Der t-Test 07_ttest(2)1 Gliederung t-Test für unabhängige Stichproben – Beispielrechnung 1: Optimismus und Lebensalter – Beispielrechnung 2: Gedächtnisexperiment:

Der t-Test

07_ttest(2) 1

Gliederung • t-Test für unabhängige Stichproben

– Beispielrechnung 1: Optimismus und Lebensalter– Beispielrechnung 2: Gedächtnisexperiment: „Levels of Processing“– SPSS

• t-Tests für abhängige Stichproben– Was sind abhängige Stichproben?– Berechnung des t-Werts– Beispielrechnung: Veränderung der Einstellung zur Psychologie– SPSS

• Eingruppen t-Test – Berechnung des t-Werts– Beispielrechnung: IQ-Test– SPSS

t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1

07_ttest(2) 2

Beispielrechnung 1• Fragestellung:

– Sind ältere Menschen optimistischer als jüngere Menschen?

• Methode:– Mittelwertsvergleich mit einem t-Test für unabhängige Stichproben– Zwei kleine Stichproben:5 junge Erwachsene und 5 ältere Erwachsene


07_ttest(2) 3

Hypothesen• gerichtet oder ungerichtet?

– Bisherige Studien geben Hinweise auf „positives Denken“ bei älteren Erwachsen

– Also: Gerichtete Hypothese!

• Inhaltliche Formulierung:– „Ältere Erwachsene sind optimistischer als jüngere

Erwachsene.“

• Formale Schreibweise:– H0: μalt ≤ μjung

– H1: μalt > μjung

(1) Formulierung der Hypothesen

(2) Operationalisierung(3) Erfassung des

Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben

(4) Berechnung der Mit-telwerte

(5) Schätzung der Populations-varianzen

(6) Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz

(7) Berechnung des empirischen t-Werts

(8) Bestimmung des kritischen t-Werts

(9) Entscheidung überH0 und H1


07_ttest(2) 4

Operationalisierung• Das gemessene Merkmal wird als abhängige

Variable (AV) bezeichnet– In diesem Fall wird der Life Orientation Test (LOT) als

AV verwendet.– Wertebereich 6 (pessimistisch) bis 30 (optimistisch)– Die AV muss intervallskaliert und normalverteilt sein.

• Die Gruppenvariable wird als unabhängige Variable (UV) bezeichnet.– Die UV gibt die Gruppenzugehörigkeit an:

• „jung“: 20-25 Jahre• „alt“: 60-65 Jahre

– Die UV ist nominalskaliert

• Es wird nun überprüft, ob die AV von der UV abhängt.











07_ttest(2) 5

Erfassung des Merkmals

Mittelwerte










jung alt

13 20

15 14

14 17

11 18

17 16

145

70

5

1711141513

jungx

175

85

5

1618171420

altx


07_ttest(2) 6

Populationsvarianzen(1) Formulierung der Hypothesen









jung (x-14)² alt (x-17)²

13 1 20 9

15 1 14 9

14 0 17 0

11 9 18 1

17 9 16 1

54

20

4

99011ˆ 2

jung

54

20

4

11099ˆ 2

alt


07_ttest(2) 7

Standardfehler der Mittelwertsdifferenz

• Was gibt der Standardfehler an?– Die Standardabweichung der resultirenden

Mittelwertsdifferenzen, wenn immer wieder neue Stichproben gezogen würden.










41.125

5

5

5

ˆˆˆ

2

22

1

21

21

NNxx


07_ttest(2) 8

Der empirische t-Wert

• Hinweise– Bei einer gerichteten Hypothese sollte die Differenz

immer so gebildet werden, dass der als kleiner erwartete Wert von größeren Wert subtrahiert wird.

– Wenn die Hypothese zutrifft, muss der empirische t-Wert dann positiv sein.

– Bei einer ungerichteten Hypothese spielt die Richtung der Subtraktion keine Rolle.










2.1341.1

38 t

2mit ,ˆ 21

21

21

NNdfxx

dftxx


07_ttest(2) 9

Der kritische t-Wert(1) Formulierung der Hypothesen









p=.800 p=.900 p=.950 p=.975 p=.9901 1,376 3,078 6,314 12,706 31,821 63,6572 1,061 2,920 2,920 4,303 6,965 9,9253 0,978 2,353 2,353 3,182 4,541 5,8414 0,941 2,132 2,132 2,776 3,747 4,6045 0,920 2,015 2,015 2,571 3,365 4,0326 0,906 1,943 1,943 2,447 3,143 3,7077 0,896 1,895 1,895 2,365 2,998 3,4998 0,889 1,860 1,860 2,306 2,896 3,3559 0,883 1,833 1,833 2,262 2,821 3,250

10 0,879 1,812 1,812 2,228 2,764 3,16920 0,860 1,725 1,725 2,086 2,528 2,84530 0,854 1,697 1,697 2,042 2,457 2,75040 0,851 1,684 1,684 2,021 2,423 2,70450 0,849 1,676 1,676 2,009 2,403 2,67860 0,848 1,671 1,671 2,000 2,390 2,66070 0,847 1,667 1,667 1,994 2,381 2,64880 0,846 1,664 1,664 1,990 2,374 2,63990 0,846 1,662 1,662 1,987 2,368 2,632

100 0,845 1,660 1,660 1,984 2,364 2,626200 0,843 1,653 1,653 1,972 2,345 2,601

1000 0,842 1,646 1,646 1,962 2,330 2,581

df p=.995


07_ttest(2) 10

Der kritische t-Wert• Auswahl der Spalte:

– Einseitige Testung: p=.95– Zweiseitige Testung: p=.975

• Was tun, wenn die Zeile für die erforderten Freiheitsgrade in der Tabelle fehlt?– 1. Möglichkeit: Zeile oberhalb nehmen. Das ist ein

konservatives Vorgehen; der Test wird im Zweifel wird der Test weniger schnell signifikant.

– 2. Möglichkeit: Interpolieren










highkritlowkritlowhigh

lowhighkritkrit dftdft

dfdf

dfdfdftdft

71.170.173.14.070.1

30202030

20243024

kritkritkritkrit tttt


07_ttest(2) 11

• Ergebnisse:– temp(8)=2.13– tkrit(8)=1.86

• Fazit:– Weil temp > tkrit, wird die H0 verworfen, und die H1

angenommen.– Es wurde also gezeigt, dass ältere Menschen

optimistischer sind als jüngere.

• Wie sähe das Ergebnis aus, wenn eine ungerichtete Hypothese formuliert worden wäre?











07_ttest(2) 12

Beispielrechnung 2• Fragestellung:

– Beeinflusst die Verarbeitungstiefe (strukturell vs. semantisch) die Erinnerungsleistung?

• Methode:– Stichprobe: Ihr Semester– Anzahl korrekt erinnerter Wörter im Free Recall Test.– Mittelwertsvergleich mit einem t-Test für unabhängige Stichproben


07_ttest(2) 13

Hypothesen• gerichtet oder ungerichtet?

– Gerichtete Hypothese: Besserer Erinnerung bei semantischer Verarbeitung

• Formale Schreibweise:– H0: μsem ≤ μstruk

– H1: μsem > μstruk











07_ttest(2) 14

Operationalisierung• Abhängige Variable (AV)

– Anzahl korrekt erinnerter Wörter minus Anzahl falsch erinnerter Wörter

• Unabhängige Variable (UV)– semantische Verarbeitung: Bildhaftigkeit beurteilen– strukturelle Verarbeitung: Vokale zählen











07_ttest(2) 15

Erfassung des Merkmals(1) Formulierung der Hypothesen









sem. struk9 113 912 118 2… …

Bedingung N Mittelwert Varianzemotionaler Gehalt mem 28 9,8214 29,115

Gültige Werte (Listenweise) 28

mentales Bild mem 26 11,9615 24,438Gültige Werte (Listenweise) 26

Vokale mem 23 5,2609 16,202Gültige Werte (Listenweise) 23


07_ttest(2) 16

Standardfehler der Mittelwertsdifferenz(1) Formulierung der Hypothesen









28.1

64.1

23

20.16

26

44.24

ˆˆˆ

2

22

1

21

21

NNxx


07_ttest(2) 17

Der empirische t-Wert(1) Formulierung der Hypothesen









22.528.1

70.647 t

2mit ,ˆ 21

21

21

NNdfxx

dftxx


07_ttest(2) 18

Der kritische t-Wert(1) Formulierung der Hypothesen









p=.800 p=.900 p=.950 p=.975 p=.9901 1,376 3,078 6,314 12,706 31,821 63,6572 1,061 2,920 2,920 4,303 6,965 9,9253 0,978 2,353 2,353 3,182 4,541 5,8414 0,941 2,132 2,132 2,776 3,747 4,6045 0,920 2,015 2,015 2,571 3,365 4,0326 0,906 1,943 1,943 2,447 3,143 3,7077 0,896 1,895 1,895 2,365 2,998 3,4998 0,889 1,860 1,860 2,306 2,896 3,3559 0,883 1,833 1,833 2,262 2,821 3,250

10 0,879 1,812 1,812 2,228 2,764 3,16920 0,860 1,725 1,725 2,086 2,528 2,84530 0,854 1,697 1,697 2,042 2,457 2,75040 0,851 1,684 1,684 2,021 2,423 2,70450 0,849 1,676 1,676 2,009 2,403 2,67860 0,848 1,671 1,671 2,000 2,390 2,66070 0,847 1,667 1,667 1,994 2,381 2,64880 0,846 1,664 1,664 1,990 2,374 2,63990 0,846 1,662 1,662 1,987 2,368 2,632

100 0,845 1,660 1,660 1,984 2,364 2,626200 0,843 1,653 1,653 1,972 2,345 2,601

1000 0,842 1,646 1,646 1,962 2,330 2,581

df p=.995


07_ttest(2) 19

• Ergebnisse:– temp(47) = 5.22– tkrit(47) = 1.68

• Fazit:– Weil temp > tkrit, wird die H0 verworfen, und die H1

angenommen.– Es wurde also gezeigt, dass die semantische

Verarbeitung die Erinnerungsleistung steigert

• Wie sähe das Ergebnis aus, wenn eine ungerichtete Hypothese formuliert worden wäre?










SPSS Datensatz

Der t-Test für unabhängige Stichproben in SPSS

07_ttest(2) 20

SPSS Befehl

Menu-Befehl:> Analysieren> Mittelwerte vergleichen> T-Test bei unabhängigen

Stichproben

07_ttest(2) 21

SPSS Befehl

07_ttest(2) 22

Menu-Befehl:> Testvariable (AV) aus-

wählen> Gruppenvariable (UV)

auswählen> Gruppen definieren> OK

SPSS Befehl

07_ttest(2) 23

Syntax-Befehl:

• Befehl: test groups • UV: Gruppe • AV: lot

test groups Gruppe (1,2) /var lot.

• Im Ausgabefenster werden zunächst deskriptive Statistiken für beide Gruppen ausgegeben.

SPSS Ausgabe

07_ttest(2) 24

Gruppenstatistiken

Alter N MittelwertStandardabwe

ichung

Standardfehler des

MittelwertesOptimismus Jung 5 14,0000 2,23607 1,00000

Alt 5 17,0000 2,23607 1,00000

SPSS Ausgabe

07_ttest(2) 25

Test bei unabhängigen Stichproben

Levene-Test der Varianzgleichheit T-Test für die Mittelwertgleichheit

FSignifika

nz T dfSig. (2-seitig)

Mittlere Differenz

Standardfehler der

Differenz

95% Konfidenzintervall

der Differenz

Untere ObereOptimismus Varianzen sind

gleich ,000 1,000 -2,121 8 ,067 -3,00000 1,41421 -6,26118 ,26118

Varianzen sind nicht gleich -2,121 8,000 ,067 -3,00000 1,41421 -6,26118 ,26118

• Es wird immer die Voraussetzung der Varianzhomogenität überprüft (Levene-Test)– H0: Varianzen sind gleich– H1: Varianzen sind unterschiedlich– Bei Signifikanz wird die errechnete Wahrscheinlichkeit angezeigt– Es gilt: bei p<.05 wird die H0 verworfen

SPSS Ausgabe

07_ttest(2) 26

Test bei unabhängigen Stichproben


FSignifika


Mittlere Differenz

Standardfehler der

Differenz


der Differenz

Untere ObereOptimismus Varianzen sind

gleich ,000 1,000 -2,121 8 ,067 -3,00000 1,41421 -6,26118 ,26118

Varianzen sind nicht gleich -2,121 8,000 ,067 -3,00000 1,41421 -6,26118 ,26118

• Wenn der Levene Test nicht signifikant ist (p≥.05), wird das Ergebnis des t-Tests aus der obere Zeile abgelesen.

• Bei einem signifikanten Ergebnis (p<.05) wird die untere Zeile verwendet.

• Hier wird der Test „korrigiert“

SPSS Ausgabe

07_ttest(2) 27

• Die Spalte „T“ zeigt den empirischen t-Wert• Ein kritischer t-Wert wird nicht angezeigt.• Stattdessen wird (bei Sig. (2-seitig)) exakt angegeben, wie viel

Prozent der t-Verteilung außerhalb des empirischen t-Werts liegen.

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

temp-temp

p/21-pp/2

SPSS Ausgabe

07_ttest(2) 28

• Beim 2-seitigen Test (ungerichtete H1) gilt:– Wenn p≤.05 (bzw. p<α), ist das Ergebnis signifikant, die H0 wird verworfen– Wenn p>.05 (bzw. p>α), ist das Ergebnis nicht signifikant, die H0 wird

beibehalten.

• Beim 1-seitigen Test (gerichtete H1) muss p umgerechnet werden:– Da nur noch die rechte Fläche interessiert, die Ergebnis-Wahrscheinlichkeit

nun p/2

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

temp-temp

p/21-pp/2

SPSS Ausgabe

07_ttest(2) 29

• Daher gilt beim 1-seitigen Test:– Wenn p≤.10 (bzw. p/2 < α) und die Mittelwertsdifferenz in die erwartete

Richtung weist, ist das Ergebnis signifikant, die H0 wird verworfen– Wenn p>.10 (bzw. p/2>α), ist das Ergebnis nicht signifikant, die H0 wird

beibehalten.

• Weil wir eine gerichtete Hypothese hatten, ist das vorliegende Ergebnis also signifikant.

• Bei zweiseitiger Testung wäre es nicht signifikant.

SPSS Ausgabe

07_ttest(2) 30

Beispiel: Gedächtnisleistung bei semantischer vs. struktureller Verarbeitung

Gruppenstatistiken

Bedingung N MittelwertStandardabwe

ichung

Standardfehler des

Mittelwertesmem mentales Bild 26 11,9615 4,94353 ,96951

Vokale 23 5,2609 4,02512 ,83930


FSignifika


Mittlere Differenz

Standardfehler der

Differenz


der DifferenzUntere Obere

mem Varianzen sind gleich

,915 ,344 5,160 47 ,000 6,70067 1,29868 4,08807 9,31327

Varianzen sind nicht gleich

5,225 46,704 ,000 6,70067 1,28232 4,12053 9,28081

SPSS Ausgabe

07_ttest(2) 31

Beispiel: Gedächtnisleistung bei bildhafter vs. emotionaler Verarbeitung

Test bei unabhängigen StichprobenLevene-Test der Varianzgleichheit T-Test für die Mittelwertgleichheit

FSignifika


Mittlere Differenz

Standardfehler der

Differenz


der DifferenzUntere Obere

mem Varianzen sind gleich

,029 ,866 -1,516 52 ,136 -2,14011 1,41169 -4,97287 ,69265

Varianzen sind nicht gleich

-1,521 51,993 ,134 -2,14011 1,40704 -4,96355 ,68333

Gruppenstatistiken

Bedingung N MittelwertStandardabweichung

Standardfehler des

Mittelwertesmem emotionaler Gehalt 28 9,8214 5,39584 1,01972

mentales Bild 26 11,9615 4,94353 ,96951

Abhängige Stichproben

Der t-Test für abhängige Stichproben• Stichproben werden als abhängig bezeichnet, wenn die Ziehung

eines Merkmalsträgers in die erste Stichprobe die Zugehörigkeit eines Merkmalsträgers zur zweiten Stichprobe beeinflusst.

• Bei abhängigen Stichproben sind die Werte zweier Stichproben sich einander paarweise zugeordnet.– Bei abhängigen Stichproben sind beide Teilstichproben immer gleich groß!

• Abhängige Stichproben ergeben sich durch Messwiederholung oder Parallelisierung bzw. Matching.

07_ttest(2) 32


• Messwiederholung liegt dann vor, wenn das gleiche Merkmal zweimal (oder mehrmals) bei den gleichen Personen erhoben wird.

• Beispiele– Vergleich der Gedächtnisleistung in zwei Lernbedingungen– Bestimmung der psychischen Gesundheit vor und nach einer Therapie– Bestimmung der Kommunikationsfähigkeit vor und nach einem Training.

07_ttest(2) 33


• Beim Matching wird jeder Person der Stichprobe 1 einer Person der Stichprobe 2 zugeordnet.

• Beispiele– Vergleich der Persönlichkeit von Ehepartnern– Vergleich der Schulleistung von älteren vs. jüngeren Geschwistern.– Vergleich der Arbeitszufriedenheit zwischen zwei Abteilungen

• Bei der Parallelisierung werden Jeweils 2 Personen, die sich ähnlich sind einander zugeordnet.

• Warum parallelisiert man Stichproben?– Ein Test für abhängige Stichproben hat eine höhere Power (Teststärke), d.h.

es ist wahrscheinlicher, dass ein bestehender Unterschied nachgewiesen werden kann!

– Dies gilt aber nur, wenn die Paare wirklich jeweils ähnliche Werte aufweisen

07_ttest(2) 34


• Beispielrechnung: Verändert sich die Einstellung zum Studienfach Psychologie innerhalb der ersten 6 Wochen des Studiums?

• AV: Einstellung zum Studium Psychologie (Wertebereich 5 bis 25)• UV: Messzeitpunkt (1. Woche vs. 6. Woche)

07_ttest(2) 35

Vp 1. Woche 6. Woche

1 16 20

2 18 19

3 23 23

4 14 16

… …

mean 19.67 18.98


• Für jede Person kann die Differenz der Messwerte berechnet werden (Einstellungsänderung)

07_ttest(2) 36

Vp 1. Woche 6. Woche D=x2-x1

1 16 20 4

2 18 19 1

3 23 23 0

4 16 14 -2

… … …

mean 19.67 18.98 .68

Hypothesen

• Die statistischen Hypothesen des t-Test für abhängige Stichproben beziehen sich auf den Mittelwert der Differenzen aller Personen

– Vorteil: Es ist nun unerheblich, ob innerhalb der Messzeitpunkte große Varianz gegeben ist.

• Ungerichtete Hypothese:– H0: μd = 0– H1: μd ≠ 0

• Gerichtet Hypothese (1):– H0: μd ≤ 0– H1: μd > 0

• Gerichtet Hypothese (2):– H0: μd ≥ 0– H1: μd < 0

07_ttest(2) 37

Standardfehler und t-Wert

• Um die empirisch gefundene Differenz beurteilen zu können, wird der Standardfehler benötigt

• Mit dem Standardfehler kann nun ein empirischer t-Wert berechnet werden:

07_ttest(2) 38

Nd

d

xx

ˆˆ

1

)(ˆ 1

2

N

xxmit

N

iddi

xd

1mit ˆ

Ndfx

dftdx

d


Im Beispieldatensatz:

• Es ergibt sich :

07_ttest(2) 39

89.136.0

68.059 t

60

78.2ˆ

68.0

N

x

dx

d

36.060

78.2ˆ

dx

Kritischer t-Wert & Interpretation

• temp(59) = 1.89

• tkrit(59) = ?– Offene Fragestellung zweiseitiger Test

– α = .05

• Interpretation:– temp< tkrit

– Also: Kein bedeutsamerUnterschied!

07_ttest(2) 40

p=.800 p=.900 p=.950 p=.975 p=.9901 1,376 3,078 6,314 12,706 31,821 63,6572 1,061 2,920 2,920 4,303 6,965 9,9253 0,978 2,353 2,353 3,182 4,541 5,8414 0,941 2,132 2,132 2,776 3,747 4,6045 0,920 2,015 2,015 2,571 3,365 4,0326 0,906 1,943 1,943 2,447 3,143 3,7077 0,896 1,895 1,895 2,365 2,998 3,4998 0,889 1,860 1,860 2,306 2,896 3,3559 0,883 1,833 1,833 2,262 2,821 3,250

10 0,879 1,812 1,812 2,228 2,764 3,16920 0,860 1,725 1,725 2,086 2,528 2,84530 0,854 1,697 1,697 2,042 2,457 2,75040 0,851 1,684 1,684 2,021 2,423 2,70450 0,849 1,676 1,676 2,009 2,403 2,67860 0,848 1,671 1,671 2,000 2,390 2,66070 0,847 1,667 1,667 1,994 2,381 2,64880 0,846 1,664 1,664 1,990 2,374 2,63990 0,846 1,662 1,662 1,987 2,368 2,632

100 0,845 1,660 1,660 1,984 2,364 2,626200 0,843 1,653 1,653 1,972 2,345 2,601

1000 0,842 1,646 1,646 1,962 2,330 2,581

df p=.995

SPSS Datensatz

• Beim t-Test für abhängige Stich- proben gibt es 2 abhängige Variablen (psycho1 und psycho2).

• In jeder Zeile MÜSSEN die Werte der selben VP stehen!

• Dafür habe ich den Code auf den Fragebögen verwendet

07_ttest(2) 41

SPSS Befehl

Menu-Befehl:> Analysieren> Mittelwerte vergleichen> T-Test bei verbundenen

Stichproben

07_ttest(2) 42

SPSS Befehl

07_ttest(2) 43

Menu-Befehl:> Beide AVs aus-

wählen> Als Variablenpaar

anwählen> OK

SPSS Befehl

07_ttest(2) 44

Syntax-Befehl:

• Befehl: test paired• AVs: psycho1 und psycho2

test paired psycho1 with psycho2.

• Im Ausgabefenster werden zunächst deskriptive Statistiken für beide Variablen ausgegeben.

• Die Tabelle zu den Korrelationen können Sie zunächst ignorieren

SPSS Ausgabe

07_ttest(2) 45

Statistik bei gepaarten Stichproben

Mittelwert N StandardabweichungStandardfehler des

MittelwertesPaaren 1 psycho1 19,6667 60 2,99529 ,38669

psycho2 18,9833 60 3,24425 ,41883

N Korrelation SignifikanzPaaren 1 psycho1 & psycho2

60 ,606 ,000

SPSS Ausgabe

07_ttest(2) 46

• Die dritte Tabelle enthält das Testergebnis:• Bei 2-seitigen Tests gilt:

– Wenn p≤α wird die H0 verworfen– Wenn p>α wird die H0 beibehalten

• Bei 1-seitigen Tests gilt:– Wenn p/2 ≤ α wird die H0 verworfen– Wenn p/2 >α wird die H0 beibehalten

Test bei gepaarten Stichproben

Gepaarte Differenzen

Mittelwert

Standardabweichung

Standardfehler des

Mittelwertes

95% Konfidenzintervall der Differenz

T dfSig. (2-seitig)Untere Obere

Paaren 1 psycho1 - psycho2

,68333 2,77697 ,35851 -,03403 1,40070 1,906 59 ,062

Eingruppen t-Test

Der Eingruppe t-Test

• Ziel: Vergleich des Mittelwerts einer Stichprobe mit einem vorgegebenen (konstanten) Wert.

• Beispiele:- Es wir überprüft, ob eine bestimmte Personengruppe sich in ihrer

Intelligenz vom Populationsmittelwert (100) unterscheidet.

- Es wird überprüft, ob sich die tatsächliche Studiendauer von der Regelstudienzeit unterscheidet.

- Es wird überprüft, ob sich die Differenz von Reaktionszeiten in zwei Bedingungen von Null unterscheidet.

07_ttest(2) 47

Eingruppen t-Test

Voraussetzungen

• Normalverteilung des Merkmals

• Intervalskalenniveau des Merkmals

• Es handelt sich um eine Zufallsstichprobe

07_ttest(2) 48

Eingruppen t-Test

Statistische Hypothesen• Ungerichtete Hypothese:

– H0: μ = c– H1: μ ≠ c

• Gerichtet Hypothese (1):– H0: μ ≤ c– H1: μ > c

• Gerichtet Hypothese (2):– H0: μ ≥ c– H1: μ < c

07_ttest(2) 49


• Berechnung des Standardfehlers

• Berechnung des t-Werts

07_ttest(2) 50

Nx

x

ˆ

ˆ

x

cxNdft

1

Beispiel

• Liegt der IQ der Kinder, die als hochbegabten klassifiziert werden, wirklich über dem Populationsmittelwert (100)?

• Hypothesen:– H0: μ ≤ 100– H1: μ > 100

• Stichprobenkennwerte bei N=10:– Mittelwert: 108.50– Standardabweichung: 14.35

07_ttest(2) 51

54.410

35.14ˆ x 87.1

54.4

1005.1089

t

Beispiel

• temp(9) = 1.87

• tkrit(9) = ?– Gerichtete Fragestellung einseitiger Test

– α = .05

• Interpretation:– temp> tkrit

– Die H0 wird verworfen

07_ttest(2) 52

p=.800 p=.900 p=.950 p=.975 p=.9901 1,376 3,078 6,314 12,706 31,821 63,6572 1,061 2,920 2,920 4,303 6,965 9,9253 0,978 2,353 2,353 3,182 4,541 5,8414 0,941 2,132 2,132 2,776 3,747 4,6045 0,920 2,015 2,015 2,571 3,365 4,0326 0,906 1,943 1,943 2,447 3,143 3,7077 0,896 1,895 1,895 2,365 2,998 3,4998 0,889 1,860 1,860 2,306 2,896 3,3559 0,883 1,833 1,833 2,262 2,821 3,250

10 0,879 1,812 1,812 2,228 2,764 3,16920 0,860 1,725 1,725 2,086 2,528 2,84530 0,854 1,697 1,697 2,042 2,457 2,75040 0,851 1,684 1,684 2,021 2,423 2,70450 0,849 1,676 1,676 2,009 2,403 2,67860 0,848 1,671 1,671 2,000 2,390 2,66070 0,847 1,667 1,667 1,994 2,381 2,64880 0,846 1,664 1,664 1,990 2,374 2,63990 0,846 1,662 1,662 1,987 2,368 2,632

100 0,845 1,660 1,660 1,984 2,364 2,626200 0,843 1,653 1,653 1,972 2,345 2,601

1000 0,842 1,646 1,646 1,962 2,330 2,581

df p=.995

SPSS Datensatz

Der Eingruppen t-Test in SPSS

07_ttest(2) 53

SPSS Befehl

Menu-Befehl:> Analysieren> Mittelwerte vergleichen> T-Test bei einer Stichprobe

07_ttest(2) 54

SPSS Befehl

07_ttest(2) 55

Menu-Befehl:> Testvariable (AV) aus-

wählen> Vergleichswert (Test-

wert) eingeben.> OK

SPSS Befehl

07_ttest(2) 56

Syntax-Befehl:

• Befehl: test testvalue • Testwert: 100• AV: IQ

test testvalue = 1000 /var IQ.

• Im Ausgabefenster werden zunächst deskriptive Statistiken ausgegeben.

• Die zweite Tabelle enthält das Testergebnis:– Bei gerichteten Hypothesen darf der p-Wert wie immer halbiert werden– Also p/2<α Die H0 wird verworfen.

SPSS Ausgabe

07_ttest(2) 57

Statistik bei einer Stichprobe

N Mittelwert StandardabweichungStandardfehler des

MittelwertesIQ 10 108,5000 14,34689 4,53689

Test bei einer SichprobeTestwert = 100

T df Sig. (2-seitig) Mittlere Differenz95% Konfidenzintervall der Differenz

Untere ObereIQ 1,874 9 ,094 8,50000 -1,7631 18,7631

Zusammenfassung

• Der t-Test für unabhängige Stichproben dient dazu, die mittlere Ausprägung eines intervallskalierten Merkmals zwischen zwei Gruppen zu vergleichen.

• Aus dem Standardfehler der Mittelwertsdifferenz wird ein empirischer t-Wert bestimmt.

• empirische Dieser t-Wert wird entweder mit einem kritischen t-Wert verglichen…

• … oder es wird direkt eine zugehörige Wahrscheinlichkeit errechnet (SPSS).

• Die Wahrscheinlichkeit des t-Wertes (SPSS) darf halbiert werden, wenn eine gerichtete Hypothese formuliert wurde (einseitiges Testen).

07_ttest(2) 58

Zusammenfassung

• Voraussetzungen für den t-Wert für unabhängige Stichproben sind die Normalverteilung des Merkmals, die Varianzhomogenität und die Unabhängigkeit der Stichproben.

• Wenn die Normalverteilungsannahme verletzt ist, und kleine oder ungleiche Stichproben verwendet werden, sollte ein nicht-parametrisches Verfahren verwendet werden.

• Wenn die Varianzhomogenität verletzt ist, müssen die Freiheitsgrade korrigiert werden.

• Wenn die Stichproben nicht unabhängig sind, wird der t-Test für abhängige Stichproben verwendet.

07_ttest(2) 59

Zusammenfassung

• Bei abhängigen Stichproben sind die Messwerte jeweils paarweise einander zugeordnet.

• Abhängige Stichproben entstehen durch Messwiederholung oder eine Parallelisierung der Stichproben.

• Der t-Test für abhängige Stichproben beruht auf der Verteilung der Mittelwerte der Differenzen (x1-x2).

• Der t-Test für abhängige Stichproben hat eine höhere Teststärke als der t-Test für unabhängige Stichproben.

• Der t-Test für eine Stichprobe vergleicht einen Stichprobenmittelwert mit einem vorgegebenen Testwert.

07_ttest(2) 60

Documents

Der t-Test 07_ttest(2)1 Gliederung t-Test für unabhängige Stichproben – Beispielrechnung 1: Optimismus und Lebensalter – Beispielrechnung 2: Gedächtnisexperiment: