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Einschaltvorgänge in Stromkreisen mit Kondensatoren und
Widerständen
Inhalt
• Spannungen im Stromkreis bei Reihenschaltung von Kapazität und Widerstand– Analyse der Schaltung nach der Maschenregel
• Spannung über dem Widerstand bei– Anlegen einer Gleichspannung zwischen
Kondensator und Widerstand – „Kurzschließen“ dieses Stromkreises
• Die Zeitkonstante
Uc
UR
I
0,1 F
10 Ω
10
0
-10
10
0
Strom und Spannung im RC Kreis beim Anlegen einer
Spannungsquelle
1
0
-1 -10
Zeit [s]
Zeit [s]
Sp
an
nu
ng
am
Ko
nd
en
sato
r [V
]
Sp
an
nu
ng
am
Wid
ers
tan
d [
V]
U0
Nach Entfernen der Spannungsquelle U0 = 9 V bleibt der Kondensator geladen
A
V
V
Uc
UR
I
0,1 F
10 Ω
10
0
-10
10
0
Strom und Spannung im RC Kreis beim Entladen des Kondensators über den
Widerstand
1
0
-1 -10
Zeit [s]
Zeit [s]
Sp
an
nu
ng
am
Ko
nd
en
sato
r [V
]
Sp
an
nu
ng
am
Wid
ers
tan
d [
V]
A
V
V
Im Beispiel:
R = 10 Ω , C = 0,1 F τ = 1 s
Uc
UR
I
0,1 F
10 Ω
10
0
-10
10
0
Zeitkonstante im RC Kreis
1
0
-1 -10
Zeit [s]
Zeit [s]
Sp
an
nu
ng
am
Ko
nd
en
sato
r [V
]
Sp
an
nu
ng
am
Wid
ers
tan
d [
V]
U0
τ = R·C [s] nach Anlegen der Spannung erreichen die Spannungen über den Bauteilen etwa die Hälfte der Maximalspannung U0
A
V
V
Uc
UR
I
0,1 F
10 Ω
10
0
-10
10
0
Zeitkonstante beim Entladen des Kondensators über den
Widerstand
1
0
-1 -10
Zeit [s]
Zeit [s]
Sp
an
nu
ng
am
Ko
nd
en
sato
r [V
]
Sp
an
nu
ng
am
Wid
ers
tan
d [
V]
A
V
V
Im Beispiel:
R = 10 Ω , C = 0,1 F τ = 1 s
Versuch
• Spannung über dem Widerstand eines RC Kreises bei Anlegen einer Rechteckspannung
U0
0/0 UIRCQ
CQUC /
RIUR
RC Kreis beim Aufladen des Kondensators über den Widerstand
0U
Analyse nach der Kirchhoffschen Maschenregel, Umlauf von + nach – am Kondensator, Quellen von + nach – zählen positiv, im Gegensinn durchlaufene negativ
1 V Kapazitiv
1 V Ohmsch
Spannungen über den Bauteilen
C
tQtU
)()(
)()( tIRtU
1 V(Differential-) Gleichung für die Ladung am Kondensator
Spannungen im RC Stromkreis beim Einschalten einer Gleichspannung U0
dt
tdQR
C
tQU
)()(0
1 CLösungs-Ansatz für die Ladung am Kondensator
1 ADurch Ableitung folgt der Strom
t
eQtQ 1)( 0
t
eQ
dtdQtI
0/)(
1 V Ansatz eingesetzt
1 V Speziell: t=0
1 V Speziell: t=∞
1Zeile 2 dividiert durch Zeile 3
1 s Zeitkonstante
Lösung der Gleichung für die Spannungen im RC Stromkreis
tt
eRQeC
QU
0
00
11
C
QU 00
00
1RQU
RC1
1
RC
1 VSpannung am Kondensator
1 VSpannung am ohmschen
Widerstand
Spannungen über den Bauteilen des RC Kreises bei Einschalten einer Spannung U0
)1(/)()( 0RC
t
C eUCtQtU
RC
t
R eUtIRtU
0)()(
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-2 -1 0 1 2 3 4 5
U C [V]
U R [V]
Zeit [s]
Spannung [V]
UC am Kondensator
UR am Widerstand
Beginn der Aufladung
τ = R·C = 1 [s]
Zeitlicher Verlauf der Spannung an Kondensator ( 0,1 F) und Widerstand (10 Ω) beim Anlegen einer Spannung
IRCQ /0
CQUC /
RIUR
RC Kreis beim Entladen des Kondensators über den Widerstand
Analyse nach der Kirchhoffschen Maschenregel, Umlauf von + nach –
1 V(Differential-) Gleichung für die Ladung am Kondensator
Spannungen im RC Stromkreis beim Entladen des Kondensators
dt
tdQR
C
tQ )()(0
1 CLösungs-Ansatz für die Ladung am Kondensator
1 ADurch Ableitung folgt der Strom
t
eQtQ
0)(
t
eQ
dtdQtI
0/)(
τ = R·C [s]
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-2 -1 0 1 2 3 4 5
Zeitlicher Verlauf der Spannung an Kondensator ( 0,1 F) und Widerstand (10 Ω) beim Entladen des Kondensators
Zeit [s]
Spannung [V]
UR am Widerstand
UC am Kondensator
Beginn der Entladung
Zusammenfassung
Sind Widerstand und Kondensator hintereinander geschaltet, dann erscheint bei Anlegen einer Gleichspannung U0
• Eine Spannungsspitze U0 über dem Widerstand• Von Null ansteigende Spannung über dem Kondensator Die Zeitkonstante τ =RC [s] ist die charakteristische Zeit für
– das Abklingen der Spannungsspitze über dem Widerstand auf etwa die Hälfte der angelegten Spannung
• genauer: Teil 1/e = 0,37
– den Anstieg der Spannung über dem Kondensator auf etwa die Hälfte der angelegten Spannung
• genauer: Teil 1-1/e = 0,63
• Die Spannung über dem Widerstand entspricht der Ableitung der Spannung am Kondensator: „Die RC Schaltung differenziert das anliegende Signal“
Uc
UR
I
0,1 F
10 Ω
10
0
-10
10
0
1
0
-1 -10
Zeit [s]
Zeit [s]
Sp
an
nu
ng
am
Wid
ers
tan
d [
V]
U0
A
V
V
finis