FKM_H290_V251_Konstitutive Kriechermüdungsbeschreibung

Konstitutive Kriech- und Kriechermüdungsbeschreibung

Vorhaben Nr. 251 _____________________

Konstitutive Werkstoffbeschreibungen für warmfeste Kraftwerksstähle im

Kriech- und Kriechermüdungsbereich _____________________

Abschlussbericht

Kurzfassung:

In diesem Vorhaben wurde das Ziel verfolgt, eine robuste, thermodynamisch konsistente Beschrei-bung des inelastischen Verhaltens am Beispiel eines warmfesten Schmiedestahles vom Typ 28CrMoNiV4-9 in Form eines konstitutiven elastoviskoplastischen Materialmodells zur Lebensdauer-berechnung und Optimierung von Hochtemperaturbauteilen des Kraftwerks- und Anlagenbaues unter praxisnaher Kriech- und Kriechermüdungsbeanspruchung zu erstellen. Das Materialmodell ist in der Lage, Kriechbeanspruchung und Kriechermüdungsbeanspruchung zu erfassen und Verformung sowie Lebensdauer zu beschreiben. Im Vordergrund der theoretischen Arbeiten standen die Anpassung eines Materialmodells an die vor-liegende komplexe Beanspruchung und Fragen der Entwicklung und Erprobung eines geeigneten Verfahrens zur Parameteridentifikation sowie die Entwicklung einer UMAT für Finite-Elemente-Berechnungen. Das konstitutive Materialmodell berücksichtigt die kinematische und isotrope Verfesti-gung sowie isotrope Schädigung und ist für 3D-Simulation konzipiert. Es beruht auf dem Konzept der effektiven Spannung kombiniert mit dem Prinzip der verallgemeinerten Energieäquivalenz. Zur Identifizierung der Materialparameter wurde die Methode der Neuronalen Netze mit anschließen-der Optimierung durch die Nelder-Mead-Methode zugrunde gelegt. Dabei unterstützt ein speziell ent-wickeltes Programmpaket den Anwender bei der simultanen Berücksichtigung unterschiedlicher Ver-suchsarten wie Kriech-, Ermüdungs- und Kriechermüdungsversuche. Die Identifikation der Materialpa-rameter wurde auf der Basis vorhandener 1D-Versuchsdaten durchgeführt. Den Schwerpunkt der experimentellen Arbeiten bildete die Durchführung der Verifikationsversuche an Rundkerbproben und Kreuzproben. Die erzielten Beanspruchungsdauern in den Verifikationsexperi-menten liegen bei 2000 bis 3000 h unter Variation der die Kriechschädigung beeinflussenden Halte-zeit sowie der Beanspruchungshöhe. Hierbei erwies sich insbesondere die dehnungsgeregelte Abbil-dung einer biaxialen Kriechermüdungsbeanspruchung mithilfe von Kreuzproben von Vorteil hinsicht-lich der Nähe zur beheizten Oberfläche von massiven Hochtemperaturbauteilen. Zusammenfassend konnte mit der hier durchgeführten Arbeit das Potenzial dieses fortschrittlichen Materialmodells gezeigt werden. Insgesamt ließen sich mit dem Materialmodell zufriedenstellende Vorhersageergebnisse für mehraxiale Kriech- und Kriechermüdungsbeanspruchung mit einem Para-metersatz erzielen. Zukünftige Erweiterungen betreffen den Schädigungsansatz in Wechselwirkung mit langzeitigen mehrachsigen Kriechermüdungsexperimenten. Der Vorteil für die industrielle Anwen-dung liegt in der vergleichsweise geringen Anzahl von Experimenten zur Bestimmung der Materialpa-rameter und in der höheren Flexibilität dieses Materialmodells für einen weiten Bereich von Beanspru-chungsparametern. Das Ziel des Forschungsvorhabens ist erreicht worden. _________________________________________________________________

Berichtsumfang: 150 S., 84 Abb., 9 Tab., 89 Lit.

Beginn der Arbeiten: 01.07.2001

Ende der Arbeiten: 31.12.2004

Zuschussgeber: AVIF-Nr. A166

Forschungsstelle: Institut für Werkstoffkunde Technische Universität Darmstadt Prof. Dr.-Ing. C. Berger Dr.-Ing. A. Scholz

Bearbeiter und Verfasser: Dipl.-Ing. A. Samir Obmann des Arbeitskreises: Dr.-Ing. C. Richter, Siemens, Power Generation

II

Das im Folgenden dargestellte Forschungsprojekt

Konstitutive Werkstoffbeschreibungen für warmfeste Kraftwerksstähle im Kriech- und Kriechermüdungsbereich

wurde gefördert von der gemeinnützigen Stiftung Stahlanwendungsforschung im Stifterverband für die Deutsche Wissenschaft e.V. Zweck der Stiftung ist die Förderung der Forschung auf dem Gebiet der Stahlverarbeitung und -anwendung in der Bundesrepublik Deutschland. Geprüft wurde das Forschungsvorhaben von einem Gutachtergremium der Forschungsvereinigung der Arbeitsgemeinschaft der Eisen und Metall verarbeitenden Industrie e.V. (AVIF), das sich aus Sachverständigen der Stahl anwendenden Industrie und der Wissenschaft zusammensetzt. Begleitet wurde das Projekt von einem Arbeitskreis des Forschungskuratoriums Maschinenbau e.V. "Konstitutive Kriech- und Kriechermüdungsbeschreibung". Der nachstehende Bericht fasst Zielsetzung und wichtigste Ergebnisse des Forschungs-projektes zusammen.

III

Kurzfassung

In diesem Vorhaben wurde das Ziel verfolgt, eine robuste, thermodynamisch konsistente Beschreibung des inelastischen Verhaltens am Beispiel eines warmfesten Schmiedestahles vom Typ 28CrMoNiV4-9 in Form eines konstitutiven elastoviskoplastischen Materialmodells zur Lebensdauerberechnung und Optimierung von Hochtemperaturbauteilen des Kraftwerks- und Anlagenbaues unter praxisnaher Kriech- und Kriechermüdungsbeanspruchung zu erstel-len. Das Materialmodell ist in der Lage, Kriechbeanspruchung und Kriechermüdungsbean-spruchung zu erfassen und Verformung sowie Lebensdauer zu beschreiben.

Im Vordergrund der theoretischen Arbeiten standen die Anpassung eines Materialmodells an die vorliegende komplexe Beanspruchung und Fragen der Entwicklung und Erprobung eines geeigneten Verfahrens zur Parameteridentifikation sowie die Entwicklung einer UMAT für Finite-Elemente-Berechnungen. Das konstitutive Materialmodell berücksichtigt die kinemati-sche und isotrope Verfestigung sowie isotrope Schädigung und ist für 3D-Simulation konzi-piert. Es beruht auf dem Konzept der effektiven Spannung kombiniert mit dem Prinzip der verallgemeinerten Energieäquivalenz.

Zur Identifizierung der Materialparameter wurde die Methode der Neuronalen Netze mit an-schließender Optimierung durch die Nelder-Mead-Methode zugrunde gelegt. Dabei unter-stützt ein speziell entwickeltes Programmpaket den Anwender bei der simultanen Berück-sichtigung unterschiedlicher Versuchsarten wie Kriech-, Ermüdungs- und Kriechermüdungs-versuche. Die Identifikation der Materialparameter wurde auf der Basis vorhandener 1D-Versuchsdaten durchgeführt.

Den Schwerpunkt der experimentellen Arbeiten bildete die Durchführung der Verifikations-versuche an Rundkerbproben und Kreuzproben. Die erzielten Beanspruchungsdauern in den Verifikationsexperimenten liegen bei 2000 bis 3000 h unter Variation der die Kriechschädi-gung beeinflussenden Haltezeit sowie der Beanspruchungshöhe. Hierbei erwies sich insbe-sondere die dehnungsgeregelte Abbildung einer biaxialen Kriechermüdungsbeanspruchung mithilfe von Kreuzproben von Vorteil hinsichtlich der Nähe zur beheizten Oberfläche von massiven Hochtemperaturbauteilen.

Zusammenfassend konnte mit der hier durchgeführten Arbeit das Potenzial dieses fortschritt-lichen Materialmodells gezeigt werden. Insgesamt ließen sich mit dem Materialmodell zufrie-denstellende Vorhersageergebnisse für mehraxiale Kriech- und Kriechermüdungsbeanspru-chung mit einem Parametersatz erzielen. Zukünftige Erweiterungen betreffen den Schädi-gungsansatz in Wechselwirkung mit langzeitigen mehrachsigen Kriechermüdungsexperimen-ten. Der Vorteil für die industrielle Anwendung liegt in der vergleichsweise geringen Anzahl von Experimenten zur Bestimmung der Materialparameter und in der höheren Flexibilität dieses Materialmodells für einen weiten Bereich von Beanspruchungsparametern.

IV

V

Inhaltsverzeichnis

1 EINLEITUNG .................................................................................................................. 1

2 STAND DER TECHNIK UND WISSENSCHAFT ............................................................ 2

2.1 Konventionelle Werkstoffbeschreibungen................................................................. 2

2.1.1 Bauteilbeanspruchung .................................................................................. 2

2.1.2 Kriechverhalten............................................................................................. 3

2.1.3 Kriechermüdungsverhalten ........................................................................... 6

2.2 Konstitutive Werkstoffbeschreibungen ..................................................................... 9

2.2.1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik .......................................................... 9

2.2.2 Deformation ................................................................................................ 12

2.2.3 Schädigung................................................................................................. 17

2.2.4 Werkstoffmodell mit der verallgemeinerten Energieäquivalenz ................... 21

2.3 Verfahren zur Parameteridentifikation .................................................................... 24

2.4 Verifikation konstitutiver Werkstoffbeschreibungen ................................................ 27

3 AUFGABENSTELLUNG, WISSENSCHAFTLICHE ZIELSETZUNG ............................ 29

4 VERSUCHSPROGRAMM ............................................................................................ 30

4.1 Werkstoffe.............................................................................................................. 30

4.2 Versuche zur Parameteridentifizierung und Verifikation ......................................... 30

5 EXPERIMENTE ............................................................................................................ 33

5.1 Prüftechnik ............................................................................................................. 33

5.2 Ergebnisse der Versuche zur Parameteridentifizierung .......................................... 37

5.3 Kriechversuche an Kerbproben .............................................................................. 38

5.4 Kriechermüdungsversuche an Kerbproben ............................................................ 40

5.5 Kriechermüdungsversuche an Kreuzproben........................................................... 42

VI

6 MATERIALMODELLIERUNG....................................................................................... 44

6.1 Allgemeine Vorgehensweise .................................................................................. 44

6.2 Implementierung des konstitutiven Materialmodells in ABAQUS ............................ 45

6.3 Parameteridentifikation........................................................................................... 48

6.4 Nachrechnung von Verifikationsexperimenten........................................................ 54

6.5 Sensitivitätsuntersuchung des konstitutiven Materialmodells.................................. 62

6.6 Software zur Modellierung und Parameteridentifikation.......................................... 63

7 SCHLUSSFOLGERUNGEN, ZUKÜNFTIGE AUFGABENSTELLUNGEN.................... 66

8 ZUSAMMENFASSUNG................................................................................................ 69

9 LITERATUR.................................................................................................................. 71

10 BILDER UND TABELLEN............................................................................................ 78

VII

Symbolverzeichnis

N Parameter der Funktion g bei verallgemeinerter Energieäquivalenz

ρ Dichte

λ, µ Lame’schen Konstanten, Elastizitätsparameter

E, ν E-Modul und Querkontraktionszahl, )21(2E ν−λ+µ=

M, η Viskositätsparameter

B, c, p, w Materialparameter der kinematischen Verfestigung

K0 Anfangsradius der Fließfläche

r0, β, γ, π, ω Materialparameter der isotropen Verfestigung

ψ freie Energiefunktion

ψe, ψp elastischer und plastischer Anteile der freien Energiefunktion

Dd Dissipationsungleichung

F Vergleichsspannung nach von Mises für )( ξT −

F viskose Überspannung

S akkumulierte plastische Dehnung (plastische Bogenlänge),

dt32

st

0

pp∫ ⋅= EE &&

E Gesamtdehnungstensor, linearisierter Green’scher Verzerrungstensor

Ee, Ep elastischer und plastischer Dehnungstensor

C Elastizitätstensor Vierter Stufe, [ ]eET C=

T Cauchy’scher Spannungstensor

Y Tensor kinematische Verfestigung, Dehnungsgröße

ξ Tensor kinematische Verfestigung, Spannungsgröße

R isotrope Verfestigung, Dehnungsgröße

R isotrope Verfestigung, Spannungsgröße

χ Steuergröße zwischen der Dissipationsleistung des fikiven und realen Materials, dp

(f)d DD ⋅χ=

g Verknüpfungsgröße zwischen Fließfunktion und Vergleichsspannung,

gfF

=∂

∂

D isotrope Schädigungsvariable

α0, α1, α2, q0, q1 Schädigungsparameter

εf Kriechdehnung

εp plastische Dehnung

σn Nennspannung

VIII

Gleichungsverzeichnis Gleichung Nr.

np Kσ=ε& .............................................................................................................................(1)

332

3/11ip tKtKtK +++ε=ε ..............................................................................................(2)

[ ] [ ]1ee1 t3

t1ip

42 −+−+ε=ε − ΘΘΘΘΘΘΘΘ ΘΘΘΘΘΘΘΘ ...............................................................................(3)

( )f

3,23min,pmax,1fip t

tCttH

+ε+ε+ε=ε &

............................................................................(4)

( )1

tt

Li i,effui

it ≤

σ=∑

∆∆∆∆ .......................................................................................................(5)

1A

Li i,krit

i,pv≤

ε= ∑ε

∆∆∆∆ mit

v

ht

t

ui,krit 3F,

FA

Aσ

σ== . ..........................................(6)

1NN

tt

Lj j,Ai i,u

i ≤+= ∑∑∆∆∆∆ ..................................................................................................(7)

σττ

τστ

ττσ

=

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

333231

232221

131211

TTT

TTT

TTT

:T. .......................................................................(8)

σττ

τστ

ττσ

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

T , ......................................................................................................(9)

τ

τ

τ

σ

σ

σ

=

xy

xz

yz

z

y

x

T. ......................................................................................................................(10)

=

τ

τ

τ

σ

σ

σ

=

=

121212121223123312221211

131213131323133313221311

231223132323233323222311

331233133323333333223311

221222132223223322222211

111211131123113311221111

xy

xz

yz

z

y

x

12

13

23

33

22

11

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

T

T

T

T

T

T

: C ,T

. ......................(11)

IX

=

333231

232221

131211

EEE

EEE

EEE

:E , ..................................................................................................... (12)

εγγ

γεγ

γγε

=

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

332313

232212

131211

EEE

EEE

EEE

:E , ......................................................................... (13)

( )1FFE −= T

21

: . ......................................................................................................... (14)

Xdxdrr

F= , ...................................................................................................................... (15)

( )X

t,Xx: v

rr

∂

∂=F .................................................................................................................... (16)

[ ]eET C= . ........................................................................................................................ (17)

µ

µ

µ

µ+λλλ

λµ+λλ

λλµ+λ

=

00000

00000

00000

0002

0002

0002

C

. .................................... (18)

( )( ) ( )ν+=µ

ν−ν+

ν=λ

12E

,211

E ............................................................................... (19)

pe EEE += .................................................................................................................. (20)

( ) ( ) kf:k,F −= ξT,ξT, ............................................................................................... (21)

( ) ( ) 0k,Fkf =⇒= ξT,ξT, ......................................................................................... (22)

( ) ( ) ( )DD

23

:f ξTξTξT, −⋅−= , .................................................................................. (23)

( ) ( )DD

Mises 23

: AAA ⋅= ............................................................................................ (24)

1TTT )sp(31D −= ..................................................................................................... (25)

1TT )sp(31

H = . .............................................................................................................. (26)

X

( )s

k23 D

p&& ξT

E−

= . ........................................................................................................(27)

sf

p&&

TE

∂

∂= ,.....................................................................................................................(28)

dt32

st

0

pp∫ ⋅= EE && . .................................................................................................(29)

pcEξ && = und .....................................................................................................................(30)

sk && γ= .............................................................................................................................(31)

( ) ( ) 0k,Fkf >⇒> ξT,ξT, ...................................................................................(32)

η=

mF

:s& . ....................................................................................................................(33)

( )s

f23 D

p&& ξT

E−

= ..........................................................................................................(34)

ξEξ sbc p&&& −= ................................................................................................................(35)

( ) skksk 0&&& −β−γ= ......................................................................................................(36)

ξξξEξ1w

p psbc−

−−= &&& ,..............................................................................................(37)

( ) ( )ω−π−−β−γ= 00 kkskksk &&& . .............................................................................(38)

)D1(),(f

eff−

=σξT ...............................................................................................................(39)

)D1)(D1(),(f

KEeff

−−=σ

ξT .................................................................................................(40)

( )k

K

r

K )D1(A

),(fD

−=

ξT& . ......................................................................................................(41)

dN)(M

DdD

m

v

maxu

EE

β

σ

σ

σσ

−=

α

.....................................................................................(42)

XI

( )s

D1

D)D(sD

1

0

q

q

210&&&

−

∂

ψ∂ρ−

α+α+α= , .................................................................. (43)

0)rR(21

D e ≥+⋅+⋅=∂

ψ∂ρ− ξYTE . ................................................................... (44)

1 Einleitung

1

1 Einleitung

In thermischen Maschinen und Anlagen führen Leistungsänderungen zu zyklischen Bean-

spruchungsänderungen in Hochtemperaturbauteilen. Besonders bei einer Kriechermüdungs-

beanspruchung der beheizten Oberfläche massiver Bauteile können überelastische Verfor-

mungen in Verbindung mit einer in Haltephasen auftretenden Relaxation zu einer kritischen

Beanspruchung führen, die die Lebensdauer dieser Bauteile bestimmt. Dehnungskonzentra-

tionen an Kerbstellen und eine zusätzliche statische Belastung können die Wirkung einer

solchen Dehnwechselbeanspruchung verstärken und die Anrissbildung beschleunigen. Au-

ßerdem tritt diese Beanspruchung durch Variationen der Anfahr-, Betrieb- und Abfahrbedin-

gungen meist mehrstufig auf. Ein besonders wichtiges Beispiel ist der Fahrplanbetrieb von

Kraftwerken mit einer meist zyklischen Folge von Volllast-, Teillast- und Stillstandsphasen.

Zur Bauteilauslegung und Lebensdauerüberwachung unter diesen Bedingungen werden

auch im Langzeitbereich von 100.000 bis 300.000 Stunden vielfach noch konventionelle,

einfache Konzepte auf Basis einer rechnerischen Ermittlung und Bewertung von Kriech- und

Ermüdungsschädigung herangezogen. In diesem Konzept gehen rechnerische Schadensan-

teile infolge Kriechen und Ermüdung getrennt ein und es lassen sich auch überlagertes Krie-

chen und mehrstufige Beanspruchung erfassen. In vorangegangenen Vorhaben wurde die

Anwendbarkeit dieser auch in Regelwerken zugrunde gelegten Vorgehensweise für 1%-

CrMoNiV-Stähle und in einem derzeit zu Ende gehenden Vorhaben auch für moderne

10%CrMo(W)VNbN-Stähle nachgewiesen.

Die konventionellen Werkstoffbeschreibungen, die bisher überwiegend zur rechnerischen

Bauteilauslegung und Lebensdauerabschätzung dienen, weisen unter verschiedenen Nähe-

rungsannahmen einen belastungsabhängigen Spannungs- und Verformungszustand aus

und hiervon abhängig eine Versagensgefahr. Der zeitliche Ablauf der Beanspruchungen wird

dabei aber vielfach unvollkommen berücksichtigt. Einen entscheidenden Fortschritt bilden

konstitutive Werkstoffbeschreibungen. Sie erlauben die parallele Evolution von Verformung

und von zum Versagen führender Schädigung für eine beliebige Beanspruchungsgeschichte.

Ein Vorteil ist außerdem die direkte Kopplung mit der Finit-Element-Methode zur Nachbil-

dung komplexer Strukturen. Diese Beschreibungen wurden in den letzten zwei Jahrzehnten

bis an die Schwelle der Anwendungsreife entwickelt. Ihre Erstellung und Anwendung ist aber

wegen des hohen Aufwandes noch auf besonders wichtige Fälle beschränkt. Für ihren Ein-

satz bei langzeitig mehraxial beanspruchten Bauteilen und den hier auftretenden Schädi-

gungs- und Versagensproblemen besteht noch ein erheblicher Forschungsbedarf.

Es war daher Ziel der vorliegenden Arbeit, die konstitutive Werkstoffbeschreibung auf den

Fall einer Kriechermüdungsbeanspruchung anzuwenden und Aussagen zur Anwendbarkeit

auf Basis mehraxialer Verifikationsexperimente zu erarbeiten.

2 Stand der Technik und Wissenschaft

2


Hohe Umweltbelastung und steigender Konkurrenzdruck verlangen nach einer Optimierung

der Energienutzung aus ökologischen und ökonomischen Gründen. Für die Betreiber thermi-

scher Anlagen bedeutet dies unter anderem, die Prozesstemperatur in Energieanlagen mög-

lichst hoch einzustellen, um den Forderungen nach Umweltschutz einerseits und Wirkungs-

gradsteigerung andererseits nachkommen zu können. Mit dieser Entwicklung steigen aber

auch die Anforderungen an die einzusetzenden Werkstoffe. Von besonderem Interesse sind

massive Bauteile, die als Folge von An- und Abfahrvorgängen und Leistungswechseln an

ihrer beheizten Oberfläche einer Überlagerung von Ermüdungs- und Kriechbeanspruchung

unterliegen [1] (Bild 1). Eine solche Kriechermüdungsbeanspruchung stellt häufig die le-

bensdauerbegrenzende Beanspruchungsform dar.

Zur optimalen und damit kostengünstigsten Auslegung unterschiedlicher Hochtemperatur-

bauteile ist deshalb neben der Kenntnis der statischen Kriecheigenschaften und der Ermü-

dungseigenschaften ermittelt aus einfachen Standarddehnwechselversuchen vor allem auch

die Beschreibung des Werkstoffverhaltens unter Kriech- und Kriechermüdungsbeanspru-

chung und des betriebsähnlichen Kriechermüdungsverhaltens von fundamentaler Bedeu-

tung. Wegen der Mehrachsigkeit der Bauteilbeanspruchung sind hier entsprechende mehr-

axiale Experimente und entsprechende numerische Methoden von zunehmendem industriel-

len Interesse.

2.1 Konventionelle Werkstoffbeschreibungen

2.1.1 Bauteilbeanspruchung

Die Abschätzung der Deformation und des Versagens von Hochtemperaturbauteilen der

Kraftwerks- und Anlagentechnik ist eine Aufgabe, die immer neue Herausforderungen stellt.

Dahinter steht das andauernde Bestreben, bei den Anlagen den Energieverbrauch und damit

den CO2-Ausstoß über steigende Prozesstemperaturen zu vermindern und die Wirtschaft-

lichkeit über die Steigerung der Baugrößen und die zunehmende Werkstoffausnutzung zu

erhöhen. Beides verlangt eine Weiterentwicklung der Werkstoffe und auch der Werkstoffbe-

schreibungen. Die Lebensdauer der Bauteile lässt sich nur in Sonderfällen auf direktem We-

ge über die Ergebnisse von idealisierten Versuchen absichern. Ein Beispiel bildet ein gera-

des, dünnwandiges Rohr unter konstantem Innendruck und konstanter Temperatur. Zur Ab-

sicherung gegen kritische Rohraufweitung oder Aufreißen der Rohrwand lässt sich die er-

rechnete Tangentialspannung unmittelbar mit den Kennwerten für Erreichen einer plasti-

schen Dehnung pε oder Bruch vergleichen, wie sie aus dem einaxialen Zeitstandversuch

gewonnen werden. Die meisten Bauteile der Kraftwerks- und Anlagentechnik sind aber kom-

plexer gestaltet und beansprucht. Das erfordert entsprechend komplizierte Berechnungen.


3

Zwar sind die konventionellen Langzeitwerte wie Zeitstandfestigkeit und Zeitdehngrenzen

auch in diesen Fällen noch für die Bauteilbemessung mit entscheidend, aber ihre Anwen-

dung erfolgt teilweise empirisch und teilweise über vereinfachte Berechnungen. Das erfordert

Wanddickenreserven und diese erhöhen ihrerseits die Anrissgefahr, die durch zyklische

Beanspruchungen infolge wechselnden Anlagenbetriebes besteht.

Konventionelle Werkstoffbeschreibungen weisen unter verschiedenen Näherungsannahmen

einen belastungsabhängigen Spannungs- und Verformungszustand aus und hiervon abhän-

gig eine Versagensgefahr. Der zeitliche Ablauf der Beanspruchungen (Belastungs- oder Be-

anspruchungsgeschichte) wird dabei aber höchstens unvollkommen berücksichtigt. Zur Cha-

rakterisierung des Lebensdauerverbrauchs oder auch Erschöpfung genannt, werden in der

Praxis vielfach phänomenologische akkumulative Methoden zur Ermittlung einer rechneri-

schen Schädigung eingesetzt. Dagegen erlauben fortschrittliche konstitutive Werkstoffbe-

schreibungen die parallele Evolution von Verformung und von zum Versagen führender

Schädigung für eine beliebige Beanspruchungsgeschichte. Vorteilhaft lassen sich diese Me-

thoden aber direkt mit der Bauteilberechnung mit der heute in der Regel eingesetzten Finit-

Element-Methode koppeln. Diese Beschreibungen wurden in den letzten zwei Jahrzehnten

bis an die Schwelle der Anwendungsreife entwickelt. Ihre Erstellung und Anwendung ist aber

wegen des hohen Aufwandes noch auf besonders wichtige Fälle beschränkt. Für ihren Ein-

satz bei langzeitbeanspruchten Bauteilen und den hier auftretenden Schädigungs- und

Versagensproblemen besteht noch ein erheblicher Forschungsbedarf. Vor der Vorstellung

der konstitutive Werkstoffbeschreibungen im Abschnitt 2.2 sollen in den Abschnitten 2.1.2

und 2.1.3 zunächst phänomenologisch begründete, konventionelle Werkstoffbeschreibungen

erläutert werden.

2.1.2 Kriechverhalten

Bei statischer und quasistatischer Beanspruchung ohne Vorzeichenwechsel der Spannun-

gen werden zur Deformationsberechnung bisher meist mehr oder weniger einfache, teilweise

aber auch komplizierte phänomenologische numerische Ansätze, im Folgenden als Kriech-

gleichungen bezeichnet, herangezogen, deren Parameter aus den Ergebnissen des Zeit-

standversuchs abgeleitet sind. Der Kriech- bzw. Zeitstandversuch ist definiert durch das

Einwirken einer konstanten Kraft auf die Probe bei konstanter Temperatur. Der typische Ver-

lauf der Kriechdehnung εf bzw. der plastischen Dehnung εp = εi + εf bei Kriechversuchen

besteht aus drei zeitlich aufeinanderfolgenden Primär-, Sekundär- und Tertiärkriechberei-

chen (Bild 2 und 3). Die Unterscheidung dieser Bereiche findet anhand der Dehnungs- oder

Kriechrate statt. Der Primärbereich ist durch eine monoton fallende, der Sekundärbereich

durch eine konstante und der Tertiärbereich durch eine monoton steigende Kriechrate ge-


4

kennzeichnet. Als elementare Kriechgleichung wird zumindest für Näherungsrechungen oft

das Norton'sche Kriechgesetz

np Kσ=ε& (1)

herangezogen mit der Kriechgeschwindigkeit pε& , der Spannung

0σ und Konstanten K und

n , die fast immer von der Spannung und oft auch noch von der Temperatur T abhängen.

Diese Beziehung beschreibt den sekundären Kriechbereich. Dieses empirische Gesetz ist in

Abwandlungen auch in den meisten anderen Kriechbeschreibungen enthalten.

Eine kompliziertere Beziehung ist die Kriechgleichung von Graham und Walles [2]

332

3/11ip tKtKtK +++ε=ε (2)

mit der plastischen Anfangsdehnung iε und den Koeffizienten K1 , K2 , K3 , die von Span-

nung 0σ und Temperatur T abhängen. Weitere Beispiele sind das Theta-Konzept [3]

[ ] [ ]1ee1 t3

t1ip

42 −+−+ε=ε − ΘΘΘΘΘΘΘΘ ΘΘΘΘΘΘΘΘ (3)

mit den spannungs- und temperaturabhängigen Koeffizienten 1ΘΘΘΘ bis

4ΘΘΘΘ und die modifizierte

Garofalo-Gleichung [4, 5, 10, 64]

( )f

3,23min,pmax,1fip t

tCttH

+ε+ε+ε=ε &

(4)

mit einem Maximalbetrag der Primärkriechdehnung max,1fε , der minimalen Kriechgeschwin-

digkeit min,pε& , einer im Primärbereich zwischen den Zeiten 0 und t12 von 0 auf 1 aufklingen-

den Zeitfunktion ( )tH und einem auf die Übergangszeit t23 bezogenen Tertiärkriechanteil. Die

Größen max,1fε und

min,pε& hängen von Spannung und Temperatur ab und die Übergangszei-

ten t12 und t23 von der Größe min,pε& . Die Kriechgleichung (4) wurde mit entsprechenden Sub-

funktionen für die Größen iε ,

max,1fε , ( )tH und min,pε& schon für eine größere Zahl warmfes-

ter Stähle wie 1%CrMoNiV-Stahl in der Schmiede- und Gussvariante [5, 6, 7] und Nickelba-

sislegierungen [8] modelliert. Die entstandenen Gleichungen stehen in einem PC-Programm

KARA und in Finit-Element-(FE) Subroutinen (Programmpaket KARA F) zur Verfügung. Sie

haben sich bei bauteilnahen Berechnungen bewährt, z.B. [9] und werden in der Industrie

insbesondere für Verformungsberechnungen unter quasistatischer Beanspruchung genutzt

[6]. Entsprechende Kriechgleichungen für die neuen 600 °C-Stähle des Typs

10Cr1Mo1(W)NbN ohne und mit Wolfram in der Schmiede und Gussversion entstehen der-

zeit [10].

Bei Finit-Element-Berechnungen mit derartigen konventionellen Kriechgleichungen wird die

Kriechgeschwindigkeit über Dehnungsdifferenzen gebildet. Spannungs- und Temperaturän-


5

derungen werden durch Zusatzregeln wie die Zeit- oder die Dehnungsverfestigungsregel

berücksichtigt. Die Mehraxialität wird bei den aus einaxialen Versuchen abgeleiteten Kriech-

gleichungen über die von Mises-Spannung vσ und Dehnung

v,pε und verallgemeinerte

Fließregeln abgebildet [11], wofür die üblichen Finit-Element-Programmsysteme wie zum

Beispiel ABAQUS [12] eingerichtet sind. Die praktische Anwendung der geschilderten Werk-

stoffmodelle basiert allerdings auf der Annahme, dass ein ursprünglich isotroper Werkstoff

auch im Verlauf der Beanspruchung sein isotropes Verhalten beibehält. Das impliziert die

Koaxialität von Spannungen und Dehngeschwindigkeiten, sodass zur Erfassung der Werk-

stoffeigenschaften einaxiale Versuche ausreichen.

Auf der Basis derartiger Verformungsabschätzungen sind auch Versagensabschätzungen

möglich, wofür es eine Vielzahl von Vorschlägen gibt [13]. Beispiele sind das Erreichen einer

kritischen Dehnung oder Vergleichsdehnung oder einer Lebensdauer, die von einer sich ein-

spielenden stationären Spannung oder Vergleichsspannung abgeleitet wird. Andere Regeln

gehen von der Akkumulation inkrementeller Lebensdaueranteile bis zu einem kritischen Wert

aus [15], so die Lebensdaueranteilregel:

( )1

tt

Li i,effui

it ≤

σ=∑

∆∆∆∆ . (5)

Dabei hängt die Bezugsbruchzeit ut von einer effektiven Spannung

effσ ab, die beispiels-

weise aus Anteilen der von-Mises-Spannung vσ und der maximalen Hauptspannung

1σ

gebildet wird [15]. Eine andere Möglichkeit bieten Dehnungsanteilregeln, z.B.

1A

Li i,krit

i,pv≤

ε= ∑ε

∆∆∆∆ mit

v

ht

t

ui,krit 3F,

FA

Aσ

σ== . (6)

Hier werden Vergleichsdehnungsinkremente pvε∆∆∆∆ auf eine kritische Dehnung

kritA bezogen,

die unter Berücksichtigung der Mehraxialität (hydrostatische Vergleichsspannung hσ ) von

der Zeitbruchdehnung Au abgeleitet werden kann [16, 19]. Bei quasistatischer Beanspru-

chung liefern derartige Anteilregeln, die auch durch biaxiale Versuche gestützt sein können

[17, 19], trotz ihres Näherungscharakters relativ gut vergleichbare Ergebnisse [15, 16].

Generell sind nach dem Stand der Technik (siehe z.B. ISO 6303) zu einer sicheren Bauteil-

bewertung experimentelle Unterlagen bis zu einem Drittel der Auslegungszeit erforderlich,

was bei 200.000 h geplanter Betriebsdauer 70.000 h-Ergebnisse verlangt. Diese Forderung

erschwert einerseits die Entwicklung von Berechnungsunterlagen. Andererseits verlangt sie

aber, Werkstofftheorien kritisch zu hinterfragen, die auf relativ kurzzeitige Versuche gegrün-

det sind. Große Bedeutung kommt auch der Verifikation von Werkstoffbeschreibungen auf

unabhängigen Wegen zu [7, 15].


6

2.1.3 Kriechermüdungsverhalten

Neben der Lebensdauerabschätzung der Hochtemperaturbauteile gegen statische Bean-

spruchung, wie sie im Kraftwerksbereich vor allem durch Innendruck und Fliehkräfte verur-

sacht wird, ist eine Absicherung gegen zyklische oder zeitlich regellos veränderte Beanspru-

chung erforderlich. Im Langzeitbereich liegt das Gewicht weniger auf hochfrequenter Bean-

spruchung (HCF = High Cycle Fatigue) als vielmehr auf niederfrequenter Beanspruchung

(LCF = Low Cycle Fatigue). Sie ist durch die Leistungsänderungen der Maschinen und Anla-

gen bedingt und in vielen Fällen lebensdauerrelevant [18]. Meist handelt es sich um tempe-

raturinduzierte Dehnwechselbeanspruchung [10, 20, 21]. Sie führt schon durch die Relaxati-

on in Haltephasen aber auch durch statische Zusatzbeanspruchungen zu einer Überlage-

rung von Kriech- und Ermüdungsvorgängen. Das führt im Langzeitbereich zu Korngrenzen-

schädigungen, wie sie auch bei reiner Kriechbeanspruchung auftreten [21]. Die Absicherung

der zyklisch beanspruchten Bauteile oder Bauteilstellen gegen Risseinleitung erfolgt in der

Regel auf der Basis einer Kriechermüdungsbeschreibung und einer entsprechenden experi-

mentellen Abbildung [10, 13, 23] (Bild 4). Im einfachsten Fall erfolgt die Nachbildung der

Bauteilbeanspruchung durch einfache, symmetrische Dehnwechselzyklen ohne und mit Hal-

tezeit mit der Dehnungsschwingbreite ε∆∆∆∆ , der Frequenz f oder Haltezeit Ht (Bild 4 a, b).

Betriebsnäher im Hinblick auf die beheizte Oberfläche sind Beanspruchungszyklen nach Art

von Bild 4 c). Hier folgt einer Druckdehnungsausschlag in der Anfahrphase ein Dehnungs-

ausschlag nahe Null in der Betriebsphase bei konstanter oberer Zyklustemperatur und eine

Zugdehnungsausschlag in der Abfahrphase [24, 25, 60]. Entsprechende, von der Dehnungs-

schwingbreite ε∆∆∆∆ und der Zyklusform sowie der Haltezeit abhängige Anrisswechselzahlen

NA (Bild 5) dienen zur Absicherung kritischer Bauteilstellen gegen Anriss und berücksichtigen

die komplexe Wechselwirkung von Kriechen und Ermüden eher als Standardzyklen gemäß

Bild 4 a und b. Die Dehnungsschwingbreite an diesen Stellen wird meist durch Näherungs-

rechnungen abgeschätzt. Deutlich zeigt sich die Wirkung einer Wechselbeanspruchung ü-

berlagerten Kriechbeanspruchung, die zur Beschleunigung der Anrissbildung führt.

Die zyklische Entfestigung, wie sie für derartige warmfeste Stähle gemäß Bild 5 typisch ist,

geht mit abnehmender Dehnungsschwingbreite deutlich zurück (Bild 6). Dieses Beispiel steht

für Langzeitbeanspruchung mit dem komplexen Zyklus gemäß Bild 4 c. Im Kurzzeitfall ist

die Abnahme der Spannung infolge zyklischer Entfestigung deutlicher ausgeprägt [14, 23,

25, 26, 61].

Eine Beschreibung der Langzeitkriechermüdungsschädigung bis zur Risseinleitung erfolgt oft

mit der verallgemeinerten Schadensakkumulationshypothese [14, 23, 25]

1NN

tt

Lj j,Ai i,u

i ≤+= ∑∑∆∆∆∆ (7)


7

In Erweiterung der Gl. (5) wird ein Ermüdungsschaden nach der Miner-Regel hinzugenom-

men und beide Schadensanteile werden näherungsweise als voneinander unabhängig ak-

kumulierbar betrachtet. Als Schadenseintritt gilt die Erreichung einer kennzeichnenden Riss-

länge in der Größenordnung von rd. 0,2 bis 1 mm bei typischen Laborproben. Die Entkopp-

lung von Kriech- und Ermüdungsschädigung in Gl. (7) erscheint erlaubt, solange lokale Be-

anspruchungen lebensdauerrelevant sind, wie es für massive Bauteile, z.B. Turbinenwellen

und –gehäuse meist der Fall ist. Anders ist das bei global hochbeanspruchten Bauteilen wie

beispielsweise Rohrleitungen oder Scheiben, bei denen eine Beanspruchungsüberlagerung

zu Ratchetting, d.h. einer zyklischen Dehnungsakkumulation führen kann [20, 24].

In [23] wurden an zwei konventionellen Kraftwerksstählen vom Typ 28CrMoNiV4-9 und

X21CrMoV12-1 umfangreiche Untersuchungen zur Gültigkeit der Gl. (7) angestellt. In [25]

wurden diese Untersuchungen auf die neuen 600 °C-Stähle vom Typ 10Cr1Mo1WNbN aus-

gedehnt. Umfangreiche Auswertungsarbeiten zeigten, dass zur Ermittlung einer relativen

Kriechermüdungslebensdauer von L = 1 zahlreiche Ergänzungsregeln einzuführen sind. Die-

se betreffen die Annahme einer inneren Spannung zur Beschreibung der kinematischen Ver-

festigung (Bauschinger-Effekt), ferner die Beschreibung der zyklischen (isotropen) Werk-

stoffentfestigung sowie einer Vorbeanspruchungsabhängigkeit der Bezugsgrößen tu,i und NA,j

und außerdem bei unsymmetrischen Zyklen die Berücksichtigung der Mittelspannung. Diese

Beschreibung wurde anhand der Ergebnisse langzeitiger Dehnwechselversuche teilweise bis

zu mehreren 10.000 h nach Art von Bild 4 c an den beiden oben genannten konventionellen

Stählen erstellt.

Ein auf der angeführten Beschreibung gemäß Gl. (7) beruhendes Prognoseverfahren für

betriebsähnliches Dehnwechselverhalten steht als Programm SARA zur Verfügung [23, 64],

wobei auch mehrstufige Zyklen mit einer Nachbildung der komplexen Kalt-, Warm- und

Heißstartzyklen erfassbar sind. Anisotherme Zyklen und mehraxiale Beanspruchungen wer-

den dabei allerdings noch nicht erfasst und das ist mit konventionellen Mitteln auch nur nä-

herungsweise zu realisieren. Oft hilft man sich mit der Berechnung für die höchste Tempera-

tur im Zyklus bzw. mit einer Berücksichtigung von Kerbwirkung durch eine Dehnungsform-

zahl [10, 19]. Als Ergebnis zeigt sich eine akzeptable Übereinstimmung von vorhergesagten

Anrisswechselzahlen NA** mit den experimentell ermittelten Anrisswechselzahlen NA (extra-

polierter Versuch NA’) unter langzeitiger Kriechermüdungsbeanspruchung (Bild 7).

Im Langzeitbereich lässt sich Dehnwechselbeanspruchung bei Dehnungsschwingbreiten von

weniger als rd. 0,4 % durch zyklische Zeitstandbeanspruchung annähern [26, 28, 31]. Auf

der Basis von Gl. (5) und mit einem für zahlreiche Werkstoffe abgesicherten Faktorenkon-

zept zur Berücksichtigung von Spannungs- und/oder Temperaturänderungen ließ sich auf

dieser Grundlage eine einfach anwendbare Rechenvorschrift zur Lebensdauervorhersage


8

gewinnen. In diesem Zusammenhang führten konstitutive Ansätze zu wichtigen Erkenntnis-

sen im Hinblick auf die Anwendbarkeit fortschrittlicher Methoden (Abschnitt 2.2).

Aus diesen Ausführungen geht hervor, dass es eingeführte konventionelle Werkstoffmodelle

für die Lebensdauerabschätzung im Hochtemperaturbereich gibt, wobei aber zahlreiche Nä-

herungsannahmen herangezogen werden müssen. Diese Modelle werden wegen ihrer meist

noch relativ einfachen Anwendbarkeit auch in Zukunft eine Rolle spielen [27, 31]. Sie sind

aber umso weniger gesichert, je weiter sich das Bauteil in Form und Beanspruchung vom

idealisiert ablaufenden Versuch mit homogener einaxialer Beanspruchung entfernt. Ein spe-

zieller Nachteil ist, dass Veränderungen der Werkstoffeigenschaften wie Ver- oder Entfesti-

gung oder eine im Allgemeinen zu anisotropem Verhalten führende Schädigung höchstens

näherungsweise erfasst werden können. Ferner liefert die Anwendung von Akkumulationsre-

geln keine Berücksichtigung der tatsächlich ablaufenden mikrostrukturellen Änderung des

Werkstoffes unter meist mehraxialer Beanspruchung.


9

2.2 Konstitutive Werkstoffbeschreibungen

Die bisher erläuterten Wege, das Werkstoffverhalten zu beschreiben, beruhen auf experi-

mentelle Beobachtung der rein zeitlichen Abhängigkeit der messbaren Größen, wobei die als

Versuchsbedingung geltenden Größen wie Spannung, Dehnung oder Temperatur in Form

von Parametern den mathematischen Gleichungen berücksichtigt werden. Eine physikali-

sche Begründung der Vorgänge oder eine direkte Abhängigkeit der Größen voneinander

wird nicht angegeben. Hingegen wird bei der konstitutiven Beschreibung des Materialverhal-

tens versucht, zwischen allen sichtbaren physikalischen Größen und weiteren neu definier-

ten inneren Variablen direkte Relationen zu bilden, die physikalisch und thermodynamisch

plausibel sind [32 bis 38, 42 bis 47, 56 bis 58, 60, 63, 65]. Eines der Hauptmerkmale der

konstitutiven Gleichungen ist, dass eine direkte Abhängigkeit der zu berechnenden Größen

von der Zeit nicht mehr in Erscheinung tritt. In diesem Abschnitt wird das in dieser Arbeit

verwendete konstitutive Materialmodell aufbauend auf grundlegenden Kenntnissen der Kon-

tinuumsmechanik vorgestellt (Tabellen 1 und 2). Dabei werden angefangen bei der Deforma-

tion weitere Effekte wie Verfestigung, dynamische und statische Erholung der Verfestigung

sowie Schädigung erörtert.

2.2.1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik

Zur konstitutiven Beschreibung des Werkstoffverhaltens unter mehrachsiger Beanspruchung

wird in der Kontinuumsmechanik [12, 32, 67, 68, 71, 80] von der Tensor-Rechnung

Gebrauch gemacht. Der Grund hierfür ist, dass dadurch die Spannungs- bzw. Dehnungszu-

stände im dreidimensionalen Raum eindeutig definiert werden können. So wird z.B. statt der

im einachsigen gebräuchliche Spannung σ (genauer gesagt σr

, da es sich um einen Vektor

handelt) nunmehr der Spannungstensor T verwendet:

σττ

τστ

ττσ

=

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

333231

232221

131211

TTT

TTT

TTT

:T. (8)

Es sei angemerkt, dass zur eindeutigen Unterscheidung Tensoren durch fette Symbole (T ,

etc.), ihre Komponenten dagegen zwar mit dem gleichen Symbol aber schmal (T , etc.) dar-

gestellt werden. Andere skalarwertige Größen werden ebenfalls durch schmale Symbole

repräsentiert. Bei dieser Definition handelt es sich um die allgemeinste Form des Span-

nungstensors mit 9 unterschiedlichen Komponenten (Tensor 2. Stufe), der auch Span-

nungsmomente berücksichtigt, die z.B. bei Cossera-Kontinuua (granularen Medien) vor-

kommen. In diesem Fall ist der Spannungstensor unsymmetrisch in Bezug auf die Hauptdia-

gonale.


10

Beschränkt man sich jedoch auf metallische Werkstoffe wie Stahl, dann nimmt der Span-

nungstensor folgende symmetrische Form mit 6 unabhängigen Komponenten an (Bild 8):

σττ

τστ

ττσ

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

T , (9)

bzw. in Matrix-Vektor-Schreibweise

τ

τ

τ

σ

σ

σ

=

xy

xz

yz

z

y

x

T. (10)

Hierbei sind die Normalspannungen durch σ und die Scherspannungen durchτ gekenn-

zeichnet.

In der alternativen Form der Matrix-Vektor-Schreibweise (auch die Voigt-Notation genannt)

kann man z.B. Tensoren 2. Stufe als Vektoren und Tensoren 4. Stufe als Matrizen dargestellt

werden.

=

τ

τ

τ

σ

σ

σ

=

=

121212121223123312221211

131213131323133313221311

231223132323233323222311

331233133323333333223311

221222132223223322222211

111211131123113311221111

xy

xz

yz

z

y

x

12

13

23

33

22

11

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

T

T

T

T

T

T

: C ,T

. (11)

Dabei müssen die Komponenten der Tensoren je nach ihrer Stufe in eine durch Tensoreno-

perationen vorgegebene Reihenfolge umsortiert werden. Danach können die üblichen Matri-

zenoperationen anstelle der Tensor-Operationen angewendet werden. Das hier gezeigte

Beispiel des Tensors 4. Stufe C wird unter anderem im verallgemeinerten Hooke'schen Ge-

setz benutzt, das weiter unten erklärt wird.

Analog zum Spannungstensor wird unter mehrachsiger Beanspruchung anstelle der einach-

sigen Dehnung ε der allgemeine Verzerrungstensor (auch als Dehnungstensor bezeichnet)

E verwendet:


11

=

333231

232221

131211

EEE

EEE

EEE

:E , (12)

oder in der symmetrischen Form für klassische Werkstoffe

εγγ

γεγ

γγε

=

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

332313

232212

131211

EEE

EEE

EEE

:E , (13)

wobei durch ε die Normaldehnungen und durch γ die Scherungen repräsentiert werden.

Der Verzerrungstensor E bildet in der Kontinuumsmechanik die Grundlage bei Betrachtun-

gen der Verformungen, im Folgenden auch als Deformationen bezeichnet, und basiert auf

dem Tensor des Deformationsgradienten F

( )1FFE −= T

21

: . (14)

Der Deformationsgradient beschreibt die allgemeine Bewegung der Punkte eines Körpers im

Raum.

Dieser Sachverhalt lässt sich wie folgt zum Ausdruck bringen (Bild 9):

Xdxdrr

F= , (15)

wobei Xdr

ein Linienelement bestehend aus den Körperpunkten vor der Bewegung (Refe-

renzkonfiguration rR ) und xd

r dasselbe Linienelement nach der Bewegung (Momentankon-

figuration tR ) ist. Davon ausgehend kann der Tensor des Deformationsgradients durch

( )X

t,Xx: v

rr

∂

∂=F (16)

definiert werden.

Die allgemeine Bewegung der Punkte eines Körpers setzt sich aus der Starrkörperbewegung

(Translation und Rotation) und der Verzerrung des Körpers zusammen. Deshalb ist der De-

formationsgradient selbst für die Beschreibung der Spannungszustände ungeeignet, die un-

abhängig von der Starrkörperbewegung sondern nur vom Verzerrungszustand abhängig sind

(in Verbindung mit einem Materialmodell). Durch die Gleichung (14) ist sichergestellt, dass

die Starrkörperbewegung eliminiert ist und keinen Einfluss auf den Spannungszustand aus-

übt. Im folgenden wird also das in diesem Forschungsvorhaben verwendete konstitutive Ma-

terialmodell ausgehend vom Verzerrungstensor E definiert und vorgestellt.


12

2.2.2 Deformation

Die Beschreibung der Elastizität behandelt die einfachste Form des Deformationsverhal-

tens. Hierzu muss die Voraussetzung erfüllt sein, dass die durch die Belastung entstandene

Verformung nach der Entlastung wieder völlig verschwindet. Das elastische Verhalten der

Werkstoffe wird durch das verallgemeinerte Hooke'sche Elastizitätsgesetz für den mehrach-

sigen Spannungszustand beschrieben:

[ ]eET C= . (17)

Hier ist eE der elastische Anteil des Verzerrungstensors und C der Elastizitätstensor. Der

Elastizitätstensor ist ein Tensor 4. Stufe und besitzt 81 Komponenten. Für den Fall der i-

sotropen Werkstoffe sind jedoch nur 12 dieser Komponenten von Null verschieden und las-

sen sich in Abhängigkeit von nur 2 Konstanten λ und µ (Lamésche Konstanten) in der Mat-

rix-Vektor-Schreibweise folgendermaßen darstellen:

µ

µ

µ

µ+λλλ

λµ+λλ

λλµ+λ

=

00000

00000

00000

0002

0002

0002

C

. (18)

Für das elastische Verhalten des Materials werden oft die Größen Elastizitätsmodul E und

Querkontraktionszahl ν verwendet, die durch die Beziehungen:

( )( ) ( )ν+=µ

ν−ν+

ν=λ

12E

,211

E (19)

in die Lamé’schen Konstanten umgerechnet werden können.

Aufbauend auf dem Verzerrungstensor und mit der Einschränkung auf kleine Deformationen

kann für den Fall der Plastizität eine additive Zerlegung des Verzerrungstensors in einen

elastischen und einen plastischen Anteil formuliert werden.

pe EEE += (20)

Auf einen Ansatz des plastischen Verzerrungstensors pE wird im folgenden eingegangen.

Wie bei der Elastizität geht auch bei der Plastizität nur der elastische Anteil des Verzer-

rungstensors eE in das Hooke’sche Gesetz ein, welcher für die Größe der Spannung ver-


13

antwortlich ist. Bei einer zunehmenden Belastung folgt einer elastischen Phase eine plasti-

sche Phase. Dabei tritt Plastizität erst beim Erreichen der Fließgrenze k auf (Bild 9).

Die Bezeichnung Fließgrenze kann man als einen den elastischen Bereich umschließenden

Oberbegriff verstehen. Sie lässt sich experimentell nur sehr schwer bestimmen. Die gängige

Methode zur Bestimmung der Fließgrenze im eindimensionalen Fall ist der Zugversuch.

Hierbei wird in der Regel die Dehngrenze Rp0,2 gemessen. Je nach Genauigkeitsanforde-

rung sind bei kleineren Dehnungen auch wesentlich kleinere Spannungen messbar. Außer-

dem liefert der Zugversuch aufgrund der relativ hohen, für die Anfangsphase des Versuches

festgelegten Dehnungsrate vonε&=0,5% Spannungen, die viskose Anteile beinhalten und viel

höher als die tatsächliche Fließgrenze sind.

Als eine Erweiterung des Begriffes der Fließgrenze im eindimensionalen Fall spricht man im

dreidimensionalen Fall von der Fließfläche. Damit ist im 6-dimensionalen Spannungsraum (je

3 Normal- und Scherspannungen) die 5-dimensionale Hyperfläche gemeint, die den elasti-

schen Bereich umschließt.

Um festzustellen, bei welchem dreidimensionalen Spannungszustand das Fließen des

Werkstoffs stattfindet, ist eine Fließfunktion

( ) ( ) kf:k,F −= ξT,ξT, (21)

sowie eine Fließbedingung

( ) ( ) 0k,Fkf =⇒= ξT,ξT, (22)

zu definieren [35, 38]. Die Funktion f bildet einen mehrdimensionalen tensorwertigen Span-

nungszustand in eine skalarwertige Vergleichsspannung ab, die einen Vergleich mit der ein-

dimensionalen, experimentell ermittelten Fließgrenze k ermöglicht. Dabei ist ξ der Span-

nungstensor der kinematischen Verfestigung, auch Rückspannung genannt. Für die Funktion

f kann man einen Ansatz der folgenden Form machen:

( ) ( ) ( )DD

23

:f ξTξTξT, −⋅−= , (23)

wobei hier die von-Mises-Norm mit der Definition

( ) ( )DD

Mises 23

: AAA ⋅= (24)

zum Einsatz kommt.

Das Symbol ( )D ist der Deviator (kein Exponent sondern als ein Operator zu verstehen)

und, auf Spannungstensor angewendet, liefert er eine Spannung ohne den hydrostatischen


14

Anteil. Die hy-drostatische Spannung bewirkt nämlich lediglich eine elastische Volumenände-

rung aber keine plastische Deformation (1. Axiom der Plastizität). Der Deviator ist definiert

durch

1TTT )sp(31D −= (25)

mit der hydrostatischen Spannung oder dem Kugelanteil des Spannungstensors, also der 2.

Term in Gl. (25)

1TT )sp(31

H = . (26)

Das Symbol ijδ=1 stellt den Einheitstensor 2. Stufe dar.

Das Fließen des Werkstoffes verursacht einen Zuwachs des plastischen Anteils des Verzer-

rungstensors pE . Der Zuwachs des plastischen Verzerrungstensors über die Zeit ist nichts

anderes als die Geschwindigkeit der plastischen Verformung oder die plastische Deh-

nungsrate und kann durch deren erste Ableitung nach der Zeit pE& geschrieben werden. Für

die Modellierung der plastischen Verformung bzw. deren Verlaufes wird eine Entwicklungs-

gleichung für pE& (auch Evolutionsgleichung genannt) verwendet, die in Form einer gewöhnli-

chen Differentialgleichung ausgedrückt werden kann:

( )s

k23 D

p&& ξT

E−

= . (27)

Die Herleitung folgt aus der Beziehung

sf

p &&

TE

∂

∂= , (28)

die Fließregel genannt wird. Dabei entspricht der Ausdruck T∂∂f der Änderung der Span-

nung im 6-dimensionalen Spannungsraum normal zur Fließfläche (assoziierte Normalenre-

gel) gewichtet durch s& als ein Proportionalitätsfaktor. In der obigen Evolutionsgleichung ist

T der Spannungstensor, ξ der (Translations-) Tensor der kinematischen Verfestigung (Bild

10). Diesen Spannungen werden durch entsprechende Abbildungen Dehnungsgrößen zuge-

ordnet werden: Yξ c= bzw. ( )0rrR +γ= , die in den Betrachtungen der thermodynami-

schen Konsistenz des Materialmodells verwendet werden. Durch die Differenz der beiden

Spannungen wird der Einfluss der kinematischen Verfestigung berücksichtigt. Die Fließgren-

ze k beinhaltet auch isotrope Verfestigung.

Die akkumulierte plastische Dehnung s beinhaltet die Deformationsgeschichte mit


15

dt32

st

0

pp∫ ⋅= EE && . (29)

Für die beiden Spannungen der kinematischen Verfestigung ξ (tensorwertig) und der isotro-

pen Verfestigung k (skalarwertig) wird ebenfalls je eine Evolutionsgleichung definiert. Je

nach dem, ob es sich um den Sonderfall der reinen Plastizität (keine Verschiebung der

Fließgrenze in Richtung höherer Spannungen, keine Zunahme der Spannung über die Fließ-

grenze) oder Plastizität mit Verfestigung (Verschiebung der Fließgrenze in Richtung höherer

Spannungen, jedoch keine Zunahme der Spannung über die Fließgrenze) handelt, können

unterschiedliche Ansätze gemacht werden. Im viskoplastischen Fall kann die Spannung die

Fließgrenze überschreiten, was auch als Überspannung bezeichnet wird und weiter unten

erklärt wird. Im letzteren wird noch zwischen linearer und nichtlinearer Verfestigung unter-

schieden. Bei linearer Verfestigung sind Gleichungen folgender Form, Prager'scher Ansatz

genannt, anzusetzen:

pcEξ && = und (30)

sk && γ= (31)

Bei diesem Ansatz wird angenommen, dass sich bei der plastischen Deformation die Fließ-

grenze linear ändert. Darin sind c und γ die Materialparameter zuständig für die Erzeugung

der kinematischen bzw. isotropen Verfestigung. Diese lineare Art von Verfestigung ergibt

jedoch nur eine sehr grobe Näherung des realen Materialverhaltens wieder, da die Verfesti-

gung mit zunehmender plastischen Dehnung ohne Sättigung und unbegrenzt steigt.

Das oben beschriebene plastische Materialmodell kann kein von der Belastungsgeschwin-

digkeit abhängiges Verhalten beschreiben. Es ist jedoch als der Sonderfall des Werkstoff-

verhaltens bei Belastungen mit unendlich langsamer Geschwindigkeit (Gleichgewichtszu-

stand) anzusehen [71] (Bild 11).

Durch die Erweiterung des plastischen Modells um Viskositätsverhalten kommt die Abhän-

gigkeit von der Belastungsgeschwindigkeit, oder kurz Geschwindigkeitsabhängigkeit, zur

Geltung und das Materialmodell kann somit Kriechen und Relaxation ebenfalls wiedergeben.

Unter Kriechen ist eine Änderung der Deformation bei konstanter Spannung zu verstehen,

unter Relaxation dagegen eine Änderung Spannung bei konstanter Deformation.

Die bisher vorgestellten elastischen und plastischen Werkstoffbeschreibungen sind

geschwindigkeitsunabhängig; die Belastungsgeschwindigkeit hat demnach keinen Einfluss

auf die Materialantwort. In der Praxis wird aber beobachtet, dass z.B. bei dehnungsgeregel-

ten Versuchen und hohen Temperaturen die Dehnungsrate einen entscheidenden Einfluss

auf die Spannungsantwort hat. Dieser Einfluss ist ein Kennzeichen für die Abhängigkeit der


16

Materialantwort von der Geschwindigkeit der Belastung. Eine Erweiterung des hier vorge-

stellten plastischen Modells um Viskositätsverhalten kann hier Abhilfe leisten.

Das Viskositätsverhalten kommt durch die Bildung von Überspannung zustande. Sie bildet

sich bei Viskoplastizität, sobald die aktuelle Spannung die Fließfläche und damit den elasti-

schen Bereich verlässt. Somit gilt hier eine andere Fließbedingung, als im Zusammenhang

mit Gl. (21) erwähnt:

( ) ( ) 0k,Fkf >⇒> ξT,ξT, . (32)

Die dabei entstehende Überspannung F kann nun mit Hilfe einer neuen Definition der akku-

mulierten plastischen Dehnung das viskoplastische Verhalten beschreiben:

η=

mF

:s& . (33)

Hier kommen zwei weitere Materialparameter m und η für die Viskosität hinzu. In der Defi-

nition der plastischen Dehnungsgeschwindigkeit pE& in Gl. (27) wird dann statt der Fließ-

spannung k die Überspannung f eingesetzt.

( )s

f23 D

p&& ξT

E−

= (34)

Dieses Modell ist in der Lage entsprechend der Belastungsgeschwindigkeit unterschiedliche

Ergebnisse zu liefern. Das unbegrenzte Verfestigungsverhalten führt zu unrealistische Resul-

taten.

Zum Beispiel würde eine konstante Spannung (beim Kriechen) zu einem asymptotischen

Wert der Kriechdehnung führen und zwar so, dass sich bei der Kriechkurve nach genügend

langer Zeit ein waagerechter Sekundärbereich ausbildet. Mit anderen Worten konvergiert die

Geschwindigkeit der Kriechdehnung gegen null (Bild 12 a).

Der Fall Viskoplastizität mit dynamischer Erholung lässt sich durch einen etwas kompli-

zierteren Ansatz der Viskosität mit nichtlinearer Verfestigung, der nach Armstrong-Frederick

[75] folgendermaßen gewählt wird, beschreiben:

ξEξ sbc p&&& −= (35)

( ) skksk 0&&& −β−γ= (36)

Darin sind die Materialparameter γβ,,c,b und 0k enthalten. 0k ist die Fließgrenze des

Werkstoffs im Neuzustand, c bzw. b sind die Parameter für den erzeugenden bzw. den

begrenzenden Term der kinematischen Verfestigung und γ bzw. β sind die entsprechenden


17

Parameter der isotropen Verfestigung. Die Verfestigungsmechanismen sind sowohl für Plas-

tizität als auch Viskoplastizität gültig.

Dieser Ansatz berücksichtigt die Tatsache, dass bei der plastischen Deformation die Ände-

rung der Fließgrenze in der Regel nichtlinear verläuft. Es wird davon ausgegangen, dass der

Werkstoff während der Deformation zwar verfestigt, aber die Verfestigung sich asymptotisch

einem Sättigungswert annähert.

Im Gegensatz zu dem vorher geschilderten Beispiel der Belastung bei konstanter Spannung

(Bild 12 a) entsteht nunmehr ein Sekundärbereich mit einer Dehnungsgeschwindigkeit von

endlicher Größe (Bild 12 b).

Das Materialmodell mit dynamischer Erholung kann allerdings nur bei genügend großen Ge-

schwindigkeiten der akkumulierten plastischen Dehnung s& gewährleisten, dass der begren-

zende Term ξsb& bzw. ( ) skk 0&−β insgesamt Größenordnungen annimmt, die in ausrei-

chendem Maße für den Abbau der kinematischen bzw. isotropen Verfestigung sorgen. Dies

ist aber z.B. beim Kriechprozess mit kleineren Spannungen nicht zutreffend und das Ergeb-

nis ähnelt dem Fall mit linearer Verfestigung. Dem kann mit einer Erweiterung um die stati-

scher Erholung entgegengewirkt werden.

Durch die Erweiterung des Modells um Viskoplastizität mit statischer Erholung erreicht

man eine Abnahme der isotropen und kinematischen Verfestigungen auch bei einer nahezu

konstanten plastischen akkumulierten Dehnungsgeschwindigkeit s& im Begrenzungsterm (2.

Term)

ξξξEξ1w

p psbc−

−−= &&& , (37)

( ) ( )ω−π−−β−γ= 00 kkskksk &&& . (38)

Durch diese Ansätze kommen weitere 4 Materialparameter π,w,p und ω jeweils für die

statische Erholung der kinematischen bzw. isotropen Verfestigung hinzu.

2.2.3 Schädigung

Für die Lebensdauer von Bauteilen unter Hochtemperaturbeanspruchung ist die Entwicklung

der Schädigung durch mikrostrukturelle, zeitabhängige Vorgänge von zentraler Bedeutung.

Hier sind einerseits langzeitige Experimente und einaxialer aber insbesondere auch mehr-

axialer Beanspruchung erforderlich, andererseits stellen aber auch Methoden zur Detektion

der Schädigung und zu deren Modellierung [29, 33, 36] eine besondere Aufgabe dar.


18

Die Schädigungsbeschreibungen gehen auf mikrostrukturelle Grundvorstellungen ein. Die

Kriechschädigung wird mit der Entstehung und dem Wachstum von Poren an den Korngren-

zen erklärt. Die Porenverteilung hängt von der Beanspruchungsgeschichte ab und führt im

Allgemeinen zu einem anisotropen Materialverhalten. Eine Entwicklungsgleichung für

Kriechschädigung stützt sich auf die Kenntnisse mikromechanischer Details wie Keimbil-

dung, Porenanteil sowie bevorzugte Porenposition und Wachstum der Poren oder sie muss

deren Wirkung zumindest phänomenologisch erfassen können. Ein dementsprechend um

Porenschädigung erweitertes Chaboche-Modell wurde in [39] vorgestellt. Es benutzt das

Modell des dehnungsbehinderten diffusiven Porenwachstums von Rodin und Parks [40]. Die

Ermüdungsschädigung ist mit der Initiierung und dem Wachstum von Oberflächenrissen ver-

bunden, die in das Bauteilinnere wachsen. Ist eine bestimmte Risslänge erreicht, gilt die An-

risslebensdauer als erschöpft. Da es sich hierbei in der Regel um einen einzelnen längsten

Riss handelt, ist eine kontinuumsmechanische Beschreibung nicht mehr selbstverständlich.

Zur Überwindung dieser Schwierigkeit kann man von einer kontinuierlichen Mikrorissvertei-

lung ausgehen [41], die sich unter der herrschenden Beanspruchung weiterentwickelt. Die

unterschiedlichen Mechanismen von Kriechschädigung und Ermüdungsschädigung lassen

demnach die Einführung von zwei Schädigungsvariablen mit entsprechenden Evolutionsglei-

chungen als zweckmäßig erscheinen. Die kontinuumsmechanische Berücksichtigung der

Schädigung erfolgt zumeist über eine Erhöhung der wirksamen Spannung. Für den Fall einer

isotropen, durch einen skalaren Parameter D repräsentierten Schädigung wird das für eine

1D-Beschreibung verdeutlicht.

Ver- und Entfestigungsvorgänge, die im Verlauf monotoner wie zyklischer thermomechani-

scher Beanspruchung auftreten, werden durch innere Spannungen erfasst. Entfestigungs-

vorgänge lassen sich häufig mit thermisch aktivierten Mikrostrukturänderungen, z.B. einem

Teilchenwachstum in Verbindung bringen, das auch die Versetzungsstruktur beeinflusst.

Demgegenüber beschreiben die Schädigungsvariablen einen irreversiblen Entfestigungsvor-

gang durch Poren- und Mikrorisswachstum. Er wird auf andere physikalische Parameter zu-

rückgeführt und bedarf demgemäß einer eigenen Evolutionsgleichung. Auch diese Schädi-

gung ist im Allgemeinen richtungsabhängig und damit tensoriell zu beschreiben. Modellvor-

stellungen über Mikroschadensmechanismen bei Kriechermüdungsbeanspruchung lassen

sich am Beispiel der Methode der Dehnungsschwingbreitenaufteilung beschreiben (Bild 13).

Durch das wechselweise Heraustreten von Gleitbädern aus dem Korninneren sowie durch

Kornverformungen entstehen an der Werkstoffoberfläche Ermüdungsanrisse. Diese wachsen

von der Oberfläche des Bauteils bzw. der Probe in das Werkstoffinnere. Parallel kommt es

infolge der Wirkung einer überlagerten Kriech- bzw. Relaxationsbeanspruchung zum Korn-

grenzengleiten und schließlich zur Bildung von Poren und Keilrissen (Beispiel Bild 14). Irre-

versible Gefügeänderungen vollziehen sich daher durch Kriechen im Werkstoffinneren und

durch Ermüden eher an der Werkstoffoberfläche. Bei einem 1%CrMoNiV-Stahl kann die mit

Kriechporen besetzte Korngrenze unter Wirkung einer diesen Vorgang verstärkenden Oxida-


19

tion als Ausgangspunkt für die Anrissbildung unter Kriechermüdungsbeanspruchung gelten

[29].

Die Schädigung bewirkt eine Entfestigung des Materials, die in der Regel mittels einer Ver-

stärkung der Beanspruchungen in dem ansonsten unveränderten Materialgesetz berücksich-

tigt wird. Dieses Vorgehen entspricht dem sogenannten Konzept der effektiven Spannungen.

Hierunter sind diejenigen Spannungen zu verstehen, welche an einem ungeschädigten Ma-

terialelement die gleichen Deformationen hervorrufen wie die tatsächlich wirkenden Span-

nungen an dem geschädigten Materialelement, was der Hypothese der Verzerrungsäquiva-

lenz von Lemaitre-Chaboche entspricht [35]. Der Einfachheit halber erfolgt hier eine Be-

schränkung auf isotrope Materialschädigung, zu deren Beschreibung eine skalare Schädi-

gungsvariable hinreicht.

Das Ziel einer simultanen Behandlung von Kriech- und Ermüdungsschädigung kann durch

eine entsprechende Zerlegung der (Gesamt-)Schädigungsvariablen in D = Dk + DE mit DK

und DE für die Kriech- und die Ermüdungsschädigung erreicht werden. Den einfachsten Fall

erhält man, wenn für die beiden Anteile die verallgemeinerte Schadensakkumulationshypo-

these, Gl. (7) herangezogen wird.

Die in der Materialgleichung, Gl. (33) bzw. der Fließbedingung, Gl. (32) zu berücksichtigen-

den effektiven Spannungen besitzen die Form

)D1(),(f

eff−

=σξT (39)

mit einem Startwert D = 0 zu Beanspruchungsbeginn. Das entspricht einer Hintereinander-

schaltung von Verfestigung und Schädigung. Eine mögliche Verallgemeinerung dieses Vor-

gehens ergibt sich bereits, wenn berücksichtigt wird, dass zyklische und statische Schädi-

gung zwei voneinander unabhängige Prozesse darstellen, deren Wirkung ebenfalls eher im

Sinne einer Hintereinanderschaltung zustande kommt. Damit ist für die effektive Spannung

)D1)(D1(),(f

KEeff

−−=σ

ξT (40)

anzusetzen. Im Unterschied zu den obigen Ansätzen, z.B. Gl. (40) ist es auch möglich, für

die Kriechschädigung von einer Schädigung im Sinne von Rabotnov [57, 79] auszugehen:

( )k

K

r

K )D1(A

),(fD

−=

ξT& . (41)


20

Dabei sind zwei unabhängige Exponenten r und k zu bestimmen, was zu einer verbesserten

Darstellung des Tertiärkriechens führt. Als alternatives Modell zur Beschreibung einer Ermü-

dungsschädigung kann das von Chaboche [38] vorgestellt Schädigungsgesetz

dN)(M

DdD

m

v

maxu

EE

β

σ

σ

σσ

−=

α

(42)

verwendet werden. Es enthält neben den freien Parametern α und β von der zyklischen Be-

anspruchung abhängige Parameter. Eine Schädigungsfunktion M(σm) beschreibt den Ein-

fluss der Mittelspannung σm im Zyklus. Ferner ist σu eine oberhalb der höchsten Zugspan-

nungsamplitude anzunehmende statische Beanspruchung, σv die tatsächlich angreifende

von-Mises-Vergleichsspannung und σmax die jeweilige maximale Spannungsamplitude. Der

Exponent α kann spannungsabhängig sein. In [38] werden mögliche Modifikationen für die-

ses, auf dem Konzept einer Restlebensdauer aufgebaute Schädigungsgesetz vorgeschla-

gen, die auch für die Beschreibung des Kriechermüdungsverhaltens warmfester Stähle von

Interesse sind.

Besonders bei Bauteilen mit einer größeren Zahl finiter Elemente ist die bei inelastischen

Berechnungen mit konstitutiven Gleichungen erforderliche Rechenzeit prohibitiv. In einem

speziellen, auf zumutbare Rechenzeiten ausgerichteten Verfahren [44] werden nach einer

Einspielperiode der Berechnung in einer quasistationären Periode, die den überwiegenden

Teil der Lebensdauer umfasst, die inneren Variablen eines gekoppelten Ansatzes schrittwei-

se extrapoliert. Nach jedem dieser Schritte wird wieder ein Zyklus durchgerechnet, um die

Gleichgewichtsbedingungen erfüllt zu halten, und die numerische Stabilität der Lösung wird

durch eine empirisch gewonnene Extrapolationsschrittweite sichergestellt. Durch dieses Ver-

fahren wird die für zyklische Beanspruchungen benötigte Rechenzeit entscheidend abge-

kürzt.

Im Hinblick auf die Modellierung der Schädigung wurde von [44] ein alternativer Ansatz vor-

geschlagen. Er basiert auf der Vorstellung eines fiktiven geschädigten Materials (Bild 15).

In der Kontinuumsmechanik gibt es zwei Grundsätze zur Berücksichtigung der Schädigung

im Materialverhalten. Der erste Grundsatz beinhaltet effektive Spannungen kombiniert mit

der Dehnungsäquivalenz und basiert auf Arbeiten von Lemaitre [33, 76] und Chaboche [35,

38]. Der zweite Grundsatz, der zuerst von Cordebois und Sidoroff [74] eingeführt wurde, be-

ruht auf effektiven Spannungen und Dehnungen unter der Forderung von Energieäquivalenz.

Im Rahmen dieser Arbeit wird eine neue Erweiterung dieses Ansatzes, nämlich die verall-

gemeinerte Energieäquivalenz verwendet [67, 68].

Um die Schädigung des Werkstoffes infolge der Deformation zu modellieren, können ver-

schiedene Evolutionsgleichungen verwendet werden (Tabelle 2). Als Grundlage ist hier der


21

Ansatz von Lemaitre mit der verallgemeinerten Formulierung nach Lämmer [72] zu sehen.

Die aus der Literatur entnommenen Ansätze nach Dhar [77], Tai [82] und Saanouni [81] er-

geben sich als Sonderfälle des allgemeinen Lemaitre-Ansatzes nach Lämmer. Der Ansatz

nach Lemaitre ist grundsätzlich in der Lage die Schädigungsentwicklung durch Plastifizie-

rung entweder aus Kriechen oder aus LCF abzubilden.

( )s

D1

D)D(sD

1

0

q

q

210&&&

−

∂

ψ∂ρ−

α+α+α= , (43)

wobei )D

(∂

ψ∂ρ− die Energiefreisetzungsrate ist und sich aus der Dissipationsungleichung zu

0)rR(21

D e ≥+⋅+⋅=∂

ψ∂ρ− ξYTE . (44)

ergibt. An den drei skalaren Produkttermen in den Klammern, die Energieanteile aus der

elastischen Dehnung und Spannung, der kinematisch plastischen sowie der isotrop plasti-

schen Dehnung und Spannung darstellen, geht hervor, dass in dem Schädigungsansatz der

Gleichung (43) der größtmögliche Informationsgehalt der elastischen und plastischen Defor-

mation inklusive Verfestigungseffekte eingeht. Außer dem Einfluss der aktuellen Größe der

Dehnung und Spannung werden unter anderem der Einfluss der Mittelspannungen in der

Form der kinematischen und iso-tropen Spannungsvariablen berücksichtigt.

In der Evolutionsgleichung (43) kann der Parameter 0α sowohl der Neubildung von Poren

und Mikrorissen zugeordnet werden, die zunächst mit der Dehnung linear wächst. Ab einem

bestimmten kritischen Schwellwert ist die Poren- und Mikrorissbildung nicht mehr linear zur

Dehnung, sondern steigt rapide an. Die Parameter 1α und

2α sind für Porenwachstum und –

zusammenlagerung zuständig.

2.2.4 Werkstoffmodell mit der verallgemeinerten Energieäquivalenz

Im Folgenden soll das in dieser Arbeit verwendete Materialmodell, das im Wesentlichen von

Tsakmakis [67, 68] entwickelt wurde, beschrieben werden (Tabelle 1). Wesentliche Bezie-

hungen hierbei sind in Abschnitt 2.2.1 angegeben, jedoch dort in der Formulierung für den

allgemeinen Fall (Gln. (8) bis (38)). Das Modell beruht zunächst auf einer additiven Zerle-

gungen der Deformation in einen elastischen und einen plastischen Anteil, wie es für ver-

gleichsweise kleine Verformungen typisch ist (Zeile 1). Der elastische Anteil der Deformation

lässt sich in eine Spannung T gemäß Gl. (17) überführen (Zeile 2). In der in Tabelle 1 ange-

gebenen Schreibweise handelt es sich bereits um die gemäß der allgemeinen Energieäqui-


22

valenz verwendete Formulierung. Alle entsprechenden Größen sind speziell gekennzeichnet,

z.B. für die Spannung T~ im fiktiven Material (hier in Tensor-Schreibweise).

Im Weiteren werden die kinematische und isotrope Verfestigung durch die innere Variablen

formuliert (Zeile 3). Die kinematische Verfestigung geht zusammen mit der Spannung in die

Definition für die äquivalente Spannung ein. Das fiktive Material wird einerseits durch die

öquivalente Spannung (Zeile 4) und andererseits durch die Fließfunktion (Zeile 5) und die

zugehörige Fließbedingung (Zeile 6) charakterisiert. Dabei steht die Größe ko für die Fließ-

kurve, also den Übergang vom elastischen zum plastischen Materialverhalten.

Die Geschwindigkeit der akkumulierten plastischen Dehnung s&~ ausgedrückt durch die Fließ-

funktion und die Materialkonstanten m und η für die Viskosität des Materials (Zeile 7) wird

auch vielfach als plastische Bogenlänge bezeichnet. Die Geschwindigkeit der plastischen

Dehnung, die mit dem zweiten Term der Ausgangsbeziehung in Zeile 1 zusammenhängt,

wird durch die Evolutionsgleichung mit der Geschwindigkeit der akkumulierten plastischen

Dehnung, der Spannung und der kinematischen Verfestigung sowie der äquivalenten Span-

nung beschrieben (Zeile 8).

Die Evolutionsgleichung für die aus der Zeile 3 stammenden inneren Variablen sind in Zeile

9 und 10 angegeben. Hier wird der Zusammenhang hergestellt zwischen der kinematischen

Verfestigung Y~ , auch als Dehnungsvariable der kinematischen Verfestigung bezeichnet und

der Geschwindigkeit plastischen Dehnung pE

&~ . Diese Evolutionsgleichung in Zeile 9 berück-

sichtigt ferner die dynamische Erholung (2. Term) und die statische Erholung (3. Term). Die

dynamische Erholung charakterisiert die Nichtlinearität des Ansatzes im Sinne einer Begren-

zung der Verfestigung, während die statische Erholung verhindert, dass die Verfestigung

einem konstanten Wert zustrebt. Dieser Term trägt also auch zur Nichtlinearität in der Be-

schreibung des Materialverhaltens bei. Im Fall einer einsinnigen Kriechbeanspruchung be-

schreibt dieser Term die Steigung der Verfestigung, siehe auch Bild 12. Insgesamt kommen

hier 4 Materialparameter zur Anwendung.

In analoger Weise ist die Dehnungsvariable der isotropen Verfestigung formuliert mit den in

Tabelle 1 angegebenen 4 Materialparametern. Zur Prüfung der thermodynamischen Konsis-

tenz wir die Ungleichung gemäß Zeile 11 herangezogen, die negative Werte nicht annehmen

darf. Dazu werden die drei Terme gemäß Zeile 12 (elastische Energie, plastische Energie

aus der kinematischen Verfestigung und plastische Energie aus der isotropen Verfestigung)

durch Ansätze für ψ so formuliert, dass die Beziehungen in Zeile 13 erfüllt sind. Dabei han-

delt es sich um Ableitungen nach der elastischen Dehnung, der Dehnungsvariablen nach der

kinematischen Verfestigung und nach der isotropen Verfestigung (Zeile 13).

Bisher behandelt die Schilderung des Modells ausschließlich den Fall ohne Schädigung. In

Zeile 14 wird zur Berücksichtigung von Schädigung zunächst eine Beziehung zwischen den


23

Funktionen des realen Materials (linke Seite in Zeile 14) und des fiktiven Materials (rechte

Seite) eingeführt. Hierbei wird von der Vorstellung ausgegangen, dass die Energiefunktionen

des realen Materials die gleiche mathematische Form wie die des fiktiven Materials haben.

Diese Vorstellung gilt sowohl für die elastische freie Energiefunktion als auch für die kinema-

tische und die isotrope freie Energiefunktion (Zeile 14). Verwendet man nun diese Formulie-

rung in Verbindung mit den Ableitungen gemäß Zeile 17 lassen sich die Beziehungen gemäß

Zeile 15 für die Spannung, die fiktive Spannung, die kinematische Verfestigung, die isotrope

Verfestigung sowie die entsprechenden Dehnungen eE

~ , Y~ und r~ herstellen. Damit ist jetzt

der Zusammenhang zwischen fiktiven und realem Material hergestellt.

Damit ist der in der Zeilen 1 bis 13 formulierte allgemeine Ansatz auf die verallgemeinerte

Energieäquivalenz erweitert. Dadurch wird die Möglichkeit geschaffen, direkt Schädigung

sowohl in den Spannungen als auch den Dehnungen zu berücksichtigen (Zeile 15). An die-

ser Stelle muss die Fließfunktion des realen Materials ebenfalls in Verbindung mit Schädi-

gung definiert werden. Diese Fließfunktion (Zeile 16) ist ähnlich aufgebaut wie diejenige für

den fiktiven Werkstoff gemäß Zeile 5. Dazu wird zusätzlich die Schädigung D berücksichti-

gende Funktion g(D) eingeführt, in der der Modellparameter n von direktem Einfluss ist, bei

metallischen Werkstoffen aber vielfach den Wert Eins annimmt.

Schließlich ist zur Anwendung des Modells noch eine Evolutionsgleichung für die Schädi-

gung heranzuziehen. Die Formulierung in Zeile 17 nach Lämmer [72] unterscheidet nicht

zwischen Kriech- und Ermüdungsschädigung (Abschnitt 2.1.3, Gl. (4)).

Das hier vorgestellte Materialmodell mit Schädigung berücksichtigt vorteilhaft thermodynami-

sche Konsistenz, den Einfluss der Schädigung sowohl auf Spannungsgrößen als auch auf

Dehnungsgrößen. Durch die Einführung der Energieäquivalenz (Zeilen 14 bis 17) ist es mög-

lich, die Ansätze für ein fiktives Materialmodell gemäß der ursprünglichen Formulierung

durch Chaboche [38] (Zeile 1 bis 13) in eine vergleichbare Formulierung mit Schädigung zu

übertragen. Ein weiterer Vorteil dieses Modells besteht in der Erweiterbarkeit auf anisotrope

Schädigung, wie sie in mehraxial beanspruchten Bauteilen auftritt. Schließlich sei darauf

hingewiesen, dass das Modell auch auf anisotropes Werkstoffverhalten erweiterbar ist.


24

2.3 Verfahren zur Parameteridentifikation

Bei der quantitativen Beschreibung des Werkstoffverhaltens mit wie auch immer gearteten

mathematischen Formulierungen besteht eine wichtige Aufgabe in der Ermittlung der darin

enthaltenen Parameter. Bei bestimmten klassischen Gleichungen, die sogar eine vorher

festgelegte Beanspruchungsart voraussetzen, wie z.B. Kriechbeanspruchung mit der Norton-

Gleichung (Gl. (1)), ist nur ein einachsiger Spannungszustand beschreibbar. Bei komplizier-

teren konstitutiven Materialmodellen mit der Möglichkeit zur räumlichen Definition des Span-

nungszustandes beantwortet sich die Frage nach der Wahl der Probenform zur Erzeugung

von experimentellen Daten nicht von allein.

Bei den Identifikationsversuchen ist also zu klären, welche Probengeometrie zugrunde liegen

soll, also ob einaxiale oder mehraxiale Spannungszustände erzeugt werden sollen oder ob

es sich um homogene oder inhomogene Spannungszustände handelt.

Der Vorteil des einaxialen Versuchstyps liegt in der Einfachheit der Versuchsdurchführung

und in der Tatsache, dass solche Versuchsdaten oft bereits vorliegen. Zumindest ist eine

Anpassung oder Änderung des oft erforderlichen zeitlichen Versuchsverlaufs nicht weiter

schwierig. In der Regel wird bei einachsiger Beanspruchung eine Homogenität des Span-

nungszustandes angenommen. Allerdings trifft diese Annahme selbst bei der einfachsten

Probenform der zylindrischen Zugprobe abhängig von der Größe der Deformation auch nur

in etwa zu. So kann anhand von Finit-Element-Berechnung gewisse Abweichungen nachge-

wiesen werden [84]. Hier ist bereits eine latente Quelle der Ungenauigkeit vorhanden, deren

Beseitigung nur durch in der Regel unverhältnismäßig hohen Aufwand der Finit-Element-

Berechnung unter Berücksichtigung der geometrischen und physikalischen Nichtlinearitäten

möglich ist.

Im Rahmen dieser Arbeit sollen lediglich einachsige Experimente die Basis der Messdaten

zur Parameteridentifikation bilden. Biaxial durchgeführte Experimente an Kreuzproben (Kapi-

tel 5) sind im Anschluss an die Parameteridentifikation zu Verifikationszwecken vorstellbar.

Natürlich wäre es denkbar, biaxiale Experimente zur Identifizierung der Materialparameter zu

verwenden, wie dies bei anderen Forschungsvorhaben durch CT-Probenversuche [84] oder

Kugeleindruckversuche [70] geschehen ist. Aber der auf Langzeitverhalten, insbesondere

auf das Kriech- und Kriechermüdungsverhalten abzielende Schwerpunkt bei der Parameter-

suche spricht für eine Versuchsmethode, bei der auch der Verlauf bzw. die Intensität der

Belastung den Gegebenheiten der Bauteilbelastung nahe sind. In diesem Zusammenhang

sei auf den deutlichen Einfluss der Dehnrate in der Belastungsphase auf maximale Deh-

nungsausschläge gemäß Bild 4 hingewiesen. Untersuchungen an konventionellen warmfes-

ten Stählen [25] sowie an modernen 9-10%Cr-Stählen [26, 55] ergaben eine deutliche Ab-


25

senkungen der ertragbaren Anrisswechselzahl verbunden mit einer deutlichen Verminderung

der ertragbaren Spannungen unter zyklischer Beanspruchung.

Die Entwicklung von Methoden zur Parameteridentifikation auf konstitutive Materialmodelle

ist in vergangenen Jahren verstärkt behandelt worden [46 bis 49, 84]. Dabei wurden ver-

schieden Aspekte der Herangehensweise untersucht und ihre Vor- und Nachteile in Bezug

auf die Praxistauglichkeit und der Erfolg der gelieferten Resultate analysiert worden. Ge-

genstand der Diskussion sind unter anderem die verwendeten Optimierungsverfahren aber

auch der Typ der durchzuführenden Experimente gewesen. Die Optimierungsverfahren wur-

den auf der Basis der mathematischen Algorithmen unterschieden, d.h. hauptsächlich zwi-

schen deterministische gradientenbasierte Verfahren (z.B. Gauß-Newton, Levenberg-

Marquardt) und stochastische gradientenfreie Verfahren (Monte-Carlo, Evolutionsstrategien).

In beiden Verfahren steht die Bildung eines Funktionals meistens in Form der Summe der

Fehlerqudrate, auch Zielfunktion genannt, im Vordergrund. Das Ziel der Optimierungsverfah-

ren ist, den Wert dieses Funktionals in Abhängigkeit der unbekannten Parameter zu minimie-

ren. Gradientenfreie Verfahren haben gegenüber den Gradientenverfahren oft einen Vorteil

im Bezug auf den Rechenaufwand. Die Gradientenverfahren benötigen nämlich die Berech-

nung der Jacobi-Matrix zur Bildung des Gradienten, die quadratisch von der Anzahl der Pa-

rameter abhängt. Ein weiterer Nachteil ist, dass sie sich nur für das Bestimmen lokaler Mini-

ma eignen.

Bei gradientenbasierten Optimierungsverfahren ist das Ziel, bei der Funktion f(x) diejenige

Stelle x zu finden, an der der Funktionswert f ein Minimum annimmt. Dies ist dann der Fall,

wenn die Gradiente ( )0xf∇ verschwindet. Bei diesen Verfahren wird zunächst ein Startpunkt

x0 gewählt und der Gradient ( )0xf∇ an dieser Stelle wird berechnet. Anhand des Gradienten

wird eine Abstiegsrichtung ermittelt und mit einer gewählten Schrittweite wird ein neuer

Punkt x1 berechnet, der im nächsten Schritt als neuer Startwert benutzt wird. Dieser iterative

Vorgang wird bis zur einem vordefinierten Abbruchkriterium wiederholt. Bei gut gewähltem

Startwert x0 konvergieren die Verfahren relativ schnell. Allerdings liefern sie abhängig vom

Startwert nur das nächstgelegene lokale Minimum.

Ein Beispiel für stochastische Verfahren ist die Partikelschwarmmethode. Dem Verhalten

eines Schwarms in der Natur nachempfundener Algorithmus, wie z.B. der Suche eines Vo-

gelschwarms nach der besten Nahrungsquelle. Zu Beginn der Lösungssuche ist der

Schwarm stochastisch über dem Suchgebiet verteilt. Jedes Element des Schwarms besitzt

zusätzlich eine Richtung, mit der er vom momentanen Standpunkt die Suche nach dem Op-

timum fortsetzt. In den folgenden Iterationen wird die Richtung jedes Elements variiert, indem

die ursprüngliche Richtung in die Richtung des „besten“ Elements gewichtet geändert wird.

Die Richtungsänderung wird von Iteration zu Iteration verringert. Ein Nachteil dieses Verfah-


26

rens ist, wie bei allen stochastischen Verfahren, die große Anzahl der Funktionsauswertun-

gen pro Iteration.

Die in dieser Arbeit eingesetzten zwei, von Grund auf unterschiedlichen Verfahren zur Para-

meteridentifikation sind gradientenfrei. Es handelt sich bei dem ersten Verfahren um die Me-

thode der Neuronalen Netze [49, 71, 83] (Bild 16) und bei dem zweiten Verfahren um die

Nelder-Mead-Methode [85]. Auf die Anwendung wird im Abschnitt 6.4 eingegangen.

Die grundsätzliche Funktionsweise der künstlichen Neuronalen Netze basiert auf der biologi-

schen Vorlage, nämlich auf Nervenzellen des Gehirns von Lebewesen, Neuronen genannt

(Bild 16 a). Jedes Neuron besitzt mehrere Synapse als Eingang der Signale. Diese Signale

werden in dem Neuron verarbeitet und anschließend durch einen Ausgang weitergegeben,

der Axon. Das mathematische Modell eines Neurons kann relativ einfach durch eine Funkti-

on mit zwei Vektoren xi des Eingangssignals und einer Gewichtung wi als Argumente erfol-

gen: Die Eingänge sind unterschiedlich sensibel, so dass eine Gewichtung je Eingang erfor-

derlich ist. Der aus dem Skalarprodukt dieser Vektoren entsteht die Intensität wixi eines Ein-

gangs bzw. ihre Summe die Aktivität Σwixi des Neurons. Das Zwischenergebnis z wird an-

schließend als Argument der Aktivierungsfunktion S übergeben (Bild 16 b) und liefert den

Wert für den Ausgang des Neurons. Ein neuronales Netz entsteht durch die Vernetzung von

Neuronenreihen oder -schichten miteinander und zwar so, dass die Neuronen derselben

Schicht keine Verbindung untereinander haben, die Ausgänge einer Schicht aber als Ein-

gänge der nächsten Schicht dienen (Bild 16 c). Somit gilt die erste Schicht als Eingabe-

schicht, die letzte als Ausgabeschicht. Die Schichten zwischen Eingabe- und Ausgabe-

schicht werden als verdeckte Schichten gekennzeichnet. Beim Vorliegen bestimmter Werte

für x können beliebige Werte für y durch das Netz erzeugt werden. Hierzu müssen die Ge-

wichtungen w aller Schichten durch einen Lernalgorithmus festgelegt werden, in dem Bei-

spiel- oder Musterdaten als Eingabe dienen. Dieser Vorgang wird als Training bezeichnet.

Ein trainiertes Netz ist in der Lage, ein generelles Verhalten nachzuahmen, das durch die

Beziehung der Datenpaare (x,y) definiert wird. Mit anderen Worten können Neuronale Netze

"aus Daten Regeln gewinnen" [83]. Ein großer Vorteil der Neuronalen Netze ist, dass sie

fehlertolerant sind. So ist die bei Optimierungsverfahren oft vorhandene Sensitivität im Bezug

auf die vorgegeben Daten, wie dies bei Versuchsdaten der Fall ist, nicht gegeben und das

Verfahren reagiert darauf stabil.

Das zweite hier verwendete Verfahren nach Nelder-Mead ist deterministisch und, wie schon

erwähnt, gradientenfrei. Seine Grundlage ist ein modifiziertes Simplex-Verfahren und stellt

einen direkten Suchalgorithmus dar. Dabei wird im Parameterraum ein Simplex, also ein

mehrdimensionales Vieleck, aufgespannt, dessen Eckpunkte die Werte der zu minimieren-

den Funktion darstellen. Für eine Funktion mit zwei Parametern lässt sich das Simplex als

ein Dreieck darstellen. Das iterative Ersetzen jeweils des Eckpunktes, der den größten Funk-


27

tionswert besitzt, durch einen neuen Eckpunkt mit kleinerem Funktionswert bewirkt das Zu-

sammenziehen des Dreiecks. Bei jeder Iteration entsteht ein neues Dreieck, dessen Eck-

punkte immer kleiner werdende Funktionswerte haben. Die Abmessungen des Dreiecks ver-

ringern sich ständig und ihre Koordinaten nähern sich immer mehr dem Minimum der Funkti-

on. Dieses Verfahren ist effektiv und rechnerisch kompakt.

Wie später im Abschnitt 6.4 erklärt wird, wurde im Rahmen des vorliegenden Forschungs-

vorhabens eine Zwei-Schritt-Methode entwickelt, die zunächst mit Hilfe des Neuronale-

Netze-Verfahrens ein Parametervektor identifiziert, der anschließend durch das Nelder-

Mead-Verfahren optimiert wird. Somit kann durch neuronale Netze aus einem je nach den

Anforderungen beliebig großen Parameterintervall ein bereits akzeptabler Parametervektor

gefunden werden, der als Startwert für das iterativ funktionierende Optimierungsverfahren

nach Nelder und Mead dient und somit ohne rechenzeitintensive Berechnung von Gradien-

ten weitere Verbesserungen erreicht werden.

2.4 Verifikation konstitutiver Werkstoffbeschreibungen

Zur Verifikation konstitutiver 3D-Werkstoffbeschreibungen dienen in der Regel Versuche an

mehraxial beanspruchten bauteilähnlichen Proben. Teilweise schon deren Entwurf, auf jeden

Fall aber ihre Nachrechnung ist nur noch mit FE-Berechnungen durchführbar, wie sie später

auch für die technische Anwendung erforderlich sind. In Frage kommende Verifikations-

experimente sind langzeitige Zug- und Zug-Druck-Versuche an gekerbten Proben [10, 14,

50, 62, 64], Versuche unter Innendruck oder Torsion und zusätzlicher Zug-Druck-Längsbe-

anspruchung an Rohrproben [51, 52], Versuche an durch Temperaturwechsel [53] oder

Fliehkraft [51] beanspruchten Modellkörpern, an biaxial beanspruchten Kreuzproben [54, 86,

87] (Bild 17) oder an einaxial beanspruchten Proben mit wechselnder Beanspruchungsorien-

tierung. Zusätzlich können auch die Ergebnisse extrem langzeitiger, für die Parameteridenti-

fikation nicht herangezogener einaxialer Versuche [23, 25, 26, 55] von Interesse sein. We-

gen der erheblichen Streuungen unterschiedlicher individueller Versuchswerkstoffe eines

Typs ist eine realitätsnahe Verifikation an Modellversuche für den individuellen Werkstoff

gebunden, an dem auch die Experimente zur Parameteridentifikation durchgeführt worden

sind. Das gilt zumindest solange, als noch keine Übertragung einer konstitutiven Gleichung

auf einen gefügeverwandten Werkstoff möglich ist.

Biaxiale Ermüdungsexperimente unter Zug-Druck-Beanspruchung führten zu einem deutli-

chen Einfluss des Beanspruchungsverhältnisses Φε=∆εx/∆εy (Bild 18). Dieses Verhältnis

wird aus dem Quotienten der Dehnungsschwingbreite in den Beanspruchungsrichtungen X

und Y gebildet und kann bei einer Kreuzprobe vorteilhaft Werte zwischen –1 ≤ Φ ≤ 1 an-

nehmen. Untersuchungen an einem 1%Cr-Stahl bei 550°C ergaben für den Fall reiner Er-


28

müdungsbeanspruchung eine Verminderung der Anrisswechselzahl von Faktor 10 für das

Verhältnis Φ=1, also gleichsinniger Beanspruchung der Achsen X und Y gegenüber dem Fall

Φ=-1 mit gegensinniger Belastung [54].

Zusammenfassend sei angemerkt, dass die in dieser Arbeit angestrebte Anwendung eines

fortschrittlichen Werkstoffmodells auf den komplexen Fall der Überlagerung von Ermüdungs-

und Kriechbeanspruchung am Beispiel warmfester Stähle, für die bis auf wenige andere Stel-

len [29, 41, 60] kaum Erfahrungen vorliegen, eine Reihe von Aufgaben erwarten ließ, die es

zu lösen galt. Diese betreffen neben unterschiedlichen komplexen Probengeometrien zur

Nachbildung der Mehrachsigkeit auch die theoretischen Arbeiten, die Programmierarbeiten

für das Modell und die Anwenderroutinen in einem Finit-Element-Code als auch die schwie-

rigen neuen Schritte bei der Parameteridentifizierung für Kriechermüdungsbeanspruchung

unter Berücksichtigung zeit- und zykluszahlabhängiger Werkstoffeigenschaften. Dabei war

es eine wichtige Zielvorgabe Transparenz in den Arbeitsschritten zu dokumentieren.

3 Aufgabenstellung, wissenschaftliche Zielsetzung

29

3 Aufgabenstellung, wissenschaftliche Zielsetzung

Ziel ist die Erstellung einer robusten, thermodynamisch konsistenten Beschreibung des ine-

lastischen Verhaltens ausgewählter warmfester Stähle in Form eines elastoviskoplastischen

Materialmodells zur Lebensdauerberechnung und Optimierung von Hochtemperaturbauteilen

des Kraftwerks- und Anlagenbaues unter praxisnaher Kriech- und Kriechermüdungsbean-

spruchung. Unter einer robusten Beschreibung wird dabei der Einsatz wissenschaftlich ab-

gesicherter und erfolgreich angewandter Methoden und Verfahren verstanden. Das Materi-

almodell soll in der Lage sein, monotone und zyklische Beanspruchungen zu erfassen und

eine isotrope Schädigungsentwicklung zu beschreiben. Es soll eine Erweiterung auf ani-

sotrope Schädigung und anisotherme Beanspruchung zulassen. Im Hinblick auf noch bewäl-

tigbare Rechenzeiten bei zyklischer Bauteilbeanspruchung sind theoretische Extrapolati-

onsmöglichkeiten zu erproben.

Bei den zu untersuchenden Werkstoffen handelt es sich im Schwerpunkt um den Schmiede-

stahl 28CrMoNiV4-9 für Turbinenwellen und stichprobenartig um den Schmiedestahl

X21CrMoV12-1 ebenfalls für große Schmiedestücke jeweils unter Beschränkung auf eine

Temperatur im Bereich der oberen Anwendungstemperatur. Die Identifikation der Materialpa-

rameter der konstitutiven 3D-Beschreibung soll im Wesentlichen auf der Basis vorhandener

1D-Materialdaten durchgeführt werden, für die aus früheren Arbeiten sehr langzeitige Daten

vorliegen. In sehr beschränktem Umfang sind noch ergänzende Versuche durchzuführen,

um die Parameteridentifikation zu unterstützen. Als weiteres Ziel sind die erstellten Material-

gleichungen in ein kommerzielles Finite-Elemente-Programmsystem zu implementieren und

durch die Nachrechnung langzeitiger Verifikationsexperimente zu validieren.

Als einaxiale Verifikationsunterlagen sollen die nicht für die Parameteridentifikation herange-

zogenen längstzeitigen experimentellen Ergebnisse aus Kriech-, zyklischen Kriech- und

Langzeitdehnwechselversuchen herangezogen werden. Mehraxiale Verifikationsunterlagen

sind durch einige gezielte Experimente an den für die Parameteridentifikation herangezoge-

nen Versuchswerkstoffen zu schaffen. Dabei sind isotherme Verifikationsversuche an Kerb-

proben unter Kriech- und Kriechermüdungsbedingungen vorzusehen. Eine wesentliche ex-

perimentelle Aufgabe wird die Einführung einer biaxialen Prüftechnik mit Kreuzproben sein.

Auch in diesem Fall sind Kriechermüdungsversuche durchzuführen. Die Güte der Werkstoff-

beschreibung durch das Materialmodell soll an diesen Verifikationsversuchen bestimmt wer-

den. Schließlich sind Anwendungsrechnungen durch die Industrie vorgesehen.

4 Versuchsprogramm

30

4 Versuchsprogramm

4.1 Werkstoffe

Die Untersuchungen im Rahmen dieser Arbeit sollten an den konventionellen Schmiedestäh-

len 28CrMoNiV4-9 und X21CrMoV12-1 durchgeführt werden. Diese Stähle werden für große

Schmiedestücke in thermischen Maschinen eingesetzt. Im Hinblick auf die Zielsetzung des

Vorhabens, nämlich der Modellierung des Werkstoffverhaltens unter mehrachsiger Kriech-

und Kriechermüdungsbeanspruchung, waren diese seit langem eingesetzten Stähle ausge-

wählt worden, weil hierfür einerseits eine ausreichende Datenbasis aus konventionellen Ex-

perimenten und andererseits Erfahrungen aus Auslegung und Betrieb vorliegen.

Der Versuchswerkstoff 28CrMoNiV4-9 mit der Schmelzenbezeichnung 216e/AAG wird für

größere Schmiedestücke, insbesondere für Turbinenwellen eingesetzt und liegt in Form ei-

nes geschmiedeten und vergüteten, wellenähnlichen Rundstabes (kurz: Welle) vor. Chemi-

sche Zusammensetzung und Wärmebehandlung (Tabelle 3) sowie der Gefügezustand (obe-

rer Bainit) entsprechen den üblichen Anforderungen. Die Proben für die Experimente (Ab-

schnitt 4.2) wurden wegen der abzubildenden Beanspruchungsverhältnisse an der beheizten

Oberfläche einer Welle stets aus der äußersten Lage entnommen und zwar durchweg in

Axialrichtung. Angaben zu den mechanischen Kurzzeiteigenschaften sind in Tabelle 3 mit-

enthalten.

Der hochlegierte martensitische Stahl X21CrMoV12-1, 220m/YV wird für größere Schmiede-

stücke und Turbinenwellen (SEW 555, EN 10 269) eingesetzt (Tabelle 4). Das Versuchsma-

terial liegt in Form gewalzter Stangen mit praxisähnlicher Wärmebehandlung der Festigkeits-

klasse I und einer für diesen Stahl typischen chemischen Zusammensetzung sowie der

Kurzzeiteigenschaften vor.

4.2 Versuche zur Parameteridentifizierung und Verifikation

Das Versuchprogramm umfasst einerseits geeignete Versuche zur Identifizierung der Mate-

rialparameter und andererseits Verifikationsversuche. Bei den Parameteridentifikationsver-

suchen handelt es sich um Zug-Druck-Relaxationsversuche mit Haltezeiten und unterschied-

lichen Rampendehngeschwindigkeiten. Die Ergebnisse dienen zur Bestimmung der Modell-

parameter hinsichtlich des in Abschnitt 2.2.4 beschriebenen Materialmodells, also beispiels-

weise der isotropen und kinematischen Verfestigung, der plastischen Dehnung sowie weite-

rer Materialparameter. Diese Versuche sollten am Werkstoff im Neuzustand durchgeführt

werden. Darüber hinaus liegen Daten aus einachsigen Versuchen früherer Arbeiten [7, 14,

23, 26, 28] zum Kriech- und Kriechermüdungsverhalten vor.

4 Versuchsprogramm

31

Im Folgenden wird auf die Verifikationsversuche für das Materialmodell eingegangen. Dabei

waren zunächst kraftkontrollierte Zug-Druck-Lastwechselversuche mit Haltezeiten (Bild 35)

an Rundkerbproben vorgesehen. Mit diesen Proben lässt sich die zyklische Bauteilbean-

spruchung an Stellen von mehraxialer Spannungskonzentration nachbilden. Eine kritische

integrale Verformung im Kerbbereich sollte mit einem Miniaturdehnungsaufnehmer gemes-

sen werden und dient als Verifikationsgröße für die Verformungsbeschreibung. Das Ver-

suchsprogramm (Tabelle 5) ist im Hinblick auf praxisnahe Verifikationen auf wenige, über-

wiegend langzeitige Versuche konzentriert, die die betriebsähnliche Dehnwechselbeanspru-

chung an der Oberfläche von Dampfturbinenbauteilen isotherm abbilden. Die Zykluszahl ist

auf Werte entsprechend den Bereichen von Kalt- und Warmstarts von Dampfturbinen be-

schränkt und die Rampendehngeschwindigkeiten sollen praxisnahe niedrig gewählt werden.

Weiter sind Kriechversuche an Rundkerbproben vorgesehen (Tabelle 5). Auch hier soll die

integrale Verformung im Kerbbereich als Verifikationssignal erfasst werden.

Von besonderem Interesse sind als weitere Verifikationsversuche biaxiale Kriechermü-

dungsversuche gemäß Beanspruchungszyklus in Bild 4 c an orthogonal belasteten Kreuz-

proben vorgesehen, wodurch sich die biaxiale Dehnwechselbeanspruchung beheizter Bau-

teiloberflächen besonders treffend nachbilden lässt. Als Verifikationsgrößen für die Verfor-

mungsberechnung mit dem Werkstoffmodell stehen Dehnungen εy , εx oder besser ihre

Schwingbreiten ∆εy , ∆εx und die benötigten Prüfkräfte bereit. Als Verifikationsgröße der

Schädigung lassen sich die durch die orthogonalen Dehnungsschwingbreiten ∆εy und ∆εx

bedingte Anzahl der Prüfzyklen bis zur Kriechermüdungsrisseinleitung heranziehen.

Die Verifikationsversuche an den Kreuzproben sind als betriebsähnliche biaxiale Dehnwech-

selversuche (Tabelle 6) mit einem Verlauf der orthogonalen Dehnungen ähnlich Bild 4 c,

Haltezeiten tH1 bis tH4, einer Zyklusdauer tp = 3 h und einer geplanten Anrisswechselzahl von

NA = 1.000 vorgesehen. Das Dehnungsverhältnis Φ = ∆εx / ∆εy der orthogonalen Dehnungs-

schwingbreiten wird bei den Versuchen variiert. Beim Werkstoff 216e sind je ein isothermer

525 °C-Versuch bei Φ = 0,5 und 1 vorgesehen und ein anisothermer Versuch mit Tmax = 550

°C, ∆T = 50 °C und Φ = 0,5. Beim Werkstoff 220m sind ebenfalls je ein isothermer Versuche

bei Φ = 0,5 und 1 vorgesehen und zwar bei T = 550 °C sowie ein anisothermer Versuch bei

Φ = 0,5. Zug- und Druckdehnungen laufen im Fall des Dehnungsverhältnisses Φ = 1 syn-

chron, was den besonders kritischen Fall einer beheizten Bauteiloberfläche abbildet. Das

Dehnungsverhältnis Φ = 0,5 drückt eine Dehnungsschwingbreitenerhöhung in y-Richtung

entsprechend einer geometriebedingten Dehnungsformzahl aus und damit ebenfalls einen

praxisnahen Fall. Eine gleichzeitige Belastung der Kreuzproben durch Zug- und Druckdeh-

nungsanteile (Φ < 0) wäre auch möglich. Damit ließen sich die Verhältnisse bei Überlage-

rung von Torsion oder Krafteinleitung über Oberflächen abbilden, was aber nicht im hier be-

trachteten Problembereich liegt.

4 Versuchsprogramm

32

Schließlich sind einige Verifikationsversuche als isotherme Kriechversuche mit konstanter

biaxialer Belastung an Kreuzproben vorgesehen (Tabelle 6). Als Vorversuche sind jeweils

kurzzeitige, als Hauptversuche jeweils längerzeitige Versuche geplant. Alle Verifikationsver-

suche sollen mit dem zu erstellenden 3D-Materialmodell nachgerechnet werden.

5 Experimente

33

5 Experimente

Bei den experimentellen Arbeiten lag der Schwerpunkt in der Durchführung von speziellen

Versuchen zur Identifizierung der Materialparameter und von Kriech- und Kriechermüdungs-

versuchen an Kerbproben sowie an Kreuzproben zur Gewinnung von Verifikationsdaten un-

ter mehrachsiger Beanspruchung.

Daten aus einachsigen Experimenten Kriech- und Kriechermüdungsverhalten lagen aus vo-

rangegangenen Arbeiten vor [7, 14, 23]. Bevor auf die Schilderung der Versuche zur Para-

meteridentifizierung und der Verifikationsversuche eingegangen wird, soll auf die Arbeiten

zur Bereitstellung der entsprechenden Prüfeinrichtung und die umfangreichen prüftechni-

schen Vorarbeiten eingegangen werden.

5.1 Prüftechnik

Die Versuche zur Parameteridentifizierung betrafen zum Einen gestufte Haltezeitversuche

(Abschnitt 5.2), die an glatten Proben mit einem Durchmesser von 10mm auf einer servo-

hydraulischen Prüfmaschine durchgeführt wurden. Auf Einzelheiten zu diesen Versuchen,

bei denen auch die Rampendehngeschwindigkeiten, im Folgenden auch kurz mit Dehnrate

bezeichnet, variiert wurde, sei auf Abschnitt 5.2 verwiesen.

Zum Anderen handelt es sich um entsprechende gestufte Haltezeitversuche an Kreuzpro-

ben, die auf dem weiter unten beschriebenen Biaxialprüfsystem durchgeführt wurden.

Zur Durchführung der Verifikationskriechversuche an Kerbproben (Bild 19) wurde eine Zeit-

stand-Einzelprüfmaschine mit entsprechender Erwärmungseinrichtung bereitgestellt (Bild

20). Dabei handelt es sich um einen Konvektionsofen in geteilter Ausführung mit 3 Heizzo-

nen. Zur Messung und Regelung der Temperatur wurden Thermoelemente vom Typ S (Pt-

RhPt10) verwendet. Zur Verformungsmessung wurden axial wirkende Miniaturdehnungsauf-

nehmer vom Typ „Hitachi Strain Pecker“ (Bild 19 c) mit einer Messbasis vom 0,4 mm einge-

setzt, für die aus [50] entsprechende experimentelle Erfahrungen vorlagen. Die Messspitzen

dieses Aufnehmers wurden mithilfe einer eigens dafür gebauten Hilfseinrichtung zentrisch im

Kerbgrund positioniert und punktgeschweißt. Die Kalibrierung erfolgte mithilfe einer speziel-

len Kalibriervorrichtung. Auf diese Weise lassen sich axiale Verformungen im Kerbgrund im

Bereich von wenigen Mikrometern erfassen.

Die Kerbprobe wurde mit einer umlaufenden Kerbe mit einer vergleichsweise mittleren Kerb-

formzahl Kt = 2,3 versehen [62]. Die Kerbe wurde mittels eines Spezialwerkzeugs durch Dre-

hen eingebracht. Um zusätzliche Informationen über die einaxialen Verformungen der Kerbe

5 Experimente

34

nach dem Versuch zu gewinnen, wurden die Kerbproben nahe der Kerbe mit keramischen

Messmarken versehen. Hierdurch ließen sich Aussagen über die integrale Verformung der

Kerbe gewinnen, die wiederum als Kontrollwerte bei den Finite-Elemente-Rechnungen Ver-

wendung fanden.

Die Messung von Risseinleitung und Rissfortschrittes in der Kerbe wurde mithilfe einer aus

anderen Mitteln beschaffenen Wechelstrompotenzialsonde vorgenommen (Bild 20 b). Hier-

bei erfolgte der Abgriff des Messsignals über angeschweißte Messelektroden, die unmittel-

bar an beiden Seiten der Kerbe angebracht wurden.

Im Folgenden wird auf prüftechnische Einzelheiten bei der Durchführung von Kriechermü-

dungsversuchen an Kerbproben eingegangen. Für diese Versuche wurde ebenfalls die in

Bild 19 dargestellte Rundkerbprobe verwendet. Wegen der Zug-Druck-Wechselbean-

spruchung waren hier spezielle Einspannteile für die Proben zu bauen. Die Komponenten

der Prüfmaschine (Bild 21) umfassen einen steifen 4-Säulen-Rahmen mit einem 3-Zonen-

Konvektionsofen in geteilter Ausführung. Die Versuche wurden in Kraftregelung durchge-

führt, wofür eigens ein Steuerungsprogramm und ein Messprogramm zu entwickeln waren.

Die Messung der axialen Probenverformung erfolgte wiederum mithilfe eines Miniaturdeh-

nungsaufnehmers (Bild 19 b).

Auf die Ergebnisse der Versuche wird in Abschnitt 5.2 eingegangen. Einen wesentlichen

Umfang der experimentellen Vorarbeiten betraf die Inbetriebnahme eines neuartigen Prüf-

systems (Bild 22) zur biaxialen Prüfung von kreuzförmigen Proben (Bild 23) unter statischen

und wechselnden Belastungen. Dieses Prüfsystem zur bauteilnahen Nachbildung von Ver-

formung und Anriss wurde aus anderen Mitteln [59] beschafft und für die Biaxialversuche in

Rahmen dieser Arbeit bereitgestellt. Die Vorarbeiten umfassten die Auslegung der Kreuz-

probe für Zug-Druckbelastung mithilfe von Finite-Elemente-Rechnung, die Fertigung der

Proben, die Durchführung von Versuchen einschließlich der Entwicklung der Programme zur

Maschinensteuerung und Messdatenerfassung zur Erprobung der Regelung und der entwi-

ckelten Kreuzprobe. Ferner betrafen die Vorarbeiten die Erwärmungseinrichtung (Bild 24)

samt Temperaturmessung und -kontrolle und schließlich Maßnahmen zur Verbesserung der

Dehnungsmessung mit dem speziellen Extensometer. Im Folgenden werden Einzelheiten

der biaxialen Prüftechnik ausführlich geschildert.

Bei der Biaxialprüfmaschine handelt es sich um eine in zwei orthogonalen Achsen arbeiten-

de servohydraulische Prüfmaschine mit einem steifen Rahmen in platzsparender, beidseitige

Zugänglichkeit gewährender vertikaler Bauweise. Zwei Paare jeweils gegenläufig wirkender

Zylinder mit 250 kN Nennkraft sind orthogonal im Rahmen der Maschine angeordnet. Vier

hochwertige Prüfzylinder der Baureihe Hydropuls (Bauart Schenck) mit hydrostatischer La-

gerung zusammen mit hochwertigen Servoventilen garantieren eine hohe Regelgüte, wie sie

insbesondere bei Dehnungsregelung mit niedrigen Frequenzen deutlich unter 0,1 Hz aber

5 Experimente

35

auch bis zu einigen Hz sowie Haltezeiten erforderlich ist. Die Zylinder sind speziell auf hohe

Quersteifigkeit ausgelegt und weisen gute Notlaufeigenschaften auf. Bei Überlast infolge

Bruch eines Probenarmes schützen zusätzliche mechanische Abstützungen Kraftmessdose

und Kolbenstange gegen Querkraft. Auf der Kolbenstange sind jeweils die Kraftmessdose

sowie die sich anschließenden Kühlplatten als Wärmebarriere zum Schutz der Kraftmessdo-

se vor thermischer Überlastung montiert.

Unmittelbar daran schließt sich die eigentliche, knicksteife Probeneinspannung an (Bild

22 b). Kühlplatten und Probeneinspannung wurden in Anpassung an die Prüfaufgabe entwi-

ckelt und gebaut. Die Kreuzprobe ist in allen 4 Armen mit einer Index-Bohrung versehen, um

sowohl bei der Fertigung (Bild 23 c) als auch bei der Probeneinspannung (Bild 22 c) hohe

Präzision und Reproduzierbarkeit der Probeneinspannung zu gewährleisten. Die Geometrie

der Kreuzprobe wurde in elastischen Finit-Element-Rechnungen optimiert. Die Prüfzone

weist eine Durchmesser von rd. 17 mm auf bei einer Dicke von 2 mm. Die Proben wurden in

der Prüfzone feingedreht und die Einspannflächen beidseitig geschliffen.

Die Kontur der gefertigten Probe wurde auf einen 3D-Koordinatenmesswerk ausgemessen.

Dabei zeigte sich eine hohe Qualität der Ebenheit in der Prüfzone als auch des Übergangs-

radius von der Prüfzone zu den Einspannarmen der Probe (Bild 25). Die Dicke der Prüfzone

variiert im Bereich von ±0,03 mm und die Abweichung der Mitte der Prüfzone bezogen auf

die Einspannungsflächen beträgt <±0,02 mm.

Bei dem Biaxial-Prüfsystem bilden je zwei gegenüberliegende Zylinder mit dem zugehörigen

Regelsystem eine Regeleinheit. Diese Regeleinheiten arbeiten in Modalregelung, also einer

überlagerten Regelung von Probenverformung bzw. Prüfkraft und Kolbenweg. Zur Online-

Lagekontrolle des Probenmittelpunktes dient ein speziell entwickelter Messtaster (Eigenbau),

der in zwei Achsen arbeitet. Die digitale Mess-, Steuer- und Regelelektronik (Typ INSTRON

8800) enthält einen speziellen Programmzweig für biaxiale TMF-Versuche. Somit besteht

eine softwaremäßige Verknüpfung mit einem integrierten Temperaturregler als fünftem Re-

gelkreis. Dadurch lassen sich mechanische Dehnung, thermisch induzierte Dehnung und

Temperatur unmittelbar synchronisieren, erfassen und der Versuchsauswertung zuführen.

Die Probenerwärmung erfolgt induktiv mit einer vorerst einseitig an der Probe angeordneten

spiralförmigen Spule (Bild 24). Die Temperaturverteilung in der Prüfzone wurde mittels einer

Kalibrierprozedur und einer speziellen Kalibrierprobe gemessen. Dazu wurde eine Kreuzpro-

be aus einem vergleichbaren Stahl durch Erodieren mit radialen Bohrungen versehen (Bild

26). In diesen Bohrungen wurden insgesamt 4 Mantelthermoelemente vom Typ N auf einem

Kreis entsprechend dem Durchmesser der Messlänge von 13 mm eingesetzt (je 1 Mantel-

thermoelement (MTE) bei 0°, 180° und 270° sowie ein MTE im Zentrum der Probe). Zur Re-

gelung wurde das Temperaturmesssignal eines angepunkteten Regelthermoelements (RTE)

vom Typ S herangezogen. Die Temperaturabweichung lag bei allen unter ±4 °C (Bild 27).

5 Experimente

36

Die Temperaturmesswerte sind mit einer Messunsicherheit von max. ±3 °C behaftet, die alle

Fehler wie Thermoelementfehler, Temperaturabgriffsfehler, Messkreisfehler und die

Temperaturabweichung über die Versuchsdauer beinhaltet. Zusätzlich wurde die Temperatur

an den Oberflächen der Kalibrierprobe in der Prüfzone mittels Thermoelementen gemessen.

Die Temperaturdifferenz zwischen der der Spule zugewandten Probenseite und der der

Spule abgewandten Seite beträgt 3 °C, was angesichts der hier vorliegenden induktiven

Erwärmung als akzeptabel anzusehen ist.

Das Abklingen der Temperatur von der Prüfzone nach außen zu den Stegen hin wurde mit-

hilfe einer digitalen Kamera mit entsprechendem Filter gemessen und mittels einer compu-

tergraphischen Auswertungsmethode visualisiert (Bild 28). Diese Technik stand vor Beginn

der Versuchsreihe noch nicht zur Verfügung. Diese Auswertung zeigt, dass in der Prüfzone

eine Temperaturverteilung im Bereich von ±3 °C zu beobachten ist, wie es sich bereits aus

den Messungen mit der Kalibrierprobe zeigte. Zur Orientierung sei auf die Messlänge der

Probe von 13 mm hingewiesen.

In diesem Zusammenhang wurde bei einer Reihe von Versuchen die thermisch induzierte

Dehnung (Bild 29) infolge Erwärmung gemessen und mit einer Kontrollrechnung über den

thermischen Ausdehnungskoeffizient nachgerechnet. Die Abweichung war in allen Fällen bei

der maximalen Dehnung weniger als 2% und damit akzeptabel. Zur Messung und Regelung

der axialen Verformung in der Prüfzone wurde ein hochauflösendes orthogonales Extenso-

meter (Bild 22) mit einer Messlänge von 13 mm entwickelt.

Zur Rissüberwachung mithilfe der Wechselstrompotenzialsonde stand ein entsprechendes

empfindliches Messsystem zur Verfügung. Bei den Arbeiten zeigt sich aber, dass die Riss-

überwachung in Verbindung mit induktiven Erwärmung gewissen Einschränkungen unter-

liegt, die sich aus der Funktionsweise beider Techniken ergeben. Die Funktion des Wechsel-

strompotenzialsonde basiert auf der Änderung des elektrischen Potenzials bei Rissentste-

hung bzw. -wachstum in der überwachten Zone der Probe. Dabei wird eine Besonderheit des

hochfrequenten elektrischen Stroms, der Skin-Effekt zu Nutze gemacht. Dieser Effekt ent-

steht, wenn der elektrische Strom bei hohen Frequenzen im Bereich von 30 - 100 kHz nur

die äußerste Randschicht des elektrisch leitenden Körpers durchfließt. Dadurch ist es mög-

lich, kleinste Risse an der Oberfläche zu erfassen, wie sie bei der Wechelbelastung zustande

kommen. Die zu messenden Potenzialänderungen liegen bei wenigen Mikro-Volts, was die

Empfindlichkeit und Anfälligkeit des Messverfahrens gegen Umgebungseinflüsse deutlich

macht.

Die Funktionsweise der induktiven Erwärmung beruht ihrerseits ebenfalls auf einer besonde-

ren Eigenschaft des Wechselstroms. Hierbei wird durch eine Induktionsspule ein magneti-

sches Wechselfeld erzeugt. In jedem sich in der Nähe dieses Magnetfelds befindenden e-

lektrisch leitenden Material werden Wirbelströme induziert, die aufgrund des elektrischen

5 Experimente

37

Widerstandes (Impedanz) des Werkstoffs Wärme produzieren. Die Intensität der Wärme

hängt von der Höhe des Stromes und der Frequenz ab, weshalb mit hohen Frequenzen bei

100 kHz gearbeitet wird. Einerseits steht die Empfindlichkeit der Wechselstrompotenzialson-

de und andererseits die induktive Erwärmung mit den elektrischen Wirbelströmen mit ver-

gleichsweise hohem Betrag einen gleichzeitigen Einsatz beider Verfahren entgegen. Auch

die Möglichkeit der kurzzeitigen Unterbrechung der Induktionsheizung zur Messung mit der

Wechselstrompotenzialsonde führt zu großen Messfehlern und einem unvertretbaren Eingriff

im Versuchsverlauf durch den dabei auftretenden starken Temperaturabfall um mehr als

100 °C. Diese Temperaturänderung beeinflusst zum einen den durchzuführenden Versuchs-

zyklus, zum anderen den Messwert des Potenzials ganz erheblich durch Änderung des e-

lektrischen Widerstandes der Probe in Abhängigkeit von der Temperatur. Zusammenfassend

ist zu dieser Fragestellung anzumerken, dass bei der Anwendung der induktiven Erwärmung

noch weitergehende mess- und regelungstechnische Fragestellungen zu klären sind, die

zukünftigen Arbeiten vorbehalten bleiben.

Zur Fertigung der Kreuzproben wurde eine spezielle Technik entwickelt und erfolgreich er-

probt. Diese ermöglicht die Verwendung von knappen Materialvolumen für Kreuzproben. Bei

der Fertigung der Kreuzprobe wird eine quadratische Platte in den Abmessungen 50/50/10

mm (H/B/T) in vier Schenkeln aus artverwandtem Stahl verschweißt. Dabei hat sich das

Schweißen mit dem Elektronenstrahlverfahren als zuverlässig bewährt. Zur Prüfung der

Schweißnahtgüte wurden spezielle Kleinproben aus zusammengeschweißten Teilen herge-

stellt und unter Kriechbeanspruchung untersucht (Bild 30).

5.2 Ergebnisse der Versuche zur Parameteridentifizierung

Motivation für diese Versuche ist die Ermittlung von geeigneten Daten zur Identifizierung der

Modellparameter. Die Vorgehensweise zur Parameteridentifizierung wird ausführlich im Ab-

schnitt 6 geschildert.

Prinzipiell wurden hierbei zwei unterschiedliche Wege verfolgt. Zum einen wurde versucht,

die Wechselwirkung von Kriechen und Ermüden in ihrer komplexen Überlagerung durch ent-

sprechende Kriechermüdungsexperimente zu erfassen. Zum anderen bietet sich der Weg

an, durch einfache Standardexperimente die Materialeigenschaften für Verformung und

Schädigung getrennt zu erfassen. Bei solchen Versuchen handelt es sich um Zugversuche

mit unterschiedlichen Dehnraten, Kriechversuche und Ermüdungsversuche ohne und mit

Haltezeit. Entsprechende Daten waren hierbei aus vorangegangenen Arbeiten [7, 14, 23]

verfügbar. Dieser Weg wurde auch im Rahmen anderer Arbeiten beschritten [39, 60].

5 Experimente

38

Im Folgenden sollen die Ergebnisse der nach dem ersten Weg durchgeführten Zug- Druck-

Relaxationsversuche beschrieben werden. Betrachtet werden soll zunächst ein Beispiel für

den Fall einer einachsigen Beanspruchung an einer glatten Probe (Abschnitt 5.1) (Bild 31)

am Stahl 28CrMoNiV4-9. Hier wurden an einer nicht vorbeanspruchten Probe beginnend mit

der besonders niedrigen Dehnrate 0,06 % / min Zyklen in Dehnungsregelung mit drei unter-

schiedlichen Dehnraten durchgeführt und der Versuch anschließend beendet (Bild 31 a).

Dabei wurden ausgehend von Dehnung ε = 0 drei unterschiedliche Dehnungsniveaus im

Zug- und Druckbereich angefahren, um einen weiten Spannungsbereich abzudecken. Die

Haltezeit wurde einheitlich mit drei Stunden gewählt, um eine vergleichbare Wirkung der Hal-

tezeit wie bei den Verifikationsversuchen zu erzielen. Bei der Betrachtung der Spannungs-

Zeit- Verläufe und der Spannungs- Dehnungs- Hystereseschleifen zeigt sich erwartungsge-

mäß der mit zunehmender Spannung ansteigende Relaxationsbetrag zwischen Spannung zu

Beginn und Ende der Haltezeit. Die Wirkung der unterschiedlichen Dehnraten zeigt sich ei-

nerseits in mit steigender Dehnrate zunehmenden Spannungen (Bild 31 b) und andererseits

in einer entsprechend schmaler werdenden Spannungs- Dehnungs- Hystereseschleife, also

eine Abnahme der plastischen Dehnung. Diese Ergebnisse ließen sich direkt bei der Para-

meteridentifizierung verwenden.

Nicht berücksichtigt wurde bei dieser Vorgehensweise die bei diesem Stahl bekannte Aus-

wirkung der zyklischen Entfestigung. Die Hereinnahme entsprechender Zyklen bleibt zukünf-

tigen Arbeiten vorbehalten. Weiter bleibt in diesem Zusammenhang festzuhalten, dass sich

die Modellierung des Kriechermüdungsverhaltens in Abschnitt 6 und 7 auf die ersten Zyklen

beschränkt, so dass dieser Nachteil vermutlich weniger von Bedeutung sein wird.

Neben den einachsigen Versuchen wurden an Kreuzproben biaxiale gestufte Zug- Druck-

Relaxationsversuche mit Haltezeiten durchgeführt (Bild 32). Der Zyklusablauf mit den drei

unterschiedlichen Dehnraten ist mit dem in Bild 31 a gezeigten Ablauf identisch. Bei der Ana-

lyse der gemessenen Spannungen zeigt sich eine nur schwache Abhängigkeit von der Dehn-

rate hinsichtlich der maximalen Ausschlagsspannungen als auch der Spannungsrelaxations-

beträge.

5.3 Kriechversuche an Kerbproben

Einleitend sei zu diesem und den folgenden Abschnitten darauf hingewiesen, dass sich we-

gen der Konzentration der Modellierungsarbeiten auf den Stahl 28CrMoNiV4-9 dementspre-

chend auch hier die experimentellen Arbeiten einen Schwerpunkt bildeten.

Einen Überblick über die Kriechversuche (ZSV) an Kerbproben an den Stählen 28CrMoNiV4-

9 und X21CrMoV12-1 vermittelt Tabelle 7. Die hier angegebenen Versuche zusammen mit

5 Experimente

39

den in Abschnitt 6.4 ausgewerteten Verifikationsversuchen dienen der Verifikation des in

Abschnitt 2.2 beschriebenen Materialmodells für Kriech- und Kriechermüdungsbeanspru-

chung. Auf den Vergleich der aufgenommen Kriechkurven mit denen der Nachrechnung mit

dem Modell sei auf Kapitel 6 hingewiesen. Angegeben ist die Nennspannung σn im Kerb-

querschnitt zusammen mit der erzielten Laufzeit. Alle Versuche mit der Kerbformzahl Kt =

2,3 wurden vor Probenbruch beendet. Zum Vergleich sei hier die Streckgrenze Rp0,2 = 449

MPa bei 525°C (Tabelle 3) aus dem Warmzugversuch mit angegeben. Damit liegen die kurz-

laufenden Versuche oberhalb und die langlaufenden Kriechversuche unterhalb der Streck-

grenze.

Am Stahl 28CrMoNiV 4-9 wurden längste Laufzeiten von rd. 2.700 h erzielt. Die Laufzeiten

liegen durchweg deutlich über den Laufzeiten an glatten Proben. Die Ergebnisse der Zeit-

standversuche an glatten Proben führten zu der Zeitbruchkurve (Bild 33), die aus früheren

Arbeiten [23] übernommen wurde. Die Bruchzeiten für den kerbschärferen Fall mit Kt = 4,5

liegen vor den Ergebnispunkten für den hier untersuchten Kerbfall.

Bei duktilem Werkstoffverhalten und hohen Spannungsgradienten ist aufgrund des dreiach-

sigen Spannungszustandes in Kerben und durch Spannungsumlagerung bei statischer Zug-

belastung der Betrag der von-Mises-Vergleichsspannung nach langen Beanspruchungszei-

ten im Kerbgrund geringer als der Betrag der Nennspannung. Dies führt dazu, das gekerbte

Proben im Zeitstandversuch längere Beanspruchungsdauern bis zum Bruch zeigen als glatte

Proben, die mit der gleichen Nennspannung geprüft wurden. Die hier gezeigten Ergebnisse

werden auch durch Untersuchungen an modernen 10%Cr-Stählen bestätigt [10, 62].

Ein entsprechender Versuch am Stahl X21CrMoV12-1 ebenfalls mit Kt = 2,3 wurde bis zum

Bruch der Probe durchgeführt. Hier liegt die Bruchzeit bei gleicher Nennspannung wie an der

glatten Probe wieder über dem ungekerbten Fall (Bild 34). Andererseits liegt die Bruchzeit

der Kerbprobe unter der Zeitbruchkurve für den Fall mit der höheren Kerbschärfe Kt = 4,5.

Zusammenfassend ist festzuhalten, dass Zeitstandkerbverfestigung vom Werkstoff und vom

Spannungszustand abhängig sind. Der Spannungszustand wird von der äußeren Belastung

und von der Kerbgeometrie bestimmt.

Für die Lebensdauerabschätzung von Hochtemperaturbauteilen mit Spannungsgradienten

wird in herkömmlichen Auslegungskonzepten oft die maximal auftretende Spannung im Bau-

teil als Basis für die Lebensdauerberechnung herangezogen. Dies führt bei duktilen Werk-

stoffen mit ausgeprägter Kerbzeitstandverfestigung zu sehr konservativen Lebensdauerab-

schätzungen. Für realistische Lebensdauerabschätzungen sind Kenntnisse zum Werkstoff-

verhalten unter Beanspruchung mit Spannungsgradienten notwendig.

5 Experimente

40

5.4 Kriechermüdungsversuche an Kerbproben

Einen Überblick über die Ergebnisse zu den Kriechermüdungsversuchen (LWV) an Kerbpro-

ben an den Stählen 28CrMoNiV4-9 und X21CrMoV12-1 vermittelt Tabelle 7. Aus den im Fol-

genden geschilderten Ergebnissen dieser Versuche werden wichtige Angaben zu den für

den Bauteilbetrieb relevanten zyklischen Vorgängen erwartet. Die Ergebnisse aus den Ver-

formungsmessungen dienen wieder der Verifikation des in Kapitel 6 beschriebenen Materi-

almodells. Diese Versuche wurden in Kraftregelung bei zwei unterschiedlichen Werten der

Nennspannungsschwingbreite (∆σN in Tabelle 7) durchgeführt. Diese lässt sich aus der in

der Probe wirkenden axialen Kraft und dem Kerbquerschnitt errechnen. Alle Versuche mit

Ausnahme des Versuchs an der Probe AAG525kb3 wurden durch Anriss beendet.

Der prinzipielle Verlauf des Beanspruchungszyklus weist in Anlehnung an den betriebsähnli-

chen Dehnwechselzyklus aus vorangegangenen Arbeiten eine Anfahrphase mit Druckbean-

spruchung, eine Abfahrphase mit Zugbeanspruchung und eine Betriebsphase mit langer

Haltezeit ebenfalls unter Zugbeanspruchung auf (Bild 35). Die konkreten Spannungs-

Zeitverläufe zeigen die ausgeprägten Zug- und Druckkraftausschläge und die zwei unter-

schiedlichen Fälle der Zyklusdauer von rd. 1 h und 3 h. Hierdurch sollte die Wirkung der Hal-

tezeit mit untersucht werden. Die Spannungen wurden aus Musterrechnungen mithilfe des

Anwenderprogramms SARA [23] für Kriechermüdungsbeanspruchung abgeleitet. Die zu Be-

ginn der Arbeit vorgenommenen Auswertungen zum Einfluss der Haltezeit ergaben, dass

hinsichtlich der Wirkung von Kriecheffekten in den Haltezeiten zwischen 3 und 10 h ein ver-

gleichbarer Unterschied wie zwischen 1 und 3 h ist. Daher wurde von der ursprünglichen

Vorgehensweise längerer Haltezeiten abgewichen (Tabelle 5). Außerdem zeigte sich durch

die aufwendigen Vorarbeiten bei der Durchführung dieser Versuche, dass die ursprünglich

geplanten Laufzeiten nicht zu erreichen waren. Die Dehnrate wurde einheitlich betriebsnahe

niedrig mit 0,06%/min eingestellt.

Am Stahl 28CrMoNiV4-9 wurden längste Laufzeiten von rd. 2400 h erzielt. Wie aus dem Bei-

spiel eines gemessenen Kraft-Zeitverlaufs (Probe AAG525kb3) und des entsprechenden

Verlaufs der Axialdehnung hervorgeht (Bild 36), ist einerseits die gute Wiederholpräzision

des Kraft-Zeitmesssignals zu erkennen und andererseits die relativ niedrigen Verformungen,

die zu Beginn des Versuchs bei ±2 µm liegen. Außerdem zeigt sich der stetige Anstieg der

im Kerbgrund wirkenden axialen Verformung, der durch die hohen Spannungen zu begrün-

den ist. Zum Vergleich sei hier die bei halber Anrisswechselzahl aus Versuchen an glatten

Proben [23] ermittelte zyklische Fließgrenze Rp0,2 (N/NA=0,5) = 300 MPa bei 525°C mit an-

gegeben.

Einen Überblick über die gemessen Dehnungs-Zeitverläufe aller Versuche gemäß Tabelle 7

zeigt Bild 37. Deutlich zu erkennen ist die starke Zunahme der Gesamtdehnung abhängig

von der Belastungshöhe ausgedrückt durch die Spannungsschwingbreite ∆σn = 756 MPa,

5 Experimente

41

die wesentlich über dem zweifachen der zyklische Fließgrenze liegt (Bild 37 a). Die Ursache

hierfür ist in der für diesen Werkstoff typischen Entfestigung zu suchen. Liegt dagegen die

Belastung unter der zyklischen Fließgrenze schreitet die Dehnung wesentlich langsamer

voran (Probe AAG525kb8), während im Fall kurzer Haltezeit (Probe AAG525kb1) die Deh-

nungszunahme nach etwa 100 h zum Stillstand kommt und anschließend sogar negativ wird.

Hier überwiegt vermutlich die in der Druckphase bei höherer Spannung im Vergleich zur

Zughaltephase verstärkt wirkende Kriechdehnung, die zu einem Driften der Dehnung zu ne-

gativen Dehnungswerten hin führt.

Die Auftragung der Laufzeiten der Versuche im Anrissschaubild erfolgte auf unterschiedliche

Weise (Bild 38). Die Versuche staffeln sich derart, dass zunehmende Haltezeit zu der erwar-

teten Lebensdauerverringerung führt, wie es auch für einaxiale Kriechermüdungsversuche

bei warmfesten Stählen vielfach nachgewiesen wurde [10, 22, 23, 25, 55, 62]. Dabei wurde

so vorgegangen, dass ähnlich wie bei der Anwendung des Lastabfallkriteriums zur Bestim-

mung der Anrisswechselzahl im Standarddehnwechselversuche der näherungsweise lineare

Verlauf der Gesamtdehnung, hier die aus den Dehnungsausschlägen ermittelte Mitteldeh-

nung, zur Definition des Anrisses herangezogen wurde. Die so ermittelten Werte sind in Bild

38 a und Tabelle 7 aufgetragen. Dieses Verfahren lässt Anrisstiefen von etwa 0,2 mm erwar-

ten. Das hier geschilderte Verfahren war bei dem Versuch an der Probe AAG525kb1 nicht

anwendbar. Hier wurde die Anrisswechselzahl aus einer Extrapolation unter Berücksichti-

gung der vorhandenen Daten der vergleichbaren Versuche ermittelt.

Eine weitere Auftragung wurde mithilfe der Nenndehnung vorgenommen (Bild 38 b) mit dem

Ziel, einen Vergleich zur einaxialen Beanspruchung herstellen zu können. Dazu wurde die

Dehnungsschwingbreite mit der Nenndehnung ∆εn aus der Spannungsschwingbreite ∆σn

und dem Elastizitätsmodul E berechnet. Schließlich wurde mithilfe die Neuber-Hyperbel und

unter Heranziehung einer zyklischen Fließkurve [23, 62] eine maximale Dehnung im Kerb-

grund abgeschätzt (Bild 38 c).

Lichtmikroskopische als auch rasterelektronenmikroskopische Aufnahmen zeigen am Bei-

spiel der Probe AAG525kb1 (832 h) symmetrische Anrisse im Kerbgrund (Bild 39). In der

Umgebung der Rissspitzen, sind keine Poren bzw. Mikrorisse zu erkennen. Dies ist aufgrund

der hohen Belastung und der entsprechend kurzen Laufzeit auch nicht zu erwarten.

Am Stahl X21CrMoV12-1 wurde bei 550°C ein langzeitiger Kriechermüdungsversuch an ei-

ner Kerbprobe mit einer Laufzeit von über 4.800 h durchgeführt (Bild 40). Eine Dehnungs-

messung im Kerbgrund konnte mangels eines Miniaturdehnungsaufnehmers nicht durchge-

führt werden. Der Versuch wurde mit der Nenndehnung in das Anrissschaubild der einaxia-

len Kriechermüdungsversuche eingetragen. Es zeigt sich eine deutlich längere Laufzeit im

Vergleich zur einaxialen Beanspruchung.

5 Experimente

42

5.5 Kriechermüdungsversuche an Kreuzproben

In den Bildern 41 bis 47 sind die Ergebnisse aus den teilweise schon längerzeitigen Kriech-

ermüdungsversuchen an Kreuzproben am Stahl 28CrMoNiV4-9 dargestellt. Jeweils zwei

Dehnungsschwingbreiten ∆ε1 = 0,6 % bzw. ∆ε2 = 0,42 % und zwei Haltezeitsummen 1 h

bzw. 3 h bilden bei dem Biaxialitätsverhältnis Φε = 1,0 eine Versuchsmatrix von vier Versu-

chen. Zusätzlich ist ein Versuch bei der größeren Dehnungsschwingbreite ∆ε1 = 0,6 % und

der kleineren Haltezeitsumme 1 h mit dem Biaxialitätsverhältnis Φε = 0,5 durchgeführt wor-

den (Tabelle 8).

Zur Erleichterung des Vergleiches der Versuche untereinander sind in den Bildern 41 bis 45

im Teilbild a bzw. b der Dehnungs- bzw. Kraftverlauf für den ersten Zyklus dargestellt. Durch

die Komplexität der Kreuzprobenform ist es nicht möglich, auf eine einfache Weise, wie dies

bei Kerbproben der Fall ist, eine repräsentative Nennspannung aus der an der Probe wir-

kenden Kraft herzuleiten. Deshalb ist man auf die direkte Darstellung der gemessenen Kraft

angewiesen. Teilbild c zeigt die Kraft-Dehnung-Hystereseschleife in Lebensdauermitte und

Teilbild d das Entfestigungsverhalten in der Form vom Kraftverlauf über Zykluszahl, wobei

die Spitzenwerte Fmax und Fmin sowie ihr Mittelwert Fm bis Anriss aufgetragen sind.

Es zeigt sich durchweg die für diesen Stahl typische zyklische Entfestigung. Weiter zeigt sich

eine deutliche Wirkung der Haltezeit, wie sie aus Versuchen an glatten Proben bei warmfes-

ten Stählen bekannt ist. Zunehmende Haltezeit bewirkt eine wachsende Kriechschädigung

und dadurch Beschleunigung der Anrissbildung, also kürzere Anrisswechselzahlen (Bild

46 a).

Bei der Betrachtung der Anrisskennlinien aus biaxialen Versuchen im Vergleich zu entspre-

chenden Versuchen gleicher Haltezeitsumme zeigt sich zum Einen eine deutlichere Absen-

kung der Anrisswechselzahlen infolge Mehrachsigkeit (Bild 46 b). Zum Anderen bewirkt aber

auch zunehmende Beanspruchungshöhe, hier Dehnungsschwingbreite, eine stärkere Redu-

zierung der Anrisswechselzahl unter biaxialer Beanspruchung.

Bei der größeren Dehnungsschwingbreite ∆ε1 = 0,6 % (Bild 41 und 44) wurden erwartungs-

gemäß größere Kräfte gemessen und die Relaxation in den Haltezeiten ist wesentlich augen-

fälliger als bei den Versuchen mit ∆ε2 = 0,42 % (Bild 42 und 43).

Von besonderem Interesse im Hinblick auf Bauteilbeanspruchung ist der Versuch mit unglei-

cher Belastung in den Kreuzprobenachsen mit dem Biaxialitätsverhältnis Φε = 0,5 (Bild 45).

Hier sind die unterschiedlichen Verläufe der Kraft in Achse A und B deutlich erkennbar. Ver-

glichen mit dem Fall eines Biaxialitätsverhältnisses Φε = 1,0 (Bild 41) lassen sich mit abneh-

mendem Φε-Verhältnis drei wesentliche Schlussfolgerungen ableiten:

5 Experimente

43

1. die Kräfte und entsprechend die Spannungen in der Prüfzone werden kleiner

2. die Relaxationseffekte verringern sich

3. Die plastische Arbeit, die dem Inhalt der Fläche innerhalb der Hystereseschleife ent-

spricht, werden ebenfalls geringer.

Diese Aussage ließe sich verallgemeinern auf noch kleiner werdende Biaxialitätsverhältnis-

se, also Φε = 0, Φε = -ν = -0,3 (einachsige Elastizität), Φε = -0,5 (einachsige Plastizität) und

Φε = -1 (reine Scherung).

Eine Zusammenfassung dieser Kriechermüdungsversuche an Kreuzproben ist in Bild 46 zu

sehen, wo sie in zwei Diagrammen zum einen mit biaxialen Standard-LCF-Versuchen (Teil-

bild a) aus der Literatur [54] und zum anderen mit einachsigen Versuchen (Teilbild b) [23]

verglichen werden. Bild 46 a zeigt, dass die Verhältnisse der Kriechermüdungsversuche un-

tereinander mit den Literaturwerten übereinstimmen, was den Einfluss der Biaxialität betrifft:

gleiche Abstände zwischen den Kurven von Φε = 1 bzw. Φε = 0,5 jeweils bei LCF-Versuchen

bzw. bei den Kriechermüdungsversuchen. Der Einfluss der Haltezeit entspricht tendenziell

den einachsigen Versuche, wie dies aus dem Bild 46 b hervorgeht, da eine längere Haltezeit

von 3h eine kleinere Zykluszahl bis zum Anriss verursacht als bei 1h Haltezeit.

Die Anrissbildung an Kreuzproben mit Kriechermüdungsbelastung von 2.055 h und 2.230 h

Dauer ist anhand von Schliffbildern untersucht worden, wobei sowohl durch Auflichtmikro-

skop als auch Raster-Elektronen-Mikroskop (REM) Aufnahmen gemacht wurden (Bild 47).

Es sind mehrere Anrisse in der Prüfzone ausgehend von der Oberfläche entstanden (Teilbild

a). Die 500-fach vergrößerte Darstellung (Teilbild b) des markantesten Risses zeigt die Um-

gebung der Rissspitze, wo keine Mikrorisse oder Poren zu sehen sind. In der REM-

Aufnahme sind jedoch mehrere Poren zu erkennen. Entsprechende Poren wurden an die-

sem Stahl ebenfalls bei Versuchsdauern von mehreren 1.000 h unter Kriechermüdungsbe-

anspruchung gefunden [61].

Zusätzlich zu den Kriechermüdungsversuchen wurden an Kreuzproben zwei Kriechversuche

mit ΦF = 1 und Lasten von F = 70,0 kN im ersten Versuch und F = 80,5 kN im zweiten Ver-

such durchgeführt (Bild 48). Obwohl die Last im zweiten Versuch lediglich um 15% gesteigert

wurde, änderte sich das Kriechverhalten drastisch. Im Gegenteil zum ersten Versuch, in dem

sich ein sehr flacher Kriechdehnungsverlauf bis 0,139 % einstellte, ergab sich im zweiten

Versuch ein Dehnungsverlauf mit Primär-, Sekundär- und Tertiärbereich bis einer Kriech-

dehnung von 4,91 %.

6 Materialmodellierung

44


6.1 Allgemeine Vorgehensweise

Ziel der Modellierungsarbeiten ist, das in Kapitel 2 dargelegte konstitutive Materialmodell in

einem Finite-Elemente-Programm zu implementieren und dadurch der Industrie ein prakti-

sches Werkzeug zur Berechnung von Bauteilen zur Verfügung zu stellen. Ferner ist es not-

wendig, die Materialparameter des Materialmodells für den Stahl 28CrMoNiV4-9 zu bestim-

men, damit Bauteile aus diesem Werkstoff berechnet werden können (Bild 49). Die Modellie-

rung des Stahles X21CrMoV12-1 wurde zugunsten der Arbeiten am 1%Cr-Stahl zurückge-

stellt.

In den folgenden Abschnitten wird zunächst die Vorgehensweise bei der numerischen Im-

plementierung und dann die in diesem Forschungsvorhaben zustandegekommenen Metho-

den zur Identifizierung der Materialparameter behandelt. Am Ende werden die Ergebnisse

der Nachrechnung der Verifikationsversuche vorgestellt.

Bei klassischen Rechenmodellen zur Deformationsberechnung wie z.B. der Garofallo- Glei-

chung handelt es sich in der Regel um Funktionen, die eine Abhängigkeit der zu berechnen-

den Größen, in diesem Fall Dehnung, von der Spannung, Temperatur und insbesondere von

der Zeit als eine explizite Größe abbilden.

Bei konstitutiven Materialmodellen dagegen ist die Abhängigkeit der unbekannten Größen

von der Belastung bzw. Belastungsgeschichte über Evolutionsgleichungen (Entwicklungs-

gleichungen) gegeben, in denen die Zeit als eine implizite Größe agiert. Das bedeutet, dass

die Zeit nicht als unabhängige Größe vorgegeben werden kann, sondern sich bei der Lösung

der Evolutionsgleichungen entwickelt. Dabei ist nur eine numerische Lösung dieser Evoluti-

onsgleichungen möglich, da sie zwar i. d. R. gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung

sind aber deren gegenseitige Kopplung voneinander eine analytische Lösung nicht zulässt.

Sie bilden also ein System von Differenzialgleichungen, die außerdem teilweise tensorwertig

sind. Das heißt z.B. bei einem Tensor 2. Ordnung, dass im allgemeinen Fall 9 Komponenten

zu unterscheiden sind.

Eine oft verwendete Art der Implementierung des Materialmodells in UMAT ist, dass Glei-

chungen mit diesen Tensorkomponenten getrennt in Abhängigkeit von ihren Indizes, ver-

gleichbar mit der Index-Schreibweise der Tensoren zu behandeln. Der so entstehende Pro-

grammcode ist allerdings schwer lesbar und fehleranfällig. Jede mathematische Operation

besteht somit aus zwei verschachtelten Schleifen mit entsprechenden Laufindizes. Etwaige

Änderungen des Materialmodells sind dann nur mühsam möglich.


45

In diesem Forschungsvorhaben wurde eine effektive Möglichkeit genützt, die sich der sym-

bolischen Schreibweise der Tensorenausdrücke bedient. Hierbei werden tensorielle Größen

als Matrizen weiterverarbeitet und mathematische Operationen zwischen ihnen erfolgen

durch Funktionen, die in FORTRAN 90 ebenfalls als Operatoren definiert werden. Somit

kann jede Gleichung als eine einzige Zeile programmiert werden. Hierdurch bleibt der Pro-

grammcode sehr übersichtlich.

6.2 Implementierung des konstitutiven Materialmodells in ABAQUS

Bei der Implementierung des Materialmodells in UMAT wurde zu Beginn der Arbeiten ver-

sucht, möglichst vorhandene Programm-Bibliotheken einzusetzen. Die bei dem Fortran-

Compiler für Windows (Compaq-Fortran, jetzt Hewlett Packard) mitgelieferte IMSL-Bibliothek

wurde zunächst favorisiert, zumal sie bei den Unix-Plattformen ebenfalls vorhanden ist. Die

bereitgestellten Operatoren dieser Bibliothek und auch die Differenzialgleichungs-Löser (Dgl.

- Löser) wurden getestet und erste Erfahrungen waren positiv. Leider war dies bei den tat-

sächlichen Differenzialgleichungen des Materialmodells nicht mehr der Fall und Probleme

bezüglich der Handhabung bei größerem Speicherbedarf sprachen für den Einsatz von Al-

ternativen.

Eine andere umfangreiche Programm-Bibliothek ist die von Engeln-Müllges/Reuter („Aache-

ner Bibliothek“). Der große Vorteil ist unter anderem die Verfügbarkeit des Quellcodes dieser

Bibliothek, sodass sie an die besonderen Gegebenheiten angepasst werden könnte. Ein

Nachteil war allerdings, dass fehlen von mathematischen Operatoren für Matrizen, weshalb

sie eigens programmiert werden mussten. Die gelieferten Dgl.-Löser waren zwar sehr viel-

seitig anwendbar, aber die erforderlichen Anpassungen an die später eingeführte Schrittwei-

tenkontrolle machten tiefergehende Eingriffe im Quellcode unumgänglich. Aber die durch die

Vielseitigkeit bedingte Komplexität des vorliegenden Quellcodes des Dgl.-Lösers veranlasste

die Entwicklung von einer eigenen effizienten Dgl.-Bibliothek, die in vorteilhafter Weise auch

die Tensorschreibweise zur Lösung von einem System von Differenzialgleichungen anwen-

det.

Eine nahe liegende Vorgehensweise bei der Umsetzung des konstitutiven Materialmodells

im Programmcode ist die direkte Programmierung der Differenzial-Gleichungen in ihrer 3D-

Form, wie sie letzten Endes als UMAT von ABAQUS aufgerufen wird. Dieser Weg wird im

Folgenden als Verfahren I bezeichnet (Bild 50). Zur Erprobung der Programmteile und der

Gesamtfunktionalität werden simple Finite-Elemente-Modelle hergestellt und durchgerech-

net. Hierbei wird ein 1-Element-Modell bestehend aus einem Würfel generiert, wobei als

Randbedingung die einfache Scherung bzw. der 1-dimensionale Zugversuch simuliert wird.


46

Um Programmfehler im Verfahren I auszuschließen und im Hinblick auf die spätere Parame-

teridentifikation bot sich an, ein Verfahren II zu entwickeln und den 1-dimensionalen Sonder-

fall des Materialmodells in einer Programmierumgebung zu realisieren (Bild 50), wo Werk-

zeuge bzw. Bibliotheken zur Identifizierung und Optimierung der Materialparameter bereits

vorhanden sind. MATLAB ist eine solche Programmiersprache mit vielen unterschiedlichen

Möglichkeiten der Optimierung und Visualisierung der Resultate. Auch die Vielzahl der an-

gebotenen Dgl.-Löser sichert eine solide Basis für den Vergleich der verschiedenen Diffe-

renzialgleichungslösungsverfahren.

Durch den Vergleich der Resultate der beiden Verfahren I und II bei äquivalenten Randbe-

dingungen und Zyklusformen sind Unsicherheiten in der Interpretation der Ergebnisse auf-

grund der Wahl von Schrittweiten oder Integrationsverfahren zu beseitigen.

Das Ergebnis von Verfahren I ist ein UMAT die in Verbindung mit ABAQUS sowohl die Be-

rechnung von 1D-Versuchen anhand des Ein-Element-Modells erlaubt als auch komplizierte-

re Simulationen von Proben oder Bauteilen durchführen lässt (Bild 51).

Das im Verfahren II entstandene Programm kann anschließend als eigenständiges Werk-

zeug zur Simulation 1-dimensionalen Versuchen mit dem konstitutiven Materialmodell Ver-

wendung finden, wobei sowohl eine höhere Rechengeschwindigkeit als auch die Integrier-

barkeit in automatisierten Prozessen zu schnelleren Ergebnissen führt.

Wie schon erwähnt, ist bei beiden Verfahren die Lösung des Differenzialgleichungssystems

numerisch durchzuführen. Hierzu existiert eine Fülle von Methoden (Bild 52). Sie beinhalten

alle die gleichen iterativen Schritte: das Zeitintervall [tA, tE] wird mit Hilfe von einer Zeit-

schrittweite hi diskretisiert. Ausgehend von einem Anfangswert Z0 zum Zeitpunkt t0 = tA wird

ein Nährungswert Z1 für den Zeitpunkt t1 = t0 + h0 berechnet. Je kleiner der Zeitschritt hi ge-

wählt wird, umso genauer wird auch der Wert Z1. Hier endet die erste Iteration. In der zwei-

ten Iteration wird als Anfangswert die gerade berechnete Lösung Z1 für den Zeitpunkt t1 ver-

wendet. Diese Schritte werden solange wiederholt, bis der Endwert tA des Zeitintervalls er-

reicht ist.

Die Unterschiede der numerischen Differenzialgleichungslöser besteht hauptsächlich in der

Art und Weise, wie aus dem Wert zi zum Zeitpunkt ti der nächste Wert Zi+1 zum Zeitpunkt ti+1

berechnet wird. Neben den Einzelschrittverfahren, bei denen nur die Kenntnisse der Werte

des letzten Zeitschrittes notwendig sind, gibt es die Mehrschrittverfahren, die nicht Gegens-

tand der hier betrachteten Verfahren sind und Werte von mehreren vergangenen Zeitschrit-

ten bedürfen. Die wesentliche Unterscheidung besteht darin, ob explizit oder implizit gerech-

net wird. Bei expliziten direkten Verfahren können die diskretisierten Gleichungen nach den

unbekannten Größen umgestellt werden und das Ergebnis kann direkt ermittelt werden (di-

rekte Methode). Bei impliziten Verfahren können die diskretisierten Gleichungen nicht nach


47

den unbekannten Größen umgestellt werden. Vielmehr ist die Lösung des nächsten Zeit-

schrittes iterativ zu ermitteln, z. B. mit dem Newton - Verfahren.

Es kann gezeigt werden, dass implizierte Verfahren unabhängig von der Schrittweite stabil

sind. D.h. sie liefern immer eine Lösung. Allerdings muss erstens die Lösung bei großen

Schrittweiten nicht unbedingt richtig sein und zweitens ist diese Lösung iterativ und rechen-

zeitintensiv erkauft.

Die einfachste Möglichkeit ist dagegen das explizite Euler-Verfahren. Dieses Verfahren ist

mit relativ kleinen Zeitschritten stabil und liefert wegen seiner kleinen Ordnung von 1 keine

hohe Genauigkeit. Das implizite Gegenstück dazu, Euler-Rückwärts-Verfahren, bietet zwar

Stabilität auf Kosten von Rechenzeit an, ist aber ebenfalls von Ordnung 1 und ebenfalls von

der gleichen geringen Genauigkeit.

Eine sehr flexible Alternative sind die Runge-Kutta-Verfahren (RK-Verfahren). Das hier ver-

wendete RK-Verfahren ist von Ordnung 4 und kann, falls erforderlich auf höhere Ordnungen

umprogrammiert werden. Außerdem wurde dieses RK-Verfahren durch die Einbettungsfor-

mel, d.h. die Kombination zweier RK-Verfahren 2. und 4. Ordnung, um eine für ABAQUS

optimierte automatische Schrittweitenkontrolle erweitert. In der vorliegenden Arbeit stehen im

Rahmen der UMAT sowohl das explizite Euler-Verfahren als auch das explizite RK-

Verfahren zur Verfügung. Die Steuerung erfolgt ausgehend von ABAQUS. Ein Vergleich die-

ser Integrationsverfahren wurde hier nicht vorgenommen. Im Rahmen der hier durchgeführ-

ten FE-Rechnungen wurde die genaueste Methode verwendet, nämlich explizites RK-

Verfahren 4. Ordnung.

Hier ist die Flexibilität von UMAT im Hinblick auf die Ansprüche der Anwender in unter-

schiedlichen Problemfällen sichergestellt worden, in dem auf die Schrittweitenkontrolle über

zweier relativer und absoluter Fehlerschranken Einfluss genommen werden kann. Die ersten

Erfahrungen mit der implementierten UMAT zeigen eine hohe Rechengeschwindigkeit und

eine gute Anpassungsfähigkeit der automatischen Schrittweitenkontrolle an die Belastungs-

formen. Bei zyklischen Lastverläufen reagiert die Schrittweitenkontrolle auf schnellere Belas-

tungsraten mit Verringerung der Zeitschrittweite. Bei kleineren Belastungsraten und bei Hal-

tezeiten dagegen wird die Zeitschrittweite solange erhöht, bis entweder die maximale zuläs-

sige Zeitschrittweite oder die Fehlerschranke erreicht wird, welche der Anwender festgelegt

hat. Insbesondere macht sich die Brauchbarkeit der automatischen Schrittweitenkontrolle bei

der Berechnung von Kriechbelastung bemerkbar, wo bei immer kleiner werdenden Kriechra-

te im Primärbereich die eingestellte Anfangszeitschrittweite bis Ende des Sekundärbereichs

nahezu Monoton anwächst und hierdurch extrem kurze Rechenzeiten erzielt werden.


48

Die UMAT ist so programmiert, dass sowohl 3D-Modelle (z.B. Elementtyp C3D8 oder

C3D20) als auch axialsymmetrische 2D-Modelle (z.B. Elementtyp CAX4 oder CAX8) be-

rechnet werden können.

6.3 Parameteridentifikation

Ausgehend von der Zielsetzung des Vorhabens, das Materialmodell zur Berechnung von

Bauteilen, Proben mit inhomogener Spannungsdehnungsverteilung (z.B. Rundkerbproben)

oder Proben mit komplizierter Form (Kreuzproben) aus einem bestimmten Werkstoff, in die-

sem Fall dem Stahl 28CrMoNiV4-9 berechnen zu können, ist es erforderlich, die in dem Ma-

terialmodell eingebauten Materialparameter zu identifizieren.

Wie in Kapitel 2 dargestellt, ist das zugrunde liegende konstitutive Materialmodell im Stande,

mit entsprechender Wahl der Parameter die meisten Aspekte des Deformationsverhaltens

von Hochtemperaturwerkstoffen wiederzugeben. Einen Überblick über die Materialparameter

und die gewonnen Parameterwerte enthält Tabelle 9.

Im Abschnitt 5.2 wurde erwähnt, dass zwei unterschiedliche Prinzipien zur Bereitstellung

einer Datenbasis aus den Experimenten angewendet werden können. In dem ersten führt

man einen speziellen Versuch durch, der in seinem Belastungsverlauf alle physikalisch rele-

vanten Effekte des Werkstoffverhaltens in eindeutiger Form hervorhebt. Dieses Vorgehen sei

im folgenden die Einfachdatenbasis genannt. Das zweite Prinzip der Mehrfachdatenbasis

beruht auf dem Ansprechen der physikalischen Effekte in getrennten Standardexperimenten,

die jedes für sich eine Untermenge der Effekte des Materialverhaltens sichtbar macht. Dabei

betrachtet man die ausgewählten Experimente simultan und bestimmt die Parameter so,

dass möglichst alle Experimente durch das Materialmodell gleichermaßen gut berücksichtigt

werden können. Für beide genannten Prinzipien können entweder alle oder nur eine Gruppe

der Materialparameter bestimmt werden. Als Beispiel sei hier ein LCF-Versuch mit Haltezeit

und ein Kriechversuch als Kombination genannt. Der LCF-Versuch mit Haltezeit würde die

Effekte der Elastizität, Fließen, Verfestigung und Relaxation hervorheben. Der Kriechversuch

würde dagegen hauptsächlich die statische Erholung, Kriechen und Schädigung ansprechen.

Bei der gemeinsamen Bestimmung identifiziert man einen Parametervektor, durch den so-

wohl der LCF-Versuch als auch der Kriechversuch angepasst werden.

Alternativ zu gemeinsamer Bestimmung der Materialparameter wäre noch möglich, in beiden

oben genannten Verfahren die Materialparameter gruppenweise zu bearbeiten. So müsste

für jede Gruppe von zusammenhängenden, für ein bestimmtes physikalisches Einzeleffekt

zuständigen Parametern ein spezieller Versuchstyp durchgeführt oder andere Ausschnitte

eines Versuches betrachtet werden. Folgende physikalische Einzeleffekte mit den jeweiligen


49

Parametergruppen kämen dann in Frage: Elastizität, Fließgrenze, Viskosität, Verfestigung,

dynamische und statischer Erholung der Verfestigung und Schädigung. Bei den drei genann-

ten Verfestigungseffekten sind jeweils die isotrope und kinematische Variante zu berücksich-

tigen. Somit wären 10 Versuchstypen durchzuführen. Der Vorteil wäre ein zwar genaueres

Ergebnis, dem aber ein höhere Aufwand gegenüberstünde. Deshalb wird im Rahmen der

vorliegenden Arbeit diese Alternative zur Erzeugung der Datenbasis in einer vereinfachten

Variante angewendet. Die eben erwähnten Eigenschaften werden nur noch in zwei Gruppen

zusammengefasst. Die erste Gruppe soll nur die reine Deformation, die zweite Gruppe soll

nur die Schädigung beinhalten.

Im Laufe dieser Arbeit hat sich zur Parameteridentifikation eine Zwei-Schritt-Prozedur her-

auskristallisiert, die aus der Kombination der Methode der Neuronalen Netze [83, 70] mit

dem Optimierungsverfahren von Nelder-Mead [85] besteht (Abschnitt 2.3). Im ersten Schritt

wurde die Methode der Neuronale Netze zur näherungsweisen Bestimmung des "globalen"

Parametervektors Pid eingesetzt. Hier liegt der Vorteil darin, dass die Lösung Pid in einem

breitgefächerten Bereich gesucht wird, der vom Anwender für völlig unbekannte Größenord-

nungen der Parameter beliebig groß gewählt werden kann.

Im zweiten Schritt wird mit Hilfe des Optimierungsverfahrens von Nelder-Mead versucht,

ausgehend von dem Parametervektor Pid des ersten Schrittes als Startwert einen verbesser-

ten Parametervektor Pid,opt zu finden. Das Nelder-Mead-Verfahren ist ein direkter Suchalgo-

rithmus, der wie neuronale Netze ebenfalls ohne analytische oder numerisch berechnete

Gradienten funktioniert. Es reagiert aber sensitiv auf den vorgegebenen Startwert, so dass

ungünstige Startwerte zu keiner Verbesserung beitragen, weil das Nelder-Mead-Verfahren

beginnend in der Nähe einer lokalen Lösung nur diese liefern kann.

Das Hauptaugenmerk sei also zunächst auf die Identifizierung der Materialparameter durch

neuronale Netze gerichtet (Bild 53). Durch neuronale Netze können eine Vielzahl von Opti-

mierungsproblemen behandelt werden. Dazu gehören Approximation von Funktionen, Klas-

sifikationsaufgaben, Mustererkennung und Lösung diverser Probleme. Die Funktionsweise

der neuronalen Netze besteht in ihrer Lernfähigkeit (Bild 54). Bei allen genannten Problem-

stellungen benötigt man Daten, mit denen das neuronale Netz trainiert werden kann. Bei

Approximation für eine Funktion y = f (x) Beispielsweise, werden bekannte Funktionswerte

(yi, xi) zum Zwecke des Trainings verwendet. Das trainierte Netz lernt anhand der Trainings-

daten den Zusammenhang zwischen den Funktionswerten y und der unabhängigen Variable

x. Es ist nun in der Lage, für unbekannte Werte xj ≠ xi die erwarteten Werte yj der Funktion zu

erzeugen (Bild 53 a).

Bei der Parameteridentifikation ist die Aufgabenstellung anders geartet. Hier liegt vielmehr

ein inverses Problem vor; d.h. für gegebene Kurvenverläufe aus dem Experiment werden


50

diejenigen unbekannten Parameterwerte des Materialmodells gesucht, die das Experiment

am besten simulieren lassen.

Zum Trainieren des neuronalen Netzes müssen also im einfachsten Fall entsprechend einem

bestimmten Experiment, das als Identifikationsversuch bezeichnet wird, Simulationen mit

dem gleichen Belastungsverlauf durchgeführt werden. Dabei werden für die unbekannten

Materialparameter beliebige Werte aus einem zuvor festgelegten Intervall angenommen und

für jeden so entstanden Parametervektor der gesamte Verlauf des Experimentes simuliert.

Als Ergebnis entstehen genauso viele simulierte Versuchverläufe (Trainingsmuster) wie Pa-

rametersätze. Wird ein neuronales Netz mit diesen simulierten Versuchsverläufen trainiert,

so wird es in der Lage sein, den Einfluss der Parametervariation auf die Modellantwort auf

den Belastungsverlauf aus dem Experiment zu erkennen. In der Regel wird es nicht der Fall

sein, dass einer der simulierten Verläufe mit den experimentellen Messwerten überein-

stimmt, sonst wäre der zugehörige Parametervektor bereits die gesuchte Lösung des Prob-

lems. Aber die Erkenntnis des neuronalen Netzes über das gelernte Materialverhalten liefert

den passenden Parametervektor anhand des experimentellen Verlaufes, indem dieser in das

Netz eingegeben wird. Als Ausgabe bekommt den Parametervektor des Versuchswerkstof-

fes (Bild 53 b).

Eine generelle Aufgabe bei der Parameteridentifikation ist die Datenaufbereitung, so dass

die Trainingsdaten keine redundanten Informationen beinhalten. Als Beispiel soll die Identifi-

kation der Parameter anhand eines Kriechversuches dienen. Ausgehend von den Rohdaten

des Versuches in Abhängigkeit von der Zeit als freie Variable liegen die Messwerte in tabel-

larischer Form ti, εi, σi, i=[1,...,N] vor, und zwar mit Zeit in der ersten Spalte, Dehnung in der

zweiten sowie Spannung in der dritten Spalte. Die Eingabeschicht des neuronalen Netzes

besteht aus Neuronen mit jeweils einem Eingang. Die Eingabeschicht muss also 3N Neuro-

nen besitzen (Bild 54 a).

Daraus lässt sich erkennen, dass es sich bei den Spannungen σi immer um denselben Wert

σ0 der Versuchsspannung handelt. Um Redundanzen zu beseitigen, können also die N Zei-

len der Spannung durch eine einzige Zeile ersetzt werden. Betrachtet man die Zeiten ti er-

kennt man auch hier, dass die N Zeilen ti durch die Bruchzeit tu ersetzbar wären, da die Zei-

ten ti Formel in der Regel entsprechend der Messwerte äquidistante, monoton steigende

Werte sind. Daraus ergibt sich das in Bild 54 b dargestellte redundanzfreie Schema für die

Datenaufbereitung. Sie gilt gleichermaßen für die Messwerte aus dem Experiment wie für die

Trainingsdaten.

Die ersten, in dieser Art und Weise identifizierten Materialparameter für ein Spannungsni-

veau, lieferten für andere Spannungen völlig unzureichende Resultate. Es lag nahe, dass

man die Parameter für mehrere Kriechversuche simultan identifizieren muss. Die entspre-

chende Datenaufbereitung kann durch einander hängen der einzelnen Datenblöcke erfolgen,


51

wie in Bild 54 c veranschaulicht. Nun ergab sich zwar ein Parametervektor, der für ein breites

Spannungsspektrum zufrieden stellende Ergebnisse lieferte, aber die Resultate der Simulati-

on von Dehnwechselversuchen waren unbefriedigend.

Die Umkehrung dieser Vorgehensweise, d.h. die Identifikation der Parameter anhand von

Dehnwechselversuchen und die Erprobung durch anschießende Simulation von Kriechen,

waren ebenfalls begleitet mit mangelhaften Resultaten. Auch hier wurden die Daten aus der

Dehnwechselbeanspruchung redundanzfrei aufgearbeitet. Dabei wurden die Zeiten ti durch

die Zyklusdauer und die Gesamtdehnungen εi für die Stützstelle i durch die Dehnungs-

schwingbreite ∆ε ersetzt. Zur Berücksichtigung von Kriechen und Ermüden wurden letztend-

lich beide Versuchstypen simultan behandelt (Bild 54 d).

Zur besseren Verdeutlichung der prinzipiellen Vorgehensweise soll ein Beispiel einer einfa-

chen Funktion y = f(x) mit zwei Parameter α und β dienen (Bild 55). Für einen einmal festge-

legten Definitionsbereich x ∈ [xA, xE] hängt die Funktion bzw. der Versuchsverlauf nur von

der Wahl der Parameter α und β ab. Die Funktion kann dann als y = g(α, β) umgeschrieben

werden. Durch Variation der Parameterwerte αi ∈ [αA, αE] und βi ∈ [βA, βE] enthält man ver-

schiedene Kurvenverläufe, die im nächsten Schritt zum Trainieren eines neuronalen Netzes

verwendet werden können (Bild 55 a). Ziel ist für einen gemessenen oder anderweitig ermit-

telten Kurvenverlauf, der nicht in den Trainingsdaten enthalten ist, die passenden Parameter

αid, βid zu bestimmen (Bild 55 b). Hier lässt sich erkennen, dass das erzielte Ergebnis mit nur

12 Trainingsmustern bereits akzeptabel ist.

Im folgenden Abschnitt werden die Ergebnisse der Parameteridentifikation am Stahl

28CrMoNiV4-9 (Bild 56) vorgestellt. Ausgehend von den oben erläuterten Verfahren wurden

sowohl unterschiedliche Standardversuche als auch speziell abgestufte Zug-Druck-

Relaxationsversuche herangezogen. Zunächst wurde mit der Identifikation durch einen ein-

zigen LCF-Standardversuch ohne Haltezeit mit eine Dehnungsschwingbreite von ∆ε = 1 %

und Dehnungsrate von dε/dt = 0,06 %/min begonnen, dessen Ergebnis als Parametervektor

PA bezeichnet wird. Weiter ergibt sich ein Parametervektor PB aus dem gestuften Zug-Druck-

Relaxationsversuch. Eine dritte Variation mithilfe gemischter Standardversuche führte zum

Parametervektor PC , bei der ein LCF-Versuch mit Dehnungsschwingbreite von ∆ε = 0,84 %,

Dehnungsrate von dε/dt = 0,06 %/min und Haltezeit tH = 3 min sowie drei Kriechversuche mit

Spannungen von σ = 284 MPa, 317 MPa und 351 MPa die Datenbasis bildeten. Mit dieser

Vorgehensweise soll ein Vergleich der verwendeten Parameteridentifikationsverfahren erfol-

gen.

Zunächst soll aber am Beispiel der Vorgehensweise für die Bestimmung des Parametervek-

tors PB der Arbeitsaufwand verdeutlicht werden (Bild 57). Der zeit- und rechenaufwendige

Teil der Parameteridentifikation besteht im Trainingsschritt, indem die Trainingsdaten durch

Simulation der zu Identifikationsversuche mit dem Materialmodell erzeugt werden und an-


52

schließend vom neuronalen Netz bearbeitet werden (Bild 57 a,1). Der Lösungsschritt der

eigentlichen Identifikation (Bild 57 a,2) kostet nur noch Bruchteile an Zeit des Trainingsschrit-

tes.

Ein konkretes Beispiel zu den Lösungsschritten gemäß Bild 57 a ist Bild 57 b (Spannung

über Zeit) bzw. Bild 57 c (Spannung über Dehnung) dargestellt. Man erkennt eine große An-

zahl von Musterdaten, die durch Parametervariation und nachfolgender Simulation durch das

Materialmodell berechnet werden. Zwei ausgewählte Verläufe sind mit dickerer Linienstärke

hervorgehoben, damit die Vielfältigkeit der möglichen Formen durch Parametervariation

deutlich wird. Anhand dieser Trainingsmuster als Datenbasis und der zugrunde liegenden

Parametersätze als Parameterbasis lieferte die Methode der neuronalen Netze einen Para-

metervektor Pid, der nach anschließender Verbesserung durch das Nelder-Mead-Verfahren

ein zufrieden stellendes Ergebnis produziert (Bild 57 d).

Der Vergleich (Bild 57 d) zeigt eine relativ gute Übereinstimmung im Fall des Parametervek-

tors PB im Vergleich zur Messung. Diese Übereinstimmung liefert eine erste Aussage über

die Güte des identifizierten Parametervektors. Eine endgültige Aussage kann von den Nach-

rechnungen der Verifikationsversuche, die allesamt mehrachsige Spannungs- bzw. Deh-

nungszustände beinhalten, erwartet werden.

Im Folgenden soll erörtert werden, welche der Materialparameter bei der Identifikationspro-

zedur als relevant erachtet wurden und welche Gründe dafür sprachen, dass die Identifizie-

rung einer bestimmten Gruppe der Modellparameter nicht notwendig war. Im Zusammen-

hang mit der hier angewendeten Identifikationsprozedur kann man demnach bei der ersten

Gruppe von aktiven Parametern, bei der zweiten Gruppe von inaktiven Parametern spre-

chen. Natürlich ändert sich ihre Bedeutung im Materialmodell nicht, sie werden lediglich wäh-

rend der Identifikation als Konstanten behandelt.

Die elastischen Materialeigenschaften werden durch die Parameter E und ν bestimmt. Der

E-Modul für den Stahl 28CrMoNiV4-9 bei T = 525 °C kann mit E = 159.000 MPa aus Ermü-

dungsversuchen als bekannt angenommen werden [23]. Eine Unsicherheit ergibt sich aber

aus der Ratenabhängigkeit des E-Moduls, die aus experimentellen Beobachtungen herrührt.

Im konstitutivem Materialmodell ist der E-Modul aber geschwindigkeitsunabhängig und die

scheinbare Ratenabhängigkeit wird durch die Viskosität begründet. Der E-Modul kann zwar

aus Warmzugversuchen bestimmt werden, beinhaltet aber den Nachteil durch die wesentlich

höhere Abziehrate. Ein genauerer E-Modul für das konstitutive Materialmodell bedingt eine

unendlich langsame Abziehrate, was aber in der Praxis nicht durchführbar ist. Abhängig von

der jeweiligen Datenbasis kann also auch der E-Modul in die Gruppe der aktiven Parameter

aufgenommen werden. Die Querkontraktionszahl ist mit ν = 0,3 gegeben und gilt als ein rela-

tiv genauer Wert, ist also inaktiv.


53

Die Fließgrenze k0 kann aus Warmzugversuchen bestimmt werden. Hier hängt die Genauig-

keit von der Definition der Elastizitätsgrenze ab, also von einer plastischen Dehnung, deren

Überschreitung die Grenze des Fließens festlegt. Die einer plastischen Dehnung von 0,2 %

entsprechende Spannung Rp0,2 ist aber für Modellierungszwecke zu hoch. Je kleiner diese

plastische Dehnung angenommen wird, um so näher kommt die gemessene Spannung an

die wahre Fließgrenze, wie dies z.B. bei Rp0,01 der Fall ist. Eine noch genauere Fließgrenze

für das konstitutive Materialmodell bedingt eine unendlich kleine Dehngrenze, deren Reali-

sierung an messtechnischen Grenzen kommt. Die Fließgrenze muss also auf jeden Fall aktiv

sein. Für die Parameter der Viskosität η und m, der kinematischen Verfestigung b und c,

deren statische Erholung p und w, der isotropen Verfestigung ro, β und γ, deren statische

Erholung π und ω und für die Schädigungskoeffizienten α0, α1 und α2 sowie die Schädi-

gungsexponenten q0 und q1 existieren keinerlei Anhaltspunkte, müssen also auch aktiv sein.

Der Einfluss der isotropen Verfestigung kann aber außer Acht gelassen, weil sie für den vor-

liegenden warmfesten Stahl 28CrMoNiV4-9 bei hohen Temperaturen bereits im anfänglichen

Belastungsbereich eine Sättigung erfährt und einen im Vergleich zu den Belastungsspan-

nungen bzw. den Spannungen der kinematischen Verfestigung geringen Wert annimmt. Die

für diesen Werkstoff relevanten Verfestigungseffekte können ausschließlich durch die kine-

matische Verfestigung beschrieben werden. Allgemein sei an dieser Stelle der Hinweis ge-

geben, dass die isotrope Entfestigung bei langzeitiger einaxialer Beanspruchung an den hier

untersuchtem Stahl vergleichsweise schwach ausgeprägt ist (Bild 6). Diese Überlegungen

werden durch die gemessene zyklische Entfestigung bei den biaxialen Kriechermüdungsver-

suchen bestätigt (Bild 41 d bis 45 d). Bei der Modellierung ist dieser Effekt bei genauer Be-

trachtung aber zu berücksichtigen ist.

Aufbauend auf dieser Grundlage erfolgte die Identifikation der Parametervektoren PA, PB und

PC mit den aktiven Parametern k0, η, m, b, c, p und w. Abhängig von der Art der benutzten

Versuchsdaten, ihren Unsicherheiten oder ihrer Langzeitigkeit wurden die Parameter E, α0,

α1, α2, q0 und q1 von Fall zu Fall aktiv oder inaktiv gesetzt. Für die Parametervektoren PA und

PC wurde der E-Modul deaktiviert, für den Parametervektor PB hingegen aktiviert, da der zu-

gehörige Zug-Druck-Relaxationsversuch eine größere Genauigkeit versprach. Die Aktivie-

rung der Schädigungsparameter ist nur für langzeitige Versuche sinnvoll, bei denen die

Schädigung in messbarer Weise zur Geltung kommt. Zu dieser Kategorie gehören Kriech-

versuche und zyklische Versuche bis zum Anriss. Bei den hier ermittelten Parametervekto-

ren wurde jeweils nur ein Zyklus der dehnungsgeregelten Versuche verwendet und die

Kriechversuche bis Ende des Sekundärbereiches berücksichtigt. Tertiärkriechen wurde

demnach hier nicht berücksichtigt. Hintergrund für diese Vorgehensweise ist die in vielen

Fällen hinreichende Berechnung von Bauteilen bis zu begrenzter Kriechverformung bei-

spielsweise von 2 %. Somit ist kein merklicher Zuwachs der Schädigung vorhanden. Die

Schädigung kann aber, wie später im Abschnitt 6.5 gezeigt wird, unabhängig von der Defor-

mation optimiert werden, so dass die übrigen Parameter der identifizierten Parametervekto-


54

ren PA, PB und PC ohne weiteres von einer getrennten Schädigungsidentifikation unberührt

bleiben.

6.4 Nachrechnung von Verifikationsexperimenten

Zunächst soll auf die Ergebnisse zur Simulation der Kriechbeanspruchung an Rundkerb-

proben eingegangen werden (Bild 58, Tabelle 7). Hier ist der Verlauf des gemessenen

Kriechversuchs mit einer Nennspannung 400 MPa dem Ergebnis der Simulation mit dem

Parametervektor PA gegenübergestellt. Um einen Eindruck vom Einfluss der Nennspannung

im Materialmodell zu bekommen, sind außer der Simulation für die Spannung 400 MPa auch

andere Spannungen im Bereich von 340 MPa bis 500 MPa aufgetragen. Für die Parameter-

vektoren PB und PC sind die Ergebnisse der Nachrechnung in Bild 58 b und c dargestellt. Die

Auswahl der hier betrachteten Spannungen beschränkt sich auf das Niveau der Verifikati-

onsversuche.

Der Parametervektor PA führt für die im Versuch AAG525kb6 aufgebrachte Spannung von

400 MPa zu einer um Größenordnungen zu hohen Lösung. Während Parametervektor PA für

kleine Spannungen (340 und 370 MPa) zu niedrige, fast waagerechte Kriechkurven liefert,

sind diese für größere Spannungen (440 und 500 MPa) viel zu steil. Damit sind offensichtlich

die Resultate des Parametervektors PA nicht geeignet.

Hingegen sind die von den Parametervektoren PB und PC (Bild 58 b und c) resultierenden

Kriechkurven diskutabel. Der Parametervektor PB liefert für die Versuchsspannung von

400 MPa zwar Werte, die dem Versuchsverlauf nicht exakt entsprechen. Betrachtet man

jedoch den Primärbereich und den Beginn des Sekundärbereichs, gibt es eine gute Überein-

stimmung. Der restliche Verlauf im Tertiärbereich wird konservativ beschrieben. Die mit dem

Parametervektor PC ermittelte Kriechkurve ist qualitativ akzeptabel, liegt aber im gesamten

Zeitbereich unterhalb der im Versuch gemessenen Dehnung. Somit wäre der Parametervek-

tor PB im Vergleich zu den anderen Parametervektoren PA und PC für die Berechnung der

Kriechversuche an der Rundkerbprobe geeigneter.

Bei der Nachrechnung der Kriechermüdungsbeanspruchung an Rundkerbproben (Bild 59

bis 62) wurden wieder die Parametervektoren PA, PB und PC zugrunde gelegt. Aufgetragen

sind die Ergebnisse der axialen Gesamtdehnung aus der Nachrechnung verglichen mit der

gemessenen axialen Gesamtdehnung (Bild 37). Zusätzlich sind die berechneten axialen

Spannungen σ22 und die Vergleichsspannung σv im Kerbgrund aufgetragen. Die Nachrech-

nung beschränkt sich stets auf den ersten Zyklus.


55

Die Ergebnisse der Nachrechnung für den Kriechermüdungsversuch AAG525kb1 mit

∆σn = 504 MPa und tHZ = 1 h (Bild 59) sind für die Parametervektoren PA, PB und PC insge-

samt zufriedenstellend. Das beste Ergebnis stellt die Simulation mit dem Parametervektor PB

dar, wo die Dehnung sowohl in der ersten als auch in der zweiten und der dritten Haltezeit

eine gute Übereinstimmung mit dem Versuch zeigt.

Entsprechende Simulationsergebnisse für den Versuch AAG525kb3 mit einer größeren

Nennspannungsschwingbreite von ∆σn = 756 MPa und der gleichen Haltezeitsumme von

tHZ = 1 h (Bild 60) liefern ungleiche Resultate für die zugrunde liegenden Parametervektoren.

Mangelhafte bzw. mäßige Ergebnisse liefern die Parametervektoren PA bzw. PB , während

das beste Ergebnis unter Betrachtung aller drei Haltezeiten der Parametervektor PC zeigt.

Die Nachrechnung des Versuchs AAG525kb4 mit der hohen Spannungsschwingbreite

∆σn = 756 MPa und der längeren Haltezeitsumme von tHZ = 3 h (Bild 61) mit den Parameter-

vektoren PA bzw. PB ist erwartungsgemäß unbefriedigend. Lediglich mit dem Parametervek-

tor PC wird ein in der Druckhaltephase der ersten Haltezeit gut übereinstimmender Verlauf

der Dehnung erreicht. Die zweite und dritte Haltezeit liegen mit einem Faktor von ca. 2 über

den Messungsergebnissen, was auf die ungenügende Anpassung der Parameter an Kriech-

versuche bei einem großen Spannungsspektrum zurückzuführen ist.

Bei der kleineren Spannungsschwingbreite ∆σn = 504 MPa und der längeren Haltezeitsum-

me von tHZ = 3 h des Versuch AAG525kb8 (Bild 62) zeigen sich wie beim Versuch

AAG525kb1 (Bild 59) in allen drei Fällen ähnlich gute Ergebnisse. In der Reihenfolge PA, PB

und PC wächst wie bei den anderen Versuchen auch die Genauigkeit der Simulation.

Beim Vergleich der vier angeführten Kriechermüdungsversuche an Rundkerbproben gilt zu-

sammenfassend, dass sich bei kleinen Spannungsschwingbreiten bessere Simulationen mit

den identifizierten Parametern ergeben als bei großen Spannungsschwingbreiten. Diese

Einschränkung lässt sich mit den relativ niedrigen Spannungen der Identifikationsversuche

begründen. Andererseits zielte die Identifikationsprozedur darauf, sowohl Kriechen und

Kriechermüdung insbesondere bei kleinen Spannungen modellieren zu können. Um einen

größeren Gültigkeitsbereich für den Parametervektor des Materialmodells zu schaffen, müs-

sen weitere Identifikationsversuche durchgeführt werden. Zum einen sollten sie höhere

Spannungen beinhalten, damit die Verifikationsversuche optimal simuliert werden können.

Zum anderen sollten Spannungen niedrig genug sein, damit die im Betrieb vorhandenen

Belastungszustände realistisch abgebildet werden.

Alternativ zu weiteren Experimenten zur Parameteridentifikation vom Typ Bild 31 wäre die

Berücksichtigung gesamter Kriechkurvenscharen im Spannungsbereich von beispielsweise

100 bis 500 MPa vorstellbar. Dies stellt aber eine spezielle Herausforderung dar, weil die

Konsistenz der Daten hierbei zu erheblichen Schwierigkeiten führen kann. Zur Lösung die-


56

ses Problems wird vorgeschlagen, Kriechkurvenscharen zunächst mit einer analytischen

Beschreibung des Kriechverhaltens zu glätten und diese Beschreibung als Eingangsgröße

der Parameteridentifizierung zuzuführen.

In den nachfolgenden Auswertungen soll nur der Parametervektor PB betrachtet werden. Zur

Verdeutlichung des Einflusses unterschiedlicher Haltezeit sind die Ergebnisse zur Simulation

zweier Kriechermüdungsversuche mit der gleichen Nennspannungsschwingbreite von

∆σn = 504 MPa aber mit unterschiedlichen Haltezeitsummen von 1h (Bild 63 a) und 3h (Bild

63 b) liefert mit dem Parametervektor PB gegenüber gestellt. Wie in Bild 59 und 62 sind auch

hier in der oberen Reihe der Verlauf der gemessenen Dehnung im Kerbgrund zusammen mit

dem Simulationsergebnis abgebildet. In jedem Diagramm sind die entsprechenden Berech-

nungswerte der axialen Gesamtdehnung im Kerbgrund mitaufgetragen. In der zweiten Reihe

sind die Verläufe der Axial- und Vergleichsspannung und in der untersten Reihe deren Ver-

teilung über den Probenradius bei gleicher Zeit dargestellt.

Ein Überblick über den Spannungszustand innerhalb der Kerbprobe liefert Bild 64, wobei die

Vergleichsspannung in einem Meridianschnitt der Probe jeweils nach Parameter Sektor PA

und PB abgebildet ist. Es handelt sich um den Zeitpunkt am Ende des ersten Zyklus des Ver-

suchs mit 1 h Haltezeit und betriebsähnlichem Verlauf (Bild 37).

Die Teilbilder 64 d und e zeigen die Schädigungsverteilung beim Modell mit Schädigung am

Ende des Zyklus 1 und nach 20 Zyklen. Der Vergleich zeigt den am Anfang noch linearen

Charakter der Schädigungsentwicklung bezogen auf die Zykluszahl. Der Fall ohne Schädi-

gung ist in Teilbild 64 c dargestellt.

Um den Einfluss der unterschiedlichen Zyklusformen bzw. Haltzeiten auf die Entwicklung der

Schädigung beurteilen zu können, sind die Schädigungsverläufe von 2 Versuchen mit glei-

cher Spannungsschwingbreite von ∆σn = 504 MPa aber unterschiedlichen Haltezeiten von 1

h und 3 h nach 20 Zyklen im Bild 64 f gegenüber gestellt. Die Schädigungsgröße D nach Gl.

43 ist sowohl über der Zeit als auch über der Zykluszahl aufgetragen. Es ist zu erkennen,

dass der Versuch mit 1 h Haltezeit eine höhere mittlere Schädigungsrate vorweist, als der

Versuch mit 3 h Haltezeit, aber der maximal erreichte Wert ist niedriger.

Dieses Ergebnis bezieht sich allerdings auf den zeitlichen Verlauf. Bei der Betrachtung des

Schädigungsverlaufs über die Zykluszahl ergibt sich ein niedrigerer Schädigungszuwachs

pro Zyklus, was für die höhere Schädigung während der längeren Haltezeiten beim 3h-

Versuch spricht. Dieses Resultat wird auch durch die Versuche bestätigt (Bild 38).

Die Nachrechnung der biaxialen Kriechermüdungsbeanspruchung (Bild 65, Tabelle 8)

gestaltet sich etwas komplizierter, da hier eine entsprechende dehnungsgeregelte Simulation

nicht realisiert werden kann. Abhilfe wird dadurch geschaffen, dass die im Versuch gemes-


57

sene Kraft (Bilder 41 b bis 45 b) als Belastungsgröße der Simulationen dienen kann, aus

denen die Dehnung in der Prüfzone der modellierten Kreuzprobe abzuleiten ist. Zur Verifika-

tion kann dieses Ergebnis mit dem Verlauf der Dehnungsistwerte (Bilder 41 a bis 45 a) aus

dem Experiment direkt verglichen werden (Bild 65 a).

Zur Finite-Elemente-Simulation der Kreuzprobe wurden verschiedene Vernetzungen gene-

riert und je nach den Belastungsanforderungen eingesetzt. Die Vernetzung der Kreuzprobe

als Ganzes (Bild 65 b) verursacht hohe Element- bzw. Knotenzahlen mit entsprechend lan-

ger Rechenzeit und ist nur für unsymmetrische Belastungen, Biege- oder Torsionsbelastun-

gen oder Anisotropie nötig, was bei den durchgeführten Experimenten nicht der Fall war.

Eine effektive Rechenzeitverkürzung konnte durch Berücksichtigung der Symmetrieebenen

der Kreuzprobe im Bezug auf die Geometrie und Belastung realisiert werden, indem nur ein

Achtel der Kreuzprobe modelliert wurde (Bild 65 c). Außerdem wurden die Probenarme der

Kreuzprobe ebenfalls weggelassen. Somit wird nur noch ein Bruchteil an Rechenzeit benö-

tigt, um die meist langzeitigen Experimente zu berechnen.

Zunächst soll am Beispiel des Versuchs AAG525df1 (∆ε = 0,6 %, tZ rd. 1 h) das Ergebnis der

Simulationen an der Kreuzprobe mit dem Parametervektor PA vorgestellt werden (Bild 66).

Das Resultat ist im Gegensatz der bisher gebrachten Ergebnisse an den Rundkerbproben

mit mehrachsigen Spannungszuständen völlig unzureichend, weil bereits während der ersten

Haltezeit die berechnete Dehnung Werte fernab der gemessenen Dehnung annimmt. Dieser

Fall zeigt die empfindliche Abhängigkeit des identifizierten Parametervektors von der Daten-

basis. Es ist eindeutig festzuhalten, dass sich reine LCF-Standardversuche ohne Berücksich-

tigung andersartiger Versuche zur Identifikation nicht eignen.

Bei der Simulation der biaxialen Kriechermüdungsversuche an der Kreuzprobe mit dem Pa-

rametervektor PB (Bild 67 a bis e) ergibt sich für zwei unterschiedliche Dehnungsschwing-

breiten ∆ε = 0,6 % und ∆ε = 0,42 % mit jeweils zwei Werten für die Haltezeitsumme von 1 h

und 3 h folgendes Bild, alles bei dem Biaxialitätsverhältnis Φε = 1,0 (Bild 67 a bis d). Abwei-

chend davon zeigt Bild 67 e das Ergebnis für den Fall Φε = 0,5. Die Versuche mit der kürze-

ren Haltezeit werden besser wiedergegeben als mit langer Haltezeit. Die Begründung ist,

dass bereits in der ersten Haltezeit die Kriecheffekte eine zu große Verschiebung der Deh-

nung in Belastungsrichtung bewirken und diese Verschiebung bei längerer Haltzeit entspre-

chende Abweichungen erzeugen. Außerhalb der Haltezeiten, also auf den im wesentlichen

durch Deformation gekennzeichneten Bereichen der Belastungsrampen, werden die Deh-

nungsänderungen jedoch in akzeptabler Weise berechnet. Das lässt den Schluss zu, dass

der durch einen gestuften Zug-Druck-Relaxationszyklus identifizierte Parametervektor PB die

Kriecheffekte nur mäßig berücksichtigt.

Bessere Ergebnisse bei der Simulation von Kriechermüdungsversuchen an Kreuzproben

lassen sich bei der Verwendung des Parametervektors PC erzielen (Bild 68). Besonders auf-


58

fallend ist der waagerechte Verlauf der Dehnung in den Haltezeiten, wie er sich auch im Ex-

periment zeigt. Dies spricht für die optimale Erfassung von Kriecheffekten, was auf die wenn

auch noch beschränkte Datenbasis mit drei Kriechversuchen zurückzuführen ist.

Neben den bisher behandelten einstufigen Verifikationsversuchen war es auch von Interes-

se, ob sich eine mehrstufige Beanspruchung durch das Materialmodell nachrechnen lässt.

Zu diesem Vergleich wurde der in Bild 32 dargestellte mehrstufige Haltezeitzyklus mit Zug-

und Druckhaltephasen herangezogen (Bild 69). Als Ergebnis führt der Parametervektor PC

zu dem besten Vorhersagergebnis, wenngleich hier zur der Parameteridentifizierung nicht

der gestufte Relaxationsversuch herangezogen wurde. Offensichtlich wirkt sich hier die

Nachbildung der Kriech- bzw. Relaxationsbeanspruchung in den Haltezeiten signifikant aus,

die durch die zur Parameteridentifizierung zugrunde gelegten Kriechexperimente wohl bes-

ser beschrieben wird. Dieser Effekt wird auch durch die nachstehend geschilderte Betrach-

tung der biaxialen Kriechbeanspruchung bestätigt.

Die Simulation der biaxialen Kriechbeanspruchung an der Kreuzprobe (Bild 48) mit den

Parametervektoren PA, PB und PC (Bild 70) liefert eine ähnliche Aussage wie bei den eben

erläuterten Kriechermüdungsversuchen. Während das Ergebnis des Parametervektors PA

völlig unzureichend ist, bekommt man bei dem Parametervektor PB sehr konservative Verläu-

fe. Das beste Ergebnis liegt wieder beim Parametervektor PC vor, wobei der Versuch mit der

größeren Belastung F = 80,5 kN bis einer Gesamtdehnung von 1 % ein vergleichsweise ak-

zeptables Ergebnis zeigt. Allerdings muss berücksichtigt werden, dass bei der Identifikation

des Parametervektor PC die verwendeten Kriechkurven ebenfalls bis ca. 1 % Dehnung in die

Berechnung eingingen. Eine Verbesserung kann erwartet werden, wenn dieser Bereich ver-

größert wird. Um die Ergebnisse bei der kleineren Last von F = 70,0 kN zu verbessern, soll-

ten die zur Identifikation verwendeten Kriechversuche kleineren Spannungen angehören und

entsprechend längere Laufzeiten haben. Außerdem müssten möglichst der tertiäre Kriechbe-

reich involviert sein. Das Ganze erfordert dann wesentlich höheren Zeit- und Berechnungs-

aufwand.

Bei allen durchgeführten Simulationen zum Kriech- und Kriechermüdungsverhalten lässt sich

eine relativ gute Übereinstimmung mit den Experimenten feststellen, wenn die getroffenen

vereinfachenden Annahmen berücksichtigt werden. Im Bezug auf die Randbedingungen des

Finite-Elemente-Modells der Kreuzprobe ist die Verteilung der Temperatur mit gewissen

Vereinfachungen behaftet. Die Temperatur innerhalb der Prüfzone ist mit T = 525 °C als

konstant vorgegeben, was den umfangreichen Messungen mit einer speziell zu diesem

Zweck mit Mantelthermoelementen applizierten Kreuzprobe entspricht. Außerhalb der Prüf-

zone besitzt die Temperatur einen in Richtung der Probenaufnehmer nahezu radial abneh-

menden Charakter (Bild 71), dessen Ursache die Wärmeabfuhr durch die Probenarme ist.

Durch das in der Prüfzone nach außen hin abnehmende Temperaturfeld herrschen Druckei-


59

genspannungen, die bei Vernachlässigung das Ergebnis verfälschen würden. Aus Messun-

gen mit einer Wärmebildkamera konnte die genaue Verteilung der Temperatur auch außer-

halb der Prüfzone bis hin zu den Probenarmen ermittelt werden. Diese Temperaturverteilung

wurde dann im Finite-Elemente-Modell durch die benutzterdefinierte Subroutine UTEMP kor-

rigiert. Damit ist aber noch die Temperaturabhängigkeit der Materialeigenschaften nicht be-

rücksichtigt worden, was hauptsächlich am Fehlen weiterer Parametervektoren liegt, die den

Temperaturbereich abdecken würden. Diese Problematik ist insbesondere bei instationären

Vorgängen von Bedeutung, weil hier durch An- und Abfahrvorgänge und der damit verbun-

denen Erwärmungs- und Abkühlvorgänge die Wärmedehnungen des die Prüfzone umge-

benden Probenringes beeinflusst werden. Diese Wärmedehnungen führen zu Druckspan-

nungen, die bei der Nachrechnung der Spannungen und Dehnungen in der Prüfzone zu be-

rücksichtigen sind.

Bei den in dieser Arbeit betrachteten Verifikationsversuchen an Kreuzproben liegt die Tem-

peraturspanne im Bereich von Tmax = 525 °C in der Probenmitte bis zu etwa Tmin = 475 °C im

Bereich des Ringes zum Übergang zu den Probenarmen. Diese Temperaturunterschiede

wurden bei der Parameteridentifizierung wegen der Differenz von maximal 50 °C nicht be-

rücksichtigt, wohl aber bei der FE-Rechnung mit dem Materialmodell.

Als Praxisbeispiel wurde der Abschnitt einer Turbinenwelle mit einer umlaufenden Kerbe

nach der abgebildeten Geometrie und Randbedingungen mit Finiten Elementen modelliert

und berechnet (Bild 72). Die Randbedingungen umfassen Fliehkraft durch die Betriebsdreh-

zahl n = 3000 U/min, Dampfdruck am Wellenmantel p = 25 MPa, fixierte axiale und freie ra-

diale Verschiebung an der einen Stirnseite und eine lineare Spannungsverteilung an der an-

deren Stirnseite. Der Anfahrvorgang wurde durch einen linearen Anstieg der bei null begin-

nenden Drehzahl mitberechnet. Danach wurde die Drehzahl konstant gehalten, wie sie bei

der Betriebsphase einer Dampfturbine zur Stromerzeugung der Fall ist, wobei ein Extremfall

von 27.000 h angenommen wurde. Es handelt sich also um die Berechnung eines monoto-

nen Belastungsverlaufs. Dabei wurde der Parametervektor PB verwendet. Allerdings musste

die Fließgrenze k0 ausgehend vom identifizierten Wert von ca. 95,5 MPa verringert werden,

da die zu niedrige Beanspruchung der Turbinenwelle maximale Spannungen von ca. 50 MPa

verursachte. Aus diesem Grund wurde zum Testen der Materialmodells und zur Erprobung

der Rechengeschwindigkeit mit UMAT ein relativ kleiner Wert für die Fließgrenze k0 von

10 MPa gewählt.

Die berechnete Verteilung der Vergleichsspannung ist in Bild 72 b dargestellt. Links ist das

rein elastische Ergebnis als Vergleich zum in der Mitte abgebildeten Ergebnis mit UMAT

nach dem Anfahrvorgang zu sehen. Sowohl die Verteilung als auch die Größen der Extrem-

werte der Vergleichsspannungen unterscheiden sich kaum voneinander. Anders zeigen sich

die Kriech- bzw. Relaxationseffekte nach einer Belastungsdauer von 27.000 h (Bild 72 b


60

rechts), wo die maximale Spannung in der Kerbe von ca. 50 MPa nach dem Anfahrvorgang

auf ca. 16 MPa sinkt (Bild 72 c links). Der Verlauf der axialen Gesamtdehnung steigt nach

27.000 h auf Werte von ca. 0,04 %. Die Rechenzeit zur Berechnung des Finite-Elemente-

Modells mit UMAT und einer Belastungsdauer von 27.000 h beträgt auf einem PC mit

3.000 MHz Taktfrequenz und 2 GByte Arbeitsspeicher ca. 30 Min. Das achsensymmetrische

Finite-Elemente-Netz beinhaltet ca. 600 viereckige Elemente mit quadratischer Ansatzfunkti-

on. Es waren ca. 600 Zeitschritte notwendig, wobei sich eine mittlere Schrittweite von ca.

50 h ergibt. Das Verhältnis von der realen Belastungsdauer zur benötigten Rechenzeit kann

als ein Rechenzeitfaktor zur Beurteilung der Effizienz der numerischen Implementierung des

Materialmodells in UMAT und der Schrittweitenkontrolle aufgefasst werden. Dabei sollten

gleiche Bedingungen vorausgesetzt werden, wie z.B. Rechnerleistung, das zu berechnenden

Finite-Elemente-Modell, u.a. die Anzahl der eingesetzten Elemente (Feinheit des Finite-

Elemente-Netzes) und deren Typ, der Zyklus- bzw. Belastungsverlauf und nicht zuletzt der

Parametervektor für den zu simulierenden Werkstoff. Bei der hier beispielhaft berechneten

Turbinenwelle beträgt der Rechenzeitfaktor einen Wert von über 50.000, d.h. die reale Zeit

um diesen Faktor schneller simuliert werden kann. Bei mehreren An- und Abfahrvorgängen

wie unter realen Umständen wird aber ein niedrigerer Wert zu erwarten sein, da die Schritt-

weitenkontrolle für schnelle Deformationen mit einer Verkleinerung des Zeitschritts reagiert,

so dass die Konvergenz der Lösung gewährleistet ist. Als Faustregel lässt sich festhalten,

dass mit zunehmender Zykluszahl und kürzeren statischen Belastungsphasen der Rechen-

zeitfaktor von dem idealen Wert für monotone Belastung abweicht. Weiter ist an dieser Stelle

anzumerken, dass bei Lebensdauerberechnung Extrapolationsmethoden benötigt werden,

um den Rechenzeitfaktor gerade bei zyklischen Beanspruchungen zu erhöhen mit dem Ziel

einer Rechenzeitbeschleunigung.

Für die oben beschriebene Nachrechnung der Kerbstelle einer Turbinenwellen wurde der

zeitliche Verlauf der Spannungsumlagerung (Vergleichsspannung) und der entsprechende

Verlauf der Gesamtdehnung ε22 aufgetragen. In diesem Zusammenhang wurde auch der

Einfluss der statischen Erholung mit betrachtet. Aus dieser Auswertung lässt sich der

Schluss ziehen, dass die statische Erholung im Materialmodell zu verankern ist. Das Teilbild

für die Gesamtdehnung zeigt nach rd. 10000 h kaum noch einen Anstieg der Dehnung, was

als eher unwahrscheinlich anzusehen ist. Hier besteht bei der Identifizierung der Materialpa-

rameter der Bedarf nach Berücksichtigung geeigneter Versuchsdaten für extrem langzeitige

Beanspruchung bei entsprechend besonders niedrigen Spannungen.

Im Rahmen der Untersuchungen zur Verifikation des Materialmodells wurden auch Fälle von

langzeitiger Kriechermüdungsbeanspruchung mit betriebsähnlichem Beanspruchungsablauf

an einaxial beanspruchten zylindrischen Proben nachgerechnet (Verifikation für 1D-

Beanspruchung). Wegen der Langzeitigkeit der Beanspruchung war die Evolution der Schä-


61

digung mit zu berücksichtigen. Die Schädigungsparameter wurden dabei anhand langzeitiger

Identifikationsversuche mit überlagerter Kriech- und Ermüdungsbeanspruchung bestimmt.

Ausgehend vom bereits identifizierten Parametervektor PB wurde dabei vereinfachend nur

der Schädigungsparameter α1 bestimmt, während die weiteren Schädigungsparameter mit

den Werten α0 = 0,0, α2 = 0,0 und q0 = 1,0 als konstant angenommen wurden. Diese An-

nahme entspricht dem einfachen Schädigungsansatz von Lemaitre, wobei zusätzlich der

Schädigungsexponent q1 =1,5 gesetzt wurde, um den exponentiellen Verlauf der Schädigung

zu berücksichtigen.

Als experimentelle Grundlage wurde in diesem Zusammenhang ein isothermer dreistufiger

Versuch mit betriebsähnlichem Teilzyklen gewählt [23] (Bild 73). Dieser Versuch besteht aus

drei Stufen, wie sie bei den An- und Abfahrvorgängen der Dampfturbinen vorliegen und ent-

sprechen den Kalt-, Warm- und Heißstarts im Netzbetrieb. Eine Zyklusfolge beinhaltet einen

Kaltstartzyklus, 3 Warmstart- und 16 Heißstartzyklen, besteht also aus 20 Teilzyklen. Die

Versuchsdauer bis zum Anriss betrug tA = 1648 h entsprechend NA = 452 Teilzyklen.

Die im Parametervektor PB noch nicht identifizierten Werte der Schädigungsparameter wur-

den durch eine iterative Methode bestimmt. Diese Methode führte mit lediglich drei Iteratio-

nen zum gesuchten Wert des Schädigungsparameters α1. In der ersten Iteration wurde ein

Schätzwert für das Parameter α1,1 = 1,0 angesetzt, der eine Anrissdauer von tA1 = 401 h er-

gab. Wegen der sich dabei einstellenden zu kurzen Anrissdauer musste für die zweite Itera-

tion eine korrigierter, kleinerer Wert für das Schädigungsparameter α1,2 = 0,3 angenommen

werden. Das mit diesem Parameterwert errechnete zweite Ergebnis der Anrissdauer von

tA2 = 1347 h lag wesentlich näher an die Versuchsdauer. Der endgültige Wert für das Schä-

digungsparameter α1,3 = 0,246 wurde mit Hilfe einer logarithmischen Extrapolation ermittelt

(Bild 73 f). Bei der Simulation ließ sich mit einer Anrissdauer von tA3 = 1640 h eine optimale

Übereinstimmung mit dem Versuch erzielen.

Der hierdurch um die Schädigungsparameterwerte ergänzte Parametervektor PB wurde zur

Verifikationsberechnung eines langzeitigen isothermen einstufigen betriebsähnlichen Versu-

ches einer Haltezeitsumme von 32 h und einer Dehnungschwingbreite von ∆ε = 0,54 % ver-

wendet. Die Versuchsdauer betrug tA = 31.280 h entsprechend einer Anrisswechselzahl

NA = 990 Zyklen. Die Nachrechnung ergab eine Anrisswechselzahl von NA,Sim = 604 Zyklen

(Bild 74). Dieses Ergebnis ist deutlich zu konservativ, lässt aber die Möglichkeiten der Be-

rücksichtigung von Schädigung hinreichend erkennen. Inwieweit bei einer Berücksichtigung

des Parametervektors PC ganz andere Vorhersagergebnisse zu erzielen sind, bleibt zukünf-

tigen Untersuchungen vorbehalten. Ein wichtiger Aspekt wird in diesem Zusammenhang die

Berücksichtigung der isotropen Entfestigung und ebenso die Identifizierung aller Parameter

der Evolutionsgleichung für die Schädigung sein.


62

Ferner sind zukünftig auch andere Evolutionsansätze zur Beschreibung der Schädigung un-

ter Komplexbeanspruchung von Kriechen und Ermüden zu entwickeln. Dies hängt ursächlich

mit den völlig verschiedenen Schädigungsmechanismen für Kriechen und Ermüden zusam-

men.

6.5 Sensitivitätsuntersuchung des konstitutiven Materialmodells

Im Hinblick auf die Anwendung des Materialmodells ist es von Interesse, Aussagen über den

Einfluss von Änderungen der Materialparameter auf das Vorhersageergebnis zu gewinnen.

Deshalb wurden anhand verschiedener Simulationsrechnungen die Sensitivität des Modells

auf die Parametervariation untersucht (Bild 75, 76, 77 und 78). Die Vorgehensweise war,

dass ausgehend von einem vordefinierten Parametervektor jeweils ein Materialparameter

geändert und das neue Ergebnis mit dem ursprünglichen Ergebnis grafisch verglichen wur-

de. Gegenstand der Untersuchung waren die Parameter für Elastizität E und ν, Fließgrenze

k0, Viskosität η und m, kinematische Verfestigung b und c, deren statische Erholung p und w,

Schädigungskoeffizienten α0, α1 und α2 sowie Schädigungsexponenten q0 und q1. Der Ein-

fluss der isotropen Verfestigung wurde aus den im Abschnitt 6.3 genannten Gründen außer

Acht gelassen. Auch die Querkontraktionszahl wurde mit ν = 0,3 als konstant angesehen.

Hierdurch ergaben sich 13 Möglichkeiten der Variation. Diese Studie wurde für eine konstan-

te einachsige Belastung durchgeführt. Die Aussagen hiervon lassen sich auf den mehrachsi-

gen Fall zumindest qualitativ übertragen.

Als Grundlage diente der Parametervektor PC, bei dem jeweils ein Parameter eine Änderung

erfuhr und anschließend ein bestimmter Kriechversuch simuliert wurde. Dem Kriechversuch

lag eine Spannung von σ0 = 351 MPa zugrunde, die einem der Identifikationsexperimente

entspricht (Bild 56 c).

Im einfachsten Fall der Elastizität (Bild 75 a) verändert das Variieren des E-Moduls lediglich

das elastische Verhalten der Materials (Gl. (20)) und zwar eine Steigerung des E-Moduls

bewirkt die Verringerung des elastischen Anteils der Dehnung, sodass die Kriechkurve nach

unten verschoben wird. Ein Erhöhung der Fließgrenze k0 verkleinert durch die Reduktion der

viskosen Überspannung F (Gln. (32) und (33)) die Steigung der Kriechkurve (Bild 75 b), die

durch die plastische Dehnungsgeschwindigkeit gegeben ist. Der Einfluss der Viskositätspa-

rameter η und m (Bild 75 c und d) ergibt sich ebenfalls aus Gl. (33). Eine Vergrößerung des

Parameters c (Bild 76 b) im erzeugenden Term bewirkt eine Steigerung der kinematischen

Verfestigung (Gl. (37)), wohingegen der Parameter b des begrenzenden Terms wegen des

negativen Vorzeichens in umgekehrter Weise wirkt (Bild 76 a). Die Steigerung der Parameter

für die statische Erholung der kinematischen Verfestigung p und w (Gl. (37)) bewirken eine

Verringerung der Verfestigung und einen entsprechenden Anstieg der Kriechgeschwindigkeit


63

(Bild 76 c und d). Das Fehlen des Terms für statische Erholung für p = 0 führt bei kleineren

Spannungen zum Stagnieren des Kriechvorgangs (Bild 76 c). Der Einfluss der Schädigungs-

parameter α0 und α1 (Gl. (43)) erstreckt sich hauptsächlich ab dem Sekundärbereich (Bild

77 a und b). Der Unterschied ist jedoch, dass die Zuwachsrate der Schädigung mit dem Pro-

portionalitätsfaktor α0 von der Kriechgeschwindigkeit abhängt. Beim Schädigungsparameter

α1 ist diese Abhängigkeit u.a. durch die Energiefreisetzungrate (Gl. (44)) nichtlinear. Das

Schädigungsparameter α2 und die Schädigungsexponenten q0 und q1 wirken sich im Zu-

sammenhang mit der Kriechkurve auf den Beginn des Tertiärbereichs und dessen Verlauf

aus (Bild 77 c bis e). Aus diesen Betrachtungen kann für die Schädigungsentwicklung eine

wichtige Schlussfolgerung gemacht werden, dass Schädigungsansätze unabhängig von der

Modellierung der Deformation stattfinden können. Somit ist es zulässig bei der Identifizierung

der Materialparameter im ersten Schritt ohne Schädigung zu verfahren.

Außerdem wurde in einer weiteren Sensitivitätsstudie ausgehend von konstant gehaltenen

Materialparametern noch der Einfluss der Belastung untersucht. Um einen Eindruck über die

Gesamtheit der Effekte zu schaffen und gleichzeitig einen relativ komplexen Belastungsfall

zu behandeln, wird hier die biaxiale Kriechbeanspruchung an Kreuzproben als Fallbeispiel

genommen. Es stehen die Messdaten zweier biaxialer Kriechversuche an Kreuzproben mit

einer Kraft von F1 = 70 kN und F2 = 1,15 F1 = 80,5 kN zur Verfügung (Bild 48). Die Sensitivi-

tät im Bezug auf die Kraft in der Simulation soll mit 5 % Abweichung nach oben und unten

analysiert werden. So ergeben sich sechs Varianten mit F1Sim = {66,5 kN; 70,0 kN; 73,5 kN }

und F2Sim = {77,0 kN; 80,5 kN; 84,0 kN} (Bild 78, a und b). In beiden Fällen, deren Berech-

nung auf den Parametervektor PC basiert, nähern sich die Verläufe der Gesamtdehnung mit

Verringerung der Kraft an die gemessenen Kurven. Eine qualitative Änderung ergibt sich

aber nicht.

Insgesamt zeigen die Sensitivitätsrechnungen den teilweise deutlichen Einfluss von Parame-

tervariationen auf das Modellierungsergebnis. Daraus lässt sich aber das Potenzial von kon-

stitutiven Werkstoffbeschreibungen erkennen. Andererseits zeigen die Freiheitsgrade aber

auch den Aufwand bei der Parameteridentifizierung.

6.6 Software zur Modellierung und Parameteridentifikation

Während der Bearbeitung dieses Forschungsvorhabens und als Ergebnis weiterer Arbeiten

sind zwei benutzerfreundliche Rechneranwendungen zur Parameteridentifikation ParId (Bild

79) und zur Materialmodellierung MoSim (Bild 80) entstanden, die eine Identifikation der Ma-

terialparameter anhand einachsiger Experimente sowie eine einfache Erzeugung von Simu-

lationsdaten auf der Basis der Differenzialgleichungen des vorliegenden Materialmodells

ermöglichen. Der Entstehung dieser Computerprogramme ist ein innovatives Konzept voran-


64

gegangen, dass auf die Automatisierung der Parameteridentifikationsprozedur und zur

Schaffung von einem optimalen Verständnisses des Materialmodells ausgerichtet ist.

Dieses Programm eignet sich im Prinzip auch zu Parameter-Identifikation, da der Benutzer

durch Eingabe geeigneter Parameterwerte den simulierten Verlauf iterativ mit dem Versuch

zur Deckung bringen kann. Allerdings setzt ein erfolgreiches Ergebnis voraus, dass der Be-

nutzer ein grundsätzliches Verständnis des Materialmodells und Erfahrung über den Einfluss

der Parameter besitzt. Zu dem ist dieser Vorgang arbeits- und zeitintensiv, da oft viele Anläu-

fe erforderlich sind. Der wesentliche Nachteil ist außerdem, dass jeweils nur ein Belastungs-

fall simuliert werden kann, so dass eine gleichzeitige Anpassung an mehreren Experimenten

nicht praktikabel ist. Es wäre also praktischer eine Software zu entwickeln, die mehrere Ex-

perimente gleichzeitig verwendet und zusätzlich die meisten zu bewältigten Schritte automa-

tisiert durchführt. Eine solche Software ist das Programm NeuoId, das zuerst Simulationsda-

ten mehrerer Versuche erzeugt und anschließend mit Hilfe der Versuchsdaten und der neu-

ronalen Netze die Parameter identifiziert. Aufbauend auf eine Konfigurationsdatei mit Infor-

mationen der Topologie des Neuronalen Netzes, Typ der Trainingsfunktion und Aktivierungs-

funktion, Trainingsintensität sowie Zyklusdatei und Versuchsdaten verwendet dieses Pro-

gramm verschiedene Module des Programms MoSim zur Erzeugung der Trainingsdaten aus

den Simulationen. Das Programm generiert das vorgegebene neuronale Netz, bereitet die

Trainingsdaten auf, trainiert mit diesen das neuronale Netz, löst die Identifikationsaufgabe

durch die Anwendung des trainierten Netzes auf die Versuchsdaten und liefert den sich als

Lösung ergebenden Parametervektor (Bild 84).

Das Programm MoSim ist eine Benutzeroberfläche zur Simulation des in diesem Vorhaben

verwendeten Materialmodells der verallgemeinerten Energie-Äquivalenz. Es bietet die Mög-

lichkeit, dass Materialmodell durch Simulation von beliebigen Belastungsfällen und Eingaben

von Materialwerten zu erforschen. Es sind die zwei Belastungstypen der Dehnungs- und

Spannungsregelung implementiert worden, so dass sowohl Dehnwechsel- als auch Kriech-

versuche berechnet werden können. Die Parameter können in einem beliebigen Intervall

ausgewählt oder direkt eingegeben werden. Die Zyklusdaten werden mit einem gesonderten

Software-Tool Zyklusgenerator (Bild 81) definiert, das weiter unten erklärt wird. Die berech-

neten Daten werden automatisch in ein Diagrammfenster als Dehnungs-Zeit-, Spannungs-

Zeit- und Spannung-Dehnungskurven dargestellt und können graphisch mit den Versuchser-

gebnissen verglichen werden, in dem die Versuchdaten in das Diagrammfenster hinzugefügt

werden (Bild 82). Die zuletzt erzeugten Daten und zugehörigen Parameter können direkt aus

dem Hauptfenster vom MoSim gespeichert werden. Es gibt aber auch die Möglichkeit alle

bisherigen Simulationen als eine Historie aufzulisten und selektiv zu speichern. Dies ge-

schieht mit der Schaltfläche „Extras“, das ein entsprechendes Fenster öffnet (Bild 83). Auf

diesem Fenster können aus einer Liste ausgewählte Kurven gespeichert oder formatiert

werden, d.h. ihre Linienart geändert werden. Die Kurven können auch ein- bzw. ausgeblen-


65

det werden, damit die Änderungen auf Grund der Parametervariation besser nachvollzogen

werden können.

Ein besondere Aufgabe dieser Arbeit betrifft die Simulation von extrem langzeitigen Experi-

menten, die große Datenmengen produzieren würden. Durch Einbettung einer flexiblen Da-

tenreduktionsroutine gelingt es, dass hierdurch kein Verlust relevanter Datenbereiche hinge-

nommen werden muss. Beispiel hierfür ist die Simulation von zyklischen betriebsähnlichen

Versuchen mit sehr langen Haltezeiten, die dehnungsgeregelt durchgeführt werden und zu

Beginn der Haltezeiten starke Spannungsrelaxationen aufweisen. In diesem Bereich muss

relativ zur Zyklusdauer eine sehr kleine Zeitschrittweite gegeben sein, damit der Verlauf des

Relaxationseffektes gut aufgelöst werden kann. Bei langen Haltezeiten ergibt sich nach die-

ser steil abfallenden Phase ein in der Regel sehr flacher Verlauf der Spannung über die Zeit,

der mit wesentlich größeren Zeitschritten dargestellt werden muss und zur Reduktion der

irrrelevanten Daten beitragen kann. Damit der Benutzer die Datenreduktion abhängig von

den jeweiligen Bedürfnissen kontrollieren kann und zur Erleichterung der Programmierung

beliebiger Zyklusformen wurde der spezielle Software-Zyklusgenerator entwickelt, der den

Anforderungen der Praxis gerecht wird (Bild 81). Da es sich in der LCF-Versuchstechnik

meistens um Zyklen mit konstanten Rampendehngeschwindigkeiten handelt, wird beim Pro-

grammieren der Zyklen von der Dehnrate ausgegangen. Ausgehend von einer konstanten

Dehnrate für eine Rampe, ergibt sich die Rampenzeit für die zu erreichende Dehnung aus

dem Verhältnis von Dehnung zu Dehnrate. Die Software ermöglicht aber auch für jede Ram-

pe andere Werte vorzugeben. Durch einfügen von zusätzlichen Punkten in den Haltephasen

kann deren Bedeutung für die Datenreduktion unterstrichen werden. Es müssen nur noch die

Dehnung in jeder Haltezeit und ihre Dauer eingegeben werden. Mit der Eingabe der Auflö-

sung bestimmt man die Anzahl der Datenpunkte zwischen zweier Punkte des programmier-

ten Zyklus, so dass die Feinheit und Menge der produzierten Daten festgelegt werden kann.

Die in dieser Arbeit identifizierten Materialparameter sind mit Hilfe der hier vorgestellten Pro-

gramme in der relativ eingeschränkten Zeit erst ermöglicht worden. Die Anwendung dieser

Programme auf die vorliegenden und weitere Werkstoffe sollte in zukünftigen Arbeiten ver-

stärkt vorgenommen werden.

7 Schlussfolgerungen, Zukünftige Aufgabenstellungen

66


Das aus [67] bekannte Materialmodell wurde zur Anpassung an die in dieser Arbeit vorlie-

gende komplexe Kriechermüdungsbeanspruchung am Beispiel eines warmfesten Schmiede-

stahles vom Typ 1%CrMoNiV angepasst. Eine wichtige Aufgabe bestand in dieser Arbeit in

der Identifizierung der Materialparameter zur Nachrechnung von ein- und mehraxialen

Kriech- und Kriechermüdungsbeanspruchungsfällen. Dabei war ein geeignetes Verfahren

auszuwählen und die Vorgehensweise zur Parameterbestimmung zu entwickeln und zu er-

proben.

Zur Identifizierung der Materialparameter erwies sich ein zweistufiges Verfahren als vorteil-

haft. Hierbei wird zunächst mit der Methode der Neuronalen Netze ein Parametervektor er-

mittelt, der schließlich als Startwert für die Bestimmung eines endgültigen Parametervektors

mithilfe der Nelder-Mead-Methode zugrunde gelegt wird. In diesem Zusammenhang wurde

ein Programmpaket entwickelt, das bei der Parameteridentifizierung vorteilhaft die Berück-

sichtigung unterschiedlicher Versuchsarten simultan ermöglicht.

Mit dem Ziel, die Auswirkungen unterschiedlicher Datensätze auf das Vorhersageergebnis

vor dem Hintergrund der unterschiedlichen Beanspruchungsfälle studieren zu können, wurde

eine systematische Vorgehensweise bei der Parameteridentifizierung erarbeitet. Als Ergeb-

nis dieser Studie lässt sich schließen, dass die simultane Berücksichtigung von Kriech- und

Ermüdungsexperimenten die besten Vorhersageergebnisse insbesondere bei den betriebs-

ähnlichen Beanspruchungsabläufen liefert, wobei längerzeitige Kriechexperimente schon

Berücksichtigung fanden. Ein weniger akzeptables Ergebnis wurde bei der Zugrundelegung

von kurzzeitigen mehrstufigen Zug-Druck-Relaxationsversuchen erzielt. Entsprechende Ver-

suche beinhalten eine Überlagerung von elastisch-plastischer Verformung und Kriecheffek-

ten durch entsprechend lange Haltezeiten und sind insgesamt weniger zeit- und kosteninten-

siv als die o.g. Standardversuche. Der Vorteil liegt hier in der Ermittlung von Daten anhand

einer Probe, wodurch sich naturgemäß Streuungen von Werkstoffeigenschaften deutlich

verringern lassen, wie sie beispielsweise durch inhomogene Werkstoffeigenschaften infolge

Materialentnahme aus Bauteilen vorkommen können aber auch die experimentelle Randbe-

dingungen durch Datenermittlung an mehreren Proben.

Bei der Berücksichtigung von Standardversuchen wie Zug-, Kriech- und Ermüdungs-

versuchen, die üblicherweise aus Arbeiten zur Werkstoffqualifizierung vorliegen, trat aber die

Schwierigkeit auf, dass die vorhandenen Datensätze aus solchen Experimenten nicht hinrei-

chend konsistent waren, also beispielsweise unterschiedliche Werte für den Elastizitätsmo-

dul bzw. Streuungen in den Messdaten aufwiesen. Dieses Problem lässt sich prinzipiell

durch engere Vorgaben bei der Datengenerierung einerseits aber auch durch eine Nach-

auswertung im Sinne eines Abgleichs über alle experimentellen Daten andererseits lösen.


67

Hier wird also vorgeschlagen, eine Glättung der experimentellen Daten durchzuführen und

eine anschließende analytische Beschreibung beispielsweise des Kriechverhaltens vorzu-

nehmen. Diese Arbeiten erwiesen sich aber als zu zeitaufwändig und wurde trotz intensiver

Bemühungen schließlich zurückgestellt.

Im Hinblick auf die Nachrechnung von Beanspruchungsfällen mit betriebsnahe niedrigen

Spannungen unter 100 MPa verbleibt aber eine zukünftige Aufgabe, die statische Erholung

durch Berücksichtigung von langzeitigen Kriechexperimenten besser zu beschreiben. Ferner

ist die isotrope Entfestigung im Materialmodell und bei der Identifikation zu aktivieren, was

bisher wegen der nicht signifikant ausgeprägten zyklischen Entfestigung bei den biaxialen

Kriechermüdungsversuchen zurückgestellt worden war.

Die Parameteridentifizierung für die Schädigungsgrößen α und q des Schädigungsansatzes

nach Lemaitre erfolgte nur in grober Näherung. Eine wichtige Zukunftsaufgabe besteht in der

Entwicklung geeigneter Ansätze für die bei Kriechermüdungsbeanspruchung wirkenden un-

terschiedlichen Schädigungsmechanismen für Ermüdung ausgehend von der Proben- bzw.

Bauteiloberfläche und für Kriechen vom Werkstoffinnern. Hierfür sind Experimente von min-

destens 10.000 h an Kerbproben erforderlich, um Schädigungsmechanismen unter langzeiti-

ger Beanspruchung erzeugen zu können.

Generell ist bei der Parameteridentifikation festzuhalten, dass sich mit einem gemeinsamen

Parametersatz sowohl Kriech- als auch Kriechermüdungsbeanspruchungsfälle nachrechnen

lassen.

Bei der Nachrechnung der einaxialen Verifikationsexperimente konnte bei der Berücksichti-

gung einer einfachen Schädigungsbeschreibung nach Lemaitre bereits eine akzeptable Vor-

hersage für zeitabhängige Rechnungen erzielt werden. Die Nachrechnungen der mehraxia-

len Verifikationsexperimente erfolgte in dieser Arbeit zum Teil ohne Schädigung und be-

schränkt sich auf die Betrachtung der Verformung. Vorteilhaft sei aber angemerkt, dass sich

das Materialmodell schon mit näherungsweise bestimmten Schädigungsparametern auch für

die Lokalisierung kritischer Bauteilstellen einsetzen lässt. Bei der Identifikation von Schädi-

gungsparametern ergeben sich hohe Rechenzeiten. Daher sind hier zukünftig geeignete

Extrapolationsmethoden zu entwickeln und für den vorliegenden Fall von Kriech- und

Kriechermüdungsbeanspruchung zu erproben. Die im Rahmen dieser Arbeit entstandene

Schrittweitensteuerung zur Lösung von Differenzialgleichungen erwies sich als sehr effektiv

hinsichtlich Rechenzeitverkürzung.

Die zur Verifikation eingesetzte biaxiale Prüftechnik an Kreuzproben erwies sich gegenüber

der Verwendung von Kerbproben als besonders vorteilhaft, weil hierbei eine Prüfzone mit

homogenem Spannungs-Dehnungsfeld vorliegt und die Initiierung von Anrissen leicht zu-


68

gänglich detektierbar ist. Ein weiterer bauteilbezogener Vorteil betrifft die Abbildung der

Kriechermüdungsbeanspruchung durch Dehnungsregelung.

Die Erfahrungen mit dem Materialmodell lassen die Anwendung auf andere Werkstoffe in der

Kraftwerkstechnik erwarten. Das Materialmodell eignet sich zur Erweiterung auf anisotrope

Verformung und Schädigung, wie sie beispielsweise bei Einkristallwerkstoffen vorliegt. Eine

wichtige Erweiterung betrifft die Entwicklung von Methoden zur Identifizierung von Material-

parametern für Stahlsorten.

Schließlich sei darauf hingewiesen, dass das vorliegende Materialmodell auch für den

Grenzfall der Kriechbeanspruchung, nämlich der veränderlichen Kriechbeanspruchung, im

Rahmen einer parallelen Forschungsvorhabens am Beispiel des Stahles vom Typ

X12CrMoWVNbN10-1-1 verifiziert wurde.

8 Zusammenfassung

69

8 Zusammenfassung

In diesem Vorhaben wurde das Ziel verfolgt, eine robuste, thermodynamisch konsistente

Beschreibung des inelastischen Verhaltens am Beispiel eines warmfesten Schmiedestahles

vom Typ 28CrMoNiV4-9 in Form eines elastoviskoplastischen Materialmodells zur Le-

bensdauerberechnung und Optimierung von Hochtemperaturbauteilen des Kraftwerks- und

Anlagenbaues unter praxisnaher Kriech- und Kriechermüdungsbeanspruchung zu erstellen.

Das Materialmodell soll in der Lage sein, Kriechbeanspruchung und Kriechermüdungsbean-

spruchung zu erfassen und Verformung sowie Lebensdauer zu beschreiben.

Im Vordergrund der theoretischen Arbeiten standen die Anpassung eines Materialmodells an

die vorliegende komplexe Beanspruchung und Fragen der Entwicklung und Erprobung eines

geeigneten Verfahrens zur Parameteridentifikation sowie die Entwicklung einer UMAT für

Finite-Elemente-Berechnungen. Das Modell berücksichtigt Ansätze über kinematische und

isotrope Verfestigung sowie isotrope Schädigung und ist für 3D-Simulation konzipiert. Im

Einzelnen handelt es sich um ein konstitutives Materialmodell für elastisch-viskoplastische

Deformation und isotrope Schädigung und beruht auf dem Konzept der effektiven Spannung

kombiniert mit dem Prinzip der verallgemeinerten Energieäquivalenz.

Zur Identifizierung der Materialparameter wurde ein zweistufiges Verfahren entwickelt. Hier-

bei wird zunächst mit der Methode der Neuronalen Netze ein Parametervektor ermittelt, der

schließlich als Startwert für die Bestimmung eines endgültigen Parametervektors mithilfe der

Nelder-Mead-Methode zugrunde gelegt wird. Dabei unterstützt ein speziell entwickeltes Pro-

grammpaket den Anwender bei der simultanen Berücksichtigung unterschiedlicher Ver-

suchsarten wie Kriech- und Ermüdungsversuche. Die Identifikation der Materialparameter

wurde im Wesentlichen auf der Basis vorhandener 1D-Materialdaten durchgeführt werden.

Den Schwerpunkt der experimentellen Arbeiten bildete die Durchführung der Verifikations-

versuche an Rundkerbproben und Kreuzproben. Hierfür stand ein servohydraulisches Biaxi-

al-Prüfsystems für Kreuzproben zur Verfügung. Spezielle Herausforderungen bestanden in

der Optimierung der Temperaturverteilung in der Prüfzone.

Bei den nach Vorgaben der Industrie ausgewählten Beanspruchungsmustern handelt es sich

um Kriechermüdungsexperimente mit einem betriebsähnlichen Zyklus, welcher eine Druck-

haltephase entsprechend dem Anfahrvorgang und eine Zughaltephase entsprechende dem

Abfahrvorgang sowie eine Betriebshaltephase entsprechend stationärem Betrieb berücksich-

tigt. Die erzielten Beanspruchungsdauern in den Verifikationsexperimenten liegen bei 2000

bis 3000 h unter Variation der die Kriechschädigung beeinflussenden Haltezeit sowie der

Beanspruchungshöhe. Hierbei erwies sich insbesondere die dehnungsgeregelte Abbildung

8 Zusammenfassung

70

einer biaxialen Kriechermüdungsbeanspruchung mithilfe von Kreuzproben von Vorteil hin-

sichtlich der Nähe zur beheizten Oberfläche von massiven Hochtemperaturbauteilen.

Wegen der beschränkten Abmessungen des Versuchsmaterials wurde eine spezielle Tech-

nik zum Einschweißen von Scheiben aus dem Versuchswerkstoff in Kreuzproben aus ähn-

lichem Werkstoff erfolgreich eingeführt.

Insgesamt ließen sich mit dem Materialmodell zufriedenstellende Vorhersageergebnisse für

mehraxiale Kriech- und Kriechermüdungsbeanspruchung mit einem optimierten Parameter-

satz erzielen. Bei der Parameteridentifizierung konnten aufgrund einer systematischen Vor-

gehensweise wichtige Aussagen und Empfehlungen zur Anwendbarkeit und Vorhersagege-

nauigkeit gewonnen werden. Ferner ergaben Sensitivitätsstudien Hinweise über Unsicher-

heiten in der Vorhersage.

Zusammenfassend konnte mit der hier durchgeführten Arbeit das Potenzial dieses fortschritt-

lichen Materialmodells gezeigt werden. Zukünftige Erweiterungen betreffen den Schädi-

gungsansatz in Wechselwirkung mit langzeitigen mehrachsigen Kriechermüdungsexperimen-

ten. Der Vorteil für die industrielle Anwendung liegt in der vergleichsweise geringen Anzahl

von Experimenten zur Bestimmung der Materialparameter und in der höheren Flexibilität

dieses Materialmodells für einen weiten Bereich von Beanspruchungsparametern.

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10 Bilder und Tabellen

78


Bild 1. Schematische Darstellung einer Dampfturbinenwelle mit verschiedenen Belastungen und den sich daraus entwickelnden Spannungen [1]

0 t t

A

u

εεεε

Bruch

I II IIITechnische Kriechbereiche

.

u

pmin

1

εεεε

0

εεεεεεεε

=(t=0)+e εεεεi

a)

PrüftemperaturPrüfspannung

T=konst.σσσσ =konst.0

tt12 23

Bild 2. Schematische Darstellung einer Kriechkurve aus dem Zeitstandversuch, Aufteilung in Primär-, Sekundär- und Tertiärkriechbereich, plastische Dehnung εp= εi + εf mit der plasti-schen Anfangsdehnung εi und der Kriechdehnung εf

p-Spannung

SchaufelfliehkraftWärmespannung

Wärmespannung im Schaufelgrund

Fliehkraftspannung

Spannungsfeld in Wellenmitte mit Ungänze

p-Belastung

Temperatur-verteilung

y

Tσ

σ

kr

y

Ti

a

T∆

.σ∆Tkα ∆Tσ

y

a∆a

2a


79

Zeitstand-Einzelprüfmaschine (EPM) (kontinuierliche Dehnungsmessung)

Gesamtdehnung εt (gemessen bei T)

εεεεt = εεεεe + εεεεi + εεεεf

Zeitstand-Vielprobenprüfmaschine (VPM) εεεεper wird gemessen bei RT

Ermittlung der Kriechdehnung εf aus

der permanenten Dehnung εper

εεεεf = εεεεper - εεεεi + εεεεk

Bild 3. Schematische Darstellung der Dehnungen im Kriechversuch, T = Konst.

Bild 4. Verschiedene Formen der zyklischen Beanspruchung, ohne (a) und mit Haltezeit (b) sowie betriebsähnlicher Zyklus (c), nach [10, 14, 24, 25]

0

σσσσ0

εεεε

εεεεεεεεe εεεεεεεε

i f

p

εεεεt

εεεε εεεε εεεεeper k

σσσσ

t = 0 t = t 1


80

Bild 5. Anrisskennlinien mit symmetrischer Haltezeit (Haltezeitsumme 0,1h) und für betriebs-ähnliche Dehnwechselbeanspruchung mit Haltezeitsumme 3,2 und 10 h, 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C

Bild 6. Einfluss der Beanspruchungshöhe, hier der Dehnungsschwingbreite ∆ε, auf die zykli-sche Entfestigung bei langzeitiger betriebsähnlicher Dehnwechselbeanspruchung, Zyklus-dauer tz = 3,2 h, 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C


81

100

1000

10000

100000

100 1000 10000 100000NA**

NA

NA'

( ) T(oC)500525

Einstufen-versuche

525 Dreistufen-versuche

28 CrMoNiV 4 9, 216e

Bild 7. Gemessene Anrisswechselzahl NA bei isothermer betriebsähnlicher dehnungsgere-gelter Beanspruchung und Nachrechnung mit SARA (berechnete Anrisswechselzahl NA**), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C

Bild 8. Komponenten des Spannungstensors zur eindeutigen Beschreibung des Spannungs-zustandes

σ33

σ22

σ11

τ31

τ32

τ12

τ13 τ23

τ21

x1 x2

x3


82

F

R

dX dx

r Rt

F

R

dX dx

r Rt

Bild 9. Veranschaulichung der Bewegung der Punkte eines Körpers unter der Wirkung einer Deformation mithilfe des Deformationsgradienten durch Abbildung des Referenzkonfiguration Rr in die Momentankonfiguration Rt

Bild 10. Veranschaulichung der Fließfläche im zweidimensionalen Spannungsraum, wo sie eine Ellipse darstellt, Vergrößerung der Fließfläche bei der isotropen Verfestigung (a) - (d) und ihre Verschiebung bei der kinematischen Verfestigung (e)

a) b)

c) d)

e)

Fließfläche


83

Bild 11. Materialverhalten ohne Abhängigkeit (elastisch (a), plastisch (b)) und mit Abhängig-keit von der Belastungsgeschwindigkeit (viskoelastisch (c), viskoplastisch (d)) [71]

Bild 12. Grenzfall der Kriechverformung bei Abnahme der Kriechgeschwindigkeit gegen Null (a) und gegen endlichen konstanten Wert (b), schematisch

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

plastisch elastisch

viskoelastisch

viskoplastisch

Gleichgewichts-

zustand ( 0→ε& )

0>ε&

b) a)

d) c) 0>ε&

a)

εεεε

b)

t

εεεε

t


84

Bild 13. Modellvorstellungen über Mikroschädigungsmechanismen bei Kriechen und Ermü-den dargestellt an einfachen, der Methode der Dehnungsschwingbreitenaufteilung zugeord-neten Dehnwechselzyklen (schematisch), nach [88]


85

Bild 14. Poren und Mikrorisse nach isothermer Kriechermü-dungsbeanspruchung von 31300 h Dauer, 28CrMoNiV4-9, 216e, (Tmax = 525°C, ∆ε = 0.54%, tz = 32 h, Zyklus gemäß Bild 4 c), nach [64]

Bild 15. Gegenüberstellung des fik-tiven Materials ohne Schädigung und des realen Materials mit Schä-digung [67, 68]


86

• n-1 Eingänge des Neurons

= Eingangsaktivitäten

• Gewichtung

• Intensität

• Aktivität

• Aktivierungsfunktion

ixiwiixw

∑−

=

==1n

1i

Tii xwxwz

)z(Sy =

Neuron • n-1 Eingänge des Neurons

= Eingangsaktivitäten

• Gewichtung

• Intensität

• Aktivität

• Aktivierungsfunktion

ixiwiixw

∑−

=

==1n

1i

Tii xwxwz

)z(Sy =

Neuron

Bild 16. Mathematisches Modell eines Neurons (a), Aktivierungsfunktion und Typ des Neu-rons (b) und Verknüpfung von Neuronen zu einem Neuronalen Netz [83]

a)

b)

c)


87

Bild 17. Übersicht über bauteilähnlichen Proben zur Verifikation konstitutiver 3D-Werk-stoffbeschreibungen

Bild 18. Wirkung unterschiedlicher Dehnungsverhältnisse Φ auf die Anrisswechselzahl in Ermüdungsversuchen, 1%CrMoV, T=550 °C [54]


88

Rz 6,3

Rz 1

00

Rz 1

00

0

0+0,551

45°

1

-0,1100

R10

-0,1

ø16

,2

ø20

M2

4x2

(~35)

Z

d

0,6

Z 5:1

2R

2R

0d = 12,0 0,01 mm±

±

αk

R = 1,5 0,05 mm 2

= 2,3

1,5 Z 5:1

R 2

0d = 12,0 0,01 mm±

±

αk

R = 1,5 0,05 mm 2

= 2,3

(~223)

120

39

M30

6g

ød 0

Z

(~35)

-0,6 -0,5 0,0 0,5-400

-200

0

200

400

εmeasured

, ε22

(%)

σ22

(MPa)

T=600 °CK

t=2,3

N=2

measured calculated

ε22

sensor

(strain pecker)

ε22

sensor

(strain pecker)

a) b)

c)

Bild 19. Rundkerbproben (Kt = 2,3) für die Verifikationsversuche (a), Probe mit montiertem Miniaturdehnungsaufnehmer (b) und Detailaufnahme mit keramischen Messmarken zur Kon-trollmessung der Verformung am Probenschaft (c)

c)

b)

a)

d)


89

Bild 20. Einzelprüfmaschine zur Durchführung der Kriechversuche an Kerbproben mit ange-schlossener Wechselstrompotenzialsonde und Miniaturdehnungsaufnehmer (Bild 19 c)


90

Bild 21. Rechnergesteuerte Einzelprüfmaschine mit Spindelantrieb zur Durchführung der Kriech-ermüdungsversuche an Kerbproben mit Messung der axialen Verformung im Kerbgrund mit Hilfe eines Miniaturdehnungsaufnehmers (Bild 19 c)


91

Bild 22. Prüfsystem zur Durchführung statischer und zyklischer Experimente an Kreuzproben (a), Bauart INSTRON / IfW Darmstadt, Probe mit Einspannung und Extensometer (b, c)

TE

TE

test zone

extenso- metry εA,εB

B

A

y

x

Bild 23. Kreuzprobe zur Durchführung von biaxialen Kriech- und Kriechermüdungsversuchen (a) und Spannungsverteilung aus elastischer Finit - Element - Rechnung zur Optimierung der Probengeometrie (b) und Kreuzprobe mit Indexbohrung (c)

a) b)

c)

a) b)

c)


92

Bild 24. Speziell entwickelte Induktionsspule zur Erwärmung der Kreuzprobe

Radius an Prüfzone

R24,26

Bild 25. Beispiel der Kontur einer Kreuzprobe in der Prüfzone (a) und Übergangsradius (b)

b)

a)


93

ø15

ø36

,8

5

RTE

MTE

Bild 26. Anordnung der Thermelemente an einer Kalibrierprobe, MTE Mantelthermelemente, RTE Regelthermelemente

-3,5 +1,3

-2,3

+4,4

L0=13m

Achse

A1

Achse

B1

Achse

B2

Achse

A2

-0,5

Bild 27. Beispiel einer Temperaturverteilung in der Prüfzone der Kreuzprobe bei 525 °C


94

Bild 28. Beispiel einer Temperaturverteilung in der Prüfzone und im Übergangsbereich zu den Probenarmen gemessen mit Hilfe einer CCD-Kamera

0,0 0,1 0,20

100

200

300

400

500

600

t [h]

T [°C]

0,0 0,1 0,20,0

0,2

0,4

0,6

0,8

t [h]

εεεε [%]

Achse A Achse B

Bild 29. Erwärmungskurve (a) einer Kreuzprobe und mit Hilfe eines speziellen biaxialen Ex-tensometers (Lo = 13 mm) gemessene thermische Ausdehnung (b)

a) b)


95

190

50

A

A

8

50

12

M8

R2,5

12

60

22

ø5

~29

Bild 30. Die zur Kreuzprobenfertigung speziell entwickelte und erfolgreich erprobte Technik, Elektronenstrahlschweißen des Versuchswerkstoffs 28CrMoNiV4-9 in vier Schenkeln aus artverwandtem Stahl (a) und Kleinprobe zur Prüfung der Schweißnahtgüte (b)

a) b)


96

0 36 72 108-0,60

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,40

0,60

t [h]

εεεε

[%]

(dε/dt)1 = 0,06 %/min

(dε/dt)2 = 0,6 %/min

(dε/dt)3 = 6,0 %/min

0 10 20 30 40-40-30-20-10

010203040

F[kN]

t [h]

0 10 20 30 40-500

-250

0

250

500

σσσσ

[MPa]

(dε/dt)1 = 0,06 %/min

(dε/dt)2 = 0,6 %/min

(dε/dt)3 = 6,0 %/min

t [h]

-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6-500

-250

0

250

500

(dε/dt)1 = 0,06 %/min

(dε/dt)2 = 0,6 %/min

(dε/dt)3 = 6,0 %/min

σσσσ

[MPa]

εεεε [%]

Bild 31. Ergebnis eines gestuften einachsi-gen Zug-Druck-Relaxationsversuchs mit Hal-tezeiten zur Parameteridentifizierung an einer zylindrischen Probe, Dehnung-Zeit-Verlauf mit unterschiedlichen Dehnungsraten (a), Kraft-Zeit-Verlauf (b), entsprechender Spannung-Zeit-Verlauf (c) und Spannung-Dehnung-Hystereseschleifen (d), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C

d)

b) c)

a)


97

0 36 72 108-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6εεεε

[%]

t [h]

(dε/dt)1=0,06 %/min

(dε/dt)2=0,60 %/min

(dε/dt)3=6,00 %/min

0 10 20 30 40

-100

-50

0

50

100F

[kN]

t [h]

(dε/dt)1=0,06 %/min

(dε/dt)1=0,60 %/min

(dε/dt)1=6,00 %/min

-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6-100

-50

0

50

100F

[kN]

εεεε [%]

(dε/dt)1=0,06 %/min

(dε/dt)2=0,60 %/min

(dε/dt)3=6,00 %/min

Bild 32. Entsprechend zu Bild 31 durchge-führte gestufte biaxiale Zug- Druckrelaxati-onsversuche mit Haltezeiten an einer Kreuz-probe zur Verifikation, Dehnung-Zeit-Verlauf mit unterschiedlichen Dehnungsraten (a), Kraft-Zeit-Verlauf (b) und Kraft-Zeit- Hyste-reseschleifen (c), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C

100

1000

1 10 100 1.000 10.000 100.000

tu [h]

σ

σ

σ

σ

[MP

a]

�� Kerbprobe Kt = 2,3

AG

AG

AG500

Zeitstandkurve ungekerbt

Zeitstandkurve gekerbt Kt = 4,5

AG

Bild 33. Unter Kriechbeanspruchung an Kerbproben erzielte Laufzeiten, Probe ohne Bruch ausgebaut (AG), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C

c)

a) b)


98

100

1000

1 10 100 1.000 10.000 100.000

tu [h]

σ

σ

σ

σ

[MP

a]

�� Kerbprobe Kt = 2,3

B500

Zeitstandkurve ungekerbt

Zeitstandkurve gekerbt Kt = 4,5

Bild 34. Unter Kriechbeanspruchung an Kerbproben erzielte Laufzeiten, Probe gebrochen, X21CrMoV12-1, T = 550 °C


99

T

F

∆T

0

F

F a1F a2

Tmax

F a3

t1 t2

tZ

t3 t4

t

∆F

T

F

∆T

0

F

F a1F a2

Tmax

F a3

t1 t2

tZ

t3 t4

t

∆F

Z4

Z3

Z2

Z1

t0,075 t

t0,15 t

t0,7 t

t0,075 t

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

F& 0,06%/min

0 1 2 3 4-50

-25

0

25

50

t [h]

F[kN]

AAG525kb1 AAG525kb3 AAG525kb4 AAG525kb8

Bild 35. Kraft-Zeit-Verlauf zur Durchführung der kraftgesteuerten isothermen Kriechermü-dungsversuche an Kerbproben, 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C, schematischer Verlauf (a) und Vorgabezyklen, Versuchsparameter gemäß Tabelle 7 (b)

a)

b)


100

0 2 4 6 8 10-50

-25

0

25

50

t [h]

F[kN]

0 2 4 6 8 10-4

-2

0

2

4

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

εεεε [%]

t [h]

∆∆∆∆l [µm]

Bild 36. Beispiel eines gemessenen Kraft- Zeitverlaufs (a), resultierende axiale Gesamtver-längerung (b) und unter Bezugnahme auf die Anfangsmesslänge errechneter Axial-Gesamtdehnung im Kerbgrund, 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C

a) b)


101

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

0 500 1000 1500 2000 2500 3000t [h]

εεεεmax

εεεεmin

εεεεm

Nr. Probe N [-] t [h] T [°C] ∆σn [MPa] tHZ [h]

3 AAG525kb3 406 520 525 756 14 AAG525kb4 328 1.706 525 756 3

ε [%]

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

0 500 1000 1500 2000 2500 3000t [h]

Nr. Probe N [-] t [h] T [°C] ∆σn [MPa] tHZ [h] ___

1 AAG525kb1 699 832 525 504 18 AAG525kb8 760 2.430 525 504 3

ε [%]

εεεεmax

εεεεmin

εεεεm

NA** = tA** / tZ=2.350 / 3,19=721

tA** = 2.350 h

∆ε = 0,5%

Bild 37. Gemessener zeitlicher Verlauf der maximalen Dehnungsausschläge (εmax, εmin) so-wie der Mitteldehnung (εm) der Kriechermüdungsversuche an Kerbproben, hohe Span-nungsschwingbreite (a) und niedriger Spannungsschwingbreite (b), Werkstoffbezeichnung 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C

b)

a)


102

100 1000 5000100

200

400

600

800

1000

N [-]

∆σ∆σ∆σ∆σ

[MPa]3(B)4(A) 3(A)

1(A)8(A)

tHZ = 1 h tHZ = 3 h

100 1000 50000,1

0,2

0,4

0,6

0,81

2

4

N [-]

∆ε∆ε∆ε∆ε

[%]

tHZ

(h) 3 1

4(A) 3(A)

1(A)8(A)

tHZ = 1 h tHZ = 3 h

100 1000 50000,1

0,2

0,4

0,6

0,8

1

N [-]

∆ε∆ε∆ε∆ε [%]

tHZ

(h) 3 1

4(A) 3(A)

1(A)8(A)

tHZ = 1 h tHZ = 3 h

Bild 38. Ergebnisse der bis Anriss durchge-führten Kriechermüdungsversuche an Kerb-proben gemäß Bild 37, Tabelle 7, 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C, Spannungs-schwingbreite über Anrisswechselzahl (a), Dehnungsschwingbreite über Anrisswechsel-zahl elastische Umrechnung (b) und Um-rechnung über Neuber (c)

c)

a) b)


103

Bild 39. Anrissbefunde nach Kriechermü-dungsbeanspruchung an einer Kerbprobe (AAG525kb1), Laufzeit 832h, (Tabelle 7), Übersichtsaufnahme (a), Rissspitze bei 1000-facher Vergrößerung (b) und bei 5000-facher Vergrößerung (c)

c)

a) b)


104

Bild 40. Ergebnisse eines bis Anriss durchgeführten Kriechermüdungsversuchs an einer Kerbprobe gemäß Bild 35 a, Tabelle 7, X 21CrMoV12-1, T = 550°C


105

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Achse A Achse B

εεεε [%]

t [h]

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-100

-50

0

50

100

Achse A Achse B

F [kN]

t [h]

-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4-100

-50

0

50

100

Achse A Achse B

F [kN]

εεεε [%]

0 100 200 300 400-100

-50

0

50

100F

[kN]

Fmin

Fm

Fmax

Achse A Achse B

N [-]

Bild 41. Ergebnisse eines Kriechermüdungsversuchs unter Dehnungsregelung an einer Kreuzprobe (AAG525df1) symmetrische Belastung φε = 1, Dehnungs- Zeitverlauf (a), Kraft- Dehnungsverlauf (b), Kraft- Dehnungs-Hysteresisschleifen (c) und Verlauf der zyklischen Entfestigung (d), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C, Versuchsparameter siehe Tabelle 8

c) d)

a) b)


106

0 1 2 3 4-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Achse A Achse B

εεεε [%]

t [h]

0 1 2 3 4-100

-50

0

50

100

Achse A Achse B

F [kN]

t [h]

-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4-100

-50

0

50

100

Achse A Achse B

F [kN]

εεεε [%]

0 100 200 300 400 500 600-100

-50

0

50

100

Achse A Achse B

N [-]

F [kN]

Fmin

Fm

Fmax


c) d)

a) b)


107

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Achse A Achse B

εεεε [%]

t [h]

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-100

-50

0

50

100

Achse A Achse B

F [kN]

t [h]

-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4-100

-50

0

50

100

Achse A Achse B

F [kN]

εεεε [%]

0 500 1000 1500-100

-50

0

50

100

Achse A Achse B

N [-]

F [kN]

Fmin

Fm

Fmax


c) d)

a) b)


108

0 1 2 3 4-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Achse A Achse B

εεεε [%]

t [h]

0 1 2 3 4-100

-50

0

50

100

Achse A Achse B

F [kN]

t [h]

-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4-100

-50

0

50

100

Achse A Achse B

F [kN]

εεεε [%]

0 100 200-100

-50

0

50

100

Achse A Achse B

N [-]

F [kN]

Fmin

Fm

Fmax


c) d)

a) b)


109

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Achse A Achse B

εεεε [%]

t [h]

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-100

-50

0

50

100

Achse A Achse B

F [kN]

t [h]

-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4-100

-50

0

50

100

Achse A Achse B

F [kN]

εεεε [%]

0 100 200 300 400 500 600-100

-50

0

50

100

Achse A Achse B

N [-]

F [kN]

Fmin

Fm

Fmax

Bild 45. Ergebnisse eines Kriechermüdungsversuchs unter Dehnungsregelung an einer Kreuzprobe (AAG525df3) symmetrische Belastung φε = 0,5, Dehnungs- Zeitverlauf (a), Kraft- Dehnungsverlauf (b), Kraft- Dehnungs-Hysteresisschleifen (c) und Verlauf der zyklischen Entfestigung (d), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C, Versuchsparameter siehe Tabelle 8

a) b)

c) d)


110

102 103 104 1050,1

0,2

0,4

0,6

0,8

1∆ε∆ε∆ε∆εx

[%]

-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0

NA

[-]

Ohnami Φ

ε=1,0, t

z = 1,33 h, t

A ≈ 530 h, ∆ε

x=0,60 %

Φε=1,0, t

z = 1,23 h, t

A ≈ 2.055 h, ∆ε

x=0,42 %

Φε=0,5, tz = 1,33 h, tA ≈ 830 h, ∆ε

x=0,60 %

Φε=1,0, tz = 3,53 h, tA ≈ 1.016 h, ∆ε

x=0,60 %

Φε=1,0, tz = 3,43 h, tA ≈ 2.230 h, ∆ε

x=0,42 %

Φε

102 103 104 105

0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

1

NA

[-]

∆ε∆ε∆ε∆εx

[%]

einachsig betriebsähnlich, tz=1,0 h

einachsig betriebsähnlich, tz=3,2 h

Φε=1,0, tz = 1,33 h, tA ≈ 530 h, ∆ε

x=0,60 %

Φε=1,0, tz = 1,23 h, tA ≈ 2.055 h, ∆ε

x=0,42 %

Φε=1,0, tz = 3,53 h, tA ≈ 1.016 h, ∆ε

x=0,60 %

Φε=1,0, tz = 3,43 h, tA ≈ 2.230 h, ∆ε

x=0,42 %

Bild 46. Ergebnisse der Kriechermüdungsversuche an Kreuzproben, Vergleich mit Versu-chen ohne Haltezeit nach Ohnami [54] (a) und Vergleich mit einachsigen Kriechermüdungs-versuchen mit vergleichbarer Haltezeitsumme von 1 und 3 h nach [23] (b), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C

a) b)


111

Bild 47. Anrissbefunde nach Kriechermü-dungsbeanspruchung an einer Kreuzprobe (AAG525df2), Laufzeit 2.230h (Tabelle 8) Übersichtsaufnahme (a) - (b) und Detailauf-nahme im Bereich der Rissspitze (c), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C

c)

a) b)


112

0 50 100 150 200 250 3000

1

2

3

4

5

t [h]

εεεε

[%] Experiment 70,0 kN 80,5 kN

1 10 100 10000,01

0,1

1

10

t [h]

εεεε

[%]

Experiment 70,0 kN 80,5 kN

0 50 100 150 200 250 3000

1

2

3

4

5

t [h]

εεεεf


1 10 100 10000,01

0,1

1

10

t [h]

εεεεf


Bild 48. Ergebnisse der biaxialen Kriechbeanspruchung an der Kreuzprobe mit gleicher Last auf beiden Achsen von F = 70 kN im ersten Versuch und F = 80,5 kN im zweiten Versuch, gemittelte Gesamtdehnung der Achsen A und B, lineare (a) und logarithmische Darstellung (b), gemittelte Kriechdehnung der Achsen A und B, lineare (c) und logarithmische Darstel-lung (d), 28CrMoNiV4-9, T = 525°C

b) a)

d) c)


113

UMAT

FEMABAQUS

Nachrechnung• Kriechen• Kriechermüdung

Vergleich

Verformungsdaten:

und

Lebensdauerdaten:

Anwender (Industrie):

• Kerbprobe• Kreuzprobe

)t(,εε−σ ExprimentelleDaten

ParameteridentifikationExperiment

UMATFEM

ABAQUS

Berechnung mit

Bauteilfällen

BBA t,N,N

Bild 49. Ablaufplan der Implementierung des Materialmodells als benutzerdefinierte Subrou-tine UMAT im Finite-Elemente-Programm ABAQUS und Anwendung durch die Industrie

Materialmodell (Tabelle 1, Kap. 2)

1D-Dgl., numerische Lösung der Evolutionsgln.

(MATLAB-Bibl.)

"3D-Dgl.", numerische Lösung der Evolutionsgln. (eigene Bibliothek)

Verfahren II

ScherversuchZugversuch

Ermüdungsversuch

1-Element-Simulation für Scherversuch, Zugversuch

Ermüdungsversuch

σ σ σ σ = f(εεεε ,t,P) εεεε = f(σσσσ,t,P)σ σ σ σ = f(εεεε ,t,P)

Vergleich der Modellantworte für die Verfahren I und II

Ergebnis: Bei Übereinstimmung führt UMAT zum gleichen Ergebnis wie

Verfahren I

Verfahren I

Bild 50. Unterschiedliche Verfahren zur Vorgehensweise bei der Erprobung des Material-modells in Verbindung mit der Parameteridentifizierung (Bild 49)


114

1-Element-Simulation einfacher Versuche (3D):Zugversuch, Scherversuch,

glatte Proben

1-Element-Simulation komplizierter Versucheunter 3D-Beanspruchung:

Kriechversuch, Zyklischer Versuch,

Standardzyklus, Zyklus mit Haltezeit,

betriebsähnlicher Zyklus

Parameteridentifikation

ABAQUS, UMAT, FE-Netzgenerierung

i.O.?

i.O.?

Parameteridentifikation verfeinern

Parameterident. verfeinern

nein

ja

nein

jaProben-, Bauteilberechnung

1-Element-Simulation einfacher Versuche (3D):Zugversuch, Scherversuch,

glatte Proben

1-Element-Simulation komplizierter Versucheunter 3D-Beanspruchung:

Kriechversuch, Zyklischer Versuch,

Standardzyklus, Zyklus mit Haltezeit,

betriebsähnlicher Zyklus

Parameteridentifikation

ABAQUS, UMAT, FE-Netzgenerierung

i.O.?

i.O.?

Parameteridentifikation verfeinern

Parameterident. verfeinern

nein

ja

nein

jaProben-, Bauteilberechnung

Bild 51. Vorgehensweise bei der Simulation einfacher und komplizierter Beanspruchungsfälle anhand eines 1-Element-Modells bei der Parameteridentifzierung


115

explizit implizit

Euler (vorwärts) Runge-Kutta Euler (rückwärts)

Differenzialgleichungslöser

Stabilität nur mit kleinen Schrittweiten, nur

Ordnung 1

Stabilität nur mit kleinen Schrittweiten, aber hohe Ordnung 4 (genauer!),

höhere Ordnung möglich, Schrittweitensteuerung

Stabilität bei größeren Schrittweiten, nur

Ordnung 1, erfordert itrative Lösung eines

Gleichungssystems (z.B. mit Newton-Verfahren, längere Rechenzeit!)

)z,t( 00

)Z,t( 11

)Z,t( 22

)Z,t( 33

0t 1t 2t 3t t

z

)z,t( 00

)Z,t( 11

)Z,t( 22

)Z,t( 33

0t 1t 2t 3t t

z

]t,t[t EA∈

EN210A tt...tttt =<<<<=

0tt:h i1ii >−= +

iiii )t()t( zzZZ =≈=

))t(z,t(z if=&

),t(h iiii1i ZfZZ ⋅+=+⇒

Beispiel:

explizites Euler-Verfahren

Bild 52. Verfahren zur Lösung von Differenzialgleichungen angewandt auf die Evolutionsglei-chungen des Materialmodells (a) und Abhängigkeit der Lösung und deren Stabilität von der Schrittweite (b)

a)

b)


116

Lernen des Zusammenhangs zwischen den Daten und

den Materialparametern

Variation der Materialparameter

DatenNeuronales Netz(nicht trainiert)

Ermitteln der Materialparameter aus den Messwerten und dem gelernten Verhalten

Materialparameter für den Werkstoff

MesswerteDas trainierte

Neuronales Netz

Lernen des Zusammenhangs zwischen den Daten und den Materialparametern

Variation der Materialparameter

DatenNeuronales Netz(nicht trainiert)

Ermitteln der Materialparameter aus den Messwerten und dem gelernten Verhalten

Materialparameter für den Werkstoff

MesswerteDas trainierte

Neuronales Netz

Bild 53. Anwendung des Neuronalen Netzes bei der Ermittlung der Modellparameter, Trainie-ren anhand der Musterdaten (a) und Identifikation anhand der Versuchsdaten (b)

a)

b)


117

σσσσ

00

εεεε

T=const.

t

t

εεεε

σσσσ

x

Parametervektor

Trainingsmuster

NNETxi

xi

ti, εεεεi, σσσσ

Erzeugen von i = 1 ... N Trainingsmuster ti , εεεε iι und σσσσ

für die Parameterkombinationen x1, x2,..., xN

x = [E, k0, η, m, b, c, ...]T

σσσσ

00

εεεε

T=const.

t

σσσσ

00

εεεε

T=const.

t

t

εεεε

σσσσ

x

Parametervektor

Trainingsmuster

NNET

t

εεεε

σσσσ

x

Parametervektor

Trainingsmuster

NNETxi

xi

ti, εεεεi, σσσσ

Erzeugen von i = 1 ... N Trainingsmuster ti , εεεε iι und σσσσ


x = [E, k0, η, m, b, c, ...]T

σσσσ

00

εεεε

T=const.

t

x

Parametervektor

Trainingsmuster

NNETxi

xi

tu,i, εεεεi, σ

X = [E, k0, η, m, b, c, ...]T

tu

εεεε

σ

Erzeugen von i = 1...N Trainingsmuster tu, i , εεεε i, σ,


σσσσ

00

εεεε

T=const.

t

σσσσ

00

εεεε

T=const.

t

x

Parametervektor

Trainingsmuster

NNETxi

xi

tu,i, εεεεi, σ

X = [E, k0, η, m, b, c, ...]T

tu

εεεε

σ

Erzeugen von i = 1...N Trainingsmuster tu, i , εεεε i, σ,


Bild 54. Unterschiedliche Trainingsmuster unter Berücksichtigung von Kriech- bzw. Ermü-dungsexperimenten und Datenaufarbeitungsmöglichkeiten zur Gewinnung des Parameter-vektors

a)

b)


118

σσσσ2σσσσ1 σσσσ3

00

εεεε

T=const.

t

tu1

εεεε1

σ1

x

Parametervektor

Trainingsmuster

NNET

xi

xi

tu1,i, εεεε1,i, σ1



Erzeugen von i = 1...N Trainingsmuster tu1,i , εεεε1,i, σ1 ,

tu2,i , εεεε2,i, σ2 und tu3,i , εεεε3,i, σ3


tu2

εεεε2

σ2

tu3

σ3X = [E, k0, η, m, b, c, ...]T


00

εεεε

T=const.

t


00

εεεε

T=const.

t

tu1

εεεε1

σ1

x

Parametervektor

Trainingsmuster

NNET

xi

xi







tu2

εεεε2

σ2

tu3

σ3X = [E, k0, η, m, b, c, ...]T




tu1

εεεε1

σ1

x

Parametervektor

Trainingsmuster

NNET

xi





00

εεεε

T=const.

t

xi

tu2

εεεε2

σ2

tu3

σ3X = [E, k0, η, m, b, c, ...]T

ε

σ





tu1

εεεε1

σ1

x

Parametervektor

Trainingsmuster

NNET

xi





00

εεεε

T=const.

t

xi


00

εεεε

T=const.

t


00

εεεε

T=const.

t

xi

tu2

εεεε2

σ2

tu3

σ3X = [E, k0, η, m, b, c, ...]T

ε

σ

ε

σ

ε

σ


Bild 54ff. Fortsetzung

c)

d)


119

0 1 2 3-20

-10

0

0 1 2 3-100

-50

0

0 1 2 3-100

-50

0

0 1 2 3-10

-5

0

0 1 2 3-50

0

0 1 2 3-100

-50

0

0 1 2 3-10

0

10

0 1 2 3-40

-20

0

0 1 2 3-100

-50

0

0 1 2 3-20

0

20

0 1 2 3-40

-20

0

0 1 2 3-100

-50

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

ααααvalid

= 2.40, ββββvalid

= 2.30

ααααs im

= 2.41, ββββs im

= 2.23

Bild 55. Prinzipielle Vorgehensweise beim Trainieren eines Neuronalen Netzes anhand einer Beispielfunktion mit zwei Parametern (α, β), erzeugte Trainingdaten anhand der Parameterva-riationen (a) und der mit den identifizierten Parametern (αsim, βsim) gewonnene Verlauf im Ver-gleich zu einem Testverlauf zur Validierung bzw. Verifikation basierend auf (αvalid, β valid) (b)

α

β

a)

b)


120

a) Parametersatz A PA aus Bild 54

- 1 LCF-Versuch ohne Haltezeit

-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6-800

-400

0

400

800

Experiment Simulation

σσσσ

[MPa]

εεεε [%]

b) Parametersatz B PB aus Bild 31

- gestufter Zug-Druck-Relaxarions-Versuch

-0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50-500

-250

0

250

500


σσσσ

[MPa]

εεεε [%]

c) Parametersatz C PC aus Bild 54

- 1 LCF-Versuch mit Haltezeit

- 3 Kriechversuche

-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6-800

-400

0

400

800

σσσσ

[MPa]

εεεε [%]


0,01 0,1 1 10 100 10000,1

1

t [h]

εεεε

[%]

Exp. σ = 351 MPa Exp. σ = 317 MPa Exp. σ = 284 MPa Simulation

Bild 56. Unterschiedliche Datenbasis zur Gewinnung von Modellparametern bei der Para-meteridentifizierung


121

(1)

(2)

Pid

parameter vector for training

NNET

training patterns

εεεε

σσσσ

Pi

Pi

parameter vector identified

(σσσσ,εεεε)i

(1)

(2)experiment

εεεε

σσσσ

(1)

(2)

Pid

parameter vector for training

NNET

training patterns

εεεε

σσσσ

Pi

training patterns

εεεε

σσσσ

Pi

εεεε

σσσσ

εεεε

σσσσ

Pi

Pi

parameter vector identified

(σσσσ,εεεε)i

(1)

(2)experiment

εεεε

σσσσ

experiment

εεεε

σσσσ

εεεε

σσσσ

εεεε

σσσσ

0 5 10 15 20 25 30 35 40-800-600-400-200

0200400600800σσσσ

[MPa]

t [h]

-0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50-800-600-400-200

0200400600800σσσσ

[MPa]

εεεε [%]

-0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50-500

-250

0

250

500


σσσσ

[MPa]

εεεε [%]

Bild 57. Parameteridentifikation unter Heran-ziehung von Daten aus gestuften Zug-Druck-Relaxationsversuchen (a), Visualisierung von mit dem Materialmodell simulierten Trai-ningsmustern durch Variation der Materialpa-rameter, hier 150 Variationeen (b, c) und Ergebnisse der Nachrechnung eines gestuf-ten Zug-Druck-Relaxationsversuches (d)

b)

d)

a)

c)


122

PA PB PC

0,1 1 10 100 1000 100000,1

1

10

100

Simulation 500MPa, ka2 440MPa, kb7 400MPa, kb6 370MPa, kb9 340MPa, kb5Experiment 400MPa, kb6

εεεε

[%]

t [h]

0,1 1 10 100 1000 100000,1

1

10

100


εεεε

[%]

t [h]

0,1 1 10 100 1000 100000,1

1

10

100


εεεε

[%]

t [h]

Bild 58. Ergebnisse zur Anwendung des Rechenmodells auf Kriechversuche (axiale Gesamtdehnung ε22 im Kerbgrund) an Kerbproben ausge-hend von Parametervektoren in Bild 56, 28CrMoNiV4-9, 525°C, Versuch AAG525kb6

a) b) c)


123

PA PB PC

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0

t [h]


εεεε

[%]

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0

εεεε

[%]

t [h]


0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0εεεε

[%]


t [h]

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-800-600-400-200

0200400600800σσσσ

[MPa]

axial von-Mises

t [h] 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-800-600-400-200

0200400600800σσσσ

[MPa]

axial von-Mises

t [h] 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-800-600-400-200

0200400600800

t [h]

axial von-Mises

σσσσ

[MPa]

Bild 59. Ergebnisse der Anwendung des Rechenmodells auf Kriechermüdungsversuche an Kerbproben ausgehend von Parametervektoren in Bild 56, 28CrMoNiV4-9, 525°C, Versuch AAG525kb1, tz = 1,19 h

a) b) c)


124

PA PB PC

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0


εεεε

[%]

t [h]

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0

εεεε

[%]

t [h]


0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0


εεεε

[%]

t [h]

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-800-600-400-200

0200400600800

σσσσ

[MPa]

t [h]

axial von-Mises

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-800-600-400-200

0200400600800σσσσ

[MPa]

axial von-Mises

t [h] 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-800-600-400-200

0200400600800σσσσ

[MPa]

t [h]

axial von-Mises


a) b) c)


125

PA PB PC

0 1 2 3-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0


εεεε

[%]

t [h]

0 1 2 3-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0

εεεε

[%]

t [h]


0 1 2 3-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0

t [h]

εεεε

[%]


0 1 2 3-800-600-400-200

0200400600800σσσσ

[MPa]

axial von-Mises

t [h]

0 1 2 3-800-600-400-200

0200400600800σσσσ

[MPa]

axial von-Mises

t [h]

0 1 2 3-800-600-400-200

0200400600800

t [h]

σσσσ

[MPa]

axial von-Mises


a) b) c)


126

PA PB PC

0 1 2 3-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0


εεεε

[%]

t [h]

0 1 2 3-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0


εεεε

[%]

t [h]

0 1 2 3-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0

t [h]

εεεε

[%]


0 1 2 3-800-600-400-200

0200400600800

axial von-Mises

σσσσ

[MPa]

t [h]

0 1 2 3-800-600-400-200

0200400600800

t [h]

axial von-Mises

σσσσ

[MPa]

0 1 2 3-800-600-400-200

0200400600800σσσσ

[MPa]

t [h]

axial von-Mises


a) b) c)


127

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0

εεεε

[%]

t [h]


0 1 2 3-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0


εεεε

[%]

t [h]

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-800-600-400-200

0200400600800σσσσ

[MPa]

axial von-Mises

t [h] 0 1 2 3-800-600-400-200

0200400600800

t [h]

axial von-Mises

σσσσ

[MPa]

0 1 2 3 4 5 60

200

400

600

800 axial von-Mises nominal

σσσσ

[MPa]

Radius[mm]

0 1 2 3 4 5 60

200

400

600

800

σσσσ

[MPa]

axial von-Mises nominal

Radius[mm]

Bild 63. Nachrechnung der Kriechermüdungsversuche an Kerbproben mit dem Materialmodell und dem Parametervektor PB nach Bild 56 b, 28CrMoNiV4-9, 525°C, Haltezeitsumme 1 h (a) und 3 h (b)

a) b)


128

0 35 70

0,000

0,002

0,004

0,006

D [-]

tH = 1 h

tH = 3 h

t [h]

0 10 200,000

0,002

0,004

0,006

tH = 1 h

tH = 3 h

D [-]

N [-]

Bild 64. Spannungsverteilung für die Nachrechnung der Kriechermüdungsbeanspruchung (∆σn=504 MPa, tz=1h) für die Fälle ohne (a) und mit Schädigung (b), entsprechende Schädi-gungsverteilung (c, d), Schädigungsverteilung für längere Zyklusdauer (tz=3h, ∆σn=504 MPa) (e) und Vergleich der Schädigungsverläufe über die Dauer von 20 Zyklen (f)

a) b)

c) d)

e) f)


129

0.0 0.5 1.0 1.5-0.6

-0.3

0.0

0.3

0.6

Experiment

stra

in [%

]

time [h]

0.0 0.5 1.0 1.5-80

-40

0

40

80

Experiment

load

[kN

]

time [h]

0.0 0.5 1.0 1.5-0.6

-0.3

0.0

0.3

0.6

Simulation

stra

in [%

]

time [h]

0.0 0.5 1.0 1.5-0.6

-0.3

0.0

0.3

0.6


stra

in [%

]

time [h]

testing system, material

FEM simulation, material model, parameters

comparison

0.0 0.5 1.0 1.5-0.6

-0.3

0.0

0.3

0.6

Experiment

stra

in [%

]

time [h]0.0 0.5 1.0 1.5

-0.6

-0.3

0.0

0.3

0.6

Experiment

stra

in [%

]

time [h]

0.0 0.5 1.0 1.5-80

-40

0

40

80

Experiment

load

[kN

]

time [h]0.0 0.5 1.0 1.5

-80

-40

0

40

80

Experiment

load

[kN

]

time [h]

0.0 0.5 1.0 1.5-0.6

-0.3

0.0

0.3

0.6

Simulation

stra

in [%

]

time [h]0.0 0.5 1.0 1.5

-0.6

-0.3

0.0

0.3

0.6

Simulation

stra

in [%

]

time [h]

0.0 0.5 1.0 1.5-0.6

-0.3

0.0

0.3

0.6


stra

in [%

]

time [h]





comparison

Bild 65. Zur Verifikation des Materialmodells am Beispiel einer biaxialen Kriechermüdungs-beanspruchung an Kreuzproben (a), großes FE-Model der Kreuzprobe (b) und kleines, symmetrisch geteiltes FE-Modell mit der Umgebung der Prüfzone (c)

b) c)

a)


130

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5εεεε

[%]

t [h]

Φε=1,0, tz = 1,33 h,

∆εx=∆ε

y=0,60 %


0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6εεεε

[%]

t [h]

Φε=1,0, tz = 1,33 h,

∆εx=∆ε

y=0,60 %


Bild 66. Ergebnis der Finit-Element-Simulation für betriebsähnliche Kriechermüdungsbean-spruchung mithilfe der Materialparametervektor PA nach Bild 56 b (a) und Auftragung ent-sprechend der Skalierung im Bild 67 (b), 28CrMoNiV4-9, T= 525°C, exemplarischer Fall für den Biaxialversuch AAG525df1

a) b)


131

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6εεεε

[%]

t [h]

Φε=1,0, tz = 1,33 h,

∆εx=∆ε

y=0,60 %


0 1 2 3 4-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6εεεε

[%]

t [h]

Φε=1,0, tz = 3,53 h,

∆εx=∆ε

y=0,60 %


0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6

εεεε [%]

t [h]

Φε=1,0, tz = 1,23 h,

∆εx=∆ε

y=0,42 %


0 1 2 3 4-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6εεεε

[%]

t [h]

Φε=1,0, tz = 3,43 h,

∆εx=∆ε

y=0,42 %


0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6εεεε

[%]

t [h]

Experiment axis A axis B

Simulation axis A axis B

Φε=0,5, tz = 1,33 h,

∆εx=0,60 %, ∆ε

y=0,30 %

Bild 67. Ergebnisse der Finit-Element-Simulation für betriebsähnliche Kriechermüdungsbean-spruchung mithilfe des Materialparametervektors PB nach Bild 56 b, 28CrMoNiV4-9, T = 525°C

e) f)

a) b)

c) d)


132

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6

t [h]

εεεε [%]

Φε=1,0, tz = 1,33 h,

∆εx=∆ε

y=0,60 %


0 1 2 3 4-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6

t [h]

εεεε [%]

Φε=1,0, tz = 3,53 h,

∆εx=∆ε

y=0,60 %


0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6

t [h]

εεεε [%]

Φε=1,0, tz = 1,23 h,

∆εx=∆ε

y=0,42 %


0 1 2 3 4-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6

t [h]

εεεε [%]

Φε=1,0, tz = 3,43 h,

∆εx=∆ε

y=0,42 %


0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6

t [h]

εεεε [%]

Experiment Achse A Achse B

Simulation Achse A Achse B

Φε=0,5, tz = 1,33 h,

∆εx=0,60 %, ∆ε

y=0,30 %

Bild 68. Ergebnisse der Finit-Element-Simulation für betriebsähnliche Kriechermüdungsbean-spruchung mithilfe des Materialparametervektors PC nach Bild 56 b, 28CrMoNiV4-9, T = 525°C

e) f)

a) b)

c) d)


133

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

ε

[%]

t [h]

0 5 10 15 20 25 30 35 40-50-40-30-20-10

01020304050

ε

[%]

t [h]

Experiment P

A

PB

PC

0 5 10 15 20 25 30 35 40-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0

ε

[%]

t [h]

Experiment P

A

PB

PC

0 10 20 30 40

-800-600-400-200

0200400600800σ

[MPa]

t [h]

PA

PB

PC

0 10 20 30 40-800

-400

0

400

800σ

[MPa]

t [h]

σ11

σv

Bild 69. Ergebnisse der Finit-Element-Simulation für biaxiale gestufte Zug-Druck-Beanspruchung, Dehnungsverlauf (a) mithilfe des Parametervektors PA, PB und PC (nach Bild 56 b) berechnete Verläufe der Dehnung (b) sowie Detailansicht (c), Vergleich der Axi-alspannungen σ11 (d) und Vergleich der Axial- und Vergleichsspannung am Beispiel des Parametervektors PC (e), 28CrMoNiV4-9, T = 525°C

e)

a) b)

c) d)


134

0,01 0,1 1 10 100 10000,01

0,1

1

10

t [h]

εεεε

[%]

Simulation P

A

PB

PC

Experiment 70,0 kN

0,01 0,1 1 10 100 10000,01

0,1

1

10

t [h]

εεεε

[%]

Simulation P

A

PB

PC

Experiment 80,5 kN

Bild 70. Ergebnisse der Finit-Element-Simulation für biaxiale Kriechbeanspruchung an der Kreuzprobe ausgehend von Parametervektoren in Bild 56, Kriechversuche mit einer gleich-phasigen Last von F = 70 kN (a) und F = 80,5 kN (b), 28CrMoNiV4-9, T = 525°C (Bild 48)

Bild 71. Messung der Temperaturverteilung in der Kreuzprobe mithilfe einer Wärmebildkame-ra (links) und der Vergleich des im FE-Modell vorgegebenen Temperaturfeldes durch die benutzerdefinierte Subroutine UTEMP (rechts), 28CrMoNiV4-9, Tmax = 525°C

a) b)


135

R30

350 50

100

100

12

01

50

410

R90

rein elastisch UMAT — t = 0,01 h t = 27.000 h

0 10000 20000 300000

10

20

30

40

50σ

[MPa]

t [h]

mit statischer Erholung ohne statische Erholung

0 10000 20000 300000,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05ε

[%]

t [h]

mit statischer Erholung ohne statische Erholung

Bild 72. Nachrechnung der Kerbstelle einer Turbinenwelle unter Kriechbeanspruchung mit dem Materialmodell, Parametersatz angepasst an einen besonders niedrigen Spannungs-zustand (σ < 50 MPa), Randbedingung und FE-Netz (a), Spannungsverteilung für elastische Rechnung sowie inelastische Rechnung für die Zeitpunkte nach dem Anfahren und nach 27000 h (b) und die Verläufe der Vergleichsspannung und Axialdehnung über die Zeit (c)

a)

b)

c)

ω = 2πn n = 50 Hz

-20 MPa

30 MPa

p = 25 MPa

T = konst.


136

0 20 40 60 80-1,00

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

t [h]

εεεε [%]

0 20 40 60 80-600

-300

0

300

600

σσσσ

[MPa]

t [h]

-1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50-600

-300

0

300

600

σσσσ

[MPa]

εεεε [%]

720 740 760 780 800 820

-1,00

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

Zyklusfolge

K W2 H2.4

t [h]

εεεε [%]

-1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50-500

-250

0

250

500

εεεε [%]

σσσσ

[MPa]

Experiment K W2 H2.4

Simulation K W2 H2.4

100 1000

0,1

1

extrapoliertesErgebnis

2. Iteration

1. Iteration

α1

[-]

tA [h]

Bild 73. Identifikation der Schädigungsparameter anhand eines isothermen dreistufigen Dehnwechselversuchs mit betriebsähnlichem Zyklus, Dehnung-Zeit-Verlauf für die erste Zyk-lusfolge bestehend aus 1 Kaltstartzkylus, 3 Warmstartzyklen und 16 Heißstartzyklen (a), Spannung-Zeit-Verlauf (b), Spannung-Dehnung-Verlauf (c), die für den Vergleich mit der Simulation herangezogenen Teilzyklen des Kaltstarts K bei N = NA/2 und die zugehörigen Teilzyklen des Warmstarts W2 und des Heißstarts H2.4 als Dehnung-Zeit-Verlauf (d) und entsprechende Spannung-Dehnung-Hystereseschleifen (e), Extrapolation des Schädigungs-parameters α1 bei der iterativen Identifikation (f)

e) f)

a) b)

c) d)


137

0 10 20 30 40-0,4

-0,2

0,0

0,2 εεεε

[%]

t [h]

0 10 20 30 40-600

-300

0

300

600

t [h]

σσσσ

[MPa]

-0,4 -0,2 0,0 0,2-600

-300

0

300

600

εεεε [%]

σσσσ

[MPa]

N = 1 N = N

A/2

-0,4 -0,2 0,0 0,2-600

-300

0

300

600

εεεε [%]

σσσσ

[MPa]


Bild 74. Berechnung der langzeitigen isothermen einstufigen Kriechermüdungsbean-spruchung mit betriebsähnlichem Zyklus, Zyklusdauer tz = 32 h, Dehnungsschwingbreite ∆ε = 0,54 %, Anrisswechselzahl NA = 990 [], Dehnungsverlauf (a), resultierender Span-nungsverlauf (b), Vergleich der Spannung-Dehnung-Hystereseschleifen für N = 1 und N = NA / 2 (c) und Vergleich mit dem Experiment bei N = NA / 2 (d)

a) b)

c) d)


138

0 20 40 60 80 1000

1

2

t [h]

ε

[%]

Experiment Simulation P

C

0,01 0,1 1 10 100 10000,1

1

10

t [h]

εεεε

[%]

Experiment Simulation P

C

0 20 40 60 80 1000

1

2

t [h]

ε

[%]

PC

E

0 20 40 60 80 1000

1

2

t [h]

εεεε

[%]

k0

PC

0 20 40 60 80 1000

1

2

η

PCεεεε

[%]

t [h]

0 20 40 60 80 1000

1

2

t [h]

ε

[%]

m

PC

Bild 75. Sensitivitätsuntersuchungen zum Materialmodell ausgehend vom identifizierten Pa-rametervektor PC (s. Abschnitt 6.3) bei einem Kriechversuch mit einer Spannung von σ0 = 351 MPa: Vergleich der Simulation mit dem Versuch, lineare (a) und logarithmische Darstellung (b), Einfluss des E-Moduls E (c), Fließgrenze k0 (d), Viskosität η und m (e und f)

e) f)

a) b)

c) d)


139

0 20 40 60 80 1000

1

2

t [h]

ε

[%]

b

PC

0 20 40 60 80 1000

1

2

t [h]

ε

[%]

c

PC

0 20 40 60 80 1000

1

2

t [h]

ε

[%]

p = 0

p

PC

0 20 40 60 80 1000

1

2

t [h]

ε

[%]

w

PC

Bild 76. Sensitivitätsuntersuchungen zum Materialmodell ausgehend vom identifizierten Pa-rametervektor PC (s. Abschnitt 6.3) bei einem Kriechversuch mit einer Spannung von σ0 = 351 MPa: kinematische Verfestigung b und c (a und b), kinematische statische Erholung p und w (g und h)

a) b)

c) d)


140

0 20 40 60 80 1000

1

2

εεεε

[%]

t [h]

α0

PC

0 20 40 60 80 1000

1

2

εεεε

[%]

t [h]

α1

PC

0 20 40 60 80 1000

1

2

εεεε

[%]

t [h]

α2

PC

0 20 40 60 80 1000

1

2

εεεε

[%]

t [h]t [h]

q0

PC

0 20 40 60 80 1000

1

2

εεεε

[%]

t [h]

q1

PC

Bild 77. Sensitivitätsuntersuchungen zum Materialmodell ausgehend vom identifizierten Parametervektor PC (s. Abschnitt 6.3) bei einem Kriechversuch mit einer Spannung von σ0 = 351 MPa: Schädigungskoeffizienten α0, α1, α2 (Teilbild a, b und c) sowie Schädi-gunmgsexponenten q0 und q1 (Teilbild d und e)

e)

a) b)

c) d)


141

0,01 0,1 1 10 100 10000,01

0,1

1

10

t [h]

εεεε

[%]

Experiment 70,0 kN

Simulation PC

66,5 kN 70,0 kN 73,5 kN

0,01 0,1 1 10 100 10000,01

0,1

1

10

t [h]

εεεε

[%]

Experiment 80,5 kN

Simulation PC

77,0 kN 80,5 kN 84,0 kN

Bild 78. Sensitivitätsuntersuchung des Materialmodells ausgehend vom identifizierten Para-metervektor PC (s. Kap. 6.3) für biaxiales Kriechen (Bild 48) mit der Variation der Last um 5 % und Vergleich mit dem Versuch: Experiment F = 70,0 kN a) und F = 80,5 kN b)

Bild 79. Software zur automatischen Parameteridentifikation ParID basierend auf Neurona-len Netzen und Simmulationsdaten aus dem konstitutiven Materialgesetz

a) b)


142

Bild 80. Modellierungsprogramm MoSim zur Berechnung von beliebigen Belastungsverläufen in Dehnungs- oder Spannungsregelung für eindimensionales konstitutives Materialgesetz

Bild 81. Software Zyklusgenerator zur Programmierung von Belastungszyklen


143

a)

b)

Bild 82. Ausgabefenster für Berechnungsresultate aus dem Modellierungsprogramm MoSim, Kriechbelastung (a) und zyklische Belastung (b)


144

Bild 83. Fenster MoSim Extras des Modellierungsprogramms MoSim zum selektiven Spei-chern von Berechnungsergebnissen und zugehörigen Parametern sowie Kurvenoperationen

sim.pab

Material-modell

NeuronalesNetz

{exp.dat}k

{exp.zyk}k

{sim.dat}nk

{sim.par}n

Kombinations-generator

TrainiertesNeuronales

NetzTrainieren id.par

Daten-aufbe-reitung

Daten-Aufbe-reitung

Bild 84. Flussdiagramm zur Parameteridentifikation, Datenaufbereitung s. Bild 54


145

Gleichung Beschreibung Material- parameter

1 pe~~~ EEE += Additive Zerlegung der Deformation in

elastischen und plastischen Anteil

2 1EEET )~tr(~2~~eee λ+µ== ]C[ verallgemeinertes Elastzitätsgesetz

(Hooke’sche Gesetz) µ, λ

3 Yξ~c~

=

( )0r~r~R~ +γ=

Beziehungen der Spannungen und Dehnungen der kinematischen und isotropen Verfestigung als innere Vari-ablen

r0

4 ( )( ) ( ) ( )DDf ~~~~23

:~~f̂ ξTξTξ,T −⋅−= äquivalente Spannung (Vergleichs-spannung), (f): fiktives Material

5 ( )( ) ( )( ) 0ff kR~~~f̂:R~,~~F̂ −−= ξ,Tξ,T Fließfunktion für das fiktive Material k0

6 ( )( ) 0R~,~~F̂ f >ξ,T Fließbedingung

7 η

=

mF̂

:s~&

Geschwindigkeit der akkumulierten plastischen Dehnung (plastische Bo-genlänge)

η, m

8 ( )s~

f̂

~~

23~

D

p&& ξT

E−

= Geschwindigkeit der plastischen Deh-nung

9 YYYEY ~~cp~s~b~~ 1w

p

−

−−= &&& Dehnungsvariable der nichtlinearen kinematischen Verfestigung mit dyna-mischer und statischer Erholung

c, b, p, w

10 ( )ωγπ−β−= r~s~r~s~r~ &&&

Dehnungsvariable der nichtlinearen isotropen Verfestigung mit dynami-scher und statischer Erholung

γ, β, π, ω

11 0ˆ~~≥ψ−⋅ &&ET

Dissipationsungleichung für die ther-modynamische Konsistenz

12 )r~(ˆ)~(ˆ)~(ˆˆ )is(p

)kin(pee ψ+ψ+ψ=ψ YE

Zerlegung der Funktion der freien E-nergie in einen elastischen Anteil und kinematische und isotrope plastische Anteile

13 e

~ˆ~

ET

∂

ψ∂= ,

Yξ ~

ˆ~∂

ψ∂= ,

r~ˆ

R~∂

ψ∂= Ableitungen der freien Energiefunktio-

nen

14

)~(ˆ)( e)f(

eee EE ψ=ψ

)~(ˆ)( )kin,f(p

)kin(p YY ψ=ψ

)r~(ˆ)r( )is,f(p

)is(p ψ=ψ

verallgemeinerte Energieequivalenz zwischen dem realen geschädigten Material und dem fiktiven ungeschädig-ten Material

15 D1~

−=

TT ,

D1~

−=

ξξ ,

D1

RR~

−=

ee D1~ EE −= , YY D1~−= , rD1r~ −=

Beziehungen zwischen den Variablen des realen geschädigten Materials und des fiktiven ungeschädigten Materials

16 ( ) ( )( ) 0

f kR~g~~f̂gD,R,F̂ −−= ξ,TξT,

( ) ( ) n21D1Dg −−=

Fließfunktion des realen Materials, n = 1 für Metalle

n

17

( )s~

D1

D)D(sD1

0

q

q

210&&&

−

∂

ψ∂ρ−

α+α+α=

Definition der Schädigungsrate (Le-maitre)

α0, α1, α2, q0, q1

Tabelle 1. Übersicht über das konstitutive Materialmodell basierend auf Chaboche erwei-tert von Tsakmakis [67], Schädigungsansatz nach Lemaitre [76]


146

Referenz Energiefreisetzungsrate Y Vergleichsspannung σσσσv

Evolutionsgleichungen für Schädigung

Anwen-dung

Lämmer (1998) [72] D

Y∂

ψ∂ρ−=−

)D1(

)Y()D(sD

q

n

210&& ⋅

−

−α+α+⋅α=

Lemaitre (1985) [76]

2

2ve

)D1(E2

R

DY

−⋅

⋅σ=

∂

ψ∂ρ−=− ν

2

V

m32 )21(3)1(R

σ

σν−+ν+=ν

D

Ds

0 ss

sss

SY

D0

−

−⋅⋅

−= &&

s)Y(D n1

&& ⋅−⋅α= für 0sD =

Kriechen, LCF

Dhar (1996) [77]

n = 1, q = 0 s)Y()D(sD 210&&& ⋅−⋅α+α+⋅α=

statisch, Stahl

Tai (1986) [82]

n = 1, q = 0, α0 = 0, und α1 = 0 s)Y(DsD

SY

D 20

&&& ⋅−⋅⋅α=⋅⋅−

= statisch, 3 Stähle

Saanouni (1986) [81]

α−α σ⋅σ=− 1V1Y

Vm1V 3 σ⋅γ+σ⋅β⋅+σ⋅α=σ mit 1=γ+β+α

)(k

s

0

)D1(S

YD

0

σ−−⋅

−=&

Kriechen, Stahl

Kachanov (1958) [78]

DDV 2

3TT ⋅=σ r

rV )D1(

AD −−⋅

σ=&

Kriechen

Rabotnov (1968) [79]

DDV 2

3TT ⋅=σ k

rV )D1(

AD −−⋅

σ=&

Kriechen

Tabelle 2. Übersicht über verschiedene Schädigungsansätze


147

Werkstoffsorte: 28CrMoNiV4-9

Lieferwerk: Kammerich-Reisholz GmbH

Schmelzen-Nr.: 398786

Erschmelzung: Elo-Stahl

Formgebung: geschmiedet

Liefermaße: ∅ 400 x 6 000 mm

Gefüge im Anlieferungszustand: Zwischenstufe

Chemische Zusammensetzung in %

C Si Mn P S Cr Mo Ni V Al Cu Sn

0,28 0,20 0,74 0,007 0,008 1,09 0,82 0,69 0,36 0,003 0,21 0,012

Wärmebehandlung: Austenitisieren 5 h 950 °C/Öl 5', dann Luft bis 300 °C

+ 1. Anlassen 10 h 700 °C/Luft + 2. Anlassen 10 h 710-720 °C/Luft

Temp.

°C

Rp0,2

MPa

Rm

MPa

A

%

Z

%

Z1

%

E

GPa

Rp0,2/Rm

%

20 592-640 742-777 21 66 51 203 80

525 449 507 21 74 69 187 89

Tabelle 3. Chemische Zusammensetzung, Wärmebehandlung und Kurzzeiteigenschaften bei Raumtemperatur und 525 °C, Stahl 28CrMoNiV4-9, nach [61]

Werkstoffsorte: X21CrMoV12-1

Lieferwerk: Thyssen

Schmelzen-Nr.: 14054

Erschmelzung: Elo-Stahl

Formgebung: gewalzt

Liefermaße: Stangen ∅ 23, 2 000 lg

Gefüge im Anlieferungszustand: vergütet

Chemische Zusammensetzung in %

C Si Mn P S Cr Mo Ni V

0,21 0,255 0,51 0,012 0,009 12,02 0,90 0,44 0,29

Wärmebehandlung: 1 050 °C ½ h/Luft + 730 °C 2 h/Luft

Temp.

°C

Rp0,2

MPa

Rm

MPa

A

%

Z

%

Z1

%

E

GPa

Rp0,2/Rm

%

20 669 862 18,7 52,6 203 80

550 447 504 27,4 84 76 132 89

Tabelle 4. Chemische Zusammensetzung, Wärmebehandlung und Kurzzeiteigenschaften bei Raumtemperatur und 550 °C, Stahl X21CrMoV12-1, nach [61]


148

Werk-

stoff

Versuchs-

art*)

Probe in

Bild 19

Tmax ∆T x)

Zyklus-

dauer tpx)

Zyklus-

zahl NA

Versuchs-

dauer tA

d0 (mm) (°C) (°C) (h) (h)

28CrMo LWV iso 30 525 3 1 000 3 000

NiV 4 9, LWV an 30 550 50 3 1 000 3 000

216e LWV iso 30 525 10 800 8 000

ZSV 25 550 3 000 +)

ZSV 25 550 10 000 +)

X21Cr LWV iso 12 550 3 1 000 3 000

MoV 12 1, LWV an 12 600 100 3 1 000 3 000

220m LWV iso 12 550 10 800 8 000

ZSV 12 600 3 000 +)

ZSV 12 600 10 000 +)

*) LWV: Lastwechselversuch (R=-1), ZSV: Zeitstandversuch (R=0),

+) geplante Bruchzeit tu x) Beanspruchungsablauf nach Bild 4 c

Tabelle 5. Plan der Verifikationsversuche an Rundkerbproben

Werkstoff Versuchs-

art*)

y

x

ε∆

ε∆=ϕ Tmax

(°C)

∆T x)

(°C)

Zyklus-

dauer tpx)

(h)

Zyklus-

zahl NA

Versuchs-

dauer tA

(h)

28CrMo

NiV4-9,

216e

DWV

DWV

DWV

ZSV

ZSV

0,5

1

0,5

+)

+)

525

525

550

550

550

0

0

50

0

0

3

3

3

140

700

1 000

1 000

1 000

7

14

3 000

3 000

3 000

1 000

10 000

X21CrMo

V12-1,

220m

DWV

DWV

DWV

ZSV

ZSV

0,5

1

0,5

+)

+)

550

550

600

600

600

0

0

50

0

0

3

3

3

140

700

1 000

1 000

1 000

7

14

3 000

3 000

3 000

1 000

10 000

*) DWV: Dehnwechselversuch in Biaxialprüfmaschine

x) Beanspruchungsablauf nach Bild 4 c

+) ZSV: Zeitstandversuch mit abwechselnder Orientierung von +90° und –90° je Zyklus

Tabelle 6. Plan der Verifikationsversuche an Kreuzproben


149

Werkstoff Ver-

suchs-art *)

Nr. T ∆σn σn

Zyklus- dauer

tpx)

Zyklus- zahl NA **)

(N für AG, B)

Versuchs- dauer t

(°C) (MPa) (MPa) (h) (h) 28CrMo LWV +) AAG525kb1 525 504 - 1,19 1.367 (699) 832 AG NiV4-9, LWV +) AAG525kb3 525 756 - 1,28

300

(406)

520 B

216e LWV AAG525kb4 525 756 - 3,28 167 (328) 1.076 AG LWV +) AAG525kb8 525 504 - 3,19 721 (761) 2.430 AG ZSV AAG525kb5 525 - 340 - - 2.728 AG ZSV AAG525kb6 525 - 400 - - 1.631 AG ZSV AAG525kb9 525 - 370 - - 650 AG ZSV AAG525kb7 525 - 440 - - 574 AG ZSV AAG525ka2 525 - 500 - - 64 AG X21Cr MoV12-1, 220m

LWV YV55kb1 550 312 - 3,1 (1.600) 4.800 AG

ZSV YV55kb4 550 258 - - 89 B

*)LWV: Lastwechselversuch (R = -1, Dehnrate 0,06 % / min)

ZSV: Kriechversuch, Probe: Kt = 2,3

x) Beanspruchungsablauf betriebsähnlich (4 Haltezeiten)

AG: ausgebaut B: Bruch +)Schliffbilder **) NA aus Abschätzung nach Bild 37 b

Tabelle 7. Ergebnisse der Verifikationsversuche an Rundkerbproben

Werk-

stoff

Versuchs-

art *)

Nr. Tma

x

∆T

x)

∆ε Zyklus-

dauer tpx)

Zyklus-

zahl

NA

Versuchs-

dauer tA

y

x

ε∆

ε∆=ϕ

(°C) (°C) (%) (h) (h)

28CrMo DWV A AAG525df1 1 525 0 0,60 1,33 400 530 NiV4-9, DWV A+S AAG525df2 1 525 0 0,42 3,43 650 2.230 216e DWV A AAG525df3 0,5 525 0 0,60 1,33 625 830 DWV A+S AAG525df4 1 525 0 0,42 1,23 1.667 2.055 DWV A AAG525df5 1 525 0 0,60 3,53 287 1.016 PARAM E AAG525df7 1 525 0 var. 360 ZSV AG AAG525df6 525 0 0,139

4,910 F=70,0 kN F=80,5 kN

230 209

*) DWV: Dehnwechselversuch in Biaxialprüfmaschine

x) Beanspruchungsablauf betriebsähnlich (4 Haltezeiten)

PARAM: Parameteridentifikation +S: Schliffbilder

Tabelle 8. Ergebnisse der Verifikationsversuche an Kreuzproben, Dehnrate 0,06 % / min


150

Material-

parameter Beschreibung Wert für PA Wert für PB Wert für PC

E Elastizitätsmodul 159000 174480 159000

ν Querkontraktionszahl 0,3 0,3 0,3

r0 isotopen Verfestigung, Dehnungsvariable

0 0 0

k0 isotopen Verfestigung, Fließgrenze

248 95 246,08

γ isotrope Verfestigung, Erzeugung

0 0 0

β isotrope Verfestigung, Begrenzung

0 0 0

π isotrope Verfestigung, Erholung

0 0 0

ω isotrope Verfestigung, Erholungsexponent

1 1 1

c kinematische Verfestigung, Erzeugung

5,6759 66230 71729

b kinematische Verfestigung, Begrenzung

0,00149 370 1,6797

p kinematische Verfestigung, stat. Erholung

0 1,38E-5 3,8188E-8

w kinematische Verfestigung, Erholungsexponent 1 1 2,679

η Viskosität 7,17E+8 5,08E+15 8,9647E+12

m Viskositätsexponent 2,012 4,666 3,4418

n Modellparameter 1 1 1

α0 Schädigung* 0 0 0



q0 Schädigungsexponent* 1 1 1

q1 Schädigungsexponent* 1 1 1

*) Schädigung nach Ansatz Lämmer (Gl. (43) Abschnitt 2.2.3)

Tabelle 9. Übersicht über die identifizierten Materialparameter des konstitutiven Materi-almodell

Documents

FKM_H290_V251_Konstitutive Kriechermüdungsbeschreibung