Hans · PDF fileHans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 3 5 Sonderfälle • Für 1 =1, 2

Hans Walser

Die allgemeine Fibonacci-Folge

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge ii

Inhalt 1 Die Rekursion ......................................................................................................... 1

2 Heuristischer Hintergrund ....................................................................................... 1

3 Formel von Binet .................................................................................................... 1

4 Übersicht................................................................................................................. 2

5 Sonderfälle.............................................................................................................. 3

6 Beispiele ................................................................................................................. 3

6.1 Die gewöhnliche Fibonacci-Folge .................................................................... 3

6.2 Nullfolge .......................................................................................................... 4

6.3 Kreis als Grenzkurve ........................................................................................ 5

6.4 Regelmäßige Kreisteilung................................................................................. 6

6.5 Logarithmische Spirale als Grenzkurve ............................................................ 7

6.6 Kreisring .......................................................................................................... 8

6.7 Zyklische Folge................................................................................................ 9

6.8 Divergenz....................................................................................................... 10

7 Zyklische Fibonacci-Folgen .................................................................................. 11

7.1 Reelle Rekursion ............................................................................................ 11

7.1.1 Beispiel m = 5.......................................................................................... 12

7.1.2 Beispiel m = 3.......................................................................................... 15

7.1.3 Beispiel m = 4.......................................................................................... 16

7.1.4 Beispiel m = 6.......................................................................................... 17

7.1.5 Beispiel m = 8.......................................................................................... 19

7.1.6 Sinus statt Kosinus................................................................................... 21

7.2 Rein imaginärer Faktor p ................................................................................ 22

7.2.1 Beispiel m = 2.......................................................................................... 23

7.2.2 Beispiel m = 3.......................................................................................... 23

7.2.3 Beispiel m = 4.......................................................................................... 24

7.2.4 Beispiel m = 5.......................................................................................... 25

last modified: 7. Oktober 2007

Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 21, 4051 Basel www.math.unibas.ch/~walser [email protected]

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 1

1 Die Rekursion Wir studieren Folgen mit der Rekursion

an+2 = 2pan+1 + qan , p,q

Der Faktor 2 beim ersten Summanden hat nur ästhetische Gründe. Weiter definieren wir:

1 = p + p2 + q( )12

2 = p p2 + q( )12

2 Heuristischer Hintergrund

Aus der Folge an{ } bilden wir die Quotientenfolge:

cn =an+1an

Für diese Folge cn{ } gilt die Rekursion:

cn+1 = 2p +qcn

Falls diese Folge cn{ } einen Grenzwert hat, gilt:

= 2p +q

2 2p q = 0

1,2 = p ± p2 + q( )12

Es gilt dann (Satz von Vieta):

2p = 1 + 2

q = 1 2

3 Formel von Binet

Für die Folge an{ } mit Startwerten a0 und a1 gilt explizit die Formel von Binet:

an =1

1 2a1 a0 2( ) 1

n+ a0 1 a1( ) 2

n( )

Dies kann induktiv bewiesen werden:

Für n = 0 und n = 1 erhalten wir a0 beziehungsweise a1 .

Um die Rekursion an+2 = 2pan+1 + qan zu prüfen, setzen wir die Formel von Binet links und rechts ein.

Linke Seite:


an+2 =1

1 2a1 a0 2( ) 1

n+2+ a0 1 a1( ) 2

n+2( )= 1

1 2a1 1

n+2 a0 1n+2

2 + a0 1 2n+2 a1 2

n+2( )

Für die rechte Seite verwenden wir zusätzlich die Beziehungen 2p = 1 + 2 und q = 1 2 und erhalten:

2pan+1 + qan =1

1 2

1 + 2( ) a1 a0 2( ) 1n+1

+ a0 1 a1( ) 2n+1( )

1 2 a1 a0 2( ) 1n+ a0 1 a1( ) 2

n( )

= 11 2

a1 1n+2 a0 1

n+22 + a0 1

22n+1 a1 1 2

n+1

+a1 1n+1

2 a0 1n+1

22+ a0 1 2

n+2 a1 2n+2

a1 1n+1

2 + a0 1n+1

22 a0 1

22n+1

+ a1 1 2n+1

= 11 2

a1 1n+2 a0 1

n+22 + a0 1 2

n+2 a1 2n+2( )

Die beiden Seiten stimmen überein, die Rekursion ist erfüllt.

Die Folge an{ } ist also die Summe zweier geometrischer Folgen mit den Basen 1 und

2 . Für das Konvergenzverhalten sind die Beträge 1 und 2 entscheidend.

Die Funktion

a t( ) = 11 2

a1 a0 2( ) 1t+ a0 1 a1( ) 2

t( ), t

liefert eine Interpolation der Folge an{ } ; der zugehörige Funktionsgraf in der Gauß-

schen Ebene setzt sich aus logarithmischen Spiralen zusammen.

4 Übersicht Für 1 2 gilt folgende Übersicht:

2 < 1 2 = 1 2 > 1

1 < 1 NullfolgeKreis als

Grenzkurve

Logarithmische

Spirale als

Grenzkurve

1 = 1Kreis als

Grenzkurve

Begrenzung

durch Kreisringdivergent

1 > 1

Logarithmische

Spirale als

Grenzkurve

divergent divergent


5 Sonderfälle

• Für 1 = 1 , 2 < 1 ergibt sich ein Kreis als Grenzkurve. Dieser Kreis hat den Ur-

sprung als Zentrum und den Radius r1 =a1 a0 2

1 2. Falls zusätzlich 1 = e

2 is1 ,

s1 =m1n1

, ggT m1,n1( ) = 1 , streben die Folgenglieder gegen die Ecken eines regel-

mäßigen n1-Eckes . Für 1 < 1 , 2 = 1 ergibt sich analog ein Kreis als Grenzkur-

ve. Dieser Kreis hat den Radius r2 =a0 1 a11 2

. Falls zusätzlich 2 = e2 is2 ,

s2 =m2n2

, ggT m2,n2( ) = 1 , streben die Folgenglieder gegen die Ecken eines

regelmäßigen n2-Eckes .

• Für 1 = 1 und 2 = 1 sind die Folgenglieder durch einen Kreisring beschränkt.

Dieser hat den Außenradius raußen = r1 + r2 und den Innenradius rinnen = r1 r2 .

• Für

1 = e

2 is1 , s1 =m1n1, ggT m1,n1( ) = 1

2 = e2 is2 , s2 =

m2n2, ggT m2,n2( ) = 1

erhalten wir eine zyklische Folge mit der Zyklenlänge z = kgV n1,n2( ) .

• Falls 1 und 2 beide reell und positiv sind, ergibt sich für den Funktionsgrafen

von a t( ) in der Gaußschen Ebene eine Gerade.

• Für 1 = 2 , also für p2 + q = 0 versagt die Formel von Binet (Division durch Null).

6 Beispiele Die Beispiele werden in der Gaußschen Ebene illustriert. Die Startwerte sind grün ein-getragen, die weiteren Folgenglieder rot, der Funktionsgraf von a t( ) blau.

6.1 Die gewöhnliche Fibonacci-Folge Mit der Rekursion

an+2 = an+1 + an

erhalten wir 1 =1+ 52

1.618 (Goldener Schnitt), 2 =1 52

0.618 und für die

Startwerte a0 = 0 und a1 = 1 :

a[0] = 0 a[1] = 1 a[2] = 1 a[3] = 2 a[4] = 3

a[5] = 5


Der Funktionsgraf macht merkwürdige Schlenker ins Komplexe. Dies ist eine Folge des negativen 2 , was bei nicht ganzzahligen Werten von t zu komplexen Zahlen führt.

1 2 3 4 50

x

y

an+2 = an+1 + an

Wenn wir die Folge auch auf negative Indizes ausdehnen, wird die Figur noch dramati-scher.

a[-5] = 5 a[-4] = -3 a[-3] = 2 a[-2] = -1 a[-1] = 1 a[0] = 0 a[1] = 1 a[2] = 1 a[3] = 2 a[4] = 3

a[5] = 5

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

x

y

Negative Indizes

Der Funktionsgraf von a t( ) nähert sich für t einer logarithmischen Spirale.

6.2 Nullfolge Für die Rekursion

an+2 =9101+ i( )an+1

81100

ian


gilt 1 =910

, 2 =910i ; es ist 1 = 2 =

910

< 1. Wir haben daher eine Nullfolge. Mit

den Startwerten a0 = 1 und a1 =12+ i erhalten wir:

a[0] = 1.0 a[1] = 0.5 + 1.0*I a[2] = - 0.45 + 0.54*I a[3] = - 0.081 - 0.324*I a[4] = 0.6561 a[5] = 0.32805 + 0.6561*I a[6] = - 0.295245 + 0.354294*I a[7] = - 0.0531441 - 0.2125764*I a[8] = 0.43046721 a[9] = 0.215233605 + 0.43046721*I a[10] = - 0.1937102445 + 0.2324522934*I a[11] = - 0.03486784401 - 0.139471376*I a[12] = 0.2824295365 a[13] = 0.1412147682 + 0.2824295365*I a[14] = - 0.1270932914 + 0.1525119497*I a[15] = - 0.02287679245 - 0.09150716982*I a[16] = 0.1853020189 a[17] = 0.09265100944 + 0.1853020189*I a[18] = - 0.0833859085 + 0.1000630902*I a[19] = - 0.01500946353 - 0.06003785412*I

a[20] = 0.1215766546

1

1

x

y

Nullfolge

Wir sehen, dass in diesem Beispiel jedes vierte Folgenglied reell ist.

6.3 Kreis als Grenzkurve Für die Rekursion

an+2 =32+ 45i( )an+1 + 27

501825i( )an


gilt 1 =35+45i , 2 =

910

; es ist 1 = 1 und 2 =910

< 1. Wir erhalten eine Folge,

welche sich einem Kreis annähert.

Mit den Startwerten a0 = 2 und a1 = 1+ i erhalten wir:

−1 1 2

−2

−1

1

x

y

Kreis als Grenzkurve

Für den Kreisradius erhalten wir in unserem Beispiel r1 =a1 a0 2

1 21.498858013 .

Da das Argument von 1 =35+45i in keinem rationalen Verhältnis zu 2 steht, gibt es

auf dem Grenzkreis keine isolierten Häufungspunkte.

6.4 Regelmäßige Kreisteilung

Für 1 = e382 i

und 2 =910

ergibt sich die Rekursion:

an+2 =910

22

+22i( )an+1 + 2 9

20920i( )an

Es ist 1 = 1 und 2 =910

< 1. Wir erhalten eine Folge, welche sich einem Kreis an-

nähert.



1 2

1

x

y

Regelmäßige Kreisteilung als Grenzpunkte

Für den Kreisradius erhalten wir in unserem Beispiel r1 =a1 a0 2

1 20.7293731937 .

Wegen 1 = e382 i

streben die Folgenglieder gegen die Eckpunkte eines regelmäßigen Achteckes.

6.5 Logarithmische Spirale als Grenzkurve

Für 1 =810

+710i und 2 =

12i ergibt sich die Rekursion:

an+2 =4+6i5

an+1 +7 8i20

an

Es ist 1 > 1 und 2 < 1 . Wir erhalten eine Folge, welche sich in einer logarithmi-

schen Spirale annähert.

Mit den Startwerten a0 = 4 und a1 = 1+ i erhalten wir für a2 bis a25 :


−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5

−7−6−5−4−3−2−1

123456

x

y

Logarithmische Spirale als Grenzkurve

6.6 Kreisring

Für 1 =35+45i und 2 =

513

+1213i ergibt sich die Rekursion:

an+2 =64+112i65

an+1 +33 56i65

an

Es ist 1 = 1 und 2 = 1 . Wir erhalten eine Folge, welche sich in einem Kreisring

bewegt.

Mit den Startwerten a0 = 2 und a1 = 1+32i erhalten wir für a2 bis a500 :


−3.0−2.5−2.0−1.5−1.0−0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

−3.0

−2.5

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

x

y

Im Kreisring

Der Kreisring hat den Außenradius raußen 2.578438802 und den Innenradius

rinnen 0.7756631643 . Da die Argumente von 1 =35+45i und 2 =

513

+1213i nicht in

einem rationalen Verhältnis zu 2 stehen, schließt sich der Funktionsgraf nicht.

6.7 Zyklische Folge

Für 1 = e142 i

und 1 = e162 i


an+2 =12+ 1+ 3

2( ) i an+1 + 32

12i( )an

Wir erhalten eine zyklische Folge der Zyklenlänge z = 12 . Mit allgemeinen Startwerten a0 = f und a1 = g ergibt sich nämlich:

a[0] = f a[1] = g a[2] = f*(1/2*3^(1/2) - 1/2*I) + 2*g*(1/4*I*3^(1/2) + 1/4 + 1/2*I) a[3] = (1/2 + 1/2*I)*f - (3/2 - 1/2*I)*g + (1/2 + 1/2*I)*3^(1/2)*f - (1/2 - 1/2\ *I)*3^(1/2)*g a[4] = - (1/2 - 3/2*I)*f - (3/2 + 3/2*I)*g - (1/2 - 1/2*I)*3^(1/2)*f - (1/2 + 1\ /2*I)*3^(1/2)*g a[5] = (1 - 3/2*I)*g - 3/2*f - (1 + 1/2*I)*3^(1/2)*f + (1/2 - I)*3^(1/2)*g a[6] = (2 + I)*g - 2*I*f - I*3^(1/2)*f + 3^(1/2)*g a[7] = (2 - I)*f + 2*I*g + 3^(1/2)*f + I*3^(1/2)*g a[8] = (1 + 3/2*I)*f - 3/2*g + (1/2 + I)*3^(1/2)*f - (1 -


1/2*I)*3^(1/2)*g a[9] = - (3/2 - 3/2*I)*f - (1/2 + 3/2*I)*g - (1/2 - 1/2*I)*3^(1/2)*f - (1/2 + 1\ /2*I)*3^(1/2)*g a[10] = (1/2 - 1/2*I)*g - (3/2 + 1/2*I)*f - (1/2 + 1/2*I)*3^(1/2)*f + (1/2 - 1/\ 2*I)*3^(1/2)*g a[11] = (1/2 - I)*f + 1/2*I*g - 1/2*I*3^(1/2)*f + 1/2*3^(1/2)*g a[12] = f

a[13] = g

Es ist also a12 = a0 und a12 = a1 .


−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

Zyklische Folge

Der Funktionsgraf ist eine Überlagerung von zwei Kreisbewegungen.

6.8 Divergenz

Für 1 =65e142 i

und 1 = e162 i


an+2 =12+ 6

5+

32( ) i an+1 + 3 3

535i( )an

Wegen 1 =65

divergiert die Folge. Mit den Startwerten a0 = 2 und a1 = 1+ i erhal-

ten wir für a2 bis a17 :


−25 −20 −15 −10 −5 5 10 15

−15

−10

−5

5

10

15

20

x

y

Divergente Folge

7 Zyklische Fibonacci-Folgen Wir diskutieren einige spezielle zyklische Fibonacci-Folgen, also Folgen mit:

1 = e

2 is1 , s1 =m1n1, ggT m1,n1( ) = 1

2 = e2 is2 , s2 =

m2n2, ggT m2,n2( ) = 1

Die Zyklenlänge ist dann z = kgV n1,n2( ) .

7.1 Reelle Rekursion

Für m , m 3 , sei =

2m

. Die Rekursion

an+2 = 2cos( )an+1 an

ist reell und führt zu einer zyklischen Folge der Länge m.

Wegen p = cos( ) und q = 1 ist:

1 = p + p2 + q( )12= cos( ) + cos2 ( ) 1

= cos( ) + sin2 ( ) = cos( ) + i sin( ) = ei

2 = p p2 + q( )12= cos( ) cos2 ( ) 1

= cos( ) sin2 ( ) = cos( ) i sin( ) = e i


Die Bedingung für eine zyklische Folge ist erfüllt, die Zyklenlänge ist m. Der Funkti-onsgraf setzt sich aus zwei Kreisbewegungen entgegengesetzt gleicher Frequenz zu-sammen und ist daher eine Ellipse. Lange und kurze Halbachsen dieser Ellipse sind:

Lange Halbachse = r1 + r2 =a1 a0 2

1 2+

a0 1 a1

1 2

Kurze Halbachse = r1 r2 =a1 a0 2

1 2

a0 1 a1

1 2

7.1.1 Beispiel m = 5 Mit der Rekursion

an+2 = 2cos25( )an+1 an =

1+ 52

an+1 an

und beliebigen Startwerten a0 = f und a1 = g erhalten wir:

a[0] = f a[1] = g a[2] = 1/2*g*(5^(1/2) - 1) - f a[3] = -1/2*(5^(1/2) - 1)*(f + g) a[4] = 1/2*5^(1/2)*f - g - 1/2*f a[5] = f

a[6] = g

Bei reellen Startwerten sind alle Folgenglieder reell: mit den reellen Startwerten a0 = 2 und a1 = 1 erhalten wir:

a[0] = 2 = 2.0 a[1] = 1 = 1.0 a[2] = 1/2*5^(1/2) - 5/2 = -1.381966011 a[3] = 3/2 - 3/2*5^(1/2) = -1.854101966 a[4] = 5^(1/2) - 2 = 0.2360679775 a[5] = 2 = 2.0

a[6] = 1 = 1.0

−2 −1 1 2

−1

1

x

y

Reelle Situation

Mit den komplexen Startwerten a0 = 1 und a1 = 1+ i ergibt sich:


−1 1

−1

1

x

y

Affin reguläres Fünfeck

Die Folgenglieder beecken ein so genanntes affin reguläres Fünfeck, ein affines Bild eines regulären Fünfeckes. Wie im regulären Fünfeck sind sämtliche Diagonalen paral-lel zu einer der Seiten.

Diese affine Regularität kann so eingesehen werden: Mit den speziellen Startwerten

a0 = e0 = 1 und a1 = e1 = e152 i

(das sind die ersten beiden fünften Einheitswurzeln)

erhalten wir, wie mit einiger Rechnung gezeigt werden kann, an = en = en52 i

, also die Ecken des regulären Fünfeckes:


−1 1

−1

1

x

y

Reguläres Fünfeck

Nun bilden wir die beiden speziellen Startwerte affin auf die aktuellen Startwerte ab; dabei soll der Ursprung ein Fixpunkt sein. Da die Fibonacci-Rekursion affin invariant ist, werden auch die übrigen Folgenglieder entsprechend abgebildet.

Allgemein erhalten wir mit der Rekursion

an+2 = 2cos2m( )an+1 an

ein affin reguläres m-Eck.

Die Rekursion an+2 =1+ 52

an+1 an mit dem Goldenen Schnitt als erstem Faktor

kann auch geometrisch nachvollzogen werden: Wir ergänzen die drei Punkte

0, an ,1+ 52

an+1 zum Parallelogramm. Die vierte Ecke ist dann an+2 .

an0

an+1

1+ 52 an+1

an+2

Geometrische Rekurison

Das führt dann zu einer Schließungsfigur.


Schließungsfigur

Die Schließungsfigur ist ein affines Bild der folgenden regulären Figur.

Reguläre Figur

7.1.2 Beispiel m = 3 Mit der Rekursion

an+2 = 2cos23( )an+1 an = an+1 an

und beliebigen Startwerten a0 = f und a1 = g erhalten wir:

a[0] = f a[1] = g a[2] = - f - g


a[3] = f a[4] = g

Mit den komplexen Startwerten a0 = 2 und a1 = 1+ i ergibt sich:

−3 −2 −1 1 2 3

−1

1

x

y

Dreieck mit Schwerpunkt im Ursprung

Es ergibt sich ein Dreieck mit dem Schwerpunkt im Ursprung.

Die Rekursion kann geometrisch interpretiert werden: Die Punkte an und an+1 werden am Ursprung gespiegelt, die Spiegelpunkte an zusammen an+1 mit dem Ursprung zum Parallelogramm mit den Ecken an , 0, an+1 ,an+2 ergänzt.

an

an+1

an

an+1an+2

Geometrische Rekursion

Mit dieser Rekursion entsteht eine Schließungsfigur:

a0 = a3

a1 = a4

a0

a1a2

a2

Schließungsfigur

7.1.3 Beispiel m = 4 Wir erhalten die Rekursion:

an+2 = 2cos24( )

=0

an+1 an = an

Das ist nicht besonders lustig. Mit beliebigen Startwerten a0 = f und a1 = g ergibt sich:


a[0] = f a[1] = g a[2] = -f a[3] = -g a[4] = f

a[5] = g

Mit komplexen Startwerten, zum Beispiel a0 = 2 und a1 = 1+ i , erhalten wir ein Paral-lelogramm, ein affin verzerrtes Quadrat also.

−2 −1 1 2

−1

1

x

y

Parallelogramm mit Schwerpunkt im Ursprung


an+2 = 2cos26( )an+1 an = an+1 an

Mit beliebigen Startwerten a0 = f und a1 = g ergibt sich:

a[0] = f a[1] = g a[2] = g - f a[3] = -f a[4] = -g a[5] = f - g a[6] = f

a[7] = g

Mit komplexen Startwerten, zum Beispiel a0 = 3 2i und a1 = 2 + i , erhalten wir ein affin reguläres Sechseck.


−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

Affin reguläres Sechseck

Auch dieses Beispiel kann geometrisch sehr einfach illustriert werden: Wir bilden das

Dreieck 0anan+1 mit einer Punktspiegelung an 12an+1 ab. Die „neue“ Ecke ist dann

an+2 .

an

an+1

an+2

0

Geometrische Rekursion

Es ergibt sich eine Schließungsfigur.


a0

a1

a2

0

a3

a4

a5 Schließungsfigur


an+2 = 2cos28( )an+1 an = 2 an+1 an

Mit beliebigen Startwerten a0 = f und a1 = g ergibt sich:

a[0] = f a[1] = g a[2] = 2^(1/2)*g - f a[3] = g - 2^(1/2)*f a[4] = -f a[5] = -g a[6] = f - 2^(1/2)*g a[7] = 2^(1/2)*f - g a[8] = f

a[9] = g

Mit komplexen Startwerten, zum Beispiel a0 = 2 und a1 = 1+ i , erhalten wir ein affin reguläres Achteck.


−2 −1 1 2

−1

1

x

y

Affin reguläres Achteck

Die Rekursion an+2 = 2 an+1 an kann geometrisch nachvollzogen werden: Wir stre-

cken an+1 mit dem Faktor 2 , anschließend ergänzen wir die drei Punkte

0, an , 2 an+1 zum Parallelogramm. Der vierte Parallelogrammpunkt ist dann an+2 .

an

an+1

2 an+1an+2

0 Rekursion

Dies führt zu einer Schließungsfigur.


Schließungsfigur

Die Figur ist das affine Bild einer regulären Figur.

Reguläre Figur

7.1.6 Sinus statt Kosinus Wir ersetzen in der Rekursionsformel den Kosinus durch den Sinus:

an+2 = 2sin2m( )an+1 an


Damit erhalten wir ebenfalls eine zyklische Folge. Die Zyklenlänge ist allerdings nicht mehr m, sondern:

z m( ) = 4mggT 4m, m 4( )

Der Grund für diese etwas komplizierte Formel liegt darin, dass wir bei der Berechnung von 1,2 eine zusätzlichen Faktor i, geometrisch also eine Vierteldrehung, erhalten.

Tabelle: m z 3 12 4 1 5 20 6 12 7 28 8 8 9 36 10 20 11 44 12 6 13 52 14 28 15 60 16 16 17 68 18 36 19 76 20 5

Beispiel m = 10 . Wir haben die Zyklenlänge 20. Für die Startwerte a0 = 2 und a1 = 1+ i ergibt sich folgende Figur mit „Überspringungen“.

−2 −1 1 2

−1

1

x

y

Überspringungen

7.2 Rein imaginärer Faktor p

Es sei wieder =2m

. Die Rekursion

an+2 = 2i sin( )an+1 + an


führt für m 4 zu einer zyklischen Folge.

Wegen p = i cos( ) und q = 1 ist:

1 = p + p2 + q( )12= i sin( ) + sin2 ( ) +1 = i sin( ) + cos( ) = ei

2 = p p2 + q( )12= i sin( ) sin2 ( ) +1 = i sin( ) cos( ) = e-i

Fallunterscheidung: Für m gerade ergibt sich eine Zyklenlänge z = m . Für m ungerade ergibt sich eine Zyklenlänge z = 2m .

7.2.1 Beispiel m = 2 Wir erhalten die Rekursion an+2 = an . Die Folge besteht alternierend aus a0 und a1 .

7.2.2 Beispiel m = 3

Wir erhalten die Rekursion an+2 = i 3 an+1 + an . Für beliebige Startwerte a0 = f und a1 = g ergibt sich:

a[0] = f a[1] = g a[2] = f + I*3^(1/2)*g a[3] = I*3^(1/2)*f - 2*g a[4] = - 2*f - I*3^(1/2)*g a[5] = g - I*3^(1/2)*f a[6] = f

a[7] = g

Wir sehen die Zyklenlänge 6.

Mit den Startwerten a0 = 5 + 3i und a1 = 1+ 2i ergibt sich:

−9−8−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1

123456

x

y

m = 3


7.2.3 Beispiel m = 4 In diesem Fall ist an+2 = 2i an+1 + an . Ferner ist 1 = 2 = i ; die Formel von Binet funktioniert also nicht (Division durch Null). Für beliebige Startwerte a0 = f und a1 = g ergibt sich:

a[0] = f a[1] = g a[2] = f + 2*I*g a[3] = 2*I*f - 3*g a[4] = - 3*f - 4*I*g a[5] = 5*g - 4*I*f a[6] = 5*f + 6*I*g a[7] = 6*I*f - 7*g a[8] = - 7*f - 8*I*g a[9] = 9*g - 8*I*f a[10] = 9*f + 10*I*g a[11] = 10*I*f - 11*g a[12] = - 11*f - 12*I*g a[13] = 13*g - 12*I*f a[14] = 13*f + 14*I*g a[15] = 14*I*f - 15*g a[16] = - 15*f - 16*I*g a[17] = 17*g - 16*I*f a[18] = 17*f + 18*I*g a[19] = 18*I*f - 19*g a[20] = - 19*f - 20*I*g

a[21] = 21*g - 20*I*f

Mit den Startwerten a0 = 5 + 3i und a1 = 1+ 2i ergibt sich:

−40 −20 20 40

−40

−20

20

40

x

y

Archimedische Spirale?

Der Polygonzug ist annähernd eine eckige archimedische Spirale.


7.2.4 Beispiel m = 5 Die Zyklenlänge ist 10.

−10 10

−10

10

x

y

Zyklenlänge 10

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Hans · PDF fileHans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 3 5 Sonderfälle • Für 1 =1, 2