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APPUNTI DI SISMOMETRIA

Giovanni Romeo1 e Thomas Braun2

1Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia, Roma2Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia - Osservatorio Sismologico, Arezzo

Indice

Introduzione 5

1. Grandezze ed ordini di grandezza 5

2. L’oscillatore armonico meccanico 5

3. Che cosa stiamo misurando? 9

4. Molle e sospensioni 11

5. Un esempio storico, il sismografo Wood-Anderson 14

6. Rivelatori di posizione e velocità 14

6.1. Rivelatore di posizione capacitivo: 15

6.2. Rivelatore di posizione induttivo LVDT (Linear Variable Differential Transformer) 16

6.3. Rivelatore di posizione ottico CCD 17

6.4. Rivelatore di posizione ottico PSD (Position sensitive detector) 17

6.5. Rivelatore di velocità elettromagnetico 18

7. Un caso pratico: il sismografo S13 19

8. Estensione della risposta si un sismografo: il metodo “Lippmann” 20

9. Sismografi a reazione negativa 21

10. Ricette per la reazione negativa 23

10.1. Reazione sulla posizione 23

10.2. Reazione sulla velocità 23

10.3. Reazione sulla accelerazione 23

11. Un esempio pratico: il sismometro STS-1 25

12. Sensori esotici 26

13. Chi davvero volesse conoscere queste cose... 28

14. Bibliografia 28

Appendici 29

A1. Determinazione del coefficiente di smorzamento 29

A2. Determinazione sperimentale del coefficiente di smorzamento 30

A3. Relazione tra la costante del generatore in un trasduttore di velocità elettromagnetico e la CDR (critical damping resistor) 31

A4. Coefficiente di generazione e coefficiente motore 32

A5. Resistenze negative 32

A6. Il metodo di Lippmann applicato all’ S13 32

A7. Cenni sulla teoria dei filtri lineari 36

A8. Sismometro come filtro lineare: distribuzione poli-zeri di un sismometro 37

A9. Caratteristiche di alcuni sismografi commerciali 38

Introduzione

Sembra che vi sia una risposta predefi-nita alla domanda ”Che cosa misura un sismo-grafo?”, ed è: “Lo spostamento del terreno!”.E la seconda domanda: “Rispetto a che cosa?”fa nascere dei dubbi sulla bontà della primarisposta. Non è possibile effettuare una misuradi posizione o di velocità senza avere un rife-rimento, e un riferimento di posizione è pro-prio quello che non possiamo permetterci suun pianeta che compie complicati moti in ununiverso in cui lo star fermi non pare essere laregola. L’unica misura assoluta che possiamocompiere è una misura di accelerazione. Ilprincipio di inerzia enuncia che un corpo inassenza di forze “tende a mantenere il suostato di quiete o di moto” dove la quiete è unostato particolare di moto a velocità nulla. Lamisura delle forze alle quali è soggetto uncorpo ci dà, a meno di una costante di propor-zionalità (la massa del corpo) l’accelerazioneche il corpo subisce. In qualche modo sarà poipossibile ricondurre la misura di accelerazionea delle grandezze di interesse sismometrico.Quando affermiamo che lo scopo di un sismo-grafo è misurare lo spostamento del terrenonon commettiamo un errore se assumiamo cheil nostro riferimento sia il valore medio dellaposizione del terreno in un ristretto campo difrequenze. Questa limitazione rende possibileintegrare l’accelerazione fissando arbitraria-mente quelle costanti di integrazione che por-tano con sé moti planetari che sono lontanidall’interesse del sismologo.

1. Grandezze ed ordini di grandezza

Un sismografo deve misurare il motodel terreno in un certo intervallo di frequenza.Bisogna quindi conoscere questi due parame-tri (ampiezza e frequenza) per poter progettarelo strumento. La fig. 1 rappresenta in scalabilogaritmica lo spettro del rumore sismico;quello sempre presente, anche in assenza dieventi sismici. È una scala che va dai 0.1 s (10Hz) misurabili per eventi locali ai 50.000 sdelle maree, che ci si aspetta di misurare conuna sensibilità di 10-11 g e con una dinamica dialmeno 5 ordini di grandezza. La costruzionedi uno strumento del genere è una sfida chesoltanto da pochi anni gli strumenti a larghis-sima banda (VBB, very broad band) riescono asostenere, suffragati da tecniche di trattamen-to digitale del segnale senza le quali gli stru-menti VBB sarebbero inutilizzabili.

Come verificabile dalla fig. 1 l’energiasismica più alta del rumore del fondo si nota(purtroppo) nella banda di interesse per l’ana-lisi dei terremoti, cioè tra 0.25 Hz e 0.125 Hz,corrispondente a periodi di oscillazione tra 4 e8 s. Questo picco ben noto ed osservabile suscala globale è causato dalle variazione dipressione delle onde marine sul terreno ed èquindi chiamato picco dei microsismi (oceanmicroseism), da non confondere con eventisismici di piccola magnitudo.

Il problema del rumore di fondo haquindi reso necessario, ai primordi dellasismologia, la costruzione di sismografi conuna ristretta banda passante e ha portato cosìalla classica suddivisione in sismografi abreve periodo di 1 Hz (SP, short period) e alungo periodo (15 s, 30 s, 100 s) (LP, longperiod): questa selettività intrinseca nello stru-mento rendeva possibile concentrare l’interes-se sulle frequenze prodotte dall’evento sismi-co reiettando la maggior parte del fondo, che,se registrato completamente (in assenza di tec-niche di filtraggio a posteriori), avrebbecoperto l’evento di interesse.

Questo processo di filtraggio è intrinseconella ricetta fondamentale per la costruzione deisismografi: la sospensione della massa sensibi-le con una forza di richiamo elastica (A6).

2. L’oscillatore armonico meccanico

Il sismografo più semplice che possia-mo immaginare è costituito da un telaio, colle-gato rigidamente con il terreno; al telaio, attra-verso una molla, è sospesa una massa (fig. 2).

Giovanni Romeo e Thomas Braun: Appunti di sismometria

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Figura 1 Andamento del rumore sismico.

La legge fondamentale della dinamica ci diceche se il sistema è sottoposto ad un’accelera-zione, la massa è soggetta ad una forza. Ladeformazione della molla che sospende lamassa è proporzionale alla forza che la mollaesercita, e misurando questa deformazione sipuò risalire all’accelerazione a cui il sismo-grafo è sottoposto.

Abbiamo descritto il sistema in modoeccessivamente semplice. In realtà un sistemamassa-molla è un sistema oscillante; il sistemaeccitato (immaginiamo che un evento esternoabbia indotto una deformazione della molla) èteatro di continui trasferimenti di energia daenergia cinetica (della massa) ad energia poten-ziale (della molla). La frequenza alla qualeavvengono questi trasferimenti di energia èdetta frequenza di risonanza del sistema. È pos-sibile smorzare le oscillazioni per esempioimmergendo la massa in un fluido viscoso. Essonon ha praticamente effetto sulla massa a ripo-so, ma agisce opponendosi al moto della massaquanto più questa si muove velocemente.

Una caratteristica dei sistemi oscillanti èche in essi vengono più facilmente indotte delleoscillazioni quando vengono sollecitati con fre-quenze prossime a quella di risonanza. Unoscillatore armonico è intrinsecamente un filtro(A6), e può essere adoperato per ottenere quel-la selezione in frequenza che permette di estrar-

re il segnale di interesse dallo spettro del rumo-re sismico.

La sospensione di un sismografo puòessere ottenuta in vari modi: può esseresemplicemente una molla, può essere unacomponente della forza di gravità e puòessere una combinazione delle due cose.Questa ultima cosa è sfruttata nelle sospen-sioni astatiche, dove le risultanti della com-ponente della gravità e della tensione dellamolla applicate alla traiettoria sulla qualeviene vincolata a muoversi la massa sensibileproducono una forza di richiamo indipenden-te dalla posizione della massa. Comunque laforza di richiamo sia ottenuta, essa è general-mente esprimibile come linearmente dipen-dente dalla posizione, e dà luogo ad un oscil-latore meccanico semplice (fig. 6).

Per trovare una risposta alla domanda“Che cosa misura un sismometro?”, intro-duciamo la definizione di due tipi principa-li di sensori, distinti in funzione del tipo ditrasduttore di moto impiegato. Nel primo lagrandezza in uscita è lo spostamento relati-vo massa sensibile-terreno, dei quali fannoparte tutti gli strumenti antichi ad amplifi-cazione meccanica diretta (Wiechert) o otti-ca (Wood-Anderson). Nel secondo tipo lagrandezza in uscita è la velocità relativamassa mobile-terreno, ottenuta con un tra-sduttore elettromagnetico (come il Teledyne-Geotech S13). La misura della velocitàrende l’ampiezza della variabile in uscitalinearmente dipendente dalla frequenza. Afrequenze elevate un sistema di questo tipo èpiù sensibile; questo, oltre alla facilità diimpiego ha reso questi strumenti comuni incampagna e per l’uso con sismica attiva,dove è appetibile una buona sensibilità allealte frequenze (100 Hz) sconfinanti nell’a-custico (geofoni). In queste pagine adottere-mo la convenzione di chiamare “PENDO-LO” un sensore con trasduttore di posizionee “GEOFONO” un sensore con trasduttoredi velocità. Il termine sismometro verràusato quando non si vuole evidenziare ladifferenza tra i due tipi di strumento, o nelcaso degli strumenti elettronici.

Nel caso del pendolo si ottiene lamassima (minima) ampiezza del segnalesismometrico nel momento in cui anchel’ampiezza dello spostamento relativomassa-telaio raggiunge il massimo (mini-mo). Nel caso del geofono il segnale è nulloalla massima (minima) ampiezza dello spo-stamento del terreno (velocità zero) ed èmassimo nel momento in cui la massa passa


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Figura 2 Schema semplificato di un sismo-grafo. La massa è libera di muoversi vertical-mente sospesa alla molla; lo smorzatore faestinguere le oscillazioni indotte nel sistemamassa-molla.

alla posizione zero (velocità massima).Un sistema oscillante forzato e smor-

zato è descrivibile con una equazione diffe-renziale del tipo:

forzato significa che non si tratta di un sistemaisolato, e che le oscillazioni possono essereindotte dal mondo esterno (è quello che ci servese vogliamo farci un sismografo!). Nella (2.1) lax rappresenta la sollecitazione (x ha le dimen-sioni di un’accelerazione), mentre la y rappre-senta lo spostamento della massa dalla posizio-ne di riposo. A sinistra del segno di uguaglianzaappare il bilancio di tutte le forze agenti sullamassa che possono essere scritte come funzionedella variabile y (spostamento della massarispetto al telaio). Il primo termine rappresentala forza legata all’accelerazione per il primoprincipio della dinamica (m, [m] è la massa sen-sibile); il secondo rappresenta la forza esercitatadall’attrito viscoso (c, [m][t]-1) è proprio dettocoefficiente di attrito viscoso e descrive unaforza frenante proporzionale alla velocità delmoto ed opposta ad esso); il terzo esprime laforza di richiamo della molla lineare con la posi-zione (k, [m][t]-2 ) è il coefficiente elastico dellamolla. A destra del segno di uguaglianza apparela forza indotta da un’accelerazione esterna.

In assenza di sollecitazioni dall’esterno(x=0) e in assenza di smorzamento (c=0), la(2.1) rappresenta un sistema oscillante di pulsa-zione w

0=(k/m)1/2 [t]-1. In assenza di sollecitazio-

ni esterne, per tempi lunghi, dopo il transitorioiniziale, i primi due termini della (2.1) scom-paiono, e si ottiene:

Nel caso di sollecitazione con un’accele-razione costante x il sistema risponde con unospostamento y, ed a ha dimensione [t]2. Pertempi lunghi il sistema è un accelerometro.Questo ribadisce il concetto espresso nell’intro-duzione: l’unico modo che la natura ha perindurre un movimento relativo della massarispetto al telaio è un’accelerazione, e, se ilsistema sembra, come vedremo, rispondere adaltre sollecitazioni, lo fa perché queste induco-no, a loro volta, un’accelerazione.

Per lo studio dei sistemi del secondo ordi-ne vengono generalmente utilizzate le seguentiuguaglianze, che illustrano delle grandezze che

sono particolarmente descrittive del sistema:

La prima, w0,

abbiamo visto esprime lapulsazione propria del sistema, mentre x (coeffi-ciente di smorzamento) è una variabile adimen-sionale che esprime la capacità del sistema diestinguere le oscillazioni causate da un solleci-tazione. L’introduzione delle (2.3) e (2.4) nella(2.1) ne fornisce la versione familiare a chi sioccupa di teoria dei sistemi:

La risposta ad un’eccitazione a gradino diun sistema descritto dalla (2.5) è data da:

dove sono stati introdotti i nuovi simboli:

Di questi ωdha un significato particolare:

ha le dimensioni di una pulsazione e lo vediamoapparire come argomento del seno nella soluzio-ne dell’equazione; questo significa che quandosmorziamo un sistema lo costringiamo ad oscil-lare più lentamente, e la nuova pulsazione è pro-prio ω

d. Se proviamo a disegnare la (2.6) para-

metrizzandola in funzione di ξ otteniamo il dia-gramma di fig. 3.

Che mostra come ξ piccoli portino ad unsistema veloce ma con tendenza ad oscillare,mentre ξ grandi portino ad un sistema non oscil-lante ma lento a rispondere.

In qualche modo un sismografo è unsistema con un ingresso ed un’uscita. Un modo


7

(2.8)

(2.1)

(2.2)

(2.5)

(2.7)

(2.6)

(2.9)

(2.3)

(2.4)

classico per descrivere il comportamento di unsistema è quello di fornire la sua risposta in fre-quenza, cioè il comportamento del sistema ecci-tato con una funzione armonica di ampiezzaunitaria e di frequenza variabile in un intervalloabbastanza ampio da essere descrittivo del sistema.

Assumiamo che il nostro sistema sia unpendolo (nell’accezione descritta all’inizio delparagrafo cioè oscillatore meccanico con tra-sduttore di posizione) e scriviamo la accelera-zione che lo eccita come la derivata seconda diuno spostamento z:

Per descrivere il comportamento dina-mico del sismografo definiamo la funzione ditrasferimento Q(ω) che rappresenta la rispostadel sistema a un’oscillazione periodica diampiezza unitaria.

Dove ϕ rappresenta la differenza di fasetra il segnale di ingresso e il segnale di uscita.La (2.10) è un’equazione lineare a coefficienticostanti. Se eccitata con una funzione armonica,risponderà con una funzione armonica con stes-sa frequenza ma fase ed ampiezza differenti.

Questo rende possibile le sostituzioni:

in questo modo la (2.11) diventa

La fig. 4 mostra l’andamento del modulodi Q(ω) in funzione della frequenza parametriz-zato con vari valori di ξ (gli stessi che sono statiscelti per la fig. 3.2)

Sono storicamente esistite delle contro-versie su quale fosse la scelta migliore per ilcoefficiente di smorzamento. Osservando la fig.4 si osserva come l’amplificazione intorno allafrequenza di risonanza cresca considerevolmen-te al diminuire del coefficiente di smorzamento.Questo effetto di amplificazione poteva essereappetibile ai primordi della sismologia, quandonon era tanto importante lo studio della forma


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(2.14)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.15)

(2.16)

Figura 3 Andamento delle oscillazioni di un sistema del secondo ordine (con pulsazione di risonan-za unitaria) forzato con un gradino unitario, e parametrizzato con il coefficiente di smorzamento ξ.

d’onda, quanto che l’evento venisse rilevato.Con l’affinarsi delle tecniche di analisi si è desi-derato uno strumento che ricostruisse il piùfedelmente possibile il movimento del terreno.

Il coefficiente ξ deve essere maggiore di0 (zero), altrimenti le oscillazioni permangonoper sempre, ma non deve essere esageratamentegrande, altrimenti il sistema impiega un tempotroppo lungo per il raggiungimento dell’equili-brio (fig. 3). Per (ξ =1) il sistema smette dioscillare e si dice che ha smorzamento critico.Un sistema sottosmorzato (0<ξ<1) tende adoscillare e risponde all’eccitazione con delleoscillazioni più alte dell’eccitazione stessa(sovraelongazione), ma risponde più rapida-mente. Il contrario succede con un sistema sot-tosmorzato.

In funzione del sistema che si sta proget-tando si può prediligere una differente scala diξ. Esistono diverse ricette analitiche per trovareil miglior coefficiente di smorzamento.Essenzialmente si basano sul desiderio di nonavere sovraelongazione, e di rendere minimol’errore della risposta in frequenza rispetto ad unsistema ideale. Se definiamo l’errore come:

dove I(ω) è la risposta del sistema ideale e Q(ω)è la risposta del sistema in esame, possiamo cal-colare che la funzione errore E(ξ) ha un minimoin corrispondenza di

Ad un altro, importante, risultato si giungese imponiamo che il sistema non abbia sovrae-longazioni, il che equivale a dire che la funzionedi trasferimento Q(ω) non può mai superare lafunzione di riferimento I(ω); questo si verificaper ξ ≥ 1/√2. L’appendice A1 riporta alcune for-mulazioni relative alle considerazioni precedentied altre considerazioni di ordine pratico.

3. Che cosa stiamo misurando?

Una volta conosciuto il valore dei parame-tri che descrivono l’oscillatore meccanico è pos-sibile, almeno teoricamente, il calcolo del movi-mento del terreno a partire da misure accuratedella posizione della massa rispetto al telaio (A5).La difficoltà pratica è essenzialmente rappresen-tata dall’inadeguatezza delle misure della posi-zione e dal rumore strumentale che copre livellidi segnale bassi ma essenziali ad una deconvolu-zione corretta. Se riformuliamo la domanda “checosa stiamo misurando?” come “che risposta dàun pendolo (geofono) sollecitato ad una partico-lare frequenza da un segnale di accelerazionevelocità o spostamento?” possiamo tentare di for-nire delle risposte che non esigano la deconvolu-zione completa del segnale. Trasformando la(2.5) secondo Laplace otteniamo:


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(2.17)

(2.18)

(3.1)

Figura 4 Diagrammi della risposta di un pendolo allo spostamento del terreno (P(f, ξ)) al variare delcoefficiente di smorzamento.

Avendo definito F(s):

La formula appena scritta è nota comefunzione di trasferimento di un sistema delsecondo ordine. I poli di questa funzione sono:

e sono complessi coniugati nel caso di ξ<1, realialtrove. Questo significa che il sistema ha unasoluzione oscillante e sono complessi coniugatinel caso di ξ<1, reali altrove. Questo significache il sistema ha una soluzione oscillante (chepoi possa manifestarsi effettivamente una oscil-lazione viene discusso in A1) per ξ<1, ed espo-nenziale altrove. Il cambiamento del tipo dieccitazione (spostamento, velocità o accelera-zione) non cambia il denominatore della (3.1).Abbiamo definito Y(s) come la risposta (in spo-stamento) della sollecitazione (in accelerazione)somministrata alla F(s). Possiamo riscrivere la3.2 come:

questo non cambia naturalmente le cose, ma cipermette di interpretare la (3.5) in manieradiversa; infatti X(s)/s rappresenta adesso lavelocità del terreno (confronta appendice A5.6),ed allora s·F(s) diviene la risposta del nostrosistema ad un’eccitazione di velocità.Una analoga considerazione si può fare per lospostamento: effettuiamo la stessa operazionema, questa volta, moltiplichiamo e dividiamoper s2. Esaminando il caso di un geofono ecci-tato con un segnale di accelerazione abbiamoche la funzione di trasferimento F(s) si arric-chisce di uno zero nell’origine a causa dellasostituzione del trasduttore di velocità con untrasduttore di posizione, di due zeri nel caso dieccitazione con segnale di velocità e di tre zerinel caso di eccitazione con segnale di posizio-ne. Queste considerazioni sono riassunte nellatab. 1 e nella fig. 5.

1) Pendolo (pendolo meccanico con trasduttoredi spostamento massa-telaio)

a) Eccitazione con spostamento del terreno (2zeri):• Al di sotto della pulsazione naturale ω

0l’amplificazione è proporzionale alla fre-quenza ed il pendolo si comporta come unfiltro passa-alto del secondo ordine(12 dB/ottava, 20 dB/decade).

• In prossimità della pulsazione naturale ilpendolo si comporta come un filtro passa-banda(Il fenomeno è evidente per ξ<1).

• Per pulsazioni maggiori della pulsazionenaturale l’amplificazione è costante.

b) Ingresso di velocità (1 zero):• Il sistema è un filtro passa-banda, e si

comporta come un passa-alto (6 dB/otta-va) per pulsazioni inferiori alla pulsazio-ne propria di risonanza.

• È come un filtro passa-basso (6 dB/otta-va) per pulsazioni superiori alla pulsazio-ne propria.

c) Ingresso di accelerazione (nessuno zero):• Al di sotto della pulsazione propria la

risposta del sistema è proporzionaleall’accelerazione: il pendolo si comportacome un accelerometro (e, siccome èrelativamente facile costruire pendoli conalta frequenza di risonanza gli accelero-metri sono più economici dei sismome-tri).

• Al di sopra della pulsazione propria ilsistema si comporta come un filtro passa-basso con pendenza di 12 dB/ottava.

2) Geofono: pendolo con trasduttore di velocitàrelativa massa-telaio (esattamente come alpunto 1, ma derivato rispetto al tempo)


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(3.4)

(3.5)

(3.3)

(3.2)

Tabella 1 Zeri delle funzioni di trasferimentodi pendoli e geofoni alle varie eccitazioni.

Ingresso Pendolo Geofono

Spostamento delterreno δ(t)

fig. 5 Pd, due zeri fig. 5 Gd, tre zeri

Velocità del terreno δ(t)

fig. 5 Pv, uno zero fig. 5 Gv, due zeri

Accelerat ionedel terreno δ(t)

fig. 5 Pa,nessuno zero

fig. 5 Ga, uno zero

a) Ingresso di spostamento (3 zeri):• La risposta sale rapidamente con la fre-

quenza, (60 dB/decade prima della fre-quenza propria e 20 dB/decade dopo lafrequenza propria); questa esaltazionedelle alte frequenze può essere utile perevidenziare la sismicità locale;

b) Ingresso di velocità (2 zeri):• La risposta sale con 40 dB/decade prima

della frequenza propria, ed è piatta per fre-quenze superiori alla frequenza propria.

c) Ingresso di accelerazione (1 zero):• Il sistema è un filtro passa-banda, e si

comporta come un filtro passa-alto (6dB/ottava) per pulsazioni inferiori allapulsazione propria di risonanza.

4. Molle e sospensioni

La molla che fornisce la forza di richiamoe tiene la massa in posizione è la componentefondamentale di un sismografo realizzato conun oscillatore armonico semplice. Lo sposta-mento del terreno è un vettore ed un’unicamassa sensibile adeguatamente sospesa potreb-


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Figura 5 Andamento delle funzioni di trasferimento di un pendolo (colonna di diagrammi a sinistra)e di un geofono (colonna di diagrammi a destra) eccitati con segnali di spostamento (prima riga di dia-grammi); di velocità (seconda riga di diagrammi) e di accelerazione (terza riga di diagrammi).

be misurarlo completamente. Molte ragioni pra-tiche fanno preferire, con alcune eccezioni, latecnica di vincolare la massa a muoversi in unasola direzione in modo da costruire un sensoremonodirezionale. Tre sensori monodirezionalivengono poi combinati per costruire un unicosensore vettoriale. Generalmente si dispongonotre sensori ortogonali tra loro, uno in posizioneverticale, due orizzontali (esistono comunquedelle eccezioni a questa regola: il sensore STS-2è formato da una terna di sensori ortogonali traloro ma inclinati di 45° rispetto alla verticale).

Benché concettualmente identici sensoriverticali ed orizzontali sono profondamentediversi, in un sensore orizzontale non abbiamovincoli alla scelta della massa e della molla dausare; in un sensore verticale dobbiamo fare unamolla abbastanza robusta da tenere la massasospesa vincendo la forza di gravità, e una mollarobusta ha generalmente una costante elasticapiù grande. In pratica la massa di un sismografoverticale non è mai vincolata direttamente aduna molla, ma il collegamento viene fatto attra-verso una geometria che tende ad allungare lafrequenza di risonanza a dispetto della costanteelastica di richiamo della molla.

Un esempio di strategia di questo tipo è lasospensione Lacoste (fig. 6).

In questa geometria la massa è vincolata amuoversi attorno ad un cerchio che ha per rag-

gio la lunghezza del boma. La molla è vincolatada un lato al telaio e dall’altro lato al boma. Leforze in gioco sulla massa (forza di richiamodella molla e forza di gravità) sono proiettatesulla traiettoria che il vincolo impone alla massa.

La proiezione della forza di gravità sullatraiettoria vale:

La proiezione della forza della molla vale:

Dove D è la lunghezza assunta dallamolla; osservando il triangolo che ha per lati Ded H (distanza tra i punti di vincolo della mollae del boma) ed il boma, e ricordando il teoremadei seni, possiamo scrivere D in funzione di H edell’angolo ϕ

Se si uguagliano la forza di gravità e laforza della molla si osserva che, con la condizione:

la condizione di uguaglianza è rispettata per ognivalore dell’angolo. In realtà, affinchè la descri-zione appena effettuata funzioni è necessario chesia rispettata una seconda condizione, cioè che lamolla sia a lunghezza iniziale nulla. L’avere scrit-to la forza come K·D è un’ammissione di questacondizione, infatti il prodotto si annulla per D=0.In una molla reale questa condizione non è soli-tamente vera, anche se è possibile costruire unameccanica che ne simuli il comportamento.

Un altro esempio di sospensione paragona-bile alla Lacoste è la leaf-spring (fig. 7).

Il funzionamento non è dimostrabile sem-plicemente ed il calcolo nelle realizzazioni prati-che si effettua con una ricerca sistematica aglielementi finiti.

La leaf-spring è una lamina di metallo,normalmente piana, che assume una particolareforma a causa dei vincoli imposti alle estremità.La caratteristica di questa sospensione è che puòessere regolata per fornire una forza in grado disospendere la massa senza una significativadipendenza dalla posizione della stessa.


12

(4.1)

(4.2)

(4.4)

Figura 6 La sospensione Lacoste: la massa èvincolata da un’asta (boma) a descrivere unacirconferenza attorno ad un punto di vincolo. Sidimostra (vedi testo) che è possibile trovare unacondizione di equilibrio tra la componente dellagravità e la componente di richiamo della mollasulla direzione del moto in modo che la massasia in equilibrio indifferente.

(4.3)

Le sospensioni per i sismografi orizzonta-li sono naturalmente differenti, perché il movi-mento della massa è ortogonale alla forza di gra-vità che quindi non deve essere compensata.Una volta costretta a muoversi solo orizzontal-mente (per esempio ancorando la massa ad unboma fissato ad un pivot ad attrito nullo che lovincoli a muoversi su un piano orizzontale), unadebolissima forza di richiamo può mantenere inposizione la massa con periodi di risonanzaarbitrariamente lunghi.

Con alcune approssimazioni, la frequenzadi oscillazione di un pendolo orizzontale è pro-porzionale al seno dell’angolo formato dalpiano sul quale il pendolo si muove con il pianoorizzontale (il pivot sta più in alto della massa).Se il piano è realmente orizzontale il seno ènullo, la forza di richiamo è nulla e l’equilibrioè indifferente. Possiamo indurre una forza dirichiamo e regolarla a piacimento inclinando ilsistema. Questo tipo di sospensione è detta gar-den-door ed è attualmente molto utilizzata. Inrealtà i pivot ad attrito nullo (fig. 8) induconouna coppia di richiamo per cui, anche se perfet-tamente orizzontale, il sistema ha un periodo dirisonanza finito. Questo non impedisce di rag-giungere un equilibrio indifferente rendendol’angolo di inclinazione del piano orizzontalenegativo (la massa più alta del pivot).

Una inclinazione negativa induce unaforza di richiamo positiva (f=+k•x), che da solafarebbe girare il pendolo verso una delle dueestremità della sua corsa) con la quale possiamocompensare l’eccesso della coppia di richiamoindotta dal pivot.

L’apparente facilità con la quale si puòmettere a punto una sospensione orizzontale nonrende più facile costruire dei sismografi orizzon-

tali: tutt’altro. Un sismografo orizzontale mostrauna sensibilità (fig. 10) a spostamenti dalla verti-cale di gran lunga superiore a quelli di un sismo-grafo verticale. Le cose sono addirittura peggiorise si utilizza una sospensione garden-door, dovel’inclinazione del sismografo appare anche nel-l’espressione della forza di richiamo.

Nella fig. 9 è stato imposto lo stesso ango-lo di variazione ad un sismografo orizzontale e adun sismografo verticale. Già dalla costruzione deldisegno si vede come l’effetto indotto dall’incli-nazione sia superiore nel sismografo orizzontaleche in quello verticale. L’effetto sull’orizzontaleva´ come il seno dell’angolo di inclinazione

Mentre per il sismografo verticale ladiminuzione della proiezione sull’asse verticalein presenza di un’inclinazione è:

Il diagramma di queste funzioni per pic-coli valori di α (fig. 5.5) mette in rilievo comeun sismografo orizzontale risenta molto di più dipiccole variazioni dell’inclinazione.

Le sospensioni descritte sono molto inte-ressanti, e potrebbero far vagheggiare la costru-zione di un sismografo ideale semplicementemisurando lo spostamento di una massa sospesain questo modo. La realtà è meno rosea. Lo spo-stamento di una massa sospesa in equilibrioindifferente è l’integrale doppio nel tempo delleforze che vi agiscono. Questo vuol dire che unaforza estremamente piccola agente sulla massamanda inevitabilmente il sistema alla saturazio-ne. Migliorando il sistema possiamo solo riman-dare un pochino l’inevitabile. Questo non fadiminuire l’utilità delle sospensioni descritteche aiutano enormemente nel progetto dellaparte meccanica del sismografo. In pratica chi


13

(4.5)

(4.6)

Figura 7 Sezione di una sospensione leaf-spring. La molla è costruita con una unica lamaelastica, naturalmente piana, che i vincolicostringono ad assumere la sagoma rappresen-tata nella figura. Come la sospensione Lacostepuò essere regolata perché il sistema abbia equi-librio indifferente.

Figura 8 Pivots ad attrito nullo. La sospensio-ne si basa sulla flessione di due lame d’acciaio.Per piccoli angoli la coppia di ritorno è linearecon l’angolo e la vita del dispositivo è indipen-dente dal numero dei cicli.

progetta un sismografo può desiderare di dimi-nuire la frequenza di risonanza (ω=(k/m)1/2). Laprima cosa che viene in mente è quella diaumentare le dimensioni della massa, ma, persostenere la massa è necessaria una molla piùrobusta, che, purtroppo ha una costante elasticapiù grande; siamo in un circolo vizioso dalquale, però, usciamo facilmente utilizzando lesospensioni descritte.

5. Un esempio storico, il sismografo Wood-Anderson

Il sismografo Wood-Anderson (fig. 11) èun esempio estremamente semplice di sensoresismico orizzontale. L’elemento sensibile è un

piccolo cilindro di rame (buon conduttore ama-gnetico) sospeso ad un filo teso quasi vertical-mente (praticamente l’antenato delle sospensio-ni garden-door); la parte del filo a contatto conil cilindro coincide con una generatrice del cilin-dro. Il cilindro è libero di oscillare attorno aduna posizione di equilibrio determinata dallatorsione del filo (in minima parte) e dalla forzadi gravità. Infatti il filo non è perfettamente ver-ticale, e, regolandone l’inclinazione si regola lacomponente della forza di gravità sul piano dioscillazione del cilindro. In pratica la posizionedi equilibrio e l’intensità della forza di richiamosono regolabili agendo sull’inclinazione dellostrumento rispetto alla verticale. Per essere uti-lizzabile il sistema deve essere smorzato.Questo è ottenuto con un magnete permanentein prossimità della parte mobile. L’effetto dellecorrenti di Foucault produce una forza che sioppone al moto del cilindro in modo proporzio-nale alla sua velocità. La posizione del cilindroera originariamente letta mediante una leva otti-ca, il cui fulcro era rappresentato da uno spec-chio solidale con il cilindro, ed il cui braccio ter-minava sul foglio di carta fotografica di un regi-stratore a tamburo (fig. 11). Nei modelli posti incommercio dalla Teledyne-Geotech, per raddop-piare l’ingrandimento senza allungare eccessi-vamente il braccio della leva ottica, il raggio diluce viene fatto riflettere due volte sullo spec-chio mobile attraverso una ulteriore riflessionesu uno specchietto fisso posto all’interno dellacustodia dello strumento.

6. Rivelatori di posizione e velocità

Dopo aver realizzato il nostro sistemameccanico del secondo ordine, il problema prin-cipale è quello di rivelare la posizione dellamassa sensibile rispetto al telaio. I primi sistemi


14

Figura 9 Effetto della variazione dell’inclinazione su un sismografo orizzontale ed un sismografo verticale.

Figura 10 Andamento delle accelerazioni suun sismografo verticale (linea blu) e su unsismografo orizzontale (linea rossa) per piccolevariazioni dalla verticale.

storicamente utilizzati sono i rivelatori di posi-zione ad amplificazione meccanica. In questisistemi una serie di leve trasmettevano, amplifi-candone lo spostamento, il movimento dellamassa sensibile a uno (o più) pennini scriventi.Avendo i sismografi delle masse rilevanti (peresempio una tonnellata, nel caso del sismografoWiechert) le forze in gioco erano tali da consen-tire l’azionamento dei pennini senza perturbaretroppo il movimento della massa.

Un rivelatore veramente indolore che(almeno in principio) può consentire amplifica-zioni arbitrariamente grandi è la leva ottica cheabbiamo appena visto nel sismografo Wood-Anderson.

Attualmente i sismografi sono dei trasdutto-ri segnale sismico →→ segnale elettrico, essi sonodivenuti leggeri e compatti e non richiedono parti-colari cure per l’installazione. Questa evoluzionetecnologica è dovuta allo sviluppo di adeguati tra-sduttori elettronici. Possiamo classificarli in elettri-ci (rivelatori a condensatore variabile), magnetici(LVDT, velocimetri magnetici) e ottici (rivelatoridi baricentro analogici (PSD) ed array CCD).

6.1. Rivelatore di posizione capacitivoLa geometria del sensore capacitivo è

descritta nella fig. 12Il sensore è formato da due armature soli-

dali con il telaio, poste a distanza d, tra le qualiè interposta una terza armatura, solidale con lamassa mobile (o, in alcuni casi, coincidente conessa). Le due armature fisse sono polarizzatecon un segnale alternato, ad una frequenzamolto più alta (per esempio > 1000 volte) dellafrequenza del segnale che si intende rivelare.

Il sistema di tre armature forma un siste-ma che può essere assimilato a due condensato-ri in serie c

1e c

2,

dove s esprime la superficie delle armature,assunta uguale per tutte e tre.

Il potenziale sull’armatura mobile Vu

èdato da:

che si vede essere una funzione lineare di x.Senza scendere nei dettagli della realizza-

zione elettronica cerchiamo di spiegare il signi-ficato dei blocchi di fig. 12. L’amplificatoreconnesso all’armatura mobile serve per adattarel’impedenza del segnale presente sull’armaturamobile a quello dei circuiti successivi.

Il rivelatore sincrono viene usato per lasua sensibilità alla fase del segnale. Infattiposizioni dell’armatura mobile simmetriche


15

Figura 11. Il sismografo Wood-Anderson.

(6.1.1)

(6.1.2)

(6.1.3)

rispetto al punto di mezzo forniscono valori ditensione identiche in modulo ma opposte infase. Il segnale in uscita dal rivelatore sincro-no possiede ancora una componente a pulsa-zione ω, ed il filtro passa-basso serve a rimuo-vere tale componente.

6.2. Rivelatore di posizione induttivoLVDT (Linear Variable DifferentialTransformer)

Questo rivelatore di posizione consiste inun trasformatore a nucleo mobile, con un avvol-gimento primario e due avvolgimenti secondari,secondo la geometria illustrata nella figuraseguente (fig. 13):

Come si vede il sistema è perfettamentesimmetrico e, se alimentiamo il primario con unacorrente alternata, sui due secondari dobbiamoottenere delle tensioni perfettamente identiche.Se colleghiamo i due secondari in serie in oppo-sizione di fase otteniamo che, con il nucleo alcentro la tensione di uscita è nulla. Il nucleo èmolto più lungo dell’avvolgimento centrale e,nell’intervallo di spostamento che dobbiamo

misurare, possiamo considerarlo sempre comple-tamente accoppiato con esso. In ogni trasformato-re la tensione sull’avvolgimento secondario è pro-porzionale alla tensione sull’avvolgimento prima-rio ed al rapporto tra il numero delle spire delsecondario e del primario. In un trasformatorecome quello riportato in figura, il numero dellespire del secondario che possiamo considerarefacenti parte del trasformatore sono quelle in cor-rispondenza del nucleo. Data la simmetria delsistema sono nulli i contributi dovuti all’accoppia-mento in aria (senza l’intervento del nucleo) tragli avvolgimenti, e i contributi dovuti al flussodisperso alle estremità del nucleo (uguale perentrambi le estremità). Siccome gli avvolgimentisono realizzati in modo che il numero di spire perunità di lunghezza sia costante, la forma della ten-sione in uscita dal trasformatore è:

Dove:

Φd flusso concatenato con i secondari oltrela fine del nucleo (uguale per le dueestremità)

Vsec tensione indotta sul secondarioVprim tensione sul primarion2sec numero di spire del secondo avvolgi-

mento secondario nelle quali è immersoil nucleo

n1sec numero di spire del primo avvolgimentosecondario nelle quali è immerso ilnucleo

n/lnumero di spire per unità di lunghezza degliavvolgimenti secondari

x spostamento del nucleo dal punto centrale


16

Figura 13 Rivelatore di posizione LVDT.Sopra è mostrato uno spaccato del dispositivo,mentre sotto si vede l’aspetto di un dispositivocommerciale. Il cilindro di dimensioni più pic-cole è il nucleo mobile.

(6.2.1)

Figura 12 Rivelatore di posizione capacitivo. Le due armature fisse sono polarizzate con tensionealternata in opposizione di fase. La tensione rivelata sull’armatura mobile è proporzionale alla posi-zione assunta da quest’ultima (vedi testo).

Si vede che la dipendenza dallo sposta-mento è lineare. L’elettronica richiesta per farfunzionare un LVDT è praticamente identica aquella descritta per il rivelatore capacitivo. Lasensibilità ottenuta con rivelatori capacitivi rag-giunge 10-10m. Con gli LVDT si raggiunge 10-9m.

6.3. Rivelatore di posizione ottico CCDSi tratta di un oggetto inconsueto, svilup-

pato presso l’INGV per la digitalizzazione distrumenti a leva ottica.

Il tamburo a carta fotografica, viene sosti-tuito da un array di sensori ottici. La disponibi-lità sul mercato di array lineari per il mercatodei fax e degli scanner rende questa soluzioneeconomica. Se si usa una luce laser per illumi-nare il sensore il sistema può essere semplice-mente reso immune alla luce ambiente con l’usodi un filtro interferenziale centrato sulla fre-quenza del laser.

La figura seguente (fig. 14) mostra loschema a blocchi del primo prototipo realizzato.

Nella figura appare un sensore a 5000pixels. Questo non vuol dire che la risoluzionedel sistema sia limitata ad 1/5000. L’elettronicautilizzata assieme al sensore ottico, e l’averposto un filtro diffusore in prossimità del senso-re ha permesso di portare la risoluzione ad1/40000.

Infatti l’elettronica cerca il punto centraledella distribuzione del punto luminoso sullasuperficie sensibile; aumentando le dimensionidel punto luminoso con il filtro diffusore (il cui

effetto è quello di produrre una distribuzione acampana della luce sul sensore) si aumenta ilnumero di punti sui quali effettuare il calcolo e,quindi, la precisione sul risultato. Tra i sistemiottici questo fornisce ottimi risultati stabili neltempo, al prezzo della complessità dell’elettro-nica. Infatti la bontà della risposta è legata quasiesclusivamente alla geometria del sensore.

6.4. Rivelatore di posizione ottico PSD(Position sensitive detector)

Questi sensori sono in grado di rivelarela posizione del baricentro di un punto lumi-noso proiettato sulla loro superficie sensibile(fig. 15).

Il meccanismo di funzionamento è estre-mamente semplice e, sebbene questi sensorinon possiedano l’accuratezza di un sensoreCCD (la linearità è pessima alle estremità), lafacilità d’uso li rende appetibili in molti casi. Ilsensore è formato da una lunga giunzione P-N(vedi figura) che può essere illuminata attraver-so una metallizzazione trasparente. Quando laluce colpisce la giunzione produce dei portatoriche danno luogo ad una corrente i. La correnteche fluisce nel cristallo P viene raccolta com-pletamente dalla metallizzazione trasparente,quella che fluisce nel cristallo N viene raccoltada due elettrodi posti alle estremità del cristalloattraverso i quali fluiscono due correnti (i

1ed i

2con i

1+i

2=i ). La conduzione attraverso il cri-

stallo, una volta allontanatisi dalla giunzione, èpuramente ohmica, e quindi è funzione della


17

Figura 14 Schema a blocchi del rivelatore di posizione ottico basato su una CCD. Un microcalcola-tore (DSP) calcola il centro della distribuzione della luce sull’elemento sensibile, e fornisce in uscitaun risultato numerico.

distanza degli elettrodi e della conducibilità delcristallo:

La seguente formulazione (6.4.2) mostracome dalle correnti sugli elettrodi 2 e 3 sia pos-sibile ricavare il punto di impatto dei fotonisulla giunzione.

6.5 Rivelatore di velocità elettromagneticoQuesto rivelatore estremamente semplice

si basa sulla legge di Lenz secondo la quale laforza elettromotrice indotta in un circuito è pro-porzionale alla variazione del flusso magneticoconcatenato:

Se si assembla la meccanica in modo cheil moto da rivelare produca una variazione linea-re del flusso concatenato ad una bobina (fig. 16)abbiamo uno dei più economici ed affidabili tra-sduttori che siano mai stati pensati. Una impli-cazione dell’uso di questo tipo di trasduttore èche la forza elettromotrice prodotta può far scor-rere una corrente nella bobina che, a sua volta,si traduce in una forza che si oppone al moto

della bobina stessa rispetto al magnete (secondalegge elementare di Laplace)

questa forza, dipendente dalla velocità si com-porta come una forza di attrito, che può essereregolata a piacimento variando dei parametrielettrici, e può essere utile per portare il sistemaoscillante esattamente allo smorzamento critico.La fig. 16 permette di effettuare qualche consi-derazione su alcuni particolari importanti nellacostruzione di un trasduttore di velocità.

La parte a sinistra della figura mostra ladisposizione delle linee di campo del magnetepermanente. Per convenzione le linee di camposono più fitte laddove è più intenso il campomagnetico. Chiamiamo ferro il corpo delmagnete e traferro lo spazio tra i poli dello stes-so. Il magnete viene costruito in modo che ilcampo magnetico sia il più omogeneo possibilenel traferro. Questo si traduce in una diminuzio-ne costante del campo nel ferro. Se il campo neltraferro è costante il gradiente del campo nelferro nella direzione dell’asse del magnete èanch’esso costante. Quando la bobina si com-porta come bobina generatrice sfrutta il gradien-te lineare nel ferro; se prendiamo come riferi-mento la figura vediamo che solo la componen-te verticale del campo magnetico ha effetto sulflusso concatenato con la bobina, e che il camponel traferro è orizzontale. Quando la bobina sicomporta come bobina motrice quello che hagioco è il campo costante nel traferro. È da nota-re che l’unica sede di un gradiente del campomagnetico nella direzione dell’asse della bobinaè localizzato nel ferro, mentre è nullo nel trafer-ro. Quindi, nella geometria adottata il flusso delcampo che attraversa la bobina (usata comegeneratore) non dipende dalla sezione della


18

Figura 15 Rivelatore di posizione ottico analogico PSD. La posizione del punto luminoso sulla super-ficie del sensore è funzione dei rapporti delle correnti sugli elettrodi (vedi testo).

(6.4.1)

(6.5.1)

(6.5.2)

(6.4.2)

bobina (l’area della base del cilindro si cui èavvolta). Allo stesso modo (usando la bobinacome motore) la forza indotta dal passaggio dellacorrente non dipende dal diametro della bobina,come farebbe pensare la (14). Infatti, ad unaumento del diametro corrisponde un aumentodella lunghezza, ma corrisponde nella stessamisura una diminuzione dell’intensità del campomagnetico.

In pratica si ottiene che, indicando con B0

ilcampo nel traferro:

Mentre nel ferro la componente verticaledel campo (indicando con il segno positivo dellavariabile y l’allontanamento dalla base del magne-te e con y

0l’altezza del magnete) risulta:

La forza elettromotrice indotta risulta:

La forza indotta dalla corrente nel caso diutilizzazione come bobina motrice:

Il rapporto B0/y

0= G appare come coeffi-

ciente del motore e del generatore. Questo ci per-mette di scrivere in maniera semplice la forza fre-nante che la bobina esercita in funzione dellavelocità:

La dipendenza lineare della forza dallavelocità rende possibile considerare la forza comeun attrito viscoso da sommare al termine di primogrado nella (3.1). Se consideriamo come unicotermine di attrito viscoso quello indotto dalla resi-stenza elettrica R e il sistema completamentesmorzato (ξ=1), otteniamo la formula (A3):

Che lega il coefficiente della bobina allaresistenza per ottenere lo smorzamento critico.

7. Un caso pratico: il sismografo S13

Il sismografo S13 (fig. 17) è un bell’e-sempio di sismometro a traduzione elettroma-gnetica; la sua costruzione è antecedente al1973, ma, a dispetto dell’età continua ad essereun buono strumento, sopratutto in virtù dellasemplicità (si tratta di un sistema massa-mollavicino al caso ideale) che ha il vantaggio diessere facilmente compreso, di essere affidabilee di interporre tra l’osservatore ed il fenomenoda misurare pochi condizionamenti elettronici.Il sistema possiede una massa di 5 kg che soli-


19

Figura 16 Rivelatore elettromagnetico di velocità. Il magnete è costruito in modo da avere flussocostante nel ferro (e gradiente costante nel traferro). La figura a sinistra mostra, in alto la bobina e, inbasso il magnete, dove sono evidenziate le linee di forza. A destra la bobina è posta nella sua posizio-ne di lavoro. La fem ai capi della bobina è proporzionale alla velocità con cui la bobina si muove nelladirezione dell’asse del magnete.

(6.5.3)

(6.5.4)

(6.5.5)

(6.5.6)

(6.5.7)

(6.5.8)

dale al magnete permanente.

Tra le espansioni polari del magnete sonocollocate 2 bobine: una bobina trasduttrice divelocità (ai cui capi troviamo una fem propor-zionale alla velocità della massa sensibile (leggedi Lenz) ed una bobina motrice che serve peresercitare elettricamente una forza sulla massamobile (legge di Laplace). I parametri che ven-gono resi noti dalla casa costruttrice sono:

Parametri dell’oscillatore meccanicoMassa mobile 5 Kg ±1%Frequenza propria di risonanza regolabile da0.75 a 1.1 Hz

Parametri dei trasduttoriBobina generatrice (trasduttore velocità)Costante di generazione 629 V/(m/s) ± 2%Resistenza 3600 Ω

Bobina motrice (trasduttore corrente-forza)Costante di mozione 0.1975 ± 2% N/mResistenza 23 ±3 Ω

Questo strumento dispone di due sistemidi molle. Uno è utilizzato per contrastare la forzadi gravità, l’altro per vincolare la massa a scor-rere sulla sua traiettoria e per stabilire il periododi risonanza; il coefficiente elastico del secondosistema di molle può essere leggermente modifi-cato dall’utente, mentre il primo sistema di mollepuò essere rimosso quando si desidera utilizzarelo strumento come sensore orizzontale.

8. Estensione della risposta di un sismo-grafo: il metodo Lippmann

La cosa che un progettista cerca di farequando disegna un sismografo è quello di ottene-re uno strumento con una funzione di trasferi-mento semplice: l’ideale è che l’uscita forniscauna risposta direttamente proporzionale al misu-rando (spostamento velocita' o accelerazione) inun esteso intervallo di frequenza.

La reazione negativa (come vedremonel prossimo paragrafo) prevale nel campo deisismometri a larga banda, tuttavia esiste unaricetta che permette di costruire sismografi abanda ragionevolmente grande senza ricorre-re, almeno apparentemente, a questo metodointrinsecamente complicato.

La genialità del metodo Lippmann con-siste nella estrema semplicità e nella possibi-lità di applicarlo ad un sismografo con trasdut-tore elettromagnetico senza operare alcunamodifica meccanica. La risposta generalmentepreferita per un sismografo a larga banda èquella in velocità. La risposta in velocità di ungeofono (pendolo meccanico con trasduttoredi velocità elettromagnetico) è riportata in fig.18 ( traccia in rosso con ξ=1/√2=0.707).Modificando il coefficiente di smorzamento siottengono delle nuove curve di risposta, sem-pre riportate in fig. 18.

In fig. 18 appare il diagramma di ungeofono per ξ=1/√2, ξ=10 e ξ=50. La curva


20

Figura 17 Il sismografo S13 utilizzato comeorizzontale e verticale.

OPERATING CHARACTERISTICS

Mode of Operation

Natural frequency

Tilt

Inertial mass

Temperature Range

Transducer

Type

Damping

Generator constant

Coil resistance

Maximum Mass Travel

Calibration Coil Resistance

Dynamic range

Convertible–vertical and horizontal

0.75-1.1 Hz, typical 1 Hz

Operates within 4º of vertical at 0.8 Hz

5.0 kg (11.0 lbs.)

-51 to +60 ºC (-60 to +140 ºF)

Moving coil (velocity)

Electromagnetic

629 V/(m/sec)

3600 W s (consult factory for other values)

±3.0 mm (0.12 in.)

23 W s, maximum current 100 mA, calibra-

tion coil well separated from the signal coil

164 dB@ 1 Hzand 184 dB@ 100 Hz

PHYSICAL CHARACTERISTICS

Dimensions

Height

Diameter

Net Weight

Shipping Data

Weight

Volume

38.1 cm (15 in.) over handle

16.8 cm (6.63 in.)

10.4 kg (23 lbs.)

13.6 kg (30 lbs.)

0.036 m_(1.3 ft_.)

per ξ=50 è particolarmente attraente: è assimi-labile ad una retta per circa tre decadi, e lapendenza è tale che può essere facilmentecompensata con un circuito RC. Purtroppo coef-ficienti di smorzamento così elevati non posso-no essere facilmente ottenuti. Abbiamo visto nelparagrafo precedente che il coefficiente di smor-zamento viene ottenuto, in un geofono, ponendouna resistenza in parallelo alla bobina di trasdu-zione. Nel caso del sismografo S13 appena esa-minato, possiamo calcolare, a partire dai datimessi a disposizione dalla casa costruttrice:

dove Rext

indica la resistenza che possiamofisicamente porre in parallelo all’uscita del tra-sduttore di velocità, mentre 3600 (valore in Ω)indica la resistenza della bobina del trasduttore divelocità. Ora vediamo facilmente che anche lapiù piccola resistenza che possiamo porre inparallelo al sismografo (0 Ω) ci permette di otte-nere uno smorzamento ξ=1.75, ben lontano daivalori in fig. 18. Naturalmente si può immagina-re di costruire un avvolgimento ideale (la super-conduzione potrebbe venire in aiuto), con dellenotevoli difficoltà pratiche. Per ottenere da unS13 un coefficiente di smorzamento pari a 50volte la resistenza totale (avvolgimento + resi-

stenza esterna) dovrebbe essere di 126 Ω. Unaresistenza esterna all’avvolgimento capace di por-tare la resistenza totale a questo valore dovrebbeessere di 3600 + R

ext= 126, R

ext= -3474.

Una resistenza con un valore negativo ècertamente un componente esotico, ma non èirrealizzabile (A4). Esistono circuiti elettroniciin grado di comportarsi come resistenze negati-ve. Costruendo il circuito corretto e collegando-lo alla bobina di trasduzione possiamo ottenerecoefficienti di smorzamento arbitrariamente alti.È facile convincersi che, nel rispetto della con-servazione dell’energia, una resistenza negativafornisce energia al circuito dove viene colle-gata. Un coefficiente di smorzamento altorende piccola la velocità della massa sensibiledel sismografo. In pratica una resistenza nega-tiva è un dispositivo che misura la velocitàdella massa utilizzando le caratteristiche digenerazione della bobina del geofono e lafrena utilizzandone le caratteristiche motrici.Si tratta di un esempio di reazione di velocità,che verrà esaminata nel paragrafo successivo,nella quale il dispositivo di misura ed il dispo-sitivo attuatore coincidono.

9. Sismografi a reazione negativa

L’introduzione massiccia dell’elettronicaanche all’interno dei sensori ha portato alla


21

Figura 18 La curva in rosso rappresenta la risposta in frequenza di un geofono (ξ=1/÷2) eccitato conun segnale di velocità. Le curve in blu e verde mostrano come la curva di risposta varia ponendo rispet-tivamente ξ=10 e ξ=50. La curva in viola rappresenta la risposta filtrata attraverso un filtro passa-bassocon un polo per ω=0.1 s-1. Dopo questo trattamento la risposta dello strumento diviene piatta sulle velo-cità in un cospicuo intervallo di frequenza (quasi 3 decadi).

(8.1)

costruzione di strumenti che, a dispetto delledimensioni ridotte esibiscono caratteristicheeccezionali. Questo viene ottenuto grazie allareazione negativa. Iniziamo con un discorsoqualitativo. Immaginiamo una massa sorrettada una sospensione Lacoste, che si trova quin-di in equilibrio indifferente.

La posizione della massa viene costan-temente letta da un trasduttore di posizione(per esempio un trasduttore capacitivo) e cor-retta attraverso un trasduttore di forza del tipomagnete permanente – bobina (fig. 19).

Possiamo immaginare di costruire l’e-lettronica intorno al sistema in modo che essoreagisca annullando gli spostamenti dellamassa. Se riusciamo a far questo la forza cheil sistema elettronico esercita per mantenere lamassa ferma è proporzionale all’accelerazionesubita dalla massa, nel modo più semplice,senza insidiose funzioni di trasferimento. Laforza appare come una grandezza elettrica(corrente) sulla bobina motrice, e la sua misu-ra ci fornisce una misura dell’accelerazione.Però, se realmente il nostro sistema di reazio-ne riesce a tenere ferma la massa l’avere usatouna sospensione pregevole come la Lacostesembra inutile: se la massa sta ferma non sfrut-ta i vantaggi di una sofisticata sospensione,che può essere sostituita da qualcosa di piùsemplice.

Queste considerazioni hanno fatto emerge-re due considerazioni fondamentali:- L’uso della reazione permette di modificare

(estendere) la risposta di un sistema mecca-nico.

- I difetti di una meccanica povera possono esse-re compensati da un’elettronica adeguata.

Un sistema reazionato può essere rap-presentato dallo schema a blocchi (fig. 20).

G(s) è la funzione di trasferimento delramo diretto, H(s) è la funzione di trasferimen-to del ramo di reazione. La funzione di trasfe-rimento di tutto il sistema reazionato è data da:

Nel caso di un sismografo reazionato ilramo diretto comprende sicuramente la fun-zione di trasferimento della meccanica, men-tre il ramo di reazione è esclusivamente elet-tronico. Osservando la (9.1) possiamo rifarela considerazione sul miglioramento dellecaratteristiche di un sensore meccanico graziealla reazione. Se H(s) (e anche parte di G(s))dipendono esclusivamente dalla parte elettro-nica si può immaginare di progettare H(s) inmodo che G(s)·H(s) >> 1. In questo caso F(s)= 1/H(s), il che mostra che una opportunascelta dell’elettronica fa diminuire l’influenzadella meccanica.


22

Figura 19 Sismografo a reazione negativa. Il segnale di posizione della massa ottenuto attraverso untrasduttore capacitivo, viene inviato alla bobina motrice che esercita una forza sulla massa stessa.

Figura 20 Tipico schema a blocchi di un siste-ma reazionato; G(s) è detto ramo diretto, mentreH(s) è detto ramo di reazione.

(9.1)

10. Ricette per la reazione negativa

Nel paragrafo precedente si è cercato digiustificare come l’uso della reazione negativasia vantaggioso per costruire sismografi di qua-lità a partire da una meccanica modesta. La fig.20 (e la corrispondente (9.1)) mostrano lo sche-letro di un sistema a reazione negativa, mentre lafig. 19 mostra lo schema di principio di unsismografo dove, per la correzione della posizio-ne della massa, viene utilizzato lo stesso segnaledi posizione.

La risposta ad un segnale di accelerazionedi un pendolo privo di reazione negativa è statodescritto nella (3.1):

dove Y(s) rappresenta lo spostamento della massarispetto al telaio e X(s) l’accelerazione a cui ilsistema viene sottoposto. Esaminiamo che cosasuccede introducendo la (10.1) nella formulagenerale della reazione (10.2)

Il risultato della (10.2) è una formula prati-camente identica alla (10.1), alla quale vieneaggiunto un termine H(s)•a•ω

02. H(s) è, a sua volta,

una funzione di trasferimento che assumiamooperi sul segnale di spostamento. A seconda dellaforma assunta da H(s) la funzione di trasferimentoad anello chiuso ha dei comportamenti diversi.

10.1. Reazione sulla posizioneIn questo caso H(s) = b (costante) ed il ter-

mine b•a•ω02 va a sommarsi al termine ω

02 che è

quello che descrive la forza di richiamo dellamolla. Modificando il valore di b modifichiamo laforza di richiamo del nuovo sistema. Può essereinteressante notare che la costante di richiamodella nuova “pseudo-molla” può essere, in questocaso, modificata arbitrariamente in segno e inten-sità. Se si mantiene il segno per avere una reazio-ne negativa (il sistema si oppone agli spostamenti),

il coefficiente della molla può essere aumentato;Se si cambia il segno la reazione aiuta gli sposta-menti e la forza prodotta agisce contro la molla,fino ad annullarne gli effetti. Abbiamo prodottoelettronicamente una sospensione astatica.Aumentare la reazione oltre questa condizione diuguaglianza porta il sistema all’instabilità: quan-to più la molla è lontana dalla posizione centrale,tanto più tende ad allontanarsene.

La fig. 21 mostra la risposta in frequenzadi un sistema reazionato al variare del guadagnodell’anello di reazione. L’aumento apparentedella rigidità della molla causa un aumento dellafrequenza di risonanza, una diminuzione del gua-dagno ed una diminuzione del coefficiente dismorzamento, in accordo con la formula (3.1) e lesuccessive.

10.2. Reazione sulla velocitàIn questo caso H(s) = b•s, ed il termine

s•b•a•ω02 va a sommarsi al termine 2ξω

0s, che

descrive il termine di attrito viscoso: una reazionesulla velocità permette di modificare elettronica-mente il termine di smorzamento.

La fig. 22 mostra la risposta di un sistemareazionato sulla velocità al variare del guadagnodella reazione. La cosa notevole è che se si consi-dera la risposta alle velocità del terreno di un pen-dolo con reazione sulla velocità della massa rispet-to al telaio otteniamo un diagramma che mostrauna zona di risposta piatta alle velocità che incre-menta all’aumentare dell’entità della reazione. Adesempio, se prendiamo un sismografo come l’ap-pena descritto S13, preleviamo il segnale dallabobina di trasduzione e lo portiamo indietro allabobina motrice, otteniamo una reazione sulla velo-cità; un integratore (o meglio un quasi integratorecon F(s)=1/(s+a)) all’uscita della bobina di tra-sduzione trasformerebbe l’S13 in un sismografo alarga banda con risposta piatta sulle velocità (inrealtà una soluzione di questo tipo è improponibile a causa dell’esiguo valore del coefficienteforza/corrente della bobina motrice).

10.3. Reazione sulla accelerazioneIn questo caso H(s) = b•s2, ed il termine

s2•b•a•ω0 va a sommarsi al termine s2, che descri-

ve la forza esercitata dalla massa a causa dell’ac-celerazione. Una reazione sull’accelerazione cipermette di controllare elettronicamente l’entitàapparente della massa dell’oscillatore ad anellochiuso. Nella fig. 24 è riportata la risposta in fre-quenza di un pendolo con razione di accelerazio-ne. I picchi che denotano la frequenza di risonan-za si spostano verso sinistra all’aumentare delparametro b, mentre contemporaneamente dimi-nuisce il coefficiente di smorzamento.


23

(10.1)

(10.2)


24

Figura 21 Risposta di un sistema con reazione sulla posizione parametrizzato con il coefficiente diguadagno di reazione.

Figura 22 Risposta di un sistema con reazione di velocità parametrizzato con il coefficiente diguadagno di reazione.

Figura 23 Risposta alla velocità di un sismografo con reazione negativa sulla velocità.

11. Un esempio pratico: il sismometroSTS-1

L’STS-1 è un esempio di sismometro a rea-zione negativa. Una massa di 600 grammi è sospe-sa con una leaf-spring, posta nel vuoto e scherma-ta magneticamente ed elettricamente. In questomodo la massa è sospesa indisturbata in equilibrioindifferente; non esiste un termine di smorzamen-to (non c’è aria) e non esiste la forza di richiamo(grazie alla leaf-spring). In pratica nella (3.1)scompaiono i termini contenenti spostamento evelocità.

Molto generosamente (cosa che purtropponon avviene ormai quasi più) Wielandt eStreckeisen hanno pubblicato la descrizione com-pleta e dettagliata del loro sismografo (fig. 25).

Nella figura, come ci aspettavamo, nonviene evidenziato alcun sistema oscillante mec-canico (grazie alla leaf spring), ma in compensoc’è un fantasioso sistema di retroazione, che cer-chiamo di analizzare. Per far questo riproponia-mo la fig. 20 con uno schema a blocchi più tradi-zionale (fig. 26).

I differenti colori dei tratti che collegano ivari blocchi indicano la grandezza fisica in giocoin quel punto del diagramma. Come ingresso delsistema si è preso lo spostamento del terreno. Nelcaso della leaf-spring (sospensione indifferente)questo è lecito. Il blocco –1 indica che un movi-mento di ascesa del terreno causa uno sposta-mento di discesa della massa rispetto al telaio. Unaltro blocco che influenza lo spostamento dellamassa è il convertitore corrente forza costituitodalla bobina motrice. In questo blocco avvieneuna trasduzione corrente spostamento nelseguente modo:

Essendo la massa sospesa in equilibrioindifferente l’equazione che ne governa il motopuò essere scritta come:

Passando alla trasformata di Laplace:


25

Figura 24 Risposta all’accelerazione di un sismografo con reazione negativa sull’accelerazione.

Figura 25 Schema di principio del sismografo STS-1.

(11.1)

(11.2)

I blocchi s·C, 1/R1

e 1/(s·R2·τ) sono

dovuti ai componenti elettrici. Se decidiamoche l’uscita del nostro sistema è la BRB

outdi

fig. 25, abbiamo (vedi fig. 20).

Combinando la (11.4) e la (11.5) secondola (9.1) otteniamo:

La F(s) è la risposta allo spostamento delsismografo STS-1. La risposta alla velocità, èF(s)/s. I valori reali delle grandezze che com-paiono nel sistema sono:

M = 0.6 kg

C = 10·10-6 Fσ = 24 N/Aa = 80.000 V/mτ = 3.2 sR

1= 220.000 Ω

R2

= 320.000 Ω

Nella fig. 27 è riportato il diagramma del-l’attenuazione in funzione del periodo (cosainconsueta per coloro che si occupano di elet-tronica, ma familiare ai sismologi) per la (11.7)con i valori assegnati (in rosso) e per valorimodificati aumentando il valore di R

1di 18 volte

ed il valore di τ di 182 volte (in blu).Il diagramma continuo mostra una rispo-

sta piatta sulle velocità fino a 20 s, quello modi-ficato risponde fino ad oltre 300 s. Questa rispo-sta è quella detta VBB (Very Broad Band) versola quale i sismografi tendono ad evolversi.

Ancora una considerazione sulla rispostadel sismografo STS-1-VBB. Il plot della funzio-ne F(s)/(s2) fornisce la risposta in accelerazionedello strumento. Questo diagramma è stato dise-gnato e sovrapposto al diagramma del rumoresismico (come mostrato nella fig. 1). Il risultatoè riportato nella fig. 23. Si può notare come larisposta del sensore sia stata progettata perché ilmassimo della sensibilità corrisponda al minimodel rumore sismico.

12. Sensori esotici

Tra i trasduttori di velocità, ne esiste uno(non citato precedentemente) che promette didare vita ad una generazione di nuovi sismome-tri. Si tratta del trasduttore MET (MolecularElectronic Transfer), un metodo elettrochimico


26

Figura 26 Schema del principio del sismografo STS-1 disegnato con blocchi funzionali. Le grandez-ze fisiche che vengono trasferite dai vari blocchi appaiono in colori diversi: in rosso gli spostamenti, inblu le tensioni ed in verde le correnti.

(11.6)

(11.4)

(11.5)

(11.3)

(11.7)

che permette di costruire trasduttori di velocità.Due coppie di elettrodi (reticoli di materiale chi-micamente inerte) sono disposti secondo loschema di fig. 29 ed immersi in una soluzioneelettrolitica. La corrente fornita agli anodi dallasorgente per la polarizzazione (una pila nel dise-gno) fluisce, attraverso i catodi, nel convertitorecorrente tensione ad ingresso differenziale. Lasimmetria di costruzione del sistema fa si che lecorrenti sui due catodi siano identiche, e l’u-scita del convertitore differenziale sia nulla.Questo avviene in assenza di moto del fluido.Se il fluido è in movimento il flusso della cor-rente viene modificato da un apporto (o sottra-zione) meccanico di portatori, e la differenza dicorrente, ora non nulla, viene rivelata dal con-vertitore differenziale tensione-corrente. Poichéla quantità di portatori messi in gioco nel tempoè proporzionale alla velocità del fluido, il tra-

sduttore elettrochimico si comporta come untrasduttore lineare di velocità.

Nonostante la inconsueta tecnica realizza-tiva il dispositivo in fig. 29 è un pendolo con tra-sduttore di velocità, analogo al pendolo mecca-nico massa-molla-trasduttore elettromagnetico.La massa è ovviamente il liquido che riempie ilrecipiente; lo smorzamento è fornito dall’attritodel liquido lungo le pareti del recipiente ed attra-verso gli elettrodi ed i setti porosi; la forza ela-stica di richiamo è fornita dalle membrane alleestremità del recipiente contenente il liquido.

La sua risposta è quella descritta nel dia-gramma Igv(f) della figura 5.

Anche su questa singolare ricetta disismometro si possono operare allargamenti dibanda come quelli descritti in precedenza.Sfruttando il grande guadagno di conversionetensione/velocità ed il basso rumore intrinseco


27

Figura 27 Diagramma della risposta in frequenza dei sismografi STS-1 (rosso) ed STS-1 VBB (blu).

Figura 28 La risposta in accelerazione di un sismografo a larga banda confrontato con lo spettro inaccelerazione del rumore sismico.

dei trasduttori MET, si può utilizzare una ver-sione supersmorzata per ottenere l’ appiattimen-to della risposta alle velocità (come descrittonella fig. 18), tecnica adottata dalla russa CME.Un modo originale di operare un feedback divelocità (adottato dalla americana PMD) è quel-lo di esercitare una forza sul fluido con tecnicamagneto-idrodinamica. Un campo magneticoortogonale all’asse del sismografo fa sì che unacorrente (ortogonale sia all’asse che al campomagnetico) eserciti una forza lungo l’asse delsismografo. Collegando l’uscita del convertitoredifferenziale ad un generatore controllato di cor-rente otteniamo un feedback di velocità, ed uncomportamento come quello descritto in fig. 23.

13. Chi davvero volesse conoscere queste cose…

...potrebbe consultare il sito:

http://www.ifg.tu-clausthal.de/java/seis/scal_app-e.html

Sono anche molto istruttivi i siti delle ditte:

http://www.geoinstr.comhttp://www.kinemetrics.comhttp://www.lennartz-electronic.dehttp://www.passcal.nmt.edu/instrumentation/Sensor/sensor_info.html

un pò più avari di informazioni i siti:

http://www.cmesci.rbcmail.ruhttp://pmdsci.home.att.net

Bibliografia

La bibliografia sull’argomento trattato éestremamente vasta, perciò possiamo suggeriredelle letture sicuramente illuminanti (siamo statiilluminati anche noi):

Horowitz and Hill, The art of electronics. CambridgeUniversity Press.

Scherbaum, F. (1996), Of poles and zeros : funda-mentals of digital seismology. ModernApproaches in Geophysics: v. 15). KluwerAcademic Publishers (Dordrecht, Boston,London) 255 pp.

Usher, M.J., R.F. Burch and C. Guralp (1979), Wide-band feedback seismometers, Physics of earthand planetary interiors 18, pp. 38-50.

Usher, M.J., C. Guralp and R. F. Burch (1978), Thedesign of miniature wideband seismometers,Geophys. J. R. Astr. Soc. 55, 605-613

Wielandt, E. and G. Streckeisen (1982), The leaf-spring seismometer: design and performance,Bull. Seis. Soc. Am., vol. 72, No 6, pp. 2349-2367.


28

Figura 29 Esempio di trasduttore MET applicato ad un sismografo. Il recipiente visualizzato in unasezione passante per l’ asse di sensibilità è riempito con un elettrolito e trattenuto alle estremità da duemembrane elastiche. La velocità del moto del liquido è rivelata dall’ insieme di elettrodi che costitui-sce il trasduttore MET (vedi testo).


29

Appendici

A1. Determinazione del coefficiente di smorzamento

Coefficiente di smorzamento. Quale lascelta migliore? Sono analizzati alcuni metodiche forniscono risultati simili (ma non identici).Tutte le considerazioni che facciamo qui sonorelative ad un pendolo pilotato con un segnale diaccelerazione.

Errore minimo sulla funzione di trasferimen-to (modulo)

Si definisce una funzione di riferimentoI(ω) che rappresenta il sistema ideale, ed unafunzione di errore, proporzionale al modulodella differenza della funzione di trasferimento,Q(ξ,ω), e del riferimento, integrata su tutte lefrequenze:

ponendo I(ω) = 1 la funzione di errore diviene:

Errore minimo sulla risposta al gradino uni-tario (modulo)

Analogamente alla funzione precedenteE

1(ξ) rappresenta l’errore totale valutato dal

confronto della risposte nel tempo del sismo-grafo rispetto al gradino eccitante (1 per t>0).

L’integrazione di E1(ξ) e di E(ξ) è stato

effettuato numericamente (la presenza del valo-re assoluto rende gli integrali discontinui e laloro integrazione analitica difficile), ed i risulta-ti sono rappresentati nella fig. A1. Naturalmenteil risultato numerico non è privo di errori, ma èconfortante che nei limiti dell’errore i due mini-mi coincidano (ξ=0.67).

Errore minimo su funzione di trasferimento erisposta (valore quadrato)

Se modifichiamo le funzioni di erroresostituendo al valore assoluto il quadrato, otte-niamo:

(A1.1)

(A1.2)

Figura A1 diagramma delle funzioni di errore(minimo modulo) della funzione di trasferimen-to e della risposta all’impulso in funzione delcoefficiente di smorzamento.

(A1.3)

(A1.4)

(A1.5)

Le cui rappresentazioni grafiche, otte-nute numericamente sono riportate in fig. A2.

Per la F(ξ) si può trovare una soluzio-ne analitica

Per la quale si può mostrare la presenza diun minimo in ξ=0.5 (come mostrato in fig. A2).

Assenza di massimi della funzione di trasferimento

La funzione di trasferimento presenta deimassimi in dipendenza dall’entità del coefficien-te di smorzamento, come mostrato in fig. A3.

In fig. A3 si nota come, all’aumentare delcoefficiente di smorzamento l’entità del massi-mo diminuisca e la sua posizione si sposti versovalori maggiori di ω. Dalla soluzione dell’equa-zione dell’oscillatore noi sappiamo che per ξ=1la componente oscillante scompare, ed il sistemaha soluzioni esponenziali. Sicuramente in questocaso il valore della funzione di trasferimento noneccede il riferimento. Dall’esame della fig. A3sembra dover esistere un valore per il quale larisposta del sistema non eccede il valore di rife-rimento anche per ξ<1. Il coefficiente di smorza-mento per il quale questo non succede è quelloche non ha massimi se non all’infinito.

Derivando la 3.16 rispetto ad ω ed ugua-gliandola a 0 otteniamo la posizione dei mas-simi in funzione del coefficiente di smorza-mento in unità ω:

che mette in evidenza come il primo valore di ξper il quale la funzione di trasferimento non hamassimi (tranne che all’infinito) sia 1/√2.

A2 Determinazione sperimentale delcoefficiente di smorzamento

Esiste una semplice misura effettuabilesul campo per la determinazione del coefficien-te di smorzamento semplicemente osservandole oscillazioni di un sismografo o di un geofo-no. La misura prescinde dal modo in cui il


30

Figura A2 Diagramma delle funzioni di errore(minimo quadrato) della funzione di trasferi-mento e della risposta all’impulso in funzionedel coefficiente di smorzamento.

Figura A3 La rappresentazione in scala bili-neare della funzione di trasferimento evidenziala presenza dei massimi ed il loro spostementoverso le alte frequenze all’aumentare del coeffi-ciente di smorzamento.

2211

)(ξ

ξω−

=

Figura A4 La posizione dei massimi (ordinate)in funzione del coefficiente di smorzamento(ascisse). La funzione ha un asintoto verticaleper ξ=1/√2.

(A1.6)

sismografo è stato eccitato e dal tipo di trasdut-tore utilizzato (purché sia lineare, naturalmen-te!). Dalla 3.6 abbiamo visto come la rispostadi un sistema del secondo ordine sia rappresen-tabile con un esponenziale decrescente per unafunzione goniometrica. Se deriviamo unarisposta di questo tipo otteniamo ancora unandamento descrivibile come prodotto di unafunzione goniometrica dello stesso periodo perun esponenziale con lo stesso esponente.Questo ci serve per giustificare il fatto che ilmetodo che stiamo per descrivere funziona siaper i pendoli che per i geofoni. La 3.6 può esse-re riscritta come:

rispetto alla 3.6 abbiamo rimosso il terminecontinuo (che non influenza l’andamento tem-porale) e inglobato le costanti in un unico ter-mine A. La presenza del termine oscillante dipulsazione ω

nci permette di campionare l’e-

sponenziale decrescente ad intervalli regolariguardando i massimi (e minimi) locali dellafunzione, che distano tra loro di un semiperio-do T/2=π/ω

d. Il rapporto tra un massimo (mini-

mo) M(t) ed il minimo (massimo) successivoM(t+T/2) è dato da:

dove è stata usata la 3.7 che lega la pulsazionesmorzata ω

dalla pulsazione naturale.

È da notare come la differenza tra i duemassimi consecutivi venga a dipendere esclusi-vamente dal coefficiente di smorzamento.Quando ξ=0.707 M(t)/M(t+T/2)=23.1.

Ponendo ∆=ln(M(t)/M(t+T/2)) si ha:

A3. Relazione tra la costante del genera-tore in un trasduttore di velocitàelettromagnetico e la CDR (criticaldamping resistor)

La 6.5.8 è una relazione valida per ognigeofono dove vengono legate la resistenza per

ottenere lo smorzamento critico e la costantedel generatore del trasduttore elettromagneti-co. Immaginiamo di eccitare il geofono con ungradino unitario. Questo equivale ad operaresulla molla il lavoro:

Tutta l’energia immagazzinata nellamolla deve essere uguale all’energia che si dis-siperà nella resistenza (l’energia è la potenza(V2/R) per il tempo):

Queste considerazioni debbono essereeffettuate nella condizione di smorzamento cri-tico, cioè ξ→1. Le A3.1 e A3.2 possono essereuguagliate sostituendo al posto della x(t) ilvalore dato dalla (2.6), ed utilizzando per k ilvalore desunto dalla (2.3) ottenendo:

E uguagliando i risultati per i due diver-si valori di L (A3.5)

otteniamo la relazione che lega la costante delgeneratore alla resistenza di smorzamento critico:


31

(A2.1)

(A2.2)

(A2.3)

(A3.1)

(A3.2)

(A3.3)

(A3.5)

(A3.6)

(A3.4)

.

.

A4. Coefficiente di generazione e coeffi-ciente motore

In tutte le considerazioni effettuate finorariguardanti i trasduttori elettromagnetici si è sottin-tesa l’ uguaglianza del coefficiente di generazione:

e del coefficiente motore:

Qui viene data una semplice giustifica-zione di questa uguaglianza:La scrittura dimensionale delle A4.1 e A4.2:

mostra già che i due coefficienti hanno le stessedimensioni:

Se immaginiamo di collegare il dispositi-vo ad un generatore di tensione e di applicare uncarico meccanico sulla parte mobile ci aspettia-mo che la potenza elettrica V•I eguagli la poten-za meccanica f•v .

Combinando le A4.1 con le A4.2 otteniamo :

La A4.2 è vera soltanto se a=b

A5. Resistenze negative

La resistenza negativa è un singolare ele-mento circuitale con un comportamento appa-rentemente “surreale”. Se mettiamo una resi-stenza R in serie ad una resistenza –R, otteniamo

una resistenza nulla; se mettiamo R in paralleloa –R otteniamo una resistenza infinita.Naturalmente questo non può essere ottenutocon un componente discreto, ma con un circuitoelettronico. La resistenza negativa che descri-viamo fa parte di una famiglia di circuiti chia-mati NIC (negative impedence converters), lacui semplice rappresentazione è data in fig. A5.

L’impedenza presentata ai morsetti delcircuito si comporta come l’impedenza Z cam-biata di segno. È facile giustificare questo com-portamento. Le equazioni che descrivono il cir-cuito di fig. A5 sono:

La prima descrive il circuito amplificato-re non invertente, il cui guadagno è regolato daR

be Z; la seconda descrive la corrente che corre

nel morsetto di ingresso, e che è determinatasolo da R

ae dalla differenza V

a-V

u. Risolvendo

la seconda equazione rispetto Vu, ed uguaglian-do otteniamo:

che mostra come il rapporto tensione/correntedell’ingresso sia proporzionale all’impedenza Zcambiata di segno.

A6. Il metodo di Lippmann applicato all’ S13

Descriviamo un esperimento condottoapplicando il metodo di Lippman al sensore S13,ampiamente descritto in precedenza. La figura


32

(A4.1)

(A4.3)

Figura A5 Schema di un circuito NIC(Negative Impedence Converter).

(A5.1)

(A5.2)

(A4.2)

seguente (fig. A6_1) illustra lo schema di princi-pio dell’elettronica realizzata. Il NIC (NegativeImpedance Converter, vedi paragrafo preceden-te) é collegato ad una rete di compensazione checomprende la resistenza di smorzamento, lacapacità del cavo e l’ induttanza della bobina.

Il condensatore di compensazione annul-la la capacità del cavo e permette al circuito diessere stabile per lunghi cavi di collegamenti.La capacità di questo condensatore deve essereuguale a quella presentata dallo strumento avalle del cavo di collegamento. Il giratore hacome effetto di simulare il reciproco dell’impe-denza che gli viene presentata, e, utilizzando uncondensatore, permette di riprodurre il compor-tamento dell’induttanza della bobina del senso-re. Il motivo del filtro passa-basso (un polo) éspiegato nel paragrafo 9.

L’S13 è stato provato laboratorio sia dasolo che con l’ allargatore di banda, alimentan-do la bobina di calibrazione con una sogente dicorrente sinusoidale ed effettuando prove sulventaglio di frequenze di interesse. L’uso di ungeneratore di corrente permette di trascurare ivalori di resistenza e di induttanza della bobinadi calibrazione e corrisponde direttamente aduna forza sulla massa, quindi ad una eccitazionein accelerazione.

Questo è un buon metodo per provare larisposta di un sismografo in un ambiente rumo-roso. Se il sensore viene eccitato con un tonopuro ed il segnale viene acquisito con un filtropassa-banda alla stessa frequenza, il rumoreambientale viene fortemente attenuato; con unadeguato tempo di integrazione, la misura può

essere condotta praticamente ovunque. È ovvioche il requisito tassativo è che il sensore sialineare. La fig. A6_2 mostra i diagrammi dirisposta in frequenza di un S13 non modificato(sinistra) e dello stesso strumento modificatosecondo il metodo di Lippmann.

Come si interpretano i due diagrammi?La risposta dell’S13 non modificato coincidecon quella riportata in fig. 5: un geofono eccita-to da un segnale di accelerazione (Ga(f)). Lacurva a destra é molto simile, con la frequenzadi angolo traslata verso le basse frequenze (con-fronta con la fig. 18); nel diagramma misuratoper l’ S13 modificato viene mostrata soltanto laparte ad alta frequenza di una curva con un mas-simo a 50 secondi.

Lo strumento modificato è stato collauda-to confrontandolo con un STS 1, pressol’Osservatorio de L’Aquila. La fig. A6_3 mostrail terremoto peruviano del 7 luglio 2001 vistodall’S13 e da un STS1-VBB. Le tracce a sinistramostrano 3 ore di registrazione, quelle a destrail primo arrivo.

Il sismogramma a) (fig. A6_3) provenien-te dal sismografo sts1 è stato manipolato attra-verso un filtro passa-alto con un taglio a 50 s inmodo che la sua uscita approssimasse quelladell’s13 modificato. Il risultato (sismogrammab) é immediatamente confrontabile con il sismo-gramma prodotto dall’s13 modificato, e già dal-l’aspetto i due sismogrammi appaiono simili.

Come si interpreta la somiglianza tra duesismogrammi?

Prima una piccola digressione. Secostruiamo un sismografo e ne conosciamo per-


33

Figura A6_1 Schema a blocchi dell’estensore di banda di tipo Lippman applicato all’ s13.

fettamente la funzione di trasferimento, potremosentirci autorizzati ad affermare: qualunquecosa succeda basta una buona deconvoluzioneper garantirci una conoscenza completa dell’os-servabile. Questo sarebbe vero se non esistesseun rumore intrinseco nella misura (rumore ter-mico nella meccanica dello strumento, rumoreelettrico, quantizzazione del nostro convertitoreanalogico-digitale, granulosità della nostra rap-presentazione numerica del segnale).Deconvolvere un pendolo che risuona ad unsecondo per vedere una marea terrestre non è

semplicemente possibile perché il segnale dellamarea (teoricamente presente) é sommerso dalrumore della misura. È questo che ci spinge acostruire strumenti in grado di garantire all’ori-gine una risposta che sposi quanto meglio possi-bile il fenomeno da misurare.

Due sismogrammi sono simili quando èpossibile trovare una trasformazione lineare chepossa trasformare un sismogramma nell’altroentro un tollerabile margine di errore. Per quantodetto prima questa operazione non sarebbe possi-bile tra un STS1 ed un S13, ma possiamo prova-


34

Figura A6_2 Risposta di un s13 tradizionale ed a banda allargata (taglio a 50 s) ad una eccitazione inaccelerazione.

Figura A6_3 Il terremoto peruviano del 7 luglio 2001 visto dall’S13 a banda allargata e da un STS1-VBB. A sinistra l’intero evento, a destra il primo arrivo (campionamento 20 samples/s).

re un confronto tra l’STS1 e l’S13 modificato.Un filtro FIR (Finite Impulse Response) è

un filtro digitale lineare. Il suo funzionamento èschematizzato nella figura seguente (fig. A6_4):

I dati provenienti dal fenomeno, scalati neltempo, vengono sommati con pesi opportuni etrasferiti in uscita. Esiste un metodo che permet-te di calcolare i pesi wn di un filtro a partire dalsegnale di ingresso e dal segnale di uscita: l’algo-ritmo LMS (Widrow et al, 1975). Si tratta di unmetodo di discesa lungo il gradiente dell’erroretra il segnale prodotto dal filtro ed il segnalevoluto. Se il metodo, applicato ai segnali relati-

vi allo stesso evento provenienti dai sismografida paragonare, converge possiamo affermareche, a meno della funzione di trasferimento, idue sismografi sono uguali. La fig. A6_5 mostra

il risultato ottenuto applicando il metodo LMSper paragonare le curve b) e c) di fig. A6_3.

Il metodo è stato eseguito su un numeroristretto di campioni (1500) con un filtro relati-vamente corto (50 passi). Le tracce riportate (inblu il segnale dell’STS1 ed in rosso il segnaledell’S13 filtrato con l’algoritmo LMS) mostranoun accordo più che buono.


35

Figura A6_4 Schema di un filtro FIR (Finite Impulse Response).

Figura A6_5 Paragone tra S13 trattato con il metodo di Lippman (traccia rossa) ed il segnale dell,STS1 filtrato (traccia blu).

A7. Cenni sulla teoria dei filtri lineari

La discussione della risposta di un sismo-grafo con il linguaggio della teoria dei sistemirichiede che siano effettuati alcuni richiami suisistemi lineari invarianti nel tempo. Nel caso deisismografi (che utilizzano sospensioni elastiche)la risposta meccanica delle molle svolge unruolo determinante: è importante, quindi che leampiezze delle eccitazioni siano piccole, cioènell’intervallo elastico lineare

FondamentiLa decomposizione di un segnale di

tempo x(t) in ampiezza fase viene chiamata tra-sformata di Fourier

Essa è definita come:

La trasformata inversa è:

L’estensione nel piano della frequenzacomplessa viene descritta tramite la trasformatadi Laplace

e la sua inversa

che coincidono con la (2.1) e la (2.2) nel caso incui il fattore di smorzamento Alcune regole basilari sono:

la differenziazione

l’integrazione

Time shift

la convoluzione

Funzione di trasferimentoIntendiamo come sistema un dispositivo in

grado di operare su un segnale in ingresso produ-cendo un segnale in uscita. In un sistema lineareinvariante nel tempo il calcolo della funzione diuscita a partire dalla funzione in ingresso si effet-tua con la convoluzione della funzione in ingres-so con la funzione di trasferimento del sistema:

Se scegliamo come segnale d’ingresso la funzione delta Dirac

che è definita x(t)=0 per tutti i tempi, tranne pert=0, dove x(t)=∞, le corrispondenti trasformatedi Fourier e Laplace sono:

- La funzione della risposta in frequenzaF(jω) è definita come trasformata di Fourier delsegnale di uscita diviso la trasformata di Fourierdel segnale d’ingresso ed è quindi la trasforma-ta di Fourier della risposta d’impulso f(t).

- La funzione di trasferimento F(s) è defi-nita come trasformata di Laplace del segnale diuscita diviso la trasformata di Laplace delsegnale d’ingresso ed è quindi la trasformata diLaplace della risposta d’impulso f(t).


36

(A7.1)

(A7.2)

(A7.4)

(A7.5)

(A7.6)

(A7.7)

(A7.8)

(A7.9)

(A7.10)

(A7.11)

(A7.3)

Poli e zeriGeneralmente la funzione di trasferimen-

to di un sistema lineare LTI può essere rappre-sentato nel piano complesso (σ, jω) come mol-tiplicazione delle lunghezze dei vettori - dallaposizione degli zeri (s

0) al punto jω sull’asse

imaginario - diviso il prodotto delle lunghezzedei vettori posizione dei poli al punto jω sull’as-se imaginario.

Quindi tutte le proprietà di un filtro linea-re LTI possono essere interpretati secondo laposizione dei poli e degli zeri nel piano s.Valgono le seguenti regole:

• Per sistemi causali stabili tutti i poli dellafunzione di trasferimento devono essereposizionati nel lato sinistro del pianocomplesso, cioè σ deve essere negativoper non far crescere la risposta di impulsoall’infinito.

• La posizione del polo (left/right halfspa-ce) determina le proprietà della fase.

• Il raggio lunghezza del vettore dall’origi-ne al polo) determina la frequenza del fil-tro (nel caso del sismometro la frequenzanaturale del pendolo/geofono).

• L’angolo di tale vettore rappresenta losmorzamento.

• Ogni polo diminuisce la amplitude por-tion di 20 dB/decade or 6 dB/octave.

• Uno zero invece aumenta la amplitudeportion di 20 dB/decade or 6 dB/octave.

A8. Sismometro come filtro lineare:distribuzione poli-zeri di un sismometro

Ritornando alla domanda principale “checosa misura un sismografo?”, cerchiamo di pre-cisarla riformulandola: “Come reagisce unsismometro nei vari ad una sollecitazione qual-siasi del terreno”. Per rispondere a questadomanda richiamiamo i principi dei sistemilineari (vedi par. 2). Ritorniamo alla formula (5)

doveX(s)= il movimento del terreno in spostamento

D(s), velocità V(s) oppure accelerazione A(s)F(s) = la funzione di trasferimento del sismo-

metro come pendolo P(s) oppure geofonoG(s)

Y(s) = il sismogramma (non considerando ilsistema di acquisizione, preamplificatoriecc.)

I filtri del pendolo P(s) e del geofonoG(s) sono entrambi sistemi lineari del secondoordine con due poli. Quindi la differenza dellaripidità dei fianchi sopra e sotto la frequenzanaturale si distingono nel log-log-plot relativa-mente di 2 20 dB/decade oppure 2·6=12dB/ottava (vedi par. 3). Decisivo per l’inclina-zione assoluta dei fianchi della funzione di tra-sferimento in ampiezza è il numero degli zeri.Quindi plottiamo questa funzione di trasferi-mento in ampiezza F(s) per numeri diversi dizeri sia a) per il pendolo P(s), sia b) per ilgeofono G(s), con D(s), V(s) e A(s) comesegnale d’ingresso.

Consideriamo p.e. come lo spostamentocome input X(s)=D(s)=1 e come filtro sismicoil pendolo F(s)=P(s), otteniamo la seguente tra-sformata Laplace (vedi par. 3):

Mandiamo invece lo stesso segnale d’in-gresso X(s)=D(s)=1 a un geofono F(s)=G(s)l’uscita diventa

Invece considerando come segnale diingresso la velocità del terreno, diminuisceall’uscita Y(s) il numero degli zeri di uno e quin-di diventa

I poli si calcolano in ogni caso, dallasoluzione dell’equazione caratteristica neldenominatore:


37

(A7.12)

(A7.13)

(A7.14)

(A7.15)

(A7.16)

Valgono le regole elencate nel par. 3:• Il raggio lunghezza del vettore dall’origi-

ne al polo) determina la frequenza del fil-tro (nel caso del sismometro la frequenzanaturale del pendolo/geofono).

• L’angolo di tale vettore rappresenta losmorzamento.

Vediamo allora i poli e gli zeri nel casodegli ultimi esempi, pendolo/geofono con unafrequenza naturale di 1 Hz e uno smorzamentodi ξ=0.707.

I poli sono quindi:

A9. Caratteristiche di alcuni sismograficommerciali

Gli strumenti marcati con * (strumentiattivi con elettronica di feed-back) non sonocompletamente descritti da una coppia di poli eduna coppia di zeri. Benchè questa rappresenta-zione dia dei risultati accettabili nella pratica ladescrizione completa di un sismografo a contro-reazione si arricchisce di altre singolarità dovu-te alla presenza di un’elettronica talvolta moltocomplessa.


38

Figura A8 Diagramma poli-zeri per un sismometro a 1 Hz con diversi valori di smorzamento.


39

Sensore Fornitore Consumo Eigenfreq.corner freq.

Periodo Sensibilità Zeri Poli

STS-1 * Streckeisen 120mA@15V 0.00277 Hz- 5 Hz

360 s 2400 Vs/m due azero

-0.001234±j0.001234

STS-2 * Kinemetrics 50 mA@12V 0.0083 Hz- 20 Hz


-0.037/±j0.037-251.3/±0.000-131.0/±467.3

CMG-1T *(OBS)

Guralp 22 mA@12V 0.00277 Hz- 20 Hz


-0.001964±j0.001964

CMG-3T * Guralp 100 mA@12V 0.0083 Hz- 50 Hz


-0.037/±j0.037

CMG-3ESPCompact *

Guralp 100 mA@12V 0.033 Hz- 100 Hz


-0.147/±j0.147

CMG-40T Guralp 50 mA@12V 0.033 Hz- 100 Hz


-0.148/±j0.148

Trillium 40* Nanometrics 50 mA@12V 0.025 Hz- 50 Hz


-0.111/±j0.111

KS-2000/M*KS-2000/BH

TeledyneGeotech

100 mA@12V 0.0083 Hz- 50 Hz


-0.037/±j0.037

KS-54000 *KS-1

TeledyneGeotech

100 mA@24V 0.003 Hz- 5.0 Hz


-0.001333±j0.001333

LE 1D-1s * LennartzElectronic

3 mA@12V 1.0 Hz- 80 Hz

1 s 400 Vs/m tre azero

-4.21 /±j4.66-2.105/0.00j

LE 3D-1s *LE 3D-BH

LennartzElectronic

8 mA@12V 1.0 Hz- 80 Hz

1 s400 Vs/m tre a

zero-4.21 /±j4.66-2.105/0.00j


10 mA@12V 0.2 Hz- 40 Hz

5 s 400 Vs/m tre azero

-0.885/±j.0887-0.427/0.00j


50-100 mA@12V

0.05Hz-40Hz

20s 1000 Vs/m tre azero

-0.22/±0.235-0.23/0.00j

S-13S-13JGS-13

TeledyneGeotech

Passivo 1.0 Hz[.75-1.1 Hz]

1 s 629 Vs/m344 Vs/m

2180 Vs/m

due azero

-4.443/±j4.443

SS-1 Kinemetrics Passivo 1.0 Hz 1 s 345 Vs/m due azero

-4.443/±j4.443

L-4c/3D MarkProducts

Passivo 1.0 Hz 1 s 171 Vs/m due azero

-4.443/±j4.443

L-22 MarkProducts

Passivo 2.0 Hz 0.5 s 88 Vs/m due azero

-8.886/±j8.886

L-28 MarkProducts

Passivo 4.5 Hz 0.222 30.4 Vs/m due azero

-19.99/±j19.99

L-40 MarkProducts

Passivo 4.0 Hz 0.025s 22.34 Vs/m due azero

-177.2/±j177.2

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