Finite Elemente - KIT - Fakultät für Mathematik

nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

KIT - Universität des Landes Baden-Württemberg undnationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu

Finite ElementeSkript zur Vorlesung im Wintersemester 2019/2020

Christian Wieners

Version vom 6. Mai 2020

Inhaltsverzeichnis

1 PDE-Modelle 1

2 Schwache Ableitungen und Variationsformulierungen 11

3 Triangulierungen und elementare Finite-Elemente-Räume 19

4 Galerkin Verfahren 28

5 Interpolation und Approximation 41

6 Lagrange Elemente 58

7 Petrov-Galerkin Verfahren 75

8 Gemischte Finite Elemente 84

9 Discontinous Galerkin Verfahren 102

Diese Vorlesung ist eine Einführung in die numerische Verfahren zur Lösung von partiel-len Differentialgleichungen. Dabei werden insbesondere alle Diskretisierungen analysiert,die in der Vorlesung Einführung in das Wissenschaftliche Rechnen eingeführt wurden.Neben der Konstruktion der Verfahren wird im Wesentlichen die Konvergenzanalyse be-trachtet. Das Skript soll auch als Grundlage für vertiefende Vorlesungen zur numerischenBehandlung von weiteren partiellen Differentialgleichungen dienen.Der gesamte Stoff ist aus Standard-Lehrbüchern zusammengestellt; die wesentlichen Quel-len sind unten angegeben.Ich danke Herrn Hakan Demirel für die mühsame LATEX-Arbeit der ersten Version (nochaus dem Diplom-Studiengang) und Rukiye Barlak für die Überarbeitung.

Literatur

Knabner/Angermann: Numerik partieller Differentialgleichungen, Springer 2000Braess: Finite Elemente, Springer 2013Ciarlet: The finite element method for elliptic problems, Handbook of Numerical AnalysisVol II, North-Holland 1991Deuflhard/Bornemann: Numerische Mathematik III, de Gruyter 2002Brenner/Scott: The mathematical theory of finite element methods, Springer 2008Ern/Guermond: Theory and practice of finite elements, Springer 2004Ern/Di Pietro: Discontinuous Galerkin methods, Springer 2012Boffi/Brezzi/Fortin: Mixed finite element methods and applications, Springer 2013Bartels: Numerical approximation of partial differential equations, Springer 2016

1 PDE-Modelle

Ziel: Analyse von Diskretisierungs- und Lösungsmethoden für PDEs (= partial differentialequations).

Diffusion

Sei Ω ⊂ Rd (d = 1, 2, 3) ein Gebiet (offen, zusammenhängend) und beschränkt. Wirunterscheiden zwischen den Konstituierenden, also den gesuchten physikalischen Größen

u : Ω → R Konzentration von einem Stoff/Wärmemenge

σ : Ω → Rd Fluss

und den gegebenen Daten

f : Ω → R Quellen und SenkengN : ΓN → R Neumann-RanddatenuD : ΓD → R Dirichlet-Randdaten

κ : Ω → Rd×d Permeabilitätstensor,

wobei ΓN, ΓD ⊂ ∂Ω und ΓN = ∂Ω \ ΓD.Wir nehmen an, dass alle Größen hinreichend glatt sind.Das Modell mit Konstituierenden und Daten wird bestimmt durch:

1) Billanzgleichung:Für alle K ⊂ Ω (konvex und offen) gilt:∫

∂K

σ · nK da =

∫K

f dx mit nK : ∂K → Rd äußere Normale

Abbildung 1: Äußerer Normalenvektor

2) Konstitutivgleichung/Materialgesetz:

σ = κ∇u

3) Randbedingungen

u = uD auf ΓD

σ · n = gN auf ΓN

1

(1.1) LemmaSei Ω ⊂ Rd offen, und seien σ ∈ C1(Ω; Rd), f ∈ C(Ω) mit∫

∂K

σ · nK da =

∫K

f dx ∀ K ⊂ Ω konvex oder Simplices

Dann gilt:div σ = f

Beweis. Satz von Gauß:∫∂Kσ · nK da =

∫K

div σ dx

Somit gilt∫K

(div σ − f) dx = 0 ∀ K ⊂ Ω

Annahme: Es existiert (o. E.) ein x0 ∈ Ω mit (div σ−f)(x0) > 0, wobei (div σ−f) ∈ C0.Somit existiert eine offene Umgebung U ⊂ Ω mit x0 ∈ U und(div σ − f)(x0) > 0 (x ∈ U). Wir wählen K ⊂ U und x0 ∈ K und erhalten∫K

(div σ − f) dx > 0.

Insgesamt gilt also für glatte Lösungen:

− div κ∇u = f in Ωu = uD auf ΓD

κ∇u · n = gN auf ΓN

Spezialfälle

1. κ = κ0Id (isotropes Material, Modell richtungsunabhängig)

2. κ = κ1 ∈ Rd×d (homogenes Material, Modell überall gleich)

3. κ ≡ Id. Dann gilt:

div∇u =d∑j=1

∂j∂ju =d∑j=1

∂2ju = ∆u (Laplace-Operator)

Insgesamt also

−∆u = f (Poisson-Gleichung)

4. Für f = 0, heißt

∆u = 0

Laplace-Gleichung und die Lösungen heißen harmonische Funktionen.

2

Spezielle Lösungen:

1. Laplace-Gleichung in 2dSei D ⊂ C offen und g : D −→ C holomorph.Es folgt dass u(x1, x2) = Re g(x1 + ix2) harmonisch ist.Es gilt: Holomorphe Funktionen sind durch die Randwerte eindeutig bestimmt!Vorsicht: Regularität erforderlich!Beispiel:

u(z) = Re(zα) mit α ∈ R, z = r exp(iϕ), zα = rα exp(iαϕ)

D =z = r exp(iϕ) ∈ C : 0 < r < 1, 0 < ϕ <

3

2π

u0 = Re(z23 − z−

23 )

Sing.stelle0

0

0

Holomorph in D, daher gilt ∆u0 = 0

Es gilt ∇u0 /∈ L2(Ω; Rd) und u ≡ 0 auf ∂Ω mit Ω = (x, y) ∈ R2 : x+ iy ∈ D.Allgemein: Falls ∆u = 0 und∇u ∈ L2 und u ≡ 0 auf ∂Ω folgt dass, u ≡ 0.

2. Poisson-Gleichung in (0, 1)2

Es gilt für

φnk(x1, x2) = sin(nπx1) sin(kπx2)

die Gleichung

−∆φnk = λnkφnk

mit λnk = π2(n2 + k2). Also ist

u(x) =∑n,k∈N0

unkφnk(x)

mit

unk =(f, φnk)0,Ω

‖φnk‖0,Ω

=1

‖φnk‖0,Ω

∫Ω

fφnkdx

Lösung von −∆u = f, u ≡ 0 auf ∂Ω.

3

Ein Beispiel für ein Finites Element

Sei Ω ⊂ R2 ein beschränktes Polygongebiet und Ωh =⋃K eine Zerlegung in Dreie-

cke.

Abbildung 2: Zerlegung in Dreiecke

Finites Element (K,VK ,ΛK) mit K = convz0, z1, z2

VK = P1(K) AnsatzraumΛK = spanλ0, λ1, λ2 ⊂ V ′K Freiheitsgrade mit 〈λk, φ〉 = φ(zk)

def: Vh = vh ∈ C(Ω) : vK ∈ VK

Aufgaben

1) Definiere eindeutige Approximation uh ∈ Vh zu u.

2) Wie gut lässt sich u in Vh approximieren?

3) Wie groß ist der Fehler? Bezüglich welchem Maß?

4) Wir groß ist der Lösungsaufwand?

Herausforderungen

A) Abstrakte Approximations- und Lösungstheorie, die möglichst viele Anwendungenhat.

B) Große Vielfalt von Methoden, um für konkrete Anwendungen eine optimale Methodezu finden.

Wiederholung: 1. PDE Modelle 1.1 Elliptische ModellproblemeLaplace ∆u = 0 ; Poisson −∆u = f in Ω ⊂ Rd → Randwerte erforderlich!

Abbildung 3: Bsp. in 2d.

4

Konvektions-Diffusions-Reaktionsgleichung

Konfiguration:

Ω ⊂ Rd beschränktes Gebiet,∂Ω = ΓD ∪ ΓN ∪ ΓR (relativ abgeschlossen/offen)I = [0, T ] Zeitintervall

Konstituierende:

u : I × (Ω ∪ ΓD)→ R Konzentration

σ : I × (Ω ∪ ΓN ∪ ΓR)→ Rd Fluss

Parameter:

κ : I × (Ω ∪ ΓN ∪ ΓR)→ Rd×d Diffusionstensor

q : I × (Ω ∪ ΓN ∪ ΓR)→ Rd Flussvektorr : I ×Ω → R Reaktionsrateα : I × ΓR → R Randkapazität

Daten:

u0 : Ω → R AnfangswerteuD : I × ΓD → R Dirichlet-RandwertegN : I × ΓN → R Neumann-RandbedingunggR : I × ΓR → R Robin-Randbedingungf : Ω → R Quellen und Senken

Bilanzgleichung:Für K ⊂ Ω (konvex), (t1, t2) ⊂ I gilt:∫

K

(u(t2, x)− u(t1, x)) dx+

∫ t2

t1

∫∂K

σ · nk da dt =

∫ t2

t1

∫K

(ru+ f) dx

womit für glatte Lösungen ∂tu = − div σ + f + ru in Ω folgt.

Konstitutivgleichung für den Fluss:

σ = −κ∇u+ qu

Zusammen ergibt sich damit die

5

Diffusions-Konvektions-Reaktionsgleichung:

∂tu−∇κ∇u+ q · ∇u+ (∇ · q)u = ru+ f

Zusätzlich zur Differentialgleichung werden von der Lösung u folgendeRandwerte

u(t, x) = uD(t, x) für (t, x) ∈ I × ΓD

σ(t, x) · n(x) = gN(t, x) für I × ΓN

σ(t, x) · n(x) + α(t, x)u(t, x) = gR(t, x) für I × ΓR

und Anfangswerte

u(0, x) = u0(x) für x ∈ Ω

gefordert.

Spezialfälle

A) stationärer Fall (unabhängig von der Zeit t)

− div(κ∇u) + q · ∇u+ ru = f wobei r = ∇q − r

B) Wärmeleitungsgleichung (parabolisch)

∂tu−∆u = f

Allgemeine Diffusion: Richtung d1, d2 der stärksten und schwächsten Diffusion

Abbildung 4: Richtung d1, d2.

|d1| = |d2| = 1, d1 ⊥ d2

in 3d : d3 = d2 × d2

Diffusionskoeffizienten κj > 0

σ = −∑

κk(∇u · dk)dk = −κ∇u

mit κ =∑κkdkd

Tk symmetrisch positiv definit.

Nun betrachte man ϕ : Ω → Ω eine linear affine Transformation:

ϕ(x) = x0 +Bx mit B ∈ Rd×d, detB > 0 , B = Dϕ

6

Wir definierenu(x) = u(x) mit x = ϕ(x), x ∈ Ω.

Es giltDu(ϕ(x)) = Du(x)Dϕ(x) = Du(x)B.

Weiterhin gilt∇u(ϕ(x))︸︷︷︸∇u(x)

=(

Du(ϕ(x)))

= BT∇u(x)

Zusätzlich definieren wirσ(x) = σ(x) = σ(ϕ(x))

somit giltDσ(ϕ(x)) = Dσ(x)B

und

div σ(x) = Spur Dσ(x) = Spur(Dσ(x)B−1) = ∇ ·B−1σ(x)

Wir wählen für BBT = κ und erhalten somit

∇ · κ∇u(x) = ∇ ·B−T ∇u(x) = ∆u(x)

C) Transportgleichung (hyperbolisch)

∂tu+ q · ∇u = f

Für div q = 0 und f = 0 erhalten wir eine spezielle Lösung:

u(x, t) = a(|q|2t− q · x) mit a ∈ C1(R)

Nach Differentiation erhalten wir

∂tu = a′(|q|2t− q · x)|q|2

somit

∇u = −a′(|q|2t− q · x)q mit div(qu) = q · ∇u = −a′(|q|2t− q · x)|q|2

Sei γ : [0, T ]→ Ω eine Charakteristik mit γ(t) = q(γ(t)). Somit gilt

∂tu(γ(t), t) = ∇x(γ(t), t) · γ(t) + ∂tu(γ(t), t) = 0

und schließlichu(γ(t), t) = u0(γ(0)),

da u(γ(t), t) = const.

D) Reaktionsgleichung (ODE)∂tu = ru

wir erhaltenu(t, x) = exp(r(x)t)u0(x).

7

Beispiel: Finite Volumen

Mit Ωh =⋃K und VK = P0(K) gilt:∫

K

div(quK) dx =

∫∂K

q · nuK da , uK ∈ VK .

1. PDE Modelle1.1 Elliptische Modellprobleme:

Laplace ∆u = 0

1.2 Parabolisches Problem: Diffusion-Konvektion-Reaktion

∂tu− div κ∇u+ q · ∇u+ ru = f

Maxwell-Gleichungen

Konstituierende:

E : I ×Ω → R3 elektrische FeldstärkeH : I ×Ω → R3 magnetische FeldstärkeD : I ×Ω → R3 elektrische VerschiebungB : I ×Ω → R3 magnetische Induktion

Parameter:

χ : I ×Ω → R SuszeptibilitätJ : I ×Ω → R3 elektrische Stromdichteρ : I ×Ω → R LadungsdichteP : I ×Ω → R Polarisationε0 ∈ (0,∞) Permittivitätµ0 ∈ (0,∞) Permeabilität

Faraday-Gesetz: Für alle Flächen A ⊂ Ω mit stückweiße glatten Rand gilt:

∂t

∫A

B · da+

∫∂A

E · ds = 0

Ampere-Gesetz:

∂t

∫A

D · da−∫∂A

H · ds+

∫A

J · da = 0

8

Gauß-Gesetz: Für jedes Teilvolumen V ⊂ Ω (mit stetig glattem Rand) gilt:

∫∂K

D · da =

∫K

ρ dx

∫∂K

B · da = 0

(1.2) SatzWenn alle Größen hinreichend glatt sind, gilt

∂tD −∇×H = −J ∂tB +∇× E = 0

∇ ·D = ρ ∇ ·B = 0

mit

curl(u) = ∇× u =

∂2u3 − ∂3u2

∂3u1 − ∂1u3

∂1u2 − ∂2u1

= div

0 u3 −u2

−u3 0 u1

u2 −u1 0

(zeilenweise)

Beweis. Aus dem Satz von Gauß folgt∫K

div(B) dx =

∫∂K

B · n da = 0 ∀ K

gilt somit divB = 0, divD = ρ. Aus dem Satz von Stokes folgt∫A

curl(u) · da =

∫∂A

u · ds

Weiterhin gilt: ∫A

(∂tB +∇× E) da = 0 ∀A

und wir erhalten∂tB +∇× E = 0 .

(für Faraday analog)

Spezialfälle:

A) Materialgesetze im Vakuum:Mit B = µ0H, D = ε0E, J = 0, und ρ = 0 gilt

ε0∂tE −∇×H = 0 µ0∂tH −∇× E = 0

div(E) = 0 divH = 0

und somit gilt mit c = 1√ε0µ0

∂2tE =

1

ε0

∇× ∂tH

= −c2(∇(∇ · E))−∆E = c2∆E .

9

B) Zeitharmonische LösungenMit dem Ansatz E(t, x) = sin(ωt)E0(x) gilt

∂2tE = −ω2 sin(ωt)E0(x) = −c2∇×∇× E

und wir erhalten somit für E0

∇×∇× E0 −ω2

cE0 = 0 .

BeispielSei Ω = (0, 2L)3 und wnk(x, y) = sin

(nx π

L

)sin(ky π

L

).

Die Wellengleichung ist eine hyperbolische Modellgleichung.Für unk(x, y, t) = cos

(√λnkt

)wnk(x, y) gilt

∂tunk = −λnkunk = ∆unk ,

und füru =

∑(αnk cos(

√λnk t) + βnk sin(

√λnk t)wnk

)erhalten wir

∂2t u = ∆u , u(0) = u0 , ∂tu(0) = v0

mit

αnk =(u0, wnk)0,Ω

‖wnk‖0,Ω

, βnk =(v0, wnk)0,Ω

‖wnk‖0,Ω

, (f, g)0,Ω =

∫Ω

f · g dx .

10

2 Schwache Ableitungen und Variationsformulierungen

Im Folgenden sei Ω ⊂ Rd oder Ω ⊂ (0, T )× Rd.

(2.1) DefinitionSei L : C1(Ω; Rm)→ L∞(Ω; Rk) ein linearer Differentialoperator.Dann heißt L∗ : C1(Ω; Rk)→ L∞(Ω; Rm) der ”adjungierte” Differentialoperator, wenn

(Lu, v)0,Ω = (u, L∗v)0,Ω ∀u ∈ C1(Ω; Rm) , v ∈ C1c(Ω; Rk)

gilt. Dabei ist C1c(Ω; Rk) = v ∈ C1(Ω; Rk) : supp v︸︷︷︸

x∈Ω : v(x)6=0

⊂ Ω.

Insbesondere ist v = 0 auf ∂Ω.

BeispielA) Sei u ∈ C1(Ω) ∩ C0(Ω), v ∈ C1(Ω; Rd) ∩ C0(Ω; Rd). Dann gilt∫

∂Ω

uv · n da =

∫Ω

div(uv) dx =

∫Ω

(∇u · v + u div v

)dx

und für alle v ∈ C1c(Ω; Rd)

(∇u, v)0,Ω = −(u,∇ · v)0,Ω .

Daraus folgt für L = ∇L∗ = − div .

B) Mit L = div gilt L∗ = −∇.

C) Mit Lu = div(uq) gilt

L∗v = −q∇v .

D) Mit L = ∂t gilt

L∗ = −∂t .

E) Sei v, w ∈ C1(Ω; R3) ∩ C0(Ω; R3). Dann gilt∫∂Ω

(n× v)w da =

∫∂Ω

(v × w)n da =

∫Ω

div(v × w) dx

=

∫Ω

((∇× v) · w − v · (∇× w)

)dx .

Also gilt für L = curl

L∗ = curl .

(2.2) DefinitionSei L aus (2.1) und u ∈ L2(Ω; Rm). Dann heißt w ∈ L2(Ω; Rk) eine ”schwache Ableitungvon u” bezüglich L, wenn

(w, v)0,Ω = (u, L∗v)0,Ω ∀ v ∈ C1c(Ω; Rk) .

11

(2.3) SatzWenn eine schwache Ableitung w von u bzgl. L existiert, dann ist sie in L2 eindeutig undwir schreiben

w = Lu

Beweis. Seien w, w ∈ L2 schwache Ableitungen von u, dann gilt

(w − w, v)0,Ω = (u, L∗v)0,Ω − (u, L∗v)0,Ω = 0

somit ist w − w orthogonal zu C1c(Ω; Rk). Annahme: Sei ‖w − w‖0,Ω = ε > 0.

⇒ Es existiert eine Treppenfunktion χ 6= 0 mit |w − w|2 ≥ χ ≥ 0 f.ü. in Ω.⇒ Es existiert K ⊂ Ω offen mit |w − w| ≥ δ > 0 f.ü. in K, δ ∈ R.O.E. sei wj − wj ≥ δ > 0 f.ü. in K, δ ∈ R.Wähle v ∈ C1

c(Ω; Rk) mit, v 6= 0, vj ≥ 0 in K und vj = 0 in Ω \K, vi = 0 in (i 6= j)⇒ (wj − wj, v)0,Ω > 0 Widerspruch zur Annahme.

Merke:

u ∈ C1(Ω)

∫Ω

∂tuφ dx = −∫Ω

u∂tφ dx

v ∈ C1(Ω; Rd)∫Ω

∇u · v dx = −∫Ω

u div v dx

v ∈ C10(Ω)

∫Ω

div u · v dx = −∫Ω

u · ∇v dx

w ∈ C10(Ω; R3)

∫Ω

∇× v · w dx =

∫Ω

v · (∇× w) dx

(Lu, v)0,Ω = (u, L∗v)0,Ω

Es gilt

L = ∇ ⇒ L∗ = − div

L = div ⇒ L∗ = −∇L = curl ⇒ L∗ = curl

Bezeichnung

H(L,Ω) =v ∈ L2(Ω; Rm) : es existiert eine schwache Ableitung Lv ∈ L2(Ω; Rk)

L ist fortsetzbar von C(Ω; Rk) nach H(L,Ω).Weiterhin führen wir ein:

(v, w)L = (v, w)L,Ω = (v, w)0,Ω + (Lv, Lw)0,Ω

‖v‖L,Ω =√

(v, w)L =√‖v‖2

0,Ω + ‖Lv‖20,Ω

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(2.4) SatzH(L,Ω) ist ein Hilbertraum.

Beweis. Zeige: H(L,Ω) ist vollständig. Wähle Cauchy-Folge vjj∈N ⊂ H(L,Ω) ⊂L2(Ω; Rm). Dann ist vjj∈N Cauchy-Folge in L2 mit Grenzwert v = lim

j→∞vj und wj =

Lvjj∈N Cauchy-Folge in L2 mit Grenzwert w = limj→∞

wj .

Es bleibt zu zeigen dass v ∈ H(L,Ω) und Lv = w. Die Behauptung folgt, da für alleφ ∈ C1

c(Ω; Rk) gilt:

(w, φ)0,Ω = limj→∞

(wj, φ)0,Ω

= limj→∞

(Lvj, φ)0,Ω = limj→∞

(vj, L∗φ)0,Ω = (v, L∗φ)0,Ω .

Beispiel

L = ∇ H(L,Ω) = H1(Ω) ‖v‖1,Ω =√‖v‖2

0,Ω + ‖∇v‖20,Ω

L = div H(div, Ω)

L = curl H(curl, Ω)

BemerkungL ist von C1(Ω; Rm) nach H(L,Ω) fortsetzbar und L : H(L,Ω) −→ L2(Ω; Rk) ist stetig.

Spurräume

(2.5) Definitiona) H0(L,Ω) ⊂ H(L,Ω) ist der Abschluss von C1

0(Ω; Rm) in H(L,Ω) bezüglich ‖ · ‖L,Ω.

b) H(L, ∂Ω) = H(L,Ω)/H0(L,Ω), heißt Spurraum von L,wobei ‖u‖L,∂Ω = inf u=u+H0(L,Ω) ‖u‖L,Ω.

Spurabbildung

(2.6) DefinitionSei L der Differentialoperator aus (2.1).Dann sind die Spurabbildungen

γL : C0(∂Ω; Rm)→ L∞(∂Ω; Rm)

γ∗L : C0(∂Ω; Rm)→ L∞(∂Ω; Rm)

charakterisiert durch

(Lu, v)0,Ω − (u, L∗v)0,Ω =(γL(u), γ∗L(v)

),

wobei u ∈ C1(Ω; Rm) ∩ C0(Ω; Rm) und v ∈ C1(Ω; Rk) ∩ C0(Ω; Rk).

13

BemerkungDie Wahl von γL ist nicht eindeutig (z.B. durch das Vorzeichen).Abhängig von γL ist γ∗L eindeutig bestimmt.

BeispielA) Sei m = 1, k = d∫

∂Ω

uv · n da =

∫Ω

div(uv) dx =

∫Ω

(∇u · v + u∇ · v

)dx

Für L = ∇ gilt dann γL(u) = γD(u) = u|∂Ω.Daraus folgt L∗ = − div und γ∗L(v) = γN(v) = v · n|∂ΩFür den umgekehrten Fall, also L = div und L∗ = −∇ gilt:γL(v) = (v · n)n und γ∗L(u) = un.Für das System erster Ordnung mit L

(uσ

)=( ∇·σσ+∇u

)und L∗

(vτ

)=(−∇·ττ−∇v

)gilt dann(

L

(u

σ

),

(v

τ

))0,Ω−((u

σ

), L∗(v

τ

))0,Ω

= (u, τ · n)0,∂Ω + (σ · n, v)0,∂Ω.

Also wähle z.B.

γL

(u

σ

)=

(u

(σ · n)n

)γ∗L

(v

τ

)=

(τ · nvn

).

B) Für L = ∂t und L∗ = −∂t,

(∂tu, v)0,I + (u, ∂tv)0,I =

∫ T

0

∂t(uv)dt = u(T )v(T )− u(0)v(0)

erhält man die Spurabbildungen

γL(u) =

−u(0) t = 0u(T ) t = T

γ∗L(u) =

v(0) t = 0v(T ) t = T

C) Betrachte L(vσ

)= L

(∂tv+∇·σ∂tσ+∇v

)= −L∗

(vσ

). Dann(

L

(v

σ

),

(w

τ

))0,I×∂Ω

+((v

σ

), L∗(w

τ

))0,I×∂Ω

= (v(T ), w(T ))0,∂Ω − (v(0), w(0))0,∂Ω + (σ(T ), τ(T ))0,∂Ω − (σ(0), τ(0))0,∂Ω

+ (v, τ · n)0,I×∂Ω + (σ · n,w)0,I×∂Ω

D) Für ∫∂Ω

(n× v) · wda =

∫Ω

((∇× v) · w − v · (∇× w))dx

also L = curl = L∗ sind die Spurabbildungen

γL(v) = n× vγ∗L(w) = w

14

Bemerkung1) Die Spurabbildung ist stetig fortsetzbar:

γL : H(L,Ω) −→ H(L, ∂Ω).

Das folgt aus der Tatsache, dass

γL(H0(L,Ω)) = 0

γL(u+ u0) = γ(u)

für u0 ∈ H0(L,Ω).

2) Für L = ∇ und u ∈ H1(Ω) gilt u|∂Ω ∈ L2(∂Ω).Aber: Im Allgemeinen ist σ · n /∈ L2(∂Ω) für σ ∈ H(div, Ω)

Lösungskonzepte

Am Beispiel der Poissongleichung L(uσ

)=( ∇σσ+∇u

)=(f0

)mit u = uD auf dem Dirichlet-

Rand ΓD = ∂Ω werden wir jetzt drei wesentliche Lösungskonzepte verdeutlichen.

a) Klassische Lösung:(uσ

)∈ C1(Ω; R1+d) ∩ C0(Ω; R1+d) und f ∈ C0(Ω)

Es gilt also für das Problem

−∇ · σ = f

σ +∇u = 0 ,

dass −∆u = f lösbar ist mit u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω).

b) Starke Lösung:Hier ist

(uσ

)∈ H(L,Ω), f ∈ L2 und uD ∈ H1(Ω) eine Fortsetzung der Randwerte.

−∇ · σ = f in L2(Ω)

σ +∇u = 0 ,

Daraus folgt u ∈ H1(Ω) und σ ∈ H(div) und u− uD ∈ H10(Ω).

c) Schwache Lösung:(uσ

)∈ L2(Ω; R1+d).((uσ

), L∗(v

τ

))0,Ω

=(L

(u

σ

),

(v

τ

))0,Ω−(γL

(u

σ

), γ∗L

(v

τ

))0,Ω

= (f, v)0,Ω−(uD, τ ·n)0,Ω

für alle (v, τ) ∈ C1(Ω; R1+d) ∩ C0(Ω; R1+d) mit v = 0 auf ∂Ω. Also gilt für allev ∈ C1(Ω)

(σ,−∇v)0,Ω = (f, v)0,Ω,

und(u,−∇ · τ)0,Ω + (σ, τ)0,Ω = −(uD, τ · n)0,∂Ω

für alle τ ∈ C1(Ω; Rd) ∩ C0(Ω; Rd).

⇒ (u,−∇ · τ)0,Ω = −(σ, τ)0,Ω ∀τ ∈ C1c(Ω; Rd)

⇒ u ∈ H1(Ω), σ = −∇u ∈ L2(Ω; Rd)

⇒ (∇u,∇v)0,Ω = (f, v)0,Ω ∀v ∈ H10(Ω) .

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Systeme erster Ordnung Es sei:

L : C1(Ω; Rm)→ C1(Ω; Rm) linearer DifferentialoperatorγL = (γj,L)j=1,...m : C0(∂Ω; Rm)→ C0(∂Ω; Rm) Spurabbildung

Γj ⊂ ∂Ω für j = 1, ...m

(2.7) Definitiona) u ∈ C1(Ω; Rm) ∩ C0(Ω; Rm) heißt klassische Lösung, wenn für j = 1, ...,m, f ∈

C(Ω; Rm) und gj ∈ C0(Γj) gilt

Lu = f auf Ωγj,Lu = gj auf Γj .

b) u ∈ H(L,Ω) heißt starke Lösung, wenn für j = 1, ...,m, f ∈ L2(Ω; Rm) und gj ∈L2(Γj) gilt

Lu = f auf Ωγj,Lu = gj auf Γj .

c) u ∈ L2(Ω; Rm) heißt schwache Lösung wenn

(u, L∗φ)0,Ω = (f, φ)0,Ω − (γL(u), γ∗L(φ))0,∂Ω

für alle φ ∈ V∗ := v ∈ C1(Ω; Rm) ∩ C0(Ω; Rm) : γ∗j,L(v) = 0 auf ∂Ω ⊂ Γj .

BeispielKonvektions-Reaktions-Diffusionsgleichung

L

(u

σ

)=

(∂tu+∇ · σ + q · ∇u+ ru

κ−1σ +∇u

)=

(f

0

)u = uD auf ΓD

L∗(v

τ

)=

(−∂tv −∇ · τ −∇(q · v) + rv

κ−1τ −∇v

)−σ · n = gN auf ΓN .

Daraus folgt

(u,−∂tv −∇ · τ +∇(qv) + rv)0,I×Ω + (σ, κ−1τ −∇v)0,I×Ω

= (f, v)0,I×Ω − (u(0), v(0))0,Ω − (uD, τ · n)0,I×ΓD + (gN, v)0,I×ΓN ,

das bedeutet τ · n = 0 auf ΓN und v = 0 auf ΓD, v(T ) = 0 in Ω. Daraus folgt

(u,−∇ · τ)0,I×Ω + (σ, κ−1τ)0,I×Ω = 0

für alle τ ∈ C1c(Ω; Rd). Insgesamt gilt u ∈ H1(Ω) mit ∇u + κ−1σ = 0 ⇒ σ = −κ∇u.

Falls ∂tu(t) ∈ L2(Ω) gilt

(∂tu(t), v)0,Ω = (κ∇u,∇v)0,Ω + (q · ∇u, v)0,Ω + (r, u)0,Ω = (f, v)0,Ω + (gN, v)0,ΓN .

16

(2.8) LemmaSei (u, σ) ∈ L2(Ω; R1+d) eine schwache Lösung der stationären KDR-Gleichung. Danngilt u ∈ H1(Ω) und

(κ∇u,∇v)0,Ω + (q · ∇u+ ru, v)0,Ω = (f, v)0,Ω + (gN, v)0,Γ ,

für alle v ∈ H1(Ω) mit v = 0 auf ΓD = ∂Ω \ ΓN.

Beweis mit Satz von Gauß.

(2.9) LemmaEs sei E,H ∈ H(curl;Ω) Lösungen von

∇× E + ωH = 0

∇×H − ωE = f

wobei ω ∈ C unf f ∈ L2(Ω; R3).Dann gilt für alle ψ ∈ H0(curl;Ω)∫

Ω

(∇× E · ∇ × ψ − ω2Eψ)dx =

∫Ω

ωf · ψdx.

Beweis. Es gilt ∫Ω

(∇×H) · ψdx =

∫Ω

H · ∇ × ψdx

für alle ψ ∈ C1c(Ω; R3). Daraus folgt∫

Ω

∇× E · ∇ × ψ dx = −∫Ω

ωH · ∇ × ψ dx

= −∫Ω

ω∇×H · ψ dx = −∫Ω

(ω2E + f) · ψ dx .

VariationsformulierungenSei im weiteren V = v ∈ H(L,Ω) : γj(v) = 0 auf Γj und W = L2(Ω; Rm).Systeme erster Ordnung:

a) Least squares (kleinste Quadrate)

u ∈ V :1

2‖Lu− f‖2

0,Ω = min!

⇒ (Lu− f, Lv)0,Ω = 0 ∀v ∈ V⇒ (Lu,w)0,Ω = (f, w)0,Ω ∀w ∈ W

b) LL∗-Methodez ∈ V ∗ = z ∈ H(L∗, Ω) : γ∗j (z) = 0 auf ∂Ω Γj

1

2‖L∗z‖2

0,Ω − (f, z)0,Ω = min!

⇒ (L∗z, L∗v)0,Ω = (f, v)0,Ω ∀v ∈ V⇒ (u, L∗v)0,Ω = (f, v)0,Ω ∀w ∈ W

17

Systeme zweiter Ordnung:

a) u ∈ H10(Ω): ∫

Ω

κ∇u · ∇v dx =

∫Ω

fv dx ∀v ∈ H10(Ω)

b) E ∈ H0(curl, Ω):∫Ω

∇× E · ∇ × ψ dx =

∫Ω

fψ dx ∀ψ ∈ H0(curl, Ω).

Gemischte Formulierung: σ ∈ H0(div, Ω) und u ∈ L2(Ω) :∫Ω

∇ · σv dx =

∫Ω

fv dx∫Ω

σ · τ dx−∫Ω

u∇ · τ dx =

∫∂Ω

uDτ · n da .

Ausblick:

Allgemeine Variationsformulierung:

V Hilbertrauma : V × V → R Bilinearform

` ∈ V ′ Linearform, z.B. 〈`, φ〉 =

∫Ω

fφ dx

u ∈ V : a(u, φ) = 〈`, φ〉 ∀φ ∈ V

Finite-Elemente: Definiere Vh ⊂ V

Galerkin-Verfahren:

uh ∈ Vh : a(uh, φh) = 〈`, φh〉 ∀φh ∈ Vh .

18

3 Triangulierungen und elementare Finite-Elemente-Räume

(3.1) Definitiona) Ein offener Simplex K ⊂ Rd hat die Form K = convVK mit

VK = zK,0, zK,1, . . . , zK,d ⊂ Rd

mit |K| > 0. Wir wählen o.E. für zK,j positive Orientierung, so dass für die MatrixBK = (zK,1 − zK,0| . . . |zK,d − zK,0) ∈ Rd×d gilt: detBK > 0.

b) Eine zulässige Triangulierung K = Kh von einem beschränkten Polygon / Polyeder-gebiet Ω ⊂ Rd ist eine Zerlegung Ωh =

⋃K∈Kh

K mit ∂Ωh = Ω \ Ωh =⋃

K∈Kh∂K

undconv(VK ∩ VK′) = conv K ∩ conv K ′ = convVK ∩ VK′

d.h. ∂K ∩ ∂K ′ ist leer, ein Eckpunkt, eine Kante oder eine Fläche K 6= K ′.

Abbildung 5: Triangulierung

Bezeichnung:

Vh =⋃

K∈Kh

Vk ⊂ Ω Gesamtmenge aller Eckpunkte (= vertex)

FK =d⋃j=0

int(convVK\zK,j)︸︷︷︸FK,j

Flächen

EK =⋃j 6=m

int(convzK,j, . . . , zK,m)︸︷︷︸Ek,j,m

Kanten

Fh =⋃

K∈Kh

FK , VF = F ∩ Vh , Eh =⋃

K∈Kh

EK , VE = E ∩ Vh

19

P(Ωh) = ΠKP(K) Polynome in K (unstetig)Pq(Ωh) = ΠKPq(K) Polynom vom Grad ≤ q

P(Ωh; Rd) = ΠKP(K; Rd)

hK = diamK , h = maxK∈Kh

hK , hF = diamF , hE = diamE .

Für F ∈ FK ∩Ω ist KF ∈ K mit F ∈ FKF , eindeutig bestimmt und es ist

nK = −nKF .


Für u ∈ P(Ωh) und ψ ∈ C1c(Ω; Rd) gilt:

•∫Ω

(u∇ · ψ +∇u · ψ

)dx

p.I.=∑K

∫K

div(uψ) dx =∑K

∫∂K

(uKψ)︸︷︷︸(uKnK)·ψ

·nK da


Für vh ∈ P(Ωh; Rd) und φ ∈ C1c(Ω) gilt:∫

Ω

(vh · ∇φ+ (∇ · vh)φ

)dx =

∑K

∫∂K

(vK · nK)φ da .

Dabei bezeichnet vK die stetige Fortsetzung von vh|K nach K.Für wh ∈ P(Ωh; R3) und η ∈ C1

c(Ω; R3) gilt:∫Ω

((∇× wh) · η − wh · (∇× η)

)dx =

∑K

∫∂K

(wK × η) · nK da .

20

(3.2) Lemmaa) u ∈ P(Ωh) ∩ H1(Ω)⇐⇒ uKnK + uKFnKF = 0 ∀F ∈ Fh ∩Ω

b) v ∈ P(Ωh; Rd) ∩ H(div, Ω)⇐⇒ vK · nK + vKF · nKF = 0 ∀F ∈ Fh ∩Ω

c) w ∈ P(Ωh; R3) ∩ H(curl, Ω)⇐⇒ wK × nK + wKF × nKF = 0 ∀F ∈ Fh ∩Ω

Beweis. zu a) „⇐ ” Für alle ψ ∈ C1c(Ω; Rd) gilt∫

Ω

(∇u · ψ + u divψ) dx = 0 .

Somit gilt ∇u ∈ L2(Ωh; Rd) ist eine schwache Ableitung von u bzgl. ∇, d.h. u ∈ H1(Ω)„⇒ ” : Annahme: Sei F ∈ Fh ∩Ω und x0 ∈ F , sodass o.E. uK(x0) > uKF (x0).Nun wählen wir U ⊂ K ∪KF ∪ F offen, sodass x0 ∈ U . Außerdem sei ψ ∈ C1

c(Ω; Rd)mit supψ ⊂ U , (ψ · n)(x0) > 0 und ψ · n ≥ 0 in U . Daraus folgt nun, falls U klein genugist: ∫

Ω

(∇u · ψ + u · divψ) dx =

∫F

(uKnK + uKFnKF ) · ψ da > 0 .

Dies ist jedoch ein Widerspruch zu u ∈ H1(Ω).b) und c) folgen analog


(3.3) Definitiona) In jeden Simplex K ⊂ Rd definieren wir:

S0(K) =P0(K) = u ≡ a ∈ RS1(K) =P1(K) = u(x) = a+ b · x, a ∈ R, b ∈ Rd

S(div, K) =v ∈ P1(K; Rd) : v(x) = a+ b · x, a ∈ Rd, b ∈ RS(curl, K) =w ∈ P1(K; R3) : w(x) = a+ b× x, a, b ∈ R3

b) Für Ωh =⋃K∈Kh K definieren wir:

S0(Ωh) =P0(Ωh) = u ∈ L2(Ω) : u|K = uK ∈ S0(K)S1(Ωh) =P1(Ωh) ∩ H1(Ω) = u ∈ H1(Ω) : u|K = uK ∈ S1(K) for all K ∈ Kh

S(div, Ωh) =v ∈ H(div, Ω) : vK ∈ S(div, K) for all K ∈ KhS(curl, Ωh) =w ∈ H1(curl, Ω) : wK ∈ S(curl, K) for all K ∈ Kh

Aufgabe: Konstruktive Basis→Methode: globale ”Freiheitsgrade” Koeffizienteneine Basis.

21

(3.4) DefinitionEin Finites Element ist ein Tripel (K,VK ,ΛK) mit:

K ⊂ Rd ZelleVK ⊂ L2(K; Rm) Vektorraum mit NK = dimVK <∞ΛK = spanλ′K,1, . . . , λ′K,NK ⊂ V ′K Freiheitsgrade.

sodass, jedes vK ∈ VK eindeutig durch 〈λ′k,j, vK〉 ∈ R (j = 1, . . . , NK) bestimmt ist,d.h. falls 〈λK,j, vK〉 = 0 gilt, gilt auch vK = 0.

Wähle zu jedem F ∈ Fh eine Orientierung für die Normale nF , und zu E ∈ Eh mitE = conv(zi, zj) Richtung des Kantenvektors τE = 1

|zj−zi|

(zj − zi

).

Beispiel

u ∈ S0(K) : 〈η′K , u〉 =1

|K|

∫K

u dx

u ∈ S1(K) : 〈λ′z, u〉 = u(z), z ∈ VK

v ∈ S(div, K) : 〈ψ′F , v〉 =1

|F |

∫F

v · nF da F ∈ FK

w ∈ S(curl, K) : 〈φ′E, w〉 =1

|E|

∫E

w · τE ds E ∈ EK

(3.5) LemmaDie Freiheitsgrade in K lassen sich nach Ωh fortsetzen:

a) η′K ist Freiheitsgrad in S0(Ωh).

b) S1(Ωh) ⊂ C(Ω) und u ∈ S1(Ωh) ist durch 〈λ′z, u〉 = u(z) mit (z ∈ Vh) bestimmt.

c) v ∈ S(div, Ωh) ist durch 〈ψ′F , v〉 = 1|F |

∫Fv · nF da bestimmt (F ∈ Fh).

d) w ∈ S(curl, Ωh) ist durch 〈φ′E, w〉 = 1|E|

∫Ew · τE ds bestimmt (E ∈ Eh).

Beweis. zu b): Zu zeigen ist, dass für ein z ∈ Vh und ein u ∈ S1(Ωh) gilt:

〈λ′z, uK〉 = 〈λ′z, uK′〉 ,

für alle K,K ′ ∈ K und z ∈ Vk ∩ VK′ .Betrachte nun folgende Fälle

22

1) Wenn K ′ = KF mit F ∈ FF folgt die Behauptung direkt aus (3.2) a)

2) Wenn K = K0, K1, ..., Km = K ′ mit FKj−1∩ FKj 6= ∅. Dann gilt:

〈λz, uK0〉 = 〈λ′z, uKj〉 = u(z)

ist wohldefiniert für j = 1, ...,m.


Sind H(div, Ω)-Funktionen stetig? - Nein!

zu c): 1) Für F ∈ FK ∩ FKF (K 6= KF ) folgt aus (3.2) b), dass auf F

v·nK+v·nKF = v·nF (nK ·nF )+v·nF (nKF ·nF ) = v·nF (nK ·nF )−v·nF (nK ·nF ) = 0

Daraus folgt〈ψ′F , vK〉 = 〈ψ′F , vK′〉

2) Für FK ∩ FK′ 6= ∅ folgt 〈ψ′F , vK〉 = 0.

zu d): Zu zeigen: Falls E ∈ EK ∩ EK′ gilt für w ∈ S(curl, Ωh):

〈φ′E, wK〉 = 〈φ′E, wK′〉

1) Es existiert ein F ∈ FK ∩ FK′ und E ∈ EF . Dann folgt aus (3.2) c) auf F

wK × nK + wKF × nKF = 0.

Also ist w × nF stetig in K ∪KF ∪ F . Da τE · nF = 0 (senkrecht) folgt

wK · τE = wKF · τE .

2) Wähle K = K0, ..., Km = K ′ mit Fj ∈ FKj−1∩ FKj und E ∈ EFj . Dann gilt

für j = 1, ...,m〈φE, wKj−1

〉 = 〈φE, wKj〉

23

Konstruktion einer Basis Ziel ist es nun eine Basis dual zu den DoFs (degrees offreedom) zu bestimmen.D.h. Bestimme zu λ′1, . . . , λ

′N ∈ Λh, N = dimVh, eine Basis λ1, . . . , λN ∈ Vh mit

〈λ′j, λn〉 = δjn =

1, j = n

0, j 6= n.

Daraus folgt:

vh(x) =N∑n=1

〈λ′n, v〉λn(x) .

Zu K = convz0 = 0, z1 = e1, . . . , zd = ed (Referenzsimplex) undK = convzK,0, ..., zK,d definieren wir eine Funktion ϕK : K −→ K mit

ϕK(x) = zK,0 +BK x

wobeiBK =

(zK,1 − zK,0| . . . |zK,d − zK,0

)∈ Rd×d

(3.6) Satz (Basisfunktionen)a) (ηK)K∈Kh ist Basis von S0(Ωh) mit ηK(x) =

1, x ∈ K0, sonst.

Es gilt für die L2 Projektion

Π0hu =

∑K

〈η′K , u〉ηK ∈ S0(Ω) .

Außerdem gilt dim S0(Ωh) = |Kh|.

b) Definiere die baryzentrischen Koordinaten λ0(x) = 1− x1 − · · · − xd und λj(x) = xjfür j = 1, ..., d.

(λz)z∈Vh ist eine Basis von S1(Ωh) mit

λz(x) =

λj(x) mit x = ϕK(x), z = ϕK(zj), x ∈ K0 für x /∈ K

Es gilt dann

λz(y) =

1 für z = y

0 für y ∈ Vh\z(Hütchenfunktion)

und somit für u ∈ C0(Ω) und die Lagrange-Interpolation

Π1hu =

∑u(z)λz ∈ S1(Ωh) .

24

c) (ψF )F∈Fh ist eine Basis von S(div, Ωh) für x ∈ K, F ∈ FK . Für ψj(x) = 1

|Fj |(x− zj)

gilt

ψFj(x) =nK · nFj|Fj|

(x− zK,j)


Somit haben wirΠdivh v =

∑〈ψ′F , v〉ψF ∈ S(div, Ωh)

für v ∈ H1(Ω; Rd).

d) (φE)E∈Eh ist eine Basis von S(curl, Ωh) mit

φE(x) = λz(x)∇λy(x)− λy(x)∇λz(x) für E = convz, y

Es giltΠcurlh w =

∑E∈Eh

〈φ′E, w〉φE ∈ S(curl, Ωh)

für w ∈ C1(Ω; R3).

(3.7) SatzFür alle uh ∈ S0(Ωh) und ε > 0 existiert uε ∈ C1

c(Ω) mit ‖uh − uε‖0,Ω ≤ ε.

Beweis: Zu Ωh := ∪K∈KhK und δ ∈ (0, 1) definieren wir

Kδ = x =d∑j=0

θjzK,j : θj ≥ 0,d∑j=0

θj < 1− δ

mit Ωδ =⋃K∈Kh Kδ, Ωh =

⋃δ>0Ω

δ


25

Weiterhin sei

χδ(r) = max1− r

δ, 02

χδ(x) =(∫

Rdχd(|y|) dy

)−1χj(|x|),

die Dirac-Folge in Rd. Nun definiere

uδ(x) =

∫Ω2δ

χδ(x− y)uh(y) dy,

Daraus folgt nun, dass suppuδ ⊂ Ωδ ⊂ Ω.


Da uh ∈ S0(Ωh) ist gilt

uδ(x) = uh(x) für x ∈ Ω3δ

und somit ist uδ ∈ C10(Ω). Es gilt

|uh(x)− uδ(x)| ≤ ‖u‖∞,Ω

und somit‖uh − uδ‖0,Ω ≤ ‖u‖∞,Ω|Ω\Ω3δ| < ε

für δ beliebig klein. Wir haben gezeigt, dass uδ unsere Treppenfunktion u beliebig gutapproximiert!

26

Bemerkunga) Für uh ∈ S1(Ωh) gilt

uh ∈ H10(Ω)⇐⇒ uh(z) = 0 ∀z ∈ Vh ∩ ∂Ω

b) Für vh ∈ S(div, Ωh) gilt

vh ∈ S(div, Ωh) ∩ H0(div, Ω)⇐⇒ vh · nF = 0 ∀F ∈ Fh ∩ ∂Ω

c) Für wh ∈ S(curl, Ωh) gilt

wh ∈ H0(curl, Ω)⇐⇒ wh·τE = 0 ∀E ∈ Eh∩∂Ω)⇐⇒ wh×nF = 0 ∀F ∈ Fh∩∂Ω

Exakte Sequenzen

A)

R→ C∞(Ω)∇−→ C∞(Ω; R3)

∇×−−→ C∞(Ω; R3)∇·−→ C∞(Ω)→ 0

u ≡ const⇒ ∇u = 0

w = ∇u⇒ ∇× w =

∂2∂3 − ∂3∂2

∂3∂1 − ∂1∂3

∂1∂2 − ∂2∂1

u = 0

v = ∇× w ⇒ ∇ · v = ∂1(∂2w3 − ∂3w2) + ∂2(∂3w1 − ∂1w3) + ∂3(∂1w2 − ∂2w1) = 0

B)

R→ H1(Ω)∇−→ H(curl, Ω)

∇×−−→ H(div, Ω)∇·−→ L2(Ω)→ 0

Aus u ∈ H1(Ω) folgt, dass ein w ∈ L2(Ω; R3) existiert.Also gilt für alle φ = ∇× ψ ∈ C1

0(Ω)∫Ω

w · φ dx =

∫Ω

u · ∇ · φ dx.

Für alle ψ ∈ C1c(Ω; R3) gilt∫

Ω

w · (∇× ψ) dx =

∫Ω

u · ∇ · (∇× ψ) dx = 0 .

Daraus folgt w ∈ H(curl, Ω) und ∇× w = 0.Aus w ∈ H(curl, Ω) folgt, dass ein v ∈ L2(Ω; R3) existiert mit∫

Ω

v · ψ dx =

∫Ω

w · ∇ × ψ dx ∀ψ = ∇φ ∈ C10(Ω; R3)

⇒∫Ω

v · ∇φ dx = 0 ∀φ ∈ C1c(Ω) .

Daraus folgt v ∈ H(div, Ω) und∇ · v = 0.

C)

R→ S1(Ωh)︸︷︷︸3uh

∇−→ S(curl︸︷︷︸3∇uh

, Ωh︸︷︷︸3wh

)∇×−−→ S( div︸︷︷︸

3∇×wh

, Ωh︸︷︷︸3vh

)∇·−→ S0(Ωh)︸︷︷︸

3∇vh

→ 0

27

4 Galerkin VerfahrenBeispielSei (u, σ) ∈ H1(Ω) ∩ H(div, Ω) mit σ = −∇u und div σ = f ∈ L2(Ω) und u|∂Ω = 0.Dann gilt −∆u = f und man sieht dass

−∫Ω

σ · ∇φ dx =

∫Ω

fφ dx ∀φ ∈ H10(Ω) ,

also ∫Ω

∇u · ∇φ dx︸︷︷︸a(u,φ)

=

∫Ω

fφ dx︸︷︷︸〈`,φ〉

∀φ ∈ H10(Ω)

gilt.Wir suchen u ∈ H1

0(Ω) mit a(u, φ) = 〈`, φ〉 ∀φ ∈ H10(Ω).

Galerkin - Approximation

uh ∈ Vh = S1(Ωh) ∩ H10(Ω) mit a(uh, φh) = 〈`, φh〉 ∀φh ∈ Vh.

Für die Galerkin-Approximation wird vorausgesetzt, dass die Lösung u existiert, vgl. (4.3).

(4.1) Lemma (Cea’s Lemma)Sei V ein Hilbertraum, a : V × V → R eine stetige Bilinearform und ` : V → R einestetige Linearform, d.h. ` ∈ V ′, mit

‖a‖V×V = supv,w 6=0

|a(v, w)|‖v‖V ‖w‖V

<∞

‖`‖V ′ = supv 6=0

|〈`, v〉|‖v‖V

<∞ .

Seien folgende Bedingungen erfüllt:

a) Stetigkeit: a und ` sind stetig, d.h. es existieren Ca, C` > 0 mit

|a(v, w)| ≤ Ca‖v‖V ‖w‖V ∀v, w ∈ V|〈`, v〉| ≤ C`‖v‖V .

b) Elliptizität: a(·, ·) ist elliptisch, d.h. es existiert ca > 0 mit:

a(v, v) ≥ ca‖v‖2V ∀v ∈ V

Dann existiert eine eindeutige Galerkin-Approximation uh ∈ Vh, und für die Lösungenu ∈ V, uh ∈ Vh von

a(u, v) =〈`, v〉 ∀v ∈ Va(uh, vh) =〈`, vh〉 ∀vh ∈ Vh

gilt:

28

1) Stabilität: Die Lösung ist eindeutig und beschränkt durch

‖u‖V ≤1

ca‖`‖V ′ , ‖uh‖V ≤

1

ca‖`‖V ′ .

2) Galerkin-Orthogonalität

a(u− uh, vh) = 0 ∀vh ∈ Vh

3) A-priori Fehlerabschätzung

‖u− uh‖V ≤Caca

infvh∈Vh

‖u− vh‖V

Bemerkung: Es gilt Ca ≥ ‖a‖V×V und C` ≥ ‖`‖V ′ .

Beweis. Zu 1): Seien u, u ∈ V und für alle v ∈ V sei

a(u, v) = 〈`, v〉a(u, v) = 〈`, v〉 .

Daraus folgt0 = a(u− u, u− u) ≤ ca‖u− u‖2

V .

Daraus folgt u = u. Weiter gilt

ca‖u‖2V ≤ a(u, u) = 〈`, u〉 ≤ ‖`‖V ′‖u‖V .

Folglich gilt dann

‖u‖V ≤‖`‖V ′ca

.

2) folgt sofort aus a(uh, vh) = 〈`, vh〉.Zu 3): Es gilt für alle vh ∈ Vh

ca‖u− uh‖2V ≤a(u− uh, u− uh)

2)= a(u− uh, u)

2)= a(u− uh, u− vh)

≤Ca‖u− uh‖V ‖u− vh‖V .

29

(4.2) SatzSei Ωh =

⋃K ⊂ Ω Triangulierung in Simplices mit Γ =

⋃F∈Fh∩Γ F ⊂ ∂Ω.

Dann existieren CΓ , CF > 0 und es gilt für u ∈ H1(Ω)

a) u|Γ ∈ L2(Γ )

b) ‖u‖0,Γ ≤ CΓ‖u‖1,Ω

c) ‖u‖0,Ω ≤ CF(‖u‖0,Γ + ‖∇u‖0,Ω) (Poincaré-Friedrichs)

0

0

1

1

2

2 3

3

4 5

4

1

2

3


Anwendung: V = v ∈ H1(Ω) : v|Γ = 0 mit v|Γ = vΓ .Dann gilt

‖v‖0,Ω ≤ CF‖∇v‖0,Ω ∀v ∈ V

und somit

‖v‖21,Ω = ‖v‖2

0,Ω + ‖∇v‖20,Ω ≤ (C2

F + 1)‖∇v‖20,Ω

Für a(v, w) =∫Ω∇v · ∇w dx gilt:

a(v, v) = ‖∇v‖20,Ω ≥ (C2

F + 1)−1‖v‖21,Ω

Wobei (C2F + 1)−1 = ca. Also ist a elliptisch.

Beweis. Zu F ∈ FK mit F = conv(VK\zF) und zF ∈ VK definiere ψF (x) = x − zFund somit divψF ≡ d, dann gilt:

ψF · nF ≡ CF konstant

und

ψF ′ · nF ′ = 0 für F ′ 6= F .

Zu b): Wir erhalten für F ∈ FK ∩ Γ

‖u‖20,Γ =

∑F∈Fh∩Γ

1

CF

∫F

u2ψF · nF da =∑K

∑F∈Fk∩Γ

1

CF

∫∂K

u2ψF · nK da .

30

Setzt man divψF ≡ d und∫∂K

u2ψF · nK da =

∫K

div(u2ψF ) dx =

∫K

(2u∇u · ψF + du2

)dx

gilt∑K

∑F∈FK∩Γ

1

CF

∫∂K

u2ψF · nK da ≤(

max1

CF

)(2‖u‖0,Ω‖∇u‖0,Ω‖ψF‖∞ + d‖u‖2

0,Ω

)≤ C2

Γ‖u‖21,Ω .

Wir haben hier ausgenutzt, dass ‖ψF‖∞ ≤ hK und die Konstante C2Γ ist dann gegeben mit

C2Γ = max 1

CF(h2

K + d).Das bedeutet insbesondere, dass die Abschätzung abhängig ist von unserer (groben) Tri-angulierung.Für c) zerlege Ωh = Ω0

h ∪Ω1h ∪ · · · ∪ΩK

h mit

Ωjh =

⋃K∈Kj

K

K0 = K ∈ K : FK ∩ Γ 6= ∅Kj = K ∈ K\Kj−1 : FK ∩ ∂Ωj−1

h 6= ∅ .

Wie bereits in Teilaufgabe b) benutzen wir hier, dass∫K

div(u2ψF ) dx =

∫K

u2 divψF dx+

∫K

2u∇u · ψF dx .

Zusammen mit dem Satz von Gauß folgt nun

1

d‖u‖2

0,K =

∫K

u2 divψF dx =

∫∂K

u2ψF · nK da+

∫K

2u∇u · ψF dx

≤ CF‖u‖20,F + 2‖u‖0,K‖∇u‖0,K‖ψF‖∞

≤ 1

2d‖u‖2

0,Ω + 2d‖∇u‖20,Ωh

2k

⇒ 1

2d‖u‖2

0,K ≤ cF‖u‖20,F + 2dh2

k‖∇u‖20,K

⇒ ‖u‖0,Ω0 ≤ C1

(‖u‖0,Γ + ‖∇u‖2

0,Ω0

)mit C1 = 2dmaxCF, 2dhk

mit a) ‖u‖0,∂Ω0∩∂Ω1 ≤ C2

(‖u‖0,Ω0 + ‖∇u‖0,Ω0

)≤ C1C2‖u‖0,Γ + (C1 + C2)‖∇u‖0,Ω0

analog ‖u‖0,∂Ω1 ≤ C3

(‖u‖0,∂Ω0∩∂Ω1 + ‖∇u‖0,Ω1

)≤ C4

(‖u‖0,Γ + ‖∇u‖0,Ω0∪Ω1

)induktiv ‖u‖0,Ω ≤ C

(‖u‖0,Γ + ‖∇u‖0,Ω0∪···∪ΩR

).

(4.3) SatzSei V ein Hilbertraum, Vhh∈H, 0 ∈ H und Vh ⊂ V, H ⊂ (0, h0) eine Familie vonendlich-dimensionalen Teilräumen, Vh ⊂ Vh′ für h′ < h und V0 =

⋃Vh der Abschluss in

31

V bzgl. ‖.‖V . Weiterhin sei J : V → R gleichmäßig konvex, d.h. es existiert ein cJ > 0 mit

J((1− λ)v + λw) ≤ (1− λ)J(v) + λJ(w)− cJ2λ(1− λ)‖v − w‖2

V

∀λ ∈ (0, 1), v, w ∈ V0

Sei J nach unten beschränkt in V0, d.h.

J(v) ≥ C ∈ R ∀v ∈ V0

Dann gilt: Es existiert ein eindeutiges Minimum u ∈ V0 in J mit

J(v) ≤ J(u) ∀v ∈ V0 .


Beweis. Wähle Minimalfolge uhh∈H mit limh→0

J(uh) = infv∈V0 J(v) Dies ist möglich, da

J stetig ist und Vh ⊂ V0 dicht ist.

Dann gilt für die Minimalfolge mit λ = 12:

cJ8‖vh − vh′‖2

V ≤1

2J(vh) +

1

2J(vh′)− J

(1

2vh +

1

2vh′)

mit h′, h ∈ H

≤ 1

2J(vh) +

1

2J(vh′)− inf

v∈V0J(v)

Für alle ε > 0 existiert hε ∈ H mit

J(uh) ≤ inf J +ε

2, h < hε .

Somit gilt

cJ8‖uh − uh′‖2

V ≤ ε ∀ h, h′ < hε ,

d.h. uhh∈H ist eine Cauchyfolge in V0 und es existiert u ∈ V0 mit limh→0

u. Für J stetig gilt

J(u) = limh→0

J(uh) = inf J ,

und da J strikt konvex ist, gilt dass u das eindeutige Minimum ist.

32

Anwendung Definiere J(v) = 12a(v, v)− 〈`, v〉. Zeige: J(u) = min! ist eindeutig defi-

niert in V .

1) J(·) stetig: |J(v)− J(w)| ≤ Ca + C`.

2)

J(v) ≥ 1

2Ca‖v‖2

1,Ω − C`‖v‖1,Ω ≥ −1

2

C2`

Ca.

3) Zeige J(·) ist gleichmäßig konvex, d.h. es existiert cJ > 0 mit

J((1− λ)v + λw) ≤ (1− λ)J(v) + λJ(w)− cJλ(1− λ)

2‖v − w‖2

V

und es gilt

2(J((1− λ)v + λw)− (1− λ)J(v)− λJ(w))

= a(v + λ(w − v), v + λ(w − v))− (1− λ)a(v, v)− λa(w,w)

= (λ2 − λ)a(v − w, v − w) ≤ −λ(1− λ)Ca‖v − w‖21,Ω .

(4.4) SatzSei Ωh =

⋃K, Ω = Ωh ∪ ∂Ωh, ein beschränktes Polygon-/Polyedergebiet.

a) Dann existiert Ω ⊂ Rd offen mit Ω ⊂ Ω und C > 0 sodass, zu u ∈ H1(Ω) eineFortsetzung u ∈ H1

0(Ω) mit

‖u‖1,Ω ≤ C‖u‖1,Ω.

b) C1(Ω) ist dicht in H1(Ω)

c) u|∂Ω ∈ L2(Ω) für u ∈ H1(Ω) und H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) : u|∂Ω = 0

d) Sei (Kh)h∈H zulässige Triangulierungen mit 0 ∈ H. Dann gilt:

H1(Ω) =⋃h∈H

S1(Ωh)

H1Γ (Ω) = v ∈ H1(Ω) : v|Γ = 0 =

⋃h∈H

vh ∈ S1(Ωh) : vh(z) = 0 für z ∈ Vh ∩ Γ

33


Beweis. Zu a): Zu z ∈ Vh ∩ ∂Ω wähle nz = 1|Fz |∑

F∈F∩Γ nF die Normalenrichtung mit

Fz = F ∈ Fh : z ∈ VF .

Definiere für hz ∈ (0, h) klein genug

z = z + hznz /∈ Ω

zF =1

d

∑z∈VF

z

zE =1

2

∑z∈VE

z

Sei

Vh = V ∪ z : z ∈ Vk ∩ ∂Ω∪ zF : F ∈ Fh ∩ ∂Ω∪ zE : E ∈ Eh ∩ ∂Ω

und konstruiere K ⊃ K mit Vh =⋃K∈KVK und Ωh =

⋃K∈K

K. Zu F ∈ Fh ∩ ∂Ω wähle

K ∈ K mit F ∈ FK und KF ∈ K\K wobei hier F ∈ FKF .Definiere nun

λF =∑z∈VF

λz ∈ S1(Ωh) .

34

Zu u ∈ H1(Ω) definiere:

u(x) = −λF (x)u(x) ,

wobei x = ϕKF (x) die Spiegelung von x = ϕK(x) ist. Es folgt, dass

u ∈ H1(K ∪ F ∪KF )

ist. Somit gilt

‖u‖1,KF = ‖λu‖21,K ≤ ‖λu‖2

0,K + ‖∇λu+ λ∇u‖20,K

≤ ‖u‖20,K +

2

h‖u‖2

0,K + 2‖∇u‖20,K

≤ C‖u‖21,K

Nun wähle F ′ ∈ FKF \F und spiegle u von KF auf KF ′ bis u auf Ω fortgesetzt ist.Daraus folgt nun induktiv, dass

‖u‖1,Ω ≤ C‖u‖1,Ω

und per Konstruktion ist u(x) = 0 für x ∈ ∂Ω.Zu b):


Wähle zu δ > 0 eine Dirac-Folge χδ mit ∫Rdχδ(x) dx = 1

χδ(x) = cδ max1− |x|δ2, 02 mit cδ > 0 .

Also ist χδ ∈ C1(Rd). Weiter ist

limδ→0

(χδ ∗ v)(x) = limδ→0

∫Rdχδ(x− y)v(y) dy

für v ∈ C0(Rd) und χδ ∗ v ∈ C1(Rd). Zu u ∈ H1(Ω) wählen wir nun u ∈ H1(Ω) ausAufgabenteil a) und definieren

uδ = χδ ∗ u ∈ C1(Ω) ⊃ C1(Ω) .

35

35

35


Zu ε > 0 wählen wir uε ∈ C0(Ω) mit ‖u − uε‖0,Ω < ε. Da uε gleichmäßig stetig ist inΩ ⊂ Ω gilt

‖χδ ∗ uε − uε‖0,Ω → 0

für δ → 0. Das heißt wir können folgende Abschätzung treffen.

‖uδ − u‖0,Ω = ‖uδ − u‖0,Ω

= ‖uδ − χδ ∗ uε + χδ ∗ uε − uε + uε − u‖0,Ω

≤ ‖χδ ∗ (u− uε‖0,Ω + ‖χδ ∗ uε − uε‖0,Ω + ‖uε − u‖0,Ω → 0

für ε, δ → 0.Analog folgt für (∂jχ) ∗ u = ∂juδ ∈ C0(Ω) ⊃ C0(Ω): Zu ε > 0 wähle uε,j ∈ C0(Ω) mit‖∂ju− uε,j‖ < ε :

‖∂juδ − ∂ju‖0,Ω → 0 .

Zusammen folgt also

limδ→0‖uδ − u‖1,Ω = 0 .

Zu c): Anwendung auf Spuren:Aus (4.2) folgt für alle u ∈ C1(Ω) folgende Abschätzung

‖u‖0,∂Ω = CF‖u‖1,Ω

Hierbei können wir verwenden, dass u = u|∂Ω = γD(u), d.h. γD : C1(Ω)→ L2(∂Ω)ist stetig fortsetzbar mit γD(u) = lim

δ→0γD(uδ).

Da uδ eine Cauchy-Folge in H1(Ω) ist γD(uδ) eine Cauchy-Folge in L2(∂Ω).Für u ∈ H1

0(Ω) existiert (uδ)δ>0 ∈ C1c(Ω) mit ‖u− uδ‖1,Ω → 0 und es gilt dann

γD(u) = limδ→0

γD(uδ) = 0 .

Zu d): Zu u ∈ H1(Ω) wähle uδ ∈ C1(Ω) mit ‖u− uδ‖1,Ω ≤ ε.Dann wähle zu h ∈ H die Interpolation uh,δ = Π1uδ, d.h. uh,δ(z) = uδ(z) für alle z ∈ Vh.Da 0 ∈ H folgt

limh→0‖uh,δ − uδ‖∞ = 0.

36

WiederholungSei a : V × V → R, ` : v → R stetig und a(v, v) ≥ Ca‖v‖2

V

J(v) =1

2a(v, v) = 〈`, v〉

gleichmäßig konvex von unten beschränkt in V0 ⊂ V .Es existiert eine eindeutige Lösung mit

u ∈ V : a(u, v) = 〈`, v〉 ∀v ∈ V0

Beispiel

a(v, w) =

∫Ω

∇v · ∇w dx 〈`, v〉 =

∫Ω

fv dx

mit V = H1(Ω) und V0 =⋃h∈H S1(Ωh) ⊂ V

(4.5) LemmaSei ϕK : K → K linear affin mit BK = DϕK , JK = detBK > 0 und x→ x = ϕK(x).

Weiterhin sei u ∈ H1(K) und u = u ϕk, dann gilt:

a) ‖u‖0,K ≤ J− 1

2K ‖u‖0,K

b) ‖∇u‖0,K ≤ |BK |︸︷︷︸Spektralnorm

J− 1

2K ‖∇u‖0,K mit |BK | = supz 6=0

|BKz||z|

Beweis. Zu a): ∫K

|u|2 dx =

∫K

|u ϕK |2J−1K (JK dx) = J−1

K

∫K

|u|2 dx

Zu b): Es gilt D(u ϕK) = Du · DϕK und somit

∇u = (Du)T = BTK∇u .

Es folgt ∫K

|∇u|2 dx =

∫K

|BTK∇u ϕK |2J−1

K JK dx = J−1K JK

∫K

|F T∇u|2 dx

≤ J−1| BTK︸︷︷︸

BK

|∫K

|∇u|2 dx .

37

Anwendung:Zu u ∈ H1(Ω) wähle Fortsetzung u ∈ H1

0(Rd) und definiere uδ = κδ u, d.h. uF (x) =∫Rd κδ(x− y)u(y) dy somit

uδ = uδ|Ω ∈ C10(Rd), lim

δ→0‖u− uδ‖1,Rd = 0

Somit ist C1(Ω) dicht in H1(Ω).

Diffusions-Konvektion-Reaktion:

σ = −κ∇u+ qu ∈ H1(div, Ω) , u ∈ H(Ω)

div σ + ru = f in Ω∂Ω = ΓD ∪ ΓN ∪ ΓR mit u = 0 auf ΓD : u ∈ H1

ΓD(Ω)

−κ∇u · n = gN auf ΓN

κ∇n+ αu = gR auf ΓR

Sei φ ∈ H1ΓD

(Ω) dann gilt∫Ω

(f − ru)φ dx =

∫Ω

div(σ)φ dx =

∫Ω

div(−κ∇u)φ dx︸︷︷︸∫Ω κ∇u·∇φdx−

∫∂Ω κ∇u·nφ dx

+

∫Ω

div(qu)︸︷︷︸q·∇u+div q·u

φ dx

= −∫ΓN

gNφ da+

∫ΓR

(αu+ gR)φ da

Somit erhalten wir∫Ω

(κ∇u · ∇φ+ q∇uφ+ (div q − r)uφ dx+

∫ΓR

α · nφ da

=

∫Ω

fφ dx+

∫ΓN

gNφ da+

∫ΓR

gRφ da

Definiere:

a(u, φ) =

∫Ω

(κ∇u · ∇φ+ q · ∇nφ+ (div q − r)uφ) dx+

∫ΓR

αuφ da

〈l, φ〉 =

∫Ω

fφ dx+

∫ΓN

gNφ da+

∫ΓR

gRφ da

(4.6) LemmaSei Ω ⊂ Rd.

a) Für κ ∈ L∞(Ω; Rd×d), q ∈ L∞(Ω; Rd), r ∈ L∞(Ω) und α ∈ L∞(ΓR) ist

a(v, w) =

∫Ω

(κ∇v · ∇w + q · ∇vw + rvw) dx+

∫ΓR

αvw da

stetig in H1(Ω), d.h. es existiert Ca > 0 mit

|a(v, w)| ≤ Ca‖v‖1,Ω‖w‖1,Ω .

38

b) Für f ∈ L2(Ω), gN ∈ L2(ΓN), gR ∈ L2(ΓR) ist

〈`, v〉 =

∫Ω

fv dx+

∫ΓN

gNv da+

∫ΓR

gRv da

stetig in H1(Ω), d.h. es existiert C` > 0 mit

|〈`, φ〉| ≤ C`‖φ‖1,Ω .

c) Sei κ symmetrisch mit κy · y ≥ κ0|y|2, κ0 > 0, und sei

r − 1

2div q ≥ 0, α ≥ 0, q · n ≥ 0 auf ΓN ∪ ΓR .

Wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist,

i) |ΓD|d−1 > 0

ii) q · n+ α ≥ α0 > 0 auf Γ ⊂ ΓR, r|d−1| > 0

iii) r − 12

div q ≥ r0 > 0 auf ω ⊂ Ω, ω offen

iv) q · n ≥ q0 > 0 auf Γ ⊂ ΓN, |Γ |d−1| > 0,

dann ist a(·, ·) elliptisch.

Beweis. Zu a): Es gilt

|a(v, w)| ≤ ‖κ‖∞‖∇v‖0,Ω‖∇w‖0,Ω

+ ‖q‖∞‖∇v‖0,Ω‖w‖1,Ω

+ ‖r‖∞‖v‖1,Ω‖w‖1,Ω

+ ‖α‖∞,ΓR‖v‖0,ΓR‖w‖0,ΓR

≤(‖κ‖∞ + ‖q‖∞ + ‖r‖∞ + C2

ΓR‖α‖∞

)‖v‖1,Ω‖w‖1,Ω

Zu b):|〈`, φ〉| ≤

(‖f‖0,Ω + CΓN‖gN‖0,ΓN + CΓR‖gR‖0,ΓR

)‖φ‖1,Ω

Beweis. Zu c): Es gilt

a(v, v) =

∫Ω

(κ∇v · ∇v + q · ∇vv︸︷︷︸12

∫Ω(div(v2q)−(div q)v2) dx

+(div q − v)v2) dx+

∫ΓR

αv2 da

≥∫Ω

κ0‖∇v‖2 dx+1

2

∫∂Ω

q · nv2 da+

∫Ω

(1

2div q − v)v2 dx+

∫ΓR

αv2 da

≥ κ0‖∇v‖20,Ω +

1

2

∫ΓN

q · nv2 da︸︷︷︸≥0

+

∫ΓR

1

2(q · n+ α)v2 da︸︷︷︸

≥0

+

∫Ω

(1

2div q − r)︸︷︷︸≥0

v2 dx

Zu (i): Es gilt ‖v‖0,Ω und somit

‖v‖0,Ω ≤ CF‖∇v‖0,Ω ≤1 + CF

κ0

a(v, v)

39

somit ist ca = κ0C2

F +1.

Zu (ii): Es gilt

‖v‖20,Ω ≤ C2

F

(‖v2‖ΓR + ‖∇‖2

)≤(C2

F

α0

+1

κ0

)a(v, v)

Die letzte Abschätzung folgt aus der Youngschen Ungleichung. Da

‖v‖0,Ω ≤1

κ0

a(v, v) ,

folgt ca =(C2

Fα0

+ 2κ0

)−1.Zu (iii): Aus

‖v‖0,Ω ≤ Cω‖∇v‖0,Ω

folgt ca =(Cωr0

+ 2κ0

)−1.

Zu (iv): Hier gilt ca =(CFq0

+ 2κ0

)−1.

(4.7) LemmaSei a : V × V → R bilinear, stetig und elliptisch (mit Ca > ca > 0) und ` : V → R linearund stetig (d.h. ` ∈ V ′).Dann existiert eine eindeutige Lösung u ∈ V von

a(u, v) = 〈`, v〉 v ∈ V .

Beweis. Setze u0 = 0 und zu τ > 0 bestimme vk ∈ V für k = 1, 2, . . . mit

(vk, v)V = 〈`, v〉 − a(uk−1, v) ∀v ∈ VSetze uk = uk+1 + τvk. Dann ist Jk(v) = 1

2‖v‖2

V − 〈`k, v〉 = min!.Aus (4.3) folgt das ein eindeutiges Minimum vk existiert.Zeige: Falls τ < 2 ca

Caist, dann konvergiert (uk)k∈N gegen die Lösung u ∈ V .

Wir definieren die Operatoren:

A : V → V ′ mit 〈Av,w〉 = a(v, w)

AV : V → V ′ mit 〈AV v, w〉 = (v, w)V

wobei der zweite Operator der Riesz-Operator genannt wird. Es gilt

AV vk = `− Auk−1

und

uk+1 = uk + τvk = uk − A−1V (`− Auk)

= (id−τA−1V A)︸︷︷︸

M

uk − A−1V ` .

Wenn ‖M‖V < 1 dann konvergiert (uk). Es gilt

‖M‖V = supv∈V \0

‖Mv‖V‖v‖V

= supv,w∈V \0

(Mv,w)V‖v‖V ‖w‖V

und

(Mv,w)V = 〈AVMv,w〉 = 〈(AV − τA)v, w〉 = (w,w)V − τa(v, w) .

40

5 Interpolation und Approximation

Sei K = convz0, z1, . . . , zd eine Zelle mit Eckpunkten zj , sei K = convz0, z1, . . . , zddas Referenzelement, und ϕK(x) = BK x+ z0,K linear affin mit BK = DϕK(x).

Bezeichnungen: JK = detBK > 0, hK = diamK, h = maxhK

(5.1) DefinitionEine Familie von Zerlegungen Kh∈H heißt

a) quasi-uniform, falls c > 0 existiert mit hK ≥ ch ∀K ∈ Kh ∀h ∈ H

b) regulär, falls C > 0 existiert mit |B−1K | ≤ Ch−1

K ∀K ∈ Kh ∀h ∈ H

(5.2) SatzSei ρK = maxdiamU : U = Ur(z) ⊂ K größter Durchmesser eines Kreises / Kugelin K. Dann gilt: Falls c > 0 existiert mit ρK ≥ chK dann ist Kh regulär.

Beweis. Sei y ∈ Rd mit |y| ≤ ρK =⇒ dann existiert x1, x2 ∈ K mity = x2 − x1 = ϕK(x2)− ϕK(x1) mit x2, x1 ∈ K. Es gilt

|B−1K | = sup

|y|<ρK

1

ρK|B−1

K y|

≤ 1

ρKsup

x1,x2∈K|B−1

K (x2 − x1)|

≤ 1

ρKsup

x1,x2∈K|x2 − x1| ≤ hK .

Insgesamt sagt dieses Resultat, dass das Verhältnis vom Innen- und Außendurchmessernicht degenerieren darf.


41

Konstruktion von uniformen, regulären Gittern Sei Ω =⋃K∈Kh0

K, weiterhin gelterekursiv für l = 1, 2, . . . , dass Khl =

⋃K∈Khl−1

KK mit K = K1, . . . , K2d und

2D) Drei Dreiecke aus einer Ecke mit zwei Kantenmittelpunkt, und ein Dreieck verbindetalle Kantenmittelpunkte.

3D) Vier Tetraeder verbinden eine Ecke mit drei Kantenmittelpunkt. Das Viereck aus ei-ner Ecke mit drei Kantenmittelpunkten wird in der längeren Diagonale geteilt. Somiterhält man 4 weitere innere Tetraeder.

nach zweimal verfeinernalle Tetraedar kongruent

uniforme Verfeinerung regulär


Vorsicht bei nicht-polygonalen Gebieten!


(5.3) LemmaSei Khh∈H eine Familie regulärer Triangulierungen. Dann existiert Cinv > 0, Cbnd > 0mit

a) Die Inverse Ungleichung: ‖∇vK‖0,K ≤ Cinvh−1K ‖vK‖0,K für vK ∈ S1(K)

b) ‖vK‖0,∂K ≤ Cbndh− 1

2K ‖vK‖0,K

Für den Beweis brauchen wir erst folgendes Hilfslemma.

42

(5.4) LemmaSei u ∈ H1(K) und u = u ϕK ∈ H1(K). Dann gilt:

a) ‖u‖0,K ≤ J− 1

2K ‖u‖0,K

b) ‖∇u‖0,K ≤ |BK |J− 1

2K ‖∇u‖0,K

Beweis. zu a) Es folgt aus dem Transformationssatz:∫K

|u|2dx =

∫K

|u ϕK |2J−1K JKdx =

∫ϕK(K)

|u|2J−1K dx = J−1

K ‖u‖20,K .

zu b)

(∇u(x))> = D(u ϕK)(x) = Du(x)DϕK(x) = Du(x)BK ,

Es gilt also ∇u(x) = B>K∇u(x).Das bedeutet wiederum∇u(x) = B−>K ∇u(x).Aus der Kettenregel und dem Transformationssatz folgt nun

‖∇u‖20,K

=

∫K

|∇u|2dx =

∫K

|B−>K ∇u(ϕK(x))|2J−1K JKdx

=

∫K

|B−>K ∇u(x)|2J−1K dx ≤ |B2

K |J−1K ‖∇u‖

21,K .

Beweis zu Lem. 5.3:

Beweis. Sei K Referenzsimplex: Für v ∈ S1(K) sei

Cinv = supv 6=0

‖∇v‖0,K

‖v‖0,K

= max‖v‖0,K≤1

‖∇v‖0,K

Cbnd = maxv 6=0

‖v‖0,∂K

‖v‖0,K

Sei v = v ϕK und∇v(x) = B−>K ∇v(x).Zu a)

‖∇v‖20,K =

∫K

|B−>K ∇v(ϕ−1K (x))|2 dx =

∫K

|B−>K ∇v(x)|2JKdx

≤ |B−1K |

2JK‖∇v‖20,K≤ Cinv|B−1

K |2JK‖v‖2

0,K

(5.4)

≤ Cinv|B−1K |

2‖v‖20,K

(5.2)

≤ Ch−1K .

Schließlich gilt also

‖∇v‖0,K ≤ Cinvh−1K ‖v‖0,K .

Zu b)

‖v‖20,∂K ≤ Chd−1

K ‖v‖20,∂K

≤ CCbndhd−1K ‖v‖

20,K ≤ CCbndh

d−1K J

12K‖v‖

20,K .

43

(5.5) FolgerungSei Vh = S1(Ωh) ∩ H1

Γ (Ω) = spanλ1, . . . , λN, a : Vh × Vh → R stetig, elliptisch in

H1(Ω) und A =(a(λn, λk)

)n,k∈ RN×N

Dann gilt cond2(A) ≤ C(minhk)−2(

maxhkmin ρk

)d(= O(h−2)) falls Kh quasi-uniform.

Beweis. Sei a(·, ·) symmetrisch, v =(v(z)

)z∈Vh

und |v|2 =∑|v(z)|2 mit v ∈ S1

h(Ω).

Auf K gilt:

c‖v‖0,K ≤ |v|2 =

∑z∈VK

|v(z)|2 ≤ C‖v‖20,K

mit 0 < c < C

somit gilt

cJ−1K ‖v‖

20,K ≤ |v|2K ≤ CJ−1

K ‖v‖20,K

bzw.

ch−dK ‖v‖20,K ≤ |v|2K ≤ Cρ−dK ‖v‖

20,K

Es gilt

Av · v = a(v, v) ≥ ca‖v‖21,Ω ≥ ca‖v‖2

0,Ω ≥ cmin ρdK |v|2

Av · v = a(v, v) ≤ Ca‖v‖21,Ω ≤ CaC

2inv

∑K

h−2K ‖v‖

20,K ≤ CaCinvC maxh−2+d

k |v|2

und somit

cond2(A) ≤ C(minhK)−2(maxhK

min ρK

)d.

AnwendungSei A =

(a(λz, λy)

)z,y∈Vh\ΓD

mit |ΓD|d−1 > 0 und a(v, φ) =∫∇v · ∇φ dx,

dann gilt cond2(A) ≤ Ch2 auf uniformen Triangulierungen.

Beweis.

ca‖v‖20 ≤ ‖∇v‖2

0 = a(v, v) ≤ C2invh

−2‖v‖20

Es gilt (minhK)−2 ≤ Ch−2 auf uniformen Triangulierungen.

Sei v =(v(z)

)z∈Vh\ΓD

∈ RNn , Nn = |Vh\ΓD|, v = (v(zj)z∈V (Normäquivalenz).

In K gilt

α‖v‖0,K ≤ |v|2K≤ β‖v‖0,K

weiterhin gilt für v = v ρ1

α2h−d‖v‖20,K ≤ ‖v‖2

0,K≤ β2h−d‖v‖2

0,K

44

zusammenfassend

cααh−d‖v‖2

0

und erhalten die Abschätzung

cαβh−d

|v| ≤ Av · v ≤ C2invh

−2 1

αh−d|v|2 .

Für vh = Π0hv erhalten wir vh(x) = vK (x ∈ K) mit vK = 1

|K|

∫Kv dx. Es gilt:

‖ v − Π0hv︸︷︷︸

v−vK

‖0,K ≤ CP,K‖∇v‖0,K

In K gilt:

‖v − vK‖0,K ≤ CP‖∇v‖0,K

Für v = v ρK gilt

‖v − vK‖0,K ≤ J− 1

2K ‖v − vK‖0,K ≤ CPJ

− 12

K ‖∇v‖0,K

≤ CJ− 1

2K |BK |J

12K‖∇v‖0,K ≤ ChK‖∇v‖0,K .

Die Galerkin-Projektion:

Zu u ∈ V definieren wir die Galerkin-Projektion Ghu = uh ∈ Vh, also

a(Ghu, vh) = a(u, vh) ∀vh ∈ Vh .

wobei

〈`U , v〉 = a(u, v) stetig mit ‖`U‖V ′ ≤ Ca‖u‖V

Beispiel

a) V = H1Γ (Ω) Vh = S1(Ωh) ∩ V a(u, v) =

∫∇u · ∇v dx

b) V = L2(Ω) Vh = S0(Ωh) a(u, v) =

∫uv dx

mit (Π0hu, 1)0,K = (u, 1)0,K =

∫Ku dx = uk|K|

(5.6) LemmaSei a(·, ·) stetig, elliptisch und symmetrisch in V . Dann ist a(·, ·) auch ein Skalarproduktin V und die Galerkin-Projektion ist Orthogonal-Projektion, d.h.

a(Ghv − v,Ghw) = 0 und a(Ghv,Ghv) ≤ a(v, v) ∀v, w ∈ V .

45

Beweis.Definiere |||v||| =

√a(v, v) Energienorm mit Skalarprodukt a(·, ·) und

ca‖v‖2V ≤ |||v|||2 ≤ Ca‖v‖2

V . Es gilt für vh = Ghv

a(Ghu,Ghv) = a(u,Ghv)

und somit gilt

|||Ghv|||2 = a(Ghu,Ghu) = a(u,Ghu) ≤ |||u||| |||Ghu||| .

(5.7) SatzSei Π0

hv =∑

K∈K〈η′K , v〉ηK ∈ S0(Ω), mit

ηK(x) =

1, x ∈ K0, sonst

und

〈η′K , v〉 =1

|K|

∫K

v dx

die L2-Projektion von L2(Ω)→ S0(Ωh).Dann gilt

a) ‖v − Π0hv‖0,Ω ≤ Ch‖∇v‖0,Ω ∀v ∈ H1(Ω)

b) limh→0

Π0hv = v für Khh∈H, 0 ∈ H

Vor dem Beweis führen wir den Satz von Poincaré ein.

(5.8) SatzFür v ∈ H1(ω) und ω ⊂ Ω offen definieren wir vω =

∫ωv dx. Dann gilt die Poincaré

Abschätzung mit CP > 0

‖v − vω‖0,Ω ≤ CP‖∇u‖0,Ω

Anwendung:

V = H1(Ω)/R ∼= u ∈ H1(Ω) :

∫Ω

u dx = 0 ,

mit a(v, w) =∫Ω∇v · ∇w dx. Dann gilt

‖v‖20,Ω + ‖∇v‖2

0,Ω = ‖v − vΩ‖20,Ω + ‖∇(v − vΩ)‖2

0,Ω ≤ (C2P + 1) ‖∇v‖2

0,Ω︸︷︷︸a(v,v)

mit ca = 1C2

P +1gilt:

a(v, v) ≥ ca‖v‖2V

46

Beweis.

i) O.E ist v ∈ C1(Ω), Ω konvex und R = diam(Ω)

Es gilt: |v(x)− vω| ≤ (diamω)d

d|ω|

∫ω|x− y|1−d|∇v(y)| dy. Sei

χω(x) =

1, x ∈ ω0, sonst.

Dann gilt∫ω

v(y) dy =

∫Rdχωv(y) dy =

∫|ω|=1

∫ ∞0

χω(x+ ru)v(x+ ru)rd−1 dr da

Weiterhin gilt:

v(x)− vω =1

|ω|

∫|u|=1

∫ ∞0

(v(x)− v(x+ ru)

)χω(x+ ru)rd−1 dr da

Da

v(x)− v(x+ ru) = −∫ r

0

∂sv(x+ su) ds = −∫ r

0

∇v(x+ su) · u ds

gilt, können für den Betrag folgende Abschätzung treffen:

|v(x)− vω| ≤1

|ω|

∫|u|=1

∫ R

0

rd−1 dr︸︷︷︸Rd

d

∫ R

0

|∇v(x+ su)|χω(x+ su)s1−dsd−1 ds da

≤ Rd

d|ω|

∫ω

|∇v(y)||x− y|1−d dy .

Es folgt

‖v − vω‖20,ω ≤ C

∫ω

( ∫ω

|∇v(y)||x− y|1−d dy)2

dx

C.S.≤ C

∫ω

( ∫ω

|∇v(y)|2|x− y|1−d dy)( ∫

ω

|x− y|1−d dy)

dx

≤ C

∫ω

|∇v(y)|2( ∫

ω

|x− y|1−d dx)

dy( ∫

ω

|x− y|1−d dy)≤ C‖∇v‖2

0,ω .

Die letzte Abschätzung gilt da

|x− y|1−d =

∫|u|

∫ R

0

|ru|1−drd−1 dr da ≤ R|∂ω|d−1 .

ii) Approximiere v ∈ H1(Ω) durch vε ∈ C1(Ω) mit ‖v − vε‖1,ω < ε.

47

Zum Beweis von (5.7).

Beweis.

1. zu a): Wähle in (5.8) ω = K Dann folgt aus

‖v − vK‖0,K ≤ C‖∇v‖0,K

für alle v ∈ H1(K), dass

‖u− uK‖0,K = J12K‖u− uK‖0,K ≤ C|BK |‖∇v‖0,K .

Das heißt

‖v − Π0hv‖2

0,Ω =∑‖v − vK‖2

0,K ≤ Ch‖∇v‖1,Ω .

2. zu b): Wir wissen, dass ∀ε > 0 ein vε ∈ C10(Ω) existiert mit ‖v − vε‖0,Ω ≤ ε und es

existiert h ∈ H mit

‖vε − Π0hvε‖0,Ω ≤ Ch‖∇vε‖0,Ω < ε .

Es gilt für wh ∈ S0(Ωh), dass

(v − Π0hv, wh)0,Ω =

∑K

(v − vK , wK)0,K = 0

Insgesamt folgt also

‖v − Π0hv‖0,Ω = ‖v − vε − Π0

h(v − vε) + vε + Π0hvε‖0,Ω

≤ ‖v − vε‖0,Ω + ‖Π0h(v − vε)‖0,Ω + ‖vε − Π0

hvε‖0,Ω ≤ 3ε .

Clément-InterpolationWir definieren ΠCl

h : L2(Ω)→ S1(Ωh) mit ΠClh v =

∑z∈Vh vωzλz.

Seien weiterhin ωz = suppλz ⊂ Ω.


48

(5.9) SatzFür reguläre Triangulierungen mit ωK =

⋃z∈VK ωz gilt:

a) ‖v − ΠClh v‖0,K ≤ ChK‖∇v‖0,ωK v ∈ H1(ωK)

b) ‖v − ΠClh v‖0,F ≤ Ch

12K‖∇v‖0,ωK F ∈ FK

c) ‖∇ΠClh v‖0,Ω ≤ C‖∇v‖0,Ω

Beweis. zu a) Es gilt für (5.8) mit ω = ωz

‖v − vωz‖0,ωz ≤ Chk‖∇v‖0,ωz

Dann gilt

‖v − ΠClh v‖0,K ≤ ‖v −

∑vωzλz‖0,K = ‖

∑(v − vωz)λz‖0,K

≤∑z∈VK

‖λz‖∞︸︷︷︸≤1

‖v − vωz‖0,ωz ≤ ChK‖∇v‖0,ωK

zu b) Mit F ⊂ ∂K gilt, dass ‖v‖0,F ≤ C2F

(‖v‖0,K + ‖∇v‖0,K

).

Dann gilt mit v ϕK = v

‖v‖20,F ≤ Chd−1

K ‖v‖20,F

≤ C2FCh

d−1K

(‖v‖2

0,K︸︷︷︸=J−1

K ‖v‖0,K

+ ‖∇v‖0,K︸︷︷︸=J−1

K |BK |‖∇v‖0,K

)2

≤ Chd−1K

(h−dK ‖v‖

20,K + h2−d

K ‖∇v‖20,K

)dann gilt also

‖v‖20,F ≤ C

(h−1K ‖v‖

20,K + hK‖∇v‖2

0,K

).

Somit erhalten wir dann

‖∇(v − Π0hv)‖0,K ≤ ‖∇

∑z∈Vh

(v − vωz)λz‖0,K ≤ ‖∑z∈Vh

∇vλz + (v − vωz) +∇λz‖0,K

≤∑z∈Vz

‖λz‖ ‖∇v‖0,K + ‖v − vωz‖0,ωz ‖∇λz‖∞︸︷︷︸h−1K

≤ C‖∇v‖0,ωz

und dann folgt insgesamt

‖v − ΠClh v‖2

0,F ≤ C(h−1K ‖v − ΠCl

h v‖20,K + hK‖∇(v − ΠCl

h v)‖20,K

)≤ ChK‖∇v‖2

0,ωK

zu c) Wir zerlegen die 1

1 =∑z∈Vh

λz

0 =∑z∈Vh

∇λz

49

Daraus folgt

∇ΠClh v(x) =

∑z∈Vh

vωz∇λz(x) =∑z∈Vh

(vωz − v(x))∇λz(x).

Dann gilt

‖∇ΠClh v‖2

0,Ω =

∫Ω

∑z∈Vh

(vωz − v)∇λz · ∇ΠClh v dx

≤∑z∈Vh

‖vωz − v‖0,ωz‖∇λz‖∞‖∇ΠClh v‖0,ωz

≤ C∑K∈Kh

hK‖v‖1,ωzh−1K ‖∇ΠCl

h v‖0,Ω .

Daraus folgt dann insgesamt

‖∇ΠClh v‖0,Ω ≤ C‖∇v‖0,Ω .

AnwendungΠClh konvergiert gegen die Einbettung E : H1(Ω) −→ L2(Ω), v 7→ u d.h.

limh→0‖Eu− ΠCl

h v‖0,Ω = 0

(5.10) DefinitionSeien V,W Banachräume. Dann heißt eine stetige Abbildung E : V → W ”kompakt”,wenn jede beschränkte Folge vnn∈N ⊂ V eine konvergente Teilfolge Evnn∈N ⊂ Wexistiert. Dabei ist N ⊂ N, |N | =∞.

(5.11) SatzSei Ehh∈H eine Folge von Abbildungen Eh : V −→ W mit

1. limh→0‖E − Eh‖L(V,W ) = 0 mit ‖E‖L(V,W ) = supv 6=0

‖Ev‖W‖v‖V

2. dimEh(V ) <∞.

Dann ist E kompakt.

Beweis. (vgl. Arzelà-Ascoli)Sei vnn∈N ⊂ V beschränkt, d.h. ‖vn‖V < C, n ∈ N. Sei hkk∈N ⊂ H mit hk → 0für k →∞, dann gilt für alle hk, dass ‖Ehkvn‖w ≤ ‖Ehk‖L(V,W )‖vn‖N beschränkt ist undspanEhkvn <∞.Das bedeutet es existiert eine konvergente Teilfolge Ehkvnn∈Nk für N1 ⊂ N,Nk ⊂Nk−1 und

limn∈Nk

Ehkvn = wk ∀wk ∈ W

50

Das bedeutet jetzt:rekursiv: Wähle eine konvergente Teilfolge Ehkvnn∈Nk mit Nk = nkl : l ∈ N ⊂Nk−1.Definiere eine Diagonalfolge N = nkk : k ∈ N zu beliebigem ε > 0 existiert einN0 > 0 mit

‖E − Ehk‖ < ε k > N0

‖Ehkvkk − wk‖w < ε k > N0

es gilt für k > l > N0

‖Evnkk − Evll‖v ≤ ‖(E − Ehk)vnkk + (E − Ehk)vnll+ Ehkvnkk − wk + wk − Ehkvnll‖v ≤ 4ε .

Es folgt also dass Evnkk eine Cauchy-Folge ist.

A posterori Fehlerschranke Betrachte

a(v, w) =

∫Ω

∇v · ∇w dx

〈`, v〉 =

∫Ω

f · v dx+

∫ΓN

gNv da

und mit V = H1ΓD

(Ω), Vh = S1(Ωh) ∩ V gelte

u ∈ V : a(u, v) = 〈`, v〉 ∀v ∈ Vu ∈ Vh : a(uh, vh) = 〈`, vh〉 ∀vh ∈ Vh .

(5.12) LemmaSei Kh regulär. Dann gilt

‖u− uh‖1,Ω ≤ C

( ∑K∈Kh

h2K‖∆uK + f‖2

0,K

+∑

F∈Fh\∂Ω

hF‖[∇uh · n]F‖20,F +

∑F∈Fh∩ΓN

hF‖∇uh · n− gN‖20,F

)

mit [∇u · n]F = ∇uk · nk +∇uKF · nKF auf F ∈ FK ∩ FKF

Beweis. Duales Problem (Standardtrick): Sei u∗ ∈ H1Γ (Ω) = V die Lösung von

a(u∗, φ) = a(u− uh, v) ∀v ∈ V

somit gilt

ca‖u∗‖21,Ω ≤ a(u− uh, u∗) ≤ Ca‖u− uh‖1,Ω‖u∗‖1,Ω

somit erhalten wir

‖u∗‖21,Ω ≤

Caca‖u− uh‖2

1,Ω .

51

Weiterhin gilt

ca‖u− uh‖21,Ω ≤ a(u− uh, u− uh)

= a(u− uh, u− ΠClh u)

= a(u− uh, v)

= 〈`, v〉 − a(uh, v)

≤∑K

∫K

(fu−∇u∇v

)dx+

∫∂K∩ΓN

gNv da

=∑K

[ ∫K

(f + ∆v

)v dx−

∫∂K

∇ · uhnv da+

∫∂K∩ΓN

gNv da]

=∑K

∫K

(f + ∆u

)v dx−

∑F∈Fh∩Ω

∫F

[∆u · n

]v da+

∑F∈Kh∩ΓN

∫F

(gN −∇u · n

)v da

≤∑K

‖f + ∆u‖0,K‖v‖0,K︸︷︷︸≤ChK‖∇v‖0,ωK

+∑

F∈Fh∩Ω

‖[∇u · n

]‖0,F‖v‖0,F︸︷︷︸

≤C√hF ‖∇w‖0,ωK

+∑

F∈Fh∩ΓN

‖∇u · n− gN‖0,F‖v‖0,F

≤ C

√∑K

h2K‖F + ∆u‖2

0,K +

√∑K

‖∇w‖2 +

√ ∑F∈Kh∩Ω

hF‖[∇u · h

]‖2

0,F

+

√∑K

‖∇w‖20,ωF

+

√ ∑F∈BK∩ΓN

hF‖∇u · n− gN‖20,F

Die stetige Einbettung H2(Ω) ⊂ C0(Ω) (d ≤ 3)

(5.13) SatzSei d ≤ 3. Dann gilt H2(Ω) ⊂ C0(Ω) und es existiert ein C0 > 0 mit ‖v‖∞ < C0‖u‖2,Ω.

Beweis. i) Definiere Q : H1(K)→ P1(K)

v 7→ Qv(x) =1

|K|

∫K

(v(y) +∇v(y)(x− y)

)dx

und Rv = v −Qv.Sei o.E. v ∈ C2(K), zu x, y ∈ K definieren wir

ρ(t) = v((1− t)y + tx) z = 1− ty + tx

und somit

ρ′(t) = ∇v(z)(x− y)

ρ′′(t) = (x− y)TD2v(z)(x− y)

weiterhin gilt

v(x) = ρ(1) = ρ(0) + ρ′(0) +

∫ 1

0

ρ′′(1− t)t dt

= v(y) +∇v(y)(x− y) +

∫ 1

0

t(x− y)D2 v(z)︸︷︷︸ty+(1−t)x ⇒z−y=t(y−x)

(x− y) dt

52

bzw.

v(x) = Qv(x) +Rv(x)

mit Rv(x) =1

|K|

∫K

∫ 1

0

t(x− y)D2v((1− t)y + tx︸︷︷︸z

)(x− y) dt dy

wir definieren

θx

(yt

)=

(ty + (1− t)x

t

)=

(zt

)und

Dθxy

(yt

)=

(t id y − x0 t

)⇒ det θxy = td .

Rv(x) =1

|K|

∫K

∫ 1

0

(x− z)D2v(z)(x− z)t−1tdt−d dt dy

=1

K

∫ ∫θx(K×(0,1))︸︷︷︸∫ 10

∫K(x,t)

(x− z)D2v(z)(x− z)t−1−d dt dz

mit(zt

)∈ θx(K × (0, 1)) gilt

z ∈ K(x, t) := ty + (1− t)x : y ∈ K

und somit

Rv(x) =

∫K

k(y, z)(x− z)TD2v(z)(x− z) dz

k(x, z) =1

|K|

∫ 1

0

t−1−d1K(x,t)(t) dt

mit k(x, z) =

1, z ∈ K(x, t)⇒ z = (1− t)y + tx

0, sonst

|k(x, z)| ≤ 1

|K|

∫ 1

|x−z|hK

t−1−d dt ≤ 1

|K|1

d

( |x− z|hK

−d)≤ 1

d

(hKρK

)d|x− z|−d

ii) Für k(x, z) = |x− z|2 und d ≤ 3 gilt∫K

∣∣∣|k(x, z)| |x− z|2∣∣∣2 dz ≤ C

∫K

∣∣∣ |x− z|−d |x− z|2∣∣∣2 dz

≤ C

∫K

∫ hK

0

(γ−d+2)2γd−1 dr dϕ <∞ für d ≤ 3

53

iii)

‖Rv‖∞ ≤ C‖D2v‖0,K für d ≤ 3

|Rv(x)| ≤∫K

|k(x, z)|x− z|2| |D2v(z)| dz ≤ CK‖D2v‖0,K

iv)

‖v‖∞,Ω︸︷︷︸Rv+Qv

≤ C‖v‖2,Ω für d ≤ 3

‖Qv‖∞ = supx∈K

∫K

v(y) +∇v(y)(x− y) dx

≤√|K|‖v‖0,K + ‖∇v‖0,K

√hK |K| .

A priori Fehlerabschätzung

(5.14) DefinitionHm(Ω) =

v ∈ Hm−1(Ω) : ∂jv = Hm−1(Ω), j = 1, . . . , d

für m > 1,

‖u‖m,Ω =√‖u‖2

0,Ω +∑d

j=1 ‖∂ju‖2m−1,Ω, und |u|m,Ω.

Im Fallm = 2: ‖u‖22,Ω = ‖u‖0,Ω+‖∇u‖2

0,Ω+‖D2u‖20,Ω |u|2 = ‖D2u‖0,Ω (Seminorm)

Anwendung: Lagrange-Interpolation Π1h : C(Ω)→ S1(Ωh),

h→∑v(z)hz ist für u ∈ H2(Ω) wohldefiniert.

(5.15) Satz (Bramble-Hilbert Lemma (nur für Referenzdreiecke))Es existiert ein c > 0 mit ‖v − Π1

Kv‖1,K ≤ C|v|2,K v ∈ H2(K)

Beweis. Definiere: |||φ||| = |φ|2,Ω +∑

z∈VK|φ(z)|2,Ω ≤ (1 + C0(d+ 1))‖φ‖2,K

Beh.: Es existiert ein C > 0 : ‖φ‖2,K ≤ C|||φ|||. Ann.: Ein C > 0 existiert nicht. Somitexistiert (φn)n∈N mit ‖φ‖2,K = 1, |||φn||| < 1

n. Also existiert eine konvergente Teilfolge

φnn∈N mit N ⊂ N und |N | =∞. Und somit existiert ein φ ∈ H1(Ω) mitlimn∈N‖φ− φn‖1,Ω = 0.

Weiterhin existiert ∀ε > 0 ein N0 >1ε

mit ‖φm − φk‖1,K < ε n, k > N0 n, k ∈ N

‖φn − φk‖20,K

= ‖φn − φk‖21,K

+ |φn − φk|2,K < 4ε2 .

D.h. φn ist eine Cauchy Folge in H2, wodurch auch

limn∈N‖φn − φ‖2,K = 0

gilt. Also ‖φ‖2,K = 1, |φ|2 = 0, und φ(z) = 0. Wodurch φ ∈ P1(k) liegt und somit

φ =∑z∈Vk

φ(z)λd = 0 . `

54

BemerkungAllgemein gilt das Bramble-Hilbert-Lemma:

Qhv = v − Π1hv = 0 ∀v ∈ Pk(Ω)

Das heißt es existiert C > 0 mit ‖v −Qhv‖k,Ω ≤ C|v|k+1.

(5.16) SatzSei Khh∈H regulär. Dann existiert Cm > 0 mit ‖v − Π1

hv‖m ≤ Cmh2−m|D2v|0,Ω,

v ∈ H2(Ω), h ∈ H, m = 0, 1.

Beweis.

‖v − Π1h‖2

0,Ω =∑K

‖v − Π1hv‖2

0,K =∑K

JK‖v − Π1Kv‖2

0,K

≤ C∑K

JK |D2v|20,K︸︷︷︸∫

K |D2v|2JK dx=∫K |D2v|2ϕK dx≤

∫K |BK |4|D2v|2 dx

≤ C∑

h4K |D2v|0,K

≤ Ch4|D2v|22,Ω|v − Π1

h|21,Ω = ‖∇(v − Π1Kv)‖2

0,Ω =∑‖∇(v − Π1

Kv)‖20,K

≤∑

JK |B−1K |

2‖∇(v − Π1Kv)‖2

0,K≤ C

∑|B−1

K |2|BK |4︸︷︷︸≤Ch2

‖D2v‖20,K .

Anwendung auf den FE-Fehler Falls die Lösung u ∈ H2(Ω) glatt genug. Dann gilt

‖u− uh‖1,Ω ≤Caca

infvh∈S1(Ωh)

‖u− vh‖1,Ω

≤ Caca‖u− Π1

hu‖1,Ω|u|

(5.17) SatzNach Galerkin: Falls u ∈ H2(Ω) glatt genug, dann ist

‖u− uh‖1,Ω ≤Caca

infvh∈Vh

‖u− vh‖1,Ω

≤ Caca‖u− Π1

hu‖1,Ω ≤ Ch|u|2,Ω .

Sei zusätzlich für alle f ∈ L2(Ω) die Lösung wf ∈ V von

a(φ,w) = (f, φ)0,Ω

erfüllt wf ∈ H2(Ω) mit ‖wf‖ ≤ C‖f‖0,Ω. Dann gilt

‖v − uh‖0,Ω < Ch2|v|2,Ω

Beweis. Zu f = u− uh definiere w = wf ∈ V mit a(φ,w) = (u− un, φ)0,Ω. Dann gilt

Ca‖w‖21,Ω ≤ a(w,w) ≤ ‖u− un‖0,Ω‖w‖1,Ω

55

bzw.

‖w‖1,Ω ≤1

Ca‖u− un‖1,Ω

und somit

‖u− uh‖20,Ω = a(u− uh, w) = a(u− uh, w − Π1

h(w))

≤ Ca‖u− uh‖1,Ω‖w − Π1hw‖ ≤ Ch|u|2,Ωh|w|2,Ω ≤ Ch2|u|2‖u− uh‖0,Ω

(Dualitätstrick von Nietsche bei voller Regularität).

Richtungsableitung Seien v ∈ Cm(K), z ∈ Rd ∂zv(x) = limδ→0

1δ(v(x + δz) − v(x)),

dann gilt

∂zv(x) =Dv(x)[z] = ∇v(x) · z∂zDv(x)[y] =D2v(x)[y, z] = yTD2v(x)z

Dmv(x)[z1, . . . , zm] =∂zmDm−1v(x)[z1, . . . , zm−1]

und seien

v = v ϕK BKDϕK x = ϕK(x)

somit gilt

∂zv(x) =Dv(x)DϕK(x)z = Dv(x)[BKz]

Dmv(x)[z1, . . . , zm] =Dmv(x)[BKz1, . . . BKzm]

somit erhalten wir

|Dmv(x)| = sup|z1|=···=|zm|=1

|Dmv(x)[z1, . . . , zm]|

dann gilt

|Dmv(x)| ≤ |BK |m|Dmv(x)|

(5.18) Definitiona) Eine elliptische DGL heißt H2-regulär, wenn die Lösung u ∈ V ⊂ H1(Ω) von

a(u, v) = (f, v)0,Ω in H2 ist und C > 0 existiert, sodass für alle f ∈ L2(Ω) gilt

‖D2u‖0,Ω ≤ C‖f‖0,Ω

b) Ein Gebiet heißt H2-regulär, wenn a) für a(v, w) =∫Ω∇v · ∇w dx in H1

0(Ω) gilt.

(5.19) SatzSei die DGL H2-regulär. Dann existiert C > 0 mit

‖u− uh, v‖0,Ω ≤ Ch2‖D2u‖0,Ω ≤ Ch2‖f‖0,Ω.

56

Beweis. Zu u, uh definiere u∗ ∈ H1ΓD

mit a(u∗, v) = (u−uh, v)0,Ω für alle v ∈ H1ΓD

. Dannfolgt laut Voraussetzung, dass u∗ ∈ H2(Ω) und ‖D2u∗‖0,Ω ≤ C‖u−uh‖0,Ω. Das bedeutetdann,

‖u− uh‖20,Ω = a(u∗, u− uh) = a(u∗ − Π1

hu∗, u− uh)

≤ Ca‖u∗ − Π1hu∗‖1,Ω‖u− uh‖1,Ω

≤ CaCh‖D2u∗‖0,ΩCh‖D2u‖0,Ω ≤ C‖u− uh‖0,Ω .

57

6 Lagrange Elemente

(6.1) DefinitionSeiZK ⊂ K eine Menge von Interpolationspunkten und VK ⊂ C(K) ein Finite-Elemente-Raum. Dann heißt ZK unisolvent in VK , wenn jedes v ∈ VK eindeutig durch (v(z))z∈ZKbestimmt ist, d.h. zu jedem g ∈ C(K) genau ein v ∈ VK existiert mit vK(z) = g(z) füralle z ∈ ZK .

S1(K) = VK , ZK = VK

Abbildung 22: Abbildung

unisolvent in P2(R2) = 1, x1, x2, x1x2, x21, x

22


ZK = jeweils zwei Knotenpunkte pro Kante (ohne Eckpunkte):ZK nicht unisolvent in P2(K): es existiert ein quadratisches Polynom

v ∈ P2(R2) mit v(z) = 0 ∀z ∈ ZK

Abbildung 24: Abbildung(ohne Eckpunkte)

(6.2) Satz (Simplex)Sei k ∈ N und K = convz0, . . . , zd.Dann ist ZK =

∑dj=0 µjzj :

∑dj=0 µj = 1, µj ∈ 1

kN0

unisolvent in

Pk(K) = spanxα = xα1

1 · · · · · xαdd : α ∈ Nd

0 ,∑d

j=0 αj ≤ k.

58

Beispiele:

k = 1 : S1(K) = spanλ0, ..., λd

k = 2 : ZK = z0, z1, z2, z12, z01, z02 mit Ecken zj und Kantenmittelpunkten zkj in 2d,allgemein:

ZK = z1, ..., zd ∪ zjk =1

2(zj + zk) : 0 ≤ j ≤ k ≤ d

VK = spanλj(2λj − 1) : j = 0, ..., d

∪λjλk : 0 ≤ j ≤ k ≤ d

.

Daraus folgt

(λj(2λj − 1))(zk) = δjk

(λj(2λj − 1))(zjk) = 0

(4λjλk)(zlm) = δjkδlm

(λjλk)(zm) = 0

k = 3 : d = 2 Basis von P3(K)

φj(x) =1

2λj(x)(3λj(x)− 1)(3λj(x)− 2)

φjk(x) =9

2λj(x)λk(x)(3λj(x)− 1)

φ012(x) = 27λ0(x)λ1(x)λ2(x) Element-Bubble


Allgemein:

Konstruiere v0 ∈ Pk mit v0(x) = g(x) x ∈ ZK mit x2 = 0

Konstruiere w ∈ Pk−1 mit w(x) =1

x2

(g(x)− v0(x1)) x ∈ ZK mit x2 > 0

Definiere: v(x) = v0(x1) + x2w(x)⇒ v ∈ Pk(R2)


Beweis.

1. Zeige dim Pk = |ZK |.Es genügt zu zeigen, dass jede Interpolationsaufgabe lösbar ist.

2. Induktion über d

d = 1: tl =l

k, l = 0, . . . , k , Ll(x1) =

K∏l=0,l 6=k

x1 − tltk − tl

⇒ v(x1) =K∑l=0

g(tl)Ll(x1)

Sei die Behauptung für d = 1 gezeigt.

59

3. Induktion über kd > 1, k = 1 : v(x) =

∑dj=0 v(zj)λj(x)

k → k + 1Es gilt F = x ∈ K : λ0(x) = 0und g ∈ C(K). Dann existiert nach Induktions-voraussetzung ein vF ∈ Pk(F ) mit

vF (z) = g(z) ∀z ∈ Zk ∩ F

Es existiert w ∈ Pk−1(K) : w(z) = 1λ0(z)

(g(z)− vF (z)

)für alle z ∈ ZK\F .

Definiere

v(x) = vF (d∑j=0

λj(x)) + λ0(x)w(x) .

Dann gilt für alle v ∈ Pk(K) und z ∈ F ∩ Z

v(z) = vF (d∑j=0

λj(x)) = g(z)

und für z ∈ Z\F

v(z) = vF (z) + λ0(z)g(z)− vF (z)

λ0(z)= g(z) .

Vierecke / Quader:


(6.3) Satz (Vierecke,Quader)Sei K = [0, 1]d der Einheitsquader und Qk =

Pk ⊗ Pk d = 2

Pk ⊗ Pk ⊗ Pk d = 3

Dann sind die Punkte ZK = 1k∈ Zd ∩ K unisolvent in Qk.

60

Beweis. Seien L0, ..., Lk die Lagrange-Polynome zu tj = jk

für j = 0, ..., k, d.h.

Lj =k∏

m=0

t− tmtj − tm

für m 6= j .

Zu g ∈ C(K) und d = 3 definiere

v(x) =k∑

m1=0

k∑m2=0

k∑m3=0

g(tm1 , tm2 , tm3

)Lm1(t)Lm2(t)Lm3(t)

Das bedeutet v ∈ Q3.

Serendepity-Element

Abbildung 28: d = 2, k = 2

Das Serendepity-Element auf K = (0, 1)d und ZK = VK ∪ EK ist definiert durch

φ00(x) = (1− x1)(1− x2)(1− 2x1 − 2x2)

φ02(x) = −x1(1− x2)(1− 2x1 + 2x2)

φ21(x) = −x1x2(1 + 2x1 − 2x2)

φ10(x) = 4x1(1− x1)(1− x2)

(6.4) Definitiona) (K,VK ,ΛK) heißt Lagrange-Element, wenn VK ⊂ C(K) und wenn die Freiheits-

grade ΛK Punktauswertungen an ZK sind (mit ZK unisolvent in VK)

b) Eine Familie (K,VK ,ΛK), K ∈ Kh, h ∈ H heißt ”affin”, wenn ein Referenzele-ment (K, V , Λ) existiert, so dass für alle K eine Abbildung ϕK : K → K mit:

a) ϕK diffeomorph und orientierungserhaltend d.h. bijektiv ist.Also ist DϕK regulär und JK = det DϕK > 0.

b) VK = v ϕ−1K : v ∈ V

c) ΛK = λ′ ∈ V ′K : 〈λ′, v〉 = 〈λ′, v ϕK〉 für ein λ′ ∈ Λ

c) Wenn ϕK linear ist, dann ist die Familie ”linear affin”.

61

BemerkungFür affine Lagrange-Elemente gilt :

VK = v ∈ C(K) : v ϕK ∈ V Vh = v ∈ C(Ω) : v|K ∈ VK .

(6.5) LemmaSei Ωh =

⋃K eine Zerlegung in Simplices und seien Sk(Ωh) = C(Ω) ∩ Pk(Ωh) =

C(Ω)∩∏

Pk(K) die Lagrange-Elemente vom Grad k auf Simplizes und Ikh die Lagrange-Interpolation. Dann gilt für reguläre Triangulierungen: Es existiert ein Cm > 0 mit

‖v − Ikhv‖m ≤ Cmhk+1−m‖Dk+1v‖0,Ω m = 0, . . . , k

dabei ist Dmv definiert durch

Dv(x)[z] = ∇v(x) · z ,

Dmv(x)[z1, . . . , zm] = ∇(

Dm−1v(x)[z1, . . . , zm−1])· zm .

Beweis.

a) Bramble-Hilbert-Lemma in K

b) Skalierung: Dmv(x)[z1, . . . , zm] = Dmv(x)[BKz1, . . . , BKzm]

(6.6) Lemma (Bramble-Hilbert)Sei (K,VK ,ΛK) ein Lagrange-Element, und sei IK : C(K) → VK die Interpolation mitIKv(x) =

∑z∈ZK v(z)λz(x). Weiterhin sei IK exakt für Pk(K) für k ≥ 1 d.h.

IKv = v v ∈ Pk(K)

Dann existiert ein C > 0 mit

‖v − IKv‖k+1,K ≤ C‖Dk+1v‖0,K

Anwendungen des Bramble-Hilbert-Lemmas Anwendung auf a : V × V → R stetigelliptisch in V = H1

ΓD(Ω), Vh = Sk(Ωh) ∩ V .

Sei u ∈ V Lösung von a(u, v) = 〈`, v〉 für alle v ∈ V .

a) Sei u ∈ Hk+1(Ω). Dann gilt

‖u− uh‖1,Ω ≤ Chk|u|k+1,Ω

b) Sei das Problem zusätzlich H2-regulär, dann gilt für

‖u− uh‖0,Ω ≤ Chk+1|u|k+1,Ω .

Denn

‖u− uh‖20,Ω = a(u∗ − Π1

hu∗, u− uh)

≤ Ch|u∗|2,Ωhk|u|k+1,Ω

62

Isoparametrische Elemente

(6.7) DefinitionEin Gebiet Ω ⊂ Rd heißt Lipschitz-Gebiet, wenn ∂Ω lokal Lipschitz-parametrisierbar ist,d.h. ∀z ∈ ∂Ω existiert ein U ∈ Rd, ψz : U → Rd, z ∈ ψ(U), ψ(U+) = ψ(U) ∩ Ω mitU+ = x ∈ Rd : x1 ≥ 0 und ein γ > 0

|ψz(x)− ψ(y)| ≤ γ|x− y| ∀x, y ∈ U .

Beispiel: Polygongebiete sind Lipschitz-Gebiete


Abbildung 30: d = 2, k = 2, kein Lipschitz-Gebiet

Anwendung:


(6.8) DefinitionEin Element (K,VK ,ΛK) einer affinen Familie heißt ”isoparametrisch”, wenn ϕK ∈ V d

gilt.

63

Beispiel

K = [0, 1]2, K = convz00, z01, z10, z11

z00 =

(00

), z10 =

(10

), z01 =

(01

), z11 =

(11

)


ϕK(x) = (1− x1)(1− x2)z00

+ x1(1− x2)z10

+ x1x2z11

+ (1− x1)x2z01 ∈ K für x ∈ K

BK(x) =[(1− x1)(z10 − z00) + x2(z11 − z01)

∣∣∣(1− x1)(z01 − z00) + x1(z11 − z10)]∈ R2×2

Dann gilt:

a) ϕK linear affin, wenn K Parallelogramm ist, d.h. z11 = z10 + z01 − z00

b) JK = detBK > 0⇔ det(z11 − z00|z01 − z00) > 0

Warnung:

1) VK = v ϕ−1K : v ∈ V 6⊂ P2(K) für allgemeine Vierecke K.

2) Falls das Viereck fast ein Dreieck ist, gilt |B−1K | → ∞.

(6.9) LemmaFür isoparametrische Lagrange-Elemente gilt:

ϕK(x) =∑z∈ZK

λz(x)z

mit

λz(y) =

1, z = y y, z ∈ Z0, sonst

d.h. ϕK ist durch die Bilder ZK der Referenzknoten Z und die Basisfunktionen in Kbestimmt.

64

Anwendung Sei ψF : F → ∂Ω eine glatte Parametrisierung, d.h.F = ψF (x) : x ∈ F von F ⊂ ∂Ω, F ∈ FK .Blending-Funktion:

ϕK(x) = (1− λ(x))ψF( d∑j=1

λj(x)zj)

+ λ0(x)z0 ,

wobei λj die Lagrange-Basisfunktionen zu zj sind und F = x ∈ K : λ0(x) = 0 =convz1, . . . , zd.

Babuška-Paradox Für festes h und k → ∞ und Interpolation von ψF an äquidistantenPunkten⇒ Keine FE-Konvergenz mit isoparametrischen Elementen!

Konsistenzfehler Sei a(·, ·) elliptisch, stetig in V ⊂ H1(Ω), ` ∈ V ′.Sei jetzt Vh ⊂ V und ah, `h Approximationen von a un `, z.B durch Kubator oder Rand-approximation.

u ∈ V : a(u, v) = 〈`, v〉 ∀v ∈ V ⊂ H1(Ω)

uh ∈ V : ah(uh, vh) = 〈`h, vh〉 ∀vh ∈ Vh ⊂ V

(6.10) Lemma (von Strang)Sei

|a(v, w)| ≤ Ca‖v‖V ‖w‖V ∀v, w ∈ V

und

ah(vh, vh) ≥ ca‖vh‖2V ∀vh ∈ Vh

Dann existiert ein C > 0 mit

‖u− uh‖V ≤ C infvh∈Vh

(‖u− vh‖V + sup

‖wh‖V =1

|a(vh, wh)− ah(vh, wh)|)

+ C sup‖zh‖V =1

|〈`− `h, zh〉|

Beweis. Es gilt vh ∈ Vh\uh und somit

ca‖uh − vh‖V ≤ ah(uh − vh, uh − vh)= a(u− vh, uh − vh) + a(vh, uh − vh)− a(u, uh − vh)

+ ah(uh, uh − vh)− ah(vh, uh − vh)= a(u− vh, uh − vh) + a(vh, uh − vh)− ah(vh, uh − vh) + 〈`h, uh − vh〉− 〈`, uh − vh〉

≤ Ca‖u− vh‖V ‖uh − vh‖V +|a(vh, uh − vh)− ah(vh, uh − vh)|

‖uh − vh‖V‖uh − vh‖V

+|〈`h − `, uh − vh〉|‖uh − vh‖V

‖uh − vh‖V

65

Wir erhalten dann

ca‖uh − vh‖V ≤ Ca‖u− vh‖V + sup‖wh‖V =1

|a(vh, wh)− ah(vh, wh)|+ sup‖zh‖V =1

|〈`− `h, zh〉|

und schließlich gilt

‖u− uh‖V ≤ ‖u− vh‖V + ‖uh − vh‖V ≤(

1 +Caca

)‖u− vh‖V + sup . . .

AnwendungKubatur

∫K

g(x) dx ≈∑ξ∈ΞK

ωξg(ξ) = JK∑ξ∈Ξ

ωξg( ξ)

a(v, w) =

∫Ω

κ(x)∇v(x) · ∇w(x) dx

wobei κ symmetrisch, positiv definit und κ0 > 0 kleinster Eigenwert in Ω ist.Es gilt

〈`, v〉 =

∫Ω

f(x)v(x) dx

mit JK = detBK , ΞK Quadraturpunkte, ωξ ∈ R Quadraturgewichte. Dann

ah(vh, wh) =∑K

∑ξ∈ΞK

ωξκ(ξ)∇v(ξ)∇wh(ξ), 〈`h, vh〉 =∑K

∑ξ∈ΞK

ωξf(ξ)vh(ξ)

wobei der Quadraturfehler gegeben ist durch:

EK(g) =

∫K

g(x) dx−∑ξ∈ΞK

ωξg(ξ)

BeispielA) Sei K Simplex, k = 1, ΞK = zK, 1

d+1

∑dj=0 zK,j und ωξ = |K| Mittelpunkt. Seien

weiterVh = S1(Ωh) ∩ H1

0(Ω), f ∈ C(Ω) ∩ H1(Ω), κ ∈W1,∞(Ω), d.h. ∇κ ∈ L∞(Ω; Rd).Dann gilt:

〈`h − `, vh〉 =∑K

f(zK)vh(zK)|K| −∫K

fvh dx

=∑K

∫K

(f(zK)− f(x)

)vh dx

≤∑K

hK‖∇f‖0,K‖vh‖0,K

≤ hK‖∇f‖0,Ω‖vh‖0,Ω .

66

Dies gilt da∫K

(f(zK)− f(x)

)dx =

∫K

∫ |x−zK |0

∇f(zK + s(x− zK)) · (x− zK) ds .

Dann gilt schließlich

ah(vh, wh)− a(vh, wh) =∑K

|K|κ(zK)∇vh(zK) · ∇wh(zK)−∫K

κ(x)∇vh∇wh dx

=

∫K

|κ(zK)− κ(x)||∇vh||∇wh| dx

≤ h‖∇κ‖∞‖vh‖1,Ω‖wh‖1,Ω .

B) Sei K = [0, 1]d dann gilt:

∫ 1

0

φ(x) dx ≈ 1

2

(φ(α) + φ(1− α)

)mit wξ = 1

4und

α =3−√

3

6für d = 2 Ξ =

(αα

),

(1− αα

),

(α

1− α

),

(1− α1− α

)

Warnung: für d = 3 und dim Q2 = dim P2 ⊗ P2 ⊗ P2 = 9 und |ΞK | = 9,aber: ah(vh, wh) singulär in S2(Ωh)!

C) Sei K = conv(0

0

),

(10

),

(01

).

Es gilt∫g(x) dx =

∫ 1

0

∫ 1−x1

0

g(x1, x2) dx2 dx1 =

∫ 1

0

∫ 1

0

g(x1, t(1− x1))(1− x1) dt dx1

und somit gilt

Ξ =( ξ1

(1− ξ1)α

),

(ξ2

(1− ξ2)α

),

(ξ1

(1− ξ2)(1− α)

)(ξ2

(1− ξ1)(1− α)

)

Gauß-Quadratur zum Gewicht (1− t)

∫ 1

0

f(x)w(x) dx = w1f(ξ1) + w2f(ξ2) + . . .︸︷︷︸Quadraturfehler

67

(6.11) LemmaFür die Quadratur

∫Kg dx ≈

∑ξ∈Ξ wξg(ξ) in K mit w > 0 gelte für ein k ∈ N

1. V ⊂ Pk(K)

2. Ξ unisolvent in Pk−1 oder die Quadratur ist in P2k−2 exakt.

Dann gilt für die Approximation ah(·, ·) von

a(v, w) =

∫Ω

κ(x)∇v(x) · ∇w(x) dx

(κ positiv definit) durch Quadratur für linear affine Elemente:Es existiert ca > 0 mit

ah(vh, vh) ≥ ca|vh|21 vh ∈ Vh

Beweis. 1.Fall: Ξ unisolvent in P2k−2

Dann gilt für v ∈ V ∑ξ∈Ξ

ωξ|∇v|2 = 0

bzw.

⇒|∇v(ξ)| = 0 ∀ξ ∈ Ξ

⇒∇v(ξ) = 0 ∀ξ ∈ Ξ

⇒v∈Pl(K)

∇v(ξ) = 0 ∀ξ ∈ Ξ

dann gilt

v →( ∑ξ∈ΞK

wξ|∇v(ξ)|2) 1

2Norm in ∇V ⊂ Pk−1(K; Rd)

Normäquivalenz: Es existiert ein c0 > 0 mit∑wξ|∇v|2 ≥ c‖∇v‖2

0,K

2.Fall: Sei (Ξ, ω) exakt in P2k−2(K), dann gilt∑wξ|∇v(ξ)|2 = ‖∇v‖2

0,Kmit c = 1

und somit erhalten wir∑ξ∈ΞK

wξ(κ∇v · ∇v)(ξ) ≥ κ0

∑ξ∈ΞK

ωξ|B−>K ∇v(ξ)|2JK = κ0‖∇v‖20,K .

Die Behauptung folgt dann durch Aufsummieren über K.

68

(6.12) SatzSei VK = Pk(K), Vh = Pk(Ωh) ∩ H1

Γ (Ω) für k ≥ 1 und die Quadratur sei exakt fürv ∈ P2k−2(K).Weiterhin sei ∂ακ ∈ L∞(Ω)d×d für |α| ≤ k und f ∈ Hk(Ω) ∩ C(Ω). Dann gilt:

a)

|a(vh, wh)− ah(vh, wh)| ≤ Chk‖κ‖∞,k,Ω‖vh‖k,Ω‖wh‖1,Ω vh, wh ∈ Vh

mit ‖κ‖∞,k,Ω = maxl=0,...,k ‖Dlκ‖∞,Ω

b) ∣∣∣ ∫Ω

fvh dx− 〈`h, vh〉∣∣∣ ≤ Chk‖f‖k,Ω‖vh‖1Ω

Anwendung Falls u ∈ Hk+1(Ω) gilt

‖u− uh‖1,Ω ≤C(‖u− Πk

hu‖1,Ω + sup‖wh‖1=1

|a(Πkhu,wh)− ah(Πk

hwh, vh))

+ sup‖zh‖1=1

|〈`− `h, zh〉|

≤ Chk|u|k+1,Ω + hk‖κ‖∞,Ω‖Πhu‖0,Ω + hk‖f‖k,Ω = O(hk)

Beweis. zu a) Definiere EK(g) =∫Kg(x) dx−

∑ξ∈ΞK

wξg(ξ).Dann gilt

EK(g) = JKE(g)

mit

g = g ϕK = κpq = ψq

p = ∇vh ϕKq = ∇wh ϕK .

Eingesetzt ergibt, dass

|E(g)| ≤ C‖g‖∞ ≤ C‖ψq‖∞ ≤ C‖ψ‖∞‖q‖∞ .

Da V endlich-dimensional ist, können wir aufgrund der Normäquivalenz folgende Ab-schätzung treffen:

‖q‖∞ ≤ C‖q‖0,K .

Variante des Bramble-Hilbert-Lemmas:

E(Πk−1ψq) = 0⇒ |E(ξ)| ≤ C‖Dkψ‖∞‖∇wh‖0,K ,

wobei Πk−1ψ ∈ Pk−1 und q ∈ Pk−1 ist.Dann

‖Dψ‖∞,K = ‖Dk(κp)‖∞,K ≤k∑l=0

‖Dlκ‖∞,K‖Dk−lp‖∞,K

≤ Ck∑l=1

‖Dlκ‖∞,K‖Dk−lp‖0,K .

69

Dann folgt insgesamt mit |BK | ≤ h

EK(κ∇vh · ∇wh) ≤ CJk

k∑l=1

‖Dlκ‖∞,K‖Dk−lp‖0,K‖q‖0,K

≤ CJk

k∑l=1

|BK |l‖Dlκ‖∞,K |BK |k−lJ− 1

2K ‖D

k−lp‖0,KJ− 1

2K ‖q‖0,K

≤ Chk‖κ‖∞,k,K‖vh‖k,K‖wh‖1,K .

Zu b) Sei g = fvh und v = vh ϕK . Dann gilt folgende Abschätzung

E(f v) = E(fΠ1v) + E(f(v − Π1v)

B.H.

≤ C‖f − Πk−1f‖0,K‖Π1v‖0,K + ‖f − Πk−2f‖0,K‖v − Π1v‖0,K

≤ C‖Dkf‖0,K‖v‖0,K‖Dk−1f‖0,K‖v − Π1v‖0,K .

Insgesamt folgt dann

|EK(fvh) ≤ |C(hk‖f‖k,K‖v‖0,K + hk−1‖f‖k,Kh‖vh‖1,K

).

Nichtkonforme Elemente

Crouzeix-Raviart Seien Ωh =⋃K Simplizes und

V nch =

vh ∈ P1(Ωh) :

∫F

[vh]F da = 0 ∀F ∈ Fh

mit [vh]F = vKF − vK , F = FKF ∩ FK ∩Ω und [vK ]F = vK |F für F ∈ F ∩ ∂Ω.Es gilt V nc

h 6⊂ H10(Ω), aber für vh ∈ V nc

h mit vK = vh|K gilt

vh(zF ) = 0 für zF ∈ ∂ΩvK(zF ) = vKF (zF ) für F ∈ F ∩Ω .

Basis: Sei λz Basis in S1(Ωh) ⊂ H1(Ω). Dann gilt

λz(x) = 1− 1

(y − z) · nF(x− z) · nF z ∈ VK \ VF , y ∈ VF .

Das heißt λz(z) = 1 und λz(y) = 0 für alle y ∈ VF . Es gilt dann

λF (x) = d(1

d− λz(x)

)mit λF (zF ) = 1 und λF (zF ′) = 0 für F ′ ∈ FK\F. Es folgt also

Πnch v =

∑F∈F

〈λ′F , v〉λF =∑F∈F

1

|F |

∫F

v daλF

mit V nch = spannλF : F ∈ F ∩Ω.

70

Vorsicht: ZK = zF : F ∈ FK ist unisolvent für Simplizes aber nicht unisolvent inQ1(K) = P1 ⊗ P1, z.B. vh(x1, x2) = (x1 − 1

2)(x2 − 1

2) 6= 0, K = (1, 0)2.

Es gilt mit ‖v‖21,Ωh

=∑

K ‖v‖21,K , dass

‖Πnch v‖1,Ωh ≤ C‖v‖1,Ω

‖v − Πnch v‖0,Ω ≤ Ch2‖v‖2,Ω ∀v ∈ H2(Ω)

Poisson-Problem Betrachte das Poisson-Problem

−∆u = f in Ωu = 0 auf ∂Ω .

Für Ω konvex gilt für die Lösung u ∈ H10(Ω) von

a(u, v) = (f, v)0,Ω ∀v ∈ H10(Ω)

folgende Abschätzung für C > 0 und f ∈ L2(Ω)

‖u‖2,Ω ≤ C‖f‖0,Ω .

Die nichtkonforme Approximation sieht dann folgendermaßen aus: Es gilt für uh ∈ V nch

ah(uh, vh) = (f, vh)0,Ω ∀vh ∈ V nch

ah(vh, wh) =∑K

∫K

∇vh · ∇wh dx .

Dann folgt Konsistenz, also

ah(v, w) = a(v, w) ∀v, w ∈ H1(Ω) .

(6.13) LemmaEs existiert ein αh > 0 mit

ah(vh, vh) ≥ αh‖vh‖21,Ωh

∀vh ∈ V nch .

Beweis. Es gilt

|ah(vh, vh)| = 0

wir können folgern, dass

∇vh ≡ 0 in K ⊂ Ωh

gilt. Und somit auch

vh = const in K ⊂ Ωh

d.h vh = 0 auf allen K mit ZK ∩Ω 6= ∅. Induktiv erhalten wir

vh = 0 in Ω

Die Behauptung folgt aus Normäquivalenz und dimVh <∞.

71

(6.14) Lemma (2.Strang-Lemma)Sei αh > 0 mit

ah(v, v) ≥ αh‖v‖21,Ωh

∀v ∈ V nch + H1

0(Ω) .

Dann gilt

‖u− uh‖1,Ωh ≤ C infvh∈V nc

h

‖u− vh‖1,Ωh + C supwh∈V nc

h

|ah(uh, wh)− (f, wh)0,Ω|‖wh‖1,Ωh

.

Beweis. Für alle vh ∈ V nch gilt

αa‖uh − vh‖21,Ωh≤ ah(uh − vh, uh − vh)= ah(u− vh, uh − v) + (f, uh − vh)− ah(u, uh − vh)≤ ‖u− vh‖1,Ωh‖uh − vh‖1,Ωh

+|ah(uh, uh − vh)− (f, uh − vh)|

‖uh − vh‖1,Ωh

‖uh − vh‖1,Ωh .

(6.15) SatzSei u ∈ H2 und Ω konvex. Dann gilt

‖u− uh‖1,Ωh ≤ Ch‖u‖2,Ω .

Beweis. Sei Ω konvex.

i) Zu w ∈ L2(Ω) definiere φ ∈ H10(Ω) mit

(∇φ,∇ψ)0,Ω = (w,ψ)0,Ω .

Aus der Konvexität von Ω folgt dann −∆φ = w und

‖φ‖2,Ω ≤ C‖w‖0,Ω .

Definiere weiter p = −∇φ für p ∈ H1(Ω,Rd). Es folgt dann∇ · p = w und

‖p‖1,Ω ≤ C‖w‖0,Ω .

ii) Sei v ∈ H1(Ω) mit vF = 1|F |

∫Fv da.

Behauptung:

‖v − vF‖0,F ≤ C√h‖∇v‖0,K

Dies gilt da für vK ∈ P1(K) mit 1|F |

∫FvK da = vF und v = v ϕK , vK = vK ϕK

gilt mit dem Bramble-Hilbert-Lemma

‖v − vF‖0,F = ‖v − vK‖0,F =

√|F ||F |‖v − vK‖0,F

≤ C

√|F ||F |‖v − vK‖1,K

≤ C

√|F ||F |‖BK‖∞,K

√|K||K|‖∇(v − vK)‖0,K

≤ C√h‖∇(v − vK)‖0,K .

72

iii) Es existiert C0 > 0 für h < h0 mit

ah(v, v) ≥ C0‖v‖21,Ω ∀v ∈ V nc

h + H10(Ω) .

Wir verwenden

‖v‖0,Ω = supw∈L2(Ω)

(v, w)0,Ω

‖w‖0,Ω

.

Es gilt

(v, w)0,Ωi)= (v,∇p)0,Ω =

∑K

−∫K

∇v · p dx+

∫∂K

vp · n da .

Wir können nun mit pF = 1|F |

∫Fp da folgende Abschätzung treffen∫

F

vp · n da =

∫F

v(p− pF ) · n da

=

∫F

(v − vF )(p− pF ) · n da ≤ ‖v − vF‖0,F‖p− pF‖0,F

≤ C√h‖∇v‖0,K

√h‖∇p‖0,K .

Insgesamt gilt also

(v, w)0,Ω ≤ ‖∇v‖0,Ωh‖p‖0,Ω + Ch‖∇v‖0,Ωh‖∇p‖0,Ωh

≤ (1 + Ch0)‖∇v‖0,Ωh‖w‖0,Ω

und damit

‖v‖0,Ω = supw∈L2(Ω)

(v, w)0,Ω

‖w‖0,Ω

≤(

1 + Ch0

)‖∇v‖0,Ωh .

Es folgt also

‖v‖21,Ωh≤ ‖v‖0,Ωh + ‖∇v‖0,Ωh ≤

(1 + (1 + Ch0)2

)ah(v, v) .

iv) Für u ∈ H2(Ω) ∩ H10(Ω), −∆u = f und wh ∈ V nc

h gilt

supwh 6=0

|ah(u,wh)− (f, wh)|‖wh‖1,Ωh

≤ hC‖u‖2,Ω .

Dies gilt da

ah(u,wh)− (f, wh) =∑K

∫K

(∇u · ∇wh − fwh) dx

=∑K

∫K

(−∆uwh − fwh) dx+

∫∂K

∇u · nwh da

=∑K

∑F⊂∂K

∫F

∇u · n(wh − wF ) da

=∑K

∑F

∫F

(∇u− (∇u)F ) · n(wh − wF ) da

≤∑K

∑F

‖∇u− (∇u)F‖0,F‖wh − wF‖0,F

≤ Ch‖∇(∇u)‖0,Ωh‖∇w‖0,Ωh ≤ Ch‖u‖2,Ωh‖wh‖1,Ωh

mit wF = 1|F |

∫Fwh da.

73

Alternative FormulierungBestimme vh ∈ P1(Ωh) mit

Jh(vh) =1

2‖∇vh‖2

0,Ωh− (vh, f)0,Ω = min s.t.∫

F

[vh]F da = 0 ∀F ∈ F .

Bestimme Sattelpunkt von

ψ(vh, λh) = Jh(vh) + ([vh], λh)∂Ω

=1

2〈Ahvh, vh〉+ (f, vh)0,Ω + 〈Bhλh, vh〉

mit 〈Bhλh, vh〉 =∑

F

∫F

[vh]FλF da, λF = λh|F .Also löse das lineare Sattelpunkt-System

Ahuh +Bhλh = fh

B′huh = 0

und damit das symmetrisch positiv definite Schur-Komplement-System(B′hA

−1h Bh

)Ah = B′hA

−1h fh .

74

7 Petrov-Galerkin Verfahren

Seien U, V Hilberträume und b : U × V → R eine Bilinearform, ` ∈ V ′.

Fragen:

1. Unter welchen Bedingungen existiert eine eindeutige Lösung mit

u ∈ U : b(u, v) = 〈`, v〉 ∀v ∈ V ?

2. Unter welchen Bedingungen an

Uh × Vh ⊂ U × V (h ∈ H)

existiert die eindeutige Approximation uh ∈ Uh von

b(uh, vh) = 〈`, vh〉 ∀vh ∈ Vh?

3. Unter welchen Bedingungen konvergiert uh → u(mit Abschätzung abhängig von h)?

BeispielA) U = V , b(·, ·) stetig, elliptisch,

⋃h∈H Vh = V ⇒ Galerkin.

B) Streamline-Diffusion: U = V = H1ΓD

(Ω),

b(u, v) =

∫Ω

(κ∇u · ∇v + q · ∇u · v

)dx

bδ(uh, vh) = b(uh, vh) +∑K

δK(q · ∇uh, q∇vh)0,K

〈`δ, vh〉 = 〈`, vh〉+∑K

δK〈`, q · ∇vh〉K

Das entspricht

Vh =vh ∈ L2(Ωh) : es ex. uh ∈ Uh = S1(Ωh) mit vh|K = uh + q · ∇uh

.

C) Vertex-Centered Finite Volumes U = V = H1ΓD

, Ωh Simplices.

Uh = S1(Ωh) ∩ H1ΓD, Vh = Π

z∈VzP0(ωz)

b(u, v) =

∫Ω

∇u · ∇v dx , bh(uh, vh) =∑z∈V

vz

∫ωz

∇uh · nωz da


75

D) Least-Squares

U = H10(Ω)× H(div, Ω) V = L2(Ω)× L2(Ω; Rd)

und

−∆p = f ⇒ −∇q = f

q = ∇p .

b((p, q), (φ, ψ)) = (−∇ · q, φ)0,Ω + (q −∇p, ψ)0,Ω

〈`, (φ, ψ)〉 = (f, φ)0,Ω .

E) Parabolische Raum-Zeit-VerfahrenU = H1(0, T ; L2(Ω)) ∩ L2(0, T ; H1(Ω))V = L2(0, T ; H1(Ω))

b(u, v) =

∫ T

0

((∂tu, v)0,Ω − (∇u,∇v)0,Ω

)dt

F) Gemischte Finite-Elemente/Sattelpunktprobleme −→ in Kapitel 8

Frage 1:

(7.1) SatzVoraussetzungen:

a) Es existiert ein Cb > 0 mit

|b(u, v)| < Cb‖u‖U‖v‖V ∀u ∈ U, v ∈ V .

b) Es existiert ein β > 0 mit

infu∈U\0

supv∈V \0

b(u, v)

‖v‖V ‖u‖U≥ β ∀u ∈ U .

c) Zu jedem v ∈ V \0 existiert ein u ∈ U mit b(u, v) 6= 0.

Dann ist 1) eindeutig lösbar und ‖u‖U ≤ 1β‖`‖V ′ .

Bemerkung

1) b)⇔ supv∈V \0b(u,v)‖v‖V

≥ β‖u‖U ∀u ∈ U .

2) Falls b(·, ·) elliptisch mit U = V folgt

b(v, v) ≥ α‖v‖2V ⇒ α = β .

76

BeispielSei U = V und b(u, v) ≥ α‖u‖2

U dann gilt

sup‖v‖=1

b(u, v) ≥ b(u, v)

‖u‖U≥ α‖u‖U .

Beweis. Definiere B ∈ L(U, V ′) den linearen Operator B : U → V ′ mit

〈Bu, v〉 = b(u, v) u ∈ U, v ∈ V.

Zu zeigen ist, dass unter den Bedingungen a)-c), B ein Isomorphismus ist.

i.) Die Stetigkeit folgt aus a) da

‖B‖L(U,V ′) = supu∈U\0

‖Bu‖V ′‖u‖U

= supu∈U\0

supv∈V \0

〈Bu, v〉‖u‖U‖v‖V

≤ Cb .

ii.) B injektiv: Sei u1, u2 ∈ U mit Bu1 = Bu2 gilt

0 = 〈B(u1 − u2), v〉 = sup‖v‖=1

b(u1 − u2, v) ≥ β‖u1 − u2‖

also ist u1 = u2, d.h. B ist injektiv.

iii.) Es existiert B−1 : B(U)→ U mit

β‖u‖U ≤ sup‖v‖V =1

〈Bu, v〉 = ‖Bu‖V ′

somit

‖B−1`‖U ≤1

β‖`‖V ′ mit ` = Bu ∈ B(U)

also

‖B−1‖L(B(U),U) ≤1

β

Zeige: B(U) = B(U) ist abgeschlossen. Sei ` ∈ B(U), d.h. es existiert

(un)n∈N ⊂ U : limn→∞

‖Bun − `‖V = 0

Es gilt

(Bun − `)− (Buk − `) = B(un − uk)

ist Cauchy-Folge. Weiterhin gilt

‖B(un − uk)‖V ′ = sup‖v‖V =1

〈B(un − uk), v〉‖v‖V︸︷︷︸

b(un−uk,v)

≥ β‖un − uk‖

77

Somit ist (un)n∈N eine Cauchy-Folge und es existiert ein u ∈ U mit limk→∞‖u− uk‖k = 0.

Wir erhalten

‖Bu− `‖V ′ = sup‖v‖V =1

b(u, v)− 〈l, v〉

a.)= sup‖v‖V =1

(limn→∞

b(u, v)− 〈l, v〉)

= 0

Zeige: B(U) = B(U) = V surjektivAnnahme: Es existiert ein ` ∈ V ′ mit ` /∈ B(U) abgeschlossen und konvex. Nach demTrennungssatz existiert ein γ ∈ R, v0 ∈ V mit

〈`, v0〉︸︷︷︸6=0

< γ ≤ 〈 Bu︸︷︷︸0=〈B′v0,u〉

, v0〉 ∀u ∈ U

D.h.

v0 ∈ Kern(B′)c.)= 0 .

Dies ist ein Widerspruch.

BemerkungDa B′ surjektiv ist, gilt dass das Schurkomplement elliptisch ist. D.h. für A ∈ L(V, V ′)definiert ducrh 〈Av,w〉 = (v, w)V für alle v, w ∈ V . Dann ist A symmetrisch positivdefinit,

‖A‖L(V,V ′) = ‖A−1‖L(V ′,V ) = 1

und

b(u, v) = 〈`, v〉 ∀v ∈ V⇔ 〈Bu, v〉 = 〈`, v〉 ∀v ∈ V⇔ Bu = `

somit folgt

A−1Bu = A−1`

bzw.

B′A−1Bu︸︷︷︸=S∈L(U,U ′)

= B′A−1`

mit B′ : V → U ′ gilt

〈B′v, w〉 = b(u, v) .

78

Behauptung:

sup‖v‖V =1

b(u, v) =√〈Su, v〉

Definiere das Lagrange-Funktional

Φ(u, v, λ) = b(u, v) + λ(‖v‖2V − 1) = 〈Bu, v〉+ λ(〈Au, v〉 − 1)

Kritische Stelle:

Bu+ λ2Av = 0

somit

v = − 1

2λA−1B

weiterhin gilt

1 = ‖v‖2V = 〈Av, v〉 =

1

4λ2〈Bu,A−1Bu〉 = 〈B′A−1Bu, u〉 = 〈Su, u〉

Es gilt

β‖u‖U ≤ supv∈V \0

b(u, v)

‖v‖V= sup

φ∈U

b(u,A−1)

‖AB−1φ‖V

≤ supφ∈U

〈Su, φ〉β‖φ‖U

≤ 1

β‖Su‖U ′ .

Wiederholung Für B ∈ L(U, V ′) mit b(u, v) = 〈Bu, v〉V ′×V ist äquivalent.

a) B′ ∈ L(V, U ′) surjektiv

b) B injektiv und B(U) = B(U)

c) Es existiert ein β > 0 mit ‖Bu‖V ′ ≥ β‖U ∀u ∈ U

d) Es existiert ein β > 0 mit infu∈U supv∈V〈Bu,v〉‖u‖U‖v‖V

≥ β

(7.2) LemmaSei B ∈ L(U, V ′) injektiv , und es existiert ein β > 0 mit

supu∈U\0

b(u, v)

‖u‖U≥ β‖v‖V ∀v ∈ V .

Dann gilt auch

supv∈V \0

b(u, v)

‖v‖V≥ β‖u‖U = ‖Bu‖V ′ = ‖A−1Bu‖V ∀u ∈ U ,

mit b(u, v) = ‖B′v‖U ′ = ‖R−1B′v‖U ′ und A ∈ L(V, V ′) 〈Av,w〉 = (v, w)

79

Beweis. Sei R ∈ L(U,U ′), 〈Ru, u〉 = (u, u)U und ‖R‖U = ‖R−1‖U = 1 dann gilt

β‖v‖V ≤ supu∈U\0

〈B′v, u〉√〈Ru, u〉

=√〈BR−1B′v, v〉 .

Das heißt für alle u ∈ U\0 ist Bu 6= 0 und es existiert v ∈ V mit 〈Bu, v〉 6= 0.Dies bedeutet wiederum, dass es für alle u ∈ U\0 ein v ∈ V mit b(u, v) 6= 0.Aus der Bijektivität von B′ ∈ L(V, U ′), dass B ∈ L(U, V ′) und BR−1B′ ∈ L(V, V ′) dass

(BR−1B′(BR−1B′)−1 − id)B = 0 .

Da B injektiv ist gilt:

B′(BR−1B′)−1B = R

und somit1

βsupv∈V

b(u, v)

‖v‖V≥ sup

v∈V

b(u, v)√〈BR−1B′v, v〉

=√〈B′(BR−1B′)−1Bu, u〉 =

√〈(Ru, u〉 = ‖u‖U .

(7.3) SatzSeien Uh × Vh ⊂ U × V (h ∈ H) mit

supvh∈Vh\0

b(uh, vh)

‖vh‖V≥ βh‖uh‖U ∀uh ∈ Uh

mit βh > 0 unabhängig von h ∈ H. Dann gilt

‖u− uh‖U ≤Cbβh

infφh∈Uh

‖u− φh‖U

für uh ∈ Uh mit

b(uh, vh) = 〈`, vh〉 ∀vh ∈ Vhund

‖uh‖ ≤1

βh‖`‖V .

BemerkungFalls βh ≥ β0 > 0 für alle h ∈ H folgt Konvergenz.

Beweis.

‖u− uh‖U ≤ ‖u− φh‖U + ‖φh − uh‖U ≤ ‖u− φh‖U +1

βhsupvh∈Vh

b(φh − uh, vh)‖vh‖V

= ‖u− φh‖U +1

βhsupvh∈Vh

b(φh − u, vh)‖vh‖V︸︷︷︸

≤C‖φh−u‖U

≤ (1 +C

βh)‖φh − u‖U

mit

b(φh − uh, vh) = b(φh, vh)− 〈`, vh〉 = b(φh, vh)− b(u, vh)= b(φh − u, vh) ≤ C‖φh − u‖U‖vh‖V .

80

(7.4) SatzSei P ∈ L(U,U) Idempotent, d.h. P 2 = P mit P 6= id, P 6= 0. Dann gilt

‖P‖U = ‖ id−P‖U ≤ 1 + ‖P‖U .

Bemerkung‖P‖U ≥ 1 und ‖P‖U = 1⇔ Orthogonalprojektion

Beweis. Sei u ∈ U mit ‖u‖U = 1 und u0 = Pu, u1 = (id−P )u dann gilt

‖u‖2U = ‖u0 + u1‖2

U = ‖u0‖2U + ‖u1‖2

U + 2(u0, u1)U = 1

Zeige: ‖Pu‖U ≤ ‖ id−P‖U

1.) Fall: u0 = 0 dann gilt

‖Pu‖U = ‖u0‖U = 0 ≤ ‖ id−P‖U

2.) Fall: u = u0 und u1 = 0 dann gilt

‖Pu‖U = ‖u0‖U = ‖u‖U = 1 ≤ ‖ id−P‖U

3.) Fall: Wir definieren u0 = ‖u1‖U‖u0‖U

u0, u1 = ‖u0‖U‖u1‖U

u1 und u = u0 + u1 dann gilt

‖u‖2U = ‖u0‖2

U + ‖u1‖2 + 2(u0, u1)U

= ‖u1‖2U + ‖u0‖2

U + 2(u0, u1)U

= ‖u‖U = 1

und somit

‖Pu‖U = ‖u0‖U = ‖u1‖U = ‖(id−P )u‖U ≤ ‖ id−P‖U‖u‖U ≤ ‖ id−P‖U .

Analog lässt sich ‖(id−P )u‖U ≤ ‖P‖U zeigen.

Alternativer Beweis zu (7.3)Wir definieren die Einbettung

Eh,U : Uh → U Eh,V : Vh → V

und

Bh ∈ L(uh, v′h) 〈Bhuh, vh〉 = b(uh, vh) .

d.h

Bh = E ′h,VBhEh,V ⇒ u = B−1h E ′h,V ` = B−1

h E ′h,VBu

und damit

81

‖u− uh‖U = ‖u− Eh,UB−1h E ′h,vBu‖U

= ‖(idh−Eh,UB−1h E ′h,VB)(u− φh)‖

≤ ‖ idh−Eh,UB−1h E ′h,VB︸︷︷︸

Idempotent

‖L(U,U)‖u− φh‖U

≤ ‖Eh,UB−1h E ′h,VB‖L(U,U)‖u− φh‖U

≤ ‖Eh,U‖︸︷︷︸=1

‖B−1h ‖︸︷︷︸

= 1βh

‖E ′h,V ‖︸︷︷︸=1

‖B‖︸︷︷︸≤Cb

‖u− φh‖U

≤ Cbβh‖u− φh‖U

Fortin-Kriterium

(7.5) SatzSei b : U × V → R stetig und inf-sup-stabil und zu Uh × Vh ⊂ U × Vh existiert eineProjektion Πh ∈ L(V, Vh) mit

b(uh,Πhv − v) = 0 ∀uh ∈ Uh .

Dann gilt

supvh∈Vh\0

b(uh, vh)

‖vh‖V≥ β

‖Πh‖L(V,Vh)

‖u‖U .

Bemerkung1) Falls ‖Πhv‖V ≤ C‖v‖V mit einem C unabhängig von h, folgt dass β0 = β

C.

2) Wenn b in Uh × Vh inf-sup-stabil ist, dann existiert ein Fortin-Operator wie im Satz.

Beweis. Für uh ∈ Uh gilt

β‖uh‖U ≤ supv∈V \0

b(uh, v)

‖v‖V= sup

v∈V \0

b(uh,Πhv)

‖v‖V

≤ supΠhv 6=0

1

‖Πh‖Vb(uh,Πhv)

‖Πhv‖V=

1

‖Πh‖Vsupvh 6=0

b(uh, vh)

‖vh‖V.

”Optimale” TesträumeEs sei

Bh ∈ L(Uh, V′h) mit 〈Bhuh, vh〉 = b(uh, vh) injektiv

V opth = A−1

h Bh(Uh) ⊂ Vh Ah ∈ L(Vh, V′h) mit 〈Ahvh, φh〉 = a(vh, φh)

V-elliptischdimUh ≤ dimVh

(7.6) DefinitionDer Raum

V optH = A−1

h Bh(Uh) ⊂ Vh

heißt optimaler Testraum.

82

PropositionEs sind äquivalent:

a) uh ∈ Uh löst

b(uh, φh) = 〈`h, φh〉 ∀φh ∈ V opth

b) uh = (B′hA−1h B)−1B′hA

−1h `h

c) (uh, vh) ∈ Uh × Vh löst

a(vh, φh)+b(uh, φh) = 〈`h, φh〉 ∀φh ∈ Vhb(ψh, vh) = 0 ∀ψh ∈ Uh .

Beweis.

(c)

Ahvh +Bhuh = `h

B′hvh = 0

somit gilt

vh = A−1h (`h −Bhuh)

bzw.

⇒ 0 = B′hA−1h (`h −Bhuh)

⇒ B′hA−1h Bhuh = B′hA

−1h `h (b)

⇒ 〈B′hA−1h Bhuh, φh〉 = 〈B′hA−1

h `h, φh〉 ∀φh⇒ 〈Bhuh, A

−1h Bhφh︸︷︷︸∈V opt

h

〉 = 〈`h, A−1h Bhφh︸︷︷︸∈V opt

h

〉 (a) .

83

8 Gemischte Finite Elemente

Wir betrachten gemischte Finite Elemente (= mixed finite elements).

(8.1) DefinitionSeien V,W Hilberträume und

a : V × V → R

b : V ×W → R

Bilinearformen und

` = (`V , `W ) ∈ V ′ ×W ′

eine Linearform. Dann ist für (u, λ) ∈ V ×W

a(u, v) + b(v, λ) =〈`V , v〉b(u,w) =〈`W , w〉

für alle v ∈ V,w ∈ W ein ”Sattelpunktproblem”.Für gemischte FE: Vh ×Wh ⊂ V ×W und es gilt für (uh, λh) ∈ Vh ×Wh,

a(uh, vh) + b(vh, λh) =〈`V , vh〉b(uh, wh) =〈`W , wh〉

für alle (vh, wh) ∈ Vh ×Wh.

Beispiel

A) ”Optimale” TesträumeSei b inf-sup-stabil in Uh × Vh.Dann gilt für Bh ∈ L(Uh, V

′h) mit 〈Bhuh, vh〉 = b(uh, vh):

Bh ist injektiv (dann ist B′h auch surjektiv)⇔ dimVh = dimUh.Lösungsalgorithmus: Wähle a : V × V → R elliptisch, symmetrisch und definiereAh ∈ L(Vh, V

′h) mit 〈Ahvh, φh〉 = a(vh, φh) für alle vhφh,∈ Vh und

V opth = A−1

h Bh(Uh). Dann ist dimV opth = dimUh.

Sei (uh, vh) Lösung des Sattelpunktproblems

a(vh, φh) + b(uh, φh) =〈`, φh〉 ∀φh ∈ Vhb(ψh, vh) =0 ∀ψh ∈ Uh .

Dann giltb(uh, vh) = 〈`, vh〉 ∀vh ∈ V opt

h .

Beweis.

Ahvh +Bhuh = `h B′hvh = 0

⇒ vh = A−1h (`h −Bhuh)⇒ B′hA

−1h (`h −Bhuh) = 0

⇒ B′hA−1h Bhuh = B′hA

−1h `h

⇒ 〈Bhuh, A−1h Bhφh〉 = 〈`h, A−1

h B−1h φh〉 ∀φh ∈ Uh

⇒ b(uh, vh) = 〈`h, vh〉 vh ∈ V opth .

84

BemerkungB′hA

−1h Bh ist das ”Schur-Komplement”.

B) Poisson-Gleichung

−∆u = f in Ω

mit u = uD auf ∂Ω und σ = ∇u gilt:

0 =

∫Ω

(σ −∇u) · ψ dx =

∫Ω

σ · ψ dx−∫Ω

∇u · ψ dx

=

∫Ω

σ · ψ dx+

∫Ω

u divψ dx−∫∂Ω

uDψ · n da

0 =

∫Ω

(div σ + f

)φ dx ∀ψ, φ .

Somit lautet das Problem: bestimme (σ, u) mit∫Ω

σ · ψ︸︷︷︸a(σ,ψ)

dx+

∫Ω

u divψ︸︷︷︸b(ψ,u)

dx =

∫∂Ω

uDψ · n da ,

∫Ω

div σ · φ︸︷︷︸b(σ,φ)

dx =

∫Ω

fφ dx ∀ψ, φ .

C) Gebietszerlegung Ω = Ω1 ∪ Γ ∪Ω2 mit Ω = Ω1 ∪Ω2 und Γ = ∂Ω1 ∩ ∂Ω2. Es gilt:

Abbildung 34: d = 2 k = 2

−∆u = f in Ω1 ∪Ω2

u = 0 auf ∂Ω

und

u1 = u|Ω1 und u2 = u|Ω2

Aus

−∆u = f in Ω ⇐⇒ u1 = u2 und ∇u1 · n1 = ∇u2 · n1 auf Γ

folgt mit [u]Γ = (u2 − u1)Γ∫Γ

[u]Γ · ψ da = 0 ∀ψ ∈ L2(Γ ) .

85

Also gilt mit

∇u1 · n1 = −∇u2 · n2︸︷︷︸−n1

= 0

und φ|∂Ω = 0, dass∫Ω

fφ dx = −∫Ω1

∆u1φ dx−∫Ω2

∆u2φ dx

=

∫Ω1∪Ω2

∇u · ∇φ dx−∫∂Ω1

∇u1 · n1φ1 da−∫Ω2

∇u2 · n2φ2 da

= −∫Γ

µ[φ]Γ da

Bestimme (u1, u2, µ) mit∫Ω1

∇u1 · ∇φ1 dx

∫Ω2

∇u2 · ∇φ2 dx−∫Γ

µ[φ] da =

∫Ω1

fφ1 dx+

∫Ω2

fφ2 dx∫Γ

[u] · ψ da = 0

D) Stokes-Gleichung

v : Ω → R3 Geschwindigkeitp : Ω → R Druck

−∆v +∇p = f in Ωdiv v = 0 in Ω

v = 0 auf ∂Ω

=⇒∫Ω

fφ dx =

∫Ω

(−∆v +∇p

)φ dx =

∫Ω

∇v · ∇φ︸︷︷︸a(v,φ)

dx−∫Ω

p div φ dx ∀φ ∈ H10(Ω)

0 =

∫Ω

div v · ψ︸︷︷︸b(v,ψ)

dx ∀ψ ∈ L2(Ω)

86

(8.2) LemmaSei a(·, ·) symmetrisch und a(v, v) ≥ 0. Dann ist äquivalent:

a) (u, λ) ∈ V ×W löst das Sattelpunktproblem aus (8.1).

b) (u, λ) ∈ V ×W ist Sattelpunkt des Lagrange-Funktionals,

F (v, w) =1

2a(v, v) + b(v, w)− 〈`, (v, w)〉

d.h.

F (u,w) ≤ F (u, λ) ≤ F (v, λ) ∀(v, w) ∈ V ×W .

Bemerkungu ∈ V minimiert

J(v) =1

2a(v, v)− 〈`V , v〉 unter der Nebenbedingung b(v, w) = 〈`W , w〉 ∀w ∈ W .

Beweis. Es gilt, dass

F (u, λ+ w) ≤ F (u, λ) ∀w ∈ W

äquivalent ist zu

b(u,w) = 〈`W , w〉 w ∈ W .

Daraus folgt

F (u, λ) ≤ J(u)

und

F (u, λ) ≤ F (u+ δv) ∀v ∈ V, δ > 0 .

und erhalten somit

0 ≤ δa(u, v) +δ2

2a(v, v)− δ〈`V , v〉+ δb(v, λ) .

”a)⇒ b)”

0 ≤ δ2

2a(v, v) ⇒

δ=1F (u, λ) ≤ F (u+ v, λ) .

”b)⇒ a)”

δ(a(u, v) + b(v, λ)− 〈`V , v〉 ≥ −

δ2

2a(v, v) .

Daraus folgt δ ≥ − δ2

2a(v, v)→ 0 für δ → 0. Also folgt Gleichheit durch

a(u, v) + b(v, λ) ≥ 〈`V , v〉 ∀v ∈ V .

87

(8.3) SatzSei v0 ∈ V mit b(v0, w) = 〈`W , w〉 für alle w ∈ W mit

V0 = v ∈ V : b(v, w) = 0 ∀w ∈ W = kerB

W0 = w ∈ W : b(v, w) = 0 ∀v ∈ V = kerB′ .

a.) Sei a(·, ·) stetig, symmetrisch und elliptisch in V0, d.h. es existiert α > 0 mit

a(v, v) ≥ α‖v‖2V ∀v ∈ V0 .

Dann existiert genau ein Minimum u ∈ v0 + V0 von J(·), d.h.

J(u) ≤ J(v0 + v) ∀v ∈ V0 .

b.) Sei W0 = 0 und b(·, ·) stetig und inf-sup-stabil, d.h. es existiert ein β > 0 mit

supv 6=0

b(v, w)

‖v‖V≥ β‖w‖W ∀w ∈ W, v ∈ V .

Dann existiert genau ein λ ∈ W , so dass (u, λ) Lösung von (8.1) ist.

Beweis. zu a.) v0 +V0 ist linear affin und abgeschlossen. Das heißt v0 +V0 ist konvex undabgeschlossen. Weiter ist J(·) gleichmäßig konvex in v0 +V0. Daraus folgt sofort, dass einMinimum u ∈ v0 + V0 existiert.Alternativ: Löse u0 ∈ V0 also

a(u0, v) = 〈`V , v〉 − a(v0, v) v ∈ V0 .

Dann folgt mit u = v0 + u0, dass a(u, v) = 〈`, v〉.Nun gilt für alle v ∈ V0

J(u) ≤ J(v0 + v) = J(u) +1

2a(u0 − v, u0 − v) .

zu b.) Nach Satz (7.1) existiert ein eindeutiges λ ∈ W mit

b(v, λ) = 〈`V , v〉 − a(u, v) ∀v ∈ V .

Stabilität: A-priori Schranken

a(u, v) + b(v, λ) =〈`V , v〉b(u,w) =〈`W , w〉

Dann ist

β‖λ‖W ≤ supv 6=0

b(v, λ)

‖v‖V

≤ supv 6=0

1

‖v‖V(− a(u, v) + 〈`V , v〉

)≤ Ca‖u‖V ‖`V ‖V ′ .

88

Außerdem b(v0, w) = 〈`W , w〉 und v0 − u ∈ V0. Verwende:

α‖u− v0‖V ≤ a(u− v0, u− v0) = 〈`V , u− v0〉 − b(u− v0, λ)− a(v0, u− v0)

≤ ‖`V ‖V ′‖u− v0‖V + Ca‖v0‖V ‖u− v0‖V .

Dann gilt

‖u‖V = ‖u− v0 + v0‖V ≤ ‖v0‖V + ‖u− v0‖V

≤(

1 +Caα

)‖v0‖V +

1

α‖`V ‖V ′ .

BemerkungDefiniere W = W/W0=W>

0 mit

b : V × W → R

b(v, w) = b(v, w +W0),

und der Norm

‖w‖W = infw+W0=w

‖w‖W

‖w‖W = supv 6=0

b(v, w)

‖v‖V,

und mit w ∈ W folgt β = 1. Es folgt, dass b inf-sup-stabil ist. Außerdem existiert einLagrange-Parameter λ ∈ V .

Anwendungen

A) Sei V = H(div, Ω),W = L2(Ω) und

a(v, ψ) =

∫Ω

v · ψ dx

b(v, w) =

∫Ω

div vw dx

a(·, ·) ist nicht elliptisch in V !Aber a(·, ·) ist elliptisch in V0 mit α = 1

V0 = v ∈ V :

∫Ω

div vw dx = 0 ∀w ∈ W

= v ∈ H(div, Ω) : div v = 0 .

Es gilt

a(v, v) = ‖v‖20,Ω + ‖ div v‖2

0,Ω = ‖v‖2H(div,Ω) ∀v ∈ V0 .

Zu u ∈ L2(Ω) bestimme wu ∈ H10(Ω) mit der Eigenschaft∫

Ω

∇wu∇φ dx =

∫Ω

uφ dx ∀φ ∈ H10(Ω) .

89

Setze vh = −∇wu dann gilt

div vh = −∆wu = u .

Weiter folgt nun

‖vh‖20,Ω = ‖∇wu‖2

0,Ω ≤ (1 + C2P)−1‖wu‖1,Ω

≤ (1 + C2P)−1‖u‖0,Ω ,

und

‖vh‖2V = ‖vh‖2

0,Ω + ‖∇ · vh‖20,Ω ≤ (1 + C2

P)−1‖u‖20,Ω

Insgesamt gilt also

‖u‖0,Ω = ‖∇ · vh‖0,Ω =b(vh, u)0

‖u‖0,Ω

≤ 1

(1 + C2P)−

12

b(vh, u)

‖vh‖V≤√

1 + C2P sup

v 6=0

b(v, u)

‖φ‖V.

Also ist b(·, ·) inf-sup stabil in H(div, Ω)× L2(Ω).

B) Definiere V = v ∈ H1(Ω1 ∪Ω2) : u|∂Ω = 0. Und

a(v, v) = ‖∇v‖20,Ω1∪Ω2

≥(

1 + C2F

)−1(‖v‖2

1,Ω1+ ‖v‖2

1,Ω2

)mit

‖u‖0,Ωj ≤ CF

(‖∇v‖0,Ωj + ‖v‖0,∂Ω∩∂Ωj

).

Außerdem sei

V = [v] ∈ L2(Γ ) : v ∈ V ‖v‖V = inf

γ(v)=V‖v‖V

d.h. γ : V → L2(Γ ) mit v 7−→ [v] = v2 − v1.

Definiere noch V = γ(V )=V/ ker γ und W = V ⊃ L2(Γ ) (V =V/V0). Dann gilt

‖w‖W : = supv 6=0

〈w, γ(v)〉‖v‖V

und damit β0 = 1. Für µ ∈ W ∩ L2(Ω) gilt

b(v, µ) = 〈µ, γ(v)〉 =

∫Γ

µ[v] da .

90

Vorsicht W 6= L2(Ω), d.h.

V = H1200(Γ ) ⊂ H

12 (Γ )

W = H− 1

200 (Γ ) ⊃ H−

12 (Γ )

C) Betrachten wir das Problem∫Ω

div v dx =

∫∂Ω

v · n da = 0

für v ∈ H10(Ω; Rd).

Es gilt also

b(v, p) =

∫Ω

div vp dx = 0

für p ≡ const . Wähle W = p ∈ L2(Ω) :∫Ωp dx = 0=L2(Ω/R).

Jetzt benutzen wir einen Satz aus der Analysis.

BemerkungEs existiert C > 0 (abhängig von Ω), so dass zu jedem p ∈ W ein vp ∈ V existiert mitdiv vp = p und

‖vp‖1,Ω ≤ C‖p‖0,Ω

Für unser Problem bedeutet das:

‖p‖0,Ω =(div vp, p)0,Ω

‖p‖0,Ω

≤ Cb(vp, p)

‖vp‖1,Ω

≤ C supφ∈V \0

b(φ, p)

‖v‖1,Ω

.

Das heißt b(·, ·) ist inf-sup-stabil in V × L2(Ω)/R mit β = 1C

.

(8.4) SatzSei Vh ×Wh ⊂ V ×W und für αh, βh > 0 gelte

a(vh, vh) ≥ αh‖vh‖2V ∀vh ∈ V0,h = vh ∈ Vh : b(vh, wh) = 0 ∀wh ∈ Wh︸︷︷︸

*V0

und

supvh∈Vh\0

b(vh, wh)

‖vh‖V≥ βh‖wh‖W ,

W0,h = wh ∈ Wh : b(vh, wh) = 0 ∀vh ∈ Vh = 0 .

Dann existiert eine eindeutige Lösung (uh, λh) ∈ Vh ×Wh von

a(uh, vh) + b(vh, λh) = 〈`V , vh〉 ∀vh ∈ Vhb(uh, wh) = 〈`W , wh〉 ∀wh ∈ Wh .

BemerkungSei Vh = Vh/V0,h und Bh ∈ L(Vh,W

′h). Dann folgt W ′

h=Vh=Wh.

91

(8.5) FolgerungSei αh ≥ α0 > 0 und βh ≥ β0 > 0 für alle h ∈ H, V0,h ⊂ V0.Dann gilt für (vh, wh) ∈ Vh ×Wh

‖(u, λ)− (uh, λh)‖V×W ≤ C inf ‖(u, λ)− (vh, λh)‖V×W

mit C abhängig von Ca, Cb, α0, β0.

Wiederholung:

− div κ∇u = f in Ωu = uD auf ∂Ω

Dann folgt mit σ = κ∇u∫Ω

κ−1σ · τ dx+

∫Ω

div τu dx =

∫∂Ω

uDτ · n da∫Ω

div σv dx = −∫Ω

fv dx .

Definiere V = H(div, Ω), W = L2(Ω) und dann

a(σ, τ) =

∫Ω

κ−1σ · τ dx

b(τ, v) =

∫Ω

div τv dx

und falls τ · n ∈ L2(∂Ω)

〈`V , τ〉 =

∫∂Ω

uDτ · n da

〈`W , w〉 = −∫Ω

uDfw dx .

Sei κ ∈ L∞(Ω) mit 0 ≤ κ0 ≤ κ(x) ≤ κ1 f.ü. in Ω. Dann gilt Beschränktheit in L2, also

a(σ, τ) ≤ κ1‖σ‖0,Ω‖τ‖0,Ω.

Sei jetzt weiter

V0 = τ ∈ H(div, Ω) : b(τ, v) = 0 ∀v ∈ W= τ ∈ H(div, Ω) : div τ = 0 .

Dann folgt

κ0‖τ‖2V ≤ a(τ, τ) ≤ κ1‖τ‖2

V ∀τ ∈ V0

Es gilt dann folgende Abschätzung

supτ∈V

b(τ, v)

‖τ‖V≥ 1√

C2P + 1

‖v‖W ∀v ∈ W .

Falls `V ∈ V ′ und f ∈ L2(Ω) ist folgt, dass eine Lösung (σ, u) ∈ V ×W existiert.

92

Diskretisierung

Vh = S(div, Ωh) ⊂ P1(Ωh; Rd) ∩ H(div, Ω) ⊂ V

Wh = P0(Ωh) ⊂ W .

Aus τh ∈ Vh folgt dann div τh ∈ Wh. Sei

Vh,0 = τh ∈ Vh : b(τh, wh) = 0 ∀wh ∈ Wh= τh ∈ Vh : div τh = 0 .

Es gilt dann, dass

a(τh, τh) ≥ κ0‖τh‖2V

elliptisch ist in Vh,0.

(8.6) LemmaEs existiert ein β0 > 0 und h0 > 0 mit

supτh∈S(div,Ωh)

∫Ω

div τhwh dx

‖τh‖H(div,Ω)

≥ β0‖wh‖0,Ω ∀wh ∈ P0(Ωh), h < h0 .

Beweis. Sei τh = Πdivh τ ∈ S(div, Ωh) definiert durch∫

F

τ · n da =

∫F

τh · n da ∀F ∈ Fh .

D.h. τh =∑

F1|F |

( ∫Fτ · n da

)ψF . Dies ist wohldefiniert für τ ∈ H1(Ω; Rd), aber nicht

für τ ∈ H(div, Ω).Sei nun weiterhin wh = Π0

hw ∈ S0(Ωh) die L2-Projektion definiert durch

wh|K =

∫K

w dx ∀K ∈ Kh .

Daraus folgt ∫Ω

whwh dx =

∫Ω

(Π0hw)vh dx =

∫Ω

wvh dx ∀vh ∈ S0(Ω) .

i) Das Diagramm

V ∩ H1(Ω; Rd)div

//

Πdivh

L2(Ω)

Π0h

Vh

div // Qh

ist kommutativ, d.h.Π0h div τ dx = div Πdiv

h τ,

denn für alle wh ∈ Wh und wh|K = 1|K|

∫Kw dx gilt∫

Ω

wh(div τ − div Πdivh τ) dx =

∑K

wh|K∫K

div(τ − Πdivh τ) dx

=∑K

wh|K∫∂K

(τ · n− Πdivh τ · n) da = 0.

Daraus folgt

0 = Π0h(div τ − div Π0

hτ) = Π0h div τ − div Πdiv

h τ .

93

ii) Zeige

‖Πdivh τ‖V ≤ C

(‖τ‖V + h‖∇τ‖0,Ω

).

Es folgt aus i), dass

‖ div Πdivh τ‖0,Ω = ‖Π0

h div τ‖0,Ω ≤ ‖ div τ‖0,Ω

und

‖Πdivh τ‖2

0,Ω = ‖∑F

1

|F |

(∫F

τ · n da)ψF‖2

0,Ω

≤ 2∑K

∑F

‖ψF‖2∞|K|

1

|F |2

∣∣∣∣∫F

τ · n da

∣∣∣∣2 ≤ Ch‖τ · n‖20,F

≤ |F |‖τ · n‖20,F .

Nun können wir abschätzen

‖τ · n‖20,F ≤

∫F

|τ |2ψF · n da =

∫K

div(|τ |2ψF ) dx

≤∫K

(|τ |2 divψF + 2∇ττ · ψF

)dx

≤ ‖τ‖20,K + 2‖∇τ‖0,K‖τ‖0,K

≤ h‖∇τ‖20,K + h−1‖τ‖2

0,K .

Insgesamt folgt dann∑F

‖τ · n‖20,F ≤ C

(h−1‖τ‖0,Ω + h‖∇τ‖0,Ω

)und

‖Πdivh τ‖2

0,Ω ≤ C(‖τ‖2

0,Ω + h2‖∇τ‖20,Ω

).

iii) Sei b(·, ·) inf-sup-stabil in V ×W , d.h. zu wh ∈ Wh ⊂ W existiert ein τ ∈ V mit‖τ‖V = 1 und b(τ, wh) ≥ β‖wh‖0,Ω.Wähle τε ∈ C1(Ω; Rd) mit ‖τ − τε‖V ≤ h und ‖τε − Π1

hτε‖1,Ω ≤ Ch.Dann gilt

‖∇τε‖0,Ω ≤ C‖∇Π1hτε‖0,Ω ≤ Ch−1‖Π1

hτε‖0,Ω ≤ Ch−1 .

Weiter folgt

b(τ, wh) = b(τε, wh) + b(τε − τ, wh)≤ b(τε, wh) + h‖wh‖0,Ω

≤ b(Πdivh τε, wh) + h‖wh‖0,Ω

und aus ii) folgt

‖Πdivh τε‖V ≤ C

(‖τε‖V + h‖∇τε‖V

)≤ C0 .

94

Insgesamt folgt

supτh∈Vh

b(τh, wh)

‖τ‖V≥ b(Πdiv

h τε, wh)

‖Πdivh τε‖V

≥ 1

C0

(b(τ, wh)− h‖wh‖0,Ω

)≥ 1

C0

(β − h)‖wh‖0,Ω ,

für h0 = β2

und β0 = β2.

Sei (u, λ) ∈ V ×W Lösung von

a(u, v) + b(λ, v) = 〈`V , v〉 ∀v ∈ Vb(u,w) = 〈`W , w〉 ∀w ∈ W .

(8.7) SatzSei Vh ⊂ V , Wh ⊂ W und

V0,h = vh ∈ Vh : b(vh, µh) = 0 ∀µh ∈ WhVh(`W ) = vh ∈ Vh : b(vh, µh) = 〈`W , µh〉 ∀µh ∈ WhW0,h = wh ∈ Wh : b(vh, wh) = 0 ∀vh ∈ Vh .

Es gelte

a) a(vh, vh) ≥ αh‖vh‖2V für alle vh ∈ V0,h

b) Vh(`W ) 6= ∅

c)

supvh∈Vh

b(vh, wh)

‖vh‖V≥ βh‖wh‖W/W0,h

∀wh ∈ Wh, βh > 0 ,

wobei ‖wh‖W/W0,h= infw0,h∈W0,h

‖wh + w0,h‖W .

Dann existiert eine eindeutige Lösung (uh, λh) ∈ Vh ×Wh/W0,h von

a(uh, vh) + b(λh, vh) = 〈`V , vh〉 ∀vh ∈ Vhb(uh, wh) = 〈`W , wh〉 ∀wh ∈ Wh .

und es existiert ein C > 0 mit

‖u− uh‖V + ‖λ− λh‖W/W0,h≤ C inf

(vh,wh)∈Vh×Wh

(‖u− vh‖V + ‖λ− wh‖W/W0,h

).

Beweis. i) Mit a) folgt: Zu uh ∈ Vh(`W ) existiert u0,h ∈ V0,h mit

a(u0,h, v0,h) = 〈`V , v0,h〉 − a(uh, v0,h) ∀v0,h ∈ V0,h .

Definiere uh = uh + u0,h. Dann gilt

a(uh, vh) + b(vh, λh) = 〈`V , vh〉 ∀vh ∈ V0,h .

Mit c) folgt, dass ein λh ∈ W0,h existiert mit

b(vh, λh) = 〈`V , vh〉 − a(uh, vh) ∀vh ∈ Vh .

(Das heißt die zugehörigen Matrizen sind invertierbar.)

95

ii) Es gilt

supwh∈Wh\0

b(vh, wh)

‖wh‖W≥ β inf

v0,h∈V0,h‖vh + v0,h‖V .

Um das zu zeigen, wählen wir zu vh ∈ Vh ein vh ∈ Vh + V0,h mit

‖vh‖V = infv0,h∈V0,h

‖vh + v0,h‖V

und wh ∈ Wh mit

b(zh, wh) = (vh, zh)V ∀zh ∈ Vh ,

welches nach c) existiert. Jetzt folgt

β0‖wh‖W ≤ supzh∈Vh\0

b(zh, wh)

‖zh‖V= sup

zh∈Vh\0

b(vh, zh)

‖zh‖V≤ ‖vh‖V

und

supwh∈Wh\0

b(vh, wh)

‖wh‖W≥ b(vh, wh)

‖wh‖W=‖vh‖2

V

‖wh‖W≤ β0‖vh‖V .

iii) Es gilt

infvh∈Vh(`W )

‖u− vh‖V ≤(

1 +Cbβ

)infvh∈Vh

‖u− vh‖V .

Denn aus b) folgt dass ein vh ∈ Vh(`W ) und

b(vh, wh) = 〈`W , wh〉 = b(u,wh) ∀wh ∈ Wh .

Für vh ∈ Vh beliebig löst rh = vh − vh ∈ Vh das Problem

b(rh, wh) = b(u− vh, wh) ∀wh ∈ Wh .

Zu rh bestimme v0,h ∈ V0,h mit ‖rh + v0,h‖V = ‖rh‖V/V0,h . Aus c) und ii) folgt dann

βh‖rh + v0,h‖V ≤ supwh∈Wh\0

b(u− vh, wh)‖wh‖W

≤ Cb‖u− vh‖V

und

‖u− (vh + v0,h)‖V ≤ ‖u− vh‖V + ‖u− (vh − v0,h − vh)‖V

≤(

1 +Cbβ

)‖u− vh‖V .

iv) Zeige:

‖u− uh‖V ≤(

1− Caαh

)inf

vh∈Vh(`W )‖u− vh‖V +

Cbαh

infwh∈Wh

‖λ− wh‖W

96

Es gilt für alle vh ∈ Vh(`W ), dass uh − vh ∈ V0,h und

αh‖uh − vh‖2V ≤ a(uh − vh, uh − vh) ,

d.h.

αh‖uh − vh‖V ≤ supvh∈V0,h\0

a(uh − vh, vh)‖vh‖V

≤ Ca‖u− uh‖V + Cb‖λ− λh‖W .

Diese Abschätzung folgt aus

a(uh − vh, vh) = a(uh − u, vh) + a(u− vh, vh)= −b(vh, λh) + b(vh, λ) + a(u− vh, vh)≤(Cb‖wh − λ‖W + Ca‖u− vh‖V

)‖vh‖ .

Insgesamt folgt also

‖u− uh‖V ≤ ‖u− vh‖V + ‖uh − vh‖V

≤ 1

αh

(Cb‖wh − λ‖W + Ca‖u− vh‖V

).

v) Zeige

‖λ− λh‖W/W0,h≤(

1− Cbβ0

)inf

wh∈Wh

‖λ− wh‖W +Caβ0

‖u− uh‖V .

Es gilt für alle vh ∈ Vh, dass b(vh, λ− λh) = a(u− uh, vh), d.h.

b(vh, wh − λh) = a(u− uh, vh) + b(vh, λ− wh) .

Es folgt

β0‖wh − λh‖W/W0,h≤ sup

vh∈Vh\0

b(vh, wh − λh)‖vh‖V

≤ Ca‖u− uh‖V + Cb‖λ− wh‖W

und

‖wh − λh‖W/W0,h≤ ‖λ− wh‖W/W0,h

+ ‖wh − λh‖W/W0,h

≤ 1

β0

(Ca‖u− uh‖V + Cb‖λ− wh‖W

).

Berechnung von β0 als Eigenwertproblem Sei Wh = W0,h und

〈Bhvh, wh〉 = b(vh, wh)

〈RVh vh, vh〉 = (vh, vh)V

〈RWh wh, wh〉 = (wh, wh)W .

Behauptung:

supvh 6=0

b(vh, wh)

‖vh‖V=√〈Shwh, wh〉 , Sh = B′h(R

Vh )−1B′h .

97

Beweis. ”≥”

supvh 6=0

〈B′hwh, vh√〈RV

h vh, vh〉≥ 〈B′hwh, (RV

h )−1B′hwh√〈B′hwh, (RV

h )−1B′hwh〉=√〈Shwh, wh〉 .

”≤”

〈B′hwh, vh‖vh‖V

=((RV

h )−1B′hwh, vh)

‖vh‖V≤ ‖(RV

h )−1B′hwh‖V =√〈Shwh, wh〉 .

Seien (qh,j, µh,j) ∈ Wh × R Eigenpaare von Shqh,j = µh,jRWh qh,j .

Dann folgt µh,j und mit β0 = min√µh,j gilt√

〈Shwh, wh〉 ≥ β0‖wh‖W .

Das Stokes-System

−∆v +∇p = f, in Ωdiv v = 0

v = 0 auf ∂Ω

Weiter sei v ∈ V = H10(Ω; Rd), p ∈ W = L2,0(Ω) = q ∈ L2(Ω) :

∫Ωq dx = 0

und für

a(v, w) + b(p, w) =(f, w)0,Ω ∀w ∈ Vb(v, q) =0 ∀q ∈ W

gilt

supw∈H1

0(Ω;Rd)

b(w, q)

‖w|1,Ω≥ β‖q‖0,Ω ∀q ∈ W .

Außerdem sei

a(v, w) =

∫Ω

∇v∇w dx

b(v, q) =

∫Ω

divwq dx .

Taylor-Hood-Element Sei Ωh =⋃K mit K Simplex.

Weiter sei Vh = (P2(Ωh) ∩ H10(Ω))d und

Wh = S1(Ωh) ∩W = qh ∈ P1(Ωh) ∩ H1(Ω) :∫Ωqh dx = 0.

98

(8.8) LemmaFür alle Simplizes K ∈ K sei maximal eine Seite F ∈ FK ∩ ∂Ω auf dem Rand. Dannexistiert β0 > 0 mit

supvh∈Vh

b(vh, wh)

‖vh‖1,Ω

≥ β0‖wh‖0,Ω ∀wh ∈ Wh .

Beweis. Wir definieren

‖wh‖1,h =(∑

K

h2K‖∇wh‖2

0,K

)1/2

i) Zeige: Es existiert β1 > 0 mit

supvh∈Vh

b(vh, wh)

‖vh‖1,Ω

≥ β1‖wh‖1,Ω .

Wir definieren zu wh ∈ Wh ein vh ∈ Vh mit

vh(z) = 0, ∀z ∈ Vh ∪ zE : E ∈ E ∩ ∂Ωvh(zE) = −(∇wh · tE)tE ∀E ∈ E ∩Ω

mit zE = 12(z1 + z2), E = convz1, z2, tE = z2 − z1 und z1, z2 = VE . Dann gilt:

‖∇vh‖∞ = h2‖∇wh‖∞‖∑

E∈EK\∂Ω

vh(zE)∇λzE‖20,K

≤ ‖vh‖2∞

∑E

‖∇λzE‖20,K ≤ (h2‖∇wh‖∞)2Ch−2|K| ≤ Ch2‖∇wh‖2

0,K

Das bedeutet ‖∇vh‖0,Ω ≤ C‖wh‖1,h und

‖vh‖1,h ≤√

1 + C2P‖∇vh‖0,Ω ≤

√1 + C2

P‖wh‖1,h .

In 3d gilt für φK ∈ P2(K)∫K

φK dx = |K|(1

5

∑E∈εK

φ(zE)− 1

20

∑z∈VK

φ(z))

und damit

b(vh, wh) =

∫Ω

div vhwh dx−∫Ω

vh · ∇wh dx

= −∑K

|K|15

∑E∈EK\∂Ω

vK(zE) · ∇wh,K−|∇wh·tE |2

≥ c∑K

|K|∑

E∈EK\∂Ω

|∇wh|2h2

= c∑K

h2‖∇wh‖20,K‖

= c‖∇wh‖21,h ≥ c‖wh‖1,h‖v‖1,Ω .

99

ii) Es gilt

‖v − ΠClh v‖0,Ω ≤ C1h‖∇v‖0,Ω

‖ΠClh v‖1,Ω ≤ C2‖v‖1,Ω .

Dann folgt

supvh∈Vh

b(vh, wh)

‖vh‖1,Ω

= supv∈V

b(ΠClh vh, wh)

‖Πhvh‖1,Ω

≥ 1

C2

supv∈V

b(v, wh) + b(ΠClh v − v, wh)

‖v‖1,Ω

≥ β

C2

‖w‖0,Ω − supv∈V

1

‖v‖1,Ω

∑K

h−1K ‖Π

Clh v − v‖0,KhK‖∇wh‖0,Ω

≥ β

C2

‖w‖0,Ω − C3‖w‖1,h

mit C3 = (1 + C2P)−

12C1. Es gilt also

(1 +C3

β1

) supvh 6=0

b(vh, wh)

‖vh‖1,Ω

≥ β‖wh‖0,Ω

somit erhalten wir β0 = βC−12 (1 + C3

β1)−1

Schließlich:

‖v − vh‖1,Ω + ‖p− ph‖0,Ω ≤ ch2(‖v‖3,Ω + ‖p‖2,Ω

),

falls v, p glatt genug.

Das Mini-ElementDefiniere zu S1(K) = spanλz : z ∈ VK eine Bubble-Funktion bK(x) = Πz∈VKλz(x)und wähle

Vh =(S1(Ωh) ∩ H1

0(Ω))d

+ bKej : j = 1, . . . , d

Wh = wh ∈ S1(Ωh) :

∫Ω

wh dx = 0

(8.9) LemmaDas Mini-Element ist inf-sup-stabil.

Beweis. Ansatz für einen Fortin-OperatorDefiniere die Interpolation

Πhv = ΠClh v +

∑K

d∑j=1

γK,jejbK

mit∑

z∈Vh∩Ω

(1

| suppλz |

∫suppλz

v dx)λz. Bestimme γK,j so, dass∫

K

(Πhv − v) dx = 0 .

100

Das ist äquivalent zu ∫K

(v − ΠClh v) dx =

d∑j=1

γK,jej

∫K

bK dx

und

γK,j =1∫

KbK dx

∫K

(vj − ΠClh vj) dx ,

somit gilt∫Ω

div vwh dx = −∫Ω

v · ∇wh dx = −∫Ω

ΠClh v · ∇wh dx =

∫Ω

div ΠClh vwh dx ,

d.h. b(v − Πhv, wh) = 0 für alle v ∈ V,wh ∈ Wh.Es gilt

‖Πhv‖1,Ω ≤ ‖ΠClh v‖1,Ω +

∑K

∑j

|γK,j|‖bK‖1,K ≤ C‖v‖1,Ω .

da ‖bK‖1,K ≤ Ch−1√|K| und

|γK,j| ≤C

|K|‖1‖0,K‖v − ΠCl

h v‖0,K ≤√|K||K|

h‖v‖1,Ω .

Es folgt das Πh ein Fortin-Operator ist und die inf-sup-Stabilität ist gezeigt.

101

9 Discontinous Galerkin Verfahren

DG für die Poisson-Gleichung

Sei Ω konvex und ∂Ω = ΓD ∪ ΓN. Betrachte die Poisson-Gleichung

−∆u = f in Ωu = uD auf ΓD 6= ∅

∇u · n = gN auf ΓN = ∂Ω\ΓD .

Sei nun vh ∈ P(Ωh), u ∈ H2(Ω) und∇u · nF ∈ L2(F ). Dann gilt∫Ω

fvh dx = −∫Ω

∆uvh dx =∑K

∫K

∇uK · ∇vK dx−∫∂K

∇uK · nKvK da

=∑K

∫K

∇uK · ∇vK dx−∑

F∈F∩Ω

∫F

∇u · nvKF da−∫∂Ω

∇u · nvK da

mit uK = u|K und vK ∈ P(K) die stetige Fortsetzung von v|K nach K. Dabei definierenwir

σF =

12(σK + σKF ), F ∈ FK ∩ FKF ⊂ (∂K ∩ ∂KF ∩Ω)σ, F ∈ F ∩ ∂Ω

[[v]]F =

vKnK + vKFnKF , F ∈ FK ∩ΩvKnK , F ∈ FK ∩ ∂Ω

SIP – Symmetric Inner Penalty Zu γ > 0 und vh, φh ∈ P(Ωh) definiere

ah(vh, φh) =∑K

∫K

∇vh · ∇φh dx−∑

F∈F\ΓN

∫F

(∇vhF [[φh]]F + [[vh]]F∇φhF

)da

+∑

F∈F\ΓN

γ

hF

∫F

[[vh]]F [[φh]]F da ,

〈`h, φh〉 =

∫Ω

fφh dx+

∫ΓN

gNφh da

−∑K

∑F∈FK∩ΓD

∫F

uD∇φKnK da+∑K

∑F∈FK∩ΓD

γ

hF

∫F

uDφK da .

BemerkungFür v, φ ∈ H2(Ω) ∩ H1

0(Ω) gilt

ah(v, φ) =

∫Ω

∇v · ∇φ dx .

(9.1) Lemma (Elliptizität = Stabilität)Sei Vh ⊂ P(Ωh), dimVh <∞ und Ctr > 0 mit

‖∇vh · nK‖20,∂K ≤ Ctr

1

hK‖∇vh‖2

0,K

102

für alle vh ∈ Vh und γ > Ctr. Dann gilt

ah(vh, vh) ≥ Cγ‖vh‖21, 1

2,Ωh

für alle vh ∈ Vh und Cγ > 0 und

‖vh‖21, 1

2,Ωh

= ‖∇vh‖20,Ωh

+∑

F∈F\ΓN

1

hF‖[[vh]]F‖2

0,F .

Beweis. Es gilt

ah(vh, vh) =∑K

∫K

|∇vK |2 dx− 2∑

F∈F\ΓN

∫F

∇vhF [[vh]]F da+∑

F∈F\ΓN

γ

hF

∫F

[[vh]]2F da

≥∑K

‖∇vK‖20,K − 2

∑F∈F\ΓN

‖∇vhF · nF‖0,F‖[[vh]]F‖0,F +∑

F∈F\ΓN

γ

hF‖[[vh]]F‖2

0,F

≥∑K

‖∇vK‖20,K −

∑F∈F\ΓN

hFα‖∇vhF · nF‖2

0,F +∑

F∈F\ΓN

γ − αhF‖[[vh]]F‖2

0,F

≥∑K

(1− Ctr

α

)‖∇vK‖2

0,K + (γ − α)∑

F∈F\ΓN

1

hF‖[[vh]]F‖2

0,F

≥ Cγ‖vh‖21, 1

2,Ωh

,

mit Cγ = 1− Ctr

α= γ − α > 0.

In der ersten Abschätzung haben wir verwendet, dass 2ab ≤ hFαa2+ α

hFb2 und weiter haben

verwendet, dass∑F∈F\ΓN

hF‖∇vhF · nF‖20,F ≤

∑K

hK‖∇vK · nK‖20,∂K ≤ Ctr‖∇vK‖2

0,K .

Bemerkung‖vh‖1, 1

2,Ωh

ist eine Norm in Vh, denn

1. Aus ‖vh‖1, 12,Ωh

= 0 folgt

∇vK = 0 ∀K[[∇vh]]F = 0 ∀F ∈ F\ΓN

2. vK = const und vK = vKF und vK = [[vK ]]F für F ⊂ ΓD

3. vh = const, ΓD 6= 0, d.h. vh ≡ 0.

Folgerung: a(·, ·) ist positiv definit in Vh. Das bedeutet es existiert eine eindeutige Lösunguh ∈ Vh mit

ah(uh, vh) = 〈`h, vh〉 ∀vh ∈ Vh .

(9.2) Lemma (Konsistenz)Es gilt für die Lösung

ah(u− uh, φh) = 0 ∀φh ∈ Vh .

103

Beweis.

ah(uh, φh) = 〈`h, φh〉 =(−∆u, φh

)0,Ωh−

∑F∈F∩ΓD

∫F

u∇φh · n da

+∑

F∈F∩ΓD

γ

hF

∫F

uφh da+∑

F∈F∩ΓN

∫F

∇u · nφh da

=∑K

(∫K

∇u · ∇φh dx−∑

F∈FK\ΓN

∫F

∇u · nKφh da)

−∑

F∈F\ΓN

∫F

[[u]]F∇φhF da+∑

F∈F\ΓN

γ

hF

∫F

[[u]]F [[φh]]F da

= ah(u, φh) ,

denn für u ∈ H2(Ω)∩H10(Ω) gilt [[u]]F = 0, ∇uF · nK = 0 für F ∈ Fh ∩Ω und u = 0

auf ΓD, d.h.∑K

∫∂K\ΓN

∇u · nKφK da =∑

F∈F\ΓN

∫F

(∇uF [[φh]]F + [[u]]F∇φhF

)da .

(9.3) Lemma (Stetigkeit)Es gilt für vh ∈ Vh + H2(Ω) und φh ∈ Vh, dass

ah(vh, φh) ≤ C‖vh‖1, 32,Ωh‖φh‖1, 1

2,Ωh

,

mit

‖vh‖21, 3

2,Ωh

= ‖vh‖21, 1

2,Ωh

+∑

F∈F\ΓN

hF‖∇vh · nF‖20,F .

Beweis. Es gilt

ah(vh, φh) ≤∑K

‖∇vh‖0,K‖∇φh‖0,K

+∑

F∈F\ΓN

(h− 1

2F ‖∇vhF · nF‖0,Fh

12F‖[[φh]]F‖0,F

+ h− 1

2F ‖[[vh]]F‖0,Fh

12F‖∇φhF · nF‖0,F

)+ γ

∑F∈F\ΓN

h− 1

2F ‖[[vh]]F‖0,Fh

12F‖[[φh]]F‖0,F

≤(∑

K

‖∇vh‖20,K

) 12

+(∑

K

‖∇φh‖20,K

) 12

+ (1 + γ)( ∑F∈F\ΓN

h−1F

(‖[vh]‖2

0,F + ‖[φh]‖20,F

)) 12

+( ∑F∈F\ΓN

hF‖∇vh · n‖20,F

) 12 +

( ∑F∈F\ΓN

hF‖∇φh · n‖20,F

) 12

≤ 2(1 + γ)‖vh‖1, 32,Ωh‖φh‖1, 1

2,Ωh

.

104

(9.4) Satz (Konvergenz)a) Es gilt

‖u− uh‖1, 12,Ωh≤ C inf

φh∈V‖u− φh‖1, 3

2,Ωh

.

b) Falls u ∈ Hm+1(Ω) mit m ≥ 1 dann gilt

‖u− uh‖1, 12,Ωh≤ Chm‖u‖m+1,Ω .

c) Falls Ω konvex, so gilt

‖u− uh‖0,Ω ≤ Chm+1‖u‖m+1,Ω .

Beweis. zu a)

‖u− uh‖1, 12,Ωh≤ ‖u− φh‖1, 1

2,Ωh

+ ‖uh − φh‖1, 12,Ωh

und

‖u− φh‖1, 12,Ωh

(10.1)

≤ 1

Cγ

ah(uh − φh, uh − φh)‖uh − φh‖1, 1

2,Ωh

(10.2)=

1

Cγ

ah(u− φh, uh − φh)‖uh − φh‖1, 1

2,Ωh

(10.3)

≤ 1

CγC‖uh − φh‖1, 3

2,Ωh

für φh 6= uh.zu b)Es gilt

‖u− ΠmKu‖1,K ≤ ChmK‖Dm+1u‖0,K ,

‖u− ΠmKu‖0,F ≤ Ch

12K‖∇(u− Πm

Ku)‖0,K ≤ Chm+ 1

2K ‖Dm+1u‖0,K

und

‖∇(u− ΠmKu) · nF‖0,F ≤ Ch

12K‖D

2(u− ΠmKu)‖0,K .

Also folgt

‖u− Πmh u‖1, 1

2,Ωh≤ Chm‖Dm+1u‖0,Ω .

zu c) Duales Problem: w ∈ H1(Ω) mit w = 0 auf ΓD und

a(w, v) = (∇w,∇v)0,Ω = (u− uh, v)0,Ω

für alle v ∈ H1(Ω) mit v = 0 auf ΓD.Falls w ∈ H2(Ω) mit ‖w‖2,Ω ≤ C‖u− uh‖0,Ω folgt

‖u− uh‖20,Ω = a(w, u− uh) = ah(w, u− uh) = ah(w − Π1

hw, u− uh)≤ C‖w − Π1

hw‖1, 32,Ωh‖u− uh‖1, 1

2,Ωh

≤ Chm+1‖Dm+1u‖0,Ω .

105

Das ”hp-Dilemma” Die Datenstruktur in Pk(Ωh) ist zwar einfacher als inSk(Ωh) = Πk(Ωh) ∩ H1(Ω), aber:

1. Es gibt mehr Freiheitsgrade

2. Ctr abhängig von k.

Betrachte σ = ∇u mit

‖σ · n‖0,∂K ≤ Ctrh‖σ‖0,K ∀σ ∈ Pk−1(K; Rd) .

Es folgt σ · n = σ(0) = 1.In 2d: Es existiert σk ∈ Pk−1(K; Rd) mit ‖σk · n‖0,∂K ≥ k2C‖σk‖0,K .Es folgt Ctr = O(k2) und damit γ = O(k2). Das heißt der Penalty γ wächst mit k.

Konvergenz mit minimaler Regularität Sei Vh = Pk(Ωh). Wir definieren für F ∈ FKrF : L2(F )→ Pk−1(Ωh; Rd) mit∫

Ω

rF (ϕ) · σh dx =

∫F

σh · nFϕ da ∀σh ∈ Pk−1(Ωh; Rd)

und Rh : H1(Ωh)→ Pk−1(Ωh; Rd) mit Rh(v) =∑

F rF ([v]).

BemerkungEs ist

‖rF ([ϕ])‖0,K ≤ Ctr

∑F∈Fk

h12F‖[ϕ]‖0,F .

Wir definieren Gh : H1(Ωh)→ L2(Ωh; Rd) mit Gh(v) = ∇v −Rh(v).

BemerkungEs ist

‖Gh(v)‖0,Ω ≤ C‖v‖1, 12,Ω ,

und es gilt ∫Ω

rF ([vh]) · ∇wh dx =

∫F

∇wh · [vh] da .

Daraus folgt∫Ω

Gh(vh) · ∇wh dx =

∫Ω

∇vh · ∇wh dx+∑F

∫F

∇wh · [vh] da .

Daraus folgt

ah(vh, wh) =

∫Ω

Gh(vh) ·Gh(wh) dx+∑

F∈F\ΓN

γ

hF

∫F

[vh][wh] da−∫Ω

Rh(vh) ·Rh(wh) dx .

Es folgt Elliptizität für γ > Ctr.Es gilt

106

a) ah(·, ·) ist wohldefiniert für H1(Ωh).

b) ah ist asymptotisch konsistent, d.h. aus vh → v und wh → w in H1(Ωh) für h → 0folgt

ah(vh, wh)→ a(v, w) für h→ 0 .

c) uh → u konvergiert in H1(Ωh), aber ohne Rate, denn

[[uh]]F → 0 für h→ 0

Gh(uh)→ ∇u in L2(Ω; Rd) (Schwache Konvergenz)uh → u in L2(Ω) (Starke Konvergenz) .

Bemerkungah und Upwind Flux approximieren

− div κ∇u+ q · ∇u+ ru = f .

Konvektions-Reaktions-Gleichung

Zu q : Ω → Rd, r : Ω → R, f : Ω → R und uin : Γin → R auf Γin = x ∈ ∂Ω : q · n < 0,bestimme

u : Ω → R mit

q · ∇u+ ru = f inΩu = uin auf Γin

Abbildung 35: d = 2 k = 2

Dazu definieren wir

Lu = q · ∇u+ ru

den Differentialoperator erster Ordnung und

b(u, v) = (Lu, v)0,Ω =

∫Ω

(q · ∇u+ ru)v dx

eine Bilinearform b : U × V → R mit V = L(U) ⊂ L2(Ω) und

U = H(L,Ω) = v ∈ L2(Ω) : Lv ∈ L2(Ω)= v ∈ L2(Ω) : es existiert w ∈ L2(Ω) mit (w, φ)0,Ω = (v, L∗φ)0,Ω ∀φ ∈ C1

c(Ω)

107

ein Hilbertraum mit ‖u‖U = (‖u‖20,Ω + ‖Lu‖2

0,Ω)1/2. Dabei ist L∗w = − div(qw) + rw.Es folgt

(L∗w, φ)0,Ω =

∫Ω

(− div(qw)φ+ rwφ) dx

= −∫∂Ω

n · qwφ da+

∫Ω

(wq · ∇φ+ rwφ) dx

= (w,Lφ)0,Ω ∀w, φ ∈ C1c(Ω) .

Weiter definieren wir

U(uin) = u ∈ H(L,Ω) : u− uin ∈ U0, uin ∈ H(L,Ω)

U0 = u ∈ H(L,Ω) : (Lu, φ)0,Ω − (u, L∗φ)0,Ω = 0 ∀ϕ ∈ U∗U∗ = ϕ ∈ C1(Ω), ϕ = 0 auf ∂Ω\Γin .

Ist nun w ∈ U0 hinreichend glatt, gilt

(Lu, φ)0,Ω − (u, L∗φ)0,Ω =

∫∂Ω

q · nuφ da

=

∫Γin

q · nuφ da ∀φ ∈ U∗ .

Daraus folgt

(u, L∗v)0,Ω = (f, v)0,Ω − (uinq · n, v)0,Γin ∀v ∈ U∗

〈Bu, v〉 = b(u, v) B ∈ L(U, V ′),∀u ∈ U, v ∈ V .

(9.5) LemmaSei q ∈ L∞(Ω; Rd) mit div q ∈ L∞(Ω), r ∈ L∞(Ω).Es existiere ein r0 > 0 mit r − 1

2div q ≥ r0 > 0 fast überall in Ω.

Dann existiert CL > 0 mit

‖u‖0,Ω ≤ CL‖Lu‖0,Ω ∀u ∈ U0 .

Beweis.

r0

∫Ω

u2 dx ≤∫Ω

(r − 1

2div q

)u2 dx =

∫Ω

(ru2 +

1

2q · ∇(u2)

)dx− 1

2

∫Ω

div(u2q) dx

≤∫Ω

Luu dx ≤ ‖Lu‖0,Ω‖u‖0,Ω

denn

−1

2

∫Ω

div(u2q) dx = −∫∂Ω

q · nu2 da

= −∫∂Ω\Γin

q · nu2 da ∀u ∈ U0 mit u2q ∈ H(div, q) .

Insgesamt folgt

‖u‖0,Ω ≤1

r0

‖Lu‖0,Ω .

108

(9.6) LemmaEs gilt

supv∈V \0

b(u, v)

‖v‖0,Ω

≥ β‖u‖U ∀u ∈ U0

und β = (1 + C2L)−1/2.

Beweis. Es gilt für u ∈ U0

‖u‖2U = ‖u‖2

0,Ω + ‖Lu‖20,Ω ≤ (C2

L + 1)‖Lu‖20,Ω .

Mit v = Lu gilt dann

supv∈V \0

b(u, v)

‖v‖0,Ω

≥‖Lu‖2

0,Ω

‖Lu‖0,Ω

≥ 1√C2L + 1

‖u‖U

(9.7) FolgerungV = L(U) ⊂ L2(Ω) ist abgeschlossen und damit ein Hilbertraum.

Beweis. Wähle vnn∈N ⊂ U mit limn→∞

Lvn = f . Dann gilt

‖vn − vl‖0,Ω ≤ CL‖Lvn − Lvl‖0,Ω → 0 n, l→∞ .

Das heißt vn ist eine Cauchy-Folge in U0 und es existiert ein v ∈ U mit limn→∞

vn = v.Aus der Stetigkeit von L folgt, dann das

Lv = limn→∞

Lvn = f .

Galerkin-Ansatz Sei Vh = Uh = Pk(Ωh) ⊂ L2(Ω) mit k ∈ N0. Wählen wir k = 0dann erhalten wir Finite Volumen und Discontinous Galerkin für k ≥ 1.Für vh ∈ Vh gilt

b(u, vn) = (ru, vn)0,Ωh +∑K

(q · ∇u, vn)0,K

= (ru, vn)0,Ωh +∑K

(−u, div(qvn))0,K +

∫∂K

uq · nKvK da

= (u, rvn − div(qvn))0,Ωh +∑K

∑F∈FK

∫F

ψ(u) · nKvK da

mit dem Fluss ψ(u) = uq. Für den numerischen Fluss gilt (upwind):

ψ∗K,F (uh) =

uKq q · nK ≥ 0 AusflussuKF q q · nK < 0 F ⊂ Ωuinq q · nK < 0 F ⊂ Γin.


109

Wir setzen voraus, dass Γin =⋃F⊂Γin

F , F ∈ FKF und F = ∂K ∩ ∂KF . Es gilt weiterhin

bh(uh, vh) = (uh, rvn − div(qvn))0,Ωh +∑K

∑F⊂∂K

∫F

ψ∗K,F (uh) · nKvK da

= (q · ∇uh + ruh, vn)0,Ωh +∑K

∑F⊂∂K

∫F

(B∗K,F (uh)− ψ(uk)

)· nKvK da ,

mit

ψ∗(un)− ψ(uh) =

[uh]K,F q q · nk < 0

0 sonst

wobei hier

[uh]K,F = uKF − uK[uh]K,F = −uh für F ∈ F ∩ Γin .

Es folgt (ψ∗K,F (uh)− ψ(uh)

)· nK =

1

2

(q · nK − |q · nK |

)[uh]

und damit

bh(uh, vh) = (Luh, vh)0,Ωh +∑K

∑F

∫F

q · nK [uh]K,Fvh da

〈`h, vh〉 = (f, vh)0,Ω −∫Γin

uinq · nvh da .

Schließlich definieren wir

‖uh‖q,∂hΩ =∑

F∈F∩Ω

∫F

|q · n| |[uh]F | da =∑

F∈F∩∂Ω

∫F

|q · n|u2h da .

(9.8) Satz (Stabilität)Es gilt

bh(vh, vh) ≥ r0‖vh‖20,Ω + ‖vh‖2

q,∂Ωh∀vh ∈ Vh .

Beweis. Es gilt

bh(vh, vh) =∑K

(LvK , vK)0,K +

∫∂K\Γin

q · nK [vh]K,FvK da−∫Γin

q · n|vh|2 da

=

∫Ω

(r − 1

2div q)|vh|2 dx+

1

2

∫Ω

div(qv2h) da

+∑K

∑F∈FK\Γin

1

2

∫F

(q · nK − |q · nK |)[vh]K,FvK da+

∫Γin

|q · n|v2h da

≥ r0‖vh‖20,Ω +

1

2

∫∂Ω

|q · n||vh|2 da+∑

F∈F∩Ω

1

2

∫F

|q · nF |[vh]2 da .

110

Dies gilt da für F ∈ F ∩Ω gilt

q · nKv2K + q · nKF v2

KF+

1

2(q · nK − |q · nK |2)(vKF − vK)vK

+1

2(q · nKF − |q · nKF |)(vK − vKF )vKF

= q · nK(v2K − v2

KF+ vKF vK − v2

K − vKF vK + v2KF

)

− 1

2|q · nK |(vKF vK − v2

K + vKvKF − v2KF

)

= −1

2|q · nK ||[vh]K,F |2 .

Es gilt

1

2q · nv2

h + |q · n|v2h =

1

2|q · n|v2

h F ∈ F ∩ Γin

1

2q · nv2

h =1

2|q · n|v2

h F ∈ F ∩ ∂Ω\Γin .

(9.9) Lemma (Konsistenz)Sei u ∈ H1(Ω). Dann gilt für die Lösung

bh(u− uh, vh) = 0 ∀vh ∈ Vh (Galerkin-Orthogonalität.)

Beweis. Aus u ∈ H1(Ω) folgt, dass

[u]F = 0 F ∈ F ∩Ω[u]F = uin F ∈ F ∩ Γin .

Damit gilt

bh(u, vh) = (Lu, vh)0,Ω +∑K

∑F∈FK∩Ω

∫F

q · nK [u]vh da−∫Γin

q · nuv da

= (f, vh)0,Ω −∫Γin

q · nuinvh da = 〈`h, vh〉 = bh(uh, vh)

Definiere:

‖vh‖21,q,Ωh

= ‖vh‖20,Ω + ‖vh‖q,∂Ωh +

∑K

hk‖q · ∇vh‖20,K .

(9.10) Satz (Stabilität)Sei ‖q − Π0

hq‖∞ ≤ Cqh1/2. Dann existiert ein β0 > 0 mit

supφh∈Vh

bh(vh, φh)

‖φh‖1,q,Ωh

≥ β0‖vh‖1,q,Ωh ∀vh ∈ Vh .

Beweis. Für k = 0 folgt die Behauptung sofort aus (9.9).

111

i) Für wK ∈ Pk(K) gelten die inversen Ungleichungen∫∂K

|q · nK |w2K da ≤ C1h

−1K ‖wK‖

20,K ,

und

‖∇wK‖0,K ≤ C2h−1‖wK‖0,K ,

mit C1, C2 > 0 abhängig von k, q und der Gitterqualität.

ii) Zu vh ∈ Vh definiere

wK = Π0Kq · ∇vK ∈ Pk(K) = VK

dann gilt√∫∂K

|q · nK |w2K da ≤

√C1h

−1/2K ‖wK‖0,K

≤√C1h

−1/2K

(‖q · ∇vK‖0,K + Cq‖∇vK‖0,K

),

da

‖wK‖0,K = ‖Π0Kq · ∇vK‖0,Ω

≤ ‖q · ∇vK‖0,K + ‖(q − Π0Kq) · ∇vk‖0,K ≤ Cqh

12‖∇vK‖0,K .

iii) Definiere wh =∑

K hkwk. Dann folgt aus i) sofort

‖wh‖0,Ω ≤ ‖q‖∞C2‖vh‖0,Ω .

Zu zeigen

1

2

∑K

hK‖q · ∇vK‖20,K ≤ bh(vh, wh) + Cbh(vh, vh) .

Es gilt∑K

hK‖q · ∇vK‖20,K = (q · ∇vh, wh)0,Ωh +

∑K

hK(q · ∇vh, (q − Π0hq) · ∇vh)0,K

und

hK(q · ∇vK , (q − Π0Kq) · ∇vK)0,K ≤

hK4‖q · ∇vh‖2

0,K + hK‖q − Π0hq‖2

∞‖∇v‖20,K︸︷︷︸

≤C‖vK‖20,K

.

Es folgt

3

4

∑K

hK‖q · ∇vK‖20,K = (q · ∇vh, wh)0,Ωh + C‖vh‖2

0Ω

112

Aus

(q · ∇vh, wh)0,Ωh = bh(vh, wh)− (rvh, wh)0,Ω

−∑K

∫∂K\Γin

[vh]qK · nwh da−∫Γin

q · nvhwh da

folgt

3

4

∑K

hK‖q · ∇vK‖20,K ≤ bh(vh, wh) + ‖r‖∞‖vh‖0,Ω‖wh‖0,Ω

+ ‖vh‖q,Ω‖wh‖0,∂hΩ + C‖vh‖20,Ω

≤ bh(vh, wh) + C‖vh‖20,Ω + C‖vh‖2

q,Ωh

+1

4

∑K

hK‖q · ∇vK‖20,K .

Dies gilt da

‖r‖∞‖vh‖0,Ω‖wh‖0,Ω ≤ C2‖r‖∞‖q‖∞‖vh‖20,Ω

und

‖wh‖0,∂K ≤ C1h− 1

2‖wK‖0,K = C1h12‖Π0

Kq · ∇vh‖0,K

≤ C1h12

(‖q · ∇vh‖0,K + ‖q − Π0

K‖∞‖∇vh‖0,K

)≤ C1h

12‖q · ∇vh‖0,K + C3‖vh‖0,K .

Es folgt

‖wh‖20,∂K ≤ 2C2

1h‖q · ∇vh‖20,K + 2C2

3‖vh‖20,K

und damit

‖vh‖q,∂hΩ‖wh‖0,∂Ω ≤ 2C21‖vh‖2

q,∂Ω +1

8C21

‖wh‖20,∂Ωh

≤ 2C21‖vh‖2

q,∂Ωh+

1

4

∑K

hK‖q · ∇vh‖20,K +

1

4C2

3‖vh‖20,Ω .

iv) Es folgt aus ii) und iii)

‖wh‖21,q,Ωh

= ‖wh‖20,Ω + ‖wh‖2

q,∂Ωh+∑K

hK‖q · ∇vh‖20,Ω

≤ ‖q‖∞C2‖vh‖20,Ω + ‖q‖∞‖wh‖0,∂Ωh + ‖q‖∞C2

1‖vh‖20,Ω

≤ C‖vh‖21,q,Ωh

.

v) Es folgt

‖vh‖21,q,Ωh

= ‖vh‖20,Ω + ‖vh‖2

0,∂Ωh+∑K

hK‖q · ∇vK‖20,K

≤ C4bh(vh, vh) + b(vh, wh) + C‖vh‖20,Ω + C‖vh‖2

0,Ω

= bh(vh, vh) mit vh = wh + C4 + 1 + C + C︸︷︷︸C5

vh .

113

Es folgt

supφh 6=0

b(vh, φh)

‖φh‖1,q,Ωh

≥ b(vh, vh)

‖vh‖1,q,Ωh

≥ ‖vh‖1,q,Ωh

‖vh‖1,q,Ωh

≥ β0‖vh‖1,q,Ωh

mit β0 = 1C5+C4

.

Definiere

‖v‖232,q,Ωh

= ‖v‖21,q,Ωh

+∑K

(h−1K ‖v‖

20,K + ‖v‖2

0,∂K

)(9.11) Lemma (Stetigkeit)Für v ∈ V + Vh, wh ∈ Vh gilt

bh(v, wh) ≤ C‖v‖ 32,q,Ωh‖wh‖1,q,Ωh .

Beweis. Es gilt

bh(v, wh) = (rv, wh)0,Ω +∑K

(v, div(q)wh + q · ∇wh)0,K

+∑K

∑F∈FK\Γin

∫F

ψ∗K,F (v) · nKwh da−∫Γin

q · nvwh da

≤ C‖v‖0,Ω‖wh‖0,Ω +(∑

K

h−1K ‖v‖

20,K

)2(∑

K

hK‖q · ∇wh‖20,K

) 12

+(∑

K

‖v‖20,∂K

) 12‖wh‖q,∂Ωh

≤ ‖v‖ 32,q,Ωh‖wh‖1,q,Ωh .

(9.12) Satz (Konvergenz)Sei u Lösung von Lu = f , u = uin auf Γin mit u glatt genug.

a) Es gilt

‖u− uh‖1,q,Ωh ≤ C infvh∈Vh

‖u− vh‖ 32,q,Ωh

.

b) Falls u ∈ Hm+1(Ω), (m ≤ k), dann gilt

‖u− uh‖1,q,Ωh ≤ Chm+1/2‖u‖m+1,Ω .

Beweis. zu a)

‖u− uh‖1,q,Ωh ≤ ‖u− vh‖1,q,Ωh + ‖uh − vh‖1,q,Ωh

≤ ‖u− v‖1,q,Ωh +1

β0

supφh∈Vh

bh(vh − u,wh)‖wh‖1,q,Ωh

≤(

1 +C

β0

)‖u− vh‖ 3

2,q,Ωh

.

114

zu b)Seien ‖vh‖ = Π0

hu (k = 0) oder vh = Πmh u (k > 1), dann gilt

‖u− vh‖ ≤ Chm+1‖Dm+1u‖0,Ω

also ∑K

hK‖q · ∇(u− vh)‖20,K ≤ hCh2m‖Dm+1u‖2

0,Ω

‖u− vh‖q,∂Ωh ≤ Ch−12‖u− vh‖0,Ωh ≤ Chm+ 1

2‖u‖m+1∑K

h−1K ‖u− vh‖

20,K ≤ h−1Ch2(m+1)‖Dm+1u‖2

0,Ω .

Transportgleichung

Zu q : Ω → Rd, Γin = x ∈ ∂Ω : q · n < 0 und

f : (0, T )×Ω → R

uin : (0, T )× Γin → R

u0 : Ω → R

bestimme u : [0, T ]× Ω → R mit

∂tu+ q · ∇u = f, in Q = (0, T )×Ωu(t, x) = uin(t, x) (t, x) ∈ (t, x)× Γin

u(0, x) = u0(x) x ∈ Ω .

Starke Lösung (strong solutions)Sei Lv = ∂v + q · ∇v. Definiere

H(L,Q) = v ∈ L2(Q) : Lv ∈ L2(Q)= v ∈ L2(Q) : w ∈ L2(Q) existiert mit(w, φ)0,Q = (v, L∗φ) ∀φ ∈ C1

c(Q)

mit L∗w = −∂tw − div(qw). Dies gilt da

(Lv,w)0,Q − (v, L∗w)0,Q = (∂tv, w)0,Q + (q · ∇v, w)0,Q + (v, div qw)0,Q

=

∫ T

0

∂t(v(t), w(t))0,Ω dt+

∫ T

0

∫Ω

div(vwq) dx dt = 0

für v, w ∈ C10(Q). Definiere weiter

U0 = v ∈ C1(Ω) : v(0) = 0, v(t, x) = 0 für (t, x) ∈ [0, T ]× Γin ,

mit U0 = Abschluss von U0 in H(L,Q) bzgl. ‖v‖L,Q =(‖v‖2

0,Q + ‖Lv‖20,Q

) 12 .

(9.13) LemmaEs existiert CL > 0 mit ‖v‖0,Q ≤ CL‖Lv‖0,Q für alle v ∈ U0.

115

Beweis. Es gilt für v ∈ U0

‖v‖20,Q =

∫ T

0

(‖v(t)‖2

0,Ω − ‖v(0)‖20,Ω

)dt =

∫ T

0

∫ t

0

∂t‖v(s)‖20,Ω ds dt

= 2

∫ T

0

∫ t

0

(∂tv(s), v(s))0,Ω ds dt

≤ 2

∫ T

0

∫ t

0

((∂tv(s), v(s))0,Ω +

∫∂Ω\Γin

q · nv(s)2 da

)ds dt .

O.E. sei div q = 0 und da∫∂Ω\Γin

q · nv(s)2 da =

∫∂Ω

q · nv(s)2 da =

∫Ω

div qv2 dx = 2

∫Ω

vq · ∇v dx

gilt, folgt insgesamt

2

∫ T

0

∫ t

0

((∂tv(s), v(s))0,Ω +

∫∂Ω\Γin

q · nv(s)2 da)

ds dt

= 2

∫ T

0

∫ t

0

(∂tv(s) + q · ∇v(s), v(s))0,Ω ds dt

≤ 2

∫ T

0

∫ t

0

‖Lv(s)‖0,Ω‖v(s)‖0,Ω ds ≤ 2T︸︷︷︸CL

‖Lv‖0,Ω‖v‖0,Q .

(9.14) SatzL : U0 → L2(Q) ist unter unseren Voraussetzungen surjektiv.

Beweis. Sei f ∈ L2(Q). Zu ε > 0 existiert N , sodass ‖f − fN‖0,Q < ε, mit

fnN = fN(t) =1

MtN

∫ tN ,n

tN ,n−1

f(t) dt

mit t ∈ (tN,n−1, tN,n) und MtN = TN

, tN,n = nMtN .Wir müssen zeigen, dass ein uN ∈ U0 existiert mit LuN = fN .Definiere u0

N = uN(0) = 0 und unN ∈ H0(LN , Ω) = v ∈ L2(Ω) : LN ∈ L2(Ω) mitLNv = 1

MtNv + q∇v.

O.E. sei 1MtN− 1

2div q ≥ 0. Dann folgt

1

MtN(u1

N − un−1N ) + q∇unN = fnN ⇔ (LNu

nN , v)0,Ω = (f − 1

MtNun−1N , v)0,Ω ∀v ∈ L2(Ω)

Aus (9.7) folgt dann, dass eine Lösung existiert.Definiere uN ∈ H(L,Q) als linearen Spline von u0

N , u1N , . . . , u

NN . Daraus folgt

limN→∞

‖LuN − f‖0,Ω = 0.

116

(9.15) SatzSei f ∈ L2(Q). Dann existiert eine eindeutige Lösung u ∈ U0 von Lu = f und es gilt mitβ = 1√

1+C2L

und

(Lu, v)0,Q = (f, v)0,Q,

supv 6=0

(Lu, v)0,Q

‖v‖0,Q

≥ β‖u‖U ,

‖u‖U ≤1

β‖f‖0,Q .

Beweis. Aus (9.14) folgt das eine Lösung u existiert und die Eindeutigkeit folgt aus (9.13).Zu u wähle v = Lu. Dann gilt

supv 6=0

(Lu, v)0,Q

‖v‖0,Q

≥ (Lu, Lu)0,Q

‖Lu‖0,Q

= ‖Lu‖0,Q ≥

√‖u‖2

0,Q + ‖Lu‖20,Q

1 + C2L

.

Daraus folgt insgesamt

‖u‖U ≤1

βsupv 6=0

(Lu, v)0,Q

‖u‖0,Q

=1

βsupv 6=0

(f, v)0,Q

‖u‖0,Q

= ‖f‖0,Q .

Schwache Lösungen Sei u ∈ H(L,Q), v ∈ U∗0 . Dann gilt

(f, v)0,Q = (Lu, v)0,Q

= (u, L∗v)0,Q + (u(T ), v(T ))0,Ω − (u(0), v(0))0,Ω +

∫(0,T )×∂Ω

uvq · n da .

u ∈ L2(Ω) heißt schwache Lösung wenn

(u, L∗v)0,Q = (f, v)0,Q + (u0, v(0))0,Ω −∫

(0,T )×Γin

uinvq · n da =: 〈`, v〉 ∀v ∈ U∗0 .

(9.16) SatzSei

|〈`, v〉| ≤ C`‖v‖U∗ ∀v ∈ U∗0 .

Dann existiert eine eindeutige Lösung u ∈ L2(Ω) mit

(u, L∗v)0,Q = 〈`, v〉 ∀v ∈ U∗0

und es gilt

supφ∈U∗0

(u, L∗φ)

‖φ‖U∗≥ β‖u‖0,Q .

Das bedeutet

‖u‖0,Q ≤1

β‖`‖U ′ =

1

βsupφ∈U∗0

〈`, φ〉‖φ‖U∗

.

117

Beweis. b∗(u, v) = (u, L∗v)0,Q ist inf-sup-stabil in L2(Ω) × U∗0 und L∗ ist injektiv. Zu-sammen mit der Dualität aus Kapitel 7 folgt die Behauptung.

BemerkungSei

J(v) =1

2‖L∗v‖2

0,Q − 〈`, v〉

≥ β2

2‖v‖2

U∗ −2

β‖`‖U ′

β

2‖v‖U∗

≥ β2

4‖v‖2

U∗ −1

β2‖`‖2

U ′

Das heißt es existiert ein eindeutiges Minimum u∗ von J(·), also u = L∗u∗.Formal: Löse LL∗u∗ = `. Und mit u = L∗u∗ folgt Lu = `.

Das Riemann-Problem Sei Ω = Rd, x0 = Ω, n ∈ S1 und q ∈ Rd. Weiter sei

u0(x) =

uL, x ∈ ΩL = x ∈ Ω : (x− x0) · n < 0uR, x ∈ ΩR = x ∈ Ω : (x− x0) · n > 0.

BeispielSei q ≡ 1, d = 1 und n = 1 mit ∂tu+ ∂xu = 0.Dann ist

u(t, x) =

uL, (t, x) ∈ QL =

(tx

): (x− x0) · n < tq · n

uR, (t, x) ∈ QR = (tx

): (x− x0) · n > tq · n

schwache Lösung von, d.h. für alle v ∈ C1c(R× Rd) gilt

(u, L∗v)0,Q = −uL∫QL

(∂tv + div(qv)) dx− uR∫QR

(∂tv + div(qv)) dx

= (u0, v(0))0,Ω − uL∫ T

0

∫∂QL

(−q · nn

)·(v

qv

)da dt

− uR∫ T

0

∫∂QR

(q · n−n

)·(v

qv

)da dt

= (u0, v(0))0,Ω .

Der Upwind-Flux ist die Lösung des Riemann-Problems, d.h. ψ(u) = qu und

ψ∗(u) =

uLq, q · n > 0uRq, q · n < 0.

Sei uh ∈ P(Ωh) und F ∈ FK ∩ FKF . Setze uL = uK und uR = uKF . Dann folgt

ψ∗(uh) =

uKq, q · nK ≥ 0uKF q, q · nK < 0 F ∩Ωuinq, q · nK < 0 F ∩ ∂Ω.

118

Zu N ∈ N Zeitschritten definiere Qh =N⋃n=1

⋃K

(tn−1, tn) × K. Weiter sei Wh = Pk(Ωh)

und

Vh =N⋃n=1

⋃K

P0 ⊗ Pk(K) ⊂ L2(Q)

Uh = vh ∈ C([0, T ];Wh) ∩⋃R

P1 ⊗ Pk(K) : vh(0) = 0 .

Es folgt dass dimVh = dimUh und ∂tUh = Vh.Definiere Lh = ∂t + Ah mit

(Ahvh, wh)0,Ωh = (qh · ∇vh, wh)0,Ωh − (qh · nvh, wh)0,Γin +∑K

∑F∈F in

K∩Ω

(qh · nF [vh]K,F , wh)0,F

und F inK = F ∈ FK : qh · nK < 0.

Implizite MittelpunktsregelSei u0

h = Πhu0, Mt = TN

der Zeitschritt und fN = Πhf ∈ Vh mit

1

Mt(unh − un−1

h ) +1

2Ah(u

nh + un−1

h ) = fnh .

Definiere linearen Spline

uh(t, x) =N∑n=1

φn(t)unh(x)

mit φn(t) = max0, 1− |t−tn|Mt . Es folgt für t ∈ (tn−1, tn), dass ∂tuh(t) = 1Mt(u

nh − un−1

h )und dass

(Ahuh, vh)0,Qh =N∑n=1

1

2(Ah(u

nh + un−1

h ), vh)0,Ωh .

Das heißt, uh ∈ Uh löst (für u0 = 0)

bh(uh, vh) = (f, vh)0,Q + (uin, vh)(0,T )×Γin ∀vh ∈ Vh .

Konsistenz:

(Ahv, w)0,Ω = (qh · ∇v, w)0,Ω = (Av,w)0,Ω ∀v, w ∈ Wh ∩ H1(Ω) .

(9.17) SatzEs gilt

supvh∈Vh\0

bh(uh, vh)

‖vh‖0,Q

≥ β‖uh‖Uh

‖u− uh‖Uh ≤ C infvh∈Uh

‖u− vh‖Uh

bzgl.

‖v‖2Uh

= ‖v‖20,Q + ‖ΠhLhv‖0,Q v ∈ U + Uh

mit Lhv = Lv für v ∈ U .

119

Beweis. Sei Πh : Uh → Vh die L2-Projektion, d.h.

(Πhw, vh)0,Q = (w, vh)0,Q w ∈ L2(Q)

Zeige:

‖vh‖0,Q ≤ 2T‖ΠhLhvh‖0,Q ∀vh ∈ Uh .

Es gilt

‖vh‖20,Q =

∫ T

0

(‖vh(t)‖2

0,Ω − ‖vh(0)‖20,Ω

)dt = 2

∫ T

0

∫ t

0

(∂tvh(s), vh(s))0,Ω ds dt

= 2

∫ T

0

(T − t)(∂tvh(t), vh(t))0,Ω dt = 2(∂tvh, (T − t)vh)0,Q

≤ 2(∂tvh, (T − t)Πhvh)0,Q .

Dies folgt aus

(∂tvh, (T − t)(vh − Πhvh))0,Q =N∑n=1

1

Mt(vnh − vn−1

h , (T − t)(φn − φn−1)(vnh − vn−1h ))0,Ω

=N∑n=1

1

Mt

∫ tn−1

tn

(T − t)tn + tn−1 − 2t

Mtdt‖vnh − vn−1

h ‖20,Ω > 0 .

Es folgt dann

(ΠhAhvh, (T − t)Πhvh)0,Q =N∑n=1

1

4

∫ tn

tn−1

(T − t) dt(Ah(vn−1h + vnh), vn−1

h + vnh)0,Ω

und damit schließlich

‖vh‖20,Q ≤ 2(∂tvh + ΠhAh︸︷︷︸

ΠhLhvh

vh, (T − t)Πhvh)0,Q ≤ 2T‖ΠhLhvh‖0,Q‖vh‖0,Q .

Insgesamt ergibt sich

‖vh‖0,Q ≤ CL︸︷︷︸2T

‖ΠhLhvh‖0,Q

und

supwh∈Vh\0

bh(vh, wh)

‖wh‖0,Q

≥ (Lhvh,ΠhLhvh)0,Q

‖ΠhLhvh‖0,Q

= ‖ΠhLhvh‖0,Q ≥ β‖vh‖Uh .

120

Documents

Finite Elemente - KIT - Fakultät für Mathematik