M . v. Laue. Die IGuoreszenzrontgenstrahlung von Ein kristallen 705

D i e Z’ZuoresxenxrbntgenstrahEung von Ednkristal lsn

(Mdt efnern Anhang Qber Elekt**onenbeugung)’)

Von H. v. Laue (Mit 4 Figuren)

Der optische Reziprozitltssatz irn Vcrein mit der dynamiselien Theorie der Rb;ntgenstrahlioterferenzen ergibt die Deutung der Versuche uber bevor- zugte Ernissionsriehtungen bei einein Einkristall. Die Rikuchilinieii sind das Analogon dam fur Elektronenwellen.

Die Interferenzerscheinungen bei Ausstrahlung eines Kristalls, welche wir niittels des Reziprozitiitssatzes deuten wollen, beschreibt K o s s e l in der unmittelbar vorhergehenden Arbeit; ich brauche nichts daraus zu wiederholen. Eine leichte Einschriinkung mochte ich freilich machem. DaB C l a r k und D u a n e bei ihreu Versuchen aus den Jahren 1923-1 925 lediglich Opfer von Irrtiimern geworden sind, scheint mir aus mehreren Griinden , die auseinanderzusetzen etwas weit fiihrte, unwahrscheinlich. Aber was man auch sageii mag, es verbleibt hinter ihnen ein Fragezeichen; unbestreitbar bleibt es K o s s e l s Yerdienst, ZUIU erstenmal einwandfreie, sichere Versuche augegeben zu haben, vor allem dadurch, daB er die frag- liche Erscheinung in ihrer ganzen Ausdehnung beobachtete, also ganze Kurven statt einzelner Punkte darauf (wie es die amerikani- schen Beobachtungen waren) aufriahm.

teilen unsere Ausfiihrungen ein, wie folgt : Der Reziprozitiitssatz der Maxw ellschen Theorie. Grundziige der dynamischen Theorie der Ronteninter- ferenzen.

A. Das einzelne Wellenfeld im Kristall. B. Eintritt und Austritt der Rontgenstrahlen.

Die elektrische Schwingung im Fall I. Die Gesamtstrahlung im Fall I und die komplelnentiren Interferenz kegel. Die elektrische Schaingung im Fall 11. Die Gesamtstrahlung in1 Fall 11. Verallgemeinerung: Die Strahlenebene stelit nicht mehr senkrecht auf der ObedHche des Kristalls.

1) Im Auszug vorgetragen am 21. 6. 36 vor der l’bysikalischen Gesell- schaft zu Berlin; vgl. such M. v. L a u e , Naturwisssenschaften 2% S. 373. 1935.

706 Annulen der l'hysik. 5. Folge. Band 23. 1935

8 8. Allgemeine Bemerkungen. Anhang: Ubertragung auf die Elektroneninterferenzen. Wir geben zunachst eine Pfbersicht der wichtigsten Bezeich-

nurigen: a,, a,, a3 Translationen des Raumgitters; t: Radiusvektor von einer Ecke der Gitterzelle zu einem Atom; b, , 6, , b, Translationen des reziproken Gitters; b,, = 6%,

E die dreifach periodische Dielektrizitatskonstante; q = 1 - 1 vgl. G1. (2); ym = y%,w,a,m, Fourierkoeffizient von y , vgl. GI. (3); 8," = I ! + , ~ ~ , ~ ~ , n2a Azimuth der komplexen Zahl ym, vgl. G1. (3'); Y Frequenz der Riintgenwelle; k = 5 bestimmt die Vakuumwellenlange;

= m1 6, + m, 6, + m, b, (m,, ma, m3 ganze Zahlen mit dem groBten Teiler M ) ;

'0 } Wellenvektoren im Gitter, vgl. G1. (4); R, = e0 + b, Wellenvektoren im leeren Raum; 1 9s"'

QW m

5Q elektrische Verschiebung ; 5Qm Fourierkoeffizient nach G1. (4); Xn Braggscher Winkel, gemessen von b, zu em; 0 = I - 2x0 Winkel zwischen R, und Rm nach der elementaren

x Einfallswinkel der Welle Qo, gemessen zwischen dem inneren

y Neigung zwischen Kristalloherfliiche und spiegelnder Netzebene

Theorie, vgl. G1. (10);

Lot 8 der Kristalloberfliiche und go; vgl. Fig. 1.

vgl. Fig. 1;

= CYB q, Richtungskosinus von $to und R, gegen das Y,= - C O S k B - y )

innere E'lachenlot 8 gemiitS der elementaren Theorie; vgl. G1. (9); r, , r,, r, sind definiert in G1. (23); v bestimmt die Richtung 9,; es ist aber verschieden definiert fur

Fall I, Fall 11, 1, 11, 2 und 11, 3. Vgl. die vier G1. (18).

$ 1. Der ReziprozitEtesatz der Maxwellechen Theorie Der Reziprozitatssatz handelt von der Vertauschung von Licht-

quelle und Aufpunkt und sagt aus, daB die Lichtintensitiit und die optische Lange des Lichtweges dabei ungeandert bleibt. Er findet sich an verschiedenen Stellen der Optik; am liingsten in der geo-

M . v. Law. Die E'luoreszenzrontgenstrahlung von EankristaUen 707

metrischen Optik, jedoch auch in der Theorie der Beugung. Die allgemeinste, unmittelbar an die Maxwell schen Gleichungen an- kniipfende Formulierung, welche jede Voraussetzung iiber Form und GroBe der Korper im Strahlungsfelde vermeidet, auch jede kristal- line Struktur und jeden Grad von Absorption zul&Bt, hat H. A. Lo- r e n t z l) 1905 veroffentlicht.

L o r e n t z fiihrt in dieser Abhandlung in die Maxwellsche Gleichung fiir die Rotation der magnetischen Feldstiirke,

1 rot @ = -6 c '

den aus Leitungs- und Verschicbungsstrom zusammengesetzten Ge- samtstrom 6 ein und verbindet ihn mit der elektrischen Feldstarke 0: und der ,,elektromotorischen Kraft" Ee durch eine lineare Be- ziehung, deren Koeffizienten i. A. komplex sind und von der Fre- quenz der Schwingungen abhiingen. Piir stationiire Felder ist dies die bekannte Beziehung der Maxwell when Theorie, welche die Stromerzeugung z. B. im galvanischen Element darstellt; die Koeffi- zienten sind reell. Fur ein Dielektriknm enthalt dieselbe Gleichung die Beziehung zwischen Verschiebungsstrom und 6; die Koeffizienten sind reiu ima.ginar, die elektromotorische Kraft Ee ist hier i. A. Null. lu'ur wo eine Strahlungsquelle liegt, ist ein Ee vorhanden; wir setzcn es stets als sinusformig mit der Frequenz Y schwingend voraus. Es ruft dann ein Strahlungsfeld derselben Frequenz hervor. An- schaulich liiBt sich ssgen: Wo eine periodische elektromotorische Kraft besteht, ruft sic einen periodischen Strom hervor, der Ladungs- verschiebungen und damit ein Dipolmoment an seinem Orte erzeugt, von dem dann die elektromagnetischen Schwingungen ausgehen. Die Ursachen einer ,,elektromotorischen Kraft" zu untersuchen, lie@ auBerhalb des Rahmens unserer Betrachtungen 9.

Fiir zwei in der Frequenz Y iibereinstimmende, aber von ver- schiedenen elektromotorischen K r i t e n im gleichen materiellen System erregte Strahlungsfelder, unterschieden durch die Indizes 1 und 2, leitet Loren tz nun durch Rechnungen, wie sie sonst zum

1) H. A. Lorentz , Verslag von de gewone Vergadcring cler Wis- en Natuurkundige Afdeeling Akademie van Wetensehapen te Amsterdam 14. 8.345. 1905; oder (englische Ausgabe) Proceedings Amsterdam 8. S. 401. 1905. Die Arbeit fuhrt auf JIolliindisch den Titel: ,,Over de warmteetraling in een Stelsel lichamen van overal gelijke temperatuur I".

2) 11. A. Lorentz ful~rt auber den elekt.romotorischen auch magneto- motorische KrLfte ein. Was seinerzeit nur als formale Analogie zur elektro- inotorischen I h f t erschien, wird heute, da wir in geivissen Spektrallinien

708 AnnuZen der Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

Point ingschen Satz fiihren, die Gleichung ab l):

Das linksstehende Plachenintegral verschwindet nicht nur, wenn das Strahlungsfeld von einer vollkommen leitenden Hiille umgeben ist und somit die tangentiellen Koniponenten beider Feldstarken iiberall auf ihr Xu11 sind, sondern auch, wenn die Korper, die in ihm liegen, iiberall vom leeren Raum umgeben sind; L o r e n t z weist niimlicli nach, daB dann fur eine unendlich ferne Grenzflache

J [w @(2)1, d = J[w) g j q a ist. Diese Voraussetzung tri& nun genau genug auf die Anordiiuug bei den Rontgenstrahlversuchen zu. Dann mu6 also auch das in (1) rechts stehende Baumintegral Xull sein.

Dies verwendet Loren tz fur zwei Felder, bei denen elektro- motorische Kriifte nur in der nachsten Umgebyng j e eines Punktes vorhanden sind, Ep' nur bei P(l), (3:) nur bei' p'?' Es folgt:

Die Integrationen erstrecken sich iiber die Raumteile bei P(l) und P(2) , in denen ql' oder (5:) von Kull verschieden ist; deren Abmessun- gen miissen gegen die Wellenlange klein sein, weil nur dann E@) und E(l) als in ihnen konstant gelten diirfen. Der Vektor JE!) d S(l) habe nun die Richtung h('), JEr) d S"' die Richtung h(2); xudeni seien beide, absolnt genommen, gleich. D a m sagt die letzte

Ijer erste Index bestimmt die Komponente des Vektors oder G'a', der zweite den Ort, fur welchen der betreffende Vektor betrachtet wird.

Ruft eine Strahlungsquelle bei P(l), deren Schwingungsrichtung hcl) ist , in P@), und xwar in der Richtung h"), den Strom G!y2)p(2) hervor, so ruf t eine glekhstarke Strahlungsquelle bei PW, deren Schwin-

mugnetische Dipolschwingungen sehen (J. B l a t o n , Ztachr. f. Phys. 89. S. 155. 1934) eine notwendige Ergahzung der Theorie. Trotzdem diirfen wir im Text dsvon absehen, da die RBntgenemissionslinien elektrisch und nicht magnetisch entstehen.

In Worten sagt dies aus:

1) G1. (25), a. a. 0.

M . v. L a w . Die Fluoreszenzrontgenstrahlun~ von Einkristallen 709

gungsrichtung ist , in P(l), und zwar in der Richtung h(l), den gleich starken Strom 'sr:l, p ( l , hervor.

Die Strome sind in dem uns interessierenden Falle Verschie- bungsstrome; wir konnen sie im Reziproxitatssatz durch die elck-

trischen Verschiebungen 9 ersetzen, da dt = 2 !a i v zb ist. G1. (1)

samt den Folgerungen daraus gilt fiir die Momentanwcrte. Des- halb sagt

a %

C p - %(I) )'(C p(1) - h @ ) P(2J

auch Gleichheit der Phasen, gemessen an den Phasen der Schwin- gungen C$f) und Qf' , aus, d. h. Gleichheit der optischen Weglangen von P(l) nach P(?) und umgekehrt, soweit man diesen Begriff iiber- haupt verwenden kann.

Eine bekannte optische Anwendung des Reziprozitatssatzes be- zieht sich auf zwei Lichtquellen, von denen die erste in einem Korper mit hoherem, die zweite in einem mit niedrigerem Brechungs- index liegt, und zwar so, daB die Zustrahlung von 1 nach 2 auf einem Wege erfolgt, welcher nach der geometrischen Optik an der Grenzflache beider Korper Totalreflexion ergabe. Liegt 2 der Grenze bis auf Lichtwellenabstand nahe, so erhalt es trotzdem Licht vermoge der inhomogenen Wellen, die sich langs der Grenze fort- pflanzen. Infolgedessen strahlt 2 unter diesen Umstanden auch nach 1, also in den Raum hinein, der nach der geometrischen Re- grenzung des Bereichs der Totalreflexion fur seine Strahlung unzu- ganglich ist. Dies bestitigt ein bekannter Versuch von Se lenyi l).

Wir denken uns im folgenden die eine Strahlungsquelle so weit auBerhalb des durch eine Ebene begrenzten Kristalls, daB ihre Strahlung als ebene Welle auf diescn fallt, aber immer noch eine endliche Energie auf die Flacheneinheit trifft. Wir fragen nach der elektrischen Verschiebung am Orte eines Atoms und schliefien dann auf Grund des Reziprozitatssatzes auf die elektrische Ver- schiebung, welchc dieses Atom als Strahlungsquclle am Orte der ersten Lichtquelle, also in einem ,,im Unendlichen" liegenden Punkte hervorruft, zu dem die der Einfallsrichtung des ersten Falles ent- gegengesetzte Richtung hinfuhrt.

Gcgenuber allen bisherigen Anwendungen des Satzes bezieht sich die neue, die wir als Deutung fur die erwahnten Riintgen- strahlvcrsuche bringen, auf einzelne Atorne als Strahlungsquellcn, und es kommt dttbei auf die Lage der Atomc im Strahlungsfelde

1) P. Se leny i , C. R. 167. S. 1408. 1913. Vgl. auch Handbuch der Ex- perimentalphyeik, Bd. 18, S. 159 (Leipzig 1928).

47

~- -

Annalen der Physik. 5. Folge. 23.

710 Annulen der Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

mit einer Genauigkeit an wie nie zuvor; denn in den stehenden Wellen, von denen die Rede sein wird, haben die Knoten und Bauche Abstande von der GroBenordnung cm. Darum scheinen uus die genannten Versuche besonders interessant zu sein I).

0 2. Grundaiige der dynamiechen Theorie der Rontgeninterferenzen A. D a s e i n z e l n e W e l l e n f e l d im K r i s t a l l

Die dynamische Theorie der Rontgeninterferenzen benutzen wir in der vom Verf. entwickelten, der stetigen Verteilung der Elek- tronenladungen iiber das Gitter wohl am besten entsprechenden Forma). Wir sehen von Absorption ab und schreiben jedem Punkte im Gitter eine Dielektrizitiitskonstante E zu, rechnen aber statt init ihr mit der Funktion

I - ~ 1 = y = 2 q m e - j ( b m r ) . (2) 3,

m

yo steht mit dem Brechungsindex n des Kristalls in dem Zu- sammenhang

(2') yo = 2 in - 1). I) Die alte Deutnng K o s s e l s fur die fraglichen Erscheinungen (Ztschr.

f. Phys. 23. S. 278. 1924) ist richtig, insofern sie in der Krscheinung einen Interferenzeffekt sieht. Sie trifft im ubrigen wohl nicht das Richtige, wenn sie von der Spiegelung von im Tnneren entstandenen Wellen an den Xctz- ebenen spricht. Denn es sind im Interenzfall ebene oder sonstige einfachc Wellen im Inneren gar nicht moglich, sondern nur die von der dynamischen Theorie geforderten Wellenfelder. Man hat spiiter K o 8s e l s Uberlegung zur Erklgrung der Kikuchilinien auf die Elektroneninterferenzen iibertragen. nei diesen aber fuhrt sie, einigermafien konsequent durchgefiihrt, zu unrnittelbaren Widersprtichen mit der Erfahrung, wie der Anhrng zeigcn wird.

2) M. v. L a u e , Ergebnisse d. exakten Naturwissenschaften 10. S. 133. 1931; M. K o h l e r , Ann. d. Phys. [5] 18. S. 265. 1933. Die Verallgemcinerung, die Frau L. P o s e n e r , Ann. d. Phys. [5] 19. 6.849. 1934 bringt, konnen wir hier auber Betracht lassen. Die Begrundung dieser Form der dynamischen Theorie aus der Schrodingcrgleichung erbringt M. KO h 1 e r , Berliner Sitzungsber., 1935.

3) Es ist j = 2 n i; b,, b,, b, sind die primitiven Translationen des rezi- proken Gitters. Die Summationen sind dreifache nach den Indices m,, m,, %, welche in das Zeichen m zusammcngefalt sind. Es bedeutet:

3

b,= 2 m . b . . a = l

Das reziproke Gitter, in voller Allgemeinheit fur schiefwinkelige Achsen definiert, trug der Verf. zuerst auf dern SolvaykongreB vom Oktober 1913 vor. (Die Rapports et Discussions du Conseil dc physique 1913 erschienen freilich erst 1921.) Er veroffentlichte dasselbe im April 1914 in der Festschrift der Dozenten der Universitat Zurich zur Eroffnnng des neucn UniversitgtsgebIiudes und in der Enzykloptidie der mathematischen Wissenschaften, V, 3 Artikel Wellenoptik (abgeschlossen im Juli 191 5).

M. v . Laue. Die Fluoreszenzrontgenstrahlung uon EinkristaUen

Fur die anderen Koeffizienten gilt:

(3)

wo uber die Gitterzelle zu integrieren ist, deren Volumen (a, a, a,) ist.

W,=WYm ist, lassen sich allgemeine Aussagen nicht uber sie machen; in der Gleichung (3’) y, = iwmI e i ~ -

ist das Azimut im allgemeinen keinen Beschrankungen unter- worfen. Wir fiihren bei der Herleitung der allgemeinen Formeln im folgenden auch keine Beschrankungen ein.

Bei der Diskussion dieser Fornieln jedoch beschriinken wir uns baufig anf ein einfaches Gitter, das also nur je ein Atom pro Zelle enthalt. I n die Mittelpunkte der Atome verlegen wir die Zellenecken; da diese Symmetriezentren fiir einfache Gitter sind, ist fiir jedes Wertetripel m

folglich ist y, reel1 und 9- = 0 oder = ‘II. Ob wir den einen oder anderen Wert wahlen, ist fiir manche der folgenden Gleichungen von Bedeutung l). In Snbetracht, daB der Brechungsindex der antgenstrahlen kleiner als 1 , folgt nach (Y) , daS qp,, negativ ist; wenn ferner die Funktion 7 1 nur nahe den Atommittelpunkten wesentlich von Null verschieden ist, oder doch daselbst die uber- wiegenden Werte hat, setzen wir fiir nicht zu groBe m-Werte auch yl , als negativ voraus, so daS

wird. Die Beschrankung auf einfache Gitter hindert nicht, den von

Kos se l besonders untersuchten Kupferkristall in diese Betrach- tungen einzubeziehen. Denn sein kubisch-flachenzentriertes Gitter la&. sich bekanntlich als ein einfaches ansehen, sofern wir von den kubischen Achsen a,’ zu den Translationen

1 ,

71 1

yl,,, = ---Jqej(brnr) 1 as: (a, a¶ as)

Abgesehen davon, dab wegen der Realitiit von w stets

y l m = q - m ,

(3”) ,ym= Ild

a, = T(a2 i- a,? usw. libergehen 2).

1) %. B. fur (25, I), (25, 11, l), (26, 11, 2) und (25, 11, 3). 2) Die Ordnungszahlen einer Interferens rechnen sich also nach den

Gleichungen urn 1 1

( h i + h,‘), ha = - hs= 2 (h; + k? . 1 h, = y (h2’ + 7b8’),

4 7 *

71 2 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

Im iibrigen kann G1. (3'3 auch fur andere Gitter gelten. Das Wellenfeld wird clargestellt durch die Vektoren

Kenntnis der Vektoren 3, gentigt daher zur vollstandigen Be- schreibung des Feldes ').

Dieser Ansatz geniigt den Maxwellschen Gleichungen dann und nur dann, wenn zwischen den Koeffizienten %,,, die unendlich vielen Beziehungen bestehen :

(5)

Der Index [m] bedeutet, daB von dem Vektor Sq die zu $,,, senk- rechte Komponente in die Gleichung einzusetzen ist. Danach ist niemals eine einzelne ebene Welle im Gitter moglich, vielmehr nur ein ganzes Wellenfeld, das sich als njberlagerung vieler ebener Wellen beschreiben k8t. Immerhin gibt es Falle, in denen eine dieser Wellen alle anderen uberwiegt. Dann finden sich keine merklichen Interferenzerscheinungen.

Die Hauptrolle aber spielen die Fiille, in denen zwei dieser Wellen ziemlich gleich stark sind und alle anderen iiberragen; wir ordnen ihnen die Vektoren $ o , 53, und em, 5Drn zu. Nach G1. (5), die sich dann zu (6) % = , j ( v t - (%%r)) (ao + D,,, e - j (b- '))

Somit entspricht:

h, h, h,

0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2

a' a = - - - - y e-hQ h,' h,' h,' , 1 1 1 a'/ 1/3 2 0 0 I a' /2 1 1 1 ' a ' / 1 / 3

2 2 o j ~ ' l 2 V 2 -

l

Die letzte Spalte gibt den Abstand benachbarter h'etzebenen h, h, h, irn

1) Die Gleichung @,,& = -- '9, %,] folgt aus der Formel (11) in der an-

gegebenen Arbeit VOD M. v. L a u e , welche k D,,, = [&, Sr,] lautet, und der Tat- sachc, daS wegen div @ = 0 das skdare Produkt (9, &) = 0 ist.

MaSatab der Wiirfelkante a'. k

Sr:

M . v. Law. Die Fluoreszenzrontgenstrahhng von Einkristalbn 713

vereinfacht, bekommt die resultierende Schwingung 9 Knoten und Baache in Ebenen senkrecht zum Vektor b,, d. h. parallel zu der in der B raggschen Darstellung ,,spiegelnden" Netzebenenschar. Wie viele Bauche in der Zelle (oder was dasselbe sagt, zwischen benachbarten Ebenen dieser Schar) liegen, bestimmt der groBte ge- meinsame Teiler M der lndizes ml, m,, m3. Denn dieser gibt die Ordnung der Interferenz in der Rchar der an derselben Netxebenen- schar moglichen Interferenzen. Wir haben zu untersuchen, wie bei einer Einstrahlung von auBen diese Bauche zu den Netzebenen und den sie enthaltendcn Atomen liegen. Fallen sie in die Netzebenen, so stehen alle Atome unter dem EinfluB besonders starker elek- trischer Wirkungen und mussen nach dem Reziprozitiitssatz, sobald sie selbst Strahlung aussenden, in die Richtung dieser Einstrahlung besonders stark ausstrahlen. Allerdings wird sich auch das Um- gekehrte als moglich herausstellen.

Zuvor sei aber noch eine Komplikation erwiihnt, welche auf der endlichen Ausdehnung der Atome beruht. Freilich kommt diese nicht ganz in Betracht. Da die Ka-Linie auf einem ubergang zwischen einem L- und dem K-Niveau beruht, und bei ihrer Ent- sendung somit je eine Eigenfunktion dieser beiden Terme angeregt ist, kommt es nur auf den Bereich im Atom an, in welchem das Produkt dieser Eigenfunktionen merklich von Null verschieden ist. Dieser Bereich ist grOBenordnnngsma6ig durch den Radius der ersten Bohrschen Bahn gegeben, wie er sich fiir ein Atom der Kern- ladung 29 (dies ist die Ordnungszahl des Cu) berechnet, d. h. zu

-- '.'O-@ - 1,7 . 10-10 cm. 29

Der Abstand benachbarter Netzebenen (01 1) betragt +. 3,6 . loAH = 1,s - cm l ) .

Die ortliche Veranderlichkeit der Phasen regeln in (6) die Expon entialfunktionen

e- j (%r) und e- j ( f imq.

Die Wellenvektoren Ro und Rm = (Ro + 6,) stimmen aber, wenn anders 5B0 und B,,, von gleicher GroBenordnung sind, dem Betrage nach untereinander fast iiberein, sind zndem fast gleich dem Rellenvektor derselben Schwingung im leeren Itaum. Insofern be- stimmt die Wellenlange die Veranderlichkeit der Phasen. Sie be- triigt bei Kupfer-Ka 1,54.10-* cm. Kach diesen Zahlen bildet die Annahme punktf ormiger Lichtquellen eine leidliche Annaherung an die Wirklichkeit.

1) Nach Anm. 1 auf S. 712. Die Wiirfelkante a' ist bei Cu 3,6.10-y cm.

714 Annabn der Yhysik. 5. Folge. Band 23. 1935

Iliese efberlegung braucht aber keineswegs ftir andere Falle zuzutreffen, vielniehr kann die endliche Ausdehnung der Atome und die verschiedene GroBe der Bezirke in ihnen, die fiir die Aussendung verschiedener Spektrallinien in Betracht komnien, bei den hier in Frage stehenden Versuchen zu Intensitatsverteilungen im Rontgen- spektrum fiihren, die von den sonst beobachteten abweichen.

Nine andere Vernachlissigung, die wir uns der Einfachheit halber trotz einiger Bedenken gestatten, entspringt der Tatsache, daS ein Atom, welches durch Ionisierung zur Emission einer K-Linie befahigt ist, in der E-Schale nur ein Elektron hat. Die von der Ladungsverteilung abhangige E'unktion y der dynamischen Interferenz- theorie ist also in ihm gegeniiber ihrem normalen Verlaufe gestijrt. Ein Kristall mit angeregten Atomen ist fur die Theorie sozusagen ein Mischkristall, bei dem ,,Fremdatome" in unregelmaBiger Weise an einigen Gitterstellen eingeschoben sind. Deren Zahl ist freilich stets zu gering, um sich bei Einstrahlung im Interferenzphanomen bemerkbar zu machen. Aber fur die Anwendung des Reziprozitata- satzes kommt es Ja gerade auf das Feld innerhalb des angeregten, und dadurch strahlungsfahigen ,,Fremdatoms" an. Es konnte sein, daB man die Theorie deshalb spater etwas erganzen miiBte.

SchlieBlich ware noch die endliche Breite der Rontgenspektral- linien mit in Rechnung zu setzen. Auch von ihr sehen wir im folgenden ab, um zuniichst einmal die Gnrndziige der Theorie herauszuarbeiten. Zum Vergleich mit den Einzelheiten der Versuchs- ergebnisse diirfte spater die Beriicksichtigung aller derartigen Um- stande notwendig werden.

13. E i n - und Austritt der R o n t g e n s t r a h l e n

Bisher besprachen wir nur das einfachste, im Inneren eines Kristalls mogliche Wellenfeld. Bei der Deutung jedes Versuchs, bei welchem Einstrahlung von auBen stattfindet, miissen wir auf die Vorgiinge an der Grenzfliiche naiher eingehen. Eigentlich sollte man sagen, an den Grenzfliichen. Jedoch setzen wir den Kristall manch- ma1, niimlich in dem weiter unten anzufiihrenden Fall 11, als un- durchsichtig voraus; d. h. wir schreiben ihm, ohne dies durch komplexe Y-Werte in den Gleichungen auszudriicken, doch hin- reichend Absorption zu, daB kein Strahl an einer anderen Be- grenzung wieder aus ihm austritt. Diese Annahue steht mit den Verhiltnissen bei dem K o s s e l schen Versuche in Einklang. Fu r Fall I ist diese Voraussetzung unnotig.

Die erforderlichen Rechnungen hat am ausfiihrlichsten M. Ko h- l e r (a. a. 0.) durchgefuhrt, iibrigens in vollster ubereinstimmung mit

M . v . Law. Die Fluoreszen~ontgenstrahlung von Einkristdlen 715

den alteren, von punktformigen Dipolen statt von ausgedehnten Atomen sprechenden Betrachtungen Ewalds , dessen'verdienste um die dynamische Theorie deren Fortentwicklung keineswegs schmalert. Wir beschranken uns dabei zunachst auf den bisher allein durch- gerechneten Fall, daB das Lot a auf der Oberfiache in der Ebene E der beiden Strahlen Ro, ern liegt. Diese Einschrankung streifen wir in fj 7 ab, ohne daB dabei wesentlich andere Ergebnisse heraus- kommen. In Vorwegnahme dieses Resultates iibertragen wir in $5 3-6 die daselbst angeleiteten Satze schon auf ganze Interferenz-

Fig. 1. Lage der Oberfliiche 0 und ihres Lotes 3 zu den Wellenvektoren R0, Sm, sowie zur ,,spiegelnden" Netzebene N. Dabei sind die Vektoren f,, fm so gezeichnet , daS fur sie ale Wellenvektoren gerade die Interferenzbedingnng der elementaren Theorie erfullt. d. h. x = lB + cp wiire. Tatsiichlich ist x

von xB + cp verschiedcn

kegel, obwohl sie zunachst nur fiir, je einen Punkt eines solchen bewiesen werden.

Wir stellen hier die in den Kohlerschen Gleichungen auftretenden Bezeichnungen zusammen. Mit a bezeichnen wir den Einheitsvektor senkrecht zur Oberflache, in das lnnere des Kristalls hineinweisend. Rechnen wir den Ortsvektor t von einem in der Oberflgche liegenden Atom aus, 60 ist (6r) der Abstand des Aufpunktes yon dieser Flache. a bilde mit b, den Winkel TZ - y , oder was dasselbe sagt, die Grenzflache 0 sei gegen die ,,spiegelnde" Netzebene N um cp geneigt (Fig. 1). x sei die Keigung des einfallenden Strahles Ro gegen 8, wahrend zB den ,,Br agg schen Winkel" bedeutet, welcher nach der geometrischeu Theorie dieser Interferenzen zwischen e0 und b- ,,, liegen miibte. (Nr tritt in der Braggschen Gleichung 2 d cos yH = Mil auf.) Aus

716 Annalen deer Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

diesen Winkeln bildet man als MaB des Winkelabstandes von der Interferenzrichtung der elementaren Theorie die GroBe

die wir aber sogleich durch das MaB des Winkelabstandes von der Mitte des Darwin-Ewaldschen Totalreflexionsbereichs ersetzen, namlich die Gr6Be

(7) a, = (x -xxS - y ) sin 2 x B ,

yo und y, sind die Kosinus der Winkel zwischen go oder 9, einer- seits, 8 andererseits; yo ist stets positiv, hingegen ym teils positiv, teas negativ. Darauf beruht die Unterscheidung der Falle I und 11. Beide Richtungskosinus erhalten im folgenden stets die Werte, wie sie sich aus der elementaren Theorie herleiten ; die Knderungen, welche die dynamische Theorie eigentlich anbringen muBte, kommen fur die Naherung, in der das Folgende gilt, nicht in Betracht. Also:

(9) Y o = C O S ( X B + y ) r y , = - c o S ( X B - ~ ) * SchlieBlich wird es noch bequem sein, den Winkel zwischen den Strahlen R,, und R, mit 0 zu bezeichnen. Innerhalb der hier durchzufiihrenden Naherung setzen wir

(10) @ = n - 2 X B 7

wie es der geometrischen Theorie entspricht. Wir haben in den Rechnungen den Fall a, daB die elektrischen

Schwingungen senlcrecht xur Ebene der beiden Strahlen erfolgen, zu unterscheiden von Fall b , daB sie in dieser Ebene liegen. Bei Koh le r stehen die Formeln fur Fall a; man geht zu Fall b iiber, indem man uberall qCltm ersetzt durch y + cos 0. Um aber unsere Gleichungen in einer fur beide Falle giiltigen Form schreiben zu konnen, fiihren wir zwei GroBen C und z durch die Definition ein:

1 im Fall a , ‘= { Icos@l im F a l l b ,

0 irn Fall a und, wenn cos 0 > 0 , auch im Fall b ~

1 im Fall b, wenn cos 0 < 0 . (12) z = { Es ist also

im Fall a , { 5 ios 0 im Fall b . C(- 1>”

Indem man in einer fur a giiltigen Formel an vkrn den Faktor C(- l)r anhangt, umfaBt man Fall b mit.

M . v. Law. Die Fluoreszenzr~tgensstrahlu?~g 'lion Einkrdstallen 717

Dann aber wird auch vy+, cos 0 = 0, und das hat, wie iiberdies be- kannt, zur Folge, daB die Strahlen B0 und Qm im Fall b iiberhaupt nicht miteinander zusammenhangen. Es findet dann eben keine Interfcrenz statt; dieser Fall scheidet ohnehin aus der Betrach- tung aus.

Im Fall a haben beide Vektoren 'Q, Srn dieselbe Richtung, namlich die senkrecht zur Strahlenebene, falls der Faktor x der Gleichung

positiv reell ist; ist er komplex oder negativ reell, so bedeutet dies eine Phasenverschiebung zwischen den beiden gleichgerichteten Vektoren. Im Fall b verstehen wir, um ebenfalls mit einer GriiBe z das Starkeverhaltnis und die Phase zwischen beiden Schwingungen ausdriicken zu konnen, unter B,,, und B0 die Komponenten in der Strahlenebene senkrecht zu a,,, und Qo, und zwar soll x positiv reell sein, wenn beide stetig in diesclbe Xichtung iibergingen, falls wir den Winkel 8 zu Null abrechnen lieBen.

U'enn cos 0 = 0 ist, versagt zwar die Definition (12).

(14) Brn= zBo

Fiir x gilt die Gleichung'): -

- /?T1/ /?:+4C9,pml' -~ - 7 L . z = -

2p-m -* c(- 1)' (15)

Y O

Es sind also zwei Werte z(x) (x = 1 oder = 2) miiglich. Fiir dl) soll die Wurze2 das negative Zeichen tragen. 1st x(x) bekannt, so bestimmt sich der zum gleichen Wellenfeld gehorende Wellen- vektor 9;) aus den 13eziehungenq

(16)

(17)

g$) = 9:' + k a(") 8 , lyo + c ( - llT p) = - -

2 Y O 9:) ist der Wellenvektor im AuBenraum.

tung des Interferenzstrahls ,$?- einzufiihren :

y, > 0, also a > 0.

- m JX)

Weiterhin ist die angektindigte Unterscheidung iiber die Rich-

I. Der Strahl am weist in das Innere des Kristalls hinein; Nan setzt zweckmal3ig

7m

1) G1. (12, bei Kohler. 2) G1. (9) und (13) bei Kohler.

718 Annalen der Physik. 5. FoEge. Band 23. 1935

Dam wird namlich nach (15)

$ ( I ) = - ( - 1 ) . l / T e + v + i * m ,

2 ~ ) = + (- 1 y d K e - " + i * m .

Ym

7-

7m

I ( 1 9 , I )

11. Der Strahl Rm tritt aus der Vorderjliiche des Kristalls wieder aus; y, < 0, also fi < 0. Hier sind 3 Gebiete fur p zu unter- scheiden.

1. Der Einfallszuinkel x ist wesentlkh kleiner, ak der geometri- schen Interferenztheorie entspricht; genauer: Es ist

Setzt man mit positivem v

Setzt man

M. v. Law. Die Flmreszenzrontgenstrahlung von Einkristallen

Setzt man mit positivem v

719

so folgt aus (15)

Trotz des komplexen Faktors e i 9 m in den x-Werten wird (- l y V-,,,X(X), und damit nach (17) reell, ebenso nach (16) $I?:), mit Ausnahme des Falles 11, 2. In diesem aber hat

(- 1p y.~- ,,, x(1) den positiv imaginaren Anteil i I ~.J,I i fi I cos v , I 7..

infolgedessen einen negativ imagingren , dessen Vorzeichen sish nach (16) auf den imaginaren Teil von

_- -

ubertragt, wenigsteus wenn (a t) positiv ist. Der Exponentialfaktor ~~

enthalt somit einen Abklingungsfaktor - 2n i ( I p p .) von G1. (6) e

e mit dem (reellen) Extinktionskoeffizienten 1

- -2 a (8 r)

nnd zeigt damit das Abklingen des Feldes mit der Tiefe unter der Oberfiache des Kristalls an. Fur d2) gilt genau das Umgekehrte; da aber ein dauernder Anstieg beim ,,unendlich dicken'' Kristall unmoglich ist, haben wir im FaU II, 2 das Feld mit x = 2 2;on der weiteren Betrachtung auszuschlie/3en.

Aber auch in den Fallen 11, 1 und 11, 3 kann nur eine der beiden Wellenfelder nach Koh le r l) bestehen, sobald der Kristall schwach absorbiert und undurchsicbtig ist. WeiB man dies, so ist an unseren Formeln leicht zu entscheiden, welches; denn nach (19,11,1) nimmt /@I mit wachsendem v, d. h. nach (18, 11, 1) mit wachsendem Abstand von der Interferenzstelle, iiber alle Grenzen zu, wahrend 3, dabei doch zu Null abnehmen muB. )s(l)) hingegen nimmt dabei ab. Nach (19,11, 3) ist es gerade umgekehrt. Also kommt im Fall II, 1 nur x = 1, im Fall I I , 3 nur x = 2 in Befracht.

1) Vgl. $ 4,2 bei Kohler.

7 20 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

SchlieBen wir aus G1. (6) auf die Intensitat / % I 2 , S O ist fur Fall b zu beachten, daB jeder Vektor auf seinem Wellenvektor gq senkrecht steht, daB also 9, und 5D0 denselben Winkel 0 miteinander bilden, wie 9, und Se,. Das Interferenzglied, das in der Intensitit auftritt, mu6 somit den Faktor cos 0 = G(- l)r haben. Dieser Faktor ist innerhalb unserer Kiherung fiir die beiden durch x unterschiedencn Wellenfelder der gleiche. Da im Fall a nach (13) C(- l)r = 1 ist, fiigcn wir diesen Faktor im folgenden immer hinzu.

AuBerhalb des Kristalls existieren in Fall I1 die eintretende Welle Q!) und die austretende St:). I>a bei dem minimalen Unter- schied des Brechungsindex gegen 1 die Veranderungen einer Wellc beim Ein- nnd Austritt zu vernachlassigen sind, nnd die Richtungen

andererseits, sowohl im Fall a, als im Fall b iibcreinstimmen, lauten die Grenzbedingungen dann

der Vektoren a:’, By’, 9;) einerseits, von 32), 9,R, (1) qp nl

Im Fall I fallt der Strahl 9;) fort, cs ist 9:) = 0; im Fall II ist

hingegen entweder 3;’ und @), oder 9r’ und 9:) Null zu setzen.

3. Die elektrieche Schwingung im Falle I

Wie am Ende von 5 2A festgestellt, sind hier 2 Wellenfelder zu beriicksichtigen. Die G1. (21) lauten jetzt in Hinblick auf (14):

(21, I) 1) 9;’ + 3:’ = 3;) , ,p 9;) + ,p) 9;) = 0; ihre Losungen sind nach (19, I)

Beide Wellenfelder sind danach durch die Vorganga beim Eintritt der Strahlung vollstandig bestimmt. Hat der Kristall eine endliche

1) G1. (15a) und (15b) bei Kohler.

M. v. Laue. Die Fluoreszenxrontgenstrahlung von Einkristallen 721

Dicke, so treten die Wellen an der hinteren Flache mit den nach diesen Formeln zu berechnenden IntensitLten aus. Eine Voraus- setzung iiber die Dicke ist daher iiberfliissig. Nach (6) ist mit den Abkiirzungen

(23) r l = 272 (9;' r ) , rB = 2n (ff' r ) , r, = 2n(bmr).

722 Annubn der Physik. 5. Folge. B a d 23. 1935

Am iibersichtlichsten wird diese Gleichung in der Form:

Der Faktor ;.019~'i' m a t die auf die Flacheneinheit der Ober- flache trefYende Energie.

Fragt man im besonderen nach einem Gitter nach Art des Cu- Gitters und nach den Schwingungen in den Ecken der Zellen, so hat man nach (3") 9;, = n und nach (23) r, = (2 n'ganze Zahl) zu setzen. Dann vereinfacht sich G1. (25,I) zu:

Jedoch konnen wir die Diskussion an (25, I) anknupfen. Man erkennt zwei Perioden des Intensitiitswechsels von ver-

schiedener GroBenordnung. Die eine ist durch zap"- (r, - 8,) ge-

gebcn, sie ist, wie in § 2 erwahnt, gleich dem Netzebenenabstand, oder sofern M die Ordnungszahl der Interferenz ist, der M-te Teil davon. Sie sind wegen des Faktors C [vgl. (1111 fur Schwingungen senkrecht zur Ebene der beiden Strahlen (Fall a) stiirker ausgepriigt, als fiir Schwingungen in dieser Ebene (Fall b)I).

Die andere, weit groBere Periode ist durch 3.'- (II - rz) be-

stimmt und hangt nach (23) mit der geringen Differenz der Vek- toren 9;) und 9:) zusammen. Ewa ld berechnet bei seiner be- kannten Diskussion dieses Wellentyps die Intensitaten der beiden in fast gleichen Richtungen fortschreitenden Wellen 9f', 9f) einer- seits, @:), a:' andererseits, und findet dabei jenes Auf- und Ab- schwanken , welches er in der Benennung ,,Pendellosung" kenn-

sin

sin

1) Men beaehte aber, dab nach (lS, I) dasselbe v in beiden Fiillen wegen der verschiedenen Bedeutung des Faktors C verschiedenen Werten ,~9, also verschiedenen Einfallsrichtungen entspricht.

M . v. Laue. Die Pluoreszenzriintgenstrahlung von Einhistallen 723

zeichnet. Fur uns aber kommt es nicht auf diese Intensitaten an, sondern auf das gesamte

Maxima und Minima, welch v m der kurzen Perwde herriihren, hangen in ihrer Lage zwischen den Netzebenen durchaus noch von (rl - r2), d. h. (bei festgehaltener Richtung von 9;)) von der Tiefe unlerhalb der Oberflache ab, in welcher sich die Netzebenen befinden. Zwei strukturell gleichwertige Atom in verschieden tief liegenden ZeUen erhulten im allgemeinen verschieden starke elektrische Er- regungen aus der Richtung a!’ zugestrahlt. Nach dem Reziprozitdits- satz strahlen sie daher in der Richtung - 9:’ auch verschieden stark aus; ob d i m Richtung mehr oder weniger als den Normalwert der Strahlung erhcilt, hangt von der Tiefe der strahlenden Atome unter der Oberflache ab. Liegt ein Atom insbesondere so dicht unter der

Grenze, daS sin (r1 - r2) = 0 ist, SO folgt aus (25, I): I % I = i %:)I2, d. h. es gibt a19 Strahlungsquelle zu keiner Hervorhebung der Rich- tung - $!’ AnlaB. Wegen des Faktors C und der Verschiedenheit der v-Werte bei gleicher Einfallsrichtung in den Fallen a und b muB das ausgestrahlte Licht, sofern das Atom im Zeitmittel nach allen Richtungen gleich stark schwingt, partiell polarisiert sein.

Um die Abhangigkeit der Ausstrahlung von der Richtung 9;’ zu erortern, formen wir rl - r2 nach (23) und (16) urn:

Und da zeigt (25,I):

1

Nach (17) und (19, I) wird daraus:

oder

(27)

Wir erinnern, daB nach (18, I) Ginv ein MaB des Winkelabstandes ist, den 9:) von der durch g = 0 gekennzeichneten Mitte des Total- reflexionsbereichs hat. Dann zeigt 01. (25, I): Der Icegel hewor- gehobener Ausstrahlung zeigt eine Feinstruktur, um so enger, j e tiefer das strahbnde Atom l i eg t ; denn die Funktionen sinT(rl - rB) und

cos-(r - r2) verandern sich mit v um so rascher, je groBer (8 r) ist. Allerdings wirkt die spektrale Breite der Rontgenlinien ihrer Beobachtbarkeit entgegen.

1

1 2 1

724 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

§ 4. Die Qeeamtstrshlung im Fall I

Die Unterscheidung so kleiner Richtungsunterschiede, wie sie zur Reobachtung der am Ende von 8 3 erwahnten Struktur er- forderlich ware, ist wohl nur schwer durchfuhrbar. Meist diirfte der Rrennfleck der Kathodenstrahlen auf der Antikathode von jedem Punkte des photographischen Filmes aus unter einem Winkel er- scheinen weit gr;riiBer als der game Winkelbereich der fraglichen Interferenzerscheinung. Dann beobachtet man nur die Gesamt- strahlung, deren relativen UberschuB uber den Normalwert durch

und die komplementiiren Interferenzkegel

[vgl. (8)] gegeben wird. Den Integrationsbereich fur p wollcn wir zunachst von - A bis + A ausdehnen, indem wir uns die Ver- fuguung iiber die Zahl A vorbehalten.

den Wert (25, I) und fur rl - T, den Wert (27) cin. Uabei entsteht u. a. das Integral

In diese Gleichung setzen wir nun fur 15Bi2-

+ A

- A

welches jedoch verschwindet, da der Integrand eine ungerade Funk- tion von v ist. Mit den ,4bkiirzungen:

- A - A

lautet das Ergebnis der Rechnung

Zur volligen Festlegung yon V , und V , ist naturlich der Grenziibergang zu A = 00 erwiinscht. Dieser ist aber bei V, nur fiir nicht zu kleine (positive) Werte von R zuliissig; dann ergibt cine bekannte Formel l) fiir die Besselsche Funktion I,:

Crn

- m

Fur R = 0 ist diese Reziehung unrichtig; denn fiir jedes endliche A ist V, dann 0, wahrend I,(O) bekanntlich 1 ist. Wenn wir aber

1) E. H e i n e , Handbuch der Rugelfunktionen I, S. 187 oder E. Jahnke und F. Emde, Funktionentafeln (1. Aufl.), 8. 170.

M . o. Law. Die Fluoreszeitzrontgenstrahlung con Einkristalbn '7%

GI. (30,1) auf kleine R, d. h. auf Atome nahe der Oberflache, an- zuwenden verzichten, diirfen wir den Grenziibergang machen ; bei V, ist er unbedenklich. Diese Konvergenzschwierigkeit weist darauf hin, daB die dynamische Theorie in der hier durchgefuhrt,en Nahe- rung fiir @%ere Abstande von der eigentlichen Interferenzstelle versagt; dann ist wohl die Beyorzugung des schon nicht mehr starken Strahls R,,, vor den vielen anderen unzulassig. Aus (29) fold fur A = 06:

also? da V, fiir R = 0 verschwindet: 2 R

(29") l) V , = - ~ J l 0 ( z ) d z = 0 a = O

Man sieht aber auch ohne Auswertung der Integrale, daB V , mit uber alle Grenzen wachsendem R dem Wert Null zustrebt, ueil der Integrand d a m immer schneller urn Null herum oszilliert. Hin- gegen wird bei demselben Grenziibergsng

zu

- m - m U

Der zweite Summand verschwindet dabei niindich aus demselben Grnnde wie V,. SchlieBlich ist T', inimer positiv. Wahrend also der GesamtstrahlungsiiberschuB S nach (30, I) fiir ein der Ober- fliiche naheliegendes Atom als Strahlungsquelle ( R = 0) verschwindet, geht er fa r ein tief liegendes (sehr groBes R) in

uber. Dieser Wert ist unabhangig eon der Lage des Atoms in der GitterzeUe und hat das V0rzeich.m t~on - - -- . Der mittlere Strah-

lungsiiberschufl in der Richtung - 9: ist also fiir ein hinreichend tief liegendes Atom positie, wenn 9; einen kleineren Einfallswinkel

1 1 7m 70

hat, a b der ihm zugeordnete Innterferenzstrahl at', ein in der Zellenecke gelegenes Atom, wie es vorliegt, ist r,,, = (2 R ganze Zahl) und 8- = z;

sonst negativ. Fur beim Kupfergitter folglich gilt nach

1) Dieselben Funktionentafeln S. 165 (vgl. oben). Annalen der Physik. 5 . Folge. 23. 45

726 A n m l e n der Physik. 5. Folge. B a n d 23. 1935

(30, I) dieser Satz dann unabhangig von der Tiefenlage (falls diese Tiefe nicht xu klein ist).

Wir wollen jetzt den Fall betrachten, cla6 statt der Welle 9:' die Welle 9:;' von auRen auf den Kristall trifft. Wir ersetzen d a m zunachst (31. (6) durch die vollig gleichbedeutende :

(a, + ~ b , e+jtbmr) 1.

a:) + 3;) = w, a;) + 9;) = 0 ,

j (y t - (.t?,r)) % = e An die Stelle von (21, 1) tritt:

woraus dann nach (14) folgt:

Danach kann man die anschlieBenden Rechnungen mittels folgender Vertauschungen iibertragen: 5DF' und %!,"I; bm und - bm, d. h. rm und - T,; x ( x ) durch l/x!x). Letzteres aber bedingt nach (19, I), daB man ;to niit y m , v mit - 1; und 19, mit - am vertauscht. Fiihrt man dies durch, so entsteht aus der GI. (25, I):

I py- l q z tn

1 + s i n r sin -,- (rl - r2) cos (rm - a,)] } . I 2

Hier haben die Interferenxglieder, sowohl das allein auf dem Zu- sammenwirken der Wellenfelder 1 und 2 beruhende Glied mit dem

, als die auch auf der Interferenz der Strahlen ,Qo

und 9- beruhenden, gegerliiber G1. (25, I) ihr Vorzeichen gehdert . Setzt man gleiche Einstrahlung pro Flscheneinheit voraus, d. h. ist

", 1%'"' I ? - ;.,iq:!= E ' 0 1 0 I -

so ist die Summe der Ker te von (25, I) und (32, I,: also unabhlngig von der Lage des Aufpunktes.

I:' Dies

Reziprozitatssatz zufolge: Die Ausstrahlungen in den Richtungen - 9:' und - RE' sind zueinander komplementar.

Sofern Fall I vorliegi, miissen sich je mvei in der Intensitat komplementiire Xegelschnitte entspreclm, &ren Indizes m, , m2, m, sich nur durclr die entgegengpseizten Vorzeichen uizterschei&n. Fiir

M . v. Luue. Die Fluor~xenxronfgens~ru~ lu~g von Einkristallen 727

den gesamten StrahlungsiiberschuB X folgt dies schon aus (30, I): G1. (32, I) lehrt daruber hinaus, dab sich auch die Feinstrukturen komplementar entsprechen l).

Q 6 . Die elektrieche Schwingung im Fall I1 Hier liegen die Verhaltnisse iibersichtlicher als im Fall I, weil

nach Q 2 stets nur ein Wellenfeld im Kristall auftritt. Die Grenz- bedingungen (2 1) sagen deswegen ubereinstimmung zwischen 3:) und 9:’ einerseits, 9:) und 92) andererseits aus; x ist je nach- dem 1 oder 2. Deswegen schlieBen wir aus (6) unmittelbar:

1) Zur Uberprufung unserer Formeln und wegen des spateren Vergleichs

mit den Elektronenbeugungserscheinungen betrachten wir hier den Fall cp = - --. In ihm liegt nach Fig. 1 b, parallel zur Grenzflache, die spiegelnde Netz- ebenenschar steht also auf ihr senkrecht. Sind diese Ebenen zugleich Sym- metrieebenen des Gitters, so ist die Intensitatsverteilung im Ausstrahlungsfalle notwendig zu diesen Ebenen spiegelsymmetrisch. (Ohne diese kristallographi- sche Bedingung 1aBt sich dieser SchluB nicht ziehen.)

Andererseits haben wir den Satz, daB die beiden zur genannten Ebenen- schar symmetrischen Kegel m,, m,, m3 und - m,, - m4, - m3 komplementiire Intensitaten zeigen mussen. Mu6 danach nicht der ganze Interferenzeffekt der Ausstrahlung verschwindcn?

Keineswegs; denn bewegen wir nt’, so dreht sich $?:I nicht im ent- gegengesetzten Sinne, sondern nach Fig. 1 im gleichen. Richtungen, die sich nach dem Obigen komplementiir entsprechen, liegen daher mit Ausnahme einer einzigen (,!I = 0) nicht symmetrisch zur Ebenenschar. Hingegen muB die Ge- samtstrahlung S = 0 sein.

In der Tat verschwindet in (30, I) der erste Summand, weil bei der jetzt angenommenen Lage ym = yo ist, und der zweite, weil sin (r, - 8,) = 0 ist. Denn wegen der angenommenen Symmetrie bezuglich der Ebenenschar ist y, = y - m , folglich wegen der allgemeinen Gleichung y, = y:, 8, gleich 0 oder gleich rr. Aus demselben Grunde muB bei einer einzigen Art der strahlenden Atome in der Gitterzelle (was wir im Text immer voraussetzen) diese notwendig in einer der fraglichen Netzebenen liegen, so dab (b, I) eine ganze Zahl ist. Liegen aber mehrere kristallographisch gleichwertige Atome in der Zelle, so liegen sie notwendig paarweise symmetrisch zu einer Ketzebene, so da8, falls (b,r1) + d fur ein Atom eine ganze Zahl ist, fur ein anderes (b,r2) - 8 = game Zahl gilt. Dann aber hat man zur Berechnung der Ge- samtstrahlung S die Anteile aller Atome zu addieren. Dies fuhrt im zweiten Summanden von (30, I) auf sin (2 TC 6) + sin (- 2 TC 6) = 0.

DaB fur (I = 0, also Bin v = 0, der Interferenzeffekt verschwindet, zeigen G1. (25, I) und (32, I ) ; wegen rrn = yo und sin (r, - 4,) = 0 [fur ein Atom, sonst Zs in ( r , - iYm) = 01 ergibt die eine / % I 2 = (%$j2 , die andere [ % I 2 =

.It

2

48 *

72s Annalen der Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

Der Faktor C(- l)t ist nach dem vorletzten Absatz von 5 2 ein- gefiigt. &)* ist die Konjugierte der komplexen Zahl x(x).

Hier ist x = 1 und deshalb nach Fall II, 2; Totalreflexion.

a ist der doppelte Extinktionskoeffizient aus G1. (20). Dies geht fur ganzzahliges (Grnr) und 9, = n iiber in

- a (3 r) (26,11,2) yo 1%:r{L + ~ 1 - ro IYml l'lY07ml

Ein Schwingungsbauch liegt nach der letxten Gleichung fur d. h. wenn der Einfallswinkel die dem Fltichenlot benach-

bart e Grenze des Totalref bxionsbereichs bildet, in den Netxebenen ; er verschiebt sich um den halben Abstand zweier Bauche, wenn der Einfallswinkel diesen nur nach Sekunden messenden Bereich d u r d - leujt, also v von - $ bis + geht, so dap die Netxebenen xum Schlup in einem Schwingungsminimum liegen. Die Hohe der Maxima und Minima ist im ganxen Bereich die gleiche; ist I y, I = yo, d. h. ist die ,,spiegelnde Netzebenenschar" xur Oberflache parallel, so sind im Falle a (d. h. fur Schwingungen senkrecht zur Strahlenebene) wegen C = 1 die Minima Nullstellen '). Im Fall b (Schwingungen i n dieser Ebene) sind Maxima und Minima wegen C = I CQS 0 I flacher. Mit wach- sender Tiefe im Kristall nimmt die ganze Erscheinung wegen des Exponentialfaktors e - a ( 8 r) schnell ab.

Nach (18, 11,2) und (8) hangt sin v mit dem Einfallswinkel x linear zusammen. Nach (26,II, 2) hangt also auch I % \ * linear von x ab, solange die Extinktion keine Rolle spielt. [Diese Bedingung ist iibrigens immer fur die Grenzen des Bereichs erfiillt; an ihnen ver- schwindet namlich nach (20) der Extinktionskoeffizient u.]

Die Verschiebung der Maxima und Minima beruht auf Ande- rung der Phasendifferenz zwischen den Strahlen e0 und em'; diese

1) Ersetzt man, wie die dynamische Theorie in ihrer ersten Form es tat, die Atome durch Dipole ohne jede Ausdehnung, so kommt man zu dem Para- doxon, daB sie unter Umstanden in Nullstellen der elektrischen Schwingung liegen, also gar nicht erregt werden, obwohl sie doch die Interferenzerschei- nung verursachen. Dies lost sich wohl durch die Bemerkung, dab fur punkt- formige Atome die Reihen (2) und (4) in diesen Punkten nicht mehr konver- gieren, so daA un8er ganzes Rechnungsverfahren die Grundlage verliert; insbesondere erscheint dann die Vernachlassigung aller Wellen mit Ausnahme von zweien bedenklich.

?c ?)=--

2 '

M . v. Laue. Die Fluoreszenzrontgenslrahlung von Einkristallen 729

steht in enger Analogie zu der Phasendifferenz zwischen einfallendem und gespiegeltem Strahl bei der gewohnlichen Totalreflexion ohne Interferenz; denn auch diese durchlauft bekanntlich im Bereich der Totalreflexion alle Werte von 0 bis n.

11, 1. Der Einfallswinkel ist kleiner als im Gebiete der Total- reflezh. Es ist nach § 2 x = 1 zu wahlen, so dab nach GI. (19,11,1) im allgemeinen wird:

Fur ganzzahliges \bmr) und 8, = n vereinfacht sich die Formel zu:

Nach der letzten Gleichung liegt in jeder Netzebene ein Schwingungs- bauch. Die linterscliiede zwischen den Maxima und Minima nehmen mit wachsendem Abstand uon der Totalreflexion, d. h. mit wach- sendem v, schnell ab; der Grenzwert ist i5D12= i @ ) 1 2 , wie er der ohne Interferenz eindringenden Welle entspricht. Trifft die An- nahme z nicht zu, so liegen die Maxima zwar an anderer Stelle, bleiben aber auch dann fur alle v an ihrem Platze. Die Werte in (25, II,2) und (26, 11, I.) fiir o = 0 schlieBen sich an die

in (25, II,2) und (26, 11,2) fur v = - g stetig an. 11, 3. Der Einfallswinkel ist groper als im Bereiche der Total-

reflexion. Nach § 2 ist x = 2 zu wiihlen, und man findet nach

7T

(1 9, II,3):

was fiir ganzzahlige (6,r) und 8, = n ubergeht in

Nach der letzten Gleichung liegt in jeder Netzebene ein Schwingungs- minimum, welches rnit wachsendem Abstand aon der Totalrefledon (d. h. mit wachsendem o) flacher und flacher w i d . liS)l2 nihert sich asymptotisch dem Normalwert 15Dr)12. Im Fall a (C = 1) lie& bei

e- = dH eine xullstelle, faus iymi 5 y,, ist. Falls a,,, nicht gleich z ist, liegt das Minimum zwischen den Netzebenen. Fur v = 0 schlieBen sich diese Formeln stetig an die entsprechenden des Falles 11, 2 fur v = + 25 an. 2

730 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

Die dnwendung des Reziprozikitssatxes auf die Formeln (26,II, l), (26,11,2) und (26, II,3) ergibt folgendes Bild uber die Ausstrahlung eines Atoms im Verbande eines einfachen Gitters, wie es z. B. beim Kupfer vorliegt; vgl. Figg. 2 a und 2b.

G&el 3

1 1 \ I I

i 4 I I \ -3

Total- Interferenzetelle reflexion nach der elementaren Theorie

Fig. 2s. Schwingung senkrecht zur Ebene der Strahlen 9; und 9:

.. .? G

Gebiel I P s Gebiel 2 Gebiel 3

Wachsende Einfallswinkel s Total- Interferenzetelle reflexion nach der elementaren Theorie

Fig. 2b. Schwingung in dcr Ebene der Strahlen 8; und R i

Liegt die Richtuny .Q? xunachst bei kleineren Einfallsuuinkeln, als der Totalreflexion entspricht, so steyt die Ausstrahlung mit An- naherung an diesen Bereich von d e m Normalwert a n und erreicht a n der Grenze der Totalreflexion ein Max imum, bei der sie sich vom

Normalwert um den Falitor 1 + Tk + 2C d& unterscheidet. Sie ,yml

M. v. Law. Die Fluoreszenzrontgenstrahlung w)n Einkristallen 731

Erlauterung zu den E g g . 2a und 2 b Die Figuren stellen die Ausstrahlung nahe einer Interferenzrichtung dar;

sic sind berechnet f u r die WellenlBnge der Cu-Ka-Strahlung (1,54. cm) und den Abstand 1,8. cm der zur Wiirfelflche parallelen Setzebene im Kupfergitter, sowie die Ordnungszahl 1. Die Ordnungszahlen der Interferenz sind also, bezogen auf das fllchenzentrierte kubisehe Gitter, (200). Der Braggsehe Winkel xu ist dafiir 6 4 O 45'. Der Winkel 8 zwisehen den Strahlen gleich n - 2xB = 50030'. Setzt man den Winkel 9, urn welehen die Grenz- fliiche gegen die Netzebenensehar geneigt ist, zu loo an, so wird

0 rm = - cos (-; - 3- + q ) = - 0,263,

Als Einheit der Abszisse ist 2 lynl benutzt. Das Verhiiltnis vo / I v- I, welehes die Lage des Totalreflexionsbcreichs gegenuber der Stelle entseheidet, an welehe die elementare Theorie das Maximum verlegt, ist naeh Willkiir ge- wiihlt. Die Ausstrahlung, wie sie ohne die Interferenz wlre, gibt die in der Hohe gezogene horizontale Gerade an. Die ausgczogene Kurve gibt die Aus- strahlung fiir ein Atom nahe der Oberflliche, die nur qualitativ zu wertende, gestriehelte Kurve die Abiinderung, welehe f u r ein tiefer liegendes Atom im Bereieh der Totalreflexion eintritt.

sinkt i m Bereich der Totalreflexion, ohne dab die Sktigkeit der T7er- anderung unterbrochen tour&, und zwar proportional zum Anwachsen des Einfalllcinkels, sofern das Atom dicht an der Oberflache liegt, die Extinktion also noch keine Rolle spielt. Sie erreicht auf diese Weise an der anderen Grenze des totalrefiktierenden Bereichs ein

Minimum oom 1 i- 3~ - 2 C 2' fachen des Normalwertes. Dann sk@t sie wieder allmahlich bis zum Notmalwert an.

Freilich geht in1 Fall a (C = l), und wenn Iy,,, < yo ist, Clem

Riederanstieg ein Absinken auf Kull voran, das bei e-" = 1/ ;' eintritt. Die Nullstelle rikkt in die Grenze der Totalreflexion, wenn die OberflBche zur spiegelnden Netzebenenschar gehort (Iy,I = yo). Im Pall b kann dies Absinken auch eintreten, geht aber nicht bis auf Null.

Kommt die Extinktion i n s Spiel, so sinkt die Ausstrahlung nach dem Eintritt in das Totalreflexionsgebiet schnell, aber ohne I-nstetig-

( 17-1 6 4

__ -

732 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

keit , auf einen tiejeren Wert als oben angegeben; sie erreicht aber auf jeden Fall , also unter Unutanden mittels eines Wiederanstieges, fiir die andere Grenze den angegebenen Wert; denn der Extinktions- koeffizient ist [nach (20)] fiir beide Grenzen Xull.

Unterschiede zwischen den beiden Schwingungsfiillen a und b beruhen erstens auf dem Faktor C , der nach (11) bei a gleich 1, bei b gleich jcos 0, ist, und auf dem Unterschied in der Redeutung der Variablen w bei gleichem Einfallswinkel fur die beiden Falle, die sich aus den Formeln (18, 11, l), (18, I I ,2 ) und (18, II,3) ergibt. Infolgedessen ist die Strahlung i. A. partiell polarisiert. Die Schwin- gung liegt nach unseren Formeln gun2 in der Ebene beider Strahlen, wenn das Minimum fiir Pall a eine Iiullstelle ist. Jedoch beruht diese dussage wesentlich auf der Kleinheit der strahlenden Bereiche im Stom, stellt also schon deswegen nur eine Yaherung dar.

8 6. Die Geeamtetrahlung im Fall I1

Den Na6stab fur die Winkelausdehnung der ganzen Erschei- nung bildet die Breite des E w a1 d schen Totalreflexionsbereichs, die

'% ' dr betriigt '). Das sind bekanntlich Sekunden. Man

kann daher nicht immer die Einzelheiteu der beiden Figuren wiederzuerkennen holl'en , vielmehr nur den Gesamteffekt, welcher wie in 3 4 durch das iibcr einen hinreichend gro6en Winkelbereich zu erstreckende Integral

sin 2 ~ ,

bestimmt ist. Statt /? fiihren wir fiir die Teilbereiche 1 und 3 nach (19, I1,l) und (19, 11,2) dio entsprechende Veriinderliche w ein.

Die Auswertung des Integrals (28, 11) fur den Totalreflexions- bereich 2 ist einfacher; sie liefert fur eine Strahlungsquelle dicht unter der Oberflach e, bei Vernachlassigung der Extinktion, nach (28, 11, a), da sin u zu r-3 proportional und der Integrationsbereich zu p = 0 ist, der Summand mit sin w also Null ergibt, das Prodnkt

1) C iet in (11) angegeben.

M . v. Laue. Die ~l~reszenzriintgenslrahlung w)n Einlcristallen 733

Fur die beiden 5uBcren Bereiche 1 und 3 ergibt das Integral:

A sol1 dabei ein hinreichend hoher, endlicher Wert sein. Nun ist nach (18, II? 1) und (18, II,2):

__ d p = & 2C(7p,3,(I/!r"IGittodv; ~ yo

das obere Vorzeichen gilt fiir Bereich 1. Folglich wird:

0

Hier konnen wir nun, d s die die Konvergenz stijrenden Summanden I) mit e-0 sich gegeneinander fortgehoben haben, die obere Grenze vA, welche dem Wert f A von p entspricht, ins Unendliche wachsen lassen; das gibt:

2cIvrnl 1G-i. '1 + '3 = 3 sin 2xg ,7,, I

(30,II, 1-3)

Dies ist zugleich die untere Grenze fur S, wie sie fur sehr tief- liegende Strahlungsquellen zutrifft, deren Strahlung im Total- reflexionsbereich gar nicht mehr nach auBen gelangb. Trotz der Einsenkungen der Kurvcn in den Figg. 2 a und 2b ist die Gesamt- strahlung unter allen Urnsanden groBer, als ohne den Interferenz- effekt. Der andere Grenzmert, fur oberflachlich liegende Strahlungs- quellen, ist

also viermal so groB. iiberwiegend senkrecht zur Ebene der beiden Strahlen.

Wegen des Faktors C liegt die Schwingung

1) Diese Konvergenzschwierigkeit, die S, und s$ einzeln zu berechnen hindert, hShgt wohl zusammen mit dem Versagen iinserer nur zwei bevorzugte Strahlen beriicksichtigenden Rechnung fur grolere Abstiinde von der eigent- lichen Interferenzstelle. Vgl. Q 3.

734 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 2.3. 1935

§ 7. Verallgemeinerung: Die Strahlenebene steht nicht mehr senkrecht auf der Oberflaohe des Kristalle

Bisher nahmen a i r an, die Ebene E der Strahlen Qr’, 9:) oder was dasselbe sagt, der Vektoren und bm, stehe senkrecht auf der Oberflache, enthalte also deren Lot 6. Das ist dann die einzige Xoglichkeit fiir eine bestimmte Interferenz, wenn der sie kennzeichnende Vektor b, auf der Oberfliiche senkrecht steht, wenn also diese Flache zur Schar cler spiegelnden Setzebenen gehijrt. In allen anderen Biillen muB man, um die Ausstrahlung liings des ganzen Interferenzkegels zu beherrschen, auch die andere Mijglich- keit ins Auge fassen, da6 zmischen der Ebene E und dem Lot 6 ein Winkel 5 liegt.

Zur Veranschaulichung mogen die Figg. 3, I und 3, I1 dienen; die erste bezieht sich auf Fall I, die andere hauptscichlich xuf Fall 11. Sie stellen in senkrechter Projektion auf die Oberfliiche des Kristalls die Fl8che der Einheitskugel dar. Auf der Vorder- flache der Kugel liegt der 1)urchstoB der Vektoren 8 und b-,,,, sowie aller ins lnnere des Kristalls weisender Richtungen, auf der Riickseite der von b,. Um b, und b-, sind die Kreiskegel Init dem Braggschen Winkel zB als Achsenwinkel (als Kreise auf der Kugel) gezeichnet. -4uf dem um 6- beschriebenen Kreise liegt a!’, 9:;) auf den1 anderen, und zwar auf dem gleichen gr6Bten

Kreise E wie b, und Q:. In Pig. 3, I stellen die auf der Biick- seite der Kugel liegenden, gestrichelten Hiilften dieser Kreise die komplementiiren Kegel dar, von denen der eine nach 8 4 verstiirkte, der andere abgeschwiichte Strahlung zeigt, naturlich so, wie sie nach der elementaren Theorie der Rontgeninterferenzen l&gen. I n Fig. 3, I1 ist der gestrichelte Kegel der, welcher nach 8 6 durch verstiirkte Strah- lung im Experiment hervortritt. Der senkrechte Abstand 66, des Pols6 von E, also ein Stuck eines groBten Kreises (in der Projektion eiue Gerade) entspricht dem Winkel 5 zwischen 6 und der Ebene E. Ebenso sind die Winkel cy und x zwischen 6 einerseits, b-, oder 9:’ andererseits eingezeichnet.

Qenau genommeri stellt Fig. 3, I nieht ausschlieBlich den Fall I dar, in welchen laut Definition Rf’ einen spitzen Winkel mit 6 bildet. Man drehe namlich die Ebene E urn die Gegenpole b-, und bm in die Lase E’; dann bildet 9::’ mit E einen rechten Winkel. Dreht man noch ein wenig weiter, so geht dieser in einen stumpfen iiber, wie es dem Fall I1 entspricht. 9: aber bleibt dabei zuniichst

M. v. Lam. Die Fluoreszenzriintgenstrahlung von Einkristallen 735

noch auf der Vorderseite der Kugel. Hicr gehen ar80 Fall I und 11 stetig ineinander iiber I).

Fig. 3 I Fig. 3 I1

Zur verallgemeinerten Behandlung des Reflexionsproblems mochte ich an die eigene, naturlich nur der Ewaldschen nach- gebildete Darstellung ankniipfen 2).

1) Zusalz b. d. Korr.: Nach der elementaren Thcorie der Rontgen- interferenzen folgt aus der Interferenzbedingung 6, = 6 - 1 bh, indem man 8,? = 1 bildet, als Gleichung des Interferenzkegels h,, h,, h, :

Ihn schneide der Interferenzkegel k,, k,, k,. Gibt es d a m zwei.Zahlen p und v derart, dab erstens fur a = 1, 2, 3 die linemen Kombinationen

ganze Zahleii sind, dall zweitens

gilt, so folgt aus den Gleichungen der genannten Kegel durch Zusammen- fassung mit p und V, da dann p bh + v bs = bl ist:

2 (6 61) = 1 ble . Die Schnitflinien der drei Kegel h, k und 1 fallen dann zusanimen.

Fur ein kubisehes Gitter (und mit p = 1) fuhrt dies auf die Bedingungs- gleichungen in

Die Figg. 3, I und 3, TI eritsprechen genan der Falluuterseheidung von K o s s e l und Voges in 3; nach Fig. 3, I ist der Sehnitt des Kegels mit einer zur Grenzflkhe des Kristalls (der Zeichenebene) parallelen Platte eine Hyperbel, naeh Fig. 3, I1 eine Ellipse. Wir heben dies hervor, weil diese Unterscheidung mit unserer in Fall I und 11 nicht ganz tibereinstimint.

2) Ergebnisse der exakten Naturwissenschaften § 5, 10. S. 133. 1931.

.-. . .

2 (6 bh) = 1 bh2.

p ha + v k, = I,

p 61,' + v br* = bt*

7 bei K o s s e l und Voges.

736 Annabn der Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

I n der Ebene E zeichnen wir Fig. 4; 0 sei der Nullpunkt des

reziproken Gitters und O m der Vektor b,. Der Vektor 6?P sei gleich - 9:), so da8 P den Mittelpunkt der Ewaldschen ,,Aus- breitungskugel" bildet. Durch P denken wir uns den zur Ober- flache senkrechten Einheitsvektor a gelegt; auf ihm oder seiner Verlangerung mu8 der Anregnngspunkt A jedes Wellenfeldes liegen, welches vermoge der Grenzbedingung der Stetigkeit der tangen- tiellen Komponente des Wellenvektors zu der BuSeren Welle passen

soll. Da a nicht in der Zeichenebene liegt, ziehen wir die Pro- jektion von a, 3, genannt; auf ihr mu0 die Projektion A, des An- regungspunktes A liegen.

Als 01% aller moglichen Anregungspunkte lehrt die dynamische Theorie die Dispersionsflache kennen, die fur zwei Strahlen in einem hyperbolischen, zur Ebene E senkrechten Zylinder besteht. Auf ihm muB A liegen, A , also auf der in der Figur gezeichneten Spur dieses Zylinders. Da es zwei Schnittpunkte von a mit dem Zylinder gibt, gibt es zwei Lagen fur A , also zwei bei der Re- flexion mogliche Wellenfelder.

Unter sp verstehen wir, wie gesagt, den Winkel zwischen b-, und 3, unter ypp den zwischen b-, und a,; sie stehen in der Be- ziehung

(33) COB 9

COB 'pz, - - cos 5

M. v . Laue. Die Fluoreszenzr~tgenstrahlung von Einkristallen 737

zueinander. Die Winkel zwischen a:' und 8, bzw. a,, nennen wir x und xp. Die Beziehung zwischen ihnen schreiben wir:

(34)

indem wir mit yo und y o p ihre Kosinusse bezeichnen. Fur Sm und den Kosinus der Winkel zwischen diesem Vektor und 3, bzw. a,, besteht die analoge Gleichung :

(35) J?L = cos 5 . 7- P

n und + 2; claher ist cos < 5 liegt stets zwischen - - 2

Und nun konnen mir ein Stuck der fruheren Oberlegung fur 5 = 0 fast wortlich ubernehmen, da wir dabei vollig in der Zeichen- ebene E operieren.

Der Punkt P hat nach Konstruktion von 0 den Abstand k, von Punkt m hingegen nach der Definition von a, den Abstand k(l + a,,,). 1st L der Punkt, welcher von 0 und m den Abstand k besitzt, so 1aiBt sich a, durch den Abstand L P ausdrucken. Denn die Projektion von L P auf die Richtung m L ist gleich kam. Be- zeichnet aber, wie friiher, 0 den M'inkel 0 Lm, so ist P L sin @ diese Projektion, da P L zu 0 L senkrecht steht.

(36) ka, = P L sin 0. Weiter ist P L gleich k inal dem Winkel POL, und dieser ist die Differenz des Winkels zwischen a p und P 0 (= x,) und des Winkels zwischen 3, und LO (= (zg + ypI). Folglich unter Hinblick auf G1. (10):

(37) am = or, - x B - y,) sin 0 = (x, - X B - vp) sin 2 x B .

Wir setzen namlich den (nicht in der Ebene E gelegenen) Vektor

A P = k S a , den Vektor ApP= kSpa,, so daB1)

0 . 2

Folglich:

Erst jetzt kommt der Unterschied gegen fruher zutage.

3 -t

5 = cos 5 (38) d --f --f

ist. Die Komponenten von A P und AP P nach der Richtung m P sind identisch, namlich + k 8, COB (x, + @); dies ist gleich dem Langenunterschied von m P = k (1 + a,) und rn A,. Da sich m A, und m A in der Lange nur um einen zu (k 6 sin <)2 proportionalen, also zu vernachlhsigenden Betrag unterscheiden, andererseits nach

1) Auch a p sei ein Einheitsvektor.

738 Annabn der Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

der Definition des Anregnngsfehlers des Strahls R,,,, genannt E,,

m A = ]em: = k ( l + em) ist, gilt

Fu r den Anregungsfehler E~ des Strahls Po besteht eine analoge Gleichung, nur fehlt die zu am analoge GrijBe, weil wir 0 P genau gleich k gewahlt haben. Sie lautet daher:

Nach (34), (35) und (38) konnen wir dafur schreiben:

Em = a, - 6, cos ( X p + 8) = u, - Jp ymp.

E0 = - J , Y o p .

(39) & m = a m - S y , , & o = - JY,. Die Grundgleichungen (5) der dynamischen Theorie vereinfachen

sich bei alleiniger Beriicksichtigung der Strahlen R0 und R,, sowie bei Einfiihrung der Anregungsfehler so und em nach Beriicksichti- gung von (39) fur Fall a zu

- 2 6 yo Sm = yo So + ?/)- m 5Dm 2(um- Jj'm)b,= vo%m+ vmBo.

Fur Fall b tritt wieder zu 7~~ der Faktor cos 0 = C (- l p . Dies sind genau dieselben Gleichungen, die fur g = 0 galten; daher be-

halten die aus ihnen folgenden Werte (15) und (17) fur x = zm und 8 %*

ihre Gultigkeit mit dem Unterschied, daB nach (37) an die Stelle der G1. (8) tritt:

In Verallgemeinerung des Friiheren mussen wir also die GrijBe p, die ein MaB fur den Winkelabstand von fi':) von der Mitte des Totalreflexionsbereichs darstellt, nicht unmittelbar aus den Winkeln 'p

und x zwischen dem Flachenlot a und Yt:, bzw. b-m berechnen,

sondern aus den Projektionen dicser Winkel auf die durch ft: und 6, festgelegte Ebene E. Dies ist aber auch der einzige Unterschied gegen fruher. Denn nach der Definition von

bleibt G1. (16) (Ro = und (17) beruhten alle folgenden fjberlegungen.

+ k 6 a) unveriindert; und auf den Gl.(l5), (16)

Nach (34) und (35) ist

iM. v . Laue. Die Fluoreszenzrbiztgenstrahlung con Einkislallen 739

Insofern in unseren Gleichungen nur der Quotient yo/oly, auftritt, kann man ihn also nach Belieben aus den Winkeln berechnen, welche 9;) und 9:’ mit a oder mit der Projektion 3, bilden. Erst wenn wir, wie z. B. in (25,1), (26,11, l) , (25,II, 2) oder (25,11, 3), um auf die die Flacheneinheit der Kristailflache treffende Energie zu beziehen, den Faktor yol$i5 vor eine Klammer setzen, wird der Unterschied wesentlich; damn muB man die Winkel auf das Flachenlot a beziehen.

0 6. Allgemeine Bemerkungen

Bisher haben wir immer von einern Atoni gesprochen, konnen jedoch die Ergebnisse auf eine ganze Schar strahlender Atome iibertragen, sofern diese gleich tief unter der Oberflache liegen; die Intensitaten ihrer Strahlungen addieren sich einfach. Bei den Ver- suchen wird aber jedenfalls eine Schicht von (fur diese Retrach- tungen) erheblicher Dicke angeregt. Wir wollen als entgegen- gesetzten Grenzfall den erortern, in welchem der Kristall (etwa durch sehr harte, kaum absorbierbare Gammastrahlen) xu iiberall gkicher Ausstrahlung angeregt wird.

AuBerhalb der Interferenzkegel wird d a m die Strahlungs- intensitat proportional zu p- I , wenn ,u den geringen, bisher ganz vernachliissigten Absorptionskoeffizienten fur die entsandte Strah- lung darstellt. An den Interferenzstellen, welche zu Fall I ge- horen, ebenso fur Fall I1 in den Richtungen autlerhalb des Total- reflexionsgebietes, tritt fur die Gesamtstrahlnng als weiterer E’aktor die rechte Seite der G1. (31, I) oder (30, IT, 1 + 3) hinzu, so daB, was wir in $8 4 und 6 uber die relativen Strahlungsintensitaten sagten, vollig ungeandert bleibt. Fur Fall I insbesondere miissen wir (31, I), nicht (30, I) benutzen, weil die tief liegenden Atome den Hauptteil der Ausstrahlung ergeben werden l). Es bleibt dabei, daB von den Richtungen - Qr’ und - !2!’ diejenige verstiirkte Strahlung tragt, die dem Lot auf der Oberflache niiher liegt, die andere cine kom- plementar geschwachte Strahlung. Die E’einstruktur freilich, von der in 8 4 fur Fall I die Rede war, mu6 jetzt fortfallen, weil die Lage ihrer Maxima und Minima gegen die Tiefenlage der Strahlungs- quelle sehr empfindlich ist.

S u r im Gebiete der Totalreflexion sinkt die Ausstrahlungskurve tief hinab, sofern wir relative Strahlungsintensi~ten betrachten.

1) Fur ein einfaches Gitter, mie das des Kupfers, ergeben beide Glei- chungen, wie in 5 4 erwlhnt, wesentlich dasselbe.

740 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

Denn die tiefer liegenden Atome, welche fur alle anderen Richtungen den Hauptanteil ergeben , fallen wegen der Extinktion, welche be- kanntlich die normale Absorption an Stiirke weit iibertrifft , hier vollstandig aus. Die relativ wenigen Atomschichten, die hier noch auszustrahlen vermogen, konnen trotz der Verstarkungen ihrer Aus- strahlung, welche die Figg. 2 a und Bb zeigen, diesen Ausfall nicht ersetzen. So bleiben diese Figuren also in Kraft, wenn man nur das Totalreflexionsgebiet so gut wie vollig ausloscht.

Vom Temperatureinflu/? haben wir ganz abgesehen. Man wird ohne Rechnung nuf Grund des Reziprozitiitssatzes sagen, daB eine an sich mogliche Interferenz, welche aber wegen hoher Temperatur bei Einstrahlang stark geschwacht ist, auch den Interferenzeffekt bei Ausstrahlung nur schwach ergibt. So deutet man leicht das Er- gebnis von Kosse l und seinen Nitarbeitern'), daB in ihren ersten Versuchen die Interferenzen hoherer Ordnungen , welche ja gegen hohe Temperaturen empfindlicher sind, als die niederer Ordnung. weniger leicht oder anch gar nicht aufzufinden waren! zumal j a die Temperatur an den von den Kathodenstrahlen getroffenen Teilen des Kristalls sehr hoch sein diirfte.

Wir haben bisher auch vollig abgesehen von einer etwaigen Nosaikstruktur des Kristalls, die nach den in cler Einleitung ge- nannten , alteren Untersuchungen amerikanischer Forscher fur die Beobachtnng der Fluoreszenzmaxima entscheidende Bedeutung ge- habt zu haben scheint. Da alle diese Beobachtungen unter den geometrischen Bedingungen des Falles II gemacht sind, brauchen nir nur von ihm zu reden.

Nach den Forschungen Darwins 2, unterscheidet sich der Xosaik- vom Idealkristall durch das Fehlen der ,,primiiren" Extinktion im Totalreflexionsbereich , von der wir unter (II,2) sprachen. Das Abklingen von auBen kommender Strahlen nach dem Inneren zu findet mittels ,,sekundarer" Extinktion weit langsamer statt. Dann aber muB auch ein fluoreszierendes Atom aus groBerer Tiefe in eine Richtung dieses Bereichs hinein ausstrahlen, dieser Bereich mu8 bei Anregung dickerer Schichten weit mehr Strahlung erhalten, als beim Idealkristall. Eun zeigt ein Vergleich der Formeln (30,II) und 30, IT, 1 + 3) die iiberragende Bedeutung des genannten Bereichs fiir die Gesamtstrahlung, sobald die Extinktion nicht in Frage kommt. So wird es vielleicht verstandlich , daB die Beobachtungen beim

1) W. K o s s e l , V. L o e c k u. H. V o g e s , Ztschr. f.Phys. 94. S. 139. 1936. 2) C. (f. D a r w i n , Phil. Mag. 2i. S. 315 u. (576. 1914; W. L. B r a g g ,

ebenda 60. S. 306. 1925; 1%'. L.Bragg, R. W. James 11. C. O . D a r w i n , ebenda 1. S. 897. 1926 tHandb. d. Physik, 13d. XXIII, Zweiter Teil, 1933, S. 331).

M . v. Laue. f i e Fluoreszewontgmstrahlung von Einkristdlen 741

Mosaikkristall leichter gelingen, als beim Einkristall - was die Unstimmigkeit zwischen den Veroffentlichungen von Clark und D u a n e einerseits, W e b e r und Ku lenkampf andererseits bis zu einem gewissen Grade erklarte.

Anhang: abertragung auf die Elektroneninterferenaen

.hch fiir die Materiewellen gilt ein Reziprozitatssatz, wie es sich nach den entsprechenden ffberlegungen in der Akustik von selbst versteht. Die Schrodingerfunktion u 'gehorcht namlich, wenn wir die Moglichkeit der Erzeugung von Materie einer bestimmten Art, etwa von Elektronen, mit in Betracht ziehen, der Gleichung

Sn'm h' A u + V u = E u + e .

e d S mi& die Stiirke der (Elektronen -)Emission im Volumen- element as1). Nun folgt fur zwei verschiedene Wellenfelder, wenn nur die potentielle Energie V fur beide dieselbe Ortsfunktion ist, als Analogen zu (1)

Die Stetigkeit der Wellenfunktionen u und ihrer ersten Ableitungen an Unstetigkeitsflichen bewirkt, daI3 solche die Giiltigkeit dieser Gleichung nicht aufheben.

Das wenden wir auf einen Raum an , welcher durch die ,,un- endlich ferne Kugel" begrenzt, wiihrend V nur in einem endlichen

1) Eine physikalische Deutung der Ergiebigkeit 4 gehijrt ebensomenig zu unseren Betrachtungen, wie eine Deutung der elcktromotorischen Kraft 4, zu den Lorentzschen, iiher die wir in § 1 berichteten. Man kann etwa die Auf- fassung zugrunde legen, da6 man eine Losung* der Gleichnng

darstellt ale 1 = 1y+ + tp- und ansetzt

wobei das obere Vorzeichen f u r r y + , dm untcre fur t,u- gelten 8011. man sich nur f u r den durch tp+ dargestellten Vorgang interessiert und

Sofern

2ni hE1

v+ = e u (x, Y, -") setzt, gilt G1. (42).

Anualen der I'hysik. 5. Folge. 23. 49

742

Raumteil integral; sind hier

(44)

wobei f( l1

Annalen der Physik. 5. Fo2ge. Band 23. 1935

von Null verschieden ist. Dann verschwindet das Flachen- denn bis auf Glieder mit hoheren Potenzen von l / r

und f'" irgendwelche Funktionen der Richtung vom Kugel- mittelpunkt nach d (r darstellen. Diese Ausdrticke aber machen den Integranden in Gliedern mit l/ra zu Null, wahrend die in (44) ver- nachlassigten Summanden nach der Integration beim Grenziibergang zu unendlichem Radius ebenfalls fortfallen. Setzen wir weiter voraus, gel) sei nur nahe bei P(Q, Q@) nur nahe bei P@) von Null verschieden, und auSerdem

Sgta a sea n ~ u a so) , s. so folgt unmittelbar der Reziprozitiitssatz:

(45)

Dasselbe gilt auch fur andere Formen der Wellenmechanik; ist nur der Operator L der Wellengleichung

(421

(43')

L(u) = E u + 9

l(u(l) L* (uw) - ucz)* L (u(q) a s selbst-adjungiert, so la& sich das Raumintegral

in ein Flachenintegral verwandeln. Der Kachweis, daB dies fiir die unendlich ferne Kugel verschwinden mug, diirfte immer zu fiihren sein. Und so folgt in leichter Abanderung der G1. (45):

(45') unter der Voraussetzung:

Jp a ~ ( 2 ) = p a ~ ( 1 ) . Infolgedessen werden wir unsere Ergebnisse jedenfalls qualitativ

auf die Elektroneninterferenzen iibertragen diirfen, deren Theorie ja B e t h e l) der dynamischen lnterferenztheorie der Rontgenstrahlen nachgebildet hat. Urn jedoch einen, fiir Elektronen bis zu einigen 100 Volt Geschwincligkeit wesentlichen, mit wachsender Qeschwindig- keit nur allmahlich verschwindenden Unterschied hervortreten zu

s

1) IT. Bethe , Ann. d. l'hys. 87. S. 55. 1928.

M. v. h u e . Die Fluoreszenzrontgenstrahlung mn Einkristalbn 743

lassen, schreiben wir mit B e t h e l) die Schrodingergleichung in die Form :

in welcher sich die Konstante K wie in (44) angegeben berechnet, wahrend die dreifach periodische Ortsfunktion

(46) d u + (KS + U)U = 0,

u=---- 8 n * m ( e l (4 7) he zur potentiellen Energie eV proportional ist. Ftir U macht B e t h e nun den der G1. (2) entsprechenden Ansatz (48) = Cv, e - j h r )

nnd fur die Schrodingerfunktion u, analog zu (4): (49) = e- j !%4 C ~ , e - j c b m t ) . Die Losung der Schrodingergleichung ist dann identisch mit der Auflosung der unendlich vielen Gleichungen fur die Unbekannten u,.

- ( K 2 + U")) u, = 2' 'uq u, - . n

Der Strich am Summenzeichen bedeutet, daB das absolute Glied vo der Reihe (48) in ihr nicht auftreten soll. Die Analogie zu (5) wird recht eng, wenn wir hier noch durch (K2 + v,) dividieren; denn fur alle wesentlich in Betracht kommenden urn ist 9; nur wenig von IC + vo verschieden. Danach entsprechen die dimensionslosen

den Zahlen yq der Theorie fur die Rontgenstrahlen. Werte Sie sind aber nicht immer von derselben GroBenordnung ; wiihrend man fur die qq-Wertc von 10-5 oder 10-6 anzusetzen hat, erhalt

vq

(Kt + %)

_ -

man aus dem Brechungsindex 3 der Elektronenwellen 11. ; T ,

der sich fur Elektronen von einigen 100 Volt um Prozente von 1 unterscheidet, fiir v o / K 2 die GroBenordnung und man wird

fiir - '2 -- dieselbe ansetzen. Deswegen vernachlassigt B e t h e im Ansatz (49) auch in den Fallen, in denen nnr zwei Wellen uo und u,,, vergleichbarer Starke auftreten, die anderen, dagegen schwachen u, nicht vollstiindig, sondern driickt sie nach (50) durch u, und urn am4):

( K z + vo)

1) H. Bet l ie , a. a. 0. G1. (3a). Um Verwechslungen init dem y der bis- herigen Ausfiihrungen iiber Rontgenstrahlen zii vermeiden, ersetzen wir B e t h e s y durch den Buchstaben 74.

2) 11. B e t h e , a. a. 0. GI. (13). 3) Vgl. 4) A. a. 0. G1. (35).

8 bei H. Bethe .

49 -

744 Annakn der Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

An Stelle der G1. (6) fur die Rontgenstrahlen tritt infolgedessen nach (49) die weniger einfache:

I n den Summen 2" fehlen je zwei Glieder mit vo und v?,,,. Die Ebenen & r ) = const sind infolgedessen nicht Orte gleicher Werte von 1 ~ 1 2 . Wahrend es bei den Rontgenstrahlen fur die Interferenz mit den Indixes ml , m2, mg nur auf das ym mit denselben Indizes ankommt, also nur suf die Periodizitit langs des zugehorigen Vektors b,, kommt es fur die Elektronenwellen auch auf die Gitter- perioditat in den anderen Richtungen an. Das erschwert die Er- mittlung von lu12 an den Orten der Atome: man kann sie ohne genaue Kenntnis aUer oder doch mehrerer vr nicht durchfuhren. Selbst fur Elektronen von lo5 Volt sind die Werte Lq noch von der GroBenordnnng l0-g so da3 also nur fur sehr viel schnellere, f a r welche aber die Schrodingertheorie schon ungencbu wird, Ver- haltnisse eintreten, ahnlich denen bei Rontgenstrahlen.

Hinzu kommt noch ein anderer Unterschied zwischen Elektronen- und Rontgenstrahlinterferenzen. Wie K i r c h n e r und R a e t he r 1) zeigten, spielen bei den Elektroneninterferenzen die Oberflachen- erscheinungen, herriihrend von dem Kreuzgitter der Grenzflache, auch bei 40000 Volt beschleunigender Spannung noch eine sehr betrachtliche Rolle, welche das Problem des Ein- und Austritts gegeniiber den in $8 2 B und 7 wiedergegebenen Betrachtungen wesentlich verwickelter erscheinen lafit. Diesen Unterschied wiirdigt R e t h e s Theorie gar nicht, obwohl er wegen der d a m abzuandernden Grenzbedingungen die Rechnungen beeinflussen muB.

Trotzdem paBt die Beschreibung, welche wir in 8 4 von dem Ausstrahlungs-Interferenzeffekt fur Fall I des einzelnen Atoms gaben, zu den so oft beobachteten Kikuchilinien, die unter den Bedingungen des Falls I in der Regel paarweise, als je ein dunkler und ein heller Kegelschnitt, beide nur durch die Vorzeichen der Indizes unterschieden, auftreten2). Allerdings liegen im Gegensatz zu dem nach 8 4 viel-

CK' + w,)

1) F. Kirchner u. H. R a e t h e r , Phys. Ztschr. 33. S. 510. 1932; €1. Rae- t h e r , Ztschr. f. Physik 78. S. 527. 1932.

2) S. K i k u c h i , Proc. Imperial Academy of science 4. S. 271, 275, 354, 475. 1928; Japan Journ. Physics 6. S. 83. 1928-1929; Sh. N i s h i k a w a u. S. K i k u c h i , Nature 1'22. S. 726. 1928; G. P . T h o m s o n , Nature 126. S. 55. 1930; S. K i k u c h i , Phys. Ztschr. 31. S. 777. 1930, vgl. besonders Taf. XXV, Fig. 4, die mit 70000-Volt-Elektronen gewonnen ist; I<. Shinohara, Sc. Pap.

M . v. Laue. Die Fluoreszenzriintgenstrahlung VON Einkristallen 745

leicht Erwarteten die Kegei verminderter Gesamtstrahlung auf allen Aufnahmen der Fliichennormalen nuher, als die komplementiiren Kegel verstarkter Strahlung; aber die entscheidende Rolle dieses geometrischen Kennzeichens heben auch die Erforscher der Kikuchi- linien hervor. [Vklleicht liegt die Erklarung dafur in dem Summanden

CV, sin (r, - 8,J auf der rechten Seite von (30,I), sofern namlich die fur die Kikuchi- linien verantwortlichen Atomc der Grenaflache des Kristalls nicht zn fern liegen; sowohl V , (nach 29‘) als auch der Sinus konnen beide Voraeichen haben, wahrend C fur Elektronenwellen wie oben im Falla gleich 1 zu setzen ist] DasFehlen der Linien bei den aller- dlinnsten Kristallschichten paBt jedenfalls zu dem Ergebnis von 9 4 (vgl. 25,I),’ daB Atome, die der Oberflache ganz nahe liegen, den Interferenzeffekt der Ausstrahlung im Fall I nicht zeigen l). Beim Braggfall (Fall 11) hingegen h d e n sich durchweg Kegel verstarkter Gesamtstrahlung in obereinstimmung mit 5 6 ”. Institute for physical und chemical Research Tokyo 18. S. 223. 1932 und 20. S. 39. 1932; Phys.Rev. 47. S. 730. 1936; G. A m i n o f f u. B. BroomB, Ztschr. f. Kristallographie 89. S. 80. 1934; A. G. E m s l i e , Phys. Rev. 4.6. 6. 43. 1934. Nach H. K a k e s i t a , Memoirs of the College of Science, Kyoto 17. S. 31. 1934, veriindern die Kikuchilinien bei erhijhter Tcmperatur nicht ihre Form, werden nur ein wenig unschlirfer.

Als Erkliirung der Kikuchilinien liest man bisher stets in ffbertragung der erwlihnten Kosselechen ffberlegung, sie entatiinden dnrch Spiegclung ebener Wellen im Kristallinneren an einer Netzehenenschar. Da nun aber die einzelne ebene Welle im Raumgitter (im Interferenzfall) gar nicht mijglich ist, vielmehr mindestens zwei solcher Wellen zu einem Wellenfelde zusammen- treten miissen, solltc man daher erwarten, daB die beiden Kegelschnitte un- gef ahr gleiche, nicht komplementgre Intensitlit zeigen - gsnz abgeschen von der Frage, wie die von einer im Raumgitter gelegenen Elektronenquelle aus- gehende de Brogliewelle denn eigentlich bescbaffen ist.

obrigens liuSert K i k u c h i selbst in der erwi-ihnten Arbeit in der Phys. Ztschr. 31. auf S. 783 Bedenken gegen dime Deutung.

1) Im Gegensatz zu der friiheren Deutung d t r Kikuchilinien versteht man (vgl. besonders Anm. 1 zu S. 727, Endc von 8 4), warum Interfercnzeffekte auch bcziiglich solcher Netzebencn auftreten, welche zur OberflLche senkrecht stehen.

2) Zusatz b. d. Kom.: E m s l i e s Arbeit (a. a 0.) zeigt in Fig. 1, bei welcher Elektronen fast streifend die SpaltflBche von Antimonsulfid (Sb,S,) treffen und die photographische Platte zur Spalffliiche senkrecht steht , unter anderen Kikuchilinien einen Kreis, und dcr Text erwi-ihnt, daS die zweite Ordnung zu ihm auf dem Original auch zu sehen w&c. Diese Kreise lassen sich schwer anders deuten, als hervorgerufen durch klcine, f u r die Elektronen durchdring- baren Vorspriinge auf der Spaltflliche, und gehoren dann zu Fall 11. Der sichtbare Kreis zeigt dem Bctrachter (und der Text bestlitigt es) einen Hell- dunkeleffekt, welcher gut zu dem in Fig. 2 s dargestellten paat. Natiirlich muB man diese ebereinstirnmung noch mit Vorsicht werten.

In der Tat treten solche in manchen Aufnahmen stark hervor.

746 Annalen der Physik. 5. B'olge. Band 23. 1935

Freilich sind daniit keineswegs alle Einxelheiten der zahl- reichen Beobachtungen erschiipft. Zndem t r S t die Voraussetzung, die wir bei Fall I1 gemncht haben, daB namlich der Kristall fur die Wellen undurchlassig sei, bei den Elektronenversucheu keineswegs immer zu. Wir mochten an dieser Stelle daranf nicht naher ein- gehen, jedoch eine grundsiitzliche Yrage beriihren, welche wohl vor der Deutung der Einzelheiten beantwortet werden muS.

Bei der Fluoreszenz-Riintgenstrahlung wirken die Atome sicher als unabhangige, inkohiirente Strahlungsquellen. Sonst diirften wir nicht mittels Addition der Intensitaten von der Ausstrahlung eines Atoms auf die vieler schliefien. Damit die Analogie stimmt, miissen entsprechend die dtome zur Erzeugung der Kikuchilinien als un- abhiingige, inkoharente de Drogliewellen aussendende Mektronen- quellen wirken. Eine Theorie der Elektronenstreuung, welche das Atom einfach als R a m verhderten Potentials in der Schrodinger- gleichung auffaBt, macht diesen Pnukt meines Erachtens nicht ver- s h d l i c h ; nach ihr konnte man nur das normale, fur die Ein- strahlnng bekannte Interferenzphanomen erwarten. I n Wirklichkeit miissen also, sofern an der Analogie zwischen den Kikuchilinien und K O sse l s Beobachtungen an Rontgenstrahlen irgend etwas Wahres ist, neben den durch eine solche Tlieorie darstellbaren auch andere Streuvorgange Platz greifen, welche die Phasenbeziehung zwischen einfallender und Streuwelle ganzlich verwischen. Und zwar diirfen sie die Energie der Elektronen, wenn iiberhaupt, nur wenig herabsetzen, weil man an den Kikuchilinien bisher keine VergroBerung der Wellenlange gegeniiber den einfallenden Wellen bemerkt hat; freilich hat man wohl auch nicht danach gesucht.

Derselbe Streuvorgang trkgt wesentlich zu der diffusen Elek- tronenstreuung bei, welche den Untergrund jeder Interferenz- aufnahme verschleiert.

B e r l i n -Z e h l en do rf , Albertinenstr. 17.

(Eingegangen 16. Juli 1935)