Institute of Systems, Control and Information Engineers

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工nstitute 　of 　Systems ，　Control 　and 　工nformation 　Engineers

シ ス テ ム 1制御／情 報，vel．55，　No ．5，　 pp ．159 ・−164 ，2011 159

1ilEIEIIIIIIIIlt1「1…lllllEIIIil亅「1［IllllLIIIIILIIIIIIIII「IFII「1「II［li「1「1「IllllelElllFI［llllli111「lllll［IFIil1111illll［1［1「1111ilEll11111illll111111111illll611「IIIIEIIIIIII［1「IIIIIII「111EIIIIilEII「1「1111111「111111illlllll「111［IIIIdll「11111ill亅lllll1111EI［IIIIilEI［lll11［1「IIIIIIIIIIIIIIIIIIilEllllllI

韈雛罎藤 讎鯉鑼 羅難羇叢轜攝欝攤鸛蠶糶鞴灘灘 鐚懇 　 総 説

　　制御系解析 ・ 設計にお ける数値計算／数 式処理

　　ソ フ トウェ ア の 活用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 川田　 昌克

＊

11ト111111111illll111111111　III亅14［IIIIIし1ト111［11111111111「IIIIIIIトlil111111111EIllトIIIIIIIIIIIII［1しIIIIIIIIIIIIIII［IIIIIIIIIIIEI「III「Illl111illlll「IEIEIトIIIIIIII「1　IIIIIIIレ1［111トIIIIIIIIIIIIII［IIIIIII±IIIIIIIIIII［1［1　IIIIIIIIIililllllllilしIIIII［111111111111111「11111111111111111しIlilll1111「IIIIIIIトII

1．　 は じめ に一 本特集号 のね らい

　近年，「コ ン ピ ュータ や そ の 周辺技術」の 発展 に伴い ，

数値計算／数式処理 ソ フ トウ ェ ア を積極的 に利用 した 制

御系解析 ・設計法が注 目を集 め て い る．

　線形行列不 等式 （LMI ： Linear　Matrix　Inequality）に

基 づ く制御 理 論 ［1−・4］は，「コ ン ピ ュ

ータや そ の 周辺 技 術 」

の 発展 に 刺激 され， 精力的 に 研究 さ れ て き た代表 的 な事

例 の一

つ で ある．LMI と制御理論 とが密接 な関係 に あ

る こ とは，す で に，1970 年代初頭 に指摘 さ れ て い たが ，

LMI を効率的 に解 くた め の ア ル ゴ リズ ムが 存在しな か っ

た た め ，関連す る 制御理 論の 研究 は停 滞 し て い た ，1990

年代半 ば に，LMI を制約条件 と して 線形 の 目 的関数 を

最大化 （最小化）する 凸最適化問題で ある，半正定値計

画問題 （SDP ：Semidefinite　Programming ）に対す る高

速な ア ル ゴ リズム ［5，6，4］が 開発され た．それ以来，多 く

の 制御系解析 ・設計 の 問題 が LMI に 帰着 で きる こ とが

明 らか に さ れた．同時 に，数値計算 ソ フ トウ ェ ア の 環境

が 整 備 され 続 け た 結果，今 日で は，制 御 理 論 を専 門 とす

る研究者 に と っ て ，LMI は制御系解析 ・設計 に お い て 欠

かす こ との で きない ッー

ル として ， 認識 されて い る．

　他方，制御理論 の 分 野 の 中に は，数値計算だけで は な

く，何 らか の パ ラ メータ を含ん だ形で の厳密計算を行う

必要 が あ る 場合 も少な くな い ，こ の よ うな場合 ， 手計算

に よ る 負担 の 軽減 とい う観点か ら，数式処理 ソ フ トウ ェ

ア の 利 用 が 有効 で あ る ．た と えば，パ ラ メ ータ を変数と

し た線形制御系の 性能を容易 に観察す る こ と を 目 的 と し

た代数学的手法［7，81や ， 非線形制御系 に おける微分幾何

学 ［9 ，10ユな ど は，数値計算 だけで は な く数式処理が必要

と され る典型的な例 で ある ［11】．

　 こ こ 20 年 くらい の 問 に精力 的 に研 究 さ れ て きた ，こ

れ ら の 制 御理 論に 興味 が あ る もの の ，そ の 実装 に 不可欠

な数値計算／数式処理 ソ フ トウ ェ ア を ， 具体的 に どの よ

うに使用す れ ば よい の か が わか ら な い ユ ーザ が ，少な か

らず存在す る と考え られ る．筆者 の 場合，大学院在学中

に LMI に つ い て の 勉強 を始め た が，当初，　 LMI の 数

値解を得る た め の 具体的 な 数値計算 ソ フ トウ ェ ア の 使用

方 法 が よ くわ か ら な か っ た．そ の と き， 偶然 ， 九州大学

’

舞鶴工 業高等専門 学校 電子 制御工 学 科Key 　 words ：　 control 　 system 　analysis 　 and 　synthesis ，numerical 　co 皿 putation，

　symbolic 　computation ．

1 一

（当時，九州工 業大学 に 在籍）の 梶原氏が 献身的に ホー

ム ペ ージ上 に掲載 して お られ た 資料 を見 つ けた．その 資

料は 「LMI −CT に よ る制御系設計入門」とい う題目で ，

LMI ⊂ontrol 　Toolbox［12］の 使用方法を，プ ロ グ ラム ソー

ス を含む応用例 を交 えて 説明 して い た．こ の 数値計算 ソ

フ トウ ェ ア を併用 した 資料 は，周囲 に制御理論 の 研究者

が 少 な か っ た筆者 に と っ て ，非常 に効果的 で あ っ た，梶

原氏 の 関連す る 解説 と して は， 文献 ［13］が あ る．

　本特集号 で は， 応用 する 立場 の ユ

ーザ に とっ て は比較

的新 しい 制御理論を，ユ ーザが 実際 に使 っ て み る こ とを

念頭 に，関遮す る数値計算／ 数式処理 ソ フ トウ ェ ア の 具

体的な活用方法を提示す る こ と を 目的 と して い る．本特

集号 の 前半 の 3 編 （川 田 ・蛯 原 氏，市原 氏，和 田 氏 ・藤崎

氏 に よ る解説）は，二 乗和 （SOS ： Sum 　of　Squares）［14］や ラ ン ダマ イ ズ ドア ル ゴ リズ ム ［15］とい っ た 最近 の 結果

を含む LMI に 基づ く制御系解析 ・設計 に おけ る ，数値

計算 ソ フ トウ ェ ア の 活用 に つ い て の解説 で ある ．また，

本特集号の 後半の 2 編 （管野氏，藤本氏 に よ る解説）は，

数式処理 ソ フ トウ ェ ア を積極的 に 活用 した 事例 につ い て

の 解説 で ある ．そ こ で は， 数式処理 を

，パ ラ メ

ータ を有

する線形制御系や非線形制御系の解析 ・設計に利用す る

方法に つ い て 述 べ ら れ て い る．

　以下 で は，本特集号 を読み進 め て い くため の 前段 と し

て，現 在，制御 理 論 の 分野 で よ く利 用 さ れ て い る数値計

算 ／ 数 式処 理 ソ フ トウ ェ ア とそ の 周 辺 の な か で，本特集

号 に 関連す る もの をい くつ か取 り上 げ， 簡単 に紹介す る．

　2． LMI に基づ く制御理論 とその 周辺 に お

　　　 ける数値計算 ソ フ トウ ェ ア の 活用

　 2．1　 SDP ソ ル バ

　文献 ［6］の 福 田氏 の 解説 で は， OR （Operations　Re−

search ）を専門とす る研究者 の立場から，14種類の SDPソ ル バ に つ い て，さ まざまな視点か ら比較 して い る．こ

こで は，制御理論 の 分野 に おい て 代表的な数値計算 ソ フ

トウ ェ ア MATLAB も し くは Scilabで 使 用 す る と い う

視点 か ら，

い くつ か の SDP ソ ル バ に つ い て 紹介す る．

■ LMILAB （LMI −Lab）［12］（商用 ）

　 【開発者】 P．Gahinet，　A ．　Nelnirovski，　A．　J．　Laub

，

　 M ．Chilali

【入手先】　http：／／www ．mathworks ．co ．jp／

N 工工一Eleotronio 　Library 　

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160 シ ス テ ム ノ制御1情報 第 55 巻 第 5 号 　（2011）

　　　（米国 the　Math “rorks 社）

　【数値計算 ソ フ トウ ェ ア 】　 MA 丁LAB

　【特徴】　商用 の MATLAB ッール ボ ッ クス LMICon −

　　 trol　Toolboxiに 含 まれ る SDP ソ ル バ で あ る，制

　　 御理論 で 取 り扱 う問題 に 対 し て ，得 ら れ る数値解

　　 の 信頼性が高 い とい う利点があ る，その 反面，実

　　 行速度が 遅 い こ とが 欠点で あ る．

■ SeDuMi ［16｝（フ リーウ ェ ア ）

　【開発者】 J．F．　S七llrm （現在 は Lehigh 大学 の グ

　　 ル ープが開発 を継承）

　【入手先】 http：／／sedumi ．ie．lehigh．edu ／

　【数値計算 ソ フ トウ ェ ア 】 MATLAB

　【特徴】 LMILAB と比 べ て 実行速度 が 速 く，得 られ

　　 る数値解 の 信頼性 もそ れ ほ ど低 くは な い ．そ の た

　　 め， 数値最適化 の 分野 を 専門 と す る制御理論 の 研

　　 究者 の 多 くが利用 して い る ．

瓢 SDPT3 ［17］（フ リー

ウ ェ ア）

　【開発者】　K ．C ．　Toh，　M ．　J．　Todd

，　R ，　H ．　TUt貢ncU

　【入手先】 httpl〃www ．math ．nus ，edu ．sg 广mattohkc

　　 ／sdpt3 ．html

　【数値計算 ソ フ トウ ェ ア】　MATLAB

　 【特徴】 SeDuMi と 同様 の 特徴 を もつ ．　 SeDuMi と

　　 比べ る と，実行速度が若干遅 い ，64　bit、　Windows

　　 OS で 使 用 す る た め に は，各 自で ソー

ス フ ァ イ ル

　　 を コ ン パ イル す る必 要 が あ る．

口 CSDP ［18］（フ リー

ウ ェ ァ ）

　【開 発者】 B．Borchers

　【入手先lhttps：／／projects．coln −or、org1Csdp1

　【数値計算 ソ フ トウ ェ ア 】 MATLAB，　Sci［ab

　 【特徴1 高速 で あ る が ，制御理論 で 取 り扱 う問題 に

　　 対す る 数値解 の 信頼性が低 い 場合が あ る ．CSDP

　　　を MATLAB で 利用 す る に は ，パ ス を通すだけ

　　 で なく，作成 した M フ ァ イ ル と同 じ フ ォ ル ダ に，

　　 CSDP ．exe を置 く必．要があ る．

■ SDPA −M ［19］（フ リーウ ェ ア）

　 【開発者】 K ，Fujisawa，　Y ．恥 takata

，　M ．　Kojlrrla

，

　　 S，Matsuya皿 a，　S．　Nakamura ．

，　K ．　Nakata7　M ，

　 　 Yamashita

　【入手先】　http：〃sdpa ．indsys．chuo −u．a．c ．jp／sdpa ／

　 【数値計算 ソ フ トウェ ア 】 MATLAB ，　Scilab

　 【特 徴】 OR の 分 野 で は 定 評 の あ る 高速 な 国 産 の

　　　SDP ソ ル バ SDPA 　Ver．6．2．0 を，　 MATLAB で

　　　利用可能 と し た も の で あ る ．た だ し，MATLAB

　　　Ver．7．5 （R2007b）以降の バ ージ ョ ン で は動作せ ず，

　　　制御理論 で 取 り扱 う問題 に 対す る数値解の 信頼性

　　　が低い こ ともある．また ，最新の SDPA 　Ver．7．x

lMATLAB　Ver．6．5．1 〔R13SPI ）ま で は 独 立 し た LMI

Control　Toolbox と して 販 売され て い たが ，現在，　 Ro−

bust　Control　Toolbox に 統合 さ れ て い る．

　　　 を移植 した もの で は なく，今後の 対応が 望 まれ る ．

　以 上 に説明し た SDP ソ ル バ の うち，制御理論の 分野

の 研究者 が 好 ん で 使用す る の は，実行速度 と信頼性の バ

ラ ン ス が と れ て い る SeDuMi と SDPT3 で ある．また ，

信頼性 を重視す る MATLAB ユーザ の 場合，　 LMILAB を

使用す る こ と も多 い ．

　2．2　 数値計算ソ フ トウェ ア MATLAB （商用）

　 こ こ で は，商用 の 数値計算 ソ フ トウ ェ ア で 最 も代表的

な MATLAB を利用 して ，　 LMI に 基づ く制御系解析 ・設

計を行うた め の 環境 につ い て 説明す る ，

　 2．2．1　 LMI パ ーサ

　数値計算 ソ フ トウ ェ ア上 で LMI の 記述 を補助す る イ

ン タ フ ェー

ス を LMI パ ーサ と よぶ ．　 MATLAB 用 の LMI

パ ーサ と し て は， 商用の LMI　Contro「「oolbox が有名 で

あ る が，現在で は ，フ リーウ ェ ア の LMI パ ーサ もい く

つ か 開発 さ れ て い る．

　■ LMiControl 　ToolbGx［12］（商用）

　　【開発者】 P．Gahinet，　A．　Nemirovski，　A ．　J．　Laub ，

　 　 　 M ，Chila］i

　　【入手先】　http：〃www ・mathworks ・co ・jP／　　　　（米国 the　MathWorks 社）

　　【SDP ソ ル バ 】　 LMILAB （ッー

ル ボ ッ ク ス に包含）

　　【特徴1LM ，1の 普及に大きく貢献した商用 の MAT −

　　　 LAB ツール ボ ッ クス で あ る．一

例 として，与えら

　　　 れ た シ ス テ ム 行列 A ，B1 ，　B2

，01

，　Dl ．1 ，

D12 と

　　　円領域 （中心 （c ，O），半径 r ＞ 0） に 対 し て

，　LMI

撫 ［。f∵ 等ノ「鴫

一 ［マ舗レ・

を同時 に満足す る 解 x ＝xT，　z

， 1・が存在す る

範囲 で 1・＞ 0 を最小化す る問題 を考 え る，こ の と

きの M フ ァ イル を以 下 に示す．ただ し，Ax ：＝

AX ＋ B2zT，（フx ：； CIX ＋ D12zT で あ る ．

一2 一

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川 田 ：制御系解析・設計 に お ける 数値計算／ 数式処理 ソ フ トウ ェ ア の 活用 161

　　 こ の 例 か ら わか る よ うに，LMI を ブ ロ ッ ク行列 ご

　　 とに分解して表記する必要があ る など，記述が煩

　　 雑 で あ る とい う欠点 が ある．

臨 YA しMIP ［20］（フ リー

ウ ェ ア）

　【開発者 IJ ．L6fberg

　【入 手先】 httpi／／users ．isy．liu．se ／johanl／yalmip／　【SDP ソ ル バ】　LMILAB

，SeDuMi

，　SDPT3

，　CSDP

，

　　 SDPA．M な ど

　【特徴】 多 くの SDP ソ ル バ に 対応 した LMI パー

サ

　　 で あ り，

　 　

　　 の よう に記述す る．こ の 例か らもわか る よ う に，

　　 LMI の 記述 が 直観的 で わ か りや す い ．　 SDP ソ ル

　　 バ と し て は，SeDuMi と SDPT3 の 使用が 推奨 さ

　　 れ て い る．また，数値最適化の分野 で 近年，注目

　　 され て い る SOS に基 づ く手法や ラ ン ダ マ イ ズ ド

　　 ア ル ゴ リズ ム に対応 可能で ある．

匿 CVX ［21］（フ リーウ ェ ア ）

　【開発者】 M ．C ．　Grant ，　S．　P ．　Boyd

　【入手先】　http：〃cvxr ．com ／cvx ／

　【SDP ソ ル バ 】　SeDuMi，　SDPT3 （イ ン ス トール し

　　 た CVX に包含）

　【特徴】 YALMIP と 同等の 操作性を もつ LMI パ ー

　　 サ で あ り，

蘿覊驪覊韆韈灘韈韈1

の よ うに記 述する，ダ ウ ン ロ ード した フ ァ イル の

中に は，SDP ソ ル バ と して SeDuMi，　SDPT3 が

含ま れ，こ れ らが使用可能で あ る．

　LMI の 記述 の 簡便さ とい う点 で， 制御理論 の 分野 に お

ける研究者に支持され て い る LMI パー

サは，　YALMIP

と CVX で あ る．こ れ ら は，現在で も頻繁 に バ ージ ョ ン

ァ ッ プが 行われ て い る．また，YALMIP は，新 しい 数値

最適化 の 技法へ の 対応とい う点 で は優位性が高い ．

　本特集号で は ， 川田 ・蛯原氏が 「1、MI に基 づ く制御系

解析 ・設計」とい う題 目 で，こ の分野 の 基本事項を，安

定性解析 や ゲ イ ン ス ケ ジ ュー

リ ン グ 制御系設計 とい う具

体例 を交 えて解説す る．また，数値計算 ソ フ トウ ェ アの

環境 と して，MATLAB ／SeDuMi／YALMIP を 取 り上 げ ，

そ の使用方法につ い て説明す る．

　2．2．2PDLMI を解 くた め の新 しい 手法へ の対応

　二 次安定化問題 に代表され る ，不確かなパ ラ メー

タ を

有す る線形 シス テ ム に対す る ロ バ ス ト制御系解析 ・設計

で は，可解条件がパ ラ メー

タ に 依存 した LMI （PDLMI ：

PaTameter　Dependent　LMI ）で記述 さ れ る こ とが多い ，

こ の 種 の 問題 で は，与 え ら れ た パ ラ メー

タ の 変動範囲

に対し て PDLMI の 解を求め る 必要 が ある が ，一般 に，

保守性 の 低 い 解 を求め る こ とは 困難 で あ る．そ の た め ，

Dilation［22｝や 冗長 な Descriptor表現 ［23］などとい っ

た行列拡大に よ る手法，SOS に基づ く手法 ［14ユ，確率的

な手法 （ラ ン ダ マ イ ズ ドア ル ゴ リズ ム ）［15］な ど， さま

ざまな手法が精力的 に研究され て い る．以下 で は，SOS

に基 づ く手法や ラ ン ダ マ イ ズ ドア ル ゴ リズ ム の 適用 に有

用 なソ フ トウ ェ ア につ い て 紹介す る．

　（a ） SOS に 基 づ く手 法

　 こ の 手法 で は，PDLMI を行列 SOS 多項式に よ り表

現す る こ とが で きるか ど うか で 解 の 存在性を 調べ る，そ

の 際，単項式 の 係数 を取 り出す作業 を伴 うた め，数値計

算だけで な く数式処理 も必要 とな る．多項式 の 次数 を増

や せ ば，計算量 は 爆発的 に 増 え る が ，保守性 を軽減 で き

る と い う特徴があ る ．SOS に基 づ く手法 で 使用 され る

数値計算 ソ フ トウ ェ ア は一

般 に MATLAB で ある．　 SOSパ

ーサ と して は ，以下 に 示す もの が 開発 さ れ て い る。

■ SOSTOOLS ［24］（フ リーウ ェ ア ）

一一3 一

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162 シ ス テ ム ／制御／情報　第 55 巻 　第 5 号 　（2011）

　 【開発者】 S．Prajna，　A．　Papachristodoulou，

　 　 　P．Seiler、　P ．　A ．　ParriLo

　 【入手先】 http：／／www ．cds ．caltech ．edu ／sostools ／

　 【特徴】 制御理 論 の 分野 の 研究 者が ， 最初 に よ く

　　　利用 した SOS パ ーサ で あ る．Ver．2．x で は，商

　　　用 の MATLAB ッー

ル ボ ッ ク ス Symbolic　Math

　　　Toolbox，あ る い は フ リーウ ェ ア の Multivariate

　　　Polynoni　i’al　Too［　boxZが 必要 で あ る．　 SDP ソ ル バ

　　　と して は SeDuMi もしくは SDPT3 を使用す る．

■ SOS 　Module ［2e］（フ リーウ ェ ア〉

　 【開発者】　J．L6fberg

　 【入手先】　http：／／users 、isy．1iu、se／johanl／yalmipf　 【特徴 】 YALMIP に 標準 で 含 ま れ る SOS パ ー

サ で

　　　あ り， 処理が高速 で あ る とい う利点があ る、また，

　　　YALM 【P は様々 な改善が頻繁に行わ れ て お り，年

　　　に 数回，新 しい バージ ョ ン が リ リ

ース され て い る ．

　本特集号で は，「二 乗和に基 づ く制御系解析 ・設計」 と

い う題 目で， 市原氏が SOS の 制御理論分野 へ の 応用 に

つ い て 解説 し て い る ．そ こ で は，SOS の 基本的な考え

方を 説明 し た後，PDLMI の 数値解を得る た め に，　 SOS

を利用す る 方法が示 さ れ て い る．また，最近，こ の 分 野

で の 評 価 が 高 い SOS 　Module で の 実 装 方法 や 実行結果

を交 え ， 理解が進む よう に配慮 されて い る．

　（b）ラ ン ダマ イ ズ ドア ル ゴ リズ ム

　通常 の ア プ ロ ーチ と は 異 な り，ラ ン ダ マ イ ズ ドア ル ゴ

リズ ム で は ，変動範囲に 含まれ る“

すべ て’1

で は な く“

ほ と ん ど”

の パ ラ メータ を考 える．そ の 結果 ， 確率的

な厳密性 を保証 した数値解 を，実用的な実行時間で得る

こ とが で き る．こ の ア ル ゴ リ ズ ム を容易に実装 可 能な

パ ーサ と して ，MATLAB ．ヒで 動作す る RAC 丁 が 開発 さ

れ て い る．

層 RACT ［25】（フ リーウ ェ ア ）

　 【開発者］ A ．［［bemba ，　G ．　Cala且ore，　F．　Dabbene ，

　　　E．Gryazinal　 B ．　 Polyak，　 P．　Shcheybakov

，　 R ．

　　　Tempo

　 【入手先】　http：〃ract．sourceforge ．net ／

　 【特徴 lRACT は ラ ン ダマ イズ ドア ル ゴ リズ ム の 唯

　　　一

の パ ーサ で あ る ，また，PDLM 工 を取 り扱 う

　　　際 に は，SeDuMi，　SDPT3 な どの SDP ソ ル バ と

　　　 YALMIP がイ ン ス トー

ル され て い る必要があ る ．

　 本特集暑で は，「ラ ン ダ マ イズ ドア ル ゴ リズ ム に よ る ロ

バ ス ト制御系解析・設計」とい う題 目で，和田 氏

・藤崎

氏 が 確率的手法 の 制御 理 論分野へ の 応用 に つ い て 解 説 し

て い る，そ こ で は，制御系 の 確率的解析・設計問題 の 事

例 をい くつ か示 し，RACT を利用 した 具体的 な 実装方法

や 実行結 果 を交えて ，そ の 有効性 を示 し て い る ，と くに ，

確率的 設 計 問 題 で は ，PDLMI の 解 を得 る た め の ラ ン ダ

マ イズ ドア ル ゴ リ ズ ム の 利用 に つ い て 説明 さ れ て い る．

　2．3　 数値計算ソ フ トウェ ア Scilab（フ リーウェ ア ）

　単に LMI を解 くだ けで あれ ば，フ リー

ウ ェ ア の 数値

計算 ソ フ トウ ェ ア で あ る Scilabが 利用可能で あ る．

　Scilabは，フ ラ ン ス の 国立情報学 自動制御研究所 で あ

る 11　 RIA と国立土木学校 で あ る ENPC が共同 で 開発

した フ リーウ ェ ア の 数値計算 ソ フ トウ ェ ア で あ り，

　● http：〃vwvwsciIab ．org ／か ら 入手す る こ とが で きる ．ScHab の 特徴 の

一つ は，

MATLAB の シ ミ ュ レータ Simulinkに 相当す る，　 Xcos

が包含されて い る こ とで あ る．

　LMI パ ーサ と して は，以下の もの が 開発 され て い る．

■ LMITOOL ［26］（フ リー

ウ ェ ア ）

　 【開発者】 R ．Nikoukhah，　 F．　 Delebecquey

，　 L．　 E ．

　 　 　 Ghaoui

　 【入手先】　http：／／www ．scilab．org ／

　 【特徴IS ¢ilabに標準で含まれ て い る LMI パ ーサで

　　　あ る ．

■ Sc「Yaimip （フ リーウ ェ ア）

　 【開発者】 S．Solovyev7　P．　PakShin

　 【入手先】 http：／／spiderman −2．laas．fr10LOCEP ／

　　　SciYalmlP／　 【特徴】　MATLAB 用 の LMI パ

ーサ YALMIP を

　　　Scilab環境に 移植 し た もの で ある ．そ の た め ，

　　　 MATLAB 上で 動作す る YALMIP とほ ぼ 同 じ操作

　　　性 で ある，SDP ソ ル バ として は CSDP，　SDPA に

　　　対応 して い る が，残念な が ら，制御理 論の 分野で

　　　 よ く利用 され る SeDuMi や SDPT3 に は 対応 し

　　　て お らず，今後の 改良が期待され る．

3．　 パ ラ メ ータ を含む シス テ ム 制御理論に

　　　 お ける数式処理 ソ フ トウ ェ ア の活用

　3．1　 活用 され る制御理 論の 分野

　Maple や Mathematica に代表され る数式処理 ソ フ ト

ウ ェ ア は，数学，物理学，化学，天文学，金融，機械工

学 ， 電気工 学 ，ロ ボ ッ ト工 学な ど とい っ た

， 非常 に幅広 い

分 野 で 活用 さ れ て い る．従来，数式処 理 ソ フ トウ ェ ア は

汎用性が 高 い 反 面 ，特定分野 に特化 した パ ッ ケ ージ が 充

実 して い る とは い えず，制御理論 の 分野で は， MATLAB

とい っ た数値計算 ソ フ トウ ェ ア に 比べ る と，そ の利用 は

限定的で あ っ た．しか し，近年，パ ッ ケージが 充 実 しつ つ

あ り，実 シ ス テ ム に 対 して 制御系解析や 設計を行う際の

　・ Laplace 変換や 逆 Laplace 変換

　・ Lagrange の 運動方程式 に よ る 制御対象 の 数式 モ デ

　　 ル の 導出

　 ● 制御対象の 非線形な数式 モ デ ル の 1 次近似線形化

　 ・ パ ラ メ ータ を含 む線形 シ ス テ ム に 対す る Routh −

　　Hurwitz の 安定判別lP ．　Seilerに よ り開 発 され た もの で あ り，　 SOSTOOLSVer．2．x に 包含 され て い る ．

一4 一

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川 田　制 御系解 析 ・設 計 にお け る数値 計算／ 数式処 理 ソ フ トウ ェ アの 活用 163

な ど とい っ た手計算で は骨 の 折 れ る作業 を，数式処 埋 ソ

フ トウ ェ ア で 行 うこ との 有用性 が 認識 さ れ て い る ．

　本特集号で は，管野氏，藤本氏に制御理論に おける 数

式処理 の 活用 につ い て 解説 し て い た だ く．まず，管野氏

に は，「数式処理を用い た パ ラメー

タを有す る線形制御系

の 解 析」 とい う題 目で 解 説 して い た だ く．そ こ で は ，伝

達関数 の 結合 ， 逆 La．place 変換 ，パ ラ メ

ータ を含 む線形

制御系に対する Routh −Hurwitz の 安定判別 や H2 ノ ル

ム の 計算 な ど とい っ た 基本的な 数式処理 の 例 が 示 され て

い る．また， 藤本氏 に は

， 「数式処理 を用 い た非線形制御

系の 解 析 ・設 計」とい う題 目 で 解説 して い た だ く，そ こ

で は， 状態変数 自体 をパ ラ メ

ータ と考え， 数式処理 に よ

り非線形制御 に必要な Lie微分 や Lie括弧 などとい っ た

操作を実現する方法を示して い る．また，非線形最適制

御 にお け る Halnilton−Jacobi方程式 の 近似 解法 と 数式

処 理 と の 関 係 に つ い て も言 及 さ れ て い る．

　 3．2　 数式処理 ソ フ トウェ ァ

　 こ こ で は ，制御理論 の 分野 の 研究者が 利用す る 代表的

な数式処理 ソ フ トウ ェ ア の い くつ か を紹介する．

圏 Maple （商用）

　 【開発者】 Waterloo大学 の グルー

プ

　 【入手先】 http；／／www ．maplesoft ．com ／　　　　（カ ナ ダ Maplesoft 社）

　 【特徴】　日本で は サ イ バ ネ ッ ト社／が販売，サ ポ ート

　　　を手が けて い る ［27］．歴史的には Mathematicaよ

　　　 りも古 い ．Pascal風 の 記述形式 で あ り，

　　　覊覊韈灘驤靉戀灘靉　　　 の よ うに記 述 さ れ る ．標準 で 組 み 込 ま れ て い る

　　　 パ ッ ケージ の 種類 は 豊富 で あ る ．た とえば ， 最

　　　新の バー

ジ ョ ン （Ver．14）で は ，標準の パ ッ ケ ー

　　　 ジ inttrans，　 Dynam 「cSystems

，　 Polynomia「「ools

，

　　　LinearAlgebra に，各種 の 応答 や周波数特性の 描画，

　　　Routh−Hurwitz の 安定判別 ，　 Lyapunov／Riccati

　　　方程式 の 求解な ど を行 うための ，制御 工 学 で有用

　　　な様々 な関数が含まれ て い る ．また，Maple に は

　　　 MATLAB との リ ン ク を実現す る 標準 の パ ッ ケー

　　　ジ が 組 み 込 ま れ て い る ．新 し い 流 れ と して ，数

　　　 式処 理 をベ ース と した 複合領域物 理 モ デ ル シ ミ ュ

　　　 レータ MapieSim が 注目 を集 め て い る．

　■ Mathematica （商用）

　 【開発者】 S，Wolfram ら

　　【入手先】　http：〃www ．wolfram ・com ／　　　　（米国 Wolfram 　Research 社）

　 【特徴】　最初 に 商業的 に 成功 し た 数式処理 ソ フ トウ ェ

　　　 ア で あ る．LISP 風 の 記述形式 で あ り，

　　　1灘難靉韈靉靉灘1灘

　　 の よ う に，コ マ ン ドに 括弧“［”

や“］”

が 頻繁 に

　　使 わ れ る．別途，制御工 学 の 分 野 に特化 した パ ッ

　　 ケージ Control　System　Professiona［を 購入す る

　　 こ とで ，Maple と同様，基本的な制御系解析 ・設

　　 計を行うこ とが 可能である．グ ラ フ ィッ ク機能が

　　 他 の 数式処理 ソ フ トウ ェ ア と比 べ て 高機能 で ある ．

匿 MuPAD （商用）

　【開発者】 Paderborn 大学 の グルー

プ

　【入 手先I　http：／／www ．mathworks ．co ．jp／products／　　 symb 。 Irc1（米国 the　Mathworks 社）

　【特徴】 販売 元 の 独 SciFace社 が 米国 the　Math −

　　 Work 社 に統合 され， 現在 ，

　 MATLAB ッール ボ ッ

　　 ク ス の Symbol「c　Math　Toolbox2と して 販売 され

　　 て い る ．MATLAB 上 で直接，数式処理 を行 うこ

　　 とが で きる ほ か ，コ マ ン ドウ ィ ン ドウ で

靆鑠 糶靉嚢萋萋鑿籖…壽钁き萋萋鑿鼕耄蕁鼕萋蒹萋萋萋妻鑿萋纛爨i萋妻嚢鑿｝嚢鑵韈　　　と 入力すれ ば，MuPAD 単体の 利用 も可能 で あ る．

　Maple と Mathemati ⊂a の ど ちらを利用す る か は好 み

に よ る が ，最 近 で は，制御工 学に有用 な パ ッ ケージ の 充

実 ，使 い 慣れ た MATLAB と の リン ク機能な ど の 優位性

か ら，制御理論 の 研究者は Maple を選択す る 傾向 に あ

る．こ うい っ た 状況 を鑑 み ，本特集号 に お け る管野氏，

藤本氏の 解説 で は ，Maple の 活用例 が 示 さ れ て い る ．

　 ま た，フ リーウ ェ ア の 高機能 な 数式処理 ソ フ トウ ェ ア

と して は， た とえば ， 以下 の もの が知 られ て い る．

■ Maxima （フ リーウ ェ ア）

　 【開発者】 W ．Schelterら

　 【入手先】 http：／／maxima ．sourceforge ．net

　 【特徴】 商用 の もの と同等の 高 い 能力 を も ち，近年，

　　　 そ の 活用 が 注 目さ れ て い る．制御 工 学 の 分野 で の

　　　Maxima の 活用 に つ い て は文献 ［28］が参考に な る．

4．　 お わ りに

　以上 ，本特集号 を企 画 し た 趣旨を 説明 し， 関連す るい

くつ か の 数値計算／数式処理 ソ フ トウ ェ ア を紹介し た．

こ こ で紹介 した すべ て の ソ フ トウ ェ ア を筆者が 熟知 して

い る わ けで は な い の で，筆者 の 認識 に 誤解があ る か もし

れ ない ．こ の 点 につ い て は，ご容赦 い ただきた い ，なお，

本特集号に 関 連 した ソー

ス コー

ドや LMI に 関連 した ソ

フ トウ ェ ア の イ ン ス トール 方法 な ど とい っ た補足事項は ，

　● http：／／www ．maizuru −ct．ac ．jp／control ／kawata／iscie

　　／iscie，htmI

で 公開す る の で ，そちらを参照 されたい ．

　新 しい 制御 理 論 を ツー

ル と し て 実 際 に使 っ て み ようと

考 えて い る ，学界 ・産業界 の 幅広 い ユ ーザ に と っ て ，本

特 集号が そ の一

助となれ ば幸 い で あ る．そ して ，制御理

1http：／fwww．cybernet ．⊂o．jp／map ［e1

2MATLAB　Ver．7，6 （R2008a）ま で は 古 い バ ージ ョ ン

の Maple が 組み 込 まれ て い た が，　 MATLAB 　Ver ．7．7

（R2008b ）以 降，　 MuPAD に 変更 され た ．

一5 一

N 工工一Eleotronio 　Library 　

Institute of Systems, Control and Information Engineers

NII-Electronic Library Service

工nstitute 　of 　Systems ，　Control 　and 　工nformation 　Engineers

164 シ ス テ ム ／制御1情 報 第 55 巻 第 5 ．号 （2011）

論 の 分 野 に多 くの 研究者 ・技 術 者，そ して 若 い 学生 た ち

が 興味 を 抱 き，

こ の 兮野 の コ ミュ ニ テ ィ が 活性化す る こ

とを，切に願 っ て い る．

　最後 に，ご多忙 で あ る に もか か わ らず本特集号 の 趣 旨

に ご賛同 の ．ヒ，ご寄稿 い ただい た執筆者の 方々 ，企画段

階 か ら貴重 な ご 意 見 を 賜 りま し た編集委員 の 方 々， 解説

記事の 実現 に ご 配慮 い た だ きました 金沢大学理工 研究域

の 金子 修 准教授に厚 く御礼申し上 げ ます．

　　　　　　　　　　　　　　　（2011年 2 月 14 日受付）

参 考 文 献

［1｝S．Boyd，　L ．　El　Ghaouil　E．　Feron　and 　V ．　Balakrishnan：

　　Lin．ear 　Matrix 加 e卿 α‘ities　in　 System　 and σontrol

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　　stanford ．edu ／〜boyd／lmibook ！lmibook．pdf）

［2］岩 崎 ：LMI と 制御，昭 晃堂 （1997）

［31 藤 森 ：ロ バ ス ト制 御 ，コ ロ ナ社 （2001 ）

［41 増 淵，小 原 ：LMI に よ る シ ン セ シ ス と半正 定値計 画 問

　　題 ；計測 と制御，Vo ｝．35，　NQ ．1  ，　pp ．743−750 （1996）

［5］十谷 ：最 適化 アル ゴ リズ ム の 新展 開一内点 法 とそ の 周

　　辺一III，　IV一半 正定値 計画 問 題 1，　II；シ ス テ ム ／制御／

　　’隋報，Vol．42，　No ．8，10，　pp ．460−469，550−559 （1998）

［61 藤 沢 ら ：特 集 「半 正 定値計 画問 題 に 対 す る ソ ル バ ーと応

　　用 例 」；オペ レーシ ョ ン ズ ・リサーチ，Vbl．55，　No ．7，

　　pp ．386 −424 （201D ）

［7］穴井，原 ：数 式処 理 に よ る ロ バ ス ト制 御系 設 計 ；計 測 と

　　制御，VbL 　44，　No ．8，　pp ．552 ．−557 （2005 ）

［81 穴井，管野 ：数値 ・数式ハ イ ブ リ ッ ド手法 に基づ く高品質計

　　算 とそ の 展開 ；計測 と制御，Vol．45｝No ，5

，　pp，309−314

　　 （2010）

［9］A．Isidori二 No η伽 eα r　Control　SysteMs ，2nd　edition ，

　　 Springer−Verlag （1989）

［10］石 島， 石 動 ，：三平 ，島 ， 山下，渡辺 ：非線形 シ ス テ ム 論，

　　 コ ロ ナ社 （1993）

［11］福 沢，増 淵 ：非線形系の フ ィー

ドバ ッ ク線形化 と制御 の た

　　 め の Mathematica に よ る 設計支援・解析シ ス テ ム ；日本

　　機械学会論文集 C 編，Vol．59，　No ，563

，　pp．2144−2151

　　 （1993）

［12］P，Gahinet，　 A ．　 Nemirovski

，　 A ，　 J，　 Laub 　 and 　 M ．

　　 Chilali （梶原 監訳）： LMJ 　Control　Toolbox 　for　Use

　　 with 　MATLAB7 　The ｝ 圧εしthVVbrks （1995）

［13］梶 原 ：LMI ベ ース 制御 系 CAD とそ の 応 用 ；計 測 と 制

　　御，Vol．35，　No ．10，　pp ．737−−742 （1996）

［141 大石 ：2 乗和 多 項式 に基 づ くロ バ ス ト制御系設計 ；SIGE

　　 セ ミナー「実用 的な制御系設計」資料，pp．71−88 （2007）

［15］藤崎，大石 ：ラ ン ダ マ イズ ドア ル ゴ リ ズ ム に よ る制 御

　　 シ ス テ ム の 解析 と設計 ；シ ス テ ム ／制 御／情報 ，Vo1．53 ，

　　 No ．5，　pp ．189 −196 （2009 ）

［16］J．ESturm ： Us’ing 　SeDuMi 　1，02，　a 　MATLAB 　tQolbox

　　 f｛〕roptimization 　over 　symmetric 　cones （Updated　fc）r

　　 Versiori　1．05）；　Optirnixα tion 　Methods 　and 　Soノ舌w α rel

　　 Vbl．11，No ，1

，　pp ．625−−653 （1999）

［17］K ．C ，　Toh，　M ．　J．　Todd 　and 　R ．　H ．　TUtUncCi： SDPT3 −一．

　　 aMATLAB 　 sof もware 　packagc 丘〕v　 sO．rnidefinite 　pro．

　 　 gramming ，　 version 　1．3； Optimization　Methods　and

　　Soft2vare，　VbL 　11，　No ，1｝pp ．54J「一一581 （1999）

［18］B．Borchers； CSDP 　2．3　User’s　Guide； Optim 盛xation

　　 Methods　and 　Soflware，　XJc〕L　11，　No．1，　pp ．597−611

　　（1999）

［19］中 田， 藤澤 ， 福 田 ， 山下 ， 中田，小 林 ：最 適化 ソ フ トウ ェ

　　ア SDPA ；応用 数 理，　 Vo1．18，　No ．1，　pp ．2−14 （2008 ）

［20］J．L6fberg： YALMIP 二 a　toelbox 　for　modeliiig 　and 　op −

　　 t−imizatlon　ill　MATLABI 　Proceedings　 of 　20041EEE

　　 Jnternαtionαl　S’yηTxposiu’rn 　 on σ0．mputer 　Aided　Con−

　　 trol　StJstems　Design，　pp，284 −289 （2004 ）

［21］M ．Grant，　 S，　 Boyd 　and 　Y ．　Ye： Discip】ined　convex

　　 programming （Chapter　in　Gtebal　OptiMil〔ltion ： 、fro・m　　 Th・eory 　to　Implementation），

　 Sprillger，　 pp．155−210

　　 （2006）

［22］蛯原，萩原 ：伸張型 線形行列不等式 を用 い た制御系の 解析

　　 と設計 ；シ ス テ ム ／制御 ／情報，Vol．48，NQ ．9，　pp．355−

　　360 （2004）

［231 陳，柴田 ：デ ィス ク リプ タ表現 の 冗長性 を利用 したシ ス テ

　　 ム 解析 ；シス テ ム1制御／情報，vbl．47，　No ．5

，　pp．211−

．

　　216 （2003）

［24］S，Prajna，　A ，　Papachristodoulou　and 　P，　A ．　Parri弖o ：

　　 Introducing　SOSTOOI ．S ： Ageneral 　purpose　s矼 m 　of

　　 SquaI’es 　prOgramming 　SOIver ；Pro6eedings　Of 　the　4iSt

　　 JEEE 　Cortference　on 工）8c乞3琶o γ占 and 　Oo・ntrol，　PP、741−

　　 746　（2002）

［251A ．　Z［rembal 　G，　Calafiore，　F ．　Dabbenet 　E ．　Gryazina7

　　 B ．P   lyak，　P．　ShcherbakQv　a皿 d　R ．　Tempo ： RACT ；

　　 Randomized 　 a，lgorithrns　 control 　 tooibox 　 for

　　 MATLABI ．Proceedirbgs　 of 　 the　 1　7th　m40 　PVorld

　　 Congress　pp．390−395 （2008）

［26］L．E ，　 Ghaoui，　 R ．　 Nikoukhah 　 and 　 F．　 Delebecque：

　　 LMITOOL ： apackage 　for　LMI 　 optimization ； Pro−

　　 cee 伽 950f 　the　3勧 JEEE 　 Conference　 ort　Decisi．on

　　 and 　Controi7　pp．3096−3101　（1995）

［27］サ イバ ネ ッ ト シ ス テ ム 〔株），川谷 ：制御系設計 に お け

　　 る 数式処mp　Maple の 活用 ；計測 と制御，　Vol．40，　No 、3，

　　 pp．247．．．248 （2001）

［28］川谷 ：フ リーソ フ トで 学 ぶ 線 形 制 御一Maxima ！Scilab

　　 活 用 法，森 北 出版 （2008 ）

た

田

わ

ー

カ

丿

　　　　著 者 略 歴

ま さ 　 か つ

昌 克 （正会員）　1997 年 立命館 大 学大学 院理 工学研 究 科

情報工 学専攻．博士後期課程修了，同年 4 月

よ り同．大学理工 学部助乎 （任期制）．1998

年 4 月 よ り舞 鶴 工 業 高 等 専 門 学校 電子 制

御 工 学科 助 手，講 師，助 教授，准 教授 を 経

て，2010 年 3 月よ り同教授 とな り，現 在

に 至 る，ロ バ ス ト制御 とそ の 応 用 に 関す る研 究 に従事，博 ±

（工 学〉．計 測 自動制 御学会 ，IEEE な どの 会員．

一6 −．．

N 工工一Eleotronio 　Library