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Fadenpendel

Stand: 13.03.2017, Seite 1 von 18

In strict time – Period of oscillation of a pendulum

Abstract Seit Tausenden von Jahren wird die Zeit gemessen. Wirklich genaue Zeitmessung ermöglichte jedoch erst die Mitte des 17. Jahrhunderts entwickelte Pendeluhr. Damals konnte die tägliche Abweichung der angezeigten Uhrzeit von der tatsächlichen Uhrzeit durch eine von Christiaan Huygens patentierte Hemmung auf etwa 10 Sekunden verbessert werden. Diese Genauigkeit konnte erst hundert Jahre später durch temperatur-kompensierte Pendel überboten werden!

Auch in der Musik wurde bereits 1676 ein Fadenpendel zur Einhaltung eines gleich-mäßigen Tempos vorgeschlagen. Adagio! Prestissimo! Die Schülerinnen und Schüler der zehnten Jahrgangsstufe erfahren, welche Größen die Schwingungsdauer dieser einfachen mechanischen Schwinger beeinflussen.

Kompetenzerwartungen Die Schülerinnen und Schüler …

formulieren für die Schwingung eines Fadenpendels Hypothesen über die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von anderen Größen.

führen zur Überprüfung ihrer Hypothesen ein selbständig geplantes Experiment durch und weisen insbesondere den quadratischen Zusammen-hang zwischen Periodendauer und Pendellänge mithilfe einer graphischen Auswertung nach: dabei benennen sie auch Fehlerquellen sowie Möglichkeiten der Fehlerminimierung.

Zeitlicher Rahmen Eine Unterrichtsstunde

Ressourcen evtl. Metronom

verschiedene Massestücke (ggf. Waage, falls die jeweiligen Massen unbekannt sind),

Schnur oder Bindfaden (abhängig von Reißfestigkeit und zur Verfügung stehenden Massestücken), Schere und Lineal oder Maßband

Vierkantholz (z. B. 0,5 cm x 1,0 cm x 20 cm) und Klebeband (alternativ: Stativstangen, Stativfuß oder Tischklemme, Doppelmuffen und Muffe oder Stiel mit Haken)

Abb:

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Stand: 13.03.2017, Seite 2 von 18

Stoppuhr

Alternative: Messungen mit Smartphone

Smartphone, Stativstangen, Stativfüße, Doppelmuffen, Plastiktüte, Büroklammern, Faden

Android: accelogger (kostenloser Beschleunigungsmesser, englische Bedienung, http://de.4androidapps.net/tag/tools/accelogger-download-62356.html) [26.07.15]

iOS: a–logger (kostenloser Beschleunigungsmesser, deutsche und englische Bedienung, https://itunes.apple.com/de/app/a-logger/id378876978?mt=8 [26.07.15]

Durchführung Unterrichtsstunde: Schülerübung zur Untersuchung der Schwingungsdauer eines Fadenpendels

Die Schülerinnen und Schüler planen selbständig Versuche zur Untersuchung der Schwingungsdauer beim Fadenpendel und führen diese Experimente durch. Dabei wenden sie ihr Wissen über harmonische Schwingungen an, um Einflussgrößen zu untersuchen. In der Auswertung gehen sie auch auf mögliche Fehlerquellen ein.

Anregungen und Tipps Vertiefungen und Ergänzungen zu Fadenpendeln und Metronomen:

einfaches Experiment zum Verhalten von gekoppelten Metronomen: http://www.weltderphysik.de/detektor/physik-im-experiment/ticken-im-takt-synchronisation-von-metronomen/ [26.07.15]

http://www.learner.org/courses/mathilluminated/units/12/textbook/07.php [26.07.15]

Galileisches Hemmungspendel

gekoppeltes Pendel (einfacher Nachbau mit Getränkedosen http://www.stevespanglerscience.com/lab/experiments/magic-with-physics-pendulum [17.06.15]

Beispiele für räumliche Bewegung:

Foucaultsches Pendel

Zeitrafferaufnahme: http://www.kip.uni-heidelberg.de/oeffwiss/pendel/ zeitraffer/ [26.07.15]

Erklärungen: https://www.youtube.com/watch?v=aMxLVDuf4VY bzw. https://www.youtube.com/watch?v=sWDi-Xk3rgw [26.07.15]

Besuch des Deutschen Museums (http://www.deutsches-museum.de/ausstellungen/museumsinsel/museumsturm/foucault-pendel/ [26.07.15]

Lissajous-Figuren (http://de.wikipedia.org/wiki/Lissajous-Figur [26.07.15]

höchstes Pendel der Welt: https://de.wikipedia.org/wiki/Taipei_101 [26.07.15]

Weiterführende Links zum Thema

http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/arbeit-energie-und-leistung/versuche#lightbox=/themenbereiche/arbeit-energie-und-leistung/lb/heimversuche-zur-energie-fadenpendel [26.07.15]

http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/mechanische-schwingungen/versuche [26.07.15]

Smartphone am Fadenpendel (http://www.diplomer.de/fadenpendel. html#remote-4 [26.07.15]

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Stand: 13.03.2017, Seite 3 von 18

Versuchsprotokolle von Schülerinnen und Schülern zur Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Pendellänge und Periodendauer (http://wikis.zum.de/rmg/10e_2009_10/Versuchsprotokolle [26.07.15]

https://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum [26.07.15]

http://de.wikipedia.org/wiki/Zeitmessung [26.07.15]

http://de.wikipedia.org/wiki/Metronom#cite_note-1 [26.07.15]

http://de.wikipedia.org/wiki/Uhrenfehler [26.07.15]

Materialien AB 1 swinging pendulum

FO 1 Metronome

FO 2 Metronome – Étienne Loulié (1696)

LH 1 Fachvokabular mit Hinweisen zur Aussprache

LH 2 Swinging pendulum (experimental setup)

LH 3 Lösung zu AB 1 Swinging pendulum (task 4. → graphic account)

LH 4 Lösung zu AB 1 Swinging pendulum (task 5. → parameter)

LH 5 Lösung zu AB 1 Swinging pendulum (task 6. → potential errors)

LH 6 Lösung zu AB 1 Swinging pendulum (task 7. → derivation of formula)

LH 7 metronomes in sync (experimental setup)

Autorin Alice Schmidkunz, Sigmund-Schuckert-Gymnasium Nürnberg

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Stand: 13.03.2017, Seite 4 von 18

Stundenverlauf: In strict time!

Struktur Erläuterung

Stu

nd

en

ve

rla

uf:

In

str

ict

tim

e!

Impuls über UG, FO 1, FO 2

Den Schülerinnen und Schülern wird ein mechanisches Metronom oder ein Bild eines Metronoms (vgl. FO 1) gezeigt und seine Funktionsweise erklärt.

Dabei wenden sie ihr Wissen über harmonische Schwingungen aus den vorange-gangenen Stunden an und erkennen, dass z. B. die Position des Massestücks Einfluss auf die Schwingungsdauer hat. Darauf aufbauend überlegen sie, ob es weitere Einflussgrößen gibt und wie man diese auf möglichst unkomplizierte Art experimentell untersuchen kann.

Bei der Klärung der Frage, wie sich mit möglichst einfachen Mitteln ein Gerät, das nach diesem Prinzip funktioniert, nachbauen lässt, erhält man im Wesentlichen ein Fadenpendel-Metronom (FO 2).

Erarbeitungs-phase

(AB 1, Schülerübung)

Ob es neben der Länge des Fadens noch weitere Einflussgrößen gibt, untersuchen die Schülerinnen und Schüler selbständig in einer Schülerübung (AB 1).

Mit ausreichend vielen und genauen Messergebnissen können die Lernenden bei einer graphischen Auswertung bereits den quadratischen Zusammenhang zwischen Periodendauer und Pendellänge vermuten.

Abschließend sammeln die Schülerinnen und Schüler Ursachen für mögliche Fehler-quellen und suchen nach Wegen, diese zu umgehen.

Ergebnis-sicherung durch LH 2 – LH 5

Die Ergebnisse werden mit Hilfe der Lehrerhandreichungen LH 2 – LH 5 verglichen und ggf. ausgebessert. Dies kann gemeinsam im Klassenverband oder selbständig geschehen, wenn ausreichend Kopien ausgelegt werden.

Puffer (LH 7) Mit einem Versuch (LH 7) lässt sich zeigen, wie einfach es ist, die Zeiger von Metronomen zu synchronisieren, selbst wenn diese anfangs in verschiedenen Frequenzen schwingen.

Hausaufgabe/ Vertiefung (LH 6)

Die Formel der Schwingungsdauer kann anhand der Messergebnisse oder mit Hilfe der Kräftezerlegung am Fadenpendel (LH 6) bestätigt werden. Die zweite Variante erfordert jedoch Zeit und bedarf einiger Hilfestellungen (Hinweis auf Trigonometrie, Kleinwinkelnäherung, Bogenmaß)!

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Stand: 13.03.2017, Seite 5 von 18

LH 1 Fachvokabular mit Hinweisen zur Aussprache

Englisch Aussprache (BrE) Deutsch

(adhesive) tape (ədˈhiːsɪv) teɪp Klebeband

(arithmetic) mean (əˈrɪθmətɪk) miːn (arithmetischer) Mittelwert

boss head clamp/

right angle clamp

bɒs hed klæmp/

raɪt ˈæŋɡl klæmp Doppelmuffe

clamp klæmp Klemme

support base səˈpɔːt beɪs Stativfuß

Foucault pendulum fuːˈkoʊ ˈpendjələm Foucaultsches Pendel

in strict time ɪn strɪkt taɪm im Takt

Lissajous figure ˈliːsəˌʒuː ˈfɪɡə(r) Lissajous-Figur

metronome ˈmetrənəʊm Metronom

pendulum clock ˈpendjələm klɒk Pendeluhr

period of oscillation ˈpɪəriəd əv ˌɒsɪˈleɪʃn Schwingungs-/ Periodendauer

pivot point ˈpɪvət pɔɪnt Drehpunkt

protractor prəˈtræktə(r) Winkelmesser

rectangular block of wood rekˈtæŋɡjələ(r) blɒk əv wʊd Vierkantholz

rod rɒd Stange

scale skeɪl Waage

set square set skweə(r) Geodreieck

stand base stænd beɪs Stativfuß

string strɪŋ Schnur, Bindfaden

table clamp ˈteɪbl klæmp Tischklemme

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Stand: 13.03.2017, Seite 6 von 18

FO 1 Metronome

picture: https://de.wikipedia.org/wiki/Tempo_%28Musik%29#/media/ File:Metronome_Ma%C3%ABlzel_1.jpg, under GNU 1.2 [26.07.15]

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Stand: 13.03.2017, Seite 7 von 18

FO 2 Metronome – Étienne Loulié (1696)

picture: Hautbois, http://de.wikipedia.org/wiki/Metronom, under public domain [ 26.07.15]

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Stand: 13.03.2017, Seite 8 von 18

AB 1 Swinging pendulum

A simple pendulum consists of a weight suspended from a piece of string. Build a pendulum using the materials provided. Make sure that it doesn’t hit the floor, table, etc. and that the weight is tied securely.

1. Which parameters might influence the period of oscillation? Make a list:

____________________________________________________________________________________

2. Start with the first parameter on your list.

Think about a suitable experiment and the best way to measure the data needed.

No idea? Have a look at LH 2.

3. How long does one oscillation take?

→ Perform three trials of this experiment and calculate the mean of your results.

→ Vary the chosen parameter at least three times. (e. g. halve, double, redouble... its value)

→ Record the time it takes for one oscillation. Is it best to start at the highest or the lowest position?

→ It is too difficult to measure one oscillation. Measure five instead and divide the time measured by 5.

Make your measurements and write down your results. (The blank row at the end is left for the evaluation

of your data.) Check e.g. directly or indirectly proportional, quadratic relationship.

T [s]

T [s]

T [s]

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Stand: 13.03.2017, Seite 9 von 18

4. Plot your data in a coordinate system (y-axis: period of oscillation).

Use a reasonable scale. Describe the form of the function graph and classify it (straight line, parabola, hyperbola, graph of a square root function,…).

5. Which parameter(s) affected the period of oscillation?

______________________________________________________________________

6. Write down sources of error in the experiment and how to avoid them.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

7. Extra task: Do you remember harmonic oscillations? Restoring force? Period of oscillation?

Try to figure out which physical quantities are needed to calculate the theoretical period of oscillation based on the results of your experiment. (Which quantities hide behind the numbers?)

Next, try to derive the period of oscillation from basic physical and mathematical principles.

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Stand: 13.03.2017, Seite 10 von 18

LH 2 Swinging pendulum (experimental setup)

experimental setup with a hook (1)

material needed:

a piece of string (length: e.g. 20 cm, 40 cm, 60 cm), weights (mass: e.g. 50 g, 100 g, 150 g),

support base or table clamp, rods, boss head clamps/ right angle clamp (possibly required; exact number depends on experimental setup), clamp with hook,

long ruler with pointers, stopwatch

(photo: A. Schmidkunz)

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Stand: 13.03.2017, Seite 11 von 18

experimental setup with a rectangular block of wood (2)

material needed:

piece of string (length: e.g. 20 cm, 40 cm, 60 cm), weights (mass: e.g. 50 g, 100 g, 150 g),

rectangular block of wood, tape, set square, stopwatch

(photos: A. Schmidkunz)

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Stand: 13.03.2017, Seite 12 von 18

experimental setup with a smartphone (3)

material needed:

smartphone, piece of string, plastic bag, paper clips,

support bases or table clamps and rods, boss head clamps/right angle clamps (exact number depends on experimental setup)

picture: Tanjaweis, http://wikis.zum.de/zum/Schwingungsfunktionen under CC-by-sa 3.0 [27.07.15]

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Stand: 13.03.2017, Seite 13 von 18

LH 3 Lösung zu AB 1 Swinging pendulum (task 4 → graphic account)

relation between period of oscillation and length

graph of a square root function

T ~ √ l

⇒ T : √ l = const.

respectively T2 : l = const.

relation between period of oscillation and mass

straight line

mass has no impact on period of oscillation

The period of a pendulum is not dependent on the mass of the pendulum.

relation between period of oscillation and amplitude

straight line

period is independent of the amplitude

A pendulum starting at a higher height has no greater period.

It should (approximately) be the same as a lower-starting pendulum no matter the height.

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Stand: 13.03.2017, Seite 14 von 18

LH 4 Lösung zu AB 1 Swinging pendulum (task 5 → parameter)

For small angles, the period of oscillation depends on the length of the pendulum, but not on mass or amplitude.

Note: Mass has no influence on the oscillation period of a string pendulum. If m is larger, FG is larger but the inertia increases, too. (mg = ma), so mass cancels out.

If the amplitude is larger, the masses travel faster from one side to the other, and vice versa.

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Stand: 13.03.2017, Seite 15 von 18

LH 5 Lösung zu AB 1 Swinging pendulum (task 6 → potential errors)

sources of error

wind resistance, force generated by friction, etc. have not been considered

amplitude declines

inaccurate measurement:

response time

difficulties in determining reversal points exactly

pendulum deflection from the vertical position of measurement

most angles not small enough for small-angle approximation

in reality, masses are not point masses

string is not massless

…

minimisation of errors

continuous recording of data (for instance with video analysis or using a swinging mobile phone)

improve the accuracy of reading

small set square → DIN A3 printed angular range

plaine background → board with squared paper or scale paper

pendulum should be perpendicular to the rod from which it is suspended

swing pendulum in the direction which causes the least friction in the suspension and arrange the background accordingly

keep string and weight in a straight line when deflecting

suspend pendulum weight by two strings (instead of one) from pivot point

…

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Stand: 13.03.2017, Seite 16 von 18

LH 6 Lösung zu AB 1 Swinging pendulum (task 7 → derivation of formula)

1) Derivation of formula (using data from the experiment)

step 1: relation between period of oscillation and length:

T ~ √l

⇒ T : √l = k* (= const.)

⇒ T = √l ∙ k* (I)

step 2: write down the period of oscillation for a harmonic oscillation

T = 2·π·√m

k (II)

step 3: determine k* by comparing (I) and (II)

√l ∙ k* = 2 ·π·√m

k ⇒ Is k* a multiple of 2·π?

k

*

2π=

T

√l

2π=

T

√l ∙2π=… ≈

1

3,13√s2

m =

1

3,13√m

s2

(III) Yes, k* is a multiple of 2·π.

Square the denominator:

(3,13√m

s2)2

≈ 9,8m

s2 = g (gravitational acceleration on earth)

⇒ 3,13√m

s2 ≈ √𝑔 (IV)

step 4: combine (III) and (IV)

k*

2π =

T : √l

2π≈

1

3,13√m

s2

≈ 1

√g

⇒ k* ≈

2π

√g (V)

step 5: substitute (V) ↷ (I)

T = k* · √l = 2π√l

√g = 2π√

l

g

For small angles, the periodical oscillation depends only on the length of the pendulum (and the acceleration due to gravity).

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Stand: 13.03.2017, Seite 17 von 18

2) Derivation of formula (using physical and mathematical equations)

step 1: restoring force

The restoring force is directly proportional to the displacement y, but acts in the opposite direction: F = – k · y.

step 2: restoring force in the experiment

pendulum: | F ⃗⃗⃗⃗ ⃗restoring|=Fres.

Fres. = FG·sinφ

Fres. = – m·g·sinφ

step 3: assume angle φ is much less than 1 radian

φ ≪ 1 (small–angle approximation):

sinφ ≈ φ ⇒ Fres. ≈ – m·g·φ

s ≈ y (compare illustration)

⇒ φ ≈ sinφ = s

l ≈

y

l

step 4: combine steps 2 + 3 and compare with step 1

Fres. = – m·g·sinφ ≈ – m·g·φ ≈ – m·g·y

l = − m·g·

1

l⏟ =k (=const.)

·y = – k·y

⇒ k = m·g·1

l

step 5: period of oscillation for a harmonic oscillation

The period of oscillation for a harmonic oscillation is given by T = 2·π·√m

k.

step 6: combine steps 4 + 5

k = m·g· 1

l ↷ T =2·π·√

m

m∙g∙1

l = 2·π·√

1

g∙1

l

= 2·π·√l

g

For small angles, the periodical oscillation depends only on the length of the pendulum (and the acceleration due to gravity).

drawings: A. Schmidkunz

𝐹 ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑛𝑔

𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ = m·g

𝐹 ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜𝑟𝑖𝑛𝑔

𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ = m·g

φ

φ

y

s

φ

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LH 7 Metronomes in sync

experimental setup

board connecting the metronomes sits on top of empty cans

drawing: A. Schmidkunz

more detailed information:

http://www.weltderphysik.de/detektor/physik-im-experiment/ticken-im-takt-synchronisation-von-metronomen/ [26.07.15]

http://www.learner.org/courses/mathilluminated/units/12/textbook/07.php [26.07.15]

There are also useful films (e. g. synchronisation of 5 or 32 metronomes, sound synchronised with pendulum waves) on the Internet available. Search for "synchronisation of metronomes" and "sound synchronised with pendulum waves".