Konstruktiver Ingenieurbau I/II · PDF filebewehrung eingehalten sind, die Schnittgrößen nach der Elastizitätstheorie ermittelt und diese im Grenzzustand der Tragfähigkeit um nicht

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DIN

104

5-1

Bemessungsbeispiele nach DIN 1045-1 Konstruktiver Ingenieurbau I und II

1. Auflage Dezember 2007

Technische Universität Berlin Fachgebiet Massivbau Sekretariat TIB 1 - B 2 Gustav-Meyer-Allee 25 13355 Berlin

Prof. Dr. sc. techn. Mike Schlaich Dipl. Ing. Diana Bartsch

Tel +49 (0)30 314-721 30 Fax +49 (0)30 314-721 32 [email protected] www.massivbau.tu-berlin.de

Vorwort

Die Beispiele dieses Skripts sollen als Hilfe bei der Einarbeitung in die Bemessung verschiedener Stahlbetonbauteile dienen. Sie sind als Ergänzung zu den Hörsaal-übungen gedacht. Die Themen aus den Übungen werden zum Teil mit ausführliche-ren Berechnungen wiederholt. Ergänzend werden auch Themen bearbeitet, die in den Übungen nur ansatzweise betrachtet wurden.

Alle Nachweise sind bewusst sehr ausführlich geführt, um den Studierenden einen möglichst vollständigen Überblick über die Bemessung von verschiedenen Konstruk-tionen zu geben. In der Praxis wird man auf diese Ausführlichkeit und einige Nach-weise verzichten können. Bauteilabmessungen konnten aus Gründen der Verständlichkeit einiger Nachweise nicht immer unter wirtschaftlichen Gesichtspunkten gewählt werden.

Grundsätzlich wird für jedes einzelne Bauteil wie folgt vorgegangen:

Modellbildung (Bestimmung des statischen Ersatzsystems) und Lastermittlung Zur Schnittgrößenermittlung wird ein, das geplante Tragwerk idealisierendes, Modell gebildet und Belastungen ausgesetzt.

Schnittgrößenermittlung Ermittlung aller Schnittgrößen aus den, im Hinblick auf die Bemessung, maßgeben-den Lastfallkombinationen.

Bemessung des Bauteils Die Wahl des Querschnitts und dessen Bemessung ist ein iterativer Vorgang. Hier erfolgt nur die Bemessung für den letztendlich gewählten Querschnitt. Die Bemes-sung erfolgt sowohl für den Grenzzustand der Tragfähigkeit als auch für den Grenz-zustand der Gebrauchstauglichkeit unter Berücksichtigung der jeweiligen Teilsicher-heitsbeiwerte.

Konstruktive Durchbildung Neben der Darstellung der gewählten Bewehrung gehört hierzu auch die Bestim-mung von Mindestbewehrung, Verankerungs- und Übergreifungslängen.

TU Berlin – Fachgebiet Massivbau – Konstruktiver Ingenieurbau I und II Inhaltsverzeichnis

- I -

INHALTSVERZEICHNIS

1 AUSKRAGENDER BALKON 1

1.1 Pos. 1 Balkonplatte 2 1.1.1 Statisches Ersatzsystem (Modellbildung) und Belastung 2 1.1.2 Schnittkraftermittlung 2 1.1.3 Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit 2 1.1.3.1 Biegebemessung 3 1.1.3.2 Querkraftbemessung 3 1.1.4 Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit 3 1.1.4.1 Spannungsbegrenzung 3 1.1.4.2 Beschränkung der Rissbreite 4 1.1.4.3 Beschränkung der Verformung 4 1.1.5 Konstruktive Durchbildung 5

1.2 Pos. 2 Unterzug 5 1.2.1 Statisches Ersatzsystem (Modellbildung) und Belastung 5 1.2.2 Schnittkraftermittlung 6 1.2.3 Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit 7 1.2.3.1 Biegebemessung 7 1.2.3.2 Querkraft- und Torsionsbemessung 9 1.2.3.3 Nachweise des Anschlusses zwischen Gurt und Steg 14 1.2.4 Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit 16 1.2.4.1 Spannungsbegrenzung 16 1.2.4.2 Beschränkung der Rissbreite 16 1.2.4.3 Beschränkung der Verformung 18 1.2.5 Konstruktive Durchbildung 18

2 BÜROGEBÄUDE 20

2.1 Pos. 1 Deckensystem 21 2.1.1 Statisches Ersatzsystem (Modellbildung) und Belastung 21 2.1.2 Schnittkraftermittlung 24 2.1.2.1 Feldmomente 27 2.1.2.2 Stützmomente 28 2.1.2.3 Vergleichsrechnung nach Pieper/Martens für Feld 8 31 2.1.2.4 Betrachtung der dreiseitig gelagerten Platte (Feld 7) 32 2.1.2.5 Zusammenstellung der Bemessungsmomente 35 2.1.2.6 Querkräfte 36 2.1.3 Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit 39 2.1.3.1 Biegebemessung 39 2.1.3.2 Querkraftbemessung 41 2.1.4 Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit 41 2.1.4.1 Spannungsbegrenzung 41 2.1.4.2 Beschränkung der Rissbreite 41 2.1.4.3 Beschränkung der Verformung 42 2.1.5 Konstruktive Durchbildung 43

2.2 Pos. 2 Unterzug 49 2.2.1 Statisches Ersatzsystem (Modellbildung) und Belastung 49 2.2.2 Schnittkraftermittlung 53 2.2.3 Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit 53 2.2.3.1 Biegebemessung 54 2.2.3.2 Bemessung für Querkraft 54 2.2.3.3 Nachweise des Anschlusses zwischen Gurt und Steg 56

TU Berlin – Fachgebiet Massivbau – Konstruktiver Ingenieurbau I und II Inhaltsverzeichnis

- II -

2.2.4 Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit 58 2.2.5 Konstruktive Durchbildung 58

2.3 Pos. 3 Innenstütze 62 2.3.1 Statisches Ersatzsystem (Modellbildung) und Belastung 62 2.3.2 Ersatzlänge und Schlankheit 64 2.3.3 Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit 67 2.3.4 Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit 69 2.3.5 Konstruktive Durchbildung 69

3 FERTIGTEILTRÄGER 72

3.1 Statisches Ersatzsystem (Modellbildung) und Belastung 74

3.2 Schnittkraftermittlung 75

3.3 Betrachtung des B-Bereichs 76 3.3.1 Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit 76 3.3.1.1 Biegebemessung Standardträger 76 3.3.1.2 Biegebemessung Träger mit Aussparung 76 3.3.1.3 Querkraftbemessung 79 3.3.2 Bemessung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit 80

3.4 Betrachtung des D-Bereichs 80 3.4.1 Ermittlung der Stabkräfte 81 3.4.2 Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit 83

3.5 Konstruktive Durchbildung 86

ANLAGEN 88

LITERATUR 98

STICHWORTVERZEICHNIS 99

TU Berlin – Fachgebiet Massivbau – Konstruktiver Ingenieurbau I/II 1 Auskragender Balkon

- 1 -

1 Auskragender Balkon Im Zuge des Neubaus eines Ausstellungsgebäudes ist ein frei auskragender Balkon in Stahlbetonbauweise im 1. OG zu bemessen. Im darunter liegenden Erdgeschoss soll eine durchgehende Fensterfront angeordnet werden, so dass ein Stahlbetonun-terzug erforderlich wird. Bei den Außenwänden handelt es sich um 50cm dicke Stahlbetonwände. Neben dem Eigengewicht und der Verkehrslast muss die Belastung aus einer Fertig-teildecke berücksichtigt werden.

Baustoffe

Beton: C 25/30 Baustahl: BSt 500 S Expositionsklasse: XC3

Bild 1-1 Zeichnungen Balkon

ANSICHT

GRUNDRISS SCHNITT


- 2 -

1.1 Pos. 1 Balkonplatte

1.1.1 Statisches Ersatzsystem (Modellbildung) und Belastung Nach [DIN1045-1, 7.3.1, Bild 8] handelt es sich bei der Balkonplatte um einen Krag-arm mit direkter Lagerung: (h1 - h2) = 75 – 20 = 55 > 20 = h2 Der Kragarm ist in den Unterzug eingespannt.

Eigengewicht Betonplatte: gk1 = 0,20 · 25 kN/m³ = 5,0 kN/m² Ausbaulasten (Fliesenbelag): gk2 = 0,3 kN/m²

Ständige Lasten: gk = 5,0 + 0,3 = 5,3 kN/m² Eigengewicht Brüstung: gk,Br = 1,0 kN/m Verkehrslast nach DIN 1055-3: qk = 3,5 kN/m²

gd = 1,35 · 5,3 = 7,16 kN/m² qd = 1,5 · 3,5 = 5,25 kN/m² gd,Br = 1,35 · 1,0 = 1,35 kN/m

2,00 m

Bild 1-2 Statisches System und Belastung für die Balkonplatte

1.1.2 Schnittkraftermittlung

- -

M V

Bild 1-3 Qualitative Schnittkraftverläufe der Kragplatte

Bemessungswert des Biegemoments der Kragplatte im Anschnitt:

mEd,K = -(7,16 + 5,25) · 200,2 2

- 1,35 · 2,00= - 27,52 kNm/m

Bemessungswert der Querkraft: vEd = (7,16 + 5,25) · 2,0 + 1,35 = 26,17 kN/m

1.1.3 Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit Betondeckung nach [DIN 1045-1 6.3, Tab. 4] cnom = cmin + Δc = 20 +15 = 35 mm mit cmin > Stabdurchmesser ds Statische Nutzhöhe d = h – cnom – ds/2 = 20 – 3,5 - 1,2/2 = 15,9 cm (Bewehrungsstabdurchmesser vorgeschätzt)


- 3 -

1.1.3.1 Biegebemessung MEds = MEd = 27,52 kNm/m (mit NEd = 0)

cd2Eds

Eds fdbM

⋅⋅=μ =

2,14159,000,102752,0

2 ⋅⋅= 0,077

z = ζ·d =0,956 · 0,159 = 0,152 m

as, l = yd

Ed

fzM⋅

= 5,43153,0

52,27⋅

= 4,13 cm²/m as, q = 0,2 · 4,13 = 0,83 cm²/m

gewählt: Q 513 In Querrichtung sind 20% der Bewehrung aus der Haupttragrichtung einzulegen. [DIN 1045-1, 13.3.2 (2-3)], [VL Skript KI II, 10.3] Hier würde sich daher eine R 513 – Matte anbieten, die in Haupttragrichtung 5,13 cm²/m und in der Querrichtung 1,13 cm²/m aufweist. (R-Matten werden generell mit 20 % Querbewehrung angeboten.) Da jedoch aufgrund der Rissbreitenbeschränkung in Querrichtung ein größerer Be-wehrungsquerschnitt erforderlich ist, wird eine Q 513 – Matte gewählt (vgl.1.1.4.2).

1.1.3.2 Querkraftbemessung aufnehmbare Querkraft des Bauteils ohne Querkraftbewehrung: VRd,ct = [0,10 ⋅ κ ⋅ η1 · (100 ·ρl ·fck)1/3 – 0,12 σcd] ⋅ bw · d

κ = 1 + d

200 = 1 + 159200 = 2,12 > 2,0 => κ = 2,0

η1 = 1,0 (Normalbeton) ρl = Asl/(b ⋅ d) = 5,13 / (100 · 15,9) = 0,0032 ≤ 0,02 (ASl siehe 1.1.3.1) σcd = 0 (N = 0)

VRd,ct = [0,10 ⋅ 2,0 ⋅ (100 · 0,0032 · 25)1/3 – 0] 1,0 · 0,159 · 10³ = 63,6 kN/m > 26,17 = vEd (siehe 1.1.2)

keine Querkraftbewehrung erforderlich!

1.1.4 Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit

1.1.4.1 Spannungsbegrenzung Bei nicht vorgespannten Tragwerken des üblichen Hochbaus, die nach DIN 1045-1 in den Grenzzuständen der Tragfähigkeit bemessen wurden, dürfen die Spannungs-nachweise entfallen, wenn die bauliche Durchbildung nach den Konstruktionsregeln der DIN 1045-1 durchgeführt wird, insbesondere die Festlegungen für die Mindest-bewehrung eingehalten sind, die Schnittgrößen nach der Elastizitätstheorie ermittelt und diese im Grenzzustand der Tragfähigkeit um nicht mehr als 15 % umgelagert wurden. Die Bedingungen sind in diesem Fall eingehalten, die Spannungsnachweise unter Gebrauchsbedingungen können entfallen.


- 4 -

1.1.4.2 Beschränkung der Rissbreite Anforderungsklasse zur Begrenzung der Rissbreite für Expositionsklasse XC3: E [DIN 1045-1 11.2.1, Tab. 19] Rechenwert der Rissbreite für Anforderungsklasse E: wk = 0,3 mm [DIN 1045-1 11.2.1, Tab. 18] Die Bauausführung macht eine Arbeitsfuge zwischen Balken und Kragplatte erforder-lich. Die Kragplatte wird dadurch im jungen Betonalter infolge abfließender Hydratati-onswärme auf zentrischen Zwang beansprucht (längs der Balkenachse). Biegezwang in Tragrichtung kann wegen der statisch bestimmten Lagerung des Kragarmes ausgeschlossen werden.

As = kc ⋅ k ⋅ fct,eff ⋅ Act/σs kc = 1,0 (zentrischer Zwang) k = 0,8 „Innerer“ Zwang; Platte mit h ≤ 30 cm fct,eff darf zu 50% der mittleren Betonzugfestigkeit nach 28 Tagen (C 25/30: fctm = 2,6 MN/m²) angesetzt werden. [DIN 1045-1 11.2.2 (5)] fct,eff = 0,5 · fctm = 0,5 · 2,6 = 1,3 MN/m² Act = 1,00 · 0,20 = 0,20 m²/m σs = 240 MN/m² gewählte Stahlspannung

as,min = 1,0 ⋅ 0,8 ⋅ 1,3 ⋅ 0,20 / 240 · 104 = 8,7 cm²/m 4,35 cm²/m je Seite

Nachweis des gewählten Durchmessers: σs = 240 MN/m² zugehöriger Durchmesser ds

* = 19 mm nach [DIN 1045-1; 11.2.3; Tab. 20] Modifizierter Grenzdurchmesser nach [DIN 1045-1; 11.2.2 (6)]

ds = ds* · ( ) 0,ct

eff,cttc

ff

dh4hkk

⋅−⋅⋅ ≥ ds

* · (fct,eff/fct0)

(Der größere der beiden Werte darf angesetzt werden)

ds = max( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅

=⋅−⋅⋅

⋅

)ansetzbar(mm2,80,33,119

mm0,80,33,1

159,020,0420,08,00,119

gewählt: Q 513 oben und unten mit vorh. ds = 8 mm < 8,2 mm = max ds in Querrichtung vorh. as = 2 · 5,03 = 10,06 cm²/m > 8,7 cm²/m = as,min

Die statisch erforderliche Bewehrung von as, quer = 0,83 cm²/m (vgl. 1.1.3.1) ist auf die erforderliche Bewehrung aus dem Rissbreitennachweis anrechenbar. Das heißt, für die Bewehrungswahl ist der größere der beiden Werte maßgebend. Die Werte brauchen nicht addiert zu werden.

1.1.4.3 Beschränkung der Verformung Der Durchhang darf unter quasi-ständiger Einwirkungskombination nicht größer als 1/250 der Stützweite betragen. Bei Kragträgern ist für die Stützweite die 2,5-fache Kraglänge anzusetzen. [DIN 1045-1, 11.3.1 (8)]


- 5 -

fmax= 250

l = 250

0,25,2 ⋅ = 0,02m

Dieser Wert muss mit der tatsächlichen Durchbiegung zum Zeitpunkt t = ∞ verglichen werden. Zusätzlich zur elastischen Durchbiegung muss dafür noch der Anteil aus Kriechverformung berücksichtigt werden. (hier nicht durchgeführt)

Vereinfacht kann der Nachweis der Verformungsbeschränkung durch die Begren-zung der Biegeschlankheit erfolgen: li = α· leff = 2,4 · 2,0 = 4,8 m [DIN 1045-1, 11.3.2 (2) und Tab. 22] li / d = 4,8 / 0,159 = 30 < 35

1.1.5 Konstruktive Durchbildung Mindestbewehrung zur Sicherstellung eines duktilen Bauteilverhaltens: [DIN 1045-1, 13.1.1, (1)] Rissmoment: Mcr = fctm · W fctm = 2,6 N/mm² für C 25/30

= fctm · bm · h² / 6 = 2,6 · 1,0 · 0,20² / 6 = 0,0173 MNm

min as = Mcr / (fyk · z) = 0,0173 · 104 / (500 · 0,9 · 0,159) = 2,42 cm²/m < 5,13 cm²/m

Maximaler Stababstand für die Zugbewehrung nach [DIN 1045-1 13.3.2 (4)] Plattendicke h = 200 mm => s ≤ 200 mm vorh. s = 10 cm < 20 cm = max s

Maximaler Stababstand für die Querbewehrung nach [DIN 1045-1 13.3.2 (4)] s ≤ 250 mm vorh. s = 15 cm < 25 cm = max s

In Platten muss eine Querbewehrung angeordnet werden, die mindestens 20% der Zugbewehrung entspricht. [DIN 1045-1, 13.3.2 (2-3)] => hier erfüllt durch Wahl einer Q-Matte

Weiteres siehe 1.2.4.1

1.2 Pos. 2 Unterzug

1.2.1 Statisches Ersatzsystem (Modellbildung) und Belastung Der Stahlbetonunterzug wird aufgrund der durchgehenden dicken Außenwand ver-einfachend als beidseitig eingespannt betrachtet. Die Stützweite errechnet sich zu [Heft 525, Bild H7-3] [8]: leff = ln + a1 + a2 ai ≤ ½ · t oder ≤ ½ · h leff = 8,40 + ½ · 0,75 + ½ · 0,75 = 9,15 m


- 6 -

Die Belastung aus der Fertigteildecke wird mittig in den Balken eingeleitet.

Belastung: Eigengewicht Balken: gk1, Balken = 0,50 · 0,55 · 25 kN/m³ = 6,88 kN/m Eigengewicht Platte (s. 1.1.1): gk, Platte = 5,3 · 2,50 = 13,25 kN/m Eigengewicht Brüstung (s. 1.1.1): gk, Brüstung = 1,0 kN/m Verkehrslast auf Balkon: qk, Balkon = 3,5 · 2,50 = 8,75 kN/m Auflagerkraft aus Eigengewicht Fertigteildecke: gk1, Decke = 5,0 kN/m

Auflagerkraft aus Verkehrslast auf Fertigteildecke: qk,Decke = 5,0 kN/m

Summe Eigengewicht: gk = 6,88 + 13,25 + 1,0 + 5,0 = 26,13 kN/m Summe Verkehrslast: qk = 8,75 + 5,0 = 13,75 kN/m

Torsionslinienmoment aus Eigengewicht Kragarm: mT,g = 5,3 · 2,0 · (2,0/2 + 0,5/2) + 1,0 · (2,0 + 0,5/2) = 15,50 kNm/m Torsionslinienmoment aus Verkehrslast Kragarm: mT,q = 3,5 · 2,0 · (2,0/2 + 0,5/2) = 8,75 kNm/m

gd = 1,35 · 26,13 = 35,28 kN/m qd = 1,5 · 13,75 = 20,63 kN/m

md,T,g = 1,35 · 15,50 = 20,93 kNm/m md,T,q = 1,5 · 8,75 = 13,13 kNm/m

9,15

Bild 1-4 Statisches System und Belastung für den Unterzug

1.2.2 Schnittkraftermittlung

+

- -

+

-

+

-

M V T

Bild 1-5 Qualitative Schnittkraftverläufe des Unterzugs

Bemessungswert des Biegemoments des Trägers an der Einspannstelle und im Feld:

MEd, Einsp = 215,9)63,2028,35(

121

⋅+− = -390,08 kNm

MEd, Feld = 215,9)63,2028,35(241

⋅+− = 195,04 kNm


- 7 -

Bemessungswert der Querkraft:

VEd = 215,9)63,2028,35( ⋅+ = 255,79 kN/m

Bemessungswert des Torsionsmoments an der Einspannstelle: TEd = (20,93 + 13,13) · 9,15/2 = 155,82 kNm

1.2.3 Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit Betondeckung nach [DIN 1045-1 6.3, Tab. 4] (Bewehrungsstabdurchmesser vorge-schätzt):

Längsbewehrung: mit cmin ≥ ⎩⎨⎧ =

mm25mm25d längs,s

cnom, längs = cmin + Δc = 25 +15 = 40 mm

Bügelbewehrung: mit cmin ≥ ⎩⎨⎧ =

mm20mm12d bü,s

cnom, Bügel = cmin + Δc = 20 +15 = 35 mm

d1 = max ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=+

=++=++

cm3,5 2,5/24,0/2dccm 6,0 2,5/22,13,5 /2ddc

längss,längs nom,

längs s,bü s,Bügel nom,

Statische Nutzhöhe d = h – d1 = 75 – 6,0 = 69 cm

Zur Ermittlung der Längsbewehrung erfolgt die Bemessung getrennt für Biegung und Torsion mit anschließender Addition der Anteile. Im Druckbereich darf die Torsions-längsbewehrung entsprechend der vorhandenen Druckkräfte abgemindert, im Zugbe-reich muss sie zur Biegebewehrung addiert werden. Die Bewehrung wird nach [DIN 1045-1, 10.4.2 (2)] getrennt für Querkraft und Torsion ermittelt. Anschließend werden die beiden Anteile addiert. Für den Nachweis der Druckstrebentragfähigkeit wird ein Interaktionsnachweis durchgeführt.

1.2.3.1 Biegebemessung

1.2.3.1.1 Bemessung an der Einspannstelle Am oberen Querschnittsrand herrscht Zug, am unteren Druck. (Breite der Druckzone b = 50 cm) MEds = MEd = 390,08 kNm (mit NEd = 0)

cd2Eds

Eds fdbM

⋅⋅=μ =

2,1469,050,039008,0

2 ⋅⋅= 0,115

z = ζ·d =0,934 · 0,69 = 0,644 m

erf. As = yd

Eds

fzM⋅

= 5,43644,0

08,390⋅

= 13,92 cm²

Die Biegebewehrung muss durch den Anteil der Torsionslängsbewehrung erhöht werden, der innerhalb des Zugbereichs liegt. (Bewehrungswahl vgl. 1.2.3.2.4)


- 8 -

1.2.3.1.2 Bemessung in Feldmitte Am unteren Querschnittsrand herrscht Zug, am oberen Druck. Als Breite der Druckzone wird die mitwirkende Plattenbreite beff nach [DIN 1045-1, 7.3.1 (2)] angesetzt.

beff = ∑beff,i + bw beff,i = 0,2 · bi + 0,1 · l0 = 0,2 · 2,0 + 0,1 · (0,7 · 9,15) = 1,04 m

beff = 1,04 + 0,50 = 1,54 m ≤ ⎩⎨⎧

=

=⋅⋅=⋅

m0,2b.maßgm28,1)15,97,0(2,0l2,0

i

0

beff = 1,28 m

MEds = MEd = 195,04 kNm

cd2Eds

Eds fdbM

⋅⋅=μ =

2,1469,028,119504,0

2 ⋅⋅= 0,023

z = ζ·d =0,983 0,69 = 0,678 m (Allgemeines Bemessungsdiagramm)

erf. As = yd

Eds

fzM⋅

= 5,43678,0

04,195⋅

= 6,61 cm²

Die Biegebewehrung muss durch den Anteil der Torsionslängsbewehrung erhöht werden, der innerhalb des Zugbereichs liegt. (Bewehrungswahl vgl. 1.2.3.2.4)

Überprüfung der Druckzonenhöhe: ζ = x/d = 0,049 (Allgemeines Bemessungsdiagramm) => x = 0,049 · 69 = 3,38 cm < 20 cm vorh. Plattendicke

3,38

1,28

Bild 1-6 Überprüfung der Druckzone

Genauere Betrachtungsweise: Da dieser einseitige Plattenbalken in Feldmitte nicht gegen Verschieben und Verdre-hen gesichert ist, müsste die Bemessung eigentlich für schiefe Biegung erfolgen. Die Bemessung kann dann nicht mehr mit dem Allgemeinen Bemessungsdiagramm durchgeführt werden, da die Form der Druckzone nicht rechteckförmig ist. Die Lage der Nulllinie und der Angriffsort der Druckkraft muss dann iterativ ermittelt werden. Es bietet sich hiefür eine programmunterstützte Querschnittsbemessung mit z.B. FAGUS (Fa. CUBUS AG, Zürich) an. Eingangswerte: Querschnittsabmessungen, Lage Bewehrungsstahl, Sicherheitsbeiwerte, Momenten-beanspruchung, usw. Bemessungsgrundlage hier: Parabel-Rechteck-Diagramm


- 9 -

A = 670 mms

2A = 670 mms

2

SS

27,5

-2,8

Dehnungen [‰]Spannungen [N/mm ]2

=1.76=1.15

c

s

γγ

-14,2

434,8434,80,40

291,3

0,26

-291,3

F [kN], z [m]

Bild 1-7 Berechnungsergebnis mit FAGUS

Wie in Bild 1-7 zu erkennen ist, weicht die Bewehrung nicht entscheidend von der zuvor ermittelten Bewehrung ab. In die Berechnung könnte auch eine weitere Lage der Bewehrung in der Zugzone in der Unterseite der Platte einbezogen werden.

1.2.3.2 Querkraft- und Torsionsbemessung Die maximale Querkraft- und Torsionsbeanspruchung ist an der Einspannstelle. Die Querkraft- und Torsionsbewehrung soll aus lotrechten Bügeln bestehen.

1.2.3.2.1 Nachweisgrenzen Für einen näherungsweise rechteckigen Vollquerschnitt ist außer der Mindest-bewehrung keine Querkraft- und Torsionsbewehrung erforderlich, wenn folgende Be-dingungen eingehalten werden [DIN 1045-1, 10.4.2]:

5,4bVT wEd

Ed⋅

≤ und ct,RdwEd

EdEd V

bVT5,41V ≤⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

+⋅

5,4bV wEd ⋅ =

5,450,079,255 ⋅ = 28,42 kNm < 155,82 kNm = TEd

Der Nachweis für Querkraft und Torsion ist notwendig, denn beide Bedingungen müssen eingehalten werden. Hier nur der Vollständigkeit halber die Überprüfung der zweiten Bedingung:

VRd,ct = [0,10 ⋅ κ ⋅ η1 · (100 ·ρl ·fck)1/3 – 0,12 σcd] ⋅ bw · d

κ = 1 + d

200 = 1 + 690200 = 1,54 < 2 => κ = 1,54

η1 = 1,0 (Normalbeton) ρl = Asl/(b ⋅ d) = 15,7 / (50 · 69) = 0,0046 ≤ 0,02 (Asl siehe 1.2.3.1.1)

σcd = 0 (N = 0)

VRd,ct = [0,10 ⋅ 1,54 ⋅ 1,0 · (100 · 0,0046 · 25)1/3 – 0] 0,50 · 0,69 · 10³ = 119,9 kN

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

+⋅wEd

EdEd bV

T5,41V = 255,79 · ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅⋅

+50,079,255

82,1555,41 = 1658,17 kN > 119,9 kN = VRd,ct

Der Nachweis für Querkraft und Torsion ist notwendig.


- 10 -

1.2.3.2.2 Bestimmung des Ersatzhohlkastens zur Torsionsbemessung Der kombinierte Nachweis für Querkraft und Torsion wird an einem Ersatzhohlkasten durchgeführt. Die Mittellinien der Wände des Ersatzhohlkastens sind durch die Ach-sen der Längsstäbe definiert. [DIN 1045-1, 10.2.4 und Bild 36] Die Wanddicke ergibt sich aus dem doppelten Abstand von den Achsen der Längs-stäbe zur Außenfläche.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅++⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ∅⋅+∅+⋅= 5,2

212,15,32

21c2t LäBünomeff = 11,9 cm

Der Kernquerschnitt wird ermittelt zu: Ak = bk · hk = (bw – teff) · (h - teff) = (0,50 – 0,119) · (0,75 – 0,119) = 0,381 · 0,631 = 0,2404 m²

Der zugehörige Umfang beträgt: uk = 2 · (bw – teff) + 2 · (h - teff) = 2·(0,50 – 0,119) + 2 · (0,75 – 0,119) = 2,02 m

1.2.3.2.3 Nachweis der Betondruckstrebe 1. Möglichkeit (genaue Berechnung):

Die Druckstrebenneigung wird explizit ermittelt. Mit dem ermittelten Winkel wird der Nachweis für Querkraft als auch für Torsion geführt.

Druckstrebenneigungswinkel nach [DIN 1045-1, 10.3.4 (3)]:

VT,Ed

c,Rd

cd

cd

VV

1

f4,12,1

cot

+

−

σ⋅−

=θ ⎩⎨⎧≤≥

0,358,0

für Normalbeton

Betontraganteil bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung: Achtung: Der Wert VRd,c ist nicht mit dem Bemessungswert der Querkraft VRd,ct für Bauteile ohne Querkraftbewehrung gleichzusetzen. Bei Bauteilen ohne Querkraftbe-wehrung öffnet sich ein Riss sehr weit und führt zum Bruch (VRd,ct), bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung entstehen viele Risse in engen Abständen. Dieser Unterschied hat einen völlig anderen Spannungs- und Dehnungszustand zur Folge.

VRd,c = ztf

2,11f10,0 effcd

cd3/1ck1ct ⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ σ⋅+⋅⋅η⋅⋅β

βct = 2,4 z ≈ 09, · d = 0,9 · 0,69 = 0,62 m nach [DIN 1045-1, 10.3.4 (2)]

VRd,c = 2,4 ⋅ 0,10 · 251/3 [1 + 1,2·0] · 0,119 · 0,62 · 103 = 51,78 kN

Schubkraft in einer Wand des Ersatzhohlkastens infolge des Torsionsmoments:

VEd,T =2404,02

)119,075,0(82,155A2

zTk

Ed

⋅−⋅

=⋅⋅ = 204,50 kN (z = h - teff)


- 11 -

Beanspruchung infolge Torsion und anteiliger Querkraft:

VEd,T+V =5,0

119,079,25550,204b

tVVw

effEdT,Ed

⋅+=

⋅+ = 265,38 kN

cot θ =

38,26578,511

04,12,1

−

⋅− = 1,49 ⎩⎨⎧≤≥

0,358,0

für Normalbeton θ = 33,9°

Der Nachweis der Druckstrebe erfolgt zunächst getrennt für Querkraft und Torsion. Anschließend wird ein Interaktionsnachweis geführt:

Druckstrebenbeanspruchungen im Gesamtquerschnitt infolge Querkraft:

VRd,max =θ+θ

⋅α⋅⋅tancot

fzb cdcw

bw = 0,50 m z ≈ 0,9 · d = 0,9 · 0,69 = 0,62 m nach [DIN 1045-1, 10.3.4 (2)] αc = 0,75 · η1 = 0,75 · 1,0 = 0,75 fcd = 14,2 MN/m²

VRd,max = ³10

49,1149,1

2,1475,062,050,0⋅

+

⋅⋅⋅ = 1527,67 kN ≥ 255,79 = VEd

infolge Torsion:

TRd,max =θ+θ⋅⋅⋅α

tancottA2f effkcdred,c

Der gleiche Winkel wie für die Querkraft gilt hier auch für die Torsion [DIN 1045-1, 10.4.2 (2)]

TRd,max =( )

49,1149,1

³10119,02404,022,1475,07,0

+

⋅⋅⋅⋅⋅⋅ = 197,37 kN ≥ 155,82 = TEd

Interaktion für Torsion und Querkraft für Kompaktquerschnitte: 222

max,Rd

Ed2

max,Rd

Ed

1,5276725579,0

19737,015582,0

VV

TT

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= 0,65 < 1,0

2. Möglichkeit (vereinfachte Berechnung):

Vereinfachend darf nach [DIN 1045-1, 10.4.2 (2)] die Bewehrung für Torsion allein unter der Annahme eines Druckstrebenneigungswinkels von 45° ermittelt und zu der erforderlichen Bewehrung, die sich aus alleiniger Querkraftbeanspruchung ergibt, addiert werden. Der Druckstrebenneigungswinkel infolge Querkraft wird nach [DIN 1045-1, 10.3.4 (5)] vereinfacht zu cot θ = 1,2 (θ = 39,8°) angenommen.


- 12 -

Druckstrebenbeanspruchungen im Gesamtquerschnitt infolge Querkraft:

VRd,max =θ+θ

⋅α⋅⋅tancot

fzb cdcw = ³10

2,112,1

2,1475,062,050,0⋅

+

⋅⋅⋅ = 1.623,7 kN ≥ 255,79 = VEd

infolge Torsion:

TRd,max =θ+θ⋅⋅⋅α

tancottA2f effkcdred,c = ( )

0,110,1

³10119,02404,022,1475,07,0

+

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

= 213,27 kN ≥ 155,82 = TEd

Interaktion für Torsion und Querkraft für Kompaktquerschnitte: 222

max,Rd

Ed2

max,Rd

Ed

1,623725579,0

21327,015582,0

VV

TT

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= 0,56 < 1,0

1.2.3.2.4 Ermittlung der Querkraft- und Torsionsbewehrung (NW Zugstrebe) Bemessungswert der Querkraft (im Abstand d vom Auflagerrand) zur Ermittlung der Bewehrung: (vgl. 1.2.2)

VEd, red = 2

)69,0240,8()63,2028,35( ⋅−⋅+ = 196,24 kN/m

Die Anteile aus Torsion und Querkraft werden addiert.

1. Möglichkeit (genaue Berechnung):

Sowohl für Querkraft als auch für Torsion wird der errechnete Winkel θ = 33,9° (cot θ = 1,49) angesetzt.

Erforderlicher Bügelquerschnitt infolge Querkraft: (zweischnittig = Querkraft teilt sich auf zwei Bügelschenkel auf)

asw, V = 49,162,05,43

24,196cotzf

VsA

yd

red,Ed

w

sw

⋅⋅=

θ⋅⋅= = 4,88 cm²/m

infolge Torsion: (einschnittig = Kraft infolge Torsion wirkt umlaufend über gesamte Bügellänge)

asw, T = 49,12404,025,43

82,155cotA2f

TsA

kyd

Ed

w

sw

⋅⋅⋅=

θ⋅⋅⋅= = 5,00 cm²/m

Insgesamt ergibt sich somit ein Bügelquerschnitt von erf. asw = asw, V + 2 · asw, T = 4,88 + 2 · 5,00 = 14,88 cm²/m

gewählt: ∅ 12/15 2-schn. mit vorh. as = 2 · 7,54 = 15,08 cm²/m ≥ 14,88 cm²/m


- 13 -

Längsbewehrung infolge Torsion:

erf. asl = 5,432404,02

49,182,155fA2

cotTuA

ydk

Ed

k

sl

⋅⋅⋅

=⋅⋅θ⋅

= = 11,10 cm²/m

erf. Asl = erf. asl · uk mit uk nach 1.2.3.2.2

= 11,10 · 2,02 = 22,42 cm²

gewählt: 10∅ 20 gleichmäßig auf den Umfang verteilt mit vorh. As = 31,4 cm² > erf. As = 22,42 cm²

Die Torsionslängsbewehrung ist im Bereich der Zugzone zur Biegezugbewehrung zu addieren. (Biegezugbewehrung As,Einsp. siehe 1.2.3.1.1, As, Feld siehe 1.2.3.1.2) Auf eine Reduzierung der Torsionslängsbewehrung in der Biegedruckzone wird ver-zichtet.

Längsbewehrung an der Balkenoberseite (Zugzone im Bereich der Einspannung):

Biegung + Torsion

Torsion

Ak = bk · hk

Bild 1-8 Querschnittsbelastung an der Einspannungsstelle

Asl, B+T, Einsp. = As,B, Einsp. + erf. asl, T · bk = 13,92 + 11,10 · 0,381 = 13,92 + 4,23 = 18,15 cm²

gewählt: 3 ∅ 20 + 2 ∅ 25 oben mit vorh. As = 19,2 cm² > erf. As = 18,15 cm²

Längsbewehrung an der Balkenunterseite (Zugzone im Feldbereich):

Biegung + Torsion

Torsion

Ak = bk · hk

Bild 1-9 Querschnittsbelastung im Feld


- 14 -

Vereinfachend wird hier die erforderliche Torsionslängsbewehrung der Einspannstel-le angesetzt (sichere Seite). Asl, B+T, Feld = As,B, Feld + erf. asl · bk = 6,61 + 11,10 · 0,381 = 6,61 + 4,23 = 10,84 cm²

gewählt: 3 ∅ 20 + 2∅ 12 unten mit vorh. As = 11,7 cm² > erf. Asl = 10,84 cm²

restliche Bewehrung im Bereich der „reinen“ Torsion: Asl,T = erf. asl · (bk + 2 · hk) = 11,10 · (0,381 + 2 · 0,631) = 18,24 cm²

gewählt: 7 ∅ 20 umlaufend mit vorh. As = 22,0 cm² > erf. Asl = 18,24 cm²


Für Querkraft wird θ = 39,8° (cot θ = 1,2), für Torsion θ = 45° (cot θ = 1,0) angesetzt.

erforderlicher Bügelquerschnitt infolge Querkraft (2-schn.):

asw, V = 2,162,05,43

24,196cotzf

VsA

yd

red,Ed

w

sw

⋅⋅=

θ⋅⋅= = 6,06 cm²/m

infolge Torsion (1-schn.):

asw, T = 0,12404,025,43

82,155cotA2f

TsA

kyd

Ed

w

sw

⋅⋅⋅=

θ⋅⋅⋅= = 7,45 cm²/m

Längsbewehrung infolge Torsion:

erf. asl = 5,432404,02

0,182,155fA2

cotTuA

ydk

Ed

k

sl

⋅⋅⋅

=⋅⋅θ⋅

= = 7,45 cm²/m

Die weitere Bestimmung der Bewehrung erfolgt analog zu Möglichkeit 1.

Es ergibt sich bei Berechnungsmöglichkeit 2 auf Grundlage des steileren Druckstre-benneigungswinkels infolge Torsion ein größerer Bügelquerschnitt, aber ein kleinerer Querschnitt für die Längseisen.

1.2.3.3 Nachweise des Anschlusses zwischen Gurt und Steg Bei Bauteilen mit gegliederten Querschnittsteilen breiten sich die vom Steg auf die Gurte übertragenen Schubkräfte in den Gurtscheiben rechnerisch bis auf die mitwir-kende Breite beff aus. Dies bewirkt Zugkräfte rechtwinklig zur Bauteilachse. Der Anschluss von Druck- und Zuggurten ist an einem Fachwerkmodell nachzuwei-sen [DIN 1045-1; 10.3.5]. Hier ist nur im Feld der Anschluss des Druckgurtes (Feld-bereich) nachzuweisen, da im Zuggurt (Stützbereich) keine Bewehrung ausgelagert ist.


- 15 -

Längsschubkraft:

VEd = ΔFd

mit ΔFd als Längskraftdifferenz im einseitigen Gurtabschnitt mit der Länge av, in dem die Längsschubkraft als konstant angenommen werden darf.

+

- - M-Verlauf

1,935 1,935 2,64 2,64

av

ΔM

Bild 1-10 Ermittlung der Gurtabschnittslänge und des Differenzmoments

Für av darf nach [DIN 1045-1; 10.3.5 (2)] maximal der halbe Abstand zwischen Mo-mentennullpunkt und Momentenhöchstwert angesetzt werden. av = 2,64 / 2 = 1,32 m

Differenzmoment (aus Parabelgleichung ermittelbar): ΔM = ¾ · max. MEd, Feld = ¾ · 195,04 = 146,3 kNm (vgl. 1.2.2)

Druckkraftdifferenz infolge Biegemoment: ΔFc = ΔM / z = 146,3 / 0,68 = 215,1 kN mit z nach 1.2.3.1.2

zu übertragende Längskraftdifferenz im einseitigen Gurtabschnitt:

ΔFd = ΔFc · c

ca

AA = ΔFc ·

eff

a

bb = 215,1 ·

28,104,1 = 145,3 kN

Durch die Form des einseitigen Plattenbalkens kann sich die Druckkraftdifferenz nicht zu beiden Seiten ausbreiten. Zur Bemessung wird das folgende vereinfachte Modell herangezogen:

Ff

Fr

39,8° (cot θ = 1,2)

39,8° ΔFd + Fr

beff ΔFd

1,28

m

b w/2

=

0,25

m

0,78

50

Bild 1-11 Stabwerkmodell für den Anschluss zwischen Gurt und Steg für den einseitigen Plattenbalken


- 16 -

Ff = θ

Δcot

Fd =2,1

3,145 = 121,1 kN

asf = vyd

f

afF⋅

=32,15,43

1,121⋅

= 2,11 cm²/m

Die eine Hälfte dieser Bewehrung soll auf der Ober- und die andere Hälfte auf der Unterseite der Platte angeordnet werden. vorh. as = 2 · 5,13 = 10,26 cm²/m > erf. asf = 2,11 cm²/m (vorh. Bewehrung vgl. 1.1.4.2)

nicht maßgebend

Fr = ΔFd = 121,1 kN (aus Symmetriegründen)

erf. Asr = yd

r

fF =

5,431,121 = 2,78 cm²

Die eine Hälfte dieser Bewehrung soll auf der Ober- und die andere Hälfte auf der Unterseite der Platte angeordnet werden. Annahme: Wirkungsbreite der Zugkraft entspricht Plattendicke = 0,20 m. vorh. Asr =0,20 m · 2 · 5,03 cm²/m = 2,01 cm² (vorh. Bewehrung vgl. 1.1.4.2) < erf. Asr = 2,78 cm²

zus. Asr = 2,78 – 2,01 = 0,77 cm²

gewählt: Zulage: 1 ∅ 8 jeweils oben und unten Lage: 0,25 + 1,28 = 1,53 cm von Außenkante Plattenbalken, durchlaufend


1.2.4.1 Spannungsbegrenzung vgl. 1.1.4.1

1.2.4.2 Beschränkung der Rissbreite vgl. 1.1.4.2 wk = 0,3 mm

Einwirkungskombination für den Nachweis der Gebrauchstauglichkeit: EEd, perm = ∑Gk + ∑ψ2 · Qk mit ψ2 = 0,3 nach [DIN1055-100, Tab. A2]

Zunächst wird die Biege- und Torsionslängsbewehrung an der Einspannstelle unter-sucht.

Extremales Biegemoment unter quasi-ständigen Lasten:

MEd, perm = 215,9)75,133,013,26(

121

⋅⋅+− = -211,09 kNm siehe 1.2.1

Extremales Biegemoment zur Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit: MEd = -390,08 kNm vgl. 1.2.2

Extremales Torsionsmoment unter quasi-ständigen Lasten: TEd, perm = (15,50 + 0,3 · 8,75) · 9,15/2 = 82,92 kNm siehe 1.2.1


- 17 -

Extremales Torsionsmoment zur Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit: TEd = 155,82 kNm vgl. 1.2.2

Biegeanteil der erforderlichen Bewehrung an der Balkenoberseite: vgl. 1.2.3.2.4 erf. Asl,B / erf. Asl, B+T = 13,92 / 18,15 =0,767

Torsionsanteil der erforderlichen Bewehrung an der Balkenoberseite: vgl. 1.2.3.2.4 erf. Asl,T / erf. Asl, B+T = 4,23 / 18,15 = 0,233

Die Stahlspannung wird näherungsweise aus dem Verhältnis der Einwirkung für den Nachweis der Gebrauchstauglichkeit zu der Einwirkung, die zur Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit herangezogen wurde, gebildet. Unter Berücksichtigung der Ausnutzung der Bewehrung ergibt sich die Stahlspan-nung zu:

σs ≈ sds

s

Ed

perm,Ed

Ed

perm,Ed

A.vorhA.erf

233,0T

T767,0

MM

σ⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅

= 4352,19

15,18233,082,15592,82767,0

08,39009,211

⋅⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅−− N/mm² = 221,7 N/mm²

Bei Lastbeanspruchung kann entweder der Nachweis des Grenzdurchmessers oder der Nachweis der Höchstwerte der Stababstände geführt werden. [DIN 1045-1, 11.2.3 (2)] Als Beispiel wird hier der Nachweis des Grenzdurchmessers geführt:

Nachweis des Grenzdurchmessers für wk = 0,3 mm:

ds* = 23,1 mm interpoliert für σs = 221,7 N/mm² nach [DIN 1045-1, 11.2.3 Tab. 20]

wirksame Betonzugfestigkeit fct,eff = fctm = 2,6 MN/m²

Der Grenzdurchmesser der Bewehrungsstäbe muss in Abhängigkeit der wirksamen Betonzugfestigkeit fct,eff modifiziert werden: ds = ds

* · (fct,eff/fct0) = 23,1 · (2,6/3,0) = 20 mm ≥ 20 mm = vorh. ds NW erfüllt!

Bei eventueller Nichteinhaltung dieser Bedingung darf der Wert ds in Abhängigkeit von der Bauteilhöhe folgendermaßen modifiziert werden (hier nur zur Demonstrati-on):

ds* = ( ) 0,ct

ss

fbdh4A⋅⋅−

⋅σ = 23,1 · ( ) 0,350,069,075,04102,197,221 4

⋅⋅−⋅⋅ −

= 27,3 mm ≥ vorh. ds

Des Weiteren wird die Biege- und Torsionslängsbewehrung im Feld untersucht.

Extremales Biegemoment unter quasi-ständigen Lasten:

MEd, perm = 215,9)75,133,013,26(

241

⋅⋅+ = 105,54 kNm siehe 1.2.1

Extremales Biegemoment zur Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit MEd = 195,04 kNm vgl. 1.2.2

Für das Torsionsmoment werden vereinfachend die gleichen Werte wie an der Ein-spannstelle angenommen. (vgl.1.2.3.2.4 Bemessung im Feld)


- 18 -

Biegeanteil der erforderlichen Bewehrung an der Balkenunterseite: vgl. 1.2.3.2.4 erf. Asl,B / erf. Asl, B+T = 6,61 / 10,84 =0,610

Torsionsanteil der erforderlichen Bewehrung an der Balkenunterseite: vgl. 1.2.3.2.4 erf. Asl,T / erf. Asl, B+T = 4,23 / 10,84 = 0,390

Es folg wieder die näherungsweise Berechnung der Stahlspannung:

σs ≈ sds

s

Ed

perm,Ed

Ed

perm,Ed

A.vorhA.erf

390,0T

T610,0

MM

σ⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅

= 4357,1184,10390,0

82,15592,82610,0

04,19554,105

⋅⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅ N/mm² = 216,7 N/mm²

Als Beispiel wird jetzt der Nachweis der Höchstwerte der Stababstände geführt:

Nachweis der Höchstwerte der Stababstände für wk = 0,3 mm: max s = 229 mm interpoliert für σs = 216,7 N/mm² nach [DIN 1045-1, 11.2.3, Tab. 21]

vorh. s = 4

)2/0,22,15,3(250 ++⋅− = 9,65 cm = 96,5 mm < 229 mm = max s

1.2.4.3 Beschränkung der Verformung Nachweis der Verformungsbeschränkung durch die Begrenzung der Biegeschlank-heit: li = α· leff = 0,6 · 8,6 = 5,16 m [DIN 1045-1, 11.3.2 (2) und Tab. 22] li / d = 5,16 / 0,695 = 7,4 << 35

1.2.5 Konstruktive Durchbildung Mindestbewehrung zur Sicherstellung eines duktilen Bauteilverhaltens: [DIN 1045-1, 13.1.1, (1)] maximales Rissmoment (Betrachtung Einspannstelle mit oben liegender Zugzone): Mcr = fctm · W = fctm · Iy/zs

fctm = 2,6 N/mm² für C 25/30

Iy und zs nach Bild 1-12

Bild 1-12 Querschnittswerte Unterzug

Mcr = fctm · Iy/zs = 2,6 · 3,355·10-2/0,233 = 0,374 MNm min As = Mcr / (fyk · z) = 0,374 · 104 / (500 · 0,9 · 0,69) = 12,05 cm²/m < 29,5 cm²/m


- 19 -

Die Mindestquerkraftbewehrung beträgt bei einer Betongüte C 25/30: [DIN 1045-1, 13.2.3 (5), bzw. Tab. 29] asw,min = 1,0 · 0,083 % · bw = 0,083 · 50 = 4,15 cm²/m < 15,08 cm²/m = vorh. asw

Größte Längsabstände von Bügelschenkeln nach [DIN 1045-1, Tab. 31]: smax, längs ≤ 30 cm bzw. ≤ 0,7 · h = 0,7 · 75 = 52,5 cm für VEd / VRd, max = 0,25579 / 1,52767 = 0,17 nach 1.2.3.2.3

Größte Längsabstände von Torsionsbügeln nach [DIN 1045-1, 13.2.4 (2)]: smax, längs ≤ uk/8 = 2,02 / 8 = 0,25 m mit uk nach 1.2.3.2.2 svorh., längs = 15 cm ≤ smax, längs = 25 cm

Größte Querabstände von Bügelschenkeln nach [DIN 1045-1, Tab. 31]: smax, quer ≤ h = 0,75 m < 0,80 m svorh, quer = bw – 2 · cnom – 2 · ∅Bü / 2 = 0,50 – 2 · 0,035 – 2 · 0,012 / 2 = 0,408 m < 0,75 m = smax, quer

Maximaler Abstand der Torsionslängsbewehrung [DIN 1045-1, 13.2.4 (3)]: smax, längs T ≤ 0,35 m svorh, längs T = 0,381 / 2 = 0,191 m ≤ 0,35 m bzw. = 0,631 / 3 = 0,21 m ≤ 0,35 m

40

40 8

67 67

42

42 13

142

75

50

4 ∅8 L = 88

1 ∅12 L = 373

1 ∅12/15

2 2∅25

3 10∅20, s<35

5 2∅8

1 Q 513

2 Q 513

4 ∅8/30

AF

2,00

20

1,00

5 2∅8

Bild 1-13 Bewehrungszeichnung Schnitt Einspannstelle

40

40 8

67 67

42

42 13

142

75

50

4 ∅8 L = 88

1 ∅12 L = 373

1 ∅12/15

3 10∅20, s<35

5 2∅8

1 Q 513

2 Q 513

4 ∅8/30

AF

2,00

20

7 2∅12

5 2∅8 5 2∅8

Bild 1-14 Bewehrungszeichnung Schnitt Feld

TU Berlin – Fachgebiet Massivbau – Konstruktiver Ingenieurbau I/II 2 Bürogebäude

- 20 -

2 Bürogebäude Innerhalb des Projektes „Neubau eines Bürogebäudes“ ist die folgende Geschossde-cke (Pos. 1), ein Unterzug (Pos. 2) und eine Innenstütze (Pos. 3) zu bemessen. Als Belastung sind Eigengewicht und Verkehrslast zu berücksichtigen.

Baustoffe:

Beton: C 25/30 Baustahl: BSt 500 S/M

Expositionsklasse: XC1

Standort des Gebäudes: Berlin

Bild 2-1 Grundriss EG

A A

B

B

Achse 1

Achse 2

Achse 3

Ach

se A

Ach

se B

Ach

se C

Ach

se D

Ach

se E


- 21 -

1. OG

EG

KG

Bild 2-2 Schnitt A-A

2.1 Pos. 1 Deckensystem

2.1.1 Statisches Ersatzsystem (Modellbildung) und Belastung Durchlaufende Platten im üblichen Hochbau dürfen nach [DIN 1045-1, 7.3.2 (1)] un-ter der Annahme frei drehbarer Lagerung berechnet werden. Nach [DIN 1045-1, 7.3.1 (6)] können die effektiven Stützweiten bestimmt werden. Für durchlaufende Bauteile wird als Auflager die Mittelachse der Wand bzw. des Unterzuges angesetzt, bei Randauflagerungen darf die Auflagerachse bei 1/3 bis 1/2 der Breite des Aufla-gers definiert werden.In diesem Beispiel werden für die Stützweiten dementspre-chend die Achsmaße angesetzt.

Die Stützweitenverhältnisse betragen für alle Felder mit Ausnahme des Feldes 7 ly/lx = 5,90/4,80 = 1,23 < 2,0. Es handelt sich daher um 2-achsig gespannte Durchlaufplatten, die auf Unterzügen bzw. Wänden gelenkig aufgelagert sind (kontinuierliche Stützung). In Wirklichkeit er-gibt sich durch die monolithische Verbindung von Platte und Unterzug bzw. Wand eine elastische Einspannung am Endauflager. Bei der baulichen Durchbildung muss diese rechnerisch nicht erfasste Einspannwirkung im Nachhinein berücksichtigt wer-den, um nicht zu große Risse an der Bauteiloberkante zu erzeugen (vgl. 2.1.5). Bei Deckenfeld 7 handelt es sich um eine dreiseitig gestützte Platte. Deckenfeld 7 trägt im Bereich des freien Randes hauptsächlich in y-Richtung, nähert man sich den Unterstützungen, wird der Lastabtrag zweiachsig.


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Bild 2-3 Statisches System Decke

Das Deckensystem wird als massive Stahlbetonvollplatte ausgeführt und darf als isotrop angesehen werden. Es darf von voller Drillsteifigkeit ausgegangen werden (vgl. [2]), da keine Deckenöffnungen in den Plattenecken vorhanden sind. Die Platten sind monolithisch mit den Unterzügen bzw. Wänden verbunden und somit auch ge-gen Abheben gesichert.

Deckendicke:

Das maßgebende Kriterium zur Bestimmung der Dicke der Betonplatte ist die Be-schränkung der Durchbiegung (vgl. 2.1.4.3). Die Deckendicke sollte für das gesamte System einheitlich sein und mindestens 7 cm betragen. Wenn Querkraftbewehrung erforderlich wird, muss die Decke mindestens 16 cm stark ausgeführt werden [DIN 1045-1; 13.3.1]. Hier ist die Dicke mit h = 18 cm gegeben.

y x


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Lastannahmen:

Eigengewicht Betonplatte: gk1 = 0,18 · 25 kN/m³ = 4,5 kN/m² Ausbaulasten: Teppichboden ≈ 0,05 kN/m² Estrich 5 cm · 0,22 kN/(cm·m²) = 1,1 kN/m² Trittschalldämmung 5 cm · 0,01 kN/(cm·m²) = 0,05 kN/m² gk2 = 0,05 + 1,1 + 0,05 = 1,2 kN/m²

Ständige Lasten: gk = 4,5 + 1,2 = 5,7 kN/m² Verkehrslast nach DIN 1055-3 [5]: qk = 2,0 kN/m²

Der Bauherr möchte sich die Möglichkeit offen halten, in den Räumen leichte Trenn-wände anzuordnen. Daher muss nach DIN 1055-3 [5] ein Zuschlag von 0,75 kN/m² (für Trennwände mit g ≤ 100 kg/m³) berücksichtigt werden: Verkehrslast auf den Decken: qk = 2,0 + 0,75 = 2,75 kN/m² Verkehrslast im Treppenhaus: qk = 3,5 kN/m² Linienlast aus Treppe und Aufzug (vereinfachte Annahme: konstante Linienlast auf der gesamten Länge des freien Randes): Ständige Lasten: gk, Linienlast = 5,0 kN/m Verkehrslasten: qk, Linienlast = 3,0 kN/m

Bemessungslasten:

gd = 1,35 · gk = 1,35 · 5,7 = 7,70 kN/m² qd = 1,50 · qk = 1,50 · 2,75 = 4,13 kN/m²

(g + q)d = 7,70 + 4,13 = 11,83 kN/m²

qd, Treppenhaus = 1,50 · qk = 1,50 · 3,5 = 5,25 kN/m² (g + q)d, Treppenhaus = 7,70 + 5,25 = 12,95 kN/m² gd, Linienlast = 1,35 · 5,0 = 6,75 kN/m qd, Linienlast = 1,5 · 3,0 = 4,50 kN/m (g + q)d, Linienlast = 6,75 + 4,50 = 11,25 kN/m


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2.1.2 Schnittkraftermittlung Die ständige Last g wirkt immer gleichmäßig auf allen Feldern. Zur Bestimmung der maximalen bzw. minimalen Schnittkräfte sind unterschiedliche Laststellungen der veränderlichen Nutzlast q notwendig. Die größten und kleinsten Feldmomente ent-stehen bei einer schachbrettartigen Anordnung der veränderlichen Last q. (vgl. Bild 2-4 a) Das größte Stützmoment am Verbindungsrand benachbarter Einzelplattenfel-der entsteht bei Vollbelastung dieser Nachbarfelder, während die angrenzenden Fel-der nutzlastfrei und die weiteren Plattenfelder wieder abwechselnd mit Nutzlast zu belegen sind.(vgl. Bild 2-4 b)

a) b)

Bild 2-4 Lastanordnung der veränderlichen Last q für maximales Feldmoment bzw maxi-males Stützmoment

Die Schnittkraftermittlung kann, wie im Vorlesungsskript erläutert, auf verschiedene Arten durchgeführt werden. Für das hier behandelte Beispiel wird zunächst mit dem Verfahren der Belastungsumordnung nach DAfStb Heft 240 [6] gearbeitet. Dazu werden mit Hilfe der Tafeln von Czerny [10] die Schnittgrößen an Einfeldplatten ermittelt, die an den Rändern in der Regel frei drehbar gelagert oder zu den Nachbar-feldern eingespannt sind. Da einerseits die Einspanngrade zu den Nachbarfeldern unbekannt sind, andererseits die Tafeln nur für die volle Einspannung (Einspanngrad = 100%) bzw. für die frei drehbar gelagerte Platte (Einspanngrad = 0%) existieren, müssen die Lasten derart umgeordnet werden, dass das Durchlaufplattensystem auf Einfeldplatten reduziert werden kann. An diesen Einfeldplatten werden dann die Schnittgrößen für einen Teil der Last unter Annnahme frei drehbarer Lagerung und für den verbleibenden Rest der Last unter Annahme voller Einspannung der jeweiligen Ränder ermittelt. Die Addition der ermit-telten Teilschnittgrößen führt zur gesuchten Gesamtschnittgröße (vgl. Bild 2-5 und Bild 2-6). Zum Vergleich wird anschließend eine Berechnung mit dem Verfahren von Pieper/Martens durchgeführt. Das Belastungsumordnungsverfahren darf verwendet werden, wenn die benach-barten Stützweiten annähernd gleich sind. Als Kriterium gilt min lx : max lx ≥ 0,75 bzw. min ly : max ly ≥ 0,75 nach DAfStb Heft 240 [6]. Bei größeren Unterschieden in den Stützweiten wird das Verfahren unzuläs-sig. Für die vorliegenden Abmessungen ergibt sich: lx : max lx = 4,80 : 4,80 = 1,0 > 0,75 bzw. min ly : max ly = 5,90 : 5,90 = 1,0 > 0,75


- 25 -

In Feld 7 sind durch das Treppenloch die Lagerungsbedingungen und Abmessungen verändert und die Belastung ist höher. Die Felder 7 und 8 werden daher gesondert betrachtet. (vgl. 2.1.2.3 und 2.1.2.4)

Beim Belastungsumordnungsverfahren wird die Last in einen symmetrischen Lastan-teil (rI = gd + qd / 2) und einen schachbrettartig angeordneten antimetrischen Lastan-teil (rII =± qd / 2) aufgeteilt. Der symmetrische Lastanteil wird dann wie die ständig wirkenden Lasten behandelt, d. h. in allen Feldern gleichzeitig wirkend. Eine Addition der beiden Lastanteile ergibt die ursprüngliche Belastung: gd + qd/2 -qd/2 = gd bzw. gd + qd/2 +qd/2 = gd + qd

Diese Belastungsumordnung bietet einen entscheidenden Vorteil: In guter Näherung kann angenommen werden, dass die Biegefläche des symmetrischen Lastfalls rI an allen Mittelunterstützungen horizontale Tangenten aufweist. Die Biegefläche des an-timetrischen Lastfalls rII liefert Wendepunkte an den Auflagerlinien und verhält sich daher näherungsweise wie eine gelenkig gelagerte Einfeldplatte. (vgl. Bild 2-5 und Bild 2-6) Bei der Bestimmung des maximalen Stützmoments ist zu berücksichtigen, dass für den antimetrischen Lastfall die benachbarten Felder belastet werden müs-sen, so dass in diesem Bereich die Biegefläche auch eine horizontale Tangente be-sitzt. (vgl. Bild 2-6) Mit dieser Zerlegung der Lasten ist die Momentenermittlung durchlaufender Platten ausreichend genau auf die Momentenermittlung von Einfeldplatten zurückzuführen.

Bild 2-5 Belastung und Aufteilung der Last zur Ermittlung der extremalen Feldmomente


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Bild 2-6 Belastung und Aufteilung der Last zur Ermittlung der extremalen Stützmomente

In dem hier vorliegenden Fall ergibt sich der Wert für den symmetrischen Lastfall zu: rI = gd + qd / 2 = 7,70 + 4,13 / 2 = 9,77 kN/m² rII = ± qd / 2 = ± 4,13 / 2 = ± 2,07 kN/m²

bzw. im Bereich Treppenhaus: rI

Treppenhaus = gd + qd / 2 = 7,70 + 5,25 / 2 = 10,33 kN/m² rII

Treppenhaus = ± qd / 2 = ± 5,25 / 2 = ± 2,63 kN/m²

Eingangswerte für die Tafeln nach Czerny [10] Bezugsstützweite ist lx und damit immer die kürzere Seite. Stützweitenverhältnis: ly:lx = 5,90:4,80 = 1,23 Die Werte für das Stützweitenverhältnis 1,23 werden interpoliert.

Eingangswerte zur Ermittlung der Momente m = (p·lx2): Ablesewert rI· lx2 = 9,77 · 4,802 = 225,10 rII· lx2 = 2,07 · 4,802 = 47,69 Eingangswerte zur Ermittlung der Querkräfte q = (p·lx): Ablesewert rI· lx = 9,77 · 4,80 = 46,90 rII· lx = 2,07 · 4,80 = 9,94 Die Ergebnisse aus den unterschiedlichen Lagerungsbedingungen unter Ansatz von rI, und rII werden addiert. Die Maximalwerte für die gelenkige und die eingespannte Lagerung liegen zwar nicht genau an der gleichen Stelle, durch die Addition liegt man aber auf der sicheren Seite.


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2.1.2.1 Feldmomente Ermittlung der maximalen Feldmomente mx und my

Feld 1

siehe Anlage 6 siehe Anlage 1

1 1

Stützung für symmetrischen Lastanteil rI

(Tafel 2.2.4 nach Czerny)

Stützung für antimetrischen Lastanteil rII


Bild 2-7 Stützungen zur Ermittlung der maximalen Feldmomente (Feld 1)

mEd,x,m,1 = 225,10 / 28,8 + 47,69 / 18,3 = 10,42 kNm/m mEd,y,m,1 = 225,10 / 45,0 + 47,69 / 29,6 = 6,61 kNm/m

Die Feldmomente der Platten 4, 5, 6 und sind identisch. Näherungsweise sind auch die Feldmomente von Feld 8 die Gleichen, obwohl die Nachbarplatte von Feld 7 andere Lasten und Lagerungsbedingungen aufweist.

mEd,x,m,4= mEd,x,m,5= mEd,x,m,6 = mEd,x,m,8 = mEd,x,m,1= 10,42 kNm/m mEd,y,m,4= mEd,y,m,5= mEd,y,m,6 = mEd,x,m,8 = mEd,y,m,1 = 6,61 kNm/m

Feld 2

siehe Anlage 8 siehe Anlage 1

2 2


(Tafel 2.2.5 nach Czerny) Stützung für antimetrischen Lastanteil rII





- 28 -

Feld 3

Für Feld 3 wird die Einspannung in die angrenzende Platte von Feld 7 vernach-lässigt. siehe Anlage 5 siehe Anlage 1

3 3






Eine Erhöhung der Feldmomente entfällt, da die Platten im Eckbereich durch die Auf-last der darüber liegenden Stützen bzw. Wände gegen Abheben gesichert sind. [VL-Skript KI II]

2.1.2.2 Stützmomente Die maximalen Stützmomente mx und my werden zunächst separat für jede Platte mit den jeweiligen Lagerungsbedingungen ermittelt. Anschließend werden sie mit den berechneten Stützmomenten der angrenzenden Platte verglichen. Treten unter-schiedliche Ergebnisse auf, wird ein Mittelwert gebildet.

Momente in x-Richtung

Stützung zwischen Feld 1 und Feld 2 (mx) siehe Anlage 6 siehe Anlage 3

1 1




Bild 2-10 Stützungen zur Ermittlung der maximalen Stützmomente (Feld 1/Feld2)


- 29 -

mEd,x,ermin1/2 = -225,10 / 11,3 - 47,69 / 10,0 = -24,69 kNm/m

Stützung zwischen Feld 2 und Feld 1 (mx) siehe Anlage 8 siehe Anlage 3

2 2




Bild 2-11 Stützungen zur Ermittlung der maximalen Stützmomente (Feld 2/Feld 1)

mEd,x,ermin2/1 = -225,10 / 13,7 - 47,69 / 10,0 = -21,20 kNm/m

Die Stützmomente aus Stützung 1/2 und 2/1 werden gemittelt: m*

Ed,x,ermin1/2 = -(24,69 + 21,20) / 2 = -22,95 kNm/m

Stützung zwischen Feld 2 und Feld 3 (mx) entspricht der Situation zwischen Feld 2 und Feld 1 mEd,x,ermin2/3 = mEd,x,ermin2/1 = -21,20 kNm/m

Stützung zwischen Feld 3 und Feld 2 (mx) Für Feld 3 wird die Einspannung in die angrenzende Platte von Feld 7 vernachläs-sigt. siehe Anlage 5 siehe Anlage 3

3 3





mEd,x,erm3/2 = -225,10 / 12,8 - 47,69 / 10,0 = -22,35 kNm/m


- 30 -


Ed,x,ermin2/3 = -(21,20 + 22,35) / 2 = -21,78 kNm/m

Stützung zwischen Feld 4 und Feld 3 (mx) entspricht der Situation zwischen Feld 1 und Feld 2 mEd,x,ermin4/3 = mEd,x,ermin1/2 = -24,69 kNm/m


Ed,x,ermin3/4 = -(24,69 + 22,35) / 2 = -23,52 kNm/m

Stützung zwischen Feld 5 und Feld 6 (mx) entspricht der Situation zwischen Feld 1 und Feld 2 mEd,x,ermin5/6 = mEd,x,ermin6/5 = mEd,x,ermin1/2 = -24,69 kNm/m

Stützung zwischen Feld 8 und Feld 7 (mx) entspricht näherungsweise der Situation zwischen Feld 1 und Feld 2 mEd,x,ermin8/7 = mEd,x,ermin6/5 = mEd,x,ermin1/2 = -24,69 kNm/m

Momente in y-Richtung

Stützung zwischen Feld 1 und Feld 5 (my) siehe Anlage 6 siehe Anlage 2

1 1





mEd,y,ermin,1/5 = -225,10 / 13,0 - 47,69 / 9,9 = -22,13 kNm/m

Stützung zwischen Feld 5 und Feld 1 entspricht der Situation zwischen Feld 1 und Feld 5 mEd,y,ermin5/1 = mEd,y,ermin1/5 = -22,13 kNm/m


- 31 -

Stützung zwischen Feld 2 und Feld 6 (my) siehe Anlage 8 siehe Anlage 2

2 2





mEd,y,erm,2/6 = -225,10 / 17,5 - 47,69 / 9,9 = -17,68 kNm/m

Stützung zwischen Feld 6 und Feld 2 entspricht der Situation zwischen Feld 1 und Feld 5 mEd,y,ermin6/2 = mEd,y,ermin1/5 = -22,13 kNm/m


Ed,x,ermin2/6 = -(17,68 + 22,13) / 2 = -19,91 kNm/m

Stützung zwischen Feld 3 und Feld 7 (my) Der linke Teilbereich ist gelenkig aufgelagert. mEd,y,erm,3/7 (links) = 0 kNm/m Auf dem rechten Teilbereich ist eine Einspannung vorhanden, die vergleichbar ist mit der Stützung zwischen Feld 2 und Feld 6: mEd,y,erm,3/7 (rechts) = mEd,y,erm,2/6 = -17,68 kNm/m

Stützung zwischen Feld 4 und Feld 8 und zwischen Feld 8 und Feld 4 (my) entspricht der Situation zwischen Feld 1 und Feld 5 mEd,y,ermin4/8 = mEd,y,ermin8/4 = mEd,y,ermin1/5 = -22,13 kNm/m

2.1.2.3 Vergleichsrechnung nach Pieper/Martens für Feld 8 Das Verfahren von Pieper/Martens ist bei größeren Stützweitenunterschieden sinn-voll, gilt aber auch bei gleichen Stützweitenverhältnissen. Als Vereinfachung zur Be-messung von durchlaufenden Deckenplatten wird bei diesem Verfahren vorgeschlagen, für die Feldmomente mit einem Einspanngrad von 50% und für die Stützmomente mit voller Einspannung zu rechnen. Um unterschiedliche Vollein-spannmomente benachbarter Platten auszugleichen, wird folgendermaßen verfah-ren:


- 32 -

Volleinspannmoment der Einzelplatte 1 → merm (1) Volleinspannmoment der Einzelplatte 2 → merm (2)

( ) ( ) ( )

( ) Momentgrößteigbetragsmäßdasalso,mmin21m1:5l:l

mmin%752

2m1m21m1:5l:l

ermerm21

ermermerm

erm21

=−>

⋅≥+

=−<

Die so ermittelten Stützmomente sind Bemessungswerte und dürfen nicht mehr ab-gemindert werden. In der Literatur [11], [9] sind Tafeln für vierseitig gestützte Platten abgedruckt, in der die vorgeschlagenen Einspanngrade berücksichtigt sind.

Für Feld 8 bzw. die Eckfelder wird das Verfahren nach Pieper/Martens vorgeführt. Zum Vergleich sind die Ergebnisse nach Belastungsumordnungsverfahren/Czerny angegeben. (vgl. 2.1.2.1 und 2.1.2.2)

Bedingung für die Anwendung des Verfahrens nach [11], [9]: q = 2,75 ≤ 2·(g+q)/3 = 2·(5,7+2,75)/3 = 5,63 und q = 2,75 ≤ 2·g = 2·5,7 = 11,4 Verfahren darf angewendet werden.

Eingangswerte: (Achtung ly ist hier die längere Seite!) ly / lx = 5,90 / 4,80 = 1,23

2xdd l)qg( ⋅+ = 280,4)13,470,7( ⋅+ = 272,56

Die Indizes x und y beziehen sich hier auf das lokale Koordinatensystem nach der Definition von PIEPER/MARTENS.

Stützungsart 4 zum Vergleich:

mfx = x

2xdd

fl)qg( ⋅+

= 7,2156,272 = 12,56 kNm/m (10,42 kNm/m nach Czerny)

mfy = y

2xdd

fl)qg( ⋅+

= 8,3656,272 = 7,41 kNm/m (6,61 kNm/m nach Czerny)

msx = -x

2xdd

sl)qg( ⋅+

= -0,1156,272 = -24,78 kNm/m (-24,69 kNm/m nach Czerny)

msy = -y

2xdd

sl)qg( ⋅+

= -9,1256,272 = -21,13 kNm/m (-22,13 kNm/m nach Czerny)

2.1.2.4 Betrachtung der dreiseitig gelagerten Platte (Feld 7) In Feld 7, dem Treppenpodest, sind durch das Treppenloch die Lagerungsbedingun-gen und Abmessungen verändert. Die Flächenbelastung ist höher und eine Linienlast am freien Rand muss berücksichtigt werden. Das Belastungsumordnungsverfahren kann für die benachbarten Felder 7 und 8 daher nicht angewendet werden.


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Für die dreiseitig gelagerte Platte von Feld 7 wird auf die Tafeln von Stiglat/Wippel zurückgegriffen, in denen auch Werte für Linienlasten am freien Plattenrand abge-druckt sind. [12] Die Werte von Stiglat/Wippel sind für drillweiche Platten. Bei dem vorliegenden Fall kann zwar von einer vollen Drillsteifigkeit ausgegangen werden (vgl. 2.1.2), auf der sicheren Seite liegend darf aber die Drillsteifigkeit vernachlässigt werden. Auch für diese Platte soll vereinfachend wieder eine volle Einspannung in die Nach-barplatten angenommen und die Feldmomente für eine 50%-ige Einspannung be-rechnet werden. Für die Feldmomente müssen die Ergebnisse für eingespannte und gelenkig gelagerte Platten gemittelt werden.

Stützweitenverhältnis: ly/lx = 2,15/5,90 = 0,36

Eingangswerte für Gleichlast auf der gesamten Platte KGleichlast= (q + g)d, Treppenhaus · lx · ly = 12,95 · 5,90 · 2,15 = 164,3 (vgl. 2.1.1)

Eingangswerte für Linienlast entlang des freien Randes KLinienlast= (q + g)d, Linienlast · lx = 11,25 · 5,90 = 66,4 (vgl. 2.1.1)

Die Momente errechnen sich zu m = K / Ablesewert m

Stützmomente: siehe Anlage 11

Platte Nr. III/6 nach Stiglat/Wippel

7 min ye

xer

Bild 2-15 Lagerung zur Ermittlung der Stützmomente für das Treppenpodest

Die Indizes x und y beziehen sich hier auf das lokale Koordinatensystem nach der Definition von Stiglat/Wippel.

Stützmomente für Gleichlast: (Platte Nr. III/6/a) mxer = K / m = -164,3 / 7,54 = -21,8 kNm/m mminye = K / m = -164,3 / 7,84 = -21,0 kNm/m

Stützmomente für Linienlast: (Platte Nr. III/6/c) mxer = K / m = -66,4 / 2,64 = -25,2 kNm/m mminye = K / m = -66,4 / 4,75 = -14,0 kNm/m

Gesamtstützmomente (Feld 7): m*

xer = -21,8 - 25,2 = -47,0 kNm/m m*

minye = -21,0 – 14,0 = -35,0kNm/m

Endergebnis der Stützmomente: (Die Indizes x und y beziehen sich hier wieder auf das globale Koordinatensystem.)


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Die Stützmomente aus Stützung 7/8 und 8/7 werden gemittelt: mit msx = -24,78 kNm/m nach Pieper/Martens (vgl. 2.1.2.3) m**

Ed,x,er, 7/8 = -(24,78+35,0) / 2 = -29,89 kNm/m I≥I 0,75 · (-35,0) = -26,25 kN/m m**

Ed,x,er, 7/8 = -29,89 kNm/m

Die Stützmomente aus Stützung 3/7 und 7/3 werden gemittelt: mit mEd,y,erm,3/7 (rechts) = -17,68 kNm/m (vgl. 2.1.2.2) m**

Ed,y,ere, 3/7 = -(17,68 + 47,0) / 2 = -32,34 kNm/m I≥I 0,75 · (-47,0) = -35,25 kN/m m**

Ed,y,ere, 3/7 = -35,25 kN/m

Feldmomente:

Platte Nr. III/6 nach Stiglat/Wippel Platte Nr. III/4 nach Stiglat/Wippel

7 7 50% 50%

xr

xrm

Bild 2-16 Lagerung zur Ermittlung der Feldmomente für das Treppenpodest

Feldmomente für Gleichlast: (siehe Anlage 11 und Anlage 9) (Platte Nr. III/6/a) mxr, eingesp. = K / m = 164,3 / 33,5 = 4,90 kNm/m (Platte Nr. III/4/a) mxrm, gelenkig = K / m = 164,3 / 12,1= 13,58 kNm/m

Feldmomente für Gleichlast mit 50% Einspannung: mxr = 0,50 · 4,90 + 0,50 · 13,58 = 9,24 kNm/m

Feldmomente für Linienlast: (siehe Anlage 12 und Anlage 10) (Platte Nr. III/6/c) mxr, eingesp. = K / m = 66,4 / 13,1 = 5,07 kNm/m (Platte Nr. III/4/c) mxrm, gelenkig = K / m = 66,4 / 6,1 = 10,89 kNm/m

Feldmomente für Linienlast mit 50% Einspannung: mxr = 0,50 · 5,07 + 0,50 · 10,89 = 7,98 kNm/m

Gesamtfeldmoment: m*xr = 9,24 + 7,98 = 17,22 kNm/m


- 35 -

2.1.2.5 Zusammenstellung der Bemessungsmomente

10,42 6,61

10,42 4,97

10,39 4,72

10,42 6,61

10,42 6,61

10,42 6,61

10,42 6,61

-22,95 -21,78 -23,52

-24,69 -29,89

-22,

13

-19,

91

-35,

25

17,2

2

-22,

13

xy

Bild 2-17 Zusammenstellung der ermittelten Momente

Bei dem vorliegenden System handelt es sich um Auflagerungen mit monolithischem Verbund (Unterzüge und Stahlbetonwände). Für die Stützmomente darf eigentlich nach [DIN 1045-1, 7.3.2 (3)] das Stützmoment am Auflagerrand angenommen wer-den. Sowohl bei dem Belastungsumordnungsverfahren als auch bei dem Verfahren nach Pieper/Martens handelt es sich bei den ermittelten Stützmomenten um Bemes-sungswerte, sie dürfen daher nicht mehr abgemindert werden.

Mindestbemessungsstützmomente:

Zur Berücksichtigung der Idealisierung des Tragsystems und möglicher Abweichun-gen während der Bauzeit muss ein Mindestbemessungsmoment am Auflagerrand untersucht werden, das mindestens 65% des Moments bei Annahme einer vollen Randeinspannung beträgt. [DIN 1045-1, 8.2 (5)]

Bei vierseitig gelagerten Platten mit geringen Stützweitenunterschieden sind die nach dem Belastungsumordnungsverfahren ermittelten Stützmomente generell größer.

Hier der Vollständigkeit halber die Überprüfung:

ungünstigster Fall: Feld 1 Ermittlung der Momente mit Hilfe der Czerny-Tafeln


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siehe Anlage 6

1

4,65

5,75

mxermin

myermin

Stützung für Vollbelastung (Tafel 2.2.4 nach Czerny)

Statisches System: (maßgebende Momente für volle Einspannung am Anschnitt der Auflager)

Bild 2-18 Stützung für Mindestbemessungsmomente (Stützmomente)

ly : lx = 5,75 : 4,65 = 1,24

mx, min = 0,65 · mEd,xermin = 0,65·(-11,83·4,502) / 11,3= 0,65·(-22,00) = -14,30 kNm/m my, min = 0,65 · mEd,yermin = 0,65·(-11,83·4,502) / 13,0= 0,65·(-18,43) = -11,98 kNm/m

Ein Vergleich mit allen ermittelten Stützmomenten ergibt wie erwartet, dass die Min-destbemessungsmomente nicht maßgebend werden.

Eine Überprüfung für Feld 7 ist nicht notwendig, da die Bemessungsstützmomente mit der Bedingung m ≥ 0,75 · mvoll eingespannt ermittelt wurden und dementsprechend größer sind als die geforderten Mindestbemessungsmomente von 0,65 · mvoll eingespannt nach [DIN 1045-1, 8.2 (5)].

Drillmomente in den Platteneckbereichen werden nicht berücksichtigt, da die Platten nicht frei aufgelagert, sondern monolithisch mit den Unterzügen bzw. Wänden ver-bunden sind. [DIN 1045-1, 13.3.2 (9)] Konstruktiv muss jedoch eine Einspannbeweh-rung vorgesehen werden. (vgl. 2.1.5)

2.1.2.6 Querkräfte Ermittlung der maximalen Querkräfte vx und vy

Nach [DIN 1045-1, 7.3.2 (5)] dürfen bei dem vorliegenden Stützweitenverhältnis die maßgebenden Querkräfte vereinfachend für Vollbelastung aller Felder ermittelt wer-den. Ungünstigster Fall: Querkraft an Stützung zwischen Feld 1 und Feld 2 siehe Anlage 6

1

Stützung für Volllast (Tafel 2.2.4 nach Czerny)

Bild 2-19 Stützung zur Ermittlung der maximalen Querkraft


- 37 -

Querkraft am Zwischenauflager: vEd,Zwischenauflager = qx,erm = (gd + qd)·lx / Ablesewert = 11,83 · 4,80 / 1,73 = 32,82 kN/m Querkraft am Endauflager: vEd,Endauflager = qx,rm = (gd + qd)·lx / Ablesewert = 11,83 · 4,80 / 3,16 = 18,0 kN/m

Die Querkräfte können vereinfachend auch mit Hilfe der Lastverteilung von Platten nach Bild 2-29 ermittelt werden (vgl. 2.2.1) Querkraft am Zwischenauflager mit Hilfe der Lastverteilung: vEd,Zwischenauflager = (gd + qd) · 3,04 = 11,83 · 3,04 = 36,0 kN/m ≈ 32,82 kN/m Querkraft am Endauflager mit Hilfe der Lastverteilung: vEd,Endauflager = (gd + qd) · 1,76 = 11,83 · 1,76 = 20,8 kN/m ≈ 18,0 kN/m

Zusatzbetrachtung für Feld 7 Um die maximale Querkraft des gesamten Plattensystems zu ermitteln, muss für das stärker belastete Feld 7 (Treppenpodest) eine weitere Untersuchung durchgeführt werden: Ungünstigster Fall: Querkraft an Stützung zwischen Feld 7 und Feld 3

Linienlast und Flächenlast

7 xe

yer

beff vereinfachend einachsig gespannt in Richtung des freien Randes

5,90

Bild 2-20 Randbedingungen Platte 7 (Treppenpodest) zur Ermittlung der Querkräfte

Zur Ermittlung der Querkraft wird vereinfachend aber auf der sicheren Seite liegend für Feld 7 ein einachsig gespanntes System angenommen unter Berücksichtigung einer mitwirkenden Plattenbreite beff. (vgl. Bild 2-21)


- 38 -

Bild 2-21 Ermittlung der rechnerischen mitwirkenden Plattenbreite beff nach DAfStb Heft 240 [6] (Achtung: beff = bm alte Schreibweise!)

Nach Bild 2-21 beträgt die mitwirkende Breite für durchgehende Linienlast und das festgelegte statische System beff = 0,65 · l = 0,65 · 5,90 m = 3,84m. Da die Linienlast am Rand angreift und sich so nur in eine Richtung ausbreiten kann, muss der Wert noch halbiert werden: beff

I = 3,84 / 2 = 1,92 m < 2,15 = vorh. Podestbreite

Maßgebende Querkräfte infolge Linienlast:

Auflagerkraft B = 8

l)gq(5 dd ⋅+⋅ nach [SBT, S. 4.6] [9]

= 8

m90,5)m/kN50,4m/kN75,6(5 ⋅+⋅ = 41,48 kN (vgl. 2.1.1)

vEd,max, Linienlast = B / beffI = 41,48 / 1,92 = 21,61 kN/m

Auflagerkraft A = 8

l)gq(3 dd ⋅+⋅ nach [SBT, S. 4.6] [9]

= 8

m90,5)m/kN50,4m/kN75,6(3 ⋅+⋅ = 24,89 kN (vgl. 2.1.1)

vEd,A, Linienlast = B / beffI = 24,89 / 1,92 = 12,96 kN/m


- 39 -

Maßgebende Querkräfte infolge Gleichlast (pro laufenden Meter):

Auflagerkraft B = 8

l)gq(5 dd ⋅+⋅

= 8

m90,5m/kN95,125 2 ⋅⋅ = 43,62 kN/m (vgl. 2.1.1)

vEd,max, Gleichlast = 43,62 kN/m

Auflagerkraft A = 8

l)gq(3 dd ⋅+⋅

= 8

m90,5m/kN95,123 2 ⋅⋅ = 26,17 kN/m (vgl. 2.1.1)

vEd,A , Gleichlast = 26,17 kN/m

Maximale Querkraft Feld 7: vEd,max = 21,61 + 43,62 = 65,23 kN/m

Maximale Querkraft am Endauflager Feld 7: vEd,A = 12,96 + 26,17 = 39,13 kN/m

2.1.3 Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit Betondeckung nach [DIN 1045-1 6.3, Tab. 4]

cmin ≥ ⎩⎨⎧ =

mm10mm8ds cnom = cmin + Δc = 10 +10 = 20 mm

2.1.3.1 Biegebemessung Feldbewehrung (untere Bewehrung)

Felder 1,2,3,4,5,6,8: Verlegerichtung der Matten für die Feldbewehrung ist die x-Richtung. Die Längseisen der Matte liegen unten.

Statische Nutzhöhe dx = h - cnom - dsx/2 = 18 – 2,0 - 1,0/2 = 15,5 cm Statische Nutzhöhe dy = h - cnom - dsx - dsy/2 = 18 – 2,0 - 1,0 - 1,0/2 = 14,5 cm

In x-Richtung beträgt das maximale Moment mEd,x= 10,42 kNm/m nach Bild 2-17

cd2Eds

Eds fdbM

⋅⋅=μ =

2,14155,000,101042,0

2 ⋅⋅= 0,031

z = ζ·d =0,976 0,155 = 0,151 m

erf. as = yd

Eds

fzM⋅

= 5,43151,0

42,10⋅

= 1,59 cm²/m

gew.: Q 257 mit as = 2,57 cm²/m > 1,59 cm²/m (Bewehrungswahl vgl. 2.2.5 Nachweis Mindestbewehrung zur Sicherstellung eines duktilen Bauteilverhaltens)


- 40 -

In y-Richtung beträgt das maximale Moment mEd,y= 6,61 kNm/m

cd2Eds

Eds fdbM

⋅⋅=μ =

2,14145,000,100661,0

2 ⋅⋅= 0,022

z = ζ·d =0,980 0,145 = 0,142 m

erf. as = yd

Eds

fzM⋅

= 5,43142,0

61,6⋅

= 1,07 cm²/m

gew.: Q 257 mit as = 2,57 cm²/m > 1,07 cm²/m (Bewehrungswahl vgl. 2.2.5 Nachweis Mindestbewehrung zur Sicherstellung eines duktilen Bauteilverhaltens)

Feld 7: Verlegerichtung der Matten für die Feldbewehrung ist die y-Richtung. Die Längseisen der Matte liegen unten.

Statische Nutzhöhe dy = h - cnom - dsy/2 = 18 – 2,0 - 1,0/2 = 15,5 cm

mEd,y= 17,22 kNm/m nach Tab. 2-1

cd2Eds

Eds fdbM

⋅⋅=μ =

2,14155,000,101722,0

2 ⋅⋅= 0,050

z = ζ·d =0,971 0,155 = 0,151 m

as = yd

Eds

fzM⋅

= 5,43151,0

22,17⋅

= 2,62 cm²/m

gew.: R 377 mit as = 3,77 cm²/m > 2,50 cm²/m

Hier wird aus wirtschaftlichen Gesichtspunkten überbemessen. Eine R 257 hätte aus statischer Sicht ausgereicht. R 257 werden in Längen von 5,00 m angeboten. Es hät-ten damit 2 Matten bestellt und zugeschnitten werden müssen. Von den 6,00 m lan-gen R 377-Lagermatten reicht bei den gegebenen Abmessungen eine aus.

Stützbewehrung (obere Bewehrung)

Die Anordnung der Stützbewehrung kann aufgrund der unterschiedlichen Orte hier immer in äußerer Lage erfolgen. (Die Längseisen der Matte liegen oben.)

Statische Nutzhöhe dx = dy = h - cnom - dsx/2 = 18 – 2,0 - 1,0/2 = 15,5 cm

b = 1,00 m; d = 0,155 m; fcd = 14,2 MN/m²; fyd = 43,5 kN/m²


- 41 -

Ort

MEds [kN/m²] nach

Bild 2-17

μEds=

cd2Eds

fdbM

⋅⋅

ζ z = ζ·d[m]

erf, as =

yd

Eds

fzM⋅

[cm²/m]

gew. vorh. as [cm²/m]

Stützung 1/5 -22,13 0,065 0,962 0,149 3,41 R 377 3,77 Stützung 2/6 -19,91 0,058 0,967 0,150 3,05 R377 3,77

Stützung 3/7 -35,25 0,103 0,940 0,146 5,55 R 377 + ∅ 6/15

3,77 +1,88 =

5,65 Stützung 4/8 -22,13 0,065 0,962 0,149 3,41 R 377 3,77 Stützung 1/2 -22,95 0,067 0,962 0,149 3,54 R 377 3,77 Stützung 2/3 -21,78 0,064 0,962 0,149 3,36 R 377 3,77 Stützung 3/4 -23,52 0,069 0,962 0,149 3,63 R 377 3,77 Stützung 5/6 -24,69 0,072 0,956 0,148 3,84 R 513 5,13 Stützung 7/8 -29,89 0,088 0,951 0,147 4,67 R 513 5,13

Tab. 2-1 Bemessung Stützmomente

2.1.3.2 Querkraftbemessung aufnehmbare Querkraft des Bauteils ohne Querkraftbewehrung:

VRd,ct = [0,10 ⋅ κ ⋅ η1 · (100 ·ρl ·fck)1/3 – 0,12 σcd] ⋅ bw · d

κ = 1 + d

200 = 1 + 155200 = 2,14 < 2,0 => κ = 2,0

η1 = 1,0 (Normalbeton) ρl = asl/(b ⋅ d) = 5,65 / (100 · 15,5) = 0,0037 ≤ 0,02 (asl siehe Tab. 2-1) σcd = 0 (N = 0)

VRd,ct = [0,10 ⋅ 2,0 ⋅ (100·0,0037 · 25)1/3 – 0] 1,0 · 0,155 · 10³ = 95,6 kN/m > 65,23 kN/m = vEd (max. Querkraft Feld 7) (siehe 2.1.2.6)

keine Querkraftbewehrung erforderlich!


2.1.4.1 Spannungsbegrenzung vgl. 1.1.4.1

2.1.4.2 Beschränkung der Rissbreite Anforderungsklasse zur Begrenzung der Rissbreite für Expositionsklasse XC1: F [DIN 1045-1 11.2.1, Tab. 19]

Rechenwert der Rissbreite für Anforderungsklasse F: wk = 0,4 mm [DIN 1045-1 11.2.1, Tab. 18]

Einwirkungskombination für den Nachweis der Gebrauchstauglichkeit: EEd, perm = ∑Gk + ∑ψ2 · Qk mit ψ2 = 0,3 nach [DIN 1055100, Tab. A2] [4]


- 42 -

Die Betonstahlspannungen im Gebrauchszustand werden vereinfachend über das Verhältnis der Belastungen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (GZG) und der Belastungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit (GZT) berechnet:

gd,GZG = 1,0 · gk = 1,0 · 5,7 = 5,70 kN/m² qd, GZG = 0,3 · qk = 0,3 · 2,75 = 0,83 kN/m²

(g + q)d, perm (GZG) = 5,70 + 0,83 = 6,53 kN/m²

(g + q)d (GZT) = 11,83 kN/m² (vgl. 2.1.1)

Näherungsweise ergibt sich die Stahlspannung im Gebrauchszustand zu:

σs ≈ sds

s

)GZT(Ed

)GZG(perm,Ed

A.vorhA.erf

)qg()qg(

σ⋅⋅+

+

= 6,53/11,83 · 1,0 (sichere Seite) · 435 N/mm² = 239 N/mm²

Es wird der Nachweis für die statisch erforderliche Bewehrung ohne direkte Berech-nung über die Begrenzung der Stababstände nach [DIN 1045-1, 11.2.3] geführt. (vgl. 1.1.4.2)

Nachweis der Höchstwerte der Stababstände für wk = 0,4 mm: max s = 250 mm für σs = 239 N/mm² nach [DIN 1045-1, 11.2.3 Tab. 21]

vorh. s ≤ max s = 250 mm ist bei den gewählten Matten überall erfüllt

2.1.4.3 Beschränkung der Verformung Der Nachweis der Verformungsbeschränkung wird durch die Begrenzung der Biege-schlankheit geführt. [DIN 1045-1, 11.3.2 (2) und Tabelle 22] Für den üblichen Hochbau gilt li/d ≤ 35 Bei erhöhten Anforderungen, z. B. um Schäden an nachträglich angeordneten leich-ten Trennwänden zu vermeiden, sollte die Biegeschlankheit zusätzlich der folgenden Bedingung genügen li/d ≤ 150/li

li = α · leff

Ersatzstützweiten mit α = 0,8 für Randfelder bzw. 0,6 für Innenfelder

Bei linienförmig gelagerten, rechteckförmigen Platten werden die Lasten hauptsäch-lich über die kürzere Stützweite abgetragen. Aus diesem Grund ist die kleinere der beiden Ersatzstützweiten für den Nachweis der Durchbiegung maßgebend.


- 43 -

Randfelder 1,5,4,6 Innenfeld 2: Feld 3 lxi = 0,8 · 4,80 = 3,84 m lxi = 0,6 · 4,80 = 2,84 m lxi = 0,6 · 4,80 = 2,84 m lyi = 0,8 · 5,90 = 4,66 m lyi = 0,8 · 5,90 = 4,66 m lyi = 1,0 · 5,90 = 5,90 m maßg.: 3,84 m maßg.: 2,84 m maßg.: 2,84 m Randfeld 8 Feld 7 (freier Rand) lxi = 1,0 · 4,80 = 4,8 m (sichere Seite) lxi nicht maßgebend lyi = 0,8 · 5,90 = 4,66 m maßg.: 4,66 m

lyi = 0,8 · 5,90 = 4,66 m

Tab. 2-2 Ersatzstützweiten zum Nachweis der Durchbiegung

Maßgebende Ersatzstützweite: li =4,66 m (größte der jeweils kürzeren Spannweite) d = 15,5 cm li /d = 4,66 / 0,155 = 30,1 < 35 < 150/li = 150/4,66 = 32,2

2.1.5 Konstruktive Durchbildung Mindestbewehrung zur Sicherstellung eines duktilen Bauteilverhaltens nach [DIN 1045-1, 13.1.1, (1)]: maximales Rissmoment: fctm = 2,6 N/mm² für C 25/30 Stahlspannung: σs = fyk Hebelarm z = 0,9 · d (vereinfachend) mcr = fctm · W = fctm · h2/6 = 2,6 · 0,182/6 = 0,014 MNm min as = mcr / (fyk · z) = 0,014 · 104 / (500 · 0,9 · 0,155) = 2,01 cm²/m < 2,57 cm²/m aus gew. Q 257

Bewehrungsführung: Nach [DIN 1045-1; 13.3.2 (1)] muss bei Platten mindestens die Hälfte der Feldbe-wehrung bis zu den Auflagern durchgeführt werden. Bei dem vorliegenden Beispiel wird nicht gestaffelt sondern die gesamte Feldbewehrung durchgeführt. Die rechnerisch nicht erfasste Einspannung an den Endauflagern durch Wände bzw. Unterzüge wird durch eine Bewehrung berücksichtigt, die für 25% des maximalen Feldmoments bemessen und im Bereich ¼ der Feldlänge ab Auflagervorderkante angeordnet wird. [DIN 1045-1, 13.2.1 (1)] Wenn die Deckenplatten wie hier mit Randbalken bzw. Wänden biegesteif verbunden sind, ist eine besondere Drillbewehrung nicht erforderlich. [DIN 1045-1, 13.3.2 (9)]

Grundmaß der Verankerungslänge: Bei einer Deckendicke von h = 180 mm < 300 mm liegen nach [DIN 1045-1, 12.4 (2) und Bild 54] alle Eisen im guten Verbundbereich. Das Grundmaß der Verankerungs-länge beträgt für C 25/30

lb = bd

yds

ff

4d

⋅ = ds · 7,24435⋅

= ds · 40,3


- 44 -

R 377 mit Doppelstäben ∅ 6 Vergleichsdurchmesser für Stabbündel dsv = ds · n = 6 mm · 2 = 8,5 mm lb = 0,85 cm · 40,3 = 34,3 cm

Q 257 mit Stäben ∅ 7 lb = 0,7 cm · 40,3 = 28,2 cm

Übergreifungslängen ls der Matten nach [DIN 1045-1, 12.8.4 (2) bzw. (5)]: Können die Bewehrungseisen nicht über die gesamte erforderliche Länge durchge-zogen werden, wie zum Beispiel durch die vorgegebenen Abmessungen der gewähl-ten Matten, muss durch eine Übergreifungslänge die Kraftübertragung zwischen den gestoßenen Stäben sichergestellt werden. (vgl.[1]) Die hier gewählten Matten sind 2,15 m breit und 6,00 m lang. Für die Stützbewehrung ist in Tragrichtung kein Mattenstoß erforderlich. Quer zur Tragrichtung ist ein Verteilerstoß vorzusehen. Für die Feldbewehrung sind beide Richtungen Tragrichtungen. In Mattenlängsrich-tung sind aufgrund der Mattenlänge keine Übergreifungsstöße erforderlich. In Mat-tenquerrichtung muss die Übergreifungslänge für den Tragstoß ermittelt werden.

Übergreifungslänge für den Tragstoß der Q 257 in Mattenquerrichtung:

ls = lb α2 · .vorh,s

.erf,s

aa

≥ ls,min

lb = 28,2 cm

α2 = 0,4 + 8

a .vorh,s ⎩⎨⎧≤≥

0,20,1

Beiwert zur Berücksichtigung des Mattenquerschnitts

α2 = 0,4 + 857,2 = 0,72 α2 = 1,0

ls,min = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤

=≤

=⋅⋅=⋅α⋅≥

)maßgebend(cm20cm15s

cm5,82,280,13,0l3,0

q

b2

ls = 28,2 1,0 · 57,207,1 = 11,7

!≥ ls,min mit as,vorh. nach 2.1.3.1

gew. ls = 25 cm >ls,min = 20 m Vertafelte Werte für Übergreifungslängen von Tragstößen für Betonstahlmatten sind z.B. [13] zu entnehmen.

Verteilerstoß für die Stützbewehrung nach [DIN 1045-1, 12.8.4 (5), Tab. 28]:

gew. ls,quer = 25 cm ≥ ⎩⎨⎧ =

cm25)LängsstäbederdtanAbs(cm15sl für ds = 7 mm


- 45 -

Zugkraftdeckung:

Das Versatzmaß beträgt nach [DIN 1045-1, 13.3.2 (1)] bei Platten ohne Querkraft-bewehrung: al = 1,0 · d = 1,0 · 15,5 = 15,5 cm

Der Nachweis der Verankerung am Endauflager für die vorhandene Restzugkraft wird nach [DIN 1045-1, 13.2.2 (7), (8)] geführt:

max. Querkraft am Endauflager Feld 7: vEd,Endauflager = 39,13 kN/m (vgl 2.1.2.6)

FSd = zav l

rEndauflage,Ed ⋅ = 5,159,0

5,1513,39⋅

⋅ ·= 43,5 kN

erf. As = yd

sd

fF =

5,435,43 = 1,00 cm²

lb = 34,3 cm, vorh. as = 3,77 cm2, gerades Stabende

lb, net = αa · .vorh,s

.erf,s

aa

· lb ≥ ⎩⎨⎧ ⋅α⋅=

s

bamin,b

d10l3,0l

nach [DIN 1045-1, 13.2.2 (8)]

lb, net = 1,0·77,300,1 ·34,3 = 9,1 cm

!≥

⎩⎨⎧

=⋅=

=⋅⋅=

cm5,885,010d10cm3,103,340,13,0l

s

min,b

maßg. lb, net = lb, min = 10,3 cm Direktes Auflager (günstige Wirkung durch Querdruck):

erf lb, dir = 32 · lb, net > 6 ds

= 32 · 10,3 = 6,9 cm > 6 0,85 cm = 5,1 cm

max. Querkraft am Endauflager Feld 1 bzw. 2: vEd,Endauflager = 18,0 kN/m (vgl 2.1.2.6)

FSd = zav l

rEndauflage,Ed ⋅ = 5,159,0

5,150,18⋅

⋅ ·= 20 kN

erf. As = yd

sd

fF =

5,4320 = 0,46 cm²

lb = 28,2 cm, vorh. as = 2,57 cm2, gerades Stabende

lb, net = 1,0·57,246,0 ·28,2 = 5,0 cm

!≥

⎩⎨⎧

=⋅=

=⋅⋅=

cm0,77,010d10cm5,82,280,13,0l

s

min,b

maßg. lb, net = lb, min = 8,5 cm Direktes Auflager (günstige Wirkung durch Querdruck):


= 32 · 8,5 = 5,7 cm > 6 0,7 cm = 4,2 cm


- 46 -

R 377 bzw. Q 257

12 > 6,9 cm bzw. 5,7 = erf. lb,dir

30

Auflagerlinie

18

10 = a/3 =30 /3 näherungsweise Spannungsverteilung

Bild 2-22 Detail Endauflager Decke

Die Bewehrung wird um das Maß 12 cm > erf lb, dir hinter die Auflagervorderkante des Endauflagers geführt (vgl. Bild 2-38) und reicht somit hinter die Auflagerlinie nach [DIN 1045-1, 7.3.1 (6)].

Erforderliche Länge für die Stützbewehrung in der oberen Lage:

Die mit Bewehrung abzudeckende Zugkraftlinie darf durch eine Verschiebung der für Biegung und Normalkraft ermittelten Fsd-Linie um das Versatzmaß al bestimmt werden [DIN 1045-1, 13.2.2 (3) und 13.3.2 (1) und Bild 66].

Nach [10] ist der Nulldurchgang der Momentenlinie ca. bei l0 = 0,2 · lx = 0,2 · 4,8 m = 0,96 m Erforderliche Verankerungslänge am rechnerischen Endpunkt der Stützbewehrung:

lb,net = αa · lb · vorh,s

erf,s

aa

≥ lb,min

mit as,erf = 0 am Nulldurchgang der Momentenlinie ergibt sich

lb,net = lb,min = 0,3 · αa · lb = 0,3 · 1,0 · 0,99 cm · 40,3 = 12 cm ≥ 10 ds =10 · 0,99 = 9,9 cm

Unter Berücksichtigung des Versatzmaßes und der Verankerungslänge muss die Länge der Stützbewehrung bei Anordnung mittig über den Auflagerlinien mindestens 2 · (l0 + al + lb,net) = 2 · (96,0 + 15,5 + 12,0) = 247 cm betragen.


- 47 -

Bild 2-23 Bewehrungsplan Decke, untere Bewehrung

Bild 2-24 Bewehrungsplan Decke, obere Bewehrung


- 48 -

Bild 2-25 Schneideskizze für Lagermatten (Deckenbewehrung)

1

21 x Q 257 1 x R 377

2

3

8 x R 377

3

4 4

5

5

2 x R 188 6 x R 188

5

5

56

1 x R 377

3 x R 513

7 8

8

1 x R 513

21 10 5

8

1 x R 513

3

Q 257 R 377 R 513

8 R 188

1 x Q 377

9

9

1 Q 377


- 49 -

2.2 Pos. 2 Unterzug

2.2.1 Statisches Ersatzsystem (Modellbildung) und Belastung

5,90 m 5,90 m

Bild 2-26 Statisches System für den Unterzug

32

50

18

30

Bild 2-27 Abmessungen Unterzug

mitwirkende Plattenbreiten im Feld- bzw. Stützbereich nach [DIN 1045-1, 7.3.1 (2)]: beff = ∑beff,i + bw Feld: beff,i = 0,2 · bi + 0,1 · l0 bi = 4,8/2 -0,30/2 = 2,25 = 0,2 · 2,25 + 0,1 · (0,85 · 5,90)

= 0,95 m ⎩⎨⎧

=

=⋅⋅=⋅≤

m25,2bm00,1)90,585,0(2,0l2,0

i

0!

beff, Feld = 2 · 0,95 + 0,30 = 2,20 m

Stütze: beff,i = 0,2 · bi + 0,1 · l0 bi = 4,8/2 -0,30/2 = 2,25 = 0,2 · 2,25 + 0,1 · (0,15 · (5,90+5,90)

= 0,63 m ⎩⎨⎧

=

=+⋅⋅=⋅≤

m25,2bm35,0)90,590,5(15,0(2,0l2,0

i

0!

beff, Stütz = 2 · 0,35 + 0,30 = 1,00 m

Bilden Balken (Unterzüge) die Auflager von zweiachsig gespannten, gleichmäßig be-lasteten Platten, so dürfen die Schnittgrößen in diesen Balken näherungsweise nach DAfStb Heft 240 [6] mit den Lastbildern berechnet werden, die sich aus der Zerle-gung der Grundrissflächen in Trapeze und Dreiecke ergeben (siehe Bild 2-28). Sto-ßen an einer Ecke Plattenränder mit gleichartiger Stützung zusammen, so beträgt dabei der Zerlegungswinkel 45°. Stößt ein voll eingespannter mit einem frei drehbar gelagerten Rand zusammen, so beträgt dabei der Zerlegungswinkel 60°. Bei teilwei-ser Einspannung darf ein Winkel zwischen 45° und 60° angenommen werden.


- 50 -

Bild 2-28 Lastverteilung von Platten zur Ermittlung der Schnittgrößen in den Unterzügen

Bild 2-29 Lastverteilung der Platten am vorliegenden Beispiel

Belastung der Deckenplatten (vgl. 2.1.1):

Ständige Lasten:

Eigengewicht Decke: gk = = 5,7 kN/m² Feld 1 gk1 = 5,7 kN/m² · 3,04 m · 2 = 34,66 kN/m Feld 2 gk2a = 5,7 kN/m² · 3,04 m = 17,33 kN/m gk2b = 5,7 kN/m² · 2,40 m = 13,68 kN/m

Eigengewicht Unterzug: gk, UZ = 0,30m · 0,32m · 25 kN/m³ = 2,77 kN/m


- 51 -

Verkehrslast: qk = 2,75 kN/m² Feld 1 gk1 = 2,75 kN/m² · 3,04 m · 2 = 16,72 kN/m Feld 2 gk2a = 2,75 kN/m² · 3,04 m = 8,36 kN/m gk2b = 2,75 kN/m² · 2,40 m = 6,60 kN/m

Die Belastung wird zunächst ohne Teilsicherheitsbeiwerte eingegeben. Erst bei der Bildung der Schnittgrößenkombination finden die zugehörigen Teilsicherheitsbeiwerte Berücksichtigung. Eingabedaten der Belastung für CUBUS:

L1: f-2,77 kN/m

zG

Bild 2-30 Eigengewicht Unterzug

L5: f-17,33 kN/m-17,33 kN/m

zG 1, 2

L2: f-34,66 kN/m-34,66 kN/m

zG 1, 2

L8: f-13,68 kN/m-13,68 kN/m

zG 1, 2

Belastung 'gdecke': Eigengewicht Decke Linienlasten: Kräfte Bezeichner Lasttyp Länge p1 p2 XSumme YSumme ZSumme [m] [kN/m] [kN/m] [kN] [kN] [kN] ___________________________________________________________________________________________________________________ L1 Z global 1,76 0 -34,66 0 0 -30,50 L2 Z global 1,10 -34,66 -34,66 0 0 -38,13 L3 Z global 3,04 -34,66 0 0 0 -52,68 L4 Z global 3,04 0 -17,33 0 0 -26,34 L5 Z global 1,10 -17,33 -17,33 0 0 -19,06 L6 Z global 1,76 -17,33 0 0 0 -15,25 L7 Z global 2,40 0 -13,68 0 0 -16,42 L8 Z global 2,11 -13,68 -13,68 0 0 -28,86 L9 Z global 1,39 -13,68 0 0 0 -9,51

Bild 2-31 Eigengewicht Decke


- 52 -

L1: f-16,72 kN/m-16,72 kN/m

zG 1, 2

Belastung 'p1' Linienlasten: Kräfte Bezeichner Lasttyp Länge p1 p2 XSumme YSumme ZSumme [m] [kN/m] [kN/m] [kN] [kN] [kN] ___________________________________________________________________________________________________________________ L1 Z global 1,10 -16,72 -16,72 0 0 -18,39 L2 Z global 3,04 -16,72 0 0 0 -25,41 L3 Z global 1,76 0 -16,72 0 0 -14,71

Bild 2-32 Verkehrslast Decke, Feld 1

L2: f-8,36 kN/m-8,36 kN/m

zG 1, 2L5: f-6,60 kN/m-6,60 kN/m

zG 1, 2

Linienlasten: Kräfte Bezeichner Lasttyp Länge p1 p2 XSumme YSumme ZSumme [m] [kN/m] [kN/m] [kN] [kN] [kN] ___________________________________________________________________________________________________________________ L1 Z global 3,04 0 -8,36 0 0 -12,71 L2 Z global 1,10 -8,36 -8,36 0 0 -9,20 L3 Z global 1,76 -8,36 0 0 0 -7,36 L4 Z global 2,40 0 -6,60 0 0 -7,92 L5 Z global 2,11 -6,60 -6,60 0 0 -13,93 L6 Z global 1,39 -6,60 0 0 0 -4,59

Bild 2-33 Verkehrslast Decke, Feld 2


- 53 -

2.2.2 Schnittkraftermittlung Berechnung der Schnittkräfte mit CUBUS: Einwirkungskombinationen

Einwirkung Einwirkungskombinationen Nr Name Fak 1 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1 Eigenlast 1 1,35 1 2 Verkehrslast 1 1,5 1,5

Fak : alle Kombinationswerte werden mit diesem Faktor multipliziert

-232,72

170,81

Bild 2-34 Momentengrenzlinie

-165,75

114,13

-107,23

160,83

Bild 2-35 Querkraftgrenzlinie

2.2.3 Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit Betondeckung nach [DIN 1045-1 6.3, Tab. 4] (Bewehrungsstabdurchmesser vorge-schätzt):


mm10mm20d l,s



mm10mm10d bü,s


d1 = max ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=+

=++=++

cm0,4 2,0/23,0/2dccm 4,0 2,0/20,12,0 /2ddc

längss,längs nom,




- 54 -

2.2.3.1 Biegebemessung

2.2.3.1.1 Bemessung Stützmoment Der Unterzug ist mit dem Auflager (Stütze) monolithisch verbunden. Aus diesem Grund darf als Bemessungsmoment das Moment am Auflagerrand zugrunde gelegt werden. [DIN 1045-1, 7.3.2 (3)]

IMEd.redI = IMEd, StützI - IVEd,reI· 2a mit a = Stützenbreite

= 232,72 – 160,83 230,0 = 208,6 kNm

Am oberen Querschnittsrand herrscht Zug, am unteren Druck. (Breite der Druckzone b = 30 cm)

cd2Eds

Eds fdbM

⋅⋅=μ =

2,1446,030,02086,0

2 ⋅⋅= 0,231

z = ζ·d =0,864 · 0,46 = 0,397 m

erf. As = yd

Eds

fzM⋅

= 5,43397,0

6,208⋅

= 12,1 cm²

gew.: 4 ∅ 20 mit vorh. As = 12,6 cm²

2.2.3.1.2 Bemessung Feldmoment Am unteren Querschnittsrand herrscht Zug, am oberen Druck. Als Breite der Druckzone wird die mitwirkende Plattenbreite beff nach [DIN 1045-1, 7.3.1 (2)] angesetzt. (vgl. 2.2.1)

MEds = MEd, Feld = 170,81 kNm

cd2

Feld,eff

EdsEds fdb

M⋅⋅

=μ =2,1446,020,2

17081,02 ⋅⋅

= 0,026


erf. As = yd

Eds

fzM⋅

= 5,43452,0

81,170⋅

= 8,69 cm²

Überprüfung der Druckzonenhöhe: ζ = x/d => x = 0,051 · 46 = 2,4 cm < 18 cm vorh. Plattendicke

gew.: 3 ∅ 20 mit vorh. As = 9,42 cm² > 8,69 cm²

2.2.3.2 Bemessung für Querkraft Der Ermittlung der Querkraftbewehrung darf bei gleichmäßig verteilter Belastung und direkter Auflagerung die Querkraft im Abstand d vom Auflagerrand zugrunde gelegt werden. Hier wird auf eine Abminderung der Querkraft verzichtet, da sich aufgrund der trapezförmigen Lastverteilung im Abstand d vom Auflagerrand nur eine geringe Verminderung der Querkraft ergibt. VEd = 165,8 kN (vgl. Bild 2-35)


- 55 -

Bei Balken ist nach [DIN 1045-1, 10.3.1 (2)] stets eine Mindestquerkraftbewehrung erforderlich. Auf den Nachweis der Querkrafttragfähigkeit ohne Querkraftbewehrung VRd,ct ≤ VEd nach [DIN 1045-1, 10.3.3 (1)] wird daher verzichtet.

1. Möglichkeit (genaue Berechnung):

Druckstrebenneigungswinkel:

Ed

c,Rd

cd

cd

VV

1

f4,12,1

cot−

σ⋅−

=θ

Betontraganteil bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung:

Achtung: Der Wert VRd,c ist nicht mit dem Bemessungswert der Querkraft VRd,ct für Bauteile ohne Querkraftbewehrung gleichzusetzen! Bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung öffnet sich ein Riss sehr weit und führt zum Bruch (VRd,ct), bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung entstehen viele Risse in engen Abständen. Dieser Unterschied hat einen völlig anderen Spannungs- und Dehnungs-zustand zur Folge.

VRd,c = zbf

2,11f10,0 wcd

cd3/1ck1ct ⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ σ⋅+⋅⋅η⋅⋅β

βct = 2,4 z = 0,397 m (vgl. 2.2.3.1.1) oder näherungsweise z ≈ 0,9 · d

VRd,c = 2,4 ⋅ 0,10 · 251/3 [1 + 1,2·0] · 0,30 · 0,46 · 103 = 96,84 kN

cot θ =

8,1659,641

04,12,1

−

⋅− = 1,97 ⎩⎨⎧≤≥

0,358,0

θ = 26,9°

Nachweis der Druckstrebe:

VRd,max =θ+θ

⋅α⋅⋅tancot

fzb cdcw

bw = 0,30 m z = 0,397 m (vgl. 2.2.3.1.1) αc = 0,75 · η1 = 0,75 · 1,0 = 0,75 fcd = 14,2 MN/m²

VRd,max = ³10

97,1197,1

2,1475,0397,030,0⋅

+

⋅⋅⋅ = 512,0 kN ≥ 165,8 = VEd

Nachweis der Zugstrebe:

asw = 97,1397,05,43

8,165cotzf

VsA

yd

Ed

w

sw

⋅⋅=

θ⋅⋅= = 2,85 cm²/m

gew. ∅8/20 2-schn. mit as = 2 · 2,51 = 5,02 cm²/m


- 56 -


Der Druckstrebenneigungswinkel infolge Querkraft wird nach [DIN 1045-1, 10.3.4 (5)] vereinfacht zu cot θ = 1,2 (θ = 39,8°) angenommen.

Druckstrebenbeanspruchungen:

VRd,max =θ+θ

⋅α⋅⋅tancot

fzb cdcw = ³10

2,112,1

2,1475,046,030,0⋅

+

⋅⋅⋅ = 722,8 kN ≥ 165,8 = VEd

asw = 2,1397,05,43

8,165cotzf

VsA

yd

Ed

w

sw

⋅⋅=

θ⋅⋅= = 4,68 cm²/m

Die erforderliche Querkraftbewehrung mit steilerem Druckstrebenneigungswinkel liegt deutlich höher, auf der anderen Seite ist eine höhere Tragfähigkeit der Druckstrebe möglich.

2.2.3.3 Nachweise des Anschlusses zwischen Gurt und Steg Bei Bauteilen mit gegliederten Querschnittsteilen breiten sich die vom Steg auf die Gurte übertragenen Schubkräfte in den Gurtscheiben rechnerisch bis auf die mitwir-kende Breite beff aus. Dies bewirkt Zugkräfte rechtwinklig zur Bauteilachse. Der Anschluss von Druck- und Zuggurten ist an einem Fachwerkmodell nachzuwei-sen [DIN 1045-1; 10.3.5]. Hier ist nur im Feld der Anschluss des Druckgurtes (Feld-bereich) nachzuweisen, da im Zuggurt (Stützbereich) keine Bewehrung ausgelagert ist.

Längsschubkraft: VEd = ΔFd

mit ΔFd als Längskraftdifferenz über die Länge av, in dem die Längsschubkraft als konstant angenommen werden darf.

-195,99

120,48

170,81

2,35 m 1,175 m

Feld 1 Feld 2

Bild 2-36 Momentenverlauf für die ungünstigste Lastfallkombination (max MFeld1) zur Be-stimmung der Druckkraftdifferenz infolge Biegemoment

Für av darf maximal der halbe Abstand zwischen Momentennullpunkt und Momen-tenhöchstwert angesetzt werden. av = 2,35 / 2 = 1,175 m (vgl. Bild 2-36)


- 57 -

Differenzmoment: ΔM = 120,5 kNm

Druckkraftdifferenz infolge Biegemoment:

ΔFc = ΔM / z = 120,5 / 0,452 = 266,6 kN mit z nach 2.2.3.1.2

zu übertragende Längskraftdifferenz:

ΔFd = ΔFc · c

ca

AA = ΔFc ·

eff

a

bb

= 266,6 · 20,295,0 = 115,12 kN mit ba = beff,i und beff nach 2.2.3.1.2

beff = 2,20

0,95

30

0,

95

39,8°

39,8° Ff

Bild 2-37 Stabwerkmodell für den Anschluss zwischen Gurt und Steg für den Plattenbalken

Ff = θ

Δcot

Fd =2,1

1,115 = 95,9 kN

asf = vyd

f

afF⋅

=175,15,439,95

⋅= 1,88 cm²/m

Die eine Hälfte dieser Bewehrung soll auf der Ober- und die andere Hälfte auf der Unterseite der Platte angeordnet werden. (vorh. Bewehrung vgl. 2.1.5) vorh. as,oben = 5,13 cm²/m aus R 513 > erf. asf = 1,88 / 2 = 0,94 cm²/m

Für das zweite Feld wird kein weiterer Nachweis geführt. Die Bewehrung ist bei ge-ringeren Schnittgrößen mit vorh. as,oben = 3,77 cm²/m aus R 377 > erf. asf = 1,88 / 2 = 0,94 cm²/m ausreichend

vorh. as,unten = 2,57 cm²/m aus Q 257 > erf. asf = 1,88 / 2 = 0,94 cm²/m nicht maßgebend

Es ist allerdings aus fertigungstechnischen Gründen kein Übergreifungsstoß der un-teren Bewehrungsmatten vorhanden, daher wird zusätzlich folgende Bewehrung im unteren Plattenbereich gewählt:

gew. ∅6/30 mit vorh. as = 0,94 cm²/m


- 58 -

2.2.4 Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit analog 2.1.4

2.2.5 Konstruktive Durchbildung Mindestbewehrung zur Sicherstellung eines duktilen Bauteilverhaltens nach [DIN 1045-1, 13.1.1, (1)]: maximales Rissmoment: Mcr = fctm · W = fctm · Iy/zs fctm = 2,6 N/mm² für C 25/30 Die Querschnittswerte Iy und zs nach Bild 2-38 bzw. Bild 2-39 werden mit den zuge-hörigen mitwirkenden Plattenbreiten nach 2.2.1 für den Feld- und den Stützquer-schnitt getrennt ermittelt.

Bild 2-38 Querschnittswerte Unterzug mit beff für den Feldbereich

Bild 2-39 Querschnittswerte Unterzug mit beff für den Stützbereich

Feld: Mcr = fctm · Iy/zs,unten = 2,6 · 6,72·10-3/(0,361) = 0,048 MNm min As = Mcr / (fyk · z) = 0,048 · 104 / (500 · 0,9 · 0,46) = 2,32 cm² < 9,42 cm² = vorh. As, Feld

Stütze: Mcr = fctm · Iy/zs,oben = 2,6 · 6,72·10-3/(0,139) = 0,126 MNm min As = Mcr / (fyk · z) = 0,126 · 104 / (500 · 0,9 · 0,46) = 6,08 cm² < 12,6 cm² = vorh. As, Stütz


- 59 -

Bewehrungsführung: Nach [DIN 1045-1; 13.2.2 (6)] muss bei Balken mindestens ein Viertel der Feldbe-wehrung zu den Auflagern geführt und dort verankert werden. Hier wird die Feldbewehrung 3∅20 vereinfachend durchgehend in beiden Feldern angeordnet. Die Stützbewehrung hingegen soll gestaffelt werden: 2∅20 durchgehend + 2∅20 als Zulage im Stützbereich

Graphische Ermittlung der Länge der Zulage mittels einer Zugkraftdeckungslinie nach Bild 2-40.

Bemessungsmomente und zugehörige Hebelarme siehe 2.2.3.1 Versatzmaß nach [DIN 1045-1; 13.2.2 (3)]:

al = θ⋅cot2z = 97,1

246,09,0

⋅⋅ = 0,41 m θ siehe 2.2.3.2

Bild 2-40 Zugkraftdeckungslinie für den Unterzug

Stahlzugkraft Fs Fs,vorh. = M/z = 208,6/0,397 = 525,4 kN

Fs,4∅20 = 12,6 cm² · 43,5 kN/cm² = 548,1 kN

Pos. 2 gew. 2∅20

Fs,vorh. = M/z = 170,9/0,452 = 377,9 kN

al al

Fs,3∅20 = 9,42 cm² · 43,5 kN/cm² = 409,8 kN Pos. 1 gew. 3∅20

al al

2,40 (gemessen)

E E

al al

Pos. 3 + Pos. 2 gew. 2+2 = 4∅20lb, net lb, net

Pos. 3 2∅ 20

Fs,2∅20 = 6,3 cm² · 43,5 kN/cm² = 274,1 kN


- 60 -

Es soll auf Höhe Unterkante Decke ein Betonierabschnitt abgeschlossen sein, so dass eine Arbeitsfuge (AF) entsteht. Die weitere Betonierhöhe entspricht der De-ckendicke h = 160 mm < 300 mm. Die oberen Eisen der Stützbewehrung liegen da-her alle in guten Verbundbedingungen. Das Grundmaß der Verankerungslänge beträgt für C 25/30 und Stabdurchmesser 20

lb = bd

yds

ff

4d

⋅ = ds · 7,24435⋅

= ds · 40,3 = 2,0 · 40,3 = 80,6 cm

Vertafelte Werte für Übergreifungslängen von Tragstößen für Betonstahlmatten sind z.B. [13] zu entnehmen.

lb,net = αa · lb · vorh,s

erf,s

aa

≥ lb,min

Am rechnerischen Endpunkt E vgl. (Bild 3-1 ) übernimmt Pos. die restliche Zug-kraft, daher ist an dieser Stelle as,erf = 0

lb,net = lb,min = 0,3 · αa · lb = 0,3 · 1,0 · 80,6 cm = 24,2 cm ≥ 10 ds =10 · 2,0 = 20 cm

Länge der Zulage Pos. 3: (vgl. Bild 3-1 ) lPos. 3 = 2,40 m +2 · lb,net = 2,40 + 2 · 0,242 = 2,90 m

Verankerung am Endauflager für Restzugkraft [DIN 1045-1; 13.2.2 (7)]:

FSd = zaV l

rEndauflage,Ed ⋅ = 2

V rEndauflage,Ed ·cot θ VEd,Endauflager vgl. (Bild 3-1 )

= 2

1,114 · 1,97 = 112,4 kN

erf. As = yd

sd

fF =

5,434,112 = 2,58 cm²

lb = 80,6 cm, vorh. As = 3 ∅ 20 = 9,42 cm2, gerades Stabende

Pos. 1 3∅20

20 > 16,1 cm = erf. lb,dir

30

50

10 = a/3 =30 /3 näherungsweise Spannungsverteilung

Auflagerlinie

Bild 2-41 Detail Endauflager Unterzug


- 61 -


.erf,s

AA

· lb ≥ ⎩⎨⎧ ⋅α⋅=

s

bamin,b

d10l3,0l

= 1,0·42,958,2 ·80,6 = 22,1 cm

!≥

⎩⎨⎧

=

=⋅⋅=⋅α⋅=

cm20d10cm2,246,800,13,0l3,0l

s

bamin,b

Direktes Auflager (günstige Wirkung durch Querdruck):


= 32 · 24,2 = 16,1 cm > 6 2 cm = 12 cm

gew. lb, dir = 20 cm > 16,1 cm

Mindestquerkraftbewehrung nach [DIN 1045-1, 13.2.3 (4) bzw. Tab. 29]:

Querkraftbewehrung gew. ∅8/20 2-schn. mit as = 2 · 2,51 = 5,02 cm²/m asw,min = ρw · bw = 0,083 % · 30 = 2,49 cm²/m < 5,02 cm²/m = vorh. asw

Größte Längsabstände von Bügelschenkeln nach [DIN 1045-1, Tab. 31]: smax, längs ≤ 30 cm bzw. ≤ 0,7 · h = 0,5 · 50 = 25 cm > vorh. s = 20 cm für VEd / VRd, max = 0,1658 / 0,512 = 0,32 nach 2.2.3.2

Nach [DIN 1045-1, 12.7.5, Bild 56] dürfen bei Plattenbalkenquerschnitten aus-nahmsweise mit durchgehenden Querstäben geschlossene Bügel gewählt werden, wenn VEd ≤ 2/3 VRd,max hier erfüllt: VEd = 165,8 kN ≤ 2/3 · 512,0 kN = 341,3 kN = VRd,max

obere Querbewehrung vorh. as = 3,77 cm²/m aus R 377 (Feld 2, minimale obere Bewehrung) vgl. 2.1.3.1 > 2,51 cm²/m (erf. Bügelschenkel ∅8/20) vgl. 2.2.3.2

AF

Pos. 13 ∅20

Pos. 22 ∅20

Pos. 3 2 ∅20

- 26 - Pos. 4

∅8/20, l = 1,40 m

- 46

-

- 46

-

Pos. 4 ∅8/20

Pos. 5 ∅6/30 l = 0,75 m

Pos. 5 ∅6/30

R 377 bzw. R 513 aus Deckenbewehrung

Q 257 aus Deckenbewehrung

Bild 2-42 Bewehrungszeichnung Unterzug Pos. 2, Schnitt Stützbereich


- 62 -

2.3 Pos. 3 Innenstütze

2.3.1 Statisches Ersatzsystem (Modellbildung) und Belastung Es handelt sich bei dem zu berechnenden Gebäude um ein Rahmentragwerk des üblichen Hochbaus, bei dem alle horizontalen Kräfte durch aussteifende Scheiben (Wände) aufgenommen werden. Bei der Bemessung der Innenstützen dürfen nach [DIN 1045-1, 7.3.2 (6)] die Biegemomente aus Rahmenwirkung vernachlässigt wer-den, obwohl die Stützen mit Balken oder Platten biegefest verbunden sind.

Alle Vertikallasten werden planmäßig mittig eingetragen. Als statisches System kann vereinfachend eine Pendelstütze mit der Geschosshöhe als Länge angenommen werden, die nach [DIN 1045-1, 8.6.2] als Einzeldruckglied nachgewiesen werden kann.

Abmessungen der Stütze: 30/30 cm

Die Einflussflächen zur Ermittlung der Stützenkräfte können bei Endfeldern für die erste Innenstütze aufgrund der Durchlaufwirkung mit 60 % der Stützweite angenom-men werden, bei Innenfeldern mit 50%.

Bild 2-43 Lasteinflussfläche für Stütze Pos. 3


- 63 -

Belastung:

Einzugsfläche/-länge:

Einwirkung:

Eigengewicht Decke: gk, Decke = = 5,7 kN/m²

7,08 0,5·(5,28+5,76) = 39,08 m² Gk, Decke = 222,76 kN

Eigengewicht Unterzug: gk, UZ = 2,77 kN/m

2,88+0,5·(2,40 + 2,88) +2·5,90 = 17,32 m Gk, UZ = 47,98 kN

Eigengewicht Stütze: gk, Stütze = 0,30m·0,30m·25 kN/m³

= 2,25 kN/m3,70 m (Stützenhöhe) Gk, Stütze = 8,33 kN

Verkehrslast: qk, Verkehr = 2,75 kN/m²

7,08 0,5·(5,28+5,76) = 39,08 m² Qk, Verkehr = 107,47 kN

Ständige Lasten aus 2. OG: Gk, 2.OG = 450 kN

- ohne Rechnung - Gk, 2. OG = 450,00 kN

Schneelast Dach: Qk, Schnee = 30 kN

- ohne Rechnung - Qk, Schnee = 30,00 kN

Tab. 2-3 Belastung für Stütze Pos. 3

Allgemeine Grundkombination nach [DIN 1055-100, 9.4]: Gd + Qd = γG · Gk + γQ,1 · Qk,1 + γQ,i · ψ0,i · Qk,i

mit ψ0,i nach [DIN 1055-100, Tab. A.2]

Leiteinwirkung Schneelast: max (Gd + Qd) = 1,35·(222,76 + 47,98 + 8,33 + 450,00) + 1,5·(30,00 + 0,7·107,47) = 1142,1 kN

Leiteinwirkung Verkehrslast: max (Gd + Qd) = 1,35·(222,76 + 47,98 + 8,33 + 450,00) + 1,5·(107,47 + 0,5·30,00) = 1167,9 kN maßgebend!

Die gesamte Stützeneigenlast wird vereinfachend am Stützenkopf angesetzt. Die Normalkraft wird dann auf der sicheren Seite liegend konstant mit ihrem Maximalwert angenommen:

Nd = -1167,9 kN


- 64 -

Die Bedingungen zum Nachweis der Stabilität sind in beide Richtungen identisch, daher genügt die Betrachtung für das folgende statische System:

N

-1167,9

M Q

4,25

m

Bild 2-44 Statisches System und Schnittgrößen der Stütze nach Theorie I. Ordnung

2.3.2 Ersatzlänge und Schlankheit Die Ersatzlänge ist durch den Abstand der Wendepunkte der Biegelinie begrenzt. Der Ersatzlängenbeiwert für den beidseitig gelenkig gelagerten Stab beträgt β = 1,0. Die Stützenlänge zwischen den idealisierten Einspannstellen kann mit der Ge-schosshöhe gleichgesetzt werden.

Ersatzlänge (Knicklänge):

l0 = β · lcol = 1,0 · 4,25 = 4,25 m

Schlankheit:

λ = il0 =

h289,0l0

⋅ =

30,0289,025,4⋅

= 49,0 i = AΙ

Nach [DIN 1045-1, 8.6.3, (1)] wird zunächst überprüft, ob Auswirkungen nach Theo-rie II. Ordnung zu berücksichtigen sind.

Grenzwerte für die Berechnung nach Theorie I. Ordnung:

Die Bemessung darf mit den Momenten nach Theorie I. Ordnung erfolgen, wenn die Momente II. Ordnung um nicht mehr als 10% höher sind. Das kann angenommen werden, wenn bestimmte Schlankheitsgrenzen des Tragwerks oder Tragglieds nicht überschritten werden.

Unverschiebliche und verschiebliche Einzeldruckglieder gelten als schlank, wenn fol-gende Grenzwerte der Schlankheit überschritten werden:

λmax = 25 für Edν ≥ 0,41

λmax = Ed

16ν

für Edν < 0,41


- 65 -

νEd = cd

Ed

fhbN⋅⋅

= 2,143,03,0

1679,1⋅⋅

− = -0,914 914,0− > 0,41

λ = 49,0 > λmax = 25

Es handelt sich um ein schlankes Druckglied.

In unverschieblich ausgesteiften Tragwerken kann auf eine Berechnung nach Theo-rie II. Ordnung verzichtet werden, wenn gilt:

λ ≤ λcrit = 25·(2 - e01/e02) bzw.

λ ≤ λcrit = 25 für den Sonderfall der beidseitig gelenkig gelagerten Stütze

λ = 49,0 > λcrit = 25

Die Stütze muss nach Theorie II. Ordnung untersucht werden.

Vereinfachend darf nach [DIN 1045-1, 8.6.3 (6)] zur Ermittlung der Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung das Modellstützenverfahren angewendet werden. Die Modellstütze ist eine Kragstütze mit der Länge l = l0 / 2, die am Fußpunkt einge-spannt und am Kopfpunkt frei verschieblich ist. Unter der Wirkung von Längskräften und Momenten entsteht eine einfach gekrümmte Verformungsfigur, wobei am Stüt-zenfuß das maximale Moment auftritt. [DIN 1045-1, 8.6.5, (3)] Der Nachweis des Gleichgewichts wird durch die Bemessung im kritischen Quer-schnitt am Fuß der Modellstütze auf der Grundlage der Krümmung (1/r) des Quer-schnitts unter der maximalen Auslenkung der Stütze nach Theorie II. Ordnung erbracht.

Gesamtausmitte: etot = e1 + e2 = (e0 + ea) + e2 +ec

Ausmitte nach Theorie I. Ordnung:

e0 = Ed

Ed

NM = 0

Ausmitte aus ungewollter Schiefstellung (Imperfektionen) nach [DIN 1045-1, 8.6.4]:

ea = αa1·l0/2 = 225,4

2061

⋅ = 0,01 m αa1·= coll100

1⋅

= 25,4100

1⋅

=206

1 ≤ 200

1


- 66 -

Ausmitte nach Theorie II. Ordnung:

e2 = r1

10lK20

1 ⋅⋅

K1 = 5,210

−λ für 25 ≤ λ ≤ 35

K1 = 1 für λ > 35

Berechnung der Krümmung:

r1 =

d9,0K2 yd

2 ⋅

ε⋅⋅

K2 = balud

Edud

NNNN

−

− ≥ 1

NEd Vorhandene Längsdruckkraft Nud Grenztragfähigkeit des Querschnitts für zentrischen Druck Nud = -(fcd · Ac + fyd · As)

Der Bewehrungsgehalt muss an dieser Stelle vorgeschätzt werden.

Nbal Bemessungswert der aufnehmbaren Längskraft bei größter Momententragfähigkeit „Balance-Punkt“

Nbal ≈ 0,4 · fcd · Ac für symmetrisch bewehrte Querschnitte Nud = fcd · Ac + fyd · As = 14,2 · 0,32 +435 · 6,16·10-4 = 1,55 MN Nbal = 0,4 · fcd · Ac = 0,4 · 14,2 · 0,32 = 0,51 MN

K2 = 51,055,11679,155,1

−− = 0,37

Auf der sicheren Seite liegend kann auch K2 = 1 angenommen werden. d = 26 cm nach 2.3.1

εyd = σyd / Ey = (500/1,15) / 200000 = 2,17 · 10-3

r1 =

26,09,01017,237,02

3

⋅⋅

⋅⋅−

= 6,9 · 10-3 m-1

e2 = 32

109,61025,41 −⋅⋅⋅ = 0,012 m

Kriechausmitte: Nach [DIN 1045-1, 8.6.3, (5)] dürfen Kriechauswirkungen in der Regel vernachlässigt werden, wenn die Stütze wie im vorliegenden Fall an beiden Enden monolithisch mit lastabtragenden Bauteilen verbunden ist. ec = 0

Gesamtausmitte: etot = e0 + ea + e2 = 0,0 + 0,01 + 0,012 = 0,022 m

Belastung der Stütze nach Theorie II. Ordnung NEd = -1167,9 kN MEd = NEd · etot = 1167,9 · 0,022 = 25,7 kNm


- 67 -

2.3.3 Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit Betondeckung nach [DIN 1045-1 6.3, Tab. 4] (Bewehrungsstabdurchmesser vorge-schätzt)


mm10mm20d l,s



mm10mm10d bü,s


d1 = max ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=+

=++=++

cm0,4 2,0/23,0/2dccm 4,0 2,0/20,12,0 /2ddc

längss,längs nom,



Zur Bemessung stehen verschiedene Hilfsmittel zur Verfügung:

1. Bemessung mit Hilfe des Interaktionsdiagramms für Rechteckquerschnitte mit den Eingangswerten

bezogene Normalkraft νEd =cd

Ed

fhbN⋅⋅

bez. Moment (Th. II. Ordnung) μEd = cd

2Ed

fhbM

⋅⋅ mit MEd = NEd·etot

Lage der Bewehrung d1/h

Bei den folgenden 2 Verfahren sind die Ausmitten nach Theorie II. Ordnung schon in die Tafeln eingearbeitet und brauchen daher vorab nicht explizit ausgerechnet wer-den.

2. Bemessung mit Hilfe des µ-Nomogramms nach Kordina/Quast mit den Eingangswerten

bezogene Längskraft νEd =cd

Ed

fhbN⋅⋅

bez. Moment (Th. I. Ordnung) μEd = cd

2Ed

fhbM

⋅⋅ mit MEd = NEd·(ec+e0+ea)

Lage der Bewehrung d1/h bezogene Stablänge l0 / h

3. Bemessung mit Hilfe des e/h-Diagramms mit den Eingangswerten

bezogene Längskraft νEd =cd

Ed

fhbN⋅⋅

bez. Lastausmitte (Th. I. Ordnung) e1/h mit e1 = (ec+e0+ea) Lage der Bewehrung d1/h bezogene Stablänge l0 / h


- 68 -

Für den vorliegenden Fall soll beispielhaft die Bemessung mit Hilfe des Interak-tionsdiagramms für Rechteckquerschnitte durchgeführt werden:

μEd = cd

2Ed

fhbM

⋅⋅ =

2,143,03,00257,0

2 ⋅⋅ = 0,067

νEd = cd

Ed

fhbN⋅⋅

= 2,143,03,0

1679,1⋅⋅

− = -0,914

d1/h = 4/30 = 0,133 ≈ 0,15

Bild 2-45 Ablesung im Interaktionsdiagramm [9]

ωtot = 0,11


- 69 -

erf. As,tot = cdyd

tot f/fhb ⋅

⋅ω =7,30303011,0 ⋅

⋅ = 3,22 cm² As1=As2 =3,22/2 = 1,61 cm²

gew. 2 ∅14 je Seite mit vorh. As,1 = As,2 = 3,08 cm² > 1,61 cm²

2.3.4 Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit Für die untersuchte mittig gedrückte Innenstütze brauchen keine Nachweise in den Grenzzuständen der Gebrauchstauglichkeit geführt zu werden: Die Spannungsnachweise dürfen aus den in 1.1.4.1 erläuterten Gründen entfallen. Da nach [DIN 1045-1, 8.6.3, (5)] Kriechauswirkungen in der Regel vernachlässigt werden dürfen, wenn die Stütze wie im vorliegenden Fall an beiden Enden monolit-hisch mit lastabtragenden Bauteilen verbunden ist, brauchen die Betondruckspan-nungen nicht nach [DIN 1045-1, 11.1.2, (2)] nachgewiesen zu werden. Der Nachweis der Rissbreitenbegrenzung kann entfallen, da bei überwiegend mittig gedrückten Stützen unter Gebrauchslasten keine Risse auftreten.

2.3.5 Konstruktive Durchbildung Mindest- und Höchstwert der Längsbewehrung für Stützen [DIN 1045-1; 13.5.2]

min As,l = 0,15 ·yd

Ed

fN = 0,15 ·

5,439,1167 = 4,0 cm² > 3,22 cm²

Mindestbewehrung ist maßgebend! vorh. Gesamtbewehrung 4∅14 mit vorh. As = 6,16 cm² > 4,0 cm²

In jeder Ecke muss mindestens ein Stab ∅12 angeordnet werden. [DIN 1045-1; 13.5.1]

Nachweis des maximalen Bewehrungsgehalts max As,l = 0,09 · Ac auch im Bereich von Stößen Bei Annahme eines Vollstoßes (100%) ergibt sich max As,l = 0,5 · 0,09 · Ac = 0,045 · 302 = 40,5 cm² >> 6,16 cm²

Übergreifungslängen der Längsstäbe: Nach jedem Betonierabschnitt müssen die Längseisen gestoßen werden. Die Kraft-übertragung in der Bewehrung muss durch eine Übergreifung der Längsstäbe si-chergestellt werden.

Übergreifungslänge nach [DIN 1045-1; 12.8.2]:

ls = α1 · lb, net !≥ ls, min =

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⋅α⋅α⋅

cm20Stäbengeradenbeid15

l3,0

s

b1a


.erf,s

AA

· lb !≥

⎩⎨⎧ ⋅α⋅=

s

bamin,b

d10l3,0l

αa = 1,0 (gerades Stabende) α1 = 1,0 (Druckstoß) Alle Längsstäbe liegen [DIN 1045-1, 12.4 (2) und Bild 54] im guten Verbundbereich, da die Eisen in Betonierrichtung angeordnet sind.


- 70 -

lb = bd

yds

ff

4d

⋅ = ds · 7,24435⋅

= ds · 40,3 = 1,4 · 40,3 = 56,4 cm

lb, net = 1,0·16,60,4 ·56,4 = 36,6 cm

!≥

⎩⎨⎧

=

=⋅⋅=⋅α⋅=

cm14d10cm9,164,560,13,0l3,0l

s

bamin,b

erf. ls = 1,0 · 36,6 = 36,6 cm !≥ ls, min =

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⋅

=⋅⋅⋅

cm20cm214,115

cm9,164,560,10,13,0

gew. Übergreifungslänge ls = 50 cm > 36,6 cm

Bügelbewehrung nach [DIN 1045-1; 13.5.3]: min ds,bü = 6 mm Der Bügelabstand muss kleiner sein als folgende Werte: - 12-facher Durchmesser der Längsstäbe - kleinste Querschnittsbreite - 300 mm

max sbü = min ⎪⎩

⎪⎨

⎧===⋅

mm300mm300hbmm1681412

gew. ∅6/15

Unmittelbar über oder unter Balken oder Platten (auf einer Höhe von einem Bereich gleich der Stützenabmessung) und im Bereich von Übergreifungslängen sind die Bü-gelabstände auf den 0,6-fachen Abstand zu verringern.

gew. ∅6/10


- 71 -

Bild 2-46 Bewehrungszeichnung Stütze

Pos

. 1

4 ∅

14

sbü = 10

sbü = 10

sbü = 15

Pos. 2 30 ∅ 6 / 15 bzw. 10 l = 1,06 m

-24- -2

4-

-24-

-24-

Pos

. 2

∅

6 /

15 b

zw. 1

0

A A

30

30

Pos. 2

Pos. 1 4 ∅ 14

Schnitt A-A

Anschluss-bewehrung

TU Berlin – Fachgebiet Massivbau – Konstruktiver Ingenieurbau I/II 3 Fertigteilträger

- 72 -

3 Fertigteilträger Innerhalb des Projektes „Hallenneubau in Stahlbetonskelettbauweise“ ist ein Fertig-teilträger mit ausgeklinktem Trägerende zu bemessen. Bei dem Projekt handelt es sich um eine Konstruktion mit Hauptträgern auf mehrge-schossigen Stützen gelagert. Auf die Hauptträger werden als Halbfertigteile ausge-führte vorgefertigte Elementdecken aufgelagert. (Nach der Ortbetonergänzung wirkt der Träger eigentlich als Plattenbalkenquerschnitt. Dieser Vorteil wird hier vereinfa-chend nicht berücksichtigt.) Die Hauptträger werden im Abstand von 3,00 m angeordnet. Sie werden in Fertigteil-bauweise als Einfeldträger gelenkig auf Konsolen zwischen den durchlaufenden Stützen aufgelagert. Um eine flache Konstruktion zu ermöglichen, werden die Träger am Ende ausgeklinkt. Bei einigen Trägern werden auf beiden Seiten des Trägers im oberen Quer-schnittsteil Aussparungen vorgesehen, die bei der Bemessung zu berücksichtigen sind. Der Transport- und Montagezustand wird nicht untersucht.

Bild 3-1 Schnitt Gebäude (auszugsweise)

B

B

Detail

7,90 7,90

7,70 7,70 20 20 20

A

A

beidseitige Aussparung 20/80/5 cm


- 73 -

15 2 30

25

25

Elastomerlager 100x200 mm

10

Bild 3-2 Detail Trägerende

20

55

Elementplatten mit Ortbetonergänzung als einachsig gespanntes Durchlaufsystem

Schnitt B-B

12

30

55

Schnitt A-A

12

5 5

20

35

Bild 3-3 Schnitt A-A und Schnitt B-B

Baustoffe: Beton: C 30/37 Baustahl: BSt 500 S/M Expositionsklasse: XC1


- 74 -

3.1 Statisches Ersatzsystem (Modellbildung) und Belastung Ständige Lasten:

Eigengewicht Decke: gk = = 0,12 m · 25 kN/m³ · 3,0 m = 9,0 kN/m Ausbaulast (Estrich, Belag, abgehängte Decke): gk,2 = 2,5 kN/m² · 3,0 m = 7,5 kN/m Eigengewicht Unterzug: gk, UZ = 0,30m · 0,55m · 25 kN/m³ = 4,13 kN/m

Ständige Lasten: gk = 7,5 + 9,0 +4,13 = 20,63 kN/m Verkehrslast: qk = 5,0 kN/m² · 3,0 m = 15 kN/m

Bemessungswerte der Belastungen:

Endzustand: Ständige Lasten: gd = 1,35 · 20,63 = 27,85kN/m Verkehrslast: qd = 1,5 · 15 = 22,5 kN/m

Summe: gd + qd = 27,85 + 22,5 = 50,35 kN/m

Statisches System:

Die Stützweite berechnet sich zu l = 7,70 – 2 · (0,02 + 0,15) = 7,36 m (vgl. Bild 3-1 und Bild 3-2)

7,36 m

gd + qd = 50,35 kN/m

Bild 3-4 Statisches System und Belastung für den Unterzug im Endzustand

Der Bereich des ausgeklinkten Trägerendes muss gesondert untersucht werden. Am Auflager ist durch die Einzellast eine statische Diskontinuität vorhanden. Durch die Ausklinkung entsteht ein Querschnittssprung und somit eine geometrische Diskonti-nuität (Bild 3-5). Der restliche Balken kann mit Hilfe der technischen Biegelehre als B-Bereich betrachtet werden, so dass die bekannten Standardbemessungsverfahren angewendet werden können. [1]


- 75 -

15

30

25

55 Störbereich = Trägerhöhe 10

D-Bereich B-Bereich

Bild 3-5 Diskontinuitätsbereich des Balkens

3.2 Schnittkraftermittlung

Moment: max MEd = 8

l)qg( 2dd ⋅+ =

836,7)35,50( 2⋅ = 341,0 kNm

Ermittlung der Auflagerkraft am ausgeklinkten Trägerende: Die Lasteinzugsbreite für ein Auflager entspricht dem halben Stützenabstand. (vgl. Bild 3-1 ) Ad = 50,35 kN/m · 7,90 m / 2 = 198,9 kN Bei Konsolen und ausgeklinkten Trägerenden sollten auch Horizontalkräfte, z. B. aus behinderter Verformung der aufgelagerten Bauteile berücksichtigt werden [2]. Nach Heft 399 [7] wird empfohlen, eine Horizontalkraft von mindestens 20 % der Auflager-last (Hd = 0,2 · Ad) anzusetzen. Hd = 0,2 · Ad = 0,2 · 198,9 = 39,8 kN Diese Horizontalkraft muss sowohl bei der Bemessung des ausgeklinkten Träger-endes als auch bei der Querschnittsbemessung berücksichtigt werden. Normalkraft: max NEd = 39,8 kN (Zugkraft)


- 76 -

3.3 Betrachtung des B-Bereichs

3.3.1 Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit Betondeckung nach [DIN 1045-1 6.3, (3)Tab. 4 bzw. (4)] (Bewehrungsstabdurch-messer vorgeschätzt):


mm10mm20d l,s



mm10mm10d bü,s


d1 = max ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=+

=++=++

cm0,4 2,0/23,0/2dc

cm 4,0 2,0/20,12,0 /2ddc

längss,längs nom,



Die Biegebemessung erfolgt in Feldmitte. Neben dem Moment wird auch die geringe Normalkraft (Zugkraft) berücksichtigt, deren Einfluss jedoch nur minimal ist. Die Querkraftbemessung erfolgt für den Maximalwert der Querkraft.

3.3.1.1 Biegebemessung Standardträger (siehe Bild 3-3, Schnitt A-A) zs1 = d - h/2 = 51 – 55/2 = 23,5 cm MEds = MEd – NEd · zs1 = 341,0 – 39,8 · 0,235 = 331,6 kNm

cd2Eds

Eds fdbM

⋅⋅=μ =

1751,030,03316,0

2 ⋅⋅= 0,250

z = ζ·d =0,849 · 0,51 = 0,433 m (Allgemeines Bemessungsdiagramm)

erf. As = yd

Eds

fzM⋅

+ yd

Ed

fN =

5,43433,06,331⋅

+ 5,438,39 = 18,5 cm²

gew.: 6 ∅ 20 mit vorh. As = 18,8 cm² > 18,5 cm²

3.3.1.2 Biegebemessung Träger mit Aussparung (siehe Bild 3-3, Schnitt B-B) Im Bereich der Aussparung ist der Querschnitt sehr stark ausgenutzt. Für diesen Fall kann es notwendig sein, die Biegedruckzone mit Stahleinlagen zu verstärken. Zu-sätzlich zu der „normalen“ Bewehrung As1 auf der Zugseite des Querschnitts wird in diesem Fall auf der Druckseite noch eine Druckbewehrung As2 gewählt. Beim einfach bewehrten Querschnitt wäre eine weitere Vergrößerung der Beton-druckkraft nur über eine Vergrößerung der Betondruckzonenhöhe x möglich. Da-durch würde die Dehnungsnulllinie weiter nach unten verschoben, und so die Stahldehnung εs1 kontinuierlich verringert. Wenn εs1 im Grenzzustand der Tragfähig-


- 77 -

keit unter den Wert der Streckgrenze der Bewehrung fällt, wird der Stahl nicht mehr ausgenutzt und es tritt ein schlagartiges Versagen des Betons ohne Vorankündigung durch Risse ein. Diese Situation kann vermieden werden, indem man bei der Be-messung die zulässige Druckzonenhöhe begrenzt (ξ ≤ ξlim) und in der Druckzone ei-ne Druckbewehrung As2 anordnet, die einen Teil der Druckkraft aufnimmt.

Begrenzung der Druckzone im Hinblick auf die Wirtschaftlichkeit: Der Bemessungswert der Streckgrenze des Stahls

σsd = s

ykfγ

= 15,1

500 = 434,8 N/mm²

wird bei geringeren Stahldehnungen als

εs1 = εyd = s

syk

E/f γ

= 000200

8,434 = 2,174 o/oo

nicht erreicht. Für den Grenzwert der bezogenen Druckzonenhöhe gilt dann

ξlim = (x/d)lim = 1s2c

2c

ε+εε

= 174,25,3

5,3+

= 0,617

Das zugehörige bezogene Grenzmoment beträgt

μEds,lim = 0,371

Begrenzung der Druckzone zur Sicherung ausreichender Rotationsfähigkeit: Die Streckgrenze der Bewehrung wird zuerst im Bereich des maximalen Moments erreicht. Durch das Fließen der Bewehrung entsteht hier ein plastisches Gelenk und somit in der Biegelinie ein Knick. Im Gelenk tritt eine plastische Rotation Θpl auf. Die-ses Rotationsvermögen ist bei geringen Bewehrungsquerschnitten abhängig vom Verformungsvermögen des Betonstahls (Duktilität), bei stärker bewehrten Quer-schnitten ist jedoch ein Betonversagen im Gelenk möglich, ohne dass die Streck-grenze des Stahls erreicht wird. Mit zunehmender Druckfestigkeit nimmt die Verformungsfähigkeit ab. Die in einem plastischen Gelenk aufnehmbaren Biegemomente sind somit abhängig von der Duktilität des Betonstahls, von der Betonfestigkeit und der Ausnutzung der Betondruckzone.

Nach [DIN 1045-1, 8.2 (3) und Bild 54] gilt für vorwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile bei linear-elastischer Berechnung der Schnittgrößen und ohne besondere konstruktive Umschnürung der Druckzone nach [DIN 1045-1, 13.1.1 (5)] als Grenzwert für die bezogene Druckzonenhöhe

ξlim = (x/d)lim = 0,45 für Betonfestigkeitsklassen ≤ C 50/60 Das zugehörige bezogene Grenzmoment beträgt

μEds,lim = 0,296 Die Ausnutzung der Betondruckzone ist mit der Einhaltung dieses Wertes begrenzt und der Nachweis der Rotationsfähigkeit entbehrlich.


- 78 -

Wird eine konstruktive Umschnürung der Druckzone nach [DIN 1045-1, 13.1.1 (5)] angeordnet, oder der rechnerische Nachweis der Rotationsfähigkeit nach z. B. [DIN 1045-1, 8.4.2] geführt, gilt der Grenzwert im Hinblick auf die Wirtschaftlichkeit ξlim = (x/d)lim = 0,617 (siehe oben).

Bemessung des Querschnitts mit Druckbewehrung: MEd = 331,6 kNm NEd = 39,8 kN Annahme: d1 = d2 (d1 siehe 3.3.1) zs1 = zs unten – d1 = 25,1 – 4,0 = 21,1 cm (vgl. Bild 3-6) zs2 = zs, oben – d2 = 29,9 – 4,0 = 25,9 cm (vgl. Bild 3-6)

Bild 3-6 Querschnittswerte für Querschnitt mit Aussparung

MEds = MEd – NEd · zs1 = 331,6 – 39,8 · 0,211 = 323,2 kNm Für die Breite der Druckzone darf hier nur die durch die Querschnittsschwächung abgeminderte Breite verwendet werden.

µEds =cd

2Eds

fdbM

⋅⋅

= 1751,020,0

3232,02 ⋅⋅

= 0,365 > ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=μ

=μ

)riteriumähigkeitskRotationsf(296,0.bzw

)riteriumlichkeitskWirtschaft(371,0

lim,Eds

lim,Eds

Druckbewehrung wird erforderlich! Eine besondere Umschnürung der Druckzone soll hier nicht vorgenommen werden, daher gilt hier das Kriterium zur Sicherung der Rotationsfähigkeit. Aufteilung des vorhandenen Moments in ein bezogenes Moment MEds, lim = µEds,lim · b · d2 · fcd = 0,296 · 0,20 · 0,51² · 17,0 = 0,2618 MNm und ein zusätzliches Moment

ΔMEds = MEds - MEds, lim = 0,3232 – 0,2618 = 0,061 MNm

z s2

z s1


- 79 -

Bemessung für MEds, lim mit µEds,lim = 0,296


As1 = yd

lim,Eds

fzM⋅

+ yd

Ed

fN =

5,43415,08,261⋅

+ 5,438,39 = 14,5 cm²

Bemessung für ΔMEds Kräftepaar zur Aufnahme von ΔMEds:

Fs2 = ΔFs1 = 2s1s

Eds

zzM+

Δ = 259,0211,0

061,0+

= 0,130 MN

As2 = ΔAs1 = yd

1s

fFΔ =

5,43130 = 3,0 cm²

gesamte erforderliche Bewehrung: erf. As1 = As1+ ΔAs1 = 14,5 + 3,0 = 17,5 cm² erf. As2 = 3,0 cm²

gew. unten: 6 ∅ 20 mit vorh. As = 18,8 cm² > 17,5 cm2

gew. oben: 2 ∅ 14 mit vorh. As = 3,08 cm² > 3,0 cm2

3.3.1.3 Querkraftbemessung max. VEd = Ad = 198,9 kN (vgl. 3.2) zugehörige Normalkraft NEd = 39,8 kN (vgl. 3.2) Die Neigung der Druckstreben im Fachwerkmodell wird auch von der Normalkraft bzw. der von ihr erzeugten Normalspannung im Querschnitt beeinflusst. Eine Druck-kraft begünstigt das Querkrafttragverhalten und bewirkt flachere Druckstrebennei-gungen. Eine Zugkraft bewirkt steilere Druckstrebenneigungen. (vgl. Bild 3-7) [15]

Bild 3-7 Neigung der Druckstrebe in Abhängigkeit von der Normalkraft


- 80 -

In dem vorliegenden Fall beträgt die Normalspannung nur

σcd = c

Ed

AN = 310

55,03,08,39 −⋅

⋅= 0,24 MN/m² (N als Zugkraft positiv)

und ist damit so gering, dass ihr Einfluss hier nicht berücksichtigt wird.

Der Druckstrebenneigungswinkel infolge Querkraft wird vereinfachend zu θ = 35° gewählt. Die Grenzen nach [DIN 1045-1, 10.3.4 (3)] sind demnach eingehalten (vgl. auch [1]).(Genaue Berechnung des Druckstrebenwinkels vgl. 2.2.3.2)

Der Hebelarm der inneren Kräfte wird vereinfachend zu z ≈ 0,9·d = 0,9 · 51 = 46 cm gesetzt. Druckstrebenbeanspruchungen:

VRd,max =θ+θ

⋅α⋅⋅tancot

fzb cdcw = ³1035tan35cot

1775,046,030,0⋅

+⋅⋅⋅ = 824,9 kN ≥ 198,9 = VEd

(schräge Druckkraft: Fθ = θsin

VEd = °35sin

9,198 = 346,8 kN)

erf. asw = 35cot)51,09,0(5,43

9,198cotzf

VsA

yd

Ed

w

sw

⋅⋅⋅=

θ⋅⋅= = 7,0 cm²/m

gew. ∅10/20 2-schn. mit as = 2 · 3,93 = 7,86 cm²/m > 7,0 cm²/m

3.3.2 Bemessung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit analog 2.1.4

3.4 Betrachtung des D-Bereichs Der Diskontinuitätsbereich lässt sich mit Hilfe von Stabwerkmodellen nach [2], [15] bemessen. Für das ausgeklinkte Trägerende bieten sich 2 verschiedene Modelle an (vgl. Bild 3-8 a und b). Möglich ist auch eine Kombination beider Modelle (vgl. Bild 3-8 c). [15]

Bild 3-8 Mögliche Stabwerkmodelle für das ausgeklinkte Trägerende

Für den vorliegenden Fall wird ein Modell mit senkrechter Bügelbewehrung zugrunde gelegt.


- 81 -

3.4.1 Ermittlung der Stabkräfte Es wird zunächst ein Modell für die Lasteinleitung der Vertikalkomponente gewählt. In einem weiteren Modell wird die Horizontalkomponente betrachtet. Die gewählten Modelle werden anschließend überlagert. Diese Vorgehensweise bedingt, dass die Knoten beider Modelle in den gleichen Punkten liegen. Die Stabkräfte werden dann getrennt für die Auflagerkräfte Ad = 198,9 kN und Hd = 39,8 kN ermittelt und anschließend addiert. Entwicklung der Modelle: Die Schwerachse der Bewehrung muss mit der Stabachse des Modells übereinstim-men. [2] Die Konsole sollte möglichst kurz sein, damit die schräge Druckstrebe am Auflager möglichst steil wird und ihre Kraft möglichst klein bleibt. Sie sollte nicht flacher als 45° und darf nie flacher als 30° angenommen werden. [15] Mit den vorhandenen Rand-bedingungen (Lage der Knoten und Schwerachsen der Bewehrung) ist diese Forde-rung mit θ vorh. = 43,3° nahezu erfüllt. Der Hebelarm kann mit z = 0,9·d = 0,9·51 cm = 46 cm abgeschätzt werden. Bei der Querkraftbemessung wurde der Neigungswinkel der Druckstrebe mit 35° angenom-men. (vgl. 3.3.1.3) Dieser Winkel findet sich im Modell (vgl. Bild 3-9 bzw. Bild 3-11) im anschließenden B-Bereich. Die restlichen Abmessungen des Stabwerks ergeben sich aus der Geometrie.

Bild 3-9 Stabwerkmodell für Auflagerkraft Ad

Bild 3-10 Stabwerkmodell für die Auflagerkraft Hd

Hd

Ad


- 82 -

Bild 3-11 Überlagertes Stabwerkmodell für das ausgeklinkte Trägerende

Berechnung der Stabkräfte infolge Ad: C1 = Ad / sin 43,3° = 198,9 / sin 43,3° = 290,0 kN T1 = C1 · cos 43,3° = 290,0 · cos 43,3° = 211,1 kN T2 = C1 · sin 43,3° = 290,0 · sin 43,3° = 198,9 kN = Ad C2 = T1 / cos 43,3° = 211,1 / cos 43,3° = 290,0 kN = C1 T3 = C2 · cos 43,3° = 290,0 · cos 43,3° =211,1 kN = T1 T4 = C2 · sin 43,3° = 290,0 · sin 43,3° = 198,9 kN = Ad C4 = C1 · cos 43,3° = 290,0 · cos 43,3°° = 211,1 kN = T1 C5 = T4 / sin 35° = 198,9 / sin 35° = 346,8 kN = schräge Druckkraft: Fθ (nach 3.3.1.3)

Berechnung der Stabkräfte infolge Hd: T1 = Hd = 39,8 kN C4 = 39,8 · 27 / 47 = 22,8 kN (Zug) T3 = 39,8 ·20 / 47 = 16,9 kN T2 = T3 / tan (90° - 43,3°) = 16,9 / tan 46,7° = 15,9 kN = C4 / tan (90° - 34,9°) = 22,8 / tan 55,1° = 15,9 kN C3 = 2

224 TC + = 22 9,158,22 + = 27,8 kN

C2 = 22

23 TT + = 22 9,159,16 + = 23,2 kN

Endgültige Stabkräfte infolge Ad und Hd: C1 = 290,0 kN T1 = 211,1 + 39,8 = 250,9 kN T2 = 198,9 + 15,9 = 214,8 kN C2 = 290,0 + 23,2 = 313,2 kN T3 = 211,1 + 16,9 = 228,0 kN T4 = 198,9 kN C4 = 211,1 -22,8 = 188,3 kN C5 = 346,8 kN


- 83 -

3.4.2 Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit Bemessung der Zugstreben: Horizontal T1 = 250,9 kN

As,erf = yd

1

fT =

5,439,250 = 5,8 cm²

gew.: 3 Schlaufen ∅ 12 mit vorh. As = 2 x 3 x 1,13 = 6,8 cm² (Anordnung siehe Bild 3-15)

Vertikal T2 = 214,8 kN

As,erf = yd

2

fT =

5,438,214 = 4,9 cm²

gew.: 4 Bügel (2-schnittig) ∅ 10 mit vorh. As = 4 x 2 x 0,79 = 6,32cm² (Anordnung siehe Bild 3-15)

Vertikal T4 = 198,9 kN

As,erf = yd

4

fT =

5,439,198 = 4,6 cm²

gew.: 3 Bügel (2-schnittig) ∅ 10 mit vorh. As = 3 x 2 x 0,79 = 4,74 cm² (Anordnung siehe Bild 3-15)

Horizontal T3 = 228 kN

As,erf = yd

1

fT =

5,43228 = 5,2 cm²

vorh. aus Biegebemessung: 6 ∅ 20 mit vorh. As = 18,8 cm²

Knotennachweise inklusive Druckstrebennachweise: Knoten 1: Pressung über dem Auflager nach [DIN 1045-1, 10.6.3 (2)] für den Druck-Zug-Knoten mit Verankerung von Zugstreben

σc1 = .Aufl.Aufl

d

hbA⋅

= cm20cm10

kN9,198⋅

= 9,9 N/mm²

< σRd,max = 0,75 · η1 · fcd = 0,75 · 1,0 · 17 = 12,8 N/mm²


- 84 -

Bild 3-12 Situation Endauflager (Knoten K6 nach [15])

gew.: 3 liegende Schlaufen ∅ 12 mit vorh. As = 6,8 cm², Situation c) aus Bild 3-12 gute Verbundbedingungen

Verankerungslänge lb = bd

yds

ff

4d

⋅ = ds · 0,34435⋅

= ds · 36,3 = 1,2 · 36,3 = 43,6 cm


.erf,s

AA

· lb ≥ ⎩⎨⎧ ⋅α⋅=

s

bamin,b

d10l3,0l

= 0,7·8,68,5 ·43,6 = 26 cm

!≥

⎩⎨⎧

=

=⋅⋅=⋅α⋅=

cm12d10cm2,96,437,03,0l3,0l

s

bamin,b

lb, net = 26 cm Bei direkter Auflagerung begünstigt der Querdruck aus der Auflagerpressung die Verankerungsbedingungen:

lb, dir = 32 lb,net =

32 · 26 = 17 cm

10 10

Bild 3-13 Verankerungssituation an Knoten 1


- 85 -

Überprüfung der Verankerungslänge:

Maximal mögliche Länge (vgl. Verankerungslänge ):

vorh. lVerankerung = 10 cm +10 cm – cnom = 10+10 – 3 = 17 cm

vorh. lVerankerung = 17 cm ≥!

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅+=+

=

cm16cm32cm10s2a

cm17l32

01

net,b

Nachweis der Druckstrebe:

Geometrie nach Verankerungslänge bzw. Bild 3-15: u = s0 + s + s + s0 = 4 · 3 cm = 12 cm

a2 = u · cosθ + a1 · sinθ = 12 cm · cos43,3° + 10 cm · sin43,3° = 15,6 cm

Kraft C1 = 290,0 kN (nach 3.4.1)

Nachweis der Druckspannung:

σc2 = ba

C

2

1

⋅ =

30,0156,029,0⋅

= 6,2 N/mm² < σRd,max = 12,8 N/mm² (s. o.)

Bei mehrlagiger Bewehrung und dementsprechend großer Knotenhöhe ist der Nach-weis für σc2 meistens nicht maßgebend.

Knoten 3: 6 ∅ 20 mit Stabendausbildung mit Haken, gute Verbundbedingungen

lb = bd

yds

ff

4d

⋅ = ds · 0,34435⋅

= ds · 36,3 = 2,0 · 36,3 = 73 cm


.erf,s

AA

· lb ≥ ⎩⎨⎧ ⋅α⋅=

s

bamin,b

d10l3,0l

= 0,7·8,182,5 ·73 = 14,1 cm

!≥

⎩⎨⎧

=

=⋅⋅=⋅α⋅=

cm20d10cm3,15737,03,0l3,0l

s

bamin,b

lb, net = 20 cm

Bild 3-14 Verankerungssituation an Knoten 3


- 86 -

a1 = lb,net · sinθ = 20 · sin 43,3° = 13,7 cm

σc1 = ba

C

1

2

⋅ =

30,0137,03132,0⋅

= 7,6 N/mm² < σRd,max = 12,8 N/mm² (s. o.)

Knoten 4: Hier kann ebenfalls angenommen werden, dass die Druckspannungen eingehalten sind, da die Lastausbreitung nicht durch die Geometrie begrenzt ist. Die senkrechte Bewehrung (aus T4) besteht aus Bügeln, die über die gesamte Quer-schnittshöhe reichen und nach den üblichen Regeln verankert werden.. Für die waagerechte Bewehrung (aus T1) wird die notwendige Verankerungslänge ermittelt. An Knoten 4 sind keine Schlaufen am Ende der Bewehrung vorhanden.

gew.: 3 x 2 ∅ 12 mit vorh. As = 6,8 cm² (vgl. Knoten 1)

Verankerungslänge lb = bd

yds

ff

4d

⋅ = ds · 0,34435⋅

= ds · 36,3 = 1,2 · 36,3 = 43,6 cm


.erf,s

AA

· lb ≥ ⎩⎨⎧ ⋅α⋅=

s

bamin,b

d10l3,0l

= 1,0·8,68,5 ·43,6 = 37,2 cm

!≥

⎩⎨⎧

=

=⋅⋅=⋅α⋅=

cm12d10cm2,96,437,03,0l3,0l

s

bamin,b

lb, net = 37,2 cm

Vereinfachend und auf der sicheren Seite liegend wird die Bewehrung so weit ge-führt, dass sie hinter Knoten 4 eine Verankerungslänge von mindestens 37,2 cm auf-weist.

Knoten 5: Der Nachweis für Knoten 5 ist entbehrlich, da die Situation ab hier der Querkraftbe-messung (vgl. 3.3.1.3) entspricht und mit Einhaltung der Konstruktionsregeln der DIN 1045-1 als erfüllt gelten kann.

3.5 Konstruktive Durchbildung Forderung für den lichten Stababstand nach [DIN 1045-1; 12.2]:

sli ≥ ⎩⎨⎧∅

mm20ds

Überprüfung der Einhaltung der lichten Stababstände für die Biegebewehrung 6∅20 (vgl. 3.3.1.1):

vorh. sli = (b – 2· cnom – 2·ds,Bügel – n · ds,längs ) / (n - 1)

= (30 – 2 · 3 – 2 · 1 – 6 · 2) / 5 = 2 cm ≥ ⎩⎨⎧ =∅

mm20mm20ds


- 87 -

Die Bewehrung wird zur besseren Verankerung mit Haken oder besser noch mit Schlaufen ausgebildet.

4 4 13 10 10 20 20 25

3 3

4 4

17

21

3

4 4

2∅14

6∅20

3∅10 4∅10

3∅12

3∅10 ∅10/20

1

2

3

4

5

3

3

- 26 -

- 51

-

- 51

-

44∅10 l = 1,78 m

3

- 12 -

- 12 -

- 26 -

- 26 -

6∅10 l = 1,28 m

4

- 12 -

- 12 -

- 26 -

- 26

-

- 26

-

- 1,00 -

- 1,00 -

- 24

-

3∅10 l = 2,24 m

5

Bild 3-15 Bewehrung des ausgeklinkten Trägerendes

TU Berlin – Fachgebiet Massivbau – Konstruktiver Ingenieurbau I/II Anlagen

88

Anlagen

Anlage 1 Czerny-Tafel 2.2.1 aus [10]


89

Anlage 2 Czerny-Tafel 2.2.2 (kurze Seite eingespannt) aus [10]


90

Anlage 3 Czerny-Tafel 2.2.2 (lange Seite eingespannt) aus [10]


91

Anlage 4 Czerny-Tafel 2.2.3 (kurze Seiten eingespannt) aus [10]


92

Anlage 5 Czerny-Tafel 2.2.3 (lange Seiten eingespannt) aus [10]


93

Anlage 6 Czerny-Tafel 2.2.4 aus [10]


94

Anlage 7 Czerny-Tafel 2.2.5 (1 lange und 2 kurze Seiten eingespannt) aus [10]


95

Anlage 8 Czerny-Tafel 2.2.5 (1 kurze und 2 lange Seiten eingespannt) aus [10]


96

Anlage 9 Tafel für Platte Nr. III/4/a aus [12]

Anlage 10 Tafel für Platte Nr. III/4/c aus [12]

Anlage 11 Tafel für Platte Nr. III/6/a aus [12]


97

Anlage 12 Tafel für Platte Nr. III/6/c aus [12]

TU Berlin – Fachgebiet Massivbau – Konstruktiver Ingenieurbau I/II Literatur

98

Literatur

[1] VL-Skript KI I, Vorlesungsskript Konstruktiver Ingenieurbau II, Fachgebiet Massivbau, TU-Berlin, 2006

[2] VL-Skript KI II, Vorlesungsskript Konstruktiver Ingenieurbau II, Fachgebiet Massivbau, TU-Berlin, 2007

[3] DIN 1045-1, Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton, Teil 1, Be-messung und Konstruktion, Juli 2001

[4] DIN 1055-100, Einwirkungen auf Tragwerke, Teil 100: Grundlagen der Trag-werksplanung,Sicherheitskonzept und Bemessungsregeln, März 2001

[5] DIN 1055-3, Eigen- und Nutzlasten für Hochbauten, Oktober 2002

[6] Grasser, E./Thielen, G.: Hilfsmittel zur Berechnung der Schnittgrößen und Formänderungen von Stahlbetontragwerken, DAfStb Heft 240, 1991, Beuth-Verlag, Berlin/Köln

[7] Eligehausen, R./Gerster, R.: Das Bewehren von Stahlbetonbauteilen, DAfStb Heft 399, 1993, Beuth-Verlag, Berlin/Köln

[8] DAfStb.: Erläuterungen zur DIN 1045-1, DAfStb Heft 525, 2003, Beuth-Verlag, Berlin, Wien, Zürich

[9] Schneider Bautabellen, SBT, Werner Verlag, 15. Auflage 2002

[10] Czerny-Tafeln, abgedruckt z.B. im Betonkalender, BK 1996, Teil 1, Abschnitt F, oder BK 1990, Teil 1

[11] Pieper, K./Martens, P.: Näherungsberechnung vierseitig gestützter durchlau-fender Platten im Hochbau. Beton- und Stahlbetonbau 6/66 und 7/67, Verlag Ernst & Sohn, Berlin

[12] Stiglat, K./ Wippel, H.: Platten, 2.Auflage, 1973, Verlag Ernst & Sohn

[13] Bewehren von Stahlbetontragwerken nach DIN 1045-1: 2001-07, Arbeits-blattsammlung des Instituts für Stahlbetonbewehrung e.V.

[14] Bemessungshilfsmittel, abgedruckt z.B. im Betonkalender, BK 2000, Teil 1, Abschnitt C

[15] Schlaich, J.; Schäfer, K.: Konstruieren im Stahlbetonbau, Betonkalender 2001 Teil II, Berlin: Ernst & Sohn Verlag 2001

TU Berlin – Fachgebiet Massivbau – Konstruktiver Ingenieurbau I/II Stichwortverzeichnis

99

Stichwortverzeichnis Thema

Seite

Ausgeklinktes Trägerende 80ffBelastungsumordnungsverfahren 24Bewehrungszeichnungen 19; 53; 61; 71; 87Biegebemessung 3; 7ff; 39; 54; 76ff; Biegebemessung mit Normalkraft 76Druckbewehrung (Bemessung) 76; 78fDruckstrebenneigungswinkel (genaue Berechnung) 10; 55Mitwirkende Plattenbreite beff 8; 54 Modellstützenverfahren 65Plattenbalkenbemessung 5ff; 49ffQuerkraftbemessung Balken 9ff; 54ff; 79Querkraftbemessung Platte 3; 41Rissbreitenbeschränkung bei zentrischem Zwang 4Rissbreitenbeschränkung ohne direkte Berechnung 16; 41; 69Schlankheit 64Schneideskizze für Matten 48Schubkräfte zwischen Balkensteg und Gurt 14f; 56fStabwerkmodelle 15; 57; 80; 82fStützenbemessung 62ffTorsionsbemessung 9Übergreifungslänge 44; 69Verankerung am Endauflager 45; 60Verankerungslänge 43; 60; 84ff;Verformungsbeschränkung 4; 18; 42Zugkraftdeckung 45ff; 59

Documents

Konstruktiver Ingenieurbau I/II · PDF filebewehrung eingehalten sind, die Schnittgrößen nach der Elastizitätstheorie ermittelt und diese im Grenzzustand der Tragfähigkeit um nicht