Dissertation Martin Voss

Numerische, theoretische undexperimentelle Untersuchungen zur

Kavitationsblasendynamik

Dissertationzur Erlangung des Doktorgrades

der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultätender Georg-August-Universität zu Göttingen

vorgelegt vonMartin Voß

ausMeppen

Göttingen 2002

D7Referent: Prof. Dr. Werner LauterbornKorreferent: Prof. Dr. Dirk RonnebergerTag der mündlichen Prüfung: 17. April 2002

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand in den Jahren 1999 bis 2001 während meiner Tätigkeit im

Bereich Forschung und Vorausentwicklung der Robert Bosch GmbH, Abteilung Technische

Mechanik, am Standort Gerlingen-Schillerhöhe. Die experimentellen Arbeiten wurden im

Zeitraum von August 2000 bis Juli 2001 ausschließlich im Dritten Physikalischen Institut der

Georg-August Universität Göttingen durchgeführt.

Eine Arbeit wie diese entsteht nicht ohne die Hilfe und Unterstützung vieler Personen, denen

ich an dieser Stelle herzlich danken möchte.

An erster Stelle danke ich Herrn Prof.Dr. Werner Lauterborn, der diese Arbeit wissenschaftlich

betreut hat und in dessen sehr gut ausgestatteten Laboren ich die Experimente durchführen

konnte. Für die Übernahme des Korreferats danke ich Herrn Prof. Dr. Dirk Ronneberger.

Desweiteren danke ich der Robert Bosch GmbH und im besonderen dem Leiter der Abteilung

FV/FLM, Herrn Dr. Klaus Dobler, die diese Arbeit erst ermöglicht haben.

Die Betreuung von Seiten der Robert Bosch GmbH wurde von Herrn Dr. Hung Nguyen-

Schäfer und Herrn Dr. Klaus Reymann übernommen. Für ihre rat- und tatkräftige Unterstüt-

zung sowie für die freundschaftliche Arbeitsatmosphäre sei ihnen herzlich gedankt. Ebenso

verdanke ich Herrn Dipl.-Ing. Heinz Lauterbach, Herrn Dr. Christian Heinen und Herrn Dipl.-

Ing. Harald Schorr einiges an Unterstützung und Hilfe. Herrn Dr. Uwe Iben danke für seine

hilfreiche Unterstützung sowie für die vielen kritischen Anmerkungen und Diskussionen zum

Ende dieser Arbeit.

Für viele anregende und hilfreiche Diskussionen bedanke ich mich herzlich bei meinen Kol-

legen Dipl.-Ing. Frank Wrona, Dipl.-Math. Anselm Berg und Dipl.-Ing. Matthias Beck.

Für die geduldige und kompetente Unterstützung in den Laboren des Dritten Physikalischen

Instituts danke ich herzlich Herrn Dr. Olgert Lindau und Herrn Dipl.-Phys. Reinhard Geisler,

wobei letzterem noch besonderer Dank für die Unterstützungbei der Bildverarbeitung gilt.

Herrn Dr. Stefan Luther danke ich für die Durchführung und Auswertung der PTV-Messungen

sowie die vielen nützlichen Hinweise und Diskussionen. Frau Dipl.-Phys. Dagmar Krefting

und Herrn Dipl.-Phys. Bernhard Wolfrum danke ich für die gute Zusammenarbeit in den La-

boren sowie die freundliche Unterstützung.

Herrn Dr. Claus-Dieter Ohl und Herrn Dr. Georges L. Chahine danke ich für hilfreiche und

anregende Diskussionen.

Für die kritische Durchsicht des Manuskripts bedanke ich mich herzlich bei Dipl.-Math. An-

selm Berg, Prof. Dr. Hans Iben, Dr. Uwe Iben, Dipl.-Phys. Dagmar Krefting, Prof. Dr. Werner

Lauterborn, Dr. Stefan Luther, Cand.-Ing. Bilge Manga und Dr. Hung Nguyen-Schäfer.

Den Mitarbeitern der mechanischen und elektrischen Werkstätten am Institut sowie der zen-

tralen Werkstatt der Abteilung FV/FLM, Herrn Mechaniker-Meister Andy Mikleuschewitsch

und dem Ingenieurbüro Unterweger, Kornwestheim, sei für die gewissenhafte und zügige An-

fertigung und Reparaturen der von mir benötigten Teile gedankt.

Frau Gisa Kirschmann-Schröder, Herrn Marius Banica und Herrn Ricardo Barbosa danke ich

für ihre hilfreiche Unterstützung.

Nicht verschweigen sollte ich die unkomplizierte und gastfreundliche Aufnahme im Hause

von Christa und Karl-Heinz Deutsch während der Zeit in Göttingen, in denen die Experimente

durchgeführt wurden. Ihnen sei dafür herzlich gedankt. Fürdie Gastfreundlichkeit während

dieser und weiterer Aufenthalte danke ich auch Herrn Dr. Wilfried Schrader und Frau Maren

Kirschke.

Ich hatte das große Glück in zwei Arbeitsgruppen, nämlich der für nichtlineare Dynamik

am Dritten Physikalischen Institut und der für Strömungstechnik der Abteilung FV/FLM bei

der Robert Bosch GmbH, zu arbeiten, in denen eine ausgesprochen freundliche und offene

Arbeitsatmosphäre herrscht. Dafür sei allen, die dazu beigetragen haben, herzlich gedankt.

Schließlich danke ich meinen Eltern für ihre jahrelange vertrauensvolle Unterstützung.

Stuttgart, im März 2002 Martin Voß

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 1

1.1. Kavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Grenzflächennahe Blasendynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 5

1.3. Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Dynamik wechselwirkender sphärischer Blasen 11

2.1. Lagrangesche Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 11

2.2. Rayleigh-Gleichung mit Kopplungstermen . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 13

2.3. Effektive Blasengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 17

3. Numerische Verfahren zur Simulation asphärischer Blase n 24

3.1. Strömungssimulation mit freien Grenzflächen . . . . . . . .. . . . . . . . . 25

3.2. Analyse der wandnahen Blasendynamik . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 28

3.2.1. Dimensionslose Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29

3.2.2. Zeitliche Entwicklung einer Blase . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 30

3.3. Überblick über bisherige Verfahren zur Simulation derDynamik asphärischer

Blasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1. Inkompressible Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 32

3.3.1.1. Randintegralmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

i

Inhaltsverzeichnis

3.3.1.2. Finite Differenzen und Finite Volumen Verfahren .. . . . 34

3.3.2. Kompressible Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 35

3.4. Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 36

4. Ein Godunov-Verfahren zur Berechnung mehrkomponentige r Fluide 38

4.1. Mathematische Modellierung der Fluide . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 40

4.1.1. Modellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.2. Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

4.1.3. Modellierung des Mehrphasensystems für die Zellen an der Phasen-

grenzfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2. Numerische Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 46

4.2.1. Godunov-Verfahren zur Lösung der Eulergleichungen. . . . . . . . 46

4.2.2. Das Riemann-Problem auf den Zellenrändern . . . . . . . .. . . . . 47

4.2.2.1. Rekonstruktionsverfahren zur Ermittlung der Eingangsdaten 48

4.2.2.2. Lösung des Riemann-Problems . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.2.3. Bestimmung der numerischen Flussfunktionen . . . .. . . 55

4.3. Volumen-Tracking mit Grenzflächenrekonstruktion . . .. . . . . . . . . . . 56

4.3.1. Grenzflächenrekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 59

4.3.1.1. Geometrische Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.1.2. Bestimmung des Normalenvektors . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.1.3. Bestimmung der Geradenkonstanten . . . . . . . . . . . . 61

4.4. Berechnung des Mehrphasensystems . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 61

4.4.1. Rekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4.2. Lösung der Transportgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 62

4.4.3. Lösung der Erhaltungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 63

ii

Inhaltsverzeichnis

4.4.4. Relaxation des Drucks in den Mehrphasenzellen . . . . .. . . . . . 64

4.5. Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

4.6. Ablauf des Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 66

4.7. Zusammenfassung und Schlussbemerkungen . . . . . . . . . . .. . . . . . 67

5. Simulation des Jetaufpralls 70

5.1. Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70

5.2. Rand- und Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 72

5.3. Simulationsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 72

5.4. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6. Simulation des wandnahen Blasenkollaps bei hohen Drücke n 76

6.1. Anfangs- und Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 76

6.2. Jetbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.3. Torusförmiger und hemissphärischer Kollaps . . . . . . . .. . . . . . . . . 86

6.4. Entstehung von Wirbelstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 90

7. Laserinduzierte Kavitation in einem Strömungskanal 92

7.1. Plattengrenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 93

7.2. Messstrecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.3. Hydraulische Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 97

7.4. Experimentelle Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 98

7.5. Fokussierungsoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 99

8. Blasendynamik in einer wandnahen Strömung 102

8.1. Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 102

iii

Inhaltsverzeichnis

8.2. Simulation mit der Randintegralmethode . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 103

8.2.1. Anfangs- und Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103

8.2.2. Simulationsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 104

8.3. Experimentelle Untersuchungen im Strömungskanal . . .. . . . . . . . . . 109

9. Zusammenfassung und Ausblick 113

9.1. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9.2. Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

A. Die Randintegralmethode 119

A.1. Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

A.2. Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 120

A.3. Randintegralmethode für einfache viskose Strömungen. . . . . . . . . . . . 121

Literaturverzeichnis 122

iv

1. Einleitung

1.1. Kavitation

Blasen in Flüssigkeiten gehören mit zu den alltäglichsten Erscheinungen unserer Erfahrungs-

welt. Daneben treten sie in einer erheblichen Anzahl verfahrenstechnischer Prozesse auf und

zeigen weiterhin eine komplexe Dynamik, die sie für die Grundlagenforschung interessant

macht. Daher stellen Blasen einen vielfach untersuchten Forschungsgegenstand dar. Die

Bildung dieser dampf- und gasgefüllten Hohlräume, wie sie in Abb. 1.1(a) dargestellt ist,

bezeichnet man alsKavitation.1 Die Dynamik von Kavitationsblasen ist Gegenstand dieser

Arbeit.

Bereits in der Mitte des 19. Jahrhundert gab es erste Untersuchungen zur Zerreißfestigkeit von

Wasser unter Zugbelastung. Der eigentliche Beginn der Kavitationsforschung liegt jedoch in

der Hochphase der Dampfschifffahrt am Ende des 19. und dem Beginn des 20. Jahrhunderts.

Die Fortschritte in der Technik wurden dazu genutzt, immer schnellere Schiffe zu konstruie-

ren. Jedoch stellte man irgendwann fest, dass die vorausberechneten Höchstgeschwindigkei-

ten nicht erreicht wurden. Dies wurde mit der Erzeugung von Dampfblasen an den Propellern

in Verbindung gebracht. Die auf diese Weise verbrauchte Energie führt zu einer Herabsetzung

des Wirkungsgrads [1]. Später beobachtete man massive Schäden an den Antriebsschrauben

großer Schiffe, die durch den heftigen Kollaps von Kavitationsblasen hervorgerufen wurden.

1917 veröffentlichte Lord Rayleigh eine Gleichung, die dieDynamik sphärischer Blasen in

einer inkompressiblen, unendlich ausgedehnten Flüssigkeit beschreibt, und zeigte, dass Ge-

schwindigkeit und Druck während der Implosion extrem hohe Werte annehmen können [2].

Trotz der vielen Vereinfachungen deckte er damit bereits eine wesentliche Eigenschaft kol-

labierender Blasen auf: Sie fokussieren Energie auf einen sehr kleinen Raumbereich. Diese

1von cavitas:lat. Hohlraum, Wölbung

1

1. Einleitung

(a) (b)

Abbildung 1.1.: (a) Blasenbildung in der Steuerbohrung desGroßmodells einer Dieselein-spritzpumpe. (b) Kavitationsschaden am Kolben einer Dieseleinspritzpumpe(aus [3]).

Eigenschaft ist für Erosionserscheinungen und eine weitere Anzahl interessanter Effekte ver-

antwortlich.

Die technischen Probleme, die bis heute bestehen und nicht vollständig zu vermeiden sind,

sind damit bereits umrissen: Kavitation reduziert die Effizienz strömungstechnischer Anla-

gen, führt zu Materialermüdung und nach einer werkstoffabhängigen Zeitspanne zu Material-

abtrag (vgl. auch Abb. 1.1(b)), der in einem vollständigen Ausfall eines Bauteils enden kann.

Starke Geräuschentwicklungen und Vibrationen sind weitere Phänomene, die mit Kavitati-

on einhergehen. Seit den Anfängen haben sich die Forschungsschwerpunkte jedoch verlagert:

Die Auswirkungen der Kavitation in hydraulischen und verfahrenstechnischen Anlagen führen

gesamtwirtschaftlich gesehen zu wesentlich höheren Ausfällen als in der Schifffahrt, wo das

Hauptinteresse mittlerweile im militärtechnischem Bereich liegt. Eine große Anzahl weiterer

Anwendungen und Effekte beschäftigt sowohl die angewandteals auch die Grundlagenfor-

schung.

Kavitation ist nicht ausschließlich auf Flüssigkeitsströmungen beschränkt. Nach Lauter-

born [4] lässt sie sich einteilen inspannungsinduzierte Kavitationund die Erzeugung von Bla-

sen durchlokale Energieeinwirkung. Die lokalen Energieeinwirkungen enstehen z.B. durch

die Fokussierung eines Laserstrahls (optische Kavitation), durch Funkenentladung oder durch

Elementarteilchen, deren Existenz z.B. durch Blasenkammern nachgewiesen wird, in denen

sich eine überhitzte Flüssigkeit befindet [5]. Laserinduzierte Blasen können beispielsweise in

2

1. Einleitung

der Augenchirugie auftreten.

Zugspannungen entstehen durch starke Beschleunigung von Fluiden oder durch Unterdruck-

wellen, wie sie z.B. in Schallfeldern oder hydraulischen Systemen vorkommen. Daher teilt

man diesen Bereich inhydrodynamischeundakustische Kavitationein. Blasen in Schallfel-

dern können erwünscht sein, wenn es sich z.B. um Ultraschallreinigungsbäder oder Nieren-

und Gallensteinzertrümmerung durch Stoßwellen handelt, wo sie den Materialabtrag verur-

sachen oder beschleunigen. In der Sonochemie initialisieren Kavitationsblasen chemische

Reaktionen in einer Weise, dass mit Ultraschall Hochenergie-Ultrakurzzeit-Chemie betrieben

werden kann [6]. Kollabierende Blasen können Explosiva zurDetonation bringen [7]. Uner-

wünscht sind sie jedoch z.B. bei Ultraschalluntersuchungen, wenn sie das Gewebe schädigen,

oder in Anti-Blockier-Systemen, deren Funktionsweise siebeeinträchtigen. Ähnliches gilt für

die hydrodynamische Kavitation: Reduzieren sie den Durchfluss oder schädigen sie das Ma-

terial, so ist die Blasenbildung unerwünscht. Andererseits ist für das Funktionieren bestimm-

ter Ventile Kavitation notwendig. Sie fördert den Strahlzerfall bei Einspritzdüsen, und der

im Vergleich zur Flüssigkeit verringerte Reibungswiderstandinnerhalbvon Kavitationsblasen

erlaubt die Entwicklung von effizienteren Schiffsschrauben und Tragflügel für Schnellboote

[8] oder das Design sehr schneller Torpedos2 [9].

Angeregt durch die Vielzahl und große Bedeutung der technischen Anwendungen entstand

eine intensive und breit angelegte Grundlagenforschung. Aus Sicht der Physik ist das Ver-

ständnis der Komplexität der Inter- und Intraphasenwechselwirkungen eine faszinierende Her-

ausforderung [10]. Für die nichtlineare Dynamik sind Blasen-Flüssigkeitsgemische als ausge-

dehnte, hydrodynamische Systeme wegen ihrer Fähigkeit zurraum-zeitlichen Strukturbildung

wichtige Untersuchungsobjekte [11]. Bereits die Dynamik einer einzelnen, sphärisch schwin-

genden Blase weist eine komplexe Struktur auf und ist ein wichtiges Beispiel für einen in der

Natur vorkommenden getriebenen nichtlinearen Oszillator[12]. Insbesondere hat das Entste-

hen von kurzen Lichtpulsen während des Kollaps, die sog.Lumineszenz, in den letzten Jahren

zu großem wissenschaftlichen Interesse geführt, wobei dieUrsache des Leuchtens noch im-

mer kontrovers diskutiert wird. Dies ist wahrscheinlich das beeindruckendste Beispiel für die

Fokussierung von Energie durch eine Blase, die in diesem Fall in Form von Licht frei wird

[13]. Ein Beispiel aus der Biophysik ist der Pistolenkrebs,der seine Beute mit Hilfe einer

kollabierenden Kavitationsblase betäubt. Er erzeugt diese durch einen Flüssigkeitsstrahl, der

durch das Schließen einer seiner Scheren entsteht [14].

2In diesem Zusammenhang ist es wohl abhängig vom Betrachter,ob Kavitation erwünscht ist.

3

1. Einleitung

Spannungsinduzierte Kavitation wird vom Sieden dadurch unterschieden, dass die für den

Phasenübergang notwendige Energie nicht durch Wärme von außen zugeführt wird, sondern

aus der inneren Energie der Flüssigkeit stammt. Der Phasenübergang tritt nicht notwendi-

gerweise beim Erreichen des Dampfdruckes ein, da Wasser aufgrund der Kohäsionskräfte

zwischen den Molekülen Zugspannungen aufnehmen kann. Die theoretisch ermittelten Zug-

spannungen von etwa100MPa werden jedoch nie erreicht, da immer Keime in der Flüssigkeit

vorhanden sind, an denen der Phasenübergang vorzeitig beginnen kann. Als Keime stellt man

sich Verunreinigungen in Form von Partikeln oder Mikroorganismen vor sowie Mikroblasen,

über deren Existenz man sich jedoch nicht sicher ist, da sichkleine Blasen durch Gasdiffusion

aufgrund des hohen Kapillardruckes auflösen müssten. Darüberhinaus können auch Gasein-

schlüsse in Oberflächenunebenheiten von Gefäßwänden als Keime dienen. Da gelöste Luft

schon vor Erreichen des Dampfdruckes ausgasen kann, tritt Kavitation in Form von Luftausga-

sung schon vorher auf. In den Ingenieurwissenschaften wirddaher zwischenDampfkavitation

und Gaskavitationunterschieden, obwohl hier keine strenge Grenze gezogen werden kann.

Denn bei der Verdampfung eines Flüssigkeitsvolumens geht auch immer der entsprechende

Anteil gelöster Luft mit in die Dampfphase über und je nachdem, wie lange die Blase existiert,

variiert ihr Gasgehalt aufgrund von Diffusionsprozessen.Damit verschwindet die Blase nicht

einfach wieder, wenn sie in den Bereich des Überdrucks gelangt. Die Gasdiffusion zurück in

die Flüssigkeit ist zu langsam, so dass die Blase nach dem Kollaps wieder expandieren und ein

weiteres Mal kollabieren kann, bis sie sich schließlich auflöst oder in viele kleinere Einzelbla-

sen zerfällt. Ist der Blasenzerfall extrem heftig, so kann selbst der Dampf nicht schnell genug

kondensieren und wirkt entsprechend wie ein nichtkondensierbares Gas [15]. Ein asymmetri-

scher Zerfall der Blase kann wiederum Ringwirbel erzeugen,in denen sich Gas und Dampf

ansammeln, worauf dann auch dieser Kavitationswirbel heftig zusammenfällt [16].

Durch das eben gesagte wird deutlich, dass kavitierende Strömungen schwierig zu model-

lieren sind. Allein der Beginn der Kavitation hängt von der Wasserqualität, dem Anteil der

gelösten Luft, der Verteilung von Kavitationskeimen, der Oberflächenbeschaffenheit der Wän-

de und dem Turbulenzgrad der Flüssigkeitsströmung ab [17].Im folgenden Verlauf stellt sich

die Frage, welche Prozesse wie z.B. Gasdiffusion oder Turbulenz wichtig sind und wie sie

überhaupt modelliert werden sollen. Dampf-Flüssigkeitsströmungen lassen sich in viele ver-

schiedene Erscheinungsformen gliedern [18], für die dann jeweils andere Modelle gelten [19].

Eine Möglichkeit der Modellierung ist die Verwendung der Rayleigh-Gleichung, um eine Aus-

sage über den Volumenanteil des Gases in der Strömung zu bekommen. Insbesondere wird

4

1. Einleitung

sie bei der Berechnung von Wellenphänomenen in Blasen-Flüssigkeitsgemischen verwendet

(vgl. z.B. [20] und die darin enthaltenen Referenzen). In dieser Arbeit wird eine im Rahmen

der Potentialtheorie konsistente Erweiterung dieser Gleichung auf Wechselwirkungen in ei-

nem Feld von Blasen vorgestellt. Dieses ergibt ein einfaches Modell für die Blasendynamik

im Cluster.

1.2. Grenzflächennahe Blasendynamik

Der statistische Charakter kavitierender Strömungen erlaubt es in der Regel nicht, die Bewe-

gung einer Blase über einen längeren Zeitraum gezielt zu verfolgen. Insbesondere interessie-

ren jedoch Kollapsvorgänge in Grenzflächennähe, die zur Schädigung des Materials führen

können. Dieser wandnahe Kollaps ist der Hauptgegenstand dieser Arbeit.

Um die Dynamik solcher Blasen experimentell systematisch untersuchen zu können, bedarf

es der kontrollierten und reproduzierbaren Erzeugung, beider die Parameter Erzeugungsort-

und Zeitpunkt, sowie Blasengröße, Form und Anzahl vorgegeben werden können. Dies kann

entweder durch Zündung eines Unterwasserfunkens [21] oderdurch Fokussierung von Laser-

licht hoher Intensität [22] geschehen. Letztere Methode vermeidet die Störung der Dynamik

durch die vorhandenen Elektroden und erlaubt mit Hilfe eines optimierten optischen Aufbaus

eine hervorragende Reproduzierbarkeit der Ergebnisse [23], die dazu notwendig ist, die dy-

namischen Abläufe zeitlich und räumlich hoch aufzulösen. Eine kollabierende Blase übt auf

eine nahe Grenzfläche verschiedene Druckbelastungen aus, die im Folgenden am Beispiel ei-

ner laserinduzierten Blase, wie sie in Abb. 1.2 gezeigt wird, kurz referiert werden sollen. Die

Dynamik laserinduzierter Blasen ist sehr detailiert in [23, 24]untersucht worden.

Üblicherweise werden laserinduzierte Blasen mit einem MaximalradiusRm in der Größen-

ordnung von einem Millimeter unter Normalbedingungen in Wasser erzeugt. Der Abstand

zur Grenzfläche zum Zeitpunkt der Initialisierung seiS. Dann ist Dynamik dieser Blasen im

wesentlichen durch den Parameter = SRm : (1.1)

bestimmt (vgl. Abb. 8.1). Systematische Untersuchungen werden daher üblicherweise an-

hand dieser Größe durchgeführt. Beim laserinduzierten dielektrischen Durchbruch entsteht

ein Plasma im Fokus des Lasers, das bei der anschließenden Expansion der Blase abkühlt.

Die Blase enthält danach Dampf und aus dem Plasma entstehende Reaktionsprodukte, die ein

5

1. Einleitung

Abbildung 1.2.: Wachstum und Zerfallzweierlaserinduzierter Blasen oberhalb einer ebenenPlexiglasfläche, die sich am unteren Bildrand befindet. Der Zeitverlauf istvon oben links nach unten rechts. Die ersten acht Bilder gehören zu dereinen Blase, die nächsten acht zu einer weiteren. Der Bildabstand beträgt20�s. Die zweite Blase wurde unter gleichen Versuchsbedingungen mit um160�s verschobener Erstbelichtung aufgenommen, so dass man einen Ein-druck davon bekommt, wie sich eine einzige Blase im Laufe derZeit ver-hält. Es ist ' 1; 4. Die Belichtungszeit beträgt1�s, die Bildgröße ist2; 7mm� 4; 0mm. Der dazugehörige Versuchsaufbau wird in Kapitel 7 be-schrieben.

nichtkondensierbares Gas bilden. Die Plasmaentstehung ist mit der Aussendung einer Stoß-

welle verbunden. Durch die Differenz zwischen dem Druck an der Phasengrenze und dem

Umgebungsdruck wird die Bewegung der Flüssigkeit abgebremst bis die Expansionsphase

endet und die Kollapsphase beginnt (Abb. 1.2, Bild 4). Für ! 1 ergibt sich eine im

Idealfall sphärische Blase, die auf einen Radius von etwa10�m kollabiert und beim Wieder-

aufschwingen eineStoßwellevon einigenGPa emittiert. Ist hinreichend klein, so wird die

Zuströmung in der Kontraktionsphase von seiten der Wand hergestört. Auf der von der Wand

6

1. Einleitung

abgelegenen Seite bildet sich ein Einstülpung, die sich zu einem Flüssigkeitsstrahlin Rich-

tung Wand erweitert, der die Blase durchdringt und auf die gegenüberliegende Blasenwand

aufschlägt. Dieser ist in Bild 8 von Abb. 1.2 innerhalb der Blase sichtbar. Je kleiner ist,

desto breiter ist dieser sogenannteJet. Mit dem Auftreffen des Jets ist eine torusförmige Stoß-

welle verbunden, die wahrscheinlich für die Bildung desGegenstrahls, dem sog.Counterjet,

verantwortlich ist, der oberhalb der Blase sichtbar wird (Bilder 9-13 in Abb. 1.2). Im Wider-

spruch zur Bezeichnung ist dies vermutlich kein Flüssigkeitsstrahl, sondern eine durch eine

Expansionwelle erzeugte Blasenwolke. Diese Expansionwelle folgt der torusförmigen Stoß-

welle [24]. Die Geschwindigkeit des Jets ist von der Größenordnung100m=s und schwankt

stark mit den Anfangsbedingungen. Auch hier kollabiert dieBlase auf einen äquivalenten

Minimalradius von der Größenordnung10�m, was mit der Entstehung einer Stoßwelle ein-

hergeht. Der Jet reißt bei der Durchdringung der unteren Blasenwand Gas mit sich, so dass

eine trichterförmige Ausstülpung unterhalb der Blase sichtbar wird, falls der Blasenabstand

größer ist als in dem hier gezeigten Fall. Die Jetströmung führt beim Wideraufschwingen zur

Bildung eines Blasenringes, der bei hinreichend kleinem die Form eines Torus besitzt (Abb.

1.2, Bilder 9-14). Der auf der Oberfläche radial nach außen strömende Jet führt zur Bildung

einesRingwirbels. DerBlasentorus, der sich in unmittelbarer Nähe der Grenzfläche befindet,

zerfällt in Einzelblasen, die ihrerseits unter Ausstrahlung einer Stoßwelle heftig kollabieren

[16]. Der kollabierende Ringwirbel besitzt daher ein hohesSchädigungspotential. Für ' 1tritt noch ein weiterer Effekt auf: Der nach außen fließende Jet trifft auf die weiterhin in

Richtung Blasenmittelpunkt strömende Flüssigkeit. Die Flüssigkeit wird dadurch nach oben

abgelenkt und es entsteht einepilzförmigeGestalt der Blase. Aufgrund der Ähnlichkeit mit

dem Aufspritzen von Flüssigkeit bei Aufschlag eines Tropfens auf eine Flüssigkeitsschicht

wird dieses VerhaltenSplashgenannt [25]. Es entstehen hierbei im Vergleich zum Staudruck

des Jets hohe statische Drücke, die auf die Wand wirken. Die Schwingungen der Blase sind

mit einerTranslationdes Blasenmittelpunkts in Richtung Wand verbunden, so dassab etwa = 1; 9 der zweite Kollaps direkt an der Wand stattfindet, und somit Blasen mit � 1; 9schädigungsrelevant sind. Die Translation entsteht durchdie Wechselwirkung mit der Wand:

Die Zuströmung der Flüssigkeit in Richtung Blasenzentrum wird durch die Anwesenheit der

Wand gehemmt, während von der gegenüberliegenden Seite dieFlüssigkeit frei zuströmen

kann. Nach dem zweiten Kollaps kann die Blase ein weiteres Mal aufschwingen (Abb. 1.2,

Bild 16).

In [26] konnten erstmals die durch laserinduzierte Blasen erzeugten Schadensbilder mit der

7

1. Einleitung

Blasendynamik in Verbindung bringen. Danach trägt der Jet nur für � 0; 7 zum Schädi-

gungsbild bei. Ansonsten werden die Schäden durch die Einwirkung von Stoßwellen verur-

sacht, die im Kollaps entstehen. Schädigung tritt auf, wennsich die Blase im ersten oder

zweiten Kollaps auf der Wand befindet, also etwa ab ' 1; 9. Das Schadensbild ist abhängig

von der Blasenform zum Kollapszeitpunkt: Der kollabierende Torus führt zu ringförmigen

Schadensbildern, der vergleichsweise sphärische Kollapszu Vertiefungen unterhalb des Bla-

senmittelpunkts.

Diese Ergebnisse entstammen Experimenten, die in einer ruhenden Flüssigkeit unter Normal-

bedingungen durchgeführt wurden. In den heutzutage üblichen hydraulischen Komponenten

herrscht jedoch kein Atmosphärendruck. Der Arbeitsdruck z.B. von Benzineinspritzsystemen

liegt bei 10MPa, der von Dieseldirekteinspritzsystemen sogar bei über100MPa. Zudem

liegt bei der hydrodynamischen Kavitation kein ruhendes Fluid vor. Daher stellen sich zwei

wichtige Fragen: Welche Rolle spielen die verschiedenen Schadensmechanismen bei hohen

Drücken oder in strömenden Fluiden bzw. wie ändert sich ihreGewichtung? Ausgehend von

dieser Fragestellung werden in der vorliegenden Arbeit Blasen in Grenzflächennähe unter-

sucht, bei denen entweder ein hoher Umgebungsdruck vorliegt oder eine Grundströmung die

Dynamik der Blase verändert.

1.3. Aufbau der Arbeit

Die vorliegende Arbeit lässt sich im wesentlichen in drei Teile aufgliedern. Der erste Teil wid-

met sich im Kapitel 2 der Dynamik wechselwirkender, sphärischer Blasen. In der Modellie-

rung mehrphasiger Fluide wird oft die Rayleigh-Plesset-Gleichung benutzt, um die Volumens-

fraktion der Gasphase im Fluid zu bestimmen. Ursprünglich berücksichtigt diese Gleichung

jedoch keine Wechselwirkungen zwischen den Blasen, die zu wesentlichen Veränderungen in

der Dynamik führen können. Daher werden im Kapitel 2 aus potentialtheoretischen Überle-

gungen Gleichungen entwickelt, die die radiale Dynamik sphärischer Blasen in einer inkom-

pressiblen Flüssigkeit unter Wechselwirkung mit anderen Blasen beschreiben. Dabei ergeben

sich zwei verschiedene Ansätze: Ein Partikelmodell, bei dem eine diskrete Anzahl nichtli-

nearer Oszillatoren miteinander wechselwirken, und ein Kontinuumsmodell, bei dem konti-

nuierliche räumliche Blasenverteilungen vorliegen. Der zweite Ansatz führt zu einer neuen,

modifizierten Rayleigh-Gleichung für eine Blasengröße bzw. zu einem System von gekoppel-

8

1. Einleitung

ten Rayleigh-Gleichungen für polydisperse Blasenverteilungen. Lösungen dieser Gleichungen

werden vorgestellt und diskutiert. Weiterhin werden sie mit den Lösungen für die gekoppelten

diskreten Oszillatoren verglichen.

Im zweiten Teil steht die Simulation von Flüssigkeiten mit Phasengrenzen im Mittelpunkt.

Ein Überblick über numerische Verfahren für mehrkomponentige Fluide wird in Kapitel 3

gegeben. Es erfolgt die Analyse der Dynamik einer Einzelblase in der Nähe einer Grenz-

fläche anhand von dimensionslosen Kennzahlen. Mit Hilfe dieser Kennzahlen werden Ap-

proximationen eingeführt und gerechtfertigt. Anschließend werden die bisherigen Verfahren

und Ergebnisse bei der Simulation von Kavitationsblasen referiert. Darauf aufbauend werden

Forderungen an weiterführende Simulationen gestellt.

Kapitel 4 stellt ein Godunov-Verfahren höherer Ordnung vor, das mit einer Volume-of-Fluid-

Methode gekoppelt wurde, um mehrkomponentige Fluide zu berechnen. Dabei werden auch

die physikalischen Annahmen und Zustandsgleichungen eingeführt, die für die in den folgen-

den Kapiteln vorgestellten Simulationsergebnisse maßgebend sind. Ein bekanntes Godunov-

Verfahren wird auf einfache Weise auf zylindersymmetrische Koordinaten verallgemeinert

und auf die verwendeten Zustandsgleichungen optimiert.

Der Aufprall von Flüssigkeitsjets auf eine feste Wand ist eines der Phänomene, die beim wand-

nahen Kavitationsblasenkollaps auftreten. Analysiert wurden diese Zusammenstöße bis dato

nur im akustischen oder schwach nichtlinearen Grenzfall, die sich zudem auf eine Dimension

beschränken. Im Kapitel 5 wird das vorher vorgestellte Godunov-Verfahren zur Berechnung

von achsensymmetrischen Jets verwendet, die auf eine festeWand auftreffen. Hierbei zeigen

sich nichtlineare und mehrdimensionale Effekte, die aus den bisherigen theoretischen Analy-

sen nicht hervorgehen.

Anschließend erfolgt in Kapitel 6 die Simulation des wandnahen Blasenkollaps unter Ein-

wirkung von Stoßwellen. Der Kollaps von Kavitationsblasenunter hohen Drücken, wie sie

heutzutage in hydraulischen Systemen üblicherweise vorkommen, wurde bis dato nicht unter-

sucht. Die vorgestellten Simulationen sollen modellhaft einen Eindruck davon vermitteln.

Der dritte und letzte Teil der Arbeit beschäftigt sich mich dem wandnahen Kavitationsbla-

senkollaps in Strömungen. Die Dynamik einer einzelnen Blase in einer kavitierenden Strö-

mungen gezielt und über einen längeren Zeitraum zu beobachten ist praktisch kaum möglich.

Gleichzeitig können die Experimente zur Einzelblasenkavitation in einem ruhenden Fluid nur

dann wesentliche Aussagen für Effekte in Strömungen liefern, wenn die Blasen auch dort

9

1. Einleitung

nicht zu stark von der Strömung verformt werden. Daher werden hier neue Untersuchungen

zur Kavitationsblasendynamik in Scherströmungen sowohl experimentell als auch numerisch

durchgeführt. Im Kapitel 7 wird ein Versuchsaufbau zur Untersuchung laserinduzierter Blasen

in einer Strömung beschrieben. Experimentelle und numerische Ergebnisse zur Kavitations-

blasendynamik in einer Plattengrenzschicht werden in Kapitel 8 vorgestellt. Die numerische

Simulation erfolgt mit einem kommerziellen Simulationsprogramm, das auf der Randinte-

gralmethode basiert. Die verwendete Randintegralmethodewird daher im Anhang A kurz

beschrieben.

10

2. Dynamik wechselwirkendersphärischer Blasen

Die Dynamik einer Blase stellt ein komplexes hydrodynamisches Problem dar, bei der in der

Lösung der bereits nichtlinearen Bewegungsgleichungen der Hydrodynamik die Blasenwand

als Kontaktunstetigkeit berücksichtigt werden muss, an der Materialparameter wie die Dichte

sich im Rahmen der Kontinuumsbeschreibung unstetig ändern. Zudem können Phasenum-

wandlungen und Diffusionsvorgänge die Bewegung entscheidend beeinflussen. Wichtige und

interessante Aspekte lassen sich jedoch schon durch eine geeignete Reduzierung des komplet-

ten Satzes an Gleichungen (Erhaltungssätze für Masse, Impuls und Energie) erfassen. In einer

einfachen Form beschreiben sie die Blase als einen gedämpften, nichtlinearen Oszillator, der

durch den äußeren Druck angetrieben wird und bei dem der Gasinhalt als rückstellende Kraft

wirkt [2, 5]. Vereinfachte Blasenmodelle sind gerade bei der Modellierung von Blasenfeldern

und Mehrphasenströmungen wichtig, wo aufgrund der großen Anzahl von Objekten das Ein-

zelne nicht mehr behandelt werden kann. Diese Modelle bilden vielfach die Grundlage für

Strömungssimulationen in Wissenschaft und Industrie. In diesem Kapitel werden aus einfa-

chen potentialtheoretischen Überlegungen, die ihren Ursprung in einer Verallgemeinerung der

Arbeit [27] besitzen, Gleichungen zur Beschreibung der radialen Dynamik von wechselwir-

kenden Gasblasen abgeleitet und deren grundlegenden Eigenschaften diskutiert.

2.1. Lagrangesche Formulierung

In der folgenden Modellierung wird vereinfachend angenommen, dass sich sphärische Blasen

mit den RadienRi (der Index kennzeichnet die einzelne Blase) in einer unendlich ausge-

dehnten, inkompressiblen und rotationsfreien Flüssigkeit an den Ortenri befinden (vgl. Abb.

2.1(a)). Die Geschwindigkeitu der Flüssigkeit lässt sich dann als Gradient eines Potentials �11

2. Dynamik wechselwirkender sphärischer Blasen

(a) (b)

r, fR i

rD

n( ,R)r

Abbildung 2.1.: Schematische Darstellung zweier potentialtheoretischer Ansätze zur Model-lierung wechselwirkender, sphärischer Blasen. (a) Diskrete Verteilung sphä-rischer BlasenRi in einem inkompressiblen Medium (schraffierte Fläche) derDichte�, in dem das Geschwindigkeitsfeld durch ein Potential� darstellbarist. Die weiß dargestellten Blasen gehen nur als Randbedingungen in dieModellierung ein. (b) In einem sphärischen Volumen mit Radius�r wird ei-ne kontinuierliche Verteilungn(r; R) sphärischer Blasen angenommen (vgl.Gleichung (2.12)), um eine Schwingungsdifferentialgleichung für die sich imMittelpunkt des Volumens befindliche Blase abzuleiten.

ausdrücken,

u = r� ; (2.1)

und die Kontinuitätsgleichung besitzt die Form�� = 0 : (2.2)

Aufgrund der im Vergleich zur Flüssigkeitsdichte� geringen Dichte des Blaseninhalts kann

die Masse des Gases gegenüber der Masse der Flüssigkeit vernachlässigt werden. Daher liefert

nur die Flüssigkeit einen Beitrag zur kinetischen EnergieT :T = �2 ZV u2dV = �2 ZPOi � u dO : (2.3)

Das Integral über das gesamte FlüssigkeitsvolumenV lässt sich mit Hilfe des ersten Green-

schen Satzes und der Laplace-Gleichung (2.2) in ein Integral über die OberflächenOi der

Blasen umwandeln. Das Potential einer einzelnen sphärischschwingenden Blase im Abstand

12

2. Dynamik wechselwirkender sphärischer Blasenr � R von dessen Mittelpunkt ist nach den Gleichungen (2.2) und (2.1)�(r) = �R2 _Rr : (2.4)

Hier ist _R die Radiusgeschwindigkeit. Eine lineare Überlagerung dieser Potentiale ist im

Flüssigkeitsgebiet eine Lösung der Laplace-Gleichung (2.2), da diese linear ist . Die Annahme

von sphärischen Blasen ist nur für hinreichend große Abständerij = jri � rjj zwischen den

Blasen gerechtfertigt. Insbesondere mussRi=rij << 1 gelten. Daher kann man annehmen,

dass das von der Blasej induzierte Potential konstant über die Oberfläche der Blasei ist.

Unter diesen Voraussetzungen lässt sich das Integral (2.3)über eine Blasenoberfläche leicht

auswerten: Ti = �2 ZOi � u dOi = 2��R2i _Ri0B�Ri _Ri +Xjj 6=i R2j _Rjrij 1CA : (2.5)

Die gesamte kinetische Energie der Flüssigkeit ist dann dieSummeT =Xi Ti = 2��0B�Xi R3i _R2i +Xi;jj 6=i R2i _RiR2j _Rjrij 1CA : (2.6)

Unter Vernachlässigung von Gravitation ist die potentielle Energie durch die Volumenarbeit

an der Flüssigkeit gegeben. Da die Flüssigkeit inkompressibel ist, ergibt sich mit den Drückenpi(Ri) an den Flüssigkeitsseiten der Blasenwände und dem Druckp1 im Unendlichen die

potentielle Energie U =Xi Z Ri0 (pi(R)� p1) 4�R2 dR : (2.7)

Die LagrangefunktionL = T � U ist damit bestimmt. Eine deutlich umfangreichere Lagran-

gesche Formulierung für die Dynamik sphärischer Blasen findet sich in [28], die Dissipation

und Translation im Sinne von Dipoltermen im Ansatz für das Potential (2.4) mitberücksichtigt.

2.2. Rayleigh-Gleichung mit Kopplungstermen

Die Bewegungsgleichung für die verallgemeinerten KoordinatenRi werden durch Langran-

geschen Gleichungen [29] ddt � �L� _Ri�� L�Ri = 0 (2.8)

13


bestimmt. Daraus folgen die DifferentialgleichungenRi �Ri + 32 _R2i +Xjj 6=i R2j �Rj + 2Rj _R2jrij = pi(Ri)� p1� : (2.9)

Für eine einzelne Blase geht diese Gleichung mit dem Ansatzp(R) = pv = const. in die

sog. Rayleigh-Gleichung über. Dabei istpv der als konstant in Raum und Zeit angenommene

Dampfdruck in der Blase. Berücksichtigt man ein polytropesGas mit homogener Druckver-

teilung innerhalb der Blase, die Oberflächenspannung� an der Phasengrenze und die dynami-

sche Viskosität� der Flüssigkeit, so ergibt sich für den Druckp(R) = (p0 + 2�R0 � pv)�R0R �3� � 2�R � 4� _RR + pv ; (2.10)

und man erhält das RPNNP-Modell1 (vgl. z.B. [2]). Der Referenzdruckp0 ergibt sich aus dem

Gleichgewichtszustand_R = �R = 0 mit dem RadiusR0.Die Rayleigh-Gleichung ist eine spezielle Formulierung der Energiegleichung der Flüssig-

keit und lässt sich unter der Berücksichtigung der angegebenen Vereinfachungen z.B. aus der

Bernoulli-Gleichung oder der Forderung nach Energieerhaltung ableiten.

Zusätzlich zur treibenden Druckdifferenzp(Ri) � p1(t) erfährt eine Blase bei Anwesen-

heit anderer Blasen weitere Kräfte, die durch die Kopplungsterme auf der linken Seite von

Gleichung (2.9) beschrieben werden. Abb. 2.2 zeigt die Dynamik zweier Blasen nach dem

RPNNP-Modell mit und ohne Kopplung unter einer externen Anregung der Formp1(t) =pa � (1� sin (!t)) mit der Druckamplitudepa = 0; 1MPa und der Frequenz! = 2� � 10 kHz.Nach einer Schwingungsperiode wird der Druckp1 = pa konstant gehalten. Alle Simulatio-

nen der Blasendynamik wurden mit dem Runge-Kutta-Fehlberg-Verfahren fünfter Ordnung

mit adaptiver Schrittweitensteuerung aus [30] durchgeführt.

Die Blasen werden zunächst aufgezogen, wobei sich der Einfluss der Oberflächenspannung

bemerkbar macht: Die Blase mit dem größeren Anfangsradius50�m wird auf das andert-

halbfache ihres ursprünglichen Radius aufgezogen und beginnt mit steigendem Druck zu kol-

labieren. Die Kollapsphase ist deutlich kürzer als die Wachstumsphase und führt zu großen

Drücken in der Größenordnung100MPa innerhalb der Blase, die auf ein Fünftel des Anfangs-

radius bzw. um zwei Größenordnungen im Volumen schrumpft. Der Druck ist nicht notwen-

digerweise im ersten Kollaps am größten, da dieser weit vor dem Maximum des anregenden

1Benannt nach Lord Rayleigh, M.S.Plesset, B.E. Noltingk, E.A. Neppiras und H. Poritzky.

14


(a) r12 !1

(b) r12 = 600�m

Abbildung 2.2.: Dynamik zweier Blasen nach dem RPNNP-Modell ohne und mit Kopplungs-termen. (a) Ohne Kopplung,r12 ! 1 . (b) Mit Kopplung,r12 = 600�m.Die linke Seite zeigt Radius-Zeit-Kurven der Blasen, die rechte die zeitlicheEntwicklung des Blaseninnendrucks und des anregenden Drucks. Die durch-gezogenen Linien gehören zur Blase mit dem AnfangsradiusR1 = 50�m,die fein gestrichelten Linien zum AnfangsradiusR2 = 5�m. Der anregendeDruck wird durch die gestrichpunkteten Linien dargestellt. Die Amplitude derDruckanregung beträgt0; 1MPa und die Frequenz10 kHz, wobei nach einerPeriode der Druck wieder konstant0; 1MPa beträgt. Die weiteren Parame-ter sind: � = 1; 3 ; � = 0; 073N=m; p0 = 0; 1MPa; � = 998 kg=m3; � =10�3 Pa s; pv = 2300Pa.

15


Drucks liegt. Anschließend führt sie nichtlineare Schwingungen aus, wobei es immer wie-

der zu dem charakteristischen heftigen Kollaps kommt. Die Dämpfung ist dabei schwach, da

nur die Viskosität als Dissipationsmechanismus zugelassen wurde. Hier wird bereits deutlich,

dass die Blasendynamik sowohl räumlich als auch zeitlich ein Mehrskalenproblem darstellt:

Die Längen variieren um einen Faktor in der Größenordnung zehn bis hundert, womit sich

das Volumen um einen Faktor103 bis 106 ändert. Der Kollaps findet in einem Bruchteil ei-

ner Schwingungsperiode statt. Mehrskalenprobleme stellen sowohl in der Theorie, als auch

in numerischen und experimentellen Untersuchungen hohe Anforderungen an die verwendete

Methoden und sind daher anspruchsvolle Untersuchungsobjekte.

Bei der Blase mit dem kleineren Anfangsradius5�m dominieren die Oberflächenkräfte über

den treibenden Druck, so dass eine deutlich geringere Auslenkung auftritt und der Radius dem

Druckverlauf folgt. Dies wird ebenso im Verlauf des Blaseninnendrucks ersichtlich, der dem

Verlauf des treibenden Drucks ähnelt, jedoch aufgrund der Oberflächenspannung größer sein

muss. Die Blase schwingt zwar nichtlinear, ein Kollaps tritt jedoch nicht auf. Dies ändert sich

erheblich, wenn der Abstand der Blasen klein wird (Entfernung der Blasenmittelpunkter12 =600�m). In der ersten Schwingungsperiode treten keine wesentlichen Änderungen auf, jedoch

trägt der heftige Kollaps der großen Blase, der zu starken Beschleunigungen der Flüssigkeit

führt, zu einer Anregung der Kleinen bei, die den äußeren Druck bei weitem übertrifft, so

dass die kleine Blase zu starken nichtlinearen Schwingungen angeregt wird. Aufgrund ihrer

höheren Eigenfrequenz schwingt diese auch im nichtlinearen Fall mit höherer Frequenz. Die

polytrope Kompression des enthaltenen Gases ist so groß, dass sich im Rahmen des RPNNP-

Modells Innendrücke in der Größenordnung von bis zu104MPa ergeben.

Die Wechselwirkung von Blasen miteinander können diese also zu einem ganz anderen Ver-

halten bewegen. Insbesondere in Wandnähe könnte eine solche Wechselwirkung mit den ver-

bundenen hohen Drücken einen wesentlichen Teil des Schädigungspotentials einer kavitieren-

den Strömung ausmachen.

Die Kopplung von radial schwingenden Blasen ist auch hinsichtlich des Translationsverhal-

tens interessant [28, 27, 31]. Die Wechselwirkung beschränkt sich nicht allein auf radiale

Anregungen, sondern die Blasen erfahren im Strömungsfeld der jeweils anderen anziehende

oder abstoßende Kräfte. Das Wechselspiel von Anziehung undAbstoßung führt zur Struktur-

bildung in akustischen Kavitationsblasenfeldern [28, 32].

16


2.3. Effektive Blasengleichung

In der Modellierung von Mehrphasenströmungen wird der Radius als FeldgrößeR(r; t) und

die Rayleigh-Gleichung oder eine ihrer Modifizierungen alsEntwicklungsgleichung für eine

exemplarisch in einem Volumen enthaltene Blase angesehen,die dann die Volumenfraktion

an Gas in der Flüssigkeit liefert. Gelegentlich (insbesondere bei kommerzieller Simulations-

software) wird auch die durch Weglassen der Beschleunigungsterme erhaltene Gleichung_R =s jpv � p1j� sign(pv � p1) (2.11)

verwendet, um lokal den Massenfluss in die Gas- bzw. Dampfphase zu berechnen (vgl. z.B.

[33, 34]). Dabei wird in der Regel keine Rücksicht auf den Gültigkeitsbereich dieser Glei-

chung genommen, so dass sich fehlerhafte Volumenfraktionen ergeben können [35]. Um eine

effektive Entwicklungsgleichung für den Radius zu erhalten, werden die kinetische Energie

(2.6) und die potentielle Energie (2.7) über ein Volumen gemittelt. Daher werden die Sum-

men in den Gleichungen 2.6 und 2.7 in Integrale umgewandelt.Die individuellen BlasenRiwerden dabei durch eine Verteilungn(r; R) ersetzt. Diese gibt die Anzahldichte von Bla-

sen, deren Größe im Intervall[R;R + dR℄ liegt, innerhalb eines differentiellen Volumens an.

Im einfachsten Fall nimmt man an, dass innerhalb des Flüssigkeitsvolumens eine homogene

Verteilung der Form n(r; R) = n = onst: (2.12)

vorliegt. Das betrachtete Volumen sei sphärisch mit dem Radius�r (vgl. Abb. 2.1 (b)). Die

kinetische Energie im VolumenV = 4�3 (�r)3 ist dann nach Gleichung (2.6)T = 2��0�ZV ZR n(r; R)R3 _R2dV dR + ZV ZV 0 ZR ZR0 n(r; R)R2 _R n(r0; R0)R02 _R0jr� r0j dV dV 0dRdR01A= 2��0�NR3 _R2 + n2R4 _R2 ZV ZV 0 1jr� r0jdV dV 01A= 2��R3 _R2�N + 3215�2n2(�r)5R� (2.13)

mit der GesamtanzahlN = n4�3 (�r)3 an Blasen. Entsprechend ist die gesamte potentielle

17


Energie in dem VolumenV U = N Z R0 (p(R0)� p1) 4�R02 dR0 : (2.14)

Eine Differentialgleichung für den effektiven RadiusR ergibt sich aus der Lagrangegleichung

(2.8) zu�1 + 45 � 2�n(�r)2R�R �R + �32 + 45 � 4�n(�r)2R� _R2 = p(R)� p1� : (2.15)

Fürn ! 0 ergibt sich wieder die Rayleigh-Gleichung. Ersetzt man denFaktor 45 durch1, so

erhält man eine Gleichung, die zuerst in [36] für die Berechnung einer kavitierenden Tragflü-

gelströmung hergeleitet wurde und sich auch bei der Modellierung von Düsenströmungen [37]

und Hydraulikleitungen wiederfindet [38]. Die Abweichungen ergeben sich daher, dass in [36]

ein einfacher Ansatz für die Herleitung verwendet wird, anstatt eine Lösung systematisch aus

der Potentialtheorie durch geeignete Näherungen zu entwickeln.

Die Resonanzkreisfrequenz!e der linearisierten effektiven Blasengleichung (2.15) unter Be-

rücksichtigung des RPNNP-Modell (2.10) ist gegeben durch!2e = 3��po + 2�R0�� 2�R0�R20 �1 + 8�5 n(�r)2R0� = !201 + 8�5 n(�r)2R0 : (2.16)

Diese ist kleiner als die Resonanzkreisfrequenz!0 für eine einzelne Blase. Eine sehr ähnliche

Frequenzrelation wurde in [39] für ein komplexeres Blasencluster-Modell erhalten. Es besteht

aus jeweils einer Gleichung vom Rayleigh-Plesset-Typ für den Cluster und für die jeweiligen

Blasengrößen. Mit der Volumenfraktion� = Vgas=V des Gases lautet ihr Ergebnis!2e = !201 + �1=3(N2=3 � 1) : (2.17)

Zum Vergleich lässt sich Gleichung (2.16) auch in der Form!2e = !201 + 65�1=3N2=3 (2.18)

darstellen. Die folgenden Parameterbeispiele orientieren sich z.T. an der Arbeit [39].

18


In einfacher Weise lässt sich die Ableitung auf ein System mit verschiedenen Radien und

räumlich homogener Anzahldichte verallgemeinern. Mitn(r; R) =Xi Æ(R�Ri)ni (2.19)

ergibt sich analog zu den Gleichungen (2.9) und (2.15) :�1 + 8�5 ni(�r)2Ri�Ri �Ri + �32 + 16�5 ni(�r)2Ri� _R2i+8�5 (�r)2Xjj 6=i nj(2Rj _R2j +R2j �R) = pi(Ri)� p1� : (2.20)

Im einfachsten polydispersen Fall betrachten wir zwei verschiedene Blasengrößen. Für har-

monische Anregungen der Formp0 � p1 = pa � e�i!t mit hinreichend kleiner Amplitudepaergeben sich lineare Schwingungen der Blasen um ihren jeweiligen RuheradiusR0i (i = 1; 2).

Die komplexe AmplitudeR̂1 der Auslenkung aus der Ruhelage für die erste Blasengröße er-

gibt sich zuR̂1 = [pa=(�R01)℄ � [(1 + 2)(!22 � !2 + i!!2Æ2) + 2!2℄(1 + 1)(1 + 2)(!21 � !2 + i!!1Æ1)(!22 � !2 + i!!2Æ2)� 12!4 (2.21)i = 8�5 ni(�r)2R0i (2.22)Æi = 4�!i(1 + i)�R20i ; (2.23)

wobei die!i die Resonanzfrequenzen (2.16) der ungekoppelten Blasengleichungen und dieÆidie dimensionslosen Dämpfungskonstanten bezeichnen. DieAmplitudeR̂2 der zweiten Bla-

sengröße ergibt sich durch Vertauschung der Indizes. SetztmanN2 = 0, so ergibt sich die

Amplitude für eine linearisierte Form der Gleichung (2.15). Abb. 2.3 zeigt Amplitudenre-

sonanzkurven und die Phasenlage für eine Blasenwolke mit Radius�r = 1mm. Ist diese

monodispers, so ergibt sich ein einziges Cluster-Resonanzmaximum in der Nähe der Reso-

nanzfrequenz!e der effektiven Blasengleichung. Diese Resonanzfrequenz sinkt mit steigen-

der Anzahldichte ebenso wie die Resonanzamplitude. Der Grund dafür liegt in der größeren

Trägheit des Systems an Blasen im Vergleich zur Einzelblase. Sind zwei verschiedene Bla-

sensorten vorhanden, so tritt nicht nur eine Resonanz in derNähe der kleinsten effektiven

Frequenz auf, sondern zusätzlich noch eine weitere Resonanz zwischen den Eigenfrequenzen

der Einzelblasen (Abb. 2.3 (b) und (c)). Die kleinste effektive Frequenz ist jetzt nicht nur

19


(a) (b)

(c) (d)

Abbildung 2.3.: Amplitudenverhältnisse und Phasenlage der linearen effektiven Blasenglei-chung für zwei Blasenarten. Die durchgezogenen Linien beziehen sich aufden GleichgewichtsradiusR01 = 10�m, die gestrichelten auf den RadiusR02 = 5�m. Die senkrechten Striche bezeichnen die jeweiligen Resonanz-kreisfrequenzen, wobei die niedrigere Frequenz jeweils zur effektiven Fre-quenz Gleichung (2.16) gehört und die höhere die Resonanzfrequenz der je-weiligen Einzelblase anzeigt. Die AnzahlNi und Volumenfraktion�i der je-weiligen Blasensorte sind (a):N1 = N2 = 103; �1 = 10�3; �2 = 1; 25 � 10�4,(b): N1 = 103; �1 = 1 � 10�3; N2 = 1; 6 � 104; �2 = 2 � 10�3; (c)+(d):N1 = N2 = 5 � 103; �1 = 5 � 10�3; �2 = 6; 25 � 10�4. Die weiteren Parametersind:� = 1; 4; p0 = 1bar; � = 0; 073N=m; � = 998 kg=m3; � = 10�3 Pa s.

20


allein durch den Gleichgewichtsradius bestimmt wie bei derEinzelblase, sondern zusätzlich

noch durch die Anzahldichte, so dass die effektive Frequenzder kleineren Blasenart kleiner

sein kann als die der Größeren wie in (b). Dies steht im Gegensatz zum Verhalten der Ei-

genfrequenzen der Einzelblasen. Dies muss jedoch nicht notwendigerweise der Fall sein, wie

das Beispiel (c) zeigt. Bei den Eigenfrequenzen der Einzelblasen besitzt die jeweils andere

Blasengröße im gekoppelten System ein Minimum der Amplitude, was aus der Energieerhal-

tung folgen muss. Die Resonanzen der verschiedenen Blasenarten befinden sich bei derselben

Frequenz. Bei beiden Resonanzen als auch jeweils im Minimumder Amplitude wechselt die

Phasenlage� der jeweiligen Blase, so dass zwischen den Eigenfrequenzendie Blasen ge-

genphasig schwingen bis auf den Bereich, an dem die Resonanzauftritt (d). Für Frequenzen

oberhalb der höchsten Eigenfrequenz schwingen die Blasen dann wieder beide gegenphasig

zum antreibenden Druck, wie man es von linearen Resonatorenher kennt.

Im nichtlinearen, monodispersen Fall zeigt sich die Reduzierung der Eigenfrequenz im grö-

ßeren zeitlichen Abstand zwischen den Kollapszeitpunkten(vgl. Abb. 2.4(a)). Aufgrund der

größeren Trägheit des Systems ist die Kompression der Gasesgrößer, so dass sich ein höhe-

rer Gasinnendruck ergibt. Dies muss jedoch nicht immer so sein, wie für eine polydisperse

Blasenwolke gezeigt wird. Hier verhält sich bereits für sehr kleine Volumenfraktionen (Abb.

2.4.(b) die kleinere Blasenart mit Anfangsradius5�m signifikant anders. Diese werden in der

Blasenwolke durch den Kollaps der größeren Blasen so stark angeregt, dass sie im Gegen-

satz zur monodispersen Blasenwolke heftig kollabieren, und es so zu sehr hohen Blaseninnen-

drücken kommt. Vergleichbar ist dieses Verhalten mit dem des Partikelmodells (vgl. Abb. 2.2).

Es gibt ein starke Kopplung zwischen den Blasenarten, so dass diese gemeinsam kollabieren,

was bereits in der linearen Analyse deutlich wurde, da dort die Resonanzen der einzelnen

Arten zusammenfallen. Für größere Volumenfraktionen (Abb. 2.4.c) ist die Kopplung noch

stärker, da sich dann zwischen den Kollapszeitpunkten der größeren Blase keine Kollapse der

kleineren mehr befinden, wie es für kleinere Volumenfraktionen auftritt. In Abhängigkeit von

der Anzahldichte gibt es ein Druckmaximum bzgl. des Kollapsdrucks: Ab einer gewissen

Volumenfraktion sinkt der Maximaldruck wieder (Abb. 2.4.c), was im Rahmen des Modells

äquivalent zu einem größeren Minimalradius ist. Die Ursache liegt in der größeren Träg-

heit des Systems im Vergleich zur Einzelblase, die zu zwei konkurrierenden Effekten führt:

Einerseits wird der Wachstumsprozess gehemmt, d.h. der Oszillator Blase wird bei gleicher

Anregung weniger stark ausgelenkt. Andererseits muss aufgrund der größeren Trägheit auch

eine größere Rückstellkraft in der Kompressionsphase aufgebracht werden, um die Bewegung

21


(a)

(b)

(c)

Abbildung 2.4.: Radien-und Druckverlauf (a) einer Einzelblase (durchgezogene Linien) undeiner monodispersen Blasenwolke mit dem AnfangsradiusR = 10�m, sowie(b) und (c) für polydisperse Blasenwolken mit mitR1 = 10�m (durchgezo-gene Linien) undR2 = 5�m. Anzahl und Volumenfraktion der jeweiligenBlasensorte sind (a):N = 100; � = 10�4, (b): N1 = N2 = 100; �1 =10�4; �2 = 1; 25 � 10�5, (c): N1 = N2 = 1000; �1 = 10�3; �2 = 1; 25 � 10�4.Die weiteren Parameter sind identisch mit denen aus Abb. 2.2.

22


umzukehren. Folglich kann die Kompression des Gases größerwerden und damit auch der

Druck. Da es aufgrund der Nichtlinearität der Bewegungsgleichungen eine Asymmetrie bzgl.

der Richtung der Auslenkung gibt, heben sich diese beide Effekte im Gegensatz zum linearen

Oszillator nicht auf. Bei kleinen Anzahldichten ist die Reduzierung der Auslenkung so gering,

dass die Gaskomprimierung nicht nennenswert reduziert werden kann.

Die starke Kopplung ist auch ein Resultat der Modellierung:Es wurde angenommen, dass sich

eine gewisse Anzahl an Blasen im gleichen Zustand befindet. Daraus können starke Druck-

kräfte auf die jeweilige andere Blasenart resultieren. Diese Annahme ist sicherlich künstlich,

da selbst kleine Störungen aufgrund der Nichtlinearitätenin den Blasengleichungen sich unter

Umständen exponentiell vergrößern können. Jedoch zeigen die Untersuchungen zur Kopplung

von Einzelblasen, dass die Effekte qualitativ richtig wiedergegeben werden, so dass sich aus

dem sehr einfachen Modell wesentliche physikalische Eigenschaften ablesen lassen. In der

notwendigerweise einfach gehaltenen Modellierung von Zweiphasenströmungen liefert dies

einen besseren Ansatz bei minimalen Mehraufwand. Das hier vorgestellte Modell wurde be-

reits zur Simulation von Stoßwellen in hydraulischen Leitungen [40] unter Einbeziehung eines

Modells zur Luftausgasung [41] eingesetzt.

Zur Modellierung muss weiterhin angemerkt werden, dass denhier getroffenen Annahmen be-

reits bei sphärischer Symmetrie gewisse Grenzen gesetzt sind. Beispielsweise wurde nur die

viskose Dämpfung der Flüssigkeitsbewegung berücksichtigt, während je nach Anregungsfre-

quenz und Amplitude die thermischen und kompressiblen Effekte sowie Diffusionsvorgänge

eine bedeutende Rolle spielen können. Folglich müsste dannsowohl das enthaltene Gas als

auch die umgebende Flüssigkeit anders modelliert werden. Details dazu finden sich z.B. in

dem Übersichtsartikel [42] sowie in der dort angegebenen Literatur. Die hier vorgestellten

mechanischen Effekte werden dadurch jedoch nicht wesentlich verändert.

23

3. Numerische Verfahren zurSimulation asphärischer Blasen

Mathematical modelling is after all only anapproximation to nature but through model-ling often a better understanding of phenome-na can be obtained.

J. R. BLAKE ET AL . [43]

Die Komplexität der Dynamik sphärisch schwingender Blasenwird noch übertroffen, wenn

man die Beschränkung auf rein radiale Schwingungen fallen lässt. Die in der Realität im-

mer gegebenen Störungen des radialen Strömungsfeldes können zu Abweichungen vom ide-

al sphärischen Schwingungsverhalten führen. Zu den Effekten gehören Oberflächenschwin-

gungen, Jetbildung, Aufbrechen und Koaleszens von Blasen.Eine Form der Störung stel-

len Begrenzungsflächen des Fluides wie z.B. feste Wände dar.In Kapitel 1.2 wurde bereits

ein Beispiel für die asphärische Dynamik einer Kavitationsblase in Wandnähe gegeben. Der

wandnahe Kollaps ist im Folgenden das Hauptinteresse dieser Arbeit.

Numerische Simulationen bieten den Vorteil, dass alle relevanten Größen zu jedem Zeitschritt

an jedem Gitterpunkt bekannt sind, während im Experiment die Messungen von Feldgrößen

schwierig ist und kurze Zeit- und kleinen Raumskalen zu Problemen führen. Die Schwierig-

keiten der Simulation liegen dagegen in der numerischen undphysikalischen Modellierung

des Systems. Die Anwesenheit einer Phasengrenze zwischen z.B. Flüssigkeit und Gas führt

dabei zu zusätzlichen Stabilitätsproblemen und numerischen Fehlern. Da generell freie Grenz-

flächen zu Instabilitäten neigen und kleine Störungen der Grenzfläche vergleichsweise große

Änderungen in der Dynamik bewirken können, sind Strömungssimulationen mit Grenzflä-

24

3. Numerische Verfahren zur Simulation asphärischer Blasen

chendynamik immer mit einer besonderen Skepsis zu betrachten. Ein Beispiel ist die Kelvin-

Helmholtz-Instabilität, bei der eine tangentiale Unstetigkeit in einer idealen Flüssigkeit gegen

beliebig kleine Störungen instabil ist [44]. Eine interne Grenzfläche in idealen Flüssigkeiten

ist eine solche tangentiale Unstetigkeit. Aus numerischerSicht ist dies ein schlecht gestelltes

Problem. Der wandnahe Blasenkollaps stellt jedoch ein vergleichsweise übersichtliches und

experimentell gut erforschtes System dar, so dass die Simulation eine nützliches Werkzeug

ist, um qualitativ mehr über dieses System zu lernen. Daher sollen die quantitativ ermittelten

Größen in dieser Arbeit auch eher als Richtgrößen angesehenwerden.

3.1. Strömungssimulation mit freien Grenzflächen

Strömungen mit freien Grenzflächen treten in einer Vielzahlvon Fällen auf z.B. in der Geo-

physik, der Grundlagenforschung oder den Ingenieurswissenschaften. Zu den Phänomenen

der Grundlagenforschung gehören Oberflächenschwingungen[45] und Instabilitäten [46],

Beugung, Brechung [47], Reflexion und Transmission von Schall- und Stoßwellen [48], ka-

pillare Effekte und nichtlineare Wellenausbreitung [49].Zu diesen Phänomenen gibt es nur

wenige analytische und aus Linearisierungen gewonnene Lösungen. In der Verfahrenstechnik

treten bei einer Vielzahl von Anwendungen mehrphasige Strömungen auf z.B. bei Verbren-

nungsprozessen, Siedevorgängen (Kühlung) [50], Gießprozessen [51], Kavitation und Luft-

ausgasung in Rohrströmungen [38] sowie Einspritzvorgängen. Daraus motiviert entstand eine

große Anzahl von Verfahren zur Berechnung mehrphasiger bzw. mehrkomponentiger Strö-

mungen1, auf die hier kurz eingegangen werden soll.

Die Berechnung des Strömungsfeldes muss die Bewegung der Grenzfläche mit einbezie-

hen. Deren Dynamik ist durch eine Reihe von physikalischen Bedingungen bestimmt, die

zu großen Problemen bei der Numerik führen können. Im Rahmeneiner Kontinuumstheorie

wird eine Grenzfläche zwischen zwei Fluiden in der Regel als Diskontinuität angesehen, an der

sich physikalische Parameter wie Dichte und Viskosität um Größenordnungen ändern können

(z.B. Luft/Wasser: Dichteverhältnis 1/1000, Viskosität 1/25). Oberflächenspannungen müs-

sen evtl. berechnet werden und führen zu Drucksprüngen an der Phasengrenze. Verzerrungen

1Die Definition der Begriffe mehrphasiger und mehrkomponentige Strömung ist nicht einheitlich. I.d.R. sprichtman von mehrphasigen Strömungen, wenn sich in einem Beobachtungsvolumen eine große Anzahl vonGrenzflächen befinden, die einer statistische Beschreibungeher zugänglich sind, während in mehrkompo-nentigen Strömungen die geringe Anzahl von Grenzflächen je Beobachtungsvolumen eine gesonderte Be-handlung ermöglicht (vgl. z.B. [52]).

25


und Topologieänderungen der Oberfläche d.h. das Aufreißen bzw. der Zusammenstoß von

Grenzflächen stellen weitere Herausforderungen an numerische Verfahren dar. Unter Umstän-

den wie z.B. bei Verdampfung und Diffusionsprozessen müssen auch Transportphänomene

(Masse- und Energietransport) berücksichtigt werden. DieGeschwindigkeit der Grenzfläche

ergibt sich aus den Sprungbeziehungen für den Massenstrom und den Spannungstensor [53].

Die diversen Methoden der Simulation mehrkomponentiger Strömungen lassen sich in zwei

Hauptgruppen zusammenfassen:Lagrangesche Methoden, in denen das Gitter mitbewegt

wird, und Eulersche Methoden, in denen das Gitter stationär ist. Die Aufteilung ist nicht

streng, denn ein Großteil der Verfahren besitzt sowohl Eulersche als auch Lagrangesche Ele-

mente.

Bei den Lagrangeschen Methoden wird die Grenzfläche durch Randelemente des Gitters ap-

proximiert, so dass die Grenzfläche das Rechengitter in Untergebiete aufteilt. Das Gitter be-

wegt sich an der Grenzfläche mit der Strömung mit, in anderen Strömungsgebieten muss es

dieses jedoch nicht. Einen Spezialfall stellen inkompressible Potentialströmungen dar, bei de-

nen Randintegralmethoden [54] benutzt werden können: Hierist das Strömungsfeld komplett

durch das Potential an der Grenzfläche bestimmt, so dass nur die Grenzfläche diskretisiert und

berechnet werden muss (vgl. auch Anhang A). Dies reduziert die Dimension des Problems

um eins und damit die Rechenzeit erheblich. Bewegliche Gitter verhalten sich problema-

tisch bei Verzerrungen des Strömungsfeldes in Grenzflächennähe (vgl. z.B. [55]), so dass das

Gitter oft neu generiert werden muss, um eine gleichmäßige Verteilung der Gitterpunkte zu

gewährleisten. Dies kann sich in der Rechenzeit deutlich bemerkbar machen . Ebenso müssen

Topologieänderungen speziell implementiert werden. Je nach Approximation der Grenzfläche

sind diese Verfahren sehr genau.

Eulersche Methoden sind in der Regel einer einfacheren Beschreibung zugänglich und leichter

zu implementieren. Dabei unterscheidet man zwischen Methoden, die die Grenzfläche direkt

verfolgen (engl.Interface tracking) und denen, die die Grenzfläche mit skalaren Feldgrößen

erfassen (engl.Interface capturing) und auf eine genaue Angabe der Position der Grenzflä-

che verzichten. Die Bezeichnungen sind analog zu Verfahrenin der Gasdynamik, bei de-

nen Stöße als Diskontinuitäten betrachtet werden, die entweder mit Shock-Tracking [56] oder

Shock-Capturing-Methoden [57] behandelt werden. Beim Tracking werden Partikel (Marker)

zur Markierung der Oberfläche eingesetzt, deren Bewegung durch die Flüssigkeitsdynamik

bestimmt wird. Das Fluid wird in der Eulerschen Darstellungmodelliert, während die Mar-

26


(a) (b)

Abbildung 3.1.: Transport eines Gaszylinders mit RadiusR = 1mm. Die Geschwindigkeit inhorizontaler und vertikaler Richtung ist100m=s. Auf der linken Seite wurdeein simples Euler-Verfahrens verwendet, bei dem eine Erhaltungsgleichungfür die Gemischdichte sowie Transportgleichungen für weitere Materialpa-rameter berechnet werden (nach Ref. [58]). Die rechte Seiteist mit demVOF-Verfahren aus Kapitel 4 berechnet worden. Das Dichteverhältnis ist1=1000, der Anfangszustand ist der Gaszylinder oben links, der Endzustandunten rechts nacht ' 2; 5�10�5 s. In (a) sieht man deutlich, dass die Grenzflä-che unphysikalisch über viele Gitterzellen verschmiert wird, während sie beider VOF-Methode scharf bleibt. Das Minimum der Gasdichte in(a) erhöhtsich um mehr als das dreifache.

ker in der Lagrangeschen Art behandelt werden. Es finden sowohl Volumenmarker [59] als

auch Oberflächenmarker [60, 61] Verwendung. Als skalare Variable werden beim Capturing

z.B. Dichten der Konstituenten, Massenfraktionen [62], Volumensfraktionen [58] oder andere

Materialparameter wie der Adiabatenexponent [63] des Gemisches verwendet. Da sich die

Materialgrößen an der Phasengrenze diskontinuierlich ändern, werden Methoden der Gasdy-

namik [57] zur Berechnung verwendet. Jedoch verschmieren selbst hochauflösende Verfah-

ren die Grenzfläche über mehrere Gitterzellen, was je nach Problemstellung akzeptabel sein

kann z.B. bei Grenzflächen zwischen zwei Gasen. Man bezeichnet diesen Effekt als numeri-

sche Diffusion. Jedoch ist die diffuse Darstellung der Phasengrenze beim Übergang zwischen

z.B. Gas und Flüssigkeit wie bei Blasen sehr unphysikalisch(vgl. Abb. 3.1.(a)). Dieses Pro-

blem wird durch die Niveaumengen-Methode [64] (engl.Level-Set-Method) gemildert, bei

der eine skalare Funktion (r) mit der Flüssigkeit transportiert wird, die den Abstand zur

Grenzfläche beschreibt und stetig an der Phasengrenze ist. Dadurch wird die numerische

27


Diffusion der Verfahren minimiert. Jedoch ist auch hier diePhasengrenze über etwa 2-3 Git-

terzellen verschmiert. All diesen Methoden mit Ausnahme der dichtebasierten Verfahren ist

gemeinsam, dass sie nicht konservativ an der Phasengrenze sind. Insbesondere bei Level-Set-

Methoden ist bekannt, dass sie nicht masseerhaltend sind [65]. Während bei inkompressiblen

Verfahren nur die Dichteverteilung an der Phasengrenze interessiert, muss bei kompressibler

Strömung aufgrund der Grenzfläche ein Mehrphasenansatz gewählt werden, wobei Energie-

erhaltung und Druckoszillationen, die miteinander zusammenhängen, große Schwierigkeiten

bereiten. An der Grenzfläche wird dann der Algorithmus in derRegel nichtkonservativ kor-

rigiert (vgl. auch Übersichtsartikel [66]). Das einzige Capturing-Verfahren, dass eine scharfe

Grenzfläche (d.h. lokalisiert in einer Gitterzelle) garantiert (Abb. 3.1) und absolut massener-

haltend konstruiert werden kann, ist eine Volumenfraktionsmethode (engl.Volume-of-Fluid-

Method, kurzVOF) mit Grenzflächenrekonstruktion [67]. Dabei werden aus einer gegebenen

Fluidverteilung die Volumensfraktionen der einzelnen Komponenten berechnet und dann die

exakte Information über die Grenzflächenposition verworfen (vgl. auch Kapitel 4.3 und ins-

besondere Abb. 4.6). Bei jedem Zeitschritt wird die Grenzfläche aus der Volumenfraktion

bestimmt, d.h. über die Verteilung der Volumenfraktion unddie Forderung nach Volumener-

haltung in der Grenzflächenzelle. Die Entwicklung der Volumenfraktion wird dann entweder

algebraisch [68] oder geometrisch [67] berechnet. Letztere Variante ist genauer und wird

als Volumen-Tracking bezeichnet. Druckkorrekturen bei kompressibler Strömung lassen sich

dabei ebenso konservativ durchführen [69]. Die nicht-diffusive Repräsentation der Phasen-

grenze, die Konservativität des Verfahrens und das stabileVerhalten bei Topologieänderungen

gaben den Ausschlag dafür, die VOF-Methode in dieser Arbeitzu verwenden.

3.2. Analyse der wandnahen Blasendynamik

Bevor die bisher verwendeten Methoden zur Berechnung der wandnahen Blasendynamik

und deren Ergebnisse vorgestellt werden, wird eine Analysedieser Dynamik vorgenommen.

Hieraus kann man entnehmen, welche Näherungen in der physikalischen Modellierung sinn-

voll sind, um ein geeignetes numerisches Verfahren auswählen zu können.

28


3.2.1. Dimensionslose Kennzahlen

Zur Charakterisierung und Klassifizierung der Flüssigkeitsströmung werden dimensionslose

Kennzahlen eingeführt, die einen Eindruck von den wesentlichen Verhältnissen beim wand-

nahen Kollaps in einer ruhenden Flüssigkeit geben sollen. Zur Berechnung der Kennzahlen

müssen die wesentlichen Größen in ihrer Größenordnung bekannt sein.

Unter typischen Laborbedingungen wird Wasser als Flüssigkeit benutzt, es herrscht der At-

mosphärendruckp0 ' 105 Pa, der Maximalradius der Blase istR0 ' 1mm und die Tem-

peratur liegt etwa bei20 ÆC. Die Kollapszeit isttK ' 100� s, woraus sich die mittlere Kol-

lapsgeschwindigkeitvR ' 10m=s ergibt. Der Radius des Jets liegt in der GrößenordnungRJ = 0; 1mm, und er besitzt die GeschwindigkeitvJ ' 100m= s. In den folgenden Defi-

nitionen der dimensionslosen Kennzahlen bezeichnetR jeweils die RadienR0 undRJ undventsprechend die GeschwindigkeitenvR undvJ .

Die Reynoldszahl gibt das Verhältnis zwischen konvektivemund diffusivem Impulsfluss an.

Sie ist durch Re = 2Rv� (3.1)

gegeben. Für Blase und Jet ergibt sich jeweils die ReynoldszahlRe ' 2 � 105, d.h. die Kon-

vektion dominiert über die viskose Diffusion, so dass letztere zunächst vernachlässigt werden

kann. Die aus der Oberflächenspannung resultierenden Kräfte sind bestrebt, die Oberfläche

zu minimieren, während sie durch Trägheitskräfte deformiert wird. Das Verhältnis von Träg-

heitskraft zur oberflächeninduzierten Kraft gibt die WeberzahlWe = 2R�v2� (3.2)

an. Dabei bezeichnet� die Oberflächenspannung zwischen Flüssigkeit und Gas. Für Blase

und Jet ergeben sichWeR ' 2800 undWeJ ' 28000. Oberflächenspannungen dominie-

ren also nicht die Dynamik und spielen insbesondere bei der Jetbildung eine kleinere Rolle,

obwohl dort größere Krümmungsradien auftreten. Die Froude-ZahlFr = v22Rg (3.3)

mit der Erdbeschleunigungg gibt das Verhältnis von Trägheitskraft zur Schwerkraft an.Sie

ist von der Größenordnung 5000 bzw. 50000 für Blase und Jet. Für die Dynamik spielt Gravi-

tation somit eine untergeordnete Rolle.

29


Das Verhältnis zwischen konvektiver Geschwindigkeit und Schallgeschwindigkeit, die sog.

Machzahl Ma = v ; (3.4)

gibt Aufschluss darüber, ob die Kompressibilität berücksichtigt werden muss. Für die flüssige

Phase ist sie kleiner als0; 1, für die Gasphase kleiner als0; 3. Die höheren Geschwindigkeiten

treten jedoch erst in einer späteren Phase des Kollapses auf, so dass das nichtisotherm kompri-

mierte Gas eine deutlich höhere Schallgeschwindigkeit besitzen kann. Damit ist die Machzahl

der Gasphase also noch kleiner. Die Flüssigkeit kann in guter Näherung als inkompressibel

angenommen werden.

Bei hohen Umgebungsdrücken ist die Annahme einer inkompressiblen Flüssigkeit nicht mehr

gerechtfertigt, da sich sehr hohe Geschwindigkeiten für Jet und Blasenwand ergeben können,

wie in Kapitel 6 gezeigt wird. Oberflächenspannung und Gravitation spielen dann eine noch-

mals deutlich kleinere Rolle, da die Trägheitskraft proportional zum Quadrat der Geschwin-

digkeit sind. Aus diesem Grund ist der Blasenkollaps ein konvektionsdominiertes Phänomen.

3.2.2. Zeitliche Entwicklung einer Blase

Typischerweise wird eine zu untersuchende Einzelblase in der Nähe einer Wand durch elektri-

sche Funkenentladung oder Laserstrahlung induziert. Das dabei induzierte Plasma dehnt sich

schlagartig aus und kühlt ab. Innerhalb der Blase befinden sich Produkte aus der Dissoziation

von Wasser, die ein nichtkondensierbares Gas bilden. Bei der Plasmabildung werden Stoß-

wellen mit bis zu100MPa abgestrahlt. Diese Prozesse spielen sich auf einer Zeitskala von

wenigen Mikrosekunden ab [24].

Es schließt sich eine Phase an, in der die Dynamik deutlich verlangsamt ist, und die Größenab-

schätzungen und Kennzahlen aus dem vorherigen Kapitel gültig sind. Dies ist der Bereich der

Dynamik, der klassischerweise mit Randintegralmethoden untersucht wird und im Zeitbereich

von100�s liegt. Die Strömung wird daher als inkompressibel, rotations- und reibungsfrei an-

genommen. Oberflächenspannungen werden eher bei kleinerenund Gravitationseinflüsse nur

bei größeren Blasen berücksichtigt. Expansionsphase, Kollapsbeginn und Jetbildung werden

ausreichend gut damit beschrieben.

Die dritte Phase der Dynamik ist mit dem Jetaufprall auf die gegenüberliegende Wand ver-

bunden. Die Krümmungsradien werden dabei singulär, so dassdie Oberflächenspannung eine

30


große Rolle in dieser Phase spielt. Beim Jetaufprall kommt es zu hohen Wasserhammer-

drücken in der Größenordnung von100MPa und der Abstrahlung von Stoßwellen [70, 24].

Diese Prozesse spielen sich jedoch auf einer Zeitskala von wenigen Mikrosekunden ab, so

dass manche Modelle diese Effekte nicht berücksichtigen. Die viskosen Effekte in der Wir-

belschicht, die sich beim Eindringen des Jets in die Flüssigkeit bildet, werden in der Regel

ebenfalls nicht berücksichtigt. Nach [71, 72] reichen viskose Effekte jedoch nicht aus, um den

Energieverlust im Kollaps hinreichend zu modellieren, d.h. die Schallabstrahlung ist wesent-

lich. Der weitere Verlauf ist durch die Topologieänderung des Strömungsgebietes bedingt:

Die Blase wird torusförmig oder die Strömung führt zu einer pilzähnlichen Verformung der

Blase. Es bildet sich ein Ringwirbel. Die Dynamik ist in weiten Bereichen unabhängig von

der Blasengröße. In dieser Phase kann die Strömung wieder als inkompressibel angesehen

werden. Der Blasentorus führt meistens noch wenige gedämpfte Schwingungen aus und be-

wegt sich in Richtung Wand, bevor er aufgrund von Oberflächeninstabilitäten zerfällt (vgl.

Kapitel 1.2).

Der Zeitpunkt, an dem die Blase ihr minimales Volumen erreicht, kann je nach Grenzflä-

chenabstand vor oder nach dem Jetaufprall liegen. Hierbei können kompressible Effekte eine

wichtige Rolle spielen wie z.B. die Abstrahlung akustischer Wellen vor dem Kollaps und die

Entstehung von Stoßwellen beim Erreichen des Volumenminimums. Das Verhältnis zwischen

maximalem und minimalem Volumen in der nähe einer festen Grenzfläche liegt in der Grö-

ßenordnung103 bis104 [24].

3.3. Überblick über bisherige Verfahren zurSimulation der Dynamik asphärischer Blasen

Im Folgenden wird ein Überblick über numerische Verfahren und Ergebnisse gegeben, die für

den wandnahen Kollaps von Blasen interessant sind. Eine nicht geringe Anzahl von Veröf-

fentlichungen, die sich mit Unterwasserexplosionen und aufsteigenden Blasen beschäftigen,

werden nur am Rande erwähnt, da Gravitation eine Hauptrollespielt.

31


3.3.1. Inkompressible Flüssigkeit

3.3.1.1. Randintegralmethoden

Eine der ersten und bis heute am weitesten verbreiteten Methoden ist die Randintegralmetho-

de, die 1971 von Plesset & Chapman [73] verwendet wurde, um den Kollaps einer Dampf-

blase in der Nähe einer unendlich ausgedehnten festen Wand zylindersymmetrisch zu berech-

nen. Die Flüssigkeit wurde dabei als inkompressibel, rotations- und reibungsfrei betrachtet,

die Oberflächenspannung nicht berücksichtigt und der Dampfdruck als konstant in Raum und

Zeit angenommen. Als Anfangsbedingungen wurde eine sphärische Blase in Wandnähe unter

Atmosphärendruck im Unendlichen angenommen. Diese Näherungen lassen sich mit Hil-

fe von hinreichend großen Reynolds-und Weberzahlen begründen (vgl. Kapitel 3.2.1). Trotz

dieser Approximationen und der Schwierigkeiten, einen solchen Zustand im Experiment zu

reproduzieren, zeigten die Vergleichsmessungen in [74] qualitativ gute Übereinstimmungen.

Die Simulationen zeigen, dass die feste Grenzfläche die Bewegung der angrenzenden Blasen-

wand hemmt, so dass die Blase zunächst eine abgeflachte Form annimmt und sich im weiteren

Verlauf ein zur Wand gerichteter Flüssigkeitsstrahl entwickelt, der eine Geschwindigkeit von130m=s bei = 1 bzw.170m=s bei = 2 beim Aufprall auf die Wand bzw. auf die untere

Blasenwand besitzt. Die Simulation wird nach dem Aufprall nicht fortgesetzt. Die Kollapszeit

ist größer als die aus der Rayleigh-Gleichung (2.9) berechnete Zeit [2]tk = 0:915R0 �r ��p ; (3.5)

für eine sphärische Blase, wobei�p die Druckdifferenz zwischen dem Druck im Unendlichen

und dem Dampfdruck in der Blase ist. In [75] wurde gezeigt, dass sich die Jetgeschwindig-

keit bei = 1 von 11; 9p�p=� auf 64p�p=� erhöht2, wenn die Blase zu Beginn nur eine

leichte Exzentrizität besitzt. Ein weiteres Beispiel, wieAbweichungen von der sphärischen

Form beim Blasenmaximum die weitere Dynamik beeinflussen, gibt Ref. [76]: Dort wird die

Wachstumsphase mitberechnet und ermittelt, dass die Blasen der Wand im Kollaps signifi-

kant näher sind. Je näher sich die Blasen an der Wand befinden,desto asymmetrischer ist der

Kollaps und desto größer ist das verbleibende Dampfvolumenbeim Jetaufprall. Hier bricht

die Rechnung ab, da Topologieänderungen nicht ohne weiteres mit dieser Methode berechnet

werden könne. Ebenso dauert es länger, bis der Jet auftrifft. Daraus erklären sie auch die hö-

heren Jetgeschwindigkeiten bei größerem Wandabstand. Sieverfolgen Partikelbahnen, deren

2Für Wasser bei Atmosphärendruck ist(�p� ) 12 ' 10 ms .

32


Positionen sich bei Rechnungsbeginn auf der Blasenwand befinden. In der Wachstumsphase

bewegen sich die Partikel radial nach außen, während sie sich im Kollaps in den Flüssig-

keitsstrahl hinein bewegen, auch wenn sie sich zu Beginn aufder unteren Hälfte der Blase

befanden. Dieser Effekt, der experimentell in [77] bestätigt wurde, ist ein Beleg für die im-

mensen Verzerrungen des Strömungsfeldes an der Phasengrenzfläche. Bei der Jetentwicklung

wurde beobachtet [76], dass sich ein Gebiet hohen Drucks oberhalb der Blase bildet, das den

Jet noch weiter beschleunigt. Staupunktströmungen und Gravitationseffekte können die Jet-

entwicklung entscheidend beeinflussen und sogar aufhalten. Wird die feste Grenzfläche durch

eine freie Oberfläche ersetzt, so entwickelt sich ein Jet, der von der Grenzfläche weg gerichtet

ist [78].

Bei Berücksichtigung eines nicht-kondensierbaren Gases innerhalb der Blase kann es vor dem

Jetaufprall zum Wiederaufschwingen kommen [79]. Die Zustandsänderungen werden als po-

lytrop und homogen innerhalb der Blase angenommen. Die maximalen Jetgeschwindigkeiten

liegen für Gasblasen mit Maximalradius1mm in der Größenordnung10 � 20 �p�p=� für ' 1 � 5. Sie werden erreicht, wenn der Jetaufprall mit Erreichen des minimalen Blasen-

volumens zusammenfällt. [80]. Aufgrund der adiabatischenKompression des Gases und der

großen Volumenverminderung kommt es zu hohen Temperatureninnerhalb des Gases.

Der Jetdurchbruch kann mit zwei verschiedenen Ansätzen modelliert werden, wobei das Auf-

treten von Stoßwellen beim Aufprall und die viskosen sowie kapillaren Effekte in der auftre-

tenden Wirbelschicht vernachlässigt werden. Möglich wirddies durch eine Änderung der Ran-

dintegralformulierung, die ein einfach zusammenhängendes Fluidgebiet verlangt: Zunächst

wird ein Schnitt dort durch die Blase gelegt, wo der Jet zum ersten Mal auf die andere Blasen-

wand trifft, so dass in der Randintegralformulierung die Schnittlinie als zusätzlicher Randterm

auftaucht [81]. An der Schnittlinie gibt es einen Potentialsprung, der die Zirkulation der Strö-

mung nach der Topologieänderung bestimmt. Da in der Modellierung der Potentialsprung

konstant über den Schnitt ist, gibt es keine Wirbelschicht an dem Schnitt. Bei einer anderen

Modellierung [82] bleibt der Potentialsprung nicht konstant, so dass dort eine Wirbelschicht

vorhanden bleibt, deren Behandlung jedoch einen deutlich höheren Aufwand in der Numerik

erfordert. Die Schnittlinie bewegt sich jeweils mit der Strömung. Bei [81] ist dieser Schnitt

jedoch künstlich, während in [82] die Wirbelschicht verfolgt wird.

Diese Verfahren erlauben es, den weiteren Kollapsvorgang nach dem Jetaufprall zu beobach-

ten. Das Volumen der Dampfblase nimmt weiter ab und die bereits vorhandene Bewegung

33


in Richtung Wand bleibt bestehen. Der Jetaufprall bewirkt einen hohen Druckanstieg beim

Aufprall, der im Laufe der Zeit noch ansteigt. Es bildet sichein Ringwirbel um die nun torus-

förmige Blase. Die Zirkulation auf einem geschlossenen Wegum diesen Torus bleibt konstant

in der Zeit und ist umso größer, je geringer der anfängliche Abstand zur Grenzfläche war. Der

Flüssigkeitszusammenstoß führt zu einem Energieverlust in der Größenordnung 10% der to-

talen kinetischen Energie bei der Potentialströmung. Diese Energie würde bei kompressibler

Modellierung in Form von Stoßwellen abgestrahlt werden [82]. Ist ein polytropes nichtkon-

densierbares Gas in der Blase vorhanden, so verlangsamt sich der Kollapsvorgang [83]. Beim

Wiederaufschwingen der Blase kann sich der Jet dermaßen verjüngen, dass die Topologieän-

derung rückgängig gemacht werden kann [81]. Der Aufprall des Jets auf die untere Blasen-

wand bewirkt nicht nur eine Beschleunigung der Flüssigkeitin Richtung untere Grenzfläche,

sondern rings um den Jet auch in entgegengesetzter Richtung, so dass die Blase zu einer pilz-

förmigen Struktur geformt wird. In Anlehnung an das Aufspritzen von Flüssigkeit bei dem

Einschlag eines Tropfens auf eine Flüssigkeitsschicht spricht man auch von einem Splash.

Dieser Splash kann einerseits zu einem Aufbrechen der Blase, andererseits beim Zusammen-

stoß mit der zur Blase zuströmenden Flüssigkeit zu so großenDruckerhöhungen führen, dass

die Druckeinwirkung auf die Grenzfläche deutlich größer sein kann, als beim vorhergehenden

inkompressibel berechneten Jetaufprall [84].

Eine dreidimensionale Randintegralmethode wurde in [85] mit einer Finite-Elemente-

Methode zur Beschreibung des angrenzenden Festkörpers gekoppelt. Damit wurden Fluid-

Struktur-Wechselwirkung bei Blasen untersucht, die durchUnterwasserexplosionen entstehen.

Die Dynamik ändert sich je nach Verformbarkeit und Beweglichkeit der Grenzfläche.

Blasenwolken kollabieren von außen nach innen, wobei die Jets in Richtung des Zentrums

weisen und die inneren Blasen umso symmetrischer kollabieren, je zentraler ihre Position ist

[86, 80].

3.3.1.2. Finite Differenzen und Finite Volumen Verfahren

Diese Verfahren werden meistens dafür benutzt, um aufsteigende Blasen in Scherströmun-

gen zu simulieren. Fast alle Techniken, die in Kapitel (3.1)erwähnt wurden, werden dafür

eingesetzt: Mitbewegte Gitter [87], Front-Tracking [88, 89], VOF [90, 91] und Level-Set-

Methoden [91, 92]. Die dort benutzten Verfahren sind beschränkt auf kleine und mittlere

Reynoldszahlen.

34


Das in [93] benutzte Finite-Differenzen-Verfahren setzt eine reibungsfreie Strömung voraus

und kann ohne spezielle Vorkehrungen den Jetaufprall und das anschließende Wiederauf-

schwingen einer Gasblase berechnen. Auch hier wurde ein Energieverlust beim Aufprall der

Flüssigkeit berechnet (vgl. auch letztes Kapitel). Die Phasengrenzfläche ist jedoch diffus ver-

schmiert.

Mit einem Front-Tracking-Verfahren [61] wird der Blasenkollaps in [94] in einer Scherschicht

simuliert. Je stärker die Scherung ist, desto schneller kollabiert die Blase. Nimmt die Scherung

noch weiter zu, so kann dies sogar eine Jetbildung verhindern.

Um die Einflüsse der Viskosität auf die Blasendynamik zu untersuchen, wurde in [71] ein

Finite-Volumen-Verfahren in Verbindung mit einer Oberflächenmarkermethode benutzt. Der

qualitative Vergleich mit Messreihen zeigt eine gute Übereinstimmung der Blasenkontur bis

zum Wiederaufschwingen: Das berechnete Volumen ist deutlich größer als das experimentell

ermittelte. Die Autoren schließen daraus, dass Viskositätals Dämpfung alleine nicht ausreicht,

sondern Kompressibilitätseffekte wichtig sind. Weitere Abweichungen von experimentellen

Ergebnissen werden auch von [95] der Kompressibilität von Fluid und Gas zugeschrieben.

3.3.2. Kompressible Flüssigkeit

Es finden sich nur sehr wenige Simulationen zur Blasendynamik, in denen die Kompressibi-

lität der Flüssigkeit und die Inhomogenität der Gasphase berücksichtigt werden. Zum einen

liegt dies daran, dass bei typischen Laborexperimenten dieKompressibilität nur bei der Bla-

senerzeugung, beim Kollaps und beim Jetaufprall eine wesentliche Rolle spielen. Zum zwei-

ten dürfte der numerische Aufwand, verbunden mit Instabilitäten und Fehlerakkumulierung an

der Grenzfläche eine Rolle spielen, wenn man dies mit der relativ unproblematischen Randin-

tegralmethode vergleicht, die schon wesentliche Ergebnisse liefert. Zur Stoßwelleninteraktion

mit einer zylindrischen Blase, bei der auch entsprechend hohe Machzahlen auftreten, wur-

den Capturing [96], Tracking [47, 97] sowie Lagrangesche Verfahren [98] verwendet. Der

Jetaufprall wird von [96, 98] erfasst.

Mit einer Lagrangeschen Methode wird in [99] der Zyklus einer Dampfblase im Millimeter-

bereich inkl. des Aufschwingens und des Jetaufpralls simuliert. In Wandnähe erhalten sie

einen Druck von bis zu16MPa gemittelt über eine Fläche eines im Experiment benutzten

Drucksensors mit einem Durchmesser von6mm.

35


Die wahrscheinlich von der numerischen und physikalischenModellierung aufwendigste Ar-

beit ist [100], die in rotationssymmetrischen Koordinatenein explizites Finite-Elemente-

Verfahren sowohl für die Fluide als auch für den Festkörper benutzt. Das Gitter wird an der

Gas-Flüssigkeits-Phasengrenze mitbewegt wird, an der eine Art Stoßrohrproblem betrachtet

wird, beim dem die Blase der Niederdruckteil ist und die umgebende Flüssigkeit der Hoch-

druckteil. Beobachtet wird die Ausbreitung von Wellen in Flüssigkeit, Gas und Festkörper.

Jedoch bricht die Berechnung selbst nach einer Verbesserung des Algorithmus in [101] be-

reits zu einem Zeitpunkt ab, an dem der Krümmungsradius der Oberfläche gerade negativ

wird d.h. zu Beginn der Jetentwicklung.

3.4. Schlussfolgerungen

In einem großen Zeitbereich der Blasendynamik ist die Randintegralmethode ein geeignetes

Werkzeug für Untersuchungen. Sie besticht durch geringe Rechenzeiten, da die Dimension

des Problems sich um eins verringert. Zudem werden im Strömungsgebiet selbst kein Rand-

bedingungen benötigt und die unendlich ausgedehnte ebene Wand wird analog zur Spiegel-

ladungsmethode in der Elektrodynamik mit einer Spiegelblase modelliert. Jedoch kann sie

nicht die Entstehung von Stoßwellen wiedergeben. Diese sind jedoch nicht nur wichtig, um

die Differenzen zwischen Experimenten und Simulationen zuerklären [71, 70], sondern sind

auch wesentlich für ein Verständnis der Schädigungsmechanismen beim wandnahen Kollaps.

Einblicke in andere Effekte wie die Bildung eines Gegenstrahls (engl. Counterjet) oder das

gesamte Szenario der abgestrahlten Stoß- und Schallwellen[24, 70] fehlen auf der Simulati-

onsseite noch.

In den heutigen technischen Anwendungen findet Kavitationserosion in der Regel nicht mehr

bei Atmosphärendruck statt. Moderne Direkteinspritzsysteme z.B. arbeiten bei Drücken von10MPa bis über100MPa. Hierbei können wesentlich höhere Machzahlen auftreten. Daher

soll in dieser Arbeit ein Verfahren zur Simulation von Kavitationsblasen vorgestellt werden, in

dem die Medien als kompressibel angenommen werden und bei dem auch innerhalb der Blase

das Strömungsfeld berücksichtigt wird. Folgende Anforderungen werde an ein entsprechendes

Simulationsprogramm gestellt� Lagrangesche Verfahren sind kompliziert in der Beschreibung und Implementierung und

haben bis dato nicht zum Erfolg bei der Blasensimulation geführt. Zudem sind Topo-

36


logieänderungen, um die es hier wesentlich geht, problematisch zu berechnen, und das

Strömungsfeld führt zu extremen Verzerrungen des Gitters an der Grenzfläche. Daher

soll hier einem Eulerschen Verfahren der Vorzug gegeben werden.� Das Volumen der Blase verringert sich im Kollaps etwa um den Faktor 1000 und damit

um 10 in linearen Dimensionen. Zudem tritt beim Kollaps einestarke Druckerhöhung

mit hohem Druckgradienten in Richtung der freien Grenzfläche unmittelbar oberhalb

der Blase auf. Diese Bereiche verlangen eine hinreichend gute Auflösung.� Aufgrund der Dichtesprünge um den Faktor 1000 sollte kein Verfahren benutzt werden,

das die Phasengrenze verschmiert.� Da auch heutzutage die Berechnung von mehrkomponentigen Strömungen mit extremen

Dichtesprüngen nicht unproblematisch ist [66], werden zunächst einfache physikalische

Modelle bevorzugt. Die Simulationen sollen ein Einblick indie Abläufe der Dynamik

geben und die Größenordnung von Zustandsgrößen aufzeigen,nicht jedoch die exakten

Werte berechnen.

Das einzige Eulersche Verfahren, bei dem sich die Phasengrenze innerhalb einer Gitterzelle

befindet und während der Rechnung nicht verschmiert, ist dieVOF-Methode. Ein Grenz-

flächentracking wäre auch denkbar, jedoch ist hier die Implementierung besonders aufwen-

dig, und Topologieänderungen sind wiederum nicht unproblematisch. Daher wird hier der

VOF-Methode der Vorzug gegeben. Für Blasen in einer inkompressiblen Strömung wird die

Randintegralmethode benutzt.

37

4. Ein Godunov-Verfahren zurBerechnung mehrkomponentigerFluide

In der Mitte des vergangenen Jahrhunderts stellte sich das Problem, wie hyperbolische Er-

haltungsgleichungen numerisch zu lösen sind, bei denen sich Unstetigkeiten selbst bei konti-

nuierlichen Anfangs-und Randbedingungen ergeben. Upwind-Verfahren erster Ordnung stel-

len einen ersten Ansatz dar. Jedoch verschmieren sie Unstetigkeiten stark, da sie in zweiter

Ordnung eine diffusive Transportgleichung approximieren, deren Diffusionskonstante propor-

tional zur Gitterweite ist. Verfahren zweiter Ordnung sindweniger diffusiv, approximieren

jedoch analog in dritter Ordnung dispersive Wellengleichungen, so dass an Unstetigkeiten

unphysikalische Oszillationen auftreten. Diese können reduziert oder aufgehoben werden, in-

dem künstlich Viskosität hinzugefügt wird, oder ein Verfahren erster Ordnung mit dem höherer

Ordnung linear verknüpft wird [102]. Ein weiterer Ansatz wurde Ende der fünfziger Jahre des

vergangenen Jahrhunderts von S.K. GODUNOV entwickelt. Dabei wird das Problem durch die

Lösung von Riemann-Problemen auf den Zellrändern approximiert. Außerdem zeigte er, dass

lineare, die Monotonie der Lösung erhaltende Verfahren allerhöchstens von erster Ordnung

sein können. Aufgrund der Approximation erster Ordnung undder für die damaligen Ver-

hältnisse sehr rechenintensiven Ermittlung der Riemann-Lösungen für Systeme von partiellen

Differentialgleichungen dauerte es fast zwanzig Jahre, bis mit der Einführung eines nichtli-

nearen Schemas durch B.VAN LEER und approximativen Riemann-Lösungen diese Methode

auf größeres Anwendungs- und Forschungsinteresse stieß. Einen Überblick findet man z.B. in

[57]. In dieser Arbeit wird ein Verfahren zweiter Ordnung zur Lösung der Eulergleichungen

benutzt.

Bei dem hier verwendeten Eulerschen Verfahren bewegt sich die Phasengrenzfläche über das

38

4. Ein Godunov-Verfahren zur Berechnung mehrkomponentiger Fluide

Gitter hinweg, so dass es immer eine bestimmte Anzahl von Zellen gibt, in denen sich sowohl

ein flüssiger als auch eine gasförmiger Phaseanteil befindet. Diese Zellen müssen gesondert

modelliert werden. Ansätze für diese Modellierung findet man in der theoretischen Beschrei-

bung mehrphasiger Flüssigkeiten. Solche Fluide, die eine heterogene Struktur und eine hohe

Anzahl von Grenzflächen besitzen, werden in der mathematischen Beschreibung im Rahmen

der Kontinuumsmechanik homogenisiert, da die Lage und der Zustand der einzelnen Bestand-

teile (z.B. Blasen oder Partikel in der Strömung) nicht einzeln erfasst werden können oder eine

spezielle Konfiguration nicht entscheidend für die relevanten Effekte ist. Daher werden ge-

eignete Mittelungsverfahren verwendet [10], die in einem Satz von Erhaltungsgrößen und den

zugehörigen Erhaltungsgleichungen für jede Phase resultieren. Die Phasen nehmen zusam-

men das Volumen des Fluid ein und durchdringen sich gegenseitig. Abgeschlossen wird das

System durch Relationen für die inter- und intraphasigen Wechselwirkungen für jede Phase.

In dieser Arbeit wird im Rahmen der Modellierung angenommen, dass zwischen den zwei

Phasen kein Massenaustausch stattfindet und die Grenzflächesich mit der Strömung mitbe-

wegt. Weiterhin wird ein mechanisches Gleichgewicht der Phasen in der Zelle vorausge-

setzt. Letztenendes bedeutet dies, dass die Zellengrößen hinreichend klein im Vergleich zu

den Druckgradienten an der Fluidgrenze sein sollten. Das Verfahren verschmiert also gewisse

Strukturen in Grenzflächennähe. Diese Ortsunschärfe der Strukturen ist typisch für Eulersche

Verfahren, führt jedoch in Anwesenheit scharfer Grenzflächen zu Druckoszillationen, so dass

diese Verfahren am Rand modifiziert werden müssen [66]. Eulersche Verfahren haben jedoch,

wie im vorherigen Kapitel dargelegt wurde, gerade bei der Berechnung kollabierender Blasen

entscheidende Vorteile. Um die Verschmierung der scharfenPhasengrenzfläche entgegenzu-

wirken, wird das Godunov-Verfahren mit einem VOF-Algorithmus kombiniert.

Das hier vorgestellte Godunov-Verfahren ist ein explizites, konservatives Finite-Differenzen-

Verfahren zweiter Ordnung und orientiert sich an der Arbeit[69]. Der VOF-Algorithmus ist

nach den Konzepten von [67] im Bereich der geometrischen Berechnungen ausgerichtet. In

diesem Kapitel werden die einzelnen Schritte des Verfahrens vorgestellt.

39


z

r

Wand

Gas

Flüssigkeit

Abbildung 4.1.: Schematische Darstellung des Rechengebiets. Es ist symmetrisch bzgl. derz-Achse und durch Vierecke diskretisiert. Der Bereich links der Symmetrie-achse wird nicht berechnet. Dieser wird hier wie bei der Darstellung derRechenergebnissen nur aus Gründen der Anschaulichkeit berücksichtigt. Dieschraffierte Fläche stellt eine feste Wand beiz = 0 dar. Der grau unterlegteKreis zeigt exemplarisch eine sphärische Blase auf der Symmetrieachse, wiesie in Kapitel 6 als Anfangsbedingung gewählt wird.

4.1. Mathematische Modellierung der Fluide

4.1.1. Modellgleichungen

Im Folgenden nehmen wir an, dass sich die Flüssigkeitsströmung in dem uns interessieren-

den Gebiet zylindersymmetrisch bzgl. der vertikalen Achseverhält (vgl. Abb. 4.1) und die

konvektiven Kräfte über viskose, kapillare und gravitative Effekte dominieren, so dass die-

se vernachlässigt werden können. Diese Annahmen sind in Kapitel 3.2.1 begründet worden.

Zudem sollen Phasenumwandlung und Diffusionsprozesse vernachlässigt werden. Dann lässt

40


sich die Strömung durch die Eulerschen Gleichungen1 in Zylinderkoordinaten�U�t + 1r �rF1(U)�r + �F2(U)�r + �G(U)�z = 0 (4.1)

mit den Erhaltungsgrößen

U = 0BB� ��u�v�E 1CCA (4.2)

und den Flussfunktionen

F1(U) = 0BB� �u�u2�uvu(�E + p) 1CCA ; F2(U) = 0BB� 0p00 1CCA ; G(U) = 0BB� �v�uv�v2 + pv(�E + p) 1CCA (4.3)

darstellen. Es bezeichnen� die Dichte des Mediums,u undv die Geschwindigkeiten in ra-

dialer bzw. vertikaler Richtung,E = e + 12(u2 + v2) die gesamte spezifische Energie (e ist

die spezifische innere Energie),p den Druck undr den radialen Abstand von der z-Achse.

Die Eulerschen Gleichungen geltensowohlfür die flüssigeals auchfür die gasförmige Phase.

Nur in den Zellen, die die Grenzfläche und damit zwei verschiedene Phasen enthalten, werden

diese Gleichungen modifiziert. Im Folgenden wird daher nur dort, wo es zwingend nötig ist,

explizit auf die spezielle Phase Bezug genommen. In Kapitel4.1.3 werden die Gleichungen

eingeführt, die für die mehrphasigen Zellen, in denen sich die Phasengrenze befindet, benötigt

werden.

4.1.2. Zustandsgleichungen

Um das Gleichungssystem (4.1) vollständig zu bestimmen, reicht eine Relation der Formp = p(�; e), da Wärmeleitung vernachlässigt wurde. Eine solche Beziehung nennt man eine

unvollständige Zustandsgleichung [103] im Gegensatz zu einer vollständigen Zustandsglei-

chung der Forme = e(s; �) mit der spezifischen Entropies.Eine sehr häufig verwendete Zustandsgleichung für kaltes Wasser ist die Tait-Gleichung [104]p+Bp0 +B = � ��0��

(4.4)

1Auf Leonhard Euler (1707-1783) gehen streng genommen nur die Impulsgleichungen zurück, jedoch ist esdurchaus üblich, diese Bezeichnung für das komplette Gleichungssystem zu verwenden.

41


(a) (b)

Abbildung 4.2.: (a) Relative Dichtedifferenzen zwischen der aus der Tait-Gleichung ermittel-ten Dichte�T und der aus der steifen Gasgleichung ermittelten Dichte�S fürDrucksprünge mit dem Referenzdruckp0 = 0; 1MPa. Der Wert für�S ergibtsich aus Gleichung (4.38). (b) Zu (a) gehörige relative Abweichungen vonder Tait-Gleichung.

mit den Parametern� = 7; 15 undB = 305MPa. p0 und�0 definieren einen Referenzzustand.

Da in diesem Fallp = p(�) ist, sind die Zustandsänderungen isentrop und die Energieglei-

chung wäre überflüssig. Nach [104] weicht diese Gleichung bis 10GPa nur wenige Prozent

von experimentell ermittelten Werten ab. Kleine Dichteänderungen führen zu großen Druck-

änderungen und umgekehrt: Die Flüssigkeit ist nur schwach kompressibel. Eine Atmosphäre

Druckunterschied führt zu Dichteunterschieden von nicht einmal einem Promille.

Bei nur geringen Dichteunterschieden wird oft auch die sogenannte steife Gasgleichungp = (�� 1)�e� �B (4.5)

verwendet (vgl. z.B. [47, 97]), die aus einer allgemeinerenGrüneisen-Zustandsgleichung ab-

geleitet werden kann [105]. Der Name stammt von der Zustandsgleichung für ein polytropes

Gases p = (�� 1)�e (4.6)

ab, der um einen Steifigkeitsterm ergänzt wurde.� ist in diesem speziellen Fall das konstante

Verhältnis der spezifischen Wärmen. Diese Gleichung ist nicht zu verwechseln mit der poly-

tropen Zustandsgleichung, die identisch zur Tait-Gleichung (4.4) mitB = 0 ist. Für den Fall

isentroper Zustandsänderungen geht die steife Gasgleichung in die Tait-Gleichung (4.4) über,

42


denn mit e = p+ �B(�� 1)� (4.7)

folgt Td s = de + p d�1�� = p+B(�� 1)� d ln�p +B�� ; (4.8)

so dassp+B�� auf Isentropen konstant ist. Da die Entropieänderungen selbst bei Stoßwellen mit

starken Druckunterschieden gering sind, sind diese beidenZustandsgleichungen im wesentli-

chen gleichwertig (siehe Abb. 4.2).

Als Modell für eine Flüssigkeit wird in dieser Arbeit ein Medium gewählt, dass der steifen

Glasgleichung 4.5 mit den Parametern� = 7; 15 undB = 305MPa genügt. Für die gasför-

mige Phase wird das Gasgesetz (4.6) mit� = 1; 3 angenommen. Diese Wahl vereinfacht den

Lösungsalgorithmus. Komplexere Zustandsgleichungen findet man z.B. in [106, 107].

4.1.3. Modellierung des Mehrphasensystems für die Zellen a nder Phasengrenzfläche

Die Zellen, in denen sich die Phasengrenzfläche befindet, besitzen eine im Vergleich zu den

einphasigen Zellen eine Unterstruktur, die eine andere Modellierung verlangt. Eine wichtige

Kenngröße in diesen Zellen ist die Volumenfraktion, die denZustand in den Mehrphasenzellen

mitbestimmt und weiterhin für den VOF-Algorithmus benötigt wird. Die VolumenfraktionCkder k-ten Fluidkomponente2 ist eine Diskretisierung der charakteristischen Funktionund ist

durch das VolumenVk gegeben, das sie in einem gegebenen VolumenV einnimmt:Ck = VkV : (4.9)

Es gilt V = Pk Vk oder äquivalentPk Ck = 1. Aufgrund von Massen-und Energie-

erhaltung sind die Materialdichte und die Gesamtenergiedichte durch� = Pk Ck�k bzw.�E = Pk Ck�kEk gegeben. In der Beschreibung der Flüssigkeit mit den Eulerschen Glei-

chungen (4.1) wird also zunächst die Flüssigkeit als homogene Phase angenommen, deren

Struktur sich erst aus der Volumenfraktion erschließt. Dies ist typisch für die Modellierung

2Die Bezeichnung mitC rührt daher, dass die Volumenfraktion in der Literatur oft auch als Farbfunktion bzw.Colorfunktion bezeichnet wird, da man die verschiedenen Flüssigkeitskomponenten bei der Darstellung ein-färbt. Ansonsten ist bei Mehrphasenströmungen die Bezeichnung mit� üblich, so wie sie in Kapitel 2 benutztwurde.

43


mehrphasiger Fluide, bei denen die einzelnen Phasen statistisch beschrieben werden [10]. Für

das Materialgesetz (4.5) müssen im Rahmen der Modellierungdie effektiven Modellparameter� undB des Gemisches in den Mehrphasenzellen in Abhängigkeit von der Volumenfraktion

bestimmt werden. Man nimmt also an, dass sich ein homogenes Gemisch mehrerer Phasen,

die alle eine Zustandsgleichung der Form (4.5) besitzen, durch eben diese Zustandsgleichung

mit den effektiven Parametern� undB beschreiben lässt. Im Rahmen dieser Arbeit inter-

essieren zweiphasige Fluide, was die Ableitung der folgenden Relationen vereinfacht. Man

nimmt an, dass in einem kleinem VolumenV zwei Fluidkomponenten vorliegen, die sich im

mechanischen Gleichgewicht befinden. Ohne Berücksichtigung von Viskosität und Oberflä-

chenspannung bedeutet dies eine Gleichheit der Drücke auf beiden Seiten der Grenzfläche,

alsop1 = p2. Die Zustandsgleichung liefert dann:p = (� � 1)�e� � B = (� � 1)�C1p1 + �1B1�1 � 1 + C2p2 + �2B2�2 � 1 �� B = (� � 1) � C1�1 � 1 + C2�2 � 1� p+ � � 1�1 � 1�1B1C1 + � � 1�2 � 1�2B2C2 � � B :Daraus folgt die Gleichung�1� (� � 1)� C1�1 � 1 + C2�2 � 1�� p = � � 1�1 � 1�1B1C1+ � � 1�2 � 1�2B2C2�� B ; (4.10)

die durch � � 1 = 1C1�1 � 1 + C2�2 � 1 (4.11)� B = � � 1�1 � 1�1B1C1 + � � 1�2 � 1�2B2C2 (4.12)

identisch erfüllt wird.

Die Kontinuitätsgleichung für die Phase k,� Ck�k�t + div (Ck�ku) = 0 ; (4.13)

lässt sich zu einer Erhaltungsgleichung für die Volumenfraktion umformulieren:� Ck�t + div (Cku) = �Ck�k d�kdt : (4.14)

44


Dabei istu = (u; v) der Geschwindigkeitsvektor undddt die substanzielle Ableitung nach der

Zeit. Können die Strömungskomponenten als inkompressibelangenommen werden, so ver-

schwindet die rechte Seite, so dass das Gesamtvolumen der Phase damit eine Erhaltungsgröße

ist. In inkompressiblen Strömungen ist die Massenerhaltung gleichbedeutend mit der Volu-

menerhaltung. In kompressiblen Strömungen ist dies dagegen nicht der Fall. Üblicherweise

wird angenommen, dass die relative Dichteänderung gleich der lokalen Quellstärkediv u des

Strömungsfeldes ist, was streng genommen nur für einphasige Medien gilt. Somit erhält man

die Transportgleichung � Ck�t + urCk = 0 ; (4.15)

die den Transport der Grenzfläche mit der Fluidgeschwindigkeit beschreibt. Da sich das spe-

zifische Volumen der Phasen jedoch verändert, stellt dies eine erste Approximation dar. Durch

ein Druckrelaxationsverfahren am Ende eines jeden Zeitschritts wird diese Gleichung nume-

risch jedoch noch modifiziert (vgl. Kapitel 4.4.4). Aufgrund der Annahme einer einzigen

Geschwindigkeitu für das mehrphasige Medium sind die Gleichungen für den Impulserhalt

identisch zu den einphasigen Gleichungen mit der effektiven Dichte� =Xk Ck�k : (4.16)

Für die Energiegleichung einer Phase wäre der Ansatz�Ck�kEk�t + div(Cku(�kEk + p)) = �k (4.17)

mitPk �k = 0 sinnvoll. Die�k sind dabei Funktionen, die nur von den Zuständen der Phasen

abhängen und den Druckausgleich zwischen diesen beschreiben. Diese Gleichung ist nicht

nur sinnvoll, weil sie in der Summe über die Phasen die Energiegleichung (4.1) wiedergibt,

sondern auch weil sie den Energietransport und die Volumenarbeit der jeweiligen Komponen-

te an der eigenen Phase korrekt wiedergibt, und sie in dieserForm konservativ diskretisiert

werden kann. Dies hat sich im Rahmen dieser Arbeit jedoch alsinstabil herausgestellt, wofür

vermutlich die Riemann-Lösungen für das modellierte Gemisch verantwortlich sind. Die Pa-

rameterunterschiede für Wasser und Luft in der Zustandsgleichung (4.5) sind erheblich, und

Fehler machen sich im extrem weniger dichten Medium Gas eherbemerkbar. Daher wird

hier die Energiegleichung ähnlich dem Ansatz aus [69] gewählt, der zwar in der Summe die

Gesamtenergie des Gemischs wiedergibt, jedoch nicht konservativ diskretisiert werden kann:�Ck�kEk�t + div(uCk�kEk) + Ck�k� urp + Ckp div(u) = 0 : (4.18)

45


Für große Dichteunterschiede wird die Beschleunigungsarbeit urp im wesentlichen dem

dichteren Medium zugesprochen, was der Stabilität zugute kommt. Analog zur Transport-

gleichung (4.15) erfolgt eine numerische Modifikation durch ein Relaxationsverfahren, was

einer Modellierung der Funktionen�k in Gleichung (4.17) entspricht, und somit der durch

Gleichung (4.18) induzierten Energie-Umverteilung wieder entgegenwirkt.

4.2. Numerische Modellierung

Das numerische Verfahren setzt sich aus mehreren Schrittenzusammen: Zunächst werden im

Strömungsgebiet der Druck über die Zustandgleichungen bestimmt, die die volumenfraktions-

abhängigen Parameter erhalten. Darauf werden die quasi einphasigen Eulergleichungen (4.1)

mit einem konservativen Finite-Differenzen-Verfahren gelöst und anschließend im Rahmen

der Mehrphasenmodellierung in Kapitel 4.1.3 die grenzflächennahen Zellen über einen VOF-

Algorithmus aktualisiert. In den folgenden Kapiteln wird dieses Verfahren näher erörtert.

4.2.1. Godunov-Verfahren zur Lösung der Eulergleichungen

Die konservativen VariablenU (vgl. Gleichung (4.2)) im Berechnungsgebiet werden zunächst

auf einem rechteckigen Gitter in der Art diskretisiert, dass die diskreten VariablenUi;j Mit-

telwerte über die jeweilige Zelle darstellen und in deren Mittelpunkt lokalisiert sind. Die

horizontalen und vertikalen Gitterlinienabstände�r und�z seien für jede Zelle(i; j) iden-

tisch, und(ri; zj) bezeichne den jeweiligen Mittelpunkt der Zellen. Zur Lösung des zwei-

dimensionalen Problems werden die Eulergleichungen (4.1)in die zwei eindimensionalen

Gleichungssysteme �U�t + 1r �rF1(U)�r + �F2(U)�r = 0 (4.19)�U�t + �G(U)�z = 0 (4.20)

aufgeteilt und diese nacheinander in der Sequenz (4.19),(4.20),(4.20),(4.19) gelöst (Strang-

Splitting [57]). Daher wird im Folgenden nur die Lösung des radialen Gleichungssystems

(4.19) behandelt, so dass aus Gründen der Übersichtlichkeit der Indexj entfällt. Das Ver-

fahren für die vertikale Richtung ergibt sich analog. Godunov-Verfahren diskretisieren die

46


Erhaltungsgleichungen (4.19,4.20) in der Art, dass die FlussfunktionenF1, F2 undG mit Hil-

fe der Lösung von Riemann-Problemen auf den Zellränder approximiert werden [57]. Aus

den diskreten WertenUi = U(ri) werden zunächst an jedem Zellrand rechtsseitige und links-

seitige WerteURi+1=2 undULi+1=2 rekonstruiert, und das dazugehörige Riemannproblem gelöst,

dessen Lösung mitUn+1=2i+1=2 bezeichnet wird. Das Riemann-Problem wird in Kapitel 4.2.2.2

diskutiert. Die Lösung der Gleichungen (4.19) zum Zeitschritt n+1 ergibt sich dann aus dem

Zeitschrittn zu

Un+1i = Uni + 1ri �t�r hri�1=2F1(Un+1=2i�1=2 )� ri+1=2F1(Un+1=2i+1=2 )i+ �t�r hF2(Un+1=2i�1=2 )� F2(Un+1=2i+1=2 )i : (4.21)

Hier ist�t die Zeitschrittweite. In analoger Weise wird Gleichung (4.20) gelöst. Die Diskre-

tisierung ist konservativ, d.h. in einem abgeschlossenen System bleiben die integralen Erhal-

tungsgrößen konstant. Dieser Punkt ist wesentlich, denn nichtkonservative Diskretisierungen

können zu fehlerhaften Stoßgeschwindigkeiten führen [57].

4.2.2. Das Riemann-Problem auf den Zellenrändern

Das Riemann-Problem ist gegeben durch die Eulergleichungen (4.1) in Verbindung mit den

stückweise konstanten Anfangsdaten

U(r; 0) = � UL : r < 0UR : r > 0 : (4.22)

Da die Zustandsgleichung (4.5) konvex ist, treten bei diesem Problem nur drei Arten von Wel-

len auf: Stoßwellen, Expansionsfächer und Kontaktunstetigkeiten [103]. Über eine Stoßfront

ändern sich alle relevanten Größen unstetig. Bei einer Kontaktunstetigkeit ändern sich nur

Dichte und spezifische innere Energie unstetig, während Geschwindigkeit und Druck kon-

stant bleiben. Über den Expansionsfächer ändern sich alle Größen stetig, die Zustandsände-

rungen sind isentrop. Daher werden bei der Lösung des Riemannproblems zunächst Druck

und Geschwindigkeit an der Kontaktunstetigkeit bestimmt,worauf dann die Ermittlung des

Dichtesprungs erfolgt. Beim Riemann-Problem (4.22) treten Stöße und Expansionswellen je

nach Anfangsbedingung in allen Variationen immer in Verbindung mit einer Kontaktunstetig-

keit auf, deren Geschwindigkeit zwischen denen der Wellen liegt,auf. Die Lösung hängt nur

von xt ab, sie ist also eine Ähnlichkeitslösung (siehe Abb. 4.3).

47


X

*t S,EK

S,E

UL UR

ULUR

# #

Abbildung 4.3.: Schematische Darstellung der Lösungen desRiemann-Problems in der x-t-Ebene. Es tritt jeweils ein links- bzw. rechtslaufender Stoß oder Expansi-onsfächer auf, zwischen denen sich eine Kontaktunstetigkeit befindet. DieLösung ist stückweise konstant auch in den BereichenU#L und U#R , wobeisich die Größen über den Expansionsfächer stetig ändern. Gesucht ist dieLösung auf dem Zellenrand, der durch den Stern gekennzeichnet ist.

Bevor auf den Zellenrändern das Riemann-Problem gelöst werden kann, müssen die Anfangs-

datenULi+1=2 und URi+1=2 für jeden Rand definiert werden. Dies geschieht durch eine raum-

zeitliche Rekonstruktion der Lösung zur halben Zeitschrittweite.

4.2.2.1. Rekonstruktionsverfahren zur Ermittlung der Ein gangsdaten

Durch die Verwendung von RiemannlösungenUn+1=2i+1=2 zur Mitte des Zeitschrittes ist die hier

vorgestellte Methode bei entsprechender Berechnung der ZuständeULi+1=2 und URi+1=2 von

zweiter Ordnung in der Zeit. Zur Berechnung dieser Zuständewird die Gleichung (4.20) in

eine quasilineare Form �q�t + A�q�r = Q (4.23)

unter Verwendung der primitiven Variablenq = 0BB� �uvp 1CCA (4.24)

48


(a) (b)q

rr ri+3/2ri-5/2

ri-3/2

ri-1/2i-1/2 ri+1/2

t

rr r

t

u+

cu

u-c

U+

cu

u-c

t

t

i-1/2 i+1/2

n+1/2

n+1

n

Abbildung 4.4.: Zur Ermittelung der RandwerteUL undUR in der Mitte der Zeitschrittes sind(a) eine räumliche und (b) eine zeitliche Rekonstruktion notwendig. (a) Dieim Zellenmittelpunkt definierten Werteqi werden als Zellmittelwerte ange-sehen. Beim Godunov-Verfahren erster Ordnung sind diese Größen konstantüber die Zelle (schraffierte Flächen). Bei Verfahren höherer Ordnung werdendie Gradienten so rekonstruiert, dass keine neuen Maxima entstehen, so dassje nach Glattheit der Funktion die Ordnung der Approximation verschiedenist. Anschließend wird wie in (b) dargestellt in jeder Zellemit dieser Ver-teilung eine lineare Wellengleichung gelöst, die die Werteauf den Rändernliefert. Dies kann praktisch als eine Verfolgung der Charakteristiken gedeutetwerden.

umgewandelt [108]. Die MatrixA und der Vektor der QuelltermeQ sind durchA = 0BB� u � 0 00 u 1=� 00 0 u 00 � 2s 0 u 1CCA Q = ��ur �0BB� 100 2s 1CCA (4.25)

gegeben und werden aus den Zellmittelwerten zum Zeitschritt n ermittelt. Die isentrope

Schallgeschwindigkeit s =s �p�� S =s�p+B� (4.26)

ergibt sich aus der Zustandsgleichung (4.5). Mit Hilfe einer Diskretisierung erster Ordnung

der Wellengleichung (4.23) lassen sich ausgehend von den Zellenmittelpunkten die Zellen-

randwerte der primitiven Variablenq ermitteln. Dabei dürfen nur die Wellenanteile berück-

sichtigt werden, die ausgehend vom Zellenmittelpunkt in Richtung des jeweiligen Zellenran-

des laufen. Die Wellengeschwindigkeiten sind durch die Eigenwerte der MatrixA gegeben.

49


Die EigenwertzerlegungA = R�R�1 liefert die Diagonalmatrix� und die zugehörigen Ma-

trix der rechten EigenvektorenR :� = 0BB� u 0 0 00 u 0 00 0 u� s 00 0 0 u+ s 1CCA R = 0BB� 1 0 � �0 0 � 0 1 0 00 0 � 2s � 2s 1CCA : (4.27)

Durch die Wellengleichung (4.23) werden also Materiewellen der Geschwindigkeitu und aku-

stische Wellen der Geschwindigkeitu� s beschrieben. Die Randwerte der primitiven Varia-

blenq ergeben sich dann aus der folgenden Diskretisierung der Wellengleichung (4.23):qn+1=2i�1=2 = qni + 12 (�� rI ��t R��R�1)qr + �t2 Q : (4.28)

Dabei istI die Einheitsmatrix und�� die Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen��k;k = �max(��k;k; 0) (4.29)

undqr eine Approximation der Gradienten der primitiven Variablen q in der i-ten Zelle. Die

Matrizen und Quellterme werden aus den zellenzentrierten Werten zum Zeitschrittn berech-

net. Damit sind für jede Zelle die Werte der primitiven Variablen auf den Zellenrändern rekon-

struiert worden, woraus sich für jeden Zellenrand zwei ZuständeULi+1=2 undURi+1=2 ergeben.

Das Verfahren für die z-Richtung funktioniert unter Auslassung der Quellterme analog.

Die Berechnung der Gradienten erfordert einige Umsicht, dazu den Lösungen der Euler-

gleichungen (4.1) auch Stoßwellen gehören können, an denensich die Strömungsvariablen

sprunghaft ändern und der Gradient nicht mehr definiert ist.Diskretisierungen hoher Ord-

nung führen zu fehlerhaften Oszillationen an Sprungstellen, sind jedoch weit weniger diffu-

siv, was für die Auflösung von Stoßwellen in mehreren Dimensionen essentiell ist. Ferner

vermindert es den Phasenfehler bei hinreichend glatter Strömung [109]. Entscheidend bei der

Abschätzung der Gradienten ist, dass die lineare Rekonstruktion der Variablen zwischen den

Zellmittelpunkten monoton ist, d.h. dass sich die auf den Rand extrapolierten WerteqL;R;i+1=2zwischen den Wertenqi und qi+1 befinden. Ein nichtlineares Verfahren, das entsprechend

der Strömungsform umschaltet, wird als Neigungsbegrenzungs-Schema (engl. slope limiting

scheme) bezeichnet. Das Van-Leer-Schema [110]j�vLr;i j = � min(12 j�i+1 � �i�1j; 2j�i+1 � �ij; 2j�i � �i�1j)=�r : (qi+1 � qi)(qi � qi�1) > 00 : sonst(4.30)

50


mit � 2 q basiert auf einer Approximation durch finite Differenzen und ist von zweiter Ord-

nung im Raum. Das Vorzeichen wird durch die zentrale Differenz �i+1 � �i�1 bestimmt.

Nach [111] kann es zu einem Schema vierter Ordnung erweitertwerden:�IVr;i = 23�r ��i+1 � �r4 (�vLr;i+1 + �vLr;i�1)� �i�1� (4.31)

Dieses Verfahren gibt u.U. bei zu starken Stößen nicht die korrekte Lösung wieder [112], so

dass als zusätzlicher Dissipationsmechanismus eine Reduzierung der Gradienten bei starken

Druckgradienten nach einem Ansatz aus [69] durchgeführt wird. Als Maß für die Stoßstärke

wird der Parameter zs = jpi+1 � pi�1j�k 2s;k (4.32)

eingeführt, der wiederum die Größe~�i = 8><>: 0 : zs > z1z1 � zsz1 � z0 : z1 > zs > z01 : zs < z0 oder ri�1ui�1 < ri+1ui+1 (4.33)

bestimmt. Die Parameterz0 undz1 sind frei wählbare Parameter, für die die Wertez0 = 0:01undz1 = 0:1 gewählt wurden. Der Parameter~�i liegt zwischen Null und Eins, wobei er nur

dann kleiner als Eins ist, wenn eine komprimierende Strömung (div u < 0) vorliegt und der

Drucksprung zwischen zwei Zellen zu groß wird. Je nach Richtung des Druckgradienten wird

dann der Endwert �i = � min(~�i�1; ~�i) : pi�1 < pi+1min(~�i; ~�i+1) : sonst (4.34)

definiert und der resultierende Gradient nach der Formel�r;i = �imin(j�IVr;i j; j�vLr;i j) � sign(�i+1 � �i�1) (4.35)

berechnet. An Unstetigkeiten wird das Godunov-Verfahren auf ein Verfahren erster Ordnung

reduziert, bei hinreichend glatter Lösung ist es von vierter Ordnung.

Da das Verfahren explizit ist, unterliegt die Zeitschrittweite�t eine durch die Signalgeschwin-

digkeiten bedingte Obergrenze. Eine Abschätzung für die maximale Signalgeschwindigkeit

in jedem Zeitschritt ist max = maxi (juij+ i), so dass die Beziehung max�t�r = C fl � 1 (4.36)

51


mit dem nach Courant, Friedrichs und Levy benannten ParameterC fl gelten muss (vgl. z.B.

[57]). Für die zweidimensionalen Simulationen wird in die Berechnung der Zeitschrittweiten

natürlich auch die Geschwindigkeitv in z-Richtung sowie die Gitterweite�z berücksichtigt.

Die CFL-Zahl muss so gewählt werden, dass sie einen gültigenZeitschritt für die vier eindi-

mensionalen Integrationsschritte gewährleistet.

4.2.2.2. Lösung des Riemann-Problems

Die mehrheitliche Anzahl der Godunov-Verfahren berechnenunmittelbar die Flussfunktio-

nen in Gleichung (4.21) mit einem approximativen Riemann-Löser, in denen ein nichtlineare

Flussbegrenzung eingebaut ist. Diese sind äquivalent zu den Neigungsbegrenzungen, liefern

jedoch nicht die primitiven Variablen. Da für das VOF-Verfahren die Werte der primitiven Va-

riablen auf den Zellenrändern mit genügend hoher Genauigkeit bekannt sein müssen, werden

hier die Riemann-Probleme explizit gelöst. Die Gleichungen sind nichtlinear, daher wird ein

iteratives Verfahren verwendet. Für das Godunov-Verfahren wird die Lösung der Riemann-

Probleme nur zu einem bestimmten Zeitpunkt auf den Zellenrändern verlangt. Daher spielen

die geometrisch bedingten Quellterme auf der radialen Achse keine Rolle, so dass man sich

auf das ebene Riemann-Problem beschränken kann.

An Unstetigkeitsstellen gelten nicht die Eulerschen Gleichungen in ihrer differenziellen Form,

sondern die integralen Beziehungen für Massen-, Impuls- und Energieerhaltung. Die so ge-

wonnenen Relationen heißen Rankine-Hugoniot’sche Sprung-Bedingungen [44, 103]. Die

Herleitung dieser Bedingungen ebenso wie die der folgendenBeziehungen sind relativ um-

fangreich und eher technischer Natur. Daher wird hier darauf verzichtet. Aufgrund der Ähn-

lichkeit zwischen der steifen Gasgleichung (4.5) und der für das polytrope Gas (4.6) sind die

Herleitungen und Ergebnisse ähnlich zu denen für das polytrope Gas [44]. Aus den Energie-,

Impuls- und Massenerhaltungssätzen lässt sich z.B. die Beziehunge� eo + 12(p+ p0)(1� � 1�0 ) = 0 (4.37)

herleiten zwischen der spezifischen inneren Energieeo, dem Druckp0 und der Dichte�0 vor

dem Stoß und den entsprechenden Größen nach dem Stoß [44]. Wegen der Zustandsgleichung

(4.5) ist die Dichteänderung über den Stoß durch��0 = �+ 1�� 1 p +Bp0 +B + 1� + 1�� 1 + p+Bp0 +B (4.38)

52


bestimmt. Für den unendlich starken Stoßp ! 1 ergeben sich damit maximale Dichteän-

derungen um den Faktor 6 für das ideale Gas mit� = 1; 4 bzw. etwa 1,33 für Wasser mit� = 7; 15. Der Massestromm > 0 über die Stoßfront, die sich mit der Geschwindigkeit�sbewegt, muss stetig sein,�(u� �s) = �0(u0 � �s) = �m ; (4.39)

wobei das Minuszeichen für eine sich in positiver x-Richtung bewegende Stoßwelle gilt. In

Verbindung mit dem Impulssatz ergeben sich die Gleichungenm2 + p� p01=�� 1=�0 = 0 (4.40)�m(u� u0) + p� p0 = 0 : (4.41)

Die Dichterelation (4.38) ergibt mit Gleichung (4.40)m = p��0(p0 +B) �� + 12� r + �� 12� �1=2(4.42)r = p+Bp0 +B � 1 :

Zwischen der Stoßgeschwindigkeitus = ju� �sj und der Partikelgeschwindigkeitup = ju�u0j ergeben sich aus Gleichung (4.39) und Gleichung (4.40) die Relationenupus = �� 0� und up � us = p� p0�0 (4.43)

Mit der Zustandsgleichung (4.5) und der Dichterelation (4.38) lassen sich nach längerer Rech-

nung Druck und Dichte eleminieren:us =r 20 + �+ 12 u2p + � + 12 up : (4.44)

Über Verdünnungsfächer sind die Zustandsänderungen isentrop, und es gelten die Relationen

(4.4) sowie du� 1� sdp = 0 (4.45)

für die nach links bzw. rechts sich mit der Geschwindigkeitu� s ausbreitenden Wellen. Die

Dichte und die isentrope Schallgeschwindigkeit lassen sich mit der Zustandsgleichung (4.4)

53


aus dieser Gleichung eleminieren, so dass formal Gleichung(4.41) gilt mitm = p��0(p0 +B)�� 12� 1� r1� r ��12� � (4.46)r = p+Bp0 +B < 1 :Damit lässt sich für das Riemann-Problem (4.22) aus den Gleichungen (4.41) das System�mR(uR � u�) + (pR � p�) = 0 (4.47)+mL(uL � u�) + (pL � p�) = 0 (4.48)

für den Druckp = p� und die Geschwindigkeitu = u� an der Kontaktunstetigkeit aufstellen,

woraus sich die Relationenp� = uL � uR1=mL + 1=mR + mLpR +mRpLmL +mR (4.49)u� = pL � pR +mLuL +mRuRmL +mR (4.50)

ergeben. Die GrößenmL;R werden je nachdem, ob jeweilsrL;R > 1 oderrL;R < 1 ist, aus

Gleichung (4.46) oder Gleichung (4.42) berechnet.

Beginnend mit der Druckabschätzungp� = 1=2(pL+pR) wird das Riemannproblem wie folgt

gelöst:

1. Bestimme die DruckrelationenrL;R und berechnemL;R entsprechend Gleichung (4.42)

oder Gleichung (4.46).

2. Bestimme den Druckp� gemäß Gleichung (4.49).

3. Bestimme die Differenz zur vorherigen Druckabschätzungund beende das Verfahren,

falls sie einen bestimmten Wert unterschreitet, ansonstenbeginne mit Punkt 1.

Anschließend lassen sich die Kontaktgeschwindigkeitu�, Dichteänderungen gemäß Glei-

chung (4.38) bzw. Gleichung (4.4), die Energiedichte aus der Zustandsgleichung (4.5) und

evtl. die Stoßgeschwindigkeitus bestimmen. Expansionswellen besitzen an ihrer Front die

Geschwindigkeitu0 � 0 und an ihrem Ende die Geschwindigkeitu � . Dazwischen ver-

ändern sich die Größen stetig gemäß Gleichung (4.45). Im gesamten Berechnungsgebiet ist

damit die Lösung bekannt.

54


Es lässt sich ebenso ein iteratives Verfahren nach der Geschwindigkeit, die über der Kontak-

tunstetigkeit konstant ist, konstruieren [108]. Dies liefert für die hier betrachteten Probleme

jedoch weder andere Ergebnisse noch einen schnelleren Algorithmus. Abschließend sei noch

bemerkt, dass es auch approximative Riemann-Löser gibt, die die primitiven Variablen anstatt

der Flussfunktionen berechnen [69, 113]

4.2.2.3. Bestimmung der numerischen Flussfunktionen

Die numerischen Flussfunktionen werden durch die Werte derprimitiven Variablen�; u; vund p ermittelt, die mit Hilfe der Riemann-Lösungen aus Kapitel 4.2.2 gewonnen werden.

Der Zellenrand entspricht dabei der Koordinatext = 0, der sogenannten 0-Charakeristik. Die

Bestimmung läuft folgendermassen ab:

Ist u� > 0, so sind die Werte durch die GrößenUL bestimmt. Eine Stoßwelle läuft in das

Material L hinein, fallspL < p� ist. Die Stoßgeschwindigkeit�s bestimmt die Werte auf dem

Zellenrand. Ist�s = uL � uS > 0, so ist� = �L; u = uL; v = vL undp = pL. Für�s < 0 hat

das Material L beix=t = 0 eine Änderung durch den Stoß erfahren:� = �L (�L + 1)(p� +BL) + (�L � 1)(pL +B)(�L + 1)(pL +BL) + (�L � 1)(p� +BL) (4.51)u = u� (4.52)p = p� : (4.53)

Läuft eine Expansionswelle in das Material L, so dehnt sie sich zum Fächer aus, da die vor-

dere Charakteristik mituL � L eine andere Geschwindigkeit besitzt als die hintere mit der

Geschwindigkeitu� � �. Die Schallgeschwindigkeit � ist durch�� = �L� p� +BLpL +BL� (4.54) � = s�Lp� +BL�� = � p� +BLpL +BL��L�12�L(4.55)

bestimmt. Zwischen Front und Ende verlaufen unendlich viele Charakteristiken, über die

sich die primitiven Variablen kontinuierlich ändern. Da die exakte Berechnung der Größen zu

aufwendig ist, wird innerhalb des Expansionsfächers zwischen der führenden und der hinteren

Charakteristik interpoliert, während vor und hinter dem Fächer die entsprechend Lösungen

55


angenommen werden:� up � = (1� �L)� uLpL �+ �L� u�p� � (4.56)

mit �L = min�1;max�0; L � uL( L � uL)� ( � � u�)�� : (4.57)

Die Geschwindigkeitv verhält sich bei dieser eindimensionalen Berechnung wie eine passive

skalare Größe, die mit der Materie mitgeführt wird. Daher ist in allen Fällenv = vL. Die

Dichte sowie die innere Energiedichte�e ergeben sich aus den Zustandsgleichungen (4.4) bzw.

(4.5). Damit sind alle Größen zur Bestimmung der numerischen Flussfunktionen bekannt.

Ist die Materialgeschwindigkeitu� < 0, so bestimmen die Eigenschaften des Materials R die

Lösung und die Vorgehensweise ist analog zu der eben beschriebenen.

4.3. Volumen-Tracking mitGrenzflächenrekonstruktion

Die Lösung des Riemann-Problems in Kapitel 4.2.2 liefert zujedem Zeitschritt die Geschwin-

digkeitu auf einem Zellenrand, so dass während des Zeitschrittes�t das Volumen2�ru�t�zund die zugehörige Masse von einer Zelle in die andere transportiert wird. Daher ist klar, dass

eine simple Mittelung der Dichte oder Volumenfraktionen über die Zelle zu einer fehlerhaften

Abschätzung des Massentransportes über die Zellgrenzen führt: Massen-und Volumenfraktio-

nen werden über das Gitter verschmiert. Ein Rekonstruktionsverfahren hoher Ordnung wie

das in Kapitel (4.2.1) vorgestellte für Godunov-Verfahrenreduziert die numerische Diffusion,

hebt sie jedoch nicht auf. Und während Stoßwellen aufgrund der Tendenz, dass Charakteri-

stiken in den Stoß hereinlaufen, der numerischen Diffusionentgegenwirken, ist dies für Kon-

taktunstetigkeiten nicht der Fall. Eine deutlich bessere Approximation bietet das Volumen-

Tracking (oder auch Volume-of-Fluid-Verfahren) mit Grenzflächen-Rekonstruktion, das zwar

einen höheren numerischen Aufwand erfordert, jedoch für scharfe Phasengrenzen optimal ist,

wenn man den sehr viel höheren Aufwand für ein direkte Grenzflächenverfolgung oder ein

Lagrangesches Verfahren scheut. Die Arbeit [67] gibt einenÜberblick über Geschichte und

Anwendung des VOF-Verfahrens.

Der erste Schritt in einem VOF-Verfahren ist immer, mit Hilfe der Anfangsbedingungen die

Volumenfraktionen der verschiedenen Phasen in jeder Zelledes Berechnungsgebietes nach

56


(a) (b) (c)

0

1 1

1

0,3

0,8 0,1

0,25 0,1

Abbildung 4.5.: Schematische Darstellung der VOF-Methode: Aus einer gegebenen Fluid-Verteilung wie in (a), bei der zwei verschieden Fluide durchden grauen undden weißen Bereich angedeutet werden, lässt sich in jeder Gitterzelle die Vo-lumenfraktion berechnen (b). Im weiteren Verlauf der Rechnung wird dieGrenzfläche in jeder Zelle linear aus der Volumenfraktionsverteilung appro-ximiert (c), wobei die linearen Oberflächensegmente nicht notwendigerweiseineinander übergehen.

Gleichung (4.9) zu definieren. Anschließend wird die genaueInformation über die Grenz-

flächenposition verworfen und in der weiteren Rechnung die Grenzflächenposition über die

Verteilung der Volumenfrakion bestimmt (vgl. Abb. 4.5). Die Grenzfläche wird dabei stück-

weise linear approximiert. Die Grenzflächendynamik wird bestimmt durch die Lösung einer

Transportgleichung für die Volumenfraktion. Diese Transportgleichung wird in dieser Arbeit

geometrisch gelöst, d.h. dass zunächst die Grenzfläche in einer Zelle rekonstruiert und an-

schließend berechnet wird, wie viel Material der jeweiligen Phase in dem Volumen liegt, das

die Zelle verlässt. (vgl. Abb. 4.6).

Das Verfahren ist konservativ im Rahmen der Rechengenauigkeit. Es ist zudem stabil gegen-

über Topologieänderungen, die eines der Hauptinteressen dieser Arbeit sind. Dabei müssen

jedoch leichte Fehler aufgrund des Rekonstruktionsalgorithmus und der Volumenmittelung

hingenommen werden. Diese Fehler treten auf, wenn sich zweiGrenzflächen in benachbarten

Zellen gegenüberliegen. Das Rekonstruktionsverfahren kann dann die verschiedenen Phasen-

grenzen nicht mehr trennen. Bei einer hauptsächlich tangentialen Bewegung der Grenzflächen

ist dieses Verhalten kritisch.

Der Rekonstruktionsalgorithmus bestimmt auch die Lage derGrenzflächen in dem Sinne, dass

eine gegebene Verteilung der Volumenfraktion die Grenzfläche nicht eindeutig festlegt. Der

57


(a) (b)

Vn

u dt

n

5 4

3

21

Abbildung 4.6.: VOF-Algorithmus: Zunächst wird die Oberfläche aus der Volumenfraktions-verteilung eines3�3-Blockes des Rechengitters rekonstruiert. Anschließendwird mit Hilfe der berechneten Geschwindigkeitenu auf den Zellränder dasVolumenV , dass während der Zeitdt heraustransportiert wird, bestimmt undgeometrisch der Anteil der jeweiligen Phase berechnet.

Nachteil dieser Methode liegt jedoch eindeutig in der Notwendigkeit zu einer Mehrphasenmo-

dellierung in Grenzflächenähe aufgrund der Kompressibilität des Mediums: Die Gültigkeit der

getroffenen Annahmen ist gewissen Schranken unterworfen,die man nur schwer abschätzen

kann. Dies ist im wesentlichen aber das Problem aller Eulerschen Verfahren, bei denen gerade

in den vergangenen zehn Jahren bzgl. der numerischen Stabilität viele Fortschritte gemacht

wurden (vgl. [66] und die darin enthaltenen Referenzen). Bei inkompressiblen Berechnun-

gen kommen diese Probleme aufgrund der fehlenden Ausbreitung von Schallwellen nicht vor.

In diesem Bereich sind die VOF-Methoden mittlerweile ein Standard und üblicherweise in

kommerziellen Simulationsprogrammen enthalten. Einen guten Überblick geben die Veröf-

fentlichungen [67] und [53]. Die Mehrphasenmodellierung ist auch der Hauptgrund dafür,

dass die zweidimensionale Berechnung in zwei eindimensionale aufgeteilt wird.

Das Verfahren besteht aus drei wesentlichen Schritten: DerGrenzflächenrekonstruktion, Vo-

lumenberechnungen und der Lösung der Erhaltungsgleichungfür das Mehrphasengemisch.

58


4.3.1. Grenzflächenrekonstruktion

Die Grenzflächenapproximation in mehrphasigen Zellen, deren Volumenfraktion zwischen0und1 liegt, erfolgt durch Ermittlung einer Geradengleichung, die in der Zelle ein Linienseg-

ment definiert, das die Phasen voneinander trennt. Eine Geradex ist durch einen Normalen-

vektorn (vgl. Abb. 4.6) und dem minimalen Abstandd vom Koordinatenursprung eindeutig

definiert. Für jeden Punktx = (x; y) auf der Geraden gilt:

n � x = d : (4.58)

Der Normalenvektorn kann mit diversen Verfahren aus der Verteilung der Volumenfraktion

ermittelt werden (vgl. Kapitel (4.3.1.2)). Die Geradenkonstanted ist dann eine nichtlineare

Funktion der Volumenfraktion. Für die Volumenberechnung,die für die Ermittlung vond und

den Materialtransport nötig sind, werden diverse geometrische Operationen benutzt, die hier

kurz vorgestellt werden.

4.3.1.1. Geometrische Berechnungen

Die Aufgabe des Algorithmus besteht darin, das Volumen, dasvon einer Zelle in eine ande-

re transportiert wird, aus den Normalvektorn und der Geradenkonstanted zu ermitteln (vgl.

Abb. 4.6.(a)). Der Normalenvektor soll in Richtung der Komponente weisen, deren Volumen

bestimmt wird. Verlängert man in Abb. 4.6(b) die Gerade bis zu den Koordinatenlinien, so

ergibt sich ein Dreieck, von dessen Fläche Dreiecke, die in den Nachbarzellen liegen, abge-

zogen werden müssen [53, 114]. Dieses Verfahren ist jedoch nicht nur umständlich, da in

zylindrischen Koordinaten viele Einzelfälle betrachtet werden müssen, sondern hat sich im

Rahmen dieser Arbeit als anfällig gegenüber numerischer Auslöschung erwiesen. Daher fol-

gen wir hier dem Ansatz aus [67], die sich an Standard-Verfahren der computergestützten

Geometrie orientieren, die allgemeiner formuliert werdenkönnen und numerisch stabil sind

[115]. An Abb. 4.6.(b) kann man ablesen, welche Operationendafür notwendig sind: Zu

Beginn müssen die Zellränder festgestellt werden, die mit der Geraden einen Schnittpunkt

besitzen. Es wird also zunächst überprüft, welche Zellknoten sich innerhalb und welche sich

außerhalb des jeweiligen Fluides befinden. Aufgrund der Richtungskonvention fürn gilt für

einen Punktx innerhalb der Flüssigkeitskomponenten � x >= d. Liegen benachbarte Knoten

in verschiedenen Fluiden, so wird für den verbindenden Zellrand eine Geradengleich analog

zu Gleichung (4.58) definiert und der Schnittpunkt mit der Grenzflächengeraden gesucht. Sind

59


alle Knoten und Schnittpunkte gefunden, die innerhalb der Flüssigkeit liegen, so definiert dies

ein Polygon, das mindestens drei und maximal fünf Ecken besitzt (vgl. Abb. 4.6(b)). Nume-

riert man dien Knotenxk diese Polygons gegen den Uhrzeigersinn durch (mit der Konvention

xn+1 = x1, Abb. 4.6(b)), so ist in kartesichen Koordinaten die FlächedurchAp = 12 nXk=1(xkyk+1 � xk+1yk) = 12 nXk=1(xk + xk+1)(yk+1 � yk) (4.59)

gegeben. Die ist eine Resultat der Tatsache, dass sich jedesPolygon in Dreiecke zerlegen lässt

[115]. Analog dazu gilt in Zylinderkoordinaten nach [67]Vp = �3 nXk=1(rk + rk+1)(rkzk+1 � rk+1zk) (4.60)

für das im Polygon enthaltene zylindersymmetrische Volumen.

4.3.1.2. Bestimmung des Normalenvektors

Der Normalenvektorn = (nr; nz) der Grenzflächenzelle(i; j) wird in zwei Dimensionen übli-

cherweise aus den Volumenfraktionen innerhalb eine3� 3 Zellenblockes bestimmt, in dessen

Mitte sich die Zelle(i; j) befindet (vgl. Abb. 4.6). Es sind sowohl finite Differenzen als auch

iterative Verfahren gebräuchlich [53, 67, 68, 116]. In dieser Arbeit wird der Normalenvektor

über finite Differenzen der Volumenfraktion bestimmt [53].In einer ersten Näherung werden

Vektoren auf den Zellknoten berechnet, die z.B. für die Ecke(i + 1=2; j + 1=2) durchnr;i+1=2;j+1=2 = Ck;i+1;j � Ck;i;j + Ck;i+1;j+1 � Ck;i;j+12�r (4.61)nz;i+1=2;j+1=2 = Ck;i;j+1 � Ck;i;j + Ck;i+1;j+1 � Ck;i+1;j2�z (4.62)

gegeben sind. Daran anschließend wird der Mittelwert dieser Vektoren gebildet. Der resultie-

renden, zellenzentrierte Normalenvektor ist dann gegebendurch:

ni;j = 14(ni+1=2;j+1=2 + ni�1=2;j+1=2 + ni�1=2;j�1=2 + ni+1=2;j�1=2) : (4.63)

An der Rändern des Berechnungsgebietes ist dies bei konstanter Extrapolation der Volumen-

fraktion jedoch ein schlechte Näherung. Daher wird dort einiteratives Verfahren nach Swartz

benutzt (vgl. Anhang von Ref. [67]). Beginnend mit dem Vektor (4.63) werden in den um-

gebenden Mehrphasenzellen Grenzflächen mit derselben Normalen und durch ihre jeweilige

60


Volumenfraktion bestimmte Geradenkonstante definiert. Die Verbindungslinien zwischen den

Mittelpunkten dieser Liniensegmente definieren neue Geraden, deren Normalen aufsummiert

werden. Gewichtet wird dabei mit dem inversen Abstand des jeweiligen Linienmittelpunktes

zur mittleren Zelle. Ist der Unterschied zwischen dem altenund dem neuen Normalenvektor

größer als eine gegebene Grenze, so wiederholt sich das Verfahren.

4.3.1.3. Bestimmung der Geradenkonstanten

Ist die Orientierung des Liniensegments durch den Normalenvektorn festgelegt, so bestimmt

die Volumenfraktion die räumliche Lage über die Geradenkonstanted. Das VolumenVk der

Flüssigkeitskomponente ist je nach Orientierung, Koordinatensystem und Dimension des Pro-

blems eine lineare, quadratische oder kubische Funktion von d, die explizit gelöst werden

kann [53, 114]. Dabei sind jedoch wieder Einzelfälle zu beachten und bei der Implemen-

tierung wurde festgestellt, dass iterative Lösungen der entsprechenden Gleichungen genauer

sind. Daher wurde einem iterativem Verfahren, das die Nullstellen der Gleichungf(d) = Vk(d)� Vk (4.64)

sucht, der Vorzug gegeben. Die Nullstellenbestimmung wurde mit einem Verfahren von Van

Wijngaarden, Dekker & Brent [30] durchgeführt, da für dieses keine Ableitungen der Funk-

tion f(d) bekannt sein müssen. Es ist eine Kombination aus Bisektions- und Interpolations-

verfahren. Die beiden benötigten Startwerte, zwischen denen die Wurzel vonf liegen muss,

werden dadurch ermittelt, dass aus der durchn definierten Geradenschar diejenigen ausge-

sucht werden, die durch die Knoten der Gitterzelle laufen. Dies garantiert, dass es sowohl

einen negativen als auch einen positiven Anfangswert für Gleichung (4.64) gibt.

4.4. Berechnung des Mehrphasensystems

4.4.1. Rekonstruktion

Aufgrund der Modellierung sind über die Phasengrenze die Normalkomponente der Ge-

schwindigkeit und der Druck konstant, während Dichte, Volumenfraktion und tangentialen

Geschwindigkeit sich unstetig verändern können. An der Grenzfläche kann also der Limiter

zu einer Reduktion der Ordnung des Verfahrens führen. Da aber gerade der Druck empfindlich

61


von der Dichte abhängt, wird die Dichte über die Druckgleichung und die isentrope Relati-

on (4.4) bestimmt, so dass auch in randnahen Zellen eine hoheApproximation der Lösung

bewerkstelligt werden kann. In den Mehrphasenzellen selbst werden jedoch konstante Werte

angenommen, da die aus dem Mischzustand errechnete Schallgeschwindigkeit nicht der wirk-

lichen Schallgeschwindigkeit der einzelnen Medien entspricht. Jedoch lässt sich der Einfluss

der Mehrphasenmodellierung verringern, indem die Volumenfraktionen in Randnähe berech-

net werden, die für die Riemann-Lösungen relevant sind. DieLänge des Volumens wird durchC fl�r=2 abgeschätzt.

Die mit dem VOF-Verfahren berechneten Volumenströme unterliegen der Zwangsbedingung,

dass nicht mehr Material der jeweiligen Komponente aus der Zelle heraustransportiert werden

darf, als in ihr ist. Da ein Zustand auf dem Rand der Zelle überdie Lösung des Riemann-

problems berechnet wird, kann es bei kleiner Volumenfraktion der jeweiligen Komponente zu

einer Überschätzung des Massenstromes kommen. Der Volumenstrom wird daher mit dieser

Nebenbedingung korrigiert.

4.4.2. Lösung der Transportgleichung

Die Transportgleichung (4.15) wird in der Form�Ck�t + �rCku�r = �1r �ru�r (4.65)

diskretisiert, da die ursprüngliche Form zu inkonsistenten Lösungen (z.B.Ck > 1) führen

kann. Die Riemann-Lösungen aus Kapitel 4.2.2 auf den Zellenränder liefern die Geschwin-

digkeitenun+1=2i+1=2 und damit die verschobenen VoluminaV Sk;i+1=2 über die Zellränder. Das

Vorzeichen vonV Sk;i+1=2 entspricht dem der jeweiligen Randgeschwindigkeitun+1=2i+1=2 . Durch

den VOF-Algorithmus werden geometrisch die AnteileV Sk;i+1=2 der Komponenten k am Volu-

menstromV Sk;i+1=2 bestimmt. Die VolumenfraktionCk in der Zellei mit dem GesamtvolumenVi zum Zeitschrittn ändert sich durch die zugeströmten Volumina gemäßC�k;i = Cnk;i + V Sk;i�1=2 � V Sk;i+1=2Vi ; (4.66)

was einer Diskretisierung der linken Seite von Gleichung (4.65) entspricht. Aufgrund der

Kompressibilität der Medien muss der Volumenstrom auf der linken und rechten Seite der

Zelle nicht identisch sein, so dass die BedingungPk C�k;i = 1 nicht notwendigerweise erfüllt

62


wird. Die rechte Seite wird daher gemäßCn+1k;i = C�k;i + Cnk;iV Si+1=2 � V Si�1=2Vi (4.67)

diskretisiert, so dassPk Cn+1k;i = 1 gilt.

4.4.3. Lösung der Erhaltungsgleichungen

Die Erhaltungsgleichungen des Mehrphasensystems aus Kapitel 4.1.3 werden in Erhaltungs-

form diskretisiert. Ist der Volumenstrom über den Zellenrand einphasig, so ergibt die Lösung

des Riemann-Problems neben den gültigen Werten für Druck und Geschwindigkeit auch die

korrekte Dichte. Einer der großen Vorteile der gewählten Zustandsgleichung (4.5) ist es, dass

sich nach der Berechnung von Druck und Geschwindigkeit auf dem Zellenrand die Dichten

und Energien der einzelnen Komponenten berechnen lassen. Die diskretisierten Erhaltungs-

gleichungen sind dann:(C�)n+1k;i = (C�)nk;i + (V S�)n+1=2k;i�1=2 � (V S�)n+1=2k;i+1=2Vi (4.68)(�u)n+1i = (�u)ni + mn+1=2i�1=2 un+1=2i�1=2 �mn+1=2i+1=2 un+1=2i+1=2Vi + �t�r [pn+1=2i�1=2 � pn+1=2i+1=2 ℄(4.69)(�v)n+1i = (�v)ni + mn+1=2i�1=2 vn+1=2i�1=2 �mn+1=2i+1=2 vn+1=2i+1=2Vi (4.70)(C�E)n+1k;i = (C�E)nk;i + (V S�E)n+1=2k;i�1=2 � (V S�E)n+1=2k;i+1=2Vi (4.71)+�t�r (C�)n+1k;i un+1i�n+1 (pn+1=2i�1=2 � pn+1=2i+1=2 ) + pni Cnk;iV Si+1=2 � V Si�1=2Vimit der jeweils transportierten Massemn+1=2i�1=2 =Xk (V S�)n+1=2k;i�1=2 (4.72)

an der linken bzw. rechten Zellgrenze. Die Formulierung derGleichungen über die transpor-

tierten VoluminaV Si�1=2 spiegelt die integralen Beziehungen der Fluiddynamik eindrücklich

wieder. Die integralen Erhaltungsgrößen verändern sich durch den Zu- und Abfluss der gege-

benen Größen und gegebenenfalls durch angreifende Kräfte bzw. durch verrichtete Volumen-

arbeit. In dieser Form entfällt der radiale Abstandr, der in den differenziellen Gleichungen

63


explizit auftaucht, so dass das Gleichungssystem für beideKoordinatenrichtungen identisch

ist. Natürlich ist dieser geometrisch bedingte Faktor jedoch implizit in der Volumenberech-

nung enthalten.

4.4.4. Relaxation des Drucks in den Mehrphasenzellen

Nach der Lösung des Mehrphasensystems befinden sich die Phasen innerhalb der Zelle nicht

im mechanischen Gleichgewicht. Daher wird eine Relaxationsverfahren hinzugefügt, das die

Volumenfraktion so verändert, dass im Anschluss die Drückein den zwei Phasen identisch

sind. Dies mag auf den ersten Blick als ein sehr künstliches Verfahren erscheinen, wird aber

automatisch in jedem konservativen Verfahren, das die einphasigen Erhaltungsgleichungen

(4.1) löst, über die Volumenmittelung durchgeführt. Die Energie wird zu jedem Zeitschritt

jeweils als Mittelwert über die Zelle aufgefasst und damit auch der Druck. Eine Relaxation

kann sowohl iterativ [52] als auch approximativ [69] geschehen, sie sollte aber auf jeden Fall

konservativ sein. Die VolumenfraktionCk wird um dCk verändert, so dass sowohl Masse

als auch Energie der Komponenten in einer Zelle erhalten bleiben. Dabei muss aufgrund der

VolumenerhaltungPk dCk = 0 gelten. Ein Vorteil der Zustandsgleichung (4.5) liegt darin,

dassdCk analytisch berechnet werden kann. Wir beschränken uns dabei auf zwei Fluidkom-

ponenten. Es seienVk und�kEk das Volumen und die Energiedichte vor der Relaxation undV �k und ��kE�k die entsprechenden Größen nach der Relaxation. Aus der Erhaltung der Ge-

samtenergieVk�kEk folgt dann für den gemeinsamen Druckp� der Komponenten aufgrund

der Zustandgleichung (4.5):p� = (�1 � 1) V1V �1 �1E1 � �1B1 = (�2 � 1) V2V �2 �2E2 � �2B2 : (4.73)

Für die Volumenverhältnisse giltV1V �1 = C1C1+dC und V2V �2 = C2C2�dC , so dass sich Gleichung (4.73)

in eine quadratische Gleichung der Formax2 + bx + = 0 für die Unbekanntex = dCumformen lässt. Die Parameter sind gegeben durcha = �1B1 � �2B2 (4.74)b = � [C1(p1 + �2B2) + C2(p2 + �1B1)℄ (4.75) = C1C2(p1 � p2) ; (4.76)

wobeip1 undp2 die Drücke der Komponenten vor der Relaxation sind. Aus den zwei mögli-

chen Lösungen ist diejenige korrekt, die die Volumenfraktion der Phase erhöht, deren Druck

64


Abbildung 4.7.: Links: Änderung der VolumenfraktiondC in Abhängigkeit vom Druckp undder VolumenfraktionC bei einem Relaxationsverfahren mit den Phasen Was-ser (�1 = 7:15; B1 = 305MPa) und einem polytropen Gas (�2 = 1:3; B2 =0:). Der Druck des Gases beträgt1MPa, die VolumenfraktionC ist die desWassers. Rechts: Schnitt durch die linke Figur mitp = 2MPa. Ab etwaC = 0:98 fällt dC stark ab.

größer ist. Abb. 4.7 gibt einen Eindruck von den Lösungen derGleichung (4.73) für Wasser

und ein polytropes Gas. Demnach sind die Änderungen der Volumenfraktion umso größer je

höher die Druckdifferenz zum Gas ist. Bis zu einer Volumenfraktion von etwaC ' 0:98 wird

diese Änderung bei konstanter Druckdifferenz immer größer, bevorjdCj notwendigerweise

schlagartig abfällt. Der Grund hierfür liegt in den großen Parameterdifferenzen der Zustands-

gleichungen. Einfache iterative Verfahren [52, 69] liefern im Bereich vonC ' 1 keine guten

Lösungen. Aus den Volumenverhältnissen vor und nach der Relaxation berechnen sich dann

die neuen Massen- und Energiedichten der Phasen anhand der Erhaltungssätze.

4.5. Randbedingungen

Implementiert wurden freie Randbedingungen und Druckrandbedingungen in der Flüssigkeit

und Reflexionsrandbedingungen an der Wand bzw. auf der Symmetrieachse. Bei den freien

Randbedingungen wurde angenommen, dass sich die Strömungsvariablenq = (�; u; v; p; Ck)nicht nennenswert ändern, d.h. es wurdeqm+2 = qm+1 = qm gesetzt, wennm die maximale

65


Anzahl der Gitterpunkte in radialer Richtung ist. Da dies bei radialer Strömung nicht gleich-

zeitig für Dichte und Geschwindigkeit gelten kann, wurde für die Geschwindigkeit der Ansatzum+1 = rmumrm+1 undum+2 = rm+1um+1rm+2 gesetzt. Dies entspricht der Konstanz des Massenstroms.

Reflexionsrandbedingungen haben die Formq�1 = q0 = q1 mit Ausnahme der Geschwindig-

keit u�1 = u0 = �u1, wenn die Randzellen den Index 1 besitzt. Die verwendeten Limiter

ergeben für konstante und asymmetrische Extrapolation derprimitiven Variablen immer einen

Gradienten identisch Null, so dass die Randbedingungen vonerster Ordnung sind. Druck-

randbedingungen geben den Druck in der Randzelle vor und damit auch Dichte und Energie

nach der Zustandsgleichung (4.4).

Da die Auflösung des Gitters im Bereich der Blase recht fein sein sollte, wurden z.T. drei

überlappende Gitter benutzt, deren Gitterweiten sich um ein gerades Vielfaches des jeweils

feineren Gitters unterscheiden. Das zweite Gitter außerhalb der Blasenumgebung besitzt die

doppelte Gitterweite, das dritte die doppelte oder vierfache des zweiten. Die Randwerte der

kleineren Gitter werde über die Zellen des jeweils größerenGitters interpoliert. Die numeri-

schen Flüsse über die Gitterränder werden so angepasst, dass das Verfahren konservativ bleibt.

4.6. Ablauf des Algorithmus

An dieser Stelle soll der Inhalt der letzten Kapitel kurz im Überblick wiedergeben werden

um den Ablauf des Algorithmus in seiner Struktur besser erkennen zu können. Es werden

folgende Operationen durchgeführt:

1. Bestimmung von Dichte und Energie aus den entsprechendenGrößen der verschiedenen

Phasen und den Volumenfraktionen.

2. Berechnung des Drucks aus der Zustandsgleichung (4.5) mit den effektiven Parametern

des Gemisches.

3. Extrapolation der primitiven Variablen auf die Randzellen.

4. Kennzeichnung der Mehrphasenzellen und der daran angrenzenden Zellen, die während

des Zeitschrittes selbst zu Mehrphasenzellen werden können.

5. Bestimmung der Normalenvektoren und Linienkonstanten in den Mehrphasenzellen.

66


6. Berechnung der Gradienten unter Anwendung des Limiters (4.31) für die primitiven

Variablen

7. Rekonstruktion der linken und rechten Zustände an den Zellrändern zur Mitte des Zeit-

schrittes mit Hilfe der linearisierten Wellengleichung (4.23) und der geometrischen Be-

rechnungen der Volumenfraktionen im randnahen Zellvolumen.

8. Lösung des Riemann-Problems auf den Zellrändern, Ermittelung der numerischen Flüs-

se

9. Berechnung des mehrphasigen Volumenstroms an den Rändern der Mehrphasenzellen

10. Aktualisierung der Erhaltungsgrößen in den einphasigen Zellen mit dem Godunov-

Verfahren (4.21)

11. Aktualisierung der Erhaltungsgrößen in den mehrphasigen und den daran angrenzenden

Zellen durch die Mehrphasenmodelle.

12. Druckrelaxation in den Mehrphasenzellen, Anpassen vonEnergie-und Materiedichten

der Phasen an die korrigierten Volumenfraktionen.

4.7. Zusammenfassung und Schlussbemerkungen

In diesem Kapitel wurde ein bekanntes Godunov-Verfahren höherer Ordnung in einfacher

Weise auf zylindersymmetrische Koordinaten erweitert undspeziell auf die steife Gasglei-

chung (4.5) angepasst. Es folgte die Ankopplung des Verfahrens an einen VOF-Algorithmus

mit Hilfe eines zusätzlich zu lösenden Gleichungssystem für die Mehrphasenzellen. Obwohl

die VOF-Methode für inkompressible Strömungen mit freien Oberflächen ein stabiles Berech-

nungsverfahren darstellt, bestehen bei der vorgestelltenMethode Stabilitätsprobleme: Es hat

sich gezeigt, dass das Verfahren sehr empfindlich auf numerische Auslöschung reagiert z.B.

bei der Berechnung der Volumina und dem Relaxationsverfahren. Für längere Integrations-

zeiten, bei denen mehr als nur die anfängliche Wellenausbreitung betrachtet werden sollen,

treten Oszillationen an der Grenzfläche auf. Die Ursachen hierfür sind unterschiedlicher Na-

tur, sie hängen aber alle damit zusammen, dass die Materialeigenschaften und vor allem die

Dichten und Schallgeschwindigkeiten extrem unterschiedlich sind. Das Problem der stark un-

terschiedlichen Dichten ist bei inkompressiblen Strömungen zwar auch gegeben, es besteht

67


jedoch ein kleiner, aber nicht vernachlässigbarer Unterschied: Bei inkompressiblen Strömun-

gen kann man sich darauf beschränken, nur die Volumensfraktionen zu berechnen, denn die

Dichten sind bekannt, während diese und die Energiedichtenhier noch zusätzlich bestimmt

werden müssen. Zudem gibt es eine Wechselwirkung zwischen diesen Größen, so dass z.B.

ein Fehler in der Volumenfraktion sich ebenso in Dichte und Energie wiederfindet. Der zweite

Fehler tritt bei der Mittelung der Zustände in den Mehrphasenzellen auf, denn es liegt hier eine

scharfe Grenzfläche vor und kein homogenes Gemisch. Die aus dieser Annahme berechnete

Schallgeschwindigkeit geht in die Berechnung der Flussfunktionen ein, die auf große Ge-

schwindigkeitsschwankungen empfindlich reagieren. Das Riemann-Problem ist jedoch nicht

aus mathematischer sondern aus physikalischer Sicht schlecht gestellt: Die Anwesenheit von

Grenzflächen erlaubt keine Ähnlichkeitslösungen, die nur vonx=t abhängen (vgl. 4.2.2). Die-

selbe Aussage ist auch gültig für Riemann-Verfahren in Mehrphasenströmungen, bei denen

ein sog. homogenes Gemisch in den Gitterzellen modelliert wird, was bei zwei getrennten,

physikalisch verschiedenen Phasen nicht möglich ist. Das dritte Problem besteht in der Mo-

dellierung der Energiegleichung, da hier nicht klar ist, wie die Wechselwirkungen zwischen

den Phasen sind.

In der Regel sind Euler-Verfahren für kompressible mehrkomponentige Strömungen nicht

konservativ. Reine Godunov-Verfahren für mehrkomponentige Strömungen ohne Druck-

Relaxation (und damit auch ohne Energieaustauch zwischen den Phasen) führen immer zu

Oszillationen selbst dann, wenn es sich nur um ein reines Transportproblem handelt [66], wie

es z.B. in Abb. 3.1 dargestellt ist. Es wurde in [117] festgestellt, dass dabei die Fehler umso

größer sind, je kleiner die Machzahl ist. Es werden dann nichtkonservative Korrekturen, die

diesen Fehler beheben, vorgenommen, wobei jedoch noch nichts über das Verhalten des Sy-

stems bei dynamischen Problemen wie z.B. der Wechselwirkung eines Stoßes mit einer Kon-

taktunstetigkeit gesagt ist. Ein solches Verfahren [52] wurde auch im Rahmen dieser Arbeit

implementiert und getestet (vgl. dazu Abb. 3.1). Abgesehenvon der numerischen Diffusion

war es für die Berechnung des Blasenkollapses nicht geeignet, da es Instabilitäten entwickelte,

während es für die Stoßwellenausbreitung in einem Gemisch idealer Gase sehr gut funktio-

nierte. Dabei sei noch angemerkt, dass bei der kollabierenden Blase die Machzahl in einem

großen Zeitbereich vergleichsweise klein ist. Man stellt auch beim Literaturstudium der Euler-

Verfahren immer wieder fest, dass Rechnung entweder für einGemisch von Gasen oder für

kurzzeitige Vorgänge wie Wechselwirkungen von Inhomogenitäten mit Stoßwellen oder der

Aufprall eines Mediums auf ein anderes berechnet wird (in dieser Arbeit ist ein solches Bei-

68


spiel der Jet-Aufprall in Kapitel 5). Die Vermutung liegt daher nahe, dass für physikalisch sehr

unterschiedliche Materialien Langzeitintegrationen mitkompressiblen Euler-Verfahren nicht

sinnvoll sind, auch wenn dies in der Literatur nie explizit erwähnt wird. Die Ursachen für das

Versagen dieser Verfahren sind bereits im letzten Abschnitt dargelegt worden.

Die angewandten Korrekturverfahren bekämpfen nur die Symptome der Oszillationen, nicht

jedoch deren Ursache. Zudem sind sie nicht konservativ odernur konservativ bzgl. der Ge-

mischgrößen, d.h. Masse und Energie der einzelnen Komponenten werden je nach Korrek-

turverfahren oder auch Diskretisierung verteilt . Mathematische Konsistenz und numerische

Konvergenz ersetzen jedoch nicht eine physikalisch sinnvolle Modellierung. In dieser Hinsicht

herrscht bei den Euler-Verfahren für mehrkomponentige Fluide noch Forschungsbedarf.

69

5. Simulation des Jetaufpralls

5.1. Problemstellung

Der beim wandnahen Kavitationsblasenkollaps entstehende, zur Grenzfläche hingerichtete

Flüssigkeitsjet ist messtechnisch sehr schwierig zu erfassen. Dies liegt zum einen an den

mit ca. 0; 1mm kleinen Abmessungen des Jets als auch daran, dass er sich innerhalb der

Blase befindet und somit nur durch eine gekrümmte Grenzflächehindurch beobachtet wer-

den kann. Diese Krümmung wirkt wie eine Linse und vergrößertdas Objekt. Jedoch ist der

Jet nur zu einem gewissen Teil in der Blasenmitte sichtbar, da zum Rand der Blase hin To-

talreflexion auftritt. Eine Visualisierung oder gar quantitative Messung ist daher nicht ohne

weiteres möglich. Üblicherweise werden deswegen Modellexperimente durchgeführt, wobei

z.B. durch eine Düse ein Flüssigkeitsstrahl von hoher Geschwindigkeit erzeugt wird. Dieser

zerfällt schnell, so dass auch hier der optische Zugang durch die vielen Tropfen nicht möglich

ist [118]. In anderen Experimenten wird ein quasi zweidimensionaler Impakt erzeugt, indem

auf ein sich zwischen zwei Glasplatten befindlicher Wasser-Gelantinetropfen ein Keil mit ho-

her Geschwindigkeit einschlägt [119]. Theoretisch beschränkt sich die Analyse in der Regel

auf ein- oder zweidimensionale Probleme im akustischen Grenzfall. Dabei wird der beim Auf-

treffen einer ebenen Flüssigkeitssäule mit der Geschwindigkeit v auf eine feste Grenzfläche

erzeugte Wasserhammerdruck durch die akustische Beziehungp = p0 + �0 ov (5.1)

abgeschätzt. Für Geschwindigkeiten von über100m=s wurde bereits in [120] gezeigt, dass

sich bei Zustandsänderungen nach der Tait-Gleichung (4.4)unter der Annahme, dass die Im-

paktgeschwindigkeit klein zur Schallgeschwindigkeit ist, deutlich höhere Drücke ergeben.

Die numerische Lösung des kompletten, ebenen Riemann-Problems mit der Zustandsglei-

chung (4.5) zeigt dieses Verhalten ebenso, wie aus Abb. 5.1 ersichtlich wird. Als Anfangsdaten

70


Abbildung 5.1.: Berechneter Wasserhammerdruckp beim Aufschlag einer Flüssigkeitssäulemit der Geschwindigkeitv auf eine feste Wand. Der fein gestrichelte,untereDatenverlauf ergibt sich aus der akustischen Formel 5.1 mitp0 = 1bar; � =1000 kg=m3 und 0 = 1477m=s, die durchgezogene Kurve stellt die Lösungeines Riemann-Problems an einer festen Wand mit der Zustandsgleichung(4.5) und den Parametern = 7; 15 undB = 305MPa. Der dritte Verlaufgehört zur Lösung eines Riemann-Problems, bei dem Wasser mit der gegebe-nen Geschwindigkeit auf Kupfer auftrifft. Die Parameter für Kupfer [58] sind� = 4,B = 341MPa; � = 8924 kg=m3.

dienen hier identische linke und rechte Anfangszustände, die sich nur im Vorzeichen der Ge-

schwindigkeiten unterscheiden. Dadurch ergibt sich die Kontaktgeschwindigkeit Null, die die

feste Wand darstellt. Die akustische Beziehung (5.1) ist dann ein Näherung dieses Riemann-

Problems für kleine Druckerhöhungen bzw.p + B=p0 + B ' 1. Bereits fürv = 200m=sbeträgt die Differenz100MPa, der relative Fehler ist30%. Hierfür verantwortlich sind die

Zustandsänderungen des Mediums bei der Verdichtung. Die KompressibilitätKs = 1� ��p ��s = 1� 2s = 1�(p+B) (5.2)

nimmt mit steigendem Druck ab, so dass das Medium steifer wird. Ersetzt man die feste

Wand durch einen eher weichen Festkörper wie Kupfer, der sich im gewissen Rahmen im

hydrodynamischen Grenzfall über die steife Gasgleichung modellieren lässt [58], so ergeben

71


sich geringere Drücke, die jedoch immer noch deutlich über dem der akustischen Näherung

liegen. Üblicherweise wird die Zeitdauer, für die diese hohe Druckeinwirkung bestehen bleibt,

abgeschätzt durch die Laufzeit� = r0= 0 einer akustischen Welle, die vom Rand des Jets mit

Radiusr0 in das Zentrum läuft.

Der Jetaufprall ist aufgrund der hohen Stoßwellendrücke kein akustisches Problem. Die

Krümmung der Jetspitze und die Anwesenheit einer Grenzfläche beschränken zudem die Qua-

lität der akustischen Abschätzungen im eindimensionalen Fall, denn dies führt zu mehrdimen-

sionalen Effekten. In der Simulation des Jetaufprall werden daher die Abweichungen von

diesen Näherungen untersucht. Abschließend soll noch bemerkt werden, dass der Jet eine ty-

pische Oberflächeninstabilität beim Zerfall einer wandnahen Kavität ist, unabhängig davon,

ob diese durch ein Strömungsfeld verzerrt und der symmetrische Kollaps, der ein hohes Scha-

denspotential besitzt, damit verhindert wird (vgl. Kapitel 8). Der Jetaufprall ist daher von

allgemeinerem Interesse und nicht beschränkt auf die Effekte beim Kollaps laserinduzierter

Blasen.

5.2. Rand- und Anfangsbedingungen

Im Folgenden soll der Jetaufprall auf eine feste Wand mit demin Kapitel 4 vorgestellten

Verfahren berechnet werden. Der Flüssigkeitsstrahl sei zylindersymmetrisch bzgl. der z-Achse

und treffe auf eine feste Wand, die sich senkrecht dazu in derx-y-Ebene befindet. Dabei wird

eine homogene Geschwindigkeitv0 innerhalb des Jets angenommen und die Geschwindigkeit

Null im umliegenden Gas. Der Jet befinde sich zur Zeitt = 0 mit seiner Spitze direkt auf der

Wand. Es werden verschieden Formen des Jets verglichen, wobei die Phasengrenzfläche des

Jets durch eine Parabel der Formz = (r=r0)a in der r-z-Ebene gegeben ist. Der Parameterabestimmt also, wie stark die Spitze des Jets gekrümmt ist. Die folgenden Rechnungen wurden

auf einem128� 192 Gitter berechnet, wobei das Rechengebiet die Dimensionenlr = 1; 2 � r0undlz = 1; 8 � r0 besitzt.

5.3. Simulationsergebnisse

Abb. 5.2 zeigt die Druckentwicklung an der Wand beim Jetaufprall. Dabei wurde über die

ersten vier Wandzellen ausgehend von der Achsez = 0 gemittelt. Da es sich hierbei um

72


(a)

(b)

(c)

Abbildung 5.2.: Druckentwicklung beim Jetaufprall. (a): Variation des Krümmungsparame-tersa, r0 = 100�m, v = 100m=s. (b): Variation der Geschwindigkeitv,a = 6, r0 = 100�m. (c) wie (b) mitr0 = 1mm.

73


Zellmittelwerte handelt, stellt dies also den Druck innerhalb eines kleinen Flüssigkeitsvolu-

mens an der Wand dar. Daraus resultiert in der Darstellung ein Druckanstieg an der Wand von

endlicher Dauer anstatt eines sofortigen hohen Drucks, wieer durch Vorgabe der Anfangsbe-

dingung auf der Wand entstehen müsste.

Mit dem Auftreffen des Jets entwickelt sich ein Stoßwelle, die von der Wand ausgehend in

den Jet hineinläuft. Im Anschluss an die Phase konstant hohen Drucks fällt dieser wieder

ab, wenn die von der freien Grenzfläche ausgehende Expansionswelle, die bei der Ablösung

der Stoßwelle von der Kontaktlinie entsteht, die Symmetrieachse erreicht. Durch die Fokus-

sierung der Expansionswelle kommt es zu einem weiteren Druckabfall bis in den negativen

Druckbereich, da die Zustandsgleichung (4.4) dies zulässt. Für das numerische Verfahren

sind die negativen Drücke unkritisch, solange diese vom Betrag her kleiner als der ParameterB der Zustandsgleichungen (4.5) und (4.4) sind. Natürlich gelten diese hier nicht mehr, und

man erwartet einsetzende Kavitation, jedoch ist die Zeitdauer des Unterdrucks so klein, dass

die Zugspannungen nicht abgebaut werden können. Je flacher die Jetspitze ist, desto weni-

ger ausgeprägt ist der Druckabfall, da die Expansionswellekeine ebene Welle ist, sondern

sich ausgehend vom Rand in alle Richtungen in der Flüssigkeit ausbreitet. Dadurch entsteht

nicht nur ein Druckgefälle in radialer Richtung, die die Flüssigkeit nach außen beschleunigt,

sondern ebenso in vertikaler Richtung zur Wand hin. Diese Beschleunigung führt wiederum

zu einen Druckanstieg, so dass der Druck oszilliert. Da auchdies am Rand zuerst geschieht,

gehen die Oszillationen von hier aus. Mit wachsender Aufschlagsgeschwindigkeitv erhöht

sich die Frequenz der Oszillationen, da sich mit der Erhöhung des Wasserhammerdrucks auch

die Schallgeschwindigkeit im Medium erhöht und der Druckausgleich beschleunigt wird. Die

Erhöhung der Schallgeschwindigkeit erkennt man auch aus der kürzeren Dauer der anfängli-

chen Hochdruckphase. Damit werden dann auch Über- und Unterdruckphasen kürzer, so dass

negative Drücke nicht mehr unbedingt auftauchen.

Für größere Einheitsradienr0 bestehen dieselben Tendenzen, jedoch ist jetzt die Unter-

druckphase lang genug, so dass Kavitation einsetzen kann, was auch in Modellexperimen-

ten zum Tropfenaufschlag beobachtet wird [121]. In den Schlierenaufnahmen zum quasi-

zweidimensionalen Tropfenaufprall [119] sind außerdem weitere Druckoszillationen hinter

der vom Aufschlag erzeugten Stoßwelle zu erkennen, die wahrscheinlich den hier berechne-

ten Oszillationen entsprechen.

Bei genauerer Betrachtung erkennt man ein Überschwingen amAnfang der Hochdruckphase,

74


(a) (b)

Abbildung 5.3.: Momentaufnahme des Jets mitr0 = 100�m, v = 100m=s und a = 6 zurZeit t = 31; 5 ns. (a): Querschnitt durch den Jet. Geschwindigkeitsvektorenlinks und Druckkonturen rechts. (b): Druckverteilung im Berechnungsgebiet.Die Symmetrieachse istz = 0. Die Auflösung der Darstellung ist vierfachgeringer als in der Berechnung.

obwohl der Druck hier konstant sein sollte. Dies ist ein numerisches Problem, dass schon sehr

lange bekannt ist, dessen Ursache jedoch immer noch nicht vollständig verstanden ist [122].

5.4. Zusammenfassung

Die üblichen Abschätzungen der Druckbelastungen durch denauftreffenden Jet sind in der

Regel zu gering. Die Druckamplitude wird durch die akustische Näherung (5.1) mit stei-

gender Impaktgeschwindigkeit unterschätzt. Transiente Vorgänge wie die Fokussierung von

Expansions- und Druckwellen auf die Zylinderachse führen zu einer deutlich längeren Druck-

belastung als die Abschätzung mit Hilfe von Schallgeschwindigkeit und Jetradius ergibt. Da-

bei können unter gewissen Bedingungen sogar Zugspannungenauftreten. Die transienten Vor-

gänge führen zu hochfrequenten Druckbelastungen.

75

6. Simulation des wandnahenBlasenkollaps bei hohen Drücken

6.1. Anfangs- und Randbedingungen

Als Modell für den Kollaps einer Kavität unter hohen Drückensoll eine sphärische Gasbla-

se mit RadiusR0 im Ruhezustand dienen, die sich im normierten Abstand = S=R0 von

der Wand entfernt befindet. Das Berechnungsgebiet ist in Abb. 4.1 dargestellt. Ein ebener

Drucksprung aus wandnormaler Richtung initialisiert den Kollaps. Vor der Stoßwelle und so-

mit auch in der Blase ist der Druckp0 = 0; 1MPa und hinter dem Stoßp. Die zum Druckp0 gehörenden Dichten sind�l = 1000 kg=m3 und�g = 1; 18 kg=m3 für Wasser bzw. Luft.

Als Anfangsbedingung wird die ebene, senkrecht zur z-Achseverlaufende Stoßfront eine be-

stimmte Anzahl von Zellen oberhalb der Blase positioniert,so dass auch für verschiedenen -Werte die Welle immer zum gleichen Zeitpunkt auf die obere Blasenwand trifft und somit

die Simulationen vergleichbar sind. Die zylindersymmetrische Achse fällt mit einer Symme-

trieachse der sphärischen Blase zusammen.

Ein Maß für die Stärke des Stoßes ist das Verhältnisp+Bp0+B (vgl. Kapitel 4.2.2). Insbesondere

wenn sowohlp0 als auchp klein gegenüberB sind, lässt sich der Stoß als schwach bezeichnen.

Dies ist für die hier gegebenen Anfangsbedingungen im wesentlichen der Fall, denn selbst fürp = 100MPa ist p + B=p0 + B ' 1; 33. Dies macht sich in mehreren anderen Größen be-

merkbar. Zum Beispiel ist die Geschwindigkeit hinter dem Stoß, die Partikelgeschwindigkeitvp = p� p0m ; (6.1)

fast eine lineare Funktion der Druckdifferenz, da nach Gleichung (4.42) näherungsweisem 'p��0(p0 +B) = �0 0 = 1; 48 � 106 Pa s=m (6.2)

76

6. Simulation des wandnahen Blasenkollaps bei hohen Drücken

(a) (b)

(c) (d)

Abbildung 6.1.: Charakterisierung der einlaufenden und reflektierten Stoßwelle (Druck-sprung). Es istp0 = 0; 1MPa. (a) Partikelgeschwindigkeitvp hinter demStoß und Grenzflächengeschwindigkeitvg nach der Reflexion. (b) Mach-Zahl der Stoßwelle. (c) Druckpg im Gas nach der Reflexion der Stoßwelle.(d) Flüssigkeitsdichte�s hinter dem Stoß und�r nach der Reflexion an derGrenzfläche (gestrichelt)

77


gilt. Aus der Größenordnung vonm erkennt man, daß die Geschwindigkeit hinter dem Stoß

trotz großer Druckdifferenzen im Vergleich zur Schallgeschwindigkeit klein ist (Abb. 6.1(a)).

Das Verhältnis von Stoßgeschwindigkeit�s zur Schallgeschwindigkeit 0 vor dem Stoß, die

Machzahl des Stoßes Ma = �s 0 ; (6.3)

ist ein weiteres Kennzeichen für die Stoßstärke. Deren Abweichungen von 1 sind ebenfalls

klein (Abb. 6.1(b)). Trifft die Stoßwelle auf die obere Blasenwand auf, die in erster Näherung

für diesen Zeitpunkt als eben angesehen werden soll, so besitzt diese nach der Reflexion die

Geschwindigkeit2v1 unter der Annahme, dass die Welle total reflektiert wird [104]. Jedoch

wird ein Teil der Stoßwelle transmittiert. Es findet eine im Vergleich zur Stoßwellenamplitude

kleine Druckerhöhung im Gas statt (Abb. 6.1(c)). Die Abweichungen der Grenzflächenge-

schwindigkeit vom Zweifachen der Partikelgeschwindigkeiten sind jedoch geringer als ein

Promille (Abb. 6.1(a)). Das beschriebene Verhalten verändert sich signifikant, wennp sich

der Größenordnung vonB nähert, was hier nicht weiter betrachtet wird. Die Verwendung

der steifen Gasgleichung (4.5) anstatt der Tait-Gleichung(4.4) führt dazu, dass die Flüssig-

keitsdichte hinter der reflektierten Welle geringer sein kann als im Ausgangszustand (Abb.

6.1(d)), obwohl der Druck hier jetzt höher ist alsp0, nämlich identisch zum Gasdruck (Abb.

6.1(c)). Durch die Zustandsgleichung (4.5) sind irreversible Zustandsänderungen durch Stoß-

wellen möglich, so dass sich der Referenzzustand für die Tait-Gleichung, die die reversiblen

Änderungen in der Expansionswelle beschreibt, verändert.

Die folgenden Rechnungen wurden mit transmissiven Randbedingungen am oberen und seitli-

chen Rand des Berechnungsgebietes durchgeführt. Zur Berechnung wurden drei überlappende

Gitter benutzt, die jeweils die gleiche Anzahl an Gitterzellen besitzen, jedoch die doppelte Zel-

lengröße des jeweils kleineren besitzen. Das Viertel einesGitters, dass von einem kleineren

überlappt wird, wird dabei nicht berechnet, sondern liefert nur die Randwerte für das größere

Gitter. Die Flussfunktionen werden an den Rändern so angepasst, dass das Verfahren konser-

vativ bleibt. Das Berechnungsgebiet der Größe1; 1� 2; 2 R20 ist durch128� 256 Gitterzellen

diskretisiert, und die CFL-Zahl ist 0,4.

78


6.2. Jetbildung

Als Beispiel soll der Fall dienen, dass sich eine Blase vom RadiusR0 = 100�m im Abstand = 1; 1 vor der Wand befindet und von einem Drucksprung der Stärkep=p0 = 100 getroffen

wird. Die Partikelgeschwindigkeit ist6; 4m=s. Abb. 6.2 zeigt die zeitliche Entwicklung der

Blase anhand von Konturlinien, Isobaren und Geschwindigkeitsfeldern.

Durch das Auftreffen der Stoßwelle auf die obere Blasenwandwird diese beschleunigt. Es

breitet sich im Gas eine Stoßwelle sehr kleiner Amplitude aus, die nur im Geschwindigkeits-

feld sichtbar ist, wie man im zweiten Bild von Abb. 6.2 (t = 137 ns) erkennt. Hier befindet

sich die Stoßfront kurz vor der Reflexion an der festen Wand. Beim Erreichen der unteren

Blasenhemisphäre löst die Stoßfront von der Phasengrenzfläche ab und wird dadurch gebeugt.

Die Druckerhöhung unterhalb der Blase ist aufgrund dieser Beugung der Stoßwelle geringer

als an der Oberseite, so dass dies neben den Laufzeitunterschieden der Grund dafür ist, dass

die Stoßwelle im Gas etwas unterhalb des Blasenmittelpunkts fokussiert wird. Bild 3 von

Abb. 6.2 (t = 317 ns) zeigt einen Zeitpunkt kurz vor dieser Fokussierung. Der Druckanstieg

im Fokus ist jedoch immer noch gering im Vergleich zum Umgebungsdruck. Zu diesem Zeit-

punkt hat sich bereits ein vergleichbar homogenes Druckfeld um die Blase etabliert, das erst in

der Nähe der Wand merkliche Verzerrungen erfährt. Die mittlere Geschwindigkeit der Blasen-

wand ist mit etwa50m=s noch gering, wie Abb. 6.3 zu entnehmen ist. Da der Druckgradient

bestehen bleibt, wird die Flüssigkeit stetig in Richtung Blasenmittelpunkt beschleunigt. Die

Zuströmung auf einen zylindersymmetrischen Bereich führtoberhalb der Blase zur Bildung

eines Gebietes hohen Drucks, wie er in den Bildern 4 bis 7 von Abb. 6.2 zu sehen ist. Der

Druck innerhalb dieses Gebietes erhöht sich mit der Zeit undkann aufgrund der hohen Strö-

mungsgeschwindigkeiten enorm groß werden, wie ein Vergleich von Abb. 6.2, Bild 6, und

Abb. 6.4 zeigt. Die Jetgeschwindigkeit beträgt hier etwa1300m=s. In den Bildern 4 und

5 zeigen sich auch Oszillationen im Druckfeld, die durch numerische Fehler an der Phasen-

grenze entstehen. Durch die Nähe zwischen diesem Gebiet hohen Drucks und der Blase,

innerhalb der der Druck immer noch gering ist, entstehen enorm starke Druckgradienten, wie

sich sowohl an der Dichte der Isobaren in Abb. 6.2 als auch in Abb. 6.4 erkennen lässt. In

Randintegralmethoden spielt diese Nähe praktisch keine Rolle, aber bei Euler-Verfahren muss

der Druckgradient durch die Zellen aufgelöst werden. Das Verfahren setzt zudem in den Zel-

len Druckgleichheit zwischen den Komponenten voraus, so dass hier ein sehr anspruchsvolles

Problem vorliegt. Hier wäre die Verwendung eines adaptivenGitters sinnvoll, dass die Auf-

79

6. Simulation des wandnahen Blasenkollaps bei hohen Drückent = 0ns t = 137 ns t = 317 ns

t = 743 ns t = 805 ns t = 852 ns

t = 871 ns t = 889 ns t = 907 ns

Abbildung 6.2.: Stoßwelleninduzierter Blasenkollaps in der Nähe einer festen Wand beiz = 0.Es ist = 1; 1 undp=p0 = 100. Dargestellt ist ein Schnitt durch die Symme-trieachser = 0 der Blase. Die linke Seite zeigt das Geschwindigkeitsfeld,dieRechte die Linien gleichen Drucks, wobei die Druckabständezwischen denIsobaren für das jeweilige Bild konstant sind. Die Blasenkonturen werdendurch Linienelemente dargestellt, wie sie mit dem VOF-Algorithmus berech-net werden, und sind keine Konturlinien der Volumenfraktion. Der Darstel-lungsmaßstab kann sich von Bild zu Bild ändern.

80

6. Simulation des wandnahen Blasenkollaps bei hohen Drückent = 927 ns t = 952 ns t = 977 ns

Abbildung 6.2.: Fortsetzung

Abbildung 6.3.: Entwicklung des geometrischen Mittelpunktszm und des äquivalenten RadiusRe. Da das Berechnungsgebiet zylindersymmetrisch ist, ist der Mittelpunktdurch die Angabe der vertikalen Komponentezm bestimmt. Der äquivalenteRadiusRe ist durch das VolumenV der Blase gegeben:Re = (3�=4V )1=3.Links sind die Orts-Zeit-Kurven, rechts die dazugehörigenGeschwindigkei-ten abgebildet.

lösung in diesem Gebiet verbessert. Im übrigen Berechnungsgebiet liegt dagegen eine aus

numerischer Sicht gutmütige Strömung vor. Hier zeigt sich demnach wieder die mehrskalige

Natur der Kavitationsblasendynamik.

Der zur Wand gerichtete Jet wird mit der Entstehung dieses Hochdruckgebietes enorm be-

schleunigt, bis er ein Maximum erreicht und danach wieder etwas an Geschwindigkeit ver-

liert, bevor er auf die untere Blasenwand trifft (vgl. Abb. 6.5). Dieses Verhalten wird eben-

so in Randintegralsimulationen beobachtet [80]. Der Geschwindigkeitsverlust hängt damit

81


Abbildung 6.4.: Druckfelder zum Zeitpunktt = 852 ns. Links: Druckverteilung im Berech-nungsgebiet (kleinstes Gitter). Die Achser = 0 ist die Symmetrieachse. DieAuflösung der Darstellung ist vier Mal geringer als die in derRechnung ver-wendete. Rechts: Isobaren innerhalb der Blase.

zusammen, dass die Jetspitze von Gas umgeben ist. Dies verhindert, dass sich der starke

Druckgradient bis zur Jetspitze ausbreit, wie man an den Isobaren in Bild 6 von Abb. 6.2 er-

kennt. Gleichzeitig erhöht sich der Druck innerhalb der Blase, so dass die Jetbewegung einen

größeren Widerstand erfährt. Die Druckerhöhung entsteht nicht nur durch die Volumenver-

minderung. Die Jetspitze bewegt sich mit Überschallgeschwindigkeit bzgl. des Gases in die

Blase hinein, so dass sich eine Stoßwelle von der Jetspitze ablöst. Diese wird an den seitli-

chen Blasenwänden reflektiert (Abb. 6.4). Die maximale Geschwindigkeit des Jets ist etwa14 �p�p=�0 und befindet sich damit in der gleichen Größenordnung wie diedurch Randin-

tegralmethoden ermittelten Geschwindigkeiten (vgl. z.B.[80] und Kapitel 3.3.1.1).

Mit dem Aufprall auf die untere Blasenwand ist die Emission von Stoßwellen verbunden (Abb.

6.2, Bild 7). Aufgrund der hohen Jetgeschwindigkeit breitet sie sich in Richtung feste Wand

deutlich schneller aus als in den Jet hinein (Abb. 6.2, Bild 7und 8). Die Reflexion an der

festen Wand ist mit starken nichtlinearen Effekten wie der Erhöhung der Schallgeschwindig-

keit verbunden, so dass die Stoßfront nach kurzer Zeit in Wandnähe fast tangential zu dieser

verläuft (Abb. 6.2, Bild 8). Obwohl das Emissionzentrum derBlase sich sehr nah an der Wand

befindet, macht sich die Stoßwelle nicht in einem Drucksprung an der Wand bemerkbar: Nach

Abb. 6.5 steigt der Druck zwar auf einen hohen Wert, der langeanhält, jedoch entspricht dies

82


Abbildung 6.5.: Links: Druckbelastung der Wand unterhalb des Jets für verschiedene -Werte,gemittelt über die vier der Symmetrieachse benachbarten untersten Zellen.Rechts: JetgeschwindigkeitvJ für verschieden -Werte. Dabei handelt essich nicht um die exakte Geschwindigkeit der oberen Blasenwand auf derSymmetrieachse, sondern um die mittlere Geschwindigkeit in der Zelle, inder sie sich befindet. Wechselt die Phasengrenze die Zelle, so kommt esin der Darstellung zu Oszillationen. Das Auftreffen des Jets auf die untereBlasenwand wird durch den dramatischen Abfall der Geschwindigkeit in derDarstellung angezeigt.

in etwa dem Staudruck, den der Jet auf die Wand ausübt. Wenn < 1 ist, so ergeben sich

aufgrund des direkten Jetaufpralls Drücke, die etwa doppelt so hoch sind.

Mit dem Jetaufprall sind weiterhin die Entwicklung des sog.Splash und das Entstehen eines

Wirbels verbunden. Der Splash entsteht durch das Auftreffen des Jets auf die Flüssigkeit un-

terhalb der Blase, die sich in Richtung Blasenzentrum bewegt. Die Flüssigkeit weicht in eine

Richtung aus, die ihr den geringsten Widerstand leistet, nämlich in die leichte Gasphase am

äußeren Blasenrand entlang nach oben (Abb. 6.2, Bild 7). DieBewegung des geometrischen

Blasenmittelpunkts wird dadurch kurzzeitig abgebremst (Abb. 6.3). Anschließend oszilliert

die Geschwindigkeit des Mittelpunkts aufgrund der Blasenbewegung im Wirbel. Für spezielle

Konfigurationen ergibt sich eine pilzförmige Gestalt nach dem Splash [84, 25]. In diesem Fall

jedoch zerreißt diese Bewegung die Blase im unteren Teil (Abb. 6.2, Bild 8). Die Randin-

tegralmethode in [84] bricht in diesem Moment ab, während dies für die VOF-Methode un-

problematisch ist. Durch das Zerreißen enstehen zwei Wirbel um die jeweiligen Bruchstücke

der Blasen. Es muss an dieser Stelle darauf hingewiesen werden, dass die Krümmungsradien

in diesem Stadium der Entwicklung so klein sein können, dassdie Blasenform im weiteren

83


Verlauf mit Sicherheit nicht korrekt wiedergegeben wird. In diesem Stadium tritt auch der Ef-

fekt einer numerischen Oberflächenspannung auf, der durch den Rekonstruktionsalgorithmus

bedingt ist. Hieraus resultieren auch die kleinen Gasblasen in Bild 7 von Abb. 6.2 unterhalb

der Blase nach dem Jetaufprall.

Für diesen -Wert ergibt sich keine Stoßwelle, die durch die Kompression des Blaseninhalts

enstehen könnte. Dies wird verhindert durch durch den jetinduzierten Ringwirbel, der die Bla-

se am weiteren kollabieren hindert. Hierin liegt ein großerUnterschied zum Kavitationsbla-

senkollaps unter Atmosphärendruck, bei dem starke Stoßwellen zum Zeitpunkt der stärksten

Gaskompression entstehen [24]. Aufgrund der hohen Strömungsgeschwindigkeiten entsteht

im Wirbelzentrum ein hoher Unterdruck, in den das Gas hineingezogen wird und dort wieder

expandiert (Abb. 6.2, Bild 9). Der Ringwirbel bewegt sich auf die Wand zu und expandiert

anschließend in radialer Richtung, was in den Verzerrungender Blase deutlich wird (Abb. 6.2,

Bilder 10-12). Die Bewegung des Jets und die hohen Strömungsgeschwindigkeiten führen

zu lang anhaltenden und hohen Staudrücken auf der Wand (vgl.Abb. 6.5 sowie Isobaren in

Abb. 6.2), die mit der Annäherung des Ringwirbels an die Wandanwachsen. Die Simulation

vernachlässigt den Einfluss der Viskosität, die in diesem Stadium für die Wirbeldynamik und

die Scherungen an der Wand wichtig ist. Aufgrund der hohen Geschwindigkeiten lässt sich

vermuten, dass die Wandschubspannungen hier enorm wären und sicherlich keinen vernach-

lässigbaren Effekt bei Erosionserscheinungen spielen würden.

Die hier gezeigte Dynamik ändert sich nicht signifikant, wenn man die Größenordnung des

Problems verändert, wie Abb. 6.6(a) zeigt. Bei kleineren Drückenp verringern sich sowohl

die Jetgeschwindigkeit als auch die Grenzflächendrücke (Abb. 6.6(b)). Fürp=p0 = 50 ist die

maximale Jetgeschwindigkeit immer noch etwa14p�p=�, während sie fürp=p0 = 10 auf

etwa12p�p=� absinkt. Das Absinken der Jetgeschwindigkeit ist auf den größeren Einfluss

des Gases in der Blase zurückzuführen, da die treibende Druckdifferenz nur um eine Grö-

ßenordnung höher ist als der Gasdruck zum Beginn der Rechnung innerhalb der Blase. Im

letzteren Fall nehmen die Oszillationen im Druckfeld an derPhasengrenze jedoch zu. Dies

ist vermutlich auf die langen Integrationszeit in Verbindung mit der während der gesamten

Rechnung niedrigen Machzahl zurückzuführen (vgl. auch Kapitel 4.7).

Die kleinere Jetgeschwindigkeit führt noch zu einem weiteren interessanten Effekt. Innerhalb

der Blase gibt es nach der Bildung der Stoßwelle mehr Zeit füreinen Druckausgleich. Der

Jet erfährt für eine längere Zeit bei geringerer Geschwindigkeit den Widerstand des Gases

84


(a)

(b)

(c)

Abbildung 6.6.: Jetgeschwindigkeit und Druck auf der Grenzfläche unterhalb der Symme-trieachse für = 1; 1. (a)R0 = 1mm, p=p0 = 100. (b) R0 = 100�m,p=p0 = 50. (c)R0 = 100�m, p=p0 = 10.

85


und verbreitert sich dabei (Abb. 6.7). Dabei rollt sich sogar an der Seite der Jet ein wenig

auf (Abb. 6.7, Bilder 2,4 und 5), was jedoch vermutlich bei Berücksichtigung von Oberflä-

chenspannungen kaum der Fall wäre, denn die Krümmungsradien sind an diesen Stellen sehr

groß. Es kommt zu einer im Vergleich zur Jetstoßwelle langsameren Druckerhöhung an der

unteren Blasenwand, so dass bereits vor dem Jetaufprall eine Druckerhöhung unterhalb der

Blase sichtbar wird. Die untere Blasenwand beschleunigt deutlich vor dem Jetaufprall bereits

in Richtung Wand. Es verbleibt zunächst eine sehr dünne Gasschicht zwischen Jet und der

Flüssigkeit unterhalb der Blase (Abb. 6.7, Bilder 3 und 6). Der Beginn des Splash ist bereits

in Bild 2 zu sehen.

Laserinduzierte Blasen zeigen im Vergleich zu Randintegralsimulationen deutlich breitere Jets

[95]. Die Randintegralsimulationen vernachlässigen die Dynamik innerhalb der Blase. Auch

wenn sich diese Experimente und Simulationen nicht mit den hier gezeigten Rechnungen un-

mittelbar vergleichen lassen, so können diese Ergebnisse doch einen Hinweis darauf geben,

dass es evtl. die vernachlässigte, räumlich inhomogene Dynamik des Gases ist, die diese Dis-

krepanz verursacht.

6.3. Torusförmiger und hemissphärischer Kollaps

Verkleinert man , so verringert sich auch der beugungsbedingte Abfall der Amplitude der

Stoßwelle in der Nähe der Blase vor der Reflexion an der Wand. Hieraus resultiert eine stärke

Amplitude der reflektierten Stoßwelle, so dass die Jetgeschwindigkeit für kleine aufgrund

des stärkeren Druckgradienten wieder zunimmt. Abb. 6.8 zeigt Ausschnitte aus der Dynamik

einer Blase mit = 0; 25, für die die maximale Jetgeschwindigkeit höher ist, als in den oben

gezeigten Fällen (vgl. Abb. 6.9 und Abb. 6.5).

Es entwickelt sich wiederum ein Gebiet hohen Drucks, der denJet beschleunigt (Abb. 6.8,

Bild 1). Beim Aufschlag auf die feste Wand ensteht eine Stoßwelle, wie in Bild 2 von Abb.

6.8 und dem Druckverlauf in Abb. 6.9 deutlich wird. Jedoch tritt kurz nach dem Jetaufprall

eine noch stärkere Druckbelastung auf. Diese ist verbundenmit dem Erreichen des minimalen

Volumens der nun torusförmigen Blase (Abb. 6.10). Von ihr geht eine torusförmige Stoßwelle

aus, die auf der Symmetrieachse fokussiert wird (Abb. 6.8, Bild 3). Der Druck auf der Wand

ist um den Faktor 3 größer als beim Jetaufprall. In diesem Fall bildet sich nur ein sehr kleiner

Ringwirbel aus (Abb. 6.8, Bild 3), so dass das Gas extrem komprimiert werden kann.

86


t = 2816 ns t = 2834 ns t = 2852 ns

Abbildung 6.7.: Druck- und Geschwindigkeitsfelder für = 1:1. Obere Reihe:p=p0 = 50.Untere Reihe:p=p0 = 10. Alle weitere Parameter sind identisch mit den ausAbb. 6.2.t = 754 ns t = 772 ns t = 786 ns

Abbildung 6.8.: Druck- und Geschwindigkeitfelder für = 0:25. Die anderen Parameter sindidentisch mit denen aus Abb. 6.2.

87


Abbildung 6.9.: Links: Druckbelastung der Wand unterhalb des Jets für verschiedene -Werte,gemittelt über die vier der Symmetrieachse benachbarten untersten Zellen.Rechts: JetgeschwindigkeitvJ für verschieden -Werte.

(a) (b)

Abbildung 6.10.: Druck und Geschwindigkeit des effektivenRadius für (a) = 0; 25 und (b) = 0.

Wird noch weiter verringert, so führt die reflektierte Stoßwelle, die aufgrund der noch ge-

ringeren Beugungseffekte sehr stark ist, dazu, dass die seitlichen Blasenwände etwa ebenso

schnell kollabieren wie die obere Blasenwand. Für = 0 kollabiert die hemisphärische Blase

damit fast symmetrisch (Abb. 6.11), so dass das Gas extrem komprimiert wird und sich deut-

lich stärkere Druckbelastungen ergeben als in den vorherigen Beispielen (Abb. 6.9). In Bild

2 wird die schlagartige Geschwindigkeitsumkehr an der Stoßfront deutlich. Kleine Asymme-

trien im Kollaps führen jedoch zu Oberflächeninstabilitäten beim Wiederaufschwingen (Bild

2 und 3). Deren weitere Entwicklung hängt vergleichsweise empfindlich von den Randbedin-

88


(a) t = 696 ns t = 717 ns t = 750 ns

(b) t = 324 ns t = 346 ns t = 461 ns

Abbildung 6.11.: Druck- und Geschwindigkeitsfelder für = 0. Obere Reihe: Die weiterenParameter sind identisch mit denen aus Abb. 6.2. Untere Reihe: Die Abwei-chungen zu den anderen Simulationen sindp=p0 = 500, C fl = 0:45. Eswurde nur ein Gitter der Größe2� 4 �R20 verwendet.

gungen sowie der Gitterweite ab. Eine weitere Erhöhung der Stoßstärkep=p0 führt zu einem

radialen Kollaps (Bild 4 bis 6) und einer anschließenden Expansion auf der Symmetrieachse.

Das Gas kann sich aufgrund der radialen Fokussierung leichter nach oben ausdehnen. Dieser

Gasjet ist jedoch instabil und zerfällt. Die Ausprägungen dieser Instabilitäten sind wiederum

nicht unabhängig von der Gitterweite. Die Zylindersymmetrie und die fehlenden Oberflächen-

spannungen dürften auch einen großen Einfluss darauf besitzen, dass sich Strukturen dieser

Art bilden.

89


6.4. Entstehung von Wirbelstärke

Wendet man auf die Impulsgleichungen für die ideale Flüssigkeit den Rotationsoperator an,

so erhält man als Gleichung für die Wirbelstärke! = 1=2 � r � u die Transportgleichung�!�t �r� (u� !) = 12�2r��rp : (6.4)

Diese Gleichung besagt, dass sich die Wirbelstärke eines Flüssigkeitselementes in einer idea-

len Flüssigkeit nicht ändert, wenn Druck- und Dichtegradient parallel sind, also insbesondere

wenn die Strömung isentrop ist. In inkompressiblen Flüssigkeiten ist die rechte Seite ebenso

identisch Null. Für anisentrope Strömungen lautet der Erhaltungssatz [44]ddt!rs=� = 0 : (6.5)

An einer ebenen Stoßwelle, wie sie hier als Anfangsbedingung auftritt, ändert sich zwar die

Entropie eines Flüssigkeitselementes, jedoch sind Druck-und Dichtegradient parallel zuein-

ander. Dies ändert sich jedoch, wenn die Stoßwelle an der gekrümmten Grenzfläche der Blase

reflektiert wird. Selbst wenn sich die Entropie nicht ändernwürde, führt die anormale Refle-

xion der Stoßwelle zu nichtparallelen Gradienten von Dichte und Druck, denn der Dichtegra-

dient ist normal zur Grenzfläche. Nur an der oberen Blasenwand auf der Symmetrieachse, wo

die Reflexion näherungsweise grenzflächennormal ist, wird keine Wirbelstärke erzeugt. Das

erste Bild in Abb. 6.12, zeigt die Wirbelstärke im Strömungsgebiet der simulierten Blase aus

Kapitel 6.2 nach der Reflexion der Stoßwelle an der festen Wand. Die azimutale Komponente

wurde durch Approximation mit zentralen Differenzen erhalten:! = vi+1;j � vi�1;j4�r � ui;j+1 � ui;j�14�z : (6.6)

Aufgrund der Zylindersymmetrie sind die anderen beiden Komponenten identisch Null. Die

Entstehung der Wirbelstärke lässt sich auch auf eine weitere Art deuten. Die Phasengren-

ze stellt in einer idealen Flüssigkeit eine tangentiale Unstetigkeit dar [53], so dass zwar die

Normalkomponente der Geschwindigkeit sich stetig über dieGrenzfläche ändert, nicht jedoch

die Tangentialkomponente. Diese Unstetigkeit ist es dann,die zur Entstehung der Wirbelung

führt.

Da die Entropieänderungen in der Flüssigkeit gering sind, wird die durch die Stoßwelle indu-

zierte Wirbelstärke im wesentlichen mit der Flüssigkeit transportiert. Die Ausnahme bilden

90


Abbildung 6.12.: Konturlinien der Wirbelstärke für die Simulation aus Abb. 6.2.

die unebenen Stoßfronten im Gas, die bei der Fokussierung des transmittierten Anteils der

Stoßwelle zu Beginn der Simulation (Abb. 6.12, Bild 1) und durch den schnellen Jet im wei-

teren Verlauf (Abb. 6.12, Bild 2) enstehen. Die Konturlinieder Blase erkennt man fast nur

auf der Symmetrieachsex = 0, ansonsten ist die äußere Begrenzung eine Konturlinie der

Wirbelstärke in der Flüssigkeit (Abb. 6.12, Bilder 1 und 2).

Durch die Verdichtung des Gases ist am Ende der Kollapsphasedie gesamte Gasphase nicht

mehr rotationsfrei (Abb. 6.12, Bild 3). Zudem entwickelt sich beim Jetaufprall wiederum eine

Wirbelschicht, denn bei der angenommenen idealen Flüssigkeit entsteht an der Kontaktlinie

eine tangentiale Unstetigkeit, während die Normalkomponenten der Geschwindigkeiten ste-

tig sind. Diese Wirbelschicht wird als Schnittfläche bei Topologieänderungen in manchen

Randintegralmethoden mitverfolgt [82, 83]. In dieser Wirbelschicht spielen viskose Effekte

wiederum eine wichtige Rolle, die hier jedoch nicht berücksichtigt werden.

91

7. Laserinduzierte Kavitation in einemStrömungskanal

Die Probleme bei den Untersuchungen zur Kavitationsblasendynamik beschränken sich nicht

nur auf die um Größenordnungen verschiedenen Raum- und Zeitskalen. Kavitation ist zu-

dem sowohl in der Natur als auch in der Technik in der Regel einstochastischer und statisti-

scher Prozess. Dies bedeutet, dass sich weder Ort und Zeitpunkt eines Kavitationsereignisses

noch Parameter wie die Größe, Form und Anzahl der Blasen aus den bekannten Anfangs-

und Randbedingungen so vorhersagen lassen, dass sich eine einzelne Blase in ihrer Dyna-

mik reproduzierbar beobachten lässt. Insbesondere ist es unter den üblichen Bedingungen bei

der Untersuchung kavitierender Strömungen noch nie gelungen, einen gefundenen Schaden

mit einer einzigen Kavitationsblase in Verbindung zu bringen. Zudem führt die Anwesenheit

vieler Grenzflächen zu enormen Schwierigkeiten bei optischen aber auch bei akustischen Mes-

sungen. Daher wurde schon früh versucht, unter deutlich einfacheren Umständen definierte

Versuchsbedingungen herzustellen, um so einfache Modellefür die beobachteten Phänomene

zu gewinnen. Bei der Untersuchung von kollabierenden Blasen in der Nähe einer Grenzfläche

bedeutete dies zunächst, dass das Experiment in einer ruhenden Flüssigkeit mit einer einzel-

nen Blase stattfindet und ein geeigneter Erzeugungsmechanismus für die Blase bereitgestellt

werden muss. Bei den ersten experimentellen Beobachtungender Entstehung des zur festen

Wand gerichteten Flüssigkeitsstrahls wurden die Blasen durch Funkenentladungen zwischen

zwei Elektroden generiert, so dass sich Ort und Zeitpunkt der Blasenentstehung bestimmen

lassen [123, 21]. Hierbei stören jedoch die Elektroden die Dynamik der Blase. Der bei der

Funkentladung erzeugte dielektrische Durchbruch im Wasser lässt sich auch durch die Fokus-

sierung eines Laserstrahls genügend hoher Intensität erreichen. Dieser Effekt wurde Anfang

der siebziger Jahre des vergangenen Jahrhunderts zum ersten Mal von Lauterborn zur Erzeu-

gung und Beobachtung von Kavitationsblasen verwendet [22,124, 125]. Dabei entfallen die

92

7. Laserinduzierte Kavitation in einem Strömungskanal

störenden Elektroden. Im Laufe der Zeit wurde die Experimentiertechnik so weit verfeinert,

dass sich eine sehr hohe Reproduzierbarkeit der Ergebnisseerreichen lässt (vgl. z.B. [23]).

Dies ist Voraussetzung für zeitlich und räumlich hoch aufgelöste Visualisierungen z.B. von

Stoßwellen, die beim Jetaufprall auf die gegenüberliegende Blasenwand entstehen [24].

Die experimentellen Arbeiten zum wandnahen Kollaps sind inihrer Zahl kaum zu überblicken

(vgl. z.B. den Übersichtsartikel [126]). Hervorheben kannman hier jedoch sicherlich die

Arbeiten [23, 26], die sehr systematisch die Dynamik der Blase als auch die entstandenen

Erosionschäden auf der Materialoberfläche in Abhängigkeitvon (vgl. Gleichung (1.1)) un-

tersuchen. Zudem werden Experimente und Ergebnisse vorheriger Arbeiten referiert und ana-

lysiert.

In diesem letzten Teil der Arbeit wird die Dynamik einer einzelnen Kavitationsblase in Wand-

nähe unter Einfluss einer Strömung untersucht. Es soll beobachtet werden, inwieweit die

unterliegende Strömung die Dynamik der Blase im Vergleich zu den Beobachtungen in einer

ruhenden Flüssigkeit beeinflusst. Die Dynamik der Blase an der Grenzfläche ist entscheidend

für das entstehende Schadensbild bei der Kavitationserosion [23]. Der weitere Teil dieses

Kapitels erläutert den experimentellen Aufbau. Die aus Experimenten und Simulationsrech-

nungen gewonnenen Ergebnisse werden in Kapitel 8 dargestellt.

7.1. Plattengrenzschicht

Die einfachste Erweiterung der Experimente zum wandnahen Kavitationsblasenkollaps ist

hinsichtlich Untersuchungen in strömenden Medien die Beobachtung der Dynamik in der

laminaren Grenzschicht einer längsangeströmten ebenen Platte im stationären Zustand. Au-

ßerhalb dieser Grenzschicht ist die Strömung parallel, so dass sich bei nicht zu hohen Ge-

schwindigkeiten und kleinen Druckgradienten eine ähnliche Dynamik wie in der ruhenden

Flüssigkeit ergeben sollte. Die interessante Dynamik spielt sich innerhalb der Grenzschicht

ab. Daher müssen die experimentellen Randbedingungen so gewählt werden, dass sich die

Blase zu einem großen Teil innerhalb der Grenzschicht befinden kann. Gleichzeitig sollte

der Geschwindigkeitsgradient groß genug sein, um überhaupt sichtbare Effekte verursachen

zu können. Hier kommt die Lebensdauer der Blase mit ins Spiel, denn sie bestimmt, wie

lange sich die Blase in der Grenzschicht bewegen und verformen kann. Als Maßgabe soll

hier dienen, dass sich die Blase in einem Zyklus etwa um einenMaximalradius weiterbewe-

93


Abbildung 7.1.: Grenzschichtdicke in Abhängigkeit von derLänge der Platte bei einer Ge-schwindigkeit von8m=s. Die kinematische Viskositäten für die verschiede-nen Graphen von oben nach unten sind:� = 8; 94 � 10�7m2=s (T = 25ÆC),� = 8; 02 � 10�7m2=s (T = 30Æ C) und� = 7; 25 � 10�7m2=s (T = 35ÆC).

gen kann. Aus dem Doppelten der Rayleighschen Kollapszeit Gleichung (3.5) ergibt sich bei

Atmosphärendruck unabhängig vom Maximalradius die Geschwindigkeitu1 = 1; 092 s�p� ' 5; 45m=s : (7.1)

Die Kollapszeit verlängert sich für den wandnahen Kollaps mit ' 1 : : : 2 etwa um den Fak-

tor 1; 1 [77], so dassu1 = 5m=s als Richtwert genommen werden kann. Im Folgenden sol-

len aus diesen Bedingungen die experimentellen Rahmenbedingungen bestimmt werden. Die

Vorderkante der Platte falle in einem rechtshändigen Koordinatensystem mit dessen Ursprung

zusammen und liege in der Ebenez = 0. Die Anströmung besitze die Formu = (u1; 0; 0). Es

bildet sich eine Grenzschicht in z-Richtung aus, in der die Geschwindigkeit von Null auf der

Platte bis zur Anströmgeschwindigkeitu1 anwächst. Als Maß für die Dicke der Grenzschicht

wird der AbstandÆS von der Platte gewählt, für den die Geschwindigkeit auf neunundneunzig

Prozent der Anströmgeschwindigkeitu1 gestiegen ist. Wenn die Flüssigkeit als inkompres-

sibel angesehen werden kann, dann ist diese unter den angegebenen Bedingungen bestimmt

94


durch [127] Æs = 4; 92r �xu1 = 5xpRep(x) (7.2)

mit der kinematischen Zähigkeit� und der ortsabhängigen ReynoldszahlRep(x). Laserer-

zeugte Blasen besitzen i.a. maximale Radien in der Größenordnung von1mm. Abb.7.1 zeigt

die Abhängigkeit der Plattenlänge von der angestrebten Grenzschichtdicke für verschiedene

Temperaturen bei der Geschwindigkeiten8m=s. Die Experimente wurden für den Bereich

von x = 400mm geplant. Für die angegebenen Geschwindigkeiten ist hier bereits die Plat-

tenreynoldszahlRep größer als106, was am oberen Ende des Umschlagbereichs zwischen

laminarer und turbulenter Plattenströmung liegt [127]. Die Strömungsvisualisierungen zeig-

ten jedoch keine Verwirbelungen sondern eine vergleichsweise parallele Strömung.

7.2. Messstrecke

480

50

Laser

28u

Abbildung 7.2.: Aufbau der Küvette. Die Strömungsrichtungist durch den Pfeil zur linkenangezeigt. Auf der rechten Seite ist die Optik angedeutet, mit der der Laser-strahl zur Blasenerzeugung fokussiert wird. Alle Längenangaben sind in derEinheit mm.

Die verwendete Küvette, deren Aufbau im Folgenden erläutert und begründet wird, ist in Abb.

7.2 dargestellt. Philipp [23] beschäftigte sich in seiner Arbeit sehr ausgiebig mit der Blasen-

erzeugung. Er untersuchte u.a. die Ablenkung des Flüssigkeitsjet durch die Küvettenwände.

Diese stellt eine Störung zur idealerweise angenommenen Zylindersymmetrie dar, auf deren

Symmetrieachse (das Lot vom Blasenmittelpunkt zur Grenzfläche) sich der Jet zur Grenzflä-

che hinbewegt. Nach seinen Untersuchungen weicht der Jet umweniger als1Æ vom Lot ab,

95


Abbildung 7.3.: Laserinduzierte Blase an einer Plexiglasfläche. Der Laserstrahl kommt vonoben und erwärmt die Plexiglasplatte, so dass dort eine kleine Dampfblaseentsteht. Diese kollabiert und führt zu einem Flüssigkeitsjet, der von untennach oben die Dampfblase durchquert.

wenn die Küvettenwand mehr als23mm vom Laserfokus entfernt ist. Daher wurde eine Ge-

samtbreite von50mm für die Küvette festgelegt, da der Fokus sich in der Mitte befinden soll.

Der Abstand zwischen der angeströmten Platte und der oberenKüvettenwand beträgt28mmund ist somit ausreichend groß für Variationen des Grenzflächenabstandes. Die Gesamthöhe

der Küvette beträgt40mm. Sie besteht zum Großteil aus Plexiglas. Der Messpunkt kannda-

mit flexibel verändern werden und man erhält einen Eindruck von der kompletten Strömung.

Jedoch ist in die obere Küvettenwand ein Glasfenster eingeklebt worden, da die intensive La-

serstrahlung vom Plexiglas zu stark absorbiert würde. Die Folge wäre eine Schwärzung des

Plexiglases. Die Einsparung und die Form der Kanten des Glases sind so angepasst, dass sie

dem Unterdruck während des Entgasungsvorganges entgegenstehen. Um die Küvette auch

gegen Überdrücke abzudichten, befindet sich auf der Berandung der Platte eine Dichtung, die

mit einen Aluminiumplatte angepresst wird. Die angeströmte Platte besteht aus Plexiglas,

da der Laserstrahl senkrecht zur Platte verläuft und die Laserstrahlung nicht vollständig bei

der Blasenerzeugung absorbiert wird. Eine stabilere Metallplatte würde von der verbleiben-

den Strahlung erhitzt werden, so dass sich dort Dampfblasenbilden und Material abgetragen

würde. Dies lässt sich auch bei der Plexiglasplatte nicht gänzlich vermeiden, der Effekt wird

jedoch minimiert (Abb. 7.3).

Die Plattenvorderkante ist aus Stabilitätsgründen, und umeine Ablösung zu vermeiden, gerun-

det mit einem Krümmungsradius von56; 5mm. An der Verrundung ist keine nennenswerte

96


Ablösung erkennbar, daher gelten nach [127] die Ergebnissefür die laminare Plattengrenz-

schicht im wesentlichen auch hier.

Da diese Konstruktion dafür gedacht war, den Messpunkt möglichst flexibel wählen zu kön-

nen, befindet sich innerhalb der Plexiglasküvette kein Hydrophon, mit dessen Hilfe man

durch die Bestimmung der Zeitpunkte von Blasenerzeugung und erstem Kollaps über Glei-

chung (3.5) und einen Korrekturfaktor [77] den Maximalradius ermitteln kann. Die Verwen-

dung eines Piezoelements und eines Beschleunigungssensors, die an verschiedenen Stellen

auf der Küvettenwand angebracht waren, ergaben keine scharfen, durch die emittierten Stoß-

wellen hervorgerufenen Signale, sondern offensichtlicheEinschwingvorgänge. Diese sind

wahrscheinlich durch Körperschall induziert, da die Sensoren nicht in unmittelbarer Nähe der

erzeugten Blasen angebracht werden können, und die Plexiglasplatte unterhalb der Blase die

Stoßwellen auf die anderen Bauteile überträgt. Die Längenmessungen erfolgten daher optisch

mit einem Vergleichsmaßstab.

7.3. Hydraulische Komponenten

Eine2; 2 kW Kreiselpumpe liefert den benötigten Volumenstrom, der nach dem eingebauten

Schaufelradsensor Werte von680 � 20 l=min annimmt. Damit ergibt sich eine mittlere Ge-

schwindigkeit von etwa8m=s im Querschnitt der Küvette. Im gesamten Kreislauf befinden

sich nicht mehr als 30 Liter Flüssigkeit, so dass das gesamteMedium mehr als 20 mal pro

Minute den Kreislauf durchläuft. Durch eine Motorsteuerung kann die Pumpe kontinuierlich

bis zur maximalen Leistung hochgefahren werden, so dass dieempfindlichen optischen Teile

keine starken Erschütterungen erfahren. Jedoch übertragen sich trotz der verwendeten fle-

xiblen Elevatoren, die den Prüfstand mit der Küvette verbinden, durch die Pumpe induzierte

Schwingungen spürbar auf die Küvette, die separat auf einemSchwingtisch befestigt wurde.

In einem zur Pumpe parallelen Nebenkreislauf befindet sich ein Öl-Luft-Kühler, der jedoch die

ständige Erwärmung nur verzögern kann, so dass sich das Fluid innerhalb mehrerer Minuten

von etwa25ÆC auf fast40ÆC erhöht. In einem weiteren Nebenkreislauf wurde ein Entga-

sungsbehälter mit angeschlossener Vakuumpumpe installiert, die das verwendete entionisierte

Wasser so weit entgast, bis keine durch die Strömung erzeugten Gasblasen in der Küvette

sichtbar sind. Die Strömung verläuft in DN 50 Rohren, wobei nur wenige Rohrkrümmungen

durchlaufen werden. Bei dem Krümmer vor der Zuströmung zur Küvette wurde darauf ge-

97


achtet, dass dieser im Rahmen der Möglichkeiten einen möglichst großen Krümmungsradius

aufweist und sich zwischen Krümmung und Zulauf ein gerades Stück Rohr befindet, damit

turbulente Störungen klein bleiben bzw. abklingen können.Beim Übergang von den Roh-

ren zur Küvette sind Strömungsgleichrichter eingebaut worden. Dies sind hexagonale 50 mm

tiefe Gitter, deren Maschen eine Kantenlänge von etwa5mm aufweisen. Diese sollen da-

für sorgen, dass die Plattenvorderkante möglichst parallel angeströmt wird, so dass sich eine

laminare Grenzschicht ausbilden kann.

7.4. Experimentelle Anordnung

Nd:YAG

Laser

DelayKamera

L1

L2

Spiegel

Küvette

Abbildung 7.4.: Anordnung zur Untersuchung lasererzeugter Einzelblasen in einer Strömung.Die Küvette ist im Querschnitt abgebildet, die Strömungsrichtung ist somitsenkrecht zur Bildebene.

Abb. 7.4 zeigt den experimentellen Aufbau. Zur Blasenerzeugung dient ein gütegeschalte-

ter Nd:YAG Laser (HY 750, Lumonics), der Pulse mit einer Halbwertsbreite von8 ns, einer

Wellenlänge von1064 nm und einer Laserenergie von maximal740mJ emittiert. Um die bes-

sere Puls-zu-Puls Stabilität größerer Pulse zu nutzen, wird die Laserenergie mit verschiedenen

Kaltglasfiltern herabgesetzt. Der Laser wird durch das Signal eines Pulsgenerators mit einer

konstanten Frequenz von 1 Hertz betrieben, um Puls-zu-PulsEnergieschwankungen möglichst

gering zu halten. Ein He-Ne Pilotlaser lässt sich in den Strahlengang einkoppeln, um die Ju-

98


stierung zu erleichtern. Das Signal des Pulsgenerators steuert weiterhin einen Delaygenerator,

mit dem die Kamera und der Blitz angesteuert werden. Bei der Kamera handelt es sich um

eine Imacon 468 von DRS Hadland LTD. Damit können Bilderserien von insgesamt 8 Bil-

dern mit einer maximalen Folgerate von 100 Millionen Bilderpro Sekunde aufgenommen

werden. Möglich ist dies dadurch, dass das einfallende Licht durch einen Strahlteiler auf 8

verschiedene ICCD-Chips verteilt wird, die von einem 100 MHz Delaygenerator angesteuert

werden. Ein Metz Mecablitz 60 CT4 reicht für die hier verwendeten Aufnahmefrequenzen

und Belichtungszeiten aus.

7.5. Fokussierungsoptik

Abbildung 7.5.: Fokussierungsoptik. Es bezeichnen L1 und L2 die verwendeten Linsen undG die Glasplatte in der Küvettenwand.

Um den Ort der laserinduzierten Blasen sowohl über die Längedes Strömungskanals als auch

den Abstand zur Grenzfläche variieren zu können, wird ein System aus zwei Linsen (L1 und

L2 in Abb. 7.4) benutzt, deren Position sich vertikal mit Hilfe eines Lineartisches verändern

lässt, ohne dass sich der Relativabstand zwischen den Linsen verändert. Die Eigenschaften

der Fokussierungsoptik sind essentiell wichtig für die reproduzierbare Erzeugung möglichst

sphärischer Blasen sowohl in Raum als auch Zeit. Das Ziel istzum einen ein möglichst punkt-

förmiger Fokus und zum anderen ein großer Fokuskegelwinkel.

In der Realität wird ein ebener Lichtstrahl aufgrund verschiedener Abbildungsfehler des Lin-

99


Linse n dM[ mm℄ �[mm℄ r1[mm℄ r1[mm℄ f [ mm℄L1 1,51 3,2 18 13,05 9,58 -105,94L2 1,51 7 24 300,69 300,69 30,88G 1,52 10 30 1 1 1

Tabelle 7.1.: Parameter der verwendeten Optik: Brechungsindex n, MittendickedM , Apertur�, Krümmungsradienr1 undr2 sowie die Brennweite f.

sensystems, zu dem auch die 10 mm dicke Küvettenwand gezähltwerden muss, nicht auf einen

Punkt abgebildet. Für die Abbildung auf der optischen Achsemit einem monochromatischen

Laserstrahl sind es vor allem die longitudinalen sphärischen Aberrationen, die das Fokusvo-

lumen bestimmen. Achsenferne Strahlen treffen den Fokus nicht so, wie es die Linsenglei-

chungen für dünne Linsen voraussagen. Je nach verwendeter Linse liegen die Schnittpunkte

in Strahlrichtung vor (positive Aberration) oder hinter (negative Aberration) dem Fokus. Dies

führt zu mehrfachen dielektrischen Durchbrüchen auf der optischen Achse. Die dadurch ent-

stehenden Hohlräume besitzen eine von der einzelnen Blase deutlich veränderte Dynamik

(Abb. 7.6).

Im einfachsten Fall kombiniert man zwei Linsen, von denen die eine positive und die andere

negative Aberrationen aufweist. Zur Optimierung des Linsensystem wurde ein Strahlverfol-

gungsprogramm benutzt [128], wobei von der in [129] benutzten Optik ausgegangen wurde.

Die Linse L1 wurde dabei übernommen, da sie sich im Rahmen derParametervariationen

als ideal herausgestellt hat. Üblicherweise wird es bei denLaserenergien, die hier verwendet

Abbildung 7.6.: Mehrfache Durchbrüche auf der optischen Achse führen zur Erzeugung meh-rerer Blasen.

100


werden, vermieden, Bikonvexlinsen zu benutzen, denn bei diesen kann es durch Reflexionen

zu Sekundärfoki kommen. Optische Komponenten, die sich an diesen Stellen befinden, wür-

den dann evtl. zerstört werden. Jedoch verschlechterten sich die Aberrationseigenschaften bei

der Verwendung von Plankonvexlinsen deutlich im Vergleichzu Bikonvexlinsen der gleichen

Brennweite. Die ermittelte maximale Längsaberration ist200�m und ist damit um den Faktor

10 größer als bei anderen Systemen, bei denen die zweite Linse direkt in der Küvettenwand

sitzt [23, 24, 129]. Die Küvettenwand verschlechtert im Vergleich zu Experimenten mit den

in die Küvettenwand eingebauten Linsen die Aberrationseigenschaften enorm.

Selbst bei vollkommen aberrationsfreier Fokussierung istder dielektrische Durchbruch nicht

punktförmig. Wenn die Leistungsdichte im ideal angenommenen Fokus zuerst die Schwelle

für den dielektrischen Durchbruch überschreitet, so bildet sich hier Plasma. Mit dem wei-

teren Ansteigen der Leistung, der durch die Pulsform des Laserlichts bedingt ist, wandert

der Durchbruch in Gegenrichtung zum Laserstrahl bis zum Erreichen der Maximalleistung

[130]. Die daraus resultierende Längsausdehnung des Plasma ist immer vorhanden und führt

zu länglichen Blasenformen in der frühen Wachstumsphase [24]. Minimiert wird der Effekt

durch einen möglichst großen Fokuskegelwinkel2�. Dieser ist hier etwa15Æ und damit um25% kleiner als in vergleichbaren Experimenten [23, 24, 129].

Da der Laser nicht ausschließlich für die hier gezeigten Arbeiten verwendet wurde, waren

insgesamt drei Spiegel zur Strahlumlenkung nötig. Die optische Weglänge beträgt damit etwa

2,40 m. Die Flüssigkeit erwärmt sich während der Versuche umfast 20ÆC und die Küvet-

te lässt sich nicht vollständig von den durch die Pumpe erzeugten Schwingungen abkoppeln.

Alles in allem folgt daraus, dass in diesem Fall die Reproduzierbarkeit nicht den Standard

erreicht, den die Experimente in der ruhenden Flüssigkeit erreicht haben [23, 24, 129]. Auf-

grund der Empfindlichkeit der Blasendynamik auf veränderteRand- und Anfangsbedingungen

sei darauf hingewiesen, dass der Laserstrahl in diesem Fallvon oben kommt und nicht wie

sonst üblich von der Seite. Daher ist hier die Blase in ihrer Anfangsphase vertikal elongiert

und nicht horizontal.

101

8. Blasendynamik in einerwandnahen Strömung

8.1. Problemstellung

u

dR

S

Abbildung 8.1.: Definitionen der relevanten Parameter.

Bei den Untersuchungen zur grenzflächennahen Blasendynamik in einem ruhenden Fluid ist

der relevante Parameter der durch den MaximalradiusRm normierte AbstandS des Blasen-

mittelpunkts zum Zeitpunkt der Initialisierung, also im Falle des laserinduzierten Blase, der

Laserfokus (vgl. Gl. (1.1)). Die Dynamik der Blase ändert sich dann nicht relevant mit klei-

nen Variationen des Radius [23]. In einer Strömung kommen jedoch zwei weitere wichtige

Größen hinzu: Die GrenzschichtdickeÆs und die Geschwindigkeitu1 in der freien Strömung.

102

8. Blasendynamik in einer wandnahen Strömung

Damit ergeben sich zwei weitere Parameter� = ÆS +Rm (8.1)vr = u1Rm=2tk : (8.2)

Der Parameter� gibt an, wie weit die Blase sich als ganzes innerhalb der Grenzschicht befin-

det.vr ist das Verhältnis von Strömungsgeschwindigkeit und der halben mittleren Kollapsge-

schwindigkeit und sollte wenigstens von der Größenordnung1 sein, damit Strömungseffekte

deutlich werden (vgl. auch Kapitel 7.1). Im Folgenden werden anhand dieser Parameter so-

wohl numerische als auch experimentelle Untersuchungen vorgestellt. In den Experimenten

ist vr durch die Eigenschaften des Aufbaus im wesentlichen vorgegeben und es wird� vari-

iert, während in der Simulation die Parameter nach Beliebenverändert werden können. Die

verwendete Randintegralmethode ist in Anhang A beschrieben.

8.2. Simulation mit der Randintegralmethode

8.2.1. Anfangs- und Randbedingungen

Für die Rechnungen werden zunächst die dimensionslosen Parameter�, undvr vorgegeben.

Diese bestimmen das Problem jedoch nicht ganz, wenn man einerseits die Oberflächenspan-

nung berücksichtigen und andererseits nicht mit einer reinen Dampfblase starten möchte, die

zum Zeitpunktt = 0 sphärisch mit dem MaximalradiusRm ist. Die Anfangsbedingung soll

ähnlich wie in den Experimenten zur laserinduzierten Kavitation gewählt werden. Ausgegan-

gen wird von einer kleinen sphärischen Blase, die dann auf den Maximalradius anwächst. Die

Anfangsbedingung für die Blase wird daher aus Gl. (2.10) unter Vernachlässigung des vis-

kosen Termes und des Gasdrucks gewonnen. Die Rayleigh-Plesset-Gleichung lässt sich dann

nach Umformung in 12R2 _R ddtR3 _R2 = pv � p1� � 2�R (8.3)

integrieren, und man erhält eine Gleichung für_R2 mit den Startwerten_R0 undR0. Nimmt

der Radius der sphärischen Blase ihr Maximum an, so ist_R = 0, woraus sich die Anfangsge-

schwindigkeit _R0 =vuut23 pv � p1� "1� �RmR0 �3#� 2��R0 "1� �RmR0 �2# (8.4)

103


ergibt, die benötigt wird, damit die Blase mit dem StartradiusR0 auf den MaximalradiusRmwächst. Der Maximalradius, auf den sich bezieht, soll im Folgenden etwa1mm betragen,

der Startradius istR0 = 200�m. Daher wurde_R0 = 90m=s gewählt. Der normierte Abstand

zur Wand zum Zeitpunktt = 0 ist . Die weiteren Parameter sind:� = 998; 7 kg=m3,� = 0; 077N=m2 und � = 10�6m2=s. Die zweidimensional Grenzschichtströmung liegt

in der x-z-Ebene, so dass bei sphärischer Initialisierung eine Spiegelsymmetrie ausgenutzt

werden kann und nur eine Hälfte der Blase berechnet wird. Alle im Folgenden gezeigten

Blasenkonturen befinden sich in dieser Ebene. Die Anzahl derBerechnungsknoten ist 313,

woraus 576 Dreieckselemente zur Approximation der Blasenhälfte resultieren.

8.2.2. Simulationsergebnisse

Abb. 8.2 zeigt die Konturlinien von Blasen bei verschiedenen vorgegebenen Parameterwerten.

Auf der linken Seite findet man jeweils die Expansionsphase,auf der rechten die Kollaps-

phase. Die Strömungsrichtung ist von links nach rechts. In einer ruhenden Flüssigkeit, wie

in Abb. 8.2 (a) dargestellt, expandiert die Blase bis zum Maximalvolumen, bei dem sie auf-

grund der Störungen durch die feste Wand beiz = 0 leicht asphärisch ist und eine größere

Ausdehnung in x-Richtung besitzt. Diese leichte Asymmetrie am Ende der Expansionsphase

bestimmt jedoch in nicht vernachlässigbarem Maße die Geometrie des Jets am Ende der Kol-

lapsphase [76]. Die empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen ist neben der

Modellierung der Hauptgrund für die Abweichungen zwischenSimulation und Experiment.

Im Experiment ist der Jet beim Auftreffen auf die gegenüberliegende Wand üblicherweise

breiter als in der Simulation (vgl. z.B. [95]). Dies hat wiederum deutliche Auswirkungen auf

die Druckbelastungen, die der Jet auf die Wand ausübt, wenn er direkt dort auftrifft, wie in

Kapitel 5 gezeigt wurde. Im Laufe der Kollapsphase erkennt man die Entwicklung einer Zacke

in den Konturlinien. Die Ursache hierfür liegt in den bereits erwähnten starken Verzerrungen

des Strömungsfeldes an der Grenzfläche (vgl. Kapitel 3.3.1.1), so dass die Knotenpunkte auf

der Phasengrenze im Laufe der Dynamik sehr ungleich über dieBlase verteilt werden. Dieses

Problem tritt verstärkt bei der Dynamik in der Strömung auf,da hier noch die Verzerrungen

aufgrund des inhomogenen Grundströmungsfeldes hinzukommen. Es führt schließlich zum

frühzeitigen Programmabbruch.

In Abb. 8.2 (b) befindet sich die Blase während der gesamten Expansionphase außerhalb der

Grenzschicht, so dass sich das Wachstum nur in der Translation von dem der Blase in der

104


(a)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-1 -0.5 0 0.5 1

z [m

m]

x [mm]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-1 -0.5 0 0.5 1

z [m

m]

x [mm]

(b)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

z [m

m]

x [mm]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

z [m

m]

x [mm]

(c)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

z [m

m]

x [mm]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

z [m

m]

x [mm]

(d)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

z [m

m]

x [mm]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

z [m

m]

x [mm]

Abbildung 8.2.: Blasenwachstum (links) und Kollaps (rechts) für = 1. (a)vr = 0.(b) vr = 1,� = 0; 1.(c) vr = 1, � = 0; 3. (d) vr = 1, � = 0; 6. (e)

105


(e)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

z [m

m]

x [mm]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

z [m

m]

x [mm]

(f)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

z [m

m]

x [mm]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

z [m

m]

x [mm]

(g)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

z [m

m]

x [mm]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

z [m

m]

x [mm]

Abbildung 8.2.: Fortsetzung. (e)vr = 1, � = 0; 8. (f) vr = 2, � = 1. (g) vr = 4, � = 1.

ruhenden Flüssigkeit unterscheidet. Erst bei der weiterenAnnäherung an die Wand in der

Kollapsphase dringt sie in die Grenzschicht ein, was an Verzerrung der unteren Blasenwand

deutlich wird. Die Jetentwicklung wird hiervon nicht beeinträchtigt, so dass bis zum Jetauf-

prall die Dynamik im wesentlichen wie in (a) verläuft. Nach dem Jetaufprall dürfte jedoch die

Asymmetrie der unteren Blasenwand eine Rolle spielen. Der dabei entstehende Ringwirbel

wird nicht die Symmetrie besitzen wie beim Kollaps in der ruhenden Flüssigkeit. Leider bricht

die Rechnung bereits vorher ab. Da der Zerfall des Ringwirbels deutlich zur Schädigung der

angrenzenden Wand beiträgt [23], stellt sich die Frage, wiesich das veränderte Verhalten auf

das Schadensbild auswirkt.

106


Abbildung 8.3.: Entwicklung des äquivalenten Radius in derZeit für verschiedene in Abb. 8.2dargestellte Blasen. Die Graphen für (a) und (b) sind praktisch nicht unter-scheidbar.

Befindet sich die Blase schon während des Wachstumsprozesses in der Grenzschicht (c), so

findet bereits in dieser frühen Phase ein sichtbarer Symmetriebruch statt. Das maximale Volu-

men der Blase am Ende der Expansionsphase sowie dessen Zeitpunkt werden durch verschie-

dene Parametereinstellungen kaum verändert (vgl. Abb. 8.3). Die Krümmungsradien auf den

beiden Seiten vergrößern sich jedoch. Damit verschiebt sich auch der Punkt mit dem klein-

sten Krümmungsradius auf der oberen Blasenwand und der Ort der Jetbildung, der nach rechts

wandert. Dies wird besonders deutlich für� = 1. Durch den Kollaps fließt Flüssigkeit in die

Blase hinein und der verschobene Bildungspunkt bewirkt, dass der Jet eine Geschwindigkeits-

komponente entgegengesetzt zur Richtung der Grundströmung besitzt. Je größer� ist, desto

stärker werden die Verzerrungen und die Ablenkung des Jets.Daraus folgt, dass der Ener-

gieübertrag des Jets beim Aufprall auf die Wand kleiner wird, da sich auch die Kollapszeit

nur schwach mit der Scherrate verändert (Abb. 8.3). Erst fürsehr starke Scherraten (Abb. 8.2

(f)+(g)) sind größere Abweichungen feststellbar. Jedoch bilden sich schon ab� = 0; 3 auf

der linken Seite negative Krümmungsradien aus, so dass im weiteren Verlauf, der hier nicht

simuliert werden konnte, weitere Oberflächeninstabilitäten entstehen, die einem unregelmäßi-

107


gen Zerfall der Blase in mehrere kleinere Einzelblasen zur Folge haben könnten. Dies kommt

auch darin zum Ausdruck, dass die Weberzahl (vgl. Gl. (3.2))We ' 2; 2Rm�p� ' 2800 (8.5)

für vr = 1 nicht klein genug ist, dass die Oberflächenspannung über diekonvektiven Kräfte

dominieren kann.

Abbildung 8.4.: Dreidimensionale Darstellung der kollabierenden Blase aus Abb. 8.2(e) inder fortgeschrittenen Kollapsphase. Die Blickrichtung ist der Strömung ent-gegengesetzt, die Blickhöhe liegt bei etwaz = 1:2 in der Symmetrieebeneder Blase (Blattebene von Abb. 8.2) und ist leicht nach untengerichtet. Diegraue Fläche ist die feste Wand, unterhalb derer man die gespiegelte Blasesieht, die bei der Rechnung als Randbedingung für die feste Wand eingeht.

108


Die Bewegung wird durch die Konturlinien in der Symmetrieebene jedoch nicht vollständig

erfasst wie in Abb. 8.4 deutlich wird. In der Richtung senkrecht zur Blattebene besteht kein

vorgegebenes Geschwindigkeitsprofil, so dass der Einfluss auf die seitliche Zuströmung zu-

nächst gering ist. Es besteht eine Beeinflussung der Zuströmung in der Kollapsphase von

seiten der festen Wand her und durch die aufgeprägte Grenzschichtströmung. Da in der Kol-

lapsphase die Blasenwand auf im Vergleich zur freien Strömung höhere Geschwindigkeiten

beschleunigt, gibt es eine bevorzugte Strömungsrichtung auf der oberen, der Zuströmung zu-

gewandten Blasenhälfte, die dadurch die Blase in einer Richtung senkrecht zur Grundströ-

mung verjüngt. Daraus resultiert ebenfalls ein asymmetrischer Jet. Für die Beispiele aus Abb.

8.2 (f) und (g) ist dies noch extremer.

8.3. Experimentelle Untersuchungen imStrömungskanal

Die Strömungsgeschwindigkeit beträgt im Kanal etwa8m=s und die Temperatur steigt wäh-

rend der Experimente von der Labortemperatur25ÆC bis knapp40ÆC an. Die Grenzschicht-

dicke variiert damit etwa zwischen0; 95mm und 1; 05mm. Mit der Abschätzung der Kol-

lapszeit durch die Rayleighsche Formel (3.5) ergibt sichvr ' 1; 5 für alle Blasen. Da die

bei der Plasmabildung und im Kollaps enstehenden Stoßwellen akustisch nicht erfasst werden

konnten, sind alle angegebenen Parameter Näherungswerte.

Abb. 8.5 zeigt ein typisches Beispiel für den Kollaps einer Blase in der Grenzschicht. Die linke

Blasenwand scheint praktisch stationär zu sein, während die Blase expandiert und durch die

überlagerte Strömung in Strömungsrichtung elongiert wird. Durch die starken Verzerrungen

enstehen an der Oberseite zwei Orte mit hohen Krümmungsradien, wovon der eine sich im

Übergang von der linken zur oberen Blasenwand befindet (Abb.8.5, Bild 4).

Im Folgenden beschleunigt diese Blasenwand stark, wie man in den Bildern 7 und 8 von Abb.

8.5 erkennt. Jedoch dominiert zur Endphase doch der Kollapsvon der Oberseite und ein Jet im

vorderen Teil der Blase ensteht. Aufgrund der starken Krümmung der Blasenwand ist dieser

innerhalb der Blase kaum sichtbar. Auf der Wand fließt der Jetnach außen ab, wobei sich die

Asymmetrie des Jetaufschlags bemerkbar macht: Die verbleibende Blasenwolke kollabiert in

Strömungsrichtung, so dass man vermuten kann, dass hier einstärkerer Wirbel entsteht als auf

der Rückseite. Dieser stabilisiert die Blasenwolke im stromabwärts gelegenen Teil . Es gibt

109


Abbildung 8.5.: Blasenwachstum und Zerfall in einer Plattengrenzschicht oberhalb einer Ple-xiglasplatte, die sich am unteren Bildrand befindet. Die Strömungsrichtungist von links nach rechts. Die Temperatur beträgt27ÆC und die weiteren Pa-rameter sind� ' 0; 75, vr ' 1; 5 und = 0; 7. Der Bildabstand beträgt20�s, die Belichtungszeit ist1�s, und die Bildgröße ist4� 2; 7mm.

noch einen weiteren sehr gedämpften Kollaps, da in Bild 15 von Abb. 8.5 das Volumen der

Wolke noch einmal leicht zunimmt.

Für kleinere Blasen in der Grenzschicht ergeben sich starkeseitliche Einschnürungen, wie

man in Bild 6 Abb. 8.6 von erkennt. Diese sind in Abb. 8.5 weit weniger ausgeprägt. Der

Kollaps ist sehr asphärisch und im Wiederaufschwingen nähert die Blase sich der Wand, wo

sie scheinbar langsam zerfließt anstatt zu kollabieren. Dies ist sicherlich mit eine Folge der

durch die Strömung enstehenden Oberflächeninstabilitäten, denn dadurch wird ein Teil der

Energie verbraucht, die sonst im Kollaps frei wird.

Der gleiche Effekt verhindert es auch, dass Blasen, die mit größerem Abstand initialisiert

werden, im zweiten Kollaps auf der Wand implodieren, wie dies in Abb. 8.7 dargestellt ist.

In einem ruhenden Fluid implodiert die Blase für � 2 im zweiten Kollaps auf der Wand,

110


Abbildung 8.6.: (a)� ' 0; 7, ' 1; 3, T = 31ÆC. Weitere Parameter wie in Abb. 8.5.

wonach sie noch ein drittes Mal kollabieren kann. Die Abschwächung des zweiten Kollaps

würde für Strömungen bedeuten, dass dort die Blasen deutlich näher an der Wand kollabieren

müssen als in der ruhenden Flüssigkeit, um einen entsprechenden Schaden zu verursachen.

Die trichterförmige Ausstülpung des Jets ist bei Blasen mitetwa� � 0:5 und > 1; 5 oft eher

in Strömungsrichtung ausgeprägt als etwa senkrecht oder gegen die Strömungsrichtung. Zum

einen wird das Wachstum der Blase durch strömungsbedingte Schwankungen gestört, wobei

bekannt ist, dass sich kleine Störungen in dieser Phase vergleichsweise stark in der Kollaps-

phase auswirken. Dem überlagert sind zudem noch die Fehler in der Fokussierung, die eine

Asymmetrie des Jets bewirken, wie sie auch in den Experimenten in ruhenden Flüssigkeiten

auftreten [95]. Zudem ist die Symmetrie bzgl. der radialen Zuströmung zum Blasenzentrum

gebrochen, und aus Richtung der Grundströmung wird leichter Flüssigkeit zuströmen, da hier

keine Richtungsumkehr der Flüssigkeitsbewegung stattfinden muss. Zusätzlich wird aufgrund

der Grenzschichtstruktur Flüssigkeit im Jet aus dem oberenTeil der Schicht in Richtung Wand

transportiert, die eine größere Geschwindigkeitskomponente in Strömungsrichtung besitzt,

111


Abbildung 8.7.:� ' 0; 45, ' 2, T = 36; 5ÆC. Weitere Parameter wie in Abb. 8.5.

als der untere Teil der Blase, auch wenn diese Geschwindigkeitskomponente vergleichsweise

klein zur Jetgeschwindigkeit ist. Diese Effekte sind vermutlich auch die Ursache dafür, dass

der vordere Teil der Blasenwolke an der Wand nach dem ersten Kollaps nach vorne kollabiert.

112

9. Zusammenfassung und Ausblick

9.1. Zusammenfassung

Gegenstand dieser Arbeit war die Dynamik von Kavitationsblasen. Diese ist nicht nur vom

wissenschaftlichen Standpunkt aus gesehen interessant, sondern für das Verständnis einer

Vielzahl technischer Anwendungen unerlässlich. Daraus motivieren sich die in dieser Ar-

beit vorliegenden Grundlagenuntersuchungen, die zu einembesseren Verständnis der Effekte

in blasenbehafteten Strömungen beitragen sollen.

In Kapitel 2 wurden aus potentialtheoretischen Überlegungen modifizierte Rayleigh-

Gleichungen abgeleitet, die im Rahmen einer ’Mean-Field’-Theorie die Dynamik wechsel-

wirkender Blasen beschreiben. Bereits im linearen Fall besitzen die Resonanzkurven für nur

zwei Blasenarten eine komplexe Struktur. Die lineare Resonanzfrequenz des Ensembles ist

kleiner als die für eine einzelne Blase. Im nichtlinearen Fall spiegelt sich die Anwesenheit

vieler Blasen in der Asymmetrie bzgl. der Auslenkungsrichtung des Oszillators wieder. Die

Wechselwirkung der Blasen führt zu einer Erhöhung der effektiven Masse des Oszillators, so

dass einerseits die Expansion der Blasen gehemmt wird, jedoch andererseits die größere Träg-

heit zu einem stärkeren Kollaps führen kann. Letzteres dominiert bei kleinen Anzahldichten,

während große Anzahldichten die Kompressionsraten im Kollaps verringern. Die Kopplung

vieler Blasen führt im linearen wie nichtlinearen Fall zur Synchronisation der Blasenschwin-

gungen.

Der zweite Teil der Arbeit beschäftigte sich mit der Simulation von Flüssigkeiten mit Phasen-

grenzflächen. In Kapitel 3 wurden zunächst die bis dato verwendeten Verfahren zur Simulation

von Strömungen mit internen und freien Grenzflächen vorgestellt und ein Überblick über deren

Anwendungen und Ergebnisse bei der Untersuchung von Kavitationsblasen gegeben. Dabei

wurde auf die spezifischen Probleme der Verfahren eingegangen. Es folgt eine Analyse der

113


Dynamik von Kavitationsblasen in Grenzflächennähe. Durch die Einführung dimensionsloser

Kennzahlen gewinnt man einen Eindruck von den wesentlichenKräften, die bei der Dynamik

eine Rolle spielen. Daraus motiviert ergaben sich mehrere Vereinfachungsmöglichkeiten für

die mathematische Modellierung der Flüssigkeitsdynamik in diesem Spezialfall.

In Kapitel 4 wurde dann ein Verfahren vorgestellt, mit dem zylindersymmetrische, ideale und

kompressible mehrkomponentige Strömungen berechnet werden können. Dieses basiert auf

einem bekannten Godunov-Verfahren, das auf zylindersymmetrische Koordinaten verallge-

meinert und mit einem VOF-Verfahren gekoppelt wurde. Als Zustandsgleichungen dienten

für die flüssige Phase eine steife Gasgleichung, die im wesentlichen gleichwertig zur Tait-

Gleichung ist, und für die Gasphase die ideale Gasgleichung. Die Lösungen von Riemann-

Problemen auf den Zellenrändernwerden sowohl für das Godunov-Verfahren als auch für den

VOF-Algorithmus benötigt, der den Transport der Volumina über die Zellränder und den An-

teil der verschiedenen Komponenten daran geometrisch berechnet. Die Probleme dieses Ver-

fahren liegen in der Mehrphasenmodellierung, worauf kurz eingegangen wurde.

Das Godunov-Verfahren wurde in Kapitel 5 zur Simulation eines idealisierten Jetaufpralls auf

eine feste Wand verwendet. Durch akustische Näherungen kann die Zeitdauer und die Stärke

der Druckbelastungen unterschätzt werden. Eine wichtige Rolle spielt die Fokussierung von

Expansionswellen und Druckwellen auf die Zylinderachse, die einerseits zu Zugspannungen

und andererseits zu hochfrequenten Druckbelastungen auf der Wand führen können, die im

Vergleich zur akustischen Näherung deutlich länger andauern.

Berechnungen des wandnahen Blasenkollaps mit dem Godunov-Verfahren wurden in Ka-

pitel 6 vorgestellt. Da das numerische Verfahren Stabilitätsprobleme besitzt, konnte keine

dampfgefüllte Blase berechnet werden. Stattdessen wurde eine Gasblase bei Atmosphären-

druck verwendet, die durch eine wandnormale ebene Stoßwelle zum Kollabieren gebracht

wurde. Es finden sich im Vergleich zur Randintegralsimulation sehr viele ähnliche Effekte,

wie die Entwicklung eines Hochdruckgebietes oberhalb der Blase, das den zur Wand ge-

richteten Jet beschleunigt. Ebenso sind die Jetgeschwindigkeiten von der Größenordnung10�20p�p=� vergleichbar mit denen aus Randintegralsimulationen gewonnenen Geschwin-

digkeiten, wobei�p die treibende Druckdifferenz ist. Zudem wurden Stoßwelleninnerhalb

der Gasphase sichtbar. Zum einen entstehen sie bei der Fokussierung des transmittierten An-

teils der auftreffenden Stoßwelle, zum anderen durch den Jet, der sich bzgl. des Gases mit

Überschallgeschwindigkeit bewegen kann. Wie in den Randintegralmethoden wurde der so-

114


genannte Splash sichtbar, der in den hier vorgestellten Fällen die Blase zerreißt, wodurch zwei

Wirbel entstehen. Durch die hohe Geschwindigkeit des Jets ist die Geschwindigkeit in diesen

Wirbeln ebenfalls enorm, so dass sich in den Wirbelkernen Gebiete sehr niedrigen Drucks

bilden. Dies verhindert, dass das Volumen der Blase sich weiter verringert, so dass keine

Stoßwelle durch die Kompression des Gases ensteht. Hierin liegt ein großer Unterschied

zum Kollaps unter Atmosphärendruck. Die durch den Jet verursachte Stoßwelle zeigt eini-

ge nichtlineare Effekte. Jedoch ist der Druck an der Wand etwa so hoch wie der Staudruck,

wenn der Jet nicht direkt auf der Wand auftrifft. Der Staudruck ist aufgrund der hohen Jetge-

schwindigkeit sehr groß. Der Jet verbreitert sich in der Phase kurz vor dem Aufprall auf die

gegenüberliegende Wand. Dieser Effekt ist umso ausgeprägter, je langsamer der Jet ist und

je kleiner die treibende Druckdifferenz ist. Die Verbreiterung ist Ursache der inhomogenen

Gasdynamik innerhalb der Blase.

Stoßwellen, die durch die Kompression des Gasinhalts der Blase enstehen, treten erst dann auf,

wenn die Wirbelbildung gering ist bzw. die Blase im Kollaps eine sehr symmetrische Form

bewahrt. Die Blasen kollabiert dann sehr symmetrisch, wenn sehr klein ist, weil dann der

reflektierte Stoß die seitliche Blasenwand auf ähnliche Geschwindigkeiten wie die obere Bla-

senwand beschleunigt. Die dabei entstehenden Druckbelastungen sind eine Größenordnung

höher als die jetinduzierten Drücke.

Die Anwesenheit einer Phasengrenze führt zur Entstehung von Wirbelstärke. Erklären lässt

sich dies auf zweierlei Arten. Zum einen ist die Reflexion vonStoßwellen anormal an der

gekrümmten Phasengrenze, während der Dichtegradient normal zur Grenzfläche ist. Zum

anderen stellt die Phasengrenze in einer idealen Flüssigkeit ein tangentiale Unstetigkeit dar,

an der zwar die normale, jedoch nicht die tangentiale Geschwindigkeitskomponente stetig

ist. Letzteres gilt auch für den Aufprall des Jets auf die untere Blasenwand, denn hierbei

entsteht ebenso eine tangentiale Unstetigkeit entlang derKontaktlinie. In diesem Fall spielen

viskose Effekte eine wichtige Rolle. Da vor allem das Gas nichtisentrope Zustandsänderungen

durchläuft, entsteht auch innerhalb der Blase Wirbelstärke.

Der letzte Teil der Arbeit beschäftigte sich mit dem Blasenkollaps in einer wandnahen Strö-

mung. Im Kapitel 7 und im Anhang A wurden experimentellen bzw. numerischen Methoden

vorgestellt. Für die numerische Simulation wurde ein kommerziell erhältliches Simulations-

programm verwendet, dass auf der Randintegralmethode basiert. Die experimentellen Unter-

suchungen wurden in einem eigens konstruierten Strömungskanal durchgeführt, in dem mit

115


fokussiertem Laserlicht Blasen erzeugt wurden. Dabei traten mehrere methodische Schwie-

rigkeiten auf, die im Rahmen dieser Arbeit nicht mehr behoben werden konnten.

Die Randintegralmethode lieferte in Kapitel 8 einen guten Eindruck von der Dynamik ei-

ner Blase in einer Plattengrenzschicht bis zum Beginn der Jetentstehung, denn dann werden

die Verzerrungen des Oberflächengitters so groß, dass die Simulation abbricht. Der Jet ent-

wickelt sich dabei auf dem stromabwärts gelegenen Teil der oberen Blasehälfte, so dass er

eine Geschwindigkeitskomponente gegen die Grundströmungsrichtung besitzt. Aus der Rich-

tung senkrecht zur Grundströmung kann Flüssigkeit vergleichsweise ungehindert zuströmen,

so dass sich die Blase in dieser Richtung verjüngt oder auch einschnürt, wie die Experimente

ebenfalls zeigten. Die durch die Strömung bedingte Asymmetrie des ersten Kollaps im di-

rekten Wandkontakt führt zu einer in Strömungsrichtung kollabierenden Blasenwolke, da der

stromabwärts gelegene Teil durch den beim Jetaufprall induzierten Wirbel vermutlich stärker

stabilisiert wird. Oberflächeninstabilitäten führen zu einem deutlich schwächerem zweiten

Kollaps bei Blasen mit > 1. Bezüglich der Kavitationserosion ensteht daher die Vermutung,

dass in Strömungen hauptsächlich Blasen mit direktem Wandkontakt die Schäden verursa-

chen.

9.2. Ausblick

Wirft man einen Blick auf die in dieser Arbeit verwendeten Modelle und die getroffenen An-

nahmen und Vereinfachungen, so lässt sich schon dadurch sehr schnell ersehen, in welcher

Richtung sich Aufgaben stellen. In den potentialtheoretischen Ableitungen lässt sich z.B.

die Beschränkung auf räumlich homogen verteilte Blasen eines bestimmten Radius aufheben,

so dass eine Lagrangesche Feldtheorie entsteht. Die lineare Frequenzanalyse sollte sich auf

ein ganzes Spektrum von Blasengrößen ausdehnen lassen. Resonanzkurven für nichtlineare

Schwingungen und deren Abweichungen von denen einer einzelnen Blase [125] wären für

eine weitere Charakterisierung der hier abgeleiteten Gleichungen nützlich.

Bei der Simulation asphärischer Blasen wurde eine ganze Reihe von Vereinfachungen getrof-

fen, z.B. wurden Viskosität, Oberflächenspannungen, Phasenübergänge und Wärmeleitung

vernachlässigt sowie eine einfache Zustandsgleichung gewählt. Jedoch sollte man dabei nicht

aus den Augen lassen, dass es sich hier um einkonvektionsdominiertesProblem handelt und

es wesentliche Schwierigkeiten auf der methodischen Seitegibt. Beispielsweise scheint es

116


bis dato keine Simulationen zu geben, die die Kompressibilität der Medien und die Ober-

flächenspannung an der Phasengrenze gleichzeitig berücksichtigen. Die Berücksichtigung

von Oberflächenspannungen in Euler-Verfahren ist nicht trivial und lässt sich am elegantesten

mit der Level-Set-Methode realisieren [91]. Über die Lösung von Riemann-Problemen un-

ter Einbeziehung der Oberflächenspannung an Grenzflächen scheint es bis dato jedoch noch

keine Arbeiten zu geben. Die Modellierung von Phasenübergängen ist bereits im eindimen-

sionalen Fall sehr komplex und im mehrdimensionalen beschränkt man sich auf Probleme

im Bereich der kritischen Temperatur. Eine bessere Approximation durch den VOF-Ansatz

lässt sich jedoch schon dadurch erreichen, dass man die Zellengröße im Bereich der Grenz-

fläche genügend klein hält. Dies ließe sich mit einem adaptiven Gitterverfahren bewerkstel-

ligen, dessen Implementierung nicht trivial ist. Jedoch kann man hier mittlerweile auf frei

verfügbare Software zurückgreifen (vgl. z.B. [131]). Adaptive Gitter sind wahrscheinlich un-

umgänglich, wenn man zu einer dreidimensionalen Berechnung übergehen möchte, denn das

Gasvolumen einer Kavitationsblase variiert um den Faktor103 bis 106. Ebenso würde dies

nötig sein, um die komplexen Stoßwellenstrukturen aufzulösen, die man im Experiment be-

obachten kann [70, 24]. Die Einbeziehung eines Festkörpersanstatt einer festen Wand wird

weitere komplexe Wellenstrukturen offenbaren, da sich in diesem auch Longitudinalwellen

ausbreiten können. Zudem ist dieses auch interessant vom Gesichtspunkt der Kavitationse-

rosion und des Jetaufpralls [121] her. Eine Abschätzung undAnalyse der beim Jetaufprall

entstehenden Wandschubspannungen fehlt bis dato noch. Diese dürften jedoch aufgrund der

hohen Geschwindigkeiten und nicht ausgebildeter Grenzschichten einen nicht zu vernachläs-

sigen Anteil am jetinduzierten Schaden besitzen. Eine sinnvolle methodische Erweiterung

der Simulation wäre es, den Zeitbereich der Dynamik, in der die Machzahl gering ist, mit ei-

ner inkompressiblen Methode zu rechnen und dann auf ein Verfahren wie das hier vorgestellte

überzuwechseln, da dies die Integrationszeiten und numerischen Fehler reduzieren würde. Al-

ternativ müsste sich überprüfen lassen, inwieweit Methoden, die für alle Machzahlen geeignet

sind, sich für die Simulation kollabierender Blasen eignen.

Nicht nur bei den numerischen Untersuchungen, sondern auchim Falle der Experimente gab

und gibt es große methodische Schwierigkeiten. Wichtig isthier die Reproduzierbarkeit der

Experimente, die im wesentlichen durch die Qualität des optischen Aufbaus gegeben ist. Da-

her ist eine Umgestaltung der Küvette nötig. Zum einen sollte sie aus Stabilitätsgründen nur

noch in einem kleinen Bereich zugänglich sein, um dort z.B. eine größere Glasscheibe was-

serdicht und zugspannungsfest einbauen zu können, die einen größeren Fokussierungswinkel

117


erlaubt, sowie um einen Bereich festzulegen, in dem ein Hydrophon fest installiert werden

kann. Der direkte Einbau einer Linse wie sonst üblich würde bedeuten, dass die komplette

Messstrecke höhenverstellbar sein müsste, wodurch sich aber aufgrund der asymmetrischen

Zuströmung der Plattenvorderkante die Strömung oberhalb der Platte deutlich und unvorher-

sehbar ändern könnte. Da die Blasen in der Strömung deutliche Formveränderungen erfahren,

ist es sehr wahrscheinlich, dass sich das Schadensbild wesentlich ändert. Dieses korreliert

nach [23] mit der Form der Blase im Kollaps auf der Wand. Daherwäre das Einbringen

von Materialproben sinnvoll, wobei der Laserstrahl dann nicht mehr von oben her fokussiert

werden darf, da die beim Plasmadurchbruch nicht absorbierte Strahlung zum Materialabtrag

beitragen würde. Der Laserstrahl müsste also unter Verwendung eines halbdurchlässigen Spie-

gels aus Blickrichtung der Kamera kommen. Der für die Erosionserscheinungen sehr wichtige

zweite Kollaps, der, wie hier gezeigt wurde, durch die Strömung deutlich verändert wird, lie-

ße sich schon durch einen anderen Blickwinkel der Kamera genauer beobachten. Allgemein

wäre eine Verkleinerung der Küvette zur Reduzierung der experimentellen Komplikationen

sinnvoll, auch wenn dies den Einfluss der Wände, der nach [23]abschätzbar ist, erhöhen wür-

de.

118

A. Die Randintegralmethode

A.1. Modellierung

In inkompressiblen und rotationsfreien Strömungen ist dieRandintegralmethode die effektiv-

ste und am meisten benutzte Methode, um die Dynamik asphärischer Blasen zu berechnen.

Das Gas innerhalb der Blase wird nur insofern berücksichtigt, als das Volumenänderungen

zu räumlich homogenen Druckänderungen innerhalb der Blaseführen, und damit als Rand-

bedingungen in die Simulation eingehen. Dabei wird von polytropen Zustandsänderungen

ausgegangen. In dem Verfahren wird direkt die Oberfläche verfolgt, was im Gegensatz zu

Tracking-Verfahren auf Gittern zu einem erheblichen Effizienzgewinn führt, da in diesem Fall

ein reines Oberflächenproblem gelöst werden kann, das die Dimension des Problems um eins

reduziert und nur eine Diskretisierung der Oberfläche erfordert. Die Geschwindigkeit der

Flüssigkeit lässt sich nach Gleichung (2.1) durch ein Potential � ausdrücken. Für einen Punkt

x auf der Blasenoberfläche lautet dann die Bewegungsgleichungdxdt = r� : (A.1)

Die Bernoulli-Gleichung liefert eine Verknüpfung zwischen den Drückenp undp1 am Bla-

senrand bzw. im Unendlichen und der Potentialänderung an einem Ort auf der Oberfläche:��t + 12(r�)2 + p� p1� + �gz � C� = 0 : (A.2)

Dabei wurde die Erdbeschleunigungg in Richtung der z-Koordinate sowie der Einfluss der

Oberflächenspannung� mitberücksichtigt.C ist die Krümmung der Oberfläche, d.h. die Sum-

me der beiden inversen Krümmungsradien. Das Potential eines Flüssigkeitselements auf der

Oberfläche verändert sich dann gemäßd�dt = ��t + ur� = 12(r�)2 + p1 � p� � �gz + C� : (A.3)

119


A.2. Lösungsverfahren

Ist das Potential auf der Oberfläche bekannt, so lässt sich dort die Tangentialkomponente des

Gradienten bestimmen. Zur Lösung der Gleichungen (A.1) und(A.3), die die Oberflächen-

dynamik bestimmen, bedarf es also noch einer Gleichung für die Normalkomponente des

Gradienten. Eine Lösung für die Laplace-Gleichung (2.2) ist� 1jr� rij = �4�Æ(r� ri) (A.4)

mit der Diracschen Delta-FunktionÆ(r) [132]. Mit Hilfe des ersten Greenschen Satzes [132]

lässt sich daraus die Integralgleichung (x)�(x) + ZO �(x0) ��n1jx� x0jdO0 = ZO ��n

�(x0) 1jx� x0jdO0 (A.5)

gewinnen. ��n bezeichnet die Richtungsableitung auf dem OberflächensegmentdO0 mit dem

Normalenvektorn. Der Parameter (x) ist durch den Raumwinkel bestimmt, den das Fluid an

dem Ortx einnimmt, also z.B. (x) = 4� innerhalb der Flüssigkeit.

Innerhalb der Blase wird eine homogene Druckverteilung miteiner polytropen Zustandsglei-

chung wie in Gleichung (2.10) angenommen sowie ein konstanter Dampfdruck. Die Ober-

flächenspannung führt je nach lokalem Krümmungsradius zu einem Drucksprung an der Pha-

sengrenze. Initialisiert wird das Problem dann in der Regelüber eine Lösung der Rayleigh-

Gleichung, die das Potential auf der Blasenoberfläche liefert. Anschließend wird die Tangen-

tialkomponente über die Potentialwerte auf der Oberfläche und die Normalkomponente des

Potentialgradienten über Gleichung (A.5) ermittelt, worauf die neuen Werte für das Potential

mittels Gleichung (A.3) und die neue Position der Oberflächedurch Gleichung (A.1) berech-

net werden. Eine solche Berechnung setzt die Diskretisierung der Oberfläche in Segmente

voraus. In zylindersymmetrischen Verfahren benutzt man lineare Oberflächensegmente [76]

und in drei Dimensionen ebene Dreiecke [85], über die Potential und Normalkomponente des

Gradienten linear interpoliert werden. Daraus resultiertein lineares Gleichungssystem als Ap-

proximation für die Integralgleichung (A.5), wobei in zylindersymmetrischen Koordinaten der

azimutale Anteil analytisch behandelt werden kann [133]. Weitere Details zu den numerischen

Problemen finden sich in [76, 79, 81, 82, 85, 133] für achsensymmetrische Berechnungen und

in [85, 134] für dreidimensional Probleme sowie in der dort angegebenen Literatur.

120


In dieser Arbeit wird das kommerzielle Programm 3DYNA FS [135] für dreidimensionale Be-

rechnungen verwendet, dessen grundsätzliche Funktionsweise mit der vorherigen Beschrei-

bung übereinstimmt. Es wird ein einfaches Euler-Verfahrenfür die Zeitentwicklung benutzt,

d.h. alle Größenq zum Zeitschrittt+�t ergeben sich nach der Formelq(t+�t) = q(t)+dqdt�t.Die Zeitschrittweite�t wird dadurch beschränkt, dass Potentialänderungen nur biszu einem

adaptiv festgelegten Grenzwert erlaubt sind. Die Tangentialkomponente des Potentialgradien-

ten und die Oberflächenkrümmung werden durch quadratische Interpolationen des Potentials

bzw. Approximation der Oberfläche durch anpassen einer quadratischen Funktion ermittelt.

A.3. Randintegralmethode für einfache viskoseStrömungen

Nach den Voraussetzungen eignet sich die Randintegralmethode nicht für viskose Strömun-

gen. Jedoch lassen sich unter der Bedingung, dass ein Grundströmungsfeldu0(x; t) be-

kannt ist, ein zweites Strömungsfeldu1(x; t) berechnen, wenn deren Differenzud(x; t) =u1(x; t)� u0(x; t) sich durch ein Potential darstellen lässt. Aus der Differenz der inkompres-

siblen Navier-Stokesschen Gleichungen�ui�t + (uir)ui = �rpi� + �r2ui i = 0; 1 (A.6)

ergibt sich unter diesen Voraussetzungen die Gleichungr��d�t + 12u2d + u0 � ud + pd� � = ud � (r� u0) (A.7)

für das Potential�d der Differenzgeschwindigkeit, wobeipd = p1 � p0 der Differenzdruck

ist. Die zusätzlichen Terme im Vergleich zu Gleichung (A.3)resultieren aus den nichtlinearen

Konvektionstermen. Damit beeinflusst die einfache Strömung die Dynamik der Blase mit

der Einschränkung, dass keine neue Wirbelstärke entsteht.Beispielsweise ist für eine ebene

Plattengrenzschicht in x-Richtung mit dem Normalenvektorex, die in Kapitel 8 untersucht

werden soll, die Geschwindigkeit von der Formu0 = f(x; z)ex, so dass auf der rechten Seite

nur die z-Komponente von Null verschieden ist. Damit kann für die anderen Komponenten

wiederum eine Gleichung vom Typ (A.3) mit der Randintegralmethode gelöst werden.

121

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Lebenslauf

Persönliche Daten

Name Martin VoßGeburtsdatum 06.01.1974Geburtsort MeppenStaatsangehörigkeit deutschFamilienstand ledig

Schulausbildung

1980 – 1984 Grundschule Bokeloh1984 – 1986 Orientierungsstufe der Johannesschule Meppen1986 – 1993 Windthorst-Gymnasium Meppen05/1993 Allgemeine Hochschulreife

Wissenschaftliche Ausbildung

10/1993 – 09/1995 Grundstudium Physik und Lehramt Mathematik an derGeorg-August-Universität Göttingen

10/1995 Physikvordiplom

10/1995 – 10/1998 Hauptstudium Physik an derGeorg-August-Universität

07/1996 – 10/1996 Praktikum im Bereich Forschung und Vorausentwicklung derRobert Bosch GmbH, Stuttgart,Abteilung Angewandte Physik

10/1998 Diplomprüfung Physikseit 01/1999 Wissenschaftlicher Mitarbeiter im Bereich Forschung und

Vorausentwicklung der Robert Bosch GmbH, Stuttgart,Abteilung Technische Mechanik

08/2000 – 07/2001 Aufbau und Durchführung von Versuchen zurlaserinduzierten Kavitation am Dritten PhysikalischenInstitut der Universität Göttingen

04/1999 – 03/2002 Aufbaustudiengang Physik an der Georg-August-UniversitätGöttingen

Documents

Dissertation Martin Voss