Impulsverzerrungen

© Roland Küng, 2013

2

Impulsverzerrungen

-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T

0

0.5

1

t

T

schlechte Lösung

gute Lösung, aber wie?

1. Idee Mittelung

schlechte LösungT

gute Lösung, aber wie?

T

1. Idee keine Rechteckpulse

NoiseÜbersprechen

s(t)s(t) gefiltert

4

Aufsplitten der Problematik

• Empfangsfilter zur Beschränkung Rauschbandbreite• Pulsformung für Abtasten ohne Interferenz

S(f): Pulsspektrum SendesignalC(f): Frequenzgang KanalH(f): Frequenzgang Empfangsfilter

2 Challenges beim Design;

gefiltert

5

Optimales Filter = Matched Filter

Optimale Filterung intuitiv betrachtet:

Man gewichtet im Frequenzgang des optimalen Filtersgenau jene spektralen Anteile, die vom Sendepuls belegt sind und zwar proportional der Belegungsstärke !

Amplitudengang des Empfangsfilters H(f) = Betrag des Pulsspektrum S(f)

Die Fläche unter dem Ausgangsspektrum entspricht der Energie* des Sendepulses

1. Problem: Noise minimieren

Sendepuls s(t)

│S(f)│

*Note Energie von x(t) nach Parceval Theorem:

df)f(SE2

S

6

Matched Filter (MF)

Matched Filter mathematisch:

S(f): Pulsspektrum SendesignalC(f): Frequenzgang KanalH(f): Frequenzgang EmpfangsfilterT: Symboldauer

)f(H)f(C)f(S)f(P

H(f) ist ein so genanntes Matched Filter wenn:Zum Zeitpunkt T vor dem Abtaster das Verhältnis Pulse p(t) zu Varianz des Rauschsignal n(t) maximal wird

Anders formuliert: Signal/Geräuschverhältnis S/N von p(t)+n(t) zur Abtastzeit T soll maximal werden durch die geeignete Wahl von H(f)

p(t) habe das Spektrum:

Entscheid zum Zeitpunkt kT

Se(f)

7

Matched Filter (MF)Matched Filter mathematisch betrachtet (ohne Beweis):

TfjTfje efCfSefSfH 22 )()()()(

2n

)T(p

N

S

wird maximal bei weissem Rauschen wenn gilt:

das heisst:

sonst,0

Tt0),tT(s)t(h e

Mit Vereinfachung* C(f) = 1 wird se(t) = s(t) und:

sonst,0

Tt0),tT(s)t(hopt

* konj.komplex

Bsp.:

)f(S)f(H

S2 Ed)(s)T(p

*Note: allfällige Kanaldämpfung wird in s(t) berücksichtigt

8

Beispiel Matched Filter

T t

)(thopt

TT/2

TA

TA

T t

)(tsi

T/2

TA

TA

Si

ioptiopti

optiopti

EdsTp

dsdThsThTsTp

dthsthtstp

)()(

)()()()()()(

)()()()()(

2

2

Betrachtung mit Faltung:

T t0 2T

)()()( thtsty opti 2A

T/2 3T/2

2

2A

p(t)

ES = A2

p(T) entspricht der Energie des Sendepuls

p(T) = A2

9

S/N am Ausgang des MF

0

s2

00

2

out N

E2dt)t(s

N

2df

2/N

)f(S

N

S

Das S/N ist unabhängig von der Pulsform! Eine Erhöhung ist nur durch Erhöhung der Symbolenergie möglich, also durch mehr mittlere Signalleistung oder längere Symboldauer.

Man kann zeigen, dass für das Signal/Geräuschverhältnis S/N nach dem MF gilt:

ineqeq0

S

out N

S

TBN

E

N

S

T2

1Beq

S(f) = Pulsspektrum des Sendesignal s(t) an EmpfängereingangN0 = einseitige Rauschleistungsdichte

Es = Impulsenergie von s(t), Symbolenergie am Empfängereingang

Mit Rausch- und Signalleistung am Eingang Neq = N0Beq, S = ES/T:

d.h. äquivalente Rauschbandbreite Beq des MF ist somit: NF

10log B

S/N

Path Loss

-174 dBm/Hz

Note: diese Bandbreite ist i.A. nicht mit der Signalbandbreite identisch

NF

10log B

S/N

Path Loss

-174 dBm/Hz

10

Matched Filter … Korrelator

Die zur Zeit t=nT mathematisch äquivalente Grösse liefert der Korrelator

Allg. Def: Sender liefert entweder Impuls s1(t) oder Impuls s2(t)

MF wird auf das Differenzsignal s1(t) – s2(t) entworfen

Korrelator multipliziert mit Referenz s1(t) – s2(t),

Sync needed!

vgl. math. Verwandtschaft Faltung und Korrelation

t

0

ii

T

iii

d)(s)(s)t(p

d)tT(s)(s)t(h)t(s)t(p

hopt(t)

11

Korrelator

Korrelatoren sind meist einfacher umzusetzen als Matched Filter

Prinzipbild

Praktische Ausführung(z.B. FSK)

Die Schwelle 0 des Entscheiders liegt in der Mitte der Energiedifferenz

der Signale s1 und s2

Entscheider mit Hypothese H

Wie soll man die Entscheiderschwelle setzen?

12

MF – Korrelator: Handhabung

MF

Kor

s(t) FIR

13

MF für Rechteckimpuls

Für Rechteck-Impulse s(t) :

MF Stossantwort: Rechteckimpuls Spektrum Amplitudengang: sinx/x

Korrelator identisch mit MF

äquivalente Realisation:

Integrate & Dump

Alternative Näherung:

optimiertes RC-Filter

14

fg

Matched Filter versus RC Tiefpass

N=2 fg = R/2Butterworth

N=4 fg = R/2Butterworth

N=6 fg = R/2Butterworth

N=4 fg = RButterworth

N=4 fg = R/3Butterworth

SNR ↓ ISI ↑

ISI ↓ SNR ↓

16

MF: Intersymbol Interferenz

d.h.Realisation mit TP sehr hoher Steilheit

Leider: Dauer Impulsantwort >> Bitdauer

≠T

Tritt auch bei andern Pulsformen aufz.B. Rechteckpuls nach einer ungeeigneten RC-Tiefpass Filterung

Häufige Forderung: Sendepuls soll möglichst wenig Bandbreite benötigen

Reduziertes S/N

Problem Nr. 2 :

Pulsübersprechen auf Nachbar Bit zuden Abtastzeitpunktend.h. Intersymbolinterferenz ISI

17

Rechteck: Intersymbol Interferenz (ISI)

Erlaubte Filterung Rechteckimpuls: Weniger als 0.75*Rate ergibt ISI Mehr als 0.3*Rate verschlechtert S/N

Optimum bei ca. B = 0.5…0.6*Bitrate

Source: Mindspeed White Paper NRZ Bandwidth

Rechteckpulse Tiefpass gefiltert mit B = 1/2T…1/T sind keine schlechte Wahl

B/R

SNR

B/R

ISI-R

eye_height/eye_closure

Note: eye closure = eye height – eye opening

18

Optimaler Lösungsansatz Nyquist Kriterien

-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T

0

0.5

1

t

-1.5/T -1/T -0.5/T 0 0.5/T 1/T 1.5/T

0

0.5

1

f

0n0

0n1)nT(p

1. Kriterium für t=nT

Bsp. p tt T

t T( )

sin( / )

/

Spektrum

Zeit

-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

Augendiagramm

Kriterium vertikal: okayVolle ÖffnungEntscheider: Schwelle bei 0.5

Problem bei Signal Jitter (horizontal)- Jitter z.B durch Taktregeneration

Kriterien für die Pulsform am Ausgang des MF

19-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

-1.5/T -1/T -0.5/T 0 0.5/T 1/T 1.5/T

0

0.5

1

f

-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T

0

0.5

1

t

Nyquist Kriterien

2. Kriterium für t= nT/2

Bsp:

Spektrum

Zeit

Augendiagramm

...,2n0

1n5.0

0n1

)2/nT(p

p tt T

t T

t T

t T( )

sin( / )

/

cos( / )

( / )

1 4 2

Spektrum wird breiter: Raised Cosine

T/1f

T/1f

0

)Tfcos(1)f(P

Kriterien für die Pulsform am Ausgang des MF

20-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

-1.5/T -1/T -0.5/T 0 0.5/T 1/T 1.5/T

0

0.5

1

f

-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T

0

0.5

1

t

Nyquist Kriterien

Bsp. Fig. = 0.5

Spektrum

Zeit

Augendiagramm

1. Nyquist Krit. ganz erfüllen2. Nyquist Krit. so gut wie möglich

Bandbreite einstellen mit Roll-off Faktor

Tf

Tf

T

Tf

Tf

TfP

2

12

1

2

12

10

0

2

1cos1

1

)(

Spektrum allg:

2)T/t(41

)T/tcos(

T/t

)T/tsin()t(p

Kompromiss:

21

Aufteilung Filter TX - RX

Rauschen macht das Auge zu!Jitter im Abtaster macht das Auge zu!

Abhilfe: • P(f) nach den Nyquist Kriterien wählen• Jitter-arme Abtastregelung entwerfen

-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

Problem:P(f) enthält eigentlich 2 Filter in der Übertragungsstrecke:Das den Sendepuls formende Filter S(f) und das passende MF H(f).Lösung:Verteilen der Nyquist Impulsform auf Sender und Empfänger in gleichem Mass:

)f(P)f(S)f(H z.B. Root Raised Cosine Filter

P.S. Übrige Filter im System tendenziell breitbandig halten kaum ISI

22

Aufteilung Filter TX - RX

)f(P)f(S)f(H Einfachste Implementation für

• Rechteckimpulse s(t)• MF mit Rechteck h(t) (oder Integrate & Dump)• Spektrum

MF-Ausgang erfüllt auch beide Nyquistbedingungen!

Nachteil: Kanal muss viel Bandbreite bereitstellen / erlauben

Mittels Simulation kann auch eine Lösung mit Rechteck und Tiefpassfilter gefunden werden (vgl. Slide 13)

2

Tf

)Tfsin()f(P

R()

0 T 2T

MFIntDump

Optimal Sample Time

23

Erkenntnisse MF

Die Pulsform spielt keine Rolle, nur Energie Es

Die äquivalente Noise Bandbreite beträgt

Optimale Detektion mit MF oder Korrelator auf s1(t) – s2(t)

ISI: Das Ausgangssignal p(t) des Matched Filter/Korrelator sollte näherungsweise die Nyquistkriterien erfüllen

Das Sendepulsspektrum sollte möglichst Bandbreite sparend gewählt sein

Praktische Lösungen:

2

R

T2

1Beq

Rechteckpuls Rechteckpuls TP Filter 2.O. R/2

Integrate&Dump TP Filter 2.O. R/2

Root Raised CosineSendepulse

Root Raised Cosine MF

Simple DSP

Tx:

Rx:

24

Bitfehler-Wahrscheinlichkeit

- Bit Error Rate = BER - Rauschen sei weiss und Gauss verteilt mit Leistung N = N0∙Beq

Entscheidende Frage:Welche BER kann man für ein gegebenes S/N bzw. Eb/N0 bekommen,wenn man alles richtig macht ?

3 Fälle von Signalimpulsen sind zu unterscheiden:

Unipolar (On-Off)

Polar (Antipodal)

Orthogonal

A

TbTb

Tb

Tb

A

TbMF:

A Tb

-A

Entgegengesetzte Symbole

0dt)t(s)t(s 2

T

0

1

Nur ein Symbol

A

-A

25

Noise effects – Beispiel Polar

0˚180˚

90˚

270˚

20 dB SNR

2 dB SNR

0˚180˚

90˚

270˚

10 dB SNR

0˚180˚

90˚

270˚

NF

10log B

S/N

Path Loss

-174 dBm/Hz

T2

1B

N

E2

N

S

0

s

out

MF:

26

Bitfehler-Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit dass der Effektivwert der Entscheider-Spannung den Wert ux ist wie folgt verteilt für Data 0 und Data 1:

Signalwerte

Schwelle Standardabweichung

normiert auf rauschfreien Effektivwert des MF Ausgang zu t=nT: p(0) = ES

Unipolar

Schraffierte Fläche (Q-Funktion) führt zu Fehlentscheiden!

28

Bitfehler-Wahrscheinlichkeit

0

b

0

s

N

EQ

N2

EQ

N

S

2

1Q])m[d]m['d(PBER

P(d[m]=1)

P(d[m]=0)

P(d‘[m]=1)

P(d‘[m]=0)

P(1|1)

P(0|0)

P(0|1)P(1|0)

Es = SymbolenergieEb = Bitenergie (Energie/Bit)N0 = Rauschleistungsdichte (spektral einseitig)

Unipolar (0/s)

Eb = Es/2muss statistisch auf 2 Bit verteilt werden!

0

2

N

E

N

S s

out

MF:

Für den binären Kanal folgt:(Beweis im Skript)

A

Tb

Bsp.S = A2

Es = A2TbTb

30

Bitfehler-Wahrscheinlichkeit

Es = SymbolenergieEb = BitenergieN0 = Rauschleistungsdichte (spektral einseitig)

0

b

0

s

N

E2Q

N

E2Q

N

SQ])m[d]m['d(PBERPolar (+s/-s)

Vergleich mit unipolar: Gleiche BER wie unipolar erreichbar für ¼ S/N, bzw. ½ Eb/N0

Eb = Es

0

2

N

E

N

S s

out

MF:

p(0) = MF outputzur Zeit kT

Bsp.S = A2

Es = A2TbTb

Tb

A

-A

33

Bitfehler-Wahrscheinlichkeit

Es = SymbolenergieEb = BitenergieN0 = Rauschleistungsdichte (spektral einseitig)

0

b

0

s

N

EQ

N

EQ

N2

SQ])m[d]m['d(PBEROrthogonal (s1/s2)

Vergleich mit unipolar: Gleiche BER wie unipolar erreichbar für ½ S/N, bzw. gleiches Eb/N0

Eb = Es

0

2

N

E

N

S s

out

Vergleich der beiden Ausgänge s1,s2

Schwelle: Diagonale

A

TbMF:

A Tb

-A

Bsp.S = A2

Es = A2Tb

MF:

34

Bitfehler-Wahrscheinlichkeit

Note: In Lit. wird oft bipolar oder antipodal anstatt polar verwendet

and orthogonal

35

Praxis: Best Case BER

and orthogonal0

2

N

E

N

S s

out

NF

10log B

S/N

Path Loss

-174 dBm/Hz

MF:B = Beq = 1/2T

orthogonal Eb = Es

unipolar Eb = Es/2

polar Eb = Es

MF:

36

Beispiel: Best Case BER

and orthogonal

Linkbudget:

EIRP = 0 dBm, Gr = 3dB

Path Loss 110 dBNF = 8 dBN0 = -174 dBm/Hz + NF

Bitrate R = 200 kBit/sPolar Impuls

Pr = -107 dBm

Beq = 100 kHz

N = -116 dBm S/N = 9 dB

2Es/N0 = 9 dB,

Es/N0 = Eb/N0 = 6 dB

Curve Polar BER = 3·10-3

37

Vergleich mit S/N oder Eb/N0

Ist unipolar in Praxis wirklich gleich gut wie orthogonal?

Bei gleichviel aufgewendeter Energie pro Bit: ja die beiden haben gleiche BER

Tb Tb

A

Tb

A

Tb

S0(t) S1(t)

-A

2A

Für Systeme die nur Energie limitiert sind ist Aussage also richtigz.B. Batteriebetriebene Systeme die möglichst lange arbeiten sollen, Satellitensender, Wireless Sensor Netzwerke

Für Systeme mit Sendern die in der Spitzenleistung limitiert sindist die Aussage falschz.B. in EIRP regulierten Funksysteme ist unipolar 3 dB schlechter i.A. Short Range Devices

P.S.: Implementationsverluste nicht berücksichtigt

38

Alternative1: Signal Space Concept

(ES,0)(-ES,0) (ES,0)(0,0) (ES,0)

(0,ES)

• Polar signal is 3dB more efficient than orthogonal signal

– Polar signal gives better performance (3dB) with same signal Energy ES

• On Off performance is 6 dB worse than Polar signal and 3 dB worse than Orthogonal signal

– Average transmitted signal energy (Eb) is 3dB less than Polar and Orthogonal signal

For same Es :

Es = Pulse Energy

Im Signalraum Darstellung Es eintragen und Distanz D bestimmen und in BER Formel einsetzen:

)N2

D(QBER

0

2

• Noise Free case Polar On-Off Orthogonal

39

Alternative 2: BER – Allg. Fall

T

0

221d dt)t(s)t(sE

0

d

N2

EQ])m[d]m['d(PBER

s1,s2: verwendete Symbole

Bestimme Energie des Differenzsignals

Setze Ed ein in der allg. BER Beziehung

P.S. Methode gibt immer das richtige Resultat für alle Signaltypen

Mathematisch einfacher zu berechnen via Energie des Differenzsignals:Virtueller äquivalenter Detektor:Betrachtet man als Eingangssignal das Differenzsignal si(t) = ±(s1(t) – s2(t)),so benutzt man ein MF oder Korrelator auf das Differenzsignal s1(t) – s2(t)und eine Entscheiderschwelle 0 bei 0.

40

Erkenntnisse BER

)N2

E(QBER

0

S

(ES,0)(0,0)

On-Off

(ES,0)(-ES,0)

Polar

(ES,0)

(0,ES)

Orthogonal

)N

E(QBER

0

S )N

E2(QBER

0

S

)N

E(QBER

0

b )N

E2(QBER

0

b)

N

E(QBER

0

b

Praxis Case1: Sendeleistung ist reguliert: S konstant, S = ES/T ES

Praxis Case2: Batterie Kapazität begrenzt: Eb konstant

> >

>=

dt)t(sE 2

SNote:

41

Summary

• Ein Optimalfilter (Matched Filter) ist eine Art Mittelungsfilter• Es maximiert das Signal zu Geräuschverhältnis des Empfangsignals• Sein Amplitudengang ist identisch mit Betrag des Spektrum des Signalpulses• Seine Stossantwort ist die zeitlich gespiegelte Form des gesendeten Signals.

Ist die Stossantwort symmetrisch, so kann das gleiche Filter für Empfänger und Sender benutzt werden

• Das Root raised cosine Filter ist ein solches Matched Filter, welches auch noch die Intersymbol Interferenz reduziert

• Integrate & Dump Filter sind nur für Rechtecksignale Matched Filter• Weitere systembedingte Filter (Kanal) machen das Optimalfilter

nicht ideal aber sind meist immer noch der beste Praxis Ansatz• Das Matched Filter minimiert die BER des Empfangsignals.

Die BER Gleichungen gehen immer von der Annahme aus, dass ein Matched Filter verwendet wurde

• Bei fixer Sendeleistung gilt für BER unipolar > orthogonal > polar• Allg. berechnet man die BER mit der Q-Funktion und der Energie des

Differenzsignals der für die Bitwerte 0 und 1 benutzten Pulse

42

The 10 $ Question

00

d

N

T2Q

N2

EQBER

Welche Signalform ist besser: ±1 Polar oder das abgebildete y1(t), y2(t) - Signal

Vgl. Polar

00

d

N

T2Q

N2

EQBER

Beide haben die gleiche BER.

Vorteil von y(t): RZ Format TaktNachteil von y(t): Doppelter Leistungsverbrauch (4-fach Peak Power)

Check:

Das Differenz Matched Filter liefert S/N = Ed/2N0 mit Ed ~ Amplitude2

2/T

0

T

2/T

22T

0

221d T4dt)20(dt)02(dt)t(s)t(sE

No free lunch !