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3. 6. A . S c h o t t s Form der$*elntCvistisc7tm Dynamik und die auccnte~bedbnyzcngen;

von, 31. w. Laue.

Trotzdem bich die rclativistische Dynaiiiik in weitgehender Annlogie zur klassischen ausbilden IaiBt, leidet sie bei der S n - wendung auf bestimmte Problemc meist unter den) rbelstand, daB gewisse, nicht ganz einfache Wurzelausdruckc auftreten, welche sich in letzter Linie auf die Wurzel im ,4usdruck fiir die Energie eincs Nassenpunkts von der Qeschwindigkeit y nnd der Masse m , 9)L CB

zuriickfuhren iassen. Fur die Bewegung eines einzelnen La- dungstragers in einem statischen elektrischen und magnetischen Felde hat G. A. Schott’) dern abzuhelfen gewuBt, indem er statt der Zeit t die Eigenzeit t dcs Korpers einfuhrt. Ves- stehen wir unter y‘ die Ableitung irgendeiner GroEe y nach 7 ,

unter 0 das skalare Poteutial des elektrischen und unter 53 das vektorielle Potential des magnetischen Feldes, so lauteii nach ihm die Rewcgungsgleichul76en in den rechtwinkeligen Iioordinaten 2, .y, 2 :

_I__-

];-;Y- 1’ ’

fu ist dabei der t’cktor mit den Kolnpocenten x’, y’, z’, also die auf clic Eigenzeit t bezogene Geschwindigkeit des Korpers. Sie steht mit der anf t bezogenen Geschwindigkeit q in dem- selben Zusammenhang, wie bei irgendeiner Gri33e y dic Ab- leitung y ’ nach t zur Ableitung (9 nach t , namlich:

1) G. A. Scho t t , Electromagnetic radiation. Cambridge 1912. Vgl. such den demnschst crscheinenden Barid V l des M arsschen Handbuchv dcr Radialogie. Zwar bat schon A. Sonimerfe ld (Phys. Zeitschr. 17. S. 491. 1016) bei der qiiantentlieoretisclien Behandlung des Zeernaneffekts die Eigenzeit eingefiihrt, sonst aber nicht dic Schottsche Form der Bemegungsgleichungen beniitzt.

G. 8. Schotts Form cler relativisfischeiz Dynamik usw. 191

B ist eine Konstante, und zwar die Energie der Bewegung. Von den Bewegungsgleichungen der klassischeu Dynamik unter- scheiden sich die Formeln (1) (abgesehen von der Bedeutung cicr unabhangigen Vesiinderlichen) nur dadurch, da6 die poten- tielle Energie e @ ersetzt ist durch

( E - e - --. (3) 2 V.4 Cp

Deswegen verlauft die Durchrechnung eines bestimmten Pro- blems auch rechnerisch genau wie in der klassischen Dynamik, und man hat nur bei der Bestimmung der sechs Integrations- konstanten dafur Sorge zu tragen, daB die Energie den Wert E erhalt. Man kanu z. B. den Energiesatz sogleich in

hinschreiben; nur mu8 man notwendigerweise die Konstante gleich - + m c z setzen, denn nur dann geht (4), wenn man w 2 nach (2) durch y2 ausdriickt, in die Gleichung uber:

Auch die relativistischen Probleme der Quantentheorie lassen sich am einfachsten nach diesem Verfahren behandeln, da ja bei ihnen (bisher wenigstens) dessen Voraussetzungen immer erfiillt sind. Nun beziehen sich die Quantenregeln auf Integrale von der Form

(5) J'Y~ d Ti 7

wobei die "pi beliebige Koordinaten, Impulse bedeuten. In fjbertragung Dynamik befolgten Verfahrens wird kinetisclien Potential

( E - 0 @pi2 2 = f . m 2 0 8 -1 -~ (6) 2na c('

die {pi die zugehorigen des aus der klassischen man letztere aus dem

+ -"o (to%) durch die Differentiation nach den Ableitungen "p;, also

192 2. D . Law.

zn definieren haben. Denn der ,,klassische" Wert dieses Poten- tials ist

Andererseits aber hat man bei diesen Problemen bisher die Integrale (5) so ausgewertet, daB man die Impulse aus dem kine tischen Po ten tial

(7)

durch Differentiation nach den Geschwindigkeiten +i gewann, also a c*

I l l . ' 7- a +' *

X s fragt sich, ob beide Verfahren zum gleichen Wert fiir eines der Integrale (5) fuhren. Und dies ist offensichtlich d a m der Fall, wenn identisch in den yi und den r$i die Gleichungen

32 a!? aT, ' - a%, -__ -

gelten. Nun ist nach (6):

Das skalare Yrodukt (mi?€) ist in den 'p; linear, ebenso wie ((18) in den c,bi; das erstere geht in das andere uber, wenn man alle spi durch die (pi ersetzt. Deshdb ist

d( rn%, a(q?o a v; (El

Ferner ist to2 eine homogene quadratische Funktion der yi und geht in q 2 uber, falls man dieselbe Vertauschung vornimmt. Deswegen geht dabei auch d(wZ)/dyi' in d(p2) /a@i iiber, und diese beiden Differentialquotienten unterscheiden sich urn den- selben Faktor, wie y+' und Spi, d. h. es ist nach (2)

-----. -

a (/Pj c a($:, . -__ -v-= vl - q x a +,

Damit i u t der Nachweis erbracht, daB fur jeden Impuls, also auch fur jedes Integral von der Form (5), nach beiden Be- rechnungsarten derselbe Wert herauskommt.

G. A. Schotts Xorm der relativistischen Bynamik usw. 193

Dies la8t sich natiirlich auch auf andere Art zeigen. Man hestatigt z. B. leicht nach (6) und (7) die Qleichungen:

und schlieBt aus ihnen, daB sich bei einer Koordinatentrsns- formation die vli kontragredient zu den yj', die q~: kontra- gredient zu den +i transformieren. Die vpC und rji aber unter- liegen den gleichen Tramformationsformeln und auBcrdem stimmen fur die rechtwinkeligen Koordinaten 2, y, z , die man aus (1) ersieht, die Impulse qs usw. mit yx* usw. iiberein. Also stimmen qi und q: auch fur beliebige Koordinaten iiberein.

Driicken wir in (4) 1.2 statt dusch die y; durch die Im- pulse qi am, so finden wir die Energie E als eiue Funktion E ( y , v); und zwar als dieselbe Funktion, wie wenn wir in der gleichbedeutenden Gleichung (4a) q2 durch die Impulse ausdriicken. Infolgedessen ergeben beide Berechnungsarten auch dieselbe Hami l ton - J a c o bi sche Differentialgleichung.

Dies la& sich keineswegs schon daraus schlieben, daS die Bahn des Teilchens und der Ort als Punktion der Zeit bei beiden Berechnungsarten gleich tierauskommen mu6 ; es kijnnte noch zwei verschiedene Wirkungsfunktionen S und S* geben, Daraus folgt namlich nur, wenn wir mit az und cc3 die Konstanten bezeichnen, welche neben der Energiekonstan- ten a, = E in einer vollstandigen Losung dieser Differential- gleichung auftreten, as as* -:-.

a a i a a i

Also muB zwischen S und S" nur der Zusammenhang bestehen:

Aber die Funktion f der Koordinaten y braucht keine Eon- stante, sie konnte sogar mehrwertig sein, 80 dab auch die Periodizitatsmoduln dieser Funktionen, welche fur die Quanten- theorie ihre Bedeutung haben, verschieden ausfallen. Erst wenn man die Tatsache hinzunimmt, daS fur die Eoordinaten x9 Y, z wegen T,LI~ = tpX* usw. die Gleichungen

'p) = A*(@, 94 3- f ( y ) .

- a s as* usw. a x ax Aniialen der Phydk. IV. Folge. 73. 13

194 $1. t-. Laue. G.B.Sc hoits Porm der relativistisch. Dynamik usw.

bestehen, so sieht man, daB die Funktion f nur eine bedeu- tungslose Konstante sein kano.l)

In der Aufstellung der H a m i l t o i l - Jacobischen Diffe- rentialgleichung aber zeigt wieder das S c h o ttsche Verfahrcn seine Einfachheit. Denn man brnucht dicse Gleichung nur nach der klassisclren Dynamik hinzuschreiben und dann die potentielle Energie durci: den Ausdruck (3) liiid, wie in (4), die bei der klassischen Dynamik willkiirliche Konstante diirch - g m c 2 zu ersetzeu.

1) Diem Absatz ist aus ciiier Bwprcchung niit X;rn. W. Gordon her vorgegangen.