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Research Collection
Doctoral Thesis
Darstellende hyperbolische Geometrie
Author(s): Dändliker, Karl
Publication Date: 1919
Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000091749
Rights / License: In Copyright - Non-Commercial Use Permitted
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ETH Library
Darstellende
hyperbolische Geometrie—•——•—
Von der
EidgenössischenTechnischen Hochschule in Zürich
zur Erlangung der
Würde eines Doktors der Mathematik
genehmigte
Promotionsarbeit
vorgelegt von
Karl Dändliker,aus Hombrechtikon (Zürich)
Referent: Herr Prof. Dr. M. QROSSMANN.
Korreferent: Herr Prof. Dr. L. KOLLROS.
214
OERLIKON
Buchdruckerei H. Kraut
1919
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MEINEN LIEBEN ELTERN
AUS DANKBARKEIT GEWIDMET
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Inhaltsverzeichnis.Einleitung.
„ .,
.I. Kapitel.
Kreisgeometrie.r
§ 1. Die drei verschiedenen Kreisarten 9
§ 2. Kreistangenten 10
§ 3. Kreise und Kreisbüschel in der Poincaré'schen Veranschaulich¬
ung der hyperbolischen Ebene 11
§ 4. Kreise durch drei Punkte 16
§ 5. Potenzgerade und Potenzpol 19
§ 6. Potenzpunkt und Potenzaxe 22
Der Grenzkreis.'
§ 1. Schnitt einer Geraden mit einem Grenzkreise 26
§ 2. Tangenten von einem Punkte an einen Grenzkreis....
27
§ 3. Schnitt zweier Grenzkreise 28
§ 4. Schnittpunkte von Grenzkreisen mit eigentlichen und Ueber-
kreisen 29
§ 5. Nullkreise 30
III. Kapitel.Die fundamentalen Konstruktionen des hyperbolischenRaumes.
§ 1. Punkt und Gerade 32
§ 2. Die Normalprojektion in der Poincaré'schen Veranschaulichungder hyperbolischen Geometrie 33
§ 3. Die Hauptebene eines Punktes 35
§ 4. Gerade und Ebene 36
§ 5. Schnittprobleme 38
§ 6. Normalenprobleme 39
§ 7. Halbierung von Strecken und Winkeln 43
§ 8. Parallelenprobleme 47
IV. Kapitel.Drehung, Schiebung und Schraubung.§ 1. Drehung 50
§ 2. Schiebung 54
§ 3. Schraubung 57
§ 4. Umklappung 58
§ 5. Dreikant und Dreieck 59
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Einleitung.
Der Zweck der vorliegenden Arbeit ist, die fundamen¬
talen Konstruktionen der darstellenden Geometrie im hyper¬bolischen Räume auszuführen und ihren Zusammenhang mit
der hyperbolischen Kreisgeometrie zu zeigen.Bekanntlich liegen die unendlich fernen Punkte des hy¬
perbolischen Raumes auf einer Fläche zweiten Grades, der
sog. Fundamentalkugel. Alle Punkte, die innerhalb dieser
Kugel liegen, sind die sog. eigentlichen Punkte. Diese stehen
einem hyperbolischen Wesen, als das sich der Konstrukteur
zu denken hat, zur direkten Verfügung. Eine eigentlicheGerade, d. h. eine solche, die eigentliche Punkte besitzt, trifft
die Fundamentalkugel in zwei Punkten, den sog. Enden1)der Geraden. Eine eigentliche Ebene wird von der Fun¬
damentalkugel in einem Kreise, dem sog. Fundamentalkreise
der Ebene geschnitten. Die unendlich fernen Punkte erhält man
vermittelst der bekannten Parallelenkonstruktion mit dem drei¬
rechtwinkligen Viereck2). Die Punkte die außerhalb der Fun¬
damentalkugel liegen, die sogenannten uneigentlichen Punkte,
sind von einem hyperbolischen Wesen nicht erreichbar. Hat
man zwei Gerade, die sich in einem uneigentlichen Punkte
treffen, so existiert eine eigentliche Gerade, die auf beiden
Geraden zugleich normal steht. Die Konstruktion einer solchen
Geraden, die man Polare des uneigentlichen Schnittpunktesder beiden Geraden nennen möge, ist von Hubert1) gegebenworden. Es hat auch jeder eigentliche Punkt eine Polare,die uneigentlich ist. Alle Geraden eines Büschels stehen
auf der Polaren des Scheitels normal. Eigentliche, unend-
') D. Hubert: Neue Begründung der Bolyai-Lobatschefskij'schenGeometrie. Math. Annalen Bd. 57 S. 137—150.
2) N. I. Lobatschefskij : Zwei geometrische Abhandlungen, deutsch
von F. Engel. S. 256.
— 8 —
lieh ferne und uneigentliche Punkte werden schlechthin als
Punkte bezeichnet. Die Aufgabe, irgend zwei Punkte mit¬
einander zu verbinden, zerfällt vom Standpunkte des hyper¬bolischen Wesens aus betrachtet in einige vollständig ver¬
schiedene Konstruktionen, die in einer Arbeit von Liebmann3)
zusammengestellt wurden und deren Kenntnis in der vor¬
liegenden Arbeit vorausgesetzt wird. Vom Standpunkte der
projektiven Geometrie aus erscheint die Aufgabe als eine
einzige.
Die Konstruktionen werden ausgeführt in einer Bild¬
ebene und zwar mit Hilfe von Lineal, Zirkel und Abstand¬
zirkel, d. h. einem Instrument, welches gestattet Ueberkreise
zu zeichnen, wo man unter einem Ueberkreise den geome¬
trischen Ort aller Punkte versteht, die von einer gegebenenGeraden, der Axe des Ueberkreises, vorgeschriebenen kon¬
stanten Abstand haben. Dieses Instrument besteht im Prinzipeaus einem Winkel, dessen einer Schenkel längs der Axe gleitet,während auf dem andern in einem gewissen Abstand vom
Scheitel der Zeichenstift befestigt ist. Durch Veränderungdes Winkels ist es dann möglich mit beliebig vorgeschrie¬benen Abständen Ueberkreise zu konstruieren. Da für die
Konstruktion von Grenzkreisen kein Instrument gegeben sein
soll, dieselben also in den Konstruktionen nicht als konti¬
nuierliche Kurven betrachtet werden können, so sind im
IL Kapitel die für die Konstruktionen des III. Kapitels wichtigenFälle von Schnitt- und Tangentenproblemen behandelt.
Um die Erklärung der Konstruktionen zu erleichtern,
ist die Bezeichnung so gewählt, dass für Projektionen von
Punkten etc. die lateinischen Buchstaben verwendet werden,während die Originalpunkte im Raum mit denselben Buch¬
staben bezeichnet werden, die aber rechts unten mit einem
o versehen werden, so daß z. B. der Punkt P0 des Raumes
die Projektion P hat.
3) Die elementaren Konstruktionen der nichteuklidischen Geome¬
trie. Jahresberichte der deutschen Mathematikervereinigung. Bd. 20,S. 56—69.
I. Kapitel.Kreisgeometrie.
§ 1. Die drei verschiedenen Kreisarten.
Wie man eigentliche, uneigentliche und unendlich ferne
Punkte unterscheidet, so hat man auch drei verschiedene
Kreisarten, den eigentlichen Kreis, den Ueberkreis oder die
Abstandslinie und den Qrenzkreis. Der Mittelpunkt des er-
steren ist eigentlich, der des zweiten uneigentlich und der
des letztern unendlich fern. Der Mittelpunkt des Ueberkreises
hat eine eigentliche Polare, die Axe des Ueberkreises, und
zwar hat diese, wie schon bemerkt, die Eigenschaft, daß
alle Punkte des Ueberkreises von derselben gleichen Abstand
haben. Während der eigentliche Kreis und der Grenzkreis
aus einem Stück bestehen, setzt sich der Ueberkreis aus
zwei Stücken, den beiden sog. Aesten, zusammen.
Aufgabe 1 : Man zeichne einen Kreis, der durch einen
gegebenen Punkt geht und dessen Mittelpunkt der Schnitt¬
punkt zweier Geraden ist.
Diese Aufgabe zerfällt in drei von einander ganz ver¬
schiedene Probleme, je nachdem der Schnittpunkt der Ge¬
raden, die mit a und b bezeichnet werden mögen, eigent¬
lich, uneigentlich oder unendlich fern ist. Schneiden sich
a und b, ist also der Schnittpunkt M eigentlich, so erhält
man den verlangten Kreis durch den Punkt P genau wie in
der euklidischen Ebene. Schneiden sich die Geraden a
und b nicht, ist also M uneigentlich, so ist die Polare m
von M eigentlich und schneidet sowohl a als auch b normal.
Stellt man dann die Entfernung des Punktes P von m in
den Abstandszirkel ein und läßt diesen beidseitig längs m
gleiten, so erhält man den verlangten Kreis. Im dritten Fall,
wo a und b parallel sind, kann man, wie in der Einleitung
— 10 -
schon bemerkt wurde, den Grenzkreis nur punktweise zeichnen.
Wie das zu geschehen hat zeigt Aufgabe 8 Seite 26. Der
Mittelpunkt M des Grenzkreises fällt mit dem gemeinsamenEnde der Geraden a und b zusammen und man bezeichnet
denselben, da er auch auf dem Grenzkreis liegt, als den
unendlich fernen Punkt des Grenzkreises. Alle Geraden der
Ebene von welchen ein Ende in den unendlich fernen Punkt
des Grenzkreises fällt, nennt man Axen des Grenzkreises.
§ 2. Kreistangenten.
Aufgabe 2: Man zeichne von einem Punkte die Tan¬
genten an einen eigentlichen Kreis.
In Fig. 1 sei k der Kreis, an den vom Punkte P die
Tangenten zu legen sind. Man zieht durch P irgend zwei
Gerade a und b, welche k in den Punkten A1 und A2 resp.
Bj und B2 schneiden. Die Verbindungsgeraden der Schnitt¬
punkte C und D der Geraden AjB2 und A2Bj resp. AjBj und
A2B3 schneidet aus k die Punkte T1 und T2 aus. Diese bei¬
den Punkte sind die Berührungspunkte der Tangenten von
P an den Kreis. Die Tangenten selbst sind die Geraden
PTj und PT2. Ist der Punkt P uneigentlich, so stehen be¬
kanntlich die Geraden AjA2, BXB2 und die Tangenten nor¬
mal auf seiner Polaren p.
— Il —
Aufgabe 3 : Man ziehe von einem Punkte die Tangentenan einen Ueberkreis.
Diese Aufgabe kann genau wie die vorige gelöst wer¬
den. Um aber möglichst wenig mit uneigentlichen Punkten
zu operieren, sei folgende Konstruktion vorgeschlagen. In
Fig. 2 sei k der Ueberkreis und die Gerade a seine Axe.
Der Punkt P, von dem aus die Tangenten an k gezogenwerden sollen, sei uneigentlich, seine Polare sei p. Irgendeine Gerade f, die durch den Punkt P geht, d. h. auf p nor¬
mal steht, schneidet aus k die beiden Punkte A1 und A2 aus.
Man legt nun einen eigentlichen Hilfskreis h durch Ax und
A2, der von einer Normalen auf p in Bj und B2 so geschnittenwird, daß sowohl der Schnittpunkt C von AjBt und A2B2als auch der Schnittpunkt D von AXB2 und A2Bj eigentlichsind. Die Gerade, die den Schnittpunkt P' von CD mit f
mit dem Schnittpunkt A von p und a verbindet, schneidet
aus k die Berührungspunkte T1 und T2 der gesuchten Tan¬
genten aus. Die Tangenten tx und t2 selbst sind die Normalen
von Tj resp. T2 auf p.
§ 3. Kreise und Kreisbüschel in der Poincaré'schen
Veranschaulichung der hyperbolischen Ebene.
Bekanntlich hat Poincaré4) den hyperbolischen Raum
dadurch veranschaulicht, daß er denselben auf den euklidischen
Raum abbildete und zwar folgendermassen. Der hyper¬bolische Raum wird repräsentiert durch einen der beiden
Halbräume, in die der euklidische Raum durch eine beliebigeEbene Q geteilt wird. Die Ebene ü, die man Fundamen¬
talebene nennt, entspricht dann der Fundamentalkugel. Den
Halbraum, der das Bild des hyperbolischen Raumes sein
soll, bezeichnet man mit R. Das Bild einer Ebene ist eine
Halbkugel des Halbraumes R, die Q normal schneidet oder
eine Ebene die auf Q normal steht. Halbkreise die ü nor¬
mal treffen und in R liegen, repräsentieren Gerade. Die
4) J. H. Poincaré : Wissenschaft und Hypothese, deutsch von F. und
L. Lindemann. S. 42—44.
— 12 —
Winkel werden im gewöhnlichen Sinne gemessen wie in
der euklidischen Geometrie, während der Abstand zweier
Punkte gegeben wird durch den Logarithmus des Doppel¬verhältnisses, welches die beiden Punkte mit den zwei
Schnittpunkten bilden, in welchen die Ebene Si von dem¬
jenigen Halbkreise getroffen wird, der durch diese beiden
Punkte hindurchgeht und Si normal schneidet.
In diesem Kapitel werden nur Betrachtungen an ebenen
Figuren ausgeführt. Die hyperbolische Ebene möge reprä¬sentiert werden durch h, wo h eine der Halbebenen h und
h' ist, in die eine euklidische Ebene durch die Fundamen¬
talgerade ai geteilt wird, w entspricht dem Fundamental¬
kreis'der hyperbolischen Ebene, d. h. dem Kreise, in welchem
die Fundamentalkugel die Ebene schneidet. Alle Halbkreise,
die normal auf cu stehen, veranschaulichen die Geraden der
hyperbolischen Ebene, wobei Gerade, die normal auferstehen,ebenfalls als Halbkreise aufgefaßt werden.
Man betrachtet nun (Fig. 3) ein Büschel von Halb¬
kreisen a b c . ..,
die sich in einem Punkte P schneiden.
P ist ein Grundpunkt dieses Kreisbüschels, während der
andere Grundpunkt das Spiegelbild von P bezüglich der
Geraden w ist. Dieses Kreisbüschel veranschaulicht ein Ge¬
radenbüschel mit einem eigentlichen Scheitel. Da ein eigent¬licher Kreis diejenige Kurve ist, welche die Geraden eines
Büschels mit eigentlichem Scheitel normal schneidet, so
wird, in der vorliegenden Veranschaulichung der hyperbo¬lischen Geometrie der Kreis mit dem Mittelpunkte P eben¬
falls durch einen Kreis repräsentiert. Dieser gehört demjenigenKreisbüschel an, das dem Büschel abc..., konjugiert ist.
Ist der Scheitel P des Geradenbüschels, das durch die
Halbkreise abc... dargestellt wird, uneigentlich (Fig. 4),d. h. sind die Grundpunkte des Kreisbüschels imaginär, dann
gibt es einen Halbkreis n, der alle Kreise abc... nor¬
mal schneidet und dessen Mittelpunkt auf a> liegt, der also
die Polare des Scheitels des Geradenbüschels repräsentiert.
Die Punkte Nx und N2, in welchen n w schneidet, sind die
— 13 —
Nullkreise des Büschels abc... Alle Kreise des Büschels,das zum Büschel abc... konjugiert ist, schneiden sich
in Nj und N2. Da der Ueberkreis eine Kurve ist, die sämt¬
liche Geraden eines Büschels mit uneigentlichem Scheitel
normal schneidet, so wird dieser veranschaulicht durch einen
Kreis, der durch die beiden Punkte Nx und N2 geht. Die
Punkte Nj und N2 schneiden aus dem Kreise die zwei Bogen
Nx A'N2 und Nt BN2 aus, von welchen Nx BN2 in die Halb¬
ebene h fällt, die die hyperbolische Ebene veranschaulichen
soll, während Nt A'N2 in die Halbebene h' fällt. Wird nun
die Halbebene h' um w in die Halbebene h hineingeklappt,dann geht der Bogen Nj A'N2 in N1 AN2 über. Da Nx AN2
Fig. 3. Fig. 4.
die Kreise abc... ebenfalls normal schneidet, so sieht
man, daß Nx AN2 und Nx BN2 die beiden Aeste eines Ueber-
kreises repräsentieren, dessen Axe durch den Halbkreis n
veranschaulicht wird. Durch diese Umklappung fallen immer
je ein Punkt A von h und ein Punkt A' von h' in A zu¬
sammen. Um diese beiden Punkte auseinander zu halten,
gibt man ihnen verschiedene Umlaufsinne. So mögen alle
Punkte die in h liegen mit positivem (Gegenuhrzeigersinn)
und alle Punkte die in h' liegen und durch Umklappung in
h gebracht werden, mit negativem Umlaufsinn versehen sein.
Als Schnittpunkte Sa und S2 (Fig. 4) von zwei Ueberkreisen
— 14 —
Nj AN2 B und Lx Ox L2 02 sind, wie aus der Figur vor der Um¬
klappung von h' in h hervorgeht, nur diejenigen Punkte zu
betrachten, die gleichzeitig auf zwei Kreisbogen liegen,deren Punkte gleichen Umlaufsinn haben oder kurz gesagt,deren Aeste gleichen Umlaufsinn besitzen. Betrachtet man
die Figur nachdem h' in h hineingeklappt ist, so gibt es
scheinbar vier Schnittpunkte Sa S2 01 02, von welchen aber
Oj und 02 Punkte sind, in welchen sich Kreisbogen mit un¬
gleichem Umlaufsinn kreuzen. Durch die Einführung des
Umlaufsinnes kann man es auch erreichen, daß, wie später
gezeigt werden wird, durch drei Punkte (versehen mit Um¬
laufsinn) ein einziger Kreis bestimmt ist.
Es bleibt nun noch der Fall, in welchem der gemein¬same Schnittpunkt N der Kreise abc... auf w liegt.Alle Kreise dieses Büschels stellen dann Gerade vor, die
parallel sind und deren gemeinsames Ende durch N veran¬
schaulicht wird. Da der Grenzkreis eine Kurve ist, die die Ge¬
raden eines Parallelenbüschelsunter rechtemWinkel schneidet,
so wird ein solcher in der vorliegenden Veranschaulichungder hyperbolischen Geometrie durch einen Kreis dargestellt,der to in N berührt. Dieser Kreis gehört dem Kreisbüschel
an, das zum Kreisbüschel abc... konjugiert ist.
Die bisherigen Betrachtungen dieses Paragraphen lassen
sich in folgenden beiden Sätzen kurz zusammenfassen:
Satz 1: Die Punkte von eigentlichen Kreisen und.
Qrenzkreisen haben denselben Umlaufsinn, während die
Punkte, die auf verschiedenen Aesten desselben Ueber-
kreises liegen, entgegengesetzten Umlaufsinn haben.
Satz 2 : Zwei Kreise schneiden sich in höchstens zwei
Punkten.
Dadurch, daß man Lehrsätze über Kreisbüschel in der
euklidischen Geometrie auf die vorliegende Veranschau¬
lichung der hyperbolischen Geometrie anwendet, kann man
Eigenschaften der hyperbolischen Kreisbüschel herleiten.
Es seien in Fig. 5 \ und k2 zwei Kreise, die sich in
den Punkten Sx und S2 schneiden mögen. Durch diese bei-
— 15 —
den Kreise ist ein Büschel definiert. Bekanntlich gibt es
ein konjugiertes Büschel lx 12 . . . .,dessen Kreise alle
Kreise des Büschels kj k2 . . . .normal schneiden. Die
Kreise dieses konjugierten Büschels schneiden einander im
vorliegenden Falle nicht, d. h. die beiden Grundpunkte des
Büschels la la . . . .sind imaginär. Die beiden Nullkreise
des Büschels \t 12 . . .,d. h. diejenigen Kreise, die sich auf
einen Punkt reduzieren, fallen zusammen mit S! und S2.Sind umgekehrt die Kreise \x 12. . . gegeben, die sich nicht
schneiden und sind S2 und S2 die Nullkreise des Büschels
lj J2 . . .,dann gehen alle Kreise des konjugierten Büschels
durch die Punkte Sj und S2.
Liegt nun w so, daß Sx und S2 auf derselben Seite von
eu liegen, (Fig. 5) d. h. beide Punkte denselben Umlaufsinn
haben, so besteht das Kreisbüschel kx k2 . . . aus eigent¬lichen Kreisen, zwei Grenzkreisen und Ueberkreisen. Die
Punkte der eigentlichen Kreise und der Grenzkreise haben
alle denselben Umlaufsinn, wie Sx und S2. Eigentliche Kreise
und Grenzkreise mit negativem Umlaufsinn sind in diesem
Büschel keine vorhanden. Das konjugierte Kreisbüschel lj 12...besteht aus eigentlichen Kreisen und Grenzkreisen mit nur
positivem Umlaufsinn und aus Ueberkreisen.
— 16 —
Ist in Fig. 6 w so gewählt, daß Sj in die Halbebene h
und [S2] in die Halbebene h' fällt, d. h. Sj positiven und S2negativen Umlaufsinn hat, dann besteht das Kreisbüschel,
das durch die Kreise kj und k2 definiert wird, aus lauter
Ueberkreisen. Das zum Büschel k, k2 . . . konjugierteBüschel lj 12 . . . dagegen besteht aus eigentlichen Kreisen
und Grenzkreisen, die sowohl positiven als auch negativenUmlaufsinn haben. Diese Betrachtungen lassen sich in den
folgenden vier Sätzen kurz zusammenfassen.
Satz 3: Ein Kreisbäschel, dessen Qrundpunkte reell
sind und denselben Umlaufsinn haben, besteht aus eigent¬lichen Kreisen und zwei Grenzkreisen, deren Punkte den¬
selben Umlaufsinn haben wie die Qrundpunkte und aus
Ueberkreisen.
Satz 4: Ein Kreisbäschel, dessen Qrundpunkte ent¬
gegengesetzten Umlaufsinn haben, besteht nur aus Ueber¬
kreisen und zwar liegt auf jedem Ast eines solchen ein
Orundpunkt.
Satz 5: Ein, Kreisbüschel, dessen Nullkreise reell sind
und gleichen Umlaufsinn haben, besteht aus eigentlichenKreisen und zwei Qrenzkreisen, deren Punkte denselben
Umlaufsinn haben, wie die Nullkreise, und aus Ueber¬
kreisen.
Satz 6: Ein Kreisbüschel, dessen Nullkreise reell sind
und verschiedenen Umlaufsinn haben, besteht aus eigent¬lichen Kreisen, die sowohl negativen als auch positiven
Umlaufsinn haben, aus zwei Qrenzkreisen, von welchen
der eine positiven und der andere negativen Umlaufsinnhat und aus Ueberkreisen.
§ 4. Kreise durch drei Punkte.
In der hyperbolischen Ebene seien zwei Punkte A und B
gegeben (Fig. 7). Die Mittelpunkte der Kreise durch A und B
liegen auf der Mittelnormalen m von AB. Eine beliebige Ge¬
rade durch A möge m in einem eigentlichen Punkte M schnei-
— 17 —
den. Der Kreis k, beschrieben um M als Mittelpunkt mit
dem Radius MA ist dann ein Kreis des Büschels, dessen
Grundpunkte A und B sind. Wird nunMA um A gedreht, so daß
der Winkel BAM zunimmt, so entfernt sich M mehr und
mehr von der Geraden AB. Wird die Gerade parallel m, so gehtder Kreis k über in einen Grenzkreis des Büschels. Dreht man
die Gerade noch mehr, so wird der Schnittpunkt derselben mit
m uneigentlich. Der Kreis k wird dann ein Ueberkreis, dessen
Axe a diejenige Gerade ist, die m und die Gerade durch A
normal schneidet. Betrachtet man einen Punkt P der Ebene,
so geht durch diesen sowohl ein eigentlicher Kreis als auch
ein Ueberkreis des Büschels durch A und B. Es ist nun
zweckmäßig den Umlaufsinn, der im vorigen Paragraphen
eingeführt wurde, auch in der hyperbolischen Ebene ein¬
zuführen. Am besten stellt man sich die hyperbolische Ebene
alsDoppelschicht vor, wo alle Punkte derselben Schicht gleichenund Punkte, die in verschiedenen Schichten liegen, ent¬
gegengesetzten Umlaufsinn haben. In Fig. 7 hat P den¬
selben Umlaufsinn wie die Punkte A und B, wenn er dem
eigentlichen Kreise k angehört und entgegengesetzten Um¬
laufsinn, wenn er dem Ueberkreise mit der Axe a angehört.A und B liegen dann auf einem Aste des Ueberkreises,während P auf dem andern liegt.
— 18 —
In Fig. 8 seien die Punkte A und B gegeben, die ent¬
gegengesetzten Umlaufsinn haben. Nach Satz 4 besteht ein
Kreisbüschel dessen Grundpunkte die gegebenen Punkte A
und B sind, nur aus Ueberkreisen. Zieht man durch den
Mittelpunkt M der Strecke AB irgend eine Gerade a, so ist
diese die Axe eines Ueberkreises dieses Büschels. Fällt man
dann von A resp. B die Lote AA' resp. BB' auf a, so sind,da AM = BM, < AMA' = < BMB' und < AA'M =-
< BB'M = 1R ist, die beiden Dreiecke MAA' und MBB'
kongruent, d. h. es ist AA' = BB'. Man sieht also hier¬
aus, daß alle Axen des Büschels mit den Grundpunkten A
und B sich im Mittelpunkte M von AB schneiden.
Versteht man in diesem Kapitel von nun an unter einem
Punkte einen mit Umlaufsinn versehenen Punkt, so gilt fol¬
gender Satz.
Satz 7 : Durch drei Punkte ist ein einziger Kreis be¬
stimmt.
Aufgabe 4 : Man zeichne einen Kreis, der durch drei
Punkte geht.
Haben die drei Punkte gleichen Umlaufsinn, dann ist
der Mittelpunkt des gesuchten Kreises der Schnittpunkt der
Mittelnormalen je zweier der drei Punkte. Wie der Kreis
gefunden wird, zeigt die Aufgabe 1. Falls der gesuchteKreis ein Ueberkreis ist, so liegen die drei gegebenen Punkte
immer auf demselben Aste.
Haben zwei Punkte denselben und der dritte entgegen¬
gesetzten Umlaufsinn, dann ist es, wie aus Satz 4 hervor¬
geht, nur möglich, durch diese drei Punkte einen Ueber¬
kreis zu legen. Sollen z. B. in Fig. 8 A und C denselben
und B entgegengesetzten Umlaufsinn haben, dann ist die
Axe des gesuchten Ueberkreises die Verbindungslinie der
beiden Punkte M und M', wo M und M' die Mittelpunkteder Strecken AB resp. AC sind. A und C liegen auf dem
einen und B auf dem andern Aste des Ueberkreises durch
die drei Punkte.
— 19 —
§ 5. Potenzgerade und Potenzpol.
Wird in Fig. 7 die Gerade MA um den Punkt A so weit
gedreht, daß sie auf AB normal zu stehen kommt, dann
rückt die Axe a mit den beiden Aesten des Ueberkreises
in die Gerade AB hinein. Die Gerade AB ist also auch
ein Kreis des Büschels mit den Grundpunkten A und B.
Sie schneidet daher alle Kreise des konjugierten Büschels,dessen Existenz vermittelst der Poincaré'schen Veranschau¬
lichung der hyperbolischen Geometrie in § 3 nachgewiesenwurde, normal. Da jede Gerade, die einen Kreis normal
schneidet, ein Durchmesser desselben ist, so liegen die
Mittelpunkte der Kreise des konjugierten Büschels auf der
Geraden AB, welche man die Potenzgerade des Büschels
mit den Grundpunkten A B nennt. Analog ist m die Potenz¬
gerade des konjugierten Büschels, dessen Nullkreise mit A
und B zusammenfallen.
Haben die Grundpunkte des Büschels verschiedenen
Umlaufsinn, wie in Fig. 8, so sind die Mittelpunkte der
Kreise des Büschels, d. h. die Potenzgerade des konjugierten
Büschels, dessen Nullkreise A und B sind, uneigentlich. Die
Axen aller Ueberkreise des Büschels schneiden sich, wie
im vorigen Paragraphen bewiesen wurde, im MittelpunkteM der Strecke AB. Dieser Punkt M ist der Pol der un¬
eigentlichen Potenzgeraden, der sog. Potenzpol des Kreis¬
büschels, dessen Nullkreise A und B sind. Die Potenzge¬rade des Kreisbüschels, von welchem A und B Grundpunktesind, ist die Gerade AB. Aus diesen Betrachtungen lassen
sich folgende Sätze ableiten, die für die weitere Entwicklungder Konstruktionen wichtig sind.
Satz 8:JederPunkt der Potenzlinie eines Kreisbüschels
hat die Eigenschaft, daß die von ihm an alle Kreise des
Büschels gezogenen Tangenten gleiche Länge haben.
Satz 9: Jede Normale auj die Potenzlinie eines
Kreisbüschels hat die Eigenschaft, daß auf allen Tan¬
genten an Kreise des Büschels, die auf ihr normal stehen.
— 20 —
von ihr und dem Berührungspunkte Strecken abgeschnitten
werden, die einander gleich sind.
Satz 10: Die Berührungspunkte aller zur Potenzlinie
eines Kreisbüschels parallelen Tangenten an die Kreise
desselben liegen auf zwei Grenzkreisen.
Aufgabe 5: Man bestimme die Potenzgerade resp.
den Potenzpol zweier Kreise.
Schneiden sich die beiden Kreise, so ist die Verbin¬
dungslinie der beiden Schnittpunkte die gesuchte Potenz¬
linie.
Anders verhält es sich, wenn sich die beiden Kreise
nicht schneiden. Es gibt dann vier verschiedene Dispo¬
sitionsmöglichkeiten und zwar können die zwei Kreise ge¬
geben sein:
1. durch zwei eigentliche Kreise, deren Punkte densel¬
ben Umlaufsinn haben und die sich nicht schneiden,
2. durch einen eigentlichen Kreis und einen Ueberkreis,
die einander nicht schneiden,
3. durch zwei Ueberkreise, die sich nicht schneiden und
endlich
4. durch einen eigentlichen Kreis mit nur positivenund einem eigentlichen Kreis mit nur negativenPunkten.
In Fig. 9 seien kj und k2 die beiden Kreise und zwar
haben beide einen eigentlichen Mittelpunkt. Ihre Punkte
haben gleichen Umlauisinn. Ist die Disposition der Kreise
k1 und k2 anders getroffen, so bleibt die Konstruktion im
Prinzipe dieselbe. Um einen Punkt der Potenzlinie zu er¬
halten schneidet man die beiden Kreise \ und k2 mit einem
Hilfskreise h in den Punkten AjBx resp. A2B2 so, dass der
Schnittpunkt S von AjBj und A2B2 eigentlich ist. Dieser
Punkt S hat nach Satz 8 die Eigenschaft, daß die Tan¬
genten von ihm an kx, h und k2 gleiche Länge haben. Die
gesuchte Potenzlinie ist die Normale p von S auf die Ver¬
bindungslinie MjM2 der Mittelpunkte Mx und M2 der Kreise
kj resp. k2.
— 21 —
Vollständig verschieden von der vorigen Lösung ist
vom Standpunkte eines hyperbolischen Wesens aus die
Konstruktion der Potenzlinie (Potenzpol) für die Disposition 4.
Es sei also in Fig. 10 kx ein eigentlicher Kreis, dessen
Punkte nur positiven und k2 ein eigentlicher Kreis, dessen
Punkte nur negativen Umlaufsinn haben. Man legt nun
den Hilfskreis h, der ein Ueberkreis ist so, daß der positive
Ast kj und der negative Ast k2 schneidet und zwar in den
Punkten Aj und Bj resp. A2 und B2. Da, wo die Gerade, die
auf AjBj und A2B2 normal steht, die Verbindungslinie MjM2der Mittelpunkte der Kreise k2 und k2 schneidet, ist der Po¬
tenzpol P der Kreise kx und k2.
Aufgabe 6: Gegeben sei ein Büschel durch zwei Kreise,
die sich nicht schneiden. Man bestimme die beiden Null¬
kreise des Büschels.
In Fig 9 seien kt und k2 die beiden Kreise. Die Po¬
tenzlinie p, die mit Hilfe der vorigen Aufgabe gefunden
wird, schneidet man in M mit der Tangente in einem be¬
liebigen Punkte T des Kreises kx und beschreibt um M ,als
Mittelpunkt mit dem Radius MT einen Kreis. Dieser Kreis
schneidet dann aus MtM2 die beiden gesuchten Nullkreise
Nj und N2 aus, deren Umlaufsinn demjenigen des Punktes
T gleich ist.
— 22 —
Die Konstruktion gestaltet sich im Falle 4 folgender-massen: In irgend einem Punkte T von kj (Fig. 10) wird
die Tangente t gezogen und darauf durch Punkt P die
Normale a gefällt, die t im Punkte F trifft. Mit der Ge¬
raden a als Axe und dem Abstand TF wird dann der Ueber-
kreis gezeichnet, der MjM2 in den Nullkreisen Nj und N2schneidet und zwar hat derjenige Punkt N1? der mit T auf
demselben Aste des Ueberkreises liegt, positiven Umlauf¬
sinn, während derjenige von N2 negativ ist.
§ 6. Potenzpunkt und Potenzaxe.
Die drei Potenzlinien dreier Kreise schneiden sich, wie
aus den Sätzen 8 und 9 hervorgeht in einem Punkte, dem
sog. Potenzpunkte. Ist dieser Potenzpunkt uneigentlich, so
stehen die drei Potenzlinien auf seiner Polaren, der sog.
Potenzaxe, normal.
Vom Standpunkte eines hyperbolischen Wesens aus,
gibt es für drei Kreise sechs wesentlich verschiedene Dis¬
positionsmöglichkeiten und zwar können die drei Kreise
gegeben sein:
1.- durch drei eigentliche Kreise, deren Punkte gleichenUmlaufsinn haben,
2. durch drei eigentliche Kreise, von welchen zwei nur
Punkte mit demselben Umlaufsinn und der dritte nur
Punkte mit entgegengesetztem Umlaufsinn haben,3. durch zwei eigentliche Kreise, deren Punkte gleichen
Umlaufsinn haben und einen Ueberkreis,4. durch zwei eigentliche Kreise, von welchen der eine
Punkte mit nur positivem und der andere Punkte mit
nur negativem Umlaufsinn hat und einen Ueberkreis,5. durch einen eigentlichen Kreis und zwei Ueberkreise
und endlich
6. durch drei Ueberkreise.
Bemerkenswert sind ferner zwei Fälle von Dispositionen,die sich hinsichtlich der Lage des Potenzpunktes bezüglichder drei Kreise von einander unterscheiden. Fällt nämlich
— 23
der Potenzpunkt in das Innere eines der drei Kreise, so
fällt er zugleich ins Innere der beiden andern Kreise und
zwar versteht man unter dem Innern eines Kreises, diejenigen
Punkte, von welchen aus keine reellen Tangenten an den
Kreis gezogen werden können. Solche Punkte nennt man
auch Punkte mit negativer Potenz. Aeußere Punkte oder
Punkte mit positiver Potenz sind diejenigen, von welchen
aus zwei reelle Tangenten an den Kreis möglich sind. Punkte
auf der Peripherie des Kreises haben die Potenz Null. All¬
gemein gilt der folgende Satz.
Satz 11 : Hat der Potenzpunkt dreier Kreise bezüg¬
lich eines der drei Kreise positive oder negative Potenz
oder die Potenz null, so gilt dasselbe bezüglich aller drei
Kreise.
Aufgabe 7 : Man bestimme den Potenzpunkt resp. die
Potenzaxe dreier Kreise und denjenigen Kreis, der die drei
Kreise normal schneidet.
Wie leicht verständlich, gibt es nur dann einen solchen
Normalkreis, wenn die Potenz des Potenzpunktes positiv
ist. Ist die Potenz des Potenzpunktes negativ, so ist der
verlangte Normalkreis imaginär. An seiner Stelle soll dann
der Kreis gezeichnet werden, aus welchem die drei Kreise
Punkte ausschneiden, die je auf einem Durchmesser liegen.
Die Lösung der Aufgabe 7, die für alle sechs Fälle
im Prinzip dieselbe ist, möge in Fig. 11 an der Disposition
4 ausgeführt werden. kx sei ein Kreis, dessen Punkte nur
positiven Umlaufsinn haben und k2 ein Kreis, dessen Punkte
nur negativen Umlaufsinn haben. k3 sei ein Ueberkreis. Wie
aus der zweiten Disposition der Aufgabe 5 (Fig. 10) er¬
sichtlich ist, ist die Potenzlinie der Kreise ka und k2 un¬
eigentlich. Der Potenzpunkt der drei Kreise ist deshalb
auch uneigentlich. Die Normale n vom Potenzpol P12 der
Kreise kt und k2 auf die Potenzgerade p23 der Kreise k2und k3 ist die gesuchte Potenzaxe. Um den Kreis zu fin¬
den, der die drei gegebenen normal schneidet, sucht man mit
Hilfe der Aufgabe 2 den Berührungspunkt T einer Tangente
— 24 --
vom uneigentlichen Potenzpunkt aus an den Kreis kt und legtdurch T den Ueberkreis n, dessen Axe iz ist. Die Punkte des
Astes auf dem T liegt, haben, wie die Punkte des Krei¬
ses kj, positiven Umlaufsinn, während der Umlaufsinn der
Punkte des andern Astes negativ ist.
Um die Aufgabe für den Fall durchzukonstruieren, bei
welchem der Potenzpunkt negative Potenz hat, seien in
Fig. 12 kj, k2 und k3 eigentliche Kreise, deren Punkte posi¬tiven Umlaufsinn haben (Fall 1). Der eigentliche Schnitt-
— 25 —
punkt der drei Potenzlinien p12 p2s und psl ist der gesuchte
Potenzpunkt U. Den Kreis, der von kj k2 und ks in Punkten
geschnitten wird, die paarweise auf einem Durchmesser
liegen, findet man folgendermassen. Man errichtet in 77
auf die Gerade Mx/7, wo Mj der Mittelpunkt des Kreises
k2 ist, die Normale, die kx in den Punkten A1 und A2 schneidet.
Der Kreis Cs über AjA2 als Durchmesser ist dann der ge¬
suchte Kreis.
IL Kapitel.Der Grenzkreis.
§ 1. Schnitt einer Geraden mit einem Grenzkreise.
Wie in der Einleitung gesagt wurde, hat man kein In¬
strument zur Verfügung, welches gestattet Grenzkreise als
kontinuierliche Kurven zu zeichnen. Ein Grenzkreis ist ge¬
wöhnlich dadurch festgelegt, daß man eine Halbgerade gibt,die durch einen Grenzkreispunkt begrenzt ist und deren
Ende der unendlich ferne Punkt des Grenzkreises ist.
Aufgabe 8: Manschneide einen Qrenzkreis mit einerAxe.
Der Grenzkreis sei in Fig. 13 gegeben durch die Halb¬
gerade g, die durch den Grenzkreispunkt G begrenzt ist.
Das Ende U von g, das zugleich Ende der zu schneiden¬
den Axe c ist, ist der unendlich ferne Punkt des Grenz¬
kreises. Auf Grund der Tatsache, daß in einem Dreieck
— 27 —
die Winkelhalbierenden zu je dreien sich in einem Punkte
schneiden, konstruiert man den Schnittpunkt C der Axe c
mit dem Grenzkreis folgendermaßen. Man verbindet einen
Punkt F von c mit einem Punkt D von g so, daß der Winkel
a kleiner als ein rechter ist. Nun zieht man durch F eine
Gerade, die g in E schneidet so, daß der Winkel DFE gleichdem Winkel a ist. Den Schnittpunkt M2 der Winkelhalbieren¬
den des Winkels FED mit FD verbindet man mit dem Schnitt¬
punkt Mj der Winkelhalbierenden der beiden Winkel UFE
und UEF. Der Schnittpunkt C des Lotes von G auf M,M2mit c ist dann der gesuchte Grenzkreispunkt der Axe c.
Aufgabe 9: Man schneide einen Qrenzkreis mit einer
beliebigen Geraden.
In Fig. 13 ist der Grenzkreis gegeben durch den Grenz¬
kreispunkt G, der auf der Halbgeraden g liegt, s sei die
zu schneidende Gerade. Vermittelst der Involution, die durch
den Grenzkreis auf s erzeugt wird, erhält man die beiden
Schnittpunkte Sa und S2. Die Tangente in G an den Grenz¬
kreis, d. h. die Normale in G auf g, schneidet s im Punkte A.
Durch A legt man die Axe a. Die Normale von G auf a
schneidet aus s den Punkt A' aus. Der Fußpunkt der Axe
c, die.auf s normal steht und mit Hilfe einer von Bolyai5)
gegebenen Konstruktion gefunden wird, ist M und der Pol
von c ist der uneigentliche Punkt M'. MM'AA' ist dann
die erwähnte Involution, aus der vermittelst eines Hilfs¬
kreises h die beiden Doppelpunkte Sx und S2 konstruiert
werden und zwar sind Sj und S2 reell oder imaginär, d. h.
s schneidet den Grenzkreis oder nicht, je nachdem die In¬
volution MM'AA' hyperbolisch oder elliptisch ist.
§ 2. Tangenten von einem Punkte an einen Grenzkreis.
Aufgabe 10: Man ziehe von einem Punkte aus die
Tangenten an einen Qrenzkreis.
Der Grenzkreis sei in Fig. 14 wieder durch den Punkt
°) Joh. Bolyai : Appendix § 35, deutsch herausgegeben v. P. StäckeJ.
— 28 —
Q desselben gegeben, der auf der Halbgeraden g liegt, deren
Ende der unendlich ferne Punkt des Grenzkreises ist. T ist
der Punkt, von welchem aus die Tangenten an den Grenz¬
kreis gezogen werden sollen. Die Gerade GT bezeichnet
man mit a und zieht die zu a normale Axe, die aus der
Tangente an den Grenzkreis in G den Punkt P ausschnei¬
det. Die Gerade PT bezeichnet man mit a', a und a' sind
zwei entsprechende Strahlen der Involution, die vom Grenz¬
kreis im Punkte T erzeugt wird. Ein anderes Paar dieser
Involution sind die Axe m durch T und ihre Normale m'.
Die Doppelelemente der Involution mm'aa' sind dann die
gesuchten Tangenten tt und t2, die in gewohnter Weise mit
einem Hilfskreis h gefunden werden. Die Berührungspunkte
Tj und T2, der beiden Tangenten, sind die Fußpunkte der
Axen, die normal auf tj resp. t2 stehen.
§ 3. Schnitt zweier Grenzkreise.
Aufgabe 11: Man bestimme die Schnittpunkte zweier
Qrenzkreise.
Sind in Fig. 13 die beiden Grenzkreise k und k' ge¬
geben durch die Grenzkreispunkte G und G', die auf den
Halbgeraden g resp. g' liegen, so sucht man diejenige Ge-
— 29 —
rade c, die zu g und g' parallel ist, was keine besonderen
Schwierigkeiten bietet3). Mit Hilfe der Aufgabe 8 erhält
man die Schnittpunkte C und C der Qrenzkreise k resp. k'
mit c. Die Punkte Sj und S2, in welchen die Mittelnormale
s der Strecke CC den Grenzkreis k schneidet und die mit
Hilfe der Aufgabe 9 gefunden werden, sind die gesuchten
Schnittpunkte der beiden gegebenen Grenzkreise.
§ 4. Schnittpunkte von Grenzkreisen mit eigentlichenund Ueberkreisen.
Aufgabe 12: Man bestimme die Potenzlinie resp. den
Potenzpol zweier Kreise, von welchen der eine ein Orenz-
kreis ist.
Der Grenzkreis k: sei in Fig. 15 wieder gegeben durch
einen Punkt G desselben, der auf der Halbgeraden g liegt,
deren Ende der unendlich ferne Punkt des Grçnzkreises ist.
Der Kreis k2 möge als eigentlicher Kreis gegeben sein,
dessen Mittelpunkt M ist und dessen Punkte denselben Um¬
laufsinn haben, wie die Punkte des Grenzkreises. Wäre k2ein Ueberkreis oder ein eigentlicher Kreis, dessen Punkte
— 30 —
entgegengesetzten Umlaufsinn haben, wie die Punkte des
Grenzkreises, so wäre die Konstruktionsweise im Prinzipedieselbe. Durch Q und irgend einen andern Grenzkreis¬
punkt B legt man einen Hilfskreis h, der k2 in H, und H2schneiden soll. Die Gerade, die durch den Schnittpunkt D
von CB und H^ geht und normal auf der Axe m durch
M steht, ist die gesuchte Potenzgerade p der beiden Kreise.
Die Gerade p schneidet k2 in denselben Punkten Sj und S2wie der Grenzkreis kr Schneidet p k2 nicht, so haben die
beiden Kreise k: und k2 keinen Schnittpunkt gemein.
§ 5. Nullkreise.
Aufgabe 13: Man suche die Nullkreise eines Büschels,
das durch zwei Kreise gegeben ist, von welchen der eine
oder beide Grenzkreise sind.
In Fig. 16 sei der Grenzkreis k} wieder gegeben durch
den Grenzkreispunkt G, der auf der Halbgeraden g liegt,deren Ende der unendlich ferne Punkt des Grenzkreises ist.
Der Kreis k2 kann, ohne daß die Allgemeinheit der Kon¬
struktion darunter leidet, als eigentlicher Kreis angenommen
werden, dessen Punkte gleichen Umlaufsinn haben, wie die
Punkte von kr Die Potenzgerade p konstruiert man mit
— 31 —
Hilfe von Aufgabe 12. Zieht man in irgend einem Punkt
T von k2 die Tangente, die p im M' schneidet und be¬
schreibt, gemäß Aufgabe 1, um diesen Schnittpunkt M' als
Mittelpunkt den Kreis, der durch T geht, so schneidet dieser
aus der Axe m, die durch den Mittelpunkt M des Kreises
k2 geht, die gesuchten Nullkreise Nt und N2 aus. Die Be¬
stimmung der Umlaufsinne dieser beiden Punkte bietet keine
besonderen Schwierigkeiten mehr. In Fig. 16 speziell haben
Nj und N2 denselben Umlaufsinn, wie der Punkt T.
III. Kapitel.
Die fundamentalen Konstruktionen des
hyperbolischen Raumes.
§ 1. Punkt und Gerade.
Um Konstruktionen im hyperbolischen Räume auszu¬
führen, legt man die Punkte des Raumes in Bezug auf
eine Projektions- oder Bildebene fest vermittelst der zyklo-
graphischen Projektion. Diese besteht darin, daß man je¬dem Punkte P0 des Raumes jenen Kreis Kp der Bildebene
zuordnet, der um den Fußpunkt P, des von P0 auf die Bild¬
ebene gefällten Lotes, als Mittelpunkt mit der Länge des
Lotes P0P als Radius, beschrieben wird. Da aber zu jedemsolchen Kreis, solange sein Radius nicht Null ist, zwei
Punkte gehören, die in Bezug auf die Bildebene symetrisch
liegen, so muß- man zur eindeutigen Festlegung der Punkte
Umlaufsinne einführen. Der Punkt P wird nun durch den¬
jenigen Umlaufsinn des Kreises Kp festgelegt, der von P
aus gesehen dem Uhrzeiger entgegengesetzt erscheint, der
also positiv ist.
Bewegt sich ein Punkt auf P0P vom Punkte P0 aus
von der Bildebene weg, so wird der Radius des zugehörigenKreises immer größer. Der Umlaufsinn bleibt derselbe. Rückt
dann der Punkt in das Ende U0 der Geraden PP0 hinein,
so fällt sein Kreis Ku dem mit Fundamentalkreis w der Bild¬
ebene zusammen. Der Umlaufsinn von Ku ist derselbe,wie der von Kp. Bewegt sich ein Punkt von P0 aus in der
Richtung gegen die Bildebene hin, dann wird der Radius
des zugehörigen Kreises immer kleiner, während der Um¬
laufsinn derselbe ist, wie beim Kreise Kp, bis zum Moment,wo der Punkt mit P zusammenfällt. Die Kreise, die zu den
— 33 —
Punkten der Bildebene gehören, haben den Radius null. Be¬
wegt sich der Punkt in gleicher Richtung weiter, so wächst
der Kreis wieder, aber sein Umlaufsinn hat sich umgekehrtund ist demjenigen von KP entgegengesetzt. Fällt endlich
der Punkt in das zweite Ende U'0 der Geraden P0P, dann
fällt der zugehörige Kreis Ku' wieder mit dem Fundamen¬
talkreis w der Bildebene zusammen, aber der Umlaufsinn
von Ku- ist entgegengesetzt demjenigen von Ku. Da für
ein hyperbolisches Wesen die unendlich fernen Punkte, und
damit tu nicht erreichbar sind, so soll ein unendlich ferner
Punkt Uo durch seine Projektion U festgelegt werden, die
mit einem Pfeil versehen ist, der denselben Umlaufsinn
markiert, welchen eigentlich der zu U0 gehörige Funda¬
mentalkreis w haben sollte.
Kennt man von einer Geraden zwei Punkte, speziellihre beiden unendlich fernen Punkte, so ist sie dadurch be¬
stimmt. Es möge also eine Gerade g0 gegeben sein durch
die Projektionen U und U' ihrer Enden. Die eigentlichenPunkte von g0 projizieren sich auf die Strecke UU', wäh¬
rend die uneigentlichen Punkte sich auf die Punkte außer¬
halb der Strecke UU' abbilden. Sind die Umlaufsinne von
U und U' entgegengesetzt, so existiert der Durchstoßpunktder Geraden g0 und zwar liegt derselbe in der Mitte der
Strecke UU', was aus einer einfachen Kongruenzbetrachtung
folgt. Sind dagegen die Umlaufsinne von U und U' gleich,so schneidet die Gerade g0 die Bildebene nicht eigentlich.Fällt einer der beiden Punkte auf den Fundamentalkreis w,
so ist die Gerade zur Bildebene parallel und fallen endlich
beide Punkte auf w, so liegt g0 ganz in ihr.
§ 2. Die Normalprojektion in der Poincaré'schen
Veranschaulichung der hyperbolischen Geometrie.
Um einige fundamentale Sätze abzuleiten, bedient man
sich in diesem Paragraphen der Poincaré'schen Veranschau¬
lichung des hyperbolischen Raumes6). Man nehme in der-
6) Vergl. Kap. I § 3.
— 34 —
selben eine Ebene an, die auf der Fundamentalebene ii normal
steht und diese in der Geraden w schneidet. Die eine Halb¬
ebene B dieser Ebene veranschaulicht die Bildebene. Die
beiden Halbebenen, in die ü durch die Gerade w geteilt
wird, mögen mit h und h' bezeichnet werden. Projektions¬strahlen werden repräsentiert durch Halbkreise, die auf B
und ä normal stehen, deren Mittelpunkte also in uj liegen.Hat man also irgend einen Punkt von iJ auf die Ebene B
zu projizieren, so hat man einfach die den Punkt enthaltende
Halbebene h oder h' um einen rechten Winkel in die Halb¬
ebene B hineinzuklappen. Der Umlaufsinn, der hier analogwie im vorigen Paragraphen eingeführt wird, ist dann so
zu wählen, daß er vom Originalpunkte in ii aus gesehen,
positiv erscheint. Durch die Projektion werden die Punkte
der Halbebene h' um cu im entgegengesetzten Sinne um¬
geklappt, wie die Punkte der Halbebene h und die Pro¬
jektionen der letzteren haben entgegengesetzten Umlaufsinn
wie die Projektionen der ersteren. Eine Halbkugel, die eine
Ebene repräsentiert, schneidet Ü in einem Kreise k0. Dieser
erscheint, nachdem die Halbebenen h und h' in B hinein¬
geklappt sind, wieder als Kreis oder als zwei Kreisbogen,die sich auf w schneiden und deren Punkte entgegenge¬setzten Umlaufsinn haben, je nachdem k0 die Gerade cu nicht
schneidet oder sie in zwei Punkten trifft. Daraus folgt ohne
weiteres der folgende Fundamentalsatz.
1. Fundamentalsatz: Die Bildpunkte des Fundamental¬
kreises einer Ebene liegen auf einem Kreise, der ein Ueber-
kreis, Grenzkreis oder ein eigentlicher Kreis ist, je nach¬
dem die Ebene die Bildebene schneidet, zu ihr parallelist oder sie nicht schneidet.
Wie leicht ersichtlich, haben alle Punkte eines Kreises,der das Bild des Fundamentalkreises einer Ebene ist, den
man kurz mit Bildkreis der Ebene bezeichnet, gleichen Um¬
laufsinn, wenn der Kreis ein eigentlicher oder ein Grenz¬
kreis ist. Beim Ueberkreis haben die Punkte der beiden
Aeste entgegengesetzten Umlaufsinn. Die Axe desselben
35 —
ist die Schnittgerade der Bildebene mit derjenigen Ebene,
deren Bildkreis der Ueberkreis ist.
Betrachtet man in der Poincaré'schen Veranschauliehungzwei Halbkugeln, die zwei Ebenen repräsentieren sollen,die sich unter dem Winkel y schneiden, so schneiden sich
die Kreise, welche die beiden Halbkugeln mit ß bestimmen,ebenfalls unter dem Winkel cp. Nachdem die Halbebenen h
und h' in B hineingeklappt worden sind, schneiden sich diese
Kreise wieder unter dem Winkel (p. Es gilt also folgen¬der fundamentaler Satz.
2. Fundamentalsatz: Die Bildkreise zweier Ebenen
schneiden sich unter demselben Winkel wie die Ebenen.
§ 3. Die Hauptebene eines Punktes.
An Stelle des im ersten Paragraphen dieses Kapitels
eingeführten, mit einem Umlaufsinn versehenen Kreises,
kann man zur Festlegung eines Punktes PQ sich eines andern
Mittels bedienen. Man gibt die Projektion P und den Bild¬
kreis Cp derjenigen Ebene, die den Punkt P0 enthält und zum
Projektionsstrahl P0P normal steht und die man Hauptebene
des Punktes P nennt. Der Mittelpunkt des Kreises CP fällt
mit P zusammen, denn die Bildkreise aller projizierenden
— 36 —
Ebenen durch P0P, die degenerierte Ueberkreise sind, bilden
ein Geradenbüschel mit dem Scheitel P und haben Cp normal
zu schneiden. Ist in Fig. 17 Kp der mit einem Umlaufsinn
versehene Kreis, der den Punkt P0 im Raum vermittelst der
zyklographischen Abbildung bestimmt, dann wird der Bild¬
kreis Cp der Hauptebene folgendermaßen gefunden. Legtman durch PB, wo B ein Punkt von Kp ist, die Normal¬
ebene zur Bildebene und klappt dieselbe in die Bildebene
um, so kommt der Punkt P0 in den Schnittpunkt A von KP
mit der Normalen in P auf PB zu liegen. Wird nun in A
auf PA die Normale errichtet und zu derselben parallel und
zu PB normal die Gerade gezogen, die PB in C schneidet,so ist der Kreis Cp, der um P als Mittelpunkt mit dem Radius
PC beschrieben ist, der Bildkreis der Hauptebene des Punktes
P0. Die Punkte des Kreises CP haben denselben Umlauf¬
sinn wie der Kreis KP. Bezeichnet man die Strecke PA mit
r und PC mit c, so besteht zwischen den beiden Strecken
die Beziehungn (c) + n (r) = x k.
Unter II (c) versteht man bekanntlich7) den Parallel¬
winkel der Strecke c und x ist ein willkürlicher Faktor, der
bei der Winkelmessung auftritt und dadurch bestimmt ist,daß einer ganzen Umdrehung eines Winkels das Maß 4 * it
zukommt.
Von den beiden Abbildungsmethoden von Punkten die
jetzt zur Verfügung stehen, benutzt man am besten die letztere.
Ein Punkt P0 wird also von nun an gegeben sein durch
den Bildkreis CP seiner Hauptebene und ein gesuchter Punkt
ist als gefunden zu betrachten, wenn der Bildkreis seiner
Hauptebene ermittelt ist.
§ 4. Gerade und Ebene.
Aufgabe 14: Man lege durch zwei Punkte eine Gerade.
Die Punkte A0 und B0 seien gegeben (Fig. 18.) durch
7) N. J. Lobatschefskij : Zwei geometrische Abhandlungen, deutsch
von F. Engel, S. 174.
— 37 —
die Bildkreise CA und Cb ihrer Hauptebene, deren Mittel¬
punkte A resp. B sind. In A resp. B errichtet man auf AB
die Normalen, die die Kreise CA resp. Cb in den Punkten
Ax und A2 resp. B1 und B2 schneiden. Die Punkte U und
IT, in welchen der Kreis h durch Ax A2 und Bv der mit
Hilfe von Aufgabe 4 gefunden wird und der auch durch den
Punkt B2 geht, die Gerade AB schneidet, sind die Projek¬tionen der Enden der gesuchten Geraden. In Fig. 18, wo
speziell die Punkte von Ca positiven und die Punkte von
CB negativen Umlaufsinn haben, hat der Punkt U, der auf
demselben Aste des Ueberkreises h liegt wie die Punkte Axund A2, positiven Umlaufsinn, während derselbe von U'
negativ ist. Der Schnittpunkt S der Axe a des Ueberkreises
h mit AB ist der Durchstoßpunkt der Geraden A0B0 mit der
Bildebene.
Aufgabe 15: Man lege eine Ebene durch drei unend¬
lich ferne Punkte.
Die drei unendlich fernen Punkte A0 B0 und C0 seien
gegeben durch ihre Projektionen A B und C. Diese Aufgabeist völlig identisch mit der Aufgabe 4, denn der Bildkreis
der gesuchten Ebene geht durch die Punkte A B und C.
Um zu entscheiden ob zwei Geraden, die durch die
Projektionen U und U' resp. V und V ihrer Enden gegeben
— 38 —
sind, sich schneiden oder nicht, hat man zu untersuchen ob
es eine Ebene gibt oder nicht, die beide Gerade enthält.
Legt man durch U U' und V den Kreis, so muß also, wenn
die beiden Geraden sich schneiden auch V auf diesem Kreise
liegen.
Satz 12: Zwei Gerade schneiden sich dann, wenn die
Projektionen ihrer Enden auf einem Kreise liegen.
Aufgabe 16: Man lege eine Ebene durch drei beliebigePunkte.
Sind die drei Punkte A0 B0 und C0 gegeben durch die
Bildkreise Ca Cb und Cc ihrer Hauptebenen, so sucht man
am besten mit Hilfe der Aufgabe 14 die Projektionen U U'
und V V der Enden der Geraden A0B0 resp. B0C°. Der
Kreis der durch die vier Punkte UU'V und V geht ist dann
der Bildkreis der gesuchten Ebene.
Liegen die Punkte A0 B0 und C„ auf verschiedenen Seiten
der Bildebene, dann ist der Bildkreis der gesuchten Ebene
immer ein Ueberkreis, dessen Axe die Schnittlinie dieser
Ebene mit der Bildebene ist.
Aufgabe 17: Man lege durch einen Punkt und eine
Gerade eine Ebene.
Diese Aufgabe ist ein spezieller Fall der vorigen. Sind
die Projektionen der Enden der gegebenen Geraden U und
U', während der Punkt durch den Bildkreis Cp seiner Haupt¬ebene gegeben ist, so hat man nur noch das zweite Ende
U" der Geraden U0P0 mit Hilfe der Aufgabe 14 zu suchen
und durch U U' und U" den Kreis zu legen. Dieser Kreis
ist dann der Bildkreis der gesuchten Ebene.
§ 5. Schnittprobleme.
Aufgabe 18: Man bestimme die Schnittgerade zweier
Ebenen.
Sind die beiden Ebenen gegeben durch ihre Bildkreise
und schneiden sich die beiden Kreise, so sind die beiden
Schnittpunkte die Projektionen der Enden der Schnittgeraden.
- 39 —
Sctîneiden sich die beiden Bildkreise nicht, dann ist die
Schnittgerade der beiden Ebenen uneigentlich. Die Projek¬tion derselben ist die Potenzgerade beider Kreise.
Aufgabe 19: Man bestimme den Schnittpunkt einer
Geraden mit einer Ebene.
In Fig. 12 sei die Gerade gegeben durch die Projek¬tionen U und U' ihrer Enden und die Ebene durch ihren
Bildkreis kr Man legt durch U und U' irgend einen Kreis k2jder kj in den Punkten S und S' schneidet. Liegt dann der
Schnittpunkt U von SS' und UU' zwischen U und U', so ist
der Schnittpunkt der Geraden und der Ebene eigentlich und
liegt er außerhalb der Strecke UU', so ist der gesuchte Schnitt¬
punkt uneigentlich. Legt man über der Strecke AjA2 als
Durchmesser den Kreis Cs, so ist Cs der Bildkreis der Haupt¬
ebene des gesuchten Schnittpunktes. Ax und A2 sind die
Schnittpunkte der Normalen in 77 auf die Gerade, die den
Mittelpunkt M3 des Kreises \ mit U verbindet.
Aufgabe 20: Man bestimme den Schnittpunkt dreier
Ebenen.
Diese Aufgabe ist identisch mit der Aufgabe 7 und
zwar mit demjenigen Falle, bei welchem der Potenzpunkt
bezüglich der Bildkreise kj k2 und k3 (Fig. 12) der drei
gegebenen Ebenen, negativ ist. Der Kreis Cs, der von drei
Kreisen in Punkten geschnitten wird, die zu je zweien auf
Durchmessern liegen, ist der Bildkreis der Hauptebene des
Schnittpunktes der drei gegebenen Ebenen.
§ 6. Normalenprobleme.
Aufgabe 21 : Man bestimme diejenige Gerade, die aufzwei sich nicht schneidenden Ebenen, normal steht.
Diese Aufgabe ist im Grunde genommen dieselbe wie
die Aufgabe 6, denn alle Ebenen, die durch die gesuchteGerade gehen, schneiden die beiden Ebenen rechtwinklig.
Sind in Fig. 9 kj und k2 die Bildkreise der beiden sich nicht
schneidenden Ebenen, so sind Nt und N2 die Projektionender Enden der gesuchten Geraden.
- 40 —
Schneiden sich die Bildkreise kj und k2, dann ist die
gesuchte Normale der beiden Ebenen uneigentlich. Ihre
Polare ist dann die Schnittgerade der beiden Ebenen, d. h.
die Pole der Ebenen eines Büschels, welches die eine der
Geraden zum Scheitel hat, liegen auf der andern Geraden.
Faßt man von den gegebenen Ebenen eine oder beide als
Polarebenen von uneigentlichen Punkten auf, so löst Auf¬
gabe 21 auch die Aufgaben, durch einen uneigentlichen Punktauf eine Ebene die Normale zu ziehen resp. durch zwei
uneigentliche Punkte eine Gerade zu legen.Aufgabe 22: Man bestimme diejenige Ebene, die auf
drei Ebenen, die sich in einem uneigentlichen Punkte schnei¬
den, normal steht.
Die drei Ebenen seien in Fig. 11 gegeben durch ihre
Bildkreise kj ka und k3. Derjenige Kreis n, der die drei
Kreise normal schneidet, und der mit Hilfe von Aufgabe 7
konstruiert wird, ist dann der Bildkreis der gesuchten Nor¬
malebene. Ihr Pol, der uneigentlich ist, ist der Schnittpunktder drei Ebenen.
Faßt man eine oder alle drei Ebenen als Polarebenen
von uneigentlichen Punkten auf, so löst die Aufgabe 22 die
Aufgaben, durch einen uneigentlichen Punkt auf eine eigent¬liche oder uneigentliche Gerade die Normalebene zu fällen
resp. durch drei uneigentliche Punkte eine Ebene zu legen.
Aufgabe 23: Man bestimme diejenige Ebene, die durch
eine Gerade geht und auf einer Ebene normal steht.
Ist die Gerade gegeben durch die Projektionen U und
U' ihrer Enden und die Ebene durch ihren Bildkreis k, so
kann man U und U' als Nullkreise auffassen. Man hat dann
einen Kreis zu suchen, der k und die Nullkreise U und U'
normal schneidet. Dieser Kreis der mit Hilfe von Aufgabe 7
gefunden wird, ist dann der Bildkreis der gesuchten Ebene.
Aufgabe 24 : Gegeben sind eine Gerade und eine Ebene,die sich nicht schneiden. Man bestimme diejenige Ebene,die sowohl auf der Geraden als auch auf der Ebene
normal steht.
— 41 —
In Fig. 11 seien U und U' die Projektionen der Enden
der gegebenen Geraden, während die Ebene durch den Bild¬
kreis kj gegeben ist. Legt man durch U und U' irgendzwei Kreise k2 und k3, so ist der Kreis n, der kj k2 und ksnormal schneidet und der mit Hilfe von Aufgabe 7 gefundenwird, der Bildkreis der gesuchten Ebene.
Aufgabe 25: Zu zwei Geraden, die in einer Ebene
liegen und die sich nicht schneiden, soll diejenige Ebene
gelegt werden, die auf den beiden Geraden normal steht.
Die beiden Geraden seien gegeben durch die Bilder U
und U', V und V ihrer Enden. Der Kreis k auf dem U U'
V und V liegen, ist der Bildkreis der Ebene, die durch
die beiden Geraden geht. Verbindet man den Schnittpunkt
Tj der Tangenten in U und U' an k mit dem Schnittpunkt
T2 der Tangenten in V und V, so schneidet diese Gerade
k in den Punkten W und W\ Der Kreis, der durch W und
W geht und auf k normal steht, ist der Bildkreis der ge¬
suchten Ebene.
Aufgabe 26 : Man lege durch einen Punkt die Gerade,
die auf einer Ebene normal steht.
k sei der Bildkreis der gegebenen Ebene und Cp
der Bildkreis der Hauptebene des Punktes P0. In Fig. 19
ist die Disposition so getroffen, daß die Ebene ganz auf
einer Seite der Bildebene liegt, auf der auch der gegebene
— 42 —
Punkt Po sich befinden soll. Wäre die Disposition anders
getroffen, so bliebe im Prinzip die Konstruktion dieselbe.
Auf die Gerade MP, welche die Mittelpunkte M und P der
Kreise k und Cp verbindet, errichtet man in P die Normale,die Cp in den Punkten At und A2 schneidet. Durch irgendeinen Punkt B des Kreises k und den Punkt A1 wird ein
Hilfskreis gelegt, der k noch in einem zweiten Punkte C
schneidet. Durch den Schnittpunkt S von BC mit der Tan¬
gente in Aj an den Hilfskreis fällt man die Normale auf MAX, die
MP im Mittelpunkte N des Kreises n schneidet, der durch A, und
A2 geht und MP in den Punkten U und U' trifft, welche die
Projektionen der Enden der gesuchten Geraden sind. Die
Bestimmung der Umlaufsinne von U und U' bietet keine
Schwierigkeiten mehr. In Fig. 19, wo der Punkt N eigent¬lich ist haben U und U' gleichen Umlaufsinn wie die Punkte
Aj und A2.
Aufgabe 27 : Man lege durch einen Punkt die Normal¬
ebene zu einer Geraden.
Man legt zuerst eine Ebene durch den gegebenen Punkt
*Po und die Gerade g0 und fällt vom Punkte P0 die Normale
auf g0. Die Ebene, die durch diese Normale geht und die
Ebene durch P0 und g0 rechtwinklig schneidet, ist die ge¬
suchte Ebene. In Fig. 20 sei die Gerade g0 gegeben durch
— 43 —
die Projektion U und U' ihrer Enden und der Punkt P0 durch
den Bildkreis Cp seiner Hauptebene. Der Kreis k, welcher
der Bildkreis der Ebene ist, die durch g0 und P0 geht, wird
mit Hilfe von Aufgabe 17 gefunden. Die Gerade, die den
Schnittpunkt S der Tangenten in U und U' an k mit P ver¬
bindet, schneidet k in W und W. Der Kreis n, der um den
Schnittpunkt N, der Tangenten in W und W an k, als Mittel¬
punkt, mit dem Radius NW beschrieben wird, ist der Bild¬
kreis der gesuchten Ebene.
§ 7. Halbierung von Strecken und Winkeln.
Aufgabe 28: Gegeben sind zwei Ebenen. Man bestimme
ihre Winkelhalbierenden Ebenen.
Schneiden sich die beiden Ebenen in einer eigentlichenGeraden, dann gibt es zwei Winkelhalbierende Ebenen und
schneiden sie sich in einer uneigentlichen Geraden, so exi¬
stiert nur eine eigentliche Winkelhalbierende, während die
andere uneigentlich ist. Unter einer Winkelhalbierenden
zweier Ebenen ist dabei eine solche verstanden, an der
gespiegelt die eine in die andere Ebene übergeht. In Fig. 21
seien die beiden Ebenen gegeben durch ihre Bildkreise
— 44 —
kj und k2, die sich in Sx und S2 schneiden mögen. Ein
Hilfskreis h, der normal auf kj und k2 steht, schneidet aus
diesen beiden Kreisen die Punkte At und Bx resp. A2undB2 aus.
Die Schnittpunkte Wj und W2 von AXA2 und B2B2 resp. AjB2und A2Bj, die auf der Verbindungsgeraden MjM2 der Mittel¬
punkte von kj und k2 liegen, sind die Mittelpunkte der durch
S, und S2 gehenden Bildkreise wx und w2 der gesuchtenWinkelhalbierenden Ebenen.
Schneiden sich die beiden gegebenen Ebenen nicht
eigentlich, so ist also eine Winkelhalbierende Ebene un¬
eigentlich. Ihr Pol ist derjenige Punkt, dessen Projektionin den Schnittpunkt von MjM2 mit der Potenzlinie von kxund k2 fällt und dessen Hauptebene einen Bildkreis hat,
der kj und k2 normal schneidet.
Aufgabe 29: Man konstruiere die mittelnormale Ebene
einer Strecke.
Die Endpunkte A0 und B0 seien in Fig. 22 gegebendurch die Bildkreise Ca und Cb ihrer Hauptebenen. Man
errichtet in den Mittelpunkten A und B der Kreise CA und
Cb auf AB die Normalen, die CA und Cb in den Punkten
Aj und A2 resp. Bj und B2 schneiden, und zwar sollen die
Punkte Aj und Bj auf derselben Seite von AB liegen. Der
- 45 —
Schnittpunkt H von AjB2 und A^, der auf AB liegt, ist
die Projektion des Mittelpunktes der Strecke A0 B0, während
der Schnittpunkt M von AjB: und AaBa, der ebenfalls auf
AB liegt, der Mittelpunkt des Kreises n ist, welcher der Bild¬
kreis der gesuchten mittelnormalen Ebene ist. Dieser Kreis
n geht durch die Schnittpunkte Sj und S2 der Normalen in
H auf AB mit dem Kreise, der durch die Punkte AjAgBjund B2 geht.
Aufgabe 30: Gegeben ist eine Strecke A0B0 auf einer
Geraden g0 und eine weitere Gerade f0. Man trage die
Strecke A0B0 von einem Punkte auff0 aus auf dieser Ge¬
raden ab.
In Fig. 23 seien g0 und f0 durch die Projektionen U
und U' resp. V und V .ihrer Enden gegeben. AB sei die
Projektion der Strecke A0B0. C auf VV sei die Projektiondes Punktes C0, der auf der Geraden f0 liegt und von dem
aus auf f0 gegen das Ende V0 hin die Strecke A0B0 abge¬
tragen werden soll. Man legt zuerst durch A0 und C0 eine
Gerade. Zu diesem Zwecke konstruiert man den Bildkreis
Cc des Punktes C0, indem man über W als Durchmesser
den Kreis zeichnet und diesen mit der Normalen in C auf
VV in den Punkten Dj und D2 zum Schnitt bringt. Der
Kreis über DjD2 als Durchmesser ist dann der gesuchte Kreis
Cc- Nun legt man durch die Gerade g0 und den Punkt C0
die Ebene, deren Bildkreis kx ist, vermittelst der Aufgabe 17.
Die Punkte W und W, in welchen ki von AC geschnitten
wird, sind die Projektionen der Enden der Geraden A0C0.
Der Bildkreis k2, der Ebene durch die Geraden A0C0 und
f0, geht durch die Punkte VV'W und W. Zieht man durch
den Schnittpunkt L, d. h. normal zum gemeinsamen Lot 1,
der Geraden WU und W'U' die Gerade durch B, so schnei¬
det diese aus WW den Punkt Bl aus. Nun wird auf dem
Kreise k2 irgend ein Punkt N gewählt und dieser mit A
und B, durch Gerade verbunden, die k2 in den Punkten
A und B schneiden. Verbindet man dann B mit C durch
eine Gerade, die k2 in O trifft, dann schneidet OA die Ge-
— 46 -
rade WW in A2. Zieht man durch den Schnittpunkt R, d. h.
normal zum gemeinsamen Lote r, von VW und W'V die
Gerade durch A2, so schneidet diese VV im Punkte D. CD
ist dann die Projektion der übertragenen Strecke C0D0, die
gleiche Länge hat wie die Strecke A0B0.
In dieser Aufgabe kommt zweimal die Aufgabe vor, eine
Strecke auf einer Geraden abzutragen, die durch einen End¬
punkt der Strecke geht, und die Aufgabe, eine Strecke auf
einer Geraden längs derselben zu verschieben. Diese beiden
Aufgaben sind die Aufgaben 1 und 6 der als Beilage zum
Programm der thurgauischen Kantonsschule erschienenen
Schrift von M. Grossmann: „Die fundamentalen Konstruk¬
tionen der nichteuklidischen Geometrie." In dieser Arbeit
sind alle hauptsächlichen Konstruktionen der Ebene so be¬
handelt, daß sie für Konstruktionen in Ebenen, die nicht mit
der Bildebene zusammenfallen, direkt verwendet werden
können.
Die Aufgabe, eine Strecke zu vervielfältigen, läßt sich
einfach auf die vorige zurückführen.
— 47 —
§ 8. Parallelenprobleme.
Von den vielen Parallelenproblemen, die sich in der
hyperbolischen Geometrie aufstellen lassen, seien hier nur
zwei behandelt.
Aufgabe 31: Man lege durch eine Gerade, die eine
gegebene Ebene nicht schneidet, die beiden Parallelebenen
zu dieser Ebene.
In Fig. 24 seien U und U' die Projektionen der Enden der
Geraden und k sei der Bildkreis der gegebenen Ebene. Wie aus
Symetriegründen sofort folgt, liegen die beiden unendlich
fernen Punkte T0 und T'0, in welchen die zwei gesuchtenParallelebenen die Ebene k0 treffen, in der Ebene, die auf der
gegebenen Geraden und der gegebenen Ebene normal steht.
Der Bildkreis n dieser Normalebene, der mit Hilfe der Aufgabe24 gefunden wird, schneidet k in den Punkten T und T,
welches die Projektionen der Punkte T0 und T'0 sind. Die
Mittelpunkte P und P' der Kreise n und n\ die durch die
PunkteT resp.T' gehen und die die Bildkreise der zwei gesuchtenParallelebenen sind, erhält man, indem man die Verbindungs¬linien des Mittelpunktes M des Kreises k mit den Punkten
T resp. T mit der Mittelnormalen von ULF schneidet.
— 48 —
Aufgabe 32: Man konstruiere diejenigen Ebenen, die
zu drei gegebenen Ebenen parallel sind.
Die drei Ebenen bestimmen sechs Winkelhalbierende
Ebenen (die aber nicht alle eigentlich zu sein brauchen),die sich zu je dreien in vier Geraden schneiden. Die Ebenen,
die zu den drei gegebenen parallel sind, stehen zu je zweien
normal auf einer solchen Geraden. Es gibt also eine geradeAnzahl Lösungen der Aufgabe und zwar höchstens deren acht.
In Fig. 25 seien kxk2 und k3 die Bildkreise der drei ge¬
gebenen Ebenen. Mit Hilfe von Aufgabe 28 erhält man
die Bildkreise wa w'x und w2 w'2 der Winkelhalbierenden
Ebenen der Kreispaare k2 ks resp. k3 kr w1 schneidet nun
die Kreise w2 und w'2 in den Punkten Wj undW\ resp. in
W2 und W'2 und w\ trifft w2 und w'2 in den PunktenW3 u. W8
— 49 —
resp. in W4 und W'4. Die vier Punktepaare VJtWvW2W2, W3W'3und W4W4 sind die Projektionen der Enden der vier Ge¬
raden, in welchen sich die Winkelhalbierenden Ebenen schnei¬
den. Es kann vorkommen, das hängt von der Dispositionder Figur ab, daß eines oder mehrere dieser vier Punkte¬
paare imaginär sind. Bemerkt man, daß die Normalebene
einer Geraden Wl0 und W'l0 durch ihre konjugierte Gerade
bezüglich der Fundamentalkugel geht, so sieht man mit
Hilfe der in der vorigen Aufgabe gemachten Ueberlegungen,daß die beiden unendlich fernen Punkte Tl0 und T'l0, in
welchen die gesuchte Normalebene eine der gegebenen
Ebenen, z. B. die Ebene kl0, deren Bildkreis k2 ist, trifft in der
Ebene liegen, die durch die Gerade Wl0W'l0 geht und auf
der Ebene kl0 normal steht. Man hat also in Fig. 25 durch
Wj und W'j den Kreis nx zu legen, der den Kreis kj in den
Punkten Tj und T\ normal schneidet. Verbindet man den Mittel¬
punkt Mj des Kreises kx mit Tj und Tv so schneiden diese
Geraden WjW'j in den Punkten Pj resp. P'r Die Kreise
jTj und tc\ beschrieben um Pj und P'j als Mittelpunkte und
PjTj resp. P'jT'j als Radien und die auch die Kreise k2und k3 berühren, sind die Bildkreise zweier der gesuchtenEbenen. Führt man die Konstruktion auch für die Punkte¬
paare W2W2, W3W3 und W4W4 durch, so erhält man sämt¬
liche Lösungen der Aufgabe 32.
Die Aufgabe verlangt eigentlich nichts anderes als die
Lösung des in der euklidischen Geometrie bekannten Problems
von Apollonius, alle Kreise zu zeichnen, die drei gegebeneKreise berühren. Durch die eben beschriebene Konstruktion
wird nun dieses Problem auch in der hyperbolischen Ebene
gelöst.
IV. Kapitel.Drehung, Schiebung und Schraubung.
§ 1. Drehung.Bei einer Drehung bleiben alle Punkte einer Geraden,
der Drehaxe fest. Die Ebenen, welche durch die Axe ge¬
hen, werden um einen vorgeschriebenen Drehwinkel gedreht.Die Normalebenen der Axe werden durch die Drehung nicht
verschoben. In der Projektion drückt sich eine Drehung da¬
durch aus, daß die Kreise des Büschels, dessen Grundpunktedie Projektionen der Enden der Drehaxe sind, in andere
Kreise des Büschels übergehen, die die entsprechenden ur¬
sprünglichen Kreise unter Winkeln schneiden, die gleichdem vorgeschriebenen Drehwinkel sind. Die Kreise des Bü¬
schels, deren Nullkreise die Projektionen der beiden Enden
der Drehaxe sind, werden durch die Drehung nicht geändert.
Aufgabe 33 : Man drehe einen Punkt um eine Axe um
einen vorgeschriebenen Winkel w.
In Fig. 26 sei die Drehaxe g0 durch die ProjektionenU und U' ihrer Enden gegeben, während man vom gegebenenPunkt P0 den Bildkreis Cp seiner Hauptebene kennt. Man
legt zuerst durch g0 und P0 eine Ebene k0 und fällt in der¬
selben von P0 die Normale n0 auf die Axe g0, die g0 im
Punkte D0 schneidet. Nach der Drehung geht die gedrehteNormale n*0 durch den gedrehten Punkt P*0 und trifft g0
wieder im Punkte D0 und es ist P0D0 = P*0D0. Gestützt
auf diese Betrachtungen gestaltet sich die Konstruktion fol¬
gendermaßen. Um den Bildkreis k der Ebene durch P0 und
go zu konstruieren, wird hier eine andere Methode gegebenals in Aufgabe 17. Man schneidet einen beliebigen Kreis h,der durch U und U' geht mit CP in den Punkten A und A'. Legt
— 51 —
man durch P eine Gerade, die UU' in demselben Punkte
B schneidet wie die Gerade AA', so geht der Kreis k außer
durch U und U' durch die Schnittpunkte C und C der Geraden
BP mit dem Kreise Cp. Der Kreis k*, der k unter dem Winkel a>
schneidet, ist der Bildkreis der Ebene k*0 die durch Drehung um
eu aus k0 hervorgeht. Durch den Schnittpunkt Pk der beiden
Tangenten in U und U' an k und den Punkt P zieht man
die Gerade n, die das Bild der Normalen n0 vom Punkte P0 auf
go ist und die UU' im Punkte D und den Kreis k in N und
N' schneidet. Dann zieht man durch den Schnittpunkt P*k
der Tangenten in U und U' an k* und den Punkt D die
Gerade n*, die das Bild der Normalen n*0 von P*0 auf die
Axe ist. n* schneidet k* in den Punkten N* und N'*, wo
die Bezeichnung so angeordnet ist, daß N* das Bild des¬
jenigen Punktes ist, der durch die Drehung aus dem Punkte
N0 hervorgeht. Zieht man durch den Schnittpunkt L von
NN* und N'N'* und den Punkt P die Gerade, so schneidet
diese aus n* den Punkt P* aus, der die Projektion des ge¬
drehten Punktes ist.
— 52 —
Aufgabe 34: Man drehe eine Gerade um eine Axe um
einen vorgeschriebenen Winkel w.
Die Drehaxe sei in Fig 27 wiederum gegeben durch
U und U' und die zu drehende Gerade durch V und V.
Die Kreise kj und k2 durch U, U' und V resp. U, U' und
V gehen durch die Drehung über in die Kreise k*x und k*2die leicht zu finden sind. Man könnte nun die ProjektionenV* und V* der gedrehten Geraden auf gleiche Weise fin¬
den, wie man in der letzten Aufgabe N* und N'* aus N
und N' erhielt. Hier mögen die beiden Punkte auf andere
Weise konstruiert werden. Die Punkte V und V bewegensich während der Drehung auf Kreisen. Die MittelpunkteM und M' dieser Kreise n und n' sind die Schnittpunkte der
Tangenten in V an kt resp. V an k2 mit der Geraden UU',während die Radien die Länge MV resp M'V haben. Da
wo k*j den Kreis n und k*2 den Kreis n' schneidet, sind
die Punkte V* resp. V'*, die die Projektionen der unend¬
lich fernen Punkte der gedrehten Geraden sind.
— 53 —
Aufgabe 35 : Man drehe eine Ebene um eine Axe um
einen vorgeschriebenen Winkel w.
In Fig. 28 sei die Drehaxe durch U und U' und die
Ebene durch ihren Bildkreis k mit dem Mittelpunkte M, ge¬
geben. Der Kreis n, der normal auf k steht und die Punkte
U und U' enthält, geht durch die Drehung über in den Kreis
n*, der den Kreis n unter dem Drehwinkel w schneidet. Die
Schnittpunkte des Kreises n mit dem Kreise k seien Tt und T2.Die Kreise Pj und p2, die um die Schnittpunkte Px und P2 von
MTj resp. MT2 mit UU' als Mittelpunkte und den Strecken
P1T1 resp. P2T2 als Radien beschrieben sind, sind die
Bildkreise von Ebenen, die normal zur Drehaxe stehen und
zur zu drehenden Ebene parallel sind. Da die gedrehte Ebene
zu diesen beiden Normalebenen wieder parallel sein muß,so muß ihr Bildkreis k* die Kreise pr und p2 berühren.
Die Berührungspunkte T*x und T*2 sind die Schnittpunkteder Kreise px resp. p2 mit dem Kreise n*, der durch die
Drehung aus dem Kreise n hervorgeht. Der Mittelpunkt M*
von k* ist dann der Schnittpunkt der beiden Geraden PjT^und P2T*2.
— 54 —
§ 2. Schiebung.Ist die Drehaxe uneigentlich, so ist ihre Polare eine
eigentliche Gerade. Der Raum wird längs dieser Geraden
geschoben. Die beiden Enden dieser sog. Schiebungsgeradenbleiben fest, während ihre eigentlichen Punkte um eine und
dieselbe Strecke, der Schiebungsstrecke, verschoben werden.
Alle Ebenen, die durch die Schiebungsaxe gehen, sind der
Schiebung gegenüber invariant, d. h. die Lage aller Kreise
des Büschels, dessen Grundpunkte die Projektionen der Enden
der Schiebungsaxe sind, wird durch die Schiebung nicht ver¬
ändert, während die Kreise des konjugierten Büschels in
andere Kreise desselben übergehen.
Aufgabe 36: Man schiebe einen Punkt längs einer Axe
um eine gegebene Schiebungsstrecke.In Fig. 29 ist die Schiebungsaxe g0 gegeben durch U
und U'. Die Punkte A und B auf UU' sind die Projektionender Endpunkte A0 und B0 der Schiebungsstrecke. Der zu
schiebende Punkt P0 sei wieder durch den Bildkreis Cp seiner
Hauptebene gegeben. Man legt zuerst durch die Schiebungs¬
axe go und den Punkt P0 eine Ebene mit Hilfe von Auf¬
gabe 17. k sei ihr Bildkreis. Durch den Schnittpunkt Pk der
Tangenten in U und U' an k, und durch P legt man die
— 55 —
Gerade n, die k in den Punkten N und N' trifft. Nun schneidet
man N'A in V mit k und zieht die Gerade VB, die den
Kreis k noch in R schneidet. Durch den Schnittpunkt S der
Geraden NR und UU' und durch Pk zieht man die Gerade
n*, die k in N* und N'* schneidet, wo N* auf derselben
Seite von UU' liegt wie N. Der Schnittpunkt der Geraden
n* mit derjenigen Geraden, die durch P und den Schnitt¬
punkt T der beiden Geraden NN* und N'N'* geht ist der
Punkt P*, der die Projektion des geschobenen Punktes P*0 ist.
Hat man speziell einen unendlich fernen Punkt zu
schieben, z. B. N'0 (Fig. 29), so gestaltet sich die Konstruk¬
tion einfacher, indem nämlich die Gerade n*, die aus n
durch die Schiebung hervorgeht, aus k die Projektion N'*
des geschobenen unendlich fernen Punktes ausschneidet.
Aufgabe 37: Man schiebe eine Gerade längs einer Axe
um eine vorgeschriebene Schiebungsstrecke.Die Schiebungsaxe sei in Fig. 30 wieder gegeben durch
die Projektionen U und U' ihrer Enden und die Schiebungs¬strecke möge wieder durch ihre Projektion AB gegeben sein.
V und V seien die Projektionen der Enden der zu schiebenden
Geraden. Man legt nun durch UU' und V resp. UU' V
die Kreise \ resp. k2. Mit 1\ und T2 seien die Schnitt¬
punkte der Tangenten in U und U' an kt resp. k2 bezeichnet.
— 56 —
Die Geraden VT1 und VT2, die die Bilder der Normalen
von Vo resp. V'0 auf die Schiebungsaxe sind, schneiden UU'
in Ajresp. A2. Durch die Schiebung gehen Ax und A2 in
die Punkte Bx und B2 über, die auf folgende Weise ermittelt
werden. Wählt man irgend einen Punkt C auf k2, so schneiden
CA und CB den Kreis in den Punkten A resp. B. AAxundAA2schneiden k2 in den Punkten Cj resp. C2. Endlich treffen
die Geraden BCX und BC2 UU' in den gesuchten Punkten
Bj resp. B2. Die Punkte V* und V'*, in welchen die Ge¬
raden BxTx und B2T2 die Kreise kx resp. k2 schneiden und
die auf gleicher Seite von UU' liegen wie V resp. V, sind
die Projektionen der Enden der geschobenen Geraden.
Aufgabe 38 : Man schiebe eine Ebene längs einer Axe
um eine vorgeschriebene Strecke.
In Fig. 31 sei die Axe wieder durch U und U' gegeben und
die Schiebungsstrecke durch die Projektionen A und B ihrer
Endpunkte, k sei der Bildkreis der zu schiebenden Ebene.
Der Kreis n, der durch U und U' geht und k in den Punkten
T\ und Ta normal schneidet und der mit Hilfe der Aufgabe23 gefunden wird, verändert sich infolge der Schiebung nicht
Die Punkte T*x und T*2, die durch die Schiebung aus Tt und T3
— 57
hervorgehen, findet man vermittelst der für den speziellen Fall
derAufgabe 36 gegebenen Konstruktion. Die Tangenten in T*jund T*2 schneiden sich im Mittelpunkte M* des Kreises k*,welcher durch die Punkte T*j und T*2 geht und der Bildkreis
der geschobenen Ebene ist.
§ 3. Schraubung.Hat man in Fig. 28 die Bildkreise k und k* zweier
Ebenen, so findet man die Projektionen U und U' der Enden
irgend einer der unendlich vielen Drehaxen, um die gedrehtdie eine in die andere Ebene übergeht, indem man irgendzwei Kreise p1 und p2 zeichnet, die k in den Punkten Ttresp. Ta und k* in den Punkten T\ resp. T*2 berühren. Die
Punkte U und U' sind dann die Schnittpunkte des Kreises
n*, der in den Punkten T\ und T*2 normal auf dem Kreise
k* steht, mit dem Kreise n, der in Tx und T2 k normal trifft.
Der Winkel w, unter dem sich die Kreise n und n* schnei¬
den, ist der Drehwinkel, der zur gefundenen Axe gehört.Sind in den Ebenen k0 und k*0 zwei Axenkreuze ge¬
geben, deren Schenkel normal aufeinander stehen und die
in vorgeschriebener Weise miteinander zur Deckung gebrachtwerden sollen, so hat man mit dem Raum eine Schraubungauszuführen. Eine Methode, die Schraubungsaxe zu konstru¬
ieren, ist von Mettler gegeben worden8). Man hat dabei eine
der Ebenen mit der andern Ebene durch Drehung um eine
erste Axe, die mit Hilfe der am Anfang dieses Paragraphen
gegebenen Konstruktion gefunden wird, zur Deckung zu
bringen und nachher die einederzusammengeklappten Ebenen
um eine zu dieser normalen zweiten Drehaxe (die auch
uneigentlich sein kann) zu drehen. Diese letztere Drehaxe
wird mit Hilfe der Aufgabe 26 und der Aufgabe 5 der be¬
reits erwähnten Großmann'schen Arbeit9) gefunden. Hat man
drei Paare solcher Drehaxen, so ist die Konstruktion der
Schraubungsaxe möglich8).
8) E. Mettler : Anwendung der stereographischen Projektion auf Kon¬
struktionen im nichteuklidischen Räume. Diss. Zürich 1916.
9) vergl. Kap. III § 7.
— 58 —
§ 4. Umklappung.Hat man eine beliebige Ebene, so ist es möglich diese
durch eine Drehung resp. Schiebung in die Bildebene zu
klappen. Ist ihr Bildkreis ein Ueberkreis mit der Schnittlinie
a als Axe, so ist die Umklappung eine Drehung um die Axe
a. Die Originalgeraden und die umgeklappten Geraden schnei¬
den sich in Punkten auf der Axe a. Ferner liegt die Pro¬
jektion eines Punktes mit dem umgeklappten Punkte auf
einer Normalen zu a.# Hat man also die Umklappung eines
Punktes einer Ebene, so kann man durch Ziehen von Geraden
die Umklappung weiterer Punkte derselben konstruieren.
Schneidet die umzuklappende Ebene die Bildebene nicht, dann
ist die Umklappung eine Schiebung längs derjenigen Geraden,
die auf der Ebene und der Bildebene normal steht.
Aufgabe 39 : Man klappe eine Ebene und einen in ihr
liegenden Punkt in die Bildebene um.
Ist in Fig. 32 k der Bildkreis der umzuklappenden Ebene,
so ist ihr Mittelpunkt M die Projektion der Schiebungsaxe,
die eine projizierende Gerade ist. P sei die Projektion des
in der Ebene liegenden Punktes. Da die Umklappung einer
— 59 —
Ebene in eine zweite nichts anderes ist, als eine Spiegelungan einer der beiden Winkelhalbierenden Ebenen, so hat man,
nachdem eine solche Ebene gefunden ist, durch den Punkt,der umzuklappen ist, nur die Normale auf diese Winkelhal¬
bierende Ebene zu fällen und diese Norrriale mit der zweiten
Ebene zu schneiden.
In Fig. 32 ist diese Winkelhalbierende Ebene die mittel¬
normale Ebene m0 der Strecke, die auf der gegebenen Ebeneund der Bildebene normal steht. Diese Ebene resp. ihr Bild¬
kreis m wird folgendermaßen gefunden. Der Punkt U auf
der Peripherie von k ist die Projektion eines Punktes, der
durch die Umklappung in den unendlich fernen Punkt U*
der Halbgeraden MU übergeht. Der Grenzkreis g, auf welchem
der Punkt U liegt und dessen unendlich ferner Punkt U*
ist, hat den Kreis m normal zu schneiden und zwar in den
Berührungspunkten T1 und T2 der Tangenten von M an den
Grenzkreis g, die mit Hilfe von Aufgabe 10 gefunden werden.
Den umgeklappten Punkt P* findet man dadurch, daß man
durch die Schnittpunkte Ax und A2 der Normalen in P auf
MP mit k, den Kreis p zeichnet, der m normal schneidet.
Dieser Kreis p ist ein eigentlicher Kreis, Grenzkreis oder
Ueberkreis, je nachdem P außerhalb, auf der Peripherieoder innerhalb des Kreises k liegt. Der Schnittpunkt der
Axe a des Ueberkreises p mit MP ist dann der gesuchtePunkt P*.
Soll nun ein weiterer Punkt Q0 der gegebenen Ebene
umgeklappt werden, so karin man das durch bloßes Ziehen
von Geraden erreichen. Man verbindet M mit dem Schnitt¬
punkt Pk der Tangenten in V und V an k durch die Ge¬
rade 1, wo V und V die Schnittpunkte der Geraden PQmit k sind und fällt durch P* auf 1 die Normale, die MQin Q* schneidet.
§ 5. Dreikant und Dreieck.
Gibt man drei Winkel, die zusammen höchstens drei
gestreckte Winkel ausmachen, so ist es leicht ein Dreikant
— 60 —
zu konstruieren, dessen drei Winkel gleich den gegebenensind. Dieses Dreikant hat eigentliche, unendlich ferne oder
uneigentliche Spitze, je nachdem die Winkelsumme größer,
gleich oder kleiner als ein gestreckter Winkel ist. Ist die
Spitze des Dreikants uneigentlich, so existiert eine Ebene
auf der die Ebenen des Dreikants normal stehen und aus
der sie ein Dreieck mit den vorgeschriebenen Winkeln aus¬
schneiden. Klappt man diese Normalebene in die Bildebene
um, so erhält man das Dreieck, dessen Winkel die gegebenen
sind, in wahrer Größe.
Aufgabe 40 : Man konstruiere ein Dreieck aus drei ge¬
gebenen Winkeln.
In Fig. 33 seien die Winkel a =AEB, ß=BECund j- = CED
gegeben, die zusammen kleiner als ein gestreckter Winkel
sind. Man trägt nun auf der Normalen in E auf ED irgendeine Strecke r von E bis D' ab. Ebenso trägt man auf der
Normalen in E auf EA von E bis A' dieselbe Strecke r ab.
Um den Schnittpunkt M, der Ueberkreise durch A' und D',deren Axen die Geraden EB resp. EC sind, als Mittelpunktund der Strecke r als Radius beschreibt man den Kreis k.
— 61 —
k, EB und EC sind die Bildkreise der Ebenen, die ein Drei¬
kant mit den vorgeschriebenen Winkeln a ß und y bilden.
Die beiden letzteren sind projizierende Ebenen. Der Kreis
n, dessen Mittelpunkt E ist und der k normal schneidet, ist
der Bildkreis der Ebene, die die drei Ebenen des Dreikants
normal schneidet und die von denselben also in einem Drei¬
ecke E0G0H0 geschnitten wird, dessen Winkel aß und y sind.
Die Verbindungslinie der Schnittpunkte V und V der Kreise
k und n schneidet dann aus EB und EC die Punkte G
resp. H aus. Eine Ecke des umgeklappten Dreiecks ist E,
während die andern beiden in den Schnittpunkten G* und
H* der Parallelen zu den Halbgeraden EV und EV, mit EG
resp. EH liegen.
Lebenslauf.
Ich, Karl Dändliker von Hombrechtikon, wurde am
28. Juli 1894 in Baar geboren. In Aadorf, Winterthur und
Oerlikon besuchte ich die Primarschule. Im Frühjahr 1907
trat ich in das kantonale Gymnasium in Zürich ein und
ging 1909 in die Industrieschule Zürich über, wo ich im
Sommer 1913 die Maturitätsprüfung bestand. Vom Herbst
1913 bis 1918 studierte ich an der Abteilung für Fachlehrer
für Mathematik und Physik der Eidgenössischen Technischen
Hochschule in Zürich. Im Wintersemester 1914/15 war ich
wegen Grenzdienstes beurlaubt. Im März 1918 bestand ich
die Diplomprüfungen. Im Wintersemester 1918/19 durfte
ich Herrn Prof. Dr. Großmann in darstellender Geometrie
assistieren.
Es ist mir eine angenehme Pflicht, meinem verehrten
Lehrer Herrn Professor Dr. M. Großmann, meinen herzlichen
Dank auszusprechen für seine Ratschläge, die mir bei der
Abfassung der Arbeit sehr zu statten kamen.