1 Acta hydrochim. hydrobiol. 1 1 1 1973 1 6 I 565-572

A. GNAUCK

Technische Universitat Dresden, Sektion Wasserwesen, Bereich Hydrobiologie

Grundlagen einer mathematisch-statistischen Theorie fur das stoehastische System ,, Wasseraufbereitung" (0 berflachenwasseraufbereitung)

Zusammenjassung: Die Anwendungsmoglichkeiten systemtheoretischer Methoden zur dy- namisch-statistischen Modellierung des Stoffhaushaltes von Gewlissern sind noch weitgehend unerschlossen. Eine Aufbereitung dieser Verfahren fur Wasserbehandlungsanlagen fehlt vollig.

Die Beschreibung des nichtlinearen stochastischen Systems ,,Wasseraufbereitung" (Oberflachen- wasseraufbereitung) durch das Konzept der linearen Verstarkung ist ein erster Versuch, eine theoretische Vorstellung, systemtheoretische Methoden fur die ProzeBfuhrung von Wasser- aufbereitungsanhgen zuganglich zu machen. Ausgangspunkt der Uberlegungen ist die Tatsache, daB die Parameter des Rohwassers eine groBe Schwanknngsbreite besitzen und somit die Rein- wassergute beeinflussen. Gelingt es, eine Riickkopplungsbeziehung zwischen der Reinwasser- qualitat und der Rohwasserbeschaffenheit unter Berucksichtigung der jeweiligen Aufbereitungs- technologie herzustellen, so erhalt man durch Angabe der Systemkennfunktionen die BIoglichkeit, eine ProzeBsteuerung in den Wasserwerken unter Einbeziehung der stark schwankenden Eingangs- signale zu erreichen.

Eines der wichtigsten Probleme besteht gegenwartig in der Sicherung einer stabilen Wasserversorgung. Die Was'seranfbereitungsanlagen mussen so betrieben werden, dafi unabhangig von den Schwankungen der Rohwassereingangsparanieter stets die geforderte Reinwasserqualitat im Ablanf der Aufbereitungsanlage vorhanden ist. Durch Auswertung langjahriger MeBreihen der Rohwasser- und Reinwasserbeschaffen- heit konnen die Grundlagen fur eine ProzeDstenerung in den Wasserwerken geschaffen werden. Dabei besteht die Aufgabe, sowohl das Gesamtsystem als auch einzelne interne Prozefistrecken zu beschreiben.

Seit 1970 werden in der Deutschen Demokratischen Republik systemtheoretische Methoden auf ihre Verwendbarkeit zur Modellierung des Stoffhaushaltes von Fliefi- gewassem untersucht. Dazu werden lineare Systeme mit stationaren Eingangen zur Beschreibung von Zusamnienhangen zwischen den Beschaffenheitsparametern ver- wendet. Eine ffbertragung des matheniatischen Verfahrens auf Wasseraufbereitungs-

c

Abb. I. Verlauf zeitlich instationarer Signale (nach SCHLITT)

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anlagen ist nicht nioglich, da es sich hier uiii nichtlineare Systeme nlit instationgren Eingangssignalen handelt. Abb. 1 zeigt den typischen Verlauf instationarer Signale, wie sie iin Rohwasser auftreten.

X ( t ) = Die Streuung ist nahezu konstant, der lineare Mittelwert iindert, sich init, der

Y ( t ) = der lineare Mittelwert ist, konstant, die Streuung hat teilmeise sehr unter-

Z(t ) = der lineare Mittelwert und die Streuung sind abhangig von der Zeit,. Die ProzeBfuhrung in den Anlagen eines Wasserwerkes wirkt, selbst wenn sie auf

die Beseitigung eines Wasserinhaltsstoffes gerichtet ist, auf die Inhalt,sst~oRe insgesaint. Zur Aufbereitung werden je nach der Rohwasserbeschaffenheit und der Menge des aufzubereitenden Wassers die verschiedensten Verfahren der physikalischen, che- mischen, biologischen und bakteriologischen Aufbereitung koinbiniert angewendet. Praktisch wird die Verfahrenskonibination von Fall zu Fall festgelegt,. Eine Bndernng der Konibination bzw. der Betriebsweise der Anlagen erfolgt, wenn die Ergebnisse der Reinwasseranalysen uber den geforderten Gutegrenzwerten, etwa der TGL 22 433, liegen. Bei gleichbleibender Betriebsweise der Anlagen ergibt sich eine Abhangigkeit der Reinwassergute von der Rohwasserbeschaffenhit. Dabei andert das Syst)ern Wasseraufbereitung die Eingangssignale in bestinimter Weise, woraus sich Ruck- schliisse auf den Wirkungsgrad der a.ngewendeten Verfahrenskoiiibinnt.ion ziehen lassen. Nach einer Systemanalyse fur die einzelnen ProzeRst,recken kann die Gesanit- kombination in neuer Weise festgelegt werden. Gleichzeit ig lassen sich Vorhersagen fur die zu erwartende Reinwasserqua1it)at treffen.

Konkret lautet dainit die Aufgabe : Das System Wasseraufbereit>ung ist sowohl in seiner Gesanitheit als auch in den einzelnen ProzeRstrecken (z. B. Filterung, Ent'- manganung, Enteisenung usw.) durch Systemkennfunktionen zu beschreiben.

Die abgebildeten Signalverlaufe konnen wie folgt interpretiert werden :

Zeit ;

schiedliche Werte ;

Diese Aufgabe ist etwa durch folgende Schritte losbar:

- Erniittlung der allgemeinen Systemfunktionen anhand vorliegender Zeitreihen. - Veranderung der Systemfunktionen in der Weise, daB die Beschrankungen der Ausgangssignale

- Riickkopplung der Systemfunkt,ionen mit den stark schwankenden Eingangssignalen. - VerLnderung der Systemkennfunktionen, so da13 die Grenzwerte. z. B. der TGL 22433, ein-

eingehslten werden. Durch diese Fnnktionen wird das System besehrieben.

gehalten werden ; SchluBfolgerungen auf die angewendete Aufbereitungst~echnologie (Abb. 2).

Entscheidend erschwert werden die gesamten uberlegungen durch die Tatsache, daB bei nichtlinearen Systemen dnderungen des Signalverlaufes nicht iiiehr durch Superposition zu erhalten sind. Generell ist festzustellen, daR sich nichtlineare

r - - - - - - - 1 1 ,

1 I

Abb. 2. Ruckkopplungsbezieliung zwischen den Systemausgangen nnd den Systenieingangen

Ruckkopplung

Stochastisches System ,,Wasseraufbereitung" 567

Systeme von den linearen eher durch das Fehlen bestimniter Eigenschaften unter- scheiden als durch streng abgrenzbare und verallgenieinerungsfahige Eigenschaften.

Mathematisch gesehen kann die Aufgabe durch Anwendung des BooTomchen Konzepts der aquivalenten Verstarkung, dessen Inhalt in einer Linearisierung des nichtlinearen Systems besteht (BOOTON 1954), gelost werden. Bei diesem Weg besteht die Moglichkeit der Ankniipfung an ein WIENERSCheS Optiniierungsproblem (WIENER 1950).

Der Gedankengang sei kurz aiii einfachsten Fall beschrieben : Die Eingangssignale des Systems werden in einen linearen und einen Verzerrungsanteil aufgespalten. Als Voraussetzungen gelten weiterhin: a) Signaleigenschaften : Die stochastischen Signale seien stationar und ergodisch

und besitzen einen endlichen quadratischen Mittelwert, die linearen Mittelwerte seien gleich Null, die Verteilungsdichtefunktionen seien synimetrisch und es sei

(1) 2J ( t , ox) = K (0,) * ( t ) + v (4 0,)

linearer Verzerrungs- Anteil anteil.

b) Systemeigenschaften : Das nichtlineare System wird isoliert betrachtet und durch y = G (2) beschrieben, es sei energiespeicherfrei.

Das Ziel besteht nun darin, fur das oben dargestellte System eine KenngroSe zu finden, die nur das Systemverhalten hinsichtlich des mit x ( t ) linear korrelierten An- teiles von y ( t ) beschreibt. Zur Vereinfachung der Schreibweise wird u, weggelassen. Es ist (2) v ( t ) = y ( t ) - K . x ( t ) = f ( z ( t ) ) - K z ( t ) . Dann ist

?A +w

4 ( t ) = 1 (f(z(t)) - K x(t))2 * p ( ~ ( t ) ) * ds( t ) -Do

(3)

-A +- = y'(t) + K:! - z"t) - 2K * J z *f(x) * p ( 2 ) dz.

-m

Fur einen Zwischenzeitpunkt z = 0 gilt

Da nach Voraussetzung $ ( t ) = af, erhalt man

Als entscheidende unabhangige Variable tritt hier die Streuung des Eingangssignals auf. K ist die Lquivalente Verstarkung (Abb. 3). Man beachte, dalj durch y ( t , oz) = K(o,) x ( t ) eine Linearitat vorgetauscht wird, die in Wirklichkeit gar nicht vor- handen ist. Nur fur einen festen Wert von ox stellt K einen reinen Proportionalitats- faktor dar. h d e r t sich die Streuung, so spiegeln sich in K(o,) gerade die nicht- linearen Systeineigenschaften naherungsweise wider.

Fur praktische Anwendungen kann von den oben getroffenen Voraussetzungen abgegangen werden in dem zugelassen wird, daB der lineare Mittelwert der Eingangs- 39 Acta hydrochim. 6 (1973)

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gr6Re 3 + 0 und die Verteilung nur noch syminetrisch beziiglich dieses Punktes ist.

Solange die nichtlinearen Systeme keine nichtisolierbaren Speicherelemente ent- halten, konnen sie durch nichtlineare Gleichungen der Form y = f(x) gekennzeichnet, werden. Treten jedoch dynaniische Verzogerungen auf, so ist ~ ( t ) sowohl von x ( t ) als

Abb. 3. Blockschaltbild zur aqivalenteii Ver- s ta rkung fur eine nichtlineare Gleichung der Form y = f (x) (nach SCHLITT)

Ersatzsystem

auch von rnehreren Ableitungen von z ( t ) nach der Zeit abhangig. Das System- verhalten wird dann durch eine nichtlineare Differentialgleichung der Forin y = F (x, P, 1, . . .) charakterisiert. Diese ist entweder direkt losbar, oder es ist eine Naherungslosung zu finden, d. h., fiir das System Wasseraufbereitung init seinen nichtlinearen ubertragungseigenschaften miissen optimale lineare ErsatzkenngroRen G,(t, a,) (Gewichtsfunktion) bzw. KO, ( i o, a,) (Frequenzgang) gefunden werden, die in bestimniter Weise je nach der Art der nichtlinearen Kennlinie von der Streuung der Eingangssignale abhangen. In diesem Sinne ist die zu bestimmende Funktion KO, (i o, ax) als Losung einer WIENERschen Optiniierungsaufgabe gerade die frequenz- abhangige aquivalente Verstiirkung fiir das nichtlineare System Wasseraufbereitung. Die Voraussetzungen des einfachen FalIes gelten unter Beriicksichtigung der Tatsache, da13 das Verfahren nur dann die beste lineare Approxiination liefert, wenn die Ver- teilungsdichtefunktionen GAussschen Charakter haben. Iiii Endeffekt sind dann auch die Kreuzkorrelationsfunktion qzg (7, 0,) und das 1.ireuzleistungsspektrunl X,,(o, 0,) von der Streuung abhangig.

Es sei

(6) und

(7)

(beschreibt

(8)

niit

(9)

+ m

y L ( t ) = J G ( u ) * ~ ( t - U ) du --00

das Verhalten des linearen Ersatzsystenis) und der ubertragungsfehler

e ( t ) = ~ ( t ) - +oo

G ( u ) - x ( t - u) du - m

+ 1 G ( u ) - 1 C ( v ) p , , ( u - ~ ) d v d u . -_ --00

Stochaatisches System ,,Wasseraufbereitung" 5 69

Die Funktion G ist nun so zu bestimnien, dal3 der mittlere quadratische Fehler e 2 ( t ) minimal wird.

Dies geschieht durch Losung eines Variationsproblems, wobeiG(t) a18 Go, ( t ) (optimale realisierbare Gewichtsfunktion) in einer Integralgleichung vom Typ WIENER-HOPF

-

auftritt : +-

pry (7) - J Go, (v) a pxz (7 - - _

(10)

G,,(t, ux) ist eine partikulare Losung von nicht mehr durch reine Verstarkungen

V) dv = 0 , z 2 0 (Abb. 4).

y = f (x, 2, 5, . . .). Fur Nichtlinearitat, die approximiert werden konnen, liefert die

Abb. 4. Einpammetrige Schar von Vergleichs- funktionen, die als Gewichtsfunktionen realisier- barer Systeme moglich sind (nach (SCHLITT)

WIENER-HOPFsche Integralgleichung die Gewichtsfunktion des optimalen h e a r e n Ersatzsystems und die zugehorige FOURIER-Transformierte KO, (i o, ux) stellt die frequenzabhangige aquivalente Verstarknng dar, in deren Form noch die Charakteri- stika der Nichtlinearitaten eingehen.

Mit der geschilderten Methode lassen sich sowohl das Gesamtsystem als auch einzelne ProzeBstrecken des Systems Wasseraufbereitung beschreiben.

Der BooToNsche Ansatz fur die aquivalente Verstarkung unter Einbeziehung des WIENERproblems beruht auf der Verallgemeinerung

wobei der iiiit den1 Eingangssignal z( t ) linear korrelierte Anteil yL( t , u2) durch das Superpositionsintegral fur ein lineares Ersatzsystem mit der streuungsabhangigen Gewichtsfunktion Go, ( t , ux) dargestellt wird (Abb. 5 ) . Das tatsachliche Ausgangssignal y ( t , uX) des nichtlinearen Systems entsteht durch Addition zweier Anteile. Der eine stanimt von dem linearen System, das entweder durch Kor(i w, a,) oder Go, (t , us) gekennzeichnet wird und dessen Ausgangssignal yL ( t , ux) den mit x ( t ) linear korre-

' I I I I I 1

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lierten Anteil von y ( t , a,) darstellt. Das vollstandige Ausgangssignal entsteht durch Addition von v ( t , ax). Im allgeineinen Fall entlialt yL( t , 0%) alle diejenigen Signal- anteile, die durch die bekannte energiespeicherbedingte Signalverformung linearer Systenie charakterisiert sind. Alle nichtlinearen Verzerrungsanteile sind im Zusatz- signal v (t , ax) zusainmengefaBt.

Betrachtet inan z. B. in Abb. 5 die Kennfunktion

so l a B t sich dieses Ergebnis als Rechenvorschrift auffassen, bei der die Rucktransfor- ination von

nur die Unstetigkeiten (Pole) gestattet, die zu einern Verlauf der Ersatzgewichts- funktion ini Bereich positiver Zeiten fuhrt, d. h.

+ 0 fur t 2 0 I = 0 fur t < 0 . GO?.(t> @,f

Fur Gleichung (12) lal3t sich verkiirzt schreiben

Dies ist die FOURIER-Transformierte der opti~nalen realisierbaren Geu-ichtsfunktion Gor(t, 6x1.

(15)

Ausgehend von dem WIENERschen Ansatz ist

%,(T’ ax) = FJ:yL(t, 0x1 und

S,,(w) = Sx,L (w, 0,).

Dann gilt die Gleichung

Kor( i co, ax) = __ * SxyL(w’ cx’, ohne daB die Information iiber das nichtlineare y ( w ) y + ( o )

System beeintrachtigt wird, denn diese ist im Ansatz von y L ( t , 0,) enthalten. Als Autokorrelationsfunktion von y ( t ) erhalt man

(16) %/ (T> @A = (P:yLUL (7, a x ) + q o v (X> gx) >

Q ~ ~ L ~ L ( Z , ~ x ) = J” ~ G ~ , , G ~ , * PJX (t - t ) dt gilt.

Durch Anwendung der WIENER-KHINTCHINE-Transforination auf Gleichung (16) erhiilt man

wobei +-

- M

(17)

(18) Xg:y(m> 0%) = I (i 0, ax) I * flzx (m) + Xw (0, ax).

Die Verformung von Signalen durch verzogerungsbehaftete Nichtlinearitaten Ia13t sich auf zwei verschiedene Ursachen zuruckfuhren (Abb. 6). Der linear mit x ( t )

Stochastisches System ,,Wasseraufbereitung" 57 1

korrelierte Anteil yL erfahrt Verformungen durch systemeigene Verzogerungen und fuhrt im Wirkleistungsspektruni zu IS,,, (w, a,) = [ Kor(i w, a,) 1 2 - Sz,(w), als ob ein ,,lineares" Formfilter mit dem Frequenzgang KO, vorhanden ware. Dazu kommt

0 Abb. 6. Verlauf der Leistungsspektren Kreisfrequenz w

additiv ein Anteil SVv, der auf die amplitudenverzerrenden Eigenschaften des nicht- linearen Systems zuruckzufiihren ist, und dessen spektrale Komponenten im Ein- gangssignal nicht vorhanden waren.

1 .

2 .

3.

4.

5.

Zusaminenfassend ist zu sagen (Abb. 7) : Das nichtlineare System Wasseraufbereitung wird (exakt) durch eine nichtlineare Differentialgleichung der Form y = _F(z(t), ?((t), Z ( t ) . . .) beschrieben. Als linearisierender Ansatz wird

M

YL = J G(u, a,) ~ ( t - U ) dU 0

gewahlt. Das quadratische Mittelwert-Kriteriuin fuhrt auf eine WIENER-HOPFSche Integral- gleichung fur die Gewichtsfunktion Go, (t , a,) :

M

Vxy (z, ax) = J Go, (U, a,) - pz, (z - u) du, 7 2 0 . 0

Als linearisierende ErsatzkenngroDe fur den Zeitbereich erhalt man GOT ( t , a,) = F-1 (Kor(i w, a,)) in Form einer streuungsabhangigen Gewichtsfunktion des optimalen linearen Ersatzsystems. I m Frequenzbereich erhiilt man die Verallgemeinerung von K (a,) als frequenz- und

streuungsabhangige aquivalente Verstarkung : KO, (i w, 0%) = __

Daniit sind die Systemkennfunktionen angegeben. Die jetzt folgende Veranderung der Systemkennfunktionen erscheint nur durch h d e r u n g der Frequenz und damit von t moglich. Eine konkrete Aussage dazu 1aBt sich aber erst bei Vorliegen der Funktionen treffen.

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Fur die praktische Anwendung des vorgeschlagenen Weges kann folgendermaBen vorgegangen werden :

Zuerst werden die Systemkennfunktionen fur einen Wasserinhaltsstoff, z. B. Mangan, beziiglich des Gesamtsystenis und der einzelnen ProzeBstrecken, bestimmt. 1st an einer Stelle eine Grenzwertuberschreitung zu verzeichnen, so wird die System- kennfunktion der entsprechenden ProzeBstrecke verandert, wobei die Auswirkungen dieser h d e r u n g auf die nachfolgenden ProzeBstrecken beriicksichtigt werden niussen. Eine h d e r u n g der Systemkennfunktion bedeutet aber, daS entweder der Reinigungs- effekt der vorhergehenden ProzeBstrecke erhoht oder der technologische Ablauf in der betrachteten Prozenstrecke geandert werden niuB.

Auf diese Weise kann sukzessive das Systeniverhalten fiir die einzelnen Beschaffen- heitsparameter erinittelt und die jeweilig gunstigste Verfahrenskonibination zur Ober- flachenwasseraufbereitung bestimmt werden.

AbschlieBend sei bemerkt, daB die angefiihrten fiberlegungen ein erster Versuch sind, die Methoden der nichtlinearen Systemtheorie in der Wasserwirtschaft anwend- bar zii machen. Sie sind vorerst eine theoretische Vorstellung - kein mit konkreten Daten durchgerechnetes Beispiel - und bediirfen weiterer Diskussionen.

Literatur

BOOTON, R. C. : Nonlinear Control systems with random inputs. I. R. E. Trans. on Circuit Theory,

SCIILTTT, H. : Systemtheorie fur regellose Vorgange. Berlin, Gottingen, Heidelberg, Verlag

- : Stochastische Vorgange in linemen und nichtlinearen Regelkreisen. Berlin, Verlag Technik,

WIENER, N. : Extrapolation, Interpolation and Smoothing of' Stationary Time Series. New York,

PGCT-1 (1954) 3, 49-60.

Springer, 1960.

1970.

John Wiley & Sons, 1950.

Manuskripteingang: 3. 10. 1972.

Anschrift des Verfassers:

Dip].-Math. Albrecht GNAUCK, DDR - 110 Berlin, Lauterbachstr. 3.