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Hybrid fluid-solid simulation
名工大：尾形修司
流体-弾性体連成問題: 古典的問題設定
設定
◉ 流体領域 :
!
"f
r ˙ v
f=# $
t %
f
◉ 固体領域 :
!
" S
r ˙ v S =# $
t %
s
◉ 境界 :
!
r v f
=r v s 速度一致(粘着条件)
!
t "
f# ˆ n
f+
t "
s# ˆ n
s= 0 応力のつりあい
!
"
!
"s
!
"f
!
"
→ Navier-Stokes方程式
→ 粗視化した弾性体
現実は様々な可能性あり(接触角，疎水性/親水性)
現実は塑性変形もありうる
!
"s!
"f
流体-弾性体連成問題: 数値解法例
直接数値シミュレーション(DNS)法
◉ 流体領域でのみ，Navier-Stokes方程式をメッシュ上で解く
◉ 流体-固体境界の移動・変形の取り扱いは，一般に困難である．
例えばArbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) methodにより弾性体の移動・変形に伴い，メッシュを動的に再構成する:あるときは留まって(Euler的)，またあるときは動いて(Lagrange的)，観測する
流体-弾性体連成問題: 数値解法例
Immersed boundary method (IBM)
◉ 流体は，全領域にNavier-Stokes方程式を適用し，Euler的に解く
C.S. Peskin, J. Comp. Phys. 25, 220 (1977)
◉ 境界上の粘着条件は，Navier-Stokes方程式の 外力項を通じてフィードバックループにより 反復的に実現する
◉ 境界上の固体点で流体に働く力を 流体格子点上で流体に対して働く力は
!
r F (
r X ,t)
!
r f (
r x ,t) =
r F (
r X (s,t),t)"(
r x #
r X (s,t))$ ds
として
実際の数値計算ではデルタ関数を離散化する
!
"(x,x ') =1# | x # x' |, for | x # x ' |< 1
0, otherwise
$ % &
!
"#r u
#t+
r u $ %
r u
&
' (
)
* + +%" = µ,
r u +
r f
…境界上の固体点の移動
!
"r X
"t=
r u =
r u (
r X (s,t), t# )$(
r x %
r X (s,t))ds
…外力を含むNS方程式◉
!
r X
!
r x
Lattice Boltzmann method (LBM) (1)
◉ コーディングが楽な流体計算法
◉ 常に格子点上のみに存在し，離散化速度をもつ，多数の仮想粒子
◉ 空間に規則的な格子点を設定
◉ 仮想粒子は，質量保存則，運動量保存則に従う
!
r e
i
!
ni(r x +
r c
i"t,t + "t) = n
i(r x ,t) +#
i({n
i(t)}) + F
i
!
ni(r x ,t)時刻t で離散化速度 を持つ粒子数
!
r c
i
衝突項
!
"i
外力項
!
Fi
左例では速度0も入れて i={0,…,8}
参考:蔦原等「格子気体法・格子ボルツマン法」 コロナ社(1999).
!
r x
◉ bounce-back rule等により，複雑境界へも，簡単に適用できる方法
!
"x(lattice spacing)
Lattice Boltzmann method (LBM) (2)
◉ 巨視的スケールでは，連続の式，Navier-Stokes式を満たす
等温流体でのBGK衝突モデル
!
"i= #(n
i# n
i
eq) /$
!
ni
eq= nw
i1+
r c
i"r v
cs
2+(r c
i"r v )
2
2cs
4#
v2
2cs
2
$
% &
'
( )
温度:
!
T
仮想粒子質量:
!
m
!
"r v = m n
i
r c
i
i
#局所流速 :
!
r v
!
" = m ni
i
#局所密度: !
wi
重み:
!
wi=1
i
"#
$ %
&
' (
Maxwell-Boltzmann分布を，流速vの2次まで展開して得る平衡分布
緩和時間:
!
"#t
!
"x
"t
2# $ 0.5
3◉ 動粘性率：
!
cs
2
=kBT
m="x
2
3"t2音速cs:
単一時間緩和係数
LBMでの複雑境界の取り扱い法
Bounce-back rule
擬似摩擦力
◉ 仮想粒子の移動後に，固体内部での流れを打ち消す速度分布を追加する
◉ 壁の移動速度 (UB)を反映させる
e.g., Buxton et al, Phys. Rev. E 71, 56707 (2005)
Ahlrichs and Dunwerg，J. Chem. Phys. 111, 8225 (1999)
◉ 流体点と固体点の速度差に比例して，摩擦力を互いに働かせる
!
r f s = "#(
r v s "
r v f )
!
r f f
= "r f s
…固体への摩擦力
…流体への摩擦力
◉ 固体の内部に流体は侵入しない
◉ 注意：固体の内部に流体が侵入する
!
ni(r x
i,t) = n
i(r x
i,t) + "n
i(r x
i,t,
r U B)
v UB
−(v −UB)+UB= −v+2UB
UB
!
m << MB
Preliminary problem
固定壁に挟まれたポアズイユ流内に，rodを置いておく．
Rod=粗視化粒子(CGP)法で作られた粒子群
LBM–CGP interaction in 2D (1)
◉ Immersed boundary methodの考え方を援用する
… 3rd-order Lagrange interpolation
◉ LBM流体速度分布の固体壁での反射
… bounce back with CG velocity (assuming “heavy” solid)
◉ LBM流体からCG固体への運動量移行 (at X)
LBM–CGP interaction in 2D (2)
!
r F (
r x ,t) =
r f (
r X (s,t), t)"(
r x #
r X (s,t))ds
$S%
!
ni(r X ,t) = "(
r X ,
r x # ,$
#,$
% )ni(r x #,$ ,t)
… 固体から 流体への力
!
n j (r X ,t + "t) = ni(
r X ,t) # 2nwi
r c i $
r U CG(r X )
cs
2
!
2mni(X,t) " 2mnw
i
r c
i#
r U CG(
r X )
cs
2
$
% &
'
( )
i
collision
*r c
i
X(s,t)f(X,t)
x
!
redistribute : ni(r X ,t + "t)# n
i(r x ,t + "t) … to LBM points
!
"S
[方向jは，方向iの逆向き]
Conservation of total energy
10 CGP
20 CGP
= Ar (atom)× 1024 21 CG particle
Dynamics of CG particles alone
collision
streaming
CG-dynamics
apply force ufluid +F Δt/ρ
boundary condition on the wall
fluid force on CG particles
get macro fields
CG-evolution
velocity and position of CG particles
Lagrange interp.
scaling to CG world
rescaling to LBM world
Time advancing algorithm
!
r U
CG[LBM unit] =
vatomic unit
unit
3cs
t M
"1r P
CG[atomic unit]
!
FCG,ext
=3"c
s
2#x
fatomic unit
unitf [LBM unit]
Scaling of velocity:
Scaling of force:
400
= Ar (atom)× 102421 CG particle
1 dX[CGP] = (0.8 or 1.2)dx[LBM]
dX
dx
20 (10) CGP
50 CGP
H=100Umax
Characteristics of fluid-solid system
!
Re =U
max
µH = 400 or 500
!
Umax = (0.1 or 0.15) 3cs
Re = 400
Hybrid LBM-CGP simulation
Hard rod
Internalstressof rod
Re = 500
Hybrid LBM-CGP simulation
Soft rod
Internalstressof rod
Re=500Re=400
Energy in the solid body
