Bnclibcsprechungcn 363

Ordnuiig fur die Punkte einer Geraden nicht fur den elliptischen Fall tauglich sind. Die Punkte der elliptischen Gcraden sind be- kanntlich zyklisch angeordnet. Der Verfasser gewahrleistet die axiomatische Festlegung der Anordnung, die fur a l e drei Geo- metrien verwendet werden kann, durch zwei Riisehelaxiome. Es wird gefordert, daB fur jeden Punkt P eine Bijektion @p: *I' --f

- +. 8, von f' auf den Kreis A rler 1-y-Ebene H mitt der Gleichung (22 : ) -+- (2y) = 1 gegeben ist. Dabei bezeichnct *P das Geraden- buschel durch P , Fur jede Gerade g 6 *P wird Y p : g -+ S wie folgt definiert: 1st A E g und k die durch A gehende Gerade des Biischels wP, SO ist 'Pp(A): = @p(k). Das erste Biischelaxiom lautet,: Fur jeden Punkt, P und jede Gerade y B *P ist Y p ( g ) zu- sammenhiingend iind offen in S. Damit wird jeder Geraden 9 eine Anordnnng cingepriigt, die im Falle Yp(g ) = S zyklisoh wird. I m zweiten Biischelaxiom wird die Unabhiingigkeit dieser Anordnung von der speziellcn Wahl des Hilfsbiischels *f' sicher- gestellt8. Verfasser bemerkt in einer PuBnote, daB diese An- ordnungsdefinition auch moglich ist - und nach Mcinung des Referenten am Griinden dcr Mcthodenrcinheit auch wcinschens- wert wLre - i d e m man ganz innerhalb * P verbleibt. Nilherc Ansfiihrnngcn dazic werden allerdings nicht gemacht. Eine wei- bere Modifikation des EuKLm-HILBERTsChen Axiomensyst'ems ist notwendig beim Ureiecksaxiom, denn in der elliptischcn Ueo- metrie ist hekanntlich ein DreiecL nicht eindeidig clurch seine Eckprinkte fixiert,.

Tnlialtsiihersicht,: .I. C~rnndlsgen, 11. Die absolnten Ebcncn. 111. Die ellipt,ischc Ebene, I V. Die nichtelliptischen Ebenen, V. Die hyperholische Ehene, Anhang: Zusammcnhang ewischcn der elliptischen und cter hyperbolischen Met,rik in1 Komplexen.

Das Buch stellt a d relativ knappem Raum cinen ausgezeich- neten und inhaltsreichcn Reitrag zur Pflege des geometrischen Denkens clar. Uie Ausstattung des Ruches ist vorbildlich.

Ch-eifxwaltl F. TERPE

Tennison, B. R., S h e a f T h e o r y . Cambridgc. Cambridge University Press. 1975. 164 S., E 3.75 A.

Fiir die meisten Mathemat,iker ist Garhentheorie nicht so srhr eine um ihrcr selhst willen betriebcne Riehtung als vielmehr eine Methode otler Sprache, die in verschiedenen Gebieten (algehraischc Geometrie, Funktionentheorie mehrerer Veran- derlicher oder algebraischc Topologie) bei der sich in den ver- gangencn Jahrzehnten vollzogenen Modernisierung und insbe- sondcre bei der Globalisierung von Begriffen und Resultaten cine entscheidende Rolle gespielt hat. So sind wesentliche Er- gebnisse am den genannten Bereichen uberhaupt nur noch mittels dcr Garbentheorie darstellbar, was das Bediirfnis nach einer kurzen und klaren Einfuhrung erklart. I m vorliegenden Ruch, das ails Vorlesungen des Autors hervorgegangen ist, wird es nnternommen, neben einer solchen Einfiihrung auch einige Hinweisc auf Anwendungen in Richtung auf die Mannigfaltig- keitst,hcorie der algebraischen Geometric (geringe Raume, geo- metrische Raume Schemata) zu geben. Da die Darstellung stark katcgorientheoret>isch bestimmt ist, jedoch nicht,s iiber Kate- gorien vorausgeset,zt wird (etwas allgemeine Topologie und clementare Algebra genugen an Vorkenntnissen fur das Ver- standnis), ~ermi t~ te l t die Lektiire zugleich Grundtatsachen der Kat,egorient,heorit: iind vor allem auch einen ersten Begriff da- vnn, wie diese in einer speziellen Theorie verwendbar sind.

Uber die Stoffauswahl geben die folgenden Kapiteluber- schrift,en eine ungeflhre Auskunft : 1. Pragarben und ihre Halme ( 1 1 Seit)en), 2. Uarben und Garbenraume (13 Seiten), 3. Mor- phismen von Barhen und Pragarben (37 Seiten), 4. Geringe Itaume (34 Seittm), 5. Kohomologie (37 Seiten). Der Text schlicl3t mit, Hinweisen anf weit'erfuhrende Lektiire.

Berlin H. a. BOTHE

Riieae, S., Pr a c t i c a1 9 u a n t,u in M e c h a n i c s. Eerlin- HeideiKerg-New York. Spinier-Verlag. 1974. 623 S., 78 Abb., DM 36,--. US $ 15.70.

Die Anzahl der Lehrbiicher und Monographien uber Quanten- theorie ist (seit J. v. NEUMANN'S klassisohem Werk ,,Mathema- tische Grundlagen der Qnantenmechanik") ins nahezn Unuber- sehbarc angewachsen; es gibt aber nur einen ,,Fliigge" !

uber den Erfolg dieser Aufgabensammlung seit dem Er- scheinen der ersten Auflage vor nunmehr 30 Jahren, die sich schnell zu einem geschiitzten Kompendium aktiver Forscher iind Lehrender sowie zu einer nnentbehrlichen und willkom-

nienen Erganzung beim St'udiuni von TAehrbiichern der Q,iinnten- t,heorie fur Studenten und andere Interessenten entTvickelte. brauchen an dieser Stelle keine weiteren und iiberfliissigen JVnrte verloren zu werden.

Die erste Anflage erschien 1947 unter dcm Titel ,,R,echen- methoden der Quantentheorie", die zweite Auflage 1952. Als Heidelberger Taschenbuch Bd. 6 erschien 1966 die (unveriin- derte) dritte Auflage. Dcr Rand umfal3te zu dieser Zeit 106 Auf- gaben. Eine griindliche Umarbcitiing und Modernisierung war nach den Worten des Verfassers damals noch nicht, miiglich.

1971 erschien d a m das Werk unter dem Titel "Practical Quantum Mechanics" in der ,,gelben Reihc" in zwri BLnden (177 und 178). Der Gesamtumfang zeigt,e sich stark vergr65ert. die Aneahl der Aiifgaben hatte sich mehr als verdoppclt. (2191, neue Methoden und Entwicklungen (z. B. auf dem Gebict der Streutheorie) wurden einbezogen. Die Gliederung sicht, daimch heute so am: I. General Concept's, 11. One-Body Prohlrins s i t h - ont Spin (das bei weitem nmfangrcichnt,e Kapitel). IIT. Par- ticles with Spin, IV. Many-Body Problems, V. Non-Stationary Problems, V1. The Relativistic Dirnc Rqiiat*ion, V1 I . Radi&tion Theory Mathematical Appendix. In der vorliegenden Paprback-Ausgabe (1974) sind heirlr Riinrlc wieder in einem vereinigt.

Der ,,Fliigge" wird auch unci gcrade in dicsrr neiicn Gestalt- fur weitere Generationen von Benut)zern eine wesent'liche Stiitzr bci der Einfuhrimg in den prakt'ischen Gchrauch des qii;%nl en- mechanischen Apparates sein.

Berlin H. RAITMG~RTEI,

Barknvitz, L. D., O p t i m a l C o n t r o l T h e o r y . lkrlin-Hei- delberg-New York. Springcr-Verlag. 1974. 301 S., 10 Ahh., DM 23,30 (Appl. Mathematical Sciences 12).

Die Theorie der optimalen Gteuerungen bzw. der optimalen Prozesse hat heute - iiber 15 Jahre nach deni Erscheinen der ersten umfassenden Darstellung durch L. S. PONTRJAGIN, V. G . BOLTJANSKIJ, R. V. GAMKRXLIDZE und Ju. F. MISCENKO 1961 in Moskau - einen festen Platz innerhalb der mathematisclien Aufgabengebiet,e. Das wird auch durch eine Vielzahl von Ver- iiffcntlichungen zu ihrer Theorie als auch zu ihren Anwendungen belegt. Das vorliegende Buch giht eine - von einein modernen Standpunkt her geschriebene - fundierte Einfiihrung in dimes Cebiet.

Ausgangspunkt der Darstellung ist ein in iiblicher TVeise durch ein gewohnliches Differentialgleichungssystem und von Steuerveriinderlichen u abhiingiger ProzeO mit 'freien' End- punkten (to, so) und ( t l , d). Aus vorgegebenen Gebieten sind solche me5baren Steuerungsfunktionen u(t) nnd absohit stetigen Zustandsfunkt,ionen ~ ( t ) zu bestimmcn, daB ein (Ror,z.\-)Wunk- tional

I,' J ( z , u) = g ( P , so, t l , .I) -1- y, z(t) . u( t ) ) dt

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minimal wird (wobei das Integral &Is LEBEsarTEsches vorarisge- setzt wird).

Bevor im Kapitel2 eine ausfiihrliche mathematische Formu- lierung des Problems erfolgt (einschlieBlich der Herleitnng aquivalenter Aufgabenstellungen, der Einordnung des isoperi- metrischen Problems und der Herleitung den Zusaninienhangs zur Variationsrechnung), bringt der Autor im 1. Kapitel eur Motivation mehrere Beispiele; u. a. ein Produktionsplannngsrno- dell mit der Produktionshohe als SteuergroOe, cincn chemischen ProzeB mit Druck- und Temperatursteoerung, die Steuernng von Flugobjekten unter verschiedenen Aspekt.en, die Bestimmiing der Brachistochrone als zeitoptimaler ProzeB mit dcm Bahnnei- gungswinkel als SteuergroBe. Diese Beispiele werden im weiteren ziir Illustration verschiedener Sachverhalte immer wieder fie- mitzt. Der zentrale Teil des Buches beinhaltet, cine annfiihrliohe Unit.ersuchung von Existenzfragen, insbesondere sind hier viele in den letzten Jahren durch den Aiitor (sowie durch L. C ~ S ~ R I 11. a.) erzielte Ergebnisse eingeflossen. Unter verschiedenen Voraussetzungen (Annahmen uber Konvexitiit, Halbstetigkeit, schwache Konvergenz, Hompaktheit u. L.) werden so fur he- stimmte allgemeine Aufgabenklassen in Kapitel 3 und 4 hinrei- chende Bedingungen bewiesen und diskutiert. Das letzte Kapi- tel geht besonders darauf ein, daB bei Approximation durch spezielle relaxierte Systeme oder im Falle linearer Syst>eme, hei denen das Steuergebiet unabhlngig von den Zustandsverander- lichen 2 ist, auf die im allgemeinen schwer iiberpriifbaren Kon- vexitltsforderungen verzichtet werden kann; dabei wird auf elegante Weise auch das sog. Bang-Bang-Prinzip, die Eigcn-