Grundzüge der Mathematikdidaktik

Angelika Bikner-AhsbahsWintersemester 2006/2007, Universität

Bremen

Didaktische Forschungs- und Gestaltungsansätze

Deskriptive Didaktik

Ist-Zustand

Was ist?

Wie ist es?

Warum ist es so?

Präskriptive Didaktik

Handlung

Was kann/soll man tun?

Normative Didaktik

Soll-Zustand

Was sollte erreicht werden?

Ziel

Beschrieben werden normative Ansätze der Mathematikdidaktik. Darauf aufbauend wird gefragt, wie Mathematikunterricht aussehen kann, der den entsprechenden Zielen folgt.

Basis ist also die normative Didaktik, gefragt wird nach der Aktivierung, die den beschriebenen Zielen genügt.

1. Mathematik und Allgemeinbildung

Orientierung an mathematischen Grunderfahrungen (Winter 1995)

Allgemeinbildender Mathematikunterricht (Heymann 1989)

Mathematische Literalität (Neubrand 2003)

1.1 Mathematische Grunderfahrungen

Der Mathematikunterricht sollte anstreben, Grunderfahrungen, die vielfach miteinander verknüpft sind, zu ermöglichen.

Grunderfahrungen?

Welche Form hat wohl das Dach des Berliner Bogens?

Wie hat der Architekt diese Linie möglicherweise gezeichnet?

Erscheinungen in der Welt um uns, die alle angehen oder angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrnehmen und verstehen.

(Heinrich Winter 1995)

(1) Mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen lernen und begreifen.

(2) In der Art der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen (heuristische Fähigkeiten), erwerben.

(3) Erscheinungen in der Welt um uns, die alle angehen oder angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrnehmen und verstehen.

(Heinrich Winter 1995)

Drei Grunderfahrungen ermöglichen:

1 2 3 5

10

Vervollständige die erste Zahlenmauer!

Welchen Schlussstein erhältst bei der zweiten Mauer, wenn auch hier die unteren Zahlen aufeinander folgen?

Kannst du drei aufeinander folgende Zahlen finden, die den Schlussstein 10 (20) ergeben?

Welche Grunderfahrungen über Mathematik machen Lernende der vierten Klasse bei dieser Aufgabenstellung?

Plättchenarithmetik als Vorstufe zur Verwendung von Variablen

5 1

1 2 3 5

10

Vervollständige die erste Zahlenmauer!

Welchen Schlussstein erhältst bei der zweiten Mauer, wenn auch hier die unteren Zahlen aufeinander folgen?

Kannst du drei aufeinander folgende Grundzahlen finden, die den Schlussstein 10 (20) ergeben?

Vorbereitung des VariablenbegriffsDrei Grundvorstellungen: Gegenstands-, Einsetzungs- und Kalkülvorstellung?

Aufgaben ohne Lösungen

5 6 7 10 139 11 12 14

35 36 37

In der ersten Zeile mit Zahlenmauern siehst du aufeinander folgende Zahlen als Grundzahlen. Berechne die Schlusssteine.

Kannst du auch für die unteren drei Mauern aufeinander folgende Grundzahlen eintragen?

Mathematik als strenge Wissenschaft erfahren: Schlussfiguren mathematischen

Argumentierens reflektieren und verwenden:

Wenn A, dann BEs ist A wahr,also ist auch B wahr.Aber auch: B ist nicht wahr, also A auch nicht.

Nicht notwendig: A ist nicht wahr, also auch nicht BB ist wahr, also auch A.

Schlussweisen reflektieren

5 6 7 10 139 11 12 14

35 36 37

In der ersten Zeile mit Zahlenmauern siehst du aufeinander folgende Zahlen als Grundzahlen. Berechne die Schlusssteine.

Kannst du auch für die unteren drei Mauern aufeinander folgende Grundzahlen eintragen?

Heuristische Fähigkeiten entwickeln

Plausibles Schließen:Wenn A, dann B:B ist wahr. Kann man A genauer beschreiben?

Plättchenarithmetik als Vorstufe zur Verwendung von Variablen

5 1

Plättchenarithmetik als Vorstufe zur Verwendung von Variablen

5 110 10 + 3

20 + 9

10 + 6

20 + 3

40 + 12

Heuristische Fähigkeiten

Sagt mir das gefundene Muster mehr als ich bisher weiß?

Kann ich die Bestandteile anders interpretieren?

Kann ich den Sachverhalt verallgemeinern?

(1) Mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen lernen und begreifen.

(2) In der Art der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen (heuristische Fähigkeiten), erwerben.

(3) Erscheinungen in der Welt um uns, die alle angehen oder angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrnehmen und verstehen.

(Heinrich Winter 1995)

Drei Grunderfahrungen ermöglichen:

1.2 Allgemeinbildender Mathematikunterricht „Ob Mathematikunterricht mit Recht eine Schule des

Denkens, vielleicht sogar des kritischen Denkens genannt werden kann, hängt also von einer Reihe von Randbedingungen ab, die im herkömmlichen Unterricht aller Schultypen und Altersstufen nur allzu oft verletzt werden. Ein Mathematikunterricht, in dem Einschleifen der gängigen Standard-Lösungswege der etablierten Schulmathematik den Vorrang hat vor Verstehen, vor bewusstem Bemühen um Transfer, vor ausdrücklichen Herausforderungen der Kritikfähigkeit auf Seiten der Lernenden, trägt eher zur Einschläferung der kritischen Vernunft bei als zu ihrer Mobilisierung.“

„In welchem Ausmaß Mathematik allgemeinbildend ist, entscheidet sich erst auf der Ebene der Handlungen.“

„Es kommt auf einen lebendigen, anschaulichen, auf Verständnis zielenden und die Eigenaktivität der Schüler herausfordernden Unterricht an – was gute Mathematiklehrer im übrigen schon immer praktiziert haben. Die von mir angemahnte stoffliche Entfrachtung der Lehrpläne soll nicht dazu dienen, den Schülern Anstrengungen zu ersparen, sondern sich ein Mehr an wirklich verstandener Mathematik anzueignen, die für sie bedeutsam ist und etwas mit ihrem Leben zu tun hat.“ (Hans-Werner Heymann 1995)

Einbettung des MUs in ein Allgemeinbildungskonzept:

Lebensweltbezug Stiftung kultureller Kohärenz Weltorientierung Anleitung zum kritischen

Vernunftgebrauch Entfaltung von Verantwortungsbereitschaft Förderung von Phantasie und Kreativität Einübung in Verständigung und

Kooperation Ich-stärkung

1.3 Mathematical literacy – mathematische Grundbildung

(PISA)

„Mathematical literacy is an individual‘s capacity to identify and understand the role that mathematics plays in the world to make well-founded mathematical judgements and to engage in mathematics in ways that meet the needs of that individual‘s current and future life as constructive, concerned, and reflective citizen.“ (OECD 1999)

Grundlage: Realistic mathematics education (RME) (Kerngedanke der didaktischen Phänomenologie der mathematischen Begriffe Hans Freudenthals: Verankerung mathematischer Begriffe in der Welt, entstanden durch einen zunehmend reflektierten Gebrauch in kontextbezogenen Problemsituationen)

(1)Herauslösen mathematischer Begriffe aus (realen) Problemsituationen

(2)Fortschreitendes Ablösen der Begriffe von ihren kontextuellen Bezügen (progressive Schematisierung)

(3)Formen neuer Begriffe (vertikale Mathematisierung)

(4)Ausdehnen der Anwendungsmöglichkeiten (horizontale Mathematisierung)

Beispiel Zahlenstrahl:

-am Kiosk Schlangestehen-unstrukturierte Perlenkette-strukturierte Perlenketten

-Wäscheleine, an die Zahlenkärtchen angehängt werden- Zahlenstrich (leer, teilbesetzt, besetzt, mit und ohne Einteilung, ...)-Zahlenstrahl als Werkzeug zum Darstellen von Zusammenhängen-Zahlenstahl als Gegenstand der Erkundung von Zahlen

Parallel dazu wird der Zahlenraum vergrößert

Didaktische Forschungs- und Gestaltungsansätze

Deskriptive Didaktik

Ist-Zustand

Was ist?

Wie ist es?

Warum ist es so?

Präskriptive Didaktik

Handlung

Was kann/soll man tun?

Normative Didaktik

Soll-Zustand

Was sollte erreicht werden?

PISA (programme for international student assessment)

Kompetenzklassen: – technische Fertigkeiten: reproduzieren, definieren und rechnen – begrifflich oder rechnerisch modellieren (vernetzen und integrieren, um Probleme zu lösen) – strukturell verallgemeinern (mathematisch denken, verallgemeinern und Einsicht in strukturelle Zusammenhänge)

Kompetenzstufen bilden das Schwierigkeitsniveau ab.

Kompetenzbereiche: Gebiete und Big Ideas: hoch vernetzte mathematische Ideen wie z.B. Zufall, Veränderung und Wachstum, Abhängigkeit und Beziehung, Raum und Form.