Einführung in die Elektronik für Physiker - ipe.fzk.de · Hartmut Gemmeke Forschungszentrum Karlsruhe, IPE [email protected] Tel.: 07247-82-5635 Einführung in die Elektronik für

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Einführung in die Elektronikfür Physiker

14. Breitbandverstärker und analoge aktive Filter

1. HF-Verhalten von Operationsverstärkern

2. Breitbandverstärker

3. Transimpedanzverstärker

4. Passive und aktive Filter

5. Tiefpassfilter 2. Ordnung

6. Aktive Schaltungen für Filter 2. Ordnung

7. Sperrfilter

18.04.2005 Hartmut Gemmeke, WS2004/2005, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 14 2

1. Frequenzgangder Verstärkungentspricht Tiefpass 1.Ordnungmit Abfall der Verstärkung von20 dB/Frequenz-Dekade und derBandbreite fgA (3 dB Abfall).

2. f >> fgA: oberhalb der 3 dB Grenz-frequenz f3db = fgA gilt:

3. fT ist das Verstärkungs-Bandbreiten-Produkt oder die Transit-Frequenz

4. ein Verstärker ist gegengekoppelt solange die Schleifenverstärkung

5. Bandbreitenvergrößerung durch Gegenkopplung k

fg = k vD fgA = g fgA

HF-Verhalten des OPV

vD( f ) =vD

1+ jf

fgA

vD f vD

fgA

= fT

g = k vD >1, dann ist v =vD

1+k vD

1

k

1( ) + 4( ) v =vD

1+k vD=

1/k

1+1

k vD

v

1+1+ j f fgA

k vD

=v

1+1

k vD+ j

f

fgA k vD

fgv = f

gAvD

= fT

fgAg

g fgA


Frequenzgangkorrektur I

Anforderung:

OPV soll bei äußerer ohmscherBeschaltung nicht schwingen.

Entspricht Phasengang mit: < 180° oder besser < 120°

(60° Phasenspielraum)

Lösung:zusätzlicher Tiefpass mit CK

Ersatzschaltung für OPVohne diesen Tiefpass:OPV ist 3-stufiger Verstärkermit 3 separatenTiefpassfilternder Grenzfrequenz i

ua =uD SDj CK

, vD =uauD

=SD

j CK, C

K=

SD2 fT

z.B. : μA 741 CK

= 30pF, SD

= 0,2mA /V

fT

=SD

2 CK=1MHz

R1

C1

R2

C2 C3

R3ue ua


Frequenzgangkorrektur II

Im Bode-Plot mit Phasen-Diagramm erkenntman die drei unterschiedlichen

Grenzfrequenzen und den damit verbundenenimmer steileren Abfall der Übertragungs-funktion, 20dB/Dekade und pro Filter. ist dieSumme der Phasenverschiebungen i der 3

Stufen.

Die Anforderung „der OPV soll bei deräußeren Beschaltung nicht schwingen( < 180°)“ wird durch die

Phasenkompensation gut erfüllt. Durch Ck

schiebt sich das unkompensierte Verhalten(durchgezogene Linie) nach links (- - -) in densicheren Bereich und erhöht durch dieGegenkopplung die Bandbreite der 2. Stufe.


Slew Rate

• Anstiegsgeschwindigkeit der Ausgangsspannung (= slew rate):CK: Reduzierung der Bandbreite Reduktion der Anstiegsgeschwindigkeit

• z.B.: μA 741 Eingangsdifferenzverstärker IK max 20-30 μA

• Frequenzgang nachFrequenzkompensation

1 Leerlaufverstärkung für μA741(kompensiert)

2 unkompensierter μA748

3 kompensierter μA748

4 (1) mit Gegenkopplung, vu=5

5 (3) mit Gegenkopplung, vu=5

dUadt max

=IKmaxCK

=20μA

30pF

0,7V

μs= 2 f u

a

10V sinus :0,7V

μs= 2 f

max10V

fmax

11kHz ! sonst Verzerrungen!!!

Verstärkung


Breitbandverstärker mit variabler Verstärkung

k =R1

R1+RN, v0 f =0

=vD0

1+vD0 k

1

k=1+

RNR1

v =v0

1+v0 /vD=

v01+v0 vD0+ j f fgs

mit vD =vD0

1+ jf

fg

, fgs

= fgvD0v0

und gs =vD0v0

= k vD0

Problem:

Für jede Verstärkung und damit externeBeschaltung gibt es eine unterschiedlicheBandbreite oder

man muss für jede Verstärkungunterschiedlich kompensieren.

Abhilfe: Transimpedanzverstärker

Frequenzgang mit fester Kompensationfür alle Verstärkungen (aber abhängig vonR1 und RN):

v10

g10g1

v1

v100

g100

fg100

fg10

fg1


Transimpedanz-Verstärker I

Ziel: Verstärker sehr hoher Bandbreiteund Verstärkung lässt sich über weiteGrenzen unabhängig von Bandbreitewählen!

Nicht-invertiender Eingang hochohmig,invertierender Eingang niederohmig(Basis bzw. Stromeingang)

=> R1 und RN können niederohmiggewählt werden und Slewrate:

I

C

Transimp.

>>I

C

normalerOPV

Ua

= IN

Z

Z = R C =1

1/R + j C=

R

1+ j RC

und mit fg

=1

2 R C

=R

1+ j f / fg

f >> fg 1

j2 f C

R1 definiert open-loop gainüberUD=IN R1

vD =UaUD

=Z INR1 IN

=R /R1

1+ jf

fg

=vD0

1+ jf

fg

1IP=0

UP

UD

UN

IN 0

R1

IN R C

1

Z

RN

Ua

+

-

Ersatzschaltbild Transimpedanz-OPV


Transimpedanz-Verstärker II

Ua UNRN

UNR1

+ IN

= 0

UN =UP =Ue und Ua = IN Z

Ua

1

RN

+1

Z

=Ue

1

RN

+1

R1

v =UaUe

=R1+RNR1 RN

RN Z

RN +Z=R1+RNR1

Z

RN +Z

= 1+RNR1

11+RN Z

1+RNR1

= v0

für Z >> RN

Knotenregel + goldene Regeln:

Frequenzgang und Schleifenverstärkungg unabhängig von R1:

v =v0

1+ j f / fgs, f

gs=

1

2 RN C

g =vD0v0

=R R1

1+RN R1

R

RNfür R >> R

N>> R

1

Anwendung: Verstärker mit sehr großerBandbreite und variabler Verstärkung

v0=10

v0=100g1=g2 500 fgs1= fgs2

vD02

vD01


Filter

z.B.: Tiefpass 1.OrdnungÜbertragungsfunktion:

|H(j )| hat einen negativen Polj => j + = p Laplace-Transformation L

für beliebige zeitabhängige Signale

normierteDarstellung:

n-te Ordnung mit reellen Koeffizienten i, d.h. n reellen negativen Poleauch passiv darstellbar:

H( j ) =UaUe

=1

1+ j R C

H1T

P( ) =1

1+ p R C

P =p

g g= 2 f

g=

1R C

,

0lim P =

j

g= j

f

fg= j

H1T

P( ) =1

1+Pund H1T j( )

2=

1

1+ 2

1

2für >> 1 20dB / Dekade

HnT

P( ) =1

1+ i Pi=1

n=

H0

ci Pi

i=0

n,

i> 0

HnT>>1

1n

, Abfall von n 20dB /Dekade


Aktive Filter

i.a. Fall Zerlegung in quadratischeAusdrücke mit komplexen Polen; ai,bi reell, nicht mehr passiv durch R, C,L darstellbar, wir benötigen einenOPV (daher aktive Filter):

Filterordnung n ungerade: bn=0ai, bi bestimmen Filtercharakteristik

Hochpass:Bild des Tiefpasses um = 1 spiegelnmit gleichem ai,bi wie zuvor!

P1

P,H0

H und HnH

P( ) =H

1+aip

+bi

p2

i

HnT

P( ) =H0

1+a1P+b1P2

1+a2P+b2P

2

K


1 Tiefpass mit kritischer Dämpfung:kein ÜberschwingenReihenschaltung von n identischen, aktiv entkoppelten Tiefpässen 1. Ordnung.

2 Bessel-Filter:Optimale Übertragung vonRechteckimpulsen für < 1 Gruppenlaufzeitunabhängig von , nur geringes Überschwingen.

3 Butterworth-Filter:Amplituden-Frequenzgangfür < 1 optimiert, konstant.

4 Tschebyscheff-Filter mitRestwelligkeit = 0,5 dB

5 Tschebyscheff-Filter mitRestwelligkeit = 3 dB

Eigenschaften verschiedener Filtertypen

i= = 2n 1 aus | H

2n

(j g) |=1

2 mit H =

1

1+ j

Antwort der verschiedenenFilter 4. Ordnung auf eineStufenfunktion (Zeitverlauf):

tgr

=


Eigenschaften verschiedener Filter

• Amplituden-Frequenzgangverschiedener Filtertypen4ter (a) bzw. 10ter Ordnung(b)1. Kritische Dämpfung

2. Besselfilter

3. Butterworth-Filter

4. Tschebyscheff-Filter mit3 dB Restwelligkeit

• Der Butterworth-Tiefpassfällt hier durch seinenmaximalen konstantenFrequenzgang imDurchlassbereich auf!

• Weitere Filter: Cauerfilter,inverser Tschebyschefffilter


Frequenzgänge der Gruppenlaufzeit und

• Normierte GruppenlaufzeitTgr( ) und Phasenverlauf (

) für

– 1.kritische Dämpfung

– 2.Bessel Filter

– 3.Butterworth Filter

– 4.Tschebyscheff Filter mit0,5dB Welligkeit

– 5.Tschebyscheff Filter mit3dB Welligkeit


Tiefpass-Filter 2. Ordnung: Kritische Dämpfung

H2 =1

1+ j( )2

2

=1

1 2 2+2 j

2

=1

1 b12+ j a1

2

a1

= 2 , b1

= 2

=g

g 1, = 2n 1, n = 2 2 = 2 1

Ein 2-facher entkoppelter RC-Filter hat eine um den Faktor niedrigereGrenzfrequenz als der Einzelfilter - aber Verstärker zur Entkopplung nötig:

Aneinanderreihung von gleichen Filtern erster Ordnung - lässt sich einfach realisieren!

H1T2

=1

1+ig

2=1

2, 3dB Punkt, für =

g=1/RC

H2T2

=1

1+ i

4=

1

1+ 2

2=

1

1+ 2 1

2=1

2,

g2T=

g1T( = 0,64)

Oder ich muss eine um den Faktor 1/ größere Grenzfrequenz des Einzelfilters wählen,um auf die gleiche Grenzfrequenz zu kommen!

Hochpass 1/


Tiefpass-Filter 2. Ordnung: Bessel-Filter

Für optimale Übertragung von Rechteckimpulsen b1=a12/3 mit konstanter

Gruppengeschwindigkeit:

=g

<1, tgr

=d

dunabhängig von , d.h. normierte Darstellung mit : T

gr=tgrTg

=1

2tgr g

Tgr

=1

2

d

d

z.B. n = 2 : H =H0

1+ j a1 b12

= arctana1

1 b12

=a1 1 b1

2+ 2b1( )

1 b12

2

+ a1( )2

=a1 1+b1

2

1+ a12 2b1( ) 2+b1

2 4mit b

1= a

12 2b

1b1

=a1

2

3

=a1

1+ b12 4 1+ b1

2( )

konstant bis auf Term 4

Amplitudenfrequenzgang vonBesselfiltern 1ter bis 10ter Ordnung


Tiefpass-Filter 2. Ordnung: Butterworth-Filter

solange wie möglich soll |H( )|2=|H(0)|2

H( )2

=1

1+ j a1 b12

2

=1

1 b12

2+ a1( )

2=

1

1+ a12 2b1

2+b1

2 4, < 1 4 << 2

a12 = 2b

1, H =1( )

2=12

H =0( )2

entspricht 3dB Abschwächung

b1

= 1 a1

= 2

H( ) =1

1+i 2 2bzw. H

2=

1

1+ 4

Butterworth-Filter 1ter bis10ter Ordnung:

Frequenzgang der Amplitude


Tiefpass-Filter 2. Ordnung: Tschebyscheff-Filter

T1( ) =

T2( )=22 1

T3( )=4 3 3

M

Übertragungsfunktion mit konstanter Welligkeit < , aber sehr schnellem Abfall

HnT2

=k H0

2

1+ 2 Tn2( )

,HmaxHmin

= 1+ 2

Tschebyscheff Polynome

k zur Normierung von H( =0)k = 1 wenn n ungeradek = 1 + 2 wenn n gerade

0,01 0,03 0,1 0,3 1 3 10 30

Tschebyscheff-Filter von 1ter

bis zur 10ten

Ordnung mit0,5 dBRestwelligkeit:Amplitude alsFunktion derFrequenz


Aktive Schaltung für Filter 2. Ordnung I

• Beispiel Tiefpass 2.Ordnung

• Filter-koeffizient

KritischeDämpfung

Bessel-Filter Butterworth-Filter

Tschebyscheff-Filter, 1dB

a1 1,2872 1,3617 1,4142 1,3022b1 0,4142 0,6180 1,0000 1,5515

Vu

=UaU1

= 1+R3 k 1( )R3

= k

Dimensionierung ausVergleich mitÜbertragungsfunktion

Koeffizientenvergleich Bestimmungsgleichungen für Ri ,Ci

H P( ) =k

1+ g C1 R1+R2( )+ 1 k( )R1 C2[ ] P+ g2 R1 R2 C1 C2 P

2=

k

1+a1P+b1P2


Aktive Schaltung für Filter 2. Ordnung II

• Spezialfälle: k=1 hohe Bandbreite des Verstärkers (Spannungsfolger),gut für Hochpässe.

• oder R1 = R2 = R und C1 = C2 = C (einfacher Wechsel der Filterart)

H P( ) =k

1+ g 3 k( ) R C P+ g R C( )2P2

a1

=g3 k( ) R C, b1 =

gR C

k = H0

= 3a1b1

Filtertyp, R Cg

=b1

R C

KritischeDämpfung

Bessel-Filter Butterworth-Filter

Tschebyscheff-Filter, 1dBWelligkeit

k 1,0 1,268 1,586 1,955


Vergleich der Eigenschaften von Filtern 2. Ordnung

Tiefpass Hochpass Bandpass k=1, 1.5, 2.5, 3.5

1. k=2.144Tschebyscheff-Filter (2dB)

2. k = 1,586Butterworth-Filter

3. k=1.286Bessel-Filter

4. k=1 kritische

Dämpfung - - -

12

3

4


Schaltung für einen Sperrkreis

• Doppel-T-Bandsperre oder NotchfilterPassiv (- - -,0), aktiv: k=1 (R2 ),1.8:

Resonanzfrequenz fr = 1/(2 RC)

Verstärkung k

Unterdrückungsgüte Q = fr / f = 0,5/(2 - k)

H(P)=k (1 + P2)/(1 + 2 (2 - k) P + P2)mit P=p·RC und p=j +

1

0

1.8

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