~0~ L. HANNAKAM: Dynamisches Verhalten yon synchronen Schenkelpolmaschinen Archly ffiri Elektroteehnk

Zusammenfassung Es wird die Methode angefiihrt, mit welcher das Problem der Asynchronmaschinen mit beliebig angeord-

neter St~nderwicklung gel6st werden kann, wobei alle Einzelwellen der Felderregerkurve in Bet rach t gezogen werden. Auf Grund der G1. (18) und (22) kann man die Gleiehungen einer beliebigen 2r mi t symme- trischem L~ufer direkt anschreiben und die Drehmomente der Einzelwellen berechnen. Ats Spezialfall wird die Frage der symmetrischen t{omponenten der Mehrphasensysteme und ihres Zusammenhanges mi t den Einzel- wellen der Felderregerkurve diskutiert. In der Tab. ! sind die symmetr ischen Stromsysteme der synlmetrisch gewickelten Maschinen aufgezeichnet und die Ordnungszahlen der zugeh6rigen Einzeiwellen der Felderreger- kurve angeffihrt. ]3esondere Aufmerksamkeit wird der Frage der sog. ,,Nullfelder" bei Mehrphasensystemen gewidmet. Die Anwendungsbeispiele sollen den Leser mit den Vorteilen der Methode n~her ver t rau t machen, aber sie k6nnen bei weitem nicht die reichen Anwendungsm6glichkeiten dieser ~Iethode ersch6pfen.

L i t e r a t u r

[1] BRUDERLIN, R.: 1Jber eine graphische Zerlegung der Feld-Erregerkurve einer unregelmt~/3igen Mehr- phasenwicklung in Einzelwellen. ETZ Bd. 42 (1921) S. lO93. -- [21 HELLER, ]3. : Das Luftspaltfeld in Asyn- chronmaschinen. Arch. Elektrotechn. Bd. 21 (1934) S. 455. - - [31 KRONDL, 2vI. : Berechnung yon Einphasen- Kondensator-Motoren. Elektrotechn. u. Masch.-Bau. Bd. 52 (1934) S. 133. - - [41 KADE, F.: Nullfelder in Einphasenmotoren. ETZ-A Bd. 76 (1955) S. 522. - - [5] SCHMIDT, W., und It . JORDAN: i )ber Drehstrom- Asynehronmotoren mit unsymmetrischer Schaltung cler St/~nderwieklung. ETZ-A Bd. 76 (1955) S. 124, -- [6j JORDAN, H., U. F. LAX: Vorausbereehnung des Nullsystems unsymmetrischer Schaltungen yon I)reh- strom-Asynchronmaschinen. ETZ-A (1954) H. 20, S. 696. - - [7J SEQU~NZ, H.: Die Wicklungen elektrischer Maschinen. 13d. III , Wien: Springer 1954. - - [81 KU~ERA, J . : t tarmonische Fl~chenanalyse der magneto- motorischen Kr~fte in der Mehrphasenwicklung. Elektrotechn. u. Masch.-Bau. (1954) t-I. 13 u. 14, S. 32~ bis 361. - - [9] ST~mNA, J.: T-Schaltung yon Kleinstasynchronmotoren. Dtsch. Elektrotechn. Bd. 9 (1955) S. 356. - - [lOJ ST~PINA, J. : St~inderstromwellen als Verallgemeinerung der symmetrischen Komponenten fiir unsymmetrische Asynchronmaschinen. PrAce fistavu pro elektrotechniku (~SAV II I , Prag 1956. - - [11] RICH- TER, R. : Elektrische Maschinen IV. Berlin: Springer 1936.

Ing. Dr. JAROSLAV S~r~PINA, Praha II, Skolsk~ 3 o.

Dynamisches Verhalten von synchronen Schenkelpolmaschinen bei Drehmomentst6f~en

V o n

L. HANNAKAM, Berlin

Mit 11 Textabbi ldungen

(Eingegangen am 7. Oktober I957)

U b e r s i c h t . In der vorliegenden Arbeit wird der elektromechanische Ubergangsvorgang bei der Stof3- belastung yon Schenkelpolmaschinen nntersucht . Zu diesem Zwecke werden die allgemeinen Systemgleichun- g e n d e r Schenkelpolmaschine aufgestellt und mit Hilfe yon elektronischen t~chenmasch inen ausgewertet. AIs Beispiel wurde ein Wasserkraf tgenerator yon 16 ooo kVA bei 300 U/min gew~ihlt; die lJbergangsvorg~mge selbst wurden fiir verschiedene Parameter (Belastung, D~impfung, Tr~igheitsmoment } ermit te l t und werden in Kurven- form angegeben.

P r o b l e m s t e l l u n g

E i n e s y n c h r o n e S c h e n k e l p o l m a s c h i n e M (s. B i l d l a ) m i t e i n e r m e h r p h a s i g e n s y m m e t r i s c h e n

S t a t o r w i c k l u n g , d ie a n e in als s t a r r a n z u s e h e n d e s s y m m e t r i s c h e s N e t z a n g e s c h l o s s e n is t , w i r d

m i t e ine r B e l a s t u n g s - bzw. A n t r i e b s m a s c h i n e G g e k u p p e l t u n d y o n e ine r E r r e g e r s p a n n u n g s q u e l l e

d e r k o n s t a n t e n S p a n n u n g U F 1 aus e r r eg t . D a s g e s a m t e S y s t e m b e f i n d e s ich zun~ichs t i m s t a t i o -

n ~ i r e n G l e i c h g e w i c h t s z u s t a n d : d a s v o n d e r B e l a s t u n g s - bzw. A n t r i e b s m a s c h i n e a u f g e b r a c h t e

k o n s t a n t e G e g e n m ) m e n t D~o w i r d y o n d e m v o n d e r S y n c h r o n m a s c h i n e e n t w i c k e l t e n k o n s t a n t e n

M a s c h i n e n m o m e n t Duo a u f g e h o b e n , d ie G r u p p e l~iuft m i t k o n s t a n t e r G e s c h w i n d i g k e i t urn,

w o b e i d e r L a s t w i n k e l d e r S y n c h r o n m a s c h i n e e i n e n b e s t i m m t e n k o n s t a n t e n W e r t au fwe i s t .

1 GroBe Buchstaben = konstante Werte, kleine Buchstaben = ver~nderliche Gr613en (Ausnahme: die kons tanten Streufaktoren a).

XLII I . Band L . H A N N A K A M : D y n a m i s c h e s V e r h a l t e n y o n s y n c h r o n e n S c h e n k e l p o l m a s c h i n e n 4 0 3 Heft 6 - - 1958

Dieser Gleichgewichtszustand soll nun durch dine sprunghafte ]~nderung des Gegenmomentes um den Wert AD~ (s. Bild lb) gest6rt werden, wodurch din elektromechanischer Ausgleichsvor- gang eingeleitet wird, der durch Pendelungen des Polrades, der Geschwindigkeit und der Str6me gekennzeichnet ist und dessen Ermittlung das Ziel der vorliegenden Abhandlung ist.

Den Ausgangspunkt der Betrachtungen bilden die Nelz elektromechanischen Systemgleichungen der Schenkel- ~ [~

polmaschine, die jeden beliebigen Betriebszustand dieser a b Maschine erfassen und mit entsprechenden Anderungen r auf andere Maschinen tibertragen werden k6nnen. Bei ~2,Y der Behandlung, vor allem bei der Transformation der ~ -~ Gleichungen erweist sich die Matrizenrechnung als ein I ~ d~ ~~ Z~it r 0 zweckm/il3iges Hilfsmittel; ihre abgektirzte Schreibweise L gestattet dine tibersichtliche Darstellung und erm6glicht Bile 2. Sehaltung und StoBbelastung der die Durchftihrung komplizierter und umfangreicher Ab- Sehenkelpolmasehine.

leitungen in einfacher Form. Die sich ergebenden Systemgleichungen selbst sind nichtlineare simultane Differentialgleichungen, deren Auswertung heute bei der Verwendung elektronischer Rechenmaschinen kein Problem mehr darstellt. Die hier wiedergegebenen l~bergangsvorg~tnge wurden einerseits mit einem Digital-Rechner der IBM-Deutschland und andererseits mit einem Analogrechner System Telefunken ermittelt; der Einsatz der beiden Rechenmaschinenarten solI ebenfalls diskutiert werden.

Tei l I

Die d y n a m i s c h e n S y s t e m g l e i c h u n g e n

Die idealisierte Schenkelpolmaschine

Um dine tibersichtliche Darstellung der komplizierten VerMltnisse des dynamischen Verhal- tens der synchronen Schenkelpolmaschine zu erhalten, ist es erforderlich, einige vereinfachende Voraussetzungen tiber den elektrischen Aufbau dieser Maschine zu machen. Als sehr zweck- m~il3ig erweist sich in dieser Hinsicht die yon SCHAMMEL bei der Betrachtung des stationfiren Hochlaufes eingeftihrte idealisierte Schenkelpolmaschine, die im wesentlichen auch den Iolgenden

tZ/Z

~ ) Sfufor

Y BUd 2. Aufbau der (idealisierten)

Sehenkelpohnaschine.

dynamischen Betrachtungen zugrunde gelegt werden soll. Um weiterhin die Anzahl der auf- zustellenden Spannungsgleichungen zu redu- zieren, soll der symmetrisch bewickelte Stator der betrachteten Maschine nicht dreiphasig, sondern zweiphasig ausgefiihr t sein,was keiner- lei Einschfiinkung der Allgemeingtiltigkeit der anzustellenden Untersuchung bedeutet.

DD tD0 ~,

Bild 3. Sehwankungen des magnefischen Leitwertes A = 2(x, 7) entlang tier Ankerperipherie.

0

Der Stator der idealisierten Schenkelpolmaschine tr~igt gem~il3 Bild 2 zwei Phasenwicklungen (a, b), die von den Str6men i s, i b durchflossen werden nnd an einem symmetrischen Zweiphasen- Spannungssystem

u s = - U ' s i n Q t und % = + U - c o s D t (1) Arehiv f. Elektroteehnik, x L n I . Band, 6. Heft 28

404 L. HANNAKAM: D y n a m i s c h e s V e r h a l t e n y o n s y n c h r o n e n S c h e n k e l p o l m a s c h i n e n Arehiv fiir Elektrotechnik

liegen, wobei unter U der Maximalwert der Phasenspannung und unter s die Kreisfrequenz des starren Netzes zu verstehen sind. Der als Polrad ausgebildete Rotor ist mit zwei kurz- geschlossenen Wicklungen, n~tmlich mit der vom Strom i D durchflossenen D~mpferl~ngswicklung D und mit der vom Strom i 0 durchflossenen D~impferquerwicklung Q versehen und tr~igt weiter- hin noch in seiner Polachse die vom Strom i~ erregte, an der Erregerspannung U F liegende Erregerwicklung F. Die Wickelachsen der Statorwicklungen sollen mit aa, bb, die der Rotor- wicklungen mit D D , QQ bezeichnet werden; die Stellung des Polrades in der Bohrung soll durch den Winkel 14 der yon den Achsen aa und D D eingeschlossen wird, gekennzeichnet sein.

Unter der konventi0nellen Voraussetzung unges~ittigter Eisenwege kann weiterhin durch eine entsprechende Vergr6Berung des wahren Luftspaltes ein ideeller Luftspalt ~i eingdiihrt

L werden, der bei einer Maschine mit der ideellen AnkerRtnge I lk~r I" Integrafi0nsbeveich4~ ~l L i den Sitz der gesamten (abztiglich der in den Streuwegen t ,bb / aufgespeicherten) magnetischen Energie der Maschine ver- , , !l

~l i~ k6rpert. Der magnetische Leitwert ~L dieses Luftspaltes l ~ - ~ wird jedoch wegen der Schenkelpolausfiihrung des Rotors

~ ~ ~ / ~ keine konstante Gr6Be sein, sondern je nach der Polrad- ~, / j ~ N ~ ~ 0 stellung (y) entlang der Ankerperipherie, die durch die

C~g

I I t :C

0

Bild4. Die Ortsfunktionen h - - h ( x , 7) der magne- Biid 5. Zur Definition des Elementes der magnetischen tisohen Spannungen entlang der Ankerperipherie. Energie d w m .

laufende Koordinate x, vonder Achse aa aus gez~ihlt, erfaBt werden soll, zwischen zwei Extrem- werten schwanken: an den Stellen D weist er sein Maximum A a, an den Stellen Q sein Mini- mum Aq auf. Macht man nun die vereinfachende Annahme, dab die Schwankung zwischen diesen beiden Extremwerten gem~il3 Bild 3 bei Vernachl~issigung der.iibrigen Harmonischen nach einer cos-Funktion erfolgt, dann kann der magnetische Leitwert entlang der Anker- peripherie (x) in Abh~ingigkeit von der Polradstellung (7) in der Form

�9 (A~ + Aq) + ~ �9 (A d - - Aq)" cos 2 (x - - 7) (2) ~(x, v) = 2 v

definiert werden.

Weiterhin soll die Annahme getroffen werden, dab die magnetischen Spannungen v~ bei Erregung der einzelnen k Wicklungen mit den entsprechenden Str6men i k an der Ankerperipherie gem~iB Bild 4 sinusf6rmig mit dem positiven Maximum in der j eweiligen Wickelachse verteilt sind. Bezeichnet man mit w~ die effektiven Windungszahlen der einzelnen Wicklungen, dann kann die 6rtliche Verteilung der einzelnen magnetischen Spannungen durch die Matrizenbeziehung

~9 b

Vao

tg~

!i a �9 W e " COS X ]

i b �9 w~ �9 sin x

iv" wi)" cos ( x - - 7 ) !

i o. w 0 �9 sin ( x - - 7 ) ]

i ~ . w F �9 c o s ( x - - 7 ) J

(3)

beschrieben werden. Bei gleichzeitiger Erregung aller Wicklungen ist dann also die gesamte magnetische SFannung 0 - tg(x, 7) an der Ankerperipherie (x) bei einer bestimmten Polrad-

XLIn. Band L. ]TtANNAKAM : Dynamisches Verhalten yon synchronen SchenkelpolmaschineI1 ~05 Heft 6 -- t958

stellung (7) durch die Summe

v a = O ( ~ , 7 ) = Y ~ O ~ , = v a ~ + O ~ + O D + N

festgelegt; sie kann bei Einftihrung der Kolonnenmatrizen der h = h(x , y) gem~tg

ib

i : - i D und h =

i o

in einfacher Matrizenschreibweise als das Produkt

O : i . h = h . i

v~0 q- tgF (4 a)

Str6me i und der Ortsfunktionen

W a " COS X ]

/ w b �9 sin x

~D" COS (X

wQ" sin (x - -~ ) /

w ~ . cos ( x - 7 ) )

(4 b)

(4~ geschrieben werden 1, was sich Itir die zu erfolgenden Ableitungen als zweckm~Big erweist.

Eine wichtige Rolle in den weiteren Betrachtungen spielt die im Luftspalt bei Erregung aller Wicklungen aufgespeicherte magnetische Energie %,v zu deren Ermittlung man zun~ichst die in einem Volumenelement dv = ~ . L~. R �9 dx (s. Bild 5) aufgespeicherte Elementarenergie

dw,, 1 (~) ~ a R ' L i ' d x zg~ (5) = 2 "/z~ �9 dv = 2 # ~ di

bestimmt. Dabei ist unter 0 die oben definierte magnetische Spannung an der betrachteten Stelle (x) der Ankerperipherie, unter/z o die Permeabilit~tt der Luft und unter R der t3ohrungs- halbmesser der Maschine zu verstehen. Definiert man nun den magnetischen Leitwert 2 = 2(,, ~,) des ver~inderlichen Luftspaltes Oi = di (x, v) als

L i . R . 2Jr 2 = 2(x, 7/ = /Zo" ~i , (6)

setzt diesen Wert, fiber dessen Verlauf schon die Aussage (2) gemacht wurde, in den Ausdruck (5) fiir die Elementarenergie d%,, ein und ftihrt die Integration tiber die gesamte Ankerperipherie (2z~) durch, so erh/ilt man ftir die im Luftspalt aufgespeicherte magnetische Energie w,~ die Beziehung

2Jr

w,,~ = ~ . 2(x, ~)" va(~ , 7/" dx, (7) o

die durch die Str6me i und Ortsfunktionen h ausgedrtickt die endgtiltige Form 2~

w , . = ~ " i ' h " " i ' d x (7a) o

annimmt. Die elektrischen Systemgle ichungen

der elektrischen Systemgleichungen, n~imlich der KIl~CHHOr~schen

i r a a "fl4 c~ b 'l~a D 14/I, a Q r F

"fF!,ba •nb b "FFbb D $/l~bQ J/f~b F [

~gt = mDa mDb "~DD m o O roOF I (8)

mOa ~/bOb "m, QD mOQ roOF [

\f14Fa I~bFb r WbFQ ft'bFF )

i Mit einem Stern soil allgemein die gestfilpte (transponierte) Matrix gekennzeichnet werden.

28*

Bei der Aufstellung Spannungsgleichungen ftir die einzelnen Wicklungen, betrachtet man die Schenkelpolmaschine gemfig Bild 2 als einen Ftinfwicklungstransformator, dessen Haupt- und Gegeninduktivit~tten, die man in der symmetrischen quadratisehen Matrix m

406 L. HANNAKAM: Dynamisches Verhal ten yon synchronen Schenkelpolmaschinen Archiv ffir Elektrotechnik

zusammenfal3t, wegen der zeitlich ver~inderlichen Stellung des Polrades (y) und den damit ver- bundenen Schwankungen des magnetischen Leitwertes 2 als zeitlich vefiinderliche Gr6Ben an- gesehen werden. Die Omaschen Widerst~inde R und die Streuinduktivit~tten werden, wie in dynamischen Betrachtungen tiblich, als konstant vorausgesetzt und durch die Diagonalmatrizen R und S nach

( R~

R = 0

\ O O O O

! R~ o o o

0 R o o o

o o R o o !

0 0 0 RF]/

und S =

i a 0 0 0 0 ~b 0 0 0

0 S D 0 0

o o S 0 o

k o o o o SF)

(9)

erfaBt. Ftihrt man nun die den Wicklungen von auBen aufgedrtickten Spannungen u und die mit den einzelnen Wicklungen verketteten Fltisse ~o als die Kolonnenmatrizen u und qa nach

u = und ~b= ~o D = ( S + m ) . i (lO)

Wr

UF W~

ein, so k6nnen die Spannungsgleichungen der ftinf Wicklungen in der Matrizenschreibweise ein- fach als

d~ d u = R . i + -aT = R . i + a / [ ( S + m ) �9 i ] (11)

geschrieben werden. Von den sogenannten , ,Sys temparametern" 1~, S und m liegen die OI~M- schen Widerst~tnde R und Streuinduktivit~tten S vom Entwurf der Maschine her als bekannte konstante Gr6gen vor. Die Ermittlung der Abh~tngigkeit der Haupt- und Gegeninduktivit~tten m vonder Polradstellung (y) wird zweckm/iBig tiber die in ihnen bei Erregung aller Wicklungen mit konstanten Str6men (i = I)aufgespeicherte magnetische Energie w~

1 * = - - ' I " m I (12a) Wm 2

vorgenommen, die gleich der im Luftspalt bei diesem Erregungszustand (I) aufgespeicherten Energie [s. G1. (7 a)]

1o; } w,,~= T . �9 ~ , ~ . h ' h ' d x " I (12b)

ist. Der Vergleich der beiden Gleichungen 12 liefert ftir die gesuchte Induktivit~ttsmatrix m die Beziehung

2~

1 j'2" h"/~" dx (13)

o

die mit dem Verlauf des magnetischen Leitwertes 2 = 2(x, ~) nach G1. (2) und den Ortsfunk- tionen h = h{,: ' ~1 gem~iB G1. (4b) bei der fiblichen Voraussetzung gleicher umgerechneter effek- tiver Windungszahlen w die Haupt- und Gegeninduktivit/iten der Schenkelpolmaschine in der Form

[A + B . c o s 2 y B . sin2 7 M e . c o s y - - M q . s i n y M~icos y/[ B . s i n 2 y A - - B . c o s 2 y M a siny Mq cosy �9 �9 M e �9 sin 7 /

m = M e �9 cos y M e �9 sin ~ M e 0 e (14)

- - Mq �9 sin ~ Mq. cos y o Mq

M e �9 cos y M d �9 sin y M e o M e )

XLIII. Band L. I-[ANNAKAM : Dynamisches Verhal ten von synchronen Schenkelpolmaschinen 407 Heft 6 - - 1958

liefert. Dabei sind M a und M q die sogenannten ,,Hauptinduktivit~tten der L~ings- und Quer- achse", die die Hauptinduktivitiiten der Statorphasenwicklung a bei den Polradstellungen 7 = o und 7 = ~/2 gem~iB

gr 2 W 2 M a = (m~)7 = o -- 8 (3" A~ + Aq) und Mq = (rn~)7 = =/~ = ~ . (A~ + 3 .Aq) 05a)

darstellen und yore Entwurf der Maschine her als bekannte Werte vorliegen; die Abktirzungen A und B

1 1 A = --2 (Mg + Me) und B = ~- (M a - - Mq) (15b)

wurden zur Vereinfachung der Schreibweise eingeftihrt. Die elektrischen Systemgleichungen (11), deren Systemparameter R, S und rr~ nunmehr

bekannt sind, stellen ein System von fiinf nicht linearen Differentialgleichungen dar, in denen die Spannungen u als die ~uBeren (bekannten) ,,St6rgr6Ben" und die Str6me i und der Winkel 7 als abh~ngige Ver~tnderliche der Zeit t anzusehen sin& Die zur Bestimmung der 6 Unbekannten (i, 7) noch fehlende sechste Gleichung liefert die im niichsten Abschnitt behandelte Bewegungs- gleichung der Schenkelpolmaschine.

Die m e c h a n i s c h e S y s t e m g l e i c h u n g d7 d-~

Unter Berticksichtigung der in Bild 1 a fiir die Winkelbewegungsgr6Ben 7, ~) = -~ , ~; -- dr2

und die Drehmomente d M, d a festgelegten Vorzeichenregel nimmt entsprechend dem Grund- gesetz derMechanik in der Form des Prinzips yon D'ALE~BERT die Bewegungsgleichung fiir die behandelte Maschinengruppe, deren gesamtes Tr~igheitsmoment mit 6) bezeichnet werden soll, die Form

O . d=_~7 ~-- dM -1- dG (16) p dt 2

an; das Auftreten der Polpaarzahl p ist eine Folge der Einfiihrung des Winkels y in elektrischem Bogenmal3.

Zur Ermittlung des yon der Synchronmaschine entwickelten Drehmomentes d u fiihrt fop gende {Jberlegung: Betrachtet man die untersuchte Schenkelpolmaschine als abgeschlossenes System im Sinne der Thermodynamik, dann muB zwischen den diesem System zugeftihrten Leistungen %~, den Verlusten % und den zeitlichen Anderungen der im System aufgespeicherten Energien w in jedem Augenblick der Gleichgewichtszustand

dw %~ = % + u (17)

bestehen. Dem betrachteten System werden nun die Leistungen einerseits elektrisch als

nez = i" u = i~" % + i b" % + i F �9 u F (18a)

nnd andererseits mechanisch in der Form

§ 08b) n,~ec h = d G �9

zugeftihrt, w~thrend im Sys tem selbst die Verluste

n~ = i" R ' i 08c)

auftreten ~. Als Energiespeicher des betrachteten abgeschlossenen Systems sind die rotierenden Massen mit der kinetischen Energie

O " p~ (18d) W l ~ i n - 2 - -

1 Die Eisenverluste werden, wie in dynarnischen ]3efrachfungen fiblich, vernachlAssigt. Reibungsver lus te werden als ein Tell des Gegenmomentes d G angesehen.

408 L. I-IANNAKAlVi: Dynamisches Verhal ten yon synchronen Schenkelpolmaschinen Archly ffir Elektrotechnik

und die magnetischen Felder mit der Energie

1 ~. (m + s ) . i (18e) Wm'~gn- 2

anzusehen. Nach Einsetzen der Definitionen (18) in die Gleichgewichtsbedingung (17) erh~tlt man die Leistungsbilanz

i " U + d G �9 ~ = i " R i -~. 6)" p~ �9 d--[ -~ ~ " i " (m + S) �9 i (19a)

ffir das betrachtete abgeschlossene System. , Nun erweitert man die elektrische Systemgteichung (11) mit tier transponierten Strommatrix i

und erh~lt die sogenannte innere Leistungsbilanz

�9 * * d i . u = i - R . i + i..~17 ~(m + S)- i~ (19b)

tier elektrischen Maschine allein, die, yon der Leistungsbilanz (19a) des ganzen (abgeschlossenen) Systems abgezogen~ die Beziehung

6} p2 ~) " dt--~ =d~V d6" "p- -[- T ' ;~ x i" ~ [(m + S)" i l - - ~ . (m + S). i (20a)

liefert. Da nun weiterhin die Matrix (m, + S) symmetrisch ist und folglich auch die Bedingung

d i * di * di d-7" (m + S) �9 i = i . (m + S) r .~---- i �9 (m + S) �9 ~ (20b)

erffillt, l~Bt sich die Beziehung (20a) zu

d~Ydt - ~ dG " -P~ ~-'1 * d m O. p~- -- + i . -dT" i (2oc)

vereinfachen und nimmt nach der Division dutch die fitumliche Winkelgeschwindigkeit (~/p) die endgfiltige Form

�9 d n z ~'p d~-Z,U~ = d~ +~-. p. i- -~-- i (21 a)

an. Dies ist aber die anfangs erw~hnte D'ALEMBERTsche Bewegungsgleichung (16), in der alas vonder elektrischen Maschine entwickelte Drehmoment durch

p * d m dM=--'2 t ' - ~ " i (21b)

definiert ist. Die elektrische (11) und mechanische (21a) Systemgle:.chung bilden zusammen das elektro-

mechanische System d ~} d2~ p * d m

u = R . i + ~ E(m + S) . i~, dr; ---- -p" -d - i - -2" i . ~ . i , (22)

alas in der angeschriebenen Matrizenform tibrigens ffir alle elektrischen Maschinen Gtiltigkeit hat, und das nach Einsetzen der Anfangsbedingungen

t = o: (i)0 ----I0; (~)0 -----/'0 und (~))0 ~ 1~0 (22a)

jeden elektromechanischen Ausgleichsvorgang der elektrischen Maschine beschreibt. Ftir die hier betrachtete Schenkelpotmaschine hat das in der Momentenbeziehung (21b)

vorkommende Differential der Induktivit~ten m nach der Polradstellung 7 den Wert

( - - 2 B.s in2~, B.cos2~, - - M a-sin)~ - - M ~ - c o s v - - M ~ - s i n v ~

| B . c o s 2 ~ 2 B ' s i n 2 ~ - - M a .cOs~ ----Mq.sin T M a . c o s ~ |

d i n = l _ _ Ms 's inV M s ' c o s V 0 0 0 [ ' (23) d~ - - Mq- cos y - - Mq. sin ~, 0 0

- - M s �9 sin V M a �9 cos Y 0 0 0 )

xLnI. Band L. HANNAKAM: Dvnamisches Verhalten yon svnchronen Schenkelpolmaschinen 409 Heft 6 -- 1958 ~

und die Anfangsbedingungen ftir den be t rachte ten Fall der Stol3belastung ans dem station~iren Gleichgewichtszustand heraus lauten

t = o : (i)o = Io = ; (Y)o = Fo und @)o = J0o • sQ, (24)

da im stationfiren Gleichgewichtszustand die elektrische Winkelgeschwindigkeit /~0 mit der Kreisfrequenz s des speisenden Netzes ftbereinstimmt.

T r a n s f o r m a t i o n des e lek t r i sehen Sys t ems

Das elektromechanisehe System (22) wiirde wegen des Auftretens der t r igonometrischen Funkt ionen des Polradwinkels 7 in den Indukt iv i t~ ten ~rt bei der prakt ischen Auswertung recht komplizierte Rechenoperat ionen erfordern. Bei der vorliegenden Schenkelpolmaschine mit symmetr ischer Statorwicklung (R s ---- R b -~ R) und (S~ = S o ---- S) kann man aber die trigono- metrischen Funkt ionen in den Induktivit~iten m beseitigen, wenn man an Stelle der Stator- s tr6me is, i b ein neues S t rompaar i d (Statorl~ingsstrom), iq (Statorquerstrom) einfiihrt. Diese Str6me id, iq sollen in zwei gedachten, mit dem Polrad mitrot ierenden Wicklungen d, q (s. Bild 3) flieBen, wobei die Wicklung d in der Polachse D D und die Wicklung q in der Polmit ten- aehse QQ zu liegen kommt , so dab ftir die beiden Wicklungen d, q die Ortsfunkt ionen

h~ = w" cos ( x - y) und hq = w" sin ( x - y) (25)

gelten. Bei der Aufstellung der Transformationsbeziehung zwischen den ursprfinglichen (i s, ib) und den neuen, t ransformierten Str6men (i a , iq) ist die Forderung der Invar ianz der magne- tischen Spannung v q bei Erregung der Maschine mit den beiden St romsys temen

z9 = i s �9 w- cos x + i b �9 w- sin x - - i d �9 w. cos (x - - y) + iq" W" sin (x - - 7) (26)

zu beachten. Dadurch erh~ilt man den Zusammenhang

i s = i~. cos 7 - - i q " sin y , i b = i a . sin 7 + iq. cos y (27)

und wenn man die Kotonnenmatr ix i ' der neuen, t ransformierten Str6me gem/iB der n~tchsten Gleichung einffihrt, dann besteht zwischen den St romsystemen i und i ' die Trahsformations-

i =

beziehung

( i~

iD

c o s y - - s i n y o o

sm y cos y o o

0 0 i 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 I r o �9 i D

iv

= v " i ' , (28)

in der v die vom Winkel 7 und damit zeitlich abh~tngige Transformat ionsmatr ix darstellt.

Die zweite Forderung, die bei der weiteren Durchft ihrung der Transformat ion erffillt werden soll, ist das Gesetz yon der Invar ianz der zugefiihrten elektrischen Leistung

* i * u ' , n ~ = i . u = �9 (29a)

aus dessen Entwieklung man nach Einsetzen der allgemeinen Transformationsbeziehung (28) gem~13

* �9 i*' (;, . ' u . l = i ' u = ( v ' i ' ) * u - ~ �9 "u) = �9 (29b)

4 ~ 0 L. HANNAKAM: D y n a m i s c h e s V e r h a l t e n y o n s y n c h r o n e n S c h e n k e l p o l m a s c h i n e n Archly flit Elektrotechnik

ftir die Transformation der Spannungen das Gesetz

Uq - -s in 7

UP ~ ~/'D ~ V ' ' U ~ 0

0

0

sin y o o

cos y o o

0 1 0

0 0 1

0 0 0

~b

#o UF

(3oa)

ableiten kann. Da nun weiterhin die angegebene Transformationsmatrix v die Orthogonalit/its-

bedingung v �9 v = 1 (= Einheitsmatrix, eine Diagonalmatrix mit allen Elementen = 1) erfiillt, werden Str6me und Spannungen nach gleichen Transformationsmatrizen

i = v . i ' und u = v" u ' (3ob) abgebildet.

Nach Einsetzen der Transformationsbeziehungen (28) und (3oa) in die elektrische System- gleichung (~1) nimmt diese zun/ichst die Gestalt

�9 d ~" u = u' = ~" R" v" i' + v" ~ [(S + m ) . v . i'1 (31a)

an; da nun weiterhin die Entwicklungen

d d d~ " i ' d~ [~ ' (m + S) - v . i'~ =*~ . ~ [ (m + S ) . v . i ' ] + ~ . (m + S ) . v (31b)

und d ( ; . ?)) d~ * dv d l d-t - - - - - '~" *) -~ -? )" dt - - dt - - O (31C)

gelten, kann das transformierte elektrisehe System nach Einftihrung der transformierten System- parameter

r ' * s' * m ' * = v . R " v; = v . S . v ; ---- v . m . v (32)

in der einfachen endgfiltigen Form

d (dv) , u' = r ' . i ' + ~ [ (m' + s') �9 i ' j + v . ~ f �9 (m' + s') �9 (33)

geschrieben werden. Fiir die Schenkelpolmaschine findet man nun, dab die transformierten Werte der OHMschen

Widerst~nde und Streuinduktivit~ten den ursprtinglichen Werten (R und S) gleich sind

�9 8' ~ �9 • S ' r ' = v ' R ' v = R ' = R und v S . v = S , (34a)

und dab die transformierte Matrix m '

~n' = v . m . v (34 b)

nur aus konstanten Elementen (M a, Mq) besteht und folglich mit der Streumatrix S ' = S nach Einffihrung der Wicklungsinduktivit/iten L (= H a u p t - + Streuinduktivit~it) in der Ge- samtinduktivit/itsmatrix L '

L ' = (s ' + m ' ) = /iooo ) i S o o o o M~ o Mq o o Lq o Mq o

0 S D 0 @ d 0 M d 0 d = d 0 L D 0 M d

o o S O Mq o Mq Mq o LQ o

o o o o o o o

(34 c) zusammengefal3t werden kann. Auch das Matrizenprodukt

XLIII. Band L , HANNAKAM: D y n a m i s c h e s V e r h a l t e n y o n s y n c h r o n e n S c h e n k e l p o l m a s c h i n e n ~ ] . ] . Heft 6 - - t958

erweist sich als eine konstante Gr6Be und liefert folglich ein anch konstantes Produkt K . L ' in der Form

0 - - i

0

K . L ' =

0 0 0 ~ ( L d 0 M d 0 M d 1

0 0 0 " d 0 L D 0 d

0 o 0 M q o Lq

o o o ~M~ o M<z o LF]

o - - L q o - -Mq o

Lg o M a o M,z

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

(34 e)

Das transformierte elektrische System der Schenkelpolmaschine kann also als die Matrlzen- gleichung

u ' = R ' . i ' + L ' di' J~' i ' �9 ~ + 9 " K " �9 (35)

definiert werden. Die trigonometrischen Abh~ingigkeiten der Systemparameter sind beseitigt worden, nur in den aufgedrt~ckten transformierten Spannungen u '

cos t + s i n y o

= * 3 �9 I,~ . . . .

- - s in 7 cos 7 o

o o 1

o 0 o

o 0 o

~ ~ ] + ~ c ~ o~ o~ cos (7 - - s t)

O

O

(36)

o

M~

o

o

o

,L f l i I::l d -k d o L D o ~ ~ i v

I iQ I Mq o L o iQ

0 0 �9 i D .

0 0

o o ) Die Anfangsbedingungen des transformierten Systems, Itir die allgemein

t = o: (i')0 = Io = V0" I0", (7p)0 = Fp, und (7)~)0 = Fpo (38b)

gilt, sollen entsprechelld der gestellten Aufgabe dell stationiiren Betriebszustand vor der St6rung der durch Auftreten eines konstanten Lastwinkels/ 'p -----/'po und durch das Verschwinden der

(38 a)

sln I fi~176 ~ i) cosy~ [ o R o o o

= 0 R D o

o o R O

UF ) t ~ ~ ~ ~ F

o - -Lq

li + (s + ~p) o o

I,o o

treten Funktionen des Winkels (s t - - 7) auf. Stellt man nun weiterhin den vom Polrad zuriJck- gelegten Winkel y als die Summe

y = s t + y~ (37 a)

des vom umtaufenden Drehfetd zuriickgelegten Winkels f2. t u n d des konventionellen Last- winkels y; dar, dann sind die Spannungen u ' nut von dem letzteren Winkel 7~ abhfingig. Die elektrische Wink.elgeschwindigkeit 7) des Polrades kann dann analog als die Summe

= s q- L (37 b)

der Kreisffequenz s des speisenden Netzes und der elektrischen Kreisfrequenz ~p der Pendel- geschwindigkeit des Potrades angegeben werden.

Mit diesen Bezeichnungen lautet dann die ausgeschriebene Form der elektrischen System- gleichungen :

412 L. I2~ANNAKAM: Dynamisches Verhalten yon synchronen Schenkelpolmaschinen Archiv ffir Elektrotechnik

Pendelgeschwindigkeit ~)f = o definiert ist, darstellen. Die Str6me i dieses stafion~ren Be- triebes sind durch das partikul~re Integral des Systems (38a) mit ))p = o bestimmt: da die St6rungen u ' im station~ren Betrieb konstante Gr613en sind, sind auch die Str6me i 0 konstant und weisen ftir eine an ihrer Nennspannung UN(= U) Iiegende Schenkelpolmaschine nach Ein- ftihrung des Leerlaufnennerregerstromes IF N gem~tl3

U~v = t?" M d" IFN die Werte

R.sinI'po + Q Lq " cOSFp0--

I~ : (@o = Ido : m @ Q~ L d Lq

R- ~o~ rp, - 7r~v - ~9 Ld- sin rp0

Iq = (iq) o .= Ieo = R2 + ~2 La Lq

I~ = ( 0 o = ZFo = U~/R~

auf, w/ihrend der D~impferk~fig im station/iren Betrieb stromlos ist.

U ,

. U ,

(39)

(40)

Transformation des mechanischen Systems

Bei der Aufgabe, die Bewegungsgleichung der Schenkelpolmaschine durch transformierte Gr6Ben auszudriicken, geht man wiederum yon der Leistungsbilanz des abgeschlossenen Sy- stems (19a) aus. Da in dieser Beziehung (19a) nur Leistungen und Energien auffreten, ftir die das Invarianzgesetz

i . u = �9 ; i �9 R . i = �9 �9 i ' und i �9 (m + S) �9 i = �9 (m ' + s') �9 (41 a)

zutrifft, ist sie ebenfalls mit den entsprechenden transformierten Werten gtiltig, wogegen jedoch die zur G1. (19b) analoge innere Leistungsbilanz entsprechend dem transformierten elektrischen System (33) als

i ' . u ' = i " v " i + . ~ [ ( m ' + s ' ) ' i ' ~ + i ' . . ( m ' + s ' ) . i ' ~/ (4 lb)

zu schreiben ist. Die analoge Bildung der Differenz (s. G1. 2oa) fiihrt jetzt zum Ausdruck

O" ~ " d 2-)(p : p2 dt ~

;~ 1 {* i ' ~' ( v ' ~ ) } (4 2 ) - - d ~ + 2 i ' d di ' dv -- �9 . ~ [ ( m ' + s ' ) . i ' ] - - ~ f . ( m ' + s ' ) . + �9 . ( m ' + s ' ) . i ' ,

dessen Vereinfachung jedoch erst nach Erbringung des Symmetrienachweises der transformierten Matrix ( m ' + s') vorgenommen werden kann. Dieser Nachweis kann aber als die Entwicklung

(m' + s')* = [~). (m + S) . v l* = v . (m + S)*.v-- - - v . (m + S) . v = (m' + s') (43)

gebracht werden, und folglich gilt auch die GI. (20b) fiir die transformierten Gr6Ben. Die sich bei den ursprtinglichen Systemgr6gen ergebende Vereinfachung trifft also auch ftir die trans- formierten Werte zu, und die mechanische Systemgleichung (42) kann also in der endgtiltigen Schreibweise als

�9 [ O d2y i ' ' 1 d(m' + s') �9 ~ �9 (m ' + s')] �9 i ' (44) riG= p-" dt 2 - - ib" T " d)~ @ dv "J angegeben werden .

Ftir die Schenkelpolmaschine verschwindet wegen der konstanten transformierten Induktivi- t~ttswerte das zweite Glied der allgemeinen Gleichung (44), so dab die Bewegungsgleichung dieser Maschine die einfache transformierte Form

dc - = 6) d27 ~' L ' ~' ~-. dt 2 - - p - ' K - �9 (45a)

XLIII. Band " L, HANNAKAM : Dynamisches Verhalten yon synchronen Schenkelpolmaschinen 41~ Heft 6 1958 . . . . . . . . . . .

annimmt. Ausgeschrieben lautet dann die Bewegungsgteichung

( . , ( ,i I o o

d o = ~ . -~t- ~- p . i D " o o 0 o

i 0 o o o o

o o o o

~d

iq

iL

iQ

6) devp d o := P dt 2 p. ig. (i d �9 L d @ i D " M d @ i F " Ma) + i d �9 (iq. Lq + i O . M q ) , (45 b)

und sie beschreibt zusammen mit der elektrischen Systemgteichung (38a) und den Anfangs- bedingungen

(i~)o = & | ] (iq) 0 = I,~[ nach G1. (40) (iD) o = O (Yp)o = /'~0 I (45C) (~Ao = z~0J (io)o - o (P~)o = o

die in dieser Abhandlung betrachteten StoBvorg~nge. Ffir das Drehmoment des station~ren Betriebes D M o , dem das

Gegenmoment Dvo das Gleichgewicht h~lt, vereinfaeht sich die allgemeine Drehmomentenbeziehung (45b) zu

D M ~ = fl " ~(L d - - Lq) �9 Iqo " 1 4 + M d " Iqo " IF. ] = - - D o , , (45 d)

wobei die station~ren Str6me nach G1. (4o) einzufiihren sind. Das Gegenmoment d o wird normalerweise v o n d e r Drehzaht

abh~ngen; da ftir die bier betrachteten StoBbelastungsvorg~nge die Abweichungen ~p vom station~ren Wert /2 klein sind, kann man gem~g Bild 6 die Kennlinie d o = / @ ) durch ihre Tangente in dem Arbeitspunkt A ann~hern und nach der Einfiihrung des in Bild6 definierten ~uBeren D~mpfungsfaktors D~ = --d(do)/d(~/.Q ) Ifir das Gegenmoment

do = do(P) = Doo ~ D ~" ~ (46 a)

schreiben. Beim Auftreten der eingangs beschriebenen StoBbelastung A D o ist dann das Gegen- moment d o in die mechanische Systemgleichung (45b) als

d~ = Do~ - - D~. ~ + A D o (46b)

einzuffihren.

N~t~gsmQs~ne ~ d~[j,} Bild 6. Drebzahtabh~ingigkeit des

Gegenmomentes d O.

Die dimensionslose Form der elektromechanischen Systemgleichun~en

Fiir die kritische Beurteilung der Ergebnisse und zur Erzietung eines tibersichtlicheren Rechenganges erweist es sich als vorteilhaft, die GrSBen des transformierten elektromechanischen Systems

u ' ( y p ) = R ~ . i ' + / ~ ~ - + / 2 + . K . L ' . i ' ,

Doo + A D o D~ . dT~ 0 d~rp P ~, L ' . i ' (47) - - ~ d ~ = 7 " ai~ �9 - K .

ats relative Werte einzufiihren: die Spannungen u" werden auf die NennspannungUa, die Str6me i ' auf den Nennstrom I x, die Widerst~nde R ' und die Reaktanzen X ' = ~Q" L ' 1 auf den Nenn- widerstand R~, = U N / I N und die Drehmomente (d M und do) auf das der kVA-Nennleistung N N = U y �9 I x be i verlustloser Maschine entsprechende ,Nenmnoment" DM x = p �9 NN/Y2 be- zogen. Weiterhin wird an Stelle der noch altein verbleibenden dimensionsbehafteten GrSBe der

x Die einzelneI1 Reaktanzen werden mit X = .(2. Lund X~ = Q. 3r mit dem die Vr bzw. Achse marMerenden Index bezeichnet.

414 L. HANNAKAM: Dynamisches Verhalten yon synchronen Schenkelpolmaschinen Archiv fiir Elektroteehnik

Zeit t die neue unabh/ingige Ver~nderliche T --= ~Q- t eingefiihrt, so dab das elektromechanische System durch dimensionslose Gleichungen dargestellt wird. Zur Vermeidung einer untibersicht- lichen Schreibweise werden die relativen Gr613en mit Ausnahme der in synchronen elektrischen Radianen gemessenen Zeit z nicht besonders gekennzeichnet; eine mit retativen Gr6Ben auf- gestelIte Gleichung tr~igt einfach die Bezeichnung (p. u. s.) = per unit system. In den so um- geformten elektromechanischen Systemgleichungen

= R ' . r + + d '-t / K . X' " ' , 1

d'- r i' 1 (p. u.s.) (48) AD~ + D~- -D~. d~ = (T A. D). - ~ - - i ' �9 K . X . d~ d~ ~

trit t dann an Stelle des Tfitgheitsmomentes O die Anlaufzeitkonstante T A der Anordnung bei Eimvirkung eines konstanten Beschleunigungsmomentes yon der Gr6ge des Maschinennenn- momentes DM N gem~tB

O. t2 O. t~ 2 Wki~y T a = p ' D M ~ p~" rYzr /N 2" NN (49)

auf; sie stellt das Verh/iltnis des doppelten Wertes der in den tfiigen Massen des Systems bei synchroner Drehzahl aufgesFeicherten kinetischen Energie (2. W~i,y) zur Maschinen-Nenn- leistung (NN) dar.

Neben der definierten bezogenen Form des elektromechanischen Systems (48) erweist sich ffir praktische l~berlegungen die Einffihrung der mit den einzelnen Wicklungen verketteten Fliisse

d~' ~ L ' �9 i ' bzw. ~b' = X' - i ' im (p. u . s . ) , (50)

wobei im (p. u. s.) die Fttisse d d' auf den Nennflug ~N = ~\~/SQ bezogen werden, als i,-orteilhaft. In der sich so ergebenden Form

tl.' (~'p) - - R ' ' i ' q- -}i-~-- -t- 1 @ dv ]

r = x ' - ~ . q~' = Y ' - ~ ' , (p. u .s . ) (5~) !

AD~ + D~o--D~. dyp ( r A .Q). d~TP-- ~*~ t~' [ d ; . . . . . . . clV ~ " K . ,

weist das relative transformierte elektromechanisehe System eine Entkopplung der Trans- formationsspannungen (dt~'/d~) und eine besonders einfache Form der Verkniipfung fiber die

Rotationsspannungen (~ + ~ ) - K . , ' auf, was fiir die noch vorzunehmenden Untersuchungen

yon groBem Vorteil sein wird. Die Elemente (y) der leicht zu bestimmenden inversen Reaktanzmatrix X'-~, n~imtich der

Admittanzmatrix Y', deren Aufbau

(Xd 0 Xhd 0 Xke I (Ye 0 Y~D o Ydv" I

X ' Yr, F : d o X . o ~,~ "~--+X'-~=Y= Y,tD 0 YD 0 X~q o XQ o Yq(2 o Yo o

Xhd 0 Xhd 0 X~ ] YdY 0 YDF o Yz~ )

(p. u.s.) (52)

dem der Reaktanzmatrix X' selbst entspricht, kSnnen nach Einfiihrung der Streufaktoren a der einzelnen Wicklungen gemN3

S . S D . S F S SQ a~ -- M d ' aD = M~' ~ ---- ~ und aq = -M~- ; a0 = -Mq (53 a)

und der Abkfirzungen # ' nach it

a~ = ad" aD" ~F + ag. a D + ae. a F + a D. aF und aq = aq. aO + aq + a o (53b)

XLIiI. Band L. HAXNAKA~ : D y n a m i s c h e s V e r h a l t e n y o n s y n c h r o n e n S c h e n k e l p o l m a s c h i n e n 415 H e f t 6 ~-- ~958

als die Beziehungen

v~ = (%.r + r + r x~) u (~" ~ + ~e + %)/(~" X~) Y~= (%" r + ~e + %)/(4" X~)

// Y~ = (% + ~)/(%. X~) YO = (% + 1)/(a;" X~q)

YDF = - - ~l((r~ �9 X~g) } (p, a. s.)

v~o = - * / ( 4 ' G~) / /

(53e)

gefunden werden. Physikaliseh stellen sie die reziproken Werte der KarzschtuBreaktanzen der einzetnen Wicklungen d, D, F der L~ngsachse,. die gem~tB Bild 7 als ein Dreiwicklungstrans- formator mit den erregenden ,,Spannungen" ~o d, ~D, ~OF aufgefaBt werden k6nnen, und der Wick- lungen q, Q der Querachse, die einen gew6hnlichen, yon den ,,Spannungen" ~0q nnd ~00 erregten

die Admittanz Ye die reziproke KnrzschluBreaktanz

o:.g~ i:

M~ a e er ~.

J 1 o o , o

L~ingsachse ~uerachse Btid 7. I~rsatzschaltbilder der WicklmNen ftir deft Zusammenhang zwischen

Flfissen und Str6mem

Zweiwickler bilden, dar. So ist z.B. der Wicklung d beim Kurzschlug der anderen beiden Wicklangen (D undF) derL/ingsaehse; analog i~ lassen sichdieanderenAdmittanz- i " o~-~ werte Y erkl~tren. Die Admittan- ~ zen Ye und Yq sind mit den rezi- 1 proken Werten der konventio- ~ nellen snbtransienten Reaktanzen der L~ngs- (X~) und Querachse (X;) identisch.

In den beiden retativen Formen (48) and (51) wird das dektromechanische System der Schenkelpolmaschine den weiteren Untersuchungen zugrundegelegt. Da die bezogenen System- parameter der einzelnen Schenkelpolmaschinen in nur relativ kleinen Grenzen schwanken, kommt den in relativen Gr6Ben aasgedrfickten Resultaten ein gewisser Wert an Allgemeingfiltigkeit zu.

Das elektromechanische Sys tem bei Vernachli iss igung des OHMschen Statorwiderstandes

Die Betrachtung der aasgeschriebenen Form des elektromechanischen Systems (51) in be- zogenen Gr6gen

U �9 sin 7p5

U �9 cos y~

R

R

RD

R o ,RF

iq

i D

i o

iF

d + ~ "

~d

~)g @ 1 q- dr, ]

Wo Wv

o

o

o

(p. u.s.) (54)

d y d i y p _ _ ADo + De.-- D~- ~ = (TA" sg)- -d~ G" ~ - - ie" ~q)

l~tgt erkennen, dab bei Vernachl~ssigung des OKMsehen Widerstandes R der Statorwicklung die beiden ersten Gleichungen

cosyp/ ~ \ % / + , * d~/ %

des elektrischen Systems direkt integriert werden k6nnen. Den gesuchten VerlauI der beiden Flfisse ~v~ und % findet man am bequemsten fiber den komplexen FluBwert

= ~ + i V'q, (p. u.s.) (56a)

der das gekoppelte System (55) als eine einzige komplexe inhomogene Differentialgleichung erster Ordnnng

v- e-:'p ar ( a ~ . i" = d-~- + i" \1 + d, / ~; (p. u. s.) (56b)

~ 1 6 L. HANNAKAM: Dynamlsches Verhal ten yon synchronen Schenkelpolmaschinen Arehiv ffir " E l e k t r o t e e h n i k

auszudriicken erm6glicht. Ihre L6sung

= U" e -i~p + ~ . e-i(~+~P ) (p. u.s.) (56e)

besteht aus einer erzwungenen und einer freien Schwingung, wobei sich j edoeh die letztere auf Grund der Anfangsbedingungen

(~)o = + v . cos r ~ 0 (~)o = u . ~-JrP~ (p. u.s .) (57a) t = o : (Vp)o = / 'p0-~ (~0q)O = __ U" sin/~p.

wegen der verschwindenden (komplexen) Integrationskonstante

(~)o= U . e - j r p ~ i r a , ~ U . e - J r P o - + ~ = o (p.u.s.) (57 b)

nicht ausbilden kann, so dab der Verlauf der mit den Statorwicklungen verketteten Fltisse allein durch die inhomogene, erzwungene Schwingung

= g . e- ' ~ -+ ~0~ = + g cos ~ (p. u.s.) (58) ~oq = - - U sin yp

beschrieben wird. Die getroffene Vernachl~issigung (R = o) selbst ist beim direkten Arbeiten der Schenkelpolmaschine auf ein starres Netz wegen des kleinen Wertes des OHMschen Stator- widerstandes R ~ X h a als zul~issig anzusehen. Ftir die weiteren dynamischen Untersuchungen bringt sie einen entscheidenden Vorteil mit sieh: durch die vorgenommene Festtegung (58) der mit den Statorwicklungen (d, q) verketteten Fltisse ~o a und ~q ist es n~imlich erm6glicht worden, die in der L~ingsachse (Wicklungen d, D, F) stattfindenden elektrisehen Ausgleichvorg~nge yon den transienten elektrischen Erscheinungen der Querachse (Wicklungen q, Q) zu trennen. Die beiden Achsen sind dann nur mehr tiber die mechanischen Bewegungsgr6Ben (Lastwinkel, Dreh- zahl) miteinander gekoppelt, wobei aber auch diese Kopplung sehr einfaehe Formen annimmt.

Im Zuge der weiteren Umformung des sich nach durchgeftihrter Vernachl~issigung des OHM- sehen Statorwiderstandes ergebenden elektromechanischen Systems

= RQ i 0 +h~T ~O u~ R~ i~ ~o~ (p. ~. s.) (59)

t

ADe q- Dvo-- D~ " d~P -- (TA" - - "-dz 2 d z y p - U �9 (iq -cos 7p q- ia" sinTp) ]

werden die in G1. (59) vorkommenden Fluf3verkettungen mit den Rotorwicklungen und die beiden Statorstr6me durch die RotorstrSme ausgedrtickt. Man geht dabei yon der Definitionsgleichung (50) ftir die Flul3verkettungen in der ausgeschriebenen Form

~D ~--- Xhd XD Xhd " iD u n d ~)q Xq Xhq~, iq (p.u.s.) (60) F hd Xhd X F / iF ~(? -~- Xhq XO / iQ

aus und kann auf Grund dieser Beziehung die Statorstr6me

i~ = (v,a/xd) - - ~d" (i~ + iF) = + ( u / x d ) . cos ~p - - ~ (i~ + i~) , } iq = (toq/Xq) - - ~q" i o = - - (U/Xq)" sin yp - - aq' io . (p. u.s.) (61)

sofort angeben; dabei sind unter den Abktirzungen ad und aq die Verh~ltnisse

1 1 ~a -- und ~q -- (62)

1 + a d 1 + aq

zu verstehen. Die gesuchten FluBverkettungen mit den Rotorwicklungen werden dann nach eJnigen elementaren Umformungen aus den Gln. (60) und (61) zu

~ aa" aa ( ~ + 8 a. aa) ie ' (p.u.s.) (63)

~oo = - - U. ~q. siny~ + X~q" (ao + ae" %) " io

XLIn. Band L. t-IANNAKAM : Dynamisches Verhalten yon svnchronen Schenkelpolmaschinen 417 Heft 6 - - ~958

gefunden und ergeben zusammen mit den Statorstr6men (61) in die G1. (59) eingesetzt das ver- einfachte elektromechanische System

o ( U F ) dyp . . ( 1 1 ) : ( /~O/)RF). (~DI q- dr " U ' a d sin7p

\ i F ]

�9 .__ . ~e" r (~ + ~ . ~) d~ \,F /

. . . . d (p.u.s.) d79. U" 8q. cos 79 = Rr i0 + Xhq" (a o + ~q" aq) �9 ~ (@ dT

ADG ~- DG - - D a . ~ (TA..Q) d2'p ~- V.I@. V . ( 1 ' ) , s i n

@ ?q" i v �9 COS 7p @ Gd' (iD @ iF) " sin 7p / x

(64)

in Form yon vier Differentialgleichungen: die ersten beiden Gleichungen stellen die System- gleichungen eines Transformators, die dritte Gleichung die einer Drossel gem~B Bild 8 dar. Das elektrische System der Schenkelpolmasehine kann also hinsichtlich der transienten Vorg~nge durch diese beiden elektrisch entkoppelten Anordnungen ersetzt werden. Das yon der Schenkel- p01maschine entwickelte Drehmoment besteht nun aus dem yon den elektrischen Ausgleichs- vorg/ingen unabh~ingigen Reaktionsmoment

RD oo.&~ or.&~ Rr 1 1 sin '~ dR = _ _ Z . U 2. 2q �9 2 ~,

2

(p. u.s.) (65a) r~ ! "&~

und zwei mit den transienten elektrischen ~(~ o~ Erscheinungen gekoppelten Anteilen, niim- Liingsuchse lichausdemvomD~mpferk~tfigentwickelten ~ / ~ ~ ~162 I Moment

d k = - - U . (G d" iD" sin 7p + a q" i0 "c~ 7,) i~.~,[ / ~ a, (p. u.s.) (65b) ~ ,L

und aus der yon der Erregung herriihren- ~u~rachse den Komponente Btld 8. Ersatzsehaltbild der transienten e[ektrischen Vorgfinge

der Schenkelpolmaschine im (p. u. s.). d F = - U ' ~ r d ' i F �9 sin 79' (p.u.s.) (65c)

Im Zuge einer Verfeinerung der Analyse des im nichtstation~iren Betrieb yon der Schenkelpol- maschine entwickelten gesamten Drehmomentes d M kann nun weiterhin der Erregerstrom i F als eine Summe des vonder Spannung UF = konst, hervorgerufenen konstanten Anteils IF0 = Uu/R F u n d Finer durch die Wechselspannung ~,)9" U. aa" sin Y9 erzeugten Wechselstromkom- ponente ip~ aufgefaBt werden. Die yon dem konstanten Wert IF, des Erregerstromes i F ver- ursachte Momentenkomponente

de. = - - U. K,~. IF0" sin 7~ (p. u.s.) (65 d)

ist wie auch das von der Leitwertsverschiedenheit der L~ngs- und Querachse (Xd 4= X~) her- rtihrende Reaktionsmoment d R nur vom Lastwinkel 7~ abh~tngig und weist somit synchronen Charakter auf. Das von dem Wechselanteil iF~ des Erregerstromes i F erzeugte Moment

d F ~ - - U " Gd " i F ~ " 8"n yp (p. 11. S.) (6 5e)

und das vom D/tmpferk~tfig entwickelte Moment d~ deuten dagegen auf asynchronen Charakter hin, denn die diese Komponenten hervorrufenden Str6me i D, i~ und iu~ sind gem~B den Glei- chungen des elektromechanischen Systems vonder Pendelgeschwindigkeit d 7 J d z der Schenkel- polmaschine abhangig. Die asynchronen Momente (d~0 + dr~) werden im Gegensatz zu den synchronen Komponenten (d~ + de0) yon den elektrischen Ausgleichsvorg~tngen der Rotor- str6me der beiden Achsen beeinflul3t und k6nnen als der negative Wert der auf die Pendel-

418 L. t{ANNAKAM: Dynamisches Verhalten yon synchronen Schenkelpolmaschinen Archly flit Etektrotechnik

geschwindigkeit dyp/dz bezogenen Leistungsaufnahme des asynchronen Ersatzschaltbildes (Bild 8 mit U F = o) der Schenkelpolmaschine aufgefagt werden.

Ehe nun das elektromechanische System (64) der numerischen Auswertung unterzogen wird, trifft man noch hinsichtlich des D~impferk~ifigs einige bei dem untersuchten StoBvorgang zu- l~issige vereinfachende Annahmen, die die Anzahl der durchzufiJhrenden Operationen wesentlich verkleinern und im n~ichsten Abschnitt besprochen werden sollen.

Die ffir die prakt i sche A u s w e r t u n ~ resul t ierende Form des e l ek tromechan i sehen S y s t e m s

Bei der Auswertung des sich nach Vernachl~issigung des OHMschen Statorwiderstandes ergebenden elektromechanischen Systems (64) zeigt sich, dab inlolge der sich bei den zu unter-

4t< \ I , D~impfediingswicklung Erregerwickiung

o

~Im~" "~: ~ o! D~impf'wqu eewi ckl ung

Bild 9. Vereinfachtes Ersatzschaltbild der Schenkelpohnaschinc bei langsamen Pendelurlgen,

suchenden Wirklastst6Ben einstellenden langsamen Pendelungen und wegen der gro/3en Zeitkonstante der Erregerwicklung und der kleinen Zeitkonstante der D~impferwicklung der D~impferk~ifig ffir die transienten elektrischen Vorg~inge vernachl~issigt werden kann. Das in Bild 8 angegebene Ersatz- schaltbild fiir die transienten Vorg~inge der Schen- kelpolmaschine nimmt dann ffir die in Frage kommenden kleinen Pendelgeschwindigkeiten die in Bild 9 gezeichnete vereinfachte Gestalt an: der Erregerkreis wird yon den D~tmpferl~tngsstr6men (iD) nicht beeinfluBt, so dab das elektrische System yon (64) durch eine einzige Differentialgleichung

di F UF + d,drP . . . . . U " ~d " sin yp RF iF @ Xhd " (aF -J- ~d ad) ~ (p. u.S.) (66)

dargestellt wird, wiihrend die D/impferstr6me i D u n d i 0 selbst, unter der Voraus~etzung kleiner station~irer Pendelgeschwindigkeiten ermittelt, als die Beziehungen

"ad' U dy o = R-~-" sin yp. -g~- und i o = -ag'RQ-'U COg yp" dYPd~ (p. u.s.) (67) iD

angegeben werden k6nnen. Das yon ihnen gem~tB der allgemeinen Definition (65b) gebildete D~tmpfungsmoment

1 " -- ~ ) ( ~ ~ ) ~]p[ dk __. U2" dyp [{ff} -~ + �9 cos 2 (p. u . s . ) (68a)

= - - 2 ~ " [ ~ R o \R o R~ i

besteht aus einem schlupfproportionalen Anteil und einem yon der K~ifigunsymmetrie herrtihren- den kleinen Pendelmoment doppelten Argumentes ( - - 2 7p). Im Rahmen dieser Abhandlung soll nun ein , , symmetr ischer" KMig (a~- R D = a~. Ro), der kein Pendelmoment aufweist, vor-

'ausgesetzt werden. Das bei den sich einstellenden langsamen Pendelungen von einem solchen K~ifig erzeugte Drehmoment d~ kann dann als ein der Pendelgeschwindigkeit proportionaler, entgegengesetzt gerichteter Wert

d~ = - - 1 . V 2" ( a ~ a ~ / dyp = __ Dk " dyp (p. U.S.) (68b) 2 \R D @ RO}" ~dr- dr

angesehen und mit der ~iul3eren D~tmpfung D~ zum resultierenden D~tmpfungsmoment

dCk = - - (De + D~). ~yp (p. u.s.) (68c) dT

der Anordnung znsammengefaBt werden, so dab die Bewegungsgleichung resultierend in der F o r m

AID G + D G - - (D,~ + D~) �9 dyp = d~

~- ' 'U2"( -t.3fq Xdd*) ?/' " " = (T a �9 d2). d~Ydr~ 3- " sin 2 + U" a a i F sin Yp (p. u.s.) (69)

XLIII. Band L. HANNAKAM : D y n a m i s c h e s V e r h a l t e n v o n s y n c h r o n e n S c h e n k e l p o l m a s c h i n e n 419 Heft 6 - - .958

geschrieben werden kann. Das gesamte elektromechanische System (64) ist dann auf eine elektrische (66) und die mechanische (69) Systemgleichung zusammengeschrumpft uIld kann fti- eine auf ein starres Netz der Spannung U = U N arbeitende Schenkelpolmaschine nach Einr fiihrung des Pendelschlupfes sp in drei Differentialgleichungen erster Ordnung

d(iF/IFN) 1 - - 6 1 1 . ( IFo i~Fl\f) ] " - d r = a' �9 Sp" sin yp + a-; -.(2 2 TF \ ;FeV '

I dSPd~ . . . . [2. T A ~NA r s i n yp + 2 \Xq 1 �9 s i n 2 7t, - - --$2 �9 T A " sp f2 . T A '

dyp __ d~:

Sp

(7oa)

aufgel6st werden. Dabei sind unter T F (= L f l R e ) die Leerlaufzeitkonstante der Erregerwicklung, unter

Xl~ d 1 (Tt = 1 Xd . X F 1 (1 + ad) (1 + (IF) 1 - - ~d " Xhd Xhd - - = - - �9 = XF XF ( ( T e + a d ' % ) (7 ~

die transiente Streuziffer und unter x (= U N / X e i m p. u. s.) das Leerlaufkurzschlul3verh~iltnis t der Schenkelpolmaschine zu verstehen; die Erregerstr6me i F erscheinen sinngem~ig auf den Wert der Leerlaufnennerregung IF,v bezogen.

In der zuletzt angegebenen Form (7oa) wird das elektromechanische System der Auswertung mit elektronischen Rechenmaschinen (Digital- und Analogrechner) zugrundegelegt. Es be- schreibt das dynamisehe Verhalten der Schenkelp01maschine beim Auftreten eines LaststoBes A D c aus einem stationS~ren Betriebszustand heraus, der das konstante station~ire Moment

. . . . . 1 �9 sin 2/'p. (p. u.s.) (7 ~ c) ~fFN 2

aufweist und mit seinen Kenngr6Ben die Anfangsbedingungen

t = o: (iF/IFN) = (IFo/IFN); (Yt,)0 = /'p,; (@0 = O (7od)

des elektromechanischen Systems (7oa) liefert. Als L6sung des elektromechanischen Systems (7 ~ a) erh~ilt man nach Einffihrung der Anfangs-

bedingungen (7od) den zeitlichen Verlauf des Erregerstromes (iF/IUs), des Lastwinkels Yp und des Pendelschlupfes sp w~ihrend des sich einstellenden elektromechanischen Ausgleichsvorganges. Mittels der drei gefundenen Werte iF~IF x , y~ und s# k6nnen dann alle interessierenden Zustands- gr6Ben des Ausgleichsvorganges nach den bereits angegebenen Formeln ermittelt werden. Bei der Bestimmung der D~tmpferstr6me i D und i o nach G1. (67) ist dabei die in diesem Abschnitt getroffene Voraussetzung eines symmetrischen D~tmpferk~figs zu beriicksichtigen, so dab die D~impferstr6me auf Grund der einfacheren Beziehungen

D k "D k i~ = ae " sp. sin Yp und i 0 = - - a~ �9 sp. cos 7p (p. u.s.) (71)

errechnet werden k6nnen. Weiterhin werden entsprechend der allgemeinen Definition (61) die transformierten Statorstr6me (i a, iv) zu

} i a = z . c o s y p ~ I F + D ~ . s p . s m y p , ' (p. u.s.) (7 2)

Xd iq = Xq" z �9 sin 7p + D~ �9 sp �9 cos Yv

gefunden, w~ihrend der wahre Statorstrom, z. B. i b, der in der an der Spannung % = U �9 cos 12 t (% = cos ~ bei U = U x irn p. u. s.) liegenden Statorwicklung b zum FlieBen kommt, nach dem

1 ~ = d e r au f den N e n n s t r o m bezogene , s ich bei e inges te l l t e r L e e r l a u f n e n n e r r e g u n g IFN e rgebende W e r t des DauerkurzschluBstromes.

Archly f. Elektrotechnik, XLIII. Band, 6. Heft 29

4~0 L. HANNAKAM: Dynamisches Verhalten yon synchronen Schenkelpolmaschinen Archly ifir EIektrotechnik

Transformationsgesetz G1. (28) zu

i b = ~ ~ X d iF 2 " + 1 . s i n v - - 2 . - - 1 . s i n ( , + 2 7 p ) - - n . - - . s i n ( , + y p ) + D ~ . s p . c o s , IF N

(p. u.s.) (73) ermittelt wird und im Bild lo durch ein Zeigerdiagramm veranschaulicht werden soll.

U +r

E

"~ ~ ===~ +0,5 ,-g,

s , ) ~= +1,0 E +0,5 -0,5

. --0,5

=E

E

=

#

--1,0

Reakfionskreis

-2,5

~ _ _ magnetisierende Wirkung ~ 1 des Err~gerste0mes

Bild lo. Zeigerdiagramm des Netzstromes bei generatorischem Sto6 (}'p > o) mit Sp < o.

Legt man in dem gezeichneten Motor- diagramm, in dem entsprechend der be- nutzten Vorzeichenregel die dem Netz ent- nommenen Wirkleistungen positiv erschei- nen, den die Phasenspannung u o kenn- zeichnenden Drehzeiger lib 1 konstanter Amplitude ( = 1 imp . u. s.) als den Zeiger

OU = 1 fest, dann l~iBt sich der dem Phasenstrom i b entsprechende Zeiger i t ver~inderlicher Amplitude als die Summe von vier Komponentenzeigern

i t = 0 i l l + M/~ + R F + F1 = 0 I (74)

darstellen, wobei den einzelnen Zeigern folgende Bedeutungen zukommen:

Die ersten beiden Zeiger weisen kon- stante Amplitude auf und beziehen sich auf die unerregte Maschine. Dabei stellt der erste Zeiger

" 2 " + 1

(p. u.s.) (75a)

den Mittelwert des dem speisenden Netz entnommenen Magnetisierungsstromes fiir die L~ngs- und Querachse dar; die zweite Komponente

. . . . . . . . 1 " ( i ' c o s 2 v p - - s i n 2 7 p ) (p.u.s . ) (75b) 2 - - :2

beriicksichtigt in ihrem Imagin~irteil die vom Lastwinkel 7p abMngige unterschiedliche Magneti-

sierung der beiden Achsen und stellt zusammen mit der ersten Komponente O M die gesamte dem Netz entnommene Magnetisierung

- - ~ ' " ~ " [(xX~dq-t-1)--(xX~dq - 1 ) " e o s 2 ~ p l (p" u . s . ) (75 c,

dar, wfihrend der Realteil des zweiten Komponentenzeigers M R im dimensionslosen p. u. s. direkt dem Reaktionsmoment

. . . . . . 1 �9 sin 2 7p (p. u.s.) (75 d) 2

entspricht. Die Phasenlage (27p) des Zeigers M R ist dabei w~ihrend des Ausgleichsvorganges eine Funktion der Zeit. Beim dritten Zeiger

iF j Vp iF R F = ]" ~" " = ~" " (i" cos y p - - sinyp) , (75e)

IF N IF N

1 Deutsche ]3uchstaben ~ Drehzeiger.

XLIII. Band L. HANNAKAI~I : Dynamisches Verhalten von synchronen Schenkelpolmaschinen 3x2[ Heft 6 - - 1958

der den EinfluB des w~ihrend des Ausgleichsvorganges ver~nderlichen Erregerstromes i F bertick- sichtigt, kommt zu der zeitabh~ngigen Phasenlage (7~) dieses Zeigers noch das Auftreten einer zeitabh~ngigen Amplitude hinzu. In seinem Imagin~trteil stellt dieser Zeiger die magnetisierende Wirkung des Erregerstromes dar, die der aus dem Netz entnommenen Magnetisierung (75 e) der unerregten Maschine entgegenwirkt. Sein Realteil entspricht im eingefiihrten dimensions- losen p. u. s. der durch die Definition (65c) festgelegten Momentenkomponente d F gem~iB

i f d F = - • - - . s i nT~ . (p.u.s .) (75 f)

IF N Der vierte Zeiger ist dreherfrei, hat aber entsprechend

F I = D ~ . sp = d~ (p. u.s.) (75 g)

eine zeitlich ver~tnderliche, dem jeweiligen Pendelschlupf proportionale Amplitude. Er kann je nach sign sp positive und negative Werte annehmen und steltt imp . u. s. das vom D~mpfer- k/trig entwickelte Moment dar.

Vor Beginn der numerischen Auswertung ist das zu behandelnde elektromeehanische System (7 o a) noch einer genauen Kontrolle zu unterziehen; als solche wird die Aufstellung der im n~iehsten Abschnitt behandelten Leistungsbilanz der pendelnden Schenkelpolmaschine empfohlen.

Die d y n a m i s c h e Le i s tun~sb i lanz der Schenke lpo lmasch ine

Die Leistungsbilanz der im transienten Betriebszustand arbeitenden Schenkelpolmasehine liefert neben der schon erw~,thnten Kontrollm6glichkeit des zu behandelnden elektromecha- nischen Systems (70 a) einen weitgehenden Einblick in das dynamische Verhalten dieser Maschine, wobei insbesondere die Wirkung der einzelnen Energiekomponenten und der LeistungsfluB innerhalb der Maschine deutlich zum Vorschein kommen. Die Schenkelpolmaschine wird dabei entspreehend der bei der Ableitung der mechanischen Systemgleichung angestellten Betrachtung als ein abgeschlossenes System im Sinne der Thermodynamik behandelt. Die dynamische Leistungsbilanz selbst ist durch die bereits als ,,~tuBere Leistungsbilanz" 09 a) angegebene 13e- ziehung zwischen der zugefiihrten Leistung, der Verlustleistung und der zeiflichen Anderung der aufgespeicherten Energien festgelegt. Sie wird den weiteren Betrachtungen in dem dimen- sionslosen ,,per unit system" in der transformierten Form

* t ( ) / i' " U' -{-dG'd~/d'g" -- ~t . Rt . it ~- ~d T'I (~-2. TA)" ~d~ ~ '47 V1 "i*t "X t "it ( p . u , s.) (7 6 )

zugeffihrte Leistung Verluste -~nderung der gespeieherten Energien

zugrundegelegt. Dfiickt man nun weiterhin in der bereits definierten Weise die auf die Kreis- frequenz des speisenden Netzes bezogene Winkelgeschwindigkeit der Schenkelpolmaschine durch den Pendelschlupf sp gem~tl3

d)J " ( d~/ (1 s.) (77) d-~- = 1 -~ aT ] = - - sp) (p. U.

aus, dann nimmt die Ausgangsgleichung (76) der dynamischen Leistungsbilanz eine fiir die weiteren durchzuftihrenden Operationen zweckdienlichere Form

* * R ' i' d 1 . i , . . i ' s.) (78) i ' �9 ~ ' @ dr;" (1 - - sp) : i ' " " @ -~z ( T a �9 [2) �9 (1 - - Sp) ~ -~-

an und kann direkt mit dem auf dem Pendelschlupf s~ aufgebauten elektromechanischen System (7 oa) in Verbindung gebracht werden. Die Gleichungen dieses Systems (7oa) mtissen mit den gefundenen Werten der Statorstr6me i a, iq nach (72), der Statorfltisse ~0a, ~q nach (58) und der Rotorstr6me i D, i 0 nach (71) in die dynamische Leistungsbilanz (78) eingesetzt diese identiseh erftillen, denn nur dann ist die Richtigkeit des elektromechanischen Systems (7 ~ a) gew~ihrleistet.

Im Zuge dieser Nachprtifung wird zuerst ffir die der Schenkelpolmaschine elektrisch zu- gefiihrte Leistung

% = i' �9 u ' = i d" u e + iq. uq + i e . U r (p. u.s.) (78a) 29*

422 L. HANNAKAM: Dynamisches Verhalten yon synchronen Schenkelpolmaschinen Archly ffir Elektroteehnik

mit den ermittelten Strolnwerten die Entwicklung

iF x , I)~. s~. cos 7~]" cos 7'~ + %~= [a �9 (cos 7, - - /~7) + D,. s , .s in, ,J .s in)~, ~-" [ X q ' a ' s i n r , + i s ' U s

= - - x . . . . IUN siny~d- 2 - - 1 . s i n 2 y f + D k . s ~ + i v . U s (p.u.s .) (78b)

vorgenommen; mit den durch die G1. (75) definierten Momentenkomponenten d s und d~ im ,,per unit system" ist dann diese elektrisehe Leistung durch die einfache Beziehung

n~z = d s + d R + D~. s~ + i s �9 U s (p. u.S.) (78c)

elaktfisch zugefOhF4e LeMung I

I �9 dem abgeschlossen~n System der Sehenkel- ... polmus~hine insgesomt zugffdhrfe 6eistung

r/'zu =~el + T~mech

l M~sehine=d M.so

• rneeh~nisgh zugeflJhele Le]stung = [,~,,:(,-~,).:o~:ao~,r ]

[ I I

~ = .1=

=

i

~_.-~

[ Pendelleisiung dFo-~p des Mamentes ~

Pen6ellgshng d8.gp des ~kliunsmomenles

r Penfl~Ieislung g~.Sp

des Dtimpfungsm0menfes ~]

Ander~ng der aufgespeicherten m~gnelisehen Dergien

�9 #,.:: -~,'Sp g.g[Zu,z.f,f/ des Momeates g4

Anderung dee magnelischee S+reuenergEekamp0nente

{o'~e'*E H Nnderung 8epma~n~isehen

- - S}reuenergiek0mp0nenie �9 O'mf.IFo.~F~

.g = w ~ =

Bild l l . Die dynamisehe Leistungsbilanz der Schenkelpolmasehine (lies X F s ta t t XF).

festgelegt. Die dem System mechanisch zugefiihrte Leistung n,,,~cl , kann nach Einfiihrung des Gegenmomentes d~ entsprechend der Definition (46 b) in der Form

n,,,e~h = d e �9 (* - - sp) = (Deo + A D G -+- D~ " sp) �9 (* - - sp) (p. u.s.) (79)

geschrieben werden; sie liegert zusammen mit n~z die dem abgeschlossenen System der Schenkel- polmasehine insgesamt zugefiihrte Leistung

% = n,~+%~ech = ( d u + d s + D k . s p ) + (i s . UF) + ( D ~ o + A D ~ + D ~ . s p ) . ( J _ - - s p ) (p.u.s.) (8oa)

beim Auftreten yon Wirklastst613en sowohl motorischen wie generatorischen Charakters. Den n~chsten Schritt bildet die Aufteilung der vom Drehstromnetz zugefiihrten Leistung

(d s + d R + D k �9 sp) im Verh~iltnis (1 - - sp) : spim Sinne einer asynchronen Leistungsaufspaltung, wodurch die dem abgeschlossenen System der Schenkelpolmaschine insgesamt zugefiihrte Leistung

n,, = [(d s + dR) + (D~ + D~) �9 s~ d- (DG o + AD~)] . (1 - - sp)

+ (as + dR + D ~ . s p ) . s~ + / s " U s (p. u.s.) (8ob)

J

I ] I , ~ I n der Dregerwickhng vepnichle- "~

" [F~ " I I t~ teis~ung i}'RF

I~'&(Iro*ir~) t" [

XLIII. Band L. }-IANNAKAM: Dynamisches Verhal ten yon synchronen Schenkelpolmaschinen 4 ~ Heft 6 - - ~958

unter Beriicksichtigung der nachzuprtifenden 13ewegungsgleichung des elektromechanischen Systems (7oa)

dsp (d E @ dR) -j- (D a @ Dk) �9 sp + (DGo @ A D a ) (p. 11. s.) (81) - - (.(2 T A) " ~ - T =

in der einfachen resultierenden Form

dsp ~r = - - ([2 TA) �9 (1 - - Sp) �9 ~ - T @ (d F @ d R At- Dk) �9 sp @ i F �9 g F (p. u . s . ) (82)

geschrieben werden kann. Da nun das erste Glied des Ausdruckes (82) der zugeffihrten Leistung n,, die •nderung der kinetischen Energie des Systems gem/iB

dwki n __ d �9 ( f2 T A ) " (d7i21 = - - ( ~ T A ) " (1 - - Sp) " ~ (p. u . s . ) (83) d~- d-c \dT ] J

darstellt, nimmt die dynamische Leistungsbilanz (78) nach Einsetzen des Ergebnisses (82) fiir die zugefiihrte Leistung die Gestalt

(* ) �9 d a . i ' " X ' s.) (84 ) (d F + d ~ + D ~ - % ) ' s p + i P . U e = i ' ' I R ' ' i ' + ~ ~_ "i ' (p.u.

an: die zugefiihrte Pendelleistung und die Erregerleistung miissen also zusammen die Verluste des Systems und die Anderung der in der Sehenkelpolmaschine aufgespeicherten magnetischen Energie decken.

Far die in der Maschine entstehenden Verluste

n~ = i ' �9 R ' . i ' = i~ . R D + i~ . R o + i~ . R F (p. u.s.) (84a)

kann mit den eingangs erw~ihnfen Werten der D/impferstr6me iD, i 0 bei Beriicksiehtigung der Definitionsgleichung (68b) ftir die D~impfungskonstante D~ die Entwicklung

( RD Ro. ) " �9 % = D ~ . s ~ ~ - s i n 2 7 ~ + z--~q c~ q - * ~ ' R F = D k ' s ~ + * } ' R e (p.u.s . ) (84 b)

angegeben werden. Spaltet man nun weiterhin den gesamten Erregerstrom i F in einen konstan- ten Gleichanteil IFo ( = U e / R e ) und in einen Wechselanteil iF~ (= i F - - I F , ) auf, so kann man die in der Erreger~adcklung entstehenden Verluste i~. R F in drei Komponenten gemiil3

i } . R F = i F �9 U F + i F ~ " Ieo" R e + i=F~ " R e (p. u.s.) (85)

aufteilen; sie werden also nur zum Tell (i F �9 UF) vonde r Erregerspannungsquelle gedeckt, den Rest (i F �9 i F ~ �9 R e ) mul3 das Drehstromnetz bzw. der mechanische Antrieb aufbringen. Setzt man nun die far die Verluste % gewonnenen Ausdrticke (84b) und (85) in die Energiebilanz (84) ein, so mug nach dem so gefundenen Leistungsgleichgewicht

d ( 1 . / ~ . X ' ) (p.u.s.) (86) (d F + dR) " sp = i F ~ . iF " R e + ~ 2 " i '

die zugefiihrte innere Pendelleistung (d F + dR) �9 s, der zeitlichen Anderung der magnetischen Energie und einem Teil der Erregerverluste entsprechen.

Erweitert man nun weiterhin die nachzuprfifende elektrische Systemgleichung yon (70a) mit dem Erregerstrom i F gem~tl3

iF . d i e 1 di2F i f " I F N 1 - - a' R F . d'~ = 2 - " dz - - " a ~ " sin 7p" % + # . X F ( IF . - - iF) " iF (p. U . s . ) (87a)

und formt die so gewonnene Beziehung (87a) unter Berticksichtigung der bereits erw~ihnten Tatsache, dab im ,,per unit system" X a e . IF N = 1 und ~ �9 X e = 1 gilt, in der Art

_ _ di~ i F 1 . a' �9 X e �9 -- z" sin 7#" sp - - i F ~ " i F �9 R e = d F " sp - - i F ~ " i F �9 R F (p. u. s.) (8 7b) 2 d'c IFN

urn, so kann ausgesagt werden, dab die von der Momentenkomponente d e erzeugte Pendel- leistung d e �9 sp den Rest der nicht yon der Erregerspannungsquelle gedeckten Verluste ( i F ~ . i F. RE)

4 2 4 : L. HANNAKAM: Dynamisches Verha t t en yon synchronen Schenkelpolmaschinen Archiv far Etektroteehnik

trod die Anderung der magnetischen Streuenergiekomponente ( + . # X F �9 di~-I dz / deckt. Dabei

kann noch durch die Einfiihrung der beiden Momentenkomponenten dF~ und dr~ gem~!3 den Definitionen (65) eine innere Leistungsdeckung in der Form

1 _ . 0" �9 X F d(2- IFo" iF) a ' d iF 2 " dv - - X F " IFo" dT "-- dY"" Sp - - IFo �9 R F �9 iF~,

1 d i } _ (p. ll. S.) (88) - - . a' �9 XF" -- d r ~ ' s~ - - i~~. R F 2 d r

vorgenommen werden, die zur Kl~irung des Leistungsflusses ebenfalls beitrligt nnd vor allem bei der Aufstellung und Auswertung der Energiebilanz gebraucht werden wird.

Addiert man nun abschliel3end die beiden Leistungsbeziehungen (86) und (87b), so besagt die somit verbleibende Leistungsbilanz

1 d * d R - sp . . . . ( i ' - X ' �9 i ' - - a ' . X F �9 i}) (p. u.s.) (89) 2 d r

dab die Pendelleistung des Reaktionsmomentes die Anderung der in der Sehenkelpolmaschine aufgespeicherten magnetischen Energie abztiglieh der bereits oben definierten Streuenergie- komponente decken muB. Setzt man nun die fiir das Reaktionsmoment d n gewonnene Definition (65a) in die Leistungsbilanz (89) ein, so kann die Anderung der magnetischen Energie als

dwmag,, __ d " i* �9 X ' " i ' = - - s~ 2 - - 1 �9 sin 2 7~ + ~ �9 X F �9 i~. (p. u.s.) (90) d r d r

geschrieben werden. Die in der Schenkelpolmaschine aufgespeicherte magnetische Energie z%~g, kann aber aueh direkt aus den Str6men und Fltissen naeh

1 . ~* . X " �9 ~' 1 i" (id ~)d @ iq ~)q + i D �9 ~o D @ i 0 �9 ~o O @ i F ~oF) (p. u.s.) (91)

ermittelt werden, die f]bereinstimmung ihres Zeitdifferentials

dwmag n 1 d * d'c - - 2 " d-~' ( { ' ' t~ ' ) (p. U.S . ) (9 2)

mit dem Ausdruck (9 o) ist als ein Beweis far die Richtigkeit der elektromechanischen System- gleichungen (7oa) zu werten.

Zur Bestimmung der aufgespeieherten magnetischen Energqe aus den Str6men i ' und Flfissen ~ ' ist noch die Kenntnis der mit den Rotor~dcklungen verketteten Flfisse ~oD, v/o und ~o r erforderlich, w~hrend die Statorfliisse ~a und ~0q durch die Definitionen (58) bereits festliegen. Im Zuge der Ermittlung dieser Rotorflfisse entnimmt man dem elektromechanischen System (54) die beiden Gleichungen

R D " i D - - d~~ und R 0 �9 i(? ~-~ - - dJ-~o (p. u.s.) (93a) d r d r

far den D~impferk~fig, setzt hierin die D~impferstr6me i o und i o gem~tl? (67) ein und kann daher die Entwicklungen

. = ~ .---d. "COS ' - - ~ �9 dV~d-- d~D t - - R D i D = ~r d �9 sp" s i n yp d d r t }'~J - - d d r - - d ~ - ' [

= ? . d (__ sin y ) -- ? �9 ~dv'~ = d~0 ] (p. u.s.) (93b) - - R e i 0 ~- ~rq. Sp " COS ~p e d~ P q dT d r /

vornehmen, so dab die mit der D~mpferwickhmg verketteten Flfisse zu

~0O = ad" ~~ und ~o o = ?q. ~oq (p. u.s.) (93 c)

gefunden werden. Zwecks Ermittlung des mit der Erregerwicklung verketteten Flusses ~F vergleicht man die Spannungsgleichung des Erregerkreises im elektromechanischen System (54) mit der resultierenden Gleichung (66) und kann somit sofort fiir die FtuB~nderung d~oF/dz

XLIIi. Band L. I-[ANNAKAM : Dynamisches Verhalten yon synchronen Schenkelpolmaschinen 425 H e f t 6 - - 1958

die Beziehung diF ~_ d~od ~, . diF

dW<d, = a d ' % ' s i n y # + X l ~ a ' ( a F + ~ s ' a s ) ' ~ a s ' ~ + X F ' ~ (p.u.s .) (94 a)

finden, womit aber d e r m i t der Erregerwicklung verkettete FluB ~0r selbst direkt als

*?F = be" Ws q- a' �9 XF " iF (p. U.S.) (94 b)

vorliegt. Die so ermittelten FluBverkettungen mit den Rotorwicklungen werden mit den Stator- str6men in der Form der G1. (6i) in die Definitionsbeziehung (91) ftir die magnetische Energie eingesetzt

w,,~g,, = 2 " (x" cos y~ - - ~ ~D - - as" iF) " COS yp + i o �9 aS" COS yp + i F �9 ~d" COS 7~ + a' �9 XF" i~

iS" ~OS iD " ~OD iF" ~F

q- - - ~ - ' s i n T , q - ~ q . i o . s i n T , + ( - - i o T ~ , . s i n y , ) (p.u.s .) (95a)

und liefern nach Ausfiihrung der in (95a) vorgeschriebenen Rechenoperationen die gesamte in der Schenkelpolmaschine aufgespeicherte magnetische Energie

%'~g" = 4 + 1 �9 - - 1 cos + ' XF i~ (p. u.s.) (95b)

als Summe yon drei Komponenten, deren Aufbau den magnetisierenden Komponenten des Netzstromes (73) entspricht: die erste Komponente stellt den Mittelwert der aufgespeicherten magnetischen Energie der unerregten Maschine dar, das zweite Glied beriicksichtigt die vom Lastwinkel abhangigen Schwankungen infolge der Verschiedenheit der in den beiden Achsen (d und q) aufgespeicherten Energiewerte, w~ihrend der letzte, durch den Erregerstrom i F hervor- gerufene Anteil die transiente Streuenergie der Liingsachse verk6rpert; der gem~il3 des verein- fachten Ersatzschaltbildes (Bild 9) fttr langsame Pendelungen streuungslos angenommene Diimpferk~fig kann naturgem~tl3 keine Streuenergien speichern. Aus der Definition (95 b) kann weiterhin abgelesen werden, dab bei konstantem Erregerstrom iF, also im stationgren Betrieb, die aufgespeicherte magnetische Energie bei Leerlauf (yp -- o) ein Minimum aufweist, yon dem aus die sowohl bei generatorischer (Yp > o) wie auch motorischer (7~ < o) Belastung mit wachsen- dem Lastwinkel 7~ ansteigt. Man erinnere sich dabei an die konventionelle Auffassung yore ,,Spannen der Kraftlinien" bei Belastung der Synchronmaschine, nach der in dem magnetischen Feld eine Art potentieller Energie gerade so wie beim Spannen einer Feder aufgespeichert wird.

Differenziert man nun den Ausdruck (95b) ftir die magnetische Energie, so erh~ilt man mit

dwmag n ~ ( Xs ) d (~ - .O" " ) aT - - - - % " 2 " ~ - - 1 �9 sin 2 yp + ~ �9 XF i} (p. u.s.) (95 c)

eine Ubereinstimmung mit der aus der Leistungsbilanz gefundenen Beziehung (90); dadurch ist die Richtigkeit des elektromechanischen Systems (7oa) bewiesen.

Zusammenfassung des I. Teils

Ausgehend yon den Grundgesetzen der Elektro technik und Mechanik, niimlich von den KIRCH- aoruschen Spannungsgleichungen, dem Satz v o n d e r magnetischen Energie und della D'ALEM- BEI~Tschen Prinzip werden die Systemgleiehungen der statorsymmetrischen Schenkelpolmaschine aufgestellt. Sie erweisen sich wegen der grol3en Anzahl der auftretenden trigonometrischen Funktionen Iiir die praktische Auswertung als wenig zweckm~tl3ig und werden daher entsprechend der Zweiachsentheorie der Schenkelpolmaschine transformiert. Die verwendeten Transforma- tionsgesetze haben allgemeine Bedeutung und k6nnen auf alle elektrischen Maschinen angewandt werden.

Ax2 6 Ber icht igungen Archly fflr Elektrotechnik

Das Resultat der vorgenommenen Transformation bilden die transformierten elektromechani- schen Systemgleichungen der statorsymmetrischen Schenkelpolmaschine, die als die Matrizen- gleichungen (48) bzw. (51) und in der ausgeschriebenen Form (54) angegeben wurden. Sie weisen allgemeinen Charakter auf, beschreiben jeden beliebigen elektromechanischen Ausgleichsvorgang und bilden somit die Grundlage ftir die Untersuchung aller dynamischen Vorg~nge dieser Ma- schine. Ffir die im Rahmen dieser Abhandlung zu untersuchenden Drehmomentst613e lassen sieh die transformierten Systemgleichungen unter durchaus zul~ssigen Vernachl~ssigungen wesentlich vereinfachen und auf ein nichtlineares System von drei gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung zurtickffihren. Dieses System wird mittels der elektromechanischen transienten Leistungsbilanz kontrolliert und erf~hrt im II. Teil dieser Abhandlung seine praktische Aus- wertung mittels elektronischer Rechenmaschinen nach den einleitend angegebenen Gesichts- punkten.

Dr.-Ing. L. HANNAKAM, Berlin, AF.G-Fabriken Brunnenst raBe, Elektr . Labora tor ium.

Berichti~ungen zum Beitrag B. K o n o r s k i : Gewisse Eigenschaften des elektrostatisehen Feld~s zweier Kugeln. Bd. XLIII (1957).

S. 245: Naeh der Formel 48 fehlt die Einschaltung: ,,und die Kugeln sich nieht i m + - - Anomaliezustand befinden".

S. 248: Zeile 6 von oben: anstatt ,,oder" muB es heiBen: ,,und".

zum Beitrag H. Ede l rnann : Die statische Stabilit/it yon Schenkelpol- masehinen im Verbundbetrieb. Bd. XLIII (1957).

S. 294, Z. 3 u. 2. yon unten: Start ,,Sehenkelmaschinen" lies ,,Sehenkelpohnaschinen".

S. 300: Der zweite Term in der Gleichung 66 mul3 richtig heif3en

( (N ,d%, (Co)'~ 1

S. 302, G1. (78), Z. 3: Start

, , - levi cos levi . lies

,,-- I E, I cos t9 i Y!~) [E k I' sin zg~".

Abgeschlossen am 4. Juni I958