Dirac-Gleichung

Elektronen im elektromagnetischen Feld

Vortrag von Manuel Brenner

Gliederung

● 1. Einführung:

– Historische Entwicklung und Motivation

– Dirac-Gleichung

● 2. Kopplung des EM-Feldes in Dirac-Gleichung

– Kovariante Schreibweise und Eichinvarianz

– Herleitung der Pauli-Gleichung und des g-Faktors

– Der g-Faktor des Elektrons

– Spin-Bahn-Kopplung

● 3. Ausblick

– Aktuelle Forschung zum g-Faktor

– Zusammenfassung

Motivation

● Spin als direktes Resultat aus der Verschmelzung von QM und Relativitätstheorie

● Erklärung der empirischen Pauli-Gleichung

● Erklärung des g-Faktors des Elektrons

● Werkzeug zur Berechnung von Effekten wie Spin-Bahn-Kopplung

Historische Entwicklung

● Versuche einer relativistischen Erweiterung der SG

● ----> Klein-Gordon-Gleichung (1926)

● Wolfgang Pauli (1927): Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons------> Empirische Pauli-Gleichung zur Erklärung von Stern-Gerlach

● 1928: Dirac-Gleichung

Die Dirac-Gleichung

● Aus

● Wird mit

● Die Dirac-Gleichung:

Kovariante Form und Kopplung der Felder

● Kovariante Form der Gleichung

● bzw.

Motivation der Kopplung

● Einige Bedingungen müssen erfüllt sein:

– Lorentzinvarianz der Gleichung

– Eichinvarianz der Gleichung und der Wirkung

– Koppelt Elektromagnetisches Feld an Materie in der Lagrangedichte

● ---> „Minimale“ Kopplung mit den 2 Ersetzungen●

Gleichung mit Feld

● Kovariante Gleichung mit Feld:

Mit der Lagrangedichte

Auch schon Dirac 1928 bekannt in der Arbeit zur Dirac-Gleichung

Eichinvarianz durch minimale Kopplung

● Eichtransformation

● Lokale Phasentransformation

Eichinvarianz der Diracgleichung und die Gruppe U(1)

● Globale Phasentransformation:

--->

● Betrachte lokale Phasentransformation:

● Zurückgewinnung der Invarianz durch:

● mit

Herleitung der Pauli-Gleichung

● Empirische Gleichung zur Beschreibung des Spins

● Lösung als nichtrelativistischer Grenzfall der Diracgleichung

● Wird zu:

Der g-Faktor des Elektrons

● Mithilfe der jetzt motivierten Pauligleichung

● Und der bekannten Darstellung des Spins folgt:

● (Erinnerung magnetisches Moment: )

Spin-Bahn-Kopplung

● Schon aus SRT begründbar

● Herleitung aus Diracgleichung: (Siehe z.B. Nolting 5.2, S.73-78) Berücksichtigen der Terme bis zur Ordnung (v^2/c^2)

● Normierung der Wellenfunktion bis zur Ordnung (v^2/c^2)

● Reduktion auf eine zweikomponentige Lösung mit korrigiertem Hamilton:

Ausblick: Der g-Faktor in der Forschung

● Änderungen des g-Faktors durch QFT-Prozesse (Schwinger 1948, Messung 1947)

● =

● g-Faktor (theoretisch)=2,0023193048(8)

● g-Faktor (experimentell)=2,00231930436153(53)

Forschung: g-Faktor-Messung am MPIK

● Hochpräzisionsmessungen des g-Faktors mit Penningfallen an Siliziumionen

● Messung von Zyklotonfrequenz und Larmorfrequenz

● Für Elektron g=2(v(Larmor)/v(Zyklotron)

Zusammenfassung

● Felder in Dirac-Gleichung durch minimale Kopplung

● Pauli-Gleichung als Relativistische Näherung der Diracgleichung

● G-Faktor und Spin des Elektrons als direktes Resultat aus der relativistischen Erweiterung der Theorie

● Spin-Bahn-Kopplung und andere Effekte aus Diracgleichung

● Abweichungen des g-Faktors durch QED-Effekte

Quellen

● Wachter: Relativistische Quantenmechanik

● Nolting: Theoretische Physik 5/2

● Wolschin: Skript zur Relativistischen Quantenmechanik

● Dirac: The Quantum Theory of The Electron

● http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_equation

● http://www.ippp.dur.ac.uk/~krauss/Lectures/QuarksLeptons/QED/GaugeInvariance_2.html