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Die T h e o r i e y o n G . I . P o k r o w s k i

u n d d i e K o n t r a k t i o n s e n e r g i e d e r S t e r n e .

Von Wilhelm Anderson in Dorpat.

(Eingegangen am 15. April 1929.)

P o k r o w s k i s Theorie enth~iit die stillschweigende Annahme, daft Masse und Gewieht nieht nut der gewShnliehen ~aterie und der kinetischen Energie zugesehrieben werden miissen, sondern aueh der potentiellen Gravitationsenergie selbst. Es zeigt sieh nun, daft anter gewissen Umst~inden die Masse der po~entiellen Gravitations- energie den grSflten Teil der anf~ngliehen Masse eines Sternes ausmaehen kann. Dann ist es aber auch gar nicht wunderbar, wenn der Stern w~ihrend seiner ,Lebenszeit" den griiften Teil seiner anfiinglichen Masse ausstrahlt. In diesem Falle ist die Kontraktionsenergie so grof, daft es vSUig iibeffliissig ist, noch irgend

eine andere Energiequelle anzunehmen.

In meiner vorigen Abhandlung tiber die Theorie yon G. I. P o k r o w s k i

habe ieh gezeigt, dal~ diese Theorie zu einer ahnllchen Formel fiihrt, wie

auch melne (vor etwa sechs Jahren aufgestellte) Theorie fiber denselben

Gegenstand. Der ganze Unterschied besteht nur in dem Zahlenfaktor

~ / , der in P o k r o w s k i s Formel nieh~ auftr i t t* .

Nach P o k r o w s k i ist - - c ~ der ,kr i t i sche" W e ~ des Potentials an

der O b e r f l a c h e des Sternes. W i t wollen ~etzt aber anuehmen, dal]

dieser ,kr i t l sehe" W e r t sieh nicht auf das Oberili ichenpotential beziehe,

sondern auf das d u r c h s c h n i t t l i c h e P o t e n t i a l im I n n e r n des Sternes.

Bezeichnen wir durch - - ~ , das Grav i t a t i onspo ten t i a l in der Ent-

fernung x vom Mit te lpunkt des Sternes. S te l l t der Stern elne homogene

Kugel dar yore Radius r trod v o n d e r konstanten Dichte ~, so is t be-

kannt l lch (2 r ~ 2 x~) K. (1)

K bedeutet die Gravi tat ionskonstante. Der durchschnlttl iche W e r t dieses

Potent ia ls ira Innern des Sternes is t gleich

(i - - 4 ~ t x ~ p x d x : ~ r . \ 0 I

Im ,kr i t isehen" Fal le soll das durehschnittl iehe Potent ia l gleieh - - c a

sein, also is t

4 ~ r ~ 4 ~ x ~ P ~ d x ~__ _ c a,

o

* W. Ande r son , ZS. f. Phys. 58, 597, 1929.

Wilhelm Anderson, Die Theorie yon G. I. Pokrowski usw. 387

und im Hinbliek auf (1):

4 g r S ~ ~ K d x = c 2,

0 oder

0

Nach Ausfiihrung der Integration erhalten wir

8 ~t q K r ~ _ _ c~" (2)

Wenn M die Masse des Sternes bedeutet, so haben wir

-~ ~ r 8 ~ = ~ . ( 3 )

Das Eliminieren yon r aus (2) und (3) ergibt

c'c = =_ " 7 ~=--e-~l ( 4 )

Somit ist P o k r o w s k i s Formel mit der meinigen identiseh geworden. Mag sieh ein Energiequantum h v o veto Punkt A o bis zum Punkt A 1

bewegen, dann yon A~ bis A2, yon A 2 bis A 3 usw. bis A~. Die Zahl n mag unendlich grol~ sein. Das Gravitationspotential sei in A o gleich - - q~,

in A 1 gleich - - ( ~ - - ~ ) , in A, gleich - - ( ~ - - ~ - ) usw. In A~ end-

lich sei es gleich - - ( r ~ - ) oder 0. Die Masse unseres Energie-

quantums is~ gleich h v__~o and zum Ubergang yon A o bis A 1 ist eine Ar-

h v~ q~ Erg erforderlich. Diese Arbeit kann nur nut Kosten beit yon ca n

unseres Energieqnantnms geleistet werden, wodureh sieh die anfangliehe Frequenz v o bis v 1 vermindert naeh der Gleichung:

r 1 7 6 - - h v o ( 1 ~ ) h v I ~ h y o - - . r n

Also ist

v, : r e ( 1 - - ~ ) . (5)

Die gegen die Gravitationskraft geleistete Arbeit ist aber nicht spurlos verloren gegangen, sondern hat sieh in potentielle Gravitationsenergie verwandelt. Nun sind zwei Mfglichkeiten denkbar: 1. die potentielle Gravitationsenergie. ist der Gravitationswirknng nicht unterworfen; 2. die

388 Wilhelm Anderson,

potentielle Gravitationsenergie ist ebenso der Gravitat ionswirkung unter- worfen wie jede andere Energie.

Wenn wlr die erstere dieser zwei Annahmen akzeptieren, so wird zum Ubergang yon A 1 bis A a eine geringere Arbeit erforderlich sein als yon A o bis A,, da die Masse des Energiequantums sieh vermindert hat.

. hv l r p Diese Arbei t ist jetzt gleich c--cT~n Erg, wobei natiirlieh v I < v o ist.

Wel ter haben wir:

h v l ~ - - h v , ( 1 - - ~ )

und im Hinblick auf (5):

Im Punkte A s wird die Frequenz gleich

v s = vo ( 1 - - c~r

usw. Endlleh im Plmkte An

v~ ~ - v o 1 ~ ---~voe e~, (6)

da n unendlieh grol~ ist. Wenn - - ~o = - - c a ist, also ~o = c ~, so er- halten wir aus (6)

Wenn also das Energiequantum sieh von einem Punkte mit dem Potential - - c a bis zu einem Punkte mit dem Potential Null bewegt, so vermindert sic], seine Frequenz um das e-lathe.

i~un akzeptieren wir die zweite Annahme, da$ nKmlich die potentielle Gravitationsenergie Gewicht babe. Aber w o soll man die potentielle Gravitationsenergie lokallsleren ? Wi r wollen annehmen, dab die ganze potentielle Gravitationsenergie ,,am Energieqnantum hal ter" . ~n A o ist

h Yo die ~Iasse des Energiequantums gleich c V . In A, ist sie glele5

h v 1 _ _ h v o ~ h v oq~ . C 2 - - Ca ~ C 2

dazu kommt aber noch die Masse der entstandenen potentiellen Gravi- tationsenergie, die ia am Energiequantum ,ha[ten ~ so]l; diese Masse be-

triigt h v~ cp Die Gesamtmasse im Punkte A 1 ist also gleieh

hYl hvoq~ hvo hvocp ~ hvo~p hv o

Die Theorie yon G. I. Prokowski und die Kontraktionsenergie der Sterne. 389

W i r sehen, dal~ die Gesamtmasse unver~ndert geblieben ist. Des-

halb wird zum Ubergang yon A 1 zu A S dieselbe Arbe i t erforderlich sein

wie zum Ubergang yon A o zu A1, namlich h v ~ Erg. n c 2

Im Punkte A 1 haben wir

h v 1 = h v o h v o n C 2 '

oder

Im Punkte A s :

oder

Im Punkte As:

h v u . -~ h y 1 hvo~p 2hvocp nc' ~ ---. h~o ~c ~

v~ ~--- Vo(1 2 9

usw. EndHch im Punktc A~:

vn ~-- Vo(1-- n ~

I s t ~ ~--- c u, so erhalten wir aus (7):

Yn = YO 1 ~ = O.

W i r sehen, daft die Frequenz sich ietzt nach einem ganz anderen Gesetz

andert als im vorigen Fal le .

Da die Gesamtmasse des Energiequantums bei seiner Bewegung un-

verander t bleibt, so be t rag t die zum Ubergang yon A o bls An er[orderliche

hvo q~ Arbe i t ~ Erg. I s t q~ ~--- c ~, so wird diese Arbei t gleich h v o c ~ c~ = h vo,

also gleich dem antiinglichen Energiequantum selbst. Genau derselben

Ansicht is t a u c h P o k r o w s k i * . A l s o n i m m ~ P o k r o w s k i s t i l l -

s c h w e i g e n d an , dal~ d i e p o t e n t i e l l e G r a v i t a t i o n s e n e r g i e d e r

G r a v i t a t i o n s w i r k u n g u n t e r w o r f e n s e i u n d an d e m E n e r g i e -

q u a n t u m , h a f t e " .

Mag eln mater lel ler Kiirper, dessen Ruhemasse glelch m o ist, sich

im Punkte A o (mi~ dem Gravitat ionspoten~ial - - 9~) befinden. Teilen wir

* G. I. Pok rowsk i , ZS. f. Phys. 49, 589, 1928.

390 Wilhelm Anderson,

diesem KSrper die kinetisehe Energie E mit, welche gerade geniigt, um den K~rper yon A o naeh Aa (wo das Gravitationspotential gleich Null ist) zu iibertiihren. Durch die Zntiihrung der kinetischen Energie wird

E die ani~ngliehe Masse des KSrpers gleich n~ o ~- ~ . Bei der Bewegung

v~mmt die kinetisehe Energie ab und die potentielle Gravitationsenergle zu. Wir wollen mit P o k r o w s k i annehmen, daft die ganze potentielle

Gravitationsenergie am betreffenden K~rper ,halter ". Dann bleibt die Gesamtmasse des K~rpers unvertindert, und hel seiner Bewegung yon A o

bis A~ @ird eine Arbeit yon m o -{- ~ ~ Erg geleistet. Diese Arbeit

muff der anf~nglichen kinetischen Energie E gleieh sein, was zur Gleichung

liihrt. Daraus ergibt sich

Bei k]einen Werten yon ~ geht (8) in E ~ m o ~ iiber, wie es aueh zu erwaxten war. Is t ~ ~ c ~, so erh.~ten w i r E ~ ~ . B e i ~ ~ c l

wird E negativ, was sinn]os ist.

Die Gleichung (8) kann natiirlich aueh angewendet werden, wenn

der K~rper sich yon A~ nach A o bewegt. ~[ag z.B. das Gravitations- potential an der Oberfl~ehe eines Himmelskiirpers - - c I betragen Fttllt

ein K{$rper, dessen ~materielle" Masse gleieh m o ist, aus unendlieher Ent- fernung auf unseren HimmelskSrper, s o muff er naeh (8) eine unendlich grol]e kinetisehe Energie erhalten, was natiirlich unm~glieh ist.

Wir nehmen ietzt an, dail das Gravitationsp0tential nicht an der 0beril~ehe, sondern im Zentrum des Himmelsk~rpers den Wert - - c ! hat. In diesem Falle k~nnte man sich vorstellen, daf ein vertikaler Sehaeht bis zum Zentrnm des HimmelskSrpers gegraben sei. F~llt ein KSrper aus der Unendllehkeit in diesen Schacht, so erhalt er an seinem Boden eine unendlich gro~e kinetische Energie. Wit kommen daher zu dem Schlu~, da~ in keinem Punkte der Welt, selbst nicht im Zentrum der dichtesten und massivsten Sterne, das Gravitationspotential den Wert - - c 2 erreichen kaun. Natiirlich ist diese Schluffolgerung nut dann richtig, wenn die gauze potentielle Gravitationsenergie an dem bewegten KSrper ,hatter". Dies seheint mir aber etwas zweifelhait zu sein; jedenfalls halte ieh es fiir unbewiesen.

Die Theorie yon G. I. Pokrowski und die Kontraktionsenergie der Sterne. 391

Wean unendlich zerstreute Materie yon der Gesamtmasse M (wobei

die Masse der potentiellen Gravitationsenergie mit eingereehnet ist) sieh

zu einer homogenen Kugel vom Radius r zusammenballt, so ist die frei

werdende Energie bekanntlieh gleich

3 K M ~ E - - 5 r ' ( 9 )

wo K die Gravitationskonstante bedeutet. In meinem vorigen Artikel fiber P o k r o w s k i s Theorie setzte ich voraus, daft bei der Zusammenballung der Ma~erie ihre Masse M konstant bleibt. J e t z t will ich diese (natiir- lich unrichtige) Voraussetzung fallen lassen.

Wir bezeichnen die anfangllche Masse unseres Sternes durch M ~ ,

die endgfiltige Masse dutch Mr. Die vom Stern wahrend seiner ,,Lebens- zeit" ausgestrahlte Masse ist gleich M : r M~.

Mag der Radius des Sternes sieh yon x bis x - d x verrlngern, so ist die dabei irei werdende Energiemenge glelch

3KM2(x 1 1), 5 - d x

oder 3 K M ~ d x _ Erg.

Die eine Hi~lfte dieser Energie mag nun im Stern verbleiben: die andere tt~tlfte werde ausgestrahlt. Die Masse dieser ausgestrahlten Energie be- zeiehnen wir dureh d M. Dann habeTr wir

1 3 K M ~ d x 1 d 21~--- - - .

2 5 x ~ c 2 ' oder

d l]1 3 K d x

M~ 10c s" x 2 Die Integration ergibt:

M~

I 3Kfd oder 1 1 3 K

M r M y - l O c 2 r

Nun ist ~ r p ---- M r , also r ~ \ ~ p / �9

in (10) eln, so erh~lt man

Ffihrt man diesen Wert

(10)

_ _ ( ~ ) ' 3 K p~13

392 Wilhelm Anderson,

Dies ergibt, wenn man c = 2 , 9 9 7 9 6 . 1 0 t~ und K = 6 , 6 6 4 . 1 0 - s sefzt*:

1 1 __ 3 , 5 8 5 6 5 . 1 0 - 2 9 \ ~ - / �9 (11) M~ M ~

Nach P o k r o w s k i kann die maximale miigliche Dichte gleich @ = 4.1013-+1

angenommen werden**. Wenn wir @ = 4 . 1013g. cm - 8 in (11) ein-

fiihren, so erhalten wir

1 1 1 - - 1 , 2 2 6 3 . 1 0 - ~ 4 . - - - (12)

Diese Gleichung gestattet uns, aus der gegebenen Anfangsmasse M~ des Sternes seine endgiiltige ]~asse Mr zu berechnen. Jedoch ist der

umgekehrte Weg bequemer: aus der endgtiltlgen Masse des Sternes seine

Anfangsmasse abzuleiten. Resu]tate solcher Berechmmgen sind in der

Tabelle 1 wiedergegeben. In der dritten Spa]re ist der wahrend der

Lebenszeit des Sternes ausgestrahlte Bruehteil seiner anffinglichen Masse

au[gefiihrt. Tabel le 1.

Masse des Sternes Masse des Sternes Der w~hrend der .Lebenszeit" des Sternes am Antang seiner am Ende seiner ausgestrahlte Bruchteil

Entwi~luug Entwicklung seiner anfiingliehen Masse

1,0006.1081 g 1,0026.105u 1,0124.1053 1,0604.1054 1,3591.1085 3,4445.1035 6,6599.10 ~5 1,1966.103e 2,1978.10 ~5 4,7002.1036 2,1060.1037 1,2565.103s 1,9904.1059 9,5960.1040

o o

1,00D0.1031 g 1,0000.103~ 1,0000.1033 1,0000.1034 !,0000.1035 2,0000.1055 3,0000.1035 4,0000.1055 5,0000.1055 6,0000.1055 7,0000.1035 7,3000.1085 7,3600.1085 7,3640.1085 7,3641.1055

0,00057 0,002 64 0,012 26 0,05692 0,264 19 0,41937 O,549 54 0,665 72 0,772 50 0,872 35 0,966 76 0,99419 0,99963 0,99999 1,00000

oder

Is t M~ = oo, so erhatten w i r aus (12):

1 1 Mr = 1 , 2 2 6 3 - 1 0 -24. Mlla '

Mr = 7 ,364 t . 10aSg.

* P. R. Heyl , Proc. Nat. Acad. Amer. 13, 605, 1927. ** G. I. Pokrowski , 1. c.

Die Theorie von G. I. Pokrowski und die Kontraktionsenergie der Sterne. 393

Sollte Mr grSfer sein als diese Zahl, so wiirde die Gleichung (12) Iiir M~

einen negativen Welt ergeben, was sinnlos ist. Daraus folgt, dal] die end-

g i i l t i ge Masse eines Sternes immer kleiner sein muf als 7,3641. 108~g.

Es ist ]edoeh zu beachten, daft es unmSgllch ist, fiir die ganze Masse des Sternes eine gleichm~fige Dichte yon 4. 101~g. em - 3 zu erreichen. Eine solehe Diehte ist nut unter einem sehr hohen Drucke mSgllch, also nur im Innern des (nicht zu kleinen) Sternes. Abet immerhin ist es msglich, dad der gr~fte Tell der Sternmasse in elnem zentralen ,Kern" yon geringem Volumen und yon sehr hoher Dichte konzentriert ist.

Und d i e s m a g v i e l l e i c h t n i ch t n u r bei Z w e r g s t e r n e n der F a l l

sein, s o n d e r n auch bei R i e s e n s t e r n e n . Wir haben die maximale m~gliche Dichte gleich 4 . 101ng. em -3

gesetzt. Dies ist natiirlich nur eine ganz rohe Schatzung, die mSglicher-

weise nicht unbetr~ehtlich yon der Wirkliehkeit abweicht. Auch ist es kaum anzunehmen, daf der ,,Kern" des Sternes eine Kugel yon gleich- m~fig verteilter Dichte bildet. Deshalb werden die in der Tabelle au~-

geffihrten Zahlen mehr oder weniger yon der Wirkllchkeit abweichen. Bis ietzt wurde allgemein angenommen, daf die Kontraktlonsenergie

vGllig unzureichend sei, um den Energieverlust des Sternes zu decken. So z. B. sagt E d d i n g t o n fiber die Energiequelle der Sonne: ,The energy obtainable from contraction is quite inadequate in view of the great age now attributed to the sun" *. Jetzt sehen wlr, dad diese Ansicht un- richtig ist: die Kontraktionsenergie l~ann unter Umstanden so grol~ sein, daft der Stern den gr~ften Tell seiner anf~ngllehen Masse ausstrahlt. Dies wird verst~ndlich, wenn man Gewieht und Masse nieht nur der ge- wGhnlichen Materie und der kinetisehen Energie zuschreibt, sondern aueh der potentiellen Gravitationsenergie selbst. Es kann dabei vorkommen, daf die Masse der potentiellen Gravitationsenergie den Hauptteil der

anf~ngliehen Sternmasse ausmacht. Dann is~ es abet aueh gar nicht mehr verwunder]ich, wenn der Stern wghrend der Kontraktion den grSften Tell seiner anfangllchen Masse ausstrahlt. In diesem Falle ist die Kon- traktionsenergie so grof, d a f e s vSllig ~ibefflfissig ist, noeh irgend eine andere Energiequelle anzunehmen.

Zum Sehluf m~chte ich noch einen Druekfehler berichtigen, der sich

in meinen vorigen Artikel fiber P o k r o w s k i s Theorie eingesehlicben hat: auf S. 599 mull in der Formel (5) nieht - - M : c 4, sondern - - . ~ I 1 c ~ s~ehen.

* A. S. Eddington, The Internal Constitution of the Stars, S. 289. Cam- bridge 1926.

05*

394 Wilhelm Anderson, Die Theorie yon G. I. Pokrowski usw.

A n m e r k u n g b e i d e r K o r r e k t u r . Inzwischen ist mir der Ar t ike l

yon E. C. S t o n e r fiber die Grenzdichte der weil]en Zwergsterne zu-

g~tnglich geworden*. S t o n e r hat eine Formel aufgestellt , wonach die

maximale mSgliche Dichte elnes Sternes aus seiner Masse bereehnet

werden kann. Bei der Ablei tung dieser Formel i g n o r i e r t a b e r

S t o n e r d i e V e r a n d e r l i c h k e i t d e r E l e k t r o n e n m a s s e . S t o n e r s

Formel kann daher nur bei sehr kleinen HimmelskSrpern angewandt

werden; bei Sternen hingegen yon der Masse unserer Sonne fiihrt sie zu

gr5blieh falschen Resultaten. Ieh gedenke in einem spateren Ar t ike l

auf S t o n e r s Theorie naher einzugehen.

* Edmund 0. S tone r , Phil. ~ag. (7) 7, 63, 1929. Obgleich dieser Artikel schon im gannar ersehienen ist, konnte ieh ihn nicht rechtzeitig benutzen, da das betreffende Heft erst Ende April in Dorpat eintraf.