G l e i c h m g d 3 i g e K o n v e r g e n z y o n F u n k t i o n s g e f i i g e n

a l s n o t w e n d i g e u n d h i n r e i c h e n d e B e d i n g u n g f a r

d ie S t e t i g k e i t d e r G r e n z f u n k t i o n

Von Tm I~ALUZA jr. in Braunsehweig

In einem abgeschlossenen Intervall (a, b } sei eine Funktionenfolge/, (x) gegeben. (a, b} mSge auf eine beliebige Art dureh Teilpunkte x o --=- a < x~ < . . . < x k = b in endlieh viele Teile zerlegt werden und es mSgen den Teilintervallen irgendwelche - - nicht notwendig verschiedene -- natiirliche Zahlen n~ . . . . . n k zugeordnet werden.

#

Dann bezeichnen wir jeweils die Funktion

I/.~(z) in ~i_~ __< z < ~,, (; = 1 , . . . , ~) ,j (~.) ! /,,k(b) fiir x-= b

als ein aus der Folge ]~ (x) gebildetes Funktionsgefiige. Die kleinste der verwendeten Zahlen ni mSge die Ordnung des betreffenden Gefiiges heil3en.

Wir wollen zeigen: Satz: Eine Folge stetiger Funktionen ],(x) ko~vergiere in (a, b} punktweise gegen

/(x); [(x) ist dann und nur dann 81etig, wenn sieh aus der Folge/,(x) eine gleichm(iflig konvergente Folge g~ (x) yon Funktionsge/ihjen unbeschr(inkt wach- sender Ordnung bilden ldflt.

Beweis: L' Nach einem bekannten Satz (vgl. etwa F. H.~uSDOnFF, 5{engenlehre, 1. Aufl., S. 384/7) ist fiir die Stetigkeit yon /(x) notwendig und hinreichend, da~ es zu jedem e > '0 und zu jedem X aus (a, b) eine offene Umgebung U~(X) yon X und einen Index n x derart gibt, dal~

I / , x ( x ) - / ( x ) t < e in U~(X)

gilt. (Bei a und b ist notfalls an einseitige Stetigkeit und Umgebung zu denken.)

Wir zeigen die s unserer Behauptung mit diesem Satz:

II. /(x) sei stetig. Sind naeh dem Hm~E-Bon~Lsehen Uberdeckungssatz end- lieh viele der in I. genannte n Umgebungen ausgewahlt, die (a, b} tiberdeeken, so liigt sieh eine Einteilung xo,. . . , x k yon {a, b} so vornehmen, dag jeweils (xi_l, x,.) ganz in einer dieser ausgewiihlten Umgebungen liegt. Die zu der betreffenden Um- gebung gemag I. gehSrige Funktion/,x(X) ist dann in (x,._~, x;} bzw. (xk_ ~ , xk)

als Bestandteil eines /(x) bis auf e approximierenden Funktionsgefiiges geeignet.

GleichmS]ige Konvergenz von Funktionsgeffigen 335

Die gleiehmal]ige Konvergenz so erkl'~rter Funktionsgeft~ge bei s.---> 0 ist dann evident und die Existenz yon Geft~gefolgen unbegrenzt waehsender Ordnung folgt daraus, da6 ja fi~r beliebiges N die Funktionen/o(x) . . . . . /~(x) ohne Beeintr~ehti- gung der Voraussetzungen aus der ursprtinglichen Folge gestrichen werden kSnnen.

III. Es existiere eine gleiehmaBig konvergente Folge gn(x) yon Funktions- gefiigen unbeschr~nkt waehsender Ordnung. Aus dem unbegrenzten Waehstum der Ordnungen folgt filr ]edes X aus (a, b}: gn(X) -~/(X). Die Folge gn(x) kon- vergiert also in (a, b} gleiehm~ig gegen/(x). Es sei e > 0, X ein beliebiger Punkt aus (a, b} und n U so groB, dab

I/n(X) - - / ( X ) I < -4- ftir n G no (1)

ist. Dann gibt es ein Funktionsgeffige g(x) einer Ordnung ~ no, ftir alas

I g(x) --/(x) I < ~- in (a, b} (2)

ist. Liegt X im Innern etwa des /-ton Teilintervalles Ji der bei g(x) zugrunde- gelegten Teilung voa (a, b}, so liegt aueh eine Umgebung U~(x) yon x noch in Ji und naeh (2) ist daher

1 - l ( x ) I < 4 < in

wenn y(x) -/,,+(x) in J+ war. Bei X - - a odor = b kann entsprechend geschlossen

werden. Ist aber X - x i (i ~-~- 0, k) ein Teilpunkt, so folgt arts ([)

I i , , . (x)-- I. +,(x) I < 2 ,

wegen der Stetigkeit beider Funktionen folgt daraus ftir eine geeignete zweiseitige Umgebung U~(X) von X

3 I[.i( z ) - /ni+l(x) t < -4 e in U~(X),

und wegen (2) gilt daher ftir n -- n+ und = ni+~

I/n (x) - - / (x) I < e in U~ (X). W. z. z. w.

Als Anwendung geben wir einen sehr kurzen Beweis des bekannten Satzes:

Strebt die Folge stetiger Funktionen In(x) in' (a, b} monoton gegen ein stetiges /(x), so konvergiert sie dort gleiehm~ig.

Bew.: O. B. d. A. kann fn(X) ~ /n+l(X) >= 0 und/(x) ~ 0 angenommen werden. Es gibt dann nach unserem Satz zu jedem s > 0 ein Funktionsgeft~ge g~(x) mit

0 = < g ~ ( x ) < e in (a ,b}.

Ist N der grS~te bei der Bildung yon g~(x) verwendete Index, so gilt wegen der

336 Tm KALUZA jr.: Gleichm~i~ige Konvergenz yon Funktionsgeftigen

Monotonie fiir n ~ N

0 ~/, , (x) <=/~v(x) ~ g~(x) < e in (a, b).

W. z. z. w. Bemerkung: Dai3 die Forderung nach unbeschriinktem Wachstum der Ord-

nungen der Funktionsgefiige nicht fallengelassen werden kann, zeigt folgendes einfache Beispiel:

0 i n l ~ x < 0

f ( x ) =

i in 0 ~ x ~ l ;

Funktionsgefiige g, ( x) :

Z t } ~ - - 1

n 1 bel. ~ n

/.(x)= 0 fiir n----- 0'

1 1-~ n x i n - - n < x <O } / (x) sonst in (--1,-~-1} fiir n > 0 .

2 n

�9 n 2 - ~ O n a beh 4 : 0 ;

dann ist trotz der Stetigkeit der/ , (x) und der Unstetigkeit yon/(x)

'J, ( x ) = / ( x )

gleichmiil~ig konvergent.

(Eingegangen am 10.8.1949)