Entscheidungs-rechnungenbei Unsicherheit

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5.2

Ziele

Darstellung der Vorgehensweise bei der Break Even-Analyse

Analyse der Auswirkungen von Unsicherheit auf die Produktionsprogrammplanung und der Struktur der Lösungen bei Marktwertmaximierung und Erwartungsnutzen maximierung

Aufzeigen der Entscheidungsrelevanz von Fixkosten unter verschiedensten Bedingungen

5.3

Motivation

Gründe für Annahme sicherer Erwartungen bei KLRKLR dient kurzfristig wirksamen EntscheidungenErläuterung grundlegender Prinzipien

GegenargumentStimmigkeit obiger Argumente erst nach Analyse unter Einbeziehung

von Unsicherheit beurteilbar

Einbeziehung von Unsicherheit

Behandelte Ansätze Break Even-Analyse Modellansätze für kurzfristig wirksame

Entscheidungen und Lösungsstrukturen am Beispiel von Produktionsprogrammentscheidungen

Besondere Fragen dabei Messung von Risiko Entscheidungskontext: zB

Handelbarkeit des Eigenkapitals Entscheidungsrelevanz von

Fixkosten

5.4

Break Even-Analyse Grundlagen

Grundidee Einfluss von exogenen Parametern auf die Lösung von

Entscheidungsproblemen

Methode: SensitivitätsanalyseEmpfindlichkeit der Zielgrößen auf Änderungen der ParameterErmittlung des “günstigen” Parameterbereichs: Entscheidung bleibt

optimal

Grundmodell der Break Even-Analyse Fokus auf Beschäftigungsunsicherheit Ermittlung einer Break Even-Menge Ermittlung anderer kritischer Parameterwerte möglich

5.5

BEA im Einproduktfall

Bestimmung des Periodengewinns

FF KxdKxkpG

mitd Deckungsbeitragk variable Stückkosten je Produkteinheitp Absatzpreis je Produkteinheitx ProdukteinheitenK F Fixkosten

xKd

Kp k

F F

5.6

BEA im EinproduktfallBeispiel

Beispiel Absatzpreis = 100, variable Kosten = 40, Fixkosten = 120.000

BEM = 120.000/(100-40) = 2.000

x

E, K

Erlöse E

KF

Kosten K

Verlustzone

Gewinnzone

x

5.7

BEA im Einproduktfall Andere kritische Werte

k pK G

x

F

Break Even-Stückkosten

p kK G

x

F

Break Even-Preis

x K Gd

F

Kritischer Gewinn G

5.8

BEA im Einproduktfall Fortsetzung Beispiel

Fixkosten = 120.000Absatzpreis = 100variable Kosten = 40Menge = 1.800kritischer Gewinn = 0

Break Even-Preis = 40 + 120.000/1.800 = 106,67

für Absatzpreis = 90Break Even-Stückkosten = 90 - 120.000/1.800 = 23,33

Für Absatzpreis = 80Break Even-Stückkosten = 80 - 120.000/1.800 = 13,33

5.9

BEA im Einproduktfall Auswertungen

Beeinflussung der Break Even-Menge durch

Veränderung der proportionalen Stückkosten

Veränderung des AbsatzpreisesVeränderung des Mindestgewinns Erhöhung des Fixkostenblocks

durch zusätzliche Werbemaßnahmen, Einstellung von zusätzlichem Verkaufspersonal

Änderung auf Produktionsverfahren in Richtung niedrigerer variabler Stückkosten bei höheren Fixkosten

Deckung auszahlungswirksamer Teile der Fixkosten (“Cash-Point”)

E, K

Absatzmenge x

Erlöse E

FK

Kosten K

Verlustzone

Gewinnzone

x

5.10

Risikomaße Sicherheitskoeffizient SK

FragestellungUm welchen Prozentsatz darf Umsatz/Absatz (ausgehend von

Basiswert) sinken, ohne in die Verlustzone zu geraten? Überlegungen

Je höher SK, desto sicherer positiver/bestimmter PeriodenerfolgAusgangsmenge x: volle Kapazitätsauslastung

SKp x p x

p xx x

xxx

1

BeispielKapazität x = 10.000, BE-Menge = 8.000

Sicherheitskoeffizient = 1 - 8.000/10.000 = 0,2

Kapazitätsauslastung kann um 20% unterschritten werden, ehe man Verluste macht

5.11

Operating Leverage OL

Fragestellung Relative Gewinnänderung im Verhältnis zur relativen

Umsatzänderung Einfluss der Fixkosten ersichtlich Definition ohne Berücksichtigung eines Mindestgewinns:

OL

GGE

E

OL

x d

x d K

x px p

F

Letztlich aber nur Umformung des Sicherheitskoeffizienten

OLx d x

x x d K

x

xKd

x xx

SKF F

1 1

5.12

Stochastische Break Even-Analyse Einproduktfall

Explizite Untersuchung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Gewinns

Verteilung der einzelnen Bestimmungsfaktoren Annahme risikobehafteter Absatzmengen Risiko als Wahrscheinlichkeit für Erfolgsniveau G

E G E x d KF~ ~

Pr ~G G

Break Even-Wahrscheinlichkeit Pr ~ Pr ~ G x x 0

5.13

Stochastische Break Even-AnalyseBeispiel

Absatzmengen x seien gleichverteilt im Intervall x x,

f xx x

F xx xx x

x x x

1; ;

Break Even-Wahrscheinlichkeit Pr ~ G F x 0 1

Pr ~

G

falls x x

x xx x

falls x x x

falls x x

0

0

1

5.14

Stochastische Break Even-AnalyseBeispiel ...

Absatzmengen gleichverteilt in [0, 10.000]

F(x) = 0,0001xDeckungsbeitrag d = 50, Fixkosten = 200.000Break Even-Menge = 4.000F(4.000) = 0,4 und Break Even-Wahrscheinlichkeit = 0,6

0 4.000 10.000 Menge

Wah

rsch

ein

lich

keit

5.15

Fragestellung Wie hoch ist der maximale Erfolg, der mit einer vorgegebenen

Wahrscheinlichkeit überschritten wird?

Stochastische Break Even-Analyse Weitere Fragestellung

Pr ~ PrG G

1 F x x xx x

x

K Gd

x x

F

Pr

G d x x x KF Pr

5.16

Stochastische Break Even-AnalyseBeispiel

Maximierung der Break Even-WahrscheinlichkeitAnnahmen: Absatzmengen gleichverteilt in [0, 10.000]Deckungsbeitrag d = 40Fixkosten = 150.000Variante:Einstellung Verkaufspersonal mit Fixkosten = 90.000

und Obergrenze Absatzmenge = 13.000Mindestgewinn = 200.000

Ausgangssituation: erforderlicher Absatz = 8.750; Wahrscheinlichkeit 0,125Variante:erforderlicher Absatz = 11.000;

Wahrscheinlichkeit = 1 - 11.000/13.000 = 0,1538

Einstellung daher vorteilhaft

5.17

Stochastische Break Even-Analyse Beispiel ...

Fragestellung:Ergebnismaximierung bei vorgegebener WahrscheinlichkeitVorgegebene Wahrscheinlichkeit = 0,4

AusgangssituationG = 40[10.000 - 0,4(10.000 - 0)] - 150.000 = 90.000

VarianteG = 40[13.000 - 0,4(13.000 - 0)] - 240.000 = 72.000

Einstellung zusätzlichen Verkaufspersonals unvorteilhaft

5.18

Simulationsverfahren

1. Auswahl als unsicher betrachteter Parameter (P)

2. Schätzung isolierter Wahrscheinlichkeiten für jeden P

3. Ermittlung der Ausgangsgrößen für Simulationslauf Zufallszahlen für jeden P gleichverteilt in [0, 1] Transformation in konkreten Parameterwert Berücksichtigung stochastischer Abhängigkeiten durch sukzessives Vorgehen

4. Berechnung der Zielgröße

5. Häufige Wiederholung von 3. und 4. (zB 10.000mal)

6. Ermittlung der Verteilungsfunktion der Zielgröße aus relativen Häufigkeiten

5.19

Transformation von Zufallszahlen

Pr ~x x x F x F x z z1 2 2 1 2 1

x

F x

1

z1

x1

x F z11

1

z2

x2

x F z21

2

1.20

Value-at-Risk und Cash-Flow-at-Risk

Risikomaße im praktischen Risikomanagement Value-at-Risk (VaR)

Downside-Risikomaß

Probleme bei Anwendung im Nichtbankenbereich

Cash-Flow-at-Risk (CFaR) Berücksichtigt Besonderheiten im Nichtbankenbereich

Pr PrW VaR

Pr PrCF CFaR

5.21

Break Even-Analyse Mehrproduktfall

Ausgleichseffekte zwischen verschiedenen Produktarten Produktionsprogramm soll in seiner Gesamtheit ein bestimmtes

Ergebnis bescheren Nicht mehr eine Break Even-Menge, sondern eine Vielzahl von

Mengenkombinationen

Absatzmengenkombinationen der Produktarten j = 1, ..., J:

1

ˆ ˆ ˆ0J

Fj j

j

X x x d K G

X)x,,x,x(x Jˆˆˆˆˆ 21

5.22

x d x d K G x K G

d

d

dxF

F

1 1 2 2 22

1

21

Break Even-Analyse Mehrproduktfall ...

Zweiproduktfall: Gerade

Mehrproduktfall: Konvexkombination isolierter Break Even-Mengen

x j ( , ,x , , )ji 0 0 x K G

dji

F

j

x x x x xJ j J jj

J

1 1 2 2

1

j jj

J j ;

0 1

1

5.23

Break Even-Analyse: Mehrproduktfall Beispiel

J = 4 Produktarten

Deckungsbeiträge: d1 = 20; d2 = 70; d3 = 60; d4 = 150

Fixkosten = 150.000Mindestgewinn = 60.000

Break Even-Mengen

.

.

.

.

.

.

.

.

x

x

x

x

1

2

3

4

1 2 3 4

1

2

3

4

10 500

0

0

0

0

3 000

0

0

0

0

3 500

0

0

0

0

1400

10 500

3 000

3 500

1400

x . ; x . ; x . ; x .i i i i1 2 3 410 500 3 000 3 500 1400

Beliebiger Break Even-Vektor

5.24

Break Even-Analyse Mehrproduktfall ...

Konstanter Absatzmix Beliebiges Produkt als Leitprodukt Annahme konstanter Verhältnisse der Absatzmengen

Für erstes Produkt als Leitprodukt und bj als konstante Verhältnisse der Absatzmengen der Produkte j zu Produkt 1

jj

x

x für j , ,J

11

D x d x d x d x dj j j j j jj

J

j

J

j

J

1 1

11

11

x K G

d

F

1

5.25

Break Even-Analyse: Mehrproduktfall Break Even-Umsatz

Ermittlung des Break even-Umsatzes bei konstantem Absatzmix

E x p x p x pj j j jj

J

j

J

1 1

11

E p xK G

d p

F

1

Relation “Deckungsbeitrag zu Gesamtumsatz” für jedes Produktgegeben und konstant

D

E

x d

x p

x d

x p

d

pj j j j j j j

1

1

1

E K G

D

E

F

j

j

J

1

5.26

Break Even-Analyse: Mehrproduktfall Beispiel

Mengenrelation 1 : 2 : 4 : 4

d . 1 20 2 70 4 60 4 150 1000

x .

. 1

210 0001000

210

x ; x ; x 2 3 4210 2 420 210 4 840 210 4 840

5.27

Break Even-Analyse: Mehrproduktfall Beispiel ...

Mengenrelation 1 : 2 : 4 : 4

Gegeben seien folgende Preise

p p p p1 2 3 4110 200 160 220 ; ; ;

p 1 110 2 200 4 160 4 220 2 030.

D

E

.;

D

E

.;

D

E

.;

D

E

.1 2 3 420

2 030140

2 030240

2 030600

2 030

E .

..

. .

. . 210 000

10002 030

210 000 2 0301000

426 300

5.28

Pessimistische und optimistische Variante

Pessimistische Variante Individuelle Deckungsbeitrags-Umsatz-Relationen Dj /Ej in

aufsteigender Reihenfolge, bis Absatzobergrenze erreicht ist Optimistische Variante

umgekehrtGewinn G

Umsatz E

KF

optimistischeVariante

Produkt 3

Produkt 2Produkt 1

Eopt

pessimistischeVariante

Produkt 1

Produkt 3

E pess

Produkt 2

5.29

Verfahrenswahl bei Unsicherheit

Varianz der Absatzmengen: 150 Absatzpreis: 10

Verfahren 1: K k d xF1 1 1 11000 8 2

10002

500 . ; ; ; .

Verfahren 2: K k d xF2 2 2 22 000 6 4

2 0004

500 . ; ; ; .

Gleiche Werte für SK und OL

Gewinnvarianzen

Verfahren 1: 21

212 2150 2 150 4 600~ ~G x d

Verfahren 2: 22

222 2150 4 150 16 2 400~ ~ .G x d

5.30

Beurteilung von SK und OL

Problem: Keine Berücksichtigung der Verteilungen bei SK und OL

Darstellung am Beispiel der Gewinnvarianz

2 2 2 2 2 2 2~ ~ ~ ~ ~G x d K x d x d x p kF

WirkungenTatsächlich

Niedrigere Stückkosten führen zu höherem Deckungsbeitrag und höherer Varianz des Gewinns

Fixkosten haben keine Auswirkung auf die Varianz

Kennzahlen Niedrigere Stückkosten führen zu höherem Deckungsbeitrag, zu

geringerer BEM und zu höherem SK und niedrigerem OL Höhere Fixkosten führen zu größerem OL

5.31

Vergleich mit dem Variationskoeffizienten VK

ˆF

G x d xVK

x d K x xG

Hier gilt

VK

KF 0

VKd

0

Diese Beziehungen sind analog zu denjenigen bei SK und OL

5.32

Verfahrenswahl bei Risikoaversion

Entscheidungsträger ist risikoscheu

Nutzenfunktion:

Sicherheitsäquivalent:

( ) GU G e

2 2( )E[ ]2

FCE p c x K d

2 2[ ( )] [ ( )] [ ] ( )2

F FE U G E U dx K U E dx K d U CE

5.33

Beispiel

Risikoaversion des Entscheidungsträgers wirkt sich auf die Break Even-Mengen der Verfahren aus

Bei r = 0,5 ergeben sich für die Risikoprämien und Break Even-Mengen:

Break Even-Punkt:

(d1 + d2) > 0 => Break Even Punkt bei Risikoaversion höher als bei Risikoneutralität

2 21 1 1

2 22 2 1

4 150 1.150ˆ150 5752 4 2

16 150 2.600ˆ600 6502 4 2

d x

d x

22 112 1 2

2 1

ˆ ( )2

F FK Kx d d

k k

5.34

Verfahrenswahl bei Risikoaversion – Break Even-Punkt

5.35

Break Even-Analyse Ergebnis

BEA vermittelt Gefühl für Bedeutung der Unsicherheit

BEA als wichtige Signalfunktion

insbes für mehr Informationsbeschaffungen bzw Planungsansätze unter expliziter Einbeziehung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Keine konkrete Handlungsempfehlung

Erfordernis expliziter Analyse der Konsequenzen verschiedener Problemstrukturen für die Unternehmenspolitik

5.36

Programmplanung bei Risiko

Untersuchung der Implikationen expliziter Risikoberücksichtigung in der ProduktionsprogrammplanungBestehen Unterschiede in der Lösungsstruktur

Was ist risikobehaftet? Risikobehaftete Beschaffungs- oder Absatzpreise (Deckungsbeitrag) Risikobehaftete Fixkosten

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~G x p k K x d K D Kj j jF

j jF

j

JF

j

J

11

Annahmen im folgendenEine Mehrproduktrestriktion, die nicht risikobehaftet istGesamtes Produktionsprogramm wird im voraus festgelegt

5.37

Programmplanung bei Risiko Annahmen und Vorgehen

Wichtige Eigenschaft: Lösungsstruktur hängt vom Entscheidungskontext und Präferenzsystem ab

Szenarien Beschränkung auf institutionales Unternehmen ohne Kapitalmarkt:

Erwartungsnutzenmaximierung Produktionsprogramm direkt am Kapitalmarkt handelbar:

Marktwertmaximierung Produktionsprogramm nicht direkt handelbar, aber über

Portefeuilleentscheidungen diversifizierbar: Virtuelle Marktwertmaximierung

5.38

Erwartungsnutzenmaximierung (1)

Zielgröße Subjektive Bewertung des Risikos durch einzelnen Entscheidungsträger

Bernoulli-Prinzip: ErwartungsnutzenmaximierungSubjektive Nutzenfunktion U für jeden EntscheidungsträgerErgebnisgröße w: Endvermögen der Planungsperiode

Endvermögen w = gegebenes Anfangsvermögen w0 + Periodengewinn

Gewählte Alternative ist jene mit dem größten Nutzenerwartungswert

0 0

FG D K

0 01

= E EJ

F Fj j

j

U U D K U x d K

5.39

Erwartungsnutzenmaximierung (2)

SpezialfallRisikoneutralität Nutzenfunktion U linear: U( ) = + w a R w mit R > 0 Entscheider ist risikoneutral

Gesucht Produktionsprogramm mit maximalem (Perioden-)Gewinnerwartungswert

0E E EU R R G

1 1

E E E E EJ J

F F Fj j j j

j j

G D K x d K x d K

Reihung nach dem höchsten erwarteten spezifischen DBFixkosten sind irrelevant

5.40

Ausschließliche Produktion von Produkt 11.400/5 = 280 StückErwarteter DB: 4.200

Beispiel

Produkt 1 2DB je zu 50% 10 oder 20 14Stunden/St 5 5erwarteter DB 15 14

Kapazität: 1.400 Stunden

5.41

Erwartungsnutzenmaximierung (3)

Allgemeinerer FallRisikoscheu

Streng konkave Nutzenfunktion U U’(w) > 0; U’’(w) < 0

Programmplanung als nichtlineares Optimierungsproblem Bedeutung des erwarteten spezifischen DB nimmt ab Es kommt zu Diversifikationseffekten Maximierung des Erwartungsnutzens führt zu optimalem

Produktprogramm-Portefeuille

5.42

Beispiel

Produkt 1 2

DB je zu 50% 10 oder 20 14Stunden/St 5 5

Kapazität: 1.400 StundenNutzenfunktion logarithmisch; w > 0

2

2 22ln ; 0; 0U U U

Annahmen: w0 = 0 und Fixkosten = 0

Kuhn/Tucker-Bedingungen

1 2 1 2 1 2ln 10 14 ln 20 14 5 5 1.400LG x x x x x x

5.43

Beispiel ...

Frage: Sind beide Produkte im optimalen Programm?

Wird nur Produkt 1 gefertigt, darf an Stelle (280, 0)die Ableitung von LG nach x2 nicht positiv sein

1 2

2

280; 0 14 145

2.800 5.600

LG x x

x

1 2

1

280; 0 10 205 0 0,00143

2.800 5.600

LG x x

x

Setzt man diesen Wert für l in die obige Ableitung ein, ergibt sich eine positive Differenz von 0,00035 Produkt 2 ist Bestandteil des optimalen Produktionsprogramms

Ähnliche Vorgehensweise zeigt, dass auch Produkt 1 im optimalen Produktionsprogramm enthalten ist

5.44

Beispiel ...

Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms Restriktion als Gleichung nach Produkt 2 auflösen

1 1 1 1

1 1

ln 10 14 280 ln 20 14 280

ln 3.920 4 ln 3.920 6

x x x x

x x

11 1

4 60 3.920 24

3.920 4 3.920 6x

x x

Nullsetzen der 1. Ableitung

1

3.920163,3

24x 2 280 163,3 116,6x

5.45

Erwartungsnutzenmaximierung (4)

Entscheidungsrelevanz von Fixkostenabhängig vom Verlauf der Risikoaversion

Maß der Risikoscheu Absolute Risikoaversion AR(w)

U

ARU

2

2

11

1AR

Beispiel: Logarithmische Nutzenfunktion

Absolute Risikoaversion nimmt - gegeben ein Anfangsvermögen - ab Höhere Fixkosten induzieren niedrigeres Endvermögensniveau Wahrscheinlichkeitsverteilung für Produktionsprogramm wird in einen

Bereich der Nutzenfunktion mit stärkerer Risikoscheu verschoben

5.46

Beispiel ...

Positives Anfangsvermögen w0 positive, sichere Fixkosten KF

Zielfunktion

0 1 0 1ln 3.920 4 ln 3.920 6F Fx K x K

0 13.920 24FK x

0 0

1 2

3.920 3.920; 280

24 24

F FK Kx x

Fixkosten über 3.920 + w0: nur Produkt 2Anfangsvermögen über 2.800 + KF: nur Produkt 1

5.47

Erwartungsnutzenmaximierung (5)

SpezialfallKonstante absolute Risikoaversion (sichere) Fixkosten und sicheres Anfangsvermögen wieder bedeutungslos

Beispiel: exponentielle Nutzenfunktion

1

; 0U e

U e

ARU e

1 1D DU D e e e U U D

E EU D U U D

Wegen U(d) < 0 ist -aU(d) positivMit d = w0 - KF wird Irrelevanz von KF und Anfangsvermögen deutlich

5.48

Erwartungsnutzenmaximierung (6)

Stochastische Fixkosten Potentielle Relevanz der Fixkosten wird verstärkt Zusätzliche Diversifikationsaspekte hinsichtlich risikobehafteter

Fixkosten Auch bei konstanter absoluter Risikoaversion grundsätzliche Relevanz

der Fixkosten 0FK

20

0

0

E E

E E ,

F

F

F F

U U U K U D

U U K U D

U U K U D Cov U K U D

Exponentielle Nutzenfunktion mit

5.49

Erwartungsnutzenmaximierung (7)

Keine Fixkostenrelevanz nur dann, wenn Fixkosten mit DB völlig unkorreliert sind

Stochastische Fixkosten alleine induzieren keine Fixkostenrelevanz

Deckungsbeiträge dann sicher

FG D K

Zustandsabhängiges Endvermögen für jeden Zustand maximal bei Programm mit maximalem Deckungsbeitrag

Dominanzprinzip Man kann sich auf die bekannten Sicherheitsansätze beschränken, falls die Fixkosten die alleinige risikobehaftete Größe sind

5.50

Erwartungsnutzenmaximierung (8)

Zusammenfassung Relevanz von Fixkosten

Fixkosten sind irrelevant, falls Nutzenfunktion mit konstanter absoluter

Risikoaversion und Fixkosten sicher irrelevant, falls Fixkosten die alleinige stochastische Größe regelmäßig auch als sichere Größe relevant, falls Nutzenfunktion

ohne konstante absolute Risikoaversion grundsätzlich relevant, falls neben Deckungsbeiträgen auch

Fixkosten risikobehaftet und keine lineare Nutzenfunktion (Risikoneutralität)

Relevanz des Anfangsvermögens obige Ergebnisse gelten analog Anfangsvermögen am Periodenbeginn aber sicher --

insofern muss diesbezüglich keine Unsicherheit beachtet werden

5.51

Erwartungsnutzenmaximierung (9)

Implikationen Begründung der Verwendung von Vollkostenrechnungen

Streng genommen nur Vollkostenrechnungen als Periodenrechnungen Fixkosten relevant wegen Einflusses auf Bewertung der

Gewinnverteilungen Fixkosten nach wie vor unabhängig von den Entscheidungsvariablen

Faktisch nichtlineares Entscheidungsproblem Risikobehaftetes Endvermögen ist das Argument einer

Nutzenfunktion, deren Erwartungswert zu maximieren ist

Problem: Bestimmung der Nutzenfunktion Was ist der Nutzen des Endvermögens der betrachteten Periode?

Probleme mit Ausschüttungen, Effekte von Folgeentscheidungen, Bewertungsinterdependenzen

5.52

Marktwertmaximierung (1)

Marktwertmaximierung als Ziel, wenn Anteile am Produktionsprogramm am Kapitalmarkt gehandelt werden

Typisch für börsennotierte UnternehmenEntspricht Unternehmenswertmaximierung

Berechnung von MarktwertenTime State Preference-AnsatzArbitrage Pricing Theory (APT)

(Arbitragefreiheit im Marktgleichgewicht)

5.53

Marktwertmaximierung (2)

Marktannahmen Spanning

Eine Unternehmung kann durch ihre Entscheidungen keine “völlig neue” Rückflussstruktur schaffen.Die bestehenden Finanztitel am Kapitalmarkt spannen einen Vektorraum auf, der durch Investitions- und Produktionsentscheidungen eines betrachteten Unternehmens nicht verändert wird.

CompetitivityBewertungssystem am Kapitalmarkt wird durch Entscheidungen eines

Unternehmens nicht verändert.Entspricht der Annahme eines konstanten Zinssatzes im Rahmen der Kapitalwertmaximierung bei sicheren Erwartungen

5.54

Marktwertmaximierung (3)Vorgehensweise

Planungszeitraum von T Perioden Zahlungsüberschüsse Ü am Periodenende risikobehaftet durch

Zustände q(t) Zustandsraum für Periode t ... Q(t) Für jeden Zustand positiver Bewertungsfaktor R(q(t))

Marktwert genau einer anfallenden Geldeinheit aus Sicht t = 0 Marktwert W zu t = 0

1

T

t t (t)

W Ü t R t

Bewertungsfaktoren R(q(t)) beinhalten Zeit- und Risikopräferenzen der KapitalmarktteilnehmerErwartungen der KapitalmarktteilnehmerZinssatz i für sichere Anlagen

Marktwert einer in t = 1 mit Sicherheit erzielten Geldeinheit

1 11

11

1R

i

5.55

Marktwertmaximierung (4) Wertadditivität

Kurzfristig wirksame Entscheidungen betrachtet Marktwerte der in t = 1 anfallenden Überschüsse

Zugrundegelegte Bewertungsfunktion

Für gilt:~ ~ ~Ü Ü Ü 1 2

1 2

1 2 1 2

W Ü Ü R Ü Ü R

Ü R Ü R W Ü W Ü

“Wertadditivität”

W Ü Ü R

5.56

Beispiel

Zustand q1 q2 q3

Überschuss Ü(q) 100 200 300Bewertungsfaktor R(q) 0,3 0,25 0,25

100 0,3 200 0,25 300 0,25 155W

1 1

0,3 0,25 0,25 0,8 1 0,251 0,8

ii

5.57

Marktwertmaximierung (5)

Interpretation der Bewertungsfaktoren Time State Preference-Modell

Einperiodiges Portefeuille eines Investors Vermögen V Finanztitel j = 1,…,J

Investor maximiert

unter der Nebenbedingung

Für den Konsum gilt:

0max ,EU U c c

0 j jj

c x W V

j jj

c x Ü

5.58

Marktwertmaximierung (6)

Lagrange-Funktion:

Bedingungen erster Ordnung:

Definiert man nun

dann folgt

0 j jj

LG EU c x W V

0 0

0

0

,0j j

j

LG EU

c c

U c cLGÜ W j

x c

0,0

U c cR

c

j jW Ü R j

5.59

Lösungsstruktur analog zu jener bei Sicherheit Verwendung von Marktwerten der Stück-DB statt sicherer Stück-DBProdukt mit höchstem spezifischen Marktwert des Stück-DB wird produziert

Marktwertmaximierung (7)

Struktur des optimalen Produktionsprogramms Nur Zahlungsüberschüsse können angesetzt werden Stückdeckungsbeiträge sollen stets zahlungswirksam sein Nur zahlungswirksame Fixkosten können relevant sein

1

JFZ

j jj

Ü x d K

1 1

1 1

J JFZ FZ

j j j jj j

J JFZ FZ

j j j jj j

W Ü W x d K W x d W K

W d x W K w x W K

Fixkosten irrelevant

5.60

Beispiel

Produkt 1 2DB je zu 50% 10 oder 20 14Stunden/Stk 5 5

1 210 0 4 20 0 4 12 14 0 4 14 0 4 11 2w , , ; w , , ,

Optimales Programm280 Stück Produkt 1

Fixkosten = 0Kapazität: 1.400 Stunden R(q1) = R(q2) = 0,4Sicherer Zins = 25%

Marktwerte

5.61

R(q1) = 0,6

R(q2) = 0,2

Sicherer Zins = 25%

Beispiel ...

Marktwerte

1 210 0 6 20 0 2 10; 11,2w , , w

Optimales Programm Ausschließliche Produktion von Produkt 2

5.62

Marktwermaximierung (8)

Diversifikationsüberlegungen im Rahmen der Marktwertmaximierung (Risikoreduzierung)

In Marktwerten implizit andere Diversifikationsaspekte enthalten, die sich in Korrelation zu bestimmten Marktfaktoren manifestieren

R

W Ü R Ü Ü

R

f(q) ... zustandsspezifische

Eintrittswahrscheinlichkeiten

E , 1E E E ,

1

Ü Cov Ü iW Ü Ü Ü Cov Ü

i

Erwartetes Erfolgsniveau wird korrigiert um Risikoterm, der Korrelation zu einem Marktfaktor widerspiegelt. Marktfaktor von Bewertungsfaktoren des gesamten Kapitalmarkts abhängig

5.63

Virtuelle Marktwertmaximierung (1)

Wenn das Produktionsprogramm direkt am Kapitalmarkt gehandelt werden kann, übernimmt der Kapitalmarkt die Risikodiversifikation

Handelbarkeit des Produktionsprogramms ist jedoch die Ausnahme

Kann der Kapitalmarkt dennoch genutzt werden, um Risiken des

Produktionsprogramms zu diversifizieren?

Portefeuille aus vielfältigen Finanztiteln zusammenstellbar Produktionsprogramm kann von Aufgaben “entlastet” werden Unternehmung maximiert virtuellen Marktwert

5.64

Virtuelle Marktwertmaximierung (2)

Virtuelle MarktwertmaximierungNotwendige Bedingungen: Spanning und Competitivity

ArgumentAngenommen, das Unternehmen realisiert optimales

Produktionsprogramm nach ErwartungsnutzenmaximierungDann gibt es Verbesserungsmöglichkeit wie folgt

Realisation des marktwertmaximalen Programms PM Es gibt ein Portefeuille, welches die Überschüsse von PM dupliziert zu

Gesamtpreis des Wertes von PM (Spanning) Leerverkauf dieses Portefeuilles zum Wert von PM bei Verlust der

Überschüsse aus PM Leerverkaufserlös des Wertes von PM wird für Kauf eines Portefeuilles

verwendet, das Überschüsse des ursprünglichen Programms PE dupliziert; Mittelbedarf in Höhe des Wertes von PE

Am Periodenende gleiche finanzielle Position wie vorher Am Periodenbeginn positiver Betrag in Höhe der Wertdifferenz > 0

5.65

Beispiel

Fortsetzung

Logarithmische Nutzenfunktion ln(w)Fixkosten = 0 w0 = 0

Produkt 1 2DB je zu 50% 10 oder 20 14Stunden/St 5 5

Kapazität: 1.400 Stunden

Erwartungsnutzenmaximales Programm:

1 2163,3; 116,6x x

5.66

Beispiel ...

Überschüsse am Periodenende

1 163,3 10 116,6 14 3.266,6Ü

2 163,3 20 116,6 14 4.900Ü

Bewertungsfaktoren am Kapitalmarkt

1 2 0,4 0,25R R i

Marktwertmaximales Programm: nur Produkt 1 mit xm1 280

1 280 10 2.800mÜ 2 280 20 5.600mÜ

3 . 2 6 6 , 6 ; 3 . 3 6 0e mW W

5.67

Beispiel ...

Am Kapitalmarkt zwei Finanztitel n = 1, 2 mit Überschüssen ün(q)

1 1 1 2 2 1 2 21; 2, 6ü ü ü ü

1 20,8; 3,2W W

Duplizierung der Überschüsse von PM mittels Stückzahlen

1 21.400; 700m m

Erwerb von 700 Stück des risikobehafteten Titels 2Geldanlage 1.400 0,8 = 1.120 zum Zinssatz von 25%

Leerverkauf: Verschuldung in Höhe von 1.120 und Leerverkauf des unsicheren Papiers im Umfang von 700 Stück

Leerverkaufserlös 1 . 1 2 0 7 0 0 3 , 2 3 . 3 6 0 mW

5.68

Beispiel ...

Duplizierung der Überschüsse von PE mittels Stückzahlen

Erwerb von 408,33 Stück Titel 2Geldanlage 2.450 × 0,8 = 1.960 Mittelbedarf 1 . 9 6 0 4 0 8 , 3 3 , 2 3 . 2 6 6 , 6 eW

Realisation PM + Leerverkauf Portefeuille 1 + Erwerb Portefeuille 2:Periodenende

1 12.800 2.800 3.266,6 3.266,6Ü Ü

2 25.600 5.600 4.900 4.900Ü Ü

Periodenbeginn zusätzliche Mittel 3 . 3 6 0 3 . 2 6 6 , 6 9 3 , 3m eW WSichere Investition bringt 93,3 1,25 116,6

1 22.450; 408,3e e

5.69

Virtuelle Marktwertmaximierung (3)

Zusammenfassung

Maximierung des virtuellen Marktwerts möglich

Fixkosten und Anfangsvermögen sind irrelevant

Anwendung eines Separationstheorems Politik auf der Ebene der Unternehmung gemäß einer a priori

bekannten Zielsetzung bestimmt unabhängig von individuellen Konsumpräferenzen