· Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 2 Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 3

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 1


Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)

Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /

9th Lecture / 9. Vorlesung

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik

(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Büro: Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

University of KasselDept. Electrical Engineering / Computer

Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel


3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( ) (

d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

m u f d b mx y z y z x

m u l d r my x z x z y

m b r fz x y x

B t y z E t y E t z E t y E t z J t y zt

B t x z E t x E t z E t x E t z J t x zt

B t x y E t x E t y Et

∆ ∆ = − ∆ + ∆ − ∆ − ∆ − ∆ ∆

∆ ∆ = − − ∆ + ∆ + ∆ − ∆ − ∆ ∆

∆ ∆ = − ∆ + ∆ − ) ( ) ( )m( ) ( ) ( )l m

y zt x E t y J t x y ∆ − ∆ − ∆ ∆

{ }{ }

( )( )( ) ( ) ( ) ( )m

( )( )( ) ( ) ( ) ( )m

( )( )

d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( )d

yz

xz

y

n Mn Mn n n nx y y z z x

n Mn Mn n n ny x x z z y

n Mnz x

B t y z E t E t y E t E t z J t y zt

B t x z E t E t x E t E t z J t x zt

B t x y E t Et

−−

−−

−

∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ − ∆ ∆

∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ − ∆ ∆

∆ ∆ = − −{ }( )( ) ( ) ( )m( ) ( ) ( ) ( )xn Mn n n

x y y zt x E t E t y J t x y− ∆ + − ∆ − ∆ ∆

Local grid equations in local notation / Lokale Gittergleichungen in lokaler Notation

Local grid equations in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen in globaler Gitterknotennotation




( )( )

( ) ( )0

0( ) ( )

ii

n MnM

n n

n n

S f f

S f fS I

I f f

±± =

=

=

=

Local spatial shift operators / Lokale räumliche Schiebeoperatoren

{ }{ }

( )( )( ) ( ) ( ) ( )m

( )( )( ) ( ) ( ) ( )m

( )( )

d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( )d

yz

xz

y

n Mn Mn n n nx y y z z x

n Mn Mn n n ny x x z z y

n Mnz x

B t y z E t E t y E t E t z J t y zt

B t x z E t E t x E t E t z J t x zt

B t x y E t Et

−−

−−

−

∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ − ∆ ∆

∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ − ∆ ∆

∆ ∆ = − −{ }( )( ) ( ) ( )m( ) ( ) ( ) ( )xn Mn n n

x y y zt x E t E t y J t x y− ∆ + − ∆ − ∆ ∆

{ }{ }

( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( )

d ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

z y

z x

y x

n n n nx M y M z x

n n n ny M x M z y

n n nz M x M y

B t y z S I E t y I S E t z J t y zt

B t x z I S E t x S I E t z J t x zt

B t x y S I E t x I S E tt

−

− −

− −

∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ − ∆ ∆

∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ − ∆ ∆

∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ { } ( )m ( )nzy J t x y− ∆ ∆

Local grid equations in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen in globaler Gitterknotennotation

Local grid equations with local spatial shift operators in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen mit lokalen räumlichen Schiebeoperatoren in globaler Gitterknotennotation


3-D FIT – Local Spatial Shift Operators / 3D-FIT – Lokale räumliche Schiebeoperatoren

( )( ) ii

n MnMS f f ±

± =

1. Simple spatial shift operation / Einfache räumliche Schiebeoperation

( ) ( )n nI f f=

2. Identity operation / Identitätsoperation

3. Multiple shift operations / Zusammengesetzte Schiebeoperationen

( )( ) ( ) i ji j j i

n M Mn nM M M MS S f S S f f ± ±

± ± ± ±= =

Special case for / Speziell folgt für

i iM MS S I± =∓

j iM M= − j iM M= −

4. Local difference operator / Lokaler Differenzoperator

i iM MP I S± ±= ±∓

5. Local averaging operator / Lokaler Mittelungsoperator

( )12i iM MA I S± ±= +




… in local matrix form / … in lokaler Matrixform

{ }{ }

( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( )

d ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

z y

z x

y x

n n n nx M y M z x

n n n ny M x M z y

n n nz M x M y

B t y z S I E t y I S E t z J t y zt

B t x z I S E t x S I E t z J t x zt

B t x y S I E t x I S E tt

−

− −

− −

∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ − ∆ ∆

∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ − ∆ ∆

∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ { } ( )m ( )nzy J t x y− ∆ ∆

[ ]{ } [ ]

[ ]( )

( )( ) ( )

( )

( )

( ) curl

0( ) ( )d ( ) 0d

( ) 0

z y

z x

y x

n

nn nM Mx xny M M

nz M M

S RB t

S I I SB t E ty z xx z B t I S S I y E

tx y zB t S I I S

−

− −

− −= =

= =

− − ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = − − − ∆ ∆ ∆ ∆ − − { }

[ ]{ }

( )

( )m

( )

( )

( )

( )

( )( )m( )m

( )m

( )

( )

( )

( )

( )

( )

n

n

n

ny

nz

E t

nnxny

nz

SJ t

t

E t

J ty zx z J t

x y J t

=

==

∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ ∆

Local grid equations with local spatial shift operators in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen mit lokalen räumlichen Schiebeoperatoren in globaler Gitterknotennotation


3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local Matrix Form / 3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler Matrixform

[ ]{ } [ ]

[ ]( )

( )( ) ( )

( )

( )

( ) curl

0( ) ( )d ( ) 0d

( ) 0

z y

z x

y x

n

nn nM Mx xny M M

nz M M

S RB t

S I I SB t E ty z xx z B t I S S I y E

tx y zB t S I I S

−

− −

− −= =

= =

− − ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = − − − ∆ ∆ ∆ ∆ − − { }

[ ]{ }

( )

( )m

( )

( )

( )

( )

( )( )m( )m( )m

( )

( )

( )

( )

( )

( )

n

n

n

ny

nz

E t

nnxnxnx

SJ t

t

E t

J ty zx z J t

x y J t

=

==

∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ ∆

[ ]

0 0

0 0 curl

0 0

z y z y

z x z x

y x y x

M M M M

M M M M

M M M M

S I I S P P

I S S I P P

S I I S P P

− − − −

− − − −

− − − −

− − − − − = − = − − −




[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }( ) ( ) ( )m

d ( ) curl ( ) ( )d

n n nS B t R E t S J tt

= − −

[ ]

{ }

3 3

( ) 3

Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /Diagonalmatrix der Elementarflächen auf dem Gitter Algebraic magnetic flux density vector /

( )Algebraischer magnetischer Flussdichte

n

GS

G

B t

×∈

∈

[ ]

[ ]

3 3

3 3

vektor Topological curl operator in matrix form on the grid /

curlTopologischer Rotationsoperator in Matrixform auf dem Gitter Diagonal matrix of elementary lines on the grid /Diagonalm

GG

GR

×

×

∈

∈

{ }

{ }

( ) 3

( ) 3m

atrix der Elementarstrecken auf dem Gitter Algebraic electric field strength vector /

( )Algebraischer elektrische FeldstärkevektorAlgebraic magnetic current density vector /

( )Algebrai

n

n

G

E t

J t

∈

∈scher magnetischer Stromdichtevektor

[ ]{ } [ ]

[ ]( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) (

( ) curl

0( ) ( )d ( ) 0 ( )d

( ) 0

z y

z x

y x

n

nn nM Mx xn ny M M ynz zM M

S RB t

P PB t E ty z xx z B t P P y E t

tx y zB t EP P

− −

− −

− −= =

= =

− ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = − − ∆ ∆ ∆ ∆ − { }

[ ]{ }( ) ( )

m

( ) ( )( )m( )m( ))m

( ) ( )

( )

( )

( )( )n n

n nnxnxnnx

SE t J t

J ty zx z J t

x y J tt=

= =

∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ ∆

Faraday’s induction law in local matrix form / Faradaysches Induktionsgesetz in lokaler Matrixform



1x x=3z x=2y x=

( )nxE

( )nzB

( )nyB

( )yn MzB+

( )zn MyB+

( )nzB

( )yn MzB+

1x x= 3z x=

2y x=

integration cell / -Integrationszelle( )mxE

I ( )mxE

I

z∆

y∆

( )zn MyB+

( )nxE

( )nyB

( )nm( )yn Mm +

( )y zn M Mm + + ( )zn Mm +

( )

( )

y

y

n M

n M

+

+

ε

ν

( )

( )

n

n

ε

ν

( )

( )

y z

y z

n M M

n M M

+ +

+ +

ε

ν

( )

( )

z

z

n M

n M

+

+

ε

ν

( )nm

( )yn Mm +

( )y zn M Mm + +

( )zn Mm +

ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt =∂

= − ∫∫ ∫ ∫∫ε R E R dS ν R B R dR J R dSi i i i i




( ) ( )

( )

3 3

( ) ( , ) ( ) ( , ) d

( ) ( , ) d

( ) ( ) d

xS S

xx xSnx xxS

t t S

E t S

E t S

y z y z

ε

ε

=

=

=

+Ο ∆ ∆ + ∆ ∆

∫∫ ∫∫∫∫

∫∫

ε R E R dS e ε R E R

R R

R

i i i

( )

( ) ( )( )( )

( )

( ) d

14

y y zz

nxx

xxS

n M n M Mn Mnxx xx xx xx

nxx

S

y z

y z

ε

ε

ε ε ε ε

ε

+ + ++

=

= + + + ∆ ∆

= ∆ ∆

∫∫ R

( ) ( )( ) 3 3( )

( ) ( , )

( )

Snnxxx

t

E t y z y z y zε

= ∆ ∆ +Ο ∆ ∆ + ∆ ∆

∫∫ ε R E R dSi

( ) ( )

e

3 3( )e

( , )

( )

S

nx

t

J t y z y z y z = ∆ ∆ +Ο ∆ ∆ + ∆ ∆

∫∫ J R dSi

ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt =∂


( )nzB

( )yn MzB+

1x x= 3z x=

2y x=integration cell / -Integrationszelle( )mxE

I ( )mxE

I

z∆

y∆

( )zn MyB+

( )nxE

( )nyB

( )nm( )yn Mm +

( )y zn M Mm + + 3( )n Mm +

( )

( )

y

y

n M

n M

+

+

ε

ν

( )

( )

n

n

ε

ν

( )

( )

y z

y z

n M M

n M M

+ +

+ +

ε

ν

( )

( )

z

z

n M

n M

+

+

ε

ν



ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt =∂


( ) ( , ) ?C S

t=∂

= ∫ ν R B R dRi i

( )

( )

( )

( )

( ) ( , ) ( ) ( , )d

( ) ( , ) d

( ) ( , )d

( ) ( , )d

u

f

d

b

yy yC S C

zz zC

yy yC

zz zC

t B t y

B t z

B t y

B t z

ν

ν

ν

ν

=∂ =

+

−

−

∫ ∫∫∫∫

ν R B R dR R R

R R

R R

R R

i i( )bzB

( )fzB

1x x= 3z x=

2y x=integration cell / -Integrationszelle( )mxE

I ( )mxE

I

z∆

y∆

( )dyB

( )nxE

( )uyB

( )nm( )yn Mm +

( )y zn M Mm + + 3( )n Mm +

( )

( )

y

y

n M

n M

+

+

ε

ν

( )

( )

n

n

ε

ν

( )

( )

y z

y z

n M M

n M M

+ +

+ +

ε

ν

( )

( )

z

z

n M

n M

+

+

ε

ν

d d dd d

d d

x

y y

z z

S y zR y

R z

= =

= =

= =

dS n edR s e

dR s e

( )

( )

( )

( )

( ) ( , ) ( ) ( , )

( ) ( , )

( ) ( , )

( ) ( , )

u

f

d

b

C S C

C

C

C

t t

t

t

t

=∂ =

+

+

+

∫ ∫∫∫∫

ν R B R dR ν R B R dR

ν R B R dR

ν R B R dR

ν R B R dR

i i i i

i i

i i

i i




( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) (

3( )

3( )

3( )

( )

( ) ( , )d ( ) ( )d

( ) ( , )d ( ) ( )d

( ) ( , )d ( ) ( )d

( ) ( , )d ( ) ( )d

u u

f f

d d

b b

uyy y y yyC C

fzz z z zzC C

dyy y y yyC C

bzz z z zzC C

B t y B t y y

B t z B t z z

B t y B t y y

B t z B t z

ν ν

ν ν

ν ν

ν ν

= + ∆

= + ∆

= + ∆

=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

R R R

R R R

R R R

R R R

○

○

○

( ))3z + ∆ ∫ ○

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( , )

( ) ( , )d ( ) ( , ) d ( ) ( , )d ( ) ( , )du f d b

C S

yy y zz z yy y zz zC C C C

t

B t y B t z B t y B t zν ν ν ν=∂

= + − −

∫∫ ∫ ∫ ∫

ν R B R dR

R R R R R R R R

i i

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

1( )d2

1( )d2

1 ( )d2

1( )d2

yu

y zzf

y y zd

zb

n Mnyy yy yyC

n M Mn Mzz yy yyC

n M n M Myy zz zzC

n Mnzz zz zzC

y y

z z

y y

z z

ν ν ν

ν ν ν

ν ν ν

ν ν ν

+

+ ++

+ + +

+

= + ∆

= + ∆

= + ∆

= + ∆

∫

∫

∫

∫

R

R

R

R



ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt =∂


( )nzB

( )yn MzB+

1x x= 3z x=

2y x=


I ( )mxE

I

z∆

y∆

( )zn MyB+

( )nxE

( )nyB

( )nm( )yn Mm +

( )y zn M Mm + + 3( )n Mm +

( )

( )

y

y

n M

n M

+

+

ε

ν

( )

( )

n

n

ε

ν

( )

( )

y z

y z

n M M

n M M

+ +

+ +

ε

ν

( )

( )

z

z

n M

n M

+

+

ε

ν

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) (

( ) ( , )

1 ( )2

1 ( )2

12

y

nyy

y zz z

n Myyy

y y z

n Mzzz

C S

n Mn nyy yy y

n M Mn M n Myy yy y

n M n M M nzz zz z

t

B t y

B t y

B

ν

ν

ν

ν ν

ν ν

ν ν

+

+

=∂

+

=

+ ++ +

=

+ + +

=

= + ∆

− + ∆

+ +

∫ ν R B R dRi i

( )

)

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )

1 ( )2

( ) ( )

( ) ( )

y

z

nzz

y y

z y

M

n Mn nzz zz z

n n M n Mnyy yyy y

n M nn M nzz zzz z

t z

B t z

B t y B t y

B t z B t z

ν

ν ν

ν ν

ν ν

+

+

=

+ +

+ +

∆

− + ∆

= ∆ − ∆

+ ∆ − ∆




ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt =∂



I ( )mxE

I

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )e

( ) ( )( ) ( ) ( )e

d ( ) ( ) ( )d

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

z z

y y

z y

n n n M n Mn nxx yy yyx y y

n M nn M n nzz zzz z x

n nn n nyy zzM y M z x

E t y z B t y B t yt

B t z B t z J t y z

I S B t y S I B t z J t y z

ε ν ν

ν ν

ν ν

+ +

+ +

∆ ∆ = ∆ − ∆

+ ∆ − ∆ − ∆ ∆

= − ∆ + − ∆ − ∆ ∆



1x x=3z x=2y x=

( )nzB

( )xn MzB+

( )nm

( )zn Mm +

( )xn Mm +

( )x zn M Mm + +

ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt =∂


( )nyE

( )nxB

( )zn MxB+

( )nzB

( )xn MzB+

( )nyE

( )nxB

( )zn MxB+

( )xn Mm +( )nm

( )zn Mm + ( )x zn M Mm + +

( )

( )

n

n

ε

ν

( )

( )

x

x

n M

n M

+

+

ε

ν

( )

( )

z

z

n M

n M

+

+

ε

ν

( )

( )

x z

x z

n M M

n M M

+ +

+ +

ε

ν

integration cell / -Integrationszelle( )myE

I ( )myE

I

1x x=3z x=2y x=




1x x=3z x=2y x=

( )nzE

( )nyB ( )xn M

yB+

( )nm

( )yn Mm + ( )x yn M Mm + +

ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt =∂


( )xn Mm +

( )nxB

( )yn MxB+

( )nyB

( )xn MyB+

( )nzE

( )yn MxB+

( )nxB

( )x yn M Mm + +( )yn Mm +

( )xn Mm +

( )

( )

x x

x x

n M M

n M M

+ +

+ +

ε

ν

( )

( )

y

y

n M

n M

+

+

ε

ν

( )

( )

x

x

n M

n M

+

+

ε

ν

1x x=

2y x=

3z x=

( )nm

( )

( )

n

n

ε

ν

integration cell / -Integrationszelle( )mzE

I ( )mzE

I



ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt =∂


( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )e

( ) ( )( ) ( ) ( )e

( ) (( )

d ( ) ( ) ( )d

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

d ( )d

z z

y y

z y

n n n M n Mn nxx yy yyx y y

n M nn M n nzz zzz z x

n nn n nyy zzM y M z x

n nnyy xxy

E t y z B t y B t yt

B t z B t z J t y z

I S B t y S I B t z J t y z

E t x zt

ε ν ν

ν ν

ν ν

ε ν

+ +

+ +

∆ ∆ = ∆ − ∆

+ ∆ − ∆ − ∆ ∆

= − ∆ + − ∆ − ∆ ∆

∆ ∆ =

( ) ( )

3 3) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )ey

( ) ( )( ) ( ) ( )e

( ) ( ) ( ) (( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

d ( ) ( )d

z

x x

z x

y

M nn M nxxx x

n n M n Mn nzz zzz z

n nn n nxx zzM x M z y

n n n M nn nzz xx xxz x x

B t x B t x

B t z B t z J t x z

S I B t x I S B t z J t y z

E t x y B t x Bt

ν

ν ν

ν ν

ε ν ν

+ +

+ +

+ +

∆ − ∆

+ ∆ − ∆ − ∆ ∆

= − ∆ + − ∆ − ∆ ∆

∆ ∆ = ∆ −

( ) ( )

)

( ) ( )( ) ( ) ( )e

( ) ( )( ) ( ) ( )e

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

y

x x

y x

M

n M nn M n nyy yyy y z

n nn n nxx yyM x M y x

t x

B t y B t y J t x y

I S B t x S I B t y J t x y

ν ν

ν ν

+ +

∆

+ ∆ − ∆ − ∆ ∆

= − ∆ + − ∆ − ∆ ∆




[ ][ ] { }

[ ]

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

curl

( )d ( )d

( )

0

0

0

nn

z y

z x

y x

n nxx xn nyy y

n nzz z

SE t

M M

M M

M M

E ty zx z E t

tx y E t

I S S I

S I i S

I S S I

ε

ε

ε

ε=

==

=

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

− − = − − − −

[ ][ ] { } [ ]( )

( )

( ) ( ) ( )e

( ) ( ) ( )e

( ) ( )( )e

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )n

n

n n nxx x xn n nyy y x

n nnxzz z

R SB t

B t J tx y zy B t x z J t

z x y J tB t

ν

ν

ν

ν= =

==

∆ ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

{ }( )e ( )nJ t=

[ ]

0 0

0 0 curl

0 0

z y z y

z x z x

y x y x

M M M M

M M M M

M M M M

I S S I P P

S I i S P P

I S S I P P

− − − − − = − = − − −



[ ][ ] { } [ ]

( )( )

( ) ( )( )

( ) (( )

( ) ( )

( ) curl

0( )

( ) 0

( ) 0

z y

z x

y xn

n

n nnxx xxM Mxn nyy yyy M M

n nzz z M M

SE t

P PE ty zdx z E t P Pdt

x y E t P P

ε

ε ν

ε ν

ε=

= ==

− ∆ ∆ ∆ ∆ = − ∆ ∆ −

[ ][ ] { } [ ] { }( ) ( )

( ) e

( ) ( )e

) ( ) ( )e

( ) ( )( )e

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )n n

n

n nx x

n n ny x

n nnxzz z

R SB t J t

B t J tx y zy B t x z J t

z x y J tB t

ν

ν= =

= ==

∆ ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

[ ] [ ] { } [ ][ ] [ ]{ } [ ]{ }( ) ( ) ( )( ) ( )

ed ( ) curl ( ) ( )d

n n nn nS E t R B t S J tt

ε ν= −

[ ]

[ ]

( ) 3 3

3 3

Diagonal matrix of permittivities on the grid /

Diagonalmatrix der Permittivitäten auf dem Gitter

Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /

Diagonalmatrix der Elementarflä

n G

G

GS

ε ×

×

∈

∈

{ }

[ ]

( ) 3

3 3

chen auf dem Gitter Algebraic electric field strength vector /

( )Algebraischer elektrischer Feldstärkevektor

Topological curl operator in matrix form on the grid /curl

Topologischer Rota

n

G

E t

G×

∈

∈

[ ]

[ ]

( ) 3 3

3 3

tionsoperator in Matrixform auf dem Gitter

Diagonal matrix of impermeabilities on the grid /

Diagonalmatrix der Impermeabilitäten auf dem Gitter

Diagonal matrix of elementary lines o

n

G

G

G

R

ν ×

×

∈

∈

{ }

{ }

( ) 3

( ) 3e

n the grid /

Diagonalmatrix der Elementarstrecken auf dem Gitter Algebraic magnetic flux density vector /

( )Algebraischer magnetischer FlussdichtevektorAlgebraic electric current d

( )

n

n

G

G

B t

J t

∈

∈ensity vector /

Algebraischer elektrischer Stromdichtevektor



3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local and Global Matrix Form / 3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler und globaler Matrixform

[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }

[ ] [ ] { } [ ][ ] [ ]{ } [ ]{ }

( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( )( ) ( )e

d ( ) curl ( ) ( )dd ( ) curl ( ) ( )d

n n n

n n nn n

S B t R E t S J tt

S E t R B t S J tt

ε ν

= − −

= −

Discrete grid equations in local matrix form / Diskrete Gittergleichungen in lokaler Matrixform

[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }

[ ][ ] { } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }

m

e

d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

= − −

= −

S B curl R E S J

ε S E curl ν R B S J

Discrete grid equations in global matrix form / Diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform

m

e

d ( , ) ( , ) ( , )dd ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d

S C S S

S C S S

t t tt

t t tt

=∂

=∂

= − −

= −

∫∫ ∫ ∫∫

∫∫ ∫ ∫∫

B R dS E R dR J R dS

ε R E R dS ν R B R dR J R dS

i i i

i i i i i

Maxwell’s equations in integral form / Maxwellsche Gleichungen in Integralform


Elementary Difference Matrix [Pi] (P Matrix) / Elementare Differenzmatrix [Pi] (P-Matrix)

Elementary difference operator in global matrix form (P matrix) / Elementarer Differenzoperator in globaler Matrixform (P-

Matrix)

[ ] [ ]( )

[ ]( )

: , {1,2, , }

11 or / bzw. ; , , ; {1,2, , }

0 else / sonst

i i jk

i i ijk

j,k N

j = kj = k M k = j M i x y z j,k N

± ±

±

= ∈

= ± ± = ∈

P P

P

…

∓∓ …

[ ]

i

N N×

=

P

1

1−

iM

The P matrix has only two bands / Die P-Matrix hat nur zwei Bänder



Elementary Difference Matrix [Pi] (P Matrix) (…) / Elementare Differenzmatrix [Pi] (P-Matrix) (…)

[ ]

N N×

=

I 1

[ ] [ ] [ ]

[ ]( )

[ ]( )

: , { , , }

, {1,2, , }

1 or / bzw. 0 else / sonst

, , ; {1,2, , }

i i

ijij

i ii jk

i x y z

i j N

j = k M k = j M

i x y z j,k N

δ

± ±

±

= ± =

= ∈

±=

= ∈

P I B

I

B

∓

…

∓

…

Identity matrix / Einheitsmatrix (Identitätsmatrix)

Band matrix / Bandmatrix

The P matrix can be represented by a sum of an identity matrix [I] and a band matrix [B] / Die P-Matrix kann als Summe aus einer Einheitsmatrix (Identitätsmatrix) [I] und Bandmatrix [B]

dargestellt werden

[ ]

i

N N×

=

B

1

iM

[ ]

i

N N×

=

P

1

1−

iM


Properties of the Difference Matrix [Pi] (P Matrix) / Eigenschaften der Differenzmatrix [Pi] (P-Matrix)

[ ]

i

N N

−

×

=

P1−

1

iM

[ ] [ ]Ti i−− =P PProperty / Eigenschaft Property / Eigenschaft

[ ] [ ] [ ]: , { , , }i i i x y z± ±= ± =P I B∓

[ ]

i

N N×

=

P

1

1−

iM

[ ]T

i

N N×

=

P1

1−

iM

[ ]T

i

N N×

− =

P1−

1

iM

[ ] [ ] [ ]: , { , , }i i i x y z= − + =P I B [ ] [ ] [ ]: , { , , }i i i x y z− −= − =P I B

[ ]

i

N N

−

×

=

P1−

1

iM



Discrete Global Gradient, Divergence, and Curl Operator / Diskreter globaler Gradienten-, Divergenz- und Rotationsoperator

Discrete gradient operator / Diskreter GradientenoperatorDiscrete gradient operator / Diskreter Gradientenoperator

[ ][ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ]

T

T

T

3

3

x

y

z N N

x

y

z N N

×

×

− = − −

=

P

grad P

P

P

grad P

P

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

TT T

3

3

: , ,

: , ,

x y zN N

x y z N N

×

×

= − − −

=

div P P P

div P P P

Discrete divergence operator / Diskreter Divergenzoperator

Discrete divergence operator / Diskreter Divergenzoperator

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

TT

TT

T T

3 3

3 3

z y

z x

y xN N

z y

z x

y x N N

×

×

−

= − −

− = − −

0 P P

curl P 0 P

P P 0

0 P P

curl P 0 P

P P 0

Discrete curl operator / Diskreter Rotationsoperator

Discrete curl operator / Diskreter Rotationsoperator

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

grad grad

div div

curl curl

The matrix operators / Die Matrixoperatoren

The matrix operators / Die Matrixoperatoren

are global matrix operators / sind globale Matrixoperatorenare global matrix operators / sind globale Matrixoperatoren


Properties of the Global Matrix Operators / Eigenschaften der globalen Matrixoperatoren

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

T

T

T

− =

=

=

div grad

grad div

curl curl

curl grad div curl 0

= ∇×∇ == ∇ ∇ =

0i

Some properties of the global matrix operators of the dual grid system / Einige Eigenschaften der globalen Matrixoperatoren des dualen Gittersystems

Some properties of the global matrix operators of the dual grid system / Einige Eigenschaften der globalen Matrixoperatoren des dualen Gittersystems

Vector identities / Vektoridentitäten

Vector identities / Vektoridentitäten

[ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] [ ]

=

=

=

=

curl grad 0

curl grad 0

div curl 0

div curl 0

are conserved in the dual grid system / bleiben im dualen Gittersystem erhaltenare conserved in the dual grid system / bleiben im dualen Gittersystem erhalten

Conservation of important vector identities / Erhaltung von wichtigen Vektoridentitäten

Conservation of important vector identities / Erhaltung von wichtigen Vektoridentitäten




Consistency test / KonsistenztestConsistency test / Konsistenztest

[ ][ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] [ ]

z y x

z x y

y x z

y z z y

z x x z

x y y x

− = − −

− = −

−

0 P P P

curl grad P 0 P P

P P 0 P

P P P P

P P P P

P P P P

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]( )[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]( )[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

i j j i i j j i

j i i j

i j j i

j i i j

i j j i

j i i j i j j i

i j j

− = − + − + − − + − +

= − − − +

− − − − +

= − − − +

− − − − +

= − − − + + + + − = −

P P P P I B I B I B I B

I I I B B I B B

I I I B B I B B

I B B B B

I B B B B

I B B B B I B B B B

B B B [ ]iB



[ ]( ) 1

0 else / sonsti j

i j kl

k l M M± ±

= = B B

∓ ∓With the property / Mit der EigenschaftWith the property / Mit der Eigenschaft

i and j can be arbitrarily interchanged / i und j können beliebig vertauscht werdeni and j can be arbitrarily interchanged /

i und j können beliebig vertauscht werden

This means that the matricesDas bedeutet, dass die MatrizenThis means that the matrices

Das bedeutet, dass die Matrizen

[ ] [ ]i j j i± ± ± ± = B B B B

andundandund

[ ] [ ]i j j i± ± ± ± = P P P P

are commutative! kommutativ sind!

are commutative! kommutativ sind!

[ ]i±B j± B

as well asals auch

as well asals auch

andundandund[ ]i±P j± P

[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ][ ]

i j

i j j i

i j j i

i j i j

=

= − = −

= − =

B B

curl grad P P P P

B B B B

B B B B

0



3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local and Global Matrix Form / 3D-FIT – ... diskrete Gittergleichungen in lokaler und globaler Matrixform

[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }

[ ] [ ] { } [ ][ ] [ ]{ } [ ]{ }

( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( )( ) ( )e

d ( ) curl ( ) ( )dd ( ) curl ( ) ( )d

n n n

n n nn n

S B t R E t S J tt

S E t R B t S J tt

ε ν

= − −

= −

Discrete grid equations in local matrix form / Diskrete Gittergleichungen in lokaler MatrixformDiscrete grid equations in local matrix form /

Diskrete Gittergleichungen in lokaler Matrixform

[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }

[ ][ ] { } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }

m

e

d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

= − −

= −

S B curl R E S J


Discrete grid equations in global matrix form / Diskrete Gittergleichungen in globaler MatrixformDiscrete grid equations in global matrix form /

Diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform

m

e

d ( , ) ( , ) ( , )dd ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d

S C S S

S C S S

t t tt

t t tt

=∂

=∂

= − −

= −

∫∫ ∫ ∫∫

∫∫ ∫ ∫∫


ε R E R dS ν R B R dR J R dS

i i i

i i i i i


1, 2, ,n N= …


3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Global Matrix Form / 3D-FIT – ... diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform

[ ]

{ }

3 3

3

Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /Diagonalmatrix der Elementarflächen auf dem Gitter Algebraic magnetic flux density vector /

( )Algebraischer magnetischer Flussdichte

N N

N

GG

t

×∈

∈

S

B

[ ]

[ ]

3 3

3 3

vektor Topological curl operator in matrix form on the grid /Topologischer Rotationsoperator in Matrixform auf dem Gitter Diagonal matrix of elementary lines on the grid /Diago

N N

N N

GG

G

×

×

∈

∈

curl

R

{ }

{ }

3

3m

nalmatrix der Elementarstrecken auf dem Gitter Algebraic electric field strength vector /

( )Algebraischer elektrische FeldstärkevektorAlgebraic magnetic current density vector /

( )Algebrai

N

N

G

t

t

∈

∈

E

Jscher magnetischer Stromdichtevektor

[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }md ( ) ( ) ( )d

t t tt

= − −S B curl R E S J

Faraday’s induction law in global matrix form / Faradaysches Induktionsgesetz in globaler Matrixform




[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }md ( ) ( ) ( )d

t t tt


[ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

3 3

3 3

diag{ } 0 0

0 diag{ } 0

0 0 diag{ }

N N

N N

N N

N N N N

y z

y zx y

x yx y

x y

y z

x z

x y

×

×

×

× ×

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ =

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆

= ∆ ∆

∆ ∆

S

[ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

3 3

3 3

diag{ } 0 0

0 diag{ } 0

0 0 diag{ }

N N

N N

N N

N N N N

x

xy

yz

z

x

y

z

×

×

×

× ×

∆ ∆

∆ =

∆ ∆ ∆

∆

= ∆

∆

R

{ }{ }

(1)

(2)

( )3

( ){ }( )( ){ }( ) ( ) { }( ) , ,

( )( )

ix

iy i

z NNi N

B tB tB tt B t B t i x y z

B tB t

= = =

B

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

TT

TT

T T

3 3

z y

z x

y xN N×

−

= − −

0 P P

curl P 0 P

P P 0




[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }md ( ) ( ) ( )d

t t tt


{ } { }{ }

(1)m

m (2)m

m m m

m ( )3m

( ){ }( )( )( ) ( ) { }( ) , ,

( )( )

ix

iy i

z NNi N

J tJ tJ tt J t J t i x y z

J tJ t

= = =

J{ }{ }

(1)

(2)

( )3

( ){ }( )( ){ }( ) ( ) { }( ) , ,

( )( )

ix

iy i

z NNi N

E tE tE tt E t E t i x y z

E tE t

= = =

E





[ ]

[ ]

3 3

3 3

Diagonal matrix of permittivities on the grid /

Diagonalmatrix der Permittivitäten auf dem Gitter

Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /

Diagonalmatrix der Elementarfl

N N

N N

G

G

G

×

×

∈

∈

ε

S

{ }

[ ]

3

3 3

ächen auf dem Gitter Algebraic electric field strength vector /

( )Algebraischer elektrischer Feldstärkevektor

Topological curl operator in matrix form on the grid /curl

Topologischer Rot

N

N N

G

t

G×

∈

∈

E

[ ]

[ ]

3 3

3 3

ationsoperator in Matrixform auf dem Gitter

Diagonal matrix of impermeabilities on the grid /

Diagonalmatrix der Impermeabilitäten auf dem Gitter

Diagonal matrix of elementary lines

N N

N N

G

G

G×

×

∈

∈

ν

R

{ }

{ }

3

3e

on the grid /

Diagonalmatrix der Elementarstrecken auf dem Gitter Algebraic magnetic flux density vector /

( )Algebraischer magnetischer FlussdichtevektorAlgebraic electric current den

( )

N

N

G

G

t

t

∈

∈

B

Jsity vector /

Algebraischer elektrischer Stromdichtevektor

[ ][ ] { } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }ed ( ) ( ) ( )d

t t tt

= −ε S E curl ν R B S J

Ampère-Maxwell’s circuital law in global matrix form / Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz in globaler Matrixform



[ ][ ] { } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }ed ( ) ( ) ( )d

t t tt


[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

(1)

( )

(1)

( )

(1)

( )3 3

(1) (2) ( )

(1) (2) ( )

(1) (2) ( )

diag{ , , , } 0 0

0 diag{ , , , } 0

0 0 diag{ , , , }

xx

Nxx

yy

Nyy

zz

Nzz N N

Nxx xx xx

N NN

yy yy yy NN N

Nzz zz zz N

N

ε

ε

εε

ε

ε

ε

ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε

×

×

×

=

=

…

…

…3 3N N N× ×





[ ][ ] { } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }ed ( ) ( ) ( )d

t t tt


[ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

3 3

3 3

diag{ } 0 0

0 diag{ } 0

0 0 diag{ }

N N

N N

N N

N N N N

y z

y zx z

x zx y

y z

y z

x z

x y

×

×

×

× ×

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ =

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆

= ∆ ∆

∆ ∆

S

[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]3 3

z y

z x

y x N N×

− = − −

0 P P

curl P 0 P

P P 0

[ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

3 3

3 3

diag{ } 0 0

0 diag{ } 0

0 0 diag{ }

N N

N N

N N

N N N N

x

xy

yz

z

x

y

z

×

×

×

× ×

∆ ∆

∆ =

∆ ∆ ∆

∆

= ∆

∆

R

{ } { }{ }

(1)e

e (2)e

e e e

e ( )3e

( ){ }( )( )( ) ( ) { }( ) , ,

( )( )

ix

iy i

z NNi N

J tJ tJ tt J t J t i x y z

J tJ t

= = =

J




[ ][ ] { } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }ed ( ) ( ) ( )d

t t tt


[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

(1)

( )

(1)

( )

(1)

( )3 3

(1) (2) ( )

(1) (2) ( )

(1) (2) ( )

diag{ , , , } 0 0

0 diag{ , , , } 0

0 0 diag{ , , , }

xx

Nxx

yy

Nyy

zz

Nzz N N

Nxx xx xx

N NN

yy yy yy NN N

Nzz zz zz N

N

ν

ν

νν

ν

ν

ν

ν ν ν

ν ν ν

ν ν ν

×

×

×

=

=

…

…

…3 3N N N× ×





[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }

[ ][ ] { } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }

m

e

d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

= − −

= −

S B curl R E S J


The two discrete grid equations in global matrix form read / Die beiden diskreten Gittergleichungen in globaler Matrixform lauten


{ } [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }

{ } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ } [ ] [ ] [ ]{ }

1 1m

1 1 1 1e

d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

− −

− − − −

= − −

= −

B S curl R E S S J

E S ε curl ν R B S ε S J

{ } [ ] [ ] [ ]{ } { }

{ } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ } [ ] { }

1m

1 1 1e

d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

−

− − −

= − −

= −

B S curl R E J

E S ε curl ν R B ε J

We arrange the last equations in the form / Wir bringen die letzten beiden Gleichungen in die Form


[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ]

1

1 1 1 1 1

−

− − − − −

=

=

= =

I

S S I

S ε S S S ε ε



[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }

[ ][ ] { } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }

m

e

d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

= − −

= −

S B curl R E S J




{ } [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }

{ } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ } [ ] [ ] [ ]{ }

1 1m

1 1 1 1e

d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

− −

− − − −

= − −

= −

B S curl R E S S J

E S ε curl ν R B S ε S J

{ } [ ] [ ] [ ]{ } { }

{ } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ } [ ] { }

1m

1 1 1e

d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

−

− − −

= − −

= −

B S curl R E J




[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ]

1

1 1 1 1 1

−

− − − − −

=

=

= =

I

S S I

S ε S S S ε ε





{ } [ ] [ ] [ ]{ } { }

{ } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ } [ ] { }

1m

1 1 1e

d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

−

− − −

= − −

= −

B S curl R E J


Now we write these two matrix equations in matrix form and find a first-order system of differential equations / Nun schreiben wir die beiden Matrixgleichungen in Matrixform und finden das folgende

System von Differentialgleichungen erster Ordnung

{ } [ ]{ } { }d ( ) ( ) ( )d

t t tt

= +y A y q

with / mit

{ } { }{ }

[ ][ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ]

{ }{ }

[ ] { }

1

1 1

m1

e

Solution vector /Lösungsvektor

System matrix /Systemmat

( )( )

( )

0

0

rix

Source ve ( )(

ctor /Quellvekt

)( )or

tt

t

tt

t

−

− −

−

=

= − = −

By

E

S curl RA

S ε curl ν R

Jq

ε J


3-D FIT – … Solution of the Initial Value Problem (IVP) / 3D-FIT – Lösung des Anfangswertproblems (AWP)

A general solution of the initial value problem (IVP) with the initial value {y}(t0) is / Eine allgemeine Lösung des Anfangswertproblems (AWP) mit dem Anfangswert {y}(t0) ist

A general solution of the initial value problem (IVP) with the initial value {y}(t0) is / Eine allgemeine Lösung des Anfangswertproblems (AWP) mit dem Anfangswert {y}(t0) ist

• implicit time integration / implizierte Zeitintegration• explicit time integration / explizite Zeitintegration• implicit time integration / implizierte Zeitintegration• explicit time integration / explizite Zeitintegration

{ } { } [ ]{ } { }{ }{ }

0

time integration /zeitliche Integratio

0

( )

n

( ) ( ) ( ) ( ) dt

t tt

t t t t t′=

=

= + +∫y

y y A y qi

Explicit time integration / Explizite ZeitintegrationExplicit time integration / Explizite Zeitintegration

time interval to be simulatedzu simulierend

[0, ]; es Zeit

i r

:nte val

t T T=

Initial value / Anfangswert

Initial value / Anfangswert

{ } { } { }

{ } { } { }

0

0

0

0

( ) ( ) ( ) d

( ) ( ) ( ) d

t

t t

t

t t

t t t t

t t t t

′=

′=

′ ′= +

′ ′= +

∫

∫

B B B

E E E

i

i




Discretization in time on a staggered grid in time / Diskretisierung in der Zeit auf einem versetzten Gitter in der Zeit

Discretization in time on a staggered grid in time / Diskretisierung in der Zeit auf einem versetzten Gitter in der Zeit

Mid point rule / MittelpunktsregelMid point rule / Mittelpunktsregel

{ } { } { }

{ } { } { }

( )

( 1/ 2)

( ) ( )

1( )2

t

t

nt

nt

t n t

t n t +

→ ∆ →

→ + ∆ →

B B B

E E E

{ } { } { }

{ } { } { }( )

( )

( ) ( 1)

( 1)

1/ 2( 1/ 2) ( 1/ 2)

1/ 2

( ) d

( ) d

tt t

t

tt t

t

n tn n

t n t

n tn n

t n t

t t

t t

∆−

′= − ∆

+ ∆+ −

′= − ∆

′ ′= +

′ ′= +

∫

∫

B B B

E E E

i

i

{ } { }[ ] { }

{ }( )

( ){ }( ) { }

( 1/ 2)

( 1)

1/ 2 ( )

1/ 2

( ) d ( 1/ 2)

( ) d

B B B

E E E

tt

t

t t

t

nn t

tt n t

n t n

tt n t

t t n t t t

t t n t t t

−∆

′= − ∆

+ ∆

′= − ∆

′ ′ = − ∆ ∆ = ∆

′ ′ = ∆ ∆ = ∆

∫

∫

i i i

i i i

{ } { } { }

{ } { } { }

0

0

0

0

( ) ( ) ( ) d

( ) ( ) ( ) d

t

t t

t

t t

t t t t

t t t t

′=

′=

′ ′= +

′ ′= +

∫

∫

B B B

E E E

i

i



{ } { }

{ } { }

( ) ( 1) ( 1/ 2)

( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )

+ { }

{ }

t t t

t t t

n n n

n n n

t

t

− −

+ −

= ∆

= + ∆

B B B

E E E

i

i

{ }( 1)tn −B { }( )tnB1( )2{ } tn −

Bi

{ }1( )2tn +E{ }

1( )2tn −E ( ){ } tnE

i

tt n t= ∆

The leapfrog structure of the algorithm in time / Die Bocksprung-Struktur des Algorithmus in der Zeit




Electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called Electromagnetic Finite Integration Technique (EMFIT) algorithm /Elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten

Elektromagnetischen Finite Integrationstechnik (EMFIT) Algorithmus

Electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called Electromagnetic Finite Integration Technique (EMFIT) algorithm /Elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten

Elektromagnetischen Finite Integrationstechnik (EMFIT) Algorithmus

[ ] [ ][ ]{ } { }

{ } { }

[ ] [ ] [ ][ ][ ]{ } [ ] { }

{ } { }

1 ( 1/ 2) ( 1/ 2)( 1/ 2)m

( ) ( 1) ( 1/ 2)

1 1 1 ( )( )(e

( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )

{ }

+ { }

{ }

{ }

t tt

t t t

ttt

t t t

n nn

n n n

nnn

n n n

t

t

− − −−

− −

− − −

+ −

= − −

= ∆

= −

= + ∆

B S curl R E J

B B B


E E E

i

i

i

i

Time integration / ZeitintegrationTime integration / Zeitintegration

Time integration / ZeitintegrationTime integration / Zeitintegration

Faraday’s induction grid equation / Faradaysche InduktionsgittergleichungFaraday’s induction grid equation / Faradaysche Induktionsgittergleichung

Ampère-Maxwell’s circuital grid equation / Ampère-Maxwellsche DurchflutungsgittergleichungAmpère-Maxwell’s circuital grid equation / Ampère-Maxwellsche Durchflutungsgittergleichung



Electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called EMFIT algorithm / Elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten EMFIT-Algorithmus

Electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called EMFIT algorithm / Elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten EMFIT-Algorithmus

{ } { } [ ] [ ][ ]{ } { }

{ } { } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ } [ ] { }

1( ) ( 1) ( 1/ 2) ( 1/ 2)m

1 1 1 ( )( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )e

+

t t t t

tt t t

n n n n

nn n n

t

t

−− − −

− − −+ −

= ∆ − −

= + ∆ −

B B S curl R E J

E E S ε curl ν R B ε J

Time-integrated Faraday’s induction grid equation / Zeitlich integrierte Faradaysche Induktionsgittergleichung

Time-integrated Faraday’s induction grid equation / Zeitlich integrierte Faradaysche Induktionsgittergleichung

Time-integrated Ampère-Maxwell’s circuital grid equation / Zeitlich integrierte Ampère-Maxwellsche Durchflutungsgittergleichung

Time-integrated Ampère-Maxwell’s circuital grid equation / Zeitlich integrierte Ampère-Maxwellsche Durchflutungsgittergleichung



3-D FIT Algorithm – Flow Chart / 3D-FIT-Algorithmus – Flussdiagramm

Start

Stop

1t tn n= +

t tn N≥

1tn =

Electric current density excitation: For all excitation nodes n:

NoNo YesYes

Boundary condition: For all PEC boundary nodes n:

3-D Ampère-Maxwell’s circuital grid equation: For all nodes n inside the simulation region:

{ } { } [ ] [ ][ ]{ }1( ) ( 1) ( 1/ 2)t t tn n nt −− −= − ∆B B S curl R E

{ } { } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ }1 1( 1/ 2) ( 1/ 2) ( ) t t tn n nt− −+ −= + ∆E E S ε curl ν R B

{ } { } [ ] { }1 ( )( 1/ 2) ( 1/ 2)

ett t nn n t

−+ += − ∆E E ε J

{ } { }( 1/ 2)tn + =E 0

3-D Faraday‘s induction grid equation: For all nodes n inside the simulation region:



Start

Stopp

1t tn n= +

t tn N≥

1tn =

NeinNein JaJa

{ } { } [ ] [ ][ ]{ }1( ) ( 1) ( 1/ 2)t t tn n nt −− −= − ∆B B S curl R E

{ } { } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ }1 1( 1/ 2) ( 1/ 2) ( ) t t tn n nt− −+ −= + ∆E E S ε curl ν R B

{ } { } [ ] { }1 ( )( 1/ 2) ( 1/ 2)

ett t nn n t

−+ += − ∆E E ε J

{ } { }( 1/ 2)tn + =E 0

3D-Faraday-Gittergleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:

Elektrische Stromdichteanregung: Für alle Anregungsknoten n:

Randbedingungen: Für alle IEL-Randknoten n :

3D-Ampère-Maxwell-Gittergleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:



3-D FIT – … Normalized … Grid Equations / 3D-FIT – ... normierte ... Gittergleichungen

Normalized electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called EMFIT algorithm / Normierte elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten EMFIT-Algorithmus

Normalized electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called EMFIT algorithm / Normierte elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten EMFIT-Algorithmus

{ } { } [ ] [ ] { } { }

{ } { } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ } [ ] { }

( 1/ 2)( ) ( 1) ( 1/ 2)1m

1 11 ( )( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )e

+

tt t t

tt t t

nn n n

nn n n

t

t

−− −−

− −−+ −

= ∆ − −

= + ∆ −

B B S curl R E J

E E S ε curl ν R B ε J

Normalized time-integrated Faraday’s induction grid equation / Normierte zeitlich integrierte Faradaysche Induktionsgittergleichung

Normalized time-integrated Faraday’s induction grid equation / Normierte zeitlich integrierte Faradaysche Induktionsgittergleichung

Normalized time-integrated Ampère-Maxwell’s circuital grid equation / Normierte zeitlich integrierte Ampère-Maxwellsche Durchflutungsgittergleichung

Normalized time-integrated Ampère-Maxwell’s circuital grid equation / Normierte zeitlich integrierte Ampère-Maxwellsche Durchflutungsgittergleichung

In a computer implementation we can neglect the integer time step counter nt. / In der Rechnerimplementierung kann der ganzzahlige Zeitschrittzähler nt unterdrückt werden.

In a computer implementation we can neglect the integer time step counter nt. / In der Rechnerimplementierung kann der ganzzahlige Zeitschrittzähler nt unterdrückt werden.



Start

Stop

1t tn n= +

t tn N≥

1tn =

Electric current density excitation: For all excitation nodes n:

NoNo YesYes

Boundary condition: For all PEC boundary nodes n:

3-D Ampère-Maxwell’s circuital grid equation: For all nodes n inside the simulation region:

{ } { } [ ] { }1 ( )

etnt

−= − ∆E E ε J

{ } { }=E 0

3-D Faraday‘s induction grid equation: For all nodes n inside the simulation region:

{ } { } [ ] [ ] { }1t

− = − ∆ B B S curl R E

{ } { } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ }11 ( )

tnt−−

= + ∆E E S ε curl ν R B




Start

Stopp

1t tn n= +

t tn N≥

1tn =

NeinNein JaJa

3D-Faraday-Gittergleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:

Elektrische Stromdichteanregung: Für alle Anregungsknoten n:

Randbedingungen: Für alle IEL-Randknoten n :

3D-Ampère-Maxwell-Gittergleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:

{ } { } [ ] { }1 ( )

etnt

−= − ∆E E ε J

{ } { }=E 0

{ } { } [ ] [ ] { }1t

− = − ∆ B B S curl R E

{ } { } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ }11 ( )

tnt−−

= + ∆E E S ε curl ν R B


FIT Discretization of the 3rd and 4th Maxwell’s Equation /FIT-Diskretisierung der 3. und 4. Maxwellschen Gleichung

m

e

e

m

d ( , ) ( , ) ( , )d

d ( , ) ( , ) ( , )d

( , ) ( , )

( , ) ( , )

S C S S

S C S S

S V V

S V V

t t tt

t t tt

t t dV

t t dV

ρ

ρ

=∂

=∂

=∂

=∂

= − −

= −

=

=

∫∫ ∫ ∫∫

∫∫ ∫ ∫∫

∫∫ ∫∫∫

∫∫ ∫∫∫


D R dS H R dR J R dS

D R dS R

B R dS R

i i i

i i i

i

i


FITMaxwell’s grid equations /

Maxwellsche Gittergleichungen

[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }

[ ][ ] { } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }

m

e

d ( ) ( ) ( )d

d ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

= − −

= −

S B curl R E S J


?



End of Lecture 9 /Ende der 9. Vorlesung

Documents

· Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 2 Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 3