Hinweise zum Seminar und Liste möglicher Themen

Hauptseminar zur Didaktik der Mathematik

– Anforderungen und Informationen zum Ablauf –

Modultitel: Hauptseminar zur Didaktik der Mathematik

Dozent: Dr. Thorsten Rohwedder

Zusammenfassung:

Dieses Seminar konkretisiert die von Seiten der Fachdidaktik und die durch Bildungsstandards,

Einheitliche Prufungsanforderungen (EPA) und Rahmenlehrplane an den schulischen Mathematik-

unterricht gestellten Anforderungen anhand einzelner Themen des schulischen Mathematikunter-

richts (hauptsachlich der Sekundarstufe I). Anhand von Einzelvortragen und Diskussionen sollen

die Studierenden verschiedene Ansatze zur unterrichtlichen Umsetzung wichtiger Themenbereiche

der Schulmathematik kennenlernen, diskutieren und reflektieren.

Kriterien fur Leistungsnachweis:

• Verpflichtende Teilnahme an allen Lehrveranstaltungen

• regelmaßige Vor- und Nachbereitung

• Durchfuhrung einer 90-minutigen Seminarsitzung, Handout

• Anfertigung einer Seminararbeit

Hinweise zu den Anforderungen:

In der von Ihnen gestalteten Seminarsitzung (und der zugehorigen Ausarbeitung) soll ein Thema

der Schulmathematik basierend auf den Vorgaben des Rahmenlehrplans von Ihnen”mit Leben

gefullt“ werden.

1. Bevor Sie Ihre Sitzung im Seminar durchfuhren, sollten Sie sich uber die folgen-

den Fragen zu Ihrem Themenbereich Gedanken machen:

• Welche fachwissenschaftlichen und didaktischen Hintergrunde sollten in die Planung ein-

bezogen werden?

• Welche prozess- und inhaltsbezogenen Ziele verfolgt eine Einheit zu Ihrem Thema?

• Welche in den Bildungsstandards, Einheitliche Prufungsanforderungen (EPA) und Rah-

menlehrplane gestellten Anforderungen spielen bei der Auswahl Ihres Konzeptes eine

Rolle?

• Welche Kompetenzen lassen sich mit dem Thema bevorzugt schulen?

• Welche Lernvoraussetzungen konnen Sie erwarten? Welche Grundvorstellungen (z.B. aus

der Lebenswelt der Schuler) sind bei der Planung zu berucksichtigen?

• Welche gangigen Schwierigkeiten und Fehlvorstellungen auf Schulerseite sind zu Ihrem

Thema bekannt?

• Welche alternativen Herangehensweisen gibt es bei der Behandlung Ihres Themas?

• Warum wollen Sie das Thema unterrichten? Was sind fur Sie die wichtigen Punkte?

• Wie viel Zeit steht Ihnen zur Verfugung?

• ...

Aus der Beantwortung dieser Fragen sollten Sie einen moglichen Ablauf fur die Einheit

erstellen; insbesondere sollten Ihnen die wichtigsten Angelpunkte (Einstiege, Erarbeitung der

wesentlichen mathematischen Inhalte, Kompetenzschwerpunkte,...) bewusst werden.

Hierbei helfen Ihnen die bei Ihrem Thema jeweils gegebenen Literaturvorschlage

sowie der Rahmenlehrplan und ein Blick in neue und altere Schulbucher.

Die Beantwortung der obigen Fragen unter Benutzung dieser Quellen und die

Erstellung eines moglichen Ablaufs ist auch Thema der anzufertigenden Semi-

nararbeit, die 50 % der Endnote ausmacht.

2. Nun geht es an die Auswahl geeigneter Aufgaben, um deren Durchfuhrung und

Diskussion es in der von Ihnen gestalteten Sitzung geht (die ubrigen 50 % der

Note): Mit diesen soll der Bogen von den vorangegangen allgemeinen und the-

menspezifischen, fachwissenschaftlichen und didaktischen Uberlegungen hin zu

zur konkreten Umsetzung Ihres Themas im Unterricht geschlagen werden.

Finden Sie ca. zwei bis drei”gute“ Aufgaben, die sich jeweils an zentralen Punkten in

Ihrem Themenkomplex im Schulunterricht anwenden lassen. Einige dieser zentralen Punkte

in der Umsetzung Ihres Themas sind jeweils in der ausfuhrlichen Themenliste angegeben.

Die Aufgaben konnen von Ihnen selbst konzipiert sein, aus der Literatur stammen – oder Sie

modifizieren existierende Aufgaben nach Ihren Vorstellungen. Fragen, die Sie sich in diesem

Zusammenhang auf der Suche nach guten Aufgaben stellen konnen, sind beispielsweise:

• Fuhrt die Aufgabe von lebensweltbezogenen Sachverhalten auf einen zu erarbeitenden

mathematischen Kern hin?

• Lasst sie zu erarbeitende mathematische Sachverhalte oder einen wichtigen Aspekt des

Themenbereichs besonders klar hervortreten?

• Gibt sie Schulern Raum zur eigenstandigen, kreativen Erarbeitung von Losungsansatzen?

• Reagiert die Aufgabe auf bekannte Schulerschwierigkeiten?

• ...

Diese Liste ist naturlich nur eine Auswahl von Leitfragen; solche Fragen hangen z.B. sehr von

den von Ihnen verfolgten Zielsetzungen oder der Phase, in der die Aufgabe eingesetzt wird,

ab. Wir werden genauere Kriterien fur”gute“ Aufgaben in den ersten Sitzungen des Seminars

diskutieren.

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3. Zum Ablauf einer Sitzung:

In der von Ihnen gestalteten Sitzung sollen die Vorstellung und Diskussion der

von Ihnen ausgewahlten/erstellten Aufgaben im Mittelpunkt stehen.

• Vor der Vorstellung einer Aufgabe sollten Sie uns kurz daruber in Kenntnis setzen,

zu welchen Zeitpunkt im Gesamtlehrgang Sie die Aufgabe einsetzen mochten.

• Die von Ihnen ausgewahlten Aufgaben sollen Sie direkt mit den Seminarteilnehmern

”als Schuler“ durchfuhren. Dabei sollten Sie sich neben der Aufgabe auch ihre konkrete

Umsetzung (Impulse, Sozialformen, Ergebnissicherung ...) uberlegen und im Seminar

erproben. Erstellen Sie hierzu konkrete Materialien (z.B. ein Arbeitsblatt, das konkrete

Aufgaben fur die Schuler enthalt, einen Ablaufplan mit konkreten Impulsen und/oder

Arbeitsauftragen, Material und Anleitung zur Durchfuhrung, Tafelbild,...).

• Erlautern Sie nach der Durchfuhrung der Aufgabe Ihre didaktischen Voruberlegungen

und die Leitlinien (aus Punkt 1. und 2.), die Sie zur Auswahl der Aufgabe bewogen

haben. Wich die praktische Durchfuhrung von Ihrer Planung ab?

• Stellen die dann von Ihnen vorgeschlagenen Aufgabe und die damit zusammenhangen-

den propagierten didaktischen und methodischen Entscheidungen zur Diskussion; die

Diskussionsrunde leiten Sie.

• Insgesamt sollten Sie 60 Minuten fur die Durchfuhrung der Aufgaben und ih-

ren Hintergrund, 30 Minuten fur die Diskussion einplanen. Die Diskussion ist

wichtiger Bestandteil des Seminars; daher wird der Vorstellungsteil zur Not nach rund

65 Minuten abgebrochen. Bewertet wird auch die Art der Prasentation, z. B. sinnvolle

Vortragstechnik und der sinnvolle Einsatz von Medien.

• Zur gestalteten Sitzung gehort auch ein Handout (2 Seiten), das Ihnen und Ihren Mit-

studierenden spater in der Praxis als kurzes Nachschlagewerk zu Ihrem Unterrichtsthema

dienen soll. Vorschlag: Ubersicht der Einheit; zentrale didaktische und fachliche Aspekte,

die bei der Behandlung im Unterricht zu berucksichtigen sind; Moglichkeiten zur Um-

setzung; weiterfuhrende Literatur und wertvolle Weblinks. Weitere Materialien konnen

Sie gerne auf der Moodle-Seite des Kurses hochladen.

4. Die Seminararbeit umfasst 8-10 Seiten pro Teilnehmer. Sie ist 14 Tage nach Ihrem Vortrag

abzugeben. Studierende, die Ihren Vortrag gemeinsam halten, konnen gemeinsam Zusammen-

fassungen schreiben, wobei aber die Einzelanteile deutlich ausgewiesen sein mussen. Beruck-

sichtigen Sie bitte die ublichen Kriterien wissenschaftlichen Arbeitens, z. B. Literaturangaben

(auch zu ubernommenen Aufgaben und Abbildungen!), Unterscheiden zwischen eigener und

fremder Meinung,...

Schwerpunktmaßig sollte es um die in Punkt 1 aufgefuhrten Fragen gehen (didaktische Analy-

se und Planung des Stoffabschnittes/ der Unterrichtsreihe); die vorgestellten Aufgaben sollten

Teil des Anhangs der Arbeit sein.

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Themen und Literatur

zum Hauptseminar zur Didaktik der Mathematik

1. Variablen, Terme und Termumformungen

(P5-7/8: Mit Variablen, Termen und Gleichungen Probleme losen)

Mogliche Schwerpunkte:

B Einstieg zur systematischen Einfuhrung von Variablen und Termen anhand enaktiver Beispiele

B Beschreibung von Sachsituationen mit Termen

B Termumformungen und deren Veranschaulichung

B typische Fehler bei Termumformungen

(Bitte klammern Sie den Aspekt”Gleichungslosen“ aus!)

Literatur:

• Vollrath, Weigand, Algebra in der Sekundarstufe, Spektrum, 3. Auflage, 2007.

• Garcia Mateos (2011): Enaktive Zugange zu Termen mit Streichholzern und Wendeplattchen

in Klasse 8. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht, 64 (7), S. 397-401.

• Fischer, Hefendehl-Hebeker, Prediger (2010): Mehr als Umformen: Reichhaltige algebraische

Denkhandlungen im Lernprozess sichtbar machen. Praxis der Mathematik in der Schule,

52(33), S. 1-7.

• Doerr (2004): Teacher’s knowledge and the teaching of algebra, in: Stacey, Chick, Kendal,

The future of teaching and learning algebra, Kluwer Academic Publishers, S. 267-290.

• Hoch, Dreyfus (2010): Nicht nur Umformen, auch Strukturen erkennen und identifizieren:

Ansatze zur Entwicklung eines algebraischen Struktursinns. PM: Praxis der Mathematik in

der Schule, 52(33), S. 25-29.

• Prediger (2009): Inhaltliches Denken vor Kalkul – Ein didaktisches Prinzip zur Vorbeugung

und Forderung bei Rechenschwierigkeiten. In: Fritz, Annemarie & Schmidt, Siegbert (Hrsg.):

Fordernder Mathematikunterricht in der Sek. I. Rechenschwierigkeiten erkennen und uber-

winden, Beltz, Weinheim 2009, 213-234. (Vorversion im WWW zu finden!)

• Specht, Ploger (2011): Das Kreuz mit dem x-Beliebigen. Der Mathematikunterricht 57(2), S.

4-15.

• Roth (2006): Terme dynamisch. Mit Tabellen Terme analysieren. mathematik lehren, 137, S.

14-16.

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2. Negative Zahlen

(P3-7/8: Negative Zahlen verstehen und verwenden)


B Einstieg: Einfuhrung der negativen Zahlen

B Einfuhrung der Rechenoperationen, insbesondere die Multiplikation zweier rationaler Zahlen

Literatur:

• Padberg, Danckwerts, Stein: Zahlenbereiche – Eine elementare Einfuhrung. Spektrum, 1995.

• Lengnink (2011): Vorstellen, Darstellen, Rechnen – Zur Bedeutung individueller Vorstellungen

fur das Rechnen mit ganzen Zahlen. PM: Praxis der Mathematik in der Schule 53 (37), S.

28-35.

• Barzel, Eschweiler (2006): Negative Zahlen - positiv erleben! - Eine Lernwerkstatt zur Einfuhrung

der negativen Zahlen. PM: Praxis der Mathematik in der Schule, 48(11), S. 13-21.

• Minuszahlen. Mathematik lehren 35, 1989.

• Winter, Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht, Vieweg, 1989, S. 141ff (bei T. Roh-

wedder).

• Martinez: Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent. Princeton Uni-

versity Press, 2005.

• Walcher, Wittmann: Minus mal minus - Zum Fundament der COACTIV-Studie. MNU 65/6,

S. 371-377, 2012.

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3. Mehrstufige Zufallsexperimente

(P8-9/10: Mit Wahrscheinlichkeiten rechnen)


B Einstieg Zufallsexperimente

B Lebensweltbezogene, schuleraktivierende Aufgaben zu den Pfadregeln (z.B. Ziegenproblem)

B Lebensweltbezogene, schuleraktivierende Aufgaben zur stochastischen Abhangigkeit/Unabhangig-

keit (z.B. Simpson’sches Paradoxon)

B Modellierung von Zufallsexperimenten

Literatur:

• Haggstrom: Streifzuge durch die Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, 2006.

• Jahnke, Das simpsonsche Paradox, PM: Praxis der Mathematik in der Schule 11(1), S. 26-30.

• Getrost, Stein (1994): Fehler und Fallen der Statistik im Stochastikunterricht. PM: Praxis

der Mathematik in der Schule, 36(6), S. 249-253.

• Strick (2006): Der Zweite gewinnt immer! PM: Praxis der Mathematik in der Schule 11(5),

S. 34-39.

• Henze: Stochastik fur Einsteiger – Eine Einfuhrung in die faszinierende Welt des Zufalls.

Vieweg + Teubner, 2012.

• Eichler, Vogel: Leitfaden Stochastik, Vieweg + Teubner, 2011. Frei im HU-Netz!

• Buchter/Henn: Elementare Stochastik, Springer, 2005.



• Kutting, Didaktik der Stochastik, Spektrum, 1994.

• Wetzel (1982): Die”Pfadregel“ fuer Wahrscheinlichkeiten. Ein Beispiel fuer eine mogliche

Differenzierung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mathematica didactica, 5(2), S. 103-112

• Kuetting (1982): Zur Behandlung unabhaengiger Ereignisse im Stochastikunterricht. Didaktik

der Mathematik, 10(4), S. 315-329.

• Malle, Malle (2003): Was soll man sich unter einer Wahrscheinlichkeit vorstellen? mathematik

lehren 118.

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4. Funktionen und (anti-)proportionale Zuordnungen

(P2-7/8: Verhaltnisse mit Proportionalitat erfassen/

P4-7/8 Mit Funktionen Beziehungen und Veranderungen beschreiben )


B Einstieg Zuordnungen

B Verschiedene Darstellungsformen von Funktionen; Vor- und Nachteile; Wechsel zwischen ver-

schiedenen Darstellungsformen

B Herausarbeiten unterschiedlicher Charakterisierungen proportionaler/antiproportionaler Zu-

ordnungen (auf Schulniveau) mit Hilfe der verschiedenen Darstellungsformen

B”Dreisatz als eine Moglichkeit zur Berechnung proportionaler Verhaltnisse“ mit anschaulichen

Diagrammen und Tabellen (RLP).

B Einfuhrung antiproportionaler Zuordnungen

Literatur:

• Wittmann: Elementare Funktionen und ihre Anwendungen. Springer-Spektrum, 2008.

• PM: Praxis der Mathematik in der Schule: Eine Funktion – viele Gesichter. Darstellen und

Darstellungen wechseln. Heft 38, 2011.

• mathematik lehren : Prozente und Proportionalitaten. Heft 114, 2002.

• Fuhrer (2004): Verhaltnisse – Pladoyer fur eine Renaissance des Proportionsdenkens. mathe-

matik lehren 123, S. 46-51.

• Vollrath (1993): Dreisatzaufgaben zu proportionalen und antiproportionalen Funktionen. Ma-

thematik in der Schule 31 (4), S.209-221.

• Richter, Schafer: Weil nicht alles proportional ist ... An Stationen in Zuordnungen einfuhren.

Mathematik lehren, (2008) 148, S. 24-26

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5. Exponentielle Wachstumsprozesse und Potenzen

(P6-9/10: Wachstum und Zerfall mit Funktionen beschreiben/P4-9/10 Situationen mit quadrati-

schen Funktionen und Potenzfunktionen beschreiben)


B Einstieg Exponentialfunktionen

B Abgrenzung verschiedener Arten von Wachstumsprozessen (linear, exponentiell, . . . ) vonein-

ander

B Eigenschaften von Potenzfunktionen

B Einfuhrung der Potenzrechengesetze

B Wachstumsverhalten der Exponentialfunktion

Literatur:

• Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 15. Auflage, teubner, 2003.

• Konigsberger, Analysis I, 6. Auflage, Springer, 2003.

• Walter, Analysis I, 6. Auflage, Springer, 2001.

• Kirsch, Mathematik wirklich verstehen, Aulis-Verlag Deubner & Co. KG, 1987.

• Burger, Malle (1996): Exponentialfunktionen. mathematik lehren 75, S. 55-60.

• Winter (1994): Uber Wachstum und Wachstumsfunktionen. Der mathematische und natur-

wissenschaftliche Unterricht, 47(6), S. 330-339.

• Holzl (2008): Wachst die Schweiz? Eine Lernumgebung zum exponentiellen Wachstum mit

Uberlagerung. Mathematik lehren, 148, S. 46-49

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6. Ahnlichkeit, zentrische Streckungen und die Strahlensatze (Kl. 9/10)

(P2-9/10 Langen und Flachen bestimmen und berechnen)


B Einfuhrung des Ahnlichkeitsbegriffs und der zentrischen Streckung

B Einfuhrung der Strahlensatze

B Beweis des Satz des Pythagoras mit Hilfe des Ahnlichkeitskonzeptes

B Praxisnahe Anwendungen des Ahnlichkeitskonzepts

(Berucksichtigen Sie, dass sich hierbei auch die Proportionalitaten und die Prozentrechnung im

Sinne des Spiralcurriculums schon wiederholen und vertiefen lassen.)

Literatur:

• Krauter, Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie, Springer/Spektrum, 2. Auflage, 2013.

• Weigand et al., Didaktik der Geometrie fur die Sekundarstufe I, Spektrum, 2009.

• Nimz (2000): Ebene Bewegung und Ahnlichkeitsabbildungen. Der Mathematikunterricht 6,

S. 15-31.

• Roth (2012): Ahnlichkeiten verstehen - Den Jakobsstab nutzen. mathematik lehren 172, S.

42-46.

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7. Trigonometrische Funktionen

(P5-9/10: Mit Winkeln und Langen rechnen


B Einfuhrung von Sinus- und Kosinusfunktion als periodische Funktionen mit Hilfe des Ein-

heitskreises

B Erarbeitung funktionale Eigenschaften von Sinus und Kosinus (Symmetrien, Lage der Null-

stellen, Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus,. . . ) mit Hilfe verschiedener Darstellungen

B Einfuhrung der allgemeinen Sinusfunktion x 7→ a · sin(b · (x− c) + d)

B schulerzentrierte Erkundung der geometrischen Wirkung der Parameter a, b, c und d

B Laut Rahmenlehrplan”betrachten [die Schulerinnen und Schuler] den funktionalen Aspekt

von Sinus und Kosinus im Hinblick auf die Beschreibung des in Natur und Technik auftre-

tenden periodischen Verhaltens an ausgewahlten Beispielen“. Was sind geeignete Beispiele?

Wie konnen diese zur Thematisierung und/oder Vertiefung der Eigenschaften der trigonome-

trischen Funktionen verwendet werden?

Literatur:

• Weigand et al.: Didaktik der Geometrie fur die Sekundarstufe I, Springer/Spektrum, 2009.

• Aratari: Trigonometry – A circular function approach. Pearsons Education, 2004.


• Malle (2001): Genetisch in die Trigonometrie. Mathematik lehren 109, S. 40-44 .

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8. Volumen von Prisma, Pyramide, Kegel und Kugel

(P7 9/10: Korper herstellen und berechnen)


B Einstieg Bestimmung des Volumens eines Korpers (Prisma, Pyramide, Kegeln oder Kugel)

B Behandlung des Satzes von Cavalieri

B Die Schulerinnen und Schuler”wenden den Satz von Cavalieri zur Bestimmung des Pyrami-

denvolumens an“ (RLP)

B Die Schulerinnen und Schuler”begrunden das Volumen von Kegel oder Kugel mit einem

Naherungsverfahren“ (RLP)

Literatur:



• Kerpen (1996): Cavalieri konkret – Modelle zum Sehen und Verstehen. mathematik lehren,

77, S. 58-60.

• Fuhrer (2006): Heuristik und Geschichte der elementaren Volumenberechnungen. Mathema-

tica Didactica 29(1) (37), S. 28-35.

• Fricke: Didaktik der Inhaltslehre, Klett, 1983.

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9. Quadratische Funktionen und Gleichungen

(P4-9/10 Situationen mit quadratischen Funktionen und Potenzfunktionen beschreiben)


B Einstieg quadratische Funktionen

B Einfuhrung der Scheitelpunktform

B Nutzung der Scheitelpunktsform zur Losung von Extremalproblemen (RLP)

B Erkundung der Parameter in f(x) = ax2 + bx+ c mit CAS

B schulerzentrierte Herleitung einer Losungsformel fur quadratische Gleichungen

Literatur:


• Vollrath, Weigand, Algebra in der Sekundarstufe, Spektrum, 3. Auflage, 2007.

• Mann: Von Brucken und Wurfbahnen. Vorschlage fur ein Parabelprojekt. Mathematik lehren,

(2008) 149, S. 23-24; 41-45

• Brandenburg: Die Vorzeichen-Fallen der quadratischen Gleichung. PM : Praxis der Mathe-

matik in der Schule, 43 (2001) 3, S. 112-114

• Heinel: Einsatz eines CAS zur Einfuhrung der quadratischen Funktionen bzw. Parabeln. PM:

Praxis der Mathematik in der Schule, 42 (2000) 5, S. 211-216

• Altvater, Woznikl: Quadratische Funktionen selbstandig entdecken. Mathematik in der Schu-

le, 36 (1998) 2, S. 80-92

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10. Lineare Funktionen und Gleichungen

(P9-7/8: Reale Funktionen mit linearen Modellen beschreiben, P5-7/8: Mit Variablen, Termen und

Gleichungen Probleme losen))


B Einstieg lineare Funktionen

B Verschiedene Darstellungsformen linearer Funktionen nutzen, um auf Schulniveau elementare

Eigenschaften und die wesentlichen Kenngroßen linearer Funktionen zu identifizieren.

B Modellierung realer Problemstellungen mit Hilfe von linearen Funktionen und Gleichungen.

Wie lassen sich anhand dieser die Eigenschaften linearer Gleichungen und Funktionen illus-

trieren?

Literatur:

• PM: Praxis der Mathematik in der Schule: Eine Funktion – viele Gesichter. Darstellen und

Darstellungen wechseln. Heft 38, 2011.

• Filler (2010): Geometrisch veranschaulichen - algebraisch verstehen: Lineare Gleichungssys-

tem in der Sekundarstufe I und II. PM: Praxis der Mathematik in der Schule, 52 (32), S.

31-36.

• Jaschke (2010): Einfuhrung in die Gleichungslehre: Eine Alternative zum Waagemodell. PM:

Praxis der Mathematik in der Schule, 52 31, S. 41-45.

• Hußmann, Richter (2012): Warum kann ein Navi so genau rechnen? Mit linearen Funktionen

modellieren. PM: Praxis der Mathematik in der Schule 44, S. 15-19.

• Kirsch (1991): Formalismen oder Inhalte? Schwierigkeiten mit linearen Gleichungssystemen

im 9. Schuljahr. Didaktik der Mathematik 19(4), S.294-308.

• Filler: Elementare Lineare Algebra – Linearisieren und Koordinatisieren, Spektrum, 2011.

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11. Kongruenz (Kl. 9/10)

(P6-7/8: Konstruieren und mit ebenen Figuren argumentieren)


B Einfuhrung des Kongruenzbegriffs

B Erarbeitung der Kongruenzsatze

B Behandlung des Satz des Thales

B Besondere Linien in stumpfwinkligen Dreiecken (vgl. RLP)

B Behandlung von Beispielen fur eindeutige/nichteindeutige Konstruktionen von Dreiecken

Literatur:

• Weigand et al.: Didaktik der Geometrie fur die Sekundarstufe I. Spektrum, 2009.

• Weigand: Begriffe lehren - Begriffe lernen. In: mathematik lehren 172, 2012.


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12. Logarithmen

(P6-9/10: Wachstum und Zerfall mit Funktionen beschreiben)


B Einfuhrung der Logarithmen als Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen

B Lebensweltbezogene Anwendungen des Logarithmus

B Wachstumsverhalten der Logarithmusfunktion

B Rechenregeln fur Logarithmen

B Benutzung logarithmischer Achsenskalierung zur Darstellung von Potenzfunktionen f(x) =

C · ax.

Literatur:

• Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 15. Auflage, teubner, 2003.

• Walter, Analysis I, 6. Auflage, Springer, 2001.

• Eriksson, Estep, Johnson: Angewandte Mathematik – Body and Soul, Band 2, Springer, 2005.

• Appel (1992): Zur Schreibweise der Logarithmusfunktion. PM: Praxis der Mathematik in der

Schule 34, 16-18.

• Meyer (2001): Was sind eigentlich Dezibel? mathematik lehren 113, S. 19-21.

• Weber (2012): Eine Grundvorstellung des Logarithmus – die verallgemeinerte Stellenanzahl.

Beitrage zum Mathematikunterricht 2012 Digital. Vortrage auf der 46. Tagung fur Didaktik

der Mathematik.

• Schuppar, Humenberger (2012): Logarithmisch rechnen – auch heute noch! Der mathemati-

sche und naturwissenschaftliche Unterricht 65(1), S. 7-8.

• Delle (1996), HIV- und AIDS-Zahlen, mathematik lehren 74, S. 54-58.

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13. Irrationale Zahlen

(P1 9/10: Neue Zahlen entdecken )


B Einstieg: Die Schulerinnen und Schuler”entdecken an geeigneten Aufgaben die Notwendigkeit,

Quadratwurzeln zu bestimmen, finden so irrationale Zahlen und begrunden die Zahlbereichs-

erweiterung.“(RLP)

B Beweis der Irrationalitat einer Quadratwurzel

B Unterrichtssequenz, in der die Schulerinnen und Schuler uber die Darstellung der irrationalen

Zahlen als nichtabbrechende, nichtperiodische Dezimalzahlen zu der Einsicht gelangen, dass

es unendlich viele irrationale Zahlen gibt.

Literatur:

• Frohn (2009): Die Wurzel aus 2 – Zugange zur Irrationalitat auf algebraischem und geome-

trischem Wege. mathematik lehren 154, S. 20-45.

• Padberg, Danckwerts, Stein: Zahlenbereiche – Eine elementare Einfuhrung. Spektrum, 1995.

• Barzel, Hefendehl-Hebeker, Irre oder irrationale Zahlen - ein Stationenzirkel zum Einstieg.

PM: Praxis der Mathematik in der Schule 48 (11), S.22-28.

• Danckwerts, Vogel (2006): Vollstandigkeit und Irrationalitat – ein schwieriges Geschaft. PM:

Praxis der Mathematik in der Schule 48 (11), S. 29-32

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14. Geometrie: Beweise und Dynamische Geometrie

(P6-7/8: Konstruieren und mit ebenen Figuren argumentieren,

W4-7/8: Geometrisches Begrunden und Beweisen)


B Verschiedene Arten und Formalisierungsstufen von Beweisen (s. Weigand, 2009).

B Moglichkeiten und Grenzen des Einsatzes von dynamischer Geometriesoftware (z.B. Euklid

DynaGeo, GeoGebra, Cinderella,...).

(Bitte sparen Sie den Satz des Thales aus – dieser gehort zu einem anderen Vortragsthema.)

Literatur:



• Weigand, Weth: Computer im Mathematikunterricht – Neue Wege zu alten Zielen. Spektrum,

2002.

• Koepsell, Tonnies: Dynamische Geometrie im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I.

Aulis, 2007.

• Greefrath, Hußmann, Frohlich (2010), Bewegte Formen wagen – Einstiege und Zugange mit

DGS. PM: Praxis der Mathematik in der Schule, 52(34), S. 1-8.

• Elschenbroich (2010): Ein dynamischer Zugang zu Geometrie und Funktionen – Mit dynami-

schen Arbeitsblattern lehren und lernen. PM: Praxis der Mathematik in der Schule, 52(34),

S. 25-29.

• Elschenbroich (2005) Mit dynamischer Geometrie argumentieren und beweisen, in: Barzel,

Hußmann, Leuders (Hrsg.): Computer, Internet & Co. im Mathematikunterricht, Cornelsen,

S. 76 ff.

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15. Zahlenfolgen, Naherungsverfahren und propadeutischer Grenzwert

(stufenubergreifend; Kl. 9.-12.)


B Einfuhrung des Heron-Verfahrens

B Verfahren zur Naherung von π

B Verfahren zur numerischen Berechnung von Grenzwerten der Differential- und Integralrech-

nung

B Newton-Verfahren (Sek. II, LK)

Stellen Sie exemplarisch dar, wie der Rechnereinsatz, insbesondere der Einsatz von Tabellenkalku-

lationen oder Computer-Algebra-Systemen hierbei hilfreich sein kann.

Literatur:

• Weigand, Weth: Computer im Mathematikunterricht – Neue Wege zu alten Zielen. Spektrum,

2002.

• Schneebeli, H.R., Zurueck zu den Wurzeln! PM : Praxis der Mathematik in der Schule, 43

(2001) 1, S. 35-37

• Korner (2007): Iteration - eine fundamentale Idee. Der Mathematikunterricht, 53(6), S. 3-11.

• Scheu (2001): Die geometrische Bedeutung der Anderung beim Heron-Verfahren. PM: Praxis

der Mathematik in der Schule, 43(4), S. 186.

• Buchter, Henn: Elementare Analysis, Spektrum, 2010, S. 237-250.

• Danckwerts, Vogel: Analysis verstandlich unterrichten. Spektrum, 2006.

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16. Die Binomialverteilung (Stochastik Kl. 12)


B Einstieg Binomialverteilung

B Einfuhrung der Begriffe Varianz und Standardabweichung

B Anwendungen der Binomialverteilung

Literatur:

• Buchter/Henn: Elementare Stochastik, Springer, 2005.



• Tietze (Hrsg.), Wolpers, Mathematik in der Sekundarstufe II, Band 3 – Stochastik. Vieweg,

2000.

• Kutting, Didaktik der Stochastik, Spektrum, 1994.

• Eichler, Vogel Leitidee Daten und Zufall : Von konkreten Beispielen zur Didaktik der Sto-

chastik, Vieweg + Teubner, 2009. Frei im HU-Netz!

• Eichler, Vogel: Leitfaden Stochastik, Vieweg + Teubner, 2011. Frei im HU-Netz!

trigonometrische Gleichung (auch goniometrische Gleichung) i

• Wirths (2005): Hat Gregor Mendel seine Daten”frisiert“? Stochastik in der Schule 25(3), S.

2-8. (Auch im WWW zu finden.)

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P1. Bruchrechnung I – Einfuhrung der positiven rationalen Zahlen Q+ (Kl. 5/6)


B Einstieg zur Zahlbereichserweiterung von den naturlichen Zahlen zu den positiven rationalen

Zahlen

B Enaktive Erarbeitung des Bruchbegriffs

B Erarbeitung von Kurzungs- und Erweiterungsregeln

B Großenvergleiche zweier positiver rationaler Zahlen

Versuchen Sie insbesondere, bekannte Grundvorstellungen zum Zahlbegriff und die damit zusam-

menhangenden Umbruche in den Grundvorstellungen zu berucksichtigen.

Literatur:

• Padberg: Didaktik der Bruchrechnung, Spektrum, 4. Auflage, 2009.

• Padberg, Danckwerts, Stein: Zahlbereiche. Eine elementare Einfuhrung. Spektrum, 1995.

• Hefendehl-Hebeker, Prediger (2006): Unzahlig viele Zahlen: Zahlbereiche erweitern - Zahlvor-

stellung wandeln. PM: Praxis der Mathematik in der Schule 48 (11), S. 1-7.

• Winter, Mehr Sinnstiftung, mehr Einsicht, mehr Leistungsfahigkeit im Mathematikunter-

richt, dargestellt am Beispiel der Bruchrechnung. Online erhaltlich unter www.matha.rwth-

aachen.de/de/lehre/ss09/sfd/Bruchrechnen.pdf.

• Wittmann (2006): Grundvorstellungen zu Bruchzahlen – auch fur leistungsschwache Schuler?

Mathematica Didactica 29(2), S. 49-74.

• Prediger (2006): Vorstellungen zum Operieren mit Bruchen entwickeln und erheben. Vor-

schlage fur vorstellungsorientierte Zugange und diagnostische Aufgaben. PM: Praxis der Ma-

thematik in der Schule 48 (11), S. 8-12.

• Prediger, Glade, Schmidt (2011): Wozu rechnen wir mit Anteilen? Herausforderung der Sinn-

stiftung am schwierigen Beispiel der Bruchoperationen. PM: Praxis der Mathematik in der

Schule 53 (37), S. 28-35.

• Prediger (2004): Bruche bei den Bruchen - aufgreifen oder umschiffen? mathematik lehren

123, S. 10-13

20

P2. Bruchrechnung II – Grundrechenarten in Q+ (Kl. 5/6)


B Einstieg: Enaktive Addition von Bruchen

B Erarbeitung der Additionsregel fur Bruche

B Einstieg: Multiplikation und Division von Bruchen

B Abgrenzung der Regeln fur Addition/Subtraktion und Multiplikation/Division

B Typische Fehler

Gehen Sie insbesondere auf verschiedene Moglichkeiten der Veranschaulichung ein und bewerten

Sie diese anhand ihrer Vor- und Nachteile.

Literatur:



• Winter, Mehr Sinnstiftung, mehr Einsicht, mehr Leistungsfahigkeit im Mathematikunter-

richt, dargestellt am Beispiel der Bruchrechnung. Online erhaltlich unter www.matha.rwth-

aachen.de/de/lehre/ss09/sfd/Bruchrechnen.pdf.

• Prediger, Glade, Schmidt (2011): Wozu rechnen wir mit Anteilen? Herausforderung der Sinn-

stiftung am schwierigen Beispiel der Bruchoperationen. PM: Praxis der Mathematik in der

Schule 53 (37), S. 28-35.

• Prediger (2004): Bruche bei den Bruchen - aufgreifen oder umschiffen? mathematik lehren

123, S. 10-13

• Glade, Schink (2011): Vom Anteil bestimmen zur Multiplikation von Bruchen. Ein Weg mit

System: Fortschreitende Schematisierung. mathematik lehren 164, S. 43-47.

• Eichelmann, Narciss, Schnaubert, Melis (2012): Typische Fehler bei der Addition und Sub-

traktion von Bruchen – Ein Review zu empirischen Fehleranalysen, Journal fur Mathematik-

Didaktik, 33(1), S.29-57 (Zugriff online im HU-Netz moglich.)

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P3. Dezimalbruche (Kl. 5/6)


B Einstieg: Dezimalschreibweise fur Bruche

B Darstellungswechsel zwischen gemeinen Bruchen und Dezimalbruchen

B Erweiterung der Stellenwerttafel

B Einfuhrung der Multiplikation von Dezimalzahlen

Literatur:



• Danckwerts, Vogel: Analysis verstandlich unterrichten. Spektrum, 2006.

• Bauer (2011) Formalisierung: Eine Untersuchung von Schulerinnen- und Schulervorstellungen

zu 0, 9. Journal fur Mathematik-Didaktik 32(1). S. 79-102.

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Hinweise zum Seminar und Liste möglicher Themen