Finite Elemente I - TU Bergakademie Freibergernst/Lehre/FEM_I/Folien12/feKapitel1.pdf · Finite Elemente I 8 1.2 Die Helmholtz-Gleichung ... Das verbleibende Feld wird auf einem Teilgebiet

Institut fur Numerische Mathematik und Optimierung

Finite Elemente IWintersemester 2012/13

Erste von zwei Vorlesungen im Modul

”Finite-Element Methoden fur Mathematiker“

Horerkreis: 5./7./9. Mm, 1. MWM

Oliver ErnstInstitut fur Numerische Mathematik und Optimierung

Finite Elemente I 1

Vorbemerkungen

Vorgesehener Inhalt:

1. Einleitung

2. Variationstheorie

3. Die FE-Methode anhand der Poisson-Gleichung

4. Kontruktion von FE-Raumen

5. Konvergenztheorie

6. Gleichungsloser

TU Bergakademie Freiberg, WS 2012/13

Finite Elemente I 2

1 Einleitung

Bevor wir in die Details von Variationstheorie und Konstruktion von finite-Element-Raumen einsteigen wollen wir uns einen Eindruck verschaffen,wozu die FEM in der Praxis eingesetzt werden kann.

1 Einleitung TU Bergakademie Freiberg, WS 2012/13

Finite Elemente I 3

1.1 Die Poisson-Gleichung

Viele physikalische Großen erfullen eine elliptische Differentialgleichungzweiter Ordnung der Form

−∇·(k∇u) = f, u : Ω→ R (1.1)

wobei k : Ω → R eine positive Koeffizientenfunktion, f : Ω → R einensog. Quellterm darstellt und das Definitionsgebiet Ω ⊂ Rd, d = 2, 3, als be-schrankt, offen und zusammenhangend angenommen wird. Der Koeffizientk kann skalar oder auch ein positiv-definiter Tensor (d× d Matrix) sein undbeschreibt meist Materialeigenschaften.

Die typische Problemstellung besteht darin, u zu gegebenen f und k zubestimmen. (Hinzu kommen noch Randbedingungen auf ∂Ω.)

1.1 Die Poisson-Gleichung TU Bergakademie Freiberg, WS 2012/13

Finite Elemente I 4

Folgende Tabelle stellt einige physikalische Großen zusammen, welcheder Gleichung (1.1) genugen:

Anwendung u k f

Elektrostatik elektr. Potential Permittivitat Ladungsdichte

Magnetostatik magn. Potential Permeablilitat Ladungsdichte

Warmetransport Temperatur Leitfahigkeit Warmequelle

Grundwasserstromung Spiegelhohe hydraul. Leitf. GW-Neubildung

elastische Membran Auslenkung M.-spannung Last

ideales Fluid Geschw.-Potential Dichte Zu/Abfluss

Gravitation Grav.-Potential 1/Grav.-Konst. Massendichte

Bemerkung 1.1 Oft ist u nur eine Hilfsgroße und der Flussvektor ∇u die wirklichinteressierende Große. Letzterer wird oft durch (numerische) Differentiation der (nu-merisch berechneten) Losung u gewonnen, ein instabiler Vorgang. Sog. gemischteFE-Formlierungen gestatten die direkte numerische Berechnung des Flusses.


Finite Elemente I 5

Ist k konstant in (1.1), so kann dies in f zusammengefasst werden und esergibt sich die Poisson-Gleichung

−∆u(x) = f(x), x ∈ Ω. (1.2a)

Den Gebietsrand Γ := ∂Ω zerlegen wir in ΓD und ΓN , Γ = ΓD ∪ ΓN ,ΓD ∩ ΓN = ∅ und stellen die Randbedingungen

u(x) = g(x) ∀x ∈ ΓD, kurz: u|ΓD= g, (1.2b)

∂u

∂n(x) = h(x) ∀x ∈ ΓN , kurz: ∂nu|ΓN

= h (1.2c)

mit zwei gegebenen, auf ΓD bzw. ΓN definierten Funktionen g und h. DasRandwertproblem (1.2) besitzt – unter geeigneten Voraussetzungen an dasGebiet Ω und die Daten f, g, h – eine eindeutig bestimmte klassische (d.h.in Ω zweimal stetig differenzierbare) Losung.


Finite Elemente I 6

Wir betrachten als Beispiel das elektrische Feld im Außenraum zweier Elek-troden in einem Gehause. Die Anordnung sei uniform in einer Richtung: dieElektroden mogen recheckigen Querschnitt besitzen, das Gehause sei einKreiszylinder.

Auf den Elektroden Γ1 und Γ2 legen wir jeweils den konstanten Potential-wert φ = 1 bzw. φ = −1 fest, am Gehause Γ0 den Wert φ = 0. Ansonstensei die Anordnung ladungsfrei.

Es ergibt sich die elliptische Randwertaufgabe

∆φ = 0, in Ω,

φ = 0, auf Γ0,

φ = 1, auf Γ1,

φ = −1, auf Γ2.


Finite Elemente I 7

Surface: u Contour: u Arrow: grad(u)

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2 4 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Max: 1.00

Min: -1.00

-0.95

-0.85

-0.75

-0.65

-0.55

-0.45

-0.35

-0.25

-0.15

-0.05

0.05

0.15

0.25

0.35

0.45

0.55

0.65

0.75

0.85

0.95

Max: 0.950

Min: -0.950

FEM-Approximation des Potentials im Außenraum der Kondensatoren.


Finite Elemente I 8

1.2 Die Helmholtz-Gleichung

Monochromatische Wellen mit Kreisfrequenz ω > 0 besitzen die Darstel-lung

w(x , t) = u(x )eiωt, x ∈ R, t > 0.

Einsetzen in die lineare Wellengleichung wtt− c2∆w = 0 mit Ausbreitungs-geschwindigkeit c > 0 liefert fur den raumlichen Anteil u die Helmholtz-Gleichung (auch reduzierte Wellengleichung oder Schwingungsgleichung)

∆u+ k2u = 0, k =ω

c> 0

mit Wellenzahl k.

Man kann mit der Helmholtz-Gleichung z.B. die Akustik eines Konzertsaalsmodellieren.

1.2 Die Helmholtz-Gleichung TU Bergakademie Freiberg, WS 2012/13

Finite Elemente I 9

Hierzu sei der Querschnitt des Konzertsaals gegeben durch ein Polygon.Auf den Randern stellen wir die sogenannte schallharte Randbedingung

∂u

∂n= 0.

Als Quellterm der Gleichung nehmen wir die exponentiall abklingendeFunktion

f(x, y) = e−10((x−1/2)2+(y−1/2)2).

Mit der Wellenzahl k =√

0.8 erhalten wir die Randwertaufgabe

∆u+ 0.8u = e−10((x−1/2)2+(y−1/2)2), in Ω,

∂u

∂n= 0, auf ∂Ω.


Finite Elemente I 10

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5

Konzertsaal-Beispiel, Triangulierung

Surface: u Contour: u

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Max: 0.305

Min: -0.250

-0.236

-0.208

-0.181

-0.153

-0.125

-0.097

-0.07

-0.042

-0.014

0.014

0.042

0.069

0.097

0.125

0.153

0.18

0.208

0.236

0.264

0.292

Max: 0.292

Min: -0.236

Konzertsaal-Beispiel, Losung



1.3 Minimalflachen

Die durch eine Funktion u : Ω → R, Ω ⊂ R2 ein beschranktes Gebiet,definierte Flache

z = u(x, y) : (x, y) ∈ Ω

ist gegeben durch

A(u) =

∫Ω

√1 + |∇u|2 dx .

Schreibt man noch die Randwerte der Funktion u vor, so kann man zeigen,dass die Flache A(u) minimal wird, wenn u folgende Randwertaufgabelost:

−∇·

(1√

1 + |∇u|2∇u

)= 0, in Ω,

u = g, langs ∂Ω,

wobei g die vorgeschriebenen Randwerte darstellt.

1.3 Minimalflachen TU Bergakademie Freiberg, WS 2012/13


Wir betrachten konkret das Gebiet Ω := (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1 undschreiben auf dessen Rand fur u die Funktionswerte u(x, y) = x2 vor.

Surface: u Height: u Contour: u Max: 1.00

Min: 00

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Max: 0.975

Min: 0.02500.025

0.075

0.125

0.175

0.225

0.275

0.325

0.375

0.425

0.475

0.525

0.575

0.625

0.675

0.725

0.775

0.825

0.875

0.925

0.975

Minimalflache

1.3 Minimalflachen TU Bergakademie Freiberg, WS 2012/13


1.4 Die Navier-Stokes-Gleichungen

Die Stromung eines inkompressiblen homogenen Newtonschen Fluids inzwei Raumdimensionen wird beschrieben durch ein Vektorfeld

u = u(x , t) =

[u(x , t)

v(x , t)

], u : Ω ⊂ R2 → R2

sowie eine skalare Funktion

p = p(x , t), p : Ω→ R,

die den Geschwindigkeitsvektor bzw. den Druck am Ortspunkt x ∈ Ω zurZeit t angeben.

1.4 Die Navier-Stokes-Gleichungen TU Bergakademie Freiberg, WS 2012/13


Die Großen u und p sind eindeutig gegeben als Losung des Systemspartieller Differentialgleichungen

∂tu + (u · ∇)u − ν∆u +∇p = f ,

∇·u = 0 ,

(ν bezeichnet die kinematische Viskositat des Fluids) zusammen mit ge-eigneten Anfangsbedingungen

u0 = u(x , 0), p0 = p(x , 0), x ∈ Ω,

sowie Randbedingungen langs ∂Ω.



Als Besipiel betrachten wir das sog. DFG-Benchmarkproblem der Stromungin einem Kanal um einen Kreiszylinder:

Am linken Rand wird ein parabolisches Einstromprofil[u

v

]=

[1.2y(0.41− y)/0.412

0

]vorgeschrieben, am rechten Rand Neumann-Randbedingungen und anden ubrigen Randern u = 0 . Ferner ist ν = 0.001.



-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

Gitter aus 3608 Dreiecken (16 836 Freiheitsgrade)



Time=6.98 Surface: Velocity field [m/s] Arrow: Velocity field

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

Max: 2.174

Min: 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Stromungsgeschwindigkeitsfeld bei t = 7s.



1.5 Die Maxwell-Gleichungen

Makroskopische elektromagnetische Phanomene werden beschriebendurch die Maxwell-Gleichungen

∇×E + B = 0 , (1.3a)

∇×H − D = J , (1.3b)

∇·D = ρ, (1.3c)

∇·B = 0, . (1.3d)

Hierbei bezeichnen E die elektrische Feldstarke, D die Verschiebungs-stromdichte, H die magnetische Feldstarke, B die magnetische Fluß-dichte, J die Leitungsstromdichte sowie ρ die elektrische Ladungsdichte.Gleichung (1.3a) ist das Faradaysche Induktionsgesetz, (1.3b) die Maxwell-AmpEre Gleichung, (1.3c) das Gaußsche Gesetz und (1.3d) besagt dassdas magnetische Feld stets rotationsfrei ist.

1.5 Die Maxwell-Gleichungen TU Bergakademie Freiberg, WS 2012/13


In linearen und isotropen Materialien gelten die konstitutiven Gleichungen

B = µH , D = εE , J = σE + J i, (1.4)

mit der elektrischen Permittivitat ε, magnetischen Permeabilitat µ und elek-trischer Leitfahigkeit σ als skalare Proportionalitatsfaktoren.

Wir betrachten ein Beispiel aus der geoelektrischen Erkundung, bei demdurch die Messung elektrischer Felder an der Erdoberflache Ruckschlusseauf die ortliche Verteilung der Leitfahigkeit σ im Untergrund und damit aufdessen Zusammensetzung gezogen werden.



• In geophysikalischen Anwendungen kann der Verschiebungsstrom D

vernachlassigt werden. Ferner kann µ = µ0 als konstant angenommenwerden.

• Um nur mit einem Feld rechnen zu mussen eliminiert man z.B. aus(1.3a) und (1.3b) das magnetische Feld H .

• Das verbleibende Feld wird auf einem Teilgebiet Ω ⊂ R3 berechnet.

• An dessen Rand ∂Ω sind geeignete Randbedingungen zu stellen; eineeinfache RB in diesem Fall ist n×E = 0 , n die außere Einheitsnormalelangs ∂Ω.

• Zur Zeit t = t0 wird eine Anfangsbedingung E(x , 0) = E0(x ), x ∈ Ω,benotigt.



Man erhalt so die Anfangs-Randwertaufgabe:

µ0σE +∇×∇×E = −µ0J i in Ω, (1.5a)

n ×E = 0 langs ∂Ω, (1.5b)

E(x , 0) = E0(x ). (1.5c)


Documents

Finite Elemente I - TU Bergakademie Freibergernst/Lehre/FEM_I/Folien12/feKapitel1.pdf · Finite Elemente I 8 1.2 Die Helmholtz-Gleichung ... Das verbleibende Feld wird auf einem Teilgebiet