2. angew. Math. Mech. Kleine Mitteilungen 469 - Bd. 54 Nr. 12 Dez. 1954

3.3 N u m e r i s c h e D u r c h f u h r u n g d e r E i n s c h l i e B u n g b e i e i n e r I n t e g r a l g l e i c h u n g

SchlieDlich hehandeln wir die Integralgleichung einseitig eingespannter transversal schwin- gender Stabe konstanten Querschnittes

ausgehend von x0= 1 . A. E i n s c h r i t t v e r f a h r e n : Die kurzesten Intervalle beim 1. bzw. 2. Schritt,

0,011 2 5 A 5 0,088 8 bzw. 0,079 8 5 1. 5 0,082 0 haben die Mitte @(so, rl) = 0,05 bzw. g(s,, 2,) = 0,080 875, diese sind untere Schranken fur A l = 0,080 890 68, das sich aus wl = 1,875 104 07 & 2 10-8 als gronter Wurzel5) der Gleichung cos ul Qof w = - 1 ergibt, es ist A! = w;4.

R. 2 w e i s c h r i t t v e r f a h r e n : Fiir die Mitten ~ Z W .

der kurzesten minimalen Einschliehngsintervalle

nach Satz 7' und 8 ergibt Satz 10 die Naherungen

Deren relative Abweichungen

werden durch die Berucksichtigung von e = 4.10-9 auf 6 . Der Vergleich der numerischen Werte des Einschrittverfahrens mit denen des Zweischritt-

verfahrens zeigt die uberlegenheit des letzteren hinsichtlich der Scharfe der EinschlieBungen und des Umfanges moglicher Aussagen. Ein entsprechendes Bild ergibt sich, wenn man zusatz- liche Vorkenntnisse, z. B. iiber positive Definitheit berucksichtigt, wie dies in einer sp5teren Untersuchung geschehen soll.

Literatur

yl = 0,080 883 05 yz = 0,001 029 929

0,080 103 2 A IO,O81 663 bzw. 0,000 048 S; A 5 0,002 012

yl E: Rl = 0,080 883 06 bzw. y, - R, = 0,001 029 926.

(R, - y , ) / R , = lo-' ~ Z W . (yz - R2)/R, = 3 * lo-' bzw. auf lo-' gesenkt.

[l] H. W i e 1 a n d t : Die EinschlieBung yon Eigenwerten normaler Matrizen. Math. Ann. 121 (1949), 234-241. [2] H. W i e 1 a n d t : Zur EinschlieBung von Eigenwerten beim Iterationsverfahren. Erscheint in der Math. Z. [3] L. C o 11 a t z : Eigenwertaufgaben. 2. Aufl. Leipzig 1949. 141 H. B ii c k n e r : Die praktische Behandlung von Integral-Gleichungen. Erg. angew. Math., Heft 1, Berlin

[5] W. K a r u s h : An iterative method for finding characteristic vectors of a symmetric matrix. Pacific J. 1952.

Math. 1 (1951), 233-248.

5, A. F 1 e t c h e r , Manuskript. Eingegangenam 25. Januar 1954.

KLEINE MITTEILUNGEN Ein lntegralsatz der ebenen Elastizitatstheorie.

meinem hoch- verehrten ~ ~ h r ~ ~ H~~~ prof. D ~ . L. F 6 1 fur die

Es wird ein Integralsatz bewiesen und mit Hilfe des- selben der F 6 p p 1 sche Mittelwertsatz 1) fur Kreis- locher beatitigt. Weiter wird auf ein Versehen in der Beweisfiihrung dieses Mittelwertsatzes aufmerksam ge- macht und an Hand eines Beispieles gezeigt, daB er nicht allgemein giiltig ist.

Der Integralsatz, der nach Kenntnis des Verfassers noch nicht ausgesprochen wurde, lautet :

Eine unendliche Scheibe von iiberall gleicher Stiirke sei i n ihrer E@,ene durch beliebige endliche Kriifte und Momente belastet; iiber den Weg eines beliebigen Krei-

*) L. F 6 p p 1: ,,Ein Mittelwertsatz derebenen Elastizitiitstheorie". Aus den Sitzungsberichten der Bayrischen Akademie der Wissen- schaften, Mathematlaoh-naturwissenschaftliche Klasse 1952 Nr. 17, 8. 216 bla 217.

ses verschwindet die Spannungssumme (a, + by) des durch die eingekreiste Belastung erzeugten Spannungs- zustandea. Siehe Abb. 1; formelmiiBig ausgedriickt:

. . . . . . . (1) .

~ , i ~ ~ ~ ~ ~ ~ mochte ich nicht

Anregung zu diesem Aufsatz zu danken. a ($ (u, + bu) da = 0

Bild 1

Z. angew. Math. Mech. 470 Kleine Mitteilungen Bd. 34 Nr. 12 Dez. 1954

B e w e i s: Man denke sich die Scheibe liings des kreisformigen Integrationsweges ausgeschnitten und belaste den Lochrand mit ur und T i t entsprechend den dort vorhanden gewesenen Spannungen. Fur die iiulere Scheibe einschlieDlich des Lochrandes hat sich damit nichts geiindert. Fur eine konstante Normalbelastung des Lochrandes ist uberall or + -at = 0 und fur eine konstante Schubbelastung ist a? = ut = 0 *). Daraus folgt, da5 auch fur eine beliebige Belastung normal oder tangential zum kreisformigen Lochrand das Inte- gral G1. (1) verschwinden mu5, denn wiire dieses Inte- gral fur eine Teilbelastung uber a doc des Lochrandes

Bild 2

nicht Null, dann konnte auch die dummierung dieser Integrale fur eine gleichmii5ig uber denLochrand ver- teilte Belastung nicht verschwinden. Mit anderen Wor- ten: Das Integral GI. (1) ist unabhiingig von der An- griffsstelle einer Teillast pa a da an einem kreisformi- gen Lochrand. Wenn mehrere derartige Teillasten mit . gleicher Kraft und im gleichen Sinne (z. B. alle radial) am Lochrand angreifen, d a m ist der obige von einer Teillast herruhrende Integralwert mit der Anzahl dieser gleichartigen Belastungsteile zu multipli- zieren. Wird zu einer gleichmilDigen Lastverteilung iibergegangen, dann verschwindet obiges Integral GI. (1) (weil uberalla, = - -at) . Wenn aber eine Summe von Integralwerten gleichen Vorzeichens verschwin- det, dann ist das Integral jedes Teiles dieser Summe, d. h. fur jede beliebige Teillast am Lochrand gleich

Diese Beweisfuhrung liiBt erkennen, d a l obiger Integralsatz unverandert gilt, wenn der Integrations- weg kreisformig ein beliebiges Loch umschlieDt, s. Abb. 2.

Es werde jetzt untersucht, wie sich hieraus einMittel- wertsatz ableiten liilt. Betrachten wir eine lochfreie Scheibe, die an ihren Riindern und auch in ihrem Inneren in ihrer Ebene belastet ist (Abb. 3;) dafur sei unter Voraussetzung elastischer Beanspruchung die harmonische Ortsfunktion der Spannungasumme mit

bezeichnet. Der arithmetische Mittelwert der Span- nungssumme uber einen Kreis auf dessen Rand und in dessen Inneren keine Singularitiiten liegen, ist :

L $ p ( s , y ) d a = i j 2 n . . . . . (3).

Nach dem Mittelwertsatz der Potentialtheorie 4, ist dieser Mittelwert 4 gleich dem Funktiomwet der Spannungssumme im Mittelpunkt Y diesea Kreises.

Wird jetzt innerhalb des kreisformigen Integrations- weges ein Loch in die Scheibe geschnitten, ohne die iiuBeren Kriifte zu iindern, dann ist der ursprunglichen Funktion q(z, y) eine Storfunktion q(z, y) zu uber- lagern.

Die resultierende Spannungssumme sei mit dern Index 1 bezeichnet, d a m folgt die Gleichung

Unter der Storfunktion q ( s , y ) ist die Spannungs- summe (az: + a,) = q ( x , y) verstanden, die aus der Belastung des Lochrandes herruhrt, die man nach dem Ausschneiden dea Loches aus der belasteten Scheibe anbringen mu& um den Lochrand lastfrei zu machen.

Nach dem eingangs bewiesenen Integralsatz ver- schwindet aber das Integral der Storfunktion fur einen Kreisweg nach Rild 2 solange der Radius des Integra- tionskreises ale klein gegenuber den Abmessungen der Scheibe angcsehen werden kann, weshalb

. (5 ) . Loch innerhalb des lochfreie Integrations krei ses Schei be

P(Z, y) = (0% + q ) ) o * . * * . * (2)

'

(a%+ %)I= (-as+ q/)o+q(G ?I)= q(2, Y)+Y(% Y) (4).

$ (0% + ad1 fh = 4; (0% + ay)o da .

Bild 3

Null. Damit verschwindet aber das Integral GI. (1) auch fur jede beliebige Randbelastung des Kreisloches. Dieser Beweis lielje sich auch bestiitigen an Hand des streug berechenbaren Spannungszustandes einer un- endlich ausgedehnten Scheibe mit einem Kreisloch, dessen Rand beliebig belastet ist 7.

2) 6. z. 8. A. U. L. F 6 p p 1 : ,,Drang und Zwang". Bd. I. 3. Aufl.

1) R. z. B. K. 01 r k m a n n : ..Fliichentranwerke". 8. 188 ff., S.266ff., R. Oldenbourg, Miinchen 1941.

springer. wien 1948. -

Bild 4

Wenn das Loch vergroaert wird, bis sein Rand mit dem Integrationsweg zusammenfallt (und damit zum Kreis- loch wird), dann gilt fur den lastfreien Lochrand

(a% + = ut . . . . . . (6), worin at die Tangentialspannung am Lochrand be- deutet. Damit folgt aus G1. (5 )

$atdoc=$pdoc . . . . . . (7h ') 8. e. B. B. B a u 1 e : ,,Die Mathematik des Naturforschera und

Ingenleurs". Bd. VI 8.88, Hlrzelverlag, Leipzig 1944.

Z. angew. Math. Mech. Kleine Mitteilungen 471 Bd. 34 Nr. 12 Dez. 1964 - wobei sich q(x, y) auf die ungelochte Scheibe bezieht. Wenn man beide Seiten dieser Gleichung durch 2 s dividiert, erhalt man den Mgtelwert der Randspan- nung des lastfreien Loches ut in Identitat mit der Spannungssumme 1 im Mittelpunkt der Lochkontur der lochfreien Scheibe

at= . . . . . . . . (8). Dabei soll vorausgesetzt werden, daB die Abstande des Loches vom Rand der Scheibe groBsind gegenuber den Abmessungen des Loches.

Soweitsfimmen diese Erkenntnisse mit dem F 6 p p 1- schen Mittelwertsatz uberein, es wurden auch die gleichen Bezeichnungen dieser unter 1) zitierten Quelle gewiihlt. L. F 6 p p l f a & seinen Mittelwertsatz aber vie1 weiter :

,,Der Mittelwert der Tangentialspannungen at lings des Lochrandes einer unendlich ausgedehnten Scheibe stimmt mit dem Mittelwert der Normalspan- nungssumme q iangs desselben Weges in der unge- storten lochfreien Scheibe uberein. Einzige Voraus- setzung soll sein, daS die Storfunktion ~ ( z , y) keine Singulari ta t au Berhalb des Loches besitzt. "

Die Gestalt des Loches ist danach keinerlei Einschran- kung unterworfen. Diese Allgemeingiiltigkeit steht oder fallt mit der Aussage

wonach das Integral der Storfunktion iiber einen be- liebigen Lochrand verschwinden 6011, wenn die Scheibe keine Singularitaten auaerhalbdes Loches besitzt. Diese Storfunktion klingt mindestens mit dem Quadrat der Entfernung vom Loch ab, weshalb die Integration der Storfunktion iiber einen in groJ3er Entfernung um das Loch gefiihrtengeschlossenen Integrationsweg den Wert Null ergibt. Da die Storfunktion zweifellos eine har- monischeFunktion ist, sollauch fiireinen Integations- weg, der niiher um das Loch fuhrt und schlieBlich auf seinen Rand zusammengezogen wird, das Integral der Storfunktion gemaB G1. (9) versch winden.

Der Verfasser glaubt nun darin einen Irrtum insofern zu erkennen, a19 daS seines Erachtens fur das all- gemeine geschlossene Bogenintegral einer reellen har- monischen Funktion keine physikalische Bedeutung in obigem Sinne besteht.

Fur eine komplexe analytische Funktion ist das

Linienintegral f(z) dz unter bestimmten Bedingungen

vorn Weg unabhangig. Nach dem Integralsatz von C a u c h y verschwindet das geschlossene L i n i e n - integral wenn keine Singularitat eingeschlossen wirds) :

+ i y(x, y)] (dz + i d y ) = 0 . . (1Oa).

Da Real- und Imaginarteil fur sich verschwinden

i $f(z) dz; = 0 bzw. $ [ ~ ( x , g)

miissen, folgt

$ ( T ~ z - Y w ~ ~ ) = o ; $(ydx+rpay)= o (lob),

worin die Funktionen den G a u c h y - R i e m a n n - schen Beziehungen genugen mussen. In unserem Falle liegt nur die reelle harmonische Storfunktion ~ ( z , y) vor, und ihre Integration iiber einen geschlossenen Weg gemal3 GI. (9) steht zu dem Linienintegral der G1. (10) i n keiner Beziehung.

Es 1aBt sich leicht ein krasser Fall zeigen fur den der Mittelwertsatz nicht gilt.

In einer unendlichen Scheibe herrsche der allseitige Zug-Spannungszustand a, = u, = p. In diese Scheibe werde ein Loch geschnitten. Um die Losung fur den lastfreien Lochrand zu finden, mussen wir diesem gleichmaBigen Spannungszustand eine Storfunktion (az 4- uY) = cp(z, y) uberlagern, die hier von einem

~

') Z. B. R. R o t h e : ,,Ellhare Mathematik", Bd. 2, 8. 166 ff. u. 5.146 If., Teubner-Verlag Berlin 1942.

gleichmaBigen Druck -p auf den Lochrand herruhrt. Das Loch habe die Gestalt von Bild 4, danngilt fiir den aul3eren in ausgezogener Linie gezeichneten Randteil a, = - ut bzw. 0, = - u, und eine Integration uber diesen findteil oder einen weiter auSen angedeuteten Kreisweg ergibt Null. Fur das Gebiet A einschlieBlich seinem gestrichelten Rand gilt aber a,= a,= - p . Die Storungen a m ubergang dieser beiden Randgebiete konnen vernachlassigt werden. Das Wegintegral der Storfunktion V(Z, g) uber den gesamten Rand des Loches verschwindet jetzt nicht mehr, sondern wird in vorliegendem Beispiel wegen der Liinge des Weges urn das Gebiet A einen betrachtlichen Wert annehmen.

Das Verschwinden des Wegintegrals der Storfunktion V(Z, y) uber den Lochrand ware aber Voraussetzung des Mi ttelwertsatzes.

Wenn die tatsachliche Lochkontur groatenteils in der Nahe eines Kreises verlauft, wird der Integrationswert der Storfunktion uber diesen Lochrand nur wenig von der Integration uber den Kreisweg abweichen, also an- nahernd verschwinden. Fur diese Falle stellt der F 6 p p 1 sche Mittelwertsatz eine gute Naherung dar, wie spannungsoptische Versuche gezeigt habene).

Es laSt sich weiter zeigen, daB fur jede Lochform eine unendliche Vielfalt z u g e o r d n e t e r Belastungen existiert, fur die der Mittelwertsatz gilt. Diese Arbeiten des Verfassers sind noch nicht abgeschlossen.

Munchen. G. S o n n t a g . 1) L.FBpp1: ,,Ein Behpiel zum Mittelwertsatz der ebenen

Elastizitatstheorie". Z. angew. Math. Mech. 88 (1969), 6.127-130.

Numerische Losung des Integrals If(=)W(=) - Wa)Y du

1. Z u s a m m e n f a s s u n g. Integrale der Form

J = J f ( u ) / { w ( u ) - u r ( q ) } a d u . . . . (1) c

erscheinen in der Theorie der laminaren Grenzschicht. Sie stellen Elemente von Losungsmethoden dar, die die Stabilitat der laminsren Grenzschicht bzw. den meist unerwunschten Umschlag in die turbulente Stromung zum Gegenstand haben l). Die zahlenmalige Aus- wertung gestaltet sich oft schwierig. weil die Funk- tionen f(u) und w(u) gewohnlich nur fur Gruppen diskreter reeller Werte bekannt sind, wahrend die Losung der komplexen Integrale J e i n e gewisse Kennt- nis der analytischen Fortsetmng der Integranden vor- aussetzt. Gegenstand der vorliegenden Arbeit sind zwei Losungsverfahren, die nur sehr wenig uber die zahlenmaaigen Werte von f(u), w(u) und deren Ab- leitungen voraussetzen. Abgeleitet auf der Grundlage theoretischer Erwagungen, stellen sie doch eigentliche numerische Methoden dar, die uberall dort geeignet sein diirften, wo die Funktionen f(u) und w(u) durch Verfahren der numerischen Analysis ermittelt wurden.

2. D e f i n i t i o n d e s P r o b l e m s . Es soll angenommen werden, daB f(a) und w(u) die

folgenden Eigenschaften besitzen : (a) Im Interval1 a 5 u 2 b sind f(u) und w(u) ein-

deutige, kontinuierliche und reelle Funktionen der reellen Veranderlichen u.

(b) /(u) 2 . 0 in (a, 6). Sollte f(u) das Vorzeichen wechseln, waren Teilintegrationen in Teilintervallen von (a, b ) vorzunehmen.

Integrale vom Typus J treten in den folgenden theoretischen Abhsndlungen 8uf: (a) H e 1 8 e n h e r g W., ,,tbx Stabilitirt nnd Turhulenz von Fliissig-

keitsstr6men", Annalen d. Physik, 24,677, (1924). b) L i n C. C., ,,On the stability of two-dimensional parallel flows"

Quarterly of Applied Mathematics. 3, Juli und Oktober 1946, (Janner 1946).