Z. angew. Math. Mech. Bd, 32 Xr, 2,5 Febr,,Mlirz 1852 76 C o 11 a t z , EinachlieDungsstitze bei Iteration und Relaxation

Einschliei3ungssatze bei Iteration und Relaxation Von L. Collatz in Hannover

Wenn bei Anwendung eines Iterationseerfahreiis au f ein Gleichungssystem fur n Unbekannte SiCh bei oinem Iterationsschritt alle Unbekannten in demselben Sinne andern, ergibt sich die Frage, ob bet den weiteren Iterationsachritten die Unbekannten sich Stet8 wieder in demselben Sinne andern und ob man auf diese Weise van unten und von oben her die Losung eingabeln kann. Das gilt keineswegs allgemein, aber in weiten, gerade fur die Anwendung auf Randwerlaufgaben (bei gewohnlichen und partiellen Differentiolgleichungen) wichtigen Klassen con Gleichungssystemen. Auch nichllineare S y s t e m werden betrachtel. Besonders herausgegriffen werden die Iterationsverfohren in Gesanit- und in Einzelschritten und die Relaxation.

T h e author considers the case that a system of equations with n unknowns is solved by iteration, and that, during one step, the correction terms of all unknowns have the same sign. It is asked, i f , during further steps, the alteration of the unknowns proceeds steadily i n the same sense, and if it ts possible, by this way, to include the solution between two limits. That i s not generally true but holds for wide classes of systeins that are fortunately important for applications lo boundary problems (connected with ordinary and partial differential equations). Non-linear systems are considered, too. ,The methods of total and successive steps and the relaxation method are discussed more intensively.

L’auleur examine le cas qu’un syslkme d’dqualions acec n inconnus esl rksolu par illration el que, a un pas , tOU8 les inconnus changent dans le mhme sens. I1 6e pose la queslion, si, aux pas suivants, le change- men1 des ineonnus se fail constammeid dans le mdme scns et s i de eelle manikre on peut resserrer la solution entre deux limites. Cela n’est pas la rt?gle gdndrale, mais se jaildansdesclasas dlendues de sysl8niesd’dqualions imporlanles justemenl pour l’application b des probl kmea de vaburs marginales (en conneclion atec des dqualions a u x ddrivkes ordinaires el parlielles). Aussi les syslt?mes non-lindairea son1 considdrds. Les mdlhodes d’itdration en pas tolaux el success if^ et la relaxation son1 traitdes spdcialemenl.

BC0 HensecTHbIe WBM~HRIOTCII npn OAHOM Mare mepaquu B o~tro~w n TOM x e CMMCJIB, TO ~031inxae~ B O ~ ~ O C , EI~M~HHIOTCII rn npn AanbHettmnx m r a x H ~ H ~ B B C T H H ~ n B I I p e A b - IIOCTOIIHHO

BepxHm n HNXHnM npeAenaMn. TO cnpasegnmo o m q p He BO Bcex CnyqaRx, HO MOHCCT

EWE, npH npHMeHeHHH IiTePaqHOHHOrO cnoco6a K CMCTeMe YpaBHeHAn C n HeII3BeCTHMMII,

B OAHOM Ii TOM )K0 CMbICJe - H MOHCHO JlH, TaKEIM o6pam~, aBKJM)PHTb peIIleHA0 MejKAy

6bITb B mkipOKOfi Mepe HCllOJIb30BaHO RJIH KJIfLCCOB CHCTeM YpaBHeHHP, BaXHblX W H npHMe- HeHEH K KpaeBblM 3aAa¶aM (CBH3aHHbIM C IIPoCTblMIl M C PaCTHbIMH ~Hl$$epeHqAaJIbHbIM JTaBHeHHRMH). PaCCMaTpHBaIoTCR T&KjKK(: HeJIkiHeaHMe CEICTeMbI. OC06Oe BHHX&HHe J’AeJIIIeTCH H T ~ ~ ~ ~ H O H H H M CIIOCObaM o64nx ~i nocneAoBaTejIbHux IUitroB, a Taxme MeTo;ly penaxcaqm.

1. Fragestellung Es seien fur n Unbekannte xl, . . ., x,, (lineare oder nichtlineare) Gleichungen

f k ( % , xz, 9 x n ) = 0 ( k = 1, . , ,, n) . . . . . . . . * (1)

vorgelegt; es existiere ein Losungssystem tl, t2, . . ., ta, und es werde ein Iterationsverfahren benutzt, nacli welchem aus cinem Naherungssystem xp), . . ., xr ) ein neues System x?cl), . . .,

berechnet werde (la& man hierbei zu, daB bei diesem Ubergang sich nur eine Unbekannte z j geandert hat, so kann man hier auch die vcrschiedenen Arten von Rclaxation einbeziehcn, bei denen nicht notwendig die xl, . . ., x,, in festem Zyklus periodisch iteriert werden); beim prak- tischen Rechnen komnit es dann oft vor, daB sich bci einem Scliritt alle Unbekannten in gleichcm Sinn geandert haben, daI3 also z.B. alle Anderungen e f ) nicht negativ sind:

( k = 1,. . ., n ) . . . . . . . . . . (2) ek 4- - xk ( v + u A z y 2 0

Es ergibt sich nun die Frage, ob und u‘ann man folgende Schlusse ziehen darf:

Aussage A : A u s ep) 2 0 fur alle ii folgt ef”) 20, d. h. die Anderungen erfolgen auch weiter-

Aussage A’: Aus et’ S 0 f i i r alle k folyt ef ‘I) 5 0. Aussage B : Azis er’ 2 0 folgt t k - x f + ” 2 0, d. h. (lie Losrmg liegt nicht zcnterhalb cler letzten

Aussage B‘: Aus e f ) 5 0 folgt t k - x f ” ) s; 0. Aussage C‘ (Einschl iepungsaussagej : Hat ?than zzcei Naherungssystenae xp),

- ( v ) - - ( Y + l ) - - (a )

hiia ina gleichen (nichtfallenden) Sinn.

n’iiherung.

whit den dazugehorigen Anderungen E:) bzw. & k - xk xk , so folgt aus ~ p ’ 2 0 , $ ’ l o f u r k=I, . . ., n, dap die x:) und &’) ein Losungssystem einschliepen x:) I tk 5 $’).

Da13 diese Aussagen A, B, C keineswegs allgemein gelten, zeigen schon einfachste Beispiele; bei dem Gleichungssystem

= r

77 2. angaw. Math. Xech. Bd. 32 Nr.2,3 Fc,,r.,Mgrz 1852 C o 1 1 a t z , EinschlieOungssFitze bei Iteration und Relaxation

mit

a= i' 0,5 OB5 1 -0,l y) , +), x = ( i ) c'3 C::Q

0,2 -0,l

werdc etwa ausgegangen vom Vcktor

$0) = 0,9

und nach dem Iterationsverfahren in Gesamtschritten (welchcs in Nr. 5 nochmals erklart ist)') der iterierte Vektor

I(') = 0,85

berechnct. Es sind bei ~ ( l ) samtliche Komponenten kleiner als bei x ( O ) ; trotzdem liegen die zweite und dritte Komponente der Losung oberhalb der letzten Naherung. Es liegt hier ein Beispiel vor, bei dem das Iterationsverfahren gut konvergiert (die Hauptdiagonalelemente uber- wiegen stark, das ,,Zeilensummenkriterium" ist erfullt), aber die Aussagcn A', B', C gelten nicht. Trotzdem gibt es weite, gerade fur die Anwendungen wichtige Klassen von Gleichungssystemen, bei denen die Aussagen A-C gelten. Im folgenden sollen einige genannt werden.

Insbesondere ist naturlich die Eingabelungsaussage C von Wichtigkeit wegen der einfaehen dainit gegebenen Fehlerabschatzung. Man geht einmal von Naherungen aus, die samtlich zu klcin sind und nahert sich so von unten her dem Losungssystem und ein zweites Ma1 ent- sprechend von oben her.

2. Einiache hinreichende Bedingung liiF die Eingabelnngsmoglichkeit Das Gleichungssystem (1) sei auf irgendeine Weise auf eine fur die Iteration geeignete

(k= 1, .... n) . . . . . . . . . (3)

gebracht ; es lassen sich verschiedene Iterationsverfahren durchfuhren, z. B. wurde man beim Iterationsverfahren in Gesamtschritten Folgen von Naherungen zr) nach

( k = 1 , . . . . n ; v = O , l , . . .) . . . . . (4)

Gestalt X k = g b ( z , , * * * ) s n )

$t 1) - - $ k ( ~ l (19 9 * - * , $')

und bei der Iteration in Einzelschritten nach

(5) % F f l ) = g k ( Z 1 ( V + l ) . $2 (v+l) . . . . . 4 - 1 , sk, . . %:') . . . . . . . ( V )

berechnen. Bci einer der verschiedenen Arten von Relaxation berechnet man die Abweichun- gen, die ,,Defekte":

(6) (Y) - ( V ) - (V)

zk - x k g k ( Z 1 . . . . . xt ') . . . . . . . . . . . . und verbessert jeweils diejenige Unbekannte x k , bei welcher der Defekt den gro13ten Betrag hat.

Der Einfachheit halber werde in dieser Nummer das Iterationsverfahren in Gesamtschritten nach (4) zugrundegelegt. Es mogen die gegebenen Funktionen in einem konvexen Bereich 8 des z1 ... sn-Raumes, der ein Liisungssystem und die Naherungen sF), zf"), . . . enthalt, L i p - schitz-Bedingungen genugen: es sol1 nichtnegative Konstanten Kkl geben, so da13 fur beliebige Wertesysteme q, xj aus %3 gilt:

71

I g k ( S ] ) - g k ( % j ) l L z K k j I s , - - s , I * * - * - * * f * (7).

. (8)

1'1 Aus (2) und (4) oder

folgt dann . . . . . . . . . . . . $+I) - - g k ( z r + l ) ) - g k ( $ y ) )

l) R. v. ilf i s e B - H. P o l 1 a c z e k - G e i r i n ger . 2. angew. Math. Mech. 9 (1929), S. 58-77.

Z. angew. Xath. XIcch. C o 11 a t z , EinschlieBungssatze bei Iteration und Relaxation Bd, 32 Nr. 2,s Febr,,Yurz 1982 - _____ 78

folgt also e ( v k1) 2 9 e ( u ) , e ( v + p ) 2 @e(l') . . . . . . . . . . . (11).

Sind alle charakteristischen Zahlen x~ von 9 ~d.11. alle IYurzeln von det(Q--x@)= 0 mit (f als Einheitsniatrix) dem Bctrage nach kleiner als 1, so folgt nach Siilzen dcr hlalrizen-

m

lehre 2, die Konvergenz der &" fur v+ 03, indem man 2 I &PI i majorisicrl. aqk V=I '

Sind ubertiies alle hbleitungen a.i 2 0 in 23 fur j, k= 1, .... n, so folgen die oben genann-

ten Aussagen A-C. Denn mit gceigneten Zwischenstellen lt: gilt Init (8) nach dcm 'I 'aylor- sclien Satz

. . . . . (12);

also ist dann rnit el"' 2 0 aucli ey+l '> 0; entsprechend ist mil ejv) 5 0 auch eyfl' 5 0. hlan hat also dann die Mijglichkeit des Eingabelns.

3. Beispiel einer nichtlinearen Randwertaufgabe Es miige die Randwertaufgahe

. . . . . . . . . . y" + e g = O , y(0) = y(1) = 0 * (13) angenaliert mit dcm Differenzenverfahren behandelt wcrden3).

1 3 Uni zunachst einen uberblick zu erhalten, w-erdc niit dcr Masclienweitc h= -- gcrcchnct.

Fur den Funktionswert y m u erhalt man die Gleichung

n-2n+0 (0,1260 \ 3,430 *

~ _ _ _ + ea= 0 mit den Losungen a = h2

1 Bei der Maschenweite h= - tretcn zwei Unbekannte a, b auf (Bild 1) mit den Gleichungen 4

' I

Das Schema rtuf Seitc 79 zeigt die Durchfuhrung der Relaxation; und zwar Zeile Xr. 1-9 fur die Losung mit den kleineren Werten und Zeile 10-15 fur dic mit den grOI3eren \Verten im Auszug. In Zeile Nr.1 wurde von a=0,1; b=0,13 ausgcgangen und durch Anbringcn von h d c r u n g e n versuchl, die ,,Spanne" la If I,f?I herabzudriicken. In Zeile Nr.3 sintl beitle "In- tlerungen a, 0 posiliv und in Zeile Nr.4 sind beide ncgativ. In diesem Falle kann man auwagen, daB die fragliche Losung von diesen bciden Zeilen eingeschlossen wird. Eine gewisse Schwierig- keit besteht in der Abgrenzung des Bereichcs B, in dem die Liisung liegen mull. Hier kann man

2.13. a eliminieren; dann genugt b der Gleichung f ( b ) = b - - e b (1 + e- Eeb)=O; man sieht so-

fort f ( O ) < O , f(ln2)> 0; es liegt also cine Nullslelle von b zwisehen 0 und In 2 und man dis- kutiert leicht, da13 dieselben Schranken auch fur a bestehen, sofern man sic11 auf die Losung mit den kleineren Werten festlegt. Wir verwendcn alsd 0 l a 21n2, 0 S b S l n 2 als Bereich 53.

1 1

16

*) Vg1. z. B. L. C 01 1 a t z: Eigenwertanfgaben. Leipzig 1949, S. 311. s, Die Losungen der Differentialgleichung sind in gesclilossener Form angebbar, doch sol1 hier ab-

sichtlich nicht davon Gebrnuch gemacht werden.

79

Mit ea 2 2, eb 2 2 hat man von der den1 Betrage nach grbI3ten charakteristischcn Zahl

X. m g e w . Math. Mech. Bd. 3f Sr. 2,3 Fe,,r.,3fIarz lejz C o 11 a t z , Einschliehngssatze bei Iteration und Relnxution

~ _ _

dcr Matrix

i‘i J Is !I9 R=

d. 11. von ihrer Maximalwurzcl nachzuweiscn, dal3 sic kleiner als 1 ist. Nach dem Ein- sclilic13ungssalz4) genugt es, einen Vektor u mit positivcn Komponenten anzugcben, so da13 die Verhaltnisse der Komponenten von Q u XU denen von i t kleincr als 1 bleibcn. Ein solcher ist z. B.

-0,OOO 46 0,00204 0,000 11

-0,Ooo 22 -0,OOO 26

0,Ooo 012

-0,Ooo 001 -0,372 -0,31 -0,27

0,000 001 1

0,0116

0,000 25

die

0,005 59 0,00077 0,002 77

-0,Ooo 91 0,000 02

-0,Ooo 004 0,000 001

-0,Ooo 001 0,71

-0,OG -0,37

0,006

0,000 13

Verhiilt nisse 35 13 - und - sind 48 16

beidc kleiner

L l t

als 1.

35

= i]; ag, aqk Da ferner die partiellen Ableitungen ~, ~ samllich positiv sind, gilt nach den1 oben

a a ( V ) ab(V) Bewiescnen die Einschlierjungsaussage C, also mit den Zahlcn der Zeilen Nr.3 und 4 -

0,102 2 a 5 0,107, 0,135 5 b 2 0,144. Saturlich kann man leicht die Genauigkcit steigern ; ZeilenNr. 5 bis 7 zeigen die Ausfiihtung

cincr Korrekturreclinung mit den als klcin angenommencn Korreklurcn 6, E , welche sic11 aus

* (16) . . . . . . . . . . . . 0,035 6 + 0,5 E - 6 = 0,00026 0,036 E + 1

6 - E = - O,OOOO2 J zu

6 = - 0,000575 , E = - 0,000574 crgeben.

positiv, bzw. beide ncgativ sind. Damit ha1 man die Einschlie13ung6). In Zcilc 8 und 9 sind Kotrekturen so angebracht, darj die Anderungen a, p jcweils bcide

0,105446 I d 2 0,105450, 0,141443 5 b 20.141449. Bci dcr anderen Losung mil den grbI3ercn Wcrten bleibcn die charakteristischen Zahlen

dcr zugehorigen Matrix dem Betragc nach nicht unterhalb von 1, und man kann hier leicht Beispicle dafiir gebcn, da0 man nicht aus der Tatsache, daI3 alle Anderungen in einer Richtung erfolgen, schlieflen darf, die Lijsung miisse auch in dieser Richtung liegen. Zeile Nr. 11 ergibt beide Anderungen a, /? ncgativ, trotzdem ist der Wert b=3,5 zu klein, entsprecliend sind in Zeile Nr. 12 a und /? negativ und beide U‘erte a, b sind zu klein, Zeile Nr. 13 gibt positive a, @, trotzdem - ..

Zcile h’r .

1 2 3 4 5 6

7 8 9

10 11 12 13 14

15 ~

0,105445 0,141 443 1,111 205 0.10.i451~0.141450 1.111 212

3 4

2 11,02

2.3 9,974

1,1388 1,1445 1,1445 1,1549 1,1526 ,, +1,158

1,151 915 1,151 934 1,161 943 64,60 33,12 20,09 5460 ,, + 54,6 &

53,732

0,099 54 0,102 04 0,102 11 0,106 778 0,105 744 ,, + 0,035 + 075 E 0,105 437 0,105 446

2,628

1,731 2,3116

1 0,105 450

I 2,09

,, 0,312 s + 0,5e 2,305 25

0.13 559 0,135 77 0,137 77 0,143 091 0,142 019

+ 6 0,141 422 0,141 443 0,141 449 4,71 3,44 2,63 4,006 ,, + 1,71 E

9 , + 0,036 c

+ (3 3,984 13

~

Vgl. z. B. Math. Z. 48 (1942), S. 221. 6 ) Die EirischlieBung bezieht sich nur ituf die ReItc. a, b , nicht auf y

Spanne la1 + IBI

0,006 03 0,002 81 0,002 88 0,001 13 0,000 28

0,000 016 0,000 002 0,000 002 1,08 0,37 0,64 0,018

0,000 38

Z. angew. Math. btech. C o 11 a t z , Einschliehngssiitzo bei Iteration und Relaxation Bd. 92 Nr. 2,9 Febr.,Mgrz 1952 80

’ist b=4 zu grolJ. Alle drei Zeilen 11 bis 13 geben Gegenbeispiele gegen Aussage B. In Zeile 13 bis 15 ist eine Korrekturrechnung durchgefiihrt, die mit

-

0,312 6 + 0,s E - 6 == - 0,0116 6 = 0,00526 1,71 E + 6 - E =-0,006 1 E =- 0,0159

die Spanne la I f I/3 I stark herabdriickt und zeigt, da13 diese Korreklurrechnung auch zum Zicle fiihrt, wenn das Iterationsverfahren in der gewohnlichen Art versagen wiirde.

4. Spezialfall des linearen Gleichungssystems Um Aussagcn fur lineare Gleichungssystemc zu erhaltcn, konnte man die Ergebnisse vom

nichtlinearen Fall spezialisieren. Man bekonimt jedoch clwas schiirfere Resullate, wenn man die linearen Gleichungssysteme direkt in Angriff nimmt und die bei linearen Gleichungen weiter entwickelte Theorie bcnutzt. Es sei das Gleichungssystem vorgelegt

Q = = r . . . . . . . . . . . . . . . . . (17). blit %= B+Q und nichtsingularen Matrizcn a, B lautet die Iterationsvorschrift

Die Anderungsvekloren

geniigen dann den Gleichungcn

mit

Die Aussage A ist dann und nur dann bci beliebigem b(”) richlig, wenn alle Elemente f i k der hfatrix 3 nichtncgaliv sind, wie aus b(” l) = Sb(L’) unmittelbar folgt. (Ware einf,,< 0, so wahle man d r ’ > 0, dty’ = o fiir e + q, dann wGrde d:+” = f p n d:’< 0.)

Das Iterationsverfahren (18) licil3e konvergent, wwin es bei beliebiger Wahl des Aus- gangsvektors zto) konvergiert . (Daiur ist bci nichlsingularen U, !I3 bckanntlich nolwendig und liinreichend, da13 alle charakteristischcn Zahlcn von 3 Betrage kleincr als 1 haben.)

Dann gilt fur ein konvergentes Itcralionsvcrfahren die Aussage B, sofern f i k 2 0, 5 also nichtnegaliv ist ; es ist namlich

B p r l ) + Q‘”’ = r . . . . . . . . . . . . . . (18).

b ( V ) 1 p++” - x ( V ) * (19)

b(t4 = 3 b ‘ V - 1 ’ === ... = S”b(O) . . . . . . . . . . . . . (20)

g= - B-16 (21).

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

m

* (22) . . . . . . . . . . . E - pJ - 1 ) - - 2 b(Q) = @ b ( V + ’ )

e-v- t l mi t

m

8= 2 a?. Q = O

Da die charakteristischen Zahlen von 5 Betrage klciner als 1 haben, konvergiert die Jlatrizenreihe, welche 8 definiert, und w-egen f i k 2 0 hat auch @ nur niclitnegative Elemente. Hal also b(Y+l) nur nichtnegative (nichtpositive) Elemente,, so auch E - ~ ( t ’ + l ) , womit auch hier die Mdglichkeit des Eingabelns gcgebcn ist.

5. Eingabelung bei den Iterationsverfahren in Gessmt- und Einzelschritten Ein wichtiger Spezialfall ist der einer Matrix 2l mit positiven Hauptdiagonalelementen

aji> 0 und nichtpositiven Elenientcn auljerhalb der Hauptdiagonale a,k 5 0 fur i =I= k. Beim Iterationsverfahren in Gesamtschritten verwendet man als 23 eine Diagonalmatrix mit den aij: .. 0 . . . 0 0 a12 . . . a , ,

B2)= 0 . . . . . . . . . . . . . U 2 2 . ’ . 0 1; Q = [l;; . . . . . . . . . . . . . . . ;n2*r;*f-j. 0 0 . . .

Hier ist

0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . 1 0 0 . . . -

all I 1

und 8=-B-lE offenbar nichtnegativ.

2. m. angew. 92 Nr. Math. 2,9 Fcbr,,MBrz Mech. 1952 C o 1 1 a t z , EinschlieBungaaiLtze bei Iteration und Relaxation 81 -

Das gleiche gilt beim Iterationsverfahren in Einzelschritten. Hier verwendet man

a,, 0 0 . . . 0

.......................

0 ala aI3 ... B=

Dann hat 8 - 1 nur nichtnegative Elemente ; denn die Vorzeichenverteilung ist bei b: + 0 0 ...

wobei an Stelle von negativen Elementen auch Nullen treten konnen; bei '23-l hat man das Schema

+ 0 0 ...

wobei wieder an Stelle der positiven Elemente aul3erhalb der Hauptdiagonale Nullen treten konnen. Die Richtigkeit der behaupteten Vorzeichen ergibt sich leicht spaltenweise durch voll- standige Induktion. Somit hat auch jetzt B=-B-lB nur nichtnegative Elemente.

Zusammenfussend gilt daher: Ist bei einer Matrix 2l mit aij>O, aikSO fur j + k das Itera- twnsverfuhren in Gesamtschritten (bzw. in Einzelschritten) konvergent, so gelten die Aussagen A bis C; es besteht die oben gelzannte Miiglichkeit des Eiszgabelns.

6. Anwendung a d Randwertaufgaben bei gewohnliehen und partiellen Diff erentialgleichungen

Die Voraussetzungen dieses Satzes sind in vielen fur die Anwendung wichtigen Fallen erfullt. Wir geben einige Beispiele:

1. Der Randwertaufgabe

mit stetigem g(x) , r(z), stetig differenzierbarem f(z) und f(z)>O, g(z) 2 0 in a 5 x s;b werden bei naherungsweiser Liisung mit dem gewohnlichen Differenzenverfahren die Differenzen- gleichungen

. . . (24), 1 1 f

j12 [- f j + Yj +I + (4 + +f,- 5 ) Yi- f j - + Yj- l ]+ gi Yi= rj 9

yo= y,, Y,= yb, (i= 1, * .) n-1) 1

zugeordnet. Dabei ist das Interval1 <a, b> in n, gleiche Teile der Lange h = -@-a) zerlegt, n

und der Wert einer Funktion f, g, ... an der Stelle xk:k= a+ k h wie ublich durch Anhtingen des Index k gekennzeichnet, wobei k nicht ganzzahlig zu sein braucht. Y j bezeichnet den dureh Losung des linearen Gleichungssystems (24) erhaltenen Naherungswert fur die exakte Losung y(zj). Die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems erfiillt die oben von 8 geforderten Vor- zeichenbedingungen, und es konvergieren sowohl Gesamtschritt- als auch Einzelschrittver- fahren ". Also bestehen hier die Aussagen A-C mit der Eingabelungsmoglichkeit.

L. C 01 l o t z: m e r die Konvergenzkriterien bei Iterationaverfahen fa lineare Gleichungssystemc. Math. Z. 53 (1950), S. 149-161.

6

2. angew. Math. Mech. C o 11 a t z , Einschliehngssitze bei Iteration und Relaxation Bd, 32 ffr. 2,3 Febr.,MBrc ,852 _ ~ _ _ _ _ _ _ _ 82 --_---.-______--_____-_I__

Entsprechend lassen sich die 2. und 3. Randwertaufgabc behandeln. Es seien etwa an Stcllc der Randwerte ya, yb dic Randbedingungen vorgcgeben

mit a< b, A,>O, A,>O. Dann verwcndcn wir (abweichend vom obigcn) ein Gitter, bei dem die

Stellen a und b zwischen zwei Gitterpunkten liegcn: Die Maschenweite h = -- bleibt, aber

die Gitterpunkte sind x k = a + k + - - h. Dcn Randbedingungcn cntsprechen jctzt die Glei- . chungen :

y ( a ) - A , ~ ' ( u ) = BI, y ( b ) + A, ~ ' ( b ) = B, . . . . . . . . * (25)

b - a n

( 1) Y-14- Y" Y o - Y-1 Yn-l f y,, - + A, Y , , - Yn-1 -

- B, 2 h --A, h = B , , --__ 2

oder

h sei bcrcits so klcin gcwiihlt, daB die runden Klammrrn positiv ausfallcn. Dann sind alle Vor- aussetzungcn (auch das ,,schwachc Zeilensummcnkritcrium", welches die Konvcrgcnz dcs Itcrationsverfahrcns sichcrt) crfullt, und es gelten wieder A bis C.

2. Bci dcr elliptischen Differcntialgleichung a2u a Z u au au ax2 aya ax a9

L[u] = a ~ + c -- + d- + e - - g u = r . . . . . . . . . (25)

scien die gcgebcncn Funklioncn a, c, d, e, g , r in cinem Bcrcich der z-y-Ebene stetig, a, c positiv und g nichlnegativ. In einem rechteckigcn Gittcr mit den Maschenwciten h, 1, den Gitterpunktcn

xi = xo + jh Y k = Y O +

( j , k=0, 1, 2, . . .) und Bezcichnung dcr Funklionswertc an einer Stclle 5,. y k durch Anhangen dcr Indizcs i, k ent spricht der Differentialgleichung (27) dic gcwiihnlichc Differcnzcnglcicliung fur dic Naherungs- w e r k u l k

Es scicn h und 1 so klcin gewahlt, daB alle runden Klam- mern nichtnegativ sind.

Sind langs eincr Randkurve F die Wcrte von u vor- geschriebcn, so treten mit den Bczeichnungcn dcs Bildcs 2 noch Gleicliungcn der Form hinzu

wobei u(B) gegeben ist. Auch jetzl sind die Vorzeichcn- fordcrungen erfiillt ; c5 konvcrgieren Gcsamtschritt- und Einzelschriltverfahrcn, und cs bestehcn daher die Aussagen

Blld 2 A - C mit dcr Eingabclungsmoglichkeil. Auch hicr las- sen sich die Bclrachlungcn leicht auf allgemeinere Dif-

fcrcntjalglcichungen (z. B. in melir Dimensionen) und auf andcre Randbcdingungen uber- tragen.

( 6 + h ) u ( A ) - 6 u ( C ) = h u ( B ) . . . * (2919

7. Beispiel fur Durchfiihrung der Fehlerabschatzung bei der Relaxation Es sei fur cinen quadratischcn Bcreich 0 5 x 51, 0 l y 51

Au=O im Innern au a y

und auf dem Randc u = y fur x=O, z=1 und y = l , - = 0 fur y = 0 vorgcgebcn; u(x,y) laDt sich in bckannter Weise deuten als stationare Temperaturverteilung (an drei Randgeraden vorgegebene Temperatur mit linearem Ansticg und langs der vierlen Randgeraden Warme-

isolation, Bild 3). Bei Benutzung des Differenzenverfahrens mit der Maschenweitc h = -- hat 1 5

83 2. angew. Math. Mech. Bd. 32 Nr. 2,9 Febr.,Mlirz 1052 c o 1 1 a t z , Einschlieflungssatze kei Iteration und Relaxation

Y h

, Kachbanverten ergibt die Zahlen rechts oben, also 0,6275

4. Dezimale rechls unten hingeschrieben, bci A also -25. Nacli Art der Relaxation wurden die Korrckturen von

Anderungen des Schemas I11 hervorrufen; in Schema I11 sind die von Schema I iibernommenen Andcrungen durch Unterstrcichen gckcnnzeichnet. Bringt man die Korrek- turen von Schema I1 an den Funktionswerten von

an der Stelle A; die h d e r u n g e n sind in Einheiten der

Schema I1 an den Funktionswerten angebracht, wclche die s a

0

u.1

3 a

c a U I X --=o

0,80

0,60

0,40

0.20

-

0,81 __

A0,63 ~

0,46 ~

0,30 -

8100 8115 8160

+15

6300 6285 6440

8176

+16

6450

3100

-25 + 10

3150 3700 3726

2300

+60 +25

2350 320013225

+ M ) + 26

8148

6340

8240 ____

6644 ~~

4-12

4-12

+8 +12

+8 +12

+8

--

--

~-

0 + 10

46404646 6OOO 5010 4662 4653 5024! 6026

$1 1-2

326013261 3904 3906 4-12

+12

+8 +12

+8 +12

-__

--

3272

2500

3924 ~-

3452 ~-

-3

0+2 -3

____ 0-2

__-

j+l +1

I 1,oo 1,00 I1 In: -

8150 - +5o

6425

$25

4850

-60

3650

f 150

3076

-

-

-

- -126

VI

- 0 I 60

8100 0,81

0

6275 0,64 -

-25

4550 0,49

-50

3050 0,35

___-

+5o

2300 0,32

+200 __-

-30

t 2 5

f200 +id-125+50 1-

- i t 5 0

VIII Ix V l l X

I ‘ 8140,8135 8220 I 8215 81368137 8220 8220 ~ 1- i + l i o

632816328 65241 6524

lo l o

I 3260 r5 3255 3900,3895

-2

7) R. V. Southwell: &laxation methods in Engineering Science. Oxford 1943. - Relaxation method8 in Theoretical Physics. Oxford 1946.

6’

2. angrw. Math. Mech. 81 Rleine Mitteilungen Bd. 32 Nr. 2/9 Febr./M&rz 1952

um 8 Einheitcn der 4.Dezimale, und dann alle Zahlen beider Spalten 2=0,2 und 2=0,4 noch- mals urn 12 Einheiten, und wir erhaltcn in Schema IX durch Addition der Anderungen von SchemaVIII neue Anderungen, die samllich nichtpositiv bind. Wenn man also an den Funk- tionswerten von Schema VI allc Werte der linken Spaltc 2=0,2 urn 12.10-4 und alle Werte der rechten Spalle s=0,4 urn 20.10-4 crhoht, hat man in den Zahlen von SchemaX sicher obere Schranken fur die Losung der Differenzcngleichungen, und diese ist somit auf einfache Weise in Schranken eingesclilossen, also z.B. an der Stellc A: 0,6328 S;uA 50,6340. (Die Block- relaxation errnoglicht so sehr rascli eine EinsclilielJung ; man kijnnte naturlich auf sorgfaltigere Weise die grollen Anderungen -3, -7 in Schema IX herabdriicken und engere Schranken geuiinnen.) Eingegangen a m 31. Mai 1961.

KLEINE MITTEILUNGEN Eine neue Zwangsfiihrung zum Nystromrchen Stleltjesplanimeter. l)

Da s Stielt jesplanimeter dient beknnntlich 21 4, b,

Bur Auswertung von Integrnlrn der Form

welche als Stieltjesintegrale bezeichnet werden. Neben den Spezialinstrumenten fur bestimmte Arten dieser Integrale, z. B. &Iomentenplanimetern, harmonischen Analysatoren usw., gestattet das Stieltjesplanimeter e k e Auswertung bei beliebigen Funktionen I( L ) und h ( l ) und zwar in folgender Weiee: Der Fahrstift A

ild 2) wird von einer ersten Bedienungsperson auf

einc zweite Bedienungsperson verfolgt rnit eincr Fahr- lupe die auf dem beweglichen Tisch T befestigte Zcich- nung der Kurve z = h(L). E. L a u r i 1 as) ersetzt die Tlitigkeit der zweiten Person durch eine mecha- nische Zwangsfiihrung. Er bildet die Kurve z = h ( l ) durch ein Stahlband nach, das auf dem beweglichen Tisch T befestigt wird, und setzt a n Stelle der Fahr- lupe eine Itollenfiihrung, in welcher das Stahlband glcitet. Damit die Vorrichtung ohne Nachhilfe arbei- tet, darf die Steigung der nachzufahrenden Kurve nicht groDer als 70' wcrdcn. Ferner muB der Kriim- mungsradius der Kurve h ( f ) stets groI3er als der Bollen- radius bleiben.

Die neue Zwangsfiihrung (Bild 1, 2 u. 3) vermeidet die hierin liegenden Beschriinkungen. Sie verwendet U l e c h s c h a b l o n e n 8 in Form der Kurven

irB. er Burve y = J ( f ) bzw. auf der Abszissenachse bewegt;

Dild 1. Prlnzipsklzzr dcr owrn Zrnng8fUltrung mlt Blechschablone (a o Bewegungarlchtung vun E , b = Beaegungsrichtung yon T)

I ) Aua dem Irrstitut IUr Praktlsche Mathenlatlk dcr Tcchnlschen

'1 Fr. A. W I I 1 e rs ; Mathematlsche Ins trmcntr . (2. AuII.) Ifochschule Darrltetadt. Prof. Dr. A. W a1 t h e r.

Berlln 1951. *) W. M e-y c c z u r C a p e 1 I e 8 : Mathematlnche lnstrurnentr.

3. A u f l . LelpZ!E (Akadem. Vcrlagsgeaellschaft) 3848. E. J. N y s t I 0 m; Eln Instrument zur Auswertung vnn

AtleltJrblntegralrn. SOC. Sr l . Fcnnlca. Cornmrntdt. pl~ys.-math. I X . 4 . (1036).

.) E. L a u r I I a; uber das Nyetrbmsche Stleltjeaplaolmelcr. Boc. Scl. Fennlca. Commontrrt. phya.-math. X. 7. (1099).

x = h ( t ) . Am Rand gleitet ein Metallstift St, der durch ein Gewicht 0 mit dem Seilzug fl, gegen den Rand von S gezogen wird. Bei groRen Steigun en hebt man von Hand mit dem Seilzug S, den ron Qierrtihrenden Zug auf. DiessBetiitigung von S, muB gleichzeitig rnit dern Nnchfahren der Kurve y=/( l ) erfolgen, so daD der Stift St standig den Rand der Schablone beriihrt. Dies kann man bei einiger ubung ohne Schwierig. keiten erreichen.

B11 2. Oesamtanslcht des 9th Zrsngs!

jesplanlmcters rnlt der nenen rung

Damit ist es moglich, die Zwangsfiihrung auf alle praktisch rorkommendcn Kurven z = h ( t ) anzuwen- den, auch solche mit Ecken und mit nahe benath- barten Kurventeilen, wie sie durch Herausschneiden von Polen rustandekommen. Auch lassen sich die Schablonen S leicht auswechseln und verschiebbar anordnen wie etwa im nachfolgcnden Beispiel. Ihre Herstellung ist oft einfacher als die Nachbildung der Kurve mit einem Stahlband.

A n w e n d u n g s b e i s p i e 1 : A u f Anregungvon H. W i t t i c h (Karlsruhe) wurde rnit Hilfe des Stieltjesplanimeters die Konvergenz der Iterations. folge

mit /(@) = I n ~ ' l - ( ( l - k a ) s i n * ~ und go(p)=O

fur verschiedene Werte von k untersucht. Der h t e - grand ha t fiir a=p, einen Pol 1.Ordnung. Deshalb wurde das Integral zwisehen den Greneen p-E und p+ E durch Reihenentwicklung drs Integranden n&he. rungsweise berechnet. Dabei w r d e E auf a rund einer Fehlerabschiitzung beim ersten Iterationsschritt zn E = 1" festgelegt.