Institute of Systems, Control and Information Engineers
NII-Electronic Library Service
工nstitute of Systems ， Control and 工nformation Engineers
シ ス テ ム 1制御／情 報，vel．55， No ．5， pp ．159 ・−164 ，2011 159
1ilEIEIIIIIIIIlt1「1…lllllEIIIil亅「1［IllllLIIIIILIIIIIIIII「IFII「1「II［li「1「1「IllllelElllFI［llllli111「lllll［IFIil1111illll［1［1「1111ilEll11111illll111111111illll611「IIIIEIIIIIII［1「IIIIIII「111EIIIIilEII「1「1111111「111111illlllll「111［IIIIdll「11111ill亅lllll1111EI［IIIIilEI［lll11［1「IIIIIIIIIIIIIIIIIIilEllllllI
韈雛罎藤 讎鯉鑼 羅難羇叢轜攝欝攤鸛蠶糶鞴灘灘 鐚懇 総 説
制御系解析 ・ 設計にお ける数値計算／数 式処理
ソ フ トウェ ア の 活用 川田 昌克
＊
11ト111111111illll111111111 III亅14［IIIIIし1ト111［11111111111「IIIIIIIトlil111111111EIllトIIIIIIIIIIIII［1しIIIIIIIIIIIIIII［IIIIIIIIIIIEI「III「Illl111illlll「IEIEIトIIIIIIII「1 IIIIIIIレ1［111トIIIIIIIIIIIIII［IIIIIII±IIIIIIIIIII［1［1 IIIIIIIIIililllllllilしIIIII［111111111111111「11111111111111111しIlilll1111「IIIIIIIトII
1． は じめ に一 本特集号 のね らい
近年，「コ ン ピ ュータ や そ の 周辺技術」の 発展 に伴い ，
数値計算／数式処理 ソ フ トウ ェ ア を積極的 に利用 した 制
御系解析 ・設計法が注 目を集 め て い る．
線形行列不 等式 （LMI ： Linear Matrix Inequality）に
基 づ く制御 理 論 ［1−・4］は，「コ ン ピ ュ
ータや そ の 周辺 技 術 」
の 発展 に 刺激 され， 精力的 に 研究 さ れ て き た代表 的 な事
例 の一
つ で ある．LMI と制御理論 とが密接 な関係 に あ
る こ とは，す で に，1970 年代初頭 に指摘 さ れ て い たが ，
LMI を効率的 に解 くた め の ア ル ゴ リズ ムが 存在しな か っ
た た め ，関連す る 制御理 論の 研究 は停 滞 し て い た ，1990
年代半 ば に，LMI を制約条件 と して 線形 の 目 的関数 を
最大化 （最小化）する 凸最適化問題で ある，半正定値計
画問題 （SDP ：Semidefinite Programming ）に対す る高
速な ア ル ゴ リズム ［5，6，4］が 開発され た．それ以来，多 く
の 制御系解析 ・設計 の 問題 が LMI に 帰着 で きる こ とが
明 らか に さ れた．同時 に，数値計算 ソ フ トウ ェ ア の 環境
が 整 備 され 続 け た 結果，今 日で は，制 御 理 論 を専 門 とす
る研究者 に と っ て ，LMI は制御系解析 ・設計 に お い て 欠
かす こ との で きない ッー
ル として ， 認識 されて い る．
他方，制御理論 の 分 野 の 中に は，数値計算だけで は な
く，何 らか の パ ラ メータ を含ん だ形で の厳密計算を行う
必要 が あ る 場合 も少な くな い ，こ の よ うな場合 ， 手計算
に よ る 負担 の 軽減 とい う観点か ら，数式処理 ソ フ トウ ェ
ア の 利 用 が 有効 で あ る ．た と えば，パ ラ メ ータ を変数と
し た線形制御系の 性能を容易 に観察す る こ と を 目 的 と し
た代数学的手法［7，81や ， 非線形制御系 に おける微分幾何
学 ［9 ，10ユな ど は，数値計算 だけで は な く数式処理が必要
と され る典型的な例 で ある ［11】．
こ こ 20 年 くらい の 問 に精力 的 に研 究 さ れ て きた ，こ
れ ら の 制 御理 論に 興味 が あ る もの の ，そ の 実装 に 不可欠
な数値計算／数式処理 ソ フ トウ ェ ア を ， 具体的 に どの よ
うに使用す れ ば よい の か が わか ら な い ユ ーザ が ，少な か
らず存在す る と考え られ る．筆者 の 場合，大学院在学中
に LMI に つ い て の 勉強 を始め た が，当初， LMI の 数
値解を得る た め の 具体的 な 数値計算 ソ フ トウ ェ ア の 使用
方 法 が よ くわ か ら な か っ た．そ の と き， 偶然 ， 九州大学
’
舞鶴工 業高等専門 学校 電子 制御工 学 科Key words ： control system analysis and synthesis ，numerical co 皿 putation，
symbolic computation ．
1 一
（当時，九州工 業大学 に 在籍）の 梶原氏が 献身的に ホー
ム ペ ージ上 に掲載 して お られ た 資料 を見 つ けた．その 資
料は 「LMI −CT に よ る制御系設計入門」とい う題目で ，
LMI ⊂ontrol Toolbox［12］の 使用方法を，プ ロ グ ラム ソー
ス を含む応用例 を交 えて 説明 して い た．こ の 数値計算 ソ
フ トウ ェ ア を併用 した 資料 は，周囲 に制御理論 の 研究者
が 少 な か っ た筆者 に と っ て ，非常 に効果的 で あ っ た，梶
原氏 の 関連す る 解説 と して は， 文献 ［13］が あ る．
本特集号 で は， 応用 する 立場 の ユ
ーザ に とっ て は比較
的新 しい 制御理論を，ユ ーザが 実際 に使 っ て み る こ とを
念頭 に，関遮す る数値計算／ 数式処理 ソ フ トウ ェ ア の 具
体的な活用方法を提示す る こ と を 目的 と して い る．本特
集号 の 前半 の 3 編 （川 田 ・蛯 原 氏，市原 氏，和 田 氏 ・藤崎
氏 に よ る解説）は，二 乗和 （SOS ： Sum of Squares）［14］や ラ ン ダマ イ ズ ドア ル ゴ リズ ム ［15］とい っ た 最近 の 結果
を含む LMI に 基づ く制御系解析 ・設計 に おけ る ，数値
計算 ソ フ トウ ェ ア の 活用 に つ い て の解説 で ある ．また，
本特集号の 後半の 2 編 （管野氏，藤本氏 に よ る解説）は，
数式処理 ソ フ トウ ェ ア を積極的 に 活用 した 事例 につ い て
の 解説 で ある ．そ こ で は， 数式処理 を
，パ ラ メ
ータ を有
する線形制御系や非線形制御系の解析 ・設計に利用す る
方法に つ い て 述 べ ら れ て い る．
以下 で は，本特集号 を読み進 め て い くため の 前段 と し
て，現 在，制御 理 論 の 分野 で よ く利 用 さ れ て い る数値計
算 ／ 数 式処 理 ソ フ トウ ェ ア とそ の 周 辺 の な か で，本特集
号 に 関連す る もの をい くつ か取 り上 げ， 簡単 に紹介す る．
2． LMI に基づ く制御理論 とその 周辺 に お
ける数値計算 ソ フ トウ ェ ア の 活用
2．1 SDP ソ ル バ
文献 ［6］の 福 田氏 の 解説 で は， OR （Operations Re−
search ）を専門とす る研究者 の立場から，14種類の SDPソ ル バ に つ い て，さ まざまな視点か ら比較 して い る．こ
こで は，制御理論 の 分野 に おい て 代表的な数値計算 ソ フ
トウ ェ ア MATLAB も し くは Scilabで 使 用 す る と い う
視点 か ら，
い くつ か の SDP ソ ル バ に つ い て 紹介す る．
■ LMILAB （LMI −Lab）［12］（商用 ）
【開発者】 P．Gahinet， A ． Nelnirovski， A． J． Laub
，
M ．Chilali
【入手先】 http：／／www ．mathworks ．co ．jp／
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160 シ ス テ ム ノ制御1情報 第 55 巻 第 5 号 （2011）
（米国 the Math “rorks 社）
【数値計算 ソ フ トウ ェ ア 】 MA 丁LAB
【特徴】 商用 の MATLAB ッール ボ ッ クス LMICon −
trol Toolboxiに 含 まれ る SDP ソ ル バ で あ る，制
御理論 で 取 り扱 う問題 に 対 し て ，得 ら れ る数値解
の 信頼性が高 い とい う利点があ る，その 反面，実
行速度が 遅 い こ とが 欠点で あ る．
■ SeDuMi ［16｝（フ リーウ ェ ア ）
【開発者】 J．F． S七llrm （現在 は Lehigh 大学 の グ
ル ープが開発 を継承）
【入手先】 http：／／sedumi ．ie．lehigh．edu ／
【数値計算 ソ フ トウ ェ ア 】 MATLAB
【特徴】 LMILAB と比 べ て 実行速度 が 速 く，得 られ
る数値解 の 信頼性 もそ れ ほ ど低 くは な い ．そ の た
め， 数値最適化 の 分野 を 専門 と す る制御理論 の 研
究者 の 多 くが利用 して い る ．
瓢 SDPT3 ［17］（フ リー
ウ ェ ア）
【開発者】 K ．C ． Toh， M ． J． Todd
， R ， H ． TUt貢ncU
【入手先】 httpl〃www ．math ．nus ，edu ．sg 广mattohkc
／sdpt3 ．html
【数値計算 ソ フ トウ ェ ア】 MATLAB
【特徴】 SeDuMi と 同様 の 特徴 を もつ ． SeDuMi と
比べ る と，実行速度が若干遅 い ，64 bit、 Windows
OS で 使 用 す る た め に は，各 自で ソー
ス フ ァ イ ル
を コ ン パ イル す る必 要 が あ る．
口 CSDP ［18］（フ リー
ウ ェ ァ ）
【開 発者】 B．Borchers
【入手先lhttps：／／projects．coln −or、org1Csdp1
【数値計算 ソ フ トウ ェ ア 】 MATLAB， Sci［ab
【特徴1 高速 で あ る が ，制御理論 で 取 り扱 う問題 に
対す る 数値解 の 信頼性が低 い 場合が あ る ．CSDP
を MATLAB で 利用 す る に は ，パ ス を通すだけ
で なく，作成 した M フ ァ イ ル と同 じ フ ォ ル ダ に，
CSDP ．exe を置 く必．要があ る．
■ SDPA −M ［19］（フ リーウ ェ ア）
【開発者】 K ，Fujisawa， Y ．恥 takata
， M ． Kojlrrla
，
S，Matsuya皿 a， S． Nakamura ．
， K ． Nakata7 M ，
Yamashita
【入手先】 http：〃sdpa ．indsys．chuo −u．a．c ．jp／sdpa ／
【数値計算 ソ フ トウェ ア 】 MATLAB ， Scilab
【特 徴】 OR の 分 野 で は 定 評 の あ る 高速 な 国 産 の
SDP ソ ル バ SDPA Ver．6．2．0 を， MATLAB で
利用可能 と し た も の で あ る ．た だ し，MATLAB
Ver．7．5 （R2007b）以降の バ ージ ョ ン で は動作せ ず，
制御理論 で 取 り扱 う問題 に 対す る数値解の 信頼性
が低い こ ともある．また ，最新の SDPA Ver．7．x
lMATLAB Ver．6．5．1 〔R13SPI ）ま で は 独 立 し た LMI
Control Toolbox と して 販 売され て い たが ，現在， Ro−
bust Control Toolbox に 統合 さ れ て い る．
を移植 した もの で は なく，今後の 対応が 望 まれ る ．
以 上 に説明し た SDP ソ ル バ の うち，制御理論の 分野
の 研究者 が 好 ん で 使用す る の は，実行速度 と信頼性の バ
ラ ン ス が と れ て い る SeDuMi と SDPT3 で ある．また ，
信頼性 を重視す る MATLAB ユーザ の 場合， LMILAB を
使用す る こ と も多 い ．
2．2 数値計算ソ フ トウェ ア MATLAB （商用）
こ こ で は，商用 の 数値計算 ソ フ トウ ェ ア で 最 も代表的
な MATLAB を利用 して ， LMI に 基づ く制御系解析 ・設
計を行うた め の 環境 につ い て 説明す る ，
2．2．1 LMI パ ーサ
数値計算 ソ フ トウ ェ ア上 で LMI の 記述 を補助す る イ
ン タ フ ェー
ス を LMI パ ーサ と よぶ ． MATLAB 用 の LMI
パ ーサ と し て は， 商用の LMI Contro「「oolbox が有名 で
あ る が，現在で は ，フ リーウ ェ ア の LMI パ ーサ もい く
つ か 開発 さ れ て い る．
■ LMiControl ToolbGx［12］（商用）
【開発者】 P．Gahinet， A． Nemirovski， A ． J． Laub ，
M ，Chila］i
【入手先】 http：〃www ・mathworks ・co ・jP／ （米国 the MathWorks 社）
【SDP ソ ル バ 】 LMILAB （ッー
ル ボ ッ ク ス に包含）
【特徴1LM ，1の 普及に大きく貢献した商用 の MAT −
LAB ツール ボ ッ クス で あ る．一
例 として，与えら
れ た シ ス テ ム 行列 A ，B1 ， B2
，01
， Dl ．1 ，
D12 と
円領域 （中心 （c ，O），半径 r ＞ 0） に 対 し て
， LMI
撫 ［。f∵ 等ノ「鴫
一 ［マ舗レ・
を同時 に満足す る 解 x ＝xT， z
， 1・が存在す る
範囲 で 1・＞ 0 を最小化す る問題 を考 え る，こ の と
きの M フ ァ イル を以 下 に示す．ただ し，Ax ：＝
AX ＋ B2zT，（フx ：； CIX ＋ D12zT で あ る ．
一2 一
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川 田 ：制御系解析・設計 に お ける 数値計算／ 数式処理 ソ フ トウ ェ ア の 活用 161
こ の 例 か ら わか る よ うに，LMI を ブ ロ ッ ク行列 ご
とに分解して表記する必要があ る など，記述が煩
雑 で あ る とい う欠点 が ある．
臨 YA しMIP ［20］（フ リー
ウ ェ ア）
【開発者 IJ ．L6fberg
【入 手先】 httpi／／users ．isy．liu．se ／johanl／yalmip／ 【SDP ソ ル バ】 LMILAB
，SeDuMi
， SDPT3
， CSDP
，
SDPA．M な ど
【特徴】 多 くの SDP ソ ル バ に 対応 した LMI パー
サ
で あ り，
の よう に記述す る．こ の 例か らもわか る よ う に，
LMI の 記述 が 直観的 で わ か りや す い ． SDP ソ ル
バ と し て は，SeDuMi と SDPT3 の 使用が 推奨 さ
れ て い る．また，数値最適化の分野 で 近年，注目
され て い る SOS に基 づ く手法や ラ ン ダ マ イ ズ ド
ア ル ゴ リズ ム に対応 可能で ある．
匿 CVX ［21］（フ リーウ ェ ア ）
【開発者】 M ．C ． Grant ， S． P ． Boyd
【入手先】 http：〃cvxr ．com ／cvx ／
【SDP ソ ル バ 】 SeDuMi， SDPT3 （イ ン ス トール し
た CVX に包含）
【特徴】 YALMIP と 同等の 操作性を もつ LMI パ ー
サ で あ り，
蘿覊驪覊韆韈灘韈韈1
の よ うに記 述する，ダ ウ ン ロ ード した フ ァ イル の
中に は，SDP ソ ル バ と して SeDuMi， SDPT3 が
含ま れ，こ れ らが使用可能で あ る．
LMI の 記述 の 簡便さ とい う点 で， 制御理論 の 分野 に お
ける研究者に支持され て い る LMI パー
サは， YALMIP
と CVX で あ る．こ れ ら は，現在で も頻繁 に バ ージ ョ ン
ァ ッ プが 行われ て い る．また，YALMIP は，新 しい 数値
最適化 の 技法へ の 対応とい う点 で は優位性が高い ．
本特集号で は ， 川田 ・蛯原氏が 「1、MI に基 づ く制御系
解析 ・設計」とい う題 目 で，こ の分野 の 基本事項を，安
定性解析 や ゲ イ ン ス ケ ジ ュー
リ ン グ 制御系設計 とい う具
体例 を交 えて解説す る．また，数値計算 ソ フ トウ ェ アの
環境 と して，MATLAB ／SeDuMi／YALMIP を 取 り上 げ ，
そ の使用方法につ い て説明す る．
2．2．2PDLMI を解 くた め の新 しい 手法へ の対応
二 次安定化問題 に代表され る ，不確かなパ ラ メー
タ を
有す る線形 シス テ ム に対す る ロ バ ス ト制御系解析 ・設計
で は，可解条件がパ ラ メー
タ に 依存 した LMI （PDLMI ：
PaTameter Dependent LMI ）で記述 さ れ る こ とが多い ，
こ の 種 の 問題 で は，与 え ら れ た パ ラ メー
タ の 変動範囲
に対し て PDLMI の 解を求め る 必要 が ある が ，一般 に，
保守性 の 低 い 解 を求め る こ とは 困難 で あ る．そ の た め ，
Dilation［22｝や 冗長 な Descriptor表現 ［23］などとい っ
た行列拡大に よ る手法，SOS に基づ く手法 ［14ユ，確率的
な手法 （ラ ン ダ マ イ ズ ドア ル ゴ リズ ム ）［15］な ど， さま
ざまな手法が精力的 に研究され て い る．以下 で は，SOS
に基 づ く手法や ラ ン ダ マ イ ズ ドア ル ゴ リズ ム の 適用 に有
用 なソ フ トウ ェ ア につ い て 紹介す る．
（a ） SOS に 基 づ く手 法
こ の 手法 で は，PDLMI を行列 SOS 多項式に よ り表
現す る こ とが で きるか ど うか で 解 の 存在性を 調べ る，そ
の 際，単項式 の 係数 を取 り出す作業 を伴 うた め，数値計
算だけで な く数式処理 も必要 とな る．多項式 の 次数 を増
や せ ば，計算量 は 爆発的 に 増 え る が ，保守性 を軽減 で き
る と い う特徴があ る ．SOS に基 づ く手法 で 使用 され る
数値計算 ソ フ トウ ェ ア は一
般 に MATLAB で ある． SOSパ
ーサ と して は ，以下 に 示す もの が 開発 さ れ て い る。
■ SOSTOOLS ［24］（フ リーウ ェ ア ）
一一3 一
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162 シ ス テ ム ／制御／情報 第 55 巻 第 5 号 （2011）
【開発者】 S．Prajna， A． Papachristodoulou，
P．Seiler、 P ． A ． ParriLo
【入手先】 http：／／www ．cds ．caltech ．edu ／sostools ／
【特徴】 制御理 論 の 分野 の 研究 者が ， 最初 に よ く
利用 した SOS パ ーサ で あ る．Ver．2．x で は，商
用 の MATLAB ッー
ル ボ ッ ク ス Symbolic Math
Toolbox，あ る い は フ リーウ ェ ア の Multivariate
Polynoni i’al Too［ boxZが 必要 で あ る． SDP ソ ル バ
と して は SeDuMi もしくは SDPT3 を使用す る．
■ SOS Module ［2e］（フ リーウ ェ ア〉
【開発者】 J．L6fberg
【入手先】 http：／／users 、isy．1iu、se／johanl／yalmipf 【特徴 】 YALMIP に 標準 で 含 ま れ る SOS パ ー
サ で
あ り， 処理が高速 で あ る とい う利点があ る、また，
YALM 【P は様々 な改善が頻繁に行わ れ て お り，年
に 数回，新 しい バージ ョ ン が リ リ
ース され て い る ．
本特集号で は，「二 乗和に基 づ く制御系解析 ・設計」 と
い う題 目で， 市原氏が SOS の 制御理論分野 へ の 応用 に
つ い て 解説 し て い る ．そ こ で は，SOS の 基本的な考え
方を 説明 し た後，PDLMI の 数値解を得る た め に， SOS
を利用す る 方法が示 さ れ て い る．また，最近，こ の 分 野
で の 評 価 が 高 い SOS Module で の 実 装 方法 や 実行結果
を交 え ， 理解が進む よう に配慮 されて い る．
（b）ラ ン ダマ イ ズ ドア ル ゴ リズ ム
通常 の ア プ ロ ーチ と は 異 な り，ラ ン ダ マ イ ズ ドア ル ゴ
リズ ム で は ，変動範囲に 含まれ る“
すべ て’1
で は な く“
ほ と ん ど”
の パ ラ メータ を考 える．そ の 結果 ， 確率的
な厳密性 を保証 した数値解 を，実用的な実行時間で得る
こ とが で き る．こ の ア ル ゴ リ ズ ム を容易に実装 可 能な
パ ーサ と して ，MATLAB ．ヒで 動作す る RAC 丁 が 開発 さ
れ て い る．
層 RACT ［25】（フ リーウ ェ ア ）
【開発者］ A ．［［bemba ， G ． Cala且ore， F． Dabbene ，
E．Gryazinal B ． Polyak， P． Shcheybakov
， R ．
Tempo
【入手先】 http：〃ract．sourceforge ．net ／
【特徴 lRACT は ラ ン ダマ イズ ドア ル ゴ リズ ム の 唯
一
の パ ーサ で あ る ，また，PDLM 工 を取 り扱 う
際 に は，SeDuMi， SDPT3 な どの SDP ソ ル バ と
YALMIP がイ ン ス トー
ル され て い る必要があ る ．
本特集暑で は，「ラ ン ダ マ イズ ドア ル ゴ リズ ム に よ る ロ
バ ス ト制御系解析・設計」とい う題 目で，和田 氏
・藤崎
氏 が 確率的手法 の 制御 理 論分野へ の 応用 に つ い て 解 説 し
て い る，そ こ で は，制御系 の 確率的解析・設計問題 の 事
例 をい くつ か示 し，RACT を利用 した 具体的 な 実装方法
や 実行結 果 を交えて ，そ の 有効性 を示 し て い る ，と くに ，
確率的 設 計 問 題 で は ，PDLMI の 解 を得 る た め の ラ ン ダ
マ イズ ドア ル ゴ リ ズ ム の 利用 に つ い て 説明 さ れ て い る．
2．3 数値計算ソ フ トウェ ア Scilab（フ リーウェ ア ）
単に LMI を解 くだ けで あれ ば，フ リー
ウ ェ ア の 数値
計算 ソ フ トウ ェ ア で あ る Scilabが 利用可能で あ る．
Scilabは，フ ラ ン ス の 国立情報学 自動制御研究所 で あ
る 11 RIA と国立土木学校 で あ る ENPC が共同 で 開発
した フ リーウ ェ ア の 数値計算 ソ フ トウ ェ ア で あ り，
● http：〃vwvwsciIab ．org ／か ら 入手す る こ とが で きる ．ScHab の 特徴 の
一つ は，
MATLAB の シ ミ ュ レータ Simulinkに 相当す る， Xcos
が包含されて い る こ とで あ る．
LMI パ ーサ と して は，以下の もの が 開発 され て い る．
■ LMITOOL ［26］（フ リー
ウ ェ ア ）
【開発者】 R ．Nikoukhah， F． Delebecquey
， L． E ．
Ghaoui
【入手先】 http：／／www ．scilab．org ／
【特徴IS ¢ilabに標準で含まれ て い る LMI パ ーサで
あ る ．
■ Sc「Yaimip （フ リーウ ェ ア）
【開発者】 S．Solovyev7 P． PakShin
【入手先】 http：／／spiderman −2．laas．fr10LOCEP ／
SciYalmlP／ 【特徴】 MATLAB 用 の LMI パ
ーサ YALMIP を
Scilab環境に 移植 し た もの で ある ．そ の た め ，
MATLAB 上で 動作す る YALMIP とほ ぼ 同 じ操作
性 で ある，SDP ソ ル バ として は CSDP， SDPA に
対応 して い る が，残念な が ら，制御理 論の 分野で
よ く利用 され る SeDuMi や SDPT3 に は 対応 し
て お らず，今後の 改良が期待され る．
3． パ ラ メ ータ を含む シス テ ム 制御理論に
お ける数式処理 ソ フ トウ ェ ア の活用
3．1 活用 され る制御理 論の 分野
Maple や Mathematica に代表され る数式処理 ソ フ ト
ウ ェ ア は，数学，物理学，化学，天文学，金融，機械工
学 ， 電気工 学 ，ロ ボ ッ ト工 学な ど とい っ た
， 非常 に幅広 い
分 野 で 活用 さ れ て い る．従来，数式処 理 ソ フ トウ ェ ア は
汎用性が 高 い 反 面 ，特定分野 に特化 した パ ッ ケ ージ が 充
実 して い る とは い えず，制御理論 の 分野で は， MATLAB
とい っ た数値計算 ソ フ トウ ェ ア に 比べ る と，そ の利用 は
限定的で あ っ た．しか し，近年，パ ッ ケージが 充 実 しつ つ
あ り，実 シ ス テ ム に 対 して 制御系解析や 設計を行う際の
・ Laplace 変換や 逆 Laplace 変換
・ Lagrange の 運動方程式 に よ る 制御対象 の 数式 モ デ
ル の 導出
● 制御対象の 非線形な数式 モ デ ル の 1 次近似線形化
・ パ ラ メ ータ を含 む線形 シ ス テ ム に 対す る Routh −
Hurwitz の 安定判別lP ． Seilerに よ り開 発 され た もの で あ り， SOSTOOLSVer．2．x に 包含 され て い る ．
一4 一
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川 田 制 御系解 析 ・設 計 にお け る数値 計算／ 数式処 理 ソ フ トウ ェ アの 活用 163
な ど とい っ た手計算で は骨 の 折 れ る作業 を，数式処 埋 ソ
フ トウ ェ ア で 行 うこ との 有用性 が 認識 さ れ て い る ．
本特集号で は，管野氏，藤本氏に制御理論に おける 数
式処理 の 活用 につ い て 解説 し て い た だ く．まず，管野氏
に は，「数式処理を用い た パ ラメー
タを有す る線形制御系
の 解 析」 とい う題 目で 解 説 して い た だ く．そ こ で は ，伝
達関数 の 結合 ， 逆 La．place 変換 ，パ ラ メ
ータ を含 む線形
制御系に対する Routh −Hurwitz の 安定判別 や H2 ノ ル
ム の 計算 な ど とい っ た 基本的な 数式処理 の 例 が 示 され て
い る．また， 藤本氏 に は
， 「数式処理 を用 い た非線形制御
系の 解 析 ・設 計」とい う題 目 で 解説 して い た だ く，そ こ
で は， 状態変数 自体 をパ ラ メ
ータ と考え， 数式処理 に よ
り非線形制御 に必要な Lie微分 や Lie括弧 などとい っ た
操作を実現する方法を示して い る．また，非線形最適制
御 にお け る Halnilton−Jacobi方程式 の 近似 解法 と 数式
処 理 と の 関 係 に つ い て も言 及 さ れ て い る．
3．2 数式処理 ソ フ トウェ ァ
こ こ で は ，制御理論 の 分野 の 研究者が 利用す る 代表的
な数式処理 ソ フ トウ ェ ア の い くつ か を紹介する．
圏 Maple （商用）
【開発者】 Waterloo大学 の グルー
プ
【入手先】 http；／／www ．maplesoft ．com ／ （カ ナ ダ Maplesoft 社）
【特徴】 日本で は サ イ バ ネ ッ ト社／が販売，サ ポ ート
を手が けて い る ［27］．歴史的には Mathematicaよ
りも古 い ．Pascal風 の 記述形式 で あ り，
覊覊韈灘驤靉戀灘靉 の よ うに記 述 さ れ る ．標準 で 組 み 込 ま れ て い る
パ ッ ケージ の 種類 は 豊富 で あ る ．た とえば ， 最
新の バー
ジ ョ ン （Ver．14）で は ，標準の パ ッ ケ ー
ジ inttrans， Dynam 「cSystems
， Polynomia「「ools
，
LinearAlgebra に，各種 の 応答 や周波数特性の 描画，
Routh−Hurwitz の 安定判別 ， Lyapunov／Riccati
方程式 の 求解な ど を行 うための ，制御 工 学 で有用
な様々 な関数が含まれ て い る ．また，Maple に は
MATLAB との リ ン ク を実現す る 標準 の パ ッ ケー
ジ が 組 み 込 ま れ て い る ．新 し い 流 れ と して ，数
式処 理 をベ ース と した 複合領域物 理 モ デ ル シ ミ ュ
レータ MapieSim が 注目 を集 め て い る．
■ Mathematica （商用）
【開発者】 S，Wolfram ら
【入手先】 http：〃www ．wolfram ・com ／ （米国 Wolfram Research 社）
【特徴】 最初 に 商業的 に 成功 し た 数式処理 ソ フ トウ ェ
ア で あ る．LISP 風 の 記述形式 で あ り，
1灘難靉韈靉靉灘1灘
の よ う に，コ マ ン ドに 括弧“［”
や“］”
が 頻繁 に
使 わ れ る．別途，制御工 学 の 分 野 に特化 した パ ッ
ケージ Control System Professiona［を 購入す る
こ とで ，Maple と同様，基本的な制御系解析 ・設
計を行うこ とが 可能である．グ ラ フ ィッ ク機能が
他 の 数式処理 ソ フ トウ ェ ア と比 べ て 高機能 で ある ．
匿 MuPAD （商用）
【開発者】 Paderborn 大学 の グルー
プ
【入 手先I http：／／www ．mathworks ．co ．jp／products／ symb 。 Irc1（米国 the Mathworks 社）
【特徴】 販売 元 の 独 SciFace社 が 米国 the Math −
Work 社 に統合 され， 現在 ，
MATLAB ッール ボ ッ
ク ス の Symbol「c Math Toolbox2と して 販売 され
て い る ．MATLAB 上 で直接，数式処理 を行 うこ
とが で きる ほ か ，コ マ ン ドウ ィ ン ドウ で
靆鑠 糶靉嚢萋萋鑿籖…壽钁き萋萋鑿鼕耄蕁鼕萋蒹萋萋萋妻鑿萋纛爨i萋妻嚢鑿｝嚢鑵韈 と 入力すれ ば，MuPAD 単体の 利用 も可能 で あ る．
Maple と Mathemati ⊂a の ど ちらを利用す る か は好 み
に よ る が ，最 近 で は，制御工 学に有用 な パ ッ ケージ の 充
実 ，使 い 慣れ た MATLAB と の リン ク機能な ど の 優位性
か ら，制御理論 の 研究者は Maple を選択す る 傾向 に あ
る．こ うい っ た 状況 を鑑 み ，本特集号 に お け る管野氏，
藤本氏の 解説 で は ，Maple の 活用例 が 示 さ れ て い る ．
ま た，フ リーウ ェ ア の 高機能 な 数式処理 ソ フ トウ ェ ア
と して は， た とえば ， 以下 の もの が知 られ て い る．
■ Maxima （フ リーウ ェ ア）
【開発者】 W ．Schelterら
【入手先】 http：／／maxima ．sourceforge ．net
【特徴】 商用 の もの と同等の 高 い 能力 を も ち，近年，
そ の 活用 が 注 目さ れ て い る．制御 工 学 の 分野 で の
Maxima の 活用 に つ い て は文献 ［28］が参考に な る．
4． お わ りに
以上 ，本特集号 を企 画 し た 趣旨を 説明 し， 関連す るい
くつ か の 数値計算／数式処理 ソ フ トウ ェ ア を紹介し た．
こ こ で紹介 した すべ て の ソ フ トウ ェ ア を筆者が 熟知 して
い る わ けで は な い の で，筆者 の 認識 に 誤解があ る か もし
れ ない ．こ の 点 につ い て は，ご容赦 い ただきた い ，なお，
本特集号に 関 連 した ソー
ス コー
ドや LMI に 関連 した ソ
フ トウ ェ ア の イ ン ス トール 方法 な ど とい っ た補足事項は ，
● http：／／www ．maizuru −ct．ac ．jp／control ／kawata／iscie
／iscie，htmI
で 公開す る の で ，そちらを参照 されたい ．
新 しい 制御 理 論 を ツー
ル と し て 実 際 に使 っ て み ようと
考 えて い る ，学界 ・産業界 の 幅広 い ユ ーザ に と っ て ，本
特 集号が そ の一
助となれ ば幸 い で あ る．そ して ，制御理
1http：／fwww．cybernet ．⊂o．jp／map ［e1
2MATLAB Ver．7，6 （R2008a）ま で は 古 い バ ージ ョ ン
の Maple が 組み 込 まれ て い た が， MATLAB Ver ．7．7
（R2008b ）以 降， MuPAD に 変更 され た ．
一5 一
N 工工一Eleotronio Library
Institute of Systems, Control and Information Engineers
NII-Electronic Library Service
工nstitute of Systems ， Control and 工nformation Engineers
164 シ ス テ ム ／制御1情 報 第 55 巻 第 5 ．号 （2011）
論 の 分 野 に多 くの 研究者 ・技 術 者，そ して 若 い 学生 た ち
が 興味 を 抱 き，
こ の 兮野 の コ ミュ ニ テ ィ が 活性化す る こ
とを，切に願 っ て い る．
最後 に，ご多忙 で あ る に もか か わ らず本特集号 の 趣 旨
に ご賛同 の ．ヒ，ご寄稿 い ただい た執筆者の 方々 ，企画段
階 か ら貴重 な ご 意 見 を 賜 りま し た編集委員 の 方 々， 解説
記事の 実現 に ご 配慮 い た だ きました 金沢大学理工 研究域
の 金子 修 准教授に厚 く御礼申し上 げ ます．
（2011年 2 月 14 日受付）
参 考 文 献
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［28］川谷 ：フ リーソ フ トで 学 ぶ 線 形 制 御一Maxima ！Scilab
活 用 法，森 北 出版 （2008 ）
た
田
わ
ー
カ
丿
著 者 略 歴
ま さ か つ
昌 克 （正会員） 1997 年 立命館 大 学大学 院理 工学研 究 科
情報工 学専攻．博士後期課程修了，同年 4 月
よ り同．大学理工 学部助乎 （任期制）．1998
年 4 月 よ り舞 鶴 工 業 高 等 専 門 学校 電子 制
御 工 学科 助 手，講 師，助 教授，准 教授 を 経
て，2010 年 3 月よ り同教授 とな り，現 在
に 至 る，ロ バ ス ト制御 とそ の 応 用 に 関す る研 究 に従事，博 ±
（工 学〉．計 測 自動制 御学会 ，IEEE な どの 会員．
一6 −．．
N 工工一Eleotronio Library
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