Grundstruktur einer Regelung Gesichtspunkte für die ... · 10 37 Charakterisierung von Regelstrecken ohne Ausgleich anhand ihrer Sprungantwort Wendetangente Wendepunkt x(t) x T g

1

1

Standardregler

Version 19.05.04

2

Übersicht

PID-ReglerEinstellregeln von Ziegler und NicholsCharakterisierung von RegelstreckenFaustformelverfahren

3

Grundstruktur einer Regelung

Reglerfunktional: u(t)=F{e(t)}

Regler Regel-strecke

Führungs-größe w(t)

Regelgröße y(t)Stellgrößeu(t)

Regel-abweichung e(t)+

-

4

Gesichtspunkte für die Strukturwahl

Flexibilität: Das Reglerfunktional soll an unterschiedliche Regelungsstrecken und –ziele anpassbar sein.

Der Aufwand für die technische Realisierung des Regler-funktionals soll nicht zu groß sein.

Transparenz: Veränderungen der Werte der Reglerpara-meter sollen sich überschaubar auf das Regelungsver-halten auswirken. Dies ist eine Voraussetzung für die Optimierbarkeit der Reglerparameter von Hand.

Es sollen mathematische oder rechnergestützte Verfahren zur modellgestützten Optimierung der Reglerparameter verfügbar sein.

2

5

Unterschiedliche Parametrisierungen des PID-Reglers

Kp

e u++ +

KI

Kdddt

∫

1

e u+

+ +

Tvddt

∫ K R1Tn

mathematische Parametrisierung

technisch übliche Parametrisierung

KR : ReglerverstärkungTn : NachstellzeitTv : Vorhaltezeit

KR=KPTn=KP/KITv=KD/KP

KP=KRKI=KR/TnKD=Tv KR

6

Reglergesetz des PID-Reglers

Regelabweichung e(t), Stellgröße u(t)Reglerfunktional: e(t) -> u(t)

P-Anteil: „Je größer die Regelabweichung e umso größer die Stellgröße u“.I-Anteil: „Je länger eine Regelabweichung e auftritt, umso stärker muss die Regelung eingreifen.“D-Anteil: „Je stärker sich die Regelabweichung e verändert, umso stärker muss die Regelung eingreifen.“

0

( ) ( ) / ( ) ( )t

R R n R vu t K e t K T e d K T e tτ τ= + +∫

7

Transparenz der technisch üblichen Parametrisierung des PID-Reglers

1

e u+

+ +

Tv d dt

∫ KR1 Tn

Vv dynamisches

System

Verstärkungsfaktor

RegelstreckePID-Regler

+ +

ϑsoll ϑist

Zur Transparenz von KR:

Änderungen des Verstärkungsfaktors V der Regelstrecke lassen sich durch Änderungen von KR kompensieren.

8

Transparenz der technisch üblichen Parametrisierung des PID-Reglers

0 2 4 6 8 t

-1

0

-2

1

2

e

e(t) e(t/2)

0 2 4 6 8 t

u(t) u(t/2)

u

-50

-10

-15

51015

Zur Transparenz von Tn und Tν: Leichte Anpassbarkeit an ein verändertes Zeitverhalten der Regelstrecke

Ausgezogene Kurven: KR = 5, Tn = 2, Tν = 1Gestrichelte Kurven: KR = 5, Tn = 4, Tν = 2

3

9

Die Übertragungsfunktion des P- und I-Reglers

KR E U K IR

s E U

P-Regler:=

−=

Zeitbereich :LaplaceBereich :

R

R

Übertragungsfunktion

u K e

U K E

I-Regler: =

=

− =

⇒ =

∫0

Übertragungsfunktion

Zeitbereich : ( ') '

Differentiation :Laplace Bereich :

t

IR t

IR

IR

IR

u K e t dt

u K esU K E

KU Es

10

Die Übertragungsfunktion des PI-Reglers

Zeitbereich:

Differentiation:

0

1( ') ')

t

R tn

u K e e t dtT

= + ∫

RR

n

Ku K e eT

= +

Laplace-Bereich:

RR

n

KsU K s ET

= +

⇒ Übertragungsfunktion:

= +

1( ) 1R

n

G s KT s

11

Die Übertragungsfunktion des PID-Reglers

Zeitbereich: τ τ

= + +

∫0

1( )

t

R vtn

deu K e e d TT dt

Differentiation: = + +RR R v

n

Ku K e e K T eT

Laplace-Bereich:

= + +

⇒ = + +

2

2 1

RR R v

n

Rv

n

KsU K sE E K T s ET

KU T s s Es T

⇒ Übertragungsfunktion:

= + +

2 1

( ) Rv

n

KG s T s ss T

12

Der P-Regler

t

u

Reglerfunktional: Ru K e=

KR: „Übertragungsbeiwert“

Übertragungsfunktion: G(s) = KR

Sprungantwort:

Symbol:

4

13

Der I-Regler

t

u

Steigung KIR

Reglerfunktional:0

( )t

IR t

IR

u K e d

u K e

τ τ=

⇒ =

∫

Übertragungsfunktion: =( ) IRKG ss

Sprungantwort:

Symbol:

14

Der PD-Regler

t

u Impulsfläche KR Tv

KR

Reglerfunktional: = +

R vdeu K e Tdt

Tv: Vorhaltezeit

Übertragungsfunktion: = +( ) (1 )R vG s K T s

(Zählergrad > Nennergrad!)

Sprungantwort:

Symbol:

= ++

( ) (1 )1

vR

T sG s KTs

D-Anteil wird technisch durch ein DT1-Glied realisiert mit T<<Tv

15

Elektronische Realisierung von P-Reglern

u e 1

e 2 R

R R 1

R 2

R 0

P-Regler, Summation, Differenzbildung:

0 02 1

2 1

R Ru e eR R

= −Inverter

16

Elektronische Realisierung von I- und PI-Reglern

R 0

R

C

R

C I-Regler:

PI-Regler:

= −∫1u e dt

RC

= − −∫ 01

Ru e dt eRC R

5

17

Der PI-Regler

t

u Steigung KIR /Tn

Tn

KR

Reglerfunktional:0

1( ) )

t

R tn

u K e e dT

τ τ

= +

∫KR: ÜbertragungsbeiwertTn: Nachstellzeit

Übertragungsfunktion: = +1

( ) (1 )Rn

G s KT s

Sprungantwort:

Symbol:

18

Elektronische Realisierung von D-Reglern

R

C

L

R

Realisierung mit Kapazität:

= −( )G s RC s

Realisierung mit Induktivität:

= −( )LG s sR

19

Elektronische Realisierung von PID-Reglern

= − + + +0 10 1

1 0 1 0

1( ) ( )

R CG s R C sR C R C s

R 0

R1

C0

C1

P I D

20

Industrieller PID-Regler

Anti- Windup

u

TnK R

K R

K RTVZ

e

y

z

1

TV

Standard-PID

P

I

D

Vorfilter für D-Anteil

Anti-Windup

Stellgrößen-begrenzer

Unempfindlich-keitszone

Störgrößen-aufschaltung

6

21

Modellgestützte Regleroptimierung

Regelungsziele

Modell der Regelstrecke

reale Regelstrecke

Optimierungsverfahren

Reglerparameter

KR Tn Tv

Modellgestützte Optimierung eines PID-Reglers

22

Einstellregeln von Ziegler und Nichols Neuronales Netz

artikulierbares Wissen:Regelstrategien WENN-DANN-Regeln

Regelstrecke( )R vn

1 deu=K 1 e t ' dt ' T

T dt + +

∫

KR Tn Tv

e u ϑ istϑsoll

Einstellung der Reglerparameter eines PID-Reglers von Hand

23

Einstellregeln von Ziegler und Nichols

Klassisches Verfahren zur Dimensionierung von PID-ReglernReglereinstellung ohne StreckenmodellAnalyse der Sprungantwort der Strecke (open-loop)

Ermittle Kenngrößen der SprungantwortBestimme aus diesen die Parameter des PID-Reglers

Analyse des geschlossenen Regelkreises (closed-loop)Stabilisiere Strecke mit einem P-Regler, Erhöhe die statische Verstärkung des Reglers bis der geschlossene Kreis instabil wirdErmittle die Reglerparameter aus Kenngrößen im grenzstabilen Verhalten.

24


Closed-Loop-VerfahrenVoraussetzung: Die Regelstrecke ist stabil und kann zeitweise im grenzstabilen Bereich betrieben werdenDer Regelkreis wird mit Hilfe eines P-Reglers geschlossen.Die Reglerverstärkung wird solange erhöht, bis der geschlossene Kreis nach einer Sollwertänderung eine Dauerschwingung ausführt. Die dabei eingestellte Reglerverstärkung heisst KR,k, die Periodendauer Tk.

7

25

Kritische Verstärkung und Periodendauer

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

t

y(t)

Kp=5

Kp=3

Kp=1

Tk≈2

26


TνTnKRRegler

0,12 TK0,5 TK0,6 KR,kPID

-0,88 Tk0,45 KR,kPI

--0,5 KR,kP

Stabilitätsgrenze des proportional geregeltenSystems wird experimentell ermittelt

KR,k: kritische VerstärkungTk: Periodendauer bei kritischer Verstärkung

27

Einstellregeln von Ziegler und NicholsRegelstrecke:

Kritische Verstärkung KR,k= 5Periodendauer Tk= 2P-Regler: KR=2.5 -> Kp=2.5PID-Regler: KR=2.25, Tn=1.76 -> Kp=2.25, KI=1.28PID-Regler: KR=3, Tn=1 , Tv=0.24 -> Kp=3, KI=3, KD=0.72

ziegler_nichols.mdl

28-2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

u(t),y(t)

t

Sprungantwort

Die Sprungantwort (Übergangsfunktion) beschreibt wie die Regelstrecke auf eine sprungförmige Eingangsgröße reagiert.Sprungfunktion:

0 für 0( )

1 für 0t

tt

σ<

= ≥

Sprungfunktion u(t)

Sprungantwort y(t)

8

29

Statische Verstärkung

Für stabile Systeme nähert sich die Sprungantwort für t->∞ einem Endwert y(∞), der die statische Verstärkung Ks des Systems beschreibt.

-2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

u(t),y(t)

t

Statische Verstärkung

30

Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

t

y(t)

PID-Regler

PI-Regler

P-Regler

310 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

y(t)

t

Sprungantwort des geschlossenen RegelkreisesReduktion des Überschwingens durch größere Nachstellzeit Tn=2

Tn=1

Tn=2

32


Voraussetzungen: Die Regelstrecke ist stabil und weist näherungsweise aperiodisches Übergangsverhalten auf.Durch Experimente mit der Regelstrecke wird die Sprungantwort bestimmt.Aus der Sprungantwort werden statische Verstärkung Ks, Totzeit Ttund Ausgleichszeit Tg bestimmt

pt_1_T_t.mdl

9

33


Statische Verstärkung Ks, Totzeit Tt und Ausgleichszeit Tg

Tt=2

Tg=3Ks=2

Wendetangente

Wendepunkt

34

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y(t)

t

Einstellregeln von Ziegler und NicholsStatische Verstärkung Ks, Verzugszeit Tu , Ausgleichszeit Tg

Tu

Tg

Ks

Wendetangente

Wendepunkt

35

Regelstrecken ohne Ausgleich

u x ∫ 1

1 t

x(t)

u(t)

x

u

Gleichstrommotor

Teilsystem ∫ϕω

Integrierglied (links) mit Sprungantwort x(t) als Beispiel für eine Regelstrecke ohne Ausgleich

Gleichstrommotor als Beispiel für eine Regelstrecke ohne Ausgleich. Die Eingangsgröße u ist eine elektrische Spannung, die Ausgangsgröße ϕ ist der Drehwinkel. Die Winkelgeschwindigkeit ω ist eine innere dynamische Größe.

36

Charakterisierung von Regelstrecken mit Ausgleich anhand ihrer Sprungantwort

Wendetangente

Wendepunkt

x(t)Tg

KS

Tut

x

Charakterisierung der Sprungantwort einer Regelstrecke mit Ausgleich durch die Kenngrößen

- Statische Verstärkung KS

- Verzugszeit Tu

- Ausgleichszeit Tg

10

37

Charakterisierung von Regelstrecken ohne Ausgleich anhand ihrer Sprungantwort

Wendetangente

Wendepunkt

x(t) x

Tg KIS

Tu t

Charakterisierung der Sprungantwort einer Regelstrecke ohne Ausgleich durch die Kenngrößen KIS , Tu und Tg . Dargestellt ist die Ableitung der Sprungantwort x(t) der Regelstrecke für eine sprungförmige Änderung der Eingangsgröße mit der Sprunghöhe 1.

( )x t

38


TνTnKRRegler

0.5 Tt2 Tt1.2 Tg/KsTtPID

-3.33 Tt0.9 Tg/KsTtPI

--Tg/KsTtP

Statische Verstärkung Ks , Totzeit/Verzugszeit Tt ,Ausgleichszeit Tg

Ks=2 , Tt =2 , Tg=3P : KR=0.75PI : KR=0.67, Tn=6.66 PID : KR=0.9, Tn=4, Tv=1

pt_1_T_t_PID.mdl

39


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

y(t)

PID-Regler

PI-Regler

P-Regler

40


PID-Regler mit reduziertem Überschwingen Tn=4Tt

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y(t)

t

Tn=2Tt

Tn=4Tt

11

41

Faustformeln nach Samal

Faustformeln für Regelstrecken mit Ausgleich

Reglertyp

Regelungsziele

gutes Führungsverhalten gutes Störverhalten

möglichst keinÜberschwingen

Überschwingenakzeptabel



K ~~ 0.3R1

K S T u

T g K ~~ 0.71R1

K S T u

T g K ~~ 0.3R1

K S T u

T g K ~~ 0.71R1

K S T u

T gP

PIK ~~ 0.34R

1K S T u

T g

T ~~ 1.2n T g

K ~~ 0.59R1

K S T u

T g

T ~~n T g

K ~~ 0.59R1K S T u

T g

T ~~ 4n Tu

K ~~ 0.71R1

K S T u

T g

T ~~ 2.3n Tu

PIDK ~~ 0.59R

1K S T u

T g

T ~~n T g

K ~~ 0.95R1

K S T u

T g

T ~~n Tg

K ~~ 0.95R1K S T u

T g

T ~~ 2.4n T u

K ~~ 1.2R1

K S T u

T g

T ~~ 2n T u1.35

T ~~v Tu T ~~v Tu T ~~ 0.42v Tu T ~~ 0.42v Tu0.470.5

42

Faustformeln für Regelstrecken ohne Ausgleich

Reglertyp

Regelungsziele

gutes Führungsverhalten gutes Störverhalten





K ~~ 0.3R1

K IS T uK ~~ 0.71R

1K T u

K ~~ 0.3R1

K T uK ~~ 0.71R

1K T u

P

PIK ~~ 0.34R

1K T u

K ~~ 0.59R1

K T uK ~~ 0.59R

1K T u

T ~~ 4n Tu

K ~~ 0.71R1

K T u

T ~~ 2.3n Tu

PID K ~~ 0.59R1

K T uK ~~ 0.95R

1K T u

K ~~ 0.95R1

K T u

T ~~ 2.4n Tu

K ~~ 1.2R1

K T u

T ~~ 2n Tu

T ~~v Tu T ~~v Tu T ~~ 0.42v Tu T ~~ 0.42v Tu0.470.5

1

IS

1

IS

1

IS

1

IS

1

IS

1

IS

1

IS

1

IS

1

IS

1

IS

1

IS

1

bzw.

PI

Faustformeln nach Samal

43

Entwurfsbeispiel für das Faustformelverfahren

Glühofenu ϑ

MessgliedStellglied

Strukturbild eines gasbeheizten Glühofens mit der Eingangsgröße u (Ventilstellung des Gasventils) und der Ausgangsgröße ϑ (Temperatur)

Aus der Sprungantwort liest man die Kennwerte

= = =2 2 10.7 310u gK T T

44


ϑ

2000

1500

1000

500

0

°C 2000

1500

1000

500

0

uϑ(t)

u(t)

t/s0 400 800 1200 1600

Ks= =220001000

ϑ

2000

1500

1000

500

0

°C

ϑ(t)

t/s0 100 200 300 400

Tg

Tu

Sprungantwort ϑ(t) des Glühofens für u(t) ≡ 1000

12

45


Hiermit liefert die Faustformeltabelle für die Entwurfs-ziele „gutes Führungsverhalten“ und „möglichst kein Überschwingen“ folgende Einstellwerte für die Ausle-gung eines P-, PI- bzw. PID-Reglers:

P KR = 4.35PI KR = 4.93 Tn = 372PID KR = 8.55 Tn = 310 Tν = 5.35

GlühofenRegler r e u ϑ

Glühofen-Regelungssystem46


0 100 200 300 400t/s

u(t)

ϑ

1200

1000°C

800

600

400

200

0

u

12000

10000

8000

6000

4000

2000

0

ϑ(t)

ϑsoll

P

0 100 200 300 400t/s

u(t)

ϑ

1200

1000°C

800

600

400

200

0

u

12000

10000

8000

6000

4000

2000

0

ϑ(t)

ϑsoll

PI

0 100 200 300 400t/s

u(t)

ϑ

1200

1000°C

800

600

400

200

0

u

12000

10000

8000

6000

4000

2000

0

ϑ(t)

ϑsoll

PID

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Grundstruktur einer Regelung Gesichtspunkte für die ... · 10 37 Charakterisierung von Regelstrecken ohne Ausgleich anhand ihrer Sprungantwort Wendetangente Wendepunkt x(t) x T g