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Der Schild, den es nie gab:Manipulation und Kontrolle in Wahlen mit
„single-peaked“ Präferenzen
Jörg RotheHHU Düsseldorf
Piotr Faliszewski, Edith Hemaspaandra, Lane A. Hemaspaandra, Jörg Rothe.„The Shield that Never Was: Societies with Single-Peaked Preferences are More Open to Manipulation and Control.“ Information and Computation 209(2): 89-107, 2011.
Einige Gebiete der Theoretischen Informatik
Computational Social Choice Bidirektionaler Transfer: Social-Choice-Theorie ➠ Informatik:
Anwendungen in Künstlicher Intelligenz Wählen in Multi-Agenten-Systemen Entscheidungsfindung mit mehreren Kriterien Meta-Suchmaschinen etc.
Informatik ➠ Social-Choice-Theorie: Anwendungen in Social-Choice-Theorie Berechnungsbarriere zur Verhinderung
von Wahlbetrug: Kontrolle Bestechung Manipulation
Software-Agenten können
eine Wahl systematisch
analysieren, um das optimale Verhalten zu
finden
Computational Social Choice
Mit der Kraft der NP-Härte haben Vulkanier Komplexitätsschilde erschaffen, die
Wahlen gegen viele Arten von Wahlmanipulation und Wahlkontrolle
schützen.
Mit der Kraft der NP-Härte haben Vulkanier Komplexitätsschilde
erschaffen, die Wahlen gegen viele Arten von Wahlmanipulation und
Wahlkontrolle schützen.
Computational Social Choice
Heute sehen wir: Komplexitätsschilde können in
„single-peaked“ Gesellschaften „verdunsten“
Wahlen Eine Wahl ist gegeben durch ein Paar (C,V) mit
C ist die Menge der Kandidaten:
V ist die Liste der Wähler. Wähler werden durch ihre Präferenzen über C dargestellt:
entweder als eine lineare Ordnung:
> > > >
oder als ein Approval-Vektor: (1,1,0,0,1)
Wahlsystem: bestimmt aus den Präferenzen die Gewinner.
Wahlsysteme Approval (beliebig viele Kandidaten):
Jede Stimme ist ein Approval-Vektor aus .Alle Kandidaten mit den meisten Punkten sind
Gewinner. Beispiel:
C1,0
v1 1 1 0 0 1
v2 0 1 1 0 0
v3 1 1 0 0 1
v4 0 0 0 1 0
v5 1 0 0 1 1
v6 1 0 0 0 1
Wahlsysteme Approval (beliebig viele Kandidaten):
Jede Stimme ist ein Approval-Vektor aus .Alle Kandidaten mit den meisten Punkten sind
Gewinner. Beispiel:
v1 1 1 0 0 1
v2 0 1 1 0 0
v3 1 1 0 0 1
v4 0 0 0 1 0
v5 1 0 0 1 1
v6 1 0 0 0 1
∑ 4 3 1 2 4
C1,0
Wahlsysteme Approval (beliebig viele Kandidaten): Jede
Stimme ist ein Approval-Vektor aus .Alle Kandidaten mit den meisten Punkten sind
Gewinner. Beispiel:
Gewinner:
v1 1 1 0 0 1
v2 0 1 1 0 0
v3 1 1 0 0 1
v4 0 0 0 1 0
v5 1 0 0 1 1
v6 1 0 0 0 1
∑ 4 3 1 2 4
C1,0
Wahlsysteme Approval (beliebig viele Kandidaten): Jede
Stimme ist ein Approval-Vektor aus .Alle Kandidaten mit den meisten Punkten sind
Gewinner. Scoring-Protokoll (für m Kandidaten):
Jede Stimme ist eine lineare Ordnung. Scoring-Vektor mit . Jeder Wähler gibt dem i-ten Kandidaten Punkte.
),...,,( 21 m m ...21
i
C1,0
Wahlsysteme Approval (beliebig viele Kandidaten): Jede
Stimme ist ein Approval-Vektor aus .Alle Kandidaten mit den meisten Punkten sind
Gewinner. Scoring-Protokoll (für m Kandidaten):
Jede Stimme ist eine lineare Ordnung. Scoring-Vektor mit . Jeder Wähler gibt dem i-ten Kandidaten Punkte. Pluralitätsregel (für m Kandidaten):
j-Approval alias (m-j)-Veto (für m Kandidaten):
Borda (für m Kandidaten):
),...,,( 21 m m ...21
)0,...,0,1(1
m
)0,...,0,1,...,1( jmj
)0,...,2,1( mm
i
C1,0
Wahlsysteme Approval (beliebig viele Kandidaten): Jede
Stimme ist ein Approval-Vektor aus .Alle Kandidaten mit den meisten Punkten sind Gewinner. Scoring-Protokoll (für m Kandidaten): Jede
Stimme ist eine lineare Ordnung. Scoring-Vektor mit . Jeder Wähler gibt dem i-ten Kandidaten Punkte. Pluralitätsregel (für m Kandidaten):
j-Approval alias (m-j)-Veto (für m Kandidaten):
Borda (für m Kandidaten): Pluralitätsregel (bel. Kandidatenzahl): Veto (beliebige Kandidatenzahl):
),...,,( 21 m m ...21
)0,...,0,1(1
m
)0,...,0,1,...,1( jmj
)0,...,2,1( mm
i
C1,0
)0,...,0,1()0,1,...,1(
Kontrolle und Manipulation in Wahlen Mr. Smith möchte jemandem zum Sieg verhelfen (konstruktiv)
oder jemandes Sieg verhindern (destruktiv). Mr. Smith kennt die Stimmen aller Wähler.
In Kontrollszenarien modifiziert Mr. Smith die Wahlstruktur: Hinzufügen/Löschen von Kandidaten Partitionieren von Kandidaten mit/ohne Stichwahl Hinzufügen/Löschen von Wählern Partitionieren von Wählern
In Manipulationsszenarien stimmt eine Koalition von Agenten „strategisch“ ab. Nichtmanipulatoren und Manipulatoren können gewichtet sein. Single-peaked Präferenzen: sowohl Nichtmanipulatoren als auch
Manipulatoren sind single-peaked bzgl. derselben Ordnung L.
Manipulationsresultate in Wahlen
Kontrollresultate in Wahlen
„Single-Peaked“ Präferenzen Eine Liste V von Wählern heißt „single-peaked“, falls
es eine lineare Ordnung L über C gibt, so dass die „Präferenzkurve“ eines jeden Wählers in V zu einem Gipfel steigt und dann fällt (oder nur steigt oder nur fällt).
Eine Liste V von Wählern heißt „single-peaked“, falls es eine lineare Ordnung L über C gibt, so dass die „Präferenzkurve“ eines jeden Wählers in V zu einem Gipfel steigt und dann fällt (oder nur steigt oder nur fällt).
Präferenzkurve
eines Wählers bezüglich galaktischer Steuern
niedrige galaktische Steuern hohe galaktische Steuern
„Single-Peaked“ Präferenzen
Eine Liste V von Wählern heißt „single-peaked“, falls es eine lineare Ordnung L über C gibt, so dass die „Präferenzkurve“ eines jeden Wählers in V zu einem Gipfel steigt und dann fällt (oder nur steigt oder nur fällt).
Präferenzkurve > > >
eines Wählers bezüglich galaktischer Steuern
niedrige galaktische Steuern hohe galaktische Steuern
„Single-Peaked“ Präferenzen
Single-peaked Präferenz ist konsistent mit linearer
Ordnung der Kandidaten
Eine Liste V von Wählern heißt „single-peaked“, falls es eine lineare Ordnung L über C gibt, so dass die „Präferenzkurve“ eines jeden Wählers in V zu einem Gipfel steigt und dann fällt (oder nur steigt oder nur fällt).
Präferenzkurve > > >
eines Wählers bezüglich galaktischer Steuern
niedrige galaktische Steuern hohe galaktische Steuern
„Single-Peaked“ Präferenzen
Diese Präferenz ist inkonsistent zur linearen
Ordnung der Kandidaten
Eine Liste V von Wählern heißt „single-peaked“, falls es eine lineare Ordnung L über C gibt, so dass die „Präferenzkurve“ eines jeden Wählers in V zu einem Gipfel steigt und dann fällt (oder nur steigt oder nur fällt).
Hat jeder Wähler vi in V eine lineare Ordnung >i über C, so heißt das: Für je drei Kandidaten c, d und e gilt
(c L d L e oder e L d L c) impliziert für jedes i:c >i d d >i e.
Single-Peaked Lineare Ordnungen
Eine Liste V von Wählern heißt „single-peaked“, falls es eine lineare Ordnung L über C gibt, so dass die „Präferenzkurve“ eines jeden Wählers in V zu einem Gipfel steigt und dann fällt (oder nur steigt oder nur fällt).
Hat jeder Wähler vi in V eine lineare Ordnung >i über C, so heißt das: Für je drei Kandidaten c, d und e gilt
(c L d L e oder e L d L c) impliziert für jedes i:c >i d d >i e.
Für eine gegebene Liste V linearer Ordnungen über C kann in Polynomialzeit entweder eine lineare Ordnung L erzeugt werden, die bezeugt, dass
V single-peaked ist, oder bestimmt werden, dass V nicht single-peaked ist.
Single-Peaked Lineare Ordnungen
Eine Liste V von Wählern heißt „single-peaked“, falls es eine lineare Ordnung L über C gibt, so dass die „Präferenzkurve“ eines jeden Wählers in V zu einem Gipfel steigt und dann fällt (oder nur steigt oder nur fällt).
Ist jede Stimme vi in V ein Approval-Vektor über C, so heißt das: Für je drei Kandidaten c, d und e gilt
c L d L e impliziert für jedes i:Wenn vi die Kandidaten c und e bestätigt, so auch d.
Für eine gegebene Liste V von Approval-Vektoren über C kann in Polynomialzeit entweder eine lineare Ordnung L erzeugt werden, die bezeugt,
dass V single-peaked ist, oder bestimmt werden, dass V nicht single-peaked ist.
Single-peaked bzgl. dieser Ordnung?
v1 1 1 0 0 1 nein
v2 0 1 1 0 0 ja
v3 1 1 0 0 1 nein
v4 0 0 0 1 0 ja
v5 1 0 0 1 1 nein
v6 1 0 0 0 1 nein
Single-Peaked Approval-Vektoren
Kontrollresultate: Approval-Wahlen
Satz 1: Im Fall von single-peaked Präferenzen sind Approval-Wahlen verletzbar durch konstruktive Kontrolle durch
Hinzufügen von Wählern und Löschen von Wählern.
Satz 1: Im Fall von single-peaked Präferenzen sind Approval-Wahlen verletzbar durch konstruktive Kontrolle durch
Hinzufügen von Wählern und Löschen von Wählern.
Zum Vergleich: Unter allen Kontrolltypen durch Hinzufügen/Löschen von Kandidaten/Wählern gilt im allgemeinen Fall:
allein für die beiden Szenarien oben Resistenz (d.h., das Kontrollproblem ist NP-hart ),
sonst stets Verletzbarkeit (Kontrollproblem ist in P).
Kontrollresultate: Approval-Wahlen
Kontrollresultate: Approval-Wahlen
Satz 1: Im Fall von single-peaked Präferenzen sind Approval-Wahlen verletzbar durch konstruktive Kontrolle durch
Hinzufügen von Wählern und Löschen von Wählern.
Zum Vergleich:
Approval-Wahlen (allgemeiner Fall)
konstruktiv destruktivHinzufügen von Kandidaten Verletzbar VerletzbarLöschen von Kandidaten Verletzbar VerletzbarHinzufügen von Wählern Resistent VerletzbarLöschen von Wählern Resistent Verletzbar
Kontrollresultate: Pluralitätswahlen
Satz 2: Im Fall von single-peaked Präferenzen sind Pluralitätswahlen verletzbar durch konstruktive und destruktive Kontrolle durch
Hinzufügen von Kandidaten und Löschen von Kandidaten.
Kontrollresultate: Pluralitätswahlen
Pluralitätswahlen (allgemeiner Fall)
konstruktiv destruktivHinzufügen von Kandidaten Resistent ResistentLöschen von Kandidaten Resistent ResistentHinzufügen von Wählern Verletzbar VerletzbarLöschen von Wählern Verletzbar Verletzbar
Satz 2: Im Fall von single-peaked Präferenzen sind Pluralitätswahlen verletzbar durch konstruktive und destruktive Kontrolle durch
Hinzufügen von Kandidaten und Löschen von Kandidaten.
Zum Vergleich:
Manipulation: NP-Härte-Schilde entfernen
Satz 3: Im Fall von single-peaked Präferenzen ist das Constructive Coalition Weighted Manipulation Problem (CCWMP) für jedes der folgenden Wahlsysteme in P:
Das Scoring-Protokoll , also Borda für 3 Kandidaten.
Jedes Scoring-Protokoll , .
Veto.
)0,1,2(
)0,...,0,1,...,1( ji
ji
Manipulation: NP-Härte-Schilde entfernen
Satz 3: Im Fall von single-peaked Präferenzen ist das Constructive Coalition Weighted Manipulation Problem (CCWMP) für jedes der folgenden Wahlsysteme in P:
Das Scoring-Protokoll , also Borda für 3 Kandidaten.
Jedes Scoring-Protokoll , .
Veto.
Zum Vergleich: Borda für 3 Kandidaten, Veto und die „ “-Fälle von
, , sind NP-vollständig,
die übrigen Fälle sind in P.
)0,1,2(
)0,...,0,1,...,1( ji
ji
12 ji)0,...,0,1,...,1(
ji
ji
Manipulation: NP-Härte-Schilde entfernen
Satz 4: Im Fall von single-peaked Präferenzen ist das CCWMP für 3-Veto mit m Kandidaten:
in P, falls m in {3, 4, 6, 7, 8, …}, und
NP-vollständig, falls m = 5.
Manipulation: NP-Härte-Schilde entfernen
Satz 4: Im Fall von single-peaked Präferenzen ist das CCWMP für 3-Veto mit m Kandidaten:
in P, falls m in {3, 4, 6, 7, 8, …}, und
NP-vollständig, falls m = 5.
Zum Vergleich: Im allgemeinen Fall ist das CCWMP: für 3-Veto mit 3 oder 4 Kandidaten in P und
NP-vollständig für 5 oder mehr Kandidaten.
Manipulation: NP-Härte-Schilde bleiben
Satz 5: Im Fall von single-peaked Präferenzen ist das CCWMP ist NP-vollständig für:
das Scoring-Protokoll und das Scoring-Protokoll ,
also Borda für 4 Kandidaten.
Zum Vergleich: Im allgemeinen Fall ist das CCWMP in diesen Fällen NP-vollständig.
)0,1,3()0,1,2,3(
Manipulation: NP-Härte-Schilde aufstellen
Kann die Einschränkung auf single-peaked Präferenzen jemals ein Komplexitätsschild aufstellen?
AllgemeinerFall
Single-peakedFall
Manipulation: NP-Härte-Schilde aufstellen
Kann die Einschränkung auf single-peaked Präferenzen jemals ein Komplexitätsschild aufstellen?
Satz 6: Es gibt ein Wahlsystem, dessen Wähler durch Approval-Vektoren dargestellt sind, für das das Constructive Size-3-Coalition Unweighted Manipulation Problem:
im allgemeinen Fall in P ist, aber im Fall von single-peaked Präferenzen NP-vollständig.
AllgemeinerFall
Single-peakedFall
Manipulation: Ein Dichotomie-Resultat
Satz 7: Betrachte ein Scoring-Protokoll mit 3 Kandidaten: Im Fall von single-peaked Präferenzen ist das CCWMP: NP-vollständig, falls
gilt, aber sonst in P.
),,,( 321 .321
02 3231
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
Satz 1: Im Fall von single-peaked Präferenzen sind Approval-Wahlen verletzbar durch konstruktive Kontrolle durch
Hinzufügen von Wählern und Löschen von Wählern.
Wir zeigen dies für: Konstruktive Kontrolle durch Hinzufügen von Wählern. Im „unique-winner“-Modell dieses Kontrollszenarios. Im „succinct input“-Modell.
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
Satz 1: Im Fall von single-peaked Präferenzen sind Approval-Wahlen verletzbar durch konstruktive Kontrolle durch
Hinzufügen von Wählern und Löschen von Wählern.
Ziel: Ein Polynomialzeit-Algorithmus, der für die Eingabe: Listen V und W von Stimmen über der Kandidatenmenge C, die
alle single-peaked bzgl. der linearen Ordnung L sind, Kandidat p in C und Anzahl K der Wähler aus W, die hinzugefügt werden dürfen,
entscheidet, ob p durch Hinzufügen von höchstens K Wählern aus W zum eindeutigen Gewinner gemacht werden kann.
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
1
1
473
95
2
Anzahl der Approvals von Wählern in V
Kandidaten sind:
Wähler in W, die hinzugefügt werden dürfen (mit Anzahlen des jeweiligen Wählertyps)
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
1
1
473
95
2 Welche Typen von Wählern aus W sollten wir hinzufügen? Vor allem, wenn sie unvergleichbar sind?
Wähler in W, die hinzugefügt werden dürfen (mit Anzahlen des jeweiligen Wählertyps)
Anzahl der Approvals von Wählern in V
Kandidaten sind:
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
1
1
473
95
2 Diese Frage behandeln wir
mit einem „schlauen“
Greedy-Algorithmus.
Wähler in W, die hinzugefügt werden dürfen (mit Anzahlen des jeweiligen Wählertyps)
Anzahl der Approvals von Wählern in V
Kandidaten sind:
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
1
1
473
95
2 Warum sind F, C, B, c, f und j gefährlich, aber die übrigen Kandidaten können ignoriert werden?
Wähler in W, die hinzugefügt werden dürfen (mit Anzahlen des jeweiligen Wählertyps)
Anzahl der Approvals von Wählern in V
Kandidaten sind:
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
1
1
473
95
2 Jede hinzugefügte Stimme wird ein
Intervall mit p sein. Alle anderen
können also wir wegwerfen.
Wähler in W, die hinzugefügt werden dürfen (mit Anzahlen des jeweiligen Wählertyps)
Anzahl der Approvals von Wählern in V
Kandidaten sind:
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
1
1
473
2 Schlägt durch Hinzufügen von Stimmen aus W
p nun c, dann muss p auch a
und b schlagen.
Wähler in W, die hinzugefügt werden dürfen (mit Anzahlen des jeweiligen Wählertyps)
Anzahl der Approvals von Wählern in V
Kandidaten sind:
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
1
1
473
2 Also ist c ein gefährlicher
Rivale für p, aber a und b können
gefahrlos ignoriert werden.
Wähler in W, die hinzugefügt werden dürfen (mit Anzahlen des jeweiligen Wählertyps)
Anzahl der Approvals von Wählern in V
Kandidaten sind:
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
1
1
473
2 Ebenso ist f gefährlich, aber d und e können
gefahrlos ignoriert werden.
Wähler in W, die hinzugefügt werden dürfen (mit Anzahlen des jeweiligen Wählertyps)
Anzahl der Approvals von Wählern in V
Kandidaten sind:
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
1
1
473
2 Ebenso ist j gefährlich, aber
g, h und i können gefahrlos
ignoriert werden.
Wähler in W, die hinzugefügt werden dürfen (mit Anzahlen des jeweiligen Wählertyps)
Anzahl der Approvals von Wählern in V
Kandidaten sind:
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
1
1
473
2 Hey, warum machst du das Schritt für Schritt? Sag‘ doch einfach,j ist gefährlich und ignoriere a, …, i.
Wähler in W, die hinzugefügt werden dürfen (mit Anzahlen des jeweiligen Wählertyps)
Anzahl der Approvals von Wählern in V
Kandidaten sind:
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
1
1
473
2 Nein!
Schau nur, was passiert, wenn wir 6 Stimmen
des Typs mit Anzahl 7
hinzufügen!
Wähler in W, die hinzugefügt werden dürfen (mit Anzahlen des jeweiligen Wählertyps)
Anzahl der Approvals von Wählern in V
Kandidaten sind:
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
1
1
413
2 Wähler in W, die hinzugefügt werden dürfen (mit Anzahlen des jeweiligen Wählertyps)
Nein! Schau nur, was
passiert, wenn wir 6 Stimmen
des Typs mit Anzahl 7
hinzufügen!
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
1
1
473
2 OK, das ist nicht unlogisch. Aber wie funktioniert dein „schlauer“ Greedy-Algorithmus?
Wähler in W, die hinzugefügt werden dürfen (mit Anzahlen des jeweiligen Wählertyps)
Anzahl der Approvals von Wählern in V
Kandidaten sind:
Schlauer Greedy-Algorithmus OK, dafür brauche ich erst mal mehr Platz!
Schlauer Greedy-Algorithmus OK, dafür brauche ich erst mal mehr Platz! Beim Schlauen Greedy fressen wir uns durch alle gefährlichen
Rivalen rechts von p, zuerst den am weitesten links: c. Um eindeutiger Gewinner zu werden, muss p insbesondere c
schlagen. Nur Stimmen in W, deren rechte Endpunkte in [p,c) fallen,
können helfen. Sei B die Liste dieser Stimmen. Wähle die Stimmen aus B, deren linker Endpunkt am weitesten
rechts ist. Das ist eine absolut sichere Strategie!
Schlauer Greedy-Algorithmus
1
1
473
2 Wähler in W, die hinzugefügt werden dürfen (mit Anzahlen des jeweiligen Wählertyps)
Schlauer Greedy-Algorithmus
1
1
2 Wähler in B, die hinzugefügt werden dürfen (mit Anzahlen des jeweiligen Wählertyps)
Schlauer Greedy-Algorithmus
1
0
2 Wähler in B, die hinzugefügt werden dürfen (mit Anzahlen des jeweiligen Wählertyps)
Schlauer Greedy-Algorithmus
1
Erster Rivale
geschlagen
1 Wähler in B, die hinzugefügt werden dürfen (mit Anzahlen des jeweiligen Wählertyps)
Schlauer Greedy-Algorithmus OK, dafür brauche ich erst mal mehr Platz! Beim Schlauen Greedy fressen wir uns durch alle gefährlichen
Rivalen rechts von p, zuerst den am weitesten links: c. Um eindeutiger Gewinner zu werden, muss p insbesondere c
schlagen. Nur Stimmen in W, deren rechte Endpunkte in [p,c) fallen,
können helfen. Sei B die Liste dieser Stimmen. Wähle die Stimmen aus B, deren linker Endpunkt am weitesten
rechts ist. Das ist eine absolut sichere Strategie! Iteriere. Gibt es keine gefährlichen Kandidaten rechts von p mehr,
dann spiegele die lineare Ordnung L der Kandidaten und erledige die übrigen gefährlichen Kandidaten, bis entweder p eindeutiger Gewinner (Ausgabe: „Ja“) oder das Limit K erreicht ist (Ausgabe: „Nein“).
Zusammenfassung
In Wahlen mit single-peaked Präferenzen: „verdunsten“ viele Komplexitätsschilde gegen
Wahlkontrolle und –manipulation, andere bleiben am Platz und neue Schilde können sogar aufgestellt werden.
Bei der Auswahl eines Wahlsystems für Wahlen mit single-peaked Präferenzen darf man sich nicht auf solche „allgemeinen“ Komplexitätsschilde verlassen!
Vielen Dank!
Einen Moment
bitte! Erst noch die
Animationen abwarten!