entspricht der Länge des Vektorpfeils.ochs/law/skript/skvprod.pdf · Eigenschaften der orthogonalen Projektion Ist hx;vi>0, so zeigt der Vektor x jj= ˇ v(x) in Richtung von v, seine

Norm (oder Betrag) eines Vektors im Rn

entspricht der Länge des Vektorpfeils.

Im R2: ‖x‖ =∥∥∥∥( x1

x2

)∥∥∥∥ =√x21+ x2

2

nach Pythagoras.

Allgemein im Rn:

‖x‖ =√

x21+ x2

2+ ...+ x2n .

Beispiele∥∥∥∥( 1

1

)∥∥∥∥ =√2,

∥∥∥∥( 3

−4

)∥∥∥∥ = 5,

∥∥∥∥∥ 1

−22

∥∥∥∥∥ = 3,

∥∥∥∥∥∥∥

1

2

3

4

∥∥∥∥∥∥∥ =√30.

Anwendung

Den Abstand zweier Punkte A und B erhält man als Norm desVerbindungsvektors B − A.

skvprod.pdf, Seite 1

Eigenschaften der NormFür x , y ∈ Rn und a ∈ R gilt

I ‖0‖ = 0 und ‖x‖ > 0, falls x 6= 0 (Positivität),

I ‖a · x‖ = |a| · ‖x‖ (Homogenität),

I ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (Dreiecksungleichung)

Einheitsvektor = Vektor mit Norm 1

Ist x 6= 0 beliebig, so ist x‖x‖ =

1

‖x‖ · x ein Einheitsvektor.

Beispiele für Einheitsvektoren 0

1

0

, 1

3

2

2

1

=

2/32/31/3

, 1√2

(1

−1

)und 1√

55

1

−23

−45

.Spezielle Einheitsvektoren im R3 sind:

e1 = (1; 0; 0), e2 = (0; 1; 0), e3 = (0; 0; 1), analog im Rn.skvprod.pdf, Seite 2

Das Skalarprodukt im Rn

ordnet zwei Vektoren x , y ∈ Rn einen Skalar 〈x , y〉 ∈ R zu:

〈x , y〉 = ~x · ~y =∑n

i=1xiyi = x1 · y1 + x2 · y2 + ...+ xn · yn ∈ R

Beispiele

I

⟨(1

2

),(3

4

)⟩= 1 · 3+ 2 · 4 = 3+ 8 = 11

I

⟨(3

−4

),(

3

−4

)⟩= 3 · 3− 4 · (−4) = 32 + 42 = 25

I

⟨ 1

2

−3−4

,

4

−3−21

⟩

= 1 ·4+2 · (−3)−3 · (−2)−4 ·1 = 0.


Eigenschaften des Skalarprodukts

I 〈x , x〉 = x21+ ...+ x2n = ‖x‖2 ≥ 0 bzw.

‖x‖ =√〈x , x〉,

I 〈y , x〉 = 〈x , y〉 (Symmetrie),

I 〈a · x , y〉 = a · 〈x , y〉 für Skalare a ∈ R und〈x + z , y〉 = 〈x , y〉+ 〈z , y〉 sowie〈x , y + z〉 = 〈x , y〉+ 〈x , z〉 für x , y , z ∈ Rn (Bilinearität),

I 〈x , y〉 = ‖x‖ · ‖y‖ · cos^(x , y),wobei ^(x , y) für den Winkel zwischen x und y und cosfür die Cosinusfunktion steht,

I insbesondere x⊥y (x senkrecht y) ⇔ 〈x , y〉 = 0 und

I |〈x , y〉| ≤ ‖x‖ · ‖y‖ (Cauchy�Schwarz�Ungleichung)


Beispiel x =

1

2

−1

, y =

0

2

1

, z =

3

−12

Es ist ‖x‖ =

√6, ‖y‖ =

√5, ‖z‖ =

√14

und 〈x , y〉 = 1 · 0+ 2 · 2+ (−1) · 1 = 3, 〈x , z〉 = −1sowie 〈y , z〉 = 0. Aus der Bilinearität folgt z. B.

〈x , y + z〉 =

⟨ 1

2

−1

, 3

1

3

⟩ = 〈x , y〉+ 〈x , z〉 = 3− 1 = 2.

Da 〈y , z〉 = 0, stehen y und z senkrecht aufeinander.

Für den Winkel α zwischen x und y gilt

cosα =〈x , y〉‖x‖ · ‖y‖

=3√

6 ·√5=√0, 3 ≈ 0, 5477

⇒ α = arccos 0, 5477 = 56, 8o = 0, 991 rad, wobei arccos(Arcuscosinus) die Umkehrfunktion des Cosinus bezeichnet.


Geometrische AnwendungenBeispiel: Gegeben sei das Dreieck im R2 mit den EckpunktenA = (−1; 1), B = (2; 3) und C = (2; 0).

Die Seite AB wird durch den Vektor x = B − A = (3; 2)beschrieben und hat die Länge ‖x‖ =

√13.

AC wird durch y = (3;−1) beschrieben und hat die Länge‖y‖ =

√10.

Der Winkel α zwischen diesen beiden Seiten kann berechnetwerden durch

〈x , y〉 = ‖x‖ · ‖y‖ · cosα⇔

cosα =〈x , y〉‖x‖ · ‖y‖

=7√130≈ 0, 614⇒ α ≈ 52, 1o = 0, 91 rad

Analog erhält man für die Seite BC die Länge 3 und dieWinkel β ≈ 56, 3o und γ ≈ 71, 6o .


Parameterdarstellung von Geraden im R2 und R3

Zu Vektoren x und v ist die Menge aller Punkte x + t · v mitt ∈ R eine Gerade.

Jede Gerade g lässt sich so darstellen, wobei x der Ortsvektoreines beliebigen Punktes auf g ist und der Richtungsvektor vzwei Punkte auf g verbindet.

Diese Parameterdarstellung ist nicht eindeutig.


Beispiel

Gesucht ist eine Parameterdarstellung der Geraden g durch die

Punkte A =(1

2

)und B =

(−11

)im R2.

Als Ortsvektor kann (zum Beispiel) x = B =(−11

)gewählt

werden, als Richtungsvektor

v = A− B =(1

2

)−(−11

)=(2

1

).

Somit ist

g =

{(−11

)+ t ·

(2

1

): t ∈ R

}=(−11

)+ R ·

(2

1

).

eine (von vielen möglichen) Parameterdarstellung der Geraden.


Gerade g = x + R · v


Anwendung der Parameterdarstellung

Berechnung von Schnittpunkten, Schnittwinkeln, Projektionen etc.

Im Beispiel muss für den Schnittpunkt von g mit der x1�Achsegelten: (

x10

)=

(−11

)+ t ·

(2

1

)=

(−1+ 2t1+ t

)Aus der Gleichung für die x2�Koordinate folgt

0 = 1+ t ⇔ t = −1.

Eingesetzt in die Gleichung für die x1�Koordinate ergibt sichnun

x1 = −1+ 2 · (−1) = −3,

d. h. g schneidet die 1. Koordinatenachse im Punkt(−30

).


Beispiel: Schnittwinkel zweier Geraden

Seien A = (1; 1; 2), B = (2;−1; 3) und C = (0;−2; 2) ∈ R3.

Die Gerade g durch A und B hat die Parameterdarstellung

g = {(1; 1; 2)+t ·(1;−2; 1) : t ∈ R} = (1; 1; 2)+R ·(1;−2; 1),

h = (1; 1; 2) +R · (−1;−3; 0) stellt die Gerade durch A und Cdar.

Der Schnittwinkel α der beiden Geraden ist der Winkelzwischen den Richtungsvektoren und wird bestimmt durch:

cosα =〈(1;−2; 1), (−1;−3; 0)〉‖(1;−2; 1)‖ · ‖(−1;−3; 0)‖

=5√60⇒ α = 49, 8o


Bemerkung

Beim Schnitt zweier Geraden tritt neben dem Winkel α auchimmer der Supplementwinkel β = 180o − α auf, wobei giltcos β = − cosα. Der Winkel zwischen zwei Richtungsvektorenist je nach Wahl der Richtungsvektoren entweder α oder β.

Standardmäÿig wird der kleinere der beiden Winkel alsSchnittwinkel der Geraden de�niert. Diesen erhält man fürbeliebige Richtungsvektoren v und w durch

cosα = |〈v ,w〉|‖v‖·‖w‖ .


Orthogonale Projektion

Zu Vektoren x , v ∈ Rn mit v 6= 0 de�niert man dieorthogonale Projektion von x in Richtung von v durch

πv (x) = x|| =〈x , v〉〈v , v〉

· v

Beispiel

Mit x =(4

1

)und v =

(1

−1

)ist

〈x , v〉 = 4− 1 = 3 und〈v , v〉 = 1+ 1 = 2 und somit

πv (x) =3

2· v = 3

2·(

1

−1

)=(

1, 5−1, 5

)SpezialfallIst e ein Einheitsvektor (d. h. ‖e‖ = 1), so istπe(x) = 〈x , e〉 · e


Eigenschaften der orthogonalen ProjektionIst 〈x , v〉 > 0, so zeigt der Vektor x|| = πv (x) in Richtung vonv , seine Länge ist

‖πv (x)‖ = 〈x ,v〉‖v‖ = ‖x‖ · cosα,

wobei α der Winkel zwischen x und v ist.

Ist 〈x , v〉 < 0, so zeigt πv (x) in die entgegengesetzte Richtungvon v , die Länge ist ebenfalls ‖x‖ · | cosα|.Ist 〈x , v〉 = 0, d. h. x und v stehen senkrecht aufeinander, soist πv (x) = 0 der Nullvektor.

Insbesondere hängt πv (x) nur von der Richtung, nicht jedochvon der Länge von v ab.


Orthogonale ZerlegungIst x|| = πv (x), so steht der Vektor x⊥ = x − x|| senkrecht aufv und damit auch auf x||, d. h. man hat eine Zerlegungx = x|| + x⊥, wobei x|| ein skalares Vielfaches von v ist und x⊥senkrecht auf v steht.

Beispiel x =(4

1

)und v =

(1

−1

)Mit x|| =

(1, 5−1, 5

)folgt x⊥ = x − x|| =

(2, 52, 5

).


Anwendung: Abstand Punkt�Gerade

Die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt A ∈ Rn undeiner Gerade g = x + R · v ist ist durch einen Vektor y⊥gegeben, der A mit g verbindet und der senkrecht auf g steht.

Man erhält y⊥, indem man zu einem beliebigen�Verbindungsvektor� y , z. B. y = x − A,den auf dem Richtungsvektor v der Geraden senkrechtenAnteil y⊥ = y − πv (y) bestimmt.


Beispiel

Abstand des Punktes A =(2

3

)zur Geraden g durch die

Punkte(−11

)und

(1

2

). Man erhält

g =(−11

)+ R ·

(2

1

), y =

(−11

)− A =

(−3−2

),

π(2;1)(y) =

⟨(−3−2

),(2

1

)⟩⟨(

2

1

),(2

1

)⟩ · ( 2

1

)=−85·(2

1

)=(−3, 2−1, 6

)

⇒ y⊥ =(−3−2

)−(−3, 2−1, 6

)=(

0, 2−0, 4

).

Der Abstand zwischen Punkt und Gerade ist‖y⊥‖ =

√0, 2 ≈ 0, 45.


Skalarprodukte in allgemeinen Vektorräumen

Sei V Vektorraum über R.

Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung

V × V → R, (x , y) 7→ 〈x , y〉

mit den Eigenschaften

(1) 〈x , y〉 = 〈y , x〉 (symmetrisch),

(2) 〈ax , y〉 = a 〈x , y〉 und 〈x + z , y〉 = 〈x , y〉+ 〈z , y〉für x , y , z ∈ V und a ∈ R (bilinear) und

(3) 〈x , x〉 > 0 für alle x 6= 0 (positiv de�nit).


BeispieleI Das schon bekannte Skalarprodukt 〈x , y〉 = xTy im Rn

I Durch 〈x , y〉 = 2x1y1 − x1y2 − x2y1 + x2y2 ist einalternatives Skalarprodukt auf dem R2 de�niert.

I 〈f , g〉 =∫ b

af (x) · g(x)dx de�niert ein Skalarprodukt auf

dem Vektorraum aller stetigen Funktionen [a, b]→ R.

BemerkungenI Aus (1) und (2) folgt

〈x , ay〉 = a 〈x , y〉 und 〈x , y + z〉 = 〈x , y〉+ 〈x , z〉.I Die Verallgemeinerung der De�nition auf Vektorräume

über einem beliebigen Körper K ist nicht sinnvoll.Im Fall K = C gibt es eine geringfügig modi�zierteDe�nition eines Skalarprodukts.Wir werden uns im Folgenden auf den Fall K = Rbeschränken.


De�nition

I Ein euklidischer Vektorraum ist ein Vektorraum V über Rversehen mit einem Skalarprodukt 〈·, ·〉.

I Die Norm des Vektors x ∈ V ist ‖x‖ =√〈x , x〉.

I Die Vektoren x und y sind orthogonal (senkrecht), wenn〈x , y〉 = 0, Notation x⊥y .

I x und y sind parallel, wenn sie linear anhängig sind, d. h.einer ein skalares Vielfaches des anderen ist, Notationx ||y .

I Der Winkel α = ∠(x , y) zwischen zwei Vektorenx und y 6= 0 ist gegeben durch

cosα =〈x , y〉‖x‖ · ‖y‖

.


Beispiel 1

Gesucht ist ein Vektor x =(

x1x2

), der auf y =

(3

1

)senkrecht

steht. Es muss gelten

0 = 〈x , y〉 =⟨(

x1x2

),(3

1

)⟩= 3x1 + x2 ⇔ x2 = −3x1.

Somit kann x1 = t ∈ R beliebig vorgegeben werden, Lösungen

haben dann die Form x =(

t−3t

)= t ·

(1

−3

).

Allgemeiner

Die zu einem gegebenen Vektor y =(y1y2

)∈ R2 senkrechten

Vektoren haben die Form(

t · y2−t · y1

), sind also die skalaren

Vielfachen des Vektors(

y2−y1

).


Beispiel 2Gesucht ist eine Konstante a ∈ R, so dass der Vektor−2a

2a

senkrecht auf

1

2

3

steht.

Dazu betrachtet man das Skalarprodukt:⟨−2a2a

, 1

2

3

⟩ = −2+ 2a + 6a = 8a − 2 = 0

⇔ 8a = 2⇔ a = 1

4.

Beispiel 3

Gesucht ist v = v1

v2v3

∈ R3, der auf x = 1

2

3

und auf y = 4

5

6

senkrecht steht.

Die Bedingung 〈v , x〉 = 〈v , y〉 = 0 führt zu einem linearenGleichungssystem mit drei Unbekannten.


Vektorprodukt

Eine bequeme Möglichkeit, zu zwei linear unabhängigenVektoren x , y im R3 einen dritten auf x und y senkrechtenVektor zu bestimmen, bietet das Kreuz- oder Vektorproduktx × y , de�niert durch(

x1x2x3

)×

(y1y2y3

)=

(x2y3 − x3y2x3y1 − x1y3x1y2 − x2y1

)

Beispiel:

(1

2

3

)×

(4

5

6

)=

(−36

−3

)Bemerkung

Das Vektorprodukt ist nur für dreidimensionale Vektorende�niert. Im Gegensatz zum Skalarprodukt ist das Ergebniswieder ein Vektor.


EigenschaftenI 〈x × y , x〉 = 〈x × y , y〉 = 0, d. h. x × y steht senkrecht

sowohl auf x als auch auf y .

I ‖x × y‖ = ‖x‖ · ‖y‖ · | sinϕ|, wobei ϕ der Winkelzwischen beiden Vektoren ist.Somit ist ‖x × y‖ die Fläche des von x und yaufgespannten Parallelogramms.

I Die Vektoren x , y und x × y bilden ein �Rechtssystem�.

I x × y = −y × x .

I (ax)× y = a(x × y) = x × (ay) für x , y ∈ R3 und a ∈ R.I (x + z)× y = x × y + z × y und

x × (y + z) = x × y + x × z für x , y , z ∈ R3.

I Im Allgemeinen ist x × (y × z) 6= (x × y)× z .(Fehler im Teschl/Teschl auf Seite 361!)

I 〈x , y × z〉 = 〈y , z × x〉 = 〈z , x × y〉(Spatprodukt, mehr dazu später).


Geometrische Anwendung 1: Beispiel Parallelogramm

Das von den Vektoren x =

1

1

1

und y =

1

−12

aufgespannte Parallelogramm im R3 hat die Fläche

‖x × y‖ =

∥∥∥∥∥ 1

1

1

× 1

−12

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥ 3

−1−2

∥∥∥∥∥ =√14

Die Winkel α und β lassen sich mit Hilfe des Skalarproduktsberechnen:

cosα = cos^(x , y) =〈x , y〉‖x‖ · ‖y‖

=2√

3 ·√6=

√2

3

⇒ α = arccos√2

3≈ 61, 9o und β = 180o − α ≈ 118, 1o .


Geometrische Anwendung 2: Dreiecke

Das Vektorprodukt kann auch zur Berechnung vonDreiecks�ächen im R3 benutzt werden. Da ein Dreieck ein�halbes Parallelogramm� ist, gilt für die Fläche F des Dreiecksmit den Eckpunkten A, B und C und den durch die Vektorenx = B − A, y = C − A und z = C − B beschriebenen Seiten:

F = 1

2‖x × y‖ = 1

2‖x × z‖ = 1

2‖y × z‖

Beispiel

Das Dreieck mit den Ecken A =

0

1

2

B =

1

3

2

und C =

−11−1

hat die Fläche

F = 1

2‖(B − A)× (C − A)‖ = 1

2

∥∥∥∥∥ 1

2

0

×−10−3

∥∥∥∥∥ = 1

2

∥∥∥∥∥−63

2

∥∥∥∥∥

= 1

2

√49 = 3, 5


Geometrische Anwendung 3: Ebenen im R3

I Eine Ebene hat eine Parameterdarstellung der Form

E ={x + s · v + t · w : s, t ∈ R

},

wobei x ein Punkt auf der Ebene ist und v ,w zwei linearunabhängige Vektoren, die die Ebene �aufspannen�.

I Eine Paramterdarstellung der Ebene durch die drei PunkteP ,Q,R (die nicht auf einer Geraden liegen dürfen) erhältman z. B., indem manx = P und v = Q − P sowie w = R − P setzt.

I Der Normalenvektor r = v × w steht senkrecht auf E ,ebenso der normierte Normalenvektor n = 1

‖r‖ · r .


Beispiel

Sei P =

0

1

1

, Q =

1

0

0

und R =

1

2

1

.Die Ebene durch P ,Q und R hat die Parameterdarstellung

E = {P + s · (Q − P) + t · (R − P) : s, t ∈ R}

=

{ 0

1

1

+ s · 1

−1−1

+ t · 1

1

0

: s, t ∈ R

},

ein Normalenvektor ist r =

1

−1−1

× 1

1

0

=

1

−12

.Ein normierter Normalenvektor ist n = 1

‖r‖ · r =1√6

1

−12

.skvprod.pdf, Seite 28

Beschreibung von Ebenen durch Normalenvektoren

Sei E ={x + s · v + t · w : s, t ∈ R

}und r = v × w ein

Normalenvektor. Da r auf v und w senkrecht steht, gilt fürjeden Punkt y = x + s · v + t · w ∈ E

〈x + s · v + t · w , r〉 = 〈x , r〉+ s · 〈v , r〉+ t · 〈w , r〉 = 〈x , r〉 ,d. h. Punkte y ∈ E sind gerade dadurch charkterisiert, dass〈y , r〉 = 〈x , r〉. Es folgt

y ∈ E ⇔ 〈y , r〉 = 〈x , r〉 ⇔ 〈y , n〉 = 〈x , n〉 ,

wobei n den normierten Normalenvektor bezeichnet.

Im Beispiel gilt

y =

y1y2y3

∈ E ⇔

⟨ y1y2y3

, 1

−12

⟩ =

⟨ 0

1

1

, 1

−12

⟩ = 1

⇔ y1 − y2 + 2y3 = 1


Die Hessesche Normalform

ist eine Ebenengleichung durch den normierten Normalenvektorn = 1

‖r‖ · r . Dieser wird (ggf. durch Multiplikation mit −1) sogewählt, dass a = 〈x , n〉 ≥ 0. Damit erhält man

E ={y ∈ R3 : 〈y , n〉 − a = 0

}(Hessesche Normalform)

Im Beispiel

war n = 1

‖r‖ · r =1√6

1

−1

2

mit

〈x , n〉 = 1√6

⟨ 0

1

1

, 1

−12

⟩ = 1√6= a > 0. Es folgt

E ={y ∈ R3 : 〈y , n〉 − 1√

6= 0⇔ 1√

6· (y1 − y2 + 2y3 − 1) = 0

}.


Anwendung: Abstand Punkt�Ebene

Der Abstand eines Punktes y zu EbeneE = {y ∈ R3 : 〈y , n〉 − a = 0} mit dem normiertenNormalenvektor n ist gegeben durch

d(y ,E ) =∣∣〈y , n〉 − a

∣∣Ist 〈y , n〉 − a < 0, so be�nden sich y und der Nullpunkt aufder gleichen Seite der Ebene, bei 〈y , n〉 − a > 0 aufverschiedenen Seiten.


Im Beispiel

E ={y ∈ R3 : 1√

6· (y1 − y2 + 2y3 − 1) = 0

}soll der Abstand

der Vektoren y =

3

2

−1

, v =

1

2

3

und w =

5

2

−1

zu E

bestimmt werden. Man erhält

〈y , n〉 − a = 1√6·(⟨ 3

2

−1

, 1

−1

2

⟩− 1

)= 1√

6· (−1− 1) = − 2√

6< 0.

Es folgt, dass y zu E den Abstand 2√6=√

2

3≈ 0, 816 hat und

auf der gleichen Seite von E liegt wie der Nullpunkt.

Analog ist 〈v , n〉 − a = 4√6≈ 1, 63 > 0. Somit hat v zu E den

Abstand 4√6und liegt auf der anderen Seite wie y und 0.

Schlieÿlich ist 〈w , n〉 − a = 0, woraus folgt, dass w in E liegt.


Anwendung 2: Schnittpunkt Gerade�Ebene

Die Hessesche Normalform bzw. eine Ebenengleichung miteinem beliebigen (nicht notwendig) normierten Normalenvektorkann auch benutzt werden, um den Schnittpunkt zwischeneiner Gerade und einer Ebene zu berechnen. Dazu wird dieParameterdarstellung der Geraden in die Ebenengleichungeingesetzt:

Ist E = {y ∈ R3 : 〈y , r〉 − a = 0} und g = {u + t · v : t ∈ R},so erhält man durch Einsetzen die Gleichung

0 = 〈u + t · v , r〉 − a = 〈u, r〉+ t · 〈v , r〉 − a,

die nach t aufgelöst werden kann. Der zugehörige Punktu + t · v auf der Geraden ist dann der gesuchte Schnittpunkt.


Im Beispiel

E ={y ∈ R3 : y1 − y2 + 2y3 − 1 = 0

}mit r =

1

−12

und

a = 1 ist der Schnittpunkt der Gerade

g =

{ 1

2

3

+ t ·−11

0

: t ∈ R

}

mit E gesucht. Dazu muss gelten

0 =

⟨ 1

2

3

, 1

−1

2

⟩+t ·

⟨ −1

1

0

, 1

−1

2

⟩−1 = 5−2t−1 = 4−2t

⇔ t = 2. Es folgt, dass der Schnittpunkt 1

2

3

+ 2 ·−11

0

=

−143

ist.


Schnittwinkel

Der Schnittwinkel von g und E ist die Di�erenz zwischen 90o

und dem Winkel zwischen g und dem Normalenvektor zu E .

Für den Winkel α zwischen g und dem Normalenvektor

r =

1

−12

gilt

cosα =

⟨ 1

−12

,−11

0

⟩∥∥∥∥∥ 1

−12

∥∥∥∥∥ ·∥∥∥∥∥−11

0

∥∥∥∥∥=−2√12

=−1√3⇒ α ≈ 125, 3o

Es folgt, dass sich g und E in einem Winkel von 35, 3o

schneiden.


Der Durchschnitt zweier Ebenen

im R3 ist eine Gerade, wenn die beiden Ebenen nicht parallelsind. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Normalenvektorenlinear unabhängig sind.

Der Richtungsvektor der Schnittgeraden steht dabei senkrechtauf beiden Normalenvektoren.

Der Schnittwinkel der beiden Ebenen ist gleich dem Winkelzwischen der Richtungsvektoren.

Sind die beiden Ebenen parallel, so sind sie entweder gleich(und der Durchschnitt damit wieder eine Ebene) oder ihrDurchschnitt ist leer.

Beispiel: siehe Tafel


Das Spatproduktoder gemischte Produkt dreier Vektoren x , y , z ∈ R3 istde�niert als 〈x × y , z〉.Eigenschaften

I Das Spatprodukt ist eine reelle Zahl,deren Betrag das Volumen des vonden Vektoren x , y und z aufge-spannten Parallelepipeds oderSpats ist.

I Das Spatprodukt ist 0, wenn die drei Vektoren in einerEbene liegen (linear abhängig sind).Ansonsten ist das Spatprodukt > 0, wenn die Vektorenein Rechtssystem bilden und < 0, wenn sie ein�Linkssystem� bilden.

I 〈x × y , z〉 = 〈y × z , x〉 = 〈z × x , y〉I 〈x × z , y〉 = 〈z × y , x〉 = 〈y × x , z〉 = −〈x × y , z〉


Beispiel 1

Die Vektoren x =

1

2

3

, y =

2

1

0

und z =

2

−11

spannen

ein Spat auf. Das Spatprodukt ist

〈x × y , z〉 =

⟨−36−3

, 2

−11

⟩ = −15

Also bilden x , y und z ein Linkssystem und das Volumen desSpats ist 15.

Zwei der 6 Ober�ächen haben die Fläche‖x × y‖ =

√54 = 3

√6, zwei die Fläche ‖x × z‖ = 5

√3 und

zwei die Fläche ‖y × z‖ =√21.

Die Gesamtober�äche ist damit

2(‖x × y‖+ ‖x × z‖+ ‖y × z‖) ≈ 41, 2


Beispiel 2

Mit x =

0

1

3

, y =

−140

und z =

2

−59

ist

x × y =

0

1

3

×−14

0

=

−12−31

und somit

〈x × y , z〉 = −12 · 2− 3 · (−5) + 1 · 9 = −24+ 15+ 9 = 0.

Es folgt, dass die 3 Vektoren in einer Ebene liegen und somitlinear abhängig sind.


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entspricht der Länge des Vektorpfeils.ochs/law/skript/skvprod.pdf · Eigenschaften der orthogonalen Projektion Ist hx;vi>0, so zeigt der Vektor x jj= ˇ v(x) in Richtung von v, seine