Elektrodynamik || Feldgleichungen

14 Feldgleichungen

Ausgehend von (13.20) leiten wir die Feldgleichungen der Magnetostatik ab. Wir

geben integrale Formen dieser Gleichungen an und behandeln einfache Anwendun-

gen (homogen durchflossener Draht, unendlich lange Spule).

Wir formen (13.20) um:

B(r) = 1

c

∫d3r ′ j (r ′)× r − r ′

|r − r ′|3 = − 1c

∫d3r ′ j(r ′)×∇

1

|r − r ′|

= 1

c∇ ×

∫d3r ′

j(r ′)|r − r ′| = rot A(r) (14.1)

Der Nablaoperator wirkt nur auf r . Im letzten Schritt haben wir das Vektorpotenzial

A(r) = 1

c

∫d3r ′

j(r ′)|r − r ′| + gradΛ(r) (14.2)

eingeführt. Zu diesemA(r) kann ein beliebiges Feld addiert werden, dessen Rotati-

on verschwindet. Nach (3.41) kann ein solches zusätzliches Feld als Gradientenfeld

geschrieben werden, also in der Form gradΛ mit beliebigen Λ(r). Wir wählen

speziell Λ = 0, so dass

A(r) = 1

c

∫d3r ′

j (r ′)|r − r ′| (14.3)

Diese Wahl von Λ impliziert

div A(r) = 0 (Coulombeichung) (14.4)

Um dies zu sehen, berechnet man die Divergenz der rechten Seite von (14.3). Dabei

benutzt man∇ |r−r ′|−1 = −∇′ |r−r ′|−1 und wälzt∇′ durch partielle Integrationauf j (r ′) um. Dann ist der Integrand proportional zu divj und verschwindet wegen(13.13).

Die Unbestimmtheit vonA in (14.2) kann auch so formuliert werden: Die Trans-

formation

A(r) −→ A(r)+ gradΛ(r) (Eichtransformation) (14.5)

126

T. Fließbach, Elektrodynamik, DOI 10.1007/978-3-8274-3036-6_15© Springer-Verlag Berlin Heidelbcrg 2012

Kapitel 14 Feldgleichungen 127

lässt das physikalische (als Messgröße definierte) Feld B(r) unverändert. Diese

Transformation wird Eichtransformation genannt. Die Invarianz gegenüber einerTransformation ist eine Symmetrie. Symmetrien nützt man häufig dazu aus, um

Probleme einfacher zu machen. Wir nützen die Eichsymmetrie aus, um divA ge-

mäß (14.4) festzulegen. Die so getroffene Festlegung heißt Coulombeichung.

Wir berechnen die Rotation des Magnetfelds:

rotB(r) = rot rotA(2.29)= grad divA−�A

(14.4)= −�A

(14.3)= − 1c

∫d3r ′ j (r ′) �

1

|r − r ′|(3.24)= 4π

cj (r) (14.6)

Die Divergenz vonB verschwindet wegen (2.24), div rotA = 0. Damit erhalten wirfür die Quellen und Wirbel des Magnetfelds

divB(r) = 0

rotB(r) = 4π

cj (r)

Feldgleichungender Magnetostatik

(14.7)

Im Folgenden betrachten wir diese Feldgleichungen als die Grundgleichungen der

Magnetostatik. Das Integral (13.20) ist die Lösung der Feldgleichungen für eine

gegebene lokalisierte Stromdichteverteilung.

Wir setzen nochB = rotA in die Feldgleichungen ein. Die homogene Feldglei-

chung ist automatisch erfüllt. Wegen der Coulombeichung gilt rotB = rot rotA =−�A. Damit erhalten wir

�A(r) = − 4πc

j(r) , B(r) = rotA(r) (14.8)

als alternative Grundgleichungen der Magnetostatik. Das Integral (14.3) ist die Lö-

sung der Feldgleichung�A = −4πj/c.

Falls es magnetische Quellen gäbe, wäre die Feldgleichung divB = 0 durch

divB = 4π�magn zu ersetzen. Eine magnetische Punktladung (also ein magneti-

scher Monopol) hätte das Feld B = qmagn r/r3.

Die Quantisierung der elektrischen Ladung und des Drehimpulses impliziert,

dass magnetische Monopole ebenfalls quantisiert sein müssen [6]. Die magnetische

Elementarladung qmagn wäre um einen Faktor h̄c/e2 ≈ 137 größer als die elek-

trische. Ein magnetischer Monopol würde Materie entsprechend stark ionisieren.

Die Suche nach magnetischen Monopolen war bisher erfolglos; man kann daher

vermuten, dass es keine solchen Teilchen gibt.

128 Teil III Magnetostatik

Ampère-Gesetz

Wir betrachten eine beliebige, zusammenhängende Fläche a mit der Randkurve C

und wenden den Stokesschen Satz auf die Feldgleichung rotB = 4πj/c an:∮C

dr · B = 4π

c

∫a

da · j = 4π

cIF (Ampère-Gesetz) (14.9)

Dieses Ampère-Gesetz besagt, dass das Linienintegral∮Cdr ·B über den Rand der

Fläche den Strom I durch die Fläche ergibt (multipliziert mit 4π/c). Das Ampère-

Gesetz ist eine integrale Form der inhomogenen Feldgleichung und entspricht dem

Gaußschen Gesetz der Elektrostatik. Bei einfachen Geometrien kann das Ampère-

Gesetz der schnellste Weg zur Lösung sein.

Zu einer gegebenen Kontur C gibt es unendlich viele verschiedene Flächen a;

für einen KreisC könnte a zum Beispiel die Kreisfläche oder auch eine Kugelschale

sein. Das Integral in (14.9) hängt nicht von der speziellen Form von a ab: Zwei ver-

schiedene Flächen a1 und a2 mit derselben Kontur C können zu einer geschlosse-

nen Fläche zusammengefasst werden. Hierfür kann das Oberflächenintegral∮da ·j

in das Volumenintegral∫d3r divj umgewandelt werden, das wegen (13.13) ver-

schwindet. Also ist∮da · j = ∫

a1da · j − ∫

a2da · j = 0; die Flächenintegrale

über a1 und a2 haben damit denselben Wert.

Magnetischer Fluss

Wir geben auch eine integrale Formulierung der homogenen Feldgleichung an. Da-

zu definieren wir den magnetischen Fluss Φm durch eine Fläche a :

Φm =∫a

da · B (magnetischer Fluss) (14.10)

Wegen [B] = [Φm]/[Fläche] heißt B auch magnetische Flussdichte. Aus der Feld-gleichung divB = 0 folgt, dass der magnetische Fluss durch eine geschlossene

Fläche a verschwindet: ∮a

da · B =∫V

d3r divB = 0 (14.11)

Dabei ist V das von a eingeschlossene Volumen. Dies bedeutet anschaulich, dass

ebensoviele Feldlinien in V hineingehen, wie wieder herausgehen. Da dies für be-

liebige Volumina gilt, sind die Feldlinien geschlossen. Es gibt eben keine magneti-

schen Ladungen, die Ursprung von Feldlinien sind.

Das Ampère-Gesetz und∮da · B = 0 sind integrale Formen der Feldgleichun-

gen. Diese Aussagen können bei der Anfertigung eines Feldlinienbilds hilfreich

sein.


Homogen durchflossener Draht

Als einfache Anwendung des Ampère-Gesetzes betrachten wir einen zylindrischen

Draht, der homogen vom Strom I durchflossen wird. Die Symmetrieachse des ge-

raden, unendlich langen Drahts sei die z-Achse. Dann ist die Stromdichte

j (r) = ez ·⎧⎨⎩

I

πR2(ρ ≤ R)

0 (ρ > R)

(14.12)

Wir verwenden Zylinderkoordinaten ρ, ϕ und z. Aus (14.3) und j ‖ ez folgt

A = A(r) ez. Das betrachtete Problem ist invariant bei Drehungen um die z-Achse

und bei Verschiebungen in Richtung der z-Achse. Wegen dieser Zylindersymmetrie

kann A = A(ρ, ϕ, z) nicht von ϕ und z abhängen, also

A(r) = A(ρ) ez und B(r) = rotA = B(ρ) eϕ (14.13)

Die Feldlinien sind also Kreise (wie in Abbildung 13.3 rechts).

Als Kontur im Ampère-Gesetz (14.9) wählen wir einen Kreis mit ρ = const.

und z = const. Mit dr = ρ dϕ eϕ erhalten wir∮dr · B = 2πρ B(ρ) = 4π

cIF =

4π

c·{I ρ2/R2 (ρ ≤ R)

I (ρ > R)(14.14)

Hieraus folgt

B(r) = B(ρ) eϕ =2I

ceϕ ·

{ρ/R2 (ρ ≤ R)

1/ρ (ρ > R)(14.15)

Der Verlauf der Feldstärke ist in Abbildung 14.1 skizziert. Für R → 0 erhalten wir

den Spezialfall (13.24) des dünnen Drahts.

ρ ρ�

�

R

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.....................................

j (ρ)

�

�

R

B(ρ)

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Abbildung 14.1 Stromverteilung j = j (ρ) ez und Feldstärke B = B(ρ) eϕ eines homo-

gen durchflossenen Drahts.


�

�z

��

��

I �

C

B

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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�B

Abbildung 14.2 Im Inneren einer unendlich langen Spule (links) ist das Magnetfeld ho-

mogen, im Äußeren verschwindet es. Wendet man das Ampère-Gesetz auf die gezeigte

Kontur C an, erhält man leicht die Feldstärke im Inneren. Rechts ist das Feld einer end-

lichen Spule skizziert.

Unendlich lange Spule

Wir betrachten eine Spule mitNS Windungen pro Länge �S auf einem Kreiszylinder

(Abbildung 14.2). Wir verwenden wieder Zylinderkoordinaten ρ, ϕ und z; die z-

Achse sei die Symmetrieachse des Zylinders. Die Spule sei so gewickelt, dass die

einzelnen Drahtwindungen näherungsweise Kreise mit ρ = R und z = const. sind.Der Strom fließe in eϕ -Richtung. Damit lautet die Stromdichte

j(r) = j (ρ) eϕ =NSI

�Sδ(ρ − R) eϕ (14.16)

Aus (14.3) und j ⊥ ez folgt A ⊥ ez, also A(r) = Aρ eρ + Aϕ eϕ. Wegen der

Zylindersymmetrie können die Komponenten Aρ und Aϕ nur von ρ abhängen, also

A = Aρ(ρ) eρ+Aϕ(ρ) eϕ . Für die vereinbarte Coulombeichung (14.4) gilt divA =ρ−1∂ (ρAρ)/∂ρ = 0. Dies hat die Lösung Aρ(ρ) = const./ρ. Da A bei ρ → 0

nicht divergieren darf, muss die Konstante verschwinden, also Aρ = 0 undA(r) = Aϕ(ρ) eϕ = A(ρ) eϕ (14.17)

Da die Richtung eϕ koordinatenabhängig ist, kann man aber nicht unmittelbar von

j ‖ eϕ und (14.3) auf A ‖ eϕ schließen.

Aus (14.17) folgt für das Magnetfeld

B(r) = rotA = 1

ρ

d

dρ

(ρ A(ρ)

)ez = B(ρ) ez (14.18)


Dann ist rotB = −B ′(ρ) eϕ . Hiermit und mit (14.16) wird die FeldgleichungrotB = (4π/c)j zu

− d

dρ

1

ρ

d

dρ

(ρ A(ρ)

)= 4π

c

NS I

�Sδ(ρ − R) (14.19)

Wir integrieren dies einmal:

1

ρ

(ρ A(ρ)

)′= −4π

c

NS I

�S

(Θ(ρ − R)+ C1

)(14.20)

Eine weitere Integration führt zu

ρ A(ρ) = −4πc

NS I

�S

((ρ2 − R2) Θ(ρ − R)

2+ C1

ρ2

2+ C2

)(14.21)

Aus (14.3) folgtA(0) = 0 undA(∞) = 0, da sich hierfür alle Beiträge zum Integralgegenseitig aufheben. Daher gilt C2 = 0 und C1 = −1, also

A(r) = A(ρ) eϕ =4π

c

NS I

�Seϕ ·

{ρ/2 (ρ < R)

R2/(2ρ) (ρ > R)(14.22)

Das Magnetfeld ist dann

B(r) = 1

ρ

d

dρ

(ρ A(ρ)

)ez = ez ·

⎧⎨⎩4π

c

NS I

�S(ρ < R)

0 (ρ > R)

(14.23)

Im Inneren der Spule herrscht ein homogenes Feld der Stärke B0 = (4π/c)NS I/�S,

im Äußeren ist das Feld null. Eine Spule ist die Standardvorrichtung zur Erzeu-

gung eines homogenen Magnetfelds, vergleichbar mit dem Plattenkondensator in

der Elektrostatik.

Wenn manB = 0 im Äußeren undB = B0 ez im Inneren voraussetzt, kann man

B0 aus dem Ampère-Gesetz erhalten. Für die in Abbildung 14.2 gezeigte Kontur C

führt (14.9) zu ∮C

dr ·B = �S B0 =4π

cNS I (14.24)

Eine unendlich lange Spule ist ein theoretisches Modell, das als Näherung für eine

lange, aber endliche Spule benutzt werden kann. Das Feld (14.23) wird näherungs-

weise für die endliche Spule gelten, solange man nicht zu nahe an einem der Enden

ist. In Abbildung 14.2 ist das Feldlinienbild für die endliche Spule skizziert. Für die

endliche Spule müssen alle Feldlinien, die durch das Innere gehen, im Außenbereich

geschlossen werden (wegen (14.11)). Betrachtet man speziell die x-y-Ebene, so

geht der Fluss

Φm = πR24π

c

NS I

�S(14.25)

durch die Kreisfläche ρ < R. Derselbe Fluss geht mit umgekehrtem Vorzeichen

durch die Außenfläche ρ > R. Im Außenbereich verteilt sich der Fluss auf eine viel

größere Fläche, so dass das Feld B (also die Flussdichte) klein ist.


Selbstinduktivität

Nach (14.1) ist dasMagnetfeldB proportional zur Stromdichte. Bei gegebener Geo-

metrie einer Drahtschleife oder Spule ist B daher proportional zum Strom I durch

den Draht:

B(r) ∝ I (14.26)

Dies gilt auch für den magnetischen Fluss Φm durch eine geschlossene Schleife:

Φm =∫a

da · B(r) ∝ I (14.27)

Wie im Anschluss an (14.9) diskutiert, hängt Φm nicht von der speziellen Wahl der

Fläche a (bei gegebener Kontur) ab. Für eine Drahtschleife ist das Verhältnis Φm/I

daher eine Konstante. Das mit NS/c multiplizierte Verhältnis wird als Selbstinduk-tivität definiert:

L = NS

Φm

c I(Selbstinduktivität) (14.28)

Dabei ist NS die Anzahl der geschlossenen Drahtwindungen, durch die derselbe

magnetische Fluss geht (NS = 1 für eine einzelne Drahtschleife). Für die oben

betrachtete Zylinderspule mit der Querschnittsfläche AS = πR2 ist die Selbstin-

duktivität

L = NS

Φm

cI= NS

cIAS

4π

c

NS I

�S= 4π

c2N 2S

FS

�S(14.29)

Die Einheit der Induktivität ist [L] = cm. Im MKSA-Maßsystem ist der Faktor

4π/c2 durch μ0 zu ersetzen; die Induktivität wird dann in Henry (H) gemessen,

[L] = Vs/A = H (Anhang A).Für nichtstationäre Ströme entsteht an den Drahtenden der Spule die induzierte

Spannung U (Kapitel 16 und 26). Die Selbstinduktivität (14.28) wurde so definiert,

dass U = −L dI/dt . Dies entspricht der Beziehung U = Q/C für den Kondensa-

tor.

Randwertprobleme

In Kapitel 7 haben wir Randwertprobleme der Elektrostatik eingeführt. In solchen

Problemen wird die unbekannte Quellverteilung auf den Randflächen durch eine

Randbedingung für das Feld ersetzt. Wir diskutieren kurz den analogen Fall für die

Magnetostatik.

Innerhalb eines Volumens V sei die Stromdichte null. Dann gilt dort rotB = 0,und wir können B als Gradientenfeld schreiben:

B(r) = gradΨ (r) für j (r) = 0 (14.30)

Aus divB = 0 folgt dann das Randwertproblem

�Ψ = 0 in V , und Randbedingung (14.31)


Nach Kapitel 7 kann die Lösung durch eine Dirichletsche oder eine Neumannsche

Randbedingung festgelegt werden. Die allgemeine Lösung von (14.31) kann wie in

Kapitel 10 oder 11 konstruiert werden.

Die Bestimmung der Randbedingung erfordert eine Diskussion der Polarisier-

barkeit vonMaterie (Teil VI) und anderer Phänomene (Supraleitung). Wir beschrän-

ken uns hier auf eine kurze phänomenologische Beschreibung zweier Spezialfälle.

In beiden Fällen betrachten wir eine Hohlkugel im homogenen Magnetfeld.

1. Die magnetische Polarisierbarkeit des Materials sei sehr groß. Dann laufen

Feldlinien, die auf die Hohlkugel treffen, in der Kugelschale weiter, bevor sie

die Kugel wieder verlassen. Dadurch bleibt der innere Bereich näherungswei-

se feldfrei.

Der (theoretische) Grenzfall unendlich hoher Polarisierbarkeit führt zur

Randbedingung B · t = 0 oder Ψ |R = const. In diesem Grenzfall erhält

man für eine Kugel dasselbe Feldlinienbild wie in Abbildung 10.3 für das

elektrische Feld.

2. Die Hohlkugel bestehe aus einem Supraleiter. Dann ist B · n = 0 und

(∂Ψ/∂n)|R = 0, denn eine Normalkomponente von B induziert einen per-

manenten Superstrom, der das Magnetfeld kompensiert. Im Inneren des Kör-

pers ist Ψ ≡ const. die Lösung der Laplacegleichung mit der Randbedingung(∂Ψ/∂n)|R = 0. Daher ist das Innere eines Supraleiters völlig feldfrei. Für ei-ne Kugel verlaufen die magnetischen Feldlinien wie die Äquipotenziallinien

in Abbildung 10.3; die Feldlinien werden aus dem Bereich der Kugel heraus-

gedrängt.

Eine geschlossene supraleitende Fläche ist die Methode zur Abschirmung magne-tischer Felder. Für elektrische Felder genügt dagegen eine geschlossene normal-

leitende Fläche (Faradayscher Käfig). Beide Abschirmungsmethoden funktionieren

auch für zeitabhängige Felder, solange diese hinreichend langsam variieren.


Aufgaben

14.1 Stromdurchflossener Hohlzylinder

�z

R1 R2

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..................Ein unendlich langer Hohlzylinder (Innenradius R1,

AußenradiusR2) wird homogen vom Strom I durch-

flossen. Berechnen Sie das Magnetfeld B mit dem

Ampère-Gesetz im Innen- und Außenraum und im

Zylindermantel. Skizzieren Sie |B| als Funktion desAbstands von der Symmetrieachse.

14.2 Stromdurchflossener Draht

Lösen Sie die Feldgleichung�A = −4πj/c für einen unendlich langen, zylindri-

schen Draht (Radius R), der homogen vom Strom I durchflossen wird. Geben Sie

das dazugehörige B-Feld an.

14.3 Zylinderspule

Für eine unendlich lange Spule ist die Stromdichte in Zylinderkoordinaten gege-

ben:

j (r) = j (ρ) eρ =NI

Lδ(ρ − R) eρ

Berechnen Sie das Vektorpotenzial aus der Integralformel (14.3). Berücksichtigen

Sie dabei die Symmetrie des Problems. Verwenden Sie partielle Integration und

J =∫ 2π

0

dϕcos(nϕ)

1− 2 a cosϕ + a2= 2πan

1− a2( |a| < 1, n = 0, 1, 2,... )

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