Heute

Die Binomialverteilung

Poissonverteilung

Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Arbeiten mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Die Binomialverteilung

Man werfe eine Münze n mal und zähle die Häufigkeit k, mit der dabei „Kopf“ oben liegt.

Diskrete Verteilung, die mit zunehmendem n normal wird

0 1 2 3 4k

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

p

n = 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8k

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

p

0 1 2 3 4 56 7 8 91011121314151617181920212223242526272829303132k

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

p

n = 8 n = 32

Die Binomialverteilung

Man wiederhole ein Zufallsexperiment n mal und bestimme die Häufigkeit k, mit der ein bestimmtes Ereignis E eintritt.

Multiplikationssatz der WKn für unabhängige Versuche & Additionssatz auf die disjunkten Folgen anwenden!

Es sei: 1

P E p

P E p q

Bei n Wiederholungen kann das Ereignis „k-mal E“ auf genau n

k

Weisen eintreten. Da sich die einzelnen n über k Folgen gegenseitig ausschliessen, folgt mit dem Additionssatz:

k n knP k n p q

k

[Tafel-Entwicklung]

Die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung

Binomialverteilung: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Wahrscheinlichkeit, daß höchstens k mal E auftritt, ist:

( )0

kj n j

j

nP j k n p q

j-

=

æö÷ç£ = ÷× ×ç ÷ç ÷çè øå

Die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens k+1 mal E auftritt, ist:

( )

( )1

1

1

nj n j

j k

nP j k n p q

j

P j k n

-

= +

æö÷ç³ + = ÷× ×ç ÷ç ÷çè ø

= - £

å

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Binomialverteilung: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den Parametern p und n.

Definition:

( ) x n xn

nf x p q

x-

æö÷ç= ÷× ×ç ÷ç ÷çè ø

definiert die Wahrscheinlichkeitsfunktion, oder Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Binomialverteilung.

Sie tritt auf bei der Betrachtung der Anzahl der Erfolge einer Folge von unabhängi-gen Versuchen (Bernoulli-Folge), wobei p die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs bei einem Versuch ist und q = 1- p gilt. n ist die Anzahl der Wiederholungen des Ver-suchs. p und n sind die beiden Parameter der Binomialverteilung

Verteilungsfunktion

Verteilungsfunktion: Kumulierte Wahrscheinlichkeitsdichte- funktion bis zu einer Grenze x.

Definition:

( )0

xk n k

nk

nF x p q

k-

=

æö÷ç= ÷× ×ç ÷ç ÷çè øå

definiert die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung.Allgemein:

Die Verteilungsfunktion ist die kumulierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für Erfolge bis zu einer oberen Schranke x an.

( ) ( ) ( )0

x

n nk

F x P k x n f k=

= £ =å

Verteilungsfunktion für diskrete Variable

Mit der Verteilungsfunktion kann man die Wahrscheinlichkeitfür beliebige Intervalle der Zufallsvariable bestimmen.

Es gilt für diskrete Zufallsvariablen:

( ) ( ) ( )1n n nf x F x F x= - -

Allgemeine Eigenschaften sind:

( ) { }( ) { }

( ) ( ) ( )

0 0

0 0

1. 0, für min

2. 1, für max

3.

n

n

u o n o n u

F x x x

F x x x

P x x x F x F x

= <

= =

< £ = -

Die Poissonverteilung

Sind einzelne Ereignisse selten, so kann die Wahrscheinlichkeit statt mit der Binomialverteilung über die Poissonverteilung ausgedrückt werden.

Die Poissonverteilung ist eine einfache Alternative zur Binomialverteilung für Seltene Ereignisse.

Gilt: 5n p

So approximiert die Possonverteilung die Binomialverteilung gut.

Die poissonverteilung hat nur den Parameter der sowohl Mittelwert wie Varianz beschreibt.

!

xef x

x

Wahrscheinlichkeitsfunktion:

Vergleich: Binomial - Poisson

Fast exakte Übereinstimmung beider Verteilungen.

Für 100 0.012 1.2n p n p

Binomialverteilung

0.0000

0.1250

0.2500

0.3750

0.5000

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Erfolge

WK

Poissonverteilung

0.0000

0.1250

0.2500

0.3750

0.5000

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Erfolge

WK

Die Normalverteilung

2

1

21

2

x x

sf x es

Die Normalverteilung (Gauss‘sche Glockenkurve) ist eine symmetrische Verteilung. Ihre Form ist durch die Standardabweichung und den Mittelwert eindeutig festgelegt. Sie resultiert aus dem Modell unabhängiger sich überlagernder Zufallsfehler („Galton-Brett“)[Tafelbeispiel Galton, Binomial]

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80x

0.01

0.02

0.03

0.04

f (x)

Die Normalverteilung

( )2

1

21

2

x u x

sF x e dus p

æ ö- ÷ç- × ÷ç ÷÷çè ø

- ¥

=× ò

Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung (Fläche unter der Normalkurve) kann man nicht auf eine geschlossene Form bringen. Sie ist aber für standardisierte Variablen (z-Standardisierung) austabelliert und elektronisch implementiert (z.B. in Excel).

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 x

0.25

0.5

0.75

1.0

F(x)

Die Normalverteilung

Die Fläche unter der Kurve ist bei der Normalverteilung eine Funktion der Standardabweichung (in Einheiten von s angebbar)

21

21

2

zx xz f z e

s

[Tabellenbenutzung, Excel, Aufgabenbeispiel zu IQ‘s]

68.26%

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

-3 -2 -1 1 2 3z

0.1

0.2

0.3

0.4

f(z)

95.5%

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

z

f(z)

z - Standardisierung

-15 -10 -5 0 5 10 150.00

0.05

0.10

Wa

hrs

che

inlic

hke

itsd

ich

te

xx

x

z - Standardisierung zur Überführung in Standardnormalverteilung

x xz

s

Wa

hrs

che

inlic

hke

itsd

ich

te-3z -2z -1z 0 1z 2z 3z

0.00

0.05

0.10

f (z)

xz

1z

z

f x

Wahrscheinlichkeitsbestimmung

Benutze austabellierte Standardnormalverteilung

0 0F z P z z

Verteilungsfunktion(Fläche der Dichtefunktion)

Eigenschaften

0F

1F

a b b aP z z z F z F z

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

zbza

Approximation der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung hat ebenfalls Mittelwert und Varianz:

2

n p

n p q

Gilt 9n p q so kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert werden.

Dann gilt ; ;B n p N

[Beispiele]

Fehler 1. und 2. Art

In der Population gilt

Hypothesenwahrscheinlichkeiten : bedingte WKn

Correct

Rejection

Miss

(Fehler 2. Art)

False Alarm

(Fehler 1. Art)

Hit

H0 H1

H0

H1

Entscheidung für 0 0HP H

1 0HP H 1 1HP H

0 1HP H

Mittelwerteabstand aus WK

Tatsächlich gilt

Wie groß ist der Mittelwerteabstand der Likelihoodfunktionen ?

0.59 0.077

0.41 0.923

H0 H1

H0

H1

Entscheidung für

0 0HP H

1 0HP H 1 1HP H

0 1HP H

Man klassifiziere man nach „Distraktor“ (H0) und „Target“ (H1)

1 1

Mittelwerteabstand

z - Berechnung für jede einzelne Verteilung

H0 – Verteilung:

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

p = 0.59

z0 = F-1{0.59} = 0.23

Correct Rejection

H1 – Verteilung:

p = 0.59

z1 = F-1{0.077} = -1.43

Miss

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

p = 0.077

Abstand in z- Standardisierung

Annahme: beide Likelihoodfunktionen haben dieselbe Varianz

Nun betrachte im z1 Wert den Abstand des Kriteriums k in Bezug auf 0:

Es gilt: 00

kz

Ferner: 11

kz

0 1 0 0 1 01

k kz

1 0 'z z d

0 1'd z z (standardisierter Abstand)