304 WILHELM KLINGENBERG ZAMP

[3] J. L. DooB, Stochastic Processes (John Wiley and Sons, New York; Chap- man and Hall, London 1953).

[4] WILLY FELLER, Zur Theorie der stochastischen Prozesse (Existenz- und Ein- deutigkeitssgtze), Math. Ann. 113, 113-160 (1936).

[5] E. GOURSAT, Ddtermination de la rdsolvente d'une classe d'dquations intdgrales, Bull. Sci. math. 68, 114-150 (1933).

[6] DAVID G. KENDALL, Stochastic Processes in the Theory o/Queues, Ann. Math. Statist. 24, 338 (1953).

[7] PAUL L~VY, Proeessus stochastiques et mouvemeut Brownien (Gauthier- Villars, Paris 1948).

[8] D. V. LINDLEY, Theory o/ Queries with a Single Server, Proc. Camb. phil. Soc. d8, 277 (1952).

[9] WERNER SCHMEIDLER, Integralgleichungen n i t Anwendungen in Phys ih und Technik (Geest und Portig, Leipzig 1950).

[10] LAURENT SCHWARTZ, Thdorie des distributions (Hermann, Paris 1950).

Summary

Stochastic processes of the following type are considered. At random time points t, the variable u(t) jumps from y to x, say. The heights x -- y of the jumps have a given distribution G * ( , - y) tha t may depend on y or t. Between the jumps, x(t) is a solution to a given differential equation dx/dt = k(x, t). We look for the distr ibution F(x, t) of x at time t > O, F(x , 0) being given. In the s tat ionary case, stable distributions are investigated.

If there is a lower boundary x 0 and if F(xo) > 0, the problem is similar to the queueing problem. We solve it in the s tat ionary case with integral equations of the Volterra type. Other problems can be transformed to differential equations for the moment generating functions. These equations are partial in the non stat ionary and ordinary in the stat ionary case.

(Eingegangen: 16. September 1955.)

Die Anzahl dcr Nullstellen eines Polynoms in Gebieten mit stiickweise rationalen Randkurvcn

Von WILHELM I(LINGENBI~RG, Hamburg*)

Wir be t rachten ein Polynom w(z) n i t komplexen Koeffizienten. Ftir viele Anwendungen ist es ntitzlich, wenn mall nach einem einfachen Verfahren die Anzahl der Nullstellen in gewissen Gebieten der komplexen Zahlenebene be- s t immen kann, ohne die genaue Lage der Nullstellen berechnen zu mtissen.

Falls das Gebiet eine Halbebene oder eine Kreisscheibe ist, so kennt ma n seit HERMITE, HURWlTZ, ROUTH, FROBENIU$ U. a.2) mehr oder weniger vollst~in-

1) Mathematisches Seminar der Universit/it, Institut ftir angewandte Mathematik. 2) Ffir ausftihrliche Literaturangaben verweisen wit auf: M. MARDEN, The Geometry o/ the

Zeros of a Polynomial in a Complex Variable (New York 1949).

VoI. VII, 1956 Die Anzahl der NullsteIlen eines Polynoms 3 0 5

dige L6sungen des vorliegenden Problems; ein fiir numerische Zwecke besonders geeignetes Verfahren gibt WIELANDT ~) an. Von allgemeineren Gebieten der komplexen Ebene scheint bisher nur der Winkelraum oder das Kreiszweieck in einer Arbeit yon SHERMAN 4) behandelt zu sein.

Wir wollen in dieser Note zeigen (vgl. Satz 2 in Abschnitt 5 und die Er- g~nzung in Abschnitt 6), dass man auch frir eine bedeutend allgemeinere Klasse yon Gebieten die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms in einem solchen Gebiet in endlieh vielen Schritten durch rationale Operationen und Gr6ssen- vergleichung bestimmen kann; frir den Spezialfall des Winkelraums und der Halbebene werden wir dabei auf das Verfahren von SHERMAN bzw. WIELANDT gefrihrt. Und zwar brauchen wir bei unserem Verfahren yon dem Gebiet nur vorauszusetzen, dass es einfachzusammenMngend ist und dass sein Rand sich aus endlich vielen Stricken yon rationalen Kurven zusammensetzt.

Das Kernstfick unserer Methode besteht in einem Verfahren, die J~nderung

~r I = f d argw (1) 2

des Arguments von w zu berechnen, wenn w = w(t) ein Stack ~ einer rationalen Kurve durchl~tuff (siehe Abschnitte 3 und 4). Wir benutzen dabei ein Lemma (vgl. Abschnitt 4) fiber verallgemeinerte Sturmsche Ketten, das so formuliert ist, dass es vielleicht auch bei der Einsetzung noch allgemeinerer Kurvenstficke

in (1) yon Nutzen sein kann.

1. Funktionentheoretische Vorbereitungen

Bei unserem Verfahren stritzen wir uns auf den bekannten Cauchyschen Satz yon der WindungszahlS).

Es sei c eine geschlossene, orientierte und rektifizierbare Kurve in der komplexen z-Ebene, z 0 liege nicht auf c. Dann heisst die Zahl

c) = i ) - l [ ( z - z0 ) - i dz (2) c

die Windungszahl yon c bezaglich %. Sei nun

w(z) = H (z - zj)~ (m s ganz und 4= 0) (3) 1

eine rationale Funktion, so dass keine NnllsteUe oder kein Pol auf r liegt.

3) J7I. WIELANDT, Beitrdge zur mathematischen Behandlung komplexer Eigenwertprobleme. I : Ab- zdihlung der Eigenwerte komplexer Matrizen, Deutsche Luftfahrtforschung, Forschungsbericht Nr. 1806/1. 13 S. (1948).

4) S. SHERMAN, Generalized Routh-Hurwitz Discriminant, Phil. Mag. [71 37, 537-551 (1946). 5) VgL f~r das Folgende etwa: L. V. AHLFORS, Complex Analysis (New York 1953).

ZAMP VII/20

306 WILHI~LM t~LINC-I~NBEI~G ZAMP

bezeichne das Bild w(c) von c in der komplexen w-Ebene. Dann folgt aus (2) und (3)

/'--Id'=~/',(Z--Z,) -1d2 oder

n(O, ~) = ~ rnj n(zy, c). (4) ?

Das heisst" Aus der Windungszahl ~(0, ~) der Kurve ~ = zo(r in der w-Ebene beztiglieh des Punktes w = 0 bes t immt sieh die in (4) reehtss tehende Summe.

Is t nun speziell c der posi t iv durchlaufene Rand eines e infachzusammen- h/ingenden Geb ie te s /7 der z-Ebene und z~- ein nicht auf c gelegener Punkt , so ist die Windungszahl n(z~, c) gleieh 1 oder gleieh 0, je naehdem zj zu F geh6rt oder nicht. Wenn nun also w(z) eine rat ionale Funkt ion (3) ist, ffir die keines der z~. zu c geh6rt, so folgt aus (4) : n(0, ~) mi t ~ = w(c) Jst gleich der Differenz N - P aus der Anzahl N der Nullstellen und der Anzahl P der Pole yon w(z), die zu F geh6ren.

Dami t ist das Problem, die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms w'(z) in einem einfachzusammenh~tngenden Gebiet zu bes t immen, auf die Berechnung der Windungszahl einer geschlossenen Kurve zurfickgeftihrt.

2. Die B e r e c h n u n g der W i n d u n g s z a h l e iner ~ e s c h l o s s e n e n Kurve, die s ich aus endl ich v ie len Stricken yon ra t iona len Kurven z u s a m m e n s e t z t

Wir be t rach ten eine geschlossene orientierte Kurve ~ in der komplexen w-Ebene, die nicht die Punk te w = 0 und w = cx~ enth~tlt und die sich aus endlich vielen Stricken E.o (0 = 1 . . . . . r) von rat ionalen Kurven zusammensetz t . Das bedeutet , dass j edes ~o eine Parameterdars te l lung

wo(t) = Po.(t) + i Qe(t) R~(t) (a~ < ~ < b o) (5)

gestat te t , wo P0(t), Qo(t), Ro(t ) reelle Polynome sind, von denen wir annehmen k6nnen, dass sie keinen gemeinsamen Teller 4. const besitzen. Die Vorausset- zung, dass ~ weder den Punk t zv = 0 noch den Punk t w = oo en tMl t , bedeute t :

R o(t )4=-0 und P~(t)+Q~(t) 4=0 frir t 6 E a o,bo~ s). (6)

Die Windungszahl ~r ~) ist wegen

,(o, r = (2. i)-, 2f~-~ d~ = (2 ~)-~ zfd.rg~ (7)

s) W i t benutzen [a, bl zur Bezeichnung eines abgeschlossenen u n d ] a , bE zur Bezeichnung eines offenen In te rva l l s mi t derr E n d p u n k t e n a nnd b. Die zugeh/Srigen l inks- bzw. rechtshalboffenen In te rva l le werden mi t ]~, b] und ~a, b[ bezeichnet.

Vol. VII, 1956 Die Anzahi der Nullstellen eines Polynoms 307

dutch die Anderung / ,

2 er Io = J d argw (8) %

des Arguments von w 1/ings des rationalen Kurvenstticks g~ bestimmt. Offenbar hat das Integral I o in (8) denselben Wert, wenn wir die Kurve go

durch die Kurve g* mit der Parameterdarstellung

w*( l )=g(~) +iOo(t ) % < t < b o ) (9) ersetzen.

3. Die B e r e c h n u n g der ~ n d e r u n g yon arg w lfings e ines orient ierten St/ icks einer rat ionalen Kurve 7)

Wir wollen den Wert des Integrals (1) berechnen, wo g ein orientiertes Stiick einer rationalen Kurve mit der Parameterdarstellung

~(f) = P(~) + ~ O(t) (a _< ~ _< b) (10)

ist; P(t) und Q(t) sind hier reelle Polynome, nicht beide = const, und mit der Eigenschaft :

P2(l) + Q2(t) q= 0 ftir t ~ [a, b]. (11)

Wir unterscheiden die beiden MGglichkeiten s)

Fall 1: Grad P(t) >= Grad O(t) ,

Fall 2: Grad P(t) =< Grad O(t) .

Hiermit definieren wir

(12)

im Fall 1: /o(t) = P(t) ,

im Fall 2: /o(t) = O(t),

/:(t) = -(?(t),

/l(Z) = P ( t ) , (13)

so dass also in jedem Fall gilt:

Grad/o(t) >= Grad/1(1) und Grad/o(t) > 0 . (14)

Wir teilen die Punkte w 4= 0 und :#oo in vier Klassen ein, je nachdem argw zu einem der Intervalle [0, er/2[; [az/2, erE; [Jr, 3 er/2~; ~3er/2, 2zrf gehGrt. Diese Klassen nennen wir beziehungsweise ersten, zweiten, dritten und vierten Quadranten und bezeichnen sie mit QI, Qu, Qm und Qiv.

~) In dieser und der folgenden Nummer unterdrticken wir den Index ~. Insbesondere bezeichnet jetzt also r wie in Abschnit t 9, notwendig eine geschlossene Kurve, sondern nut ein Sttick einer rationalen Kurve.

s) Wir vereinbaren, dass das NulIpolynom einen Grad < 0 hat .

3 0 8 WILHELM I<LINGENBERG ZAMF

Die Anderung (1) yon argw l&ngs ~ wird davon abh~tngen, wie oft beim Durchlaufen yon ~ Quadrantentiberg~nge im zunehmenden und im a b n e b menden Sinn stattfinden.

Beschr~inken wir uns zun~ichst auf den Fall 1. Hier bedeutet eine Nullstelle t o yon/o(t) [~ P(t)], dass ~ die imagin~ire Achse trifft. Die Bedingung

(A) E s g i b t e > 0 s o , dass a o < t o - e u n d d a s s f a r a l l e t m i t t o - e < t < t o

gilt: /0(t)/1(to) < 0

besagt gerade: Es gibt eine dem auf der imagin~ren Achse gelegenen Punkt W(to) vorangehende Umgebung auf ~, die in QI oder Qni liegt; da die Punkte der imagin~iren Achse zu QII oder Qiv geh6ren, bedeutet also eine Nullstelle t o mit der Eigenschaft (A) einen Quadrantenwechsel im zunehmenden Sinn.

Ganz ebenso erkennt man, dass eine Nullstelle t o yon/0(t) mit der Eigen- schaft

(B) Es gibt ein e > 0 so, dass t o + e < b o und dass fiir alle tmi t

t o < t < t o + ~ gilt: /o(t] [~(to) > 0

einen Quadrantenwechsel im abnehmenden Sinne bedeutet. Auf die gleiche Weise sind auch im Fall 2 die Bedingungen (A) und (B)

gekennzeichnet, wobei nur an die Stelle der imagin~ren die reelle Achse tritt. Wenn wit annehmen, dass R-mal eine Nullstelle yon /o(t) mit der Eigen-

schaft (A) und S-mal eine Nullstelle yon/o(t) mit der Eigenschaft (B) auftritt, so liefert offenbar die Zahi

R - S (15) 2

eine erste N~herung fiir die Anderung von (2 ~) 1 argw l~tngs K. Eine genauere N~therung erhalten wir mit Hilfe der Funktion N(t), die wir

folgendermassen ffir die Werte t aus [a, b] definieren:

im Fall 1 : N(t) =

im Fall 2: N(t) =

0, falls argz(t) zu Q~ oder zu Qm geh6rt, /

/ 1, falls argz(t) zu QH oder zu Qiv geh6rt" (16) (

0, fails argz(t) zu Q~I oder zu Qiv geh6rt,

1, falls argz(t) zu Q1 oder zu Qin gehSrt.

Wegen (t2), (13) ist diese Definition offenbar gleichbedeutend mit der fol- genden :

N(t) = { O' falls /l(t) = O ~ /~ /l(t) < O ' I (17)

1, falls/o(t) = 0 oder /o(t)/l(t) > 0.

Vol. VII, 1956 Die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms 309

Hiermit erkennt man dann, dass die Zahl

,~ - s ar(,~) - at(v) (18) - 2 - - + 4

gleich einem Viertel der Anzahl der gewonnenen oder verlorenen Quadranten ist, wenn man die Kurve ~ durchl~iuft. (18) stellt also, bis auf einen Fehler vom Betrag <~z/2, die Anderung yon (2 zl) -1 argw l~ings ~ dar.

Den genauen Wert yon (1) ben6tigen wir ftir das in Absehnitt 2 aufgewor- fene Problem nicht; wit wollen ihn aber doch der Vollst~ndigkeit halber an- geben. Dazu bestimmen wir aus

= argw(a) und r = argw(b) (19)

die Werte ~ und ~ durch

-----e mod 2 , ~ ~/? mod 2 (0 =< ~, ~ < 2 ) " (20)

Damit erhalten wir dann ffir (1) den Wert

I = ( 2 z l ) - l ? d argw - - t ? - S N ( a ) -- N ( b ) ~ - - g (21) 2 + 4 + 2 ~

4. Die Berechnung der Differenz R - S; ein Satz fiber verallgemeinerte Sturmsche Ketten

Es bleibt ftir die L6sung der in Abschnitt 3 gestellten Aufgabe noch die Differenz R -- S aus der AnzahI R der Nullstellen von/o(t) mit der Eigenschaft (A) und der Anzahl S der Nullstellen yon ]o(t) mit der Eigenschaft (B) zu bestimmen.

Dazu erkl~iren wir mit Hilfe der Polynome/o(t),/l(t) eine Folge

F(t) = do(t) . . . . . l , ( t ) ) (Z > O) (22)

yon Polynomen nach Iolgender Vorschrift : Falls/l(t) - O, lassen wit F(t) mit/0(I) abbrechen. Andernfalls bestimmen

wir nach dem euklidischen Algorithmus ein Polynom/2(t) durch

- l / + l ( t ) = / , _ l ( t ) + g / t ) l / t ) (23)

mit i = 1 ; g~(t) ist also ein Polynom, und es ist o

Grad/i+1 =< Grad / i und Grad/~+1 < Grad/ i -1 . (24)

Falls/2(t) =_ O, so lassen wir F(t) mit h(t) abbrechen; andernfalls bestimmen wir gem~iss (23) mit i = 2 ein Polynom f3(t). So fortfahrend gelangen wir wegen (24) nach endlich vielen Schritten zu einem Polynom/z+~(t) -= 0; die Folge F(t) lassen wir dann mit dem vorhergehenden Polynom/z(t) abbrechen.

310 WILttELI~I KLINGI~NBIs ZAMP

Mit W(t) bezeichnen wir die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge F(t) (22) an der Stelle t. Hie rmi t gilt dann die Beziehung

R - s = w ( ~ ) - w ( b ) . (25)

Den Beweis fiihren wir mi t Hilfe des folgenden Lemmas 9) : Lemma. Es sei F(t) = (/o(t), . . . , / , ( t ) ) (l > 0) eine Folge yon l + 1 auf dem

In terva l l [a, b 3 definierten und dort stetigen Funkt ionen mi t folgenden Eigen- sehaf ten:

I. /,(t) =~ 0 ftir t E [ a , b ] . I I . Die Anzahl der Nullstellen yon/o(t) auf [a, b] ist endlich.

I I I . Fal ls /dto) = 0 ftir t o E [a, b] und 0 < i < l, so gilt /~_l(to)/~+l(tO) < 0. IV. Falls/o($o) = 0 ftir t o E [a, b], so gilt/1(to) :~ 0. Es bezeichne R bzw. S die Anzahl der Nullstellen von /o(t) auf [a, b] mi t

der Eigenschaft (A) bzw. (B) aus Absehni t t 3. W(t) sei die Anzahl der Vorzei- chenwechsel der Folge F(t) an der Stelle t. Dann gilt die Beziehung (25).

Beweis des Lemmas . Wir verfolgen, wie sich W(t) als Funkt ion yon t beim Durchlaufen des Interval ls [a, b] ~indert.

Offenbar bleibt W(t) in der Umgebung solcher Wer te t unge~indert, ffir die keines der / i ( t ) aus F(t) verschwindet . Sei je tzt t o eine Nullstelle von / i ( t ) mi t 0 < i < 1. Nach I I I besi tzt dann die Folge ( / i -1, / i , / i+1) an der Stelle t o genau einen Vorzeichenwechsel. Da wegen der S t e t i g k e i t / i - t und/~+1 in einer Um- gebung von t o ihr Vorzeichen nicht ~ndern, erf~ihrt W(t) in dieser Umgebung durch den Teil ( / i -1, / i , / i+1) keine Anderung.

Es bleibt wegen I je tzt nur noch der Einfluss einer NulIstelte t o yon/o( t ) auf W(t) zu untersuchen. Diese Nullstellen sind isoliert, und/o(t) und / l ( t ) sind stetig. Ffir t = to besitzt die Folge (/o,/1) keinen Vorzeichenwechsel; in einer hinreichend kleinen Umgebung Jt o - e, t o + e[ von t o (soweit sie zu [a, b3 geh6rt), ~indert [~(t) sein Vorzeichen nieht, und/o( t ) ha t ausser t = t o keine Nullstelle. Die Bedingung (A) besagt nun niehts anderes, als dass die Folge (/o,/1) in der linksseitigen Umgebung It o - e, to[ yon t o (soweit sie zu [a, b) gehOrt) einen Vorzeichenwechsel hat, das heisst: W(to) = W(t) - 1 fa r t ~ ?t o -- s, to[. Ebenso besagt die Bedingung (B), dass die Folge (/o,/1) in der rechtsseitigen Umge- bung It o, t o + e[ yon to( soweit sie zu c~a, b] geh6rt) einen Vorzeichenwechsel hat , also W(t) = W(to) + 1 ftir t ~ ~t o, t o + el. Aus der Definition von R und S ergibt sich dami t : W(b) ~ W(a) -- R + S, was zu beweisen war.

U m dieses L e m m a auf unser Problem anwenden zu kOnnen, b rauchen wit nur noch zu zeigen, dass unsere oben definierte Folgd F(t) (22) yon Polynomen die Eigenschaften I bis IV des Lemmas besitzt.

Eigenschaft I folgt aus der Bemerkung, dass das letzte Po lynom /z(t) in (22) der gr6sste gemeinsame Teiler yon/o(t) und / l ( t ) ist und/o(t) and/~(t) keine

9) Vgl. zu dem Lemma: F. A. WILLERS, Methoden dcr praktischen Analysis, Kap. IV (Berlin 19~28). Ferner : G. VAL:RON, Thdorie des ]onctions, 2 e ~d., nO 53 (Paris 1948).

Vol. VII, 1956 Die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms 311

Nullstelle auf Va, b] gemeinsam haben. I I ist erftillt, da/o(t) ein Polynom ist, I I I und IV folgen aus (23) und daraus, dass/i(t) und/i+:(t) , 0 =< i < l, nicht gemeinsam verschwinden auf [a, b].

5. Zusammenfassung der Er~ebnisse

Satz 7. Wir betrachten eine geschlossen orientierte Kl:rve ~ der komplexen w-Ebene, die nicht die Punkte w = 0 und w = oo enth~ilt und die sich aus r stricken E~ yon rationalen Kurven zusammensetzt. Die Windungszahl n(0, E) ist gem~iss (7) gleich der Summe tiber die r Integrale I~ (8) und damit nach den Betrachtungen yon Abschnitt 3 und 4 durch

e/= Zo { wo( o/ + N0: 0/ N o:b0/} (26/

gegeben (~ = 1 . . . . . r). Die hier auftretenden Zahlen Wo(ao), Wo(bo), No(ao) , No(bo) bestimmen sich folgendermassen:

(5) und (6) sei eine Parameterdarstellung we(t ) des Kurvenstiickes Go- Zu den Z:ihlerpolynomen Po(t) nnd Qo(t) best immt man gem~iss (12) und (13) die Polynome/oo(t) und/0:(t) (in den Abschnitten 3 nnd 4 ist der Index 0 unter- driickt). Durch (17) ist dann No(t ) und damit speziell No(ao) und No(be) de- finiert. Zu/o 0(t) und [o :(t) erkl:irt man dann mit Hilfe des euklidischen Algorith- mus gem:iss (23), (24) eine Folge

F~(t) = (/~o(t) . . . . . /ozo(t)) (z o > o) (27)

yon Polynomen, wobei /o.%(t) der gr6sste gemeinsame Toiler von /50 und /~:

bzw. Po(t) und Qo(t) ist. W~(t) bezeichnet dann die Anzahl der Vorzeichen- wechsel yon Fo(t ) in (27) an der Stelle t; damit sind dann auch Wo(ao) und W0(b~) in (26) bestimmt.

Satz 2 (Eine Anwendung yon Satz 1). Es sei / ' ein einfach zusammenh~in- gendes endliches Gebiet der komplexen z-Ebene. Der Rand c y o n / ' setze sich aus r Stiicken c o yon rationalen Kurven zusammen. Ferner sei w(z) ein Poly- nom, das keine Nullstelle auf dem Rand c besitze. Dann erftillt die Bildkurve

= w(c) yon c die Voraussetzungen yon Satz 1, und zwar setzt sich ~ aus den r rationalen Kurvenstficken ~ = w(%) zusammen, die Bilder von den c o unter der Abbildung z + w(z) sind. Die Anzahl N der Nullstellen yon w(z) i n / ' ist dutch die Windungszahl n(O, ~) gegeben, die man nach dem in Satz 1 beschrie- benen Verfahren bestimmen kann.

Bemerkungen. 1. Wenn man also nach dem in Satz 2 beschriebenen Verfah- ren die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms w(z) im Gebiet /-7 bestimmen will, so w~ihlt man zun~tchst eine gewisse Parameterdarstellung

zo(t ) = pod(t) + i q~(t) ~(t) (a~ < t < be) (2s)

312 WILHELM KLINGENBERC- ZAMP

von q; bier sind pe($), qe(t), re(t ) reelle Polynome ohne gemeinsamen Faktor 4= cons% und re(t ) verschwindet nicht auf [ae, b~]. Ist dann w(z) das zu unter- suchende Polynom, so erh~ilt man aus

: (29)

mit (28) eine Parameterdarstellung vom Typ (5), (6) der Bildkurve GQ = w(co)- Aui diese Darstetlungen (5), (6) yon Ge wird dann das in Satz 1 beschriebene Verfahren zur Bestimmung yon n(O, if,) angewandt, womit man dann die Anzahl N der NuUstellen von w(z) in _P gefunden hat.

2. In Satz 2 wird vorausgesetzt, dass das Polynom w(z) keine Nullstelle auf dem Rand c des Gebiets _P haben soil. Diese Voraussetzung l~isst sich im Ver- laufe der Reehnung nachpriifen, und zwar ist sie offenbar damit gleichbedeu- tend, dass keine der Bildkurven ~0 = w(%) den Punkt w = 0 entMlt. Anders ausgedriickt: In der Parameterdarstellung (5) yon R e dtirfen Pe(t) und Q~(t) nicht gemeinsam in einem Punkt von [a e, be] verschwinden. Nun best immt man aber bei der Anfstellung der Folge F0(t ) in (27) durch den euklidischen Algorith- mus den grSssten gemeinsamen Teller/Qze(t ) yon ~(t) nnd Qo(t). Die in Rede

stehende Voraussetzung ist also gleichbedeutend damit, dass das Polynom /elo(t ) keine Nullstelle auf [a e, be] besitzt, und dies kann man ja bekanntlich

mit Hilfe der gew6hnlichen Sturmschen Kette nachpriifen.

6. Eine Erwei terung yon Satz 2 f/ir unendl iche Gebiete

Wir erg~inzen die in Satz 2 beschriebene Methode fiir die Berechnung der Anzahl der Nullstellen in gewissen Gebieten noch dahingehend, dass wir ftir diese Gebiete auch den Punkt z - oe als Randpunkt znlassen. Auf diese Weise wird zum Beispiel ein durch eine Halbebene oder einen Winkelraum gegebenes Gebiet unserer Methode zug~inglich.

Wir betrachten also ein einfachzusammenMngendes Gebiet / ' der kom- plexen z-Ebene, das von r rationalen Kurvenstiicken % begrenzt ist, die ganz im Endlichen liegen, mit Ausnahme des Endpunktes yon q und Anfangspunktes yon %, die mit z = oo zusammenfallen mSgen. Wir fragen nach der Anzahl der Nullstellen eines Polynoms w(z) in _P, wobei keine Nullstelle yon w(z) auf dem Rand c yon /7 liegen soU.

Wir vermindern nun zun~iehst 2P um die zu einer Kreisumgebung K von z = oc geh6renden Pnnkte, wobei wir K so w~ihlen, dass sie keine Nullstellen yon w(z) entMlt. Das Restgebiet bezeichnen wir m i t / " . / " ist ganz im End- lichen gelegen und, wenn wit nur K hinreichend nahe an oo w~ihlen, einfaeh- zusammenh~ingend. Der Rand c' yon _P' setzt sich aus r + I rationalen Kurven- stricken zusammen, zu denen auch derjenige Kreisbogen t~ geh6rt, den der Randkreis yon K mit P gemeinsam hat.

Vol. VII, 1956 Die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms 313

Wir k6nnen also a u f / " die in Satz 2 beschriebene Methode zur Bes t immung der Anzahl N der Nullstellen yon w(z) i n / " anwenden. Diese Anzahl s t immt mit der auf das Gebiet _P bezriglichen iiberein. N ~ndert sich nicht, wenn wir die Kre i sumgebung K sich auf den P u n k t z = oo zusammenziehen lassen. Dies l~uft auf folgendes Verfahren ffir die Bes t immung yon N hinaus:

Ergtinzung zu Satz 2. Das e infachzusammenh~ngende Gebiet _P der kom- plexen z-Ebene werde von r Stricken % yon rat ionalen Kurven begrenzt, die ganz im Endl ichen liegen m6gen mi t Ausnahme des Endpunk tes yon q und Anfangspunktes yon % die mi t z - oo zusammenfa l len m6gen, w(z) sei ein Po lynom n-ten Grades, das keine Nullstellen auf dem Rand c yon T' besitzt. Dann ist die Anzahl N der Nullstellen yon w(z) in _P durch

N = ~ {Wdao)-2 Wo(bo)~ " + N o(ao) --4 N~(bo) } + n(%--2z~ /~1) (30)

gegeben. Hier sind oc 2 und fll mi t Hilfe der Parameterdars teUung zl(t), a 1 <= t <= b 1, und z2(t), a 2 <= t <= b 2, von q und r definiert durch

fll = l im argzl(t) , o~ 2 = lira argz2(t ) . (31) t - - + b I - t -+a 2 +

Die Zahlen W~(aQ), VVQ(bq), No(ao), No~(bQ) ergeben sich ebenso wie in Satz 2 beschrieben, soweit es sich nieht um die auf den unendlichen Punk t

z~(b~) = z~ (a2 ) = o 0

frihrenden Paramete rwer te b~ und a s handel t . In diesen F~tllen definieren wir Wl(bl) und W2(a2) als Grenzwert dureh

W~(bl) = lira VVdt), W2(a2)= l im W2(t), (32) t--> b~- t----~-a2 +

w~[hrend wir frir die Definit ion yon Nl(bl) und N2(a2) auf die Formel (16) zurfickgreifen und bier die Wer te

argwl(bl) = l im argwl(t) , a rgw2(a2)= lira argw2(t ) (33) t - + b 1 - t-->a~ +

einsetzen; hier sind w~(t) = w(z~(t)) und w2(t ) = w(z~(t)) die Pa ramete rda r - stellungen yon ~1 = W(Cl) und if2 = w(%).

Bemerkung. I m allgemeinen wird man im vors tehenden Fall die Parame- terdarstel lung zl(t ) yon Cl so w~thlen, dass das Paramete r in te rva l l die F o r m [al, o~] hat. In diesem Fall be s t immt sich der Wer t Wl(bl) = Wl(oo ) = lim W~(t)

t ->CO

einfach als die Anzahl der Vorzeichenwechsel derjenigen Folge, die man erh~lt, wenn man in der Polynomfolge Fl(t ) die P o l y n o m e / 1 i(t) durch ihre h6chsten Koeffizienten ersetzt .

314 W I L H E L N I ~ L I N G ~ N B E R G Z & M P

Entsprechend wird man in der vorstehenden Erg~inzung zu Satz 2 ffir % die Parameterdarstellung z2(t ) so w~ihlen, dass das Parameterintervall die Form [ - o o , b21 hat. Der Wert g~(a2) = W~(-oo) = lim W2(t ) ist dann einfach

~-->-- O0

gIeich der Anzahl der Zeichenwechsel in derjenigen Folge, die man erh~ilt, wenn man in der Folge F2(t ) die Polynome/2i(t) durch ihre h6chsten Koeffi- zienten, multipliziert mit (-1)gi, ersetzt, wobei gi der Grad von/~i ist.

Insbesondere kann auch q = % sein, das h e i s s t : / ' wird durch ein einziges rationales Kurvenstfick, das durch den Punkt z = (x~ geht, begrenzt. In diesem Falle wird man eine Parameterdarstellung z~(t) yon q so wfihlen, dass die im Endlichen gelegenen Punkte yon q dem Parameterintervall 1 - o c , oc[ ent- sprechen. So wird man zum Beispiel ftir den Rand c der Halbebene Re(z) < 0, also fiir die imagin~re Achse, die Parameterdarstellung z(t) = i t w~thlen; ver- gleiche auch das folgende Beispiel.

7 . E i n Beispiel

Wit Iragen nach der Anzahl der Nullstellen des Polynoms

w(z) -- z 3 + z -- 3 (34)

in dem Gebiet/~, das durch die Parabel c = q:

~l(t) = t~ - i t ( - ~ _< t _< ~ ) (35)

begrenzt wird. Nach dern in Satz 2 und der Erg~nzung zu Satz 2 beschriebenen Verfahren

bestimmen wir zun~chst die Parameterdarstellung wl(t ) = w(zl(t)) der Bild- kurve ~1 = w(q):

= , ( t ) = t0 - 3 t~ + t 2 - 3 + i ( - 3 t5 + t3 _ t) = e , ( t ) + i O ~ ( t ) . (36)

Wir befinden uns also gemfiss (12) im Fall 1 und erhalten damit durch Anwen- dung des euklidischen Algorithmus gem~iss (23), (24) It~r die Folge Fl(t ) yon Polynomen:

/0(t) = t6

/~(t) =

/~(1) =

l~(t) =

I s ( t ) =

l o ( 1 ) =

- - 3 t ~ + t 2 - - 3

3 t s - t 3 + t

8 t 4 2 t2 + 3 3 3

i 19 - - t a + ~ - t 4

26 t e -- 3

125 - - - - t

52

3 .

(37)

Vol. VII, t956 Die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms 315

Zur Bestimmung der Anzahlen Wl(-oo ) und Wl(CX~ ) der Vorzeichenwechsel in der vorstehenden Polynomfolge ~(t) (36) fiir grosse negative t bzw. grosse positive t schreiben wit die Folgen

< 8 1 26 , 125 > < 125 3 > (38) 1,--3, T , - - 4 - , ~ - , 3 , 1 ' 3 ' 8 ' 1 ' 2 6 ' 52 '

der hGchsten Koeffizienten der Polynome /i i(t) auf, einmal multipliziert mit (--1)gi, g~ = Grad/~(~), das andere Mal ohne diesen Faktor. IIieraus ergibt sich:

W~(--oo) = 4, Wx(oo ) = 2. (39) Ferner finden wir

ex= lim argzx(t)=0, /3 l = l i m a r g z l ( t ) = 0 . t --,'-- oo l---* oo

(40)

Endlich bemerken wir ftir den (auch in unserem Beispiel vorliegenden) Fall, dass der Rand r y o n / ' sich aus einem einzigen rationalen Kurvenstfick q mit dem Anfangs- und Endpunkt z = oc zusammensetzt, dass gilt"

Nl(-Oo) - Nl(oo) = 0. (41)

Denn wenn wir fiir q eine Parameterdarstellung (28), 0 = 1, mit dem Parame- terintervall [ -oo , oo] w~thlen, so erhalten wir wegen wl(t ) = w(zl(t)), w(z) ein Polynom"

lira argw(zl(t)) - lim argw(5(t)) = lim arg w(z~(-t)) _ 0 oder re. (42) t--+- e~ t--+o0 t-+0o W(Zl(t))

Hieraus folgt aber mit der Definition (16) yon Nl(t ) Gleichung (41). Fiir die Anzahl N der Nullstellen in unserem Beispiel finden wit nun nach

Formel (30) mit (39), (41), (40) den Weft:

N = Wt ( - - ~176 W~(oo) + N~( - - oo)4-- N~(oo) + 3 (as2~-/30 1 . (43)

Verein/achungen /iir den Fall der Halbebem. Wir betrachten als Gebiet / ' speziell eine Halbebene, deren Rand c = q durch

zl(t ) = c t + d ; - o c < _ t < o c (c, d k o m p l e x u n d c 4 = 0 ) (44)

gegeben sei. In diesem Fall vereinfacht sich die Formel (30) fiir die Anzahl N der Nullstellen eines Polynoms w(z) zu

2 + 7 ; (45)

hier sind Wl(-o~ ) und l/V~(cx~) ebenso wie Iriiher definiert, und n ist der Grad des Polynoms w(z) (vgl. die Fussnoten 3 und 9).

316 ADALBERT RUBINOWICZ ZAMP

Zum Beweis bemerken wit, dass auf die Ha lbebene F die Vorausse tzungen zntreffen, die oben zu der Gleichung (41) gefi ihrt haben ; der mi t t l e re Te rm in (30) f~tllt also fort. Ausserdem folgt aus der Defini t ion (31) von fll und ~2 (die Indizes 1 und 2 bezeichnen in unserem Fa l l ja dasselbe !) mi t wl(l ) = w(c t + d) :

gl - - f l l = l im arg w(c t + d) - l im argw(ct + d) = lira arg t-+-- OO t---> oO t-+OO

w ( - - c t + d)

Summary

We are dealing with the problem of caIcntating the number N of zeros of a polynomial w(z) in certain regions /~ of the complex plane. If F is a halfplane or a disc, there exist many well-known solutions of the problem. If F is of a more general type, there is only a paper of S~ERMAN ~) for the case, t ha t /" is the inter- section of two halfplanes, tn this paper we give the solution for the case tha t the region /" is s imply connected and the boundary of /~ is composed by a finite number of pieces of ra t ional curves. Our method generalizes the method of WIELANDT a) for the halfplane and the method of SHERMAN4), The core of our paper is the way of comput ing the var ia t ion of arg w, if w runs along a piece of a ra t ional curve. This computa t ion is based on a lemma about generalized S turm sequences.

(Eingegangen: 16. Sep tember 1955.)

0bet eine anschauliche Darstellung der Vorgiinge bei der Fortpflanzung von unstetigen Signalen in Wellenleitern

V o n ADALBERT RUBINOWICZ, Warschau 1)

1. Wellenleiter mit bel iebigem Querschnitt

Zur Dars te l lung der Vorg~nge in e lek t romagnet i scken oder akus t i schen Wel lenle i tern im Fal le der For tp f l anzung yon abgehackten , zei t l ich periodi- schen Wellensignalen ist es sehr bequem, die gesamte Wel lenbewegung in einzelne We l l en typen aufzui6sen, yon denen sich jede mi t einer be s t immten Phasen- und Gruppengeschwindigke i t ausbre i te t . Solche Wel l en typen ergeben sich, falls m a n die gesamte Wellenbewegung, ebenso wie im s ta t ion~ren Fal le , nach den Eigenschwingungen des Querschni t ts des Wel lenle i ters en twickel t [5] z). Insbesondere kann m a n du tch Superposi t ion yon solchen Wel l en typen die Vorg~nge darstel len, die in einem Wel lenle i ter im akust ischen Fal le yon einem

i) Physikalisches Institut der Universit~it Warschau und der Polnischen Akademie der Wis- senschaften,

3) Die Ziffern in eckigen K l a m m e r n verweisen auf das Li tera turverzeiehnis , Seite 325.