202 ~ ~ ~ ~ r , ~ ~ ~ , ~ ~ ~ ;

Nebenbedingungen = 0 in mannigfacher Weise als Funktion der pa, qa darstellen. Physi- kalisch sinnvoll ist eine Poissonklammer {AB}, offenbar dann, wenn A und B in solcher Weise als Funktionen der pa, qb dargestellt sind, daB

Dies ist aber nach dem obigen gerade dann der Fall, wenn A und B als Funktionen der P, Q allein dargestellt sind. Diese sind jedoch dadurch ausgezeichnet, daB ihre Po i s son klammern mit den Qi verschwinden. Dasselbe mussen wir daher fur A und B fordern und wir haben den Satz:

Damitdie Poissonklammerrelation {A, B},= C physikalisch sinnvoll ist, mussenA und B in einer solchen Form angeschrieben werden, darj ihre Poisson klarnmern mit den Neben- bedingungen verschwinden :

Eingegangen am 8. Sept. 1951.

C o 11 a t z , Fehlerabsohlitzung bei elliptischen Differentialgleiohnngen

_ _ {A, B} , = {A, q 1 1 .

(A, @ i } I = ( B , Oi}I = 0.

Fehlerabschatzung bei der ersten Randwertaufgabe bei elliptischen Differentialgleichungen

Von L. Collatz in Hannover Der Satz vom Randmaximum fur eubhurmonische Punktionen, der unter gewissen Voraussetzungen auch

fiir allgemeinere lineare elliptiache Differentialgleichun en gilt, dient bei der 1. Randwertaufgabe zur Fehler. abschiitzug fur eine Naherungsfunktion, sowohl wenn l ime wie z.B. beim T r e f f t zschen Verfahren nur die Differentialgleichung erfiillt, ale auch, wenn sie wie z. B. beim Ritzachen Verfahren nur der Randbedingung genilgt. Die Abschiitzangen werden izngewendet auf ein Verfahren, das auf eine Idee von R. v. M i s e s zuriiek- geht, bei woelchem man Differentialgleichung und Randbedingungen simultan anmihert.

For the first boundary value problem, the boundary mazimum theorem for subharmonic functiona,that is, under certain conditions, valid also for more general linear differential equations of the elliptic type, is used for the estimation of the error of the approximate function. The approximation may only satisfy either the differential equation (Trefftz’method) or the boundary condilione ( Ritz’method). The ealimaliona are applied to a method that -following an idea of R.v. M i s e s - approximates the differential equation and the boundary conditions simultaneously.

Le thdorkme d u maximum marginal pour des fonctions soua-harmoniques, lequel, Ci certainee supposi- tions, a’applique auaai b des dquations diffdrentielles lindaires, elliptiquea plus ghdrales, au premier pro- blkme de valeur marginale, aert b l’eatimalion des erreurs pour 11120 fonction approximative, et au cas que celle-ci, comme p.e. b la mdthode d e T r e f f z , n e correspond qu’b l’dquation diffdrentielle, et au cas que,comme p.6. b la mdthode do R i t z , elk? ne satisfait qu’b la Condition marginale. Les estimations eon; appliqudes ti une mdthode, qui a son origine dane une idde d e R. v . Mises, h. laquelle on approche l’lquation diffbren- tielle et lee conditions marginalea simultandment.

Teopem Kp&eBoI’O M&KCIIMYM& AJIR Cy6r&pMOHH¶eCKHX +J’HKJ@, J(eiCTBKTtWI&H&fi npE II3BeCTHHX IIpeAlIOCHJmrtX TaKXCCB AIIII donee 064m JIHHehHX 8JIJlEiIIBPGCKEIX J@@epeEIqrt~bHHX YPaBHeHkIfi, CJIYXCKHT B IlepBot KpWBofi 3&Art¶e &‘Iff OqeHKIl o r n ~ 6 0 ~ A m npH6~0HHot HK- 4aa; mo meeT Memo KaK B TOM cnysae, Korna nocneAHaa - m K mnp. npn cnoco6e Qe&qa - BmonmeT Tonmo ,qy@epe~quran~aoe ypameme, A&K n B TOM, KorAa oHa - K&K Hanp. IIpH cnocobe h T 4 & - yAOBJIeTBOpf%?T TOJlbKO KpaeBOMy yCJIOBHB3. OqeHKIl IIpHMeHRlOTCR K CnOCo6y. OCHOBHEaI0,rrleMyCfl H& IlAee P. 4. Mmeca npEi KoTOPoM AH@epeHqUrtJIbHOe yb&BHeHHe EI KpaeBHe yCJI0BHa COBMeCTHO npn6nn~~a1o~ca. In Nr. 1 bis Nr. 3 wird zunachst eine allgemeine Fehlerabschatzung fur die 1. Randwert-

aufgabe bei elliptischen Differentialgleichungen auf Grund des Satzes vom Randmaximum auf- gestellt, in Nr. 4 das Trefftzsche Verfahrenl) etwas ausfuhrlicher behandelt; in Nr. 6 bis Nr.9 wird eine auf R. v. Mises zuruckgehende Meihode der gleichzeitigen Annaherung von Differen- tialgleichung und Randbedingungen dargestellt und auf sie die Fehlerabschatzungen von Nr. 2 und Nr. 3 angewendet. Diese Methode ist auch bei allgemeineren Randwertaufgaben anwendbar, und daher sind Nr. 6 bis Nr. 9 so ausgefuhrt, daB sic (abgesehen naturlich von den Verweisen auf den ersten Teil) auch fur sich ohne Lesen von Nr. 1 bis 5 verstandlich sind. Deshalb ist auch in Nr. 6 bis Nr. 9. von der in Nr. 1 bis 5 verwendeten abgekurzten Schreibweise des Fortlassens der Summenzeichen (die sich bei Beweisen gut bewahrt) kein Gebrauch gemacht.

1. Bezeichnungen Vorgelegt sei die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

* (1) L[u]=r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n n

i , k = l j - 1 mit L[zC]=-z Ujk U j k - 2 b j U j + C u

1) E. Trefftz, Ein Gegenstiick zum Ritzschen Verbhren, Verh. 2. internationaler KongreB f. tech.

E. Trefftz, Konvergenz und Fehlerabsch&tzung beim Rit z schen Verfahren, Math.Annalen 100 (1928). Mechanik, Ziirich 1926. 6.131.

503 -521.

~ a ~ ~ ~ r . ~ ~ ~ , , ? ~ ~ ~ C o 1 1 a t z , Fehlerabschiitzung bei elliptischen Differentialgleichungen 203

L[U]=-ajk Ujk-bjuj+C U . . . . . . . . . . . . * (2)- oder kurzer Dabei ist u ( q , . . ., z,,) eine gesuchte Funktion der unabhangigen reellen Variablen q, . . ., x,, in einem Gebiet B + r des n-dimensionalen Raumes, die ajk, bj, c, r sind in B + f gegebene, etwa stetige Funktionen derselben Argumente, und in G1. (2) wie auch im folgenden sind (wie in der Tensorrechnung ublich) die Sumvenzeichen fortgelassen, indem in einem Produkt uber einen zwcimal auftretenden lateinisch'en Index von 1 bis n zu summieren ist. Bei a und b dienen an- gehangte Indizes j, Ic nur zur Unterscheidung von Funktionen, bei u, w, w, z bedeuten sie partielle Ableitungen:

a2u u. -- atl u.= - 7 ax,.' lk- axj axk *

Die Differentialgleichung sei elliptisch, d. h. die Matrix der ajk (die als symmetrisch vorausgesetzt werden kann : a+ = ak.) sei positiv definit in B+r. Ferner sei c 2 0. 2.3 seiein offenes beschrank- tes Gebiet und %+r das durch Hinzunahme der Randpunkte aus 8 hervorgehende abgeschlos- sene Gebiet. r sei dabei eine abgeschlossene zusammenhangende (n-1)-dimensionale stuckweise glatt e a) Hyperflache.

Es gilt der GauB sche Integralsatz fur eine in B + r stetige, mit stetiger Ableitung nach einer Variablen xi versehene Funktion a(xl , . . ,, zn):

. . . . . . . . . . . \g d r = - / a c o s (v, q ) d f * (3). d r

Dabei bedeuten dt = dx,dz , . . . dz,, das Volumenelement, df das Oberflachenelement auf r und v die innerc Normale. Die Normale darf dabei auf gewissen (n-2)-dimensionalen Mannigfaltig- keiten nicht definiert sein.

Nun seien auf r die Randwerte & von u vorgeschricben, wir nehmen der Einfachheit halber & auf r als stetig an (auch bei anderen Funktionen w, . . . sol1 V , . . . jeweils die Randwerte auf r bezeichnen). Die 1. Randwertaufgabe verlangt dann die Bestimmung von u aus (1) und

u=ii auf r . . . . . . . . . . . . . . . (4).

2. Ein Hilfssatz In Nr.3wirdein Hilfssatz benotigt, der in ahnlicher Form bei C o u r a n t - H i l b e r t , a.a.O.,

S.275 und bei Bateman3)stcht ; da er aber hier etwas allgemeinergebraucht wird,seiseinBewcis kurz angegeben.

Hilf s s a t z: Fur eine nichtkonstante, mit stetigen partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ord- nulzg eimchlieplich versehene Funaktion w (x , , , . ., 2,) sei L [ w ] LO in 93 sowie in (2)ajk positiv definit und c 2 0; der Groptwert von w inB+r sei M ; dieses Maximum M wird im Fall c= 0 stek und im Fall c 2 0, wenn iiberdies M 2 0 ist, nur auf dem Rande r angenommen.

Beweis ( ind i rek t , nach Ba teman) : Wirnehmen an,es sei in eineminnerenpunkt P,von 58 w( PI)= M. Da w nichtkonstant ist, gibt es einen Punkt P,von B mit w ( P 2 ) < M . Zu diesen bei- den inneren Punkten gibt es eirien Verbindungsweg C und eine positive Zahl e > 0 derart, daB um jeden Punkt P von C eine ganz zu '$3 gehorende Hyperkugel vom Radius e gelegt werden kann. Wegen der Stetigkeit von w gibt es auf Ceinen Punkt P , mit w(P3)= M und w( P ) <M, falls P auf Czwischen P, und P , liegt. Jetzt wahlt man auf Ceinen Punkt P4 hinreichend nahe an P , derart, daB man um P4 eine Hyperkugel R, legen kann, die P , auf ihrer Oberflache enthalt, wobei R1 ganz zu %3 gehorf.. Im Mittelpunkt P4 ist w(P4) <M, in einem Oberflachenpunkt P , ist w(P,)= M . Jetzt lafit man den Radius der Hyperkugel so lange abnehmen, bis man zu einer Hyperkugel K , um P4 gelangt mit der Eigenschaft : Im Innern von K , ist iiberall w < M , in mindestens einem Randpunkt P6 von R, ist w ( P 6 ) = M . Es sei P , der Mittelpunkt ~ der Streckc Po P6. Fur die Hyperkugel R, rnit P, als Mittelpunkt und R = P , P, als Radius gilt dann: In dem Oberflachenpunkt P, ist w ( P 6 ) = M , sonst ist im Innern und auf der Oberflache der Hyperkugel w < M . Um den Punkt P, wird eine Hyperkugel E4 von einem Radius k < R gelegt. Nun werde vorubergehend der Punkt P , als Anfangspunkt des xl, , . ., x"-Koordinaten- systems gewahlt und die Entfernung von ihm mit r bezeichnet, ra= xj xj. Die Hilfsfunktion z= w+S [ ~ ~ ~ ' - e - ~ ~ ' ] , wo aund 8 positive Konstanten seien, ist nun = Mim Mittelpunkt P6von K4 und <M auf der ganzen Oberflache 0 von K4 bei passend gewahltem a, S; denn auf dem Teil von @, der auBerhalb K , liegt, ist die eckige Klammer negativ und auf dem rnit K3 gemeinsamen Teil von @ ist w <M, und bei gegebenem a kann man S so klein wahlen, daB dann dort auch z<M bleibt. Also : z nimmt im Mittelpunkt von K4 den Wert M an und hat auf der ganzen Oberflache

4) R. Courant-D. Hilbert, Methoden der mathemrttischen Pbysik, Bd. 2, Bln. 1937, 8.228. a) H. Bateman, Partial differential equations of mathematical physics, New York 1944, 6. 136.

-

204 ~ ; b t ~ ~ ~ r ~ ~ ~ ~ f ~ ~ ~

von K4 Werte z<M, es mu0 also z mindestens in einem Punkt P7 innerhalb von K4ein differen- zierbares Maximum annehmen.

C o 1 1 a t z , F'ehlerabeohirtzung bei elliptieohen Differentislgleichungen

Nun rechnet man leich t aus : L[z] = L[w]-t8 L[e-"+] -c d r " R '

mit ear' { L [ e a r l - c e-an'} = -4 at a,k z,. z k + 2or (aji +dj q) + c - c ea(r'--Rq . Hier hat us einen negativen Faktor, und das letzte Glied ist wegen c 2 0 nichtpositiv; dureh passende Wahl eines genugend gro13en u kann daher erreicht werden, da13 die geschweifte Klammer an der Stelle P7 negativ (Null ausgeschlossen) wird. Wegen L[w] SO mu13 also L[z] < O sein an der Stelle P7. Nun kann aber L [ z ] an der Stelle P7 unmittelbar angcgeben werden. Dort hat z ein differenzierbares Maximum, es ist z,=O (fur j=1, 2, .... n) , und die negativ ge- nommenen zweiten Ableitungen bilden eine positiv definite oder semidefinite Matrix

fur beliebige reelle 5,. Es wird also

Da sowohl die a j k als auch die -zjk die Koeffizienten positiv (semi-)definiter quadratischer For- men sind, ist nach einer Formel von F e j 6r 4,

Da z(P,)= M ist, mu13 das Maximum von z , also z(P7) 2ll.i sein; nach den Voraussetzungen ist cz=O im Falle c = O und c z ( P 7 ) 2 0 im Falle G 2 0, da dann M 2 0 vorausgesetzt war; mit- hin ist L [zip, 2 0, wahrend die vorangehende Betrachtung L [zip, < 0 ergab, womit ein Wider- spruch vorliegt.

Corol lar : Durch Ubergang won w zu -w sieht man, dap der Hilfssatz bestehen bleibt, wenn man bei L [ w ] und M die Ungleichheitszeichen 2, 2 vertauscht und als M das Minimum won w nimmt.

3. Allgemeine Fehlerabschiltznng Aus dem Hilfssatz ergibt sich sofort eine Fehlerabschatzung fur Naherungslosungen w der

ersten Randwertaufgabe (l), (4). Dabei sctzen wir voraus, da13 v von der Randwertaufgabe (l), (4) wenigstens eine der beiden Gleichungen (I), (4) erfullt und unterscheiden somit zwei FalIe.

1. Fa l l : w erfiillt die Differentialgleichung L [ u ] = r exakt, braucht aber nicht die vor- gegebenen Randwerte & anzunehmen. Die Fehlerfunktion w = w-u geniigt dann der Band- wertaufgabe L [w] =0, 'Li)='v--iC, wobei die Randwerte zir mit gegebener Naherungslosung ebenfalls bekannt sind. Mit L[w]=O sind beide im Hilfssatz und im Corollar auftretenden Voraussetzungen L[w] S 0 und L[w] 20 erfiillt. Wenn w uberhaupt nichtnegative Werte annimmt, jst das Maximum M von w also M 2 0, und nach dem Hflfssatz nimmt w den Wert M nur auf dem Rande r an; es ist also dann wmZ= G,, 2 0. Nimmt w uberhaupt nichtpositive Werte an, so ist entsprechend nach dem Corollar Wm,= GminI; 0. Nimmt also w den Wert 0 an, so ist &in 5 w S GmZ, und es ist 6min 10, GMZ2 0; nimmt w nicht den Wert 0 an, hat also w als stetige Funktion ein festes Vorzeichen, z.B. w >0, so ist 0 < w 2 ?urns.

Wir konnen die verschiedenen Falle auch nach dem Verhalten von Zi, an Stelle von w ord- nen, was fur die Anwendungen bequemer ist, und dann ergibt sich die

Feh le rabscha tzung : Bei der Randwertaufgabe (l), (2), (4) mit c 20, alk positiv definit sei v eine die Differentialgleichung L [v] = r erfiillmde Naherungslosung. Von der Fehlerfunktwn w= v-u sind die Randwerte6=5-6 bestimmbar. Nimmt 8 den Wert Null an. so ailt i n '23 die

-z jk tj 6 k 2

L [ z ] p , ' - a j k Z j k f C Z

-ajk z f k 2 0 *

- Y

Fehlerabschatzung liJmin< w Cm2 . . . . . . . . . . . . . . . . (5).

Nimrnt w nicht den Wert Null an, und hat also w ei,n festes Vorzeichen, so hat auch die Fehlerfunk- twn w in 8 + r iiberall dasselbe Vorzeichen, und f i ir den Betrag won w gilt

. . . . . . . . . . . . . . . . J W J 5 ].iuJ,, . (6). Im Falle c=O gilt (5) unubhangig davon, ob w den Wert Null annimmt oder nicht. Vom Standpunkt der praktis-chen Analysis aus liegt hier ein giinstiger Fall fur eine Fehler-

abschatzung vor. Solche Abschatzungen fallen bei anderen Differentialgleichungsaufgaben oft umstandlicher und ungenauer aus, wahrend die Abschatzungen (5) und (6), sofern man sie als fur den ganzen Bereich '23 giiltig auffaDt, die bestmoglichen sind; der Fehler erreicht ja tatsach- lich die angegebenen Schranken auf dem Rande r.

2. Fal l : Die Naherungslosung 2) erfiillt die Randbedingungen (4) exakt, braucht aber nicht der Differentialgleichung (1) zu geniigen. Dieser Fall tritt z.B. auf, wenn man das R i t zsche Ver-

4) L. Fej Br, Vber die Eindeutigkeit dsr Usung der linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Math. Z. I (1918) S. 70-79.

~ d f ~ ~ ~ r . ~ ~ ~ ; ~ ~ ~ ~ 205

fahren durchgefuhrt hat; er besitzt daher besonderes Interesse. Es wird jetzt eine Fehler- funktion L[v] - L[u]= L[v] - r auftreten; nun verwende man zwei Hilfsfunktionen ql , q, derart, da13

in ganz %+f gilt. Man stelle etwa Z[w] auf, bilde mit beliebigen Funktionen q? und $z die Ausdrucke L [ q f ] und L[qz] und suche durch Kombination von v mit ql=$qf bzw. qa=ca$ die Ungleichungen in %+f zu erfullen. Stets lassen sich derartige Funktionen ql, qa angeben, wenn man eine Funktion z mit L [ z ] 2 --A < 0 in 23 kennt; z.B. fur den Potentialausdruck

s; verwenden; man braucht dann nur in q,=v+y,'r"

die Konstanten y, und ya passend zu bestimmen. Dann ist der Hilfssatz auf die Funktionen w=v+ql-u, bzw. v f qa-u anwendbar. Die Werte der Funktion v+q,-u sind am Rande be- kannt, der Maximalwert am Rande sei M,, entsprechend sei Ma der Minimalwert von v+q,-u am Rande. Ferner setzen wir 0

MI im Falle c=O P I = ( Max(M,, 0) im Falle c 2 0

Ma im Falle c=O pa={ Min(Ma, 0) im Falle c 2 0 .

C o 1 1 a t z , Fehlerabschatzung bei elliptischen Differentialgleichungen

. . . . . . . . . L[v]+L[q,] 5 r bzw. L[v]+L[q,] 2 r * (7)

kann man z= - L [ u ] = - $ - r; z"n$ 1=

Dann besagt der Hilfssatz, bzw . das Corollar

und damit erhalten wir die Schranken fur u: v + q i - u s P i , v+q,-u >Pa

I v+q,-p12~2W+q,-Pa * * . . * * * * * * * (8).

4. Aufstellung einer NELherungslBsung u und T r e f f t z aches Veriahren Von den zahlreichen Moglichkeiten, eine Naherungslosung v aufzustellen, seien hier nur

Filr v wird der Ansatz gemacht die folgenden genann t ".

* (9). v = vo+aQwe . . . . . . . . . . . . . . . . Dabei moge iiber einen in einem Produkt zweimal auftretenden griechischen Index e, 6, , . . von 1 bis p summiert werden. Es sind vo, w,, ... ,v, fest gewahlte Ansatzfunktionen, welche die in- homogene, bzw. die homogene Differentialgleichung (1) erfullen :

L[wo]=r , L[v,]=O ( e = l , . ... p ) . . (10). Dann erfullt in (9) v fur beliebige Werte der Parameter a, die Differentialgleichung (1). Ein naheliegender Weg zur Bestimmung der a, ist die Fehlerquadratmethode; dabei soll

w am Rande moglichst gut die gegebenen Randwerte u annahern, d.h. es soll . . . . . . . . . . . . J = (G-&)* df= Min a (11) I

einen Kleinstwert annehmen. Dann sind 1 aJ 2 aae

r

(e=1, * , ., p ) . . (12)

p lineare Gleichungen fur die Unbekannten a,. Fiir die zugehorige Funktion v nach (9) kann man dann nach Nr. 3 eine Fehlerabschatzung durchfuhren.

T r e f f t z beschritt fur die Potentialgleichung einen anderen Weg, bei welchem man zu- gleich fur ein bei den Anwendungen ofter gebrauchtes Integral Schranken erhalt.

Die Differentialgleichung wird jetzt als selbstadjungiert vorausgesetzt, d. h. es sei aaj k bi =- a xk

(Summation iiber k) . Wie beim Ritzschen Verfahren spielt auch beim Trefftzschen Verfahren ein Integral J

(eine Verallgemeinerung des D i r i c h 1 e t schen Integrals) eine wichtige Rolle : J [ v , w]= ( ~ j k ~ j w ~ + c v w ) ~ z = J [ w , v ] . . . . . . . . . (13). d

Es wird J[v , v ] = J[u] gesetzt. Wendet man den Gaul3schen Integralsatz (3) auf die Funktion a=vaik wk an, so erhalt man eine der Greenschen Formeln, wobei man in der entstehenden

6) Eine Aufziihlung verschiedener Arten findet eich z.B. Z. angew. Math.Mech.,Bd.31(1961), 8.230-236.

C o 1 1 a t e , Fehlerabsohiitzung bei elliptischen Differentidgleichungen ~ ~ ~ & ~ ~ & ~ ~ ~ ~ 206

Formel die rechte Seite bekanntlich durch Einfuhrung der Konormalene) 0, die mit einer GroI3e A zusammen durch

ujk COS(Y, q ) = A cos(o, xk) bestimmt wird, umformen kann :

-

( k = 1,:. ., n; A > 0)

~ L [ w ] d z = J [ w , w ] + w A - d f . . . . . . . . . . . (14).

Zur Bestimmung der Parameter a, im Ansatz (9) wird jetzt die Forderung aufgestellt, daL3 der Fehler w= w-u in der durch das Integral J vermittelten Metrik gemessen zum Minimum ge- macht werden SOU, also

J[w] =J[ w-u] = Min . . . . . . . . . . . . . (1 5).

b f r J E

Die Forderung (15) ergibt bei dem Ansatz (9) 1 aJ[vo+a, v e - u ~ - 2 - = J [ w ~ + U, w:-u, ~ & ] = J [ W , w,]=O (p= 1, .... p ) . . (16).

Nach (14) folgen

a e / A w e T : d f = A(u-wo)-ddf a% (p.1,. ... p ) . . . (17) a0 r r f (iiber p summieren)

als p lineare Bestimmungsgleichungen fur die a, (die Gro13en w,, w,, u sind auf r bekannt). Hat man aus diesem Gleichungssystem die a, bcrechnet, so kann man fur die mit diesen a, nach (9) gebildete Funktion w wieder nach Nr. 3 eine Fehlerabschatzung durchfuhren.

6. Beispiele Die beiden folgenden Beispiele dicnen lediglich zur Erlautcrung der Methoden, es ist dabei

nicht auf groBe Genauigkeit Wert gelegt. I. Als einfaches Beispiel werde die slationare Tcmperaturverteilung u(2, y, z) im Innern

eines Wiirfels 1z1<1, Iyl<1, IzI<1 betrachtet, der zur Halfte in Wasser von der Temperatur 0 taucht und zur Halfte an ein Medium mit linear ansteigender Temperatur grenzt. Es sei also

I Au=O fur 1~1<1, ]yl<1, 121 <1

. . . . . . . . u=O fur z I 0 und IzI=1 oder lyl=1 u = z fur 220 und 1z1=1 oder Iyl=l u=O fur z=-1 u = l fiir z=1

(18).

Um nur einen ganz einfachen und dann allerdings auch noch recht ungenauen ,Qnsatz zu beschrei- ben, werde wo=O, wl=l, w2=z , w,= x2+ y2-2 22 gesetzt, wobei die Symmetrien der Aufgabe benutzt sind. Die ganz kurze Rechnung liefert beim ersten Weg nach (12) die Gleichungen

a,=-4 8 - 56 -- 40 20 -3 %= 3 15

2 4 ~ , = 8 ,

und als Naherung 15 (.'+ y2-222) . 1 1 w,=-- + - -

3 2 7 i 2

1 67 6 336 Am Rande schwankt vF zwischen - - und , und hier gilt im ganzen Bereich

67 336 ~ v p - - u ~ - - = 0,200. 1 - 0,167- -- 6

Beim zweiten Weg nach (17) hat man die Gleichungen (jetzt ist die Konstante zunachst fort zulassen)

und somit - 8 a, = - 4 , - 64 US = 8

1 1 v* = c + - - z - - - 2 8 (Z2+ y 2 - 2 9).

~~

6 ) A. G. Webeter-G. Szeg6, Partielie Differentialgleichungen der mathem,atischen Phyeik, Lpz. nndBln. 1930, S. 311.

" , b ~ ~ ~ & ~ ~ ~ l ~ & C o 1 1 a t e , Fehlerabechatzung bei elliptiachen-Differentidgleiohungen 207

Die Konstante G kann man etwa so bestimmen : vT - c- u schwankt zwischen den Werten

und -, es gilt dann im 4 1 5 3 setzen wir c = - , so schwankt VT - u zwischen -- und --. 8 '

ganzen Bereich

-

3 16 16 16

-- 3 16 ]ZIT - U I 2 - = 0,1875 . . . . . . . . . . . . . . (19).

Die Fehlerschranken sind hier noch so groB wegen der Knickstellen in den Randwerten von u. Durch Hinzunahme weiterer Glieder im Ansatz lassen sich naturlich die Schranken leicht herunterdriicken.

11. An dem folgenden Beispiel sei gezeigt, daB man oft mit Hilfe einer Einpassungsmethode sehr rasch zur Aufstellung einer groben Naherungslosung gelangen kann. Es sei

;* Linearkombinationen der ve hinzuzufugen, so daB das Er- gebnis sich einer konstanten Verteilung annahert ; man hat jeweils die Abweichung von der Konstanten und sieht

diese Abweichung kompensieren kann). Dieses Probieren kann man naturlich vermeiden, wenn man die Gleichun- gen (17) verwendet, die dort auftretenden Integrale aus-

nach, durch Hinzufugung welcher Funktionen man gerade A . , 0 .

C

..D I X

208

Fur den Quadratmittelpunkt x=- , y=O z.B. erhalt man so

C o 1 1 a t a , Fehlerrtbschhtzung bei elliptischen Differentidgleichungen $ ~ ~ ~ ~ r . ~ & ~ $ ~ i

1 2

0,5436 5 u(+, 0) I 0,5521 oder u =0,5479 f 0,0043 .

6. Verfshren gleichzeitiger Anniiherung von Differentialgleichung und Rsndbedingnngen Es liege eine Randwertaufgabe fur eine Funktion u von n unabhangigen Veranderlichen

xl, .... xn vor. Die Differentialgleichung sei nichtlinear

oder linear

wo L[u] ein h e a r e r homogener Differentialausdruck in u mit gegebenen, von den xj abhangigen Koeffizienten A,, ... ist. Es kommen nichtlineare Randbedingungen

* (23) . . . . . . au 32, azu ax), ’ ax; ’ ax, ax2 .... .... - -. ~ .) = O auf r, q x l , x,,, u, ---, au

0 ax1 (p=1 , .... k) oder lineare Randbedingungen

* (23) . . . . . . au 32, azu ax), ’ ax; ’ ax, ax2 .... .... - -. ~ .) = O auf r, q x l , x,,, u, ---, au

I ax1 (p= l , .... k) oder lineare Randbedingungen

* (24) u, xi, .... xn, u, -, .... au a2u a Z t G

axn ’ ax; ’ ax, ax, . . . .) ”7, auf r, . . . . i a% (p= 1, .... k) _ - _ _ _ _ au

hinzu, wobei U, gegebene lineare homogene Differcntialausdrucke in u sind. Dabei ist B ein ge- gebener Bereich im q-q-. .. G-Raum und r, sind (n-1)-dimensionale Hyperflachen; ge- wohnlich werden es Randflachen von 23 sein. Bisher wurden gewohnlich zwei Arten von Naherungsverfahren untersucht, bei denen u durch einen Naherungsausdruck w mit p Para- metern a,, .. ., up angenahert wird :

1. Fall (Randmethode): w erfiillt fur beliebige Werte a, exakt die Differentialgleichung (21); die up sind so zu bestimmen, daB die Randbedingungen (23) moglichst gut befi-iedigt werden.

2. Fall (Gebietsmethode): w genugt fur bcliebige Werte der a, den Randbedingungen (23); die a, sind so zu wahlen, daB die Differentialgleichung (21) moglichst gut erfiillt wird.

In beiden Fallen pflegte man die Cute der Naherungen nach der GroBe des Fehlers 8, d.h. der Abweichung w-u der Naherung w von der exaktcn Losung u zu beurteilen und fragte nach Abschatzungen fur den Betrag 181 dcs Fehlers. Nun betont R. v. Mises‘), daB es vom physi- kalischen Standpunkt aus verniinftiger ist, Toleranzen 6, dp vorzuschreiben und nach einer Nahe- rung w zu fragen, die diese Toleranzen bei der Differentialgleichung und den Randbedingungen einhalt (irf wohl leicht verstandlicher Schrcibweise) :

I P C W I I 56 9 I V, [w]1i;6, . . . . . . . . . . . (26).

Bei physikalischen und technischen Aufgaben‘ werden gewohnlich weder die Differential- gleichung noch die Randbedingungen exakt gelten, sondern es sind in der mathematischen For- mulierung vereinfachende Annahmen, Linearisierungen und andere Idealisierungen enthalten, so daB (21) und (23) nicht streng gelten werden.

Einen naheliegenden Ansatz fur w erhalt man aus der F’orderung, den Integralausdruck

u=w(x l , . ... x,,; a,, .... ap) . . . . . . . . . . . . (25)

E J = F ~ W ] dzfx:, Ir, ~ ; [ ~ ] a f . . . . . . . . . . . l p=1

zum Minimum zu machen. Dabei ist dz das Volumenelement in B und dfdas Oberflachenelement auf r,, die Zahlen k, sind gewisse positive Konstanten, uber deren geeignete Wahl in Nr. 9 ge- sprochen wird. Etwas allgemeiner konnte man

*-Q p = l rp

k J - p ( x j ) P 2 [ ~ ] d z + ~ k ~ ~ p , ( x j ) V ~ [ ~ ] d f = M i n i m u m . . . . . . . (28).

ansetzen, wobei p und p p als Gewichtsfunktionen positive Ortsfunktionen sind.

’) R. v. Mises, On Network Methods in Conformal Mapping and in Related Problems (erscheint dem- niichst ).

2. Bd. angew. 92 h'r., Math. Jul i Mech. 1Q52 C o 1 1 a t z , Fehlerabschlitzung bei elliptischen Differentialgleichungen 209 .-

Wir setzen hier p = p , = 1. Die Forderungen fur ein Minimum von J aJ - = o , 3%

(e=1, .... p ) . . . (29)

dienen dann zur Bestimmung der Konstanten 4, . . ,, up. Setzt man die so ermittelten up in die Naherung w und diese in (21), (23) ein, so sieht man,

welchen Fchler man noch bei P und V , hat und kann notfalls einen Ansatz mit weiteren Kon- stanten ue durchfuhren oder die Gewichte k, bei den Randbedingungen andern.

Hat man eine Naherung w gefunden, welche die Toleranzforderungen (26) erfiillt, so tritt die Frage nach der Fehlerabschatzung jetzt in der folgenden Form auf : Wie groB ist bei gegebenen 6, S, der Spielraum fur u? D. h. man hat also eine Naherungslosung w und die gesuchte Funktion u, welche beide den Ungleichungen (26) genugen

und man fragt nach einer Schranke S filr den Betrag des moglichen Unterschiedes

wobei S von den 6 , 8 , abhangt.

IP[Wll 56, IP[u1153,. [ V , [ w l l 9 , , IV,[uI1s3, * * * * (30)

leI=Iw-uI 5 s * (31h . . . . . . . . . . . . . . Bei linearen Randwcrtaufgaben (22), (24) folgen aus

IL[~]--rl<:6, IL[u]--IId, IUp[~]-yy,li;8,, IU,[u]-y,ISg, - (32) fur die mogliche Abweichung e die Ungleichungen

Hieraus ist die Schranke S fur lel in (31) festzulegen.

'

IL[e]1 2226, IUP[e]152S, . . . . . . . . . . . . (33).

7. Gleichungen des Nllhernngsverfahrens bei linemen RandwertsDlrgaben Der hier gegebene Ansatz ist auch fur die Auffassung verwendbar, daB man etwa die Diffe-

rentialgleichung (22) und die Randbedingungen (24) als streng und (27) und (29) als Vorschrift fur ein Naherungsverfahren ansieht, welches sich von den sonst ublichen darin unterscheidet, daB man sich beim Ansatz fiir w, noch nicht um die Differentialgleichung oder die Randbedin- gungen zu kiimmern braucht. Das kann rechnerisch einvorteil sein, weil die strenge Erfullung der Differentialgleichung oder der Randbedingungen mitunter zu schwerfilligeren Ansltzen und damit zu miihsameren Rechnungen fuhrt. In (33) fallt dann der Faktor 2 fort:

Macht man fur w einen linearen Ansatz IL[e]l 5 8 , 1U,[e]1 56, . . . . . . . . . . . . * (34)-

w = 2 a, wp . . . . . . . . . . . . . . . . (35),

= O . . (36)

0

P--1 so folgen aus

fur die a, die linearen Bestimmungsgleichungen mit symmetrischer Koeffizientenmatrix:

oder k

... 8. Fehlerabschiltzung

Zur Durchfuhrung einer Abschhtzung des Fehlerbetrages I&( aus (33) oder (34) - wir konnen uns etwa auf (34) beschranken - legen wir eine speziellere Aufgabenklasse zugrunde, und m a r die erste Randwertaufgabe bei der elliptischen Differentialgleichung (1) (2)

.. Dabei sind a,&, bj, c, r im Bereich B gegebene Fufiktionen von z,, .... g. Die als symmetrisch angenommene Matrix der ajk sei in 8-t-r positiv definit, und es sei c 2 0. Auf dem Rande r von 8 seien fur u Randwerte vorgeschrieben. Es ist also der Fehler e abzuschatzen aus

Dann ist der Satz vom Randmaximum aus Nr. 2 anwendbar. I L [ e ] l ~ d in 23, lel.Sd, auf r . . . . . . . . . . . (4).

C 01 1 a t z , Fehlerabeohiitzung bei elliptiachen Differentialgleiohnrrgen ~ ~ > r . ~ ~ . l ~ $ ' ' - 210

Nun sei z eine Funktion mit L [ z ] L - A < O in 23 . . . . . . . . . . . . . . (41).

Oft wird man eine Funktion z rnit L [z] =-A <O sehr leicht angeben konnen, vgl. Nr. 3, Z. B.

durch geschickte Wahl von z 18Lit sich die Fehlerabschatzung verbessern. Auf dem Rande r sei z, L z <zo. Die Zahlen z,, und z, sind als bekannt anzusehen. Zunachst sei c=O.

Dann erfiillt nach, (34) die Funktion

* (42) 2 8 A g ~ = e + - mit L[~I ] '<o in EI . . . . . . . . .

die Voraussetzungen des Satzes vom Randmaximum. Z B

A Auf dem Rande ist g~ 5 8,+ 2-, also gilt diese Abschiitzung auch in ganz 8 und damit

8 & 5 81+2(zo- 2) . . . . . . . . . . . . . . . (43).

Z Entsprechend ist A [ @ ] 2 0 fur die Funktion ij= E - - 8; das Minimum von P, wird auf r an- genommen, also ist A

6 A Somit gilt in 23 8 2 - dl- - ( zo - z ) und mit (43) insgesamt

* (44). lel <8 ,+- , (zo-z) . . . . . . . . . . . . . . 8

Im Falle c 2 0 wird das Maximum von 191 am Rande angenommen, also nach (42), wenn

und damit . . . . . . . . . . . (45).

9. Beispiel

-Au=O in 8, ~ ( x , &1)=0 fur 51, u(f1, y)=1-y2 fur Iyl51 . (46) vorgelegt; 23 ist dabei das Quadrat 1, lyl< 1, u(x, y) lath sich deuten als stationlire Tem- peraturverteilung in einer quadratischen Platte mit gegebenen Randtemperaturen.

In dem Ansatz, in dem Q das Quadrat 0 < 2 <1, 0 <y <1 bedeutet und die Symmetrien der Aufgabe beriicksichtigt sind,

Es sei

0 1 J = / / ( A w ) ~ d z d y + k l * / [W(%, 1)lBdX + 1. [w( l , y)+y~-1]2dy * * * * (47) 8 l o

ist zunachst das Gewicht k geeignet zu wahlen. Eine Hilfsfunktion z nach (41) ist hier z.B. 1 4

z=-(s2+ya) mit A=l.

Wegen c=O, z , = ~ , OS;-zS-lautet (4.4) I e I 5 d 1 + - 6 , d.h. einFehler 6 inderDif- ferentialgleichung geht hier mit dem halben Gewicht wie ein Fehler 8, in der Randbedingung in die Fehlerschranke 181 ein; wir wahlen daher k = 2.

1 1 1 2 2

Fiir w werde ein Ansatz gemacht w=u,+u, d + u , ya+a,(x'+y')+a, 39 y2.

(Es wiirde vielleicht naherliegen, u4s4+u6y4 an Stelle von a,(29+y4) zu schreiben, aber es er- gibt sich sogleich u4=a,); man kann nun w in (47) einsetzen und die Gleichungen (29) bilden;

H s i e n C h i h L i u , h r die Entstehung von Ringwellen 21 1 Z. angew. Math. l e c h . Bd. 32 Nr. 7 Jull 1952 -

etwas bequemer ist es, direkt die Gleichungen (37) aufzustellen : 30a1f 20u2+ 20u3f 36u4+ lo',= 10

140u,+ 3364+ 280u3+1016a4+ 196a6= 70 140a1+ 280a2+ 336~,+1016~,+ 196u6= 14 3TSu,+ 1620a,+ 1428 a,+ 7532a4+ 1 3 2 6 ~ ~ = 210 210u1+ 588u,+ 588u3+2652a,+ 518a6= 42

mit der Losung 751 1 1828 1

' 1 = w (0,O) = - = 0,41086,

~*=0,50011, ~,=-0,49989, ~,=0,09692, ' 6 =-0,58196. Fur die so bestimmte Funktion w wird

8 - 15 ( a;'+ y') w= ('2 + '3) f ("4 + '6) (" f Y ') ' 18 281

. es ist daher -0,00121 Sdzo I; 0,00044

mit

Ferner brauchen wir zur Fehlerabschatzung den Randfehler ; es ist

l A w l L 6 = - 22 =O,Oo1203. 18281

1

w(1, y) + yB-l= -- (1155- 11970 y2 + 14175 9). 8.18281

Der Fehler E= w-u liegt am Rande zwischen den Schranken -0,0094 und - 420 - - 0,02298; fur die Funktion w*= w+O,OO68 wurde E*= w *-u am Rande zwischen

-0,0162 und +0,0162 schwanken, so daB man dl= 0,0162 und damit fur I & * / die fur den ganzen Bereich giiltige Schranke

1 0,0162+ - 0,00121 oder 0,0169 (man konnte auch 0,0168 erreichen) erhielte. Fur u ergeben sich 2

damit die Schranken

Diese Fehlerabschatzung gilt fur das ganze Quadrat und gibt die GroBenordnung des Fehlers richtig wieder, da ja in der Ecke tatsachlich w urn 0,02298 von u abweicht. (In den Ecken liegt eine Singularitat von u vor, da wegen der Randwerte dort

1828 1

w - 0,0237 5 u 5c0+0,0101 .

ist, wahrend im Felde du=O sein soll). Eingegangen am 1. Oktober 1961,

Uber die Entstehung von Ringwellen an einer Flussigkeitss oberflache durch unter dieser gelegene, kugelige

periodische Quellensysteme*. Von H&nCAih Liu in Schantung, China

I n einer idealen, nur der Wirkung der Erd8chwere unterworfenen Fltiuaigkeit mil unendlich awgedehn2er freier Oberflache und unbegTenxter Tiefe w i d eine unZer der FlClee' keitaoberflirche gdegene, kugdige &o- diechs Quelle d e rgtiirungazantrum a n g m m m a . Far den Fall. &3 die Zeil iiber dlen Qrmm coiichel, wird die dadurch hervorgerufene Oberflichenerhebung aua dem GeachwindigkeitapMid dsr Quelle au - geetell:. Do8 Verfahren wurde auch auf den Fall angewandt, dafl die Ergiebigkeit der Qudh ilber einer e e d - rechten 8trecke gleichfiirmig verteilt 9:.

I n an ideal liquid with infinitely extended free eurface and infinite depth, a 8phsTiCd 8ourc6, eiluated below the errface, i e acting periodically a8 C8?&lTe of perturbation. Tha only external force i a resillling di8phVXmcTlt O f the eurface i8 compfed from the VdOCaY pk3?&lid O f the 8OUrCi3, ir%M::: ordinate ia indejinitdy increased. The melhod wa8 a k o appk?d to :he c(bB6, tha4 lhs 8otcTC6 ia q u d i y extended to a atraight line, normal to the eurface.

*) Aus ciner von der Methematik;Naturwiesenschaft~chen Fakultiit der hrg-Auguet-Univereitiit zu Gottingen angenommenen Dieeertation.