Die erste Randwertaufgabe für geschlossene Bereiche bei der Gleichung

Die erste

Bereiche

Randwertau igabe fiir geschlossene

bei der Gleichun9 Ox oy -- f (x, y). Von A. Huber in Freiburg (Schweiz).

Sehon vor langerer Zeit wurde die Frage aufgeworfenl), ob man aueh ftir Gleichungen yore hyperbolisehen Typus Randwert- aufgaben 16sen k6nne, die den bekannten klassisehen Problemen bei Gleiehungen vom elliptisehen Typus analog w~ren, abet auger einigen knappen Andeutungen yon Hadamard~) ist mir yon u diese Frage aueh nut in speziellen Fallen zu behandeln, niehts bekannt geworden. Dies mag zum Teil seinen Grund wohl darin haben, dag die theoretisehe Physik noch keinen Anlal~ zu derartigen Problemstellungen gegeben hat, zum Teil aber aueh darin, dag die Ergebnisse, zu denen man bei solehen Untersuehungen gelangt, bei weitem nieht jene seh~ne Gesehlossenheit zeigen, wie die entspreehen- den bei elliptisehen Gleiehungen. Man kann zwar aueh bier der ersten Randwertaufgabe noeh leieht eine ansehauliehe physikalisehe Deutung beilegen, abet sie wird so gezwungen und ungewohnt, dag man daraus fur die mathematisehe Betraehtung kaum Nutzen ziehen kann. Sehwieriger wird es sehon, aueh ftir die hyperbolisehe Gleichung die zweite oder allgemeinere Randwertaufgaben physikaliseh zu inter- pretieren, weshalb wir im folgenden davon absehen und uns nur gelegentlieh auf eine kurze geometrisehe Deutung einlassen werden.

Bereits die Bemerkungen H a d a ma r d s beztiglieh tier Gleiehnng

~2z __ 0 zeigen den grogen Untersehied gegeniiber den elliptisehen ~x ~y Gleiehungen und iassen schon deutlich den Einflug erkennen~ den die Lage des Bereiches gegeniiber den Charakteristiken ftir die L(is- barkeit des Problems hat. Dag eben solche beinahe zufallig er- seheinende Eigensehaften des Bereiches~ fiir die man sehwer eine umfassende Besehreibung finden dtirfte~ eine so entscheidende Rolle

1) Z. B. A. S o m m e r f e 1 d in seinem Artikel: Randwertaufgaben in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Enz. d. math. Wissensch. II. A 7c, S. 512 f.

3) On some topics connected with Linear Partial Differential Equations. Proceedings of the Benares math. Soc. 3 (1921), S. 39--48, insbes. S. 42 ft.

80 A. t tube r ,

dabei spielen, das darf man wohl als den gauptgrund ansehen, warum man hier selbst bei tier einfachsten Gleichung nicht zu so abgerundeten Ergebnissen wie beim elliptischen Typus kommt, ob- wohl man sowohl beztiglieh des Randes als aueh beztiglich der Rand- werte zu viel sch~irferen Voraussetzungen gent~tigt ist als dort.

Auch noeh in anderer ttinsieht ist schon yon vornherein ein auff~illiger Unterschied zwisehen elliptischen und hyperbolisehen Gleichungen wahrzunehmen. Wahrend namlich bei den ersteren die gesuchte L~sung im allgemeinen entweder nut im Inneren oder nur im s des gegebenen Bereiches gtiltig ist, erh~lt man bei den

�9 hyperbolisehen Gleichungen schlieglich die LSsung in einem dem Bereiche umsehriebenen Rechteck, das yon Charakteristiken begrenzt wird. Genau genommen, kann man also hier gar nieht yon Rand- wertaufgaben in dem Sinne spreehen, wie man es bei den elliptisehen Gleichungen rut, da aber nach dem soeben gemachten Hinweis nun ja kein Mi~verst~ndnis mehr zu beftirohten sein dtirfte, so wollen wir zunachst noch bei dieser Bezeichnung bleiben.

w 1. In der xy-Ebene sei eine gesehlossene Kurve F gegeben, die yon den Parallelen zu den Koordinatenachsen, also den Charak- teristiken in h~chstens zwei Punkten geschnitten werden soil und bis auf eventuell vier gleich naher zu bezeichnende Stellen tiberall eine stetige Tangente haben m~ge. Entlang dieser Kurve F seien die ,,Randwerte" als wenigstens einmal stetig differenzierbare Funk- tionen eines geeignet gew~hlten Parameters gegeben und unsere Aufgabe soll es nun sein, zu untersuchen, unter welchen Umstanden

eine stetig differenzierbare LUsung tier Gleichung O~z - - f ( x , y) Ox ~y

vorhanden ist, die entlang F die vorgesehriebenen Werte annimmt. Dabei soll f(x, y) in einem genfigend gro~en Reehteeke stetig sein, so dal~ wir ~ ohne Beschr~nkung der Allgemeinheit f (x, y) ~= 0 annehmen dfirfen, da man ja in bekannter Weise durch eine ent- spreehende Ab~nderung der Randwerte aus einer L~sung der homo- genen Gleiehung leicht eine solche der inhomogenen t~nden kann. Sind namlich dureh x~x( t ) , y~y ( t ) die Kurve F und durch 2 ~ 2 (t) die Randwerte dargestellt, die eine LSsung z = ~P (x) + T (y)

der Gleiehung ~z ~ 0 auf F annimmt, dann nimmt die LSsung ax ~y

x y

0 0

Die ers~e R~ndwertaufgabe ft~r geschlossene Beroiche e t c . 81

•2 z der G l e i c h u n g - - - - f ( x , y) auf F die Werte

0x Oy x(t) y(t)

0 0

an. Wit setzen also stets f(x~ y ) ~ O voraus~ wodureh wir uns auch manche Weiiliiufigkeiten in der Darstellung ersparen werden.

Da die Randkurve F yon den Charakteristiken in h~iehstens zwei Punkten gescMitten werden soll~ so gibt es in jeder der beiden Charakteristikenseharen auch nur je zwei Sttitzgeraden unseres Be- reiches. In ihren vier Sttitzpunkten, die wir kurz die ,,Stiitzpunkte ~t des Bereiches nennen wollen~ miige die Randkurve auch Eeken haben kSnnen; es sind dies jene oben ausgenommenen vier Stellen. Wenn die vier Stiitzpunkte voneinander verschieden sind, dann soll der Bereich Bin ,Viereck ~ heigen, die zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stiitzpunkten liegenden Randsttieke ,Seiten ~ und die Ver- bindungsgeraden zweier gegentiberliegenden Sttitzpunkte ,Diagonalen ~. Je nachdem ein oder zwei Paare yon Stiitzpunkten zusammenfallen, wollen wir yon einem ,Dreieck" oder ~Zweieck '~ sprechen.

Ftir Bin Zweieck kann die Randwertaufgabe schon als erledigt gelten, und zwar baupisiichlich durch die sogar auf dig allgemeine Gleichung vom hyperbolisehen Typus beziiglichen Untersuchungen yon G o u r s a t 3), da ja die dort gefundenen Ergebnisse im grol~en ganzen auch dann bestehen bleiben~ wenn sich die beiden Kurven, auf denen die Randwerte vorgegeben sind~ auger im Ursprung noch in weiteren Punkten sehneiden. Wit trachten nun, soweit dies eben mSglich sein wird, die iibrigen Fiille auf diesen zurtickzufiihren. Dies gelingt ohne weiteres Ftir Gin Dreieck. Die durch den Sttitz- punkt A gehenden Charakteristiken m6gen beide StUtzgeraden des Bereiches sein, der ganz im ersten Quadranten liegen soll. Von den beiden dureh den StUtzpunkt 33 gehenden Charakteristiken sehneide etwa die zur x-Achse parallele die Seite A C im Punkte D. Durch die Rand.werte auf AB and AD kann in bekannter Weisea) in dem Charakteristikenrechtecke mit der Diagonale AB sogar ftir die allgemeine hyperbolische Gleichung die verlangte L(isung bestimmt

3) Sur un probl6me relatif ~ la ih6orie des 6quations aux d6riv6es 10ar- tielles du second ordre. Annales de Toulouse (II), 5. (1903), S. 403--436 und (II), 6. (1904), 8. 117--144. Auch Cours d'analyse, III. Bd. (1927)~ S. 123 ft. Vgl. auch M y l l e r , Math. Ann. 68. (1910), insbes. S. 97. L a l e s c o , Bull. sciences math. (II), 35. (1911) insbes. S. 210ff.

Mcnatsh. Itir Mathematik and Physik. XXXIX. Band. 6

82 A. Huber,

werden. Um sic auch tiber die Charakteristik BD hinaus ,,fortsetzcn" zu kSnnen, daft man nur mehr auf DC odor B C Randwerte vorschreiben~ wobei im letzteren Falle ihre Ableitungcn in B noch eine

0z leicht angcbbarc Bedingung crftillen miissen~)~ damit -~y entlang BD

stctig wird. Wiihrcnd also im Fallc des Zweicckes auf dcm ganzcn Rande die Werte der LSsung vorgeschrieben werden mtissen~ zeigt sich bereits bcim Dreieck~ da{~ ein Teil der Randwerte schon dutch die tibrigen mitbestimmt wird.

B

. . . . . ,__,.<),-A__ D . - "

Fig. 1.

w 2. Nun sollen keine zwei der vicr Sttitzpunkte zusammenfallen~ unser Bereich sei also ein Viereck. Um in die sich hier dar- bietenden Fiille zuni~chst einige ~bersicht zu bringcn, wollen wir nacheinander annehmen, da~ beide Diagonalen~ nur eine oder kcine Charaktcristiken sein sollen.

Es seien beide Diagonalen des Bereichcs Charakteristiken, in deren Schnittpunkt wir uns den Ursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystemes gelegt denkcn (Fig. 1). Die Stiitzpunkte A, B, C~D haben die Koordinaten (a, 0)~ (0~ b), (c, 0)~ (0, d) und ftir die Seiten ['~ des Viereckes mSge die folgende Darstellung gewi~hlt sein:

['~ ; F~ ; ; Fl . (1)

~) Vgl. z. B. Picard, Legons sur quelques types simples d'4quations aux d4riv6es partielles. Paris 1927, 16 i~me lew

Die erste Randwertaufgabe ffir geschlossene Bereiche etc. 8 3

Die Funktionen g und h seien fiir 0 _ _ ~ r definiert, monoton and wenigstens einmal stetig differenzierbar, so dag hSehstens in A, B, C~ D Unstetigkeiten der Tangente der Randkurve F auftreten kSnnen. Die letztere Voraussetzung ist nicht wesentlieh, wir maehen sic nur, um spi~ter nicht zu weitliiufigen ErSrterungen beziiglich der Ableitungen der LSsung geniltigt zu sein. Die Randwerte seien als differenzierbare Funktionen yon x ( c ~ x ~ a ) gegeben, also z~(x) ftir ['~.

Damit nun eine L6sung

z (x, u) = ~P (x) + ' v (y)

auf F diie vorgesehriebenen Werte annimmt, mtissen die beiden ,willkiirliehen" Funktionen (P und W" die folgenden Bedingungen erftillen:

['~1 . . . . (D (~) .if_ []~" [h I (~)] = Zl (~)

r~ . . . . ,v [g, (~)] + ,v [h, (.~)] = .~ [go. (~)] L (_9)

r , . . . . ,~ [g, (~)] + ,v [h3 (~)] = z~ [g , (~)] J Eliminieren wir daraus aP[g 2 (~)] und tF, so erhalten wir fiir

ap (~) (0 ~ ~ a) die folgende Funktionalgleiehung:

C~) - - �9 [~ (~-)] = F (~) . . . . . . (a)

wobei k (~) = g 4 (~) und

F(~) = ~ (~ ) - -z~ [go (~)] + z~ [q2 ( ~ ) ] - - z , [~, (~)] (4)

gesetzt warden.

Da die Gleichung (3) sehon yon G o u r s a t 5) behandelt worden ist, so wollen wir uns mit ihr nur soweit befassen, als es die hier vorliegenden besonderen Umstiinde erfordern. Damit wir eine stetige LSsung erhalten, mal~ wegen )~(0)~0 und k ( a ) ~ a aueh F(0)

F(a) == 0 sein, was zufolge der Stetigkeit der Randwerte offenbar der Fall ist. Ferner kSnnen wir annehmen~ cs sei stets k (~)~ ~, so da~ lim ;~,~ (~) ~ 0 (~ < a)~ wobei ).,~ (~) ~ k D'~-~ (~)]~ ;% (~) ~ )" (~)

n -----~- ~o

and ;% (~)~ ~, da wir ja den Fall ;~ (~)~ ~ stets auf den ersten zurtiekftihren k~nnen~ indem wir ki (3) ;~(~_) dureh ihre inverse Funk- tion ersetzen. Auf bekannte Weise ergibt sich dann, dal~ die Reihe

5) Annales de Toulouse (II), 6. (1904), S. 133 ft.

6*

8 4 A. t t u b e r ,

. . . . . . ( 5 ) i = O

zunachst formal der Gleichung (3) geniigt. G o u r s a t hat gezeigt, daff sie unter den yon ihm gemaehten Annahmen aueh gleiehmaNg konvergiert~ sobald F (~ )e ine r L ipsch i tz -Bedingung gentigt~ und dag aueh ~P' (~) existiert und sich durch gliedweise Differentiation der Reihe (5) ergibt, wenn aueh F ' (.~) einer Lipsehi tz-Bedingung geniJgt. Die erste Voraussetzung ist bei uns zufolge der Annahmen tiber die zi~ g~ und hi erfiillt, die zweite hingegen haben wir noeh zu fordern, doch wollen wir dermalen yon einer weiteren Verfolgung tier Frage absehen, wie sich diese Forderung auf unsere ursprting- lichen Angaben auswirkt. Da ferner bei Gour sa t iiberall ) ,(~)<~ auSer 9~ ( 0 ) ~ 0 , so konvergiert dort die Reihe (5) fiir jedes ~ ~ 0 gleichmagig. Wegen F [9,~ (a)] = F ( a ) = 0 gilt dies bei uns hier im allgemeinen nicht, die Reihe (5) konvergiert vielmehr nur in jedem Intervall 0 ~ ~ ~ ~ < a gleiehm~gig, so daff r (a) = lira q~ (~) gesetzt

~----~ a

werden muff.

Nun nehmen wir an, es gebe im Intervall 0 < ~ < a mehrere Fixpunkte ~ = % so daff k (c 0 = ci. Dami t dann (3) eine stetige LSsung haben kann, mug F(ci)~0 sein~ so dag wir die obigen Sehlilsse fiir jedes der Teilintervalle (0~ c~); (q, c2); . . . (c~ a) anwenden kSnnen. Ist namlieh fiir 0 < ~ < q stets 9~(~)<~, dann konvergiert (5) flit 0 ~ ~ ~7~ < c~ gleichmaffig und es ist insbeson-

ders q) (q) ~ q) (0) + lim ~ F [)~i (~)]. In entsprechender Wcise lassen ~---~c~ i=0

sieh dann aueh die iibrigen 00 (c 0 durch die noeh willktirliehe Kon- stante (P (0) ausdriicken, um die wir uns iibrigens nicht zu kiimmern brauchen~ da sie ohnehin herausfallcn wird.

Ein fiir das Sp~itere wichtiger Sonderfall liegt vor~ wenn k (~_) ~ wird. Dann ist jeder Punkt yon F ein Eckpunkt eines dem Bereich eingesehriebenen Rechteckes, dessen Seiten Charakteristiken sind. Wir wollen einen solchen Bereich ein ,Deltoid" nennen. Dann lagt sieh cp(~) aus (3) nicht bestimmen und damit in diesem Falls die Randwertaufgabe iiberhaupt eine LSsung haben kann, mug F (~) ~ 0 sein. q) (~) bleibt sodann ftir 0 ~ ~ ~ a bis auf welter unten noch anzugebende Einschrankungen willkilrlieh. Auf die ja yon vornherein einleuchtende Bedingung F ( ~ ) ~ 0 hat bereits H a d a m a r d hinge- wiesen~ doeh erwahnt er nicht~ daff dann die L~sung nieht eindentig

Die erste Randwerta~tfgabe fiir geschlossene Bereiche etc. 85

ist. So werden z. B. dureh den yon den beiden willkiirlichen Kon- stanten a und b (a + b + 1 ~: O) abh~ingigen Ausdruck

z (x,y)= a. (x 2 + y"-) + b. [sin '~ @2) q_ cos 2 (1 --y~)] -4- 1 a-4-b-4-1

oo~ versehiedene L~sungen dargestellt, dig auf dem Einheitskreis, der natiirlieh ein Deltoid ist, den Wert z = 1 annehmen, wo offenbar F (2) = 1-- 1 + 1-- 1 ~ 0 ist.

Wenn also der Bereieh ein Deltoid ist, daf t man auf einer Seite keine Randwerte angeben, mul~ aber daftir, um die Aufgabe

�9 eindeutig zu maehen, andere Bedingungen vorsehreiben, etwa die Werte der L~sung entlang 0A, wobei unter anderem auf die Be-

Oz dingung fiir den stetigen Ansehlug yon -~y entlang 0A (Fugnote 4)

zu aehten ist. Ohne uns darauf naher einzulassen, erwKhnen wit noch den Fall, dal~ nur in einem oder mehreren Teilintervallen yon (0, a ) ~ ( ! : , ) ~ wird, der Bereieh also nur teilweise ein Deltoid ist, da man ja leieht einsieht, welehe Folgen dies ftir die M~gliehkeit und Eindeutigkeit der Aufgabe hat.

Hat man q~(2)=, (,) + C far 0 a aus (5) bis auf die unbestimmt bleibende Konstante C = qb(0) bereehnet, bzw. geeignet angenommen, so kann man aus (2) zunaehst �9 (x) fiir c ~ x ~ 0 dureh Elimination yon q~ [h~ (2)] aus der ersten und zweiten Gleiehung und dann der Reihe naeh W (y) fur 0 ~ y ~ b und d ~ y ~ 0 finden. Damit erhKlt man sehlieglieh fiir die gesuehte L~sung in den ein- zelnen Quadranten die folgenden Darstelhngen ~.+(x,y), wobei die Konstante C herausf~llt. Es sei zun~ehst ~ = HI (y) die inverse Funktion yon y = h~ (~), dann gilt ftir 0 ~ x ~ g, 0 ~ y ~ b:

~, (x, y) = ~ (x) + z~ [//1 (~/)3 - - ~ [H~ (y)] (6 3

Nun sei ~ = G~ (x) die inverse Funktion yon x=y2 (~_)~ dann wird ftir c~__x~O~ O<~y~b:

5. (x, y) =z~ (x)- - z~ [ G (x)] + ,~ [ G (x)] + z~ [H~ (Y)]-- ~ [//1 (y)]. (63)

Weiters bezeiehnen wir mit ~ = H ~ (y) die inverse Funktion yon y=h3 (~) und setzen noch y~[H~ (y)]= H~ (y), dann erhalten wir fiir c ~ x ~ O , d<~y<=O:

~ (x, y ) = z ~ (x) - - z, [G (x)] + ~ [ G (x)] + z~ [H~ (y)] --z~ [H~ (t~)] +

-4- z~ [Ha (y)] - - ~ [H~ (y)] . . . . . . (G)

86 A. Huber,

Die Darstellung der LiJsung im letzten Quadranten liigt sich mit Bentitzung yon (3) vereinfachen, so daI~ man sehliel31ich, wenn noch ),[Hs(y)]:~.(y) gesetzt wird, ftir O ~ x ~ a ~ d ~ y ~ O be- kommt:

~, (x, y) = ~ (x) - - V [,~- (Y)] + z4 [,'- (/t)] . . . . (64)

w 3. Aus (61) - - (64) sieht man ohne weiteres, dal~ unsere LSsung 0Sz

tatsiichlich der Gleichung 0 x 8 ~ - - 0 geniigt und auf j eder Seite des

Randes die vorgesehriebenen Werte annimmt. Zufolge unserer Vor- az 8z

aussetzungen tiber die z~, gi und hi sind auch ~ und ~ im Inneren

eines jeden Quadranten stetig, es handelt sich also nur noch darum, den stetigen iJbergang yon einer Darstellung zur anderen und ihrer Ab- leitungen entlang der Diagonalen zu untersuchen. Das erstere ergibt sich sofort daraus, daft in je zwei aufeinanderfolgenden Darstellungen entweder die yon x oder die von y abhiingigen Bestandteile tiber- einstimmen. Was nun die Ableitungen betrifft, so ist zuniiehst Mar, dag in jedem Sttitzpunkt wenigstens eine yon ihnen schon durch die Randwerte allein yon vornherein bekannt ist. Es seien h~(0)=h's(0)=0~

r t

aber g2 (0) ~ 0 und g4 (0) ~ 0~ dann mtissen wegen der Stetigkeit der Ableitungen der Randwerte

t t \ r i

z~ (0) ~ z~ (0) und zs (0) = z4 (0)

sein und es wird

Oz (o. l~) , az (o, d) , Ox zx (0) und ax " - - z3 (0),

0 Z

und da ~x entlang BD konstant sein muI3, so mtissen:

t r t r

~ (o) = ~ (o) = ~ (o) = ~ (o) . . . . . ( v )

, 0z az Nun seien h~ (0) ~ 0 und auch gi (0) # 0, dann sind -~x und 0"-y

in B und D sehon dureh die Randwerte allein bestimmt und eine leichte Rechnung liefert insbcsonders:

a z (0, b) = z / (O) - -g ( (0 ) , zs'(O) und 0 x l---g((0)

a ~ (o, d) _ go_'(o). ~ ' ( o ) - - . q , ' ( o ) . ~," (o) ax g2'(O)--g4'(O)

Die erste Randwertaufgabe fiir gesch,lossene t~ereiche etc. 87

und daraus wegen ~xx~---eonst far x = 0 :

Zl' (O)--.q2' (O) . z~ ! (0) = g2' (0). zyff (0)--q4.' (0). zg'(O) . . . . . (7 'f) -g~.'(o) g~'(o)-g,'(o)

Wcnn die z(~g" und h/ die Bedingungen (7') bzw. (7") erfiillen~ dann ist auch

uild OXl+o=~OX]_o \OX/_o ~Oxl+o

Aus (61) und (62)folgt niimlieh zuniiehst

(B~ll =,~'(0) und i ~ ' l Zl'(0)--~'(0) aX1+o ~Ox1_o = z ~ ' - ~ ( ) g((o) (s)

Fiir den lqachweis der ~bereinstimmung dieser beiden Ableitungen gentigt es, wenn wir blol~ (7") verwenden, da ja flit zl' (0) = z( (0) und z3'(0)~z, '(0) daraus (7') hervorgeht. Aus (8) folgt nun:

~' (o) = ~ ' ( o ) - . q ; (o). 1--g.'(O) ~ ' ( 0 ) . . . . . . . . . . . . (9)

w~hrend sieh nach (B) dutch Differentiation ergibt:

F ' (03 zl' (0)--g~' (0). z~' (0) + g~' (0). z~' (0):-g,' (0). z,' (0) ~'(0) = 1 - -g , ' (0) ~ --g~' ~0)

Setzt man hier nach (7")

,~o~_.q((~176 g2'(o). ~8'(o)-g, '(o). , , j 1 g2'(o) �9 [~1' (o)-g2' (o). ~ ' (o)],

so ergibt sigh tats~tchlich fUr ,~'(0) wieder der Ausdruck (9). In derselben Weise zeigt man auch die OberGinstimmung entlang O D. Analoge Bedingungen wie (7') bzw. (7") erhalt man ftir die StUtz- punkte A und C und sehliel~t aus ihrem Bestehen genau so wie

0z vorher auf die ~bereinstimmung yon ~y entlang der Diagonale A C.

Auf eine ErSrterung der Fiille~ da~ etwa bei Ann~herung an B yon rechts die Tangente yon F 1 zur x-Achse parallel wird~ bei Anniihe- rung von links dagegen nicht~ und Ehnliche wollen wir nicht ein- gehen~ da sie ja nichts wesenflich Neues bringen.

Die durch (61)--(64) dargestellte Li3sung is, auch die einzige, welche die vorgeschriebenen Randbedingungen und Stetigkeitsforde-

88 A. ~uber ,

rungen erffillt, wenn der Bereich kein Deltoid ist. Denn gi~be es zwei solche LSsungen~ so wiirde aueh ihre Differenz der Gleichung (}~z

~ 0 gentigen und auf dem Rande verschwinden. Dann w~tre Ox 0y aber F ( ~ ) ~ 0 und (3) k(innte ftir )~(~)_~i_=~ als einzige stetige LSsung nut (O(~)~const haben~ was n~ttirlich zur LSsung z ~ 0 ftihrt.

w Wir wollen nun kurz auf eine naheliegende einfache geometrische Deutung der bisher gefundenen Ergebnisse hinweisen. Die Gleiehungen (1) and die Randwerte bestimmen eine gesehlossene Raumkurve C~ deren Projektion auf die xy-Ebene unsere Rand-

kurve F ist. Durch die Gleichung Oxoy--O wird eine - - allerdings

sehr spezielle - - Klasse yon Schiebfiiichen charakterisiert~ deren Sehiebscharen ebene Kurven sind. Aus den vorhergehenden ~berlegungen folgt dann~ da~ man dutch die Raumkurve C im allgemeinen immer eine und nut eine solche Schiebfi~iche legen kann. Wenn aber F ein Deltoid bildet~ dana kann man durch C entweder keine solche Sehiebfii~che legen oder unendlich viele, wenn

F (x)- -z l (x)-z~ [g~ (x)] + z3 [g: ( / ) ] - z, [g, (x)] ~ o.

Die geometrische Bedeutung dieser Bedingung wird sofort klar~ wenn wir die folgende Determinante betraehten:

g~(x) h~ (z) z~ [g~ (x)] ~ t =

x h~ (x) ~, (~) 1 I

- - h~ (x ) -h~(~) z~ [g~(z)]-z~ [g~(x)] = I x - g ~ (x) o z~ ( x ) - ~ [g~ (x)]

�9 - g ~ (~) o z~ ( ~ ) - ~ [g~ (~)_] = 0 h 3 (x)--h I (x) z 3 [gg. (x)] --z~ [g2 (x)] =

o o z , (~)--~. [g~ @)] + z~ [g~ ( ~ ) ] - ~ (x)

= ( ~ - g ~ (x)) . (h~ (x ) - -h~(x) ) . F(~) .

Wenn also F(x)_~O, dann liegen vier Punkte yon C~ deren Projek- tionen auf die xy-Ebene ein Rechteek bilden~ dessert Seiten den Koordinatenachsen parallel sind~ in einer Ebene, und es ist aus geometrischen Grtinden sofort klar, da~ in diesem Falle dareh C

Die erste Randwertau[gabe ft'~r g eschlossen~ Bereiche etc. 89

unendlich viele Schiebfliichen gelegt werden k(innen. Denn sehneiden sich zwei Sehiebfiiiehen der betraehteten Art in einer Raumkurve C, so lassen sich die Punkte yon C bekanntlieh so zu komplanaren Quadrupeln anordnen, da6 ihre Projektionen auf die xy-Ebene Recht- eeke bilden, deren Seiten den Koordinatenachsen parallel sind, also die Projektion yon C ein Deltoid wird.

w 5. Damit wit uns bei den noch zu erSrternden Fallen kfirzer fassen kSnnen, wollen wir nun zeigen, wie sieh die in w 2 ~ behandelte Aufgabe auch auf die yon Goursa t erledigte zurUekftihren llil~t. Ersetzen wir niimlieh in (1) g4 (~) dutch ~, dann erhalten wir statt F~ ein Kurvenstiiek F~ (in Fig. 1 striehliert)~ das ebenfalls yon D bis A monoton verliiuft und mit F~ F2 und F 3 ein Deltoid bildet. Nun mul~ aber jede L(isung~ die auf F1, F2, F3 die beziigliehen Werte zl, z~ z3 annimmt~ auf F~ die Werte

+ [g., (})] . . . . . . ( l o )

annehmen, wir k~nnen also ftir das "con F~ und F4 gebildete Zwei- eck die Randwertaufgabe 16sen, wodurch wir die Liisung unserer ursprtingliehen Aufgabe zuni~chst fiir das Rechteck A OD erhalten. Diese Liisung kann man nun in bekannter Weise 6) naeheinander in die drei tibrigen Quadranten ,fortsetzen"~ wodureh man wieder zu don Darstellungen (61)--(64) gelangt. Sollten sieh F~ und F~ aul~er in A und D noch in anderen Punkten ~ c ~ schneiden~ so mul~ dort 2~ (c,)~z~ (c~) gelten, damit die Aufgabe eine Liisung haben kann, was nattirlich der frtiher geforderten Bedingung F(c~)~O i~quiva- lent ist.

Diese ~berlegungen bleiben aueh dann anwendbar~ wenn F 4 und F~ nur einen einzigen Punkt gemeinsam haben~ und es ist klar, dal3 die L(isung nieht davon abhiingt, welche der Seiten F~ man durch eine andere F~ so ersetzt, dal~ sie mit den tibrigen ein Deltoid bildet. In. I-Iinkunft k(innen wir uns also darauf beschri~nken~ da~ wir versuchen, aus den Seiten des Viereekes ein Kurvensttiek so herzustellen~ dal~ es mit andereu stricken des Randes ein Deltoid oder doch einen Tell eines solehen bildet, mit einer der iibrigen Seiten wenigstens einen Punkt gemeinsam hat und mit ihr in demselben Winkel liegt, den die dureh den Schnittpunkt gehenden Charak- teristiken einsehliefien. Wir werden sehen, dal3 diese Deltoidkon- struktion mit einer Ausnahme stets zum Ziele ftihrt, aber es li~l~t

6) P i c a r d , 1. c.

90 A. gube r ,

sigh kein brauehbares Kriterium finden, mit dem man yon vornherein feststellen k~nnte, wann dieser Ausnahmsfall vorliegt.

w 6. Es sei nur eine Diagonale eine r in die wit uns die x-Aehse gelegt denken~ w~.hrend die y-Aehse durch eine der beiden iibrigen Ecken gehen soll (Fig. 2). Fiir die Seiten unseres Viereckes denken wir uns wieder eine Parameterdarstellung (1) gew~ihlt, wodurGh wit yon Fa und F, freilich nur die Stticke C B' und E A erfassen kSnnen, was aber ftir unsern Zweck gerade gentigt. Die Randwerte seien in derselben Weise wig frtiher gegeben, nur auf dem Sttiek B ' D oder D E dtirfen wit niehts vorschreiben, wie

Y

8

Fig. 2.

- X

sich gleich zeigen wird. Indem wir g~ (~) dureh ~ ersetzen, erhalten wir start E A die Kurve F4, die mit F1, F2 und CB+ ein Deltoid begrenzt und auf der uns nach (10) die Randwerte ~ bekannt sind. Um die Stetigkeit der Ableitungen der LSsung zu gew~thrleisten, hat man noeh ftir die Punkte B, B' und A, C Bedingungen wie (7') bzw. (7") zu beachten. Indem wir nun die Randwertaufgabe ftir das Dreieck A B 'D 15sen, bekommen wir unsere L~sung zun~ehst in dem unter 0A liegenden Rechteck, die wir dann in die tibrigen Quadranten ,,fortsetzen" kSnnen. Genau so wie in w tiberzeugt man sich aueh hier yon dem stetigen Anscblug der LSsung entlang OB' und ihrer Ableitungen entlang tier Koordinatenaehsen. DiG Kurven F~ und l'~ kSnnen sieh auSer in A aueh noch in anderen Punkten sehneiden oder gar ein oder mehrere Sttieke gemeinsam haben, wit wollen aber yon tier ErSrterung derartiger Vorkommnisse

Die erste Randwertaufgabe ftir geschlossene. Bereiche etc. 91

absehen und k~innen dann sagen, daft hier auf einem Stiieke des Randes, etwa B'D oder BD' oder D E die Randwerte schon durch die ant den fibrigen Teilen des Randes bestimmt sin&

w 7. Wenn keine Diagonale des Viereckes eine Charakteristik ist, dann haben wir die beiden Fitlle getrennt zu behandeln~ je naehdem jede Seite yon einer dureh einen Sgitzpunkt gehenden Charak- teristik getroffen wird oder nicht. Im zweiten Falle ist klar, dag stets ein Paar Gegenseiten von je zwei der erwiihnten Charakteristiken geschnitten werden mul~, das andere hingegen nieht.

Wit erledigen zunachst den ersten Fall und denken uns (Fig. 3) fiir F~ das Sttick BA' yon F~ und das Stack EB' yon U3 eine

Y

k I /

Fig. 3.

Parameterdarstellung' (1) gewiihlt, F4 dagegen ersetzen wit durch die Kurve [~ mit den Gleiehungen: x=~ , ~ ] = h 3 (~_), die mit den ersten drei Kurvensttieken einen Teil eines Deltoides bildet. Da F, wie F~ monoton ist und ihre Endpunkte auf verschiedenen Seiten von F~ liegen, so sehneiden sieh F~ und F~ wenigstens in einem Punkte S und liegen auch in demselben Winkel~ den die dutch S gehenden Charak-

~2z teristiken einsehliegen. Eine LSsung der Gleiehung ~x~y~-O, die auf

['~, BA'_ und CB~ die beziigliehen Werte 21, z2, za annimmt, muff auf F~ die dureh (10) bestimmten Werte z~ annehmen. Wenn die auf F~ gegebenen Werte z 4 die Bedingung z~ (S)-~- 2~ (S) erf'fillen, dann k(J.nnen wir die LSsung zun~chst ftir das Rechteek OAFG

92 A. t t u b e r ,

bilden und in die Quadranten AOB und BOA r fortsetzen. Da uns nun die Werte der LSsung auf 0 G und A'0 bekannt sind, so kennen wir die LSsung auch im Rechteek A'OG, yon der man sich leieht tiberzengt, dal~ sic tats~iehlieh auf EB r die urspriinglich gegebenen Werte annimmt. Dureh die auf AIE danach bekannten Werte der L6sung nnd die gegebenen Randwerte anf CE ist sehliei3- lich die L0sung aueh in dem restlichen Dreieek ArEC bestimmt. Indem wit die naeh dem Muster yon w 3 vorzunehmende Aufstellung der Bedingungen fiir den stetigen Ansehlul~ der Ableitung'en der L6sung entlang AA'~ B B r und A ' E unterdriicken~ bemerken wir

C i . . . . . . . C' f

Fig. 4.

nnr noeh, dal~ hier also auf zwei Randstiicken, etwa A'C und B'D, keine Randwerte vorgeschrieben werden diirfen. Die Bereiche yon w 2 und w 6 sind offenbar Grenzfi~lle des bier betrachteten.

w 8. Bei dem noeh ausst~indigen Fall, wo nur ein Paar Gegen- seiten yon den dureh die Sttitzpunkte gehenden Charakteristiken geschnitten wird, fiihrt unsere Deltoidkonstruktion nicht immer zum Ziel. Es seien A B und CD jene Gegenseiten unseres Viereekes, die yon den dutch C,D bzw. A,B gehenden Charakteristiken getroffen werden, die sieh selber in den Pnnkten N bzw. M schneiden mSgen (Fig. 4). Wenn nieht beide Punkte M und N im Inneren oder im :&_u~eren unseres Bereiehes Iiegen, dann li~l~t sieh die Randwertauf- gabe sofort auf die im w 7 erledigte zuriickftihren. Es liege'namlich etwa M im Inneren nnd N im/~ul~eren des Bereiehes. Nehmen wir das yon den Randstiicken CIB CB' bestimmte Deltoid vom Bereiehe weg, so bleibt ein Viereek A C'B'D iibrig~ yon dem jede Seite yon

Die erste Randwertaufg~be far ges~hlossene Bereiche, etc. 93

einer dureh seine Sttitzpunkte gehenden Charakteristik getroffen werden mug. Um fiir dieses die Randwertaufgabe l~sen zu k6nnen, diirfen wJir insbesonders anf C'D' and A"B' niehts vorsehreiben. Da ferner wegen (10) dureh die Randwerte auf C'BCA" die LSsung auf A"C' sehon bestimmt ist, so diirfen also insgesamt auf A'B' and C'D' keine Randwerte gegeben sein. l~attirlich hat man sich aueh hier noch yon dem Bestehen analoger Bedingungen wie (7') bzw. (7") zu iiberzeugen. Man hat also zuniichst die LSsung fiir das Viereck AC'B'D zu suehen and diese dann fiber die Charakteristik C C' hinaus in die drei iibrigen Quadranten des Deltoides fortzu- setzen. Diese r erfahren nur leicht bemerkbare Abande- rungen, wenn einer oder beide Punkte M: N auf dem Rande liegen. Im letzteren Falle kann auch das nach Abtrennen des Deltoides B CMN iibrigbleibende Viereck wieder ein Deltoid sein and dann ist Mar, da$ unsere Aufgabe entweder gar keine oder unendlich viele LSsungen hat. Von diesem Falle abgesehen, kSnnen wir daher hier sagen, dag man auf dem ganzen Rande, mit Ausnahme eines oder zweier Sttieke die Werte der L~sung vorgeben mug, je nachdem beide Punkte M und N oder nur einer auf dem Rande, oder einer im Inneren and der andere im ~ugeren des Bereiches liegen.

Aueh dann, wenn die beiden Punkte Mund N dutch den Rand nieht getrennt werden, kann unsere Deltoidkonstruktion manehmal noeh angewendet werden. Dies ist der Fall~ wenn M und N im Inneren liegen and die analog wie in Fig. 3 konstruierte Kurve F~ mit der Seite F~ wenigstens einen Pankt gemeinsam hat und all- gemeiner dann, wenn man dutch wiederholtes Abtrennen yon Del- toiden einmal zu einem Bereich yon den in den w167 2, 6, 7 betrachteten Arten kommt. Indem man fiir diesen die Randwertaufgabe 15st und die gefundene L~sung nacheinander in die Deltoide nach riiekw~irts fortsetzt, erhalt man sie schliel~lich fur das ganze dem Bereiche um- sehriebene Charakteristikenreehteek. Ob man dabei auf dem ganzen Rande die Werte der LSsung vorzuschreiben oder ob man ein oder zwei Stiieke davon auszunehmen hat, hangt natiirlich voh der Be- sehaffenheit des iibriggebliebenen Bereiehes ab. Um uns spater kiirzer ausdriicken zu k~nnen, wollen wit einen solehen Bereich ,reduzibel ~ nennen. Wenn auch der Restbereich ein Deltoid wird, dann stellt sich natiirlich aueh hier die bekannte Alternative ein, dag entweder keine oder unendlich viele LC}sungen vorhanden sind. Einen solchen Bereieh wollen wir einen ,,deltoidalen" nennen. Unsere Deltoidkon- struktion mug nattirlich versagen, wenn man dieses allmahliehe Ab-

(34 A. l=[u b e r,

trennen yon Deltoiden ad inf. fortsetzen kann, ohne jemals auf einen Bereich yon der in den w167 2, 6, 7 behandelten Art zu kommen. Wir werden spiiter sehen, unter welehen Bedingungen auch ftir solehe Bereiehe die Randwertaufgabe gelSst werden kann.

w 9. Die Untersehiede der soeben gefundenen Bereichtypen treten besonders seharf hervor~ wenn wir das folgende Sehliegungs- problem betrachten. Es sei Po ein beliebiger Punkt des Randes, der nut mit keinem Sttitzpnnkt zusammenfallen soll. Wit ziehen durch Po die zur x-Achse parallele Charakteristik (x-Ch.), die den Rand zum zweitenmal in /)1 treffen m~ge. Dureh />1 legen wir die y-Ch, die den Rand noeh in P~ schneider usw. Dies kiinnen wir offenbar ad inf. fortsetzen, wenn wit nieht einmal in einen Sttitzpunkt oder zum Aus- gangspunkt Po zurtickkommen. Einen zweiten Polygonzug erhalten wir, wenn wit dutch Po zuerst die y-Ch, dureh ihren zweiten Schnitt- punkt P-1 mit dem Rande die x-Ch. ziehen, die den Rand zum zweitenmal in /)-2 treffen mSge usw. Dieses Polygon, das wir so jedem Randpunkte zuordnen kSnnen~ wollen wir mit H a d a m a r d das zu ibm gehSrige A-Polygon nennen und die beiden Teile /)1,/)~,/)8 . . . . bzw. P _ I , P - s , P - 3 ~ �9 . �9 seine Ztige. Fiir einen Sttitz- punkt reduziert sich das A-Polygon nut auf einen einzigen Zug. Kommt man wieder zum Ausgangspunkt znriiek, so soll das A-Polygon geschlossen heigen. Es besteht offenbar aus einer geraden Anzahl Seiten. Zu jedem Randpunkt eines deltoidalen Bereiehes gehSrt ein geschlossenes A-Polygon~ dessen Seitenzahl yon der Lage des Rand- punktes unabh~ingig ist, wenn man die Seiten eines zu einem Sttitz- punkte gehSrigen A-Polygones~ das natiirlich in einem anderen Sttitzpunkt endigen mu$ und das ein ausgeartetes A-Polygon heigen m(ige, doppelt zi~hlt. Danaeh k~nnen wir nmgekehrt die deltoidalen Bereiche dadurch kennzeiehnen~ da$ ftir sie unser Sehlie6ungspro- blem eine kontinuierliche Folge yon L6snngen hat.

Wir nehmen nun an, unser Schlie$ungsproblem habe nur end- lieh viele Liisungen und es seien G und H zwei auf dem Rande aufeinanderfolgende Eeken desselben oder versehiedener gesehlossener A-Polygone Aa und A ~ wobei A a 2 n Seiten haben mSge. Wenn ein Punkt auf dem yon G und H begrenzten Teile des Randes liegt, der yon Ecken gesehlossener A-Polygone frei ist, dann wollen wir kurz sagen: er liege zwischen G und H. Wi~hlen wir einen Randpunkt -Po gentigend nahe bei G, dann mfissen aus Stetigkeitsgrtinden aueh die Eeken P2~ und P__:. des zu ihm gehiirigen A-Polygones nahe

!Die erste Randwertaufg~be fiir geschlossene, Bereiche er 95

bei G liegen, und zwar ebenfalls zwisehen G und H, wenn P0 zwisehen G und H angenommen worden war. Denn liegt die durch G gehende

x-Ch. reehts yon POP1, dann mug die folgende Seite yon Aa links

yon _Pl P~. liegen usw. Da aber Aa 2n Seiten hat~ so mug die letzte

Seite yon Ao links yon P2~-1 P:~ liegen, P2~ also ebenfaUs zwisehen G nnd H. Genau so folgt auch, daft P_~ zwischen G und H nnd Po zwischen P2= und P_:~ liegen mug. Wenn sich nun Po yon G gegen H bewegt, dann miissen sieh P2~ und P-2,~ im selben Sinne bewegen nnd immer auf verschiedenen Seiten yon Po nnd zwischen G und H bleiben, da man sonst zu der unserer Annahme wider- sprechenden Folgernng kiime~ dag sich zwisehen G und H noeh eine Eeke eines gesehlossenen A-Polygones befinden miit~te. Daraus kSnnen wir schliefien, da$ de~ eine der beiden Ztige des zu einem zwischen G und /-I liegenden Punktes geh~rigen &-Polygones gegen Ao und der andere gegen An ,konvergieren" mug. Diese ~berlegungen gelten aueh dann, wenn zwischen G und H ein Stfitzpunkt liegt oder wenn G selber ein Stiitzpunkt ist, so dag AG ein ausgeartetes gesehlossenes A-Polygon wird. Es ist klar, da$ ein Bereich ~, dem sich nur eine endliehe Anzahl gesehlossener A-Polygone einsehreiben liifit, reduzibel ist und dag der naeh Abtrennung" des letzten Deltoides fibrigbleibende Bereieh yon der in w 2, w 6 oder w 7 betrachteten Art ist, je naehdem sich unter den !~ eingesehriebenen geschlossenen A-Polyg0nen zwei~ eines oder kein ausgeartetes befinden.

w 10. Wenn sieh nnserem Bereieh kein einziges gesehlossenes A-Polygon einsehreiben li~gt, dann kann man wohl kaum fiber die Ecken eines beliebigen A-Polygones ohne weitgehende Spezialisiernng etwas Bestimmtes aussagen. Die bisher angewendeten t3berlegnngen zur L6sung der Randwertaufgabe versagen hier~ doch kann man sie unter spiiter noch anzugebenden Voraussetzungen direkt auf das Cauehysehe Problem zurtiekftihren.

Unsere Randkurve F sei in der Form x ~ g ( t ) , y~h(t) gegeben, wobei wir der Einfaehheit halber noeh annehmen wollen~ dag F: iiberall, also auch in den StUtzpunkten eine stetige Tangente haben soll. Wenn also t ~ a~ b, c~ d die zu den Sttitzpunkten A, B, C, D gehSrigen Parameterwerte bedeuten, dann soll:

.q'(~)=O, h ' ( a ) # O ; S(b)#O~ h ' @ = O ; g ' ( c )=O, h ' (~ )#O;

g' (u) # o, h'(d) = O.

96 A. Huber,

Bezeiehnen wir ferner dig stetig differenzierbaren Randwerte ~z ~z

mit 2 = f ( t ) und die Werte yon ~ und -~y in den zum Parameter-

weft h gehSrigen Randpunkt Pi mit p (h)~ q(h), dann gilt:

Da naeh unserer Annahme die y-Ch. Sttitzgerade in A ist~ so besteht AA nur aus dem einen Zng mit den Eeken A~ A2~ A ~ , . . . , die zu den Parameterwerten t = a~, a2~ aa: . �9 �9 gehgren mSgen. Ftir diese. Eeken A~ folgt nach (11):

/ ' = f p + (,,) q t (11')

Fiir eine mit stetigen Ableitungen versehene L(isung unserer Randwertaufgabe kann man daher wegen ~ (a)=?(a~) ; ff (a2~)~

q(a2,~+~) und p (a2,_~)~p (a%) aus (11') etwa die p (a o berechnen und dieselben I~berIegungen lassen sieh auch ftir die drei anderen Sttitzpunkte anstellen. Wenn nun F und f ( t ) die folgenden Bedin- gungen erftillen:

1. dal3 die Eeken der zu den Sttitzpunkten gehtirigen A-Poly- gone, yon denen ja keine zwei zusammenfallen dtirfen~ auf F tiberall dieh~ liegen, und

2. dati dureh die naeh dem soeben angegebenen Verfahren in diesen Eeken bestimmten Werte der einen der beiden partiellen Ab- leitungen diese entlang des ganzen Randes als stetige Funktion yon t definiert werden kann, dann wiire unsere Aufgabe auf das Cauehy- sche Problem ftir jede der vier Randseiten zurtickgefiihrt. Man hiitte allerdings noch zu zeigen, dat~ diese vier TeillSsungen und ihre Ableitungen entlang der gemeinsamen Begrenzungslinien ihrer Defini- tionsbereiehe und in dem diesen gemeinsamen Reehtecke tiberein- stimmen.

w 11. Wir wollen nun diese allgemeinen Betrachtungen durch ein Beispiel illustrieren, bei dam man das Erfiilltsein der beiden obigen Bedingungen leieht nachweisen kann, und wiihlen hiezu die Ellipse: x ~ a . cost s y ~ b . cos (t--k). Die Eeken Pi und P-i des

Die erste Randwertau~ga,be ftir gcschlossene Bereiche etc. 97

zum Randpunkt P (to) gehSrigen A-Polygones gehSren dann zu den folgenden Parameterwerten:

P.2~-~ �9 �9 �9 t2~-1 ~ 2n k - - t o P~ . . . . t2~ ~ - 2n k + to P-2~+1 . . . t-~,~+l = 2 (n - - l ) k - - t o (n ~ 1, 2, 3, . . . ) .

P - 2 . . . . t _ ~ ~ 2n k + to

Daraus sieht man unmittelbar~ dalt keine zwei Ecken des A-t 'olygones zusammenfallen k(innen und insbesonders sehon die

Eeken eines Zuges auf der Ellipse tiberall dieht liegen, wenn ~ -

irrational ist, was wir auch stets voraussetzen wollen.

Iqun ist nach (11):

f ( - - to + 2 n k ) = a . sin ( t o - - 2 n k ) .29 (t2~-1)+b �9 sin ( t o - - ( 2 n - - 1 ) k) .

. ~ ( t 2 ~ - 1 ) .

f (to - - ( 2 n - - 2) k) = - - a . sin (to - - (2 n - - 2) k) . 29 (t2,~-2)--

- - b . sin (to-- ( 2 n - - l ) k). ~ (t:~_.o)

und daraus folgt wegen

q (t2~-1) = ~ (t~_2)

f (to - - (2n--2) k) + f (--to + 2 n k) = a . [sin (to - - 2 n k). p ( t~ ,_l ) - -

- - sin (to - - (2 n - - 2) k) . 29 (t2n-2).

Ersetzt man hier nacheinander n dureh n-- l~ n- -2 , . . . 2, 1 und addiert die so entstehenden Gleiehungen, dann erhiilt man wegen

j02~-- 2 ~ j O 2 n - - 3

a. [sin (t o + 2 n k). p (t2,-~) - - sin t o . 29 (to)] = ~ I f ' ( - - to + (2 h + 2) k) + h ~ 0

+ f ' ( t o - - 2 h k ) ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (12').

In entsprechender Weise findet man fiir die Eeken des anderen Zuges die folgende Darstellung yon p (t_2~)=29 (t_2,~-1):

a . [sin ( t o + 2 n k ) .2( t -2 ,~) - - s i n to .29 ( t o ) ] = - - ~ I f (to + (2h + 2) k) + h ~ 0

+ f ( - - to - -2hk) ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . (12"). Monatsh . ffir Mathemat ik und Physik. XXXIX. Band. 7

98 A. tIuber,

Sind nun A und C die zu to = 0 und to = = gehSrigen Stiitzpunkte, dann folgt aus (12'):

- -1 A . . . p ( t . 2 ,~_~)=p( t2@-- a s i n 2 n ~ k

1 C . . . p ( t ~ _ ~ ) = p (t2~)-- a sin 2n~ k

f"~-' ((2h+2)s,-~:)]} (13~) �9 ...

Fiir die zu t o = k und t o ~ + k gehSrigen Sttitzpunkte dagegen ergibt sich aus (12"):

- - 1 B . . . p (t_~.~.~)=p(t_:,~,_~)= a . sin (gn~ + 1)k "

1 D . . . p ( t_~. , , )=p (t_2,~,_~)= a . sin (2n4 + 1)k"

�9 I t h~ o

Zufolgc unserer Annahmen beztiglich der Randwerte kSnnen wh- sie in der folgenden Form darstellen:

oO ~o f (t) = ~ - + ~ (a~ . cos rot+bin sin mt),

m - - l _

wobei auch (30

f (t) = ~ m (b,~ cos m r - - a,~ sin rot)

Die erste Randwertaufgabe ffir geschlosseae, Bereiche etc. 99

gleichmiiffig konvergieren sell. Dann zeigt eine einfaehe Reehnung~ ~z

dal~ tatsi~chlieh die durch (13~)--(13~) gelieferten Werte yon ~ die-

selbe Funktion yon t definieren, niimlich

1 " ~ s i n m t m.(a,~--b,~ ctgmk) (14) p ( t ) ~ a . sint . . . . . . . . . �9 /1 =]_

Damit aber diese Reihe gleichmiigig konvergiert, mtissen die b.~ die Bedingung

lira m 2 . c t g m k , b m ~ 0 m---+ (30

erftillen, die sehon H a d a m a r d auf kiirzerem Wege gefunden hat. Damit ist aber unsere Aufgabe auf das Cauehysehe Problem far jede der vier Seiten des Randes zuriiekgeftihrt. Bezeiehnen wir mit tl nnd t~ die Parameterwerte, die zu einem der zwei Sehnittpunkte der dureh den Punkt P(~, ~) gehenden x-Ch. bzw. y-Ch. geh~ren, wobei P(~, ~) nattirlieh dem der Ellipse umsehriebenen Charakteristiken- reehteeke ~ angehiiren mug und ~ a e o s t . ) , ~ b cos ( t ~ k ) , dann ergibt sieh aaf bekannte Weise 7) der folgende Ausdruek ffir die LSsung unserer Randwertaufgabe:

t 2

z (t~, t~)--~f( t l)-- a . f p (t). sin t dt = ao �9 ~ + ~ [a m COS . $ t I +

tl m = l

A- b~ . sin m t~ -4- (cos m t2-- cos m t~). (a.~-- b+~ ctg m k)]

a 0 ~m - - ~ + ~, [(a~-- b~ etg m k ) . cos m t~ + sin mk " cos m (tl - - k)].

Da man hierin t2 dureh (--t2) und tl durch (2k--t1) ersetzen kann, so gilt diese L(isung im ganzen Reehteeke ~ und hat aueh die gewtinschten Eigenschaften.

Die bisher beniitzten allgemeinen ~berlegungen lassen sich auch auf die zweite und allgemeinere Randwertaufgabe anwenden, wobei freilich der Rand eine tiberall stetige Tangente haben muff und an Stelle der einfaehen Funktionalgleichung (3)kompliziertere treten.

7) Vgl. z. B. G o u r s a t , Cours III . Bd. (1927)~ S. 115ff.

7*

100 A. K u b o r, Di~ e~rs~e Randwer~aufgabe fi~r geschloss~ne Bereiche e~c.

Wie weit sie aber auch auf die allgemeine lineare Gleichung yore hyperbolisehen Typus anwendbar sind~ das hiingt wesentlich davon ab, ob sich auch dann fiir ein Deltoid eine der Bedingnng ([0) iiquivalente :Relation finden liil~t, wortiber wir bei einer sp~iteren Gelegenheit Niiheres mitteilen werden.

(Eingeg~ngen: 12. VI. 1931.)

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Die erste Randwertaufgabe für geschlossene Bereiche bei der Gleichung