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Eine Bemerkung zur Reduktionstheorie quadratischer Formen

Von

ULRICH STUH'LER

In der Theorie der Vektorbfindel fiber Kurven spielt der Beg~ff der stabilen bzw. semistabilen Bfindel eine wichtige Rolle [2]. Insbesondere wurde in [1] bzw. [3] ge- zeigt, dal3 zu jedem Vektorbfindel fiber einer Kurve eine kanonische Filtration durch Teilbfindel existiert, so da$ speziell die sukzessiven Quotienten semistabil sind. Die Filtration definiert sieh dabei durch gewisse Maximalit&tsbedingungen an den Grad der Teilbfindel.

Hier wird ein entsprechender Stabilitatsbegviff ffir den Fall positiv-definiter reeller quadratischer Formen definiert und einige Eigenschaften, vor allem das Bestehen einer kanonischen Filtration abgeleitet. Im zweiten Teil wird dann der Zusammen- hang dieser Filtration mit der Mdnkowskischen Reduktionstheorie untersueh$.

Herrn Prof. l~I. Kneser mSchte ich an dieser Stelle fox mehrere Hinweise danken.

1. Sei L - ~ Z n ein freier Z-Modul yore Range n, b : L • eine reellwertige symmetrische Bilinearform auf L, deren zugeh6rige quadratische Form b (x, x) ~- : b (x) positiv definit sei. Mit d (L) bzw. rg (L) werde die Diskriminante bzw. der Rang des Gitters L (so wird das Paar (L, b) auch kurz genannt) bezeiehnet. Ist L' c L ein Teil- gitter, so sei (L') • : {x e L I b ( x ,L ' ) : 0}.

Definition 1. Sei 0 # L' c L ein Teilgitter. Dann setzen wir

/~ (L') :---- d (L') 1/rg(L'~.

Ist L' = 0, so sei rg(L') ----- 0, d(L') = 1 und /~(L') : ~ co. Diese Konvention wird sich unten als giinstig herausstellen. Der Zusammenhang yon # (L) mit dem entsprechenden Quotienten bei den Vektor-

bfindeln wird dem informierten Leser klar sein.

Proposition 1. Ist (L, b) ein Gitter, a e]~ eine beliebige reeUe Zahl, so gibt es nur endlich vide Teilgitter L ' C L, ]iir die/~ (L') <~ a gilt. S19eziell gibt e~ nu t endlich v~ele Gitter, fi~r die # (L') den minimalen m6glichen Wert annimmt.

Beweis . Es genfigt zu zeigen, dab es nur endlich viele Teilgitter L ' C L gibt, ffir die d(L') <- a ~l t , a e]R irgendeine reelle feste Zahl.

Ist (yl, . . . , yk) eine Minkowski-reduzierte Basis yon L', k : rg(L'), so liefert die Reduktionstheorie eine Absch&tzung der Form

d(L') ~ ~,kb (Y l ) " " b (yk)

Vol. XXVII, 1976 Zur Reduktionstheorie quadrafischer Formen 605

mit einer Konstanten 7~, die nicht yon b abh~ngig ist, [4]. D a b (yl) _~ -.. ~ b (y~) ~ l t und weiter natiirlich b (y~) ~ N1, dem Minimalwert yon b auf L iiberhaupt, ist, so ergeben sich aus d (L') ~ a yon a abh~ngige Schranken M0 ~ b (yl) ~ --- ~ b (y~)

Mz und es kSnnen die y~, . . . , yk daher nur aus einem endlichen Vorrat yon Vek- toren genommen werden. Damit gibt es aber auch nur endlich viele ~I6glichkeiten fiir die L' mit d(L') ~ a.

Satz 1. Unter den Teilgittern L' eines Gitters (L, b) mit minimalem Weft #(L') gibt es ein eindeutig bestimmtes beziiglich der Inklusionsrelation maximales Teilgitter.

Beweis . Wir benutzen die folgende Proposition 2, deren Beweis welter unten gegeben wird.

Proposition 2. Sincl i l , L2 Teilgitter yon L, L1 • 52 und L1-}-L2 Durchschnitt bzw. Summe der beiden Gitter, so gilt ]i~r die Diskriminanten die Ungleichung

d(L1) d(L2) ~ d(L1 c~ L2) d(L1 ~ Lu).

Seien jetzt zwei Teilgitter L1, L~cL gegeben, wobei/~(L2) minimal und L2 mit dieser Eigenschaft ein maximales Teilgitter yon L i s t .

Wir zeigen dann: Ist LI~: L2, so gilt/~(L2) ~/~(L1). Daraus ergibt sich offenbar sofort der Satz 1.

Proposition 2 ergibt nun die Ungleichung

//(L1) rg(L') �9 rg(L2) ~ / / ( L 1 C~ L2) rg(Llns �9 ~u (L1 -}- L2) rg(L'+L2) ~> > # (L2) rg(L~nL2)+rg(Ll+L~) (wegen L1 -}-L2.9 L2)

---~ ]/(L2) rg(Ll)+rg(/~) .

Damit folgt aber sofort # (L1) > / / (L2) . q.e.d. Wir mfissen noch den Bewei s y o n P r o p o s i t i o n 2 nachtragen. Sei zuni~chst

(L1 c~ L2) ein direkter Summand in (L1 ~ L2), damit also auch ein direkter Summand in L2.

Es ergeben sich die direkten Zerlegungen L2 ----- (L1 c~ L2) (~ L2, L1 -{- L2 ---- L1 (~L2 mit einem geeigneten Teilgitter L~cL2.

Seien p l : LR--> (L1 c~ L2)~ und p2 : LR --> (L1)~ orthogonale Projektionen, wobei etwa L R das mit ~ erweiterte Gitter L i s t .

Dann ergeben sich die Beziehungen

d (L2) = d (L~ n L2) d (1ol (L.:)), t

d (L1 -~ L2) -~ d (L1) d (p2 (L~)), also

g (L1 -]- L2) d (L1 c~ L2) ---- d (L1) d (L~) d (P2 (L~)) d (Pl (L~)) -1 -

Wir haben lediglich noch zu zeigen, dab d(p2(L~)) ~ d(pl(L~)) ist. Nun geht aber �9 t

p~(L2) aus Pl (L2) durch eine orthogonale Projektion hervor, da (L1 c~L2)~ ~ (L1)]~ ist und m i t r : (L1 c~ L2)]~ --> (L~)~ als orthogonaler Projektion gilt: p~ ---- r o pl .

Da eine orthogonale Projektion sicher das Volumen verkleinert, so ergibt sich

d (p~ (L~)) ---- d (r o P1 (Li)) ~ d (pi (L~)),

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womit Proposition 2 im Tall, dag ( L l n L2) ein direkter Summand in L1 -~ L2 ist, folgt. Ist jetzt (L1 n L2) nicht notwendig ein direkter Summand in (L1 + L2), so ~ndern

wir L~, i = 1,2, ab zu

L~ := Li + ((L1 (~ L2) ~ (n (L1 + L2)).

Dann ist L[ • L~ = (L1 ~ L2) ~ (~ (L1 -~ L2) und es ergibt sich also die Unglei- chung d(L'~)d(L2) >= d(L; (~ L~)d(L1 -? i2). Da die kanonische Abbildung

t /

L~ (~ L'~/L1 n L2 -> L1/L1 • L2/L2

injektiv ist, so folgt ffir die Indizes der Gitter

[L~: L1]" [L~: L2] _>-- [L~ n L~ : L1 (~ L~],

wegen d(L,) = d(L~) [L~: Li] 2 und d(L1 ~ L2) = d(L~ c~ L~) [L~ f~ L~ : L1 n L2] 2, also endlich d(L1) d(L2) >--_ d(L1 r~ L2) d(L1 + L2). q.e.d.

Folgernng aus Satz 1. Zu jedem Gitter (L, q) gehSrt eine aufsteigende Folge ka- noniseh gegebener Teilgitter 0 ~= L1 =c ... =~ Lm = L, die sich so er~bt:

Satz 1 liefert ein ausgezeichnetes Teilgitter L1 eL. Dann betraehten wir die ortho- gonale Projektion p : L R --> (L1)~ und in (L~)~ das Teilgitter p (L). In p (L) ist wieder naeh Satz 1 ein Teilgitter L~ ausgezeichnet. Wir definieren darm L2 := (p-1 (L~) (~ L) und fahren in der angegebenen Weise, jetzt ausgehend yon p (L), fort.

Damit erhalten wit die angekfindigte kanonische Filtrierung.

Entsprechend dem Tall der Vektorbiindel treffen wir die

Definition 2. Ein Gitter (L, b) heil~t stabil (semistabfl), falls ffir alle echten Teilgitter L l c L #(L1) >/~(L) (bzw. tt(L1) =>/~(L)) ist.

B e m e r kung . Genau ffir die semistabilen Gitter besteht die kanonische Filtrierung nur aus L selbst.

Es sei noch erw~hnt, dal3 wirklich jeder Filtrationstyp auftreten karm. Man hat daffir nur ein Gitter aus geeigneten Bestandteilen orthogonal zusammenzusetzen. Dazu muB man noch wissen, dab in jeder Dimension wirklich semistabile Gitter

existieren. Aber offenbar ist die Einheitsform b (xl, . . . ,xr) = ~ x~ semistabil. Es ergibt sieh also ~=1

Proposition 3. Zu einem gegebenen System anwachsender nati~rlicher Zahlen

n l ~ n 2 ~ " " ~ n k ~ n

existiert stets ein positiv-de/inites Gitter (L, b) mit kanonischer Filtrierung Ll c ' " e L k = -----L, wobei rg(L~)= n~ ist.

2. a) Wir untersuchen zuerst verschiedene Znsammenh~nge mit der Minkowski- sehen Reduktionstheorie im Fall bin~rer und tern~rer Gitter.

Bin~rer Fall. Sei (L, b) ein bin&res Gitter. Bis auf eine ~hnlichkeitsabbildung k6n- nen wir L = (el, e2) als Teilgitter im R 2 annehmen, e = (1, 0), e2 in der oberen Halb-

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ebene und die Form b induziert dureh die Standardform b (xl, x2) = x~ -F x~ auf R 2, ferner I b (ez, e2) 1 ~ �89 und b (ee) >_-- 1. Offenbar durehlaufen die Punkte e2 ---- (u, v) e]R~ dann gerade den bekannten Fundamentalbereieh der Modulgruppe. Ffir den Bereieh S der stabilen Punkte bzw. den Bereich S' der semistabilen Punkte ergibt sieh

s =

Man hat sieh nut zu fiberlegen, dag v 2 der Weft der Diskriminante des Gitters (L, b) ist. Insbesondere gibt es demnaeh stabile Gitter (deren Filtration also trivial ist), die

eine ausgezeiehnete reduzierte Basis besitzen, die eine Yiltrierung anbietet. Die kanonische Filtrierung liefert da also weniger.

Das folgende einfaehe Beispiel zeig% jedoeh, dab umgekehrt tern/~re Gitter mit einer reduzierten Basis aus drei gleichlangen Vektoren existieren, die nieht semistabil sind, also eine nichttriviMe Filtrierung besitzen.

Es sei L ---- Z s mit Standardbasis el, e2, e3,

b(xel + ye2 + ze3) = x 2 + y2 + a x y + z 2 mit a nahe bei Null.

Dann sieht man leieht ein, dab (el, e2, e3) eine reduzierte Basis gleichlanger Vektoren bilden, die kanonische Filtrierung aber durch L ' = Z e l + Z e 2 c L gegeben wird. Es ist ngmlich

/~ (L') = (1 -- a2)1/2 < /~ (L) = (1 -- a2)1/a .

b) Um einen weiteren Vergleich zu erhalten, untersuchen wir jetzt die Purikte in hinreiehend allgemeiner La te (das wird unten pr/~zisiert werden) im Bereieh der redu- zierten positiven definiten quadratisehen Formen, also Punkte, die hinreichend weir yore Rand des reduzierten Bereichs entfernt sind.

Es stellt sich heraus, dab die oben eingeffihrte Filtrierung dort mit der sich durch die Minkowskische Reduktionstheorie ergebenden Filtrierung fibereinstimmt, und zwar sind beide yon feinstm6glichem Typ.

Wir eriimern an einige fundamentale Resultate der Reduktionstheorie, fiir deren Beweis auf [4] verwiesen sei.

Ist (L, b) ein Gitter, rg (L) ---- n und (dl , . . . ,dn) ein System sukzessiver ~Iinimal- vektoren, (el, . . . , en) eine Minkowski-reduzierte Basis, dann existieren yon b unab- h~ngige Konstanten 8k, 1 _<k_<n, so dab b(d~) <= b(e~) <= ~b(d~) gilt. Dabei kann man dk rekursiv durch ~1 ---- 1, d~ ---- max (1, ~ ~1 + " " + �88 d~-z -t- �88 definieren, [4, S. 283]. Ferner gilt die schon oben einmal benutzte Diskriminantenabschgtzung d (L) __> ?n ~gz -.- Nn, hrt = b (dd das i-re sukzessive Minimum. Nghere In fomat ionen fiber die GrSBe der ?n finden sich in [4].

Proposition 4. Sei (L, b) ein Gitter, (el, . . . , en) eine Minkowski-reduzierte Basis und b (ek+l) > ~+1 b (e~) /igr k -= 1 . . . . . n - - 1. Dann gilt /iir ein beliebiges S y s t e m

Ir k

(dl . . . . . dn) sukzessiver minimaler Vektoren in L: ~ Zd , c ~ Ze , , k = 1, . . . , n. i = 1 i = 1

Beweis . Sei also (dl . . . . . dn) irgendoin solehes System und wir haben

b (d~) ~ b (e~) ~ (~k b (dk).

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Ir k--i k Sei bereits ~. Z et ~ ~ Z d~ gezeigt. Wir zeigen ee ~ ~ @ d,, denn dann is~

i=i i=i i = l

k k

i=l i=i

also, da (ei, . . . , e~) Teil einer Basis yon L ist, ~ Z de c ~ Z e~. k i=I i=i

Wire e~ ~ ~ @d~, so wire b(e~) >= b(dk+l). Aber, da i=1

1 b(dk+l) > - b(ek+i) > b(e~)

= 6k+l

ist, so folgte b (e~) > b (e~), ein Widerspruch. Daher ist k

~ Z d ~ c ~ Z e ~ . i=1 i=1

Satz 2. Ist (L, b) ein Gitter mit einer Minkowski-reduzierten Basis (el, . . . , en) und gilt b (ei) > o: b (ei-1), i = 2, . . . . n,

_>_ ~ + max( {{~ .-. ~ 7~-1)2/(~-~) ~ 12 _< k __ ~} u {~ ~ 1 1 _< k _< ~}),

so wird die ~tnonische Filtrierung durch die I'olge der Gitter

+ Z e 2 c . . . c Z e l + - . - + Ze,~ Z e l C Z e l

gegeben. �9 p

Beweis . Sei L ' c L ein Teilgitter yore Rang k. Wir haben mit N1, . . . , N k als suk- zessivem Minima yon b auf L' die Abschitzungen

p

d(L') > 7~_~'~... iV k >= >= ?~ N1 "" N1i > (?k eSF 1"'" ~-~1) od+2+... +(k-i) b (el) ~

also d (L')I/~ > (?~ ~?1 .. . ~-1)1/~ a(k-1)/2 b (el) > b (el)

auf Grund der Wahl yon a. L ---- Zel ist also der erste Filtrationsterm yon (L, b). Der Beweis der restlichen Behauptung yon Satz 1 ergibt sich sofort aus dem fol-

genden Lemma zusammen mit der eben durchgefiihrten Rechnung.

Lemma 1. Sei (L, b) ein Gitter, (ex . . . . , en) eine Minkowski-reduzierte Basis von L, b(e~+l)>o~b(ei) /i~r i = l . . . . . n - - 1 und o ~ _ m a x { ~ O k [ l < _ k ~ n ) . Sei 29 : L R --+ (el)~ die orthogonale Pro]ektion und ( /1 , . . . , /n - l ) eine Minkowski-reduzierte Basis yon 29 (L). Dann gilt

a) Z / t = p Zei /iir 1 <__] <=n-- 1, i=I \i=I

b) b(h+l ) > (~-- 1) b(/~) /i~r 1 < = ] ~ n - - 2 . r

Beweis . Sei e i :-----p(et), i ---- 2, . . . , n . Es gilt

b (el, el) 29(ed + b(el, el) el = e~,

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also, da ] b (el, e~) I ~ �89 b (el) ist, so ergibt sich 0 ~ b (e~) -- b (e~) ~ �88 b (el). Ist um- gekehrt y e p (L), so finder man einen Vertreter ~ ~ L, p (~) ---- y, mit

] b (~) - - b (y) ] ~ �88 b (el).

Wir zeigen nun zun~chst die Behauptung a) durch Induktion fiber ]. Sei also

( ~ 1 ) ~-__~Z/~ ffir l < j ~ k 19 Z ei -~ = __ �9

Wir betrachten den n/~ehsten Basisvektor /~. Sicherlich ist flit jedes f~ e L mit P ( f D = [~, b(f~:) >= b(e~+~). Andererseits kSnnen wir annehmen, dag 0 ____ b($k) - - b ([k) ~ ~ b (el) ist. Insgesamt also

b(/k) ~ b(%+1) ~ b(e~+l) "< b(f~) < b([~) + �88 b(el) .

k + l W~re nun f~ ~ ~ 7/, ei, so folgte naeh Proposition 4

i = 1 b (ek+2)

b (f~) --> N/r ~__-- ~/r > ~ b (e~+l)

Ni das i-te sukzessive Minimum yon (L, b). Also

b (el) ~ b (f~) -- b (e~+l) > [(g/~+2) -- 1] b (e~+~),

was einen Widersprueh ergib~ nach Wahl yon ~. Also ist generell

Ix-" i ~ i-1 P i 2 Z e , = ~ Z / , f f i r ~ : 2 . . . . . n .

\=1i ) i=i

Nun zu b): Nach a) haben wir jeweils die Abseh~tzungen

b (]t+1) ~ b (e1+2) ~= b (h+l) + ~ b (et)

ffir die in Frage kommenden ]. Also ergibt sich

~b(']t ) ~ (xb(e~+l) < b(e/+2) ~_ b([t+1) + �88 b(el) , d. h.

o~b(/~) - - �88 b(el) < b(h+l) . Aber

b (fj) ~ b (]1) ~ b (e2) -- �88 b (el) > (~ -- ~) b (el), d .h .

( ' ) b f f ~ + l ) > ( ~ - - t ( ~ - - � 8 8 ~ 4 ~ - - 1 b ( h ) > ( ~ - - l ) b ( / ~ )

auf Grand der Voraussetzungen fiber ~. Damit ist Lemma 1 ~md daher auch 8atz 2 bewiesen.

Literaturverzeiehnis

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[3] A. :N. TJURII~, Classification of vectorfiberings over an algebraic curve. Amer. Math. Soc. Transl. (2) 63, 245--279 (1967).

[4] B. L. vAI~ Dv.R WA]~RI)V.I% Die Reduktionstheorie der positiven quadratischen Formen. Acta Math. 96, 265--309 (1956).

Eingegangen am 22. 8. 1975

Anschrift des Autors:

Ulrich Stuhler Mathematisehes Inst i tut der Universit~t BunsenstraBe 3-- 5 34 G6ttingen