manuscripta math. 13, 101 - 108 (1974) ~by Springer-Verlag 1974

EINE BEMERKUNG ZUR STABILIT~T V0N ENTFALTUNGEN

Hans Soheerer

In his stability theorem on unfoldings of germs of C~-functions G. Wassermann has proved the equivalence of several properties of a~ unfolding, e. g. "infini- tesimally stable" and "universal". This paper which is close to his work adds another equivalent property. Two examples show that this property can also be considered in the context of other stability theorems.

0. EINLEITUNG

Der Stabilit~tssatz von G. Wassermann ([2] Theorem

4.11.) zeigt die Aquivalenz der Eigenschaft "stabil"

einer Entfaltung mit verschiedenen anderen Eigenschaf-

ten, z. B. "universell" und "infinitesimal stabil". Die

folgenden Zeilen fGgen eine weitere ~quivalente Eigen-

schaft, "parameterstabil", hinzu.

Die Eigenschaft "parameterstabil" kann man auch im

Zusammenhang mit anderen Stabilit~tss~tzen betrachten;

dazu werden zwei Beispiele angegeben. Die Beweise laufen

im Grunde darauf hinaus, gewisse Differentialgleichungen

in (differenzierbarer) ~bh~ngigkeit von einem Parameter

zu l~sen.

Die Arbeit schlie~t sich eng an [2] an und benGtzt

genau die Bezeichnungen und Begriffe yon [2]. Einige

seien jedoch hier kurz wiedergegeben.

Dank des Autors geht an G. Wassermann fGr seinen Rat.

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2 SCHEERER

i. DEFINITIONEN, RESULTAT.

Es sei s(n,p) die Menge der Keime im Nulipunkt

yon C~-Abbildungen f: ~n ) ~P und m(n,p) sei

die Teilmenge [flf(O) = 0] von s(n,p) . (Wir unter-

scheiden in der Notation selten zwischen Abbildungen

und deren Keimen.) Ffir p = 1 schreiben wit E(n)

statt ~(n,1) und m(n) start m(n,1) . Man bemerke,

da6 a(n) eine Algebra fiber E mit maximalem Ideal

~(n) ist.

Einen R m werden wir oft aufspalten als ~n • Er ,

dann bedeutet (x,u) E R n • Rr , dab x E ~n und

u E ~r ist. Ist f E ~(n+r) , so ist fie n die

Funktion (flE~(x) = f(x,O) . Ein f E m(n,p) definiert

einen Ringhomomorphismus f*: s(p) ) s(n) , ins~

besondere die Projektion ~n • Rr ) Rr eine Inklusion

s(r) ~ ~(n+r)

1. Sei ~ E m(n) . Ein f E s(n+r) heist Entfaltun~ von

, falls fl~ n = ~ ist.

2. Sind f E a(n+r) , g E ~(n+s) Entfaltun~en yon U ,

so besteht ein Morphismus f ~ g aus einem Paar ((@,k)

mit ~ E ~(n+r,n+s) , k E ~(l+r) , so dab folgende

Ei~enschaften erfUllt sind:

(i) Der Keim ~ hat die For~ (~,~) ~it

E ~(n+r,n) und ~ E ~(r,s) , d.h.

~(x,u) = (| .

(ii) Es ist ~IR n = idRn und klR = id~ .

(iii) Man hat f(x,u) = k(g$(x,u),u).

3. Die Entfaltun6 g von ~ heiBt"universell", falls

ffir ~ede andere Entfaltun~ f yon ~ ein Morphismus

f ) g existiert.

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SCHEERER 3

4. Eine Entfa!tung f E ~(n+r) von ~ heiBt "infini-

tesimal stabil", falls gilt:

~(n+r) = (af/Sxl,...,Bf/SXn)~(n+r)+

+ (af/Sul,...,Sf/SUr)~(r) + F*~(l+r)

mit F(x,u) = (f(x,u),u) (Zur Notation: Sind al,.~ m

Elemente einer Algebra A , und ist B eine Unteralgebra

yon A , so ist (al,...,am) B der yon [al,...,am) er-

zeugte B - Untermodul yon A .)

5 T DEFINITION: Eine Entfaltung f E a(n+r) von ~ E m(n)

heiBt "parameterstabil", falls gilt: FGr jede Entfaltung

g @ a(n+r+s) von f (dann ist g auch Entfaltung yon

) existiert ein Morphismus (~,h): g > f von Ent-

faltungen von ~ mit ~I~ n+r = id und k(~,u,O) =

fGr ~ E ~ , u E ~r

Wir zeigen:

SATZ: Die Eigenschaften "infinitesimal stabil" un d "para-

meterstabil" sind ~quivalent.

BEMERKUNG: Eine "infinitesimale" Version yon "parameter-

stabil" ist in [2] enthalten und impliziert, wie im An-

schluB an Definition 4.8 von [2] an~edeutet, "infinite-

simal stabil".

2. BEWEIS DES SATZES

2.1 ZUR ILLUSTRATION:

LEMMA: Aus "parameterstabil" folgt "universell".

BEWEIS: Sei f eine parameterstabile Entfaltung von

E m(n) und g E ~(n+s) eine Entfaltung yon U �9 Dann

ist f ~ g(x,u,v) = f(x,u) + g(x,v) - ~(x) , x E ~n ,

v E ~s , eine Entfaltung von ~ , so da~ g > f ~ g

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4 SCHEERER

existiert. Abet f ~ g ist auch eine Entfaltung von f .

Daher erh~lt man einen Morphismus g ) f durch Zusammen-

setzen yon g ~ f ~ g nJit einem Morphismus f ~ g ~ f ~

2.2 "PARAMETERSTABIL" IMPLIZIERT "INFINITESIMAL STABIL".

Sei f E s(n+r) parameterstabil. Sei h E s(n+r) und

bilden wit die Entfaltung g E s(n+r+l) yon f dutch

g(x,u,t) = f(x,u)+ th(x,u) Sei (~,k): g ~ f ein

Morphismus von Entfaltungen yon ~ mit den in der De-

finition yon "parameterstabil" geforderten Eigenschaften.

Differenziert man nun die Gleichung k(fr =

= g(x,u,t) nach t und setzt t = 0 , so erh~lt man

h E (Sf/Sxl,...,Sf/SXn)~(n+r) +

+ (Sf/Sul,...,Sf/SUr)s(r) + F*s(l+r)

2.3 "INFINITESIMAL STABIL" IMPLIZiERT "PARA~IETERSTABIL".

Sei f E s(n+r) und g E s(n+r+s) eine Entfaltung

von f Wir benutzen die Aquivalenz von "universell" und

"infinitesimal stabil" (L2], Theorem 4.11.) .

Sei h = gl~ n+r+s-1 falls s > 1 . Wegen der Existenz

von f > h und f universell ist h universell, also

infinitesimal stabil. Es genGgt also, die Behauptung f~r

s = 1 zu zeigen. Der Allgemeinfall ergibt sich dann als

Zusammensetzung g > h

von Entfaltungen yon

der Definition 5-

Neh~len wir an, es sei

> .~ > f , ein Morphismus

mit den zusgtzlichen Eigenschaften

s = 1 , und spalten wir ~n+r+l

auf als R n ~r • • ~ mit Koordinaten (x,u,t) . Da f

infinitesimal stabil, also universell, ist, gilt fNr jede

ganze Zahl k ~ 1 ([2], Theorem 3.22.(b)) die Gleichung

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SCHEERER 5

~(n) = (8~/SXl,...,8~/SXn)~(n) +

+ (Ss +

+ (1,U,...,~k-1)~ + ~(n) k

Nach ~2~, Theorem 3.19o ist ~ rechts-links endlich be~

stimmt. Also ist nach ~2~, Corollary 2.17.,

~(n) k c (8~/SXl,~176 , falls nur k gro~

genug ist. Dann kann man den Summanden ~(n) k aus der

Gleichung weglassen. Nun ist gl~ n+r = f ~ Man erh~lt

also jedes Element aus ~(n) durch Einschr~nkung eines

Elementes aus

(Sg/Sxl,---,Sg/SXn)~(n+r+l) + (Sg/Sul,--.,Sg/SUr)~(r+l) +

+ (1,g,...,gk-1)~(r+l)

auf ~n . Also gilt die Gleichung

~(n+r+l) = (Sg/Sxl,...,Sg/SXn~(n+r+l) +

+ (Sg/Sul,...,Sg/SUr)~(r+l) +

+ (l,g,...,gk-1)~(r+l) + m(r+l)~(n+r+l)

Nach dem Vorbereitungssatz yon Malgrange (~2~, Theorem

1.16.) kann man den Summanden m(r+l)~(n+r+l) aus der

Gleichung weglassen. Es gibt also Keime

~l,.~ E ~(n+r+l) , ~l,...,~r E ~(r+l) und E ~(l+r+l) , welche die Gleichung

8g/St(x,u,t) = ~ 8g/Sxi(x,u,t)~i(x,u,t ) +

+ ~ 8g/Suj(x,u,t)~j(u,t) +

+ ~(g(x,u,t),u,t)

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6 SCHEERER

erfGllen. Aus Lemma 1.29. yon [2] ergibt sich nun die

Existenz eines Morphismus g > f mit den gesuchten

Eigenschaften (vergl. S. 107-108 yon [2]).

3. WEITERE BEiSPIELE FUR "PARAMETERSTABIL".

FGr jede Art von Stabilit~tssatz k~nnen wir die Frage

nach der MSglichkeit der Erggnzung yon "parameterstabil"

stellen.

3.1. BEISPIEL DER RECHTSBESTIMMTHEIT.

F~r ein f E e(n) bezeichne jk(f) den k-jet yon f

(im Nullpunkt). Sei nun g E e(n+r) und ~: ~n+r >

ein Reprgsentant yon g . Sei gu der Keim im Nullpunkt

von gu(X) = g(x,u) .

LEMMA: Sei f E ~(n) , so dab m(n) k c m(n)<Sf/Sxl,...

..,Sf/aXn> (dies impliziert, dab f dutch seinen k-jet

rechts endlich bestimmt ist, [2] Theorem 2.6.). Sei

g E s(n+r) , so dab der Keim im Nullpunkt der Abbildtm 6

u~ > jk(gu) gleich dem Keim im Nullpunkt yon

u, > jk(f) is_~t.

Dann existiert H 6 ~(n+r,n) m it folgenden Eigen-

schaften :

(i) i(O,u) : o ,

(ii) HIR n ist ein DiffeonJorphismus,

(iii) guHu = f mit Hu(X ) = H(x,u)

~it anderen W0rten: Der Diffeomorphismus, welcher die

Rechtsg%uivalenz yon gu mlt f liefert, kann yon u

differenzierbar abh~ngig ~ewEhlt werden.

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SCHEERER 7

BEWEIS: Der Beweis yon Theorem 2.6. in [2] kann in Ab-

hgngigkeit yon einem Parameter durchgef~hrt werden.

3.2. STABILITAT VON ABBILDUNGEN.

DEFINITION: S ei f: X > Y eine C~-Abbildung differen-

zierbarer Mannigfaltigkeiten, sei X kompak t. Die Ab-

bildung f heiBt "parameterstabil", falls ~ilt:

FGr jede Umgebun~ P yon 0 in einem ~k und jede

C~-Abbildun~ F: X • P > Y m it F 0 = f existiert

ein__~e Umgebung P von 0 E P und C~-Abbildungen

G: X x ~- ) X , H: Y x ~ ) Y

so dab gilt:

(i) G O = id X , H 0 = idy .

(ii) ~Gr alle u E ~ sind G u , H u Diffeomor-

phismen.

(iii) FGr alle u E ~ ist HuFuG u = f

LEI~A: FGr f: X ) Y wie oben sind folgende Aussagen

gguivalent:

(i)

(ii)

Die Abbildung ist infinitesimal stabil.

Sie i st parameterstabil.

(Zur Def. yon "infinitesimal stabil" sei auf

L1], Chap. X, verwiesen.)

BEWEIS: Die Implikation (ii) > (i) ist klar.

F~r die andere Richtung vereinfachen wir den Beweis von

(2,3) in [1], Chap. X, benutzen jedoch die Kquivalenz von

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8 SCHEERER

"stabil" mit "infinitesimal stabil".

Sei U = X x P x I mit I = [0,1] , sei V = Y x P x I.

Sei ~: U > Y definiert dutch (x,p,t), > F(x,tp) (Wit

nehmen P s~ernfGrmig in 0 an). L~ngs ~ hat man ein

Vektorfeld 8F/St . W~hlt man eine Umgebung ~ von 0 E P

klein genug, so ist ~(p,t) stabil, also infinitesimal

stabil, fGr alle PEP , t E I . Daher kann man wie in

[1], Chap. X, (2.3) 1. Tell, schlieBen, dab

8F/St = a(~) + B(~) ist fGr ein Vektorfeld ~ l~ngs der

Projektion V ) Y und fGr ein Vektorfeld ~ lgngs der

Projektion U > X . Dabei wird das Vektorfeld ~(~) dutch

die Formel a(~)(x,p,t) = ~(F(x,p,t),p,t) und das Vektor-

feld ~(~) durch die Formel ~(~)(x,p,t) = ~x(~(p,t)~(x,p,t)

definiert, wobei ~x(F(p,t)) das Differential yon F(p,t )

im Punkte x ist. Ferner kann man erreichen, da~

(bzw. ~ ) l~ngs der Einschr~nkung yon V > Y auf

Y • [0] • I (bzw. yon U > X auf X • [0] • I ) ver-

schwindet. Durch Integration von ~ bzw. ~ folgt die BeY

hauptung wie in [1], Chap. X, (2.3) 3. Tell

LITERATUR.

1. TOUGERON, J. C.: Id@aux de fonctions diff@rentiables.

Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 71 .

Berlin-Heidelberg~New York: Springer 1972

2. WASSERMANN, G.: Stability of Unfoldings. Lecture Notes

in Mathematics 393. Berlin-Heidelberg-New York: Springer

1974.

Mathematisches Institut

D-6900 Heidelbarg

Im Neuenheimer Feld 9

(Eingegangen am 14. Ma• 1974)

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