1 Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006 Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory II (NFT II) Numerische

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Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory II (NFT II)

Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie II (NFT II) /

Lecture / VorlesungMo. 10.07.2006, 08:15-10:00, R. 2104

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik

(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

University of KasselDept. Electrical Engineering / Computer

Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein

2


Iterative Methods for the Solution of Discrete Integral Equations / Iterative Methode zur Lösung von diskreten Integralgleichungen

CG Method – Conjugate Gradient (CG) Method

M. R. Hestenes & E. Stiefel, 1952

BiCG Method – Biconjugate Gradient (BiCG) Method

C. Lanczos, 1952D. A. H. Jacobs, 1981C. F. Smith et al., 1990R. Barret et al., 1994

CGS Method – Conjugate Gradient Squared (CGS) Method (MATLAB Function)

P. Sonneveld, 1989

GMRES Method – Generalized Minimal – Residual (GMRES) Method

Y. Saad & M. H. Schultz, 1986 R. Barret et al., 1994

Y. Saad, 1996

QMR Method – Quasi–Minimal–Residual (QMR) Method

R. Freund & N. Nachtigal, 1990N. Nachtigal, 1991R. Barret et al., 1994Y. Saad, 1996

3


MATLAB Function CGS – Conjugate Gradient Squared / MATLAB-Funktion CGS – Konjugierte Gradienten Quadriert

cgs Conjugate Gradients Squared method Syntaxx = cgs(A,b)

cgs(A,b,tol)cgs(A,b,tol,maxit)cgs(A,b,tol,maxit,M)cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2)cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)cgs(afun,b,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,...)

[x,flag] = cgs(A,b,...)[x,flag,relres] = cgs(A,b,...)[x,flag,relres,iter] = cgs(A,b,...)[x,flag,relres,iter,resvec] = cgs(A,b,...)

4


Scattering Cross Section of ka = 1 and N = 10 – Induced Electric Surface Current /

Streuquerschnitt bei ka = 1 und N = 10 – Induzierte elektrische Flächenstromdichte

5


… – Normalized Induced Electric Surface Current / … – Normierte induzierte elektrische Flächenstromdichte

6


Convergence Rate of ka = 1 and N = 10 / Konvergence Rate bei ka = 1 und N = 10

7


Scattering Cross Section of ka = 1 and N = 10 – Induced Electric Surface Current /

Streuquerschnitt bei ka = 1 und N = 10 – Induzierte elektrische Flächenstromdichte

8


Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case / Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-

FallJ. J. Bowman, T. B. A. Senior, P. L. E. Uslenghi (Editors):

Electromagnetic and Acoustic Scattering by Simple Shapes.

Taylor & Francis Inc, New York, 1988.

Separation of Variables Analytic Solution in Terms of Eigenfunctions /

Separation der Variablen Analytische Lösung in Form von Eigenfunktionen

ink

PEC Cylinder with Radius a / IEL Zylinder mit dem Radius a

( )

r e e

e

x y

r

x y

r

2-D Case /

2D-Fall

ininE ( , )rz

r

a

y

x

Plane Wave / Ebene Welle

in scE ( , ) E ( , ) E ( , )r r rz z z inr

9


Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case – Analytic Solution: Separation of Variables /

Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall – Analytische Lösung: Separation der Variablen

sc (1)in in(1)

0

J ( )( , , , ) ( j) H ( ) cos

H ( )n n

z n nn n

kaE r kr n

ka

1 0

2 1, 2,3,nn

n

Electric Field Strength of the Scattered Wave / Elektrische Feldstärke der gestreuten Welle

Neumann Function / Neumann-Funktion

Electric Field Strength of the Incident Wave / Elektrische Feldstärke der einfallenden Welle

inin jin 0

1 V/m

( , , , ) ( ) e k rzE r E

Boundary Condition at the PEC Cylinder / Randbedingung am IEL-Zylinder

in scain in in( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 0z z zE r a E r a E r a

Solution / Lösung

10


Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case – Analytic Solution: Separation of Variables /

Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall – Analytische Lösung: Separation der Variablen

r a Induced Electric Surface Current Density at / Induzierte elektrische Flächenstromdichte bei

TMe in in

in scin in

0in(1)

0

( , , ) ( , , , )

( , , , ) ( , , , )

1 ( j)2 cos

H ( )

z

n

nn n

K H r a

H r a H r a

Yn

ka ka

TM 0e in in(1)

0

1 ( j)( , , ) 2 cos

H ( )

n

z nn n

YK n

ka ka

Boundary Condition at the PEC Cylinder / Randbedingung am IEL-Zylinder

in( , , , ) 0zE r a

in( , , , )r a n × E 0

in ine( , , , ) ( , , , ), Rr a r a n × H K n e

11


MATLAB Programme / MATLAB-Programm

for nka=1:N_max_kas ka = max_kas(nka); % max_kas = {1, 5, 10}

a = ka / k; legend_matrix(nka,:) = sprintf('ka = %2d',ka)

for nphi=1:Nphi

phi(nphi) = (nphi-1)*2.0*pi/(Nphi-1); phi_deg(nphi) = (nphi-1)*2.0*pi/(Nphi-1)*180.0/pi;

Hphi(nphi,nka) = 0.0;

for n = 0:N Hphi(nphi,nka) = Hphi(nphi,nka) + epsilon_n(n+1) * (complex(0,-1))^n / besselh(n,1,ka) * cos(n*(phi(nphi)-phi_in)); end

% Magnetic field strength component / Magnetische Feldstärkekomponente Hphi(nphi,nka) = Hphi(nphi,nka) * 2.0/M_PI * Y0/ka; % Normalized magnetic field strength component / Normierte magnetische Feldstärkekomponente Hphi_Z0(nphi,nka) = Hphi(nphi,nka) * Z0;

endend

MATLAB Program / MATLAB-Programm

12


Induced Electric Surface Current Density for Different Order N, ka = 1 / Induzierte elektrische Flächenstromdichte für verschiedene Ordnungen N, ka = 1

TMe inRe ( , 0 , )zK

TMe inIm ( , 0 , )zK

TMe in( , 0 , )zK

13


Induced Electric Surface Current for Different Order N, ka = 1 / Induzierte elektrische Flächenstrom für verschiedene Ordnungen N, ka = 1

TM0 e inRe ( , 0 , )zZ K

TM0 e inIm ( , 0 , )zZ K

TM0 e in( , 0 , )zZ K

14


Induced Electric Surface Current for Different ka = {1, 5, 10} and N = 128/ Induzierter elektrischer Flächenstrom für verschiedene ka = {1, 5, 10} und N = 128

TMe inRe ( , 0 , )zK

TMe inIm ( , 0 , )zK

TMe in( , 0 , )zK

15


Induced Electric Surface Current for Different ka = {1, 5, 10} and N = 128/ Induzierter elektrischer Flächenstrom für verschiedene ka = {1, 5, 10} und N = 128



TM0 e in( , 0 , )zZ K

16


Induced Electric Surface Current of Different ka = 1 and N = 10 / Induzierter elektrischer Flächenstrom für verschiedene ka = 1 und N= 10



TM0 e in( , 0 , )zZ K

17


EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the

2-D TM Case with Rectangular Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal elektrisch leitendem Zylinder: EFIE

diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Rechteckimpuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen

( )( )0

(1)0

21 j ln 1

4( ) 4

H ( )

nn

mn

mn

km n

Z

k r m n

Elements of the Impedance Matrix /Elemente der Impedanzmatrix

Re ( )Z

Im ( )Z

( )Z 1, 128ka N

18


Induced Electric Surface Current of Different ka = 1 and N = 128 / Induzierter elektrischer Flächenstrom für verschiedene ka = 1 und N= 128



TM0 e in( , 0 , )zZ K

19


Scattering Cross Section of ka = 1 and N = 128 / Streuquerschnitt bei ka = 1 und N = 128

20



21



22



23



Fall

24



Fall

25


EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: … / EM-Streuung an einem ideal elektrisch leitendem Zylinder: …

Calculation of the Scattered Field /Berechnung des Streufeldes

sc sc

sc TM 3sc0 eE ( , ) j K ( , ) , d , \z zC S

G C

rr r r r r r

inkSource /Quelle

O

PEC Cylinder / IEL Zylinder

( )sr

in0jin in

0E ( , ) E ( )ez z k rr

0r

n Integer Counter /Ganzzahliger Zähler

(5)( )r bs

(5)( )r es

TM(1)eK z

TM(3)eK z

TM(4)eK z

TM(2)eK z

TM(8)eK z

TM(7)eK z TM(6)

eK z

TM(5)eK z

in sc 3scE ( , ) E ( , ) E ( , ), \z z z C r r r r

Calculation of the Total Field /Berechnung des Gesamtfeldes

26



FallReal Part / Realteil Imaginary Part / Imaginärteil Magnitude / Betrag

Incident Field / Einfallendes Feld

Scattered Field / Streufeld

Total Field / Gesamtfeld

27


Iterative Methods for the Solution of Discrete Integral Equations / Iterative Methode zur Lösung von diskreten Integralgleichungen

CG Method – Conjugate Gradient (CG) Method

M. R. Hestenes & E. Stiefel, 1952

BiCG Method – Biconjugate Gradient (BiCG) Method

C. Lanczos, 1952D. A. H. Jacobs, 1981C. F. Smith et al., 1990R. Barret et al., 1994

CGS Method – Conjugate Gradient Squared (CGS) Method (MATLAB Function)

P. Sonneveld, 1989

GMRES Method – Generalized Minimal – Residual (GMRES) Method

Y. Saad & M. H. Schultz, 1986 R. Barret et al., 1994

Y. Saad, 1996

QMR Method – Quasi–Minimal–Residual (QMR) Method

R. Freund & N. Nachtigal, 1990N. Nachtigal, 1991R. Barret et al., 1994Y. Saad, 1996

28


Conjugate Gradient Method (CG Method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode)

A x b

Non-singular Matrix Equation / Nicht singuläre Matrixgleichung

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

1

2

×

A

x

b

N

N

N N NN N N

N N

N N

A A A

A A A

A A A

x

x

x

b

b

b

Non-singular Matrix / Nicht singuläre Matrix

Solution Vector / Lösungsvektor

Right-hand Side / Rechte Seite

29



*T

†

,x y x y

x y

Inner Vector Product (Scalar Vector Product) / Inneres Vektorprodukt (Skalares Vektorprodukt)

2,

:

x x x

x

ℓ2-Norm / ℓ2-Norm

1 211

xN

N nn

x x x x


1/

1

x

pNp

npn

x

Used Vector Norms in Linear Algebra – Special Cases of the Hölder Norm / Verwendete Vektornormen in der Linearen

Algebra – Spezialfälle der Hölder-Norm

1p

* * * *

1 1 2 221

xN

N N n nn

x x x x x x x x

ℓ2-Norm / ℓ2-Norm2p

1,...,

maxx nn N

x

ℓ∞-Norm / ℓ∞-Normp

30



1

2x

N N

x

x

x

T1

T 21 2, ,...,x N

N

x

xx x x

x

* * *

*T1

*T 21 2, ,...,x N

N

x

xx x x

x

* * * * * * *

1

21 2 1 1 2 22

1

, , ,...,x x x xN

N N N n nn

N

x

xx x x x x x x x x x x

x

*T

†

,x y x y

x y

Inner Vector Product (Scalar Vector Product) / Inneres Vektorprodukt (Skalares Vektorprodukt)

2,

:

x x x

x


31



Iterative Method / Iterative Methode

( ) ( 1) ( )

( ) ( 1) ( )( )

Correction Term /New Approximation / Old Approximation /KorrekturtermNeue Approximation Alte Approximation

x x p

l l l

l l ll

( )p l

( )lScalar Coefficient at Iteration Step l / Skalarer Koeffizient zum Iterationsschritt l

lth Direction in the N-Dimensional Space / l-te Richtung im N-dimensionalen Raum

1,2, ,l L

A x b


32



)( )1 () (

( 1( ( )() ))

Old Approximation /Alte Approximat

New Approximation /Neue Approxima

Correction Term /Korrekturtermontion i

pxx

ll l

lll l


( )x l

( 1)x l

( )( ) p ll

( )p l

Geometric Interpretation / Geometrische Interpretation

( ) ( 1) ( )

( ) ( 1) ( )( )


x x p

l l l

l l ll

( )p l

( )l Scalar Coefficient at Iteration Step l / Skalarer Koeffizient zum Iterationsschritt l

l-th Direction in the N-Dimensional Space / l-te Richtung im N-dimensionalen Raum

33



( ) ( )( ) x A x bl llE

Error Functional / Fehlerfunktional

( ) ( 1)

( )2( )

,A p r

A p

l l

l

l

Scalar Coefficient, which Minimizes the Error Functional / Skalarer Koeffizient, welcher das Fehlerfunktional minimiert

( ) ( )r A x bl l

with the Residual Vector / mit dem Fehlervektor

34




( ) ( 1) ( )

( ) ( 1) ( )( )


x x p

l l l

l l ll

1,2, ,l L

(0) (1) (2) ( )(1) (2) ( )x x p p p LL

Solution in Form of a Finite Sum / Lösung in Form einer endlichen Summe

A x b


( ) ( ) for /, 0

fürA p A pi j i j

{p}(i) and {p}(j) are Mutually Conjugate if / {p}(i) und {p}(j) sind gegenseitig konjugiert

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Conjugate Gradient Method (CG Method) – Convergence / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode) – Konvergenz

( ) ( ) x x x x

l ml m

Convergence: Yes or No? / Konvergenz: Ja oder Nein?

Important Property of the CG Method:

For an arbitrary non-singular N N Matrix [A], the CG algorithm produces in at most N iteration steps

(assuming infinite-precision arithmetic). This is a direct consequence of the fact

that L = N {p} vectors span the solution space. Finite-step termination is a significant advantage of

the CG method over other iterative algorithms.

Wichtige Eigenschaft der CG Methode:

Für eine beliebige nicht-singuläre N N-Matrix [A], der CG-Algorithmus produziert in höchstens N-

Iterations-schritten (bei unendlich genauer Arithmetik). Dies ist eine direkte Konsequenz des

Faktum, dass L = N {p}-Vektoren den Lösungsraum aufspannen. Dass die Lösung in einer endlichen Anzahl

von Iterationsschritten generiert wird, ist ein entscheidender Vorteil der KG-Methode gegenüber

anderen iterativen Algorithmen.

0,1, , l L L N A x bN NN N

( ) ( )l l e x x

( ) ( )

( )( ) ( )

l l

ll l

R

r A x b

b b

( ) 410lR

36



(0) (0) (0)

a(1) (0)

x r A x b

p A r

Initialization / Initialisierung

( 0)l Guess / Schätze

a ( 1)( ) ( 1)

( )2 2( ) ( )

( ) ( 1) ( )( )

( ) ( ) ( 1) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )

,ll l

l

l l

l l ll

l l l ll

l l

ll l

R

A rA p r

A p A p

x x p

r A x b r A p

r A x b

b b

Iterate /Iteriere

( 1,2, )l

Polak-Ribière

Stop here, if the error falls below some predefined value!

a a( ) ( 1) ( )

( )2a ( 1)

,l l l

l

l

A r r A r

A r

a( 1) ( ) ( )( )l l ll p A r p

37



a ( 1)( ) ( 1)

( )2 2( ) ( )

( ) ( 1) ( )( )

( ) ( ) ( 1) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )

,ll l

l

l l

l l ll

l l l ll

l l

ll l

R

A rA p r

A p A p

x x p

r A x b r A p

r A x b

b b

(0) (0) (0)

a(1) (0)

x r A x b

p A r

Initialization /Initialisierung

( 0)l Guess /Schätze

Iterate /Iteriere

( 1,2, )l

Fletcher-Reeves

Stop here, if the error falls below some predefined value!

2a ( )

( )2a ( 1)

l

l

l

A r

A r

a( 1) ( ) ( )( )l l ll p A r p

38


EM Scattering by a Circular PEC Cylinder – EFIE – 2-D TM Case – Results / EM-Streuung an einem kreisrunden IEL-Zylinder – EFIE – 2D-TM-Fall –

ResultateTM

0 e in( , 180 , )zZ K

TM0 eIm zZ K

TM0 ezZ K

TM0 eRe zZ K

( )lR

Re ImMagnitude /

Betrag

Incident Field / Einfallendes Feld

Scattered Field / Streufeld

Total Field / Gesamtfeld

39


PEC Scatterer: Franz, Stratton-Chu, and Franz-Larmor Version of EFIE and MFIE /

IEL Streuer: Franz, Stratton-Chu und Franz-Larmor Version von EFIE und MFIE

sc sc

sc sc

in20 sc e sc

in2e sc e scm

j PV ( , ) ( , )d ( , )

1( , ) ( , ) ( , )d ( , )

2

S V

S V

R

R

n × K R G R R R n × E R

K R n × K R G R R R n × H R

Different versions of EFIE and MFIE (for ) / Verschiedene Versionen von EFIE und MFIE (für ):

e m( , ), ( , ) J R J R

sc scS V RO

Null field inside the scatterer /Nullfeld innerhalb des Streuers

( , ), ( , ) E R H R 0

e

scV

sc scS V R

scn

scn

sc scS V

0sc sc

sc sc

in210sc e e scj

in2e sc e sc

j ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) d ( , )

1( , ) ( , ) ( , )d ( , )

2

S V

S V

G G

G

R

R

n × K R R R K R R R R n × E R

K R n × × K R × R R R n × H R

sc sc

sc sc

in2sc e sc

0

in2e sc e sc

1( , ) ( , )d ( , )

j

1( , ) ( , ) ( , )d ( , )

2

S V

S V

G

G

R

R

n × × × K R R R R n × E R

K R n × × K R R R R n × H R

Franz version / Franz-Version:

Stratton-Chu version / Stratton-Chu-Version:

Franz-Larmor version / Franz-Larmor-Version:

scSR scSR

scSRBoundary condition for / Randbedingung für scSR

Direct scattering problem for PEC scatterer /Direktes Streuproblem für IEL Streuer

sc

m

sc e

( , )

( , )

( , ) ( , )

n ×E R 0

K R 0

n × H R K R

SV

40


PMC Scatterer: Franz, Stratton-Chu, and Franz-Larmor Version of EFIE and MFIE /

IML Streuer: Franz, Stratton-Chu und Franz-Larmor Version von EFIE und MFIE

sc sc

sc sc

in2m sc m scm

in20 sc m sc

1( , ) ( , ) ( , )d ( , )

2

j PV ( , ) ( , )d ( , )

S V

S V

R

R

K R n × K R G R R R n ×E R

n × K R G R R R n × H R


sc scS V RO


( , ), ( , ) E R H R 0

m

scV

sc scS V R

scn

scn

sc scS V

sc sc

0sc sc

in2m sc m sc

in210sc m m scj

1( , ) ( , ) ( , )d ( , )

2

j ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) d ( , )

S V

S V

G

G G

R

R

K R n × × K R × R R R n ×E R

n × K R R R K R R R R n × H R

sc sc

sc sc

in2m sc m sc

in2sc m sc

0

1( , ) ( , ) ( , )d ( , )

21

( , ) ( , )d ( , )j

S V

S V

G

G

R

R

K R n × × K R R R R n ×E R

n × × × K R R R R n × H R

Franz version / Franz-Version:

Stratton-Chu version / Stratton-Chu-Version:

Franz-Larmor version / Franz-Larmor-Version:

scSR scSR

scSRBoundary condition for / Randbedingung für scSR

Direct scattering problem for PEC scatterer /Direktes Streuproblem für IEL Streuer

sc

e

sc m

( , )

( , )

( , ) ( , )

n × H R 0

K R 0

n × E R K R

e m( , ), ( , ) J R J R

SV

41


PEC Scatterer: EFIE and MFIE for the 2-D TM Case and 2-D TE Case / IEL Streuer: EFIE und MFIE für den 2D-TM-Fall und 2D-TE-Fall

sc sc

sc sc

TM in0 e

inTM TMe e

sc

j ( , ) ( , )d ( , )

1 ( , )( , ) ( , ) d = ( , )

2

r

r

r r r r r

r rr r r e H r

z zC S

z z sC S

K G E

GK K

n


e m( , ), ( , )J r J r

SS

sc scr C S

O


( , ), ( , )E r H r 0

e

scS

sc scr C S

scn

scn

sc scC S

sc sc

sc sc

inTEe

sc sc

TE TE ine e

sc

0

1j

( , )( , ) d ( , )

1 ( , )( , ) ( , ) d ( , )

2

r

r

r rr r e E r

r rr r r r

z sC S

z z zC S

GK

n n

GK K H

n

TM Case / TM-Fall:

TE Case / TE-Fall

scr C scr C

scr CBoundary condition for / Randbedingung für scr C

Direct scattering problem for a PEC scatterer /Direktes Streuproblem für einen IEL Streuer

sc

m

sc e

( , )

( , )

( , ) ( , )

n ×E r 0

K r 0

n × H r K r

EFIE

MFIE

EFIE

MFIE

sce n ×e es z t

z

y

x

with / mit

42


PMC Scatterer: EFIE and MFIE for the 2-D TM Case and 2-D TE Case / IML Streuer: EFIE und MFIE für den 2D-TM-Fall und 2D-TE-Fall

sc sc

sc sc

inTM0 m

sc sc

TM TM inm m

sc

( , )j ( , ) d ( , )

1 ( , )( , ) ( , ) d ( , )

2

r

r

r rr r e H r

r rr r r r

z sC S

z z zC S

GK

n n

GK K E

n


e m( , ), ( , )J r J r

SS

sc scr C S

O


( , ), ( , )E r H r 0

e

scS

sc scr C S

scn

scn

sc scC S

sc sc

sc sc

TE in0 m

sc

inTE TEm m

sc

j ( , ) ( , )d ( , )

1 ( , )( , ) ( , ) d ( , )

2

r

r

r r r r r

r rr r r e E r

z zC S

z z sC S

K G Hn

GK K

n

TM Case / TM-Fall:

TE Case / TE-Fall

scr C scr C

scr CBoundary condition for / Randbedingung für scr C

Direct scattering problem for a PMC scatterer /Direktes Streuproblem für einen IML Streuer

sc

e

sc m

( , )

( , )

( , ) ( , )

n × H r 0

K r 0

n ×E r K r

EFIE

MFIE

EFIE

MFIE

z

y

x

sce n ×e es z t with / mit

43


EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: MFIE Discretized in the

2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal elektrisch leitendem Zylinder: MFIE

diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen

ink

Source /Quelle

O

PEC Cylinder / IEL Zylinder

( ) ( )r rr z

r 0

R e e

r

2-D Case /2D-Fall

TMeK ( , )z r

inE ( , )z r

0r

2-D PEC TM MFIE / 2D-IEL-TM-MFIE

This is a Fredholm integral equation of the 2. kind in form of a closed line integralfor the unknown electric surface current density for a known incident field. /

Dies ist eine Fredholmsche Integralgleichung 2. Art in Form eines geschlossenen Linienintegrals für die unbekannte elektrische Flächenladungsdichte für ein bekanntes einfallendes Feld.

(1)00

j( , ) H

4G k r r r r

cylrr

r

sc sc

inTM TMe e

sc

1 ( , )( , ) ( , ) d = ( , )

2 r

r rr r r e H rz z sC S

GK K

n

z

y

x

44


PEC Scatterer: Combined Field Integral Equation – CFIE = EFIE and MFIE / IEL Streuer: Kombinierte Feldintegralgleichung – CFIE = EFIE und MFIE

(CFIE EFIE MFI E1) Z

CFIE is a Linear Combination of the EFIE and MFIE / CFIE ist eine linear Kombination von EFIE und MFIE

0.2

Internal Resonance Problem / Probleme mit internen Resonanzen

Ill-Conditioned Matrix Equation – The Matrix Operator has a Null Space at these Resonance Frequencies / Schlechtgestellte Matrixgleichung – Der Matrixoperator besitzt einen Nullraum bei den Resonanzfrequenzen

Non-Uniqueness Due to Internal Resonance Problem / Nichteindeutigkeit wegen den internen Resonanzen

Remedy of the Non-Uniqueness / Lösung der Nichteindeutigkeit

with / 0 1

mit

45



(CFIE EFIE MFI E1) Z

CFIE is a Linear Combination of the EFIE and MFIE / CFIE ist eine linear Kombination von EFIE und MFIE

0.2 with / 0 1

mit

Antilla, G., N. G. Alexopoulos: Scattering from Complex Three-Dimensional Geometries usinga Curvilinear Hybrid Finite-Element-Integral Equation Approach, Optical Soc. America, Vol. 11, pp. 1445-1457, April 1994.

46



47



(CFIE EFIE MFI E1) Z CFIE is a Linear Combination of the EFIE and MFIE / CFIE ist eine linear Kombination von EFIE und MFIE 0.2

sc sc

sc sc

TM in0 e

inTM TMe e

sc

EFIE

MFIE

j ( , ) ( , ) d ( , )

1 ( , ) ( , ) ( , ) d = ( , )

2

z zC S

z z sC S

K G E

GK K

n

r

r

r r r r r

r rr r r e H r

sc sc

sc sc

TM0 e

TM TM0 e e

sc

inin0

j ( , ) ( , ) d

1 ( , ) 1 ( , ) ( , ) d

2

( , ) 1 ( , )

zC S

z zC S

z s

K G

GZ K K

n

E Z

r

r

r r r r

r rr r r

r e H r

48


End of Lecture /Ende der Vorlesung

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1 Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006 Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory II (NFT II) Numerische