Einführung in die Mathematikdidaktik · Einführung in die Mathematikdidaktik Ab dem 18.11.08 benöötigte Literatur:tigte Literatur: Rahmenlehrplan Mathematik füür die Sekundarstufe

EinfEinfüührung in die hrung in die MathematikdidaktikMathematikdidaktik

4.11.084.11.08


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StudiumStudiumSeminarunterlagenSeminarunterlagen

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Ab dem 18.11.08 benAb dem 18.11.08 benöötigte Literatur:tigte Literatur:

Rahmenlehrplan Mathematik fRahmenlehrplan Mathematik füür die Sekundarstufe Ir die Sekundarstufe ISenatsverwaltung fSenatsverwaltung füür Bildung, Jugend und Sport 2006r Bildung, Jugend und Sport 2006

www.berlin.dewww.berlin.de//imperiaimperia//mdmd//contentcontent//sensen--bildungbildung//schulorganisationschulorganisation//lehrplaenelehrplaene/sek1_mathematik.pdf/sek1_mathematik.pdf

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Entwicklung mathematischen Denkens und Entwicklung mathematischen Denkens und operative Prinzipienoperative Prinzipien

Modifikation durch Modifikation durch AebliAebli

Modifikation durch Modifikation durch BrunerBruner

1. Theorien zur Denkentwicklung1. Theorien zur Denkentwicklung

Die Stadientheorie von Die Stadientheorie von PiagetPiaget



Grundgedanke:Grundgedanke:Vollzug der Denkentwicklung in mehreren Stadien, Vollzug der Denkentwicklung in mehreren Stadien,

die durch spezifische, im Laufe der Entwicklung die durch spezifische, im Laufe der Entwicklung immer himmer hööhere Denkleistungen gekennzeichnet sind.here Denkleistungen gekennzeichnet sind.




Das Entwicklungsstadium des Denkens wird im Das Entwicklungsstadium des Denkens wird im weitgehend durch das Alter bestimmt.weitgehend durch das Alter bestimmt.

Die Entwicklung vollzieht sich mehr oder weniger Die Entwicklung vollzieht sich mehr oder weniger „„spontanspontan““ (d.h. im wesentlichen ohne von au(d.h. im wesentlichen ohne von außßen en

geleitete Instruktion) in Auseinandersetzung mit der geleitete Instruktion) in Auseinandersetzung mit der natnatüürlichen und sozialen Umwelt. rlichen und sozialen Umwelt.





FFüür diesen Kurs interessante Stadien:r diesen Kurs interessante Stadien:

Drei Hauptstadien, die fDrei Hauptstadien, die füür ein Kind vom Vorschulalter bis r ein Kind vom Vorschulalter bis zum Ende der Schulzeit charakteristisch sind.zum Ende der Schulzeit charakteristisch sind.



FFüür diesen Kurs interessante Stadien:r diesen Kurs interessante Stadien:

Drei Hauptstadien, die fDrei Hauptstadien, die füür ein Kind vom Vorschulalter bis r ein Kind vom Vorschulalter bis zum Ende der Schulzeit charakteristisch sind.zum Ende der Schulzeit charakteristisch sind.


prprääoperativesoperativesStadium Stadium

Stadium Stadium konkreter konkreter Operation Operation

Stadium Stadium formaler formaler

OperationOperation


1. 1. prprääoperativesoperatives StadiumStadium

charakteristisch vor allem fcharakteristisch vor allem füür das Vorschulkind (ca. 2 r das Vorschulkind (ca. 2 –– 6 Jahre) 6 Jahre) „„Stadium der anschaulichen bzw. Stadium der anschaulichen bzw. prprääoperatorischenoperatorischen IntelligenzIntelligenz““ (Piaget)(Piaget)

Starke Bindung des Denkens an konkrete Handlungen und Starke Bindung des Denkens an konkrete Handlungen und unmittelbare Anschauung unmittelbare Anschauung

www.kindersache.de(Zech, S.90)

Aufgabe:

Mehrere Objekte der Größe entsprechend sortieren.




Aufgabe:





Aufgabe:


NNöötige Vergleichsoperationen ktige Vergleichsoperationen köönnen noch nicht rein nnen noch nicht rein gedanklichgedanklich zusammengefzusammengefüügt werden.gt werden.



Vollzogene Handlungen kVollzogene Handlungen köönnen noch nicht nnen noch nicht in Gedankenin Gedankenumgekehrt werden.umgekehrt werden.

Versuch: Eine Plastilinkugel wird zu einer Wurst geformt.


2. Stadium der konkreten Operation2. Stadium der konkreten Operation

charakteristisch vor allem fcharakteristisch vor allem füür das Grundschulkind (ca. 7 r das Grundschulkind (ca. 7 –– 11 Jahre) 11 Jahre) immer noch Bindung an konkrete Vorstellungen immer noch Bindung an konkrete Vorstellungen (d.h. an die unmittelbare Anschauung oder zuvor gemachte(d.h. an die unmittelbare Anschauung oder zuvor gemachteErfahrungen), aber Kennzeichnung durch grErfahrungen), aber Kennzeichnung durch größößere Beweglichkeit.ere Beweglichkeit.

Denkhandlungen werden Denkhandlungen werden „„kompositionsfkompositionsfäähighig““(zusammensetzbar) und (zusammensetzbar) und „„reversibelreversibel““ (umkehrbar)(umkehrbar)

und damit nach Piaget zu und damit nach Piaget zu „„OperationenOperationen““..


2. Stadium der konkreten Operation2. Stadium der konkreten Operation

das Kind kann die das Kind kann die „„ReihungReihung““ bei der Streifenaufgabe vornehmen,bei der Streifenaufgabe vornehmen,die die MengeninvarianzMengeninvarianz bei dem Plastilinversuch wird erkannt. bei dem Plastilinversuch wird erkannt.

Grenzen dieses Denkstadiums:Grenzen dieses Denkstadiums:

Meist kMeist köönnen Aufgaben der folgenden Art noch nicht ohne anschauliche nnen Aufgaben der folgenden Art noch nicht ohne anschauliche Hilfsmittel gelHilfsmittel gelööst werden:st werden:

„„Hans ist grHans ist größößer als Heinz, Hans ist kleiner als Horst. er als Heinz, Hans ist kleiner als Horst. Wer ist der kleinste?Wer ist der kleinste?““


3. Stadium der formalen Operation3. Stadium der formalen Operation

dieses Stadium wird nach Piaget erst ab ca. 11 dieses Stadium wird nach Piaget erst ab ca. 11 –– 12 Jahren erreicht,12 Jahren erreicht,die Kinder stehen am Beginn des hypothetischdie Kinder stehen am Beginn des hypothetisch--deduktiven Denkens: deduktiven Denkens:

„„Wenn das und das gilt Wenn das und das gilt ……, dann gilt das , dann gilt das ……..““allmallmäähliche Befhliche Befäähigung zum rein formalhigung zum rein formal--abstrakten Schlieabstrakten Schließßen aufgrunden aufgrundvon Annahmen (ohne auf die Anschauung oder Erfahrungen Bezug zvon Annahmen (ohne auf die Anschauung oder Erfahrungen Bezug zu u nehmen)nehmen)

Voraussetzungen zur BewVoraussetzungen zur Bewäältigung typischer Situationen ltigung typischer Situationen fortgeschrittener Mathematikfortgeschrittener Mathematik


Typische Situationen fortgeschrittener MathematikTypische Situationen fortgeschrittener Mathematik

Formales SchlieFormales Schließßen:en:Wenn a < b und b < c, dann a < c.Wenn a < b und b < c, dann a < c.

Hypothetische Hypothetische ÜÜberlegungenberlegungen (ohne R(ohne Rüücksicht auf Realisierungsmcksicht auf Realisierungsmööglichkeiten): glichkeiten): FFüür 72 Cent bekommt man r 72 Cent bekommt man 3 Eier.3 Eier.FFüür 1 Cent bekr 1 Cent bekääme man me man 3/72 Eier.3/72 Eier.FFüür 3 Euro bekommt man r 3 Euro bekommt man 300 x 3/72 Eier (=12,5).300 x 3/72 Eier (=12,5).

Deduktives SchlieDeduktives Schließßen:en:

α α

2α + 902α + 90°° = 180= 180°°

2α = 902α = 90°°α = 45α = 45°°

Die Stadien der Denkentwicklung nach Die Stadien der Denkentwicklung nach PiagetPiaget


ungefungefäähres hres AlterAlter

StadiumStadium DenkleistungDenkleistung

22--6 Jahre6 Jahre prprää--operatorischoperatorisch

an konkrete Handlung und unmittelbare an konkrete Handlung und unmittelbare Anschauung gebunden; nicht Anschauung gebunden; nicht kompositionsfkompositionsfäähig, nicht reversibelhig, nicht reversibel

77--11 Jahre11 Jahre konkrete konkrete OperationenOperationen

an konkrete Vorstellung gebunden; an konkrete Vorstellung gebunden; kompositionsfkompositionsfäähig, reversibelhig, reversibel

ab 12 Jahrenab 12 Jahren formale formale OperationenOperationen

nicht mehr an konkrete Vorstellung nicht mehr an konkrete Vorstellung gebunden; formalgebunden; formal--abstrakt, deduktiv, abstrakt, deduktiv, hypothetischhypothetisch



Die Altersangaben sind nur als grobe Durchschnittswerte Die Altersangaben sind nur als grobe Durchschnittswerte zu verstehen mit individuell erheblichen zu verstehen mit individuell erheblichen AbweichungsmAbweichungsmööglichkeiten!glichkeiten!

Die prinzipielle Aufeinanderfolge solcher Stadien mit Die prinzipielle Aufeinanderfolge solcher Stadien mit typischen Denkleistungen hat sich jedoch immer wieder typischen Denkleistungen hat sich jedoch immer wieder (auch in sp(auch in spääteren Untersuchungen) bestteren Untersuchungen) bestäätigttigt(z.B. (z.B. MontadaMontada, Seiler, , Seiler, GagnGagnéé, , BauersfeldBauersfeld).).




Die Piagetschen Stadien werden zwar als notwendige AufeinanderfoDie Piagetschen Stadien werden zwar als notwendige Aufeinanderfolge von lge von Schritten der Denkentwicklung betrachtet, in vielfacher HinsicSchritten der Denkentwicklung betrachtet, in vielfacher Hinsicht jedoch ht jedoch unabhunabhäängig ngig vom Lebensalter!vom Lebensalter!Wenn gewisse Faktoren wie Anschaulichkeit oder handelndes LernenWenn gewisse Faktoren wie Anschaulichkeit oder handelndes Lernen ffüür r Kinder grKinder größößere Bedeutung als fere Bedeutung als füür Erwachsene haben, sind dies reinr Erwachsene haben, sind dies reingraduelle Unterschiedegraduelle Unterschiede..

Vermutung: Vermutung: „„Je neuer ein Denkinhalt fJe neuer ein Denkinhalt füür den Erwachsenen ist, desto mehr r den Erwachsenen ist, desto mehr

Anschaulichkeit braucht auch er fAnschaulichkeit braucht auch er füür das Verstr das Verstäändnis.ndnis.““




Entwicklung wird letztlich als Summe von Lernprozessen angesehenEntwicklung wird letztlich als Summe von Lernprozessen angesehen::Spontanen, ungeordneten Lernprozessen in Familie und Alltag Spontanen, ungeordneten Lernprozessen in Familie und Alltag einerseits und gesteuerten Lernprozessen in der Schule andererseeinerseits und gesteuerten Lernprozessen in der Schule andererseits.its.

Der pDer päädagogische Spielraum erscheint bei dagogische Spielraum erscheint bei AebliAebli wesentlich wesentlich grgrößößer als bei Piaget!er als bei Piaget!

Nehmen Sie zu dieser Aussage Stellung. Nehmen Sie zu dieser Aussage Stellung.


AebliAebli interessierte sich finteressierte sich füür die didaktische Frage, ob und wie r die didaktische Frage, ob und wie Denkoperationen im Sinne Piagets, also mit besonderer innerer Denkoperationen im Sinne Piagets, also mit besonderer innerer Beweglichkeit (KompositionsfBeweglichkeit (Kompositionsfäähigkeit, Reversibilithigkeit, Reversibilitäät) aufgebaut, t) aufgebaut, gefgeföördert und gefestigt werden krdert und gefestigt werden köönnen.nnen.

Beispiel: Beispiel: „„Addition natAddition natüürlicher Zahlenrlicher Zahlen““Diese Denkoperation ist nach Piaget und Diese Denkoperation ist nach Piaget und AebliAebli erworben, wenn ihre erworben, wenn ihre

KompositionsfKompositionsfäähigkeit (also higkeit (also KommutativitKommutativitäätt und Assoziativitund Assoziativitäät) sowie ihret) sowie ihreReversibilitReversibilitäät (also Umkehrbarkeit durch die Subtraktion)t (also Umkehrbarkeit durch die Subtraktion)erfasst ist und beweglich angewendet werden kann. erfasst ist und beweglich angewendet werden kann.

Das bedeutet, der SchDas bedeutet, der Schüüler kann den ler kann den LLöösungsweg einer Additionsaufgabe sungsweg einer Additionsaufgabe variieren und kontrollieren.variieren und kontrollieren.

z.B. 4 + 3 + 6 = 6 + 4 + 310 + 3 = 13 Probe: 13 – 3 = 10

AeblisAeblis operative Methodeoperative Methode


Verinnerlichung Verinnerlichung der Operationder Operation

operative operative DurcharbeitungDurcharbeitung

konkrete konkrete StufeStufe

figurale figurale StufeStufe

symbolische symbolische StufeStufe


Beispiel: Beispiel: „„Addition natAddition natüürlicher Zahlenrlicher Zahlen““

VerinnerlichungVerinnerlichung

Konkrete StufeKonkrete Stufe: : Arbeit mit konkreten Materialien, z.B. Zusammenstecken einer Arbeit mit konkreten Materialien, z.B. Zusammenstecken einer Sechserstange und einer Viererstange aus SteckwSechserstange und einer Viererstange aus Steckwüürfeln.rfeln.

Figurale StufeFigurale Stufe: : Zeichnerische Darstellung durch Streifen aus Quadraten.Zeichnerische Darstellung durch Streifen aus Quadraten.

Symbolische StufeSymbolische Stufe: : Darstellung durch Ziffern und Operationszeichen. Darstellung durch Ziffern und Operationszeichen.

www.ak-grundschule.de

www.ak-grundschule.de

4 + 5 = 9



Bei der schriftlichen Fixierung sollten die verschiedenen Bei der schriftlichen Fixierung sollten die verschiedenen Darstellungsweisen mDarstellungsweisen mööglichst dicht zusammengebracht werden glichst dicht zusammengebracht werden und einander zugeordnet werden.und einander zugeordnet werden.

Ein Beispiel: Ich fEin Beispiel: Ich füüge 5 Wge 5 Wüürfel und 3 Wrfel und 3 Wüürfel zusammen.rfel zusammen.Wie viele WWie viele Wüürfel erhalt ich?rfel erhalt ich?

5 + 3

8

Ich erhalte insgesamt 8 WIch erhalte insgesamt 8 Wüürfel.rfel.



Didaktischer HinweisDidaktischer Hinweis::Bei auftretenden Schwierigkeiten kehre der Lehrer zu einer frBei auftretenden Schwierigkeiten kehre der Lehrer zu einer früüheren heren Stufe zurStufe zurüück.ck.

Es soll zu einem Es soll zu einem Prozess innerhalb des LernendenProzess innerhalb des Lernenden kommen, der kommen, der ihn durch ihn durch ststäändige eigene Reflexionndige eigene Reflexion üüber seine Handlung und ber seine Handlung und anschauliche Wahrnehmung zu einer eigenen Vorstellung fanschauliche Wahrnehmung zu einer eigenen Vorstellung füührt.hrt.

UnterstUnterstüützung durch vorwegnehmende und nachtrtzung durch vorwegnehmende und nachträägliche gliche Verbalisierung der HandlungenVerbalisierung der Handlungen. .


Operatives Durcharbeiten:Operatives Durcharbeiten:

Variables, sinnbezogenes Variables, sinnbezogenes ÜÜben, das der ben, das der Vertiefung des Vertiefung des VerstVerstäändnissesndnisses dient. dient.

Wiederholtes Durchdenken der Operation auf der Wiederholtes Durchdenken der Operation auf der Grundlage deren ursprGrundlage deren ursprüünglicher Bedeutung.nglicher Bedeutung.

Beispiele zur Addition:Beispiele zur Addition:•• Was bedeutet eigentlich 2 + 5, 4 + 4, 6 + 3 anschaulich?Was bedeutet eigentlich 2 + 5, 4 + 4, 6 + 3 anschaulich?•• Wie komme ich zum Ergebnis?Wie komme ich zum Ergebnis?•• Welche Dinge, welche Personen kWelche Dinge, welche Personen köönnten da nnten da „„zusammenkommenzusammenkommen““??•• Denkt Euch Situationen aus!Denkt Euch Situationen aus!•• KKöönnen wir das auch anders notieren (z.B. mit Kringeln, Strichlistnnen wir das auch anders notieren (z.B. mit Kringeln, Strichlisten)?en)?

Beispiele zur Addition:Beispiele zur Addition:•• Wie Wie äändert sich das Ergebnis, wenn wir eine Zahl um 1, 2, 3 erhndert sich das Ergebnis, wenn wir eine Zahl um 1, 2, 3 erhööhen?hen?•• Was ergibt sich, wenn wir bei 3 + 5 die beiden Zahlen vertauschWas ergibt sich, wenn wir bei 3 + 5 die beiden Zahlen vertauschen?en?•• Wie kann man das Ergebnis Wie kann man das Ergebnis üüberprberprüüfen? fen? •• ……


Operatives Durcharbeiten:Operatives Durcharbeiten:

Variables, sinnbezogenes Variables, sinnbezogenes ÜÜben, das der ben, das der Vertiefung des Vertiefung des VerstVerstäändnissesndnisses dient. dient.

Wiederholtes Durchdenken der Operation auf der Wiederholtes Durchdenken der Operation auf der Grundlage deren ursprGrundlage deren ursprüünglicher Bedeutung.nglicher Bedeutung.

FFöörderung z.B. durch Verrderung z.B. durch Veräänderung der nderung der ursprursprüünglichen Situation in mehrere Richtungen.nglichen Situation in mehrere Richtungen.

•• Wie ist das, wenn Wie ist das, wenn …… ? ? •• Was bedeutet das Was bedeutet das …… ??•• Wie Wie äändert sich ein Ergebnis, wenn ndert sich ein Ergebnis, wenn ……? ? •• Wann bleibt es gleich? Warum bleibt es gleich?Wann bleibt es gleich? Warum bleibt es gleich?


Beispiele fBeispiele füür mathematische Denkoperationen:r mathematische Denkoperationen:

Mengenoperationen (z.B. VereinigungsMengenoperationen (z.B. Vereinigungs-- und Schnittmengenbildung)und Schnittmengenbildung)Zahlenoperationen (z.B. Addition, Multiplikation)Zahlenoperationen (z.B. Addition, Multiplikation)Messung von Messung von GGößößenen (z.B. L(z.B. Läängenngen-- und Flund Fläächenmessung)chenmessung)……

Beispiel Beispiel „„EinmaleinsEinmaleins““

Ziel: Nicht stereotype Reaktionen sollen hervorgerufen werden, sZiel: Nicht stereotype Reaktionen sollen hervorgerufen werden, sondern ein ondern ein bewegliches Gesamtsystem, innerhalb dessen die Operationbewegliches Gesamtsystem, innerhalb dessen die Operationen in en in vielfvielfäältiger Beziehung zueinander stehen ltiger Beziehung zueinander stehen –– die die GruppierungGruppierung der der Grundrechenarten.Grundrechenarten.


Beispiel:Beispiel:

9 x 6 = 6 x 9 = 5 x 9 + 1 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9;9 x 6 = 6 x 9 = 5 x 9 + 1 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9;9 x 6 = 10 x 6 9 x 6 = 10 x 6 –– 1 x 61 x 69 x 6 = 5 x 6 + 4 x 69 x 6 = 5 x 6 + 4 x 69 x 6 = 18 x 3 = 3 x 189 x 6 = 18 x 3 = 3 x 18

9 x 6 = 5 x 6 + 4 x 6


Beispiel:Beispiel:

9 x 6 = 6 x 9 = 5 x 9 + 1 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9;9 x 6 = 6 x 9 = 5 x 9 + 1 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9;9 x 6 = 10 x 6 9 x 6 = 10 x 6 –– 1 x 61 x 69 x 6 = 5 x 6 + 4 x 69 x 6 = 5 x 6 + 4 x 69 x 6 = 18 x 3 = 3 x 189 x 6 = 18 x 3 = 3 x 18

9 x 6 = 5 x 6 + 4 x 6

Modifikation durch Modifikation durch BrunerBruner


Die Denkentwicklung vollzieht sich nicht auf zeitlich abgestufteDie Denkentwicklung vollzieht sich nicht auf zeitlich abgestuften n Denkniveaus, sondern gleichzeitig auf verschiedenen Denkniveaus, sondern gleichzeitig auf verschiedenen

„„DarstellungsebenenDarstellungsebenen““, die in starker Wechselwirkung , die in starker Wechselwirkung zueinander stehen.zueinander stehen.


Theorie der Darstellungsebenen nach Theorie der Darstellungsebenen nach BrunerBruner

BrunerBruner unterscheidet drei Darstellungsebenen (Reprunterscheidet drei Darstellungsebenen (Reprääsentationsmodi), auf denen sentationsmodi), auf denen sich dem Mensch die Umwelt erschliesich dem Mensch die Umwelt erschließßen kann:en kann:

die die enaktiveenaktive Darstellung, d.h. die Erfassung von Sachverhalten durch Darstellung, d.h. die Erfassung von Sachverhalten durch eigene Handlungen (miteigene Handlungen (mit konkretem Material);konkretem Material);

die die ikonischeikonische Darstellung, d.h. die Erfassung von Sachverhalten durch Bilder Darstellung, d.h. die Erfassung von Sachverhalten durch Bilder (auch (auch „„innere Bilderinnere Bilder““) oder Graphiken;) oder Graphiken;

die die symbolischesymbolische Darstellung, d.h. die Erfassung von Sachverhalten durch Darstellung, d.h. die Erfassung von Sachverhalten durch verbale Mitteilung odeverbale Mitteilung oder im Zeichensystem r im Zeichensystem (z.B. im mathematische(z.B. im mathematischen).n).


Theorie der Darstellungsebenen nach Theorie der Darstellungsebenen nach BrunerBruner

Denkentwicklung ist nach Denkentwicklung ist nach BrunerBruner eine immer bessere Koordination zwischen eine immer bessere Koordination zwischen den verschiedenen Darstellungsebenen (unter wesentlicher Beteiliden verschiedenen Darstellungsebenen (unter wesentlicher Beteiligung der gung der Sprache).Sprache).

Wechsel zwischen den Darstellungsebenen!Wechsel zwischen den Darstellungsebenen!

Handlung

BildZeichenSprache


Beispiel:Beispiel:

EinfEinfüührung der Begriffe hrung der Begriffe „„ganze Drehungganze Drehung““, , „„halbe Drehunghalbe Drehung““, , „„Vierteldrehung Vierteldrehung nach linksnach links““, , „„Vierteldrehung nach rechtsVierteldrehung nach rechts““. .

1.1. Auf sprachliche Instruktion hin Handlungen ausfAuf sprachliche Instruktion hin Handlungen ausfüühren lassen:hren lassen:„„Mach eine halbe Drehung.Mach eine halbe Drehung.““ , , „„Mach eine Vierteldrehung nach links.Mach eine Vierteldrehung nach links.““, , ……

2.2. Eine Handlung verbalisieren lassen:Eine Handlung verbalisieren lassen:Ein Kind fEin Kind füührt eine Drehung aus, ein anderes sagt, um welche Drehung es hrt eine Drehung aus, ein anderes sagt, um welche Drehung es sich handelt.sich handelt.

3.3. Eine Handlung ikonisieren lassen. Z.B. wird eine halbe Drehung eEine Handlung ikonisieren lassen. Z.B. wird eine halbe Drehung eines ines Quadrates dargestellt.Quadrates dargestellt.


Beispiel:Beispiel:

EinfEinfüührung der Begriffe hrung der Begriffe „„ganze Drehungganze Drehung““, , „„halbe Drehunghalbe Drehung““, , „„Vierteldrehung Vierteldrehung nach linksnach links““, , „„Vierteldrehung nach rechtsVierteldrehung nach rechts““. .

4.4. Eine ikonische Drehung Eine ikonische Drehung enaktivierenenaktivieren::„„FFüührt die dargestellte Drehung aus!hrt die dargestellte Drehung aus!““

5.5. Auf eine sprachliche Instruktion hin formalisieren lassen:Auf eine sprachliche Instruktion hin formalisieren lassen:„„Schlagt ein Zeichen fSchlagt ein Zeichen füür eine Vierteldrehung nach rechts vor.r eine Vierteldrehung nach rechts vor.““

6.6. Ein Zeichen verbalisieren lassen:Ein Zeichen verbalisieren lassen:Z.B. Z.B. „„Beschreibt die Bedeutung von V1.Beschreibt die Bedeutung von V1.““

Formulieren Sie zu einem selbst gewählten Thema aus Ihrem Mathematikunterricht jeweils ein Beispiel zu jeder der drei Darstellungsebenen

- enaktiv- ikonisch- symbolisch

sowie zu den zugehörigen Übergängen.


Operative Prinzipien:Operative Prinzipien:

1.1. Prinzip der Prinzip der StufengemStufengemäßäßheitheit

Im Unterricht sollten tendenziell die Stadien der DenkentwicklunIm Unterricht sollten tendenziell die Stadien der Denkentwicklung nach Piaget g nach Piaget von mehr von mehr konkretkonkret--handelndemhandelndem Denken zu mehr formalDenken zu mehr formal--abstraktem Denken abstraktem Denken berberüücksichtigt werden.cksichtigt werden.



1.1. Prinzip der Prinzip der StufengemStufengemäßäßheitheit2.2. Prinzip der Verinnerlichung und Verzahnung der DarstellungsebenePrinzip der Verinnerlichung und Verzahnung der Darstellungsebenenn

Der Mathematikunterricht aller Stufen sollte von einer konkretDer Mathematikunterricht aller Stufen sollte von einer konkret--anschaulichen anschaulichen Darstellung (Darstellung (konkretkonkret--handelndhandelnd; zeichnerisch; zeichnerisch--ikonisch; Beispiele, mit denen ikonisch; Beispiele, mit denen man anschauliche Vorstellungen verbinden kann) allmman anschauliche Vorstellungen verbinden kann) allmäählich zu einer hlich zu einer abstraktabstrakt--symbolischen Darstellung (Fachtermini und mathematische Zeichen symbolischen Darstellung (Fachtermini und mathematische Zeichen verwendend) verwendend) üübergehen.bergehen.

Ziel: Der SchZiel: Der Schüüler kann mit der abstrakten Formulierung immer noch eine ler kann mit der abstrakten Formulierung immer noch eine konkrete Vorstellung verbinden.konkrete Vorstellung verbinden.

Die Verinnerlichungsstufen sind daher nicht isoliert voneinanderDie Verinnerlichungsstufen sind daher nicht isoliert voneinander zu zu durchlaufen, sondern mdurchlaufen, sondern müüssen eng miteinander verzahnt werden. ssen eng miteinander verzahnt werden.



1.1. Prinzip der Prinzip der StufengemStufengemäßäßheitheit2.2. Prinzip der Verinnerlichung und Verzahnung der DarstellungsebenePrinzip der Verinnerlichung und Verzahnung der Darstellungsebenenn

a)a) EISEIS--PrinzipPrinzip ((enaktivenaktiv –– ikonisch ikonisch –– symbolisch)symbolisch)b)b) CEISCEIS--PrinzipPrinzip ((EISEIS--PrinzipPrinzip + Computer) + Computer) c)c) RRüückschaltprinzipckschaltprinzipd)d) ZwischenschaltprinzipZwischenschaltprinzipe)e) AbschirmprinzipAbschirmprinzip

Die Verinnerlichung der Operation kann durch Abschirmung der Die Verinnerlichung der Operation kann durch Abschirmung der „„unmittelbaren Anschauungunmittelbaren Anschauung““ (insbes., wenn von sehr auff(insbes., wenn von sehr auffäälligen, aber lligen, aber unwesentlichen Merkmalen abzusehen ist) gefunwesentlichen Merkmalen abzusehen ist) geföördert werden.rdert werden.



3.3. Prinzip der operativen Durcharbeitung Prinzip der operativen Durcharbeitung

Eine eingefEine eingefüührte Operation sollte zumindest in dreifacher Weise durch hrte Operation sollte zumindest in dreifacher Weise durch Aufgaben operativ durchgearbeitet (Aufgaben operativ durchgearbeitet („„gegeüübtbt““) werden:) werden:

I)I) Wiederholtes ZurWiederholtes Zurüückkommen auf die ursprckkommen auf die ursprüüngliche Situation und deren ngliche Situation und deren gezielte Vergezielte Veräänderung zur Vertiefung der anschaulichen Bedeutung.nderung zur Vertiefung der anschaulichen Bedeutung.

II)II) Das Wesentliche ist in Zusammenhang mit der Variation unwesentliDas Wesentliche ist in Zusammenhang mit der Variation unwesentlicher cher Aspekte hervorzuheben.Aspekte hervorzuheben.

III)III) Die Eigenschaften der Operation und deren Beziehung zu anderen Die Eigenschaften der Operation und deren Beziehung zu anderen Operationen sind, z.B. durch vielfaches Zusammensetzen und UmkehOperationen sind, z.B. durch vielfaches Zusammensetzen und Umkehren, ren, herauszuarbeiten.herauszuarbeiten.



3.3. Prinzip der operativen DurcharbeitungPrinzip der operativen DurcharbeitungI.I. Prinzip der Variation der Darstellungsebenen Prinzip der Variation der Darstellungsebenen II.II. Prinzip der Variation des UnwesentlichenPrinzip der Variation des Unwesentlichen

Das fDas füür eine Operation Unwesentliche sollte variiert werden:r eine Operation Unwesentliche sollte variiert werden:a)a) VeranschaulichungsmittelVeranschaulichungsmittelb)b) Mathematische VariablenMathematische Variablenc)c) Art der Art der AnwendungssituationAnwendungssituation




I.I. Prinzip der Variation der VeranschaulichungsmittelPrinzip der Variation der Veranschaulichungsmittel

Ein mathematischer Unterrichtsgegenstand sollte, soweit mEin mathematischer Unterrichtsgegenstand sollte, soweit mööglich, auf glich, auf mehrere Weisen verkmehrere Weisen verköörpert bzw. veranschaulichtrpert bzw. veranschaulicht




i.i. Prinzip der Variation der VeranschaulichungsmittelPrinzip der Variation der Veranschaulichungsmittelii.ii. Prinzip der mathematischen VariationPrinzip der mathematischen Variation

Mathematische Variablen, die fMathematische Variablen, die füür einen Begriff nebensr einen Begriff nebensäächlich sind, chlich sind, sollten vielfach variiert werden!sollten vielfach variiert werden!

BeispielBeispielBegriff Begriff „„ParallelogrammParallelogramm““: : Variation der Lage der Winkel, der Seiten, der Ausrichtung, Variation der Lage der Winkel, der Seiten, der Ausrichtung, ……




i.i. Prinzip der Variation der VeranschaulichungsmittelPrinzip der Variation der Veranschaulichungsmittelii.ii. Prinzip der mathematischen VariationPrinzip der mathematischen Variationiii.iii. Prinzip der Variation des Kontextes bzw. der Prinzip der Variation des Kontextes bzw. der AnwendungssituationAnwendungssituation

Nennen Sie ein Beispiel, in welchem die Anwendungssituationoder der Kontext einer Aufgabenstellung variiert wird.





III.III. Prinzip des operativen Durcharbeitens (im engeren Sinne)Prinzip des operativen Durcharbeitens (im engeren Sinne)

Die eingefDie eingefüührten Operationen sollten in vielfacher Weise zusammengesetzt, hrten Operationen sollten in vielfacher Weise zusammengesetzt, ververäändert, umgekehrt und durch Herstellung vieler Bezndert, umgekehrt und durch Herstellung vieler Bezüüge zu anderen ge zu anderen Operationen in umfassendere Systeme integriert werden. Operationen in umfassendere Systeme integriert werden.





III.III. Prinzip des operativen Durcharbeitens (im engeren Sinne)Prinzip des operativen Durcharbeitens (im engeren Sinne)i.i. Systematisches VerSystematisches Veräändern der Ausgangssituation und Untersuchen, ndern der Ausgangssituation und Untersuchen,

was diese Verwas diese Veräänderung bewirktnderung bewirktii.ii. Variation des LVariation des Löösungswegessungswegesiii.iii. Variation der gesuchten GrVariation der gesuchten Größößee

Erklären Sie das Prinzip des operativen Durcharbeitens (im engeren Sinne) anhand eines selbst gewählten

Unterrichtsbeispiels.Operative Prinzipien:Operative Prinzipien:



III.III. Prinzip des operativen Durcharbeitens (im engeren Sinne)Prinzip des operativen Durcharbeitens (im engeren Sinne)

i.i. Systematisches VerSystematisches Veräändern der Ausgangssituation und ndern der Ausgangssituation und Untersuchen, was diese VerUntersuchen, was diese Veräänderung bewirktnderung bewirkt

ii.ii. Variation des LVariation des Löösungswegessungsweges

iii.iii. Variation der gesuchten GrVariation der gesuchten Größößee

Geben Sie ein Unterrichtsbeispiel an, in welchem das Prinzip der mathematischen Variation angewandt wird und erläutern Sie diese Anwendung.



i.i. Prinzip der Variation der VeranschaulichungsmittelPrinzip der Variation der Veranschaulichungsmittelii.ii. Prinzip der Prinzip der mathematischen Variationmathematischen Variation

iii.iii. Prinzip der Variation des Kontextes bzw. der Prinzip der Variation des Kontextes bzw. der AnwendungssituationAnwendungssituationIII.III. Prinzip des operativen Durcharbeitens (im engeren Sinne)Prinzip des operativen Durcharbeitens (im engeren Sinne)

i.i. Systematisches VerSystematisches Veräändern der Ausgangssituation und Untersuchen, ndern der Ausgangssituation und Untersuchen, was diese Verwas diese Veräänderung bewirktnderung bewirkt

ii.ii. Variation des LVariation des Löösungswegessungswegesiii.iii. Variation der gesuchten GrVariation der gesuchten Größößee

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