A . angrw. Math. Mech. Kleine Mitteilungen 25 3 - Bd. 29 9 r . 7/R Juli/Aue. 1'149

ablrsen. Das Kurvenblatt enthalt in kartrsisc hen Koordinaten (c, y) die Burve L mit der Gleic hung y = log rosy a iind die Kurve. h mit der Gleichung y = log if sin 2 a) . Dabei wird a auf der x-Aehse

aufgetragen. Das Blatt enthalt nur Punkte (a, y), fur die - 1 5 y j 0 ist. Wegen der Periodizitat der log- arithminchcn Skallt ist die Kurve h dort, wo 1 2- sin 2 a = 0,l ist, d. i . bri a = 5 " W , abgesrtzt.

1 2 Kurvc*nblatt zur Bprechnung von ucosaa und -u sin* 2a

Aus diesem Kurvenblatt mi& man mit einem loga- rithmischen MaBstab, dessen Einheit die Einheit der y-Achse ist, die Grofkn L und h auf folgende Weise heraus. Man legt ihn so auf das Kurvenblatt, daO seine Oberkantc die Teilungen links und rechts an der Stelle a schneidet und die rechte Teilung auf ihm die Stelle a txifft.. Dann liest man auf ihm beim Schnitt,punkt mit der Kurve Lden Wert L = a cosy a, k imschni t tpunkt

mit der Kurve i den Wert h = 3 a sin 2 a ab. Das Bild zeigt den Fal la = 123, a = 12'20'. Auf einer genauen Ausfiihrung des Kurvenblattes mit einer Einheit von 25 cm auf der y-Achse liest man mit dem zugehorigen MaBstab L = 117,2, h = 25,7 ab, was rnit Rechen- schiebergenauigkeit stimmt.

Es ist vorteilhaft, ein Lineal, am bequemsten eine ReiBschiene zu verwenden, auf der man den logarith- niischen MaDstab in sich verschieben kann. Dazu mu13

, das Blatt natiirlich auf einem ReiSbrett befestigt sein, Zur Erleichterung der Bestimmung des Stellen-

wertea von h sind a n der Kurve h die Stellen, wo 1 - sin 2 a = 0,1, bzw. = 0,Ol ist, bezeichnet. 2

Fiir die meistenzwecke wird eine Einheit von 12,5 cm auf der y-Achse und eine Darstellung des Winkelgrades durch 12 mm ausreichende Genauigkeit ermoglichen. Es genugt, das Blatt fiir Winkel bis zu 2 5 O anzulegen, weil groBere . Winkel beim Tachymetrieren so selten vorko-en, daB es nicht ins Gewicht fallt, wenn man fur sie mit dem gewohnlichen Rechenschieber rechnet.

Die Handhabung des Kurvenblattea wird auch von ungeschulten Kriiften sofort begriffen und richtig aus- gefiihrt. Auch fur den mit dem Rechenschieber Ver- trauten ist sie ubersichtlicher, schneller, bequemer und sicherer als der Sonderschieber.

Innsbrucli. L. V i e t o r i s .

1

Transformation der Grenzschichtgleichung bei dem Problem des schrag angeblasenen Zylinders durch Anwendung von Funktional- determinanten.

L. P r a n d t 1 l) hat bekanntlich im Falle des cbc~iien Grenzschichtproblems gezeigt, dall durch Einfiihruiig

des ,,Gesamtdruckes": = p + e die nicht-linenre

Differentialgleichung des Problems auf eine Gleiel~ung vom Typus der Wiirmeleitungsgleichung fur die VutIlc- tion G , niinlich auf: C f , = const. * u * G'u,v2) zuriirK- gefuhrt werden kann. I n diescr Gleichung sind i l i l e auftrctcnden variablen Gronen als Funktionen VOII .l'

(i. e. die Wandbogenliinge des Profils voni Stand- punkt ab gerechnet) untl y (i. e. die Strutnfiinlrtiot~ des ebenen Problems) zu betrachten. e bedeutet die Dichte, p die Druckfunktion und u die t-Bompoiiente dcs Geschwindigkeitsvektors tu = {u, v).

Bedeuten nun x und y die ublichen Crenzschicht. koordinaten, x also die Wandbogenliinge untl y dell senkrechten Abstand von der Profilwand, so reduzicrt sich das Problem fur den schrag angeblasenen Zylinder von unendlicher Lange auf folgende Diffcrentialglci- chung fur die dritte Komponente w (t, y) in Richtung der Zylindererzeugenden des Geschwindigkeitsvck- tors w: .

(V = const. = kinematische Zahigkeit). Die ubrigcn Grenzschichtgleirhungen verhalten sic h wic im zwei- dimensionalen Fall. Denn zu den Gleirhungen des Problems der ebenen laminaren Grenzschicht um einen Zylinder: u * uX 4- v * vY = u ( x ) U ' (X) f v uyy und uX f.vy.= 0: wobei U ( x ) die Potentialst,romungsg+ schwindlgkeit am auderen Rande der Grenzsrhicht be- deutet, t r i t t noch eine dritte Geschwindigkeit,skomFo- nente 2u in Richtung der z-Acbse (parallel der Zylinder- achse) hinzu. Die Koniponente W der LuBeren Poten- tialstromung, die ent,sprechend hinzukomnit, ist konstant. Nach wie vor , ist U = U ( x ) . Daher ist tu = to(%, y), d.h. von z unabhangig. Fur (1) gilt somit,: m = {u(z, y), v(x , y), w(x, y)}. Man kann also 31, nach Ermit,tlung von u und w aus den unverandert ge- bliebenen Gleichungen des ebenen Problems, w (2, y) aus der linearen Differentialgleichung (1) berechnen 4).

Wenn dann nach wie vor y ( x , y) die Stromfunktion des ebenen Problenis bedeutet, so gilt: u = yy, v = -yx. Es wird also aus (1):

yyWx-yxwy=v1Uyy . . . . . (2) . Diese Gleichung schreiben wir rnit Hilfe von Funktio- naldeterminanten und erhalten:

D (w, v)

U2

4

u ( x , y ) wx (2, Y) + u ( c , Y) wY (t, Y) = aJ * Pt'Y Y (X,Y) (1)

. . . . . (3). B (2, v - wy) oo= U ( X , Y ) . Auf Grund der bekamten Rechenregeln uber Funktio- naldeterminanten ergibt sich d a m weiter:

und schlieBlich,wenn wir x und y als neue unabhiingige Variable einfuhren:

. . . . . ( 5 ) . D(W,Y) - D f x , VWY) D (2, Y ) --

D ( 2 7 vt) I) L. P r a n d t 1 : ,,Zur Berechnung der Grpnzschichtcn".

Z. angew. Nath. Mech. Bd. 18 (1938). S. 77-82. *) Die genaue Behandlung dieser Differentialglriclinnp und

eine ADwendungfindet man bei: H. J. L u c k e r t , , ,Obt.r die Integration der Differentialgleichung einer Gleitschiclitin znhrr Flumigkeit". Schriften des mathematisehen Seminars untl ilvs Institute f i r angeuandte Yathentatikan der Universitiit Bvrlin.

3, Dies bemerkte bereits L. P r a n d t I in seiner Arbeit ,,lfber die Reibungsschichten bei dreidimensionalen Str6mungen". enthalti II in der nicht im Dntck erschienenen Festschrift,,Albert Betz zunt 60. Gr- burtstag, 25.Dezember 1945", S.134-141.

') Bei den bekannten ,,%hnlichen" Losungcm des ebeuen Probltnrs (sieheetwa bei W. M a n g 1 e r: ,,Die .iihnlichen'LosungenderPrandtl- schen Grenzschichtgleichungen",diese Zeitschrift, Bd. 23 (1943). S. 241 bis 251) fiihrt diese Berechnung auf eiufaclre Quadraturen. Die nicht schwierige Rechnung miige hler iihcrgangen werdrr

Bd. 1 (1S33), S. 245-274.

a. angew. Math. Yech. EM. ?9 Nr. 7/8 JulilAua. 1949 254 Buchbesprechungen

Ausgeschrieben bedeutet dies aber : w x = v - wyp . . . . . . . . (6).

1st nun w (5, y) stetig und differenzierbar in .c und y, so gibt es eine Funktion H(.r ,y) derart, da13

H , = Y * 2Ljy . . . . . . . * (71 und

Wegen: y = y (2, g) ist y = p (2, y), wobei yiy # 0 vorausgesetzt wird. Aus (6), (7) und (7') folgt nun sofort:

und wegen 2 = 0 schlieolich die Gleichung

H y = ZL' . . . . . . . . . ( 7 ' ) .

~ . ( H y ) y = H x . . . . . . . (8). a a,

v yy H y V = H z . . . . . . . (9). Hierbei ist yv = yB(x, y) = y y ( z , p (z, y)) eine be- kannte Funktion in z und y, wahrend H ( I , y) aus (9) zu berechnen ist.

Damit ist auch unser Problem auf einen Ausdruck vomTypusder Warmeleitungsgleichung zuruckgcfuhrt, wobei ruturgemil3 die Randbedingungeneganz andere sind als in dem - eingangs zitierten - P r a n d t 1 - schen Ansatz fur das ebene Problem.

KarlsruhelBaden. H a n s S c h u b a r t .

Ein Verfahren zur naherungsweisen Langen- bestimmung unregelmaBiger Kurvenriige. E. B a r b i e r ha t 18MJ einen bcsonderen \I'eg zur

Losung des Buffonschen Nadelprol~lenis gefunden, mit Hilfe dessen es aber auch moglich ist, die LLnge eines gegebenen, in beliebiger Weiw verschlungenen Kurren- zuges zu bestinmmen. B a r b i e r forrnuliert zuniichst folgende Aufgnhe: eine beliebige polygone, geschlossene odcr offene Linie uwde wrillkurlich auf ein System gquidistanter parallcler Geraden geworfen. l\Jelches ist die matheruatische Eraar tung h' cines Spielers, der fur jcden Schnittpunkt cinen Franken erhalten soll ?

Die mathematischc Erwartung sctzt sich additiv aus denjenigen fur die einzelnen Teilstrecken zusammen und wird damit proportional der Gesamtlange L des Linienzuges, d. h. E = EL. Im Qrenzfall unendlich kloiner Teilstreckcn gilt das gleichc auch fur eine belie- big gekrumnite Kurve. Ximmt man nun an, diese sei ein Iireis voni Utnfatng U . X , (lessen Durchmesser gleich dem farallclenal~stand a ist, so wcrden bei jedein Wurf geradc 2 Schnittpunkte entstehen, womit tlie matbe- matische lhvar tung

2 ku TZ = 2 untl ilainit E; = - a x

*' L mirtl. Fureirlebelic.l,ig:eLinieerh8lt man damit. E =&-. E ist abcr die Zahl der zu erwartenden Schnittpunkte,

womit m a n tlie Eiurrcnliinge L = - ~ beliommt, 'RC'I~II

man die Kurw niit eincm System parallelcr C:eradcn uberdeckt rind die Schnitt,punlite ausziihlt. Miin ha t hier also eine cinfachc MIethodc, tlic Liiinge besonders

fl ,z

E o n 2

unregelmiliiger Konturen (z. B. geogrsphische Gren- Zen) oder verschlungener Kurven auszumessen. Wenn diese nicht unmittelbar auf Millimeterpapier gezeichnet vorliegen, uberdccke man sie mit einem quadratischen Netz (etwa auf Glasplatte), zahlt zuerst die Schnitt- punkte E mit den Waagerechten BUS, stellt, die Schnitte mit den Senkrechten fest und, nimmt das arithme- tische Nittel beider E-Werte. Der EinfluB der zu- falligen Oricnticrung der Kurve gegeniiber dem Netz kann noch weiter reduziert werden, wenn man L auch fur die zwivchen 0 und 90" befindlichen Lagen des Parallelensystenis erniittelt.

Das Verfahren wird insbesondere dort von Nutzen sein, wo die auszumessende Kurve nicht auf dem Papier gegeben ist, sondcrn ctwa in einem optischen Gerat erscheint. Ein ins Okular gelegtes Netz gestattet die Auszihlung dann in gleich bequemcr N'eise.

Mi t tweida . H e l m u t L i n d n e r .

Eine einfache Naherungskonstruktion fur die Zahl n.

Die von K o c h a n s k i 1685 angegebene Naherungs- konstruktion fur die Zahl n stellt mittels einer ein- fachen creometrischen Konstruktion den Zahlenwert

1' " lii; = 3.14153.. . dar, also TZ mit einem 0-

:i - YehIcr \-on ti. der weit unterhalb der Schranken der Zeichengenauigkeit liegt. (Die Konstruktion ist z. B. dargestellt in R e u t t e r, Uarst. Geom. Bd. 1,

Hicr soll eine andere Naherungskonstruktion mit- geteilt wcrdcn, die zwar nicht so genau ist wie die von K o c h a 11 s k i , dafur aber konstruktiv noch einfacher. Wir gehen tlazu aus von dem Nalierungswert fur zj2, ninilich a = l / S . (7 + 1 6 ) = 1,6710.. . mit eineni Fehler ron 2 . 10-4, also cbenfalls weit unter der Schranke der Zeichengenauigheit .

s. ti4.)

1)iese Zahl laBt sich konstruktiv sehr einfach dar- stellen: Einen lireis voni Radius 1 schneidet man niit einer Geradcn, deren Neigung 45", die den horizoritalc~n Durchmesser links voni Rlittclpunkt ini Abstand 1/4 tiifft. Lotet man den Schnittpunkt der Geraden mit dcm Kreis reclits vom Mittelpunkt ( P ) auf den boii- zontalen Durchmesser berab (L), 80 stellt der l i n k Abschnitt des L)urcIinie~sers die StrccLe ,,a" dar.

I)i1il.-Ing. Heinrich Muller. Heppenhcim a . d. B.

BUCHBESPRECHUNGEN KarlReiclienetIer, F e 11 1 e r t h e o r i e u n d A 11 s -

g l e i c h u n g v o n R a u t e n l c e t t e n i n d e r N a d i r t r i a n g u 1 a t i o n. (Veriiffentlichungen des Geodatischen Instituta in Potsdam.) 98 Sciten, mit 10 Abb., Berlin 1919, Altademie-Yerlag. Prcis brosch. Il,--*DM. In dieser neuesten Veroffentlichung von R e i c 11 e n -

e d e r wird die Fehlertheorie und die strengc Ausglci- chung von R,autenketten in neuartiger, soa.olil den Photogrammeter und Geodaten, als auch den Mathe- matiker intcressierender Darstellungs~veisc hehandelt .

Mat~hemat~isch interessant diirfte u. a. die Darstellung der Querfehler in der ausgeghchenen Rautenkctte durch

algebraische Funktionen, und vor allem die weitgehende Benutzung des von gecigneten abkurzenden Bezeich nungen Gebrauch machcnden ,.Indizes-Kalkuls" sein.

Der Photogrammeter wird es besonders zu sch&t,zen wissen, da13 durch Entwicklung eines auf die strenge Ausgleichung in Rautenkettcn gemessener R i c h - t u n g e n bezuglichen Verfahrens eine auf dem Gebiet der Radialtriangulation bisher vorhandene Lucke ge- schlossen w i d , und daB durcb schematisohe Abwick- lung des betreffenden Rechnungsgangs und angcgebcnc Tabellen dabei gcbrauchter numerischer Werte sich we- scntliehc Erleichterunpen fur die praktische Anwen- dung des Verfahrens ergeben. Beim gegenwiirtigcn