1,2 . . . . );

    es sind n/imlich die beiden auftretenden iterierten Komposi ta wohldefiniert, etwa das link 9 well v(x~i) 9 z (T ~162 9 ff (i ---- 1, 2 . . . . ) und also (v(x~i)) ~ 9 ~ ist. Und

    ~dr nennen wieder 2 c ~oo (E, if) kommutat iv , wenn jedes Paar yon Elementen ~, z e A kommutiert .

    Es sei wieder ~ ein Schrankensystem auf E. Fiir ein Paar von 1%nktionen P, Q: E --> [ - - 0% oo[ mit P ~ Q, derart dab Q[Tund also auch P IT nach oben be- sehr~nkt ist fiir jedes T e ~, und ftir 9 a 9 f2~ q~) best 9 a (P , Q) aus allen

  • 294 H. K6NIG ARCH. MATH.

    (a~)~ e l~ (das heiBt 9 P mit Komponenten ~ 0) mit

    Q(a(x~)) ~ Z ~Q(x~) und i 3=1

    P(a(xi)) ~ : r fiir alle (x i )~ 9 i i=1

    man muB hierzu bemerken, dab ftir eine Folge (aih 9 l~_ und ftir eine nach oben oo

    beschr~nkte Folge (z~)~ 9 [-- oo, ~[~ die Reihe ~a,z , im weir 9 Sinne gegen 9 Element 9 [--oo, oo[ konvergiert, i=~

    Wir k6nnen nun unseren Hauptsatz formulieren.

    1.1. Satz. Auf der nichtleeren Menge E seien 5 ein Schrankensystem; P, Q: E--> [ - -~ , r Funktionen mit P ~_ Q, derart daft Q IT nach oben beschrdnkt ist /iir jedes T 9 5 ; A r s 5) eine/commutative Familie -~ O.

    Dann existiert eine Funktion /: E -> [-- r ~[ mit P ~ / ~ Q, derart daft/iir all9 (~ 9 A und (g~)~ 9 a (P, Q) gilt

    oo

    /(a(xi)) ~ i / (x i ) /iir are (x~) i 9 und dabei i i=1

    f(~(x~)) = ~. ~/(z~) wenn ~P(x~) > -- oo /iir e inn 9 N. i i= l i=n

    Wir werden in Abschnitt 3 ein Beispiel daf'tir liefern, dab unter den Vorausssetzun- gen des Satzes im allgemeinen keine Funktion /: E --> [-- ~ , c~[ mit P ~ ] ~ Q existiert, derart dab fiir alle a 9 A und (~i)i ~ a(P, Q) ~lt

    co

    / (a (x t ) ) - - - -~/ (x t ) ftir alle (x~) i 9 i i~ l

    Da sich endlichstellige Operationen in evidenter Weise als unendlichstellige Ope- rationen auffassen lass9 k6nnen wir den vorstehenden Satz sofort auf den Fall ausdehnen, dab endlichstellige und unendlichstellige Operationen nebeneinander auf- treten. Fiir 9 Schrankensystem 5 auf E best 9 g2~(E, 5) aus den ~ 9 ~(E) mit a{T m) 9 5 f'fir all 9 T 9 5 (m ----- 1, 2, ...). Wir k6nnen ~fie oben definieren, warm a 9 ,Qm(E, ~) und T 9 5) (m, n = 1, 2 . . . . . oo) kommutieren, und warm 9 A c (,.J g2~ (E, ~) ~) -(2~ (E, 5) kommutativ heiBt. Wir erhalten dann den nachstehen-

    den Satz

    1.2. Satz. Auf der nichtleeren Menge E seien 5 9 Schrankensystem; P, Q : E ---> [-- c~, oo[ Fun]~tionen mit P ~ Q, derart daft Q IT nach oben beschrdn~ ist /i~r ]edes T 9 ~ ; A c ~.J~2m(E, 5) W ~'~(E, 5) eine ~,ommutative Familie ~ O.

    me~

  • Vol. 35, 1980 Der Hahn-Banach-Satz yon Rod~ 295

    Dann existiert eine Funktion / : E ---> [-- ~, oo[ mit P E defuliert durch

    oo

    a (xi):---- (7 (xi) fiir (xi)(eE ~ i=1 i=1

    dann is t a (T ~) = ~(T m) fiir Te~, und daher ist ae~n(E ,~) ~quivalent mit e ~(E , ~). Fiir (:q)i 9 R~- ist welter (ai)~ 9 ~ (P, Q) ~quivalent mit

    (~i . . . . . ~ , 0, 0 . . . . ) e ~ (P, Q).

    Und endlich sehen wit, wenn wit f'fir a e ~(E , ~) noch ~ :---- (~ setzen, dab

    dann und nur dann kommutieren, wenn die zugehSrenden ~, T ~ (E, ~) kommutie- ren. Mithin ist die Kommutativits einer :Familie /1 c~J~(E , Cd)u~C~(E,~)

    ~quivMent mit der yon A := {~:a e/1} c ~(E , ~). Wir erhalten hiernach, wenn ~ir 1.~ ~uf A anwenden, Satz 1.2 fiir die Familie A.

    Wit bemerken zum Absehlul~, dab die neuen Resultate 1.1 und 1.2 den S~tz yon Rod~ 1.0 als Spezialfall enthMten. Es seien nCmlich P, Q: E--> [ - -~ , ~[ mit P _~ Q und A cL . J~(E ) ~ie in 1.0 gegeben. Wit kSnnen natiirlich annehmen

    a(P, Q) -0 fiir alle a e/1. Es bestehe nun (d ~us allen niehtleeren T c E, derart dab Q IT naeh oben beschr~nkt ist. :Dana ist ~ eia Sehrankensystem auf E. Und um 1.0 aus 1.2 zu erhalten, brauchen wir nur einzusehen, dai] f'tir alle a ~ A ~(E) gilt ~ e ~(E , ~) (m ---- 1, 2 . . . . ). Wenn aber (:q)( ~ (~(P, Q) ist, dann haben wir

    Q(a(x~))~a~Q(x~) fiir (x~)(eE ~, i i=1

    so dal~ wir fiir T e ~ erhalten

    (2:) Qla(T'n)

  • 296 H. KiJNIG ARCH. MATH.

    2. Beweis des Hauptsatzes. Es seien wie in 1.1 das Sehrankensystem ~ auf E, die Funktionen P, Q : E -> [-- 0% oo[ mit P _~ Q und Sup Q IT ~ oo ftir jedes T e sowie die nichtleere kommutative Familie A c ~Q~o (E, ~) gegeben. Der Beweis ver- l iuft zun~chst ~4e in Rod~ [2]. Nach dem Satz yon Zorn kSnnen ~dr annehmen, dab /I eine maximal 9 kommutative FamiIie c~'~(E, ~) ist. Dann ist also ein a 9 -(2 ~ (E, 5), das mit alien Elementen yon 2 kommutiert, selbst Element yon d.

    1) Es bestehe /il aus den ~ 9 ~), die mit allen Elementen yon A kom- mutieren, also mit

    (p(a(x~)) = (~(q~(x~)) fiir alle a 9 und (x~)~ 9 ~

    Man verifiziert dann die folgenden Aussagen.

    1.i) Aus ~, ~ 9 I fo lg t~oy J~A 1. Und ausa 9 f l 9 folgt

    :c fl e cf o ~ ( P , Q ) .

    1. ii) Es seien T 9 und ~eA1 (i---- 1,2 . . . . ) mit .Uq~(T)~f t i r alle T 9

    ])ann ist ~: ~ (x) = "~ (q~ (x)) f'fir x 9 E wohldefiniert und 9 9 A 1. Und aus (/54)~ 9 ~(P, Q) i oo

    und ai 9 9i (p, Q) (i -- 1, 2 . . . . ) rnit (:d)~ 9 folgt ~ fl~ o~ ~ 9 9 (P, Q).

    1. iii) ])er Spezialfall ~i _-- Identit~t und cd ---- 1 (i ----- 1, 2, ...) yon 1. ii) liefert: Fiir TeA ist 9: 9(x) = "~(x,x . . . . ) fiir xeE wohldefiniert und 9 9 Und aus

    oo

    (fl~h 9 T(P, Q) folgt ~fl~eq~(P, Q). i= l

    1. iv) Wir bilden zu 9 g A1 nach dem vorletzten Absatz in Abschnitt 1 die un- endlichstellige Operation

    ~ 9 -~c2~176 ~ (x l )= ~(xl) fiir (z~)~e~d ~176

    ])ann kommutiert ~ mit allen Elementen yon A und ist also in A. Und ftir a 9 9 (P, Q) ist (~; 0, 0,. . .) 9 ~(P, Q).

    1. v) :Fiir 9, v/ 9 A~ haben wir ~, ~e A, so dab ~ und ~ kommutieren. Daher kommutieren auch ~ und ~. Das bedeutet ~ o %0----~p o 9.

    2) Es best, he H aus den Funktionen h: E --> [-- 0%00[ mit P -< h _< Q, derart daft fiir all 9 ~ e A und (:~)~ 9 a(P, Q) gilt

    oo

    h(a(x~))

  • u 35, 1980 Der Hahn-Banach-Satz yon Rod~ 297

    3) Es sei ] 9 H minimales Element yon H. Fiir ~ 9 A 1 und z 9 ~(P , Q) ist darm ](q~(x)) = :r FOX all 9 x e E. Beweis: Im Fall 9 r162 = 0 haben wir

    0 = :r ~ P(~0(z)) [-- 0% oo[

    durch F(x )= _1 ](~c(x)) fiir xeE. Dann ist zun/~chst F(x) => l- -P(~(x)) _-> P(x) t

    fiir alle x 9 und nach 1. iv) haben ~4r F (x )= ~/ (~(x , x, . . . ) )~/ (x ) ~ Q(x)

    ffir alle x 9 E. Weiter ist F e H, denn fiir a 9 A und (:r 9 (~(P, Q) und (xi)i 9 ist

    i q" ~ i i~ l (X i=1

    Naeh der Minimalit/it yon / mul3 also 2' = / sein. Das heil~t abet/(q)(x)) = ~](x) fiir all 9 x 9 E, was zu beweisen war.

    4) Wir fixieren nun 9 minimales Element ] e H. Es ist zu beweisen, dal3 fiir all 9 a 9 und (~i)~ e a (P , Q) und (xi)i 9 gilt

    ~t/(x~) ~_/(e(xi)), sobald ~..~P(x~) > -- ~ fiir ein n 9 N.

    Damit ist ~quivalent

    ~i] (x i ) + ~:r ~/(a(x~)) fiir all 9 n 9 N. i

  • 298 H. K/Smo AaCH. MATH.

    Es folgt

    aus (z~)~erg ~176 und f , ~oeA 1 und ~sq)(P,Q), O [ - - r162 ~[ dutch

    1

    ~n~ " i

  • Vol. 35, 1980 Der Hahn-Banach-Satz yon Rod6 299

    = ~

    fiir ~ '>p ,'--1:

    oO

    Aus 1. iii) folgt dana: fiir alle z e A und (fl,)~ 9 z (P , Q) ist ~f l , < 1. Wir schlieBen i= l

    hieraus f'or festes e > 0 durch Zuriickgehen auf die Definition: Wenn ] - - e > P w~re, dann w~re [ - - e 9 H. Alsdann h~tte man wegen der Minimalit~t yon ] aber ] - -e =/ oder 1=- 0% also auch P =- 0% was nicht der Fall ist. Es kann also nicht ] - e > P sein. Zu jedem e > 0 existiert also ein v 9 mit [ (v ) - e < P (v), also mit ] (v) > P (v) > - - 00 und ] (v) - - P (v) < e. Wenn ~ir die End- formel des vorstehenden Absatzes mit festen ~ 9 A1 und 0 < ~ 9 v?(P, Q) in An- spruch nehmen, dana erhalten wir mithin

    1 F(z )0,

    an~/ \i>n /

    also F(z )< ](z) FOr alle z e E.

    7) Wir beweisen nun, da$ fOr 9 9 A und (fli)i 9 ~(P, Q) und (vj) i 9 ~ gilt Oo

    (**) F(T(vj)) < y~ ~F(vj ) . i i=1

    Esse ie twav j 9 (2"= 1 ,2 , . . . ) mit Y 9 Q]Yn

    O0

    Wir fixieren ein c 9 R mit ~.f l iF(vi) < c, und hierauf Zahlen c1 9 R mit

    F (v J )

  • 300 H. K6NIG ARCH. MATH.

    Wir bilden hierzu

    Xi:=~*o-"o~1-1ov~r247 und V:=~io~2o . . . . ~:= ~. . . ~-~+~. . . . .~ ~:= ~ ....

    was unproblematisch ist, weil die Faktoren yon einer Stelle an trivial werden. Nach 1. i) haben wir Z1eA 1 mi t0< SYez i (P ,Q) (] = 1 ,2 . . . . ) und ~veA1 mit 0 < r~ e v(P, Q). Wir definieren weiter 9: E --> E durch

    q)(x)=z((Z~o~J)(x)) ffir xeE, und ~' :=~f l .~-~J .

    Hier ist 1. ii) anwendbar (verbunden mit 1. i)), denn ffir ?" ~ p + 1 ist ~i = Iden- tit~,t and Zt = ~, sowie ~ = 1 und ~ = ~. Wir erhMten ~lso q~ e A 1 und ~ e q:(P, Q). Wir bilden endlich

    v~ := ZJ (ii) (i, i ---- 1, 2 . . . . )

    Hierzu ist zu bemerken

    und z t :=~(~) ( i=1 ,2 , . . . ) .

    5ie fiir ]>=p+l und i c T ~

  • Vol. 35, 1980 Der Hahn-Banad~-Satz yon Rod6 30i

    iv) Im Falle i < n haben ~ir co

    /(~) =/(~ (z~)) = ~/(z~) = Y. fl~ ~/ (z~) = ~ fl~ CJ/(~(z~)) i=1 j=t

    ~=i i=i =:o+1

    Es ist mithin

    i

  • 302 H. K6NIG ARCH. MATH.

    hin

    /(Xn) = F (x~) g 1__ (/(a (x~)) - - ~ ~ ] (x~) -- ~. ~ P (x~)). O~n ~ in

    Das ist aber die behauptete Ungleichung (*). Damit ist der I-Iauptsatz 1.1 be~'iesen. Wir sehen also, dab die Beweisidee yon Rod~ [2] mit den erforderlichen Modifika- tionen auch den Fall unendlichstelliger 0perationen zu behandeln erlaubt.

    3. Ein Gegenbeispiel. Wir konstruieren in diesem Abschnitt das im Anschlu$ an Satz 1.1 versprochene Beispiel. Es sei E = [ - -~ , 0] ~~ die Gesamtheit der Folgen x----(~t)z mit - -~_~z~0 ( /=1,2 . . . . ). Wir definieren P,Q: E- ->[ - -~,~[ durch

    P(x )=In f~ 1 und Q(x)=limsup~ z fiir x=(~z)~eE. l e~ l---~r

    Es ist also - - r ~ P ~ Q ~ 0. Und es sei W das aus allen T c E, T -- 0 bestehende Schrankensystem auf E. Dann ist also Q ] T ~ 0 < ~ ftir jedes T e ~. Und -(-2- ~ (E, c~) besteht aus allen unendlichstelligen 0perationen a: E ~ --> E auf E.

    Fiir a = (at)~ e l~ definieren wir ~: E ~ --> E durch die komponentenweise zu bildende l~eihe

    (x~) = Z ~s x~ ftir (x~h e E ~, S i=1

    also ausfiihrlich durch

    ~(x,)=(~z)z mit ~z=~as~ (Z=1,2 . . . . ) f~r i i=].

    ,~ = (~)z (i = ~, 2,...),

    wie bisher mit der Konvention 0 ( - -~) := 0. Es sei ,11 := {~:a e l~+)c~2~(E, ~). D~nn ist A kommutativ; denn ftir a, v e l~ und x~; = (~)z e E (i, ] = 1, 2 . . . . ) haben wir

    O('~(x~)=(~)~ mit ~= ors ~i , i i S=l \ j= l /

    und hierin bleibt die rechte Seite bei Vertausehen der Reihenfolge der Summationen unge~ndert.

    3.1. Lemma. IViir ;yel~ ist b(P ,Q)= (a}.

    Beweis . i) Es seien x~ = (~)~ e E (i = 1, 2, ...) und ~(xi)----: x = (~)z. Nach der Definition haben wir fiir n e ~ i

    ~z = ~.~ < 5 ~ (z = 1, 2 . . . . ), i= l i~ l

    Q (x) = limsup ~z ~ ~. as limsup ~ = a~ Q (xi), l.--~oo i= l l-.-*m i= l

  • Vol. 35, 1980 Der Hahn-Banach-Satz von Rod~ 303

    und also Q(x)~ a~Q(xi). Weiter ha.ben wir ~ > ~ a~P(x~) und also P(x)> i=1 ~=I Oo

    ~a~P(xi) . Es ist mithin aeS(P ,Q) . i=1

    ii) Es sei :r = (6r e ~(P, Q). Wit fixieren ein n e N und setzen

    xn :=( - -1 , - - i . . . . )eE und x~:----(0,0 . . . . )eE fiir i~n .

    ])ann ist ~(xi)-----: x---- ( - -an , - -an . . . . )e E. Wir haben P(xn) ---- Q(xn) -- - 1 und i

    P(x~) = Q(x~) = 0 fiir i ~ n sowie P(x) = Q(x) = - an. Fiir :r ~(P, Q) ist mit- hin r162 ---- an for a l len ~ ~, also :r = a.

    3.2. Satz. Es existiert keine Funktion [: E--> [--r162 ~[ mit P ~ ] ~ Q, derart daft /iAr alle a e lL gilt

    ](b(x~)) = ~ a~/(x~) ]iir aUe (x~)~eE r i i=1

    das heiflt, derart daft/is alle a ~ A und (:q)~ e a(P, Q) gilt o~

    l (a (x i ) ) = ~:r liir alle (xt)iecd ~176 i ~=1...

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