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WIRTSCHAFTSINFORMATIK Westfälische Wilhelms- Universität Münster WIRTSCHAFTS INFORMATIK Nummerisches Lösen Nummerisches Lösen partieller partieller Differentialgleichungen Differentialgleichungen Im Rahmen des Seminars „Verteilte und parallele Systeme“ Lehrstuhl für praktische Informatik in der Wirtschaft Prof. Dr. Herbert Kuchen Nial Moore

Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

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Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen. Im Rahmen des Seminars „Verteilte und parallele Systeme“. Nial Moore. Lehrstuhl für praktische Informatik in der Wirtschaft Prof. Dr. Herbert Kuchen. Gliederung. Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

WIR

TS

CH

AF

TS

INF

OR

MA

TIK

WestfälischeWilhelms-Universität Münster

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Nummerisches Lösen Nummerisches Lösen partieller partieller

DifferentialgleichungenDifferentialgleichungen

Im Rahmen des Seminars „Verteilte und parallele Systeme“

Lehrstuhl für praktische Informatik in der WirtschaftProf. Dr. Herbert Kuchen

Nial Moore

Page 2: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

2

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

GliederungGliederung

1. Einleitung

2. Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung

3. Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren

Gauß-Elimination

Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren

4. Zusammenfassung

Page 3: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

3

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

GliederungGliederung

1. Einleitung

2. Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung

3. Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren

Gauß-Elimination

Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren

4. Zusammenfassung

Page 4: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

4

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

EinleitungEinleitung

Viele Problemstellungen in FuE lassen mit Hilfe von Simulationen lösen

Beschreibung realer Systeme durch mathematische Modelle

Mathematischen Modelle ermöglichen Simulationen von Zuständen / Ergebnissen

Beispiele: Klimasimulation

Crashtest Simulation

3D-CAD Modellierungen

Page 5: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

5

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

EinleitungEinleitung

Partielle Differentialgleichungen zur werden oft zur Modellierung herangezogen

Modelle sind recht komplexBenötigen Unterstützung durch Rechner

Page 6: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

6

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

GliederungGliederung

1. Einleitung

2. Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung

3. Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren

Gauß-Elimination

Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren

4. Zusammenfassung

Page 7: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

7

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Partielle DifferentialgleichungenPartielle Differentialgleichungen

Differentialgleichungen: Beschreiben Verhalten realer Systeme

Gesucht: Funktion y, die die Funktion

für x = (x1,…,xn) , wobei G Rn

erfüllt, dabei sei Dky die k-te Ableitung der Funktion y

- y ist stetig und differenzierbar

Bsp.:

- Beschreibung einer

Flugkurve durch

eine Parabel

0),...,,,,( 2 yDyDDyyxF n G

Page 8: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

8

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Partielle DifferentialgleichungenPartielle Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen Mehrdimensional

Von mehreren Variablen abhängig

Komplexe Berechnungen erforderlich

Unterstützung durch Rechner

wünschenswert

Bsp.:

- Modellierung eines Trampolintuchs beim Einsprung

Rechnerunterstützung Nur bei endlichen Problemen möglich

Deskritisierung nötig

Page 9: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

9

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

GliederungGliederung

1. Einleitung

2. Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung

3. Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren

Gauß-Elimination

Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren

4. Zusammenfassung

Page 10: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

10

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

DiskretisierungDiskretisierung

Bsp.: Temperaturverlauf in einem Metallstab

stetiges Modell:

diskretes Modell:

- Einteilung in endlich viele Intervalle- Informationsverlust entsteht- Anzahl der Intervalle bestimmt Höhe des Informationsverlusts- Intervallanzahl regelt Komplexität der entstehenden linearen

Gleichungssysteme (LGS)

Page 11: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

11

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

DiskretisierungDiskretisierung

Diskretisierung: Temperaturen T1 und T2 bekannt

Gesucht sind die Temperaturen x1,…,x4

Temperaturen x1,…,x4 ergeben sich aus dem Durchschnitt der umgebenden Temperaturen

2

1

4

3

2

1

5,0

0

0

5,0

*

15,000

5,015,00

05,015,0

005,01

T

T

x

x

x

x

Entstehendes LGS:

+x1 - 0,5x2 = 0,5T1

- 0,5x1 + x2 - 0,5x3 = 0

- 0,5x2 + x3 - 0,5x4 = 0

- 0,5x3 + x4 = 0,5T2

- Matrixschreibweise Ax = b:

Page 12: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

12

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

GliederungGliederung

1. Einleitung

2. Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung

3. Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren

Gauß-Elimination

Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren

4. Zusammenfassung

Page 13: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

13

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Numerische LösungsverfahrenNumerische Lösungsverfahren

Bezeichnet Verfahren, die Lösungen ‚zahlenmäßig‘ herbeiführen

Durch Algorithmen automatisierbar

Zwei Verfahrenstypen: Direkte Verfahren

Exakte Lösungen

Z.B. Gauß-Elimination, zyklische Reduktion

Iterative Verfahren Erzeugen Folgen von Vektoren

Näherung der exakten Lösung

Z.B. Jacobi-Verfahren, Gauß-Seidel-Verfahren

Page 14: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

14

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

GliederungGliederung

1. Einleitung

2. Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung

3. Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren

Gauß-Elimination

Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren

4. Zusammenfassung

Page 15: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

15

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Gauß-EliminationGauß-Elimination

Vorgehen ausgehend von dem LGS der Form Ax = b:

2

1

4

3

2

1

5,0

0

0

5,0

*

15,000

5,015,00

05,015,0

005,01

T

T

x

x

x

x

12

1

1

1

4

3

2

1

125,05,0

61,0

25,0

5,0

*

625,0000

5,06,000

05,075,00

005,01

TT

T

T

T

x

x

x

x

bAx bxA

A

2

1

4

3

2

1

5,0

0

0

5,0

*

15,000

5,015,00

05,015,0

005,01

T

T

x

x

x

x

Schritt 1:LGS transformieren, so dass Matrix A die Form einer oberen Dreieckmatrix annimmt

Bsp.:

Page 16: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

16

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Gauß-EliminationGauß-Elimination

Transformation benötigt n-1 Schritte

In jedem Schritt k:

und aus und errechnen:

Eliminationsfaktoren l berechnen:

Matrix A(k+1) und Vektor b(k+1) neu berechnen:

)1( kA )1( kb )(kA )(kb

nkia

al

kkk

kikk

ik ,...,1,)(

)()(

alaak

kjik

k

ij

k

ij

)()()1(*

blbbk

kik

k

i

k

i

)()()1(*

Page 17: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

17

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Gauß-EliminationGauß-Elimination

Schritt 2: Durch Rückwärtseinsetzen LGS lösen

12

1

1

1

4

3

2

1

125,05,0

61,0

25,0

5,0

*

625,0000

5,06,000

05,075,00

005,01

TT

T

T

T

x

x

x

x

21

21

21

21

4

3

2

1

8,02,0

6,04,0

4,06,0

2,08,0

*

1000

0100

0010

0001

TT

TT

TT

TT

x

x

x

x

1,...,1,,1

1

)()()(

nnkxaba

xn

kjj

nkj

nkn

kkk

Bsp.:

Rechenvorschrift:

Page 18: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

18

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Gauß-EliminationGauß-Elimination

Problem: Sollte ein Element der Hauptdiagonalen der Matrix A Null sein

bricht der Algorithmus ab (Division durch Null )

Partielle PivotisierungErfordert mehr Kommunikation/Rechenaufwand

Koeffizienten, die sich nicht verändern

Koeffizienten, die sich verändern werden

Koeffizienten, die den Wert Null erhalten sollen

Koeffizienten, die bereits den Wert Null haben

Pivot-Zeile i

i

ii+1

n

i+1 n

Page 19: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

19

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Gauß-EliminationGauß-Elimination

Sequentielle Implementierung: 3 ineinander geschachtelte Schleifen Θ(n3)

Parallele Implementierung: Erfordert wesentlich mehr Kommunikation

Geringer ‚speed-up‘

nn

knkk

nkkkkk

nkk

nkk

a

aa

aaa

aaaa

aaaaa

A

000

0

0

,1,11,1

221,222

111,11211

Page 20: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

20

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Gauß-EliminationGauß-Elimination

Vorteile: Vorhersagbarkeit der Laufzeit

Vorhersagbarkeit des Speicherbedarfs

exakte Lösung (sofern vorhanden)

Auf jedes LGS anwendbar Nachteile:

Schlecht parallelisierbar

Bei dünnbesetzten Matrizen entsteht ‚fill-in‘

Page 21: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

21

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

GliederungGliederung

1. Einleitung

2. Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung

3. Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren

Gauß-Elimination

Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren

4. Zusammenfassung

Page 22: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

22

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Iterative VerfahrenIterative Verfahren

Liefern nur Näherungen Aufbauend auf bereits errechnete Näherungen werden

weitere Approximationen errechnet Verfahren erzeugen Folgen von Vektoren {x(k)}k=1,2,…die

gegen die gesuchte Lösung x* konvergieren. Aufwand der Algorithmen nicht ausschließlich abhängig

von der Größe des Systems Für dünnbesetzte Matrizen gut geeignet

Page 23: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

23

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

GliederungGliederung

1. Einleitung

2. Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung

3. Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren

Gauß-Elimination

Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren

4. Zusammenfassung

Page 24: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

24

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Jacobi-VerfahrenJacobi-Verfahren

Idee: Sind alle bekannt, kann durch Einsetzen der

errechnet werden

, i = 1,…,n , j = 1,…,n

nijijx j ,...,1,, ix jx

ijjiji

iii xab

ax

1

jx

)(kjx

Problem: Die sind nicht bekannt

Iterativer Ansatz: Beliebigen Startvektor als vorläufiges Ergebnis betrachten

Vorläufige Ergebnisse der Iteration k zur Errechnung neuer einsetzen

Iterationsvorschrift:

, i = 1,…,n , j = 1,…,n , k = 1,2,…

)1( kix

ij

kjiji

ii

ki xab

ax )()1( 1

Page 25: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

25

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Jacobi-VerfahrenJacobi-Verfahren

Abbruchkriterium: Anzahl an Iterationen - Abbruch ohne Ergebnis

Lösung ist hinreichend genau:

Abbruchkriterium: relativer Fehler

||.|| Vektornorm, z.B. ||x|| = max i=1,...,n|xi| oder ||x||2=(n i=1|x|2)½ .

)1()()1( kkk xxx

Eigenschaften in Hinblick auf Parallelisierbarkeit Berechnung der einzelnen xi nur von vorherigen Iteration abhängig

Keine Datenabhängigkeiten innerhalb einer Iteration

Leicht parallelisierbar

Page 26: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

26

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Jacobi-VerfahrenJacobi-Verfahren

Parallel Implementierung: Prozessor Pi mit i = 1,…,p speichert n/p Zeilen von A und die dazu

gehörigen Werte von b

Möglichkeit Vektor x entweder lokal als auch global gespeichert Iterationsablauf:

Multibroadcastoperation

A b

P14567

P0

10

23x(0)

x(k+1)

x(k+1)

Iteration kInitialisierung

Abbruch testen

Ausgabe

Page 27: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

27

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Jacobi-VerfahrenJacobi-Verfahren

1. Schritt:

Jeder Prozessor Pi hat alle benötigten Daten aus der Approximation x(k) vorliegen und errechnet der Iterationsvorschrift die nächste Aproximation x(k+1) seiner n/p Elemente.

Multibroadcastoperation

A b

P14567

P0

10

23x(0)

x(k+1)

x(k+1)

Iteration kInitialisierung

Abbruch testen

Ausgabe

Page 28: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

28

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Jacobi-VerfahrenJacobi-Verfahren

2. Schritt:

Jeder Prozessor sendet seine n/p lokal gespeicherten Elemente des Vektors x(k+1) z.B. mit einer Multibroadcastoperation an die übrigen Prozessoren

Multibroadcastoperation

A b

P14567

P0

10

23x(0)

x(k+1)

x(k+1)

Iteration kInitialisierung

Abbruch testen

Ausgabe

Page 29: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

29

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Jacobi-VerfahrenJacobi-Verfahren

3. Schritt:

Abbruchkriterien überprüfen, ggf. Ergebnis ausgeben

Multibroadcastoperation

A b

P14567

P0

10

23x(0)

x(k+1)

x(k+1)

Iteration kInitialisierung

Abbruch testen

Ausgabe

Page 30: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

30

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Jacobi-VerfahrenJacobi-Verfahren

Aufwand einer Iteration: Schritt 1:

n/p Werte werden in quadratischer Zeit errechnet Θ(n2 * (n/p))

Schritt 2:

n/p Werte an p-1 Prozessoren verschicken Θ((p-1) * (n/p))

Schritt 3:

Ist abhängig vom Abbruchkriterium, z.B. Θ(n), wenn das globale Maximum verglichen wird

Page 31: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

31

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Jacobi-VerfahrenJacobi-Verfahren

Aufwand des Algorithmus: (Aufwand einer Iteration) * (Iterationsdurchläufe)

Anzahl der Iterationsdurchläufe abhängig vom Gleichungssystem und der Konvergenzrate

Jacobi-Verfahren hat relativ schlechte Konvergenzrate

Page 32: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

32

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

GliederungGliederung

1. Einleitung

2. Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung

3. Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren

Gauß-Elimination

Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren

4. Zusammenfassung

Page 33: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

33

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Gauß-Seidel-VerfahrenGauß-Seidel-Verfahren

Iteratives Verfahren Gleicher Ansatz wie Jacobi, jedoch:

Innerhalb einer Iteration wird auf die bereits errechneten Werte zurückgegriffen

Dadurch entsteht folgende Iterationsvorschrift

n

ij

kjij

i

j

kjiji

ii

ki xaxab

ax

1

)(1

1

)1()1( 1

xi von Iteration k+1 xi von Iteration k

- Deutlich bessere Konvergenzrate als das Jacobi-Verfahren

- Aber es entstehen Datenabhängigkeiten

ij

kjiji

ii

ki xab

ax )()1( 1

Page 34: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

34

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Gauß-Seidel-VerfahrenGauß-Seidel-Verfahren

Datenabhängigkeiten

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

n

ij

kjij

i

j

kjiji

ii

ki xaxab

ax

1

)(1

1

)1()1( 1

Page 35: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

35

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Gute Anwendbarkeit bei dünnbesetzten Matrizen Oft bei Modellen die einer Gitterstruktur entsprechen

xij

xi,j-1

xi-1,j xi+1,j

xi,j+1

Gauß-Seidel-VerfahrenGauß-Seidel-Verfahren

Bsp.: Temperaturverlauf im Wasserbad

Der Punkt xi,j ist nur von den ihn umgebenden Punkten abhängig:

xi,j = (xi-1,j + xi+1,j + xi,j-1 + xi,j+1)/4

Page 36: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

36

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Gauß-Seidel-VerfahrenGauß-Seidel-Verfahren

Bei einem 4x4 Gitter ergibt sich folgendes Bild:

Relative viele Datenabhängigkeiten Durch Rot-Schwarz-Schema in der Berechnung

reduzierbar

a) 4x4 Gitter b) schematische Darstellung der Matrix A

x x xx x x x

x x x xx x x

x x x xx x x x x

x x x x xx x x x

x x x xx x x x x

x x x x xx x x x

x x xx x x x

x x x xx x x

1 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

2

Page 37: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

37

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Gauß-Seidel-VerfahrenGauß-Seidel-Verfahren

Rot-Schwarz-Schema: 1. 16 Punkte in rote und schwarze Punkte aufteilen

2. Punkte so im Gitter angeordnet, dass alle roten Punkte nur schwarze Nachbarn haben und umgekehrt

a) 4x4 Gitter in rot- schwarz Anordnung

b) schematische Darstellung der Matrix A´

1 2 10

11 3 12 4

5 13 6 14

15 7 16 8

x x xx x x x

x x x x xx x x x

x x x xx x x x x

x x x xx x x

x x x xx x x

x x x xx x x x x

x x x x xx x x x

x x xx x x x

9

Damit ergibt sich folgende Umordnung:

Page 38: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

38

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Nach der Umordnung:

Damit ergibt sich der Iterationsschritt:

In Vektorschreibweise:Somit ist nur noch von und nur noch von abhängig.

- Erst ausrechnen, dann

- und sind unabhängig und können daher parallel ausgeführt werden

Gauß-Seidel-VerfahrenGauß-Seidel-Verfahren

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ*ˆ*ˆ

b

bx

x

DE

FDxA

S

R

S

R

)(

)(

2

1

)1(

)1(

*00

0*

0k

S

kR

kS

kR

S

R

x

xF

b

b

x

x

DE

D

)(1

)1( ** kS

kRR xFbxD

)1(2

)1( ** kR

kSS xEbxD

)1( kRx )(k

Sx )1( kSx

)1( kRx

)1( kRx )1( k

Sx)1( k

Rx )1( kSx

Page 39: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

39

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

Gauß-Seidel-VerfahrenGauß-Seidel-Verfahren

Algorithmus:1. Schritt: Berechne auf parallelen Prozessoren

2. Schritt: Mit Multibroadcast-Operation Ergebnisse kommunizieren

3. Schritt: Berechne auf parallelen Prozessoren

4. Schritt: Mit Multibroadcast-Operation Ergebnisse kommunizieren

5. Schritt: Abbruchkriterium überprüfen

6. Schritt: Vektor und zu gemeinsamen Ergebnisvektor zusammenführen

)1( kRx

)1( kSx

)1( kRx )1( k

Sx

Aufwand des Rot-Schwarz-Schemas: Berechnungsaufwand fast identisch mit dem Jacobi-Verfahren

Eine Mulitbroadcast-Operation mehr

Nicht so gut parallelisierbar wie Jacobi

Zusätzlicher Aufwand wird jedoch durch bessere Konvergenzrate kompensiert

Page 40: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

40

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

GliederungGliederung

1. Einleitung

2. Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung

3. Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren

Gauß-Elimination

Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren

4. Zusammenfassung

Page 41: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

41

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

ZusammenfassungZusammenfassung

Differentialgleichungen Können oft zur mathematischen Modellierung herangezogen

werden

Sind stetig

Müssen diskretisiert werden, um numerisch gelöst zu werden Diskretisierung

Beschreibt den Vorgang ein stetiges Problem in ein diskretes umzuwandeln

Erzeugt lineare Gleichungssysteme, die numerisch lösbar sind

Page 42: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

42

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

ZusammenfassungZusammenfassung

Numerische Lösungsverfahren: Gaus-Eliminations-Verfahren:

Direktes Verfahren

Exakte Lösung wird errechnet

Vorhersagbare Rechenzeit

Vorhersagbarer Speicherbedarf

Auf alle linearen Gleichungssystemen anwendbar

Fill-in kann auftreten

Schlechte Parallelisierbarkeit

Page 43: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

43

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

ZusammenfassungZusammenfassung

Numerische Lösungsverfahren: Jacobi-Verfahren:

Iteratives Verfahren

Kein fill-in

Für dünnbesetzte Matrizen gut geeignet

Rechenzeit nicht vorhersagbar

Laufzeit abhängig von der Komplexität des Gleichungssystem

Schlechte Konvergenzrate

Page 44: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

44

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

ZusammenfassungZusammenfassung

Numerische Lösungsverfahren: Gauß-Seidel-Verfahren:

Iteratives Verfahren

Kein fill-in

Datenabhängigkeiten innerhalb einer Iteration

Nicht so gut parallelisierbar

Für dünnbesetzte Matrizen in Bandstruktur gut geeignet

Rechenzeit nicht vorhersagbar

Laufzeit abhängig von der Komplexität des Gleichungssystem

bessere Konvergenzrate als Jacobi-Verfahren

Page 45: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

45

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

LiteraturLiteratur

Michael J. Quinn: Parallel Computing, Theory and Practice, 2nd ed., McGraw-Hill, 1994

Thomas Rauber, Gudula Rünger: Parallele Programmierung, 2. Aufl., Springer, 2007.

Hartmut Schwandt: Parallele Numerik, Eine Einführung, 1. Aufl., Teubner 2003

Page 46: Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

46

WIRTSCHAFTSINFORMATIK

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