Der Regenbogen

Von H. O. Tittel

Bild 1. Regenbogen über Neunkirchen

2

Beobachtungen Sonne von hinten Regen vor dem Beobachter Bei hellem Sonnenschein u. kräftigem Schauer Haupt- u. Nebenbogen Bögen genau kreisrund u. konzentrisch Mittelpunkt auf Verlängerung des Sonnenstrahls durch Beobachterauge Je tiefer der Sonnenstand desto höher die Bögen Beobachterauge auf unendlich eingestellt, d.h. Bögen liegen im Unendlichen Spektralfarben, umgekehrte Reihenfolge in Haupt- u. Nebenbogen Aufhellung unter dem Hauptbogen Abdunkelung zwischen Haupt- u. Nebenbogen

Lichtweg im Regentropfen

Um das Phänomen Regenbogen zu verstehen, muß man den Weg der Sonnenstrahlen im einzelnen Regentropfen zeichnen. Durch die Oberflächenspannung des Wassers sind die Tropfen geradezu ideale Kugeln; die Reibung an der Luft während ihres freien Falls ändert daran praktisch nichts. In neben-stehendem Tropfen (Bild 2) ist seine Äquatorebene mit dem Licht-weg eines beliebigen Strahls in dieser Ebene gezeichnet. Bei seinem Eintritt bei A und dem Austritt bei C erleidet er je eine Brechung und bei B eine Reflex-ion. Die zugehörigen Winkel erge-ben sich aus dem Brechungs- und dem Reflexionsgesetz, wobei alle Winkel vom Einfallslot ab Bild 2. Lichtweg im

Regentropfen gemessen werden; das Einfallslot ist die Senkrechte auf der Tangentialebene im Berührungs-punkt. Bei A gibt es außer dem eintretenden Strahl auch einen reflektierten und bei B außer dem reflektierten noch einen austretenden. Beide verlaufen nicht weiter im Tropfen und tragen daher zum Bauwerk Regenbogen nichts bei; sie sind nur Lichtverluste. Auch bei C bleibt ein Strahl mit einem gewissen Helligkeitsanteil im Tropfen, er bildet den Nebenregen-bogen und wird weiter unten erklärt. Zunächst interessiert der Lichtstrahl, der bei C unter Brechung den Regentropfen verlässt.

3

Lichtbrechung

Während das Reflexionsgesetz sehr einfach ist, – es gilt Einfallswinkel gleich Reflexionswinkel -, hängen Einfalls- und Brechungswinkel über die Sinusfunktion zusammen. Sie sei kurz erklärt.

Zur Sinusfunktion eines Winkels. Bild 3 zeigt einen beliebigen Winkel. Von irgendeinem Punkt eines seiner Schenkel werde das Lot auf den anderen Schenkel gefällt, so dass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Teilt man die Länge GK der Gegenkathete durch die Hypothenusen-länge H, so ist dieser Quotient unabhängig von der Lage des gefällten Lotes, ja sogar unabhängig von der Wahl des Schenkels, von dem aus

man das Lot gefällt hat. Wegen dieser Unabhängigkeit hat der Quotient für jeden Winkel einen eindeutigen Wert, er heißt Sinus dieses Winkels:

Bild 3. Zum Sinus eines Winkels

sinα =H

GK

Zwei Grenzfälle: sin 0° = 0, weil GK = 0 sin 90° = 1, weil GK = H.

Das Brechungsgesetz lautet nun sin βα sinn= ,

n heißt Brechungsindex oder Brechzahl und ist definiert als das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten in Luft und dem jeweils angrenzenden Medium. Es ist also

;Mediumc

cn = hier 33,1

sec/226000

sec/300000

2

===km

km

c

cn

OH

,

Bild 4. Brechung eines Lichtstrahls entsprechend dem Übergang Luft – Wasser. Der Brechungsindex ist farbabhängig, man nennt das Dispersion. Das erklärt, warum der Abknickwinkel beim Übergang ins angrenzende Medium für jede Farbe anders ist (Bild 4). Licht ist in Luft schneller als in jedem Medium, d.h. es ist stets n>1.

Größte Ablenkung In Bild 5 sind fünf Sonnenstrahlen gezeichnet, die auf die linke Tropfenhälfte unter den Einfallswinkeln 0° - 90° treffen. Die Strahlen sind nummeriert und ihre Wege im Regen-tropfen gezeichnet. Um die vollständige Lichtsituation zu erhalten, muß man die Figur um den Sonnenstrahl durch die Tropfenmitte M rotieren lassen. Es fällt auf, daß der Austritts-winkel δ , gemessen zum einfallenden Sonnenstrahl, von Strahl 1’ bis 4’ ansteigt, dann aber wieder abfällt, obwohl alle einfallenden Strahlen jenseits von Nr.4 noch flacher auf die Tropfenoberfläche fallen. Berechnet man die Lichtwege exakt, erhält man in der Tat ein Maximum der Ablenkung von ca. 42° (hier Strahl 4’), wozu ein Einfallswinkel in der Tangentialebene der Tropfenoberfläche von etwa 60° gehört (Strahl 4). Läßt man die

4

Bild 5. Es gibt einen größten Austrittswinkel Bild 6. Strahlenhäufung bei 42°. Aus Lit. 1

Zeichnung um den Strahl 1 – M – 1’ rotieren, so erkennt man, dass aus dem Regentropfen ein Lichtkegel rückwärts zur Sonne wieder austritt, sein Öffnungswinkel ist 2× °42 , also 84°. In Bild 6 sieht man die Gesamtheit der unendlich dicht nebeneinander liegenden Sonnenstrahlen mit allen Einfallswinkeln zwischen 0° und 90°. Es muß es beim Austritt aus dem Tropfen eine Strahlenhäufung unter dem Ablenkwinkel 42° geben, denn es tritt eine Verdichtung auf bei der Annäherung an diese 42° wie auch bei der Abkehr davon. Der Mantel des Lichtkegels sendet mehr Licht zurück als sein Inneres, Bild 7. Infolge ver-schiedener Brechung für die einzelnen Farben – der Brechungsindex ist ja farbabhängig -

Bild 7. Lichtkegel, Mantel besonders hell hat jede im weißen Sonnenlicht enthaltene Farbe einen anderen Winkel der Maximalab-lenkung und entsprechend einen eigenen Kegelmantel. Der halbe Öffnungswinkel für den roten Mantel ist mit 42,3° am größten, der für den violetten am kleinsten, nämlich 40,6°.

Der Regenbogen Das Licht vom Kegelmantel eines Regentropfens kann nur dann ins Auge des Beobachters gelangen, wenn letzteres genau auf einer verlängerten Mantellinie liegt, Bild 8. Das trifft für alle Tropfen zu, die sich gerade auf einem Kreis befinden, dessen Radius im Gesichtsfeld des Beobachters zwischen 42,3° und 40,6° liegt. Weil die Tropfen frei fallen, sind es ständig andere, die diesen Kreis einen Augenblick lang bilden. Wegen des stärker rückstrahlenden Kegelmantels wirken die Tropfen als Lichtquelle und heben sich von ihrem Hintergrund ab.

5

Bild 8. Zur Geometrie. Beobachter, Bogenhöhe, Sonnengegenpunkt In der Regel kommt der Kreis nicht vollständig zustande, ein Teil liegt unter dem Erdboden; man sieht nur einen Kreisbogen, den Regenbogen. Ein zweiter Beobachter, der neben, vor oder hinter dem ersten steht, erhält sein Licht aus anderen Tropfen als dieser. Jeder sieht einen anderen Regenbogen, aber alle sind gleich; man könnte sie aufeinander legen.

Der Sonnengegenpunkt Der Mittelpunkt des Kreises ist der Sonnengegenpunkt G. Das ist der Schnittpunkt des Sonnenstrahls durch das Beobachterauge mit der „Regenwand“, wobei man sich den Regen-schauer aus vielen hintereinander geschichteten Regenwänden vorstellen muß. Daraus folgt sofort, dass es nicht nur einen sondern viele Sonnengegenpunkte gibt; alle liegen auf einer Linie, nämlich dem Sonnenstrahl durch das Auge des Beobachters. Im Bild sind sie mit G’ bezeichnet. Das hinterste G’ liegt am hinteren Ende des Schauers. Zu jedem G’ finden sich Regentropfen, die einen Augenblick lang die Bedingung erfüllen, einen der farbigen Regen-bögen zu bilden; der Beobachter sieht sie unter demselben Winkel, also aufeinander, soweit sie derselben Farbe angehören. In der Skizze ist mit dem Tropfenpaaren

rrzz ', und

vvzz ', ein

Beispiel gegeben. Alle Tropfen, die an derselben Stelle desselben Bogens zur Helligkeit beitragen, gruppieren sich um denselben Lichtstrahl durch das Beobachterauge (s. Erkl. z. Bild 11). Derselbe Tropfen beteiligt sich während seines Falls nacheinander an den Bögen aller Farben.

6

Der Bogenwinkel - Teilkreis, Vollkreis? Aus den Winkeln in Bild 8 folgt, daß es keinen Regenbogen mehr geben kann, wenn die Sonne höher steht als 42,3°. Bei diesem Winkel erhebt sich gerade noch die höchste Stelle des roten Bogens über dem Erdboden, alle anderen Bögen liegen unsichtbar unter Tage. Am Mittag des 21. Juni steht die Sonne bei uns ca. 62° hoch, einen Regenbogen kann es dann nur bis zum frühen Vormittag oder ab dem späten Nachmittag geben. Bei Sonnenauf- oder Untergang kann man einen Bogenwinkel von 180° erleben, einen Halbkreis, und das zu jeder Jahreszeit. Die Sonnenhöhe entscheidet über den Bogenwinkel. Regnet es in eine tiefe Schlucht hinein, an deren Rand man steht, so ist ein sogar ein Vollkreis als Regenbogen möglich. Mancher Pilot müßte einen solchen 360° Grad Bogen schon gesehen haben.

Entfernung des Regenbogens Kann man zum Regenbogen hingehen, um ihn zu fotografieren, vielleicht gar eine Nahauf-nahme machen? Zum Regenschauer kann man gehen und zum Beweis naß werden, der Regenbogen aber bleibt im Unendlichen. Denn wir sehen jede Stelle des Bogens mit jedem Auge unter demselben Winkel zur Sonnenrichtung, z. B. den äußeren Rand des roten Bogens unter 42,5°. Solches Licht ist parallel. Einen Gegenstand in endlicher Entfernung sehen wir mit jedem Auge unter einem anderen Winkel zu einer festen Bezugsrichtung wie der Norma-len auf unserer Stirn. Die Winkeldifferenz, Parallaxe genannt, dient allen Lebewesen mit zwei Augen zur Entfernungsschätzung. Beim Regenbogen ist die Parallaxe Null, er liegt im Un-endlichen. Wer einen Regenbogen fotografieren will, den der Rasensprenger direkt vor ihm erzeugt, muß auch hier das Objektiv auf Unendlich stellen. Die Wassertropfen in wenigen Metern Abstand senden Licht wie aus unendlicher Entfernung.

Einfluß der Tropfengröße Der Lichtweg durch die Regentropfen ist von der Tropfengröße unabhängig, ein Regenbogen sieht für große und kleine Tropfen gleich aus. Das liegt an Brechungs- und Reflexionsgesetz. In beiden kommen nur Winkel vor; wie tief das jeweilige Medium ist, geht in die Richtung reflektierter und gebrochener Lichtstrahlen nicht ein. Und außer diesen beiden Gesetzen wird nichts benutzt, um den Regenbogen zu verstehen. Das ändert sich, wenn die Tropfengröße in die Nähe der Lichtwellenlänge (0,4 – 0,8 mµ )

kommt, zehn Mikrometer reichen schon. Nebeltröpfchen sind so klein, und an ihnen wird das Licht dann gestreut. Es gibt viele Arten von Lichtstreuung, diese heißt Mie-Streuung, benannt nach einem Physiker, der sie erklärt hat. Die Theorie ist sehr kompliziert, und Mitglieder einer Hochtourengruppe müssen sie nicht kennen. Die Trennung nach Farben ist bei der Mie-Streuung nicht annähernd so deutlich wie bei der Brechung. Darum sind „Nebelbögen“ weiß. Daß es trotzdem zum Bogen kommt, liegt an der Kugelform der Streuzentren, den Tröpfchen; sie sorgt für Rotationssymmetrie des Streulichtes.

7

Der Nebenbogen

Bild 9. Lichtweg im Wassertropfen bei Haupt- und Nebenbogen

Wo immer ein Lichtstrahl auf die Grenze zweier Medien trifft, gibt es einen reflektierten und im angrenzenden Medium einen gebrochenen Strahl. Der Strahl, der bei C in Bild 2 infolge Reflexion noch im Tropfen bleibt, um bei D in Bild 9 unter Brechung auszutreten, gestaltet den Nebenregenbogen. Wenn C die Stelle mit der Strahlenhäufung beim Austritt aus dem Tropfen ist, muß auch bei D ein dichtes Strahlenbündel austreten, denn es wird ja von jedem Strahl bei C ein reflektierter Strahl abgezweigt und nach D geschickt. Der Strahlengang im Wassertropfen ist für beide Bögen ähnlich, der Unterschied ist eine zusätzliche Reflexion beim Nebenbogen. Ein Sonnenstrahl, der unter dem Winkelα in den Tropfen eintritt, erzeugt um C und D herum je einen farbigen Fächer austretender Strahlen, von denen jeder unter eben diesem Winkel α den Tropfen wieder verlässt. Die Winkel sind dabei vom Einfallslot an der

8

Austrittsstelle gemessen. Läßt man wieder die Skizze um die Sonnenstrahlen rotieren, erhält man zu jeder Farbe einen Strahlenkegel, und das für Haupt- und Nebenbogen. Alle Öffnungs-winkel sind allerdings verschieden. Gemittelt über die Farben mißt der Austritt bei C 42° zur Sonnenrichtung, der bei D 51°. Entsprechend sind die halben Öffnungswinkel der Kegel 42° und 51°. Damit erreicht der Nebenregenbogen maximal 51° Höhe, nämlich bei Sonnenauf- oder Untergang, und die Sonne darf höchstens 51° hoch stehen. In Bild 10 ist für den Hauptbogen ein Sonnenstrahl gewählt, der in die linke Tropfenhälfte eintritt, für den Nebenbogen ein solcher aus der rechten Hälfte. Dadurch treten die Strahlen, die die beiden Bögen bilden, auf derselben Tropfenseite aus.

Bild 10. Seitenwechsel im Tropfen beim Hauptbogen, kein Wechsel beim Nebenbogen

9

Zwei Unterschiede zwischen Haupt- und Nebenbogen sind noch zu bemerken, nämlich die geringe Helligkeit des Nebenbogens und seine umgekehrte Farbfolge. Licht, welches an einer Grenzfläche Wasser – Luft reflektiert wird, hat nur noch wenige Prozent der Helligkeit des ankommenden Lichtes. Als Folge der zusätzlichen Reflexion muß darum der Nebenbogen viel dunkler sein als der Hauptbogen. Ein dritter Regenbogen, entstanden nach eine weiteren Reflexion und Austritt danach, ist fürs Auge nicht mehr wahrnehmbar. Die umgekehrten Farbfolgen bei Haupt und Nebenbogen sind aus Bild 9 unmittelbar ersichtlich. Die geometrische Konstruktion der Lichtstrahlen, wozu man nur Reflexions- und Brechungsgesetz sowie die Brechzahlen braucht, ergibt auf direktem Weg Austrittsort und Austrittswinkel für jede Farbe bei beiden Bögen. Interessanter ist jedoch die Rechnung, denn sie liefert auch noch den Winkel der größten Ablenkung. Denkt man an einen Wanderer, der an jeder Wegbiegung die Kurskorrektur notiert und später alle addiert, so erhält man für die Winkel 1ψ und 2ψ in Bild 9

αψ =1 βαβαββ 421802180 −+°=−+−°+−

βαβαβββαψ 62360218021802 −+°=−+−°+−°+−=

und für die Winkel δ und ϕ zur Richtung zur Gegensonne

αβψδ 24180 1 −=−°=

βαψϕ 621801802 −+°=°−= .

Den Brechungswinkel β erhält man zu jedem Einfallswinkelα aus dem Brechungsgesetz.

Weiter soll die Rechnung hier nicht geführt werden.

Die Lichtemission eines Tropfens auf dem Weg zum Boden Bild 11 ist eine Momentaufnahme der Regentropfen senkrecht untereinander oder auch ein und desselben Tropfen in verschiedenen Höhen, dann also zu verschiedenen Zeiten. An jeder Stelle emittiert er das gleiche Licht; nicht alle Lichtkegel sind eingezeichnet. In Position 1 erreicht das Licht aus dem Tropfen den Beobachter noch nicht. In Stellung 2 ist der höchste Nebenbogen, der violette, für den Beobachter sichtbar, in Stellung 3 der blaue, und so erscheinen ihm nacheinander alle anderen Nebenbögen. Hat der Tropfen auch die Stellung für den roten durchfallen, so folgt eine Dunkelstrecke, denn zwischen ca. 51° für die farbigen Nebenbögen und rund 42° für die einzelnen Hauptbögen emittiert der Tropfen ja nichts. Dieser Dunkelraum hat einen Namen: Alexanders dunkles Band. Man sieht es bei guten Bedingungen wie in Bild 12 zwischen beiden Bögen. Es sei daran erinnert, daß die Winkel für den Tropfen mit Bezugsrichtung zur Sonne und für den Beobachter zur Gegensonne gemessen werden. In Position 4 ist der Regentropfen so tief gefallen, daß dem Beobachter nacheinander die bunten Hauptregenbögen erscheinen. Unterhalb Stellung 5 ist auch der flachste Hauptbogen vorbei, und das Licht aus dem Inneren des Strahlenkegels (Bild 3) erreicht den Beobachter. Es enthält alle Farben und erleuchtet den Raum innerhalb des violetten Bogens weiß, weil die Farben aus dem Tropfeninneren zu wenig nach Richtung getrennt sind. Das ist auf den Bildern 1 und 12 gut zu erkennen.

10

Bild 11. Lichtemission desselben Tropfens während seines Falles.

In Bild 11 sind einige Regentropfen auf demselben Lichtstrahl gezeichnet. Damit sie des Beobachters Lichteindruck verstärken, müssen sie aber quer zu diesem Lichtstrahl ein wenig versetzt sein, weil ihr Beitrag sonst vom Tropfen davor infolge Brechung abgelenkt wird. Derart versetzte Tropfen sind im Schauer jedoch stets enthalten, das Licht von einer Stelle des Regenbogens kommt aus mehr als einem Tropfen.

11

Bild 12. Regenbogen in Nordnorwegen. Dunkelraum zwischen den Bögen u. Aufhellung unter dem Hauptbogen

erkennbar. Aus Literaturangabe 2

Literatur 1. R. Greenler. Rainbows, Halos, and Glories. Cambridge University Press 1980 2. K. Schlegel. Vom Regenbogen zum Polarlicht. Spektrum Verlag 1995 3. M.Vollmer. Physik in unserer Zeit; Bd.26, 1995, Nr.3, S. 111 - 115 4. Wikipedia. Stichwort Regenbogen, dort ausführliche Literaturangaben