Eine neue Serie von endlichen Translationsebenen

GI~NTER HEIMBECK UND RICHARD WAGNER

E I N E N E U E S E R I E V O N E N D L I C H E N

T R A N S L A T I O N S E B E N E N

ABSTRACT. The objective of this paper is to present a series 0f finite translation planes containing the non-Desarguesian plane of order 49 with non-trivial shears. A detailed description of the collineation groups of these planes is given. Furthermore, there is a section on translation planes which are describable in terms of flocks of ruled quadrics.

Das Ziel dieser Arbeit besteht darin, eine Serie yon Translationsebenen vorzustellen, die die in [2] untersuchte nichtdesarguessche Translationsebene der Ordnung 49 mit nichttrivialen Seherungen enth/ilt. Nach der Konstruktion der Ebenen im ersten Abschnitt folgt eine Zusammenstellung einiger Resultate, die sich generell auf Translationsebenen beziehen, die yon Regelfl~ichenscharen (vgl. [1]) stammen. Der letzte Abschnitt ist der Untersuchung der Kollineationsgruppen gewidmet.

1. D I E KONSTRUKTION DER EBENEN

Wir gehen aus von einem endlichen K6rper K ungerader Charakteristik p .'= char K. Bezeichnet d den Absolutgrad von K, so ist q ..= pd die Ordnung yon K. Wir statten den dreidimensionalen K-Vektorraum W..= K 3 mit der nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform

• (x, y) := - - 2 x l y a + x2Y 2 -- 2Xay 1 (X, y ~ W)

aus. Geometrisch gasehen wird dadurch der affine Raum W zu einem pseudo-euklidischen Raum. Es sei angemerkt, dal3 qb in der Fernebene einen ovalen Kegelschnitt definiert, was zu einer Einteilung der Fernpunkte in drei Klassen fiihrt: Es gibt inhere,/iul3ere und isotrope Fernpunkte. Entsprechend finden wir drei Typen von Ferngeraden vor, n/imlich Passanten, Sekanten und Tangenten. Wir geben noch an, wie man rechnerisch den Typ eines Fernpunktes U = [u] (u e W - {o}) ermittelt. Ist ~(u, u) ein Nichtquadrat von K, so ist U ein innerer Punkt. Ist O(u, u) # 0 ein Quadrat von K, so ist U ein /iugerer Punkt. Im Falle ~(u, u) = 0 schliel31ich ist U isotrop.

Wir wollen nun eine q-giiedrige, nach Mrglichkeit nicht geradenfrrmige Punktmenge g c W konstruieren mit der Eigenschaft, dab jede Gerade, die zwei verschiedene Punkte von (~ verbindet, als Richtung einen inneren Punkt hat. Dazu fixieren wir eine Gerade L c W durch den Ursprung o ~ W, deren Richtung L ein innerer Punkt ist. Die Gruppe Dder Drehungen mit Achse List dann zyklisch vonder Ordnung q + 1. E bezeichne die Lotebene zu L durch o E L. Die mehrgliedrigen Punktbahnen von D in E sind als Kreise anzu- sprechen. Man bemerkt, dab es zwei Typen von Kreisen gibt, die man anhand

Geometriae Dedicata 28 (1988), 107-125. © 1988 by Kluwer Academic Publishers.

108 G ~ N T E R H E IMB E C K UND RICHARD WAGNER

der Tangenten auseinanderhalten kann. Die Richtungen der Tangenten sind n/imlich entweder durchweg innere oder durchweg /iugere Punkte. Wir fixieren nun einen Kreis ,¢ c E m i t Mittelpunkt o, dessen Tangentenrich- tungen innere Punkte sind. Die Quadrategruppe D 2 von D zerlegt ~ in zwei Bahnen der L/inge ½(q + i). Wir w~ihlen eine der beiden Bahnen und nennen

sie go. Sodann bilden wir mit einem beliebig fixierten Punkt c ~ go die Menge

A g l '= {x s L I x v c innerer Punkt}

und behaupten, dab

g ' = g0 w gl

die gewiinschten Eigenschaften hat. Um fgl = q zu begrfinden, bemerken wir zun/ichst, dab go und g l disjunkt sind. Daher geniigt es, tgll = ½(q - 1) zu verifizieren. Dies aber ist zutreffend, weil n~imlich die Richtung der Ebene L v c eine Passante und L ein innerer Punkt ist. Jetzt zeigen wir, dab die Richtung jeder Geraden, die zwei verschiedene Punkte yon g verbindet, ein innerer Punkt ist. Dazu seien a, b e g, a ¢ b beliebig vorgegeben. Im Falle a,

b e go gibt es ein e e D mit a ~2 = b. Nun folgt @(b - a, a ") = q~(a "2, a ") - @ (a, a ~) = @(a ~, a) - @(a, a ") = 0, d.h. b - a A_ a ". Also ist die Gerade a v b parallel zur Tangente an ~f im Punkte a ". Demnach ist ~ nach Wahl von ~f ein innerer Punkt. Im Falle a e g l , b e go w/ihlen wir ein f le D 2 mi tc p = b. Dann gilt (a v c) ~ = a ~ v c ~ = a v b, weshalb ~ ein innerer Punkt ist. Im

noch verbleibenden Fall a, b ~ g l gilt ~ = L. Jetzt ist a ~ v = L nach Wahl yon L ein innerer Punkt.

Ehe wit fortfahren, fiigen wir eine auf die Bezeichnung abzielende Bemer- kung ein. Zun~ichst behaupten wir, dab die Abbildung x ~ g ~ xt s K bijektiv ist. Zur Begriindung genfigt es wegen [gl = q = LKI, die Injektivit/it dieser Abbildung sicherzusteUen. Sind x, y ~ g, x ¢ y beliebig vorgegeben, so ist

x v y ein innerer Punkt und darum @(x - y, x - y) = (x z - y2) 2 - 4(x~ -Yl )

( x 3 - Y3) ein Nichtquadrat von K. Also gilt x i - Yl ~ 0, d.h. xx ~ Yr. Aufgrund der eben festgestellten Bijektivit~it k6nnen wir die Menge g in der Form g = {(a, b(a),c(a))la ~ K} schreiben mit passenden Funktionen b, c:K ~ K. Um nun die Bezeichnung nicht unn/Stig zu beschweren, unterdriicken wit bei der zweiten und dritten Komponente das Argument a.

Mittels g konstruieren wir jetzt eine Regelfliichenschar (vgl. [1, S. 235]) in V ..= K 4. Bei vorgegebenem a ~ K bilden wir mit dem Punkt (a, b, e) e g die quadratische Form

Q.(x),= x l x 4 - x2x 3 + ax~ + bx lx 2 + cx~.

E I N E N E U E SERIE VON E N D L I C H E N T R A N S L A T I O N S E B E N E N 109

Ihr Nullstellengebilde

~ := {x e V[ Q.(x) = O}

ist eine Regelfl/iche (vgl. z.B. [1, S. 237, (2)]) durch S O ..= [e3, e4]. N u n seien a, a' e K mit a # a' beliebig vorgegeben. Ffir x e ~-a c~ ~a, gilt 0 = Q,(x) - Q a ,

(x) = (a - a')x~ + (b - b ' )x lx 2 + (c - c ')x 2. Weil nun (b - b') 2 - 4(a - a') ( c - c') gem/iB Konstruktion von E ein Nichtquadrat von K ist, folgt x 1 = x 2 = 0 und damit x e S 0. Daher gilt ~ , n ~a' = So. Zur Begriindung v o n UaEK ~a = V bemerken wir zun/ichst, dab jede Regelfl~iche ~-a genau (q + 1) 2 Punkte des zu V geh6rigen projektiven Raumes enth/~lt, q + 1 dieser Punkte liegen auf der Geraden So. Daraufhin ist die Anzahl der Punkte in U.~K,~-a gleich (q + 1) + q((q + 1) 2 - - (q + 1)) = (q + 1)(1 + q 2 ) = q3 + q2 + q + 1, d.h. es gilt U.~K ~a = V. Insgesamt ist jetzt dargetan, dab

6 : = {~, [ a e K }

eine Regelfl/ichenschar in V ist, und zwar eine normierte (vgl. El, S. 236]). Bezeichnet ~ . die Regelschar auf ~-a durch S o, so ist

ac~K

offenkundig eine Kongruenz von K Daraufhin ist

• - = ~ ( v )

eine Translationsebene. Ihre Ordnung ist natiirlich q2.

2. E I N I G E A L L G E M E I N E R E S U L T A T E

Bei der Untersuchung der oben konstruierten Translationsebenen treten einige Probleme auf, die in diesem Abschnitt in sachgerechter Allgemeinheit behandelt werden sollen. Dazu sei K irgendein kommutativer K6rper und

irgendeine normierte Regelfl/ichenschar in V~= K*. • bezeichne die zu geh6rige Punktmenge in W..= K 3. Weiter sei 7t die aus ~ hervorgehende

Kongruenz yon V und 9.I ..= re(V). Wir bemerken, daB auch in der jetzigen Situation die Abbildung x e ~ ~ x 1 e K bijektiv ist. Dazu braucht man n/imlich nur den Vektor (1, 0, 0, - a ) e V bei vorgegebenem a e K zu priifen. Daraufhin k6nnen wit die Bezeichnungen des ersten Abschnitts hinsichtlich der Punkte von [E, der Mitglieder von ~ sowie der Regelscharen iibernehmen.

(1) Folgende Aussagen sind gleichwertig. (i) 9.I ist desarguessch.

(ii) E ist eine Gerade yon W.

(iii) 9.I ist pappussch.

110 G I ~ N T E R H E I M B E C K U N D R I C H A R D W A G N E R

Beweis. Wir diirfen annehmen, dab der Nullpunkt o ~ W zu 6; geh6rt. Wie im ersten Abschnitt yon [2] gewinnt man eine Beschreibung yon rc - {So} durch (2, 2)-Matrizen:

(i) =~ (ii). Wir fixieren einen Punkt (a, b, c)e 6 ; - {o} und ein beliebiges 2 e K. Da 92 desarguessch ist, ist E ein Schietkrrper. Folglich enthiilt 'Z mit [~o °] und [o -g] auch das Produkt [~o] [o 2~] = [° c --lgl. Daher gilt 2(a, b, c) 6;. Insgesamt haben wir bis jetzt [(a, b, c)1 c 6;. Wegen der Bijektivit/it der Abbildung x E 6; --* x 1 ~ K ist zun~ichst a ~ 0 und dann 6; = [(a, b, c)1.

(ii) =~ (iii). Als Gerade durch o e W ist 6; ein eindimensionaler Unterraum des K-Vektorraumes W. Daraufhin ist ~, ein zweidimensionaler Unterraum des Vektorraums aller (2, 2)-Matrizen mit Gliedern aus K, der die Einheits- matrix enth~ilt. Dem ist zu entnehmen, dab je zwei Mitglieder von 'Z vertauschbar sind. Also ist 92 gemiiB [3, S. 10, (2.8)1 pappussch.

Von nun an setzen wir die Endlichkeit von K voraus, q bezeichne wieder die Ordnung von K.

(2) ~o sei ein [½(q + 1)]-gliedriges Teilsystem yon ~ . Dann geh6rt jede

Regelfliiche f~ c V mit f# n ~ = S O f~r jedes ~ E ~o zu ~ . Beweis. ~ ~ Vsei eine solche Regelfl/iche. Da ~ normiert ist, folgt mit [1, S.

236, (1)], dab f# dem Definitionsbereich Z der in [1, S. 239] definierten Abbildung • angeh6rt. Mit [1, S. 240, (6)] folgt nun f9 ~' c ~ ) ~ ~ ¢ sowie ~® n ~ ® = {o} fiir jedes ~ e ~o, und daraus ~ c ~ _ ® o ~ . ~* enth/ilt q + 1 Punkte und augerdem gilt I~ - ~o[ = q - [½(q + 1)] <~ q - q/2 = q/2.

Also gibt es ein ~ e ~ - ~o derart, dab f¢® und ~ ® drei verschiedene Punkte gemeinsam haben. Weil ein regul/irer Schnitt durch drei Punkte eindeutig bestimmt ist, folgt fg* = ~~ ' und dann f# = ~ e ~.

Die nun folgenden S/itze verallgemeinern Resultate aus [2]. Solche Beweisteile aus [2], die mutatis mutandis iibernommen werden k6nnen, wollen wir unterdriicken.

(3) Enthfilt rc eine Regelschar ~ ¢ {~1~ [ a ~ K} , so ist 92 desarguessch.

Beweis. Wir dtirfen q > 2 annehmen. Die SchluBweise des Beweises zu (1) in [21 zeigt, dab 6; ein Teilsystem 6;0 yon [½(q + 1)] kollinearen Punkten enth~ilt. Die Gerade # durch 6;0 gehrrt zu einer normierten Regelfl/ichenschar ~.

und ~ aber haben [½(q + 1)1 Regelfl~ichen gemeinsam. Mit (2) folgt jetzt = ~. Also gilt 6; = g, und dannis t 92 nach (1) desarguessch. Wie wir sogleich sehen werden, spielt (3) eine Schliisselrolle bei der

E I N E N E U E SERIE VON E N D L I C H E N T R A N S L A T I O N S E B E N E N 111

Ermittlung der Kollineationsgruppe o~ff von 91. Daher w/ire es interessant zu

wissen, ob (3) auch dann noch giiltig bleibt, wenn K unendlieh ist. Im weiteren bezeiehne a¢ ~ die Gruppe der Homothetien ~ 0 des K-

Vektorraumes V. Wenn 9.I nieht desarguesseh ist, so ist aft die Gruppe der Streekungen von 9.1 mit Zentrum o • V, weil dann n/imlieh der Kern yon 9/mit K iibereinstimmt. Weiterhin bezeichne Sb: V ~ V ffir beliebiges b • K die

Abbildung mit

x sb .'= (Xl,X2, X3 + bx l , x4 +.bx2).

Eine simple Rechnung zeigt, dab s b jede Regelfgche aus ~ im ganzen lest 1/il3t. Daher bleibt auch rc bei sb im ganzen fest, weshalb s beine Kollineation yon 9.I ist. Weil s b die Gerade S o yon 9.1 punktweise lest l/iBt und x ~ - x • S o gilt ffir jedes x • V, erweist sich Sb als Scherung yon 9.I mit Achse So.

5 ~ .'= {sb I b • K}

ist natfirlich eine zu K + isomorphe Gruppe yon Scherungen.

(4) Ist 9.1 nicht desarguessch, so stimmt die Standuntergruppe o f o des Punktes

o • V beziiglich der Kollineationsgruppe ~ yon ~ iiberein mit der Symmetrie-

gruppe der Regelfliichenschar 6:

Die Gruppe

So = rL(V)~.

.#" ..= ~ _= K × x K +

ist ein Normalteiler yon ~fo. Die F aktorgruppe :~foM/" ist isomorph zur Gruppe

der Halbflhnlichkeiten des pseudo-euMidischen Raumes W, die lg im ganzen fest

lassen.

Beweis. Wegen 9 f o = FL(V)~ haben wir zu zeigen, dab die Kongruenz ~ und die Regelfl/ichenschar ~ in FL(V) dieselbe Standuntergruppe haben. Die

Inklusion FL(V)e ~< FL(V)~ liegt auf der Hand. Fiir die noch ausstehende Inklusion kSnnen wit uns auf (3) berufen. Danach bewirkt jedes a e FL(V}= eine Permutation von {~, [ a e K}. Dann bleibt natfirlich ~ im ganzen fest, d.h. a gehSrt zu FL{V)e. Die beiden Aussagen fiber Az und ~fo/~4 z sind auf der Hand liegende Folgerungen der Betrachtungen in [1], wovon sich der Leser fiberzeugen m6ge.

Wit wollen uns jetzt mit den Ableitungen von 9.1 befassen. Ist ~ eine Regelschar in V, so bezeichne ~ ' die zu ~ konjugierte Regelschar. Fiir jedes a e K erhalten wir aus r durch Ersetzen yon ~ , durch ~'~ eine neue Kongruenz

~a ,= (~ _ ~ . ) u ~ "

112 G ~ N T E R H E I M B E C K U N D R I C H A R D W A G N E R

von V und damit eine neue Translationsebene

92" ,= ~"(v),

eine sogenannte Ableitung von 92. Bei der nun folgenden Ermittlung der in ~" enthaltenen Regelscharen

bedienen wir uns ~ihnlicher l~beflegungen wie in den Beweisen zu (1) und (9) in [2]. Wie in [2] zeigt man, dab

~ , = {[el + 2e3 - ae4, e2 + ce3 + (2 - b)e,] [ 2 e K} u {So}

gilt fiir jedes a e K. Ist X c V eine Gerade, so bezeichne 3f den zu X gehSrigen isotropen Punkt im Vektorraum ~'2 der 2-Vektoren von V. Jeder Regelschar

in V k6nnen wir den Unterraum

2,=E XE~

yon V2 zuordnen. 2 ist dreidimensional, also eine Ebene. Eine simple Rechnung zeigt, dab

2 , = [e12 + cela - be14 + ae24, e14 - e23, e34 ]

gilt fiir jedes a ~ K. Weiterhin benutzen wit die mfihelos verifizierbare Tatsache, dab [e34] = go der einzige isotrope Punkt auf der Geraden

Eel4 - e2a, e34"] ist.

(5) EnthiJlt 7~ a eine Regelschar ~1 v~ ~1", so ist 9.I desarguessch.

Beweis. Wir diirfen q >~ 5 annehmen, weil n/imlich andernfaUs ~ wegen (2) eine Gerade und dann 92 nach (1) desarguessch ist.

1. Fall: Es gibt ein a o ~ K - {a} mit I~ ca ~.ol = 2, etwa ~ ca ~ .o = {X, Y}.

Zun~ichst fiihren wit die Annahme ~ ca ~ # Q zu einem Widerspruch. Bei vorgegebenem Z e ~ ca ~'~ sei U e ~ 'o die Gerade mit S o ca Z c U. Da U die drei verschiedenen Mitglieder X, Y, Z von ~ trifft, gilt U e ~ ' . Weil nun (~.o - {So})u {Z} die Menge aller Geraden von rr" ist, die U treffen, folgt

~- (~.o - {So}) u {Z}. Wegen q > 2 haben daraufhin ~ und ~,o mindestens drei verschiedene Geraden gemeinsam. Also folgt S O e ~,o = ~ ~ 7r", und dies ist der gewiinschte Widerspruch. Damit ist ~ ca ~" = Q gesichert. Daraufhin finden wit t ,= [2X(q - 1)] paarweise verschiedene a 1 . . . . . , a t e K - {a, %} mit ~ ca ~a, ~ Q fiir 1 ~< i ~< t. Wir begeben uns nun in den Vektorraum ~2. Da 2 und 2 .° die Gerade ~ + ~ gemeinsam haben, folgt dim(2 + 2,0 ) = 4. Nun sei i mit 1 ~< i ~< t beliebig vorgegeben. Nach Konstruktion gibt es eine Gerade U e ~ ca ~, , . Wegen U ~ S O ist ~ ~ go und dann U ¢ [ e ~ 4 - - e23 , ea~], weil n~imlich go der einzige isotrope Punkt von [ex4 - e23, ea4] ist. Nun folgt 2,~ = 1~ + [ e~ - e2a, ea~] c 2 + 2,o. Demnach liegen 2 . 0 , . . . , ~ , , in

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dem vierdimensionalen Unterraum ~ + ~o" Anhand der oben angegebenen Formel ffir ~a erkennt man, dab die t + = [½(q + 1)] Vektoren (ai, b~, ci, 1) (0 ~<i~< t) in einem zweidimensionalen Unterraum liegen. Daher ist die I-½(q + 1)]-gliedrige Teilmenge { (a i, hi, ci) 0 <<. i <~ t} yon ~ kollinear. Also ist

wegen (2) eine Gerade und dann 92 nach (1) desarguessch. 2. Fall: 1~t c~ ~, l <<. 1 fiir jedes t ~ K - {a}. Aus Anzahlgrfinden folgt jetzt

]~ n ~,1 = 1 fiir jedes t ~ K - {a}. Wir fixieren jetzt ein s ~ K - {a}. Weil die beiden Ebenen ~ und ~ einen Punkt gemeinsam haben, gilt dim(~ + ~ ) ~< 5. Wie oben schliel3t man jetzt, dab die Ebenen ~ t m i t t ~ K - {a} s~imtlich in

+ ~ enthalten sind, woraus sich dann ergibt, dab die Punktmenge - {(a, b, c)} komplanar ist. Wir erledigen jetzt den Fall q = 5. Wiirden die

vier Punkte von ~ - {(a, b, c)} ein Viereck bilden, dann ein Parallelogramm mit parallelen Diagonalen, was wegen char K ¢ 2 unm6glich ist. Daher enth/ilt ~ drei verschiedene kollineare Punkte, weshalb 92 infolge von (2) und (1) desarguessch ist. Im Falle q > 5 mfissen wir an Betrachtungen in [1] anknfipfen. Wir setzen E t := [ ~ - ~ ] (t ~ K). Weil ~ -- {(a, b, c)} komplanar ist, haben die Ebenen E tmi t t ~ K - {a} einen Punkt P gemeinsam. Ffir jedes t e K - {a, s} ist E, c~ E t eine Gerade durch P, die den Kegelschnitt ~ nicht trifft, d.h. E~ n Et ist eine Passante in der Ebene E~ durch P. Well es nun h6chstens [½(q + 1)] solcher Passanten gibt, aber q - 2 > [)(q + 1)] gilt wegen q > 5, gibt es zwei verschiedene q , t 2 ~ K - {a, s} mit E~ c~ Et~ = E~ n E~. Die drei zu s, q , t 2 geh6rigen Punkte v o n • - {(a, b, c)} sind dann kollinear, weshalb ~tl + ~ die Ebene ~ , enth~ilt. Nun aber geh6rt auch ~ zu ~,~ + ~,~, sodal3 ~ + ~ ~ ~t~ + ~t~ gilt. Daraus folgt dim(~ + ~ ) = 4 und dann die Kollinearit~it von ~ - {(a, b, c)}. Also ist ~ eine Gerade und darum 92 desarguessch.

Wir stellen jetzt einige Aussagen fiber die Ableitungen von 92 zusammen. Dabei bezeichnet ~¢~ die Kollineationsgruppe von 92".

(6) 1st 9.1 nicht desarguessch, so gilt: (a) j~ra = ~ff o, ~ , f~r jedes a ~ K. (b) Das Ebenensystem {92a [ a ~ K} u {92} ist abgeschlossen hinsichtlich der

Bildung der Ableitung. (c) 9.1 al '~ 92a2"e~ Es gibt ein a ~ o,~ omit ~ 1 = ~a2"

(d) 92" ~ 92 J~r jedes a ~ K. Beweis. (a) Ein vorgelegtes e s o,~ 1/il3t wegen (5) N'a im ganzen fest. Dann

aber bleiben auch ~ , ~ , und ~t - Na je im ganzen fest. Also gilt n~ = n und ~-~ = ~ , , d.h. e e ~f~o,~a. Umgekehrt sei e e S¢~o.~, vorgegeben. Wegen (4) 1/iBt

die Gerade S O im ganzen fest. Daher bleiben ~a und ~'~ je im ganzen fest und es folgt ~"~ = zc a, d.h. e s X~. (b) Wegen (3) ist {92"1a e K} die Menge aller

114 GONTER HEIMBECK UND RICHARD WAGNER

Ableitungen yon 92, und wegen (5) hat jedes 92a nur die eine Ableitung 92. (c) (=~) Sind 92a~ und 92a2 isomorph, so gibt es natiirlich einen Isomorphismus 0t: 9/al ~ 92~2 mit o ~ = o. Wegen (5) gilt 9t'a~ = 9~2. Daraus folgt _,,~-~ = ~ 2

und n" = n, d.h. ct e ~o. (~) Da ct wegen (4) S o im ganzen lest l~iBt, folgt ~ = ~ und ~ = ~a2, und dann ~z ~'~ = n "2, d.h. ~ ist ein Isomorphismus von 92a~ auf 92"~. (d) rc" enth~ilt gem~iB (5) nur eine Regelschar, r~ aber nach Konstruktion mehr als eine. Also sind 92" und 92 nicht isomorph.

3. D I E KOLLINEATIONSGRUPPEN

Wir nehmen uns jetzt vor, die KoUineationsgruppen der im ersten Abschnitt konstruierten Ebenen zu bestimmen. Der Weg, den wir einschlagen, ist vorgezeichnet durch (4). Zun~ichst wird die Symmetriegruppe der Figur

c W ermittelt und anschliegend Jgo aus ~,~ffo/X und Y rekonstruiert. Wir beginnen jetzt mit einer simplen Vorbemerkung.

(7) Folgende Aussagen sind gleichwerti9.

(i) oe~ . (ii) - 1 ist ein Nichtquadrat yon K.

(iii) (~ gestattet die Spiegelung am Ursprung o e W.

Beweis. O) ~ (ii). Auf Grund der Konstruktion ist klar, dab die Spiegelung an der Ebene E die Punktmenge ffl im ganzen fest l~ilBt. Wegen o ~ ~1 ist dann I~11 = ½(q- 1) ungerade, d.h. - 1 ist ein Nichtquadrat yon K. (ii) =~(iii). GemiiB Voraussetzung gilt 4lq + 1. Somit enth~ilt die Quadrategruppe D 2 der Drehgruppe D die 180°-Drehung mit Achse L. Also ist ~o symmetrisch zu o. Weil (~ in jedem Falle symmetrisch zu o ist, folgt die Behauptung. (iii) =~ (i). Weil die Figur ~ die Spiegelung an o e W gestattet, geh6rt mit c e ~o auch - c zu ~. Also ist die Richtung von c v - c = c v o ein innerer Punkt. Das aber bedeutet oelE1 c ~.

Im Falle q = 3 ist ~ z.B. wegen (7) eine Gerade und darum 9.1 desarguessch. Bei q >/5 dagegen ist • offenkundig keine Gerade, also 9/nicht desarguessch. Wie im zweiten Abschnitt bereits bemerkt, gestattet jede aus einer Regelfl~i- chenschar hervorgehende Translationsebene nichttriviale Scherungen. Daraufhin sind die beiden ersten nichttrivialen Glieder unserer Serie bekannte Ebenen. Im Falle q = { ~ gibt es n~imlich bis auf Isomorphie nur eine nichtdesarguessche Translationsebene der Ordnung q2 mit nichttrivialen Scherun- gen. Bei q = 5 ist dies Allgemeingut, und im iibrigen miihelos zu begriJnden, wenn man sich der in [1] entwickelten Vorstellungen bedient. 92 ist in diesem Falle die Betten-Walker-Ebene der Ordnung 25. Ihre KoUineationsgruppe und die ihrer Ableitung sind untersucht worden in [4, S. 144 ff]. Im Falle q = 7

EINE N E U E SERIE VON E N D L I C H E N T R A N S L A T I O N S E B E N E N 115

wurde der oben genannte Sachverhalt in [2] begriindet. Dariiber hinaus enth/ilt [2] eine eingehende Beschreibung der Kollineationsgruppen der entsprechenden Ebene und ihrer Ableitungen. Daraufhin diirfen wir im weiteren q ~> 9 annehmen. Am Rande sei bemerkt, dab der Ausschlul3 der F/ille q = { 7 5 keine Willkiirmal3nahme ist, sondern aus sachlichen Griinden geboten erscheint. In diesen F/illen n/imlich weist die Figur ~ im Vergleieh zum allgemeinen Fall q >/9 ein ungew6hlich hohes Mal3 an Symmetrie auf. Ohne Beweis geben wir an, dal3 die Symmetriegruppe von ff isomorph ist zu ~s bei q = 5 und zu 6 4 x Z 2 bei q = 7.

Im Hinblick auf einige Rechnungen, die im weiteren durchzufiihren sind, normieren wir jetzt die Figur ~. Dabei machen wir Gebrauch vonder durch [1] abgesicherten Tatsache, dab ~ihnliche Figuren zu ~quivalenten Regel- flfichenscharen geh6ren und darum isomorphe Translationsebenen hervor- bringen. Ist x ~ ~o, so geh6ren - 1 und ~(x, x) derselben Quadratklasse an, wie man z.B. anhand yon (7) sieht. Daher gibt es ein 2 e K × mit O(x, x) = - 2 2. Wir fiben jetzt auf E die Streckung mit Zentrum o e W und Faktor 2/2 aus. Die Bildfigur heil3e wieder I~. Nun gilt

tl)(x, x) = - 4 fiir jedes x e ~o.

Weiterhin wollen wir eine der Figur E angepaSte Orthogonalbasis (u, v, w) von W fixieren. Dazu w/ihlen wir zun/ichst ein Erzeugendes v der 2-Sylow- gruppe von K ×. v ist natfirlich ein Nichtquadrat von K. u sei nun ein beliebig fixiertes Mitglied von ($o und w ein Element von L mit ~(w, w) = v. Da [u, w]" ein innerer Punkt ist, gibt es ein v~ [u,w] ± mit ¢b(v,v) = v.

SchlieBlich noch eine Bezeichnung: Wenn man an einem affinen Unterraum U von W spiegeln kann, so bezeichne a v die dann durch U eindeutig bestimmte Spiegelung an U.

(8) (a) Die Symmetrieoruppe ~ der Flour f£ li~flt Lund E je im 9anzen fest. d ist eine Untergruppe yon FL(W, tI)) und operiert treu auf ff~.

(b) Fiir den linearen Anteil ~ ..= d c~ GL(W) oilt

= ( f f l ~ , ~ T L v u ) D 2 ~ D(a+l ) /2 x Z 2.

(c) d / ~ ist zyklisch yon der Ordnun9 d. (d) ~ besitzt ein Komplement in d~=> d ist ungerade.

Beweis. (a) Wegen q >t 9 enth/ilt L mindestens vier verschiedene Punkte von ~, w/ihrend eine Gerade 4 L mit ~ h6chstens drei Punkte gemeinsam hat. Also ist L eine Fixgerade yon ~¢. Daraufhin bleibt IE o und dann auch [~o] = E bei ~¢ irn ganzen fest. o e W ist also ein Fixpunkt von : / , weshalb ~¢ ~< FL(W, tD) gilt. Nun sei ein ~ ~ ~¢ vorgegeben, das {~ punktweise fest 1/iBt. Die Fixpunkte und Fixgeraden von ct in der Ebene L v u bilden eine Teilebene

116 GI~tNTER H E I M B E C K UND RICHARD W A G N E R

von Lvu . Ffir die Ordnung 0(~) von ~ gilt 0(~) >~ [gll = 2X(q - 1) > x/q- Also s t immt ~ mit L v u iiberein, d.h. ~ 1/iBt L v u punktweise fest. Somit ist

ct l inear und dann gleich id, weil n/imlich g den V e k t o r r a u m W erzeugt. (b) Weil die Vierergruppe (trE, aL,,,,) die Gerade L fest l~iBt, normalis ier t sie

D und dann auch D 2, denn D 2 ist charakteris t isch in D. D e m n a c h ist erstens

<O'n,O'Lvu> D 2 eine Gruppe . Zweitens 1/iBt (aE,trLvu) den P u n k t u ~ go und

dann auch die Bahn go von D 2 im ganzen fest. Weil <an, trL,,,,) die Gerade L und den Punk t u lest last , bleibt g l im ganzen fest. N u n m e h r ist (an, trL,,,,) <~ ~ gesichert. Weil D 2 ~< ~ ohnehin gilt, folgt (an, aL,,,,)D 2 <~ ~ . N u n sei ct e ~ vorgegeben. Weil go bei ~ im ganzen fest bleibt, gibt es ein fl ~ D 2

mit u a = u ". ocfl- 1 ist eine Isometrie, die I-u] punktweise und L im ganzen fest

1/iBt. Daraufh in gilt ~fl- 1 ~ <an, t rL~) und dami t ct ~ (an , trLvu>D 2. Insgesamt ist jetzt ~ = (o-n, trL~u>D 2 begriindet. Die G r u p p e D2(trL~u> ist natiirlich eine

Diedergruppe der Ordnung q + 1, die die Zent rumsinvolu t ion a n yon ~ nicht

enth/ilt. Also gilt ~ = Dtq+l)/2 x Z 2. (c )Es geniigt zu zeigen, dab ~¢ ein

Element enth/ilt, dessen Begle i tau tomorphismus mit t ~ K ~ t p ~ K iiberein-

stimmt. Dazu fixieren wir eine Quadra twurze l p ~ K yon v p- ~. Die Abbi ldung

c o : W ~ W mit

(x lu + x2v + x s w F , = x ~ l u + p(x~v + x~w)

ist offenkundig semilinear und bijektiv. Durch Rechnung best/itigt m a n

ti)(x,O, y,O) = @(x, y)P ffir alle x, y e W. co ist also eine Halbghnl ichkei t yon W.

co liigt u und L lest und damit auch g l . Auch go bleibt lest, denn co normalis ier t D 2 und 1/iBt u lest. D a m i t geh6rt co zu ~¢. (d) ( ~ ) M a n priift mfihelos nach, dab

(X1/./ "~ X2/) -t- X3 W) wa = Xl U "~ N(p)(x2 v + x3 w )

gilt, wenn N(p) die N o r m von p bezeichnet. Wegen N(p) 2 = N(p 2 ) = N(v p- 1) = 1 ist N(p) = _+ 1. Weil d ungerade ist, k6nnen wir N(p) = 1 und damit con = id erzwingen, indem wir gegebenenfalls p durch - p ersetzen. (co> ist dann natf idich ein K o m p l e m e n t ffir ~ in ~¢. (=~) cg sei ein K o m p l e m e n t fiir ~ in ~¢.

Wir finden dann ein y E cg, dessen Begle i tau tomorphismus m i t t e K ~ t p ~ K

iibereinstimmt. D a go bei y im ganzen lest bleibt, O(x,x) = - 4 gilt fiJr jedes x E t£ o und iiberdies - 4 im Pr imk6rpe r von K liegt, ist der Mul t ip l ika tor von

y gleich 1. Es gilt also ~(x ~, yr) = ~(x, y)P fiir alle x, y e W. Well L i m ganzen fest bleibt, gilt w ~ = 2w mit passendem 2 e K ×. N u n folgt erstens 22 v = tI)(wr, w y) = tI)(w, w) p = v p, d.h. 22 = v p- 1 und zweitens w = w ~ = N(2)w, d.h. N(2) = 1.

Naeh Hilberts Satz 90 gibt es ein z e K × mit 2 = z p- 1. N u n folgt (z2) p- 1 = 22 = v p- 1 und dami t zZv-1~ GF(p). D e m n a c h enth~ilt der P r imk6rpe r von K ein Nich tquadra t yon K. Also ist der Absolu tgrad d yon K ungerade.

Wir untersuchen jetzt die Bahnen von ~ in g. Wegen (8) ist go eine Bahn


von d und auBerdem {o}, sofern o zu IE geh6rt. Damit bleibt die Aufgabe, die mehrgliedrigen Bahnen yon ~¢ in E1 zu ermitteln.

(9) Es sei d = 2*do mit unoeradem d o ~ [~. Far die ~¢-Bahnen in fgz 9 ilt:

(a) Die Liinoe der Bahn eines Punktes x ~ ff~l - {o} ist yon der Form 2 ~+ i t mit einem Teiler rid o.

(b) 1st ttdo, t > 1, so #ibt es

2s+2t ,It \ r /

Bahnen der Liinoe 2 ~+ x t. (c) Ist - 1 ein Quadrat yon K, so 9ibt es (1/2 ~+2) (p2s _ 1) Bahnen der Lfinoe

2s+l.

(d) Ist - 1 ein Nichtquadrat yon K, so gibt es ¼(p - 3) Bahnen der Liinoe 2.

Beweis. Ko bezeichne den PrimkSrper von K und deg 2 den Grad des Elements 2 e K × fiber K o. Weil jedes Mitglied von ~¢ wegen des Festbleibens von go den Multiplikator 1 hat, jeder Automorphismus von K als Begleit- automorphismus eines passenden Mitglieds von ~¢ auftritt und ~¢ die Spiegelung aE enth~ilt, ist die L~inge der Bahn eines Punktes x e L - {o} gleich 2 deg (I)(x, x). Da ~(x, x) ein Nicbtquadrat von K ist, enth/ilt die yon (I)(x, x) erzeugte Untergruppe von K × die 2-Sylowgruppe yon K ×. Also steckt der Teilk6rper tier Ordnung p2~ in Ko[tb(x, x)]. Datum gilt 2 deg tI~x, x) = 2 ~+ 1 t mit passendem t ldo. Damit ist (a) begrfindet.

Um die fibrigen Aussagen unseres Satzes zu beweisen, geben wit zun~ichst eine explizite Darstellung von E~ an. Fiir 2 e K × sei

Weil ~(wx - u, w~ - u) = ~(w~, wa) + ~(u, u) = (2 + 1/4v) 2 v - 4 = (2 - 1/4v) 2 v ein Nichtquadrat yon K ist, gilt wa e I~ ffir jedes 4 s K ×. Man prfift mfihelos nach, dab ffir verschiedene 2, 2' ¢ 0 gilt

1 W~ = W,t,,¢:~ 4 4 ' ---- -

Daraus folgt erstens, dab {wal2~K × } aus 2*(q- 1) Elementen besteht und darum mit g l fibereinstimmt. Zweitens ist die Einschriinkung der Abbildung 2 ~ K × --+ w a ~ ~ , auf die Menge

A,= {2 E K ~ 14 Nichtquadrat}

der Nichtquadrate von K bijektiv. Wir behaupten nun

118 Gt2NTER H E I M B E C K UND RICHARD WAGNER

(*) Ist 2 ~ A und w~ ~ O, so hat die Bahn yon w~ die Liinge 2 deg 2.

Wie oben bereits bemerkt, hat die Bahn von wx die L~inge 2 deg ~(w~, wx) = 2 deg[(2 + 1/~,v) 2 v]. Wir haben also deg [(2 +~ 1/2v) 2 v] = deg 2 zu beweisen. Es sei z .'= 2 + 1/2v. Da 2 ein Nichtquadrat ist, enth~ilt Ko[,~ ] die 2-Sylow- gruppe yon K × und damit v. Also gilt "c2v6Ko[,~,], d.h. Ko[Z2v] c g o [ - 2 ] .

Nun zur umgekehrten Inklusion! Weil z2v ein Nichtquadrat ist, enth/ilt Ko[z 2 v] die 2-Sylowgruppe yon K ×. Da nun (K:Ko[z 2 v]) ungerade ist und ,~2 ~ Ko[Z,2 v] gilt, folgt zun~ichst z e Ko[z 2 v] und dann 2 e Kol-Z 2 v] . Damit haben wir Ko[2 ] c Ko[-C 2 v]. Insgesamt ist jetzt Ko[C v] = Ko[2] gesichert und dies bedeutet deg(z 2 v) = deg 2.

1. Fall: o ~ ~. Fiir t ld o sei

At:= {2~Aldeg2 = 2~t}.

Wegen (*) stehen die Mitglieder der Bahnen der L/inge 2 ~+ t t in Bijektion mit den Elementen yon A t. Daher gibt es genau (1/2 ~+1 t)l A,I Bahnen der L~inge 2~+1t. Zur Bestimmung von IAtl bemerken wir, dab die Menge U o A , iibereinstimmt mit der Menge der Nichtquadrate des Teilk6rpers yon K der Ordnung pZ,t. Daher gilt

Y. IA, I = ~pE,t _ 1) vlt

fiir jeden Teiler tldo. Mit der M6biusschen Umkehrformel erhalten wir jetzt (

rlt \ /

und daraus

I 1 1 2~+2 t ~ . ( t ~ p 2"" f l i r t > 1, 2~+ltlA~ I , , = ~ ,Lt k r /

~-~-~(p - 1) f i i r t = 1.

2. Fall: o ~ ~. Gem~iB (7) ist - 1 ein Nichtquadrat von K. Daher ist s = 0 und v = - 1 . Tilgt man den zu o geh6rigen Punkt von A, d.h. ersetzt man A durch A*:= A - { -1} , so kann man die l~lberlegungen des 1. FaUes fast wfrtlich iibernehmen, um (d) und den noch fehlenden Teil yon (b) zu begriinden.

Wir wenden uns jetzt der Gruppe ~o zu. Wie oben bereits gesagt, haben wir ;ego aus ~o/,A r ~- ~¢ und X zu rekonstruieren. Dazu ist die genaue Kenntnis des Zusammenhangs zwischen ~lo und ~¢ erforderlich. Der Bequemlichkeit des Lesers wegen seien die einschl~igigen Sachverhalte aus [1] rekapituliert.


Ordnet man der Regelfl/iche ~ c V mit der Gleichung

x l x 4 - XzX 3 + ax~ + bxax 2 + cx22 = 0 (a,b,c ,~K)

den Punkt (a, b, e)~ W zu, so entsteht eine Bijektion e der Menge E aller Regelfl/ichen, die sich dutch eine solehe Gleichung beschreiben lassen, auf die Menge der Punkte des pseudo-euklidischen Raumes W. Diese Abbildung e stiftet eine Bijektion zwischen der Regelfl~ichenschar 6, die 9.I hervorbringt, und der Figur ~. Es gibt nun einen surjektiven Homomorphismus - der Gruppe F: = FL(V)~ aller semilinearen Transformationen von V, die E im ganzen fest lassen, auf die Gruppe aller Halb/ihnlichkeiten des pseudo-euklidischen Raumes W mit der Eigenschaft ~ " = ~ ' ~ fiir jedes ~ e Z und jedes ct e F. ~ ist der Kern dieses Homomorphismus. Weiter haben ct e F und sein Bild g denselben Begleitautomorphismus. Die Gruppe ~('o ist nun das --Urbild von ~'. Das --Urbild von ~ ist dann die Gruppe

~o: = ~o c3 GL(V).

Im Hinblick auf die Bestimmung der Punktbahnen von Wo sowie der Bahnen yon ~¢~ auf der Ferngeraden formulieren wir den folgenden simplen Sachverhalt.

(10) ~ e Z sei beliebig vorgegeben und ~ bezeichne die Regelschar auf ~ durch

S o • (a) Jff l~tflt ~ ' elementweise fest. Fiir jedes X e ~ ' operiert JV" regul~r auf

X - X n S o. (b) JV" operiert regul(tr auf ~ - {So} mit dg als Kern. Beweis. (a) Da X der Kern des Homomorphismus - ist, 1/il3t Y die

Regelfl/iche ~ im ganzen lest. Da Jff aul3erdem die projektive Gerade So punktweise fest l/il3t, bleibt ~ ' elementweise fest. Weil JV" fixpunktfrei auf V - So operiert und IXI = q(q - 1) = IX - X n S o l gilt fiir jedes X ~ ' , operiert Y regular auf X - X n So.

(b) Wegen (a) operiert JV" transitiv auf ~ - {So}. ~ besteht aus Homo- thetien, l/iBt also ~ - {So} elementweise fest. Wegen [JV'/~ I = q = I~ - {So}t folgt nun die Behauptung.

Jetzt sind wir in der Lage, die Bahnen von ~r" auf der Ferngeraden von 9,I anzugeben. Hierzu geniigt es natiirlich, die Bahnen von ~¢fo in ~r zu errnitteln. Da ~Yo nach (4) die Regelfl/ichenschar 6 im ganzen fest 1/il3t, ist S o eine Fixgerade yon ~¢{o, d.h. {So} ist eine Bahn der L/inge 1. Alle fibrigen Bahnen sind offenkundig folgendermal3en gewinnbar. Man nehme eine Bahn von d in ~. Das e-Urbild dieser Bahn ist natiirlieh eine Bahn ~B yon dg o in 6. Mit (10b) folgt, dab die Geraden ¢So, die die Regelfl/iehen aus ~B zur Kongruenz

120 GQNTER HEIMBECK UND RICHARD WAGNER

zc beisteuern, zusammen eine Bahn von JY'o in n bilden. Weil wirdie Bahnen von ~1 in I$/iberblicken, sind damit die Bahnen von ~ffo in n bekannt, l[Ibrigens hat die l~ngste Bahn von ~ffo in rc die Liinge ½(q + 1)q; sie stammt vonder ~¢-Bahn

(~o- Wir studieren jetzt Punktbahnen, zun~ichst die des linearen Anteils ~ von

~o- Dabei tritt die Regelfl/iche

~ * : = g - l ( o ) = {X~ V[X1X 4 - X2X 3 = 0}

ins Blickfeld. Weil ~¢ gem/iB (8) den Punkt o e W fest liigt, bleibt ~ * bei ~o im ganzen fest.

Es sei noch an einen Sachverhalt aus [1] erinnert. Die Regelfliichen des Systems E haben in jedem Punkt P yon So dieselbe Tangentialebene, die wir wie in [1] mit P' bezeichnen.

(11) (a) Lfiflt ~ ~ ~LP zwei verschiedene Mitglieder yon ~ fest, so operiert ~ auf

der projektiven Geraden S O fixpunktfrei oder aber ~ geh6rt zu JV.

(b) £P operiert f ixpunktfrei auf V - ~ * . (c) Die zu (D 2, aLv,) <<, ~ geh6rige Untergruppe yon ~ operiert treu und

reguliir auf ~ * - S O und reguliir mit 6 ¢ als Kern auf S O - {o}. Beweis. (a) ~ e ~ lasse den Punkt P c S O fest. Dann bleibt natiirlich auch

P' im ganzen fest. Wir iiberlegen zun/ichst, dab die Geraden ¢ So durch P in der Ebene P' in Bijektion stehen mit den Mitgliedern von ~. Jede Regelfliiche aus ~ enth/ilt genau eine in P' gelegene Gerade # S o, und diese geht durch P, well P' die Tangentialebene im Punkte P ist. Die damit sichtbar gewordene Zuordnung ist injektiv, weil je zwei verschiedene Regelfl~ichen aus ~ nur die Gerade So gemeinsam haben und surjektiv, weil ~ den Gesamtraum tiberdeckt. LiiBt nun ~ zwei verschiedene Mitglieder von ~ fest, so bleiben in der Ebene P' drei verschiedene Geraden durch P fest und dann alle, weil

linear ist. Daraufhin bleibt ~ elementweise fest. Also liiBt ~ die Figur punktweise fest. Weil d gemiiB (8a) auf E treu operiert, folgt ~ = id, d.h.

~EJV'. (b) Es sei ~eLP, x ~ V - ~ - * und x " = x. Dann gibt es einen wohlbestimmten Punkt P c So mit P' = So + [x]. Da P' bei • fest bleibt, 1/iBt

auch P fest. Weiter enthiilt ~'* genau eine Gerade Y ~ S O mit Y c P', und diese geht durch P. AuBerdem gilt Y ~ P + [x], denn x ¢ I1. Nun haben wir wieder drei verschiedene Fixgeraden durch P in der Ebene P', n/imlich So, Yund P + [x]. Wie in (a) folgt jetzt ~ ~ ~ und dann ~ = id, weil JV" auf V - S O fixpunktfrei operiert. (c) ,¢¢ bezeichne das --Urbild yon (D z, a ~ , ) . Zun/ichst sei ~ ~ J / , x ~ ~-* - S O und x" = x. Da ~ die Ebene So + I-x] fest liiBt, bleibt auch der Punkt P c S Omit P' = S O + [x] fest. Da ~ die Mitglieder von ~, die zu den Punkten von E~ geh6ren, fest l/iBt, folgt mit (a) zuniichst ~ e ~ und

EINE NEUE SER1E VON E N D L I C H E N T R A N S L A T I O N S E B E N E N 121

dann c~ = id, weil JV" fixpunktfrei auf V - S O operiert. Wegen ]~t'] = (q + 1)q(q - 1) = [ i f* - So[ geniigt dies, um die erste Behauptung zu begrfinden. Nun sei ~ ~ J//, x e So - {o} und x ~ = x. Gemfil3 (a) gilt a ~ X und dann a ~ 5 e. Da So - {o} bei 5e vektorweise fest bleibt, ist 5 ~ der Kern der Darstellung. Da (~ / : 5 e) = (q + 1)(q - 1) = [So - {o}1 gilt, operiert J / t r a n - sitiv auf S o - {o} und insgesamt dann regulfir.

Wir k6nnen uns jetzt die Punk tbahnen von 5e und ~ o vor Augen stellen. Auf .~'* haben dg o und ~e offenkundig dieselben Bahnen, n/imlich {o}, S o - { o } , f f * - S o. Die ~ - B a h n e n in V - ~ * sind folgendermaBen be- schreibbar. Ist z ~ L - {o}, so 1/iBt ~ das Paar ~ 1 : = e-~(z), ~ 2 : = ~ - l ( _ _ Z )

yon Regelfliichen als Ganzes fest. Nach ( l lb ) operiert ~ auf ~ w ~ 2 _ So fixpunktfrei, woraus dann aus Anzahlgrfinden folgt, dab ~ a w W2 _ So eine ~°-Bahn ist; ihre L/inge ist nat/irlich gleich [5¢1 = 2(q + 1)q(q - 1). Man findet ½(q - 1) Bahnen dieser Sorte, so dab ~ insgesamt 3 + ½(q - 1) = ½(q + 5) Punk tbahnen besitzt. Nachdem jetzt die £~-Bahnen in V - ~-* bekannt sind, ist klar, wie man die f o - B a h n e n findet. Ist b ¢ {o} eine Bahn yon d in L, so ist U ~ - I ~ ) ~ - So eine ~(o-Bahn. Mit / ihnl ichen t~berlegungen wie im Beweis yon (9) kann man die m6glichen Bahnliingen sowie ihre Vielfachheiten ermitteln. Wir teilen das Ergebnis ohne Beweis mit. Dazu sei wieder d = 2Sdo mit ungeradem d o ~ ~. Dann ist die L~inge jeder Bahn von ~ o in V - ~ * yon der Fo rm 2 '+ lt(q + 1)q(q - 1) mit passendem Teiler t [d o. Ist t ldo, t > 1, so gibt es (1/2s+lt) Y.~ldt(t/r)p 2~" Bahnen der L/inge 2s+lt(q + 1)q(q - 1). Die Anzahl der Bahnen der Liinge 2 '+ ~(q + 1)q(q - 1) betr/igt (1/2 '+ ~)(p 2~ - 1).

Wir beschlieBen unsere Betrachtungen mit einer Analyse der gruppen- theoretischen Struktur von d{" o.

(12) (a) Die Gruppe

~e: = {~ ~ ~ o [alSo = id}

stimmt im Falle, daft - 1 ein Quadrat yon K ist, mit b a iiberein; im anderen Falle

gilt ( ~ : S e ) = 2. 5 e ist die Gruppe aller Scherungen yon 9.1 mit Achse S o und

- £P die Gesamtheit der Geradenspiegelungen yon 9.I mit Aehse S o. ~)berdies

hat Lr ein Komplement in JU o.

(b) Ist - 1 ein Quadrat yon K, so ist 9ffo/~ i somorph zu FL~(qZ). Im anderen

Falle ist ~ o / L r isomorph zu der Untergruppe yon FLI(q ~) yore Index 2, die

GL~(q a) nicht enthiilt und transitiv auf GF(q/) × operiert.

Beweis. Wit treffen zun~ichst einige Vorbereitungen. ~ : = e-a(L) ist eine Regelfliichenschar, weil L ein innerer Punk t ist. ~ bezeichne die zu ~ geh6rige Kongruenz. Da r~(V) nach (1) desarguessch ist, ist der Kern

F: = {~ ~ End(V, + )IX ~ ~< X J ~ r j e d e s X~f~}

122 G ~ N T E R H E I M B E C K U N D R I C H A R D W A G N E R

von r~ ein K 6 r p e r der Ordnung q2. Weil ~ aus Unter r f iumen des K-Vektor -

r aums V besteht, gilt ~¢' ~< F ×.

(i) Das - -Urb i ld der Drehgruppe D ist die Gruppe

F × x ~ - Z q 2 _ I x K +.

Beweis. D a F × die Regelfl/ichenschar ~ fest 1/il]t, ist F × gem/iB [1, S. 241, (8)J

in F enthalten, so dab wir den H o m o m o r p h i s m u s - auf F × anwenden k6nnen. Mit der Dedekindschen Regel folgt F × c~ sV = F × c~ ( i f St) = 3tf(F × c~ 6 p) = ~f ,

weil nfimlich F × und S e trivialen Durchschnitt haben. Nun erhalten wir

F × ~- F ×/F × n JV" = F × figf ~- Zq + 1. D a F × die Regelfl/ichenschar __~ glied-

weise fest 1/iBt, bleibt die Gerade L bei F × punktweise fest. Nunmehr ist F × = D klar. Das - - Urbild von D ist also gleich F × X = F × (~vf~T) = F × St. Weil nun F × die Gruppe aUer Streckungen von ~(V) mit Zentrum o und S~ eine Gruppe von

Scherungen yon ~(V) mit Achse So ist, gilt F×6 e = F × x 6 e.

(ii) Die Gruppe ~f'o besteht aus semilinearen Abbildunoen des F-Vektorraums V.

Jeder Automorphismus yon F ist Begleitautomorphismus eines passenden Elements

I)on o,~ o.

Beweis. D a d die Gerade L im ganzen fest 1/iBt, bleibt die Regelfl~ichenschar

und dann auch die Kongruenz ~ bei ~ o fest. Daher ist o~o deutbar als Gruppe yon KoUineationen der Ebene ~(V). Wegen des Festbleibens von o e V folgt

3¢'o ~< FL(V, F). Zur Begriindung der zweiten Behauptung lassen wir ~Yo durch Konjugat ion auf dem K6rper F operieren. Es geniigt zu zeigen, dab der

Fixpunktk6rper der auf diese Weise induzierten Gruppe yon Automorphismen von F mit dem Pr imk6rper von F tibereinstimmt. Dazu fixieren wir ein beliebiges

go ~ F, das dem Pf imk6rper nicht angeh6rt. I m Falle go ¢~_~_ betrachten wir ein

- - U r b i l d V von aLvu. D a Crz, . = ~ die Drehgruppe D = F × nicht zentralisiert, bewirkt das Konjugieren mit ~ einen nichtidentischen Automorphismus x yon F.

Dabei bleibt ~ w {0) elementweise fest, weil n/imlich V K-linear ist. D a nun F eine quadratische Erweiterung von H u {0} ist, s t immt der Fixpunktk6rper yon x mit

u {0} tiberein. Das aber impliziert go~ ~ go. N u n sei go ~ A~. Dann ist x ~ = 2x mit passendem 2 ~ K ×. D a J. nicht im Pr imk6rper von K liegt, gibt es einen Automorphismus z von K, der 2 bewegt. Wegen (8c) ist z Begleitautomorphismus

eines passenden a e~¢. Ein - -Urb i l d f ie J T" o von ~ hat dann ebenfalls den Begleitautomorphismus z und daher gilt goa ~ go.

ist das--Urbild yon D . Mit einem beliebigen--Urbild 5 e ~ff o yon ag (iii) F × 2 X ~.~ 2

gilt

~f'o n GL(V, F) = (F × 2 x ~9 °) ( 5 ) .

E I N E N E U E S E R 1 E V O N E N D L I C H E N T R A N S L A T I O N S E B E N E N 123

Beweis. Mit (i) folgt F × 2 x ~t~ = D 2, weil n~nlich F × 2 x ~ die Quadrategruppe

von F × × 6 a ist. Andererseits enth/ilt F × 2 x ~ den Kern X des Homo- morphismus -. Daraufhin stimmt F × 2 x S~ mit dem --Urbild von D 2 fiberein. F × 2 × 6e ist natfirlich normal in ~ffo, z.B. weil D 2 normal in ~¢ ist. AuBerdem sind die Mitglieder von F × 2 x 6e offenkundig F-linear. Wir zeigen jetzt, dab auch 6 F-linear ist. Dazu sei ( e F × ein Erzeugendes von F ×. Da 3-= trg und ~-e D vertauschbar sind, folgt [(, b] e Jff c~ F × = ~ . Daher gibt es ein 7e ~ mit (~ = 7(. Weft 6 K-linear und b2~ X ~< F × 2 x 6e F-linear ist, folgt ( = (~2 = (yO~ = V(o = ~2( und dann 72 = id. Nun erhalten wir ((2)~ = ((~)2 = (702 = (2.

6 ist also mit jedem Element von F × 2 vertauschbar. Weft nunjedes Nichtquadrat von F × als Summe zweier Quadrate geschrieben werden kann, ist b mit jedem Element von F × vertauschbar und damit F-linear. Insgesamt ist jetzt die Inklusion (F×2× ~)(6)~< X o n G L ( V , F ) gesichert. Dies aber genfigt, weil n/imlich die beiden Gruppen in s¢" o denselben Index 2d haben. Im Falle yon ~ffo c~ GL(V, F) kann man sich dabei auf(ii) berufen; im anderen Falle l~iBt sich der Index ausrechnen.

Wir beweisen jetzt alle Teile unseres Satzes mit Ausnahme der Existenz eines Komplements ffir ~e in ~ffo; letzteres soil am Ende nachgetragen werden. Natiidich gibt es ein --Urbild b ~ Jt~o von o-g, dessen Ordnung eine Potenz yon 2 ist. Dann gilt b2~ JV = J¢~ x ~ und damit 62e ~ . b induziert auf der projektiven Geraden So eine Involution, die gem/iB (1 la) fixpunktfrei/st. Daher ist 62 ein Nichtquadrat yon o'¢g und dann als 2-Element ein Erzeugendes der 2-Sylowgruppe yon ~ . Wir bemerken noch, dab 6 nach (iii) F-linear ist und darum atff dem eindimensionalen F-Unterraum S O wie ein wohlbestimmtes Element yon F × operiert.

1. Fall: - 1 ist ein Quadrat yon K. Dann hat die 2-Sylowgruppe yon g in der 2-Sylowgruppe yon F × den Index 2. Daher stimmt b auf So mit einem Erzeugenden der 2-Sylowgruppe yon F × fiberein. Somit indttzieren X o c~ GL(V,F)

und F × auf So dieselbe Gruppe. Mit (ii) folgt jetzt, dab aY'o auf So eine zu FLI(q 2) isomorphe Gruppe induziert. Dies aber bedeutet oUo/~ ~ FLI(q2). Anhand der Ordnungen erkennt man [Lr[ = q. Weil 5e in ~ steckt und ebenfalls die Ordnung q hat, folgt ~e = ~ . Die fibrigen Behauptungen in (a) fiber Scherungen und Geradenspiegelungen sind in diesem Falle offenkundig zutreffend.

2. Fall: - 1 ist ein Nichtquadrat yon K. Jetzt ist 62 = - id, also o(blSo) = 4. Wegen 8[q 2 - 1 wirkt b auf S O wie ein wohlbestimmtes Element yon F × 2. Daher induzieren J~ffo n GL(V, F) und F × 2 auf S O dieselbe Gruppe. Wegen (ii) und der Transitivit/it yon ~o auf S O - {o} ist die yon JU o auf So induzierte Gruppe und damit 3t~o/~ isomorph zu einer Untergruppe von FL~(q 2) vom Index 2, die GLt(q 2) nicht enth~ilt und transitiv auf GF(q2) × operiert. Der

Leser m6ge sich nun selbst klar machen, dab FLa(q 2) nur eine solche

124 GI~INTER HEIMBECK UND RICHARD WAGNER

Untergruppe besitzt. Ftir die Ordnung yon Lr erhalten wir jetzt I ~e I = 2q. Da J in N enthalten ist und die Ordnung q hat, folgt (~r:6 ~) = 2. DaB 6? aus Scherungen mit Achse So besteht, ist bereits bekannt. Ist nun e e ~f irgendeine nichttriviale Scherung mit Achse So, so gilt jedenfalls e e Lr. Weil ~ normal in Lr ist, ist 6? die einzige p-Sylowgruppe von ~ . Daraufhin folgt ~ e 6e, denn

hat als nichttriviale Scherung die Ordnung p. Hinsichtlich der Behauptung fiber die Geradenspiegelungen ist nur zu zeigen, dab A e - S? aus Geraden- spiegelungen besteht. Da die Ordnung von ~ gerade ist, gibt es ein Element t~ ~ der Ordnung 2. Wegen o(0 ¢ p ist z eine involutorische Dehnung, d.h. eine Geradenspiegelung. Weil nun (~) zentralisatorgleich in 5e ist, hat die Konjugiertenklasse von z in L~ die L/inge q und ffillt darum Lr - 6? aus.

Um die Existenz eines Komplements ffir ~e in ~o zu beweisen, betrachten wir die Regelschar ~t* auf ~ * durch S 0. Weil b a gem/ig (10b) treu und regular auf ~t* - {So} operiert, ist die Standuntergruppe ~ ; ,x einer beliebig fixierten Geraden X ~ Yt* - {So} ein Komplement fiir 6e in J~f~o. Damit ist der Fall, daB-1 ein Quadrat von K ist, bereits erledigt. Im anderen Falle hat ~ n ~Y'o.x aus Anzahlgrfinden die Ordnung 2. z bezeichne die Geradenspiegelung in

c~ ~ro, x. Weil ½(q- 1) ungerade ist, bewirkt t auf ~* eine ungerade Permutation. Daher ist

~: = {o~ ~ ~ro,xl~ induziert auf ~1" eine gerade Permutation}

ein Normalteiler von :,~ro, x vom Index 2, der z nicht enth/ilt. Offensichtlich gilt cg r~ ~r = {id} und ~ = ~¢I o, d.h. ~g ist ein Komplement ftir Lr in Aro.

AbschlieBend wollen wir noch anmerken, dab man wegen (6) voile Klarheit fiber die Ableitungen yon 9I hat, weil n/imlich die Bahnen yon ~¢ in E bekannt sind. Auch die Bestimmung der Kollineationsgruppen der Ableitungen bereitet keine Schwierigkeiten, sodaB wir darauf nicht einzugehen brauchen. Erw/ihnenswert ist aUenfalls der folgende Sachverhalt, auf den man bei der Betrachtung der Ableitungen sttBt. Es gibt beliebig groBe endliche Systeme von paarweise nichtisomorphen Translationsebenen mit isomorphen Kol- lineationsgruppen. Um dies zu begrfinden, w/ihle man ffir q eine Primzahl > 5 aus der Restklasse 1 modulo 4. In der Menge der Ableitungen von 96, die man unter Benutzung der zu den Punkten von E1 gehtrigen Mitglieder von

bilden kann, finder man ein ¼(q- 1)-gliedriges System yon paarweise nichtisomorphen Translationsebenen mit derselben Kollineationsgruppe.

L I T E R A T U R

1. Heimbeck, G., 'Regelfl/ichenscharen', Geom. Dedicata 22 (1987), 235-245. 2. Heimbeck, G., 'Translationsebenen der Ordnung 49 mit Scherungen', Geom. Dedicato 27

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EINE NEUE SERIE VON ENDLICHEN TRANSLATIONSEBENEN 125

3. Lfineburg, H., Translation Planes, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1980. 4. Walker, M., 'A Class of Translation Planes', Geom. Oedieata 5 (1976), 13%146.

Anschriften der Verfasser:

G. Heimbeck,

University of Namibia, Depar tment of Mathematics,

Private Bag 13301,

Windhoek, 9000 South West Africa.

R. Wagner,

Mathematisches Institut,

Am Hubland,

8700 Wiirzbur9, F.R.G.

(Eingegangenam8. Februar 1988)

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Eine neue Serie von endlichen Translationsebenen