Einfuhrung in die Mathematischen Methoden

Ulrich Hohenester

Institut fur Physik, Theoretische Physik

Karl–Franzens–Universitat Graz

Universitatsplatz 5, 8010 Graz, Austria

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Fax: +43 316 380 9820

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email: ulrich.hohenester@uni-graz.at

Vorlesung im Wintersemester 2007/08

1

Inhaltsverzeichnis

1 Funktionen 4

1.1 Definition und Eigenschaft von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Zahlenbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Abbildungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Weitere Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Potenzfunktionen mit ganzzahligen positiven Exponenten . . 14

1.2.3 Potenzfunktionen mit negativem ganzzahligen Exponenten . . 15

1.2.4 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.5 Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten . . . . . . . . . 18

1.2.6 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.7 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Komplexe Zahlen 24

2.1 Einfache Rechenoperationen komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1 Addition, Subtraktion und Multiplikation . . . . . . . . . . . 24

2.1.2 Komplexe Konjugation, Absolutbetrag und Division . . . . . 25

2.2 Komplexe Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 Eulersche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2 Produkte trigonometrischer Funktionen . . . . . . . . . . . . 29

2.2.3 Uberlagerte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Differentialrechnung 32

3.1 Ableitung elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Hohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2

3.4 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Integralrechnung 42

4.1 Integration elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Differentialgleichungen 47

5.1 Lineare Differentialgleichung erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . 48

5.2 Schwingungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3 Gedampfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.4 Getriebene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6 Vektorrechnung 56

6.1 Rechenregeln fur Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.2 Geradengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3 Ebenengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.4 Zeitabhangige Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7 Tests der letzten Jahre 63

3

1 Funktionen

Funktionen spielen in der Physik eine wichtige Rolle. Betrachten wir beispielsweise

ein Teilchen, das mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 horizontal nach oben geworfen

wird, und das von der Erde mit der Erdbeschleunigung g angezogen wird. Die Hohe

z wird sich dann im Laufe der Zeit t bezuglich

z(t) = v0 t− g

2t2 (1.1)

andern. Hierbei bedeutet z(t), dass die Hohe z eine Funktion der Zeit t ist (man sagt

auch, dass z von t abhangt): wir konnen fur jeden Zeitpunkt t die Hohe berechnen,

indem wir t in die Glg. (1.1) einsetzen. Dieser Zusammenhang kann anschaulich

durch einen Graphen dargestellt werden, wie in Abb. 1 gezeigt. Die Zeit t wird auf

der horizontalen Achse aufgetragen und die zugehorige Hohe z(t) auf der vertikalen

Achse.

0 1 2 3 40

5

10

15

20

t

z( t

)

Abbildung 1: Wurfparabel. Die Hohe z(t) andert sich im Laufe der Zeit t bezuglich

Glg. (1.1).

Im Laufe des Physikstudiums werden Sie eine Reihe weiterer, zum Teil viel kompli-

zierterer Funktionen kennenlernen. Beispielsweise wird in der Quantenmechanik der

Zustand eines Systems durch die Wellenfunktion Ψ(x, y, z, t) beschrieben, wobei x,

y und z die drei Raumrichtungen sind und t die Zeit bezeichnet. Hier ist Ψ eine

Funktion, die von vier Variablen abhangt. Ahnliches gilt in der Elektrodynamik, wo

die elektrische Feldstarke ~E(x, y, z, t), die selbst ein Vektor mit drei Komponenten

ist, wiederum von Ort und Zeit abhangt.

4

1.1 Definition und Eigenschaft von Funktionen

In einer etwas strengeren Formulierung ist eine Funktion eine Vorschrift, die einem

Element einer Menge, die man Definitionsbereich D nennt, ein Element einer anderen

Menge, welche Bildbereich B der Funktion genannt wird, zuordnet. Die Schreibweise

y = f(x) (1.2)

bedeutet dann, dass jeder Zahl x ∈ D aus dem Definitionsbereich ein Wert y ∈ Baus dem Bildbereich zugeordnet wird. Wir konnen dies wie folgt darstellen

D B

x f(x)''

Abbildung 2: Die Funktion als Zuordnung eines Elementes x des Definitionsbereiches D zu

einem Element f(x) des Bildbereiches B.

1.1.1 Zahlenbereiche

Zur Bezeichnung von Definitionsbereichen und Bildbereichen gibt es eine Reihe von

Kurzschreibweisen. Folgende werden haufig verwendet:

R . . . Menge der rationalen Zahlen,

R+ . . . Menge der positiven rationalen Zahlen,

R− . . . Menge der negativen rationalen Zahlen,

R \ {a} . . . R ohne die Zahl a,

R \ {a, b} . . . R ohne die Zahlen a und b,

x ∈ [a, b] . . . x aus dem Bereich x ≥ a und x ≤ b,

x ∈ (a, b] . . . x aus dem Bereich x > a und x ≤ b,

x ∈ [a, b) . . . x aus dem Bereich x ≥ a und x < b,

x ∈ (a, b) . . . x aus dem Bereich x > a und x < b.

5

Beispiel 1.1— Fur die Funktion

f(x) =1

(x− 2)(x + 3), x ∈ R \ {−3, 2}

ist der Definitionsbereich die Menge der rationalen Zahlen ohne −3 und

2, bei denen der Nenner Null wird.

Beispiel 1.2— Fur die Funktion

f(x) = log(x) , x ∈ R+

ist der Definitionsbereich die Menge der positiven rationalen Zahlen (der

Logarithmus fur Null und negative Zahlen ist i.A. nicht definiert).

Beispiel 1.3— Fur die Funktion

f(x) =√

x− 2 , x ∈ [2,∞)

ist der Definitionsbereich die Menge der Zahlen, die großer oder gleich

zwei sind.

Aufgabe 1.1— Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktionen

f(x) =1

x + 3+ x ,

f(x) =1

x− 2+

x

(x + 2)(x− 2),

f(x) = log(x + 2) ,

f(x) =√

2− |x| .

1.1.2 Abbildungsarten

Oft ist es gunstig, Funktionen bezuglich ihrer allgemeinen Eigenschaften zu charakte-

risieren. Im Folgenden werden kurz die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv erklart,

die eine wichtige Rolle bei der Bestimmung von Umkehrfunktionen spielen.

� Injektiv. Eine Funktion heißt injektiv, wenn aus f(a) = f(b) folgt, dass a = b

gilt, und aus f(a) 6= f(b) folgt, dass a 6= b. Es muss also gelten, dass ein Punkt

6

f(x) des Bildbereiches B von nur einem einzigen Punkt x des Definitionsberei-

ches aus erreicht werden kann.

Im folgenden Diagramm ist eine Funktion gezeigt, die nicht injektiv ist:

a

b

y""@@

Hier gibt es Punkte a und b des Definitionsbereiches D, von denen aus man zum

Punkt y des Bildbereiches B gelangen kann. Ein Beispiel fur so eine Funktion

ist die Wurfparabel (1.1), die in Abb. 1 dargestellt ist: jede Flughohe z < 20

wird zu jeweils zwei Zeiten erreicht, einmal beim Flug nach oben und das zweite

Mal beim Flug nach unten. Die Funktion (1.1) ist also nicht injektiv.

Durch Einschrankung des Definitionsbereiches kann erzielt werden, dass eine

Funktion injektiv wird. So ist beispielsweise die Wurfparabel fur Zeiten t ∈ [0, 2]

injektiv.

Beispiel 1.4—

Funktion Definitionsbereich injektiv?

f(x) = 3x R ja

f(x) = x2 R nein

f(x) = x2 R+ ja

f(x) = sin(x) R+ nein

f(x) = sin(x) x ∈ [−π2, π

2] ja

� Surjektiv. Eine Funktion heißt surjektiv, wenn zu jedem y ∈ B wenigstens ein

x ∈ D existiert, sodass f(x) = y gilt. Die Funktion f(x) muss also so beschaffen

sein, dass jeder Punkt in B von wenigstens einem Punkt des Definitionsbereiches

D aus erreicht werden kann.

Die Wurfparabel (1.1) ist demnach nicht surjektiv: jede Hohe z > 20 wird zu

keinem Zeitpunkt erreicht. Wiederum kann der Bildbereich so eingeschrankt

werden, dass eine Funktion surjektiv wird.

7

Beispiel 1.5—

Funktion Definitions- Bildbereich surjektiv?

f(x) = 3x R R ja

f(x) = x2 R R nein

f(x) = x2 R R+ ja

f(x) = sin(x) R R nein

f(x) = sin(x) R y ∈ [−1, 1] ja

� Bijektiv. Eine Funktion, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist, heißt bijektiv.

Ist die Funktion y = f(x) bijektiv, so existiert eine Umkehrfunktion f−1, fur die

gilt f−1(y) = x. 1 Die Umkehrfunktion erlaubt es festzustellen, von welchem

Punkt x des Definitionsbereiches D aus ein Punkt y des Bildbereiches B erreicht

wird. Es ist oft uberaus praktisch, wenn eine Umkehrfunktion existiert und man

diese kennt. Beispielsweise konnen wir fur die Wurfparabel (1.1) aus der Hohe

z des Teilchens zuruc kberechnen, wieviel Zeit seit dem Abwurf des Teilchens

verstrichen ist.

f

f−1

x y""

bb

Beispiel 1.6—

Funktion Definitions- Bildbereich bijektiv Umkehrfunktion

f(x) = 3x R R ja x = y3

f(x) = x2 R R nein

f(x) = x2 R R+ ja x =√

y

Aufgabe 1.2— Untersuchen Sie folgende Funktionen. Sind die Funktionen

injektiv, surjektiv, bijektiv? Bestimmen Sie fur die bijektiven Funktionen

die zugehorigen Umkehrfunktionen.

1i.A. gilt f−1(x) 6= 1f(x)

.

8

Funktion Definitions- Bildbereich inj. surj. bij.

3x + 2 R R√2x R+ R+

tan(x) (−π2, π

2) R

10 x + sin(x) R Rx2 + 3 x R Rx3 R R

Aufgabe 1.3— Schranken Sie den Definitions- und Bildbereich folgender

Funktionen so ein, dass sie bijektiv werden. Wie lautet die zugehorige

Umkehrfunktion?

Funktion Definitions- Bildbereich Umkehrfunktion

4 x2

x2 − 1

cos(2 x)

log(x)

Aufgabe 1.4— Was ist f−1 (f(x)) =?

1.1.3 Weitere Eigenschaften von Funktionen

Daruber hinaus gibt es noch eine Reihe von Eigenschaften, nach denen eine Funktion

charakterisiert werden kann. Einige davon sollen im Folgenden vorgestellt werden.

� Gerade. Eine Funktion f(x) heißt gerade, wenn gilt

f(x) = f(−x) . (1.3)

Der Graph einer solchen Funktion andert sich nicht, wenn wir ihn an der y-

Achse spiegeln. In der Abb. 3 ist ein Beispiel fur eine gerade Funktion gezeigt.

Weitere Beispiele sind x2 oder cos(x).

9

−5 0 5−5

0

5

10

15

20

25

x

f( x

)

Abbildung 3: Beispiel fur eine gerade Funktion f(x) = f(−x), die an der y-Achse (gepunk-

tete Linie) gespiegelt werden kann.

� Ungerade. Eine Funktion heißt ungerade, wenn gilt

f(x) = −f(−x) . (1.4)

Beispiele fur ungerade Funktionen sind x, x3, sin(x).

Jede Funktion f(x) kann in gerade und ungerade Anteile fg(x) und fu(x)

zerlegt werden. Sei

fg(x) =1

2

(f(x) + f(−x)

)(1.5)

fu(x) =1

2

(f(x)− f(−x)

), (1.6)

(1.7)

so ist durch die Konstruktion gewahrleistet, dass fg(x) eine gerade und fu(x)

eine ungerade Funktion ist. Andererseits gilt

f(x) = fg(x) + fu(x) . (1.8)

Aufgabe 1.5— Zeigen Sie, dass Glg. (1.8) gilt.

Aufgabe 1.6— Welche der folgenden Funktionen ist gerade, welche

ungerade? Welche ist weder gerade noch ungerade? (a) f(x) = 2x+

sin(x), (b) f(x) = tan(x), (c) f(x) = 2+x, (d) f(x) = x2 cos(x),

(e) x3 − x, x7 + 2 x6.

10

� Monoton wachsend. Eine Funktion heißt monoton wachsend, wenn gilt

f(x) ≤ f(x′) , fur x < x′ . (1.9)

Falls fur x < x′ sogar f(x) < f(x′) gilt, nennt man die Funktion streng

monoton wachsend.

� Monoton fallend. Eine Funktion heißt monoton fallend, wenn gilt

f(x) ≥ f(x′) , fur x < x′ . (1.10)

Falls fur x < x′ sogar f(x) > f(x′) gilt, nennt man die Funktion streng

monoton fallend.

0 1 2 3 4 5−20

−10

0

10

20

30

x

f( x

)

monoton wachsendmonoton fallend

Abbildung 4: Beispiel fur eine monoton wachsende (durchgezogene Linie) und fallende

(gestrichelte Linie) Funktion.

Aufgabe 1.7— Wahlen Sie die Definitionsbereiche D folgender Funk-

tionen so, dass sie in D monoton wachsend sind: (a) f(x) = sin(x),

(b) f(x) = x2, (c) f(x) = tan(x). Welche der Funktionen sind

streng monoton wachsend?

Aufgabe 1.8— Gegeben sei eine monoton wachsende Funktion f(x)

im Intervall x ∈ [a, b]. Wo hat diese Funktion ihr Minimum im Inter-

vall [a, b]? Wo ihr Maximum?

� Stetig. Eine Funktion heißt stetig, wenn der Funktionswert f(a) an der Stelle

a unabhangig davon ist, wie man sich dem Punkt a annahert. Bezeichnet man

11

die Annaherung an den Punkt mit limx→a (sprich ”der Limes, d.h. Grenzwert,

fur x gegen a”), so soll gelten

limx→a

f(x) = f(a) , (1.11)

und zwar unabhangig von der Grenzwertbildung (in den Mathematischen Me-

thoden 1 wird dieser Punkt noch genauer erlautert werden). Ein typisches Bei-

spiel fur eine nicht stetige bzw. unstetige Funktion ist die sogenannte Stufen-

funktion

θ(x) =

0 fur x ≤ 0,

1 sonst.(1.12)

An der Stelle x = 0 hat θ(x) eine Unstetigkeitsstelle: nahert man sich der Stelle

0 beliebig nahe von links (negative x-Werte) so erhalt man den Grenzwert 0;

andererseits erhalt man bei Annaherung von rechts (positive x-Werte), ohne

den Punkt 0 tatsachlich zu erreichen, den Grenzwert 1. Grob gesprochen gilt,

dass eine Funktion dann stetig ist, wenn ihr Graph mit einem Zug gezeichnet

werden kann; muss man beim Zeichnen des Graphen den Stift absetzen, wie

beispielsweise bei der Stufenfunktion an der Stelle x = 0, so ist die Funktion

unstetig.

Aufgabe 1.9— Definieren Sie ahnlich wie in Glg. (1.12) eine Funkti-

on, die −1 liefert wenn x negativ ist, 1 wenn x positiv ist, und Null

fur x = 0 (Signumfunktion).

−2 −1 0 1 2−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

θ( x

)

Abbildung 5: Stufenfunktion θ(x), die fur x ≤ 0 null und fur x > 0 eins ist. Die Funktion

hat an der Stelle x = 0 eine Unstetigkeitsstelle.

12

1.2 Elementare Funktionen

Welche Funktionen man ”elementar” nennt, ist Konvention. Es gibt keine grundsatzli-

chen Unterschiede zwischen elementaren und nicht elementaren Funktionen. Letztere

sind einfach weniger gebrauchlich. Im Folgenden wollen wir eine Reihe elementarer

Funktionen vorstellen.

1.2.1 Lineare Funktionen

Die einfachste Form einer Funktion ist die lineare Funktion

y = kx + d , (1.13)

deren Graph eine Gerade ist. Man bezeichnet k als die Steigung der Gerade. Wie man

leicht aus der Abbildung 6 erkennt, laßt sich der Steigungswinkel α der Gerade aus

tan α = k berechnen.

−2 −1 0 1 2−4

−2

0

2

4

6

d

1

kα

x

kx+

d

y=kx+d

Abbildung 6: Gerade mit der Steigung k. In der Abbildung wurde d = 1 und k = 2 gewahlt.

Aufgabe 1.10— Ist die lineare Funktion (1.13): (a) injektiv, (b) surjektiv,

(c) bijektiv? Fur d = 0, ist die lineare Funktion (d) gerade oder ungera-

de? Fur welche Werte von k ist die lineare Funktion (e) streng monoton

wachsend bzw. (f) streng monoton fallend? Bestimmen Sie (g) die Um-

kehrfunktion und (h) die Nullstelle. Nullstellen sind dadurch definiert, dass

an diesen Stellen y = 0 gilt.

Aufgabe 1.11— Eine lineare Funktion soll durch die beiden Punkte (x0, y0)

und (x1, y1) gehen. Bestimmen Sie k und d.

13

1.2.2 Potenzfunktionen mit ganzzahligen positiven Exponenten

Endliche Polynome sind Summen von Termen der Form xn, wobei n eine ganze

positive Zahl ist. Ein Polynom des Grades N laßt sich in der allgemeinen Form

PN(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + · · ·+ cN xN =N∑

n=0

cn xn (1.14)

schreiben, wobei die cn als Koeffizienten bezeichnet werden. Beispielsweise ist die

Wurfparabel (1.1) ein Polynom zweiten Grades, mit c0 = 0 (kein konstanter Term),

c1 = v0 und c2 = −g/2. Man kann zeigen, dass bei einem Polynom PN(x) des Grades

N die Zahl der Nullstellen kleiner oder gleich N ist. Anstelle von Glg. (1.14) konnte

man also auch

PN(x) = cN(x− x1)(x− x2)(x− x3) . . . (x− xN) (1.15)

schreiben, wobei x1, x2, . . . die Nullstellen des Polynoms sind. Im Prinzip konnen die

xn auch komplexe Zahlen sein, wobei wir solche Falle im Folgenden nicht betrachten

werden.

Die einzelnen Terme, aus denen die Funktion (1.14) aufgebaut ist, sind von der Form

f(x) = xn . (1.16)

−3 −2 −1 0 1 2 3−100

−50

0

50

100

x

f( x

) =

xn

x2

x4

x6

x3

x5

x7

Abbildung 7: Potenzfunktionen f(x) = xn fur n = 2, 3, . . . 7.

Aufgabe 1.12— Bringen Sie die Funktion x2 + x− 2 in die Form (1.15).

14

Aufgabe 1.13— Fur gerade n, ist die Potenzfunktion (1.16): (a) injektiv,

(b) surjektiv, (c) bijektiv? (d) Fur welchen Definitions- und Bildbereich ist

xn bijektiv? (e) Wie sieht die Umkehrfunktion aus? Untersuchen Sie das

Monotonieverhalten in (f) R+ und (g) R−. (h) Ist die Funktion gerade,

ungerade oder keines von beidem? (i) Wo sind die Nullstellen von xn?

Aufgabe 1.14— Genauso wie vorige Aufgabe, aber fur ungerades n.

Aufgabe 1.15— Skizzieren Sie die Funktionen (a) f(x) = x − 3 x2 und

(b) f(x) = x + 2− 2 x4.

1.2.3 Potenzfunktionen mit negativem ganzzahligen Exponenten

Potenzfunktionen mit negativem ganzzahligen Exponenten sind von der Form

f(x) =1

xn, x ∈ R \ {0} , (1.17)

mit n = 1, 2, . . . einer ganzen Zahl. Die Funktion ist uberall bis auf x = 0 definiert. In

der unmittelbaren Nahe von x = 0 nahert sich die Funktion immer mehr der y-Achse

an: man nennt daher die Gerade x = 0 eine Asymptote der Funktion. In Abb. 8 ist

die Funktion (1.17) fur einige Werte von n dargestellt.

−3 −2 −1 0 1 2 3−50

0

50

x

f( x

) =

xn

1/x2

1/x4

1/x6

1/x1/x3

1/x5

Abbildung 8: Potenzfunktionen f(x) = 1/xn fur n = 1, 2, . . . 6.

Aufgabe 1.16— Welche zusatzliche Asymptote besitzt die Funktion 1/xn?

15

Aufgabe 1.17— Fur gerade n, ist die Funktion (1.17): (a) injektiv, (b)

surjektiv, (c) bijektiv? (d) Fur welchen Definitions- und Bildbereich ist

1/xn bijektiv? (e) Wie sieht die Umkehrfunktion aus? Untersuchen Sie das

Monotonieverhalten in (f) R+ und (g) R−. (h) Ist die Funktion gerade,

ungerade oder keines von beidem?

Aufgabe 1.18— Genauso wie vorige Aufgabe, aber fur ungerades n.

1.2.4 Rationale Funktionen

Eine rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynomfunktionen P (x) und Q(x),

f(x) =P (x)

Q(x). (1.18)

Ihr Definitionsbereich ist R mit Ausnahme jener Punkte, an denen Q(x) eine Nullstelle

besitzt. Beispielsweise gilt fur

f(x) =5− 3 x + 4 x2

(x− 1)2(x + 2), x ∈ R \ {−2, 1} .

Oft ist es gunstig, den Bruch (1.18) auf eine einfachere Form zu bringen. Im Folgenden

wollen wir nur den Fall untersuchen, bei dem die hochste Potenz von P (x) im Zahler

kleiner oder gleich der hochsten Potenz von Q(x) im Nenner ist (andernfalls musste

man das folgende Schema leicht abandern).

Q(x) besitzt nur einfache Nullstellen. Sei

Q(x) = (x− x1)(x− x2) . . . (x− xN)

die Zerlegung des Polynoms Q(x), wobei samtliche Nullstellen xn voneinander

verschieden sind. Der Bruch (1.18) laßt sich dann in der Form

f(x) =P (x)

Q(x)=

C1

x− x1

+C2

x− x2

+ · · ·+ CN

x− xN

anschreiben, mit den Koeffizienten Cn die wie folgt bestimmt werden: man

bringt alle Terme auf der rechten Seite der obigen Gleichung auf den gemein-

samen Nenner Q(x) und wahlt die Koeffizienten Cn so, dass das resultierende

Polynom gleich P (x) ist. Dieses Schema wird auch als Partialbruchzerlegung

bezeichnet. Wir werden spater bei der Integration von Funktionen der Form

(1.18) sehen, dass so eine Zerlegung von großem Nutzen sein kann.

16

Beispiel 1.7— Betrachten wir die Zerlegung der Funktion

f(x) =2− x

(x− 1)(x + 1).

Gemaß unserer Vorschrift setzen wir an

f(x) =A

x− 1+

B

x + 1=

A(x + 1) + B(x− 1)

(x− 1)(x + 1).

Der Koeffizientenvergleich liefert dann A−B = 2 und (A + B)x =

−x, d.h. A = 12

und B = −32.

Q(x) besitzt eine zweifache Nullstelle. Sei x1 eine doppelte Nullstelle, d.h. sie

kommt bei der Zerlegung (1.15) von Q(x) zwei Mal vor, und x3, . . . xN seien

die weiteren Nullstellen. In diesem Fall setzen wir an

f(x) =P (x)

Q(x)=

C1

x− x1

+C2

(x− x1)2+

C3

x− x3

+ · · ·+ CN

x− xN

.

Hier enthalten in der Summe auf der rechten Seite die ersten beiden Ausdrucke

die Nullstelle x1. Die Koeffizienten Cn werden wiederum durch Koeffizienten-

vergleich bestimmt.

Beispiel 1.8— Zerlegt werden soll der Bruch

R(x) =5− 3 x + 4 x2

(x− 1)2(x + 2).

Wir setzen an

R(x) =A

x− 1+

B

(x− 1)2+

C

x + 2

=A(x− 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x− 1)2

(x− 1)2(x + 2).

Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir dann nach kurzer Zwi-

schenrechnung A = 1, B = 2 und C = 3.

Q(x) besitzt mehrfache Nullstelle. Das Verfahren laßt sich einfach auf mehrfache

Nullstellen erweitern. Im Folgenden wollen wir nicht naher darauf eingehen.

17

Aufgabe 1.19— Zerlegen Sie folgende Ausdrucke in die entsprechenden

Partialbruche:

(a)1

x2 − 4(b)

x + 1

x(x + 3)(x− 2)(c)

x

(x− 2)2

(e)x

x2 + 2 x + 1(f)

x2 + x + 1

x(x + 1)2(g)

x

(x− 1)2

Aufgabe 1.20— Skizzieren Sie die Funktion f(x) =1

(x + 2)2− 4 im

Intervall [−5, 5] und geben Sie den Definitionsbereich der Funktion an.

Aufgabe 1.21— Skizzieren Sie die Funktion f(x) = − 1

(x− 1)2− 10 im

Intervall [−5, 5] und geben Sie den Definitionsbereich der Funktion an.

Bestimmen Sie außerdem die Asymptoten.

1.2.5 Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten

Eine Potenzfunktion mit rationalem Exponenten laßt sich in der Form

f(x) = x1n = n

√x , n = 1, 2, . . . , x ∈ R+ (1.19)

anschreiben. Man sagt, dass n√

x die n-te Wurzel von x ist. Die Umkehrfunktion ist

entsprechend die zuvor eingefuhrte Potenzfunktion

f−1(y) = yn . (1.20)

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

f( x

) =

x1/

n

x1/2

x1/4

x1/6

x1/3

x1/5

x1/7

Abbildung 9: Wurzelfunktion f(x) = x1n fur n = 2, 3, . . . 7.

18

Aufgabe 1.22— Fur welchen Definitions- und Bildbereich ist x = yn die

Umkehrfunktion zu y = n√

x?

1.2.6 Exponentialfunktion und Logarithmus

Die Exponentialfunktion

f(x) = ex , x ∈ R (1.21)

spielt in der Physik eine wichtige Rolle. Hier ist e = 2.718281828 . . . die sogenannte

Eulersche Zahl. Die Exponentialfunktion ist die einzige Funktion, deren Ableitung

f ′(x) = ex (1.22)

gleich der Funktion selbst ist. In der Physik gibt es eine Reihe von Phanomenen

(Wachstum, Radioaktivitat, Zerfall), bei denen die Anderung einer Große proportional

zur Große selbst ist, und die somit durch die Exponentialfunktion beschrieben werden

konnen.

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist der Logarithmus

f(x) = ln(x) , x ∈ R+ . (1.23)

Es gilt offensichtlicherweise, dass eln(x) = x ist.

−3 −2 −1 0 1 2 3−10

−5

0

5

10

15

20

x

f( x

)

ExponentialfunktionLogarithmus

Abbildung 10: Exponentialfunktion und Logarithmus.

Die Exponentialfunktion wachst fur große Werte von x rascher an als jede Potenz-

funktion xn. Entsprechend wachst der Logarithmus langsamer an, als jede Funktion

x1n .

19

Aufgabe 1.23— Untersuchen Sie die Exponentialfunktion (a) bezuglich

ihres Monotonieverhaltens. (b) Ist die Funktionen gerade, ungerade, oder

weder noch? (c) Wie sehen ihre Asymptoten aus (falls vorhanden)?

Aufgabe 1.24— Wie vorige Aufgabe, aber fur Logarithmus. Wo besitzt

der Logarithmus eine Nullstelle, wo die Exponentialfunktion?

Es gibt eine Reihe von Rechenregeln fur die Exponentialfunktion und den Logarithmus,

von denen die wichtigsten lauten:

ea eb = ea+b ln(a) + ln(b) = ln(a b)ea

eb= ea−b ln(a)− ln(b) = ln

(a

b

)(ea)b = ea b ln

(ab)

= b ln(a)

Oft ist es nutzlich, ab durch Logarithmen und Exponentialfunktionen auszudrucken.

Mit a = eln a und unter Zuhilfenahme der obigen Rechenregeln erhalten wir dann

ab =(eln(a)

)b= eb ln(a) . (1.24)

Aufgabe 1.25— Stellen Sie folgende Ausdrucke als Logarithmus eines

einzigen Terms dar:

(a) ln 2 + ln a +1

2ln b (b) ln(1− x) + ln(1 + x)− 2 ln x

(c)1

2ln(x + 2)− 1

2ln(x− 2) (d) 3 ln x− 1

3(ln(x + 1) + ln(x− 1))

(e) 5 ln(x + 7)− 4 ln(x− 3) (f)1

3(4 ln x + 2 ln(x− y))− ln x

Aufgabe 1.26— Losen Sie die folgenden Gleichungen:

(a) ln(8x) + ln(3x) = ln 96 (b) e1 xx = e2x+1

1.2.7 Trigonometrische Funktionen

Zuletzt wollen wir noch die trigonometrischen Funktionen oder Winkelfunktionen un-

tersuchen. Sie treten in der Physik oft im Zusammenhang mit periodischen Bewegun-

gen auf, z.B. bei der Beschreibung der Pendelbewegung. Betrachten wir den Kreis

mit Radius r = 1 (Einheitskreis), der in Abb. 11 gezeigt ist. Wenn wir uns vom Punkt

20

φ0

π/2

π

3π/2

Abbildung 11: Einheitskreis.

(1, 0) auf der x-Achse beginnend auf dem Kreis gegen den Uhrzeigersinn bewegen,

so andert sich die Strecke, die wir dabei durchlaufen, von 0 [Punkt (1, 0)] nach π/2

[Punkt (0, 1)], π [Punkt (−1, 0)], 3π/2 [Punkt (0,−1)], bis wir schließlich bei 2π

wieder zuruck zum Punkt (1, 0) gelangen. Ein Punkt auf dem Kreis kann durch den

Winkel φ charakterisiert werden, wobei φ dem auf dem Bogen des Einheitskreises

zuruckgelegten Weg entspricht (Radians). Eine alternative Bezeichung ist das Grad,

wobei ein voller Kreisumlauf 360◦ entspricht. Einige Punkte auf dem Einheitskreis

und die zugehorigen Winkel sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt:

Punkt auf Einheitskreis Winkel in Radians Winkel in Grad

( 1, 0) 0 0◦

( 1, 1)/√

2 π4

45◦

( 0, 1) π2

90◦

(−1, 1)/√

2 3π4

135◦

(−1, 0) π 180◦

(−1,−1)/√

2 5π4

225◦

( 0,−1) 3π2

270◦

( 1,−1)/√

2 7π4

315◦

( 1, 0) 2π 360◦

Aufgabe 1.27— Wie rechnet man einen Winkel φ von Radians nach Grad

um? Wie von Grad nach Radians?

21

Im Folgenden wollen wir wann immer moglich die Winkelangabe in Radians und nicht

Grad machen. Die trigonometrischen Funktionen sind nun uber die in der folgenden

Abbildung gezeigten Zusammenhange definiert:

φ

cos(φ)

sin(φ)

tan(φ)

Abbildung 12: Definition des Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis.

Sei (x, y) der Punkt am Einheitskreis, der durch den Winkel φ charakterisiert ist: x

entspricht dann dem Cosinus cos(φ) und y dem Sinus sin(φ). Der Tangens tan(φ)

entspricht der Strecke auf der Gerade x = 1, die man zurucklegen muss, um zum

Schnittpunkt mit der Gerade zu gelangen, die durch die Punkte (0, 0) und (x, y) lauft.

Man kann zeigen, dass gilt

tan(φ) =sin(φ)

cos(φ), cot(φ) =

cos(φ)

sin(φ), (1.25)

wobei cot(φ) den Kotangens bezeichnet. Alle Winkelfunktionen sind auch fur Winkel

definiert, die nicht aus dem Intervall [0, 2π) stammen: hierbei muss man von φ sooft

2π abziehen bzw. sooft 2π zu φ addieren, bis der daraus resultierende Winkel in das

Intervall [0, 2π) fallt. Es gilt, dass der Sinus und Cosinus periodisch in 2π sind, und

dass der Tangens und Cotanges periodisch in π sind. Es gibt eine Reihe von Beziehun-

gen zwischen den trigonometrischen Funktionen, die in den meisten Formelbuchern

aufgelistet sind. Beispielsweise gilt (n bezeichnet hier eine ganze Zahl):

22

sin(−x) = − sin(x) cos(−x) = cos(x)

sin(x + 2nπ) = sin(x) cos(x + 2nπ) = cos(x)

sin(x + π) = − sin(x) cos(x + π) = − cos(x)

sin(x + π2) = cos(x) cos(x + π

2) = − sin(x)

tan(−x) = − tan(x) cot(−x) = − cot(x)

tan(x + nπ) = tan(x) cot(x + nπ) = cot(x)

Wir verweisen an dieser Stelle noch kurz auf die Umkehrfunktionen arcsin(x), arccos(x)

und arctan(x), die Arcussinus, Arcuscosinus und Arcustangens genannt werden (arcus

bedeutet auf lateinisch Bogen).

−2 −1 0 1 2−5

0

5

φ (π)

f( φ

)

sin(φ)cos(φ)tan(φ)cot(φ)

Abbildung 13: Die trigonometrische Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens.

Aufgabe 1.28— Zeigen Sie, dass sin2(φ) + cos2(φ) = 1 gilt.

Aufgabe 1.29— Berechnen Sie ohne Taschenrechner folgende Ausdrucke:

(a) sin π4, (b) cos π

4, (c) sin 5π

4, (d) cos 5π

4.

Aufgabe 1.30— Ist der (a) Sinus, (b) Cosinus, (c) Tangens eine gerade

oder ungerade Funktion, oder keines von beidem?

Aufgabe 1.31— Fuhren Sie die gegebenen Funktionswerte unter Anwen-

dung der oben angefuhrten Formeln auf Funktionswerte des Arguments

φ zuruck:

(a) sin(π2

+ φ) (b) cos(π + φ) (c) sin(3π2

+ φ)

(d) cos(−2π − φ) (e) sin(φ− π) (f) cos(φ− 3π2

)

23

2 Komplexe Zahlen

In vielen Fallen ist es gunstig, den Bereich der reellen Zahlen zu erweitern. Man fuhrt

dazu eine neue Art von Zahl ein und nennt sie die imaginare Einheit

i mit der Definition i2 = −1 . (2.1)

Man kann i in gewisser Weise als die Wurzel√−1 betrachten, auch wenn man

diese Form normalerweise vermeiden sollte, da sie leicht zu Missverstandnissen fuhrt.2

Betrachten wir zwei reelle Zahlen x ∈ R und y ∈ R. Mit Hilfe dieser beiden Zahlen

konnen wir eine komplexe Zahl

z = x + i y (2.2)

bilden, wobei man x als den Realteil und y als den Imaginarteil bezeichnet. Oft

schreibt man auch

x = Re(z) , y = Im(z) . (2.3)

Eine Zahl, deren Realteil gleich Null ist, bezeichnet man auch als imaginare Zahl.

Zwei komplexe Zahlen z1 = x1 + i y1 und z2 = x2 + i y2 sind dann und nur dann

gleich, wenn ihre beiden Realteile x1 = x2 und Imaginarteile y1 = y2 identisch sind.

2.1 Einfache Rechenoperationen komplexer Zahlen

2.1.1 Addition, Subtraktion und Multiplikation

Gegeben seien zwei komplexe Zahlen z1 = x1 + i y1 und z2 = x2 + i y2. Diese beiden

komplexen Zahlen konnen ebenso wie reelle Zahlen miteinander verknupft werden. So

gilt fur die Addition und Subtraktion

z1 + z2 = (x1 + i y1) + (x2 + i y2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

z1 − z2 = (x1 − i y1) + (x2 + i y2) = (x1 − x2) + i(y1 − y2) , (2.4)

dass die beiden Real- und Imaginarteile unabhangig voneinander addiert bzw. subtra-

hiert werden. Fur die Multiplikation der beiden komplexen Zahlen konnen wir direkt

auf die Definition (2.1) zuruckgreifen. Es gilt

2Folgende Rechnung etwa ist falsch: i2 =√−1√−1 =

√(−1)(−1) =

√1 = 1.

24

z1 · z2 = (x1 + i y1) · (x2 + i y2)

= x1 · x2 + i, x1 · y2 + i x2 · y1 + i2 · y1 y2

= (x1 · x2 − y1 · y2) + i(x1 · y2 + x2 · y1) . (2.5)

Beispiel 2.1— Gegeben seien die beiden Zahlen z1 = 3 + 2i und z2 =

2− 4i. Wir bilden nun

z1 + z2 = (3 + 2) + (2− 4)i = 5− 2i

z1 − z2 = (3− 2) + (2 + 4)i = 1 + 6i

z1 · z2 = (3 · 2− 2 · (−4)) + i(3 · (−4) + 2 · 2) = 14− 8i .

Aufgabe 2.1— Addieren, subtrahieren und multiplizieren Sie folgende

Zahlenpaare

(a) z1 = 3 + 4i, z2 = 7− 8i (b) z1 = −3− 4i, z2 = 2 + 8i

(c) z1 = x + i y, z2 = x− i y (b) z1 = cos x + i sin x,

z2 = cos x− i sin x.

2.1.2 Komplexe Konjugation, Absolutbetrag und Division

Fur komplexe Zahlen z fuhrt man die komplexe Konjugation ein, die ublicherweise mit

z∗ oder z bezeichnet wird. Bei dieser Operation invertiert man einfach den Imaginarteil

z∗ = x− i y . (2.6)

Komplex Konjugieren erlaubt es, den Absolutbetrag einer komplexen Zahl zu bestim-

men. Wir bilden zuerst das Produkt einer komplexen Zahl mit seiner konjugierten

z · z∗ = (x + i y)(x− i y) = x2 + y2 . (2.7)

Man erkennt sofort, dass der Imaginarteil verschwindet und das Ergebnis rein reell

ist. Wir definieren den Absolutbetrag einer komplexen Zahl als

|z| =√

z · z∗ =√

x2 + y2 . (2.8)

Weiter unten werden wir sehen, dass dieses Ergebnis auch geometrisch interpretiert

werden kann. Komplex konjugierte Zahlen konnen auch dazu benutzt werden, um

25

den Quotienten z1/z2 zweier komplexer Zahlen zu bestimmen. Dazu erweitern wir

den Bruch mit 1 = z∗/z∗,

z1

z2

=z1

z2

· z∗2z∗2

=z1 · z∗2|z2|2

. (2.9)

Beispiel 2.2— Gegeben seien die beiden Zahlen z1 = 3+2i und z2 = 2−4i, deren Quotient zu bestimmen ist. Wir berechnen |z2|2 = 4 + 16 = 20

und z1 · z∗2 = (3 + 2i)(2 + 4i) = −2 + 16i. Es gilt also

z1

z2

=−2 + 16i

20.

Aufgabe 2.2— Bestimmen Sie die Quotienten der in Aufgabe 2.1 ange-

gebenen Zahlenpaare.

Aufgabe 2.3— Benutzen Sie z und z∗ um den Realteil x = Re(z) bzw.

Imaginarteil y = Im(z) einer beliebigen komplexen Zahl z auszudrucken.

2.2 Komplexe Zahlenebene

Komplexe Zahlen z = x+iy konnen in einer komplexen Ebene dargestellt werden, wo-

bei man den Realteil x und den Imaginarteil y zu einem Punkt (x, y) zusammenfugt.

φ

z = x + i y

r cos(φ)

r sin(φ)

r = |z|

x

y

Abbildung 14: Darstellung einer komplexen Zahl z in der komplexen Ebene.

26

In dieser Auftragung folgt der Zusammenhang |z|2 = x2 + y2 offensichtlich aufgrund

des Satzes von Pythagoras. In der Figur haben wir auch den Winkel φ und den Betrag

r = |z| eingefuhrt. Es gilt x = r cos φ und y = r sin φ und somit

z = x + i y = r (cos φ + i sin φ) . (2.10)

Die Darstellungen einer komplexen Zahl durch Real- und Imaginarteil x und y bzw.

durch Betrag r und Winkel φ sind identisch. Es ist eine Geschmacksfrage, welche der

beiden Darstellungen wir wahlen.

Aufgabe 2.4— Stellen Sie folgende Zahlen in der komplexen Zahlenebene

dar

(a) 1 + 2i (b) 1− 2i

(c) −1 + 2i (d) −1− 2i

(e) i, i2, i3, i4 (f) cos π4

+ i sin π4

2.2.1 Eulersche Formel

Wir wollen nun die Eulersche Formel

cos φ + i sin φ = eiφ (2.11)

einfuhren, die eine ungemein wichtige Rolle in der Mathematik und Physik spielt. In

der spateren Vorlesung Mathematische Methoden 1 werden Sie diese Formel bewei-

sen. Das Besondere an Glg. (2.11) ist, dass sie die Exponentialfunktion (mit ima-

ginarem bzw. komplexem Argument) mit der Sinus- und Cosinusfunktion verknupft.

Um die Bedeutung der Eulerschen Formel zu verstehen, wollen wir eine Schwingung

mit der Schwingungsperiode T betrachten. Die Kreisfrequenz

ω =2π

T(2.12)

charakterisiert dann die Schwingungsfrequenz ν = 1/T , wobei ω = 2πν gilt. Wir

konnen eine Schwingung als Funktion der Zeit t in der einfachen Form

z(t) = A eiωt (2.13)

darstellen, mit A einer Konstante, die die Schwingungsamplitude bestimmt. Die

tatsachliche Auslenkung des schwingenden Systems, beispielsweise eines Pendels, er-

halten wir, indem wir nun den Realteil Re[z(t)] = A cos ωt von Glg. (2.13) wahlen.

27

Wir werden im Folgenden sehen, dass die Form (2.13) besonders gunstig ist, wenn

wir die Uberlagerung mehrerer Schwingungen betrachten.

Bevor wir uns dieser Betrachtung zuwenden, wollen wir noch etwas genauer untersu-

chen was passiert, wenn sich in eiφ das Argument φ andert. Hierbei greifen wir auf

unsere vorhergehende Diskussion der trigonometrischen Funktionen und des Einheits-

kreises zuruck.

φ 0

π/2

π

3π/2

eiφ = cosφ + i sinφ

Abbildung 15: Darstellung von eiφ in der komplexen Ebene.

Wie aus der Abbildung ersichtlich, liegen die komplexen Zahlen eiφ auf dem Einheits-

kreis in der komplexen Ebene. Bei φ = 0 liegt der Punkt bei z = 1. Mit zunehmendem

φ lauft der Punkt gegen den Urzeigersinn entlang des Einheitskreises, wobei bei φ = π2

der Punkt i, bei φ = π der Punkt −1, bei φ = 3π2

der Punkt −i und bei φ = π

schließlich wieder der Punkt 1 durchlaufen werden. Hohere Werte von π beschreiben

ebenso wie bei den triginometrischen Funktionen dieselben Punkte am Einheitskreis.

Die Schwingung eiωt ist demzufolge eine periodische Bewegung in der komplexen

Ebene. Nehmen wir an, dass sich das schwingende System zum Zeitpunkt 0 an der

Stelle z = 1 befindet. Nach der Zeit t = T ist das Argument der Exponentialfunktion2πT

T = 2π und das System somit in den ursprunglichen Punkt z = 1 zuruckgekehrt.

Im nachsten Zyklus t ∈ [2π, 4π) durchlauft es dann nochmals den Einheitskreis.

Die tatsachliche, physikalische Bewegung erhalten wir, indem wir wie bereits erwahnt

den Realteil der komplexen Zahl eiωt heranziehen. Geometrisch gesprochen bedeutet

dies, dass wir den Punkt in Fig. 15 auf die x-Achse projezieren. Man erkennt leicht,

dass die so projezierte Kreisbewegung einer Cosinusartigen Schwingung entspricht. In

28

spateren Teilen dieser Vorlesung werden wir die Vorteile dieser Beschreibung in der

komplexen Ebene schatzen lernen.

Aufgabe 2.5— Gegeben sei eine komplexe Zahl z = r eiφ, mit reellen

Zahlen r und φ. Wie sieht die entsprechende Euler-Darstellung fur das

komplex Konjugierte z∗ aus?

Aufgabe 2.6— Bestimmen Sie Betrag r und Phase φ folgender komplexer

Zahlen

(a) 1 (b) i (c) −1

(d) i (e) 1 + 1i (f) 1− 1i

(g) −1 + 1i (h) −1− 1i (i) −1 + 2i

(j) −1 + 3i (k) 2 + 4i (l) 3− 2i

Aufgabe 2.7— Was passiert, wenn die Konstant A in Glg. (2.13) eine

komplexe Zahl ist? Tipp: stellen Sie A in der Polarform r eiφ dar und

addieren Sie die Argumente der beiden Exponentialfunktionen. Welche

Bewegung beschreibt Re[r eiφeiωt] ?

2.2.2 Produkte trigonometrischer Funktionen

Um ein bisschen Ubung mit der Eulerschen Formel zu erlangen, wollen wir einige

nutzliche Formeln fur trigonometrische Funktionen herleiten. Die Vorgansweise ist

extrem einfach. Betrachten wir zwei komplexe Zahlen z1 = eiφ1 und z2 = eiφ2 mit dem

Betrag Eins. Das Produkt dieser beiden Zahlen ist offensichtlich z1 · z2 = eiφ1 · eiφ2 =

ei(φ1+φ2). Es gilt also

eiφ1 eiφ2 = (cos φ1 + i sin φ1) (cos φ2 + i sin φ2) =

ei(φ1+φ2) = cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2) .

Damit diese Gleichung erfullt ist, mussen der Realteil und der Imaginarteil beider

Seiten gleich sein. Wir erhalten somit

cos(φ1 + φ2) = cos φ1 cos φ2 − sin φ1 sin φ2

sin(φ1 + φ2) = cos φ1 sin φ2 + sin φ1 cos φ2 . (2.14)

29

Aufgabe 2.8— Beweisen Sie folgende Formeln

(a) sin(x + y) sin(x− y) = cos2 y − cos2 x

(b) cos(x + y) cos(x− y) = cos2 y − sin2 x

(c) sin x sin y = 12[cos(x− y)− cos(x + y)]

(d) cos x cos y = 12[cos(x− y) + cos(x + y)]

(e) sin x cos y = 12[sin(x− y)− sin(x + y)]

2.2.3 Uberlagerte Schwingungen

Betrachten wir zwei Quellen S1 und S2, die Licht mit derselben Frequenz ω aussenden.

Quelle S1

Quelle S2

eiω t

ei(ω t+φ)

Beobachter

Abbildung 16: Zwei Quellen S1 und S2 senden Licht mit derselben Kreisfrequenz ω aus.

Aufgrund des Gangunterschiedes zwischen S1 und S2 und dem Beobachter kommt ein

Lichtstrahl mit einer gewissen Phasenverschiebung φ an.

Das Licht wird von einem Beobachter empfangen, der die Uberlagerung der beiden

Lichtquellen sieht. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass das empfangene Signal

die Form

z(t) = A(eiωt + ei(ωt+φ)

)(2.15)

hat. Hier beschreibt φ die Phasenverzogerung, die durch den langeren Weg von S2

zum Beobachter resultiert. Wir wollen nun die Intensitat |z(t)|2 des vom Beobachter

empfangenen Lichtsignals bestimmen. Hierzu multipliziern wir z in Glg. (2.15) mit

dem komplex Konjugierten z∗. Wir finden

z z∗ = Aeiωt(1 + eiφ

)Ae−iωt

(1 + e−iφ

)= A2

(2 + eiφ + e−iφ

).

Nach einfacher Umformung erhalten wir

|z(t)|2 = 2A2 (1 + cos φ) . (2.16)

30

Gleichung (2.16) ist ein wichtiges Ergebnis. Es zeigt, dass abhangig vom Gangun-

terschied φ die Intensitat zwischen 0 und 4 variiert. In Experimenten ersetzt man

ublicherweise die beiden Quellen durch einen Spalte in einem Schirm, auf den Laser-

licht auftrifft. Die Offnungen dieses sogenannten Doppelspaltes ersetzen die beiden

Quellen. Anstelle des Beobachters benutzt man einen Schirm. Tatsachlich zeigt die

Intensitatsverteilung auf dem Schirm einen oszillierenden Verlauf und beweist somit

die wellenformige Natur von Licht.

Aufgabe 2.9— Zeigen Sie, dass gilt

(a) cos x = 12(eix + e−ix) (b) sin x = 1

2i(eix − e−ix)

Aufgabe 2.10— Skizzieren Sie den Intensitatsverlauf der Funktion in

Glg. (2.16).

31

3 Differentialrechnung

In vielen Fallen ist man nicht an der Funktion selbst sondern an der Anderung der

Funktion interessiert. Beispielsweise konnen wir im Fall der Wurfparabel fragen, welche

Geschwindigkeit v das Teilchen nach einer gewissen Zeit besitzt. Die Geschwindigkeit

ist die Anderung des Ortes ∆z in einem Zeitintervall ∆t, d.h.

v(t) =∆z

∆t=

z(t + ∆t)− z(t)

∆t. (3.1)

Im Prinzip mussen wir in Glg. (3.1) aufpassen, da die Geschwindigkeit davon abhangt,

wie groß wir unser Zeitintervall ∆t wahlen. In den Mathematischen Methoden 1 wird

gezeigt werden, dass fur genugend kleine ∆t die Geschwindigkeit v(t) einen Grenzwert

erreicht, der von der Große von ∆t unabhangig ist. Das ist auch in der Abb. 17

gezeigt, wo v(t) aus der Glg. (1.1) fur verschiedene Werte von ∆t gezeigt ist: mit

abnehmendem ∆t nahert sich die aus Glg. (3.1) berechnete Geschwindigkeit immer

mehr dem exakten Wert an. Wir werden fur den Grenzubergang den Ausdruck

lim∆t→0

z(t + ∆t)− z(t)

∆t=

dz(t)

dt(3.2)

verwenden, und diesen die Ableitung von z(t) nach t nennen.

0 1 2 3 4−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

t

v( t

)

exakt∆ t=1∆ t=0.5∆ t=0.1

Abbildung 17: Geschwindigkeit, die aus der Wurfparabel (1.1) unter Zuhilfenahme des

Differenzenquotienten (3.1) fur verschiedene Zeitintervalle ∆t berechnet wurde.

In der Physik sind viele Gesetze in Form von Ableitungen gegeben. So lauten bei-

spielsweise die Newtonschen Bewegungsgleichungen

dz(t)

dt= v(t) , m

dv(t)

dt= F . (3.3)

32

0 5 10 15 20−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

t

z( t

)

f=0f=0.1

Abbildung 18: Bewegung eines Teilchens unter Einwirkung der Federkraft −kz und der

Reibungskraft −fv. In der Rechnung wurde m = 1, k = 1 und ∆t = 0.1 gewahlt.

Die erste Gleichung definiert die Geschwindigkeit als zeitliche Anderung des Ortes. Die

zweite Gleichung besagt, dass die Anderung des Impulses mv durch die am Teilchen

angreifenden Kraft F bestimmt ist. Auch in der Elektrodynamik und in der Quan-

tenmechanik werden Sie lernen, dass die grundlegenden Gleichungen in der Form von

Ableitungen gegeben sind.

Numerische Losung von Differentialgleichungen

Bevor wir uns der Frage zuwenden, wie man Ableitungen der Form (3.2) bestimmt,

wollen wir noch kurz ein Verfahren vorstellen, das man in der Losung von Gleichungen

der Form (3.3) am Computer verwenden kann. Wenn wir in der Glg. (3.3) anstelle der

Ableitungen die Differenzenform (3.1) nehmen, wobei ∆t genugend klein sein soll, so

erhalten wir

z(t + ∆t)− z(t)

∆t= v(t)

mv(t + ∆t)− v(t)

∆t= F .

Nehmen wir an, wir kennen den Ort z(0) und die Geschwindigkeit v(0) zum Zeitpunkt

0. Wir konnen dann den Ort und die Geschwindigkeit zu einem spateren Zeitpunkt

berechnen, indem wir die obige Gleichung nach z(t + ∆t) und v(t + ∆t) auflosen,

z(t + ∆t) = z(t) + ∆t v(t)

v(t + ∆t) = v(t) + ∆tF

m.

33

Betrachten wir die Kraft F = −kz−fv mit k der Feder- und f der Reibungskonstan-

te. Der erste Beitrag −kz beschreibt eine Federkraft, wobei das Teilchen zum Punkt

z = 0 zuruckgezogen wird, und zwar umso starker je weiter es sich von z = 0 entfernt.

Der Beitrag −fv beschreibt eine Reibungskraft, bei der die Bewegung des Teilchens

gedampft wird, und zwar umso mehr je schneller das Teilchen ist. Als Anfangsbedin-

gungen wahlen wir z(0) = 1 und v(0) = 1 (Teilchen ausgelenkt und in Ruhe) und

setzen der Einfachheit halber m = 1 und k = 1. Abb. 18 zeigt die numerische Losung

der Bewegungsgleichungen. In Abwesenheit von Reibung, f = 0, schwingt das Teil-

chen zwischen den Exptrempositionen z = 1 und z = −1. Eine genauere Analyse der

Losung zeigt, dass sich der Ort bezuglich cos(t) andert. In Anwesenheit von Reibung

wird die Bewegung gedampft, die zugehorige Funktion ist naherungsweise von der

Form e−f2t cos(t).

3.1 Ableitung elementarer Funktionen

Im Folgenden wollen wir kurz die wichtigsten Differentiationsregeln vorstellen. Be-

trachten wir eine konstante Funktion y = c, wobei c eine beliebige Konstante ist. Die

Funktion hangt nicht von x ab, und demzufolge ist ihre Anderung bei Anderung von

x gleich Null. Die Ableitung konstanter Beitrage ist demzufolge Null,

f(x) = c , f ′(x) = 0 , (3.4)

wobei wir die Kurzschreibweise f ′(x) = dfdx

eingefuhrt haben. Betrachten wir als

nachstes die Gerade f(x) = kx + d. Nach unser Vorschrift (3.1) erhalten wir

f ′(x) =

(k(x + ∆x) + d

)−(kx + d

)∆x

= k . (3.5)

Die Ableitung der linearen Form (1.13) ist konstant und gleich der Steigung der

Gerade. Bisher waren die Beispiele einfach. Wir wollen die Vorgehensweise bei kom-

plizierteren Funktion anhand von f(x) = x2 skizzieren. Setzen wir wie gewohnt den

Differenzenquotienten an,

f ′(x) =(x + ∆x)2 − x2

∆x= 2x + ∆x ,

wobei wir die quadratische Form im Zahler aufgelost haben. Der entscheidende Punkt

ist nun der Grenzubergang lim∆x→0, von dem wir zuvor gesprochen haben. Wenn wir

diesen machen, so verschwindet der zweite Term in der obigen Gleichung, und wir

erhalten

f(x) = x2 , f ′(x) = 2 x . (3.6)

34

Aufgabe 3.1— Leiten Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten (3.1) und

der Grenzwertbildung ∆x → 0 die Ableitung der Funktion x3 her.

Im Prinzip kann man bei den weiteren elementaren Funktionen aus dem vorigen Ka-

pitel genauso vorgehen, und Sie werden in den Mathematischen Methoden 1 mehr

daruber lernen. Hier wollen wir nur die wichtigsten Ergebnisse prasentieren.

Um die Ableitung einer Funktion zu bilden, muss folgendes gelten.

� Definitionsbereich. Die Stelle x, an der die Funktion abgeleitet wird, muss zum

Definitionsbereich gehoren, d.h. x ∈ D.

� Funktion stetig. Die Funktion muss an der Stelle x stetig sein. Beispielsweise

kann die Stufenfunktion (1.12) an der Stelle x = 0 nicht abgeleitet werden.

� Funktion glatt. Die Funktion muss an der Stelle x genugend glatt sein, d.h.

sie darf keinen Knick haben. Diese Bedingung ist so etwas wie eine Stetigkeits-

bedingung fur die Ableitung: f ′(x) darf nicht davon abhangen, wie man ∆x

gegen Null gehen lasst.

Gelten die obigen Bedingungen, so kann eine Funktion abgeleitet werden. Die Ablei-

tungen der elementaren Funktionen lauten:

Funktion abgeleitete Funktion Bemerkung

f(x) = c f ′(x) = 0 konstante Funktion

f(x) = kx f ′(x) = k lineare Form

f(x) = xn f ′(x) = n xn−1 Potenzfunktion

f(x) = 1xn f ′(x) = − n

xn+1 rationale Funktion

f(x) = xc , c ∈ R f ′(x) = c xc−1

f(x) = ex f ′(x) = ex Exponentialfunktion

f(x) = ln(x) f ′(x) = 1x

Logarithmus

f(x) = sin(x) f ′(x) = cos(x) Sinus

f(x) = cos(x) f ′(x) = − sin(x) Cosinus

35

3.2 Differentiationsregeln

Meist mussen wir Ausdrucke ableiten, die aus elementaren Funktionen zusammenge-

setzt sind. Um solche Ableitungen durchzufuhren, gibt es eine Reihe von Differentia-

tionsregeln. Im Folgenden soll gelten, dass f(x), g(x) und h(x) beliebige Funktionen

sind, und c eine Konstante ist. Es laßt sich dann zeigen (siehe Mathematische Me-

thoden 1), dass folgende Regeln gelten

Funktion abgeleitete Funktion Bemerkung

g(x) = c f(x) g′(x) = c f ′(x)

h(x) = f(x) + g(x) h′(x) = f ′(x) + g′(x) Summenregel

h(x) = f(x)g(x) h′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x) Produktregel

h(x) = f(g(x)) h′(x) = f ′(g(x)) g′(x) Kettenregel

Im Prinzip kann jede Funktion abgeleitet werden, indem man die obigen Regeln sorg-

sam anwendet. Wir wollen einige Beispiele untersuchen:

Beispiel 3.1— Gegeben sei der Ausdruck

f(x) = sin(x) + 2 x12 .

Mit Hilfe der Summenregel erhalten wir

f ′(x) =(sin(x)

)′+(2 x12

)′= cos(x) + 2

(x12)′

= cos(x) + 24 x11 .

Beispiel 3.2— Gegeben sei der Ausdruck

f(x) = sin(x2) .

Wir benutzen zuerst die Kettenregel und leiten erst dann die innere Funk-

tion x2 ab,

f ′(x) = cos(x2)(x2)′

= cos(x2) 2x .

Beispiel 3.3— Gegeben sei der Ausdruck

f(x) = cos(ex2

+ 3 x) .

Wir beginnen zuerst mit der Kettenregel und leiten erst dann die innere

Funktion ex2+ 3 x ab. Bei der Ableitung der Exponentialfunktion leiten

36

wir wiederum zuerst die Exponentialfunktion ab, und bilden danach die

Ableitung des Exponenten x2 (wenn es Ihnen leichter fallt, konnen Sie

anstelle von ex auch exp(x) schreiben). Es folgt

f ′(x) = − sin(ex2

+ 3 x)(ex2

+ 3 x)′

= − sin(ex2

+ 3 x)(ex2

(x2)′ + 3)

= − sin(ex2

+ 3 x)(ex2

2x + 3)

.

Aufgabe 3.2— Oft fuhrt man noch zusatzlich die Quotientenregel

h(x) =f(x)

g(x), h′(x) =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)(g(x)

)2ein. Leiten Sie die Quotientenregel mit Hilfe der Produktregel ab, indem

Sie h(x) = f(x)(g(x)

)−1

verwenden.

Aufgabe 3.3— Benutzen Sie die Quotientenregel zur Ableitung der Funk-

tion

tan(x) =sin(x)

cos(x).

Aufgabe 3.4— Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen

(a) cos(x) + x2 + 3 x4 +5

x2(b) 2

√x + 3 x3

(c) cos(cos(ex)

)(d) sin

(sin(esin(x))

)(e)

√x2 + 6 x + 3 (f) ln

(x2 + cos(3x)

)(g)

cos(3x2 + x)

sin(x2)(h)

ecos(x)

tan(3x)

Aufgabe 3.5— Bestimmen Sie die Ableitung von

h(x) =(f(x)

)g(x).

3.3 Hohere Ableitungen

Eine Funktion, die bereits einmal abgeleitet wurde, ist eine Funktion f ′(x) von x,

die selbst nun wiederum nach x abgeleitet werden kann. Voraussetzung ist wie zuvor,

37

dass f ′(x) an der Stelle x stetig und genugend glatt sein muss. Die zweite Ableitung

lasst sich als

f ′′(x) =d2 f(x)

dx2(3.7)

anschreiben. Es gibt auch noch hohere Ableitungen, wie z.B. die dritte Ableitung

f ′′′(x), die in manchen Fallen benotigt werden.

Die erste und zweite Ableitung konnen geometrisch wie folgt interpretiert werden

(siehe Abb. 19). Die erste Ableitung gibt die Steigung k = f ′(x) der Gerade, die die

Kurve an der Stelle x tangiert. Diese Gerade wird auch als Tangente bezeichnet. Die

zweite Ableitung bestimmt den Krummungsradius des Kreises, der sich an der Stelle

x an die Kurve anschmiegt. Es gilt, dass der Krummungsradius umso großer ist, je

kleiner f ′′(x) ist, d.h. der Krummungsradius und die zweite Ableitung sind zueinander

umgekehrt proportional. Wir werden die zweite Ableitung und deren geometrische

Interpretation in der folgenden Kurvendiskussion benotigen.

0 1 2 3 4 5−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

f( x

)

f(x)TangenteKrümmung

Abbildung 19: Geometrische Interpretation der ersten und zweiten Ableitung einer Funktion.

Die erste Ableitung an der Stelle x gibt die Steigung der Tangente an die Kurve, die zweite

Ableitung bestimmt den Krummungsradius R (eine kleine Ableitung f ′′(x) bedeutet einen

großen Radius R und umgekehrt).

3.4 Kurvendiskussion

Die Kurvendiskussion ist die Zusammenfassung aller bisher besprochener Eigenschaf-

ten einer Funktion. Ublicherweise beinhaltet sie folgende Punkte.

� Definitionsmenge. Die Definitionsmenge D bestimmt, fur welche Werte von x

die Funktion definiert ist. Beispielsweise hat die Funktion 1x

die Definitionsmenge

38

D = R \ {0}.

� Symmetrie (falls gefordert). Manchmal ist es nutzlich zu untersuchen, ob eine

Funktion gerade oder ungerade ist.

� Nullstellen. Die Nullstellen sind jene Punkte, an denen die Funktion die x-Achse

schneidet, d.h., an denen f(x) = 0 gilt. Beispielsweise hat die Funktion x2 − 1

die Nullstellen (1, 0) und (−1, 0)

� Asymptoten. Die Asymptoten sind jene Geraden, an die sich die Funktion fur

bestimmte x-Werte oder fur große x-Werte annahert. Beispielsweise besitzt die

Funktion 1x

die Asymptoten x = 0 (fur |x| → 0) und y = 0 (fur x → ±∞).

� Extremwerte. Die Extremwerte einer Funktion sind jene Punkte, an denen die

Tangente an die Kurve die Steigung Null besitzt, d.h., an denen f ′(x) = 0

gilt. Beispielsweise besitzt die Funktion f(x) = x2 − 2x die erste Ableitung

f ′(x) = 2x− 2, die fur x = 1 Null ist. Die Funktion besitzt daher an der Stelle

(1,−1) einen Extrempunkt.

Die Art des Extremwertes bestimmt man, indem man die zweite Ableitung an

der Stelle des Extremwertes berechnet. Es gilt

f ′′(x) < 0 . . . Maximum,

f ′′(x) > 0 . . . Minimum,

f ′′(x) = 0 . . . Sattelpunkt.

Diese Zuordnung basiert auf der zuvor besprochenen geometrischen Interpreta-

tion der zweiten Ableitung als Krummung der Kurve (eine positive Krummung

entspricht einer konkaven Kurve, eine negative einer konvexen). Ein Sattel-

punkt ist ein Punkt, den man im Prinzip noch genauer untersuchen sollte. Im

Folgenden wollen wir Sattelpunkte als solche anfuhren, ohne sie genauer zu

untersuchen. In unserem obigen Beispiel der Funktion f(x) = x2 − 2x ist die

zweite Ableitung f ′′(x) = 2, d.h. bei dem Extremwert handelt es sich um ein

Minimum.

� Wendepunkte. Die Wendenpunkte sind jene Punkte, an denen die zweite Ab-

leitung gleich Null ist, d.h. f ′′(x) = 0. An diesen Stelle schneidet die Tangente

die Kurve. Das sind jene Punkte, an denen f ′(x) einen Extremwert besitzt.

39

� Graph. Der Graph einer Funktion ist die grafische Darstellung des Funktions-

verlaufes. Man erstellt ihn am besten, indem man zuerst die Nullstellen, Ex-

tremwert, Wendepunkte und Asymptoten einzeichnet und danach, falls notig,

noch ein paar zusatzliche Punkte berechnet.

Beispiel 3.4—

Diskutiert werden soll die Funktion

f(x) =x2 − 4

x2 − 1=

(x− 2)(x + 2)

(x− 1)(x + 1).

Die erste Ableitung lautet unter Benutzung der Quotientenregel

f ′(x) =2x(x2 − 1)− 2x(x2 − 4)

(x2 − 1)2=

6x

(x2 − 1)2,

die zweite Ableitung berechnet sich zu

f ′′(x) =6(x2 − 1)2 − 6x 2(x2 − 1)2x

(x2 − 1)4=

6(x2 − 1)((x2 − 1)− 4x2

)(x2 − 1)4

= −6(x2 − 1)(3x2 + 1)

(x2 − 1)4.

Nun beginnen wir unsere Kurvendiskussion.

� Definitionsmenge. D = R \ {−1, 1}.

� Symmetrie. f(x) = f(−x), die Funktion ist gerade.

� Nullstellen. NS (−2, 0), (2, 0).

� Asymptoten. x = −1, x = 1, y = 1.

� Extremwerte. Die erste Ableitung ist an der Stelle x = 0 gleich Null.

Die zweite Ableitung an dieser Stelle ist −6(−1)(1) = 6, es handelt

sich also um ein Minimum. Minimum (0, 4).

� Wendepunkte. Die zweite Ableitung ist dann Null, wenn entweder

x2 − 1 oder 3x2 + 1 gleich Null ist. Der zweite Ausdruck kann fur

reelle Zahlen nie Null werden. Der erste Ausdruck ist fur x = ±1

Null. Diese Werte gehoren nicht zum Definitionsbereich, es gibt also

keine Wendepunkte.

40

−5 0 5−10

−5

0

5

10

x

f( x

)

f(x)AsymptoteNSEW

Abbildung 20: Graph der Funktion f(x) = (x2 − 4)/(x2 − 1).

� Graph. Schließlich erstellen wir den Graphen der Funktion, indem wir

zuerst die Asymptoten, Nullstellen und Extremwerte einzeichnen.

Danach skizzieren wir den ungefahren Verlauf des Graphen. Eine

exakte Berechnung liefert die Abbildung 20.

Bei Kurvendiskussionen ist es wichtig, dass man die Asymptoten, Nullstellen, Extrem-

werte und Wendepunkte nicht nur ausrechnet sondern auch als solche kennzeichnet

(z.B. unter Verwendung der Abkurzungen NS, EW und WP). Versuchen Sie, dies in

den folgenden Aufgaben immer einzuhalten.

Aufgabe 3.6— Bestimmen Sie fur die Funktion

f(x) =x3

2+ x2 − 2x

den Definitionsbereich, die Nullstellen, die Extremwerte, und skizzieren

Sie die Funktion.

Aufgabe 3.7— Bestimmen Sie fur die Funktion

f(x) =2x− 3

x2 − 3x + 2

den Definitionsbereich, die Asymptoten, die Nullstellen und die Extrem-

werte, und skizzieren Sie die Funktion.

Aufgabe 3.8— Bestimmen Sie die Nullstellen und Extremwerte der Funk-

tion f(x) = ex sin(x) im Bereich [−2π, 2π].

41

4 Integralrechnung

Sei die Funktion f(x) gegeben, von der wir wissen, dass sie die Ableitung einer anderen

Funktion F (x) ist. Wie konnen wir aus der Kenntnis der Ableitung f(x) wieder die

ursprungliche Funktion F (x) erhalten? Mit dieser Fragestellung beschaftigt sich die

Integralrechnung. Wir schreiben∫f(x) dx = F (x) + C . (4.1)

Hier bedeutet∫

f(x) dx die Integration der Funktion f(x), F (x) ist die sogenannte

Stammfunktion, und C eine Konstante. Diese Konstante ist notig, da beim Ableiten

der StammfunktiondF (x)

dx= f(x) (4.2)

konstante Beitrage C verloren gehen, weil (C)′ = 0. In gewisser Weise ist die Inte-

gration die Umkehrfunktion zur Differentiation.

Die Integration in Glg. (4.1) wird auch als unbestimmte Integration bezeichnet. Im

Gegensatz hierzu gibt es auch die bestimmte Integration∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a) , (4.3)

wobei a und b die Integrationskonstanten sind. Die geometrische Interpretation der

Integration ist die Flache, die von der Funktion f(x) und der x-Achse im Intervall

[a, b] eingeschlossen wird.

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

a

b

x

f( x

)

∫ab f(x) dx

Abbildung 21: Geometrische Interpretation des bestimmten Integrals, das der Flache ent-

spricht, die von der Funktion f(x) (durchgezogene Linie) und der x-Achse im Intervall [a, b]eingeschlossen wird.

42

Die Integration spielt in der Physik eine wichtige Rolle. Wie am Beginn der vorigen

Kapitels diskutiert, sind viele physikalische Gesetze in der Form von Differentialglei-

chungen angegeben (Newtonsche Mechanik, Elektrodynamik, . . . ). Die zugehorigen

Losungen erhalt man demnach durch Integration dieser Gleichungen (beispielswei-

se durch das numerische Losungsverfahren aus dem vorigen Kapitel). Wann immer

moglich ist es gunstig, wenn man die Stammfunktion explizit bestimmen kann.

Im Gegensatz zur Differentiation, bei der sich jede Funktion unter Verwendung der

im vorigen Kapitel angefuhrten Regeln ableiten laßt, konnen nicht alle Funktionen

integriert werden. Oft konnen sogar nur relativ wenige Funktionen in geschlossener

Form, d.h. unter Angabe der Stammfunktion F (x), integriert werden. Auch gibt es

keine klaren Regeln, wie man ein Integral berechnen soll. Im Folgenden wollen wir

einige Regeln prasentieren, die man beim Losen von Integralen benutzen kann. Im

Laufe Ihres Studiums werden Sie noch weitere kennenlernen.

4.1 Integration elementarer Funktionen

Die Integration der elementaren Funktionen ist relativ einfach. Nachdem wir wissen,

wie die abgeleiteten Funktionen aussehen, mussen wir uns einfach die entsprechenden

Stammfunktionen suchen. Wir erhalten:

Funktion Stammfunktion Bemerkung

f(x) = c F (x) = cx konstante Funktion

f(x) = kx F (x) = 12kx2 lineare Form

f(x) = xn F (x) = xn+1

n+1Potenzfunktion

f(x) = xc, c ∈ R \ {−1} F (x) = xc+1

c+1

f(x) = 1xn , n 6= 1 F (x) = − 1

(n−1)xn−1 rationale Funktion

f(x) = 1x

F (x) = ln(x)

f(x) = ex F (x) = ex Exponentialfunktion

f(x) = sin(x) F (x) = − cos(x) Sinus

f(x) = cos(x) F (x) = sin(x) Cosinus

Aufgabe 4.1— Uberprufen Sie die obige Tabelle, indem Sie jeweils die

Stammfunktion ableiten.

43

4.2 Integrationsregeln

Im Folgenden wollen wir die wichtigsten Integrationsregeln vorgestellt. Einige von

ihnen folgen direkt aus den Differentiationsregeln.

� Multiplikation mit Konstante.

Es gilt offensichtlicherweise∫cf(x) dx = c

∫f(x) dx , (4.4)

wobei c eine Konstante ist.

� Integration von f ′(x).

Fur die Integration einer abgeleiteten Funktion gilt, wie eingangs besprochen,∫f ′(x) dx = f(x) + C . (4.5)

� Summenregel.

Die Integration einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der inte-

grierten Funktionen,∫ (f(x) + g(x)

)dx =

∫f(x) dx +

∫g(x) dx . (4.6)

� Partielle Integration.

Aus der Produktregel der Differentiation folgt, dass∫f(x)g(x) dx = f(x)G(x)−

∫f ′(x)G(x) dx , (4.7)

wobei G(x) die Stammfunktion von g(x) ist.

Beispiel 4.1— Integriert werden soll∫

x ex dx. Wir setzen f(x) =

x und g(x) = ex, wobei f ′(x) = 1 und G(x) = ex gilt. Unter

Anwendung der partiellen Integration erhalten wir∫x ex dx = xex −

∫ex dx = (x− 1)ex + C .

Beispiel 4.2— Integriert werden soll∫

ln(x)dx. Wir setzen f(x) =

ln(x) und g(x) = 1, wobei f ′(x) = 1x

und G(x) = x gilt. Unter

Anwendung der partiellen Integration erhalten wir∫ln(x) = x ln(x)−

∫1

xx dx = x ln(x)− x + C .

44

Beispiel 4.3— Integriert werden soll∫

cos2(x)dx. Wir setzen f(x) =

cos(x) und g(x) = cos(x), wobei f ′(x) = − sin(x) und G(x) =

sin(x) gilt. Anwenden der Produktregel liefert dann∫cos2(x)dx = cos(x) sin(x) +

∫sin(x) sin(x)dx .

Nun benutzen wir sin2(x) = 1− cos2(x), und erhalten∫cos2(x)dx = sin(x) cos(x) +

∫dx−

∫cos2(x)dx ,

mit∫

dx = x. Wir formen die Gleichung nun so um, dass wir den

Ausdruck∫

cos2(x)dx von der rechten auf die linke Seite bringen,

und erhalten schließlich das bekannte Endergebnis∫cos2(x)dx =

1

2

(x + sin(x) cos(x)

)+ C .

� Substitutionsregel.

Die Integration einer elementaren Funktion, deren Argument eine Funktion g(x)

ist, kann dann durchgefuhrt werden, wenn das Integral von der Form∫f(g(x)

)g′(x)dx = F

(g(x)

)+ C , (4.8)

ist. Diese Regel folgt direkt aus der Kettenregel. Im Prinzip muss die Funktion

g(x) noch einige Eigenschaften erfullen, auf die wir hier jedoch nicht naher

eingehen wollen.

Beispiel 4.4— Integriert werden soll∫

sin(2x)dx. Wir setzen g(x) =

2x, wobei g′(x) = 2 gilt. Nun erweitern wir das Integral mit 2 12

= 1

und erhalten∫sin(2x)dx =

1

2

∫sin(2x)2 dx = −1

2cos(2x) + C .

Beispiel 4.5— Integriert werden soll∫

cos(x2)xdx. Wir setzen g(x) =

x2, wobei g′(x) = 2x gilt. Nun erweitern wir das Integral noch mit

2 12

= 1 und erhalten∫cos(x2)x dx =

1

2

∫cos(x2)2x dx =

1

2sin(x2) + C .

45

� Partialbruchzerlegung.

Rationale Funktionen lassen sich integrieren, wenn sie zuerst in ihre Partial-

bruche zerlegt werden und diese danach gliedweise integriert werden. Wir be-

nutzen hierbei, dass

∫1

(ax + b)n=

1

a

ln(ax + b) fur n = 1,

− 1(n−1)(ax+b)n−1 fur n 6= 1

(4.9)

gilt.

Beispiel 4.6— Integriert werden soll∫

5−3x+4x2

(x−1)2(x+2). Die entsprechende

Partialbruchzerlegung wurde in Bsp. 1.8 durchgefuhrt. Wir erhalten∫ ( 1

x− 1+

2

(x− 1)2+

3

x + 2

)dx = ln(1−x)− 2

x− 1+3 ln(x+2)+C .

Aufgabe 4.2— Berechnen Sie folgende unbestimmten Integrale

(a)∫

3√

x dx (b)∫

(2x2 − 5x + 3) dx

(c)∫

x3+5x2−4x2 dx (d)

∫x+2x+1

dx

(e)∫

cos(3x) dx (f)∫

(5 cos(3x−1)+ 1(x−2)2

dx

(g)∫

(x + 1x

+ 4√

x + 1 dx (h)∫

4e2x dx

Aufgabe 4.3— Berechnen Sie folgende unbestimmten Integrale mit Hilfe

der partiellen Integration

(a)∫

x sin(x) dx (b)∫

xex dx

(c)∫

x2 ln(x) dx (d)∫

x√

x + 1 dx

(e)∫

sin2(x) dx (f)∫

x2e2x dx

Aufgabe 4.4— Integrieren Sie die rationalen Funktionen aus Aufgabe 1.19

unter Benutzung der dort durchgefuhrten Partialbruchzerlegung.

46

5 Differentialgleichungen

Wie bereits im Abschnitt uber Differenzieren erwahnt, lassen sich viele Naturhgesetze

in Form von Differentialgleichungen formulieren. Wir wollen im Folgenden einige wich-

tige Typen von solchen Gleichungen betrachten. Beginnen wir mit dem radioaktiven

Zerfall. Gegeben sei eine radioaktive Substanz der Menge N0. Obwohl N0 im Prinzip

eine ganze Zahl ist, ist sie ublicherweise so groß (N0 ∼ 1023), dass wir sie getrost

durch eine kontinuierliche Variable ersetzen konnen. Den Fehler, den wir dabei ma-

chen, ist vernachlassigbar klein. Nun gilt, dass jedes Atom innerhalb eines bestimmten

Zeitintervalls mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit λ zerfallt. Die Anderung der

radioaktiven Menge im Laufe der Zeit ist somit

dN(t)

dt≡ N(t) = −λ N(t) . (5.1)

Hier haben wir die in der Physik ubliche Kurzschreibweise N(t) fur die Anderung

in der Zeit eingefuhrt. Gleichung (5.1) besagt, dass die Anderung von N(t) umso

großer ist, je mehr radioaktive Substanz vorhanden ist. Das negative Vorzeichen be-

sagt, dass die Substanz im Laufe der Zeit abnimmt. Nehmen wir beispielsweise an,

dass innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls im Mittel 1 Prozent der Atome zer-

fallen. Bei 1000 Atomen werden dann im Mittel 10 zerfallen, bei einer Million 1000

Atome. Es gibt auch andere Systeme, bei denen eine bestimmte Zahl im Laufe der

Zeit zunimmt. Beispielsweise eine Bakterienkultur, bei der sich unter geeigneten Be-

dingungen die Bakterien innerhalb einer gewissen Zeit durch Zellteilung vermehren.

Entsprechend konnen wir die Anderung der Bakterienzahl N(t) durch die Differenti-

algleichung N(t) = λ N(t) beschreiben.

Wir wollen nun die Differentialgleichung (5.1) losen. Hierzu suchen wir eine Funktion,

deren Ableitung proportional zu dieser Funktion ist. Anders ausgedruckt, soll die

Ableitung die Funktion selbst mal einer Konstante −λ reproduzieren. Offensichtlich

ist die einzige Funktion, die dies erfullt, die Exponentialfunktion. Wir setzen also

N(t) = A eBt

an und wahlen die Konstanten A und B so, dass die Differentialgleichung (5.1) erfullt

ist. Es gilt

N(t) =d

dt

(A eBt

)= B

(A eBt

)= B N(t) .

Durch Vergleich mit Glg. (5.1) finden wir, dass B = −λ und N(t) = Ae−λt gilt.

Um die Konstante A zu bestimmen, benotigen wir noch eine Zusatzbedingung. Ubli-

47

cherweise wird diese so gewahlt, dass die Zahl der Atome zum Zeitpunkt 0 gleich N0

ist. Aus N(0) = A = N0 folgt dann A = N0. Wir erhalten also insgesamt fur den

radioaktiven Zerfall das bekannte Ergebnis

N(t) = N0 e−λt . (5.2)

Bei den Bakterien wurden wir entsprechend eine exponentielle Zunahme N(t) =

N0 eλt erhalten.

5.1 Lineare Differentialgleichung erster Ordnung

Wenn der funktionale Zusammenhang zwischen der Ableitung der Funktion und der

Funktion komplizierter ist, wird es schwieriger die Funktion zu “erraten”. Sie werden

im Laufe Ihres Studiums noch eine Reihe von Losungsmethoden fur Differentialglei-

chungen lernen. Im Folgenden wollen wir zwei Losungsmethoden fur einen bestimmten

Typ von Differentialgleichung vorstellen. Eine Differentialgleichung der Form

y′(x) = a(x) y(x) (5.3)

nennt man eine homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Sie heißt line-

ar, weil die Funktion auf der rechten Seite linear in die Differentialgleichung eingeht.

Die Ordnung der Differentialgleichung bezieht sich auf die hochste in der Gleichung

vorkommende Ableitung. Der radioaktive Zerfall (5.1) ist ein Spezialfall so eines Glei-

chungstyps mit a(x) = −λ. Eine inhomogene Differentialgleichung ist von der Form

y′(x) = a(x) y(x) + b(x) . (5.4)

Hier stellt b(x) die Inhomogenitat dar. Beispielsweise gilt fur die radioaktive Zerfalls-

kette von Uran, dass nach dem Zerfall eines Atoms als neues Produkt ein Thoriuma-

tom vorliegt, das selbst wieder zerfallt. Die Differentialgleichung, die die Menge von

Thorium beschreibt, ist

NTh(t) = −λThNTh(t)− NU(t) . (5.5)

Hier beschreibt der erste Term auf der rechten Seite den radioaktiven Zerfall von Tho-

rium, wahrend der zweite Term die Erzeugung der Thoriumatome durch den Uran-

zerfall beschreibt. Man bezeichnet die Inhomogenitat b(t) in Glg. (5.4) auch oft als

Quellterm, weil er in vielen Fallen den Zuwachs bzw. die Entstehung einer bestimm-

ten Große beschreibt. In allen Fallen muss noch eine Anfangsbedingung angegeben

werden, damit die Losung der Differentialgleichung eindeutig ist.

48

� Homogener Fall. Wir fuhren zuerst den integrierenden Faktor eA(x) ein, wobei

A(x) =

∫ x

0

a(s) ds (5.6)

die integrierte Funktion von a(x) ist. Die allgemeine Losung der Differential-

gleichung lautet dann

y(x) = y0 eA(x) , (5.7)

mit dem Wert y0 zum Zeitpunkt Null. Wir erkennen sofort, dass fur a(x) = −λ

sich der integrierende Faktor zu −λt ergibt und wir die Losung (5.2) erhalten.

Wir konnen Glg. (5.7) leicht fur den allgemeinen Fall beweisen, indem wir die

Losung in die Differentialgleichung einsetzen. Unter Benutzung der Kettenregel

erhalten wir

y′(x) =(y0 eA(x)

)′=(y0 eA(x)

)A′(x) = y(x)a(x) . (5.8)

� Inhomogener Fall. Im inhomogenen Fall gilt die etwas kompliziertere Formel

y(x) = α(x)eA(x) , α(x) = y0 +

∫ x

0

b(s)e−A(s) ds . (5.9)

Beispiel 5.1— Wir wollen nun das Ergebnis (5.9) benutzen, um den die

Zerfallsreihe von Uran zu bestimmen. Zuerst schreiben wir die Differen-

tialgleichungen in der Form

N(t) = −λN(t) N(0) = N0

M(t) = −µM(t)− N(t) M(0) = 0

an. N(t) und M(t) sind die Mengen des Ausgangs- und des Endproduk-

tes, und λ und µ die beiden Zerfallskonstante. Die Losung der ersten

Gleichung N(t) = N0e−λt erfolgt wie bisher. Somit erhalten wir fur den

integrierenden Faktor und die Inhomogenitat

eA(t) = e−µt , b(t) = −N(t) = λN0e−λt .

Das Integral in Glg. (5.9) ergibt sich zu∫ t

0

(λN0e

−λs)eµs ds =

λ

µ− λN0

(e−(λ−µ)t − 1

).

49

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

M(

t ) /

N0

µ = 0.1µ = 0.5µ = 2µ = 10

Abbildung 22: Zerfallsreihe. Zeitlicher Verlauf M(t) des Folgeproduktes.

Die endgultige Form von M(t) ergibt sich somit zu

M(t) =λ

µ− λN0

(e−λt − e−µt

). (5.10)

In der Figur ist der zeitliche Verlauf von M(t) fur unterschiedliche Wer-

te von µ und λ = 1 dargestellt. Fur kleine Werte von µ zerfallt das

Folgeprodukt nur langsam. Dementsprechend wird zuerst viel radioaktive

Substanz durch den Zerfall des Ausgangsproduktes erzeugt, ehe M(t)

aufgrund des eigenen Zerfalls −µM(t) verschwindet. Fur große Werte

von µ wird das durch −N(t) erzeugte Material sofort wieder abgebaut.

Aufgabe 5.1— Beweisen Sie die Losung (5.9) fur die inhomogene Diffe-

rentialgleichung.

Aufgabe 5.2— Losen Sie die Differentialgleichung

y′(x) = a x2 y(x) , y(0) = y0 .

Aufgabe 5.3— Losen Sie die Differentialgleichung

y′(x) = −µy(x) + cos(x) y(x) , y(0) = 0 .

50

Aufgabe 5.4— Losen Sie den Kaskadenzerfall aus Beispiel 5.1 fur den

Fall, dass zum Anfangszeitpunkt M(0) = M0 gilt.

Aufgabe 5.5— Die Differentialgleichung

R I(t) + L I(t) = E0

beschreibt die zeitabhangige Stromstarke eines Stromkreises, der aus ei-

ner Stromquelle mit Gleichspannung E0, dem Ohmschen Widerstand R

und der Induktivitat L besteht. Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf von

I(t), wobei I(0) = 0 gelten soll.

Aufgabe 5.6— Was passiert, wenn Sie in dem vorigen Beispiel die Gleich-

spannung E0 durch eine Wechselspannung E0 cos ωt ersetzen?

5.2 Schwingungsgleichung

Betrachten wir ein Teilchen, das mit einer Feder verknupft ist und sich nur entlang

einer Raumrichtung x bewegen kann. Die Newtonschen Bewegunsgleichungen lauten

x(t) = v(t) , m v(t) = −k x(t) . (5.11)

Die erste Gleichung ist die Definition der Geschwindigkeit v(t) als zeitliche Anderung

des Ortes x(t). Die zweite Kraftgleichung verknupft den Impuls m v(t) mit der auf das

Teilchen wirkenden Kraft −k x(t), wobei m die Teilchenmasse und k die Federkon-

stante bezeichnet. Das negative Vorzeichen der Kraft bewirkt, dass das Teilchen umso

starker zum Ursprung x = 0 gezogen wird, je weiter es sich von ihm entfernt. Wenn

wir die Kraftgleichung nochmals nach der Zeit ableiten, erhalten wir die sogenannte

Schwingungsgleichung

x(t) = − k

mx(t) = −ω2

0 x(t) , (5.12)

mit der Abkurzung ω0 =√

k/m. Die Losung dieser Differentialgleichung ist durch

eine Funktion gegeben, die nach zweimaligem Ableiten proportional zu sich selbst

ist. Aufgrund des negative Vorzeichens in Glg. (5.12) ist dies offensichtlich durch die

Sinus- bzw. Cosinusfunktion der Fall. Wir wahlen daher als allgemeine Losung der

Schwingungsgleichung die Form

x(t) = A cos ω0t + B sin ω0t . (5.13)

51

Durch Einsetzen dieser Losung in die Schwingungsgleichung erkennt man leicht, dass

sie tatsachlich eine Losung darstellt. Die beiden Konstanten A und B mussen so be-

stimmt werden, dass die Anfangsbedingungen erfullt sind. Im Gegensatz zum radioak-

tiven Zerfall benotigen wir zwei Anfangsbedingungen. Dies ist aufgrund der Tatsache,

dass die Schwingungsgleichung (5.12) eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist.

Wenn wir fordern, dass sich zum Zeitpunkt 0 das Teilchen am Ort x0 und in Ruhe

befindet, d.h., dass x(0) = x0 und v(0) = 0 gelten soll, finden wir A = x0 und

B = 0. Die Losung lautet somit x(t) = x0 cos ω0t.

Aufgabe 5.7— Wie lautet die Losung fur die Anfangsbedingungen x(0) =

0 und v(0) = v0? Wie fur x(0) = x0 und v(0) = v0?

Die Schwingungsgleichung kann auch einfach mit komplexen Zahlen gelost werden.

Dazu benutzen wir die Eulersche Formel und schreiben die Losung in der Form

z(t) = z0 eiω0t (5.14)

an. Die tatsachliche physikalische Losung erhalten wir, indem wir nur den Realteil von

z(t) heranziehen. Man uberzeugt sich leicht, dass die zweifache Ableitung von (5.14)

den gewunschten Ausdruck z(t) = −ω20 z(t) liefert. Anstelle der beiden Konstanten

A und B ist eine komplexe Variable getreten, dessen Real- und Imaginarteil wieder

durch die beiden Anfangsbedingungen gegeben sind.

Aufgabe 5.8— Bestimmen Sie z0 fur die Anfangsbedingungen

(a) x(0) = x0, v(0) = 0 (b) x(0) = 0, v(0) = v0

(c) x(0) = x0, v(0) = v0

Aufgabe 5.9— Welche physikalische Bedeutung hat der Imaginarteil von

z(t)?

5.3 Gedampfte Schwingungen

Bisher haben wir folgende Differentialgleichungen kennengelernt

v(t) = −γ v(t) , v(t) = v0 e−γt

x(t) = −ω20 x(t) , x(t) = x0 cos ω0t .

52

Die erste Gleichung beschreibt eine zeitlich gedampfte Bewegung, die zweite die

Schwingung um den Ursprung. Was passiert, wenn wir die beiden Gleichungen zu

z(t) = −ω20z(t)− γ z(t) (5.15)

kombinieren? Glg. (5.15) beschreibt die Bewegung eines Teilchens unter Einfluß einer

Feder- und einer Reibungskraft, wobei letztere durch−γv(t) gegeben ist. Das negative

Vorzeichen sorgt dafur, dass die Reibungskraft die Geschwindigkeit verringert. Setzen

wir wie gewohnt z(t) = z0 eiωt an, diesmals allerdings mit einer noch zu bestimmenden

Kreisfrequenz ω, so erhalten wir aus Glg. (5.15)

− ω2 z(t) =(−ω2

0 − iγω)z(t) . (5.16)

Damit diese Gleichung erfullt ist, muss offensichtlich ω2 = ω20 + iγω gelten. Wenn

wir ω = x + iy in Real- und Imaginarteil zerlegen, folgt(x2 − y2

)+ 2i xy = ω2

0 − γy + iγx .

Durch Vergleich der beiden Imaginarteile erhalten wir dann y = γ/2. Schließlich folgt

durch Vergleich der Realteile

x2 − γ2

4= ω2

0 −γ2

2.

Wir konnen die beiden Ergebnisse zu

ω =

√ω2

0 −γ2

4+ i

γ

2(5.17)

zusammenfassen. Aus ei(x+iy)t = eixte−yt sehen wir, dass der Realteil von ω die

Kreisfrequenz beschreibt und der Imaginarteil die Dampfung der Bewegung. Zwei

wichtige Fallunterscheidungen folgen aus Glg. (5.17).

� ω20 > γ2

4. In diesem Fall ist der Wurzelausdruck in Glg. (5.17) rein reell. Das

Teilchen oszilliert mit der neuen Kreisfrequenz√

ω20 −

γ2

4, wobei die Schwin-

gung im Laufe der Zeit mit γ2

gedampft wird.

� ω20 < γ2

4In diesem Fall ist der Wurzelausdruck in Glg. (5.17) rein imaginar. Das

Teilchen schwingt nicht mehr, sondern nahert sich mit einer gedampften Bewe-

gung dem Ursprung. Man nennt diesen Fall auch den uberdampften Oszillator.

53

0 10 20 30 40

−1

−0.5

0

0.5

1

Zeit

x( t

)

γ = 0.1γ = 0.5γ = 2

Abbildung 23: Zeitlicher Verlauf der Schwingung fur Anfangsbedingung x(0) = x0 und

v(0) = 0 und unterschiedliche Werte der Dampfungskonstante γ. In der Figur wurde ω0 = 1benutzt.

Aufgabe 5.10— Bestimmen Sie fur den gedampften Oszillator die Aus-

lenkung x(t) fur ω20 > γ2

4und fur

(a) x(0) = x0, v(0) = 0 (b) x(0) = 0, v(0) = v0

(c) x(0) = x0, v(0) = v0

Aufgabe 5.11— So wie vorige Aufgabe, allerdings fur den uberdampften

Oszillator.

5.4 Getriebene Schwingungen

Als letztes Beispile betrachten wir noch den getriebenen Oszillator, der in der Physik

und Technik eine ungemein wichtige Rolle spielt. Gegeben sei die Differentialgleichung

z(t) + γz(t) + ω20 z(t) =

F (t)

m, (5.18)

Die linke Seite der Gleichung beschreibt den bereits diskutierten gedampften harmo-

nischen Oszillator, die rechte Seite eine außere treibende Kraft F (t). So wie bei der

lineraren Differentialgleichung erster Ordnung gibt es ein allgemeines Losungsverfah-

ren. Im Folgenden wollen wir den einfacheren Fall untersuchen, dass die treibende

54

Kraft F (t) = F0 eiωt periodisch ist und dass wir nach Einschalten der Kraft genugend

lange warten, bis sich eine Gleichgewichtssituation eingestellt hat. Hier wird der Os-

zillator mit derselben Frequenz z(t) = z0 eiωt wie das antreibende Feld schwingen.

Allerdings hangt die Amplitude |z0| sowie Phasenbeziehung zwischen antreibendem

Feld und Oszillator stark von den Parametern ω0 und γ ab.

Einsetzen von z(t) in die Differentialgleichung (5.18) liefert die Gleichung

(−ω2 + iγω + ω2

0

)z0 =

F0

m(5.19)

die wir einfach nach z0 auflosen konnen,

z0 = −F0

m

1

ω2 − ω20 − iγω

. (5.20)

0 1 2 30

2

4

6

8

10

12

ω / ω0

| z0 /

F0 |

γ = 0.1γ = 0.5γ = 2

0 1 2 30

50

100

150

ω / ω0

Win

kel z

wis

chen

z0 u

nd F

0

Abbildung 24: Resonanzkurve fur unterschiedliche Werte von γ.

Die Figure zeigt den Absolutbetrag von z0 (links) sowie die Phase φ zwischen F0 und

z0 (rechts). Die letztere ist durch tan φ = Im(z0)/Re(z0) definiert. Fur den schwach

gedampften Oszillator erkennt man eine starke Uberhohung von z0 in der Nahe der

Resonanz ω0. An dieser Stelle andert sich die Phase auch von 0 auf π bzw. von 0◦ auf

180◦. Im uberdampften Fall fallt die Amplitude z0 mit zunehmender Kreisfrequenz ω

kontinuierlich ab.

Aufgabe 5.12— Berechnen Sie aus Glg. (5.20) den Absolutbetrag |z0|sowie die Phase zwischen F0 und z0.

55

6 Vektorrechnung

Physikalische Vorgange mussen oft in drei Raumdimensionen beschrieben werden.

Beispielsweise gilt fur die Bewegung der Planetenbahnen, dass die Position eines

Planeten zu einem bestimmten Zeitpunkt durch drei Koordinaten x(t), y(t) und z(t)

angegeben wird, wobei wir annehmen wollen, dass der Koordinatenursprung x = y =

z = 0 im Zentrum der Sonne liegt. Im Gegensatz zu der Wurfparabel (1.1), bei der

eine einzige Große z(t) ausreichte, um die Position des Teilchens festzulegen, mussen

wir bei der Beschreibung der Planetenbahnen die Position der Planeten durch Angabe

von drei Großen charakterisieren. Eine elegantere Moglichkeit zur Beschreibung ist

durch den Vektor

~r =

x

y

z

(6.1)

gegeben. Hier verwenden wir anstelle von x, y und z nur eine einzige Große ~r. Be-

sonders in der englischsprachigen Literatur ist es ublich, anstelle der Schreibweise ~r,

bei der ein Pfeil uber den Variablennamen gesetzt wird, die Schreibweise r oder r

zu verwenden. Auch die Geschwindigkeit ~v ist ein Vektor in drei Dimensionen, der in

Analogie zu Glg. (3.1) definiert werden kann.

Zur Beschreibung von Vektoren werden ublicherweise eine Reihe von Begriffen ver-

wendet, die im Folgenden kurz erlautert werden sollen.

� Vektoren. Vektoren sind Großen, die eine bestimmte Lange und Richtung besit-

zen. Graphisch stellen wir Vektoren durch Pfeile dar, deren Lange den Betrag

und deren Lage die Richtung darstellen. Zahlenmaßig beschreiben wir Vekto-

ren in zwei Dimensionen (Ebene) durch Zahlenduppel (x, y) ∈ R2 und in drei

Dimensionen (Raum) durch Zahlentrippel (x, y, z) ∈ R3. Fur einen beliebigen

Vektor ~a werden wir oft die Schreibweise (a1, a2) in zwei und (a1, a2, a3) in drei

Dimensionen benutzen.

� Lange. Die Lange eines Vektors ~a, der auch oft als der Betrag des Vektors

bezeichnet wird, ist durch a = |~a| gekennzeichnet und ist definiert durch

|~a| =√

a21 + a2

2 in R2, |~a| =√

a21 + a2

2 + a23 in R3. (6.2)

� Einheitsvektor. Ein Einheitsvektor ~e ist ein Vektor der Lange Eins, d.h. |~e| = 1.

56

� Vektorrichtung. Den Einheitsvektor ~e, der die Richtung eines Vektors beschreibt,

erhalt man, indem man jede Komponente ai durch den Betrag a des Vektors

dividiert, d.h. ei = ai

a.

� Nullvektor. Der Nullvektor ~0 ist gegeben durch

~0 =

(0

0

)in R2, ~0 =

0

0

0

in R3. (6.3)

� Koordinatensystem. Ein Koordinaten- oder Bezugssystem ist durch Angabe des

Ursprungs ~0 sowie der Richtungen der zwei (Ebene) bzw. drei (Raum) Raum-

achsen bestimmt. Beispielsweise konnen wir in einem Zimmer eine Ecke als

Nullpunkt ~0 definieren und die drei Raumachsen in Richtung der von der Ecke

ausgehenden Kanten des Zimmers legen.

� Ortsvektor. Der Ortsvektor ist ein Vektor, der vom Ursprung ~0 des Bezugssy-

stems zu einem bestimmten Punkt im Raum zeigt. Er bezeichnet damit den

Ort des Punktes im Raum. Beispielsweise ist der Ort ~r in Glg. (6.1) ein Orts-

vektor, wahrend die Geschwindigkeit ein beliebiger Vektor ist, der nur durch

seine Lange und Richtung definiert ist.

Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel fur Vektoren in zwei Dimensionen.

~0 x

y

~r

~v

• //

OO

::ttttttttttttttttt

11ccccccc11ccccccc

Abbildung 25: Beispiel fur Vektoren. ~r bezeichnet einen Ortsvektor, der vom Ursprung zu

dem Punkt zeigt. Der Ortsvektor ist fixiert und kann nicht verschoben werden. ~v ist die

Geschwindigkeit. Der Vektor ~v ist nicht fixiert und kann parallel verschoben werden.

57

6.1 Rechenregeln fur Vektoren

Es gibt eine Reihe von Rechenregeln fur Vektoren, die wir im Folgenden kurz anfuhren

wollen. Der Einfachheit halber werden wir, bis auf eine Ausnahme (Normalvektor),

nur Vektoren in drei Dimensionen untersuchen. Die Verallgemeinerung fur Vektoren

in der Ebene sind offensichtlich.

� Addition. Zwei Vektoren ~a und ~b werden addiert, indem man die jeweiligen

Komponenten addiert,

~a +~b =

a1

a2

a3

+

b1

b2

b3

=

a1 + b1

a2 + b1

a3 + b3

. (6.4)

� Subtraktion. Zwei Vektoren ~a und ~b werden subtrahiert, indem man die jewei-

ligen Komponenten subtrahiert,

~a−~b =

a1

a2

a3

−

b1

b2

b3

=

a1 − b1

a2 − b1

a3 − b3

. (6.5)

� Multiplikation mit Zahl. Ein Vektor ~a wird mit einer Zahl c multipliziert, indem

man die jeweiligen Komponenten mit c multipliziert,

c~a = c

a1

a2

a3

=

c a1

c a2

c a3

. (6.6)

Beispiel 6.1— Bestimmt werden soll der Einheitsvektor der Richtung

von ~a =

(2

−2

1

). Der Betrag des Vektors ist |~a| =

√22 + (−2)2 + 1 =

3. Der Einheitsvektor ist gegeben durch ~e = ~a|~a| , d.h. ~e =

(2/3

−2/3

1/3

).

Beispiel 6.2— Ein Teilchen, das sich zum Zeitpunkt 0 am Ort ~r =(1

1

0

)befindet, bewegt sich mit der Geschwindigkeit ~v =

(2

0

1

).

Wo befindet es sich zum Zeitpunkt 2. Der neue Ort ~r′ laßt sich

gemaß ~r′ = ~r + t~v berechnen, d.h. ~r′ =

(1 + 2 · 21 + 2 · 00 + 2 · 1

)=

(5

1

2

).

58

� Skalarprodukt. Das Skalarprodukt ordnet zwei Vektoren eine Zahl zu. In zwei

bzw. drei Dimensionen ist es definiert als

~a ·~b = |~a| |~b| cos α = a1 b1 + a2 b2

~a ·~b = |~a| |~b| cos α = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 , (6.7)

mit α dem Winkel, der von den beiden Vektoren ~a und ~b eingeschlossen wird.

Geometrisch kann man das Skalarprodukt als Projektion des einen Vektors auf

den anderen interpretieren. Das Skalarprodukt ist kommutativ und distributiv,

d.h. es gilt

~a ·~b = ~b · ~a (6.8)

~a · (~b + ~c) = ~a ·~b + ~a · ~c . (6.9)

Das Skalarprodukt kann verwendet werden um festzustellen, ob zwei Vektoren

senkrecht aufeinander stehen. In diesem Fall gilt cos 90◦ = 0 und es folgt

~a ·~b = 0.

α

~a

~b~a·~b|~b|

������

::ttttttttttttttttttttt //

Abbildung 26: Skalarprodukt von zwei Vektoren ~a und ~b. Geometrisch entspricht es der

Projektion des Vektors ~a auf den Vektor ~b (oder umgekehrt).

� Normalvektor in der Ebene.

Weiter unten werden wir einen Vektor in der Ebene benotigen, der normal

(senkrecht) auf einen beliebigen Vektor ~a stehen soll. Offensichtlich erfullt dies

der Vektor

~n =

(a2

−a1

), (6.10)

da ~a · ~n = 0 gilt, d.h. ~a und ~n stehen senkrecht aufeinander.

59

� Vektorprodukt. Im Dreidimensionalen gibt es zusatzlich zum Skalarprodukt

noch das Vektorprodukt, das definiert ist durch

~a×~b =

a2 b3 − a3 b2

a3 b1 − a1 b3

a1 b2 − a2 b1

. (6.11)

Der Vektor ~a×~b steht sowohl senkrecht auf ~a als auch ~b, und seine Lange ist

gleich |~a| |~b| sin α. Geometrisch entspricht diese Lange der Flache des Paralle-

logramms, das von den Vektoren ~a und ~b aufgespannt wird. Das Vektorprodukt

ist nicht kommutativ aber dafur distributiv. Es gilt

~a×~b = −~b× ~a

~a× (~b + ~c) = ~a×~b + ~a× ~c . (6.12)

Aufgabe 6.1— Zeigen Sie mit Hilfe des Skalarproduktes, dass ~a×~b senk-

recht auf ~a und ~b steht. Zeigen Sie, dass die Rechenregeln (6.12) gelten

und dass ~a× ~a = 0 gilt.

Aufgabe 6.2— Bestimmen Sie die Winkel α, β, γ, die der Vektor

(3

−6

2

)mit den Koordinatenachsen bildet.

Aufgabe 6.3— Zeigen Sie, dass die Vektoren

(3

−2

1

),

(1

−3

5

)und

(2

1

−4

)ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Zeigen Sie zuerst, dass die drei Vektoren

ein Dreieck bilden und dann, dass dieses Dreieck rechtwinkelig ist.

6.2 Geradengleichung

Eine Gerade kann durch einen Punkt ~P der Gerade und den Richtungsvektor ~a festge-

legt werden. Alle Punkte der Gerade konnen dann mit Hilfe des Parameters λ gemaß

~x = ~P + λ~a , λ ∈ R (6.13)

bestimmt werden. Die Form (6.13) wird auch als Parameterform bezeichnet. Sie ist

in zwei und drei Dimensionen gultig.

Aufgabe 6.4— Stellen Sie eine Gerade auf, die durch den Punkt P =

(1, 3, 2) geht und: (a) parallel zur x-Achse ist, (b) normal auf die xy-

Ebene steht, (c) durch den Punkt Q = (−2, 4, 1) geht.

60

In zwei Dimensionen konnen wir eine weitere Form fur die Geradengleichung finden.

Gleichung (6.13) ist von der Form(x

y

)=

(P1

P2

)+ λ

(a1

a2

).

Multiplizieren wir beide Seiten dieser Gleichung mit dem Normalvektor von ~a, so

erhalten wir

a2 x− a1 y = a2 P1 − a1 P2 . (6.14)

Diese Gleichung ist von der fruher verwendenten Form (1.13). Da in ihr der Parameter

λ nicht mehr vorkommt, wird sie als parameterfreie Form bezeichnet.

Aufgabe 6.5— Vergleich Sie die Gleichungen (6.14) und (1.13). Drucken

Sie k und d durch a1, a2, P1, P2 aus.

Aufgabe 6.6— Ermitteln Sie die parameterfreie Form der Geradenglei-

chung fur (a) ~x =(

2

−5

)+ λ(

−3

4

), (b) ~x =

(3

1

)+ λ(

0

2

).

6.3 Ebenengleichung

Eine Ebene in drei Dimensionen kann durch einen Punkt ~P und zwei Vektoren ~a und~b, die nicht parallel sein durfen, aufgespannt werden. Mit Hilfe der beiden Parameter

λ und µ kann jeder Punkt der Ebene durch

~x = ~P + λ~a + µ~b λ, µ ∈ R (6.15)

angeschrieben werden. Diese Form wird als Parameterform der Ebene bezeichnet. Um

zu einer parameterfreien Form zu gelangen, multipliziern wir beide Seiten mit dem

Normalvektor ~n = ~a×~b, und erhalten

n1 x + n2 y + n3 z = ~n · ~P . (6.16)

Aufgabe 6.7— Bestimmen Sie die Parameterform der Ebene, die durch

die Punkte

(3

−2

1

),

(1

−3

5

)und

(2

−1

4

)geht. Wie sieht die parameter-

freie Form aus?

61

6.4 Zeitabhangige Vektoren

In vielen Fallen beschreibt ein Vektor die Bewegung eines Teilchens in zwei oder drei

Dimensionen. Wir schreiben dann

~r(t) =

x(t)

y(t)

z(t)

(6.17)

um anzudeuten, dass der Vektor ~r(t) und seine kartesischen Komponenten von der

Zeit t abhangen. Eine geradlinige Bewegung wird beispielsweise durch

~r(t) = ~r0 + ~v0 t (6.18)

beschrieben, wobei ~r0 der Ort zum Zeitpunkt Null und ~v0 die Geschwindigkeit des

Teilchens darstellt.

Aufgabe 6.8— Wie beschreibt man die Wurfparabel, bei der das Teilchen

vom Ort ~0 mit der Geschwindigkeit ~v losgeworfen wird?

Aufgabe 6.9— Welche Bewegung wird durch x(t) = r cos ωt, y(t) =

r sin ωt und z(t) = 0 beschrieben? Welche durch x(t) = r cos ωt, y(t) =

r sin ωt und z(t) = λt?

Zeitabhangige Vektoren konnen differenziert werden, indem man jede Komponente

gesondert ableitet. Man schreibt

~v(t) = ~r(t) =

x(t)

y(t)

z(t)

. (6.19)

Hier haben wir die Geschwindigkeit ~v(t) des Teilchens eingefuhrt.

Beispiel 6.3— Berechnet werden soll die Geschwindigkeit fur die Bahn-

kurve ~r(t) =

(1 + 2 t

−3 − 2 t

5 − 2 t2

). Mit x(t) = 2, y(t) = −2 und z(t) = −4 t

erhalten wir ~v(t) =

(2

−2

−4 t

).

Aufgabe 6.10— Bestimmen Sie die Geschwindigkeit ~v(t) fur die Bahn-

kurve ~r(t) aus der vorigen Aufgabe.

62

7 Tests der letzten Jahre

Auf den folgenden Seiten finden Sie zum Uben die gesammelten Tests der letzten

Jahre.

63

Test 2002a

1. (40 P) Bestimmen Sie fur die Funktion

f(x) =2x− 3

x2 − 3x + 2

Definitionsmenge, Nullstellen, Extremstellen, Asymptoten und skizzieren Sie die

Funktion. (es gilt limx→±∞ f(x) = 0).

2. (25 P) Berechnen Sie die 1. Ableitung folgender Funktionen:

f(x) = e√

x2+1 sin(3x) , f ′(x) = ?

f(x) = cos(

ex√

x3+2

), f ′(x) = ?

3. (10 P) Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrucke, wobei a, b und c positive reelle

Zahlen sind:

e12

ln b+ 12

ln e = ?

ln

(cea

eb

)= ?

4. (25 P) Berechnen Sie die folgenden zwei Integrale:

∫dx x2 cos(2x) = ?∫ 2

0

dx x2√

x3 + 1 = ?

64

Test 2002b

1. (30 P) Betrachten Sie die Funktion

f(x) = e−12x sin(

1

2x)

im Intervall x ∈ [0, 4π]. Bestimmen Sie die x-Werte, fur die gilt:

a) f(x) = 0;

b) f ′(x) = 0;

c) f ′′(x) = 0,

und skizzieren Sie f(x) (es gilt e−1 ≈ 0.37).

2. (20 P) Berechnen Sie die 1. Ableitung folgender Funktionen:

f(x) = cos√

x2 + 1e3x , f ′(x) = ?

f(x) = sin(

x2

ex

), f ′(x) = ?

3. (10 P) Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrucke, wobei a, b und c positive reelle

Zahlen sind:

ln(aebc) = ?

e13

ln e+ln(ab) = ?

4. (30 P) Berechnen Sie die folgenden zwei Integrale:

∫dx x2e3x3

= ?∫dx

1− 7x

(x− 1)(x2 − x− 6)= ?

65

Test 2003

1. (40 P) Bestimmen Sie fur die Funktion

f(x) =2x

x2 − 4

Definitionsmenge, Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen, Asymptoten und

skizzieren Sie die Funktion. (Beachten Sie: limx→±∞ f(x) = 0).

2. (25 P) Berechnen Sie die 1. Ableitung folgender Funktionen:

f(x) = x sin(e2x2

), f ′(x) = ?

f(x) = cos(2x)x2+ex , f ′(x) = ?

3. (10 P) Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrucke, wobei a, b und c positive reelle

Zahlen sind:

ln a− b ln c = ?

c ln

(ea

eb

)= ?

4. (25 P) Berechnen Sie die folgenden zwei Integrale:

∫dx x

√3x2 + 4 = ?∫

dx e2x cos x = ?

66

Test 2005a

1. (30 P) Bestimmen Sie fur die Funktion

f(x) =x2

(x− 1)(x + 2)

Definitionsmenge, Nullstellen, Extremstellen und Art der Extremstellen (Mini-

mum, Maximum oder Sattelpunkt), Asymptoten und skizzieren Sie die Funkti-

on. (Beachten Sie: limx→±∞ f(x) = 1).

2. (20 P) Berechnen Sie die 1. Ableitung folgender Funktionen:

f(x) = x2 tan x , f ′(x) = ?

f(x) =ln(2x)x2 + ex , f ′(x) = ?

3. (20 P) Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrucke:

ln(1 + x)− 3 ln(1− x) = ?

(ex)2 e2 = ?

e− ln 5 = ?

4. (30 P) Berechnen Sie die folgenden zwei Integrale (15 P):

∫x2 e−x dx = ?∫cos(2x2)

x dx = ?

Berechnen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung (15 P):

∫5 x2 − 9 x− 2

(x− 1)2(x + 2)dx = ?

67

Test 2005b

1. (30 P) Bestimmen Sie fur die Funktion

f(x) =x2

(x− 2)(x + 2)

Definitionsmenge, Nullstellen, Extremstellen und Art der Extremstellen (Mini-

mum, Maximum oder Sattelpunkt), Asymptoten und skizzieren Sie die Funkti-

on. (Beachten Sie: limx→±∞ f(x) = 1).

2. (20 P) Berechnen Sie die 1. Ableitung folgender Funktionen:

f(x) = tan(x2) , f ′(x) = ?

f(x) =sin(2x)x2 + 2

, f ′(x) = ?

3. (20 P) Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrucke:

ln(1 + x2)− 2 ln(1− x2) = ?

(ex)3 e−2 = ?

e−2 ln 5 = ?

4. (30 P) Berechnen Sie die folgenden zwei Integrale (15 P):

∫x2 cos(2x) dx = ?∫sin(2x3)

x2 dx = ?

Berechnen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung (15 P):

∫5 x2 + 16 x + 15

(x + 1)(x + 2)2dx = ?

68

Test 2006a

1. (30 P) Bestimmen Sie fur die Funktion

f(x) =x2

(x− 3)(x + 1)

Definitionsmenge, Nullstellen, Extremstellen und Art der Extremstellen (Mini-

mum, Maximum oder Sattelpunkt), Asymptoten und skizzieren Sie die Funkti-

on. (Beachten Sie: limx→±∞ f(x) = 1).

2. (20 P) Berechnen Sie die 1. Ableitung folgender Funktionen:

f(x) = x7 (cos(2x))2 , f ′(x) = ?

f(x) =sin(2x2)

x3 , f ′(x) = ?

3. (20 P) Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrucke:

ln(x2) + 3 ln(x− 2) = ?(e2x)x

e5x = ?

3x e3 = ?

4. (30 P) Berechnen Sie die folgenden zwei Integrale (15 P):

∫(2x)2 sin(2x) dx = ?∫x2 cos

(2x3)

x2 dx = ?

Berechnen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung (15 P):

∫3 x2 − 11 x + 4

(x + 1)(x− 2)2dx = ?

69

Test 2006b

1. (30 P) Bestimmen Sie fur die Funktion

f(x) =x2

(x + 2)(x− 1)

Definitionsmenge, Nullstellen, Extremstellen und Art der Extremstellen (Mini-

mum, Maximum oder Sattelpunkt), Asymptoten und skizzieren Sie die Funkti-

on. (Beachten Sie: limx→±∞ f(x) = 1).

2. (20 P) Berechnen Sie die 1. Ableitung folgender Funktionen:

f(x) = x3 tan(2x) , f ′(x) = ?

f(x) =cos(2x2)√

x, f ′(x) = ?

3. (20 P) Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrucke:

ln(x5)− 7 ln(x + 1) = ?(e3x)x

e−5x = ?

xx e3 = ?

4. (30 P) Berechnen Sie die folgenden zwei Integrale (15 P):

∫x3 ex2

dx = ?∫sin(2x)(2x)2 dx = ?

Berechnen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung (15 P):

∫−3 x2 + 11 x− 2

(x− 1)2(x + 2)dx = ?

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