Grundlagen Mathematik - 5. Integralrechnungmatthies/Material/WiSe15/Kapitel5.pdf · Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik

Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik

GRUNDLAGEN MATHEMATIK

5. Integralrechnung

Prof. Dr. Gunar Matthies

Wintersemester 2015/16

Motivation

x0 = a x1 x2. . . xn−1 xn = b

G. Matthies Grundlagen Mathematik 2/58

Zerlegungen

Definition

Sei f : [a, b]→ R beschränkt. Für gegebene Zerlegung Z mita = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b

definieren wirmi := inf

x∈[xi−1,xi ]f (x), Mi := sup

x∈[xi−1,xi ]f (x)

als die größte untere bzw. kleinste obere Schranke der Funktion fauf [xi−1, xi ]. Die Größe∣∣Z ∣∣ := max

i=1,...,n(xi − xi−1)

heißt Feinheit der Zerlegung Z . Wir nennen

Of (Z ) :=n∑

i=1

Mi (xi − xi−1), Uf (Z ) :=n∑

i=1

mi (xi − xi−1)

die Obersumme bzw. die Untersumme von f bezüglich Z .


Bestimmtes Integral

Definition

Weiterhin sindI f := inf

ZOf (Z ) und I f := sup

ZUf (Z )

das Oberintegral bzw. das Unterintegral von f auf [a, b], wobeiInfimum und Supremum über alle möglichen Zerlegungen Z von[a, b] gebildet werden. Stimmen Oberintegral und Unterintegralüberein, dann heißt f auf [a, b] (Riemann-)integrierbar und∫ b

af (x) dx := I f = I f

wird als bestimmtes Integral von f über [a, b] bezeichnet.


Geometrische Deutung

• Ist f (x) ≥ 0 auf [a, b], dann ist∫ b

af (x) dx

der Inhalt der Fläche, die durch den Graphen von f , die x-Achse und die Geraden x = a und x = b begrenzt wird.

• Ist f (x) ≤ 0 auf [a, b], dann ist∫ b

af (x) dx

genau der negative Inhalt der Fläche, die durch den Graphenvon f , die x-Achse und die Geraden x = a und x = b begrenztwird.

• Wechselt f auf [a, b] ein- oder mehrmals das Vorzeichen, dannergibt sich der Flächeninhalt als Summe der Flächeninhalteoberhalb und unterhalb der x-Achse.


Existenz von Integralen

Satz

Sei f : [a, b] → R stetig oder monoton. Dann ist f auf [a, b]integrierbar.

Folgerung

Seien p ein Polynom und [a, b] ein beliebiges beschränktes In-tervall. Dann ist p über [a, b] integrierbar. Gleiches gilt für dieSinus-Funktion und die Kosinus-Funktion.


Berechnung von Integralen

Die Definition des bestimmten Integrals ist für die praktische Be-rechnung nicht geeignet.

Satz

Sei f : [a, b] → R eine Funktion, für die das bestimmte Integralvon f über [a, b] existiert. Dann gilt∫ b

af (x) dx = lim

n→∞Of (Zn) = lim

n→∞Uf (Zn),

wobei(Zn

)n∈N eine beliebige Folge von Zerlegungen des Intervalls

[a, b] mit∣∣Zn

∣∣→ 0 für n→∞ ist.

Bemerkung

Für die praktische Rechnung wählt man oft Zerlegungen mit gleichlangen Teilintervallen aus.


Beispiel

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x0 = 1 x1 x2 xn = 1x0 = 1 x1 x2 xn = 1x0 = 1 x1 x2 xn = 1x0 = 1 x1 x2 xn = 1x0 = 1 x1 x2 xn = 1


Rechenregeln für Integrale

Satz

Seien f , g : [a, b] → R integrierbare Funktionen. Dann gelten fürbeliebige c , d , e ∈ [a, b]

• Linearität: α, β ∈ R beliebig∫ d

cαf (x) + βg(x) dx = α

∫ d

cf (x) dx + β

∫ d

cg(x) dx

• Aufspaltung des Intervalls∫ e

cf (x) dx =

∫ d

cf (x) dx +

∫ e

df (x) dx

• Monotonie: Gilt f (x) ≤ g(x) für alle x ∈ [c , d ], dann ist∫ d

cf (x) dx ≤

∫ d

cg(x) dx .


Folgerungen

Insbesondere gelten die folgenden Beziehungen

•∫ c

cf (x) dx = 0

•∫ d

cf (x) dx = −

∫ c

df (x) dx


Mittelwertsatz der Integralrechnung

Satz (Mittelwertsatz)

Sei f : [a, b]→ R stetig. Dann existiert ein z ∈ (a, b) derart, dass∫ b

af (x) dx = (b − a)f (z)

gilt

Satz (Verallgemeinerter Mittelwertsatz)

Seien f , g : [a, b] → R stetig und g(x) > 0 für alle x ∈ [a, b].Dann existiert ein z ∈ (a, b) so, dass∫ b

af (x)g(x) dx = f (z)

∫ b

ag(x) dx

erfüllt ist.


Illustration zum Mittelwertsatz

a z b

f (z)


Stammfunktion

Definition

Seien F , f : [a, b]→ R und F differenzierbar auf (a, b). WennF ′(x) = f (x) für alle x ∈ (a, b),

dann heißt F Stammfunktion von f auf (a, b).

Satz

Sei F : [a, b] → R eine Stammfunktion von f : [a, b] → R. Dannlässt sich jede Stammfunktion G von f auf [a, b] in der Form

G (x) = F (x) + C für alle x ∈ [a, b]

schreiben, wobei C ∈ R eine Konstante ist.


Unbestimmtes Integral

Definition

Die Menge aller Stammfunktionen zu einer Funktion f : [a, b]→ Rauf dem Intervall [a, b] nennen wir unbestimmtes Integral von fauf [a, b]. Es wird als ∫

f (x) dx

geschrieben.

Satz

Seien f , g : [a, b]→ R integrierbar. Dann gilt∫αf (x) + βg(x) dx = α

∫f (x) dx + β

∫g(x) dx

für alle α, β ∈ R.


Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Satz

Sei f : [a, b]→ R stetig. Dann ist F : [a, b]→ R mit

F (x) :=

∫ x

cf (t) dt

für jedes c ∈ [a, b] eine Stammfunktion von f auf [a, b].

Satz

Seien f : [a, b] → R stetig und F eine beliebige Stammfunktionvon f auf [a, b]. Dann gilt∫ d

cf (x) dx = F (d)− F (c) = F (x)

∣∣∣dc

=[F (x)

]dc

für alle c , d ∈ [a, b].


Partielle Integration

Satz

Seien u, v : [a, b]→ R stetig differenzierbar. Dann gelten∫u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)−

∫u′(x)v(x) dx

und ∫ b

au(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)

∣∣∣ba−∫ b

au′(x)v(x) dx .

Die Regel der partiellen Integration ist die Umkehrung der Pro-duktregel der Differentiation.


Substitution

Satz

Seien h : [a, b] → [c , d ] stetig differenzierbar und f : [c, d ] → Rstetig mit Stammfunktion F . Dann gelten∫

f(h(t)

)h′(t) dt =

∫f (x) dx

∣∣x=h(t)

= F(h(t)

)und ∫ b

af(h(t)

)h′(t) dt =

∫ h(b)

h(a)f (x) dx = F (x)

∣∣∣h(b)x=h(a)

.

Die Regel der Substitution ist die Umkehrung der Kettenregel derDifferentiation.


Anwendung der Substitution

1. Ersetze x durch eine umkehrbare Funktion h(t), alsox = h(t) bzw. t = h−1(x)

2. Leite x nach t abdx

dt=

d

dth(t) = h′(t)

und multipliziere formal mit dtdx = h′(t) dt

3. Setze ∫f (x) dx =

∫f(h(t)

)h′(t) dt, t = h−1(x)

oderd∫

c

f (x) dx =

h−1(d)∫h−1(c)

f(h(t)

)h′(t) dt


Integrale rationaler Funktionen

Addition von rationalen Funktionx

x2 + 2+

3x + 1

=x2 + x + 3x2 + 6(x + 1)(x2 + 2)

=4x2 + x + 6

x3 + x2 + 2x + 2

rationale Funktion als Summe einfacherer rationaler Funktionen4x2 + x + 6

x3 + x2 + 2x + 2=

x

x2 + 2+

3x + 1

Nutzung bei Integration∫4x2 + x + 6

x3 + x2 + 2x + 2dx =

∫x

x2 + 2dx +

∫3

x + 1dx

=12ln(x2 + 2) + 3 ln |x + 1|+ C


Zerlegung von Polynomen

Satz

Seien n ∈ N undq(x) = anx

n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0, an 6= 0,

ein Polynom vom Grad n. Dann lässt sich q in der Formq(x) = an(x − x1)r1 . . . (x − xk)rk

(x2 + p1x + q1)s1 . . . (x2 + p`x + q`)s`

mit xi 6= xj für i 6= j , rj , sj ∈ N und quadratischen Polynomenx2 + pjx + qj ohne Nullstellen schreiben.

Beispielex3 − x2 + x − 1 = (x − 1)(x2 + 1),

x5 − x3 − 4x2 − 3x − 2 = (x − 2)(x2 + x + 1)2


Zerlegung von rationalen Funktionen

Gegeben:

echt gebrochen rationale Funktionp(x)

q(x)Wunsch:

p(x)

q(x)=

. . .

(x − x1)r1+ · · ·+ . . .

(x − xk)rk

+. . .

(x2 + p1x + q1)s1+ · · ·+ . . .

(x2 + p`x + q`)s`,

wobei sich die auftretenden Summanden leicht integrieren lassen


Integrale einfacher rationaler Funktionen

Integrale von Linearfaktoren∫dx

(x − a)k=

ln |x − a|+ C , k = 1,−1

k − 11

(x − a)k−1 + C , k ≥ 2,

Integrale der quadratischen Terme∫Bx + C

x2 + px + qdx =

B

2ln(x2 + px + q)

+2C − Bp√4q − p2

arctan2x + p√4q − p2

+ C ,

wobei 4q − p2 > 0 ist, da x2 + px + q keine Nullstellen hat

Die Integrale ∫Bx + C

(x2 + px + q)rdx , r = 2, 3, . . .

schlägt man in einer Formelsammlung nach.G. Matthies Grundlagen Mathematik 22/58

Partialbruchzerlegung I

Satz

Sei f (x) =p(x)

q(x)eine echt gebrochen rationale Funktion, d. h.,

der Grad von p ist kleiner als der Grad von q. Weiterhin besitze qdie Zerlegung

q(x) = (x − x1)r1 · · · (x − xk)rk

(x2 + p1x + q1)s1 · · · (x2 + p`x + q`)s`

mit xi 6= xj für i 6= j , rj , sj ∈ N und quadratischen Polynomenx2 + pjx + qj ohne Nullstellen. Dann kann f mittels der Partial-bruchzerlegung als

f (x) =k∑

i=1

ri∑j=1

Ai ,j

(x − xi )j+∑̀i=1

si∑j=1

Bi ,jx + Ci ,j

(x2 + pix + qi )j

geschrieben werden.


Partialbruchzerlegung II

ausführlich

p(x)

q(x)=

k∑i=1

ri∑j=1

Ai,j

(x − xi )j+∑̀i=1

si∑j=1

Bi,jx + Ci,j

(x2 + pix + qi )j

=A1,1

x − x1+

A1,2

(x − x1)2 + · · ·+ A1,r1

(x − x1)r1

...

+Ak,1

x − xk+

Ak,2

(x − xk)2 + · · ·+ Ak,rk

(x − xk)rk

+B1,1x + C1,1

x2 + p1x + q1+ · · ·+ B1,s1x + C1,s1

(x2 + pix + qi )s1

...

+B`,1x + C`,1

x2 + p`x + q`+ · · ·+ B`,s`x + C`,s`

(x2 + p`x + q`)s`


Beispiele zur Partialbruchzerlegung

f (x) =x

(x − 1)2(x − 2)

=−2x − 1

− 1(x − 1)2 +

2x − 2

f (x) =4x3

(x − 1)(x2 + 1)2

=1

x − 1+−x + 3x2 + 1

+2x − 2

(x2 + 1)2

f (x) =x2 + 1

(x − 1)(x − 2)(x − 3)

=1

x − 1+−5x − 2

+5

x − 3


Bestimmung der Partialbruchzerlegung

Gegeben: rationale Funktion f (x) =p(x)

q(x), wobei der Grad von p

kleiner als der Grad von q ist (sonst zunächst Polynomdivision zurAbspaltung des polynomialen Anteils)

Schrittweises Vorgehen1. Ansatz zur Partialbruchzerlegung

p(x)

q(x)=

A

x − x1+ . . .+

Bx + C

(x2 + px + q)s

2. Multipliziere Ansatz mit q(x). Dies führt auf eine Gleichheitvon Polynomen.

3. Bestimmung der Koeffizienten A,B,C , . . . mittels Koeffizien-tenvergleich und/oder Einsetzen von Werten für x


Beispiel: Bestimmung der Partialbruchzerlegung I

Gesucht:∫

1− x

x2(x2 + 1)dx

Zerlegung des Nennerpolynoms• 0 ist doppelte Nullstelle• x2 + 1 ist quadratischer Faktor ohne Nullstellen

Ansatz1− x

x2(x2 + 1)=

A1

x+

A2

x2 +Bx + C

x2 + 1Multiplikation mit q

1− x = A1x(x2 + 1) + A2(x2 + 1) + (Bx + C )x2

= (A1 + B)x3 + (A2 + C )x2 + A1x + A2

KoeffizientenvergleichA1 + B = 0, A2 + C = 0, A1 = −1, A2 = 1


Beispiel: Bestimmung der Partialbruchzerlegung II

KoeffizientenvergleichA1 + B = 0, A2 + C = 0, A1 = −1, A2 = 1

KoeffizientenA1 = −1, A2 = 1, B = 1, C = −1

in Ansatz1− x

x2(x2 + 1)=

A1

x+

A2

x2 +Bx + C

x2 + 1einsetzen:

1− x

x2(x2 + 1)=−1x

+1x2 +

x − 1x2 + 1

Integral bestimmen∫1− x

x2(x2 + 1)dx =

∫−1x

dx +

∫1x2 dx +

∫x − 1x2 + 1

dx

= − ln |x | − 1x

+12ln(x2 + 1)− arctan(x) + C


Beispiel: Bestimmung der Partialbruchzerlegung III

Gesucht:∫

5x + 1x2 + x − 6

dx

Zerlegung des Nennerpolynoms: x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3)

Ansatz:5x + 1

x2 + x − 6=

A1

x − 2+

A2

x + 3Multiplikation mit q

5x + 1 = A1(x + 3) + A2(x − 2) = (A1 + A2)x + 3A1 − 2A2

Einsetzmethode

x = 2 : 5 · 2 + 1 = 11 = (3 + 2)A1 = 5A1

x = −3 : 5 · (−3) + 1= −14 =(−3− 2)A2 = −5A2

}⇒

A1 =

115

A2 =145

somit ∫5x + 1

x2 + x − 6dx =

115

∫1

x − 2dx +

145

∫1

x + 3dx

=115

ln |x − 2|+ 145

ln |x + 3|+ C


Integrale über Ausdrücke mit Winkelfunktionen

Beispiele ∫dx

sin(x),

∫cos(x)

2 + sin(x)dx

Generalsubstitution nach Weierstraßt = tan

(x2

)

Umrechungen

sin(x) =2t

1 + t2, cos(x) =

1− t2

1 + t2, dx =

21 + t2

dt


Integrale über Ausdrücke mit Exponentialfunktionen

Beispiele ∫e2x

1 + exdx ,

∫ex

e2x + ex − 2dx

Substitution

t = ex , x = ln(t), dx =1tdt

Beispiele ∫e2x

1 + exdx =

∫t2

1 + t

1tdt =

∫t

1 + tdt

∫ex

e2x + ex − 2dx =

∫t

t2 + t − 21tdt =

∫1

t2 + t − 2dt


Begriff: Uneigentliche Integrale

2 Arten1. Integrale über unbeschränkte Bereiche

b∫−∞

f (x) dx ,

∞∫a

f (x) dx ,

∞∫−∞

f (x) dx ,

2. Integrale über unbeschränkte Funktionen


Beispiele für uneigentliche Integrale I

1 2 3 4 5 6

1

2 ∫ ∞1

1xdx


Beispiele für uneigentliche Integrale II

1 2 3 4 5 6

1

2

∫ ∞1

1x2 dx


Beispiele für uneigentliche Integrale III

1 2 3

1

2

3

4

∫ 2

0

1√xdx


Uneigentliche Integrale I

Definition

Sei f : D → R. Dann heißt f lokal integrierbar über D, falls füber jedem abgeschlossenen Intervall [a, b] ⊂ D integrierbar ist.

Falls die auftretenden Grenzwerte existieren, setzen wir für dielokal integrierbare Funktion f

1.∫ ∞a

f (x) dx = limz→∞

∫ z

af (x) dx

2.∫ b

−∞f (x) dx = lim

z→−∞

∫ b

zf (x) dx

3.∫ ∞−∞

f (x) dx =

∫ a

−∞f (x) dx +

∫ ∞a

f (x) dx

mit a ∈ R beliebig.


Uneigentliche Integrale II

Definition

Sei f : D → R lokal integierbar. Falls die auftretenden Grenzwerteexistieren, definieren wir

4. D = (a, b] :

∫ b

af (x) dx = lim

z→a+0

∫ b

zf (x) dx

5. D = [a, b) :

∫ b

af (x) dx = lim

z→b−0

∫ z

af (x) dx

6. D = (a, b) :

∫ b

af (x) dx =

∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx

mit c ∈ (a, b) beliebig

7. D = [a, b] \ {c} :

∫ b

af (x) dx =

∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx

Die Integralaufteilung in den Fällen 3, 6 und 7 sorgt dafür, dassfür jede Problemstelle ein separater Grenzprozess betrachtet wird.G. Matthies Grundlagen Mathematik 37/58

Beispiel

Untersuchung von∫ ∞

1

dx

xαmit α ∈ R

für [a, z ] ⊂ [1,∞) ergibt sich∫ z

a

dx

xα=

1

1− α1

xα−1

∣∣∣za, α 6= 1,

ln |x |∣∣∣za, α = 1,

somit: f ist über [1,∞) lokal integrierbar

α > 1 ∫ ∞1

dx

xα= lim

z→∞

∫ z

1

dx

xα=

11− α

limz→∞

(1

zα−1 − 1)

=1

1− α(−1) =

1α− 1


Beispiel


1

dx

xαmit α ∈ R


a

dx

xα=

1

1− α1

xα−1

∣∣∣za, α 6= 1,

ln |x |∣∣∣za, α = 1,


α = 1 ∫ ∞1

dx

x= lim

z→∞

∫ z

1

dx

x= lim

z→∞

(ln |z | − 0

)= lim

z→∞ln |z | =∞


Beispiel


1

dx

xαmit α ∈ R


a

dx

xα=

1

1− α1

xα−1

∣∣∣za, α 6= 1,

ln |x |∣∣∣za, α = 1,


α < 1 ∫ ∞1

dx

xα= lim

z→∞

∫ z

1

dx

xα=

11− α

limz→∞

(1

zα−1 − 1)

=∞

da 1− α > 0 und somit limz→∞

1zα−1 = lim

z→∞z1−α =∞


Anwendungen der Integration

Bestimmung des Inhalts der Fläche zwischen einem Funktionsgra-phen und der x-Achse

−1 −0.5 0.5 1

−0.4

−0.2

0.2

0.4 f (x) = x3 − x


Anwendungen der Integration

Bestimmung des Flächeninhalts zwischen zwei Funktionsgraphen

−1 −0.5 0.5 1

−1

−0.5

0.5

1

f (x) = x3

g(x) = x


Bogenlänge

Sei f : [a, b] → R stetig differenzierbar. Wie lang ist die Kurve,die der Graph von f in der Ebene beschreibt?

a xi−1 xi b

Länge des Kantenzuges approximiert Länge der KurveG. Matthies Grundlagen Mathematik 40/58

Bogenlänge

Satz des Pythagoras für ∆xi = xi − xi−1, ∆yi = yi − yi−1:s2i = (xi − xi−1)2 + (yi − yi−1)2

= ∆x2i

(1 +

(∆yi∆xi

)2)

Länge des Kantenzuges

L(Z ) =n∑

i=1

si =n∑

i=1

√1 +

(∆yi∆xi

)2

∆xi

immer feiner werdende Zerlegungen∆yi∆xi→ f ′(xi )

Formel für Bogenlänge

L =

∫ b

a

√1 +

(f ′(x)

)2dx


Rotationskörper I

Graph einer Funktion f mit f (x) ≥ 0 rotiert um eine feste Achse,z. B. die x-Achse

=⇒ Rotationskörper entsteht

0.5 1 1.5 2

−1

1

x

y


Rotationskörper II

x

yz


Volumen von Rotationskörpern

x

yz

Körper durch Zylinderscheiben mit Querschnitt Qi approximieren

V (Z ) =n∑

i=1

Qi∆xi =n∑

i=1

π(f (xi )

)2∆xi

Grenzübergang: Volumen des Rotationskörpers

V = π

∫ b

a

(f (x)

)2dx


Inhalt der Mantelfläche von Rotationskörpern

x

yz

Körper durch Kegelstümpfe approximieren

M(Z ) =n∑

i=1

Mi

Grenzübergang: Inhalt der Mantelfläche des Rotationskörpers

M = 2π∫ b

af (x)

√1 +

(f ′(x)

)2dx


Inhalt der Mantelfläche eines Kegels

lr

l

l

2πr

α

Abwicklung des Kegelmantel = KreissegmentAseg

AKreis=

α

2π=

2πr2πl


Aseg =r

lπl2 = πrl


Inhalt der Mantelfläche eines Kegelstumpfes

l1

l2 − l1

l2

r1r2

r1r2

=l1l2

Inhalt der Mantelfläche eines KegelstumpfesAM = πr2l2 − πr1l1 = πr2l2 −πr2l1 + πr1l2︸︷︷︸

= 0

−πr1l1

= π(r1 + r2)(l2 − l1)



Inhalt der Mantelfläche

Mi = π(f (xi ) + f (xi + ∆xi )

)√∆x2

i + ∆y2i

= 2πf (xi ) + f (xi + ∆xi )

2

√1 +

(∆yi∆xi

)2

∆xi

Erinnerung

M(Z ) =n∑

i=1

Mi

Grenzübergang: Inhalt der Mantelfläche des Rotationskörpers

M = 2π∫ b

af (x)

√1 +

(f ′(x)

)2dx


Schwerpunkte

Erinnerung

Sind in den Punkten (x1, y1), . . . , (xn, yn) die Massenm1, . . . , mn angebracht, dann befindet sich der Schwer-punkt des Systems in (xs , ys) mit

xs =1M

n∑i=1

ximi , ys =1M

n∑i=1

yimi ,

wobei

M =n∑

i=1

mi

die Gesamtmasse des Systems darstellt.


Berechnung von Schwerpunkten ebener Flächen I

Flächenstück ist oben und unten durch die Graphen der Funktionenf und g sowie seitlich durch die Geraden x = a und x = b begrenzt

a b

f

g


Berechnung von Schwerpunkten ebener Flächen II

a xi−1 xi b

f

g

f (xi )

g(xi )

f (xi ) + g(xi )

2

Anteile einer TeilflächeMi =

(f (xi )−g(xi )

)∆xi ,

Mxi =xiMi

=xi(f (xi )−g(xi )

)∆xi ,

Myi =yiMi

=f (xi )+g(xi )

2Mi

=

(f (xi ))2−

(g(xi )

)22

∆xi

M =

∫ b

a

(f (x)−g(x)

)dx ,

Mx =

∫ b

ax(f (x)−g(x)

)dx , My =

12

∫ b

a

(f (x))2−

(g(x)

)2dx


Schwerpunkt von Rotationskörpern

Der Graph der Funktion f : [a, b] → R mit f (x) ≥ 0 für allex ∈ [a, b] rotiere um die x-Achse.

Bestimmung der x-Koordinate des Schwerpunktes

M(Z ) =n∑

i=1

π(f (xi )

)2∆xi , Mx(Z ) =

n∑i=1

xiπ(f (xi )

)2∆xi

Grenzübergang

M = π

∫ b

a

(f (x)

)2dx , Mx = π

∫ b

ax(f (x)

)2dx

Koordinaten des Schwerpunktes

xs =Mx

M, ys = 0, zs = 0

unter Ausnutzung der Rotationssymmetrie


Numerische Integration I

x0 = a x1 x2. . . xn−1 xn = b

Rechteckformel (linksseitig): Q(f ) =n∑

i=1

f (xi−1)(xi − xi−1)


Numerische Integration II

x0 = a x1 x2. . . xn−1 xn = b

Rechteckformel (rechtsseitig): Q(f ) =n∑

i=1

f (xi )(xi − xi−1)


Numerische Integration III

x0 = a x1 x2. . . xn−1 xn = b

Trapezformel Q(f ) =n∑

i=1

f (xi−1) + f (xi )

2(xi − xi−1)


Newton-Cotes-Formeln

Allgemeine Idee:

Ersetze die zu integrierende Funktion durch ein Interpo-lationspolynom und integriere dieses dann exakt

∫ b

af (x) dx ≈

∫ b

ap(x) dx

Interpolation durch quadratische Polynome∫ b

af (x) dx ≈ b − a

6

(f (a) + 4f

(a + b

2

)+ f (b)

)Simpson-Formel: integriert sogar Polynome dritten Grades exakt


Zusammengesetzte Quadraturformeln

Idee:Statt Interpolationspolynome hohen Grades zu bestim-men und diese dann zu integrieren, teile das Intervall[a, b] in (gleich lange) Teilintervalle und nutze dort ein-fache Formeln

Zusammengesetzte Simpson-Formel∫ b

af (x) dx ≈ h

6

(f (a) + 2

n−1∑k=1

f (xk) + f (b)

+ 4n∑

k=1

f

(xk−1 + xk

2

))mit

h =b − a

n, xk = a + k h, k = 0, . . . , n


Beispiel für zusammengesetzte Quadraturformeln

Gesucht: Näherungswert für∫ π/2

0sin(x) dx = 1

Fehler für zusammengesetzte Quadraturformeln

n � (links) � (rechts) Trapez Simpson4 2.09 · 10−1 1.83 · 10−1 1.28 · 10−2 8.29 · 10−6

8 1.01 · 10−1 9.49 · 10−2 3.21 · 10−3 5.16 · 10−7

16 4.98 · 10−2 4.82 · 10−2 8.03 · 10−4 3.22 · 10−8

32 2.47 · 10−2 2.43 · 10−2 2.00 · 10−4 2.01 · 10−9

64 1.23 · 10−2 1.22 · 10−2 5.02 · 10−5 1.26 · 10−10

128 6.14 · 10−3 6.12 · 10−3 1.25 · 10−5 7.87 · 10−12

256 3.07 · 10−3 3.06 · 10−3 3.13 · 10−6 4.91 · 10−13

512 1.53 · 10−3 1.53 · 10−3 7.84 · 10−7 3.10 · 10−14

1024 7.67 · 10−4 7.66 · 10−4 1.96 · 10−7 2.22 · 10−15

Faktor 2 2 4 16


Documents

Grundlagen Mathematik - 5. Integralrechnungmatthies/Material/WiSe15/Kapitel5.pdf · Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik