1.1

Einführung und institutionelle Grundlagen

www.uni-graz.at/iufwww/EUwww.wiwi.uni-frankfurt.de/Professoren/Ewert/EU

Wagenhofer/Ewert 2002. Alle Rechte vorbehalten.

1.2

Spieltheoretische Grundlagen (1)

Ein Spiel umfasst zwei oder mehrere Spieler, deren Aktionen die eigenen sowie fremde Ergebnisse umfassen. Jeder Spieler maximiert sein eigenes Ergebnis x = x(a)

Der Spielverlauf hängt von der Struktur des Spiels ab: Zeitliche Abfolge der Aktionen Informationsstand der einzelnen Spieler Aktionsräume der Spieler Ergebnisfunktionen

Die Struktur des Spiels ist allen Spielern bekannt

Modelltheoretische Grundlagen

1.3Spieltheoretische Grundlagen (2)

Strategien der einzelnen Spieler

Da die Struktur des Spiels bekannt ist, kann jeder Spieler bereits ex ante für jede mögliche Spielsituation seine Aktion festlegen

Die Summe dieser Aktionen nennt man die Strategie des Spielers

Die Summe der Strategien determiniert das Ergebnis des Spiels

Reine Strategien Gemischte Strategien Spiele mit vollständiger Information Spiele mit imperfekter Information

1.4Spieltheoretische Grundlagen (3)

GleichgewichteStandardlösungskonzept: Nash-Gleichgewicht

Statisches Gleichgewichtskonzept: Gleichgewicht sagt nicht, wie man dazu kommt

Dominante Strategien:

Bayessches Nash-Gleichgewicht: Gleichgewichtskonzept für Spiele mit imperfekter

Information Spieler wählen optimale Strategien, wobei sie ihre

Erwartungen anhand der Bayesschen Regel bestimmen und updaten

* * *( , ) ( , ) für alle und i i i i i i iU U i

*( , ) ( , ) für alle , i i i i i i i iU U

1.5

Verfeinerungen (Refinements)

Problem: in vielen Spielen ergeben sich mehrere Gleichgewichte

Welches Gleichgewicht wird letztendlich gespielt ????

Refinements dienen der Identifikation von „realistischeren“ Gleichgewichten

Subgame perfect Equilibrium Sequential Equilibrium Trembling Hand Perfect Equilibrium

Spieltheoretische Grundlagen (4)

1.6

Kooperative und nicht kooperative SpieleKooperative Spiele: Zusammenarbeit, Absprachen,

Seitenzahlungen zwischen den SpielernNichtkooperative Spiele: keine Möglichkeit, sich zu einem

bestimmten Verhalten zu verpflichten (Precommitment)

„Stackelberg“-SpieleLeader-follower SpieleMöglichkeit des leaders, sich zu einem bestimmten Verhalten

zu verpflichtenVorteil für den leaderFollower kann nur reagieren

Spieltheoretische Grundlagen (5)

1.7Agency-Modelle (1)

Spieler: Prinzipal, AgentPrinzipal verpflichtet sich zu einer Strategie (schließt Vertrag

mit dem Agenten)Agent kann Vertrag annehmen oder ablehnen

Typische Anwendungsgebiete:Analyse hierarchischer Situationen

Verhältnis Eigentümer - Manager Unternehmensleitung – Bereichsmanager Manager – Arbeitnehmer Kreditgeber – Kreditnehmer

1.8Agency-Modelle (2)

Grundlegendes Agency-Modell:Prinzipal Eigentümer einer ProduktionstechnologieAgent erbringt Arbeitsleistung aErgebnis x fließt dem Prinzipal zu, ist abhängig von der

Arbeitsleistung des Agenten x =(a,)a ist für den Prinzipal nicht beobachtbar ist eine stochastische Größe, die verhindert, dass der

Prinzipal von x auf a rückschließen kann ( non-moving-support)

a verursacht dem Agenten privaten Disnutzen (Arbeitsleid)Asymmetrische Information in Kombination mit Zielkonflikt

führt zu einem personellen Koordinationsproblem (Anreizproblem)

1.9Agency-Modelle (3)

Zur Lösung dieses Anreizproblems bietet der Prinzipal einen Entlohnungsvertrag mit geeigneten Leistungsanreizen an

Dieser Vertrag muss dem Agenten zumindest seinen Reservationsnutzen zugestehen

Darüber hinaus wird der Vertrag so konzipiert, dass der Agent die aus Sicht des Prinzipals ergebnismaximale Arbeitsleistung erbringt

(AB)

u.d.B.: E[U(S(x), a)] U für alle a‚ (TB)

,

max ( , ) ( ) S a

E x a S x

'

arg max ( ), ' a

a E U S x a

1.10Das LEN-Modell (1)

L = linear; E = exponentiell; N = normalverteilt

Ergebnis x linear in Arbeitsleistung und stochastischer Größe x = a+

Die Entlohnungsfunktion ist linear in x

S(x) = S0 + sx Nutzenfunktion des Agenten exponentiell und

multiplikativ separierbar in S und a

U(S, a) = -exp[-r(S - K(a))] stochastische Größe ist normalverteilt mit N(0,2)

1.11Das LEN-Modell (2)

Darstellung des Sicherheitsäquivalents:

Erwartungswert der Entlohnung -Disnutzen -Risikoprämie

(TB) ergibt sich mit U U(u) und E(x) = a als

(AB) ergibt sich als

2 20( , ) ( ) ( )

2

r

E U S a U S s E x K a s

2 20 ( )

2

rS s a K a s u

'arg max ( )

aa s a K a

1.12Das LEN-Modell (3)

Umformung Erwartungsnutzen des Prinzipals:

Eingesetzt ergibt sich:

u.d.B.

0( ) ( ) E x S s E x = a K(a) – u 2 2

2

rs

2 2max ( )2

s

ra K a s u

2 20 ( )

2

rS u s a K a s

'arg max ( )

aa s a K a

1.13Das LEN-Modell (4)

Mit lassen sich folgende explizite

Lösungen errechnen:

Erw. Nutzen Prinzipal:

2

( )2

a

K a

*2

1

1

s

r

2

0 2 2

1

2 (1 )

r

S ur

2

1

2 (1 )

u

r

1.14Ein binäres Modell (1)

Zwei mögliche Ergebnisse Zwei mögliche Arbeitsleistungen des Agenten

Es gilt: pH > (1-pL)

  xH xL

aH pH (1-pH)

aL (1-pL) pL

1.15Ein binäres Modell (2)

Prinzipal ist risikoneutral Agent ist risikoscheu:

Ersetze V(aj) durch vj mit vH>vL0 undNutzenfunktion des Agenten: U(S,a) = ui-vj

Optimierungsproblem:

u.d.B. (TB)

(AB)

( , ) ( ) U S a S V a

( )i iu S x

2 2

,max (1 ) ( ) ( )

L HH L L H H H

u up x u p x u

(1 ) H L H H Hp u p u v U

(1 ) (1 ) H L H H H L L L H Lp u p u v p u p u v

1.16Ein binäres Modell (3)

Beide Nebenbedingungen binden im Optimum

Man erhält zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten,

uL und uH

Auflösen der Gleichungen nach uL und uH ergibt:

S*(xi) = ui2

( )1

HL H H L

L H

pu U v v v

p p

1( )

1

H

H H H LL H

pu U v v v

p p